应用一元一次方程——水箱变高了(1)
应用一元一次方程——水箱变高了课件
03
水箱变高的情境描述
水箱变高的现象
观察到水箱中的水位 上升。
注意到水箱的溢水口 有水流出来。
发现水箱的底部和侧 壁有水渗出。
水箱变高的原因
01
02
03
外部水源的补充
可能有其他水源如雨水、 地下水等通过渗漏、管道 泄漏等方式进入水箱。
内部压力变化
水箱内部压力的变化可能 导致水位上升，例如温度 变化引起的热胀冷缩。
04
应用一元一次方程解决水箱变高问题
建立一元一次方程
确定未知数
首先需要确定未知数，在这个问 题中，未知数是水箱的高度变化
量。
建立方程
根据题目描述，建立一元一次方 程，通常涉及到水箱的底面积、 初始高度、水位上升高度等参数
。
方程形式
方程通常表示为 h = k * t，其中 h 是水箱高度变化量，k 是水箱
比较解出的 h 值与实际水箱高度变化 量是否一致。
05
实际应用与案例分析
水箱变高的实际应用
01
家庭用水箱
家庭用水箱在使用过程中，由于蒸发、泄漏等原因，水箱中的水位会发
生变化。通过一元一次方程的应用，可以计算出水箱中水的体积变化。
02 03
农业灌溉
在农业灌溉中，水箱用于存储灌溉用水。随着时间的推移，水箱中的水 位会下降，需要定期补水。通过一元一次方程的应用，可以计算出需要 补水的量。
02
一元一次方程的基本概念
一元一次方程的定义
总结词
一元一次方程是只含有一个变量，且该变量的指数为1的方程。
详细描述
一元一次方程的标准形式是 ax + b = 0，其中 a ≠ 0。它包含一个未知数 x，并 且 x 的指数为1。
应用一元一次方程——水箱变高了课件
学习目标
01
理解一元一次方程的概 念和建立方法。
02
掌握一元一次方程的求 解方法。
03
能够在实际问题中应用 一元一次方程解决水箱 变高问题。
04
培养学生的数学应用意 识和解决问题的能力。
02
一元一次方程的基本概念
一元一次方程的定 义
总结词
一元一次方程是只含有一个变量，且该变量的指数为1的方程。
习和巩固基础。
对未来学习的展望
希望老师能够提供更多实际问题的案 例，让我们更好地理解和应用一元一 次方程。
希望在学习中能够更加注重理论与实 践的结合，培养自己的综合能力。
希望能够加强数学建模的训练，提高 解决复杂问题的能力。
THANKS
感谢观看
底面积，t 是时间。
解一元一次方程
01
02
03
04
移项
合并同类项
化简
解出未知数
验证解的正确性
代入原方程
将解出的 h 值代入原方程进行验证。
比较解与实际
分析误差
如果解与实际不一致，分析误差来源， 可能是建立方程时忽略了一些因素， 或者解方程过程中出现了计算错误。
比较解出的 h 值与实际水箱高度变化 量是否一致。
详细描述
一元一次方程的标准形式是 ax + b = 0，其中 a ≠ 0。它包含一个未知数 x，并 且 x 的指数为1。
一元一次方程的标准形式
总结词 详细描述
解一元一次方程的方法
总结词
详细描述
03
水箱变高的情境描述
水箱变高水源的补充
内部压力变化
03 物理或化学反应
05
实际应用与案例分析
水箱变高的实际应用
应用一元一次方程--水箱变高了
北师版-第五章-第三节应用一元一次方程-水箱变高了.doc 一、基础识记1．圆锥的体积=_____________=_____________.（要点一）69352．梯形的面积=____________；圆的面积=_________；圆的周长=__________.（要点一）6937答案：1、13×底面积×高，213r hπ2、12×（上底+下底）×高，2rπ2rπ. 概念：1．三角形的面积=_____________.答案：12×底×高3．圆柱的体积=_________=___________；答案：底面积×高，2r hπ4.正方体的体积___________=_________（新增.张站稳）答案：棱长×棱长×棱长，3a5.长方体的体积____________=________（新增.张站稳）答案：长×宽×高，abc二、基础理解1、用一根铁丝围成一个长为24cm，宽为12cm的长方形，如果将它改制成一个正方形，这个正方形的面积是（）（剖析点二）6941A.81 cm2B. 18 cm2C. 2324cm D. 326 cm2答案：C.解析：先可以长方形求出铁丝的长度，再求出正方形的边长，可得到正方形的面积.