宁夏银川一中高考数学三模试卷 文(含解析)
2018年宁夏银川一中高考数学三模试卷(文科)
2018年宁夏银川一中高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合A ={1, 3}，B ={x|0<x <3, x ∈N}，则A ∩B =( ) A.{1} B.{1, 2} C.{1, 2, } D.{1, 3} 【答案】 A【考点】 交集及其运算 【解析】化简集合B ，根据交集的定义写出A ∩B ． 【解答】集合A ={1, 3}，B ={x|0<x <3, x ∈N}={1, 2}， 则A ∩B ={1}．2. 复数z 满足i(z +i)=1+i （其中i 为虚数单位），则z 对应的点在第（ ）象限 A.一 B.二 C.三 D.四 【答案】 D【考点】 复数的运算 【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z 在复平面内对应点的坐标得答案． 【解答】由i(z +i)=1+i ，得z +i =1+i i=(1+i)(−i)−i 2=1−i ，∴ z =1−2i ，则z 对应的点的坐标为(1, −2)，在第四象限．3. 设曲线y =x+1x−1在点(2, 3)处的切线与直线ax +y +1=0平行，则a =( ) A.12 B.−12C.−2D.2【答案】 D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】求出函数的导数，求出切线的斜率，再由两直线平行的条件，即可得到a ． 【解答】y =x+1x−1的导数为y′=x−1−(x+1)(x−1)2=−2(x−1)2，则在点(2, 3)处的切线斜率为：−2(2−1)2=−2，由切线与直线ax +y +1=0平行，则−a =−2．可得a =2．4. 已知向量a →=(3, −2)，b →=(x, y −1)且a → // b →，若x ，y 均为正数，则3x +2y 的最小值是（ ） A.24B.8C.83D.53【答案】 B【考点】基本不等式及其应用平面向量共线（平行）的坐标表示 【解析】根据向量共线定理列出方程，得出2x +3y ＝3，再求3x +2y 的最小值即可． 【解答】 ∵ a → // b →，∴ −2x −3(y −1)＝0， 化简得2x +3y ＝3，∴ 3x +2y =(3x +2y )×13(2x +3y) =13(6+9y x+4x y+6)≥13(12+2√9y x ⋅4x y)＝8，当且仅当2x ＝3y =32时，等号成立； ∴ 3x +2y 的最小值是8．5. 已知各项均不为0的等差数列{a n }满足a 3−a 722+a 11=0，数列{b n }为等比数列，且b 7=a 7，则b 1⋅b 13=( ) A.25 B.16 C.8 D.4 【答案】 B【考点】等比数列的通项公式 【解析】根据等差数列的性质得：a 3+a 11=2a 7，从而得到4a 7−a 72=0，解得a 7=4，a 7=0（舍去），进而b 7=a 7=4，由此能求出b 1b 13的值． 【解答】∵ 各项均不为0的等差数列{a n }满足a 3−a 722+a 11=0，根据等差数列的性质得：a 3+a 11=2a 7，∴ 4a 7−a 72=0，解得a 7=4，a 7=0（舍去），所以b 7=a 7=4，则b 1⋅b 13=a 72=16，6. 双曲线的渐近线方程为y =±x2，则此双曲线的离心率为（ ）A.√52B.√52或√5 C.√62D.√62或√6【答案】B【考点】双曲线的特性【解析】焦点在x轴上的双曲线和焦点在y轴上的双曲线两条渐近线方程，转化求解就可求出双曲线的离心率．【解答】当双曲线焦点在x轴上时，两条渐近线方程为y=±bax，又∵已知两条渐近线方程为y=±12x，∴ba=12，2b=a∴c=√52a，离心率e=√52，当双曲线焦点在y轴上时，两条渐近线方程为y=±abx，又∵已知两条渐近线方程为y=±12x，∴ab=12，2a=b∴c=√5a，离心率e=√5，7. 下列选项中，说法正确的是（）A.命题“p∨q为真“是命题“p∧q为真“的必要条件．B.若向量a→，b→满足a→∗b→<0，则a→与b→的夹角为钝角．C.若am2≤bm2，则a≤b．D.命题“∃x0∈R,x02−x0≤0”的否定是“∃x∈R，x2−x>0”．【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】根据复合命题和充要条件判断A，根据斜率的夹角判断B，根据不等式的性质判断C，根据命题的否定判断D．【解答】对于A：命题“p∨q为真“则，p，q至少有一个为真，故命题“p∨q为真“是命题“p∧q为真“的必要条件，正确，对于B：当a→与b→的夹角为π时，满足a→∗b→<0，故B错误，对于C：当m=0时，则a≤b不满足，故C错误，对于D：命题“∃x0∈R,x02−x0≤0”的否定是“∀x∈R，x2−x>0，故D错误，8. 甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子．已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是（）A.甲是工人，乙是知识分子，丙是农民B.甲是知识分子，乙是农民，丙是工人C.甲是知识分子，乙是工人，丙是农民D.甲是农民，乙是知识分子，丙是工人 【答案】 C【考点】合情推理的作用 【解析】由“甲的年龄和农民不同”和“农民的年龄比乙小”知丙是农民，且丙比乙小；再由“丙的年龄比知识分子大”可知，甲是知识分子；故乙是工人． 【解答】解：由“甲的年龄和农民不同”和“农民的年龄比乙小”知丙是农民，且丙比乙小； 再由“丙的年龄比知识分子大”可知，甲是知识分子；故乙是工人． 故选C .9. 已知函数f(x)={a x−1−b,x ≤1−log 2(x +1),x >1 (a >0, a ≠1)，在其定义域上单调，则ab 的值不可能的是（ ） A.−1 B.1 C.−2 D.2 【答案】 D【考点】函数单调性的性质与判断 【解析】利用分段函数得到函数f(x)在(1, +∞)上单调递减，从而得函数f(x)在(−∞, 1]上单调递减以及在R 上单调递减，得到a 1−1−b ≥−log 2(1+1)，以及实数a 的取值范围，进而得到ab 的取值范围，从而选出错误答案． 【解答】由于函数f(x)在R 上单调，当x >1时，函数f(x)=−log 2(x +1)单调递减， 则当x ≤1时，函数f(x)=a x−1−b 单调递减，所以0<a <1，且a 1−1−b ≥−log 2(1+1)，即1−b ≥−1，解得b ≤2． 当0<b ≤2时，0<ab <2；当b ≤0时，则ab ≤0．因此，ab ≠2，10. 若x ，y 满足{x +y ≥1mx −y ≤03x −2y +2≥0 且z =3x −y 的最大值为2，则实数m 的值为（ ）A.13B.23C.1D.2【答案】 D【考点】 简单线性规划 【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求得m 的值． 【解答】由约束条件{x +y ≥1mx −y ≤03x −2y +2≥0 作出可行域如图， z =3x −y 的最大值为2，联立{3x −2y +2=03x −y =2，解得A(2, 4)， 化目标函数z =3x −y 为y =3x −z ，由图可知，当直线mx −y =0必须过A ，可得2m −4=0， 解得：m =2．11. 在△ABC 中，D 在三角形所在平面内一点，且AD →=13AB →+12AC →，则S △ABDS△ABC=( )A.23 B.12C.13D.16【答案】 B【考点】平面向量的基本定理 【解析】利用三角形以及向量关系，求解三角形的面积即可． 【解答】由已知，在△ABC 中，D 为三角形所在平面内一点， 且AD →=13AB →+12AC →，∴ 点D 在平行于AB 的中位线上，且为靠近AC 边， ∴ S △ADB =12S △ABC ，12. 设函数f(x)是定义在(−∞,0)上的可导函数，其导函数为f ′(x)，且有2f(x)+xf ′(x)>x 2，则不等式(x +2018)2f(x +2018)−4f(−2)>0的解集为（ ） A.(−2020,0) B.(−∞,−2020) C.(−2016,0) D.(−∞,−2016) 【答案】 B【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由2f(x)+xf ′(x)>x 2，x <0，得2xf(x)+x 2f ′(x)<x 3，即[x 2f(x)]′<x 3<0． 令F(x)=x 2f(x)，则当x <0时，得f ′(x)<0，即F(x)在(−∞,0)上是减函数，∴ F(x +2018)=(x +2018)2f(x +2018)，F(−2)=4f(−2)，即不等式等价变形为F(x +2018)−F(−2)>0． ∵ F(x)在(−∞,0)上是减函数，∴ 由F(x +2018)>F(−2)得，x +2018<−2，即x <−2020． 故选B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.已知sin2α=14，则2cos 2(α−π4)=________． 【答案】54【考点】三角函数的恒等变换及化简求值 【解析】直接利用倍角公式及诱导公式结合已知求解． 