铁丝的长度为 ()2241272cm ⨯+= ，则正方形的边长为72÷4=18cm ，面积为18×18=324 cm 2.5、一个长方形的周长为26cm ，这个长方形的长减少1cm ，宽增加2cm ，就可成为一个正方形，设长方形的长为x cm ，可列方程____________. （题型二）备用7025答案： x −1=26÷2−x +2.解析：让周长除以2减去长方形的长即为长方形的宽，等量关系为：长-1=宽+2，把相关数值代入即可．长方形的长为xcm ，长方形的宽为（26÷2-x ）cm ，∵长减少1cm 为x-1，宽增加2cm ，为26÷2-x+2，∴列的方程为x-1=26÷2-x+2．6、 已知有大、小两种纸杯与甲、乙两桶果汁，其中小纸杯与大纸杯的容量比为2：3，甲桶果汁与乙桶果汁的体积比为4：5，若甲桶内的果汁刚好装满小纸杯120个，则乙桶内的果汁最多可装满几个大纸杯（ ）（题型一）7026A. 64B. 100C. 144D. 225 答案： B解析： 根据等量关系“甲桶内果汁装满小纸杯的个数×2=乙桶内果汁装满大纸杯的个数×3”，“甲桶内果汁装满大纸杯的个数：乙桶内果汁装满大纸杯的个数=4：5”可解出此题．个大杯．解得：100x=．∴乙桶内的果汁最多可装满100个大杯．7、有一个底面半径为5 cm的圆柱形储油器，从中捞出546π g钢珠，cm钢珠重7.8 g）（题型一）备用7027液面将下降____cm .（13答案：2.8．解析：储油器中液面下降的体积= 捞出钢珠体积．设液面下降x cm，8、图1是边长为30cm的正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图2所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，则它的体cm．（题型二）7028积是3答案：解：设长方体的高为x cm，然后表示出其宽为()-cm，304x根据题意得：3042-=x x解得：5x=故长方体的宽为10，长为20cm则长方体的体积为5×10×20=1000cm3．故答案为1000．解析：设长方体的高为x cm，然后表示出其宽为()-304xcm，利用宽是高的2倍列出方程求得小长方体的高后计算其体积即可．9、内径为120 cm的圆柱形玻璃杯和内径为300 cm 、内高为32 cm的圆柱形玻璃杯可以盛同样多的水，则内径为120 cm 的圆柱形玻璃杯的内高为____cm ．（题型一）7029答案：200．解析： 设内径为120 cm 的圆柱形玻璃杯的内高为x cm ，根据题意，三、题型认识(新增)题型一：等积变形问题用直径为90mm 的圆钢，铸造一个地面长和宽都是131mm ，高度是81mm 的长方体钢锭.问需要截取多长的一段圆钢？（结果保留π） 答案：设截取圆钢的长度为x mm .根据题意，得290131131802x π⎛⎫=⨯⨯ ⎪⎝⎭ ， 解方程，得686.44x π=. 答：截取圆钢的长度为686.44πmm . 解析：圆钢由圆柱体变为长方体，形状变了，但体积不变. 题型二：等长变形问题用两根等长的铁丝分别围成一个正方形和一个圆.已知正方形的边长比圆的半径长()22π- m ，求这两根铁丝的长度，并通过计算说明谁的面积大.答案：解：设圆的半径为r m ，则正方形的边长为()22r π⎡+-⎤⎣⎦m .根据题意，得()2422r r ππ=⎡+-⎤⎣⎦，解得4r = .所以铁丝的长为28r ππ=（m ）. 圆的面积为216r ππ=（m 2），正方形的面积为()224224ππ⎡+-⎤=⎣⎦（m 2）. 444πππ⋅⋅>⋅，所以圆的面积大 . 答：铁丝的长为8π（m ），圆的面积大.四、综合应用 123（新增.张站稳）解析：设水面高度为x米，依题意得5×5x=5×5×4+3×3×3解得： x=5.08所以选c4，（新增.张站稳）。
一元一次方程应用题水箱变高了题型
一、概述水箱变高了是一个常见的一元一次方程应用题，它涉及到数学在实际生活中的应用，对于学生来说具有一定的教育意义。
在解决这类问题时，需要运用一元一次方程的知识，通过设立未知数、建立方程式、解方程等步骤来求解问题。
本文将通过具体的例题分析，帮助读者更好地理解并掌握解决这类问题的方法。
二、问题描述某地区的一个水箱的水位原来是30米，后来升高了h米。
经过一段时间，水箱的水位降低到了原来的一半，那么水箱升高了多少米？三、问题分析1. 设定未知数：我们可以设未知数x表示水箱升高的高度。
2. 建立方程式：根据题意，可以列出方程式：30 + x = 2（30 + x - h）。
3. 解方程求解：通过解方程来求解出水箱升高的高度x。
四、具体步骤1. 设定未知数：设水箱升高的高度为x米。
2. 建立方程式：根据题意，可以列出方程式：30 + x = 2（30 + x - h）。
3. 解方程求解：通过解方程求出x的值。
4. 检验答案：将得到的结果代入原方程中进行检验。
五、具体计算1. 设定未知数：设水箱升高的高度为x米。
2. 建立方程式：30 + x = 2(30 + x - h)。
3. 解方程求解：通过解方程30 + x = 60 + 2x - 2h，得到x = 30 - 2h。
4. 检验答案：将x = 30 - 2h代入方程30 + x = 2(30 + x - h)中进行检验：30 + (30 - 2h) = 2 * [30 + (30 - 2h) - h]化简得到：30 + 30 - 2h = 60 + 60 - 4h - 2h化简得到：60 - 2h = 120 - 6h化简得到：4h = 60化简得到：h = 15六、问题解答根据计算，水箱升高了15米。
七、总结通过上述的步骤，我们成功地解决了水箱变高了的一元一次方程应用题。
在解决这类问题时，关键在于正确地建立方程式，然后通过解方程的方法求解未知数。
为了确保解答正确，还需要对得到的结果进行检验。
应用一元一次方程水箱变高了定义
应用一元一次方程水箱变高了定义一元一次方程是初中数学中的重要内容，它是直线的数学表达方式。
在实际生活中，我们常常会遇到与一元一次方程相关的问题。
水箱变高了定义问题，就是一个典型的应用一元一次方程的例子。
水箱变高了定义问题是指：如果一个正方形底面、高度为H的水箱，如果将水箱的底面变大，那么水箱的高度会如何改变？让我们来看一下水箱变高了定义问题的数学表达式。
假设原来水箱的底面边长为x，底面积即为x*x，高度为H。
那么水箱的容积V=底面积*高度=x*x*H。
现在，如果将水箱的底面变成2x，那么水箱的容积为V'=底面积*高度=2x*2x*H=4x^2*H。
在这个过程中，我们可以发现，水箱的高度发生了变化，由原来的H 变成了H/4。
根据这个过程，我们可以得到水箱变高了定义的一元一次方程：H/4 - H = -3H。
也就是说，水箱的高度减去原来的高度等于-3乘以原来的高度。
这就是这个问题的数学表达方式。
接下来，让我们来探讨一下这个问题，或者说一元一次方程在实际生活中的应用。
在实际生活中，我们可以通过解一元一次方程来计算这个问题。
假设原来水箱的高度为10米，根据上面的一元一次方程，如果水箱的底面变成原来的4倍，那么水箱的高度会变成多少呢？我们可以通过代入原来的高度H=10进行计算，H/4 - H = -3H，得到H=-30。
这就意味着，如果将水箱的底面变成原来的4倍，水箱的高度会变成-30米。
在实际生活中，这是不可能的，因此我们需要对这个问题进行重新审视。
从数学的角度来看，这个问题其实是一个反比例关系。
也就是说，底面积增大，高度减小；底面积减小，高度增大。
这个过程符合数学上的反比例关系，而不是一元一次方程所描述的线性关系。
要解决水箱变高了定义的问题，我们需要转而使用反比例关系的方法进行分析和计算。
通过反比例关系，我们可以得出结论：水箱的底面变大，高度会相应地变小，并且二者的变化是成反比例关系的。
在实际应用中，我们经常会遇到类似的问题。
53应用一元一次方程——水箱变高了
53应用一元一次方程——水箱变高了
假设有一个水箱，原来的高度为x，突然上升了h，现在的高度为
x+h。
我们知道，水箱的体积等于底面积乘以高度。
假设水箱的底面积为A，则原来的体积为V1=A*x，现在的体积为V2=A*(x+h)。
根据题意，水箱的体积变大了。
即V2-V1>0，即A*(x+h)-A*x>0，即
A*h>0。
由于A是一个正数（底面积不会为负），所以我们可以得到h>0。
这个结果告诉我们，水箱的高度变大了，即增加了一些高度。
现在，我们来解一元一次方程来计算出增加的高度h。
根据上面的推导，我们得到了方程A*h>0，我们可以通过将A*h除以
A来消去A，得到h>0。
这说明增加的高度必须大于0。
这样，我们可以得到结论，水箱的高度上升了。
例如，假设水箱原来的高度为2米，突然上升了1米。
那么现在的高
度就变成了2+1=3米。
通过解一元一次方程，我们可以计算出增加的高度为1米。
总结一下，应用一元一次方程可以帮助我们解决一些与高度变化、体
积变化相关的问题。
在这个例子中，我们解一元一次方程来计算出水箱增
加的高度。
当然，水箱变高了不仅仅可以用一元一次方程来解决，还可以用其他
方法解决，比如直接通过观察得出结论。