【解答】 ∵ sin2α=14，∴ 2cos 2(α−π4)=1+cos(2α−π2)=1+sin2α=1+14=54．一几何体的三视图如图，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是________．【答案】 √3【考点】由三视图求体积 【解析】由几何体的三视图得到原几何体的底面积与高，进而得到该几何体的体积． 【解答】由几何体的三视图可知，该几何体为底面是直角梯形，高为√3的四棱锥， 其中直角梯形两底长分别为1和2，高是2．故这个几何体的体积是13×[12(1+2)×2brack ×√3=√3．执行如图所示的流程图，则输出的S 的值为________．【答案】10082017【考点】程序框图【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，其中S=11×3+13×5+15×7+...+1k×(k+2)=12[(1−13)+(13−15)+(15−17)+...+(12016−1 2017)]=12×(1−12017)=10082017，如图是3世纪我国汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形，在大正方形内随机取一点，这一点落在小正方形内的概率为13，若直角三角形的两条直角边的长分别为a，b(a<b)，则ba=________．【答案】3+√52【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】根据几何概型的意义，求出三角形的面积，再求出大正方形的面积，由已知得到关于a，b的方程，求解即可．【解答】如图所示，点落在小正方形内的概率为13， 大正方形ABCD 面积为a 2+b 2， 一个三角形的面积为12ab ， ∴4×12ab a 2+b 2=1−13，即a 2+b 2=3ab ， 即(ba )2−3ba +1=0， 解得ba =3+√52或b a=3−√52（舍），三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0, |φ|<π2)的部分图象如图所示，将y =f(x)的图象向右平移π4个单位长度后得到函数y =g(x)的图象． （1）求函数y =g(x)的解析式；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 满足2sin 2A+B 2=g(C +π3)+1，且其外接圆的半径R =2，求△ABC 的面积的最大值．【答案】由图知2πω=4(π12+π6)，解得ω=2， ∵ f(π12)=sin(2×π12+φ)=1，∴ 2×π12+φ=2kπ+π2，k ∈Z ，即φ=2kπ+π3，k ∈Z ， 由于|φ|<π2，因此φ=π3， ∴ f(x)=sin(2x +π3)，∴ f(x −π4)=sin[2(x −π4)+π3]=sin(2x −π6)， 即函数y =g(x)的解析式为g(x)=sin(2x −π6)， ∵ 2sin 2A+B 2=g(C +π3)+1，∴ 1−cos(A +B)=1+sin(2C +π2)，∵ cos(A +B)=−cosC ，sin(2C +π2)=cos2C ， cosC =cos2C ，即cosC =2cos 2C −1， 所以cosC =−12或1（舍），可得：C =2π3，由正弦定理得c sinC =2R =4，解得c =2√3， 由余弦定理得cosC =−12=a 2+b 2−c 22ab，∴ a 2+b 2=12−ab ≥2ab ，ab ≤4，（当且仅当a =b 等号成立）， ∴ S △ABC =12absinC =√34ab ≤√3，∴ △ABC 的面积最大值为√3．【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式 正弦定理 【解析】（1）由图知周期T ，利用周期公式可求ω，由f(π12)=1，结合范围|φ|<π2，可求φ的值，进而利用三角函数图象变换的规律即可得解．（2）利用三角函数恒等变换的应用及三角形内角和定理化简已知可得cosC =−12，进而可求C ，由正弦定理解得c 的值，进而由余弦定理，基本不等式可求ab ≤4，利用三角形面积公式即可得解面积的最大值． 【解答】由图知2πω=4(π12+π6)，解得ω=2， ∵ f(π12)=sin(2×π12+φ)=1，∴ 2×π12+φ=2kπ+π2，k ∈Z ，即φ=2kπ+π3，k ∈Z ， 由于|φ|<π2，因此φ=π3， ∴ f(x)=sin(2x +π3)，∴ f(x −π4)=sin[2(x −π4)+π3]=sin(2x −π6)， 即函数y =g(x)的解析式为g(x)=sin(2x −π6)， ∵ 2sin 2A+B 2=g(C +π3)+1，∴ 1−cos(A +B)=1+sin(2C +π2)，∵ cos(A +B)=−cosC ，sin(2C +π2)=cos2C ，cosC =cos2C ，即cosC =2cos 2C −1， 所以cosC =−12或1（舍），可得：C =2π3，由正弦定理得c sinC =2R =4，解得c =2√3， 由余弦定理得cosC =−12=a 2+b 2−c 22ab，∴ a 2+b 2=12−ab ≥2ab ，ab ≤4，（当且仅当a =b 等号成立）， ∴ S △ABC =12absinC =√34ab ≤√3，∴ △ABC 的面积最大值为√3．为了参加某数学竞赛，某高级中学对高二年级理科、文科两个数学兴趣小组的同学进行了赛前模拟测试，成绩（单位：分）记录如下． 理科：79，81，81，79，94，92，85，89 文科：94，80，90，81，73，84，90，80 （1）画出理科、文科两组同学成绩的茎叶图；（2）计算理科、文科两组同学成绩的平均数和方差，并从统计学的角度分析，哪组同学在此次模拟测试中发挥比较好；（参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差：s 2=1n[(x 1−x)2+(x 2−x)2+⋯+（x n −x)2brack ，其中x 为样本平均数）（3）若在成绩不低于90分的同学中随机抽出3人进行培训，求抽出的3人中既有理科组同学又有文科组同学的概率．【答案】根据题意，画出理科、文科两组同学成绩的茎叶图，如图所示；计算理科同学成绩的平均数是x 1=18×(79+79+81+81+85+89+92+94)=85，方差是s 12=18×[(79−85)2+(79−85)2+(81−85)2+(81−85)2+(85−85)2+(89−85)2+(92−85)2+(94−85)2]=31.25；计算文科同学成绩的平均数是x 2=18×(73+80+80+81+84+90+90+94)=84，方差是s 22=18×[(73−84)2+(80−84)2+(80−84)2+(81−84)2+(84−84)2+(90−84)2+(90−84)2+(94−84)2]=41.75；所以从统计学的角度分析，理科同学在此次模拟测试中发挥比较好；成绩不低于90分的同学有理科2个，记为A、B，文科有3人，记为c、d、e；从中随机抽出3人，基本事件为ABc、ABd、ABe、Acd、Ace、Ade、Bcd、Bce、Bde、cde共10种，抽出的3人中既有理科组同学又有文科组同学是ABc、ABd、ABe、Acd、Ace、Ade、Bcd、Bce、Bde共9种，故所求的概率为P=9．10【考点】茎叶图【解析】（1）根据题意，画出理科、文科两组同学成绩的茎叶图即可；（2）计算理科、文科同学成绩的平均数与方差，比较得出结论；（3）得出成绩不低于90分的同学有理科2个，文科3个，用列举法求出基本事件数，求出对应的概率．【解答】根据题意，画出理科、文科两组同学成绩的茎叶图，如图所示；×(79+79+81+81+85+89+92+94)=85，计算理科同学成绩的平均数是x1=18×[(79−85)2+(79−85)2+(81−85)2+(81−85)2+(85−85)2+方差是s12=18(89−85)2+(92−85)2+(94−85)2]=31.25；×(73+80+80+81+84+90+90+94)=84，计算文科同学成绩的平均数是x2=18×[(73−84)2+(80−84)2+(80−84)2+(81−84)2+(84−84)2+方差是s22=18(90−84)2+(90−84)2+(94−84)2]=41.75；所以从统计学的角度分析，理科同学在此次模拟测试中发挥比较好；成绩不低于90分的同学有理科2个，记为A、B，文科有3人，记为c、d、e；从中随机抽出3人，基本事件为ABc、ABd、ABe、Acd、Ace、Ade、Bcd、Bce、Bde、cde共10种，抽出的3人中既有理科组同学又有文科组同学是ABc、ABd、ABe、Acd、Ace、Ade、Bcd、Bce、Bde共9种，．故所求的概率为P=910如图，在矩形ABCD所在平面α的同一侧取两点E，F，使DE⊥α且AF⊥α，若AB=AF=3，AD=4，DE=1．（1）求证：AD⊥BF；（2）取BF的中点G，求证：DF // 平面AGC；（3）求多面体ABF−DCE的体积．【答案】（1）证明：四边形ABCD是矩形，∴AD⊥AB．∵AF2⊥α，AD⊂α，∴AF⊥AD．又AF∩AB=A，∴AD⊥平面ABF．∵BF⊂平面ABF，∴AD⊥BF．（2）证明：连结AC，BD交于点O，连结OG，则OG是△BDF的中位线，∴OG//DF．又OG⊂平面AGC，DF平面AGC，∴DF//平面AGC．（3）解：由分割法得多面体ABF−DCE的体积V ABF−DCE=V F−ABCD+V E−FCD=V F−ABCD+V F−BCD=13×3×4×3+13×12×3×1×4=14．【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】此题暂无解析【解答】（1）证明：四边形ABCD是矩形，∴AD⊥AB．∵AF2⊥α，AD⊂α，∴AF⊥AD．又AF∩AB=A，∴AD⊥平面ABF．∵BF⊂平面ABF，∴AD⊥BF．（2）证明：连结AC，BD交于点O，连结OG，则OG是△BDF的中位线，∴OG//DF．又OG⊂平面AGC，DF平面AGC，∴DF//平面AGC．（3）解：由分割法得多面体ABF−DCE的体积V ABF−DCE=V F−ABCD+V E−FCD=V F−ABCD+V F−BCD=13×3×4×3+13×12×3×1×4=14．已知点P(0, −2)，椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，F 是椭圆E 的右焦点，直线PF 的斜率为2，O 为坐标原点． （1）求椭圆E 的方程；（2）直线l 被圆O:x 2+y 2=3截得的弦长为3，且与椭圆E 交于A 、B 两点，求△AOB 面积的最大值． 【答案】设F(c, 0)，由已知得，直线PF 的斜率k =2c =2，得c =1，又c a=√22，则a =√2，b =1， 故椭圆E 的方程为x 22+y 2=1记点O 到直线l 的距离为d ，则d =√r 2−(32)2=√32，①当直线l 与y 轴平行时，直线l 的方程为x =±√32，易求|AB|=√102，∴ S △AOB =12|AB|d =√308，②当直线l 与y 轴不平行时，设直线l 的方程为y =kx +m ，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， 由已知得d =2=√32，∴ m 2=34(k 2+1)，．由{y =kx +mx 22+y 2=1得(2k 2+1)x 2+4kmx +2(m 2−1)=0，又△=10k 2+2>0， ∴ x 1+x 2=−4km 2k 2+1，x 1x 2=2(m 2−1)2k 2+1，∴ |AB|=√1+k 2|x 1−x 2|=√2(1+k 2)(5k2+1)2k 2+1， S △AOB =12|AB|d =√34|AB|=√34×√2(1+k 2)(5k 2+1)2k 2+1=√24×√3(1+k 2)(5k 2+1)2k 2+1，≤√24×12(3+3k 2+5k 2+1)2k 2+1=√22，当且仅当k=±1时取等号，综上当k =±1时，△AOB 面积的最大值为√22【考点】 椭圆的应用直线与椭圆的位置关系 【解析】（1）椭圆离心率及直线的斜率公式求得a 和b 的值，即可求得椭圆的方程；（2）分类，当直线的斜率不存在，求得|AB|，根据三角形的面积公式，求得△AOB 面积，当直线的斜率存在时，由点到直线的距离公式求得m 2=34(k 2+1)，将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理，弦长公式及基本不等式的性质，即可求得△AOB 面积的最大值． 【解答】设F(c, 0)，由已知得，直线PF 的斜率k =2c =2，得c =1，又c a=√22，则a =√2，b =1， 故椭圆E 的方程为x 22+y 2=1记点O 到直线l 的距离为d ，则d =√r 2−(32)2=√32，①当直线l 与y 轴平行时，直线l 的方程为x =±√32，易求|AB|=√102，∴ S △AOB =12|AB|d =√308，②当直线l 与y 轴不平行时，设直线l 的方程为y =kx +m ，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， 由已知得d =√k 2+1=√32，∴ m 2=34(k 2+1)，．由{y =kx +mx 22+y 2=1得(2k 2+1)x 2+4kmx +2(m 2−1)=0，又△=10k 2+2>0， ∴ x 1+x 2=−4km 2k 2+1，x 1x 2=2(m 2−1)2k 2+1，∴ |AB|=√1+k 2|x 1−x 2|=√2(1+k 2)(5k2+1)2k 2+1， S △AOB =12|AB|d =√34|AB|=√34×√2(1+k 2)(5k 2+1)2k 2+1=√24×√3(1+k 2)(5k 2+1)2k 2+1，≤√24×12(3+3k 2+5k 2+1)2k 2+1=√22，当且仅当k=±1时取等号，综上当k =±1时，△AOB 面积的最大值为√22设函数f(x)=lnx ，g(x)=(2−a)x −2f(x)+a −2 （1）当a =1时，求函数g(x)的单调区间；（2）设F(x)=|f(x)|+bx+1(b >0)，对任意x 1，x 2∈(0, 2]，x 1≠x 2，都有F(x 1)−F(x 2)x 1−x 2<−1，求实数b 的取值范围．【答案】当a =1时，g(x)=x −1−2lnx ，(x >0)， ∴ g′(x)=1−2x =x−2x，当x ∈(0, 2)时，g ′(x)<0，g(x)单调递减 当x ∈(2, +∞)时，g ′(x)>0，g(x)单调递增综上，g(x)的递减区间是(0, 2)，递增区间是(2, +∞)， 由已知F(x 1)−F(x 2)x 1−x 2+1<0,F(x 1)+x 1−[F(x 2)+x 2]x 1−x 2<0设G(x)=F(x)+x ，则G(x)在(0, 2]上单调递减， ①当x ∈[1, 2]时，f(x)=lnx ≥0，所以G(x)=lnx +bx+1+x,G ′(x)=1x −b(x+1)2+1≤0整理：b ≥(x+1)2x+(x +1)2=x 2+3x +3+1x设ℎ(x)=x 2+3x +3+1x ，则ℎ(x)=2x +3−1x 2>0在(1, 2)上恒成立， 所以ℎ(x)在[1, 2]上单调递增，所以ℎ(x)最大值是ℎ(2)=272，b ≥272，②当x ∈(0, 1]时，f(x)=lnx ≤0所以G(x)=−lnx +bx+1+x,G ′(x)=−1x −b(x+1)+1≤0 整理：b ≥−(x+1)2x+(x +1)2=x 2+x −1−1x设m(x)=x 2+x −1−1x ，则m ′(x)=2x +1+1x 2>0在(0, 1]上恒成立， 所以m(x)在(0, 1]上单调递增，所以m(x)最大值是m(1)=0，b ≥0 综上，由①②得：b ≥272．【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】（1）将a =1代入g(x)的表达式，求出g(x)的导数，从而求出函数的单调区间； （2）由已知F(x 1)−F(x 2)x 1−x 2+1<0,F(x 1)+x 1−[F(x 2)+x 2]x 1−x 2<0，若设G(x)=F(x)+x ，通过讨论①当x ∈[1, 2]时，②当x ∈(0, 1)时，G(x)的单调性，从而得到b 的范围． 【解答】当a =1时，g(x)=x −1−2lnx ，(x >0)， ∴ g′(x)=1−2x =x−2x，当x ∈(0, 2)时，g ′(x)<0，g(x)单调递减 当x ∈(2, +∞)时，g ′(x)>0，g(x)单调递增综上，g(x)的递减区间是(0, 2)，递增区间是(2, +∞)， 由已知F(x 1)−F(x 2)x 1−x 2+1<0,F(x 1)+x 1−[F(x 2)+x 2]x 1−x 2<0设G(x)=F(x)+x ，则G(x)在(0, 2]上单调递减， ①当x ∈[1, 2]时，f(x)=lnx ≥0，所以G(x)=lnx +bx+1+x,G ′(x)=1x −b(x+1)2+1≤0 整理：b ≥(x+1)2x+(x +1)2=x 2+3x +3+1x设ℎ(x)=x 2+3x +3+1x ，则ℎ(x)=2x +3−1x 2>0在(1, 2)上恒成立， 所以ℎ(x)在[1, 2]上单调递增，所以ℎ(x)最大值是ℎ(2)=272，b ≥272，②当x ∈(0, 1]时，f(x)=lnx ≤0所以G(x)=−lnx +bx+1+x,G ′(x)=−1x −b(x+1)2+1≤0 整理：b ≥−(x+1)2x+(x +1)2=x 2+x −1−1x设m(x)=x 2+x −1−1x ，则m ′(x)=2x +1+1x 2>0在(0, 1]上恒成立， 所以m(x)在(0, 1]上单调递增，所以m(x)最大值是m(1)=0，b ≥0 综上，由①②得：b ≥272．请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，圆C 1的参数方程为{x =−1+costy =sint （t 为参数），圆C 2与圆C 1外切于原点O ，且两圆圆心的距离|C 1C 2|＝3，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C 1和圆C 2的极坐标方程；（2）过点O 的直线l 1、l 2与圆C 2异于点O 的交点分别为点A 和点D ，与圆C 1异于点O 的交点分别为C 和B ，且l 1⊥l 2，求四边形ABCD 面积的最大值． 