但是对于更复杂的问题，一元一次方程就是一种有效的解决方法。
我们可以通过列方程、化简方程、求解方程等步骤，得到问题的答案。
希望这个例子可以帮助你更好地理解应用一元一次方程的方法。
5.3 应用一元一次方程水箱变高了
知1－练
2一个长方形的周长是40来自cm，若将长减少8 cm， 宽增加2 cm，长方形就变成了正方形，则正
方形的边长为( B )
A．6 cm C．8 cm B．7 cm D．9 cm
3 一个三角形的三条边的长度之比为2:4:5，最 长的边比最短的边长6 cm，求该三角形的周
长．
该三角形的周长为22
知2－讲
第五章 一元一次方程
5.3
应用一元一次方程——水箱变高了
复
习
回
顾
列一元一次方程解实际问题的步骤有哪些？
知2－导
知识点
1
等积变形
某居民楼顶有一个底面直径和高均为4 m的圆 柱形储水箱.现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有 储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4 m减
少为3.2 m.那么在容积不
变的前提下， 水箱的高 度将由原先的4 m变为多 少米？
解：设此时长方形的宽为x米， 则它的长为（x+1.6）米， 根据题意，得 x+x+1.6=20÷2 2x=8.4 x=4.2 长方形的长4.2+1.6＝5.8
x+1.6
x
S=5.8×4.2＝24.36米 此时长方形的长为5.8米，宽为4.2米， 2， （1）中的长方形围成的面积：6.2×3.8＝23.56米2
底面积×高 4、圆柱的体积= ____________.
知1－讲
1.等长变形是指图形或物体的形状发生变化，但变 化前后的物体的周长不变． 2.一般用固定长度的线段围成不同形状的图形，关 键是根据周长这一固定值列方程求解．
知1－练
1 一个长方形的周长是16 cm，长比宽多2 cm，
那么这个长方形的长与宽分别是( B A．9 cm，7 cm B．5 cm，3 cm C．7 cm，5 cm D．10 cm，6 cm )
七年级数学上册《应用一元一次方程水箱变高了》优秀教学案例
3.解方程，求解未知数：运用一元一次方程的解法，求解未知数，并解释结果的实际意义。
（三）学生小组讨论
在学生小组讨论环节，我会将学生分成若干小组，每组学生合作解决一个与水箱变高类似的问题。具体步骤如下：
1.小组讨论：每组学生根据问题，共同分析、讨论，建立一元一次方程模型。
3.小组合作学习模式
小组合作学习在本案例中发挥了重要作用。通过合理分组，确保每个学生都能在小组中发挥自己的优势，共同解决问题。在合作学习过程中，学生相互讨论、交流、分享，不仅提高了团队协作能力，还培养了沟通能力和解决问题的能力。
4.反思与评价相结合
本案例注重学生的反思与评价。在教学过程中，引导学生对自己的学习过程进行反思，总结收获和不足，提高自我认知。同时，组织学生进行相互评价，学会欣赏他人、提出建设性意见。这样的设计有助于促进学生之间的相互学习，提高教学质量。
在教学过程中，以水箱变高为背景，引导学生运用一元一次方程的知识，解决实际的水位变化问题。这不仅有助于巩固学生对一元一次方程的理解，还能培养学生将数学知识应用于现实生活的能力，提高学生的创新意识和解决问题的能力。
本案例注重以人为本，关注学生的个体差异，鼓励学生主动探究、合作交流，以实现课程标准中倡导的“人人学有价值的数学，不同的人在数学上有不同的发展”的理念。通过本节课的学习，让学生在轻松愉快的氛围中掌握数学知识，感受数学的无穷魅力。
同时，我还会组织学生进行相互评价，让学生学会欣赏他人的优点，发现他人的不足，并给出建设性的意见。通过评价，促进学生之间的相互学习，提高整体教学质量。
此外，我还将结合课堂教学，定期对学生的学习成果进行评价，关注学生的个体差异，鼓励学生发挥潜能，不断提高教学效果。
应用一元一次方程——水箱变高了
【自主研“究”】
某居民楼顶有一个底面直径和高均为4m的圆 柱形储水箱.现该楼进行维修改造,为减少楼顶原 直径 4m减 有储水箱的占地面积,需要将它的底面直径由 新水箱 容积不变 少为3.2m.那么在容积不变的前 旧水箱 提下,水箱的高度将由原来的4m 增高为多少米？
r
h
此时水面离杯口还差多少cm？
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分析：在这个问题中有如下的等量关系：
= = 新水箱的容积 . 旧水箱的容积 .