【答案】圆C 1的普通方程为(x +1)2+y 2＝1，∴ 圆C 1的圆心为C 1(−1, 0)，半径r 1＝1． 圆C 1的一般方程为：x 2+y 2+2x ＝0，∴ 圆C 1的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ＝0，即ρ＝−2cosθ． ∵ 圆C 2与圆C 1外切于原点O ，且两圆圆心的距离|C 1C 2|＝3， ∴ 圆C 2的圆心C 2(2, 0)，半径r 2＝2．∴ 圆C 2的标准方程为(x −2)2+y 2＝4，化为一般式方程为：x 2+y 2−4x ＝0， ∴ 圆C 2的极坐标方程为ρ2−4ρcosθ＝0，即ρ＝4cosθ．设直线l 1的参数方程为{x =tcosαy =tsinα (t 为参数0<α<π2)，l 2的参数方程为{x =−tsinαy =tcosα （t 为参数），把{x =tcosαy =tsinα 代入x 2+y 2−4x ＝0得t 2−4tcosα＝0，∴ |OA|＝4cosα， 同理可得|OB|＝2sinα，|OC|＝2cosα，|OD|＝4sinα， ∵ AC ⊥BD ，∴ S 四边形ABCD =12(OA +OC)(OB +OD)＝18sinαcosα＝9sin2α． ∴ 当α=π4时，四边形ABCD 的面积取得最大值9．【考点】参数方程与普通方程的互化 圆的极坐标方程 【解析】（1）求出两圆的普通方程，再化为极坐标方程；（2）设出l 1，l 2的参数方程，分别代入两圆方程得出OA ，OB ，OC ，OD 的长，得到四边形的面积关于l 1的倾斜角α的函数解析式，利用α的范围和正弦函数的性质求出面积的最大值． 【解答】圆C 1的普通方程为(x +1)2+y 2＝1，∴ 圆C 1的圆心为C 1(−1, 0)，半径r 1＝1． 圆C 1的一般方程为：x 2+y 2+2x ＝0，∴ 圆C 1的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ＝0，即ρ＝−2cosθ．∵ 圆C 2与圆C 1外切于原点O ，且两圆圆心的距离|C 1C 2|＝3， ∴ 圆C 2的圆心C 2(2, 0)，半径r 2＝2．∴ 圆C 2的标准方程为(x −2)2+y 2＝4，化为一般式方程为：x 2+y 2−4x ＝0， ∴ 圆C 2的极坐标方程为ρ2−4ρcosθ＝0，即ρ＝4cosθ．设直线l 1的参数方程为{x =tcosαy =tsinα (t 为参数0<α<π2)，l 2的参数方程为{x =−tsinαy =tcosα （t 为参数），把{x =tcosαy =tsinα 代入x 2+y 2−4x ＝0得t 2−4tcosα＝0，∴ |OA|＝4cosα， 同理可得|OB|＝2sinα，|OC|＝2cosα，|OD|＝4sinα， ∵ AC ⊥BD ，∴ S 四边形ABCD =12(OA +OC)(OB +OD)＝18sinαcosα＝9sin2α． ∴ 当α=π4时，四边形ABCD 的面积取得最大值9． [选修4-5；不等式选讲]已知函数f(x)＝|x +3|+|x −1|的最小值为m ． (Ⅰ)求m 的值以及此时的x 的取值范围；(Ⅱ)若实数p ，q ，r 满足p 2+2q 2+r 2＝m ，证明：q(p +r)≤2． 【答案】（1）依题意，得f(x)＝|x +3|+|x −1|≥|x +3−x +1|＝4，故m 的值为（4） 当且仅当(x +3)(x −1)≤0，即−3≤x ≤1时等号成立，即x 的取值范围为[−3, 1]． （2）证明：因为p 2+2q 2+r 2＝m ，故(p 2+q 2)+(q 2+r 2)＝（4）因为p 2+q 2≥2pq ，当且仅当p ＝q 时等号成立，q 2+r 2≥2qr ，当且仅当q ＝r 时等号成立，所以(p 2+q 2)+(q 2+r 2)＝4≥2pq +2qr ，故q(p +r)≤2，当且仅当p ＝q ＝r 时等号成立． 【考点】绝对值三角不等式绝对值不等式的解法与证明 【解析】(Ⅰ)利用绝对值不等式，求出m 的值，当且仅当(x +3)(x −1)≤0，即可求出此时的x 的取值范围；(Ⅱ)利用(p 2+q 2)+(q 2+r 2)＝4≥2pq +2qr ，即可证明结论． 【解答】（1）依题意，得f(x)＝|x +3|+|x −1|≥|x +3−x +1|＝4，故m 的值为（4） 当且仅当(x +3)(x −1)≤0，即−3≤x ≤1时等号成立，即x 的取值范围为[−3, 1]． （2）证明：因为p 2+2q 2+r 2＝m ，故(p 2+q 2)+(q 2+r 2)＝（4）因为p 2+q 2≥2pq ，当且仅当p ＝q 时等号成立，q 2+r 2≥2qr ，当且仅当q ＝r 时等号成立，所以(p 2+q 2)+(q 2+r 2)＝4≥2pq +2qr ，故q(p +r)≤2，当且仅当p ＝q ＝r 时等号成立．。
宁夏部分地区2023-2024学年高三下学期三模语文试题汇编：文言文阅读
①意映卿卿如晤②：吾今以此书与汝永别矣！吾作此书时，尚是世中一人；汝看此书时， 吾已成为阴间一鬼。吾作此书，泪珠和笔墨齐下，不能竟书而欲搁笔，又恐汝不察吾衷，谓 吾忍舍汝而死，谓吾不知汝之不欲吾死也，故遂忍悲为汝言之。吾至爱汝，即此爱汝一念， 使吾勇于就死也。
②吾自遇汝以来，常愿天下有情人都成眷属。然遍地腥云，满街狼犬，称心快意，几家 能彀？司马春衫，吾不能学太上之忘情③也。语云：仁者“老吾老，以及人之老；幼吾幼， 以及人之幼”。吾充吾爱汝之心助天下人爱其所爱所以敢先汝而死不顾汝也。汝体吾此心， 于啼泣之余，亦以天下人为念，当亦乐牺牲吾身与汝身之福利，为天下人谋永福也。
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13．把材料中画横线的句子翻译成现代汉语。（8 分） （1）昔君问臣事君于我，我对以忠贞。（4 分） （2）夫己死之不爱，死君之不欺也。抑其有是，而子非之耶？（4 分）
14．柳宗元说晋文公重耳被天下人耻笑，除了听信大臣狐偃的迂腐观点，未能把握正确的回 国时机，还有哪些原因？请结合材料二简要概括。（2 分）
为 （1）比朝廷悉已蠲削烦苛税名，吾民当小康矣。
（2）且财货所以济用度，取不以道，岂朕爱民之意耶？ 2024 届宁夏回族自治区银川一中高三下学期第三次模拟考试语文试题
阅读下面的文言文，完成 10～13 小题。 材料一
二十六年，献公卒。里克①将杀奚齐②，先告荀息曰：“三公子之徒将杀孺子，子将如何？” 荀息曰：“死吾君而杀其孤．，吾有死而已！”里克曰：“子死，孺子立，不亦可乎？子死，孺 子废，焉用死？”荀息曰：“昔君问臣事君于我，我对以忠贞。君曰：‘何谓也？’我对曰： ‘可以利公室，力有所能，无不为，忠也。葬死者，养．生．者，死人复生不悔，生人不愧，贞 也。’吾言既往矣，岂能欲行吾言而又爱吾身乎？”既杀奚齐，荀息将死之。
2020年宁夏银川一中高考数学三模试卷(文科)(含答案解析)
2020年宁夏银川一中高考数学三模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. B.C. D.2.若复数z与其共轭复数满足，则A. B. C. 2 D.3.已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为A. B. C. D.4.在区间内随机取两个数a、b，则使得“命题，不等式成立为真命题”的概率为A. B. C. D.5.若向量与平行，则A. B. C. D.6.F是抛物线的焦点，A、B是抛物线上的两点，，则线段AB的中点到y轴的距离为A. 4B.C.D. 37.已知m，n是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列命题中，错误的是A. 若，，则B. 若，，，则C. 若，，，则D. 若，，则或8.已知函数的部分图象如图，则的解析式可能是A.B.C.D.9.已知函数，，，，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D.10.天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯，又名依巴谷在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗．到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为已知“心宿二”的星等是，“天津四”的星等是，“心宿二”的亮度是“天津四”的r倍，则与r最接近的是当较小时，A. B. C. D.11.已知数列的通项公式是，其中的部分图象如图所示，为数列的前n项和，则的值为A. B. C. D. 012.已知函数，若函数有4个零点，则实数m的取值范围是A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.我校高一、高二、高三共有学生1800名，为了了解同学们对“智慧课堂”的意见，计划采用分层抽样的方法，从这1800名学生中抽取一个容量为36的样本．若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则我校高三年级的学生人数为______．14.已知实数x，y满足，则的最大值为______．15.等差数列的前n项和为，，，则______．16.在三棱锥中，，，，点P到底面ABC的距离是；则三棱锥的外接球的表面积是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.年龄岁人数人221282293305314323402合计20Ⅰ求这名教师年龄的众数与极差；Ⅱ以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名教师年龄的茎叶图；Ⅲ现在要在年龄为29岁和31岁的教师中选2位教师参加学校有关会议，求所选的2位教师年龄不全相同的概率．18.开放题在锐角中，，_______，求的周长l的范围．在，，且，，，注：这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并对其进行求解．19.如图所示的多面体中，四边形ABCD是正方形，平面平面ABCD，，，．Ⅰ求证：；Ⅱ求点D到平面BCF的距离．20.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且过点．求椭圆的标准方程；直线l：交椭圆于P，Q两点，若点B始终在以PQ为直径的圆内，求实数k的取值范围．21.已知函数．Ⅰ若曲线与直线相切，求实数a的值；Ⅱ若不等式在定义域内恒成立，求实数a的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，曲线C的极坐标方程为．写出直线l和曲线C的直角坐标方程；已知点，若直线l与曲线C交于P，Q两点，P，Q中点为M，求的值．23.已知函数．求不等式的解集；若，使得恒成立，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：集合，，，．故选：D．求出集合A，B，得到，由此能求出．本题考查补集、并集的求法，考查补集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：A解析：解：设，由，得，即，即，．，则．故选：A．设，代入，整理后利用复数相等的条件求得a，b的值，再由复数模的计算公式求解．本题考查复数相等的条件，考查复数模的求法，是基础题．3.答案：D解析：解：双曲线的离心率为，可得，即，可得，由双曲线的渐近线方程可得，即为．故选：D．运用双曲线的离心率公式和a，b，c的关系，可得a，b的关系式，再由双曲线的渐近线方程即可得到所求．本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率和渐近线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．4.答案：A解析：解：两个数a、b在区间内随地机取，以a为横坐标、b为纵坐标建立如图所示直角坐标系，可得对应的点在如图的正方形OABC及其内部任意取，其中，，，O为坐标原点若命题，不等式成立为真命题，则，解之得，满足条件的点在直线的下方，且在正方形OABC内部的三角形，其面积为，正方形OABC的面积为，使得“命题，不等式成立为真命题”的概率为：，故选：A．根据题意，以a为横坐标、b为纵坐标建立如图所示直角坐标系，得到所有的点在如图的正方形OABC 及其内部任意取，由命题，不等式成立为真命题，知，解之得，满足条件的点在正方形内部且在直线的下方的直角三角形，因此用所得直角三角形面积除以正方形的两种，即可得到所求的概率．本题考查概率的求法，考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.答案：C解析：解：，，解得，，，．故选：C．根据即可求出，从而可得出向量的坐标，进而求出的值．本题考查了平行向量的坐标关系，向量坐标的加法和数乘运算，根据向量的坐标求向量长度的方法，考查了计算能力，属于基础题．6.答案：C解析：【分析】本题考查抛物线定义及性质，属于基础题．根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点横坐标的和，求出线段AB的中点到y轴的距离．【解答】解：是抛物线的焦点，，准线方程，设，，，，线段AB的中点横坐标为，线段AB的中点到y轴的距离为．故选C．7.答案：A解析：解：若，，则或，故A错误；若，，则或，又，则，故B正确；若，，则或，又，则，故C正确；若，，则或，故D正确．故选：A．由空间中直线与直线、直线与平面的位置关系逐一分析四个选项得答案．本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．8.答案：C解析：解：由图可知，函数的定义域为R，为奇函数且单调递增，选项A，定义域为，排除选项A；选项B，在上并不是恒成立，排除选项B；选项D，，与既非奇也非偶关系，排除选项D．故选：C．由图可知，函数的定义域为R，为奇函数且单调递增，而选项A中函数的定义域为，选项B不是单调增函数，选项D不是奇函数．本题考查函数的图象与性质，一般从函数的奇偶性、单调性和特殊点处的函数值等方面着手思考问题，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题．9.答案：A解析：解：，则在R上单调递增，，，，，，．故选：A．可得出，从而可根据指数函数的单调性判断在R上单调递增，然后可得出，从而根据的单调性即可得出a，b，c的大小关系．本题考查了指数函数、对数函数的单调性，增函数的定义，考查了计算能力，属于基础题．10.答案：C解析：解：设“心宿二”的星等是，“天津四”的星等是，“心宿二”的亮度是，“天津四”的亮度是，则，，，两颗星的星等与亮度满足，，即：，，与r最接近的是，故选：C．根据题意，结合对数的运算性质即可求出结果．本题主要考查了简单的合情推理，是基础题．11.答案：B解析：解：由图象可得，即，，再将代入，可得，，即有，，可令，可得，即，，为最小正周期为6的数列，由，，，，，，可得一个周期的和为0，则．故选：B．求得的周期，可得，再将代入，可得的解析式，求得的周期，计算可得所求和．本题考查三角函数的解析式的求法，注意运用数形结合，考查数列的周期性的判断和运用，考查运算能力，属于中档题．12.答案：B解析：【分析】本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想，属于中档题．依题意，函数的图象与直线有4个交点，作出函数图象，通过图象分析找到临界情况，即可得解．解析：解：依题意，函数的图象与直线有4个交点，当时，，则，故此时，取得最大值时对应的点为；当时，，则，故此时，取得最大值时对应的点为；作函数图象如下：由图象可知，直线OA与函数有4个交点，且；直线OB与函数有6个交点，且；又过点作函数在上的切线切于点C，则又，同理作函数在上的切线切于点D，则．由图象可知，满足条件的实数m的取值范围为．故选：B．13.答案：700解析：解：设从高三年级抽取的学生人数为2x人，则从高二、高一年级抽取的人数分别为，．由题意可得，．设我校高三年级的学生人数为N，再根据，求得，故答案为：700．设从高三年级抽取的学生人数为2x人，由题意利用分层抽样的定义和方法，求出x的值，可得高三年级的学生人数．本题主要考查分层抽样，属于基础题．14.答案：22解析：解：作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，由可得，观察可知，当直线过点B时，z取得最大值，由，解得，即，所以．故答案为：22．作出不等式组对应的平面区域，，利用数形结合即可的得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．15.答案：解析：【分析】本题考查等差数列的求和，裂项消项法求和的应用，考查计算能力，属于中档题．利用已知条件求出等差数列的前n项和，然后化简所求的表达式，求解即可．解析：解：等差数列的前n项和为，，，由，可得，数列的公差为1，首项为1，，，则．故答案为．16.答案：解析：解：因为，，，所以可得AC的中点为底面ABC的外接圆的圆心，且外接圆的半径，，，设面ABC交于D，连接，则，可得，所以，过作垂直于底面的垂线，则，取O为外接球的球心，过O作交于H，则为矩形，可得，，设球的半径为R，连接OC，OP，则，在中，，在中，，，由可得，，所以外接球的表面积，故答案为：．由题意如图，求出底面外接球的半径，及球心O到棱锥的高线的距离OH，在两个三角形中求出球的半径，进而求出外接球的表面积．本题考查三棱锥的棱长与外接球的半径之间的关系及外接球的表面积公式，属于中档题．17.答案：解：Ⅰ年龄为30岁的教师人数为5，频率最高，故这20名教师年龄的众数为30，极差为最大值与最小值的差，即．Ⅱ以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名教师年龄的茎叶图，如下：Ⅲ设事件“所选的2位教师年龄不全相同”为事件A．年龄为29，31岁的教师共有7名，从其中任选2名教师共有种选法，3名年龄为29岁的教师中任选2名有3种选法，4名年龄为31岁的教师中任选2名有6种选法，所以所选的2位教师年龄不全相同的选法共有种，所以所选的2位教师年龄不全相同的概率．解析：Ⅰ年龄为30岁的教师人数为5，频率最高，由此能求出这20名教师年龄的众数为30，极差为最大值与最小值的差．Ⅱ以十位数为茎，个位数为叶，能作出这20名教师年龄的茎叶图．Ⅲ设事件“所选的2位教师年龄不全相同”为事件年龄为29，31岁的教师共有7名，从其中任选2名教师共有种选法，3名年龄为29岁的教师中任选2名有3种选法，4名年龄为31岁的教师中任选2名有6种选法，所选的2位教师年龄不全相同的选法共有种，由此能求出所选的2位教师年龄不全相同的概率．