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【自主研“究”】
分析：在这个问题中有如下的等量关系：
旧水箱的容积 = 新水箱的容积.
(用列表分析数量关系是常用的方法)
旧水箱
底面半径/m 高/m
3 m 容积/
新水箱
x
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【例】
问题:用一根长20厘米的铁丝围成一个长方形．
（1）使长方形的宽比长少5厘米，求这个长方形的长和宽．
（2）使长方形的宽比长少4厘米，求这个长方形的面积？
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随堂练习P142
解应用题的关键是什么？
建立等量关系
例3．把一块长、宽、高分别为3cm、3cm 、5cm的 长方体铁块，浸入内径为8cm，高为10cm的圆柱形 玻璃杯中（杯中盛有6cm高的水），水面将增高多 少？（不外溢）
LOGO
5.3 应用一元一次方 程——水箱变高了
阿基米德是古希腊著名的数学家、物理 学家，他被称为想撬米德与皇冠的故事：阿基米德用非常巧妙地方法 测出了皇冠的体积，你知道他是如何测量的吗？
形状改变，
体积不变。
=
r
h
5应用一元一次方程——水箱变高了
“瘦长”圆柱的体积=“矮胖”圆柱的体积
（2）用一根15cm的铁丝围成一个长方形，然后把它围成一个三角形；
长方形的周长=三角形的周长
（3）把一个长方形剪开，然后拼成一个平行四边形。
长方形的面积=平行四边形的面积
6
自学提纲
4米
4 米
3.2米
（1）题目中的等量关系是什么？
旧水箱的容积=新水箱的容积
教案下载： /jiaoan/
不可以在以下情况使用
任何形式的在线付费下载。
刻录光碟销售。
行业PPT模板：/hangye/ PPT素材： /sucai/ PPT图表： /tubiao/ PPT教程： /powerpoint/ Excel教程： /excel/ PPT课件： /kejian/ 试题下载： /shiti/ 字体下载： /ziti/
7
4米
4 米
（2）设新水箱的高度是x米，填写下表：
3.2米
旧水箱
新水箱
x 底面半径/米
2
1.6
米
高/米
4
x
体积/立方米 π×22×4 π×1.62×x
8
4米
4 米
3.2米
（3）规范的解题过程： x
米 解：设新水箱的高度是x米 由题意，得 π×22×4= π×1.62×x
解方程，得 16π= 2.56πx
15
课堂达标
等量关系：周长不变
墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的装饰物，小颖将梯形下底的
钉去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，那么，小颖所钉长方形的长和
宽各为多少厘米？
10
解：设长方形的长为xcm
10
10
6
10
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一元一次方程应用——水箱变高了
2.墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的装饰物，小颖将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，那么，小颖所钉长方形的长和宽各为多少厘米？
分析：等量关系是——变形前后周长相等
解：设长方形的长是 x 厘米。
则 解得 x = 16
所以，小颖所钉长方形的长是16厘米，宽是10厘米。
四．当堂训练
1.把一块长、宽、高分别为5cm 、3cm 、3cm 的长方体木块，浸入半径为4cm 的圆柱形玻璃杯中（盛有水），水面将增高多少？（不外溢）
2.在一个底面直径为3cm ，高为22cm 的量筒内装满水，再将筒内的水到入底面直径为7cm ，高为9cm 的烧杯内，能否完全装下？若装不下，筒内水还剩多高？若能装下，求杯内水面的高度。
3.若将烧杯中装满水到入量筒中，能否装下？若装不下，杯内还剩水多高？
4.第一块实验田的面积比第二块实验田的3倍还多100平方米，这两块实验田共2900平方米，两块实验田的面积分别是多少平方米？ 2
6410)10(2⨯+⨯=+x。