本题考查众数、极差的求法，考查茎叶图、概率的求法，考查频率分布表、茎叶图、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.答案：解：若选，则由，，且，得，，又，所以；又，的周长为，即；因为锐角中，，所以，所以，所以的周长为若选，由cos C，所以，所以；又，所以，所以；又，所以；所以，的周长为，即；因为锐角中，，所以，所以，所以的周长为若选，则x sin，又，所以，又，所以；所以，的周长为，即；因为锐角中，，所以，所以，所以的周长为解析：选时，由平面向量的数量积与三角恒等变换求出A的值，再利用正弦定理和三角恒等变换求出周长的取值范围；选时，由正弦定理和三角恒等变换求出A的值，再利用正弦定理和三角恒等变换求出周长的取值范围；选时，由三角恒等变换求得A的值，再利用正弦定理和三角恒等变换求出周长的取值范围．本题考查了平面向量的数量积和三角恒等变换应用问题，也考查了解三角形的应用问题，是中档题．19.答案：解：Ⅰ四边形ABCD是正方形，，又平面平面ABCD，平面平面，面ABCD，平面ADE，分又平面ADE，，分．在中，，，，由余弦定理得，，，分又，平面分又平面分Ⅱ过点E做交AD于点H，连结FD．平面平面ABCD，平面平面，平面ADE，平面ABCD，在中，分又，面ABCD，面ABCD面到面ABCD的距离等于F到面ABCD的距离分，分在直角梯形EFBA中，，，，，可得，分设D点到平面BFC的距离为d，，即，点D到平面BCF的距离分解析：Ⅰ首先证明平面ADE，，又在中，由余弦定理得可得即可得平面．Ⅱ过点E做交AD于点H，连结FD，求得，易知E到面ABCD的距离等于F到面ABCD的距离，设D点到平面BFC的距离为d，得到点D到平面BCF的距离．本题考查了空间线线垂直的证明，等体积法求点到面的距离，属于中档题．20.答案：解：由题意知，，，解得，可得椭圆的标准方程为：；设，联立，消去y，得，依题意：直线l：恒过点，此点为椭圆的左顶点，所以，，由式，，得，由，可得，由点B在以PQ为直径圆内，得为钝角或平角，即．即，整理得，解得．解析：由题意可得，，解得，进而得到椭圆方程；设，，联立直线l的方程和椭圆方程，运用韦达定理，可得Q的坐标，由点B在以PQ为直径圆内，得为钝角或平角，即有，运用数量积的坐标表示，解不等式即可得到所求范围．本题考查椭圆方程的求法，注意运用椭圆的性质，考查实数的取值范围，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查点在圆内的条件：点与直径的端点的张角为钝角或平角，运用数量积小于0，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21.答案：解：Ⅰ根据题意，由，得，设切点横坐标为，依题意得，解得，即实数a的值为1．Ⅱ由在定义域内恒成立，得在定义域内恒成立，令，则，再令，则，即在上递减，又，所以当时，，从而，在递增；当时，，从而，在递减，所以在处取得最大值，所以实数a的取值范围是．解析：Ⅰ根据题意，由函数的解析式求出其导数，设切点横坐标为，则有，解可得a的值，即可得答案；Ⅱ根据题意，原问题可以转化为，在定义域内恒成立，令，求出的导数，利用导数分析的最大值，据此分析即可得答案．本题考查导数的应用，涉及利用导数求函数的最值与切线的方程，注意将不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题．22.答案：解：因为直线，故，即直线l的直角坐标方程为．因为曲线C：，则曲线C的直角坐标方程为，即．根据转换为直线l的参数方程为为参数，将其代入曲线C的直角坐标方程，得．设P，Q对应的参数分别为，，则，，所以M对应的参数，故．解析：直接利用转化关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：，，即为，当时，，解得；当时，，解得；当时，，解得．综上可得不等式的解集为；，即为，由，可得，即有，可得，解得．解析：由题意可得，由绝对值的意义，对x讨论，去绝对值，解不等式，求并集即可；由题意可得，运用绝对值不等式的性质可得，解不等式可得所求范围．本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和转化思想，考查化简运算能力，属于中档题．。
宁夏银川市一中高三数学(文)三模考试试卷
宁夏银川市一中2008届高三数学(文)三模考试试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第II 卷第22题为选考题，其他题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．2． 选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚． 3． 按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4． 持卡面清洁，不折叠，不破损．5． 选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 参考公式：样本数据x 1,x 2,,x n 的标准差 锥体体积公式])()()[(122221x x x x x x ns n -++-+-=V =31Sh其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积、h 为高 柱体体积公式球的表面积、体积公式V =ShS=4πR 2,，V=34πR 3其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．若bi i i -=⋅-44)2(（其中i 是虚数单位，b 是实数），则b= （ ）A ．-4B ．4C ．-8D ．8 2．命题“设a 、b 、b a bc ac c >>∈则若,,22R ”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有 （ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 3．在等差数列{a n }中，a 1=13,a 3=12若a n =2，则n 等于 （ ） A ． 23 B ．24 C ．25 D ．264．圆(x-1)2+y 2=1的圆心到直线x-3y=0的距离是 （ ）A ．31 B ．21 C ．22D ．1 5．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3π=x 对称的是 （ ）侧视图主视图俯视图A ．)32sin(π-=x yB ．62sin(π-=x y C ．)62sin(π+=x yD ．)62sin(π+=x y 6． 已知某个几何体的三视图如图（主视图中的弧线是半圆），根据图中标出的尺 寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是（ ）cm 3． （ ） A ．π+8B ．328π+C ．π+12D ．3212π+7． 已知函数f(x)=(x-a)(x-b) (其中a>b),若f(x)的图像如右图所示,则函数g(x)=a x+b 的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．8． 某校对高三年级的学生进行体检，现将高三男生的体重（单位：kg ）数据进行整理后分成五组，并绘制频率分布直方图（如图所示）．根据 一般标准，高三男生的体重超过65kg 属于偏胖，低于 55kg 属于偏瘦．已知图中从左到右第一、第三、第四、 第五小组的频率分别为0.25、0.20、0.10、0.05，第二 小组的频数为400，则该校高三年级的男生总数和体 重正常的频率分别为 （ ） A ．1000,0.50 B ．800,0.50C ．800,0.60D ．1000,0.609． 如图所示，墙上挂有一边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为2a的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是 （ ）（第16题）A ．41π-B ．4πC ．81π-D ．与a 的取值有关10．设定点A （0,1），动点P(x,y)的坐标满足条件⎩⎨⎧≤≥x y x 0则|PA|的最小值是 （ ）A ．22B ．23C ．1D ．211．设函数n n n f x x f ax x x f m 的前则数列的导数)}(2)(1{,32)()(*N ∈++='+=项和是（ ）A ．1+n n B ．)1(21+-n nC ．)2(2+n nD ．)2)(1(++n n n12．已知双曲线的两个焦点为F 1(-10,0)、F 2(10,0)，M 是此双曲线上的一点，且满足021=⋅MF MF ，2||||21=⋅MF MF ，则该双曲线的方程是（ ） A ．1922=-y x B ．1922=-y x C ．17322=-y x D ．122=-y x第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.13．设α是第三象限角，tan α=125，则cos α=______________14．设向量a=(1,x),b=(2,1-x)，若a ·b<0，则实数x 是___________。
2020年宁夏银川一中高考(文科)数学三模试卷 (解析版)
2020年宁夏银川一中高考数学三模试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A ＝{x |x 2≤1}，B ＝{x |3x ＜1}，则A ∪（∁R B ）＝（ ） A ．{x |x ＜0}B ．{x |0≤x ≤1}C ．{x |﹣1≤x ＜0}D ．{x |x ≥﹣1}2．若复数z 与其共轭复数z 满足z ﹣2z =1+3i ，则|z |＝（ ） A ．√2 B ．√3C ．2D ．√53．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的离心率为53，则其渐近线方程为（ ） A ．2x ±y ＝0B ．x ±2y ＝0C ．3x ±4y ＝0D ．4x ±3y ＝04．在区间（0，4]内随机取两个数a 、b ，则使得“命题‘∃x ∈R ，不等式x 2+ax +b 2＜0成立’为真命题”的概率为（ ） A ．14B ．12C ．13D ．345．若向量a →=(x +1，2)与b →=(1，−1)平行，则|2a →+b →|=（ ）A ．√2B ．3√22C ．3√2D ．√226．F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，A 、B 是抛物线上的两点，|AF |+|BF |＝8，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（ ） A ．4B ．92C ．72D ．37．已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中，错误的是（ ）A ．若m ⊥n ，m ⊥α，则n ∥αB ．若m ∥n ，m ∥α，n ⊄α，则n ∥αC ．若m ⊥n ，m ⊥α，n ⊥β，则α⊥βD ．若m ∥α，α∥β，则m ∥β或m ⊂β8．已知函数y ＝f （x ）的部分图象如图，则f （x ）的解析式可能是（ ）A ．f （x ）＝x +tan xB ．f （x ）＝x +2sin xC ．f （x ）＝x ﹣sin xD ．f(x)=x −12cosx9．已知函数f(x)=4x−12x，a＝f（20.3），b＝f（0.20.3），c＝f（log0.32），则a，b，c的大小关系为（）A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b10．天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（Hipparchus，又名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗．到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森（M．R．Pogson）又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m1﹣m2＝2.5（lgE2﹣lgE1），其中星等为m k的星的亮度为E k（k＝1，2）已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，“心宿二”的亮度是“天津四”的r倍，则与r最接近的是（当|x|较小时，10x≈1+2.3x+2.7x2）（）A．1.24B．1.25C．1.26D．1.2711．已知数列{a n}的通项公式是a n=f(nπ6)，其中f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示，S n为数列{a n}的前n项和，则S2020的值为（）A．﹣1B．−√32C．12D．012．已知函数f（x）={−(x−1)2+1x＜212f(x−2)x≥2，若函数F（x）＝f（x）﹣mx有4个零点，则实数m的取值范围是（）A．（52−√6，16）B．（52−√6，3﹣2√2）C．（120，3﹣2√2）D．（120，16）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．我校高一、高二、高三共有学生1800名，为了了解同学们对“智慧课堂”的意见，计划采用分层抽样的方法，从这1800名学生中抽取一个容量为36的样本．若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则我校高三年级的学生人数为 ．14．已知实数x ，y 满足{x −2y −4≤0y ≤2x +y ≥0，则z ＝3x ﹣y 的最大值为 ．15．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，S 4＝10，则 ∑ n k=11S k= ．16．在三棱锥P ﹣ABC 中，PA ＝PC ＝2，BA ＝BC ＝1，∠ABC ＝90°，点P 到底面ABC 的距离是√3；则三棱锥P ﹣ABC 的外接球的表面积是 ．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分）17．某年级教师年龄数据如表：年龄（岁）人数（人）22 1 28 2 29 3 30 5 31 4 32 3 40 2 合计20（Ⅰ）求这20名教师年龄的众数与极差；（Ⅱ）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名教师年龄的茎叶图；（Ⅲ）现在要在年龄为29岁和31岁的教师中选2位教师参加学校有关会议，求所选的2位教师年龄不全相同的概率．18．（开放题）在锐角△ABC 中，a ＝2√3，_______，求△ABC 的周长l 的范围． 在①m →=（﹣cos A 2，sin A2），n →=（cos A 2，sin A2），且m →•n →=−12，②cos A （2b ﹣c ）＝a cos C ，③f （x ）＝cos x cos （x −π3）−14，f （A ）=14注：这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并对其进行求解．19．如图所示的多面体中，四边形ABCD是正方形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥DC，ED＝EF=12CD＝1，∠EAD＝30°．（Ⅰ）求证：AE⊥FC；（Ⅱ）求点D到平面BCF的距离．20．已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的长轴长是短轴长的2倍，且过点B（0，1）．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l：y＝k（x+2）交椭圆于P，Q两点，若点B始终在以PQ为直径的圆内，求实数k的取值范围．21．已知函数f（x）＝lnx﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）与直线x﹣y﹣1﹣ln2＝0相切，求实数a的值；（Ⅱ）若不等式（x+1）f（x）≤lnx−xe在定义域内恒成立，求实数a的取值范围．选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+π4）=√22，曲线C的极坐标方程为ρ﹣6cosθ＝0．（1）写出直线l和曲线C的直角坐标方程；（2）已知点A（1，0），若直线l与曲线C交于P，Q两点，P，Q中点为M，求|AP||AQ| |AM|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+2|．（1）求不等式f（x）+f（x﹣2）＜x+4的解集；（2）若∀x∈R，使得f（x+a）+f（x）≥f（2a）恒成立，求a的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x |x 2≤1}，B ＝{x |3x ＜1}，则A ∪（∁R B ）＝（ ） A ．{x |x ＜0}B ．{x |0≤x ≤1}C ．{x |﹣1≤x ＜0}D ．{x |x ≥﹣1}【分析】求出集合A ，B ，得到∁R B ，由此能求出A ∪（∁R B ）． 解：∵集合A ＝{x |x 2≤1}＝{x |﹣1≤x ≤1}， B ＝{x |3x ＜1}＝{x |x ＜0}， ∴∁R B ＝{x |x ≥0}，∴A ∪（∁R B ）＝{x |x ≥﹣1}． 故选：D ．2．若复数z 与其共轭复数z 满足z ﹣2z =1+3i ，则|z |＝（ ） A ．√2B ．√3C ．2D ．√5【分析】设z ＝a +bi （a ，b ∈R ），代入z ﹣2z =1+3i ，整理后利用复数相等的条件求得a ，b 的值，再由复数模的计算公式求解． 解：设z ＝a +bi （a ，b ∈R ），由z ﹣2z =1+3i ，得（a +bi ）﹣2（a ﹣bi ）＝1+3i ， 即﹣a +3bi ＝1+3i ，即a ＝﹣1，b ＝1． ∴z ＝﹣1+i ，则|z |=√2． 故选：A ． 3．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的离心率为53，则其渐近线方程为（ ）A ．2x ±y ＝0B ．x ±2y ＝0C ．3x ±4y ＝0D ．4x ±3y ＝0【分析】运用双曲线的离心率公式和a ，b ，c 的关系，可得a ，b 的关系式，再由双曲线的渐近线方程即可得到所求． 解：双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的离心率为53，可得e =c a =53，即c =53a ， 可得b =√c 2−a 2=43a ，由双曲线的渐近线方程可得y＝±bax，即为4x±3y＝0．故选：D．4．在区间（0，4]内随机取两个数a、b，则使得“命题‘∃x∈R，不等式x2+ax+b2＜0成立’为真命题”的概率为（）A．14B．12C．13D．34【分析】根据题意，以a为横坐标、b为纵坐标建立如图所示直角坐标系，得到所有的点在如图的正方形OABC及其内部任意取，由命题‘∃x∈R，不等式x2+ax+b2＜0成立’为真命题，知△＝a2﹣4b2≥0，解之得a≥2b，满足条件的点（a，b）在正方形内部且在直线a﹣2b＝0的下方的直角三角形，因此用所得直角三角形面积除以正方形的两种，即可得到所求的概率．解：∵两个数a、b在区间[0，4]内随地机取，∴以a为横坐标、b为纵坐标建立如图所示直角坐标系，可得对应的点（a，b）在如图的正方形OABC及其内部任意取，其中A（0，4），B（4，4），C（4，0），O为坐标原点若命题‘∃x∈R，不等式x2+ax+b2＜0成立’为真命题，则△＝a2﹣4b2≥0，解之得a≥2b，满足条件的点（a，b）在直线a﹣2b＝0的下方，且在正方形OABC内部的三角形，其面积为S1=12×4×2=4，∵正方形OABC的面积为S＝4×4＝16，∴使得“命题‘∃x∈R，不等式x2+ax+b2＜0成立’为真命题”的概率为：P=S1S=416=14，故选：A．5．若向量a→=(x+1，2)与b→=(1，−1)平行，则|2a→+b→|=（）A ．√2B ．3√22C ．3√2D ．√22【分析】根据a →∥b →即可求出x ＝﹣3，从而可得出向量2a →+b →的坐标，进而求出|2a →+b →|的值．解：∵a →∥b →，∴﹣（x +1）﹣2＝0，解得x ＝﹣3， ∴a →=(−2，2)，2a →+b →=(−3，3)，∴|2a →+b →|=3√2．故选：C ．6．F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，A 、B 是抛物线上的两点，|AF |+|BF |＝8，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（ ） A ．4B ．92C ．72D ．3【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A ，B 的中点横坐标的和，求出线段AB 的中点到y 轴的距离．解：∵F 是抛物线y 2＝2x 的焦点， ∴F （12，0），准线方程x =−12，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， ∴|AF |+|BF |＝x 1+12+x 2+12=8， ∴x 1+x 2＝7，∴线段AB 的中点横坐标为72，∴线段AB 的中点到y 轴的距离为72．故选：C ．7．已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中，错误的是（ ）A ．若m ⊥n ，m ⊥α，则n ∥αB ．若m ∥n ，m ∥α，n ⊄α，则n ∥αC ．若m ⊥n ，m ⊥α，n ⊥β，则α⊥βD ．若m ∥α，α∥β，则m ∥β或m ⊂β【分析】由空间中直线与直线、直线与平面的位置关系逐一分析四个选项得答案．解：若m⊥n，m⊥α，则n∥α或n⊂α，故A错误；若m∥n，m∥α，则n∥α或n⊄α，又n⊄α，则n∥α，故B正确；若m⊥n，m⊥α，则n∥α或n⊂α，又n⊥β，则α⊥β，故C正确；若m∥α，α∥β，则m∥β或m⊂β，故D正确．故选：A．8．已知函数y＝f（x）的部分图象如图，则f（x）的解析式可能是（）A．f（x）＝x+tan x B．f（x）＝x+2sin xC．f（x）＝x﹣sin x D．f(x)=x−12 cosx【分析】由图可知，函数f（x）的定义域为R，为奇函数且单调递增，而选项A中函数的定义域为{x|x≠π2+kπ，k∈Z}，选项B不是单调增函数，选项D不是奇函数．解：由图可知，函数f（x）的定义域为R，为奇函数且单调递增，选项A，定义域为{x|x≠π2+kπ，k∈Z}，排除选项A；选项B，f'（x）＝1+2cos x＞0在x∈R上并不是恒成立，排除选项B；选项D，f(−x)=−x−12cos(−x)=−x−12cosx，与f（x）既非奇也非偶关系，排除选项D．故选：C．9．已知函数f(x)=4x−12x，a＝f（20.3），b＝f（0.20.3），c＝f（log0.32），则a，b，c的大小关系为（）A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【分析】可得出f（x）＝2x﹣2﹣x，从而可根据指数函数的单调性判断f（x）在R上单调递增，然后可得出20.3＞1＞0.20.3＞0＞log0.32，从而根据f（x）的单调性即可得出a，b，c的大小关系．解：f（x）＝2x﹣2﹣x，则f（x）在R上单调递增，∵20.3＞20＝1，0＜0.20.3＜0.20＝1，log0.32＜log0.31＝0，∴log0.32＜0．20.3＜20.3，∴f(log0.32)＜f(0．20.3)＜f(20.3)，∴c＜b＜a．故选：A．10．天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（Hipparchus，又名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗．到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森（M．R．Pogson）又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m1﹣m2＝2.5（lgE2﹣lgE1），其中星等为m k的星的亮度为E k（k＝1，2）已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，“心宿二”的亮度是“天津四”的r倍，则与r最接近的是（当|x|较小时，10x≈1+2.3x+2.7x2）（）A．1.24B．1.25C．1.26D．1.27【分析】根据题意，结合对数的运算性质即可求出结果．解：设“心宿二”的星等是m1，“天津四”的星等是m2，“心宿二”的亮度是E1，“天津四”的亮度是E2，则m1＝1.00，m2＝1.25，E1＝rE2，∵两颗星的星等与亮度满足m1﹣m2＝2.5（lgE2﹣lgE1），∴1﹣1.25＝2.5（lgE2﹣lgrE2），即：lgr＝0.1，∴r＝100.1≈1+2.3×0.1+2.7×（0.1）2＝1+0.23+0.027＝1.257，∴与r最接近的是1.26，故选：C．11．已知数列{a n}的通项公式是a n=f(nπ6)，其中f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示，S n为数列{a n}的前n项和，则S2020的值为（）A ．﹣1B ．−√32C ．12D ．0【分析】求得f （x ）的周期，可得ω，再将（7π12，﹣1）代入y ＝sin （2x +φ），可得f（x ）的解析式，求得{a n }的周期，计算可得所求和． 解：由图象可得T4=7π12−π3=π4，即T ＝π，ω=2πT =2，再将（7π12，﹣1）代入y ＝sin （2x +φ）， 可得7π6+φ＝2k π+3π2，k ∈Z ， 即有φ＝2k π+π3，k ∈Z ， 可令k ＝0，可得φ=π3， 即f （x ）＝sin （2x +π3）， a n =f(nπ6)=sin nπ+π3，为最小正周期为6的数列， 由a 1=√32，a 2＝0，a 3=−√32，a 4=−√32，a 5＝0，a 6=√32，可得一个周期的和为0，则S 2020＝336S 6+（a 1+a 2+a 3+a 4）＝0−√32=−√32．故选：B ．12．已知函数f （x ）={−(x −1)2+1x ＜212f(x −2)x ≥2，若函数F （x ）＝f （x ）﹣mx 有4个零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（52−√6，16）B ．（52−√6，3﹣2√2）C ．（120，3﹣2√2）D ．（120，16）【分析】依题意，函数y ＝f （x ）的图象与直线y ＝mx 有4个交点，作出函数图象，通过图象分析找到临界情况，即可得解．解：依题意，函数y＝f（x）的图象与直线y＝mx有4个交点，当x∈[2，4）时，x﹣2∈[0，2），则f（x﹣2）＝﹣（x﹣3）2+1，故此时f(x)=−12(x−3)2+12，取得最大值时对应的点为A(3，12 )；当x∈[4，6）时，x﹣2∈[2，4），则f(x−2)=−12(x−5)2+12，故此时f(x)=−14(x−5)2+14，取得最大值时对应的点为B(5，14)；作函数图象如下：由图象可知，直线OA与函数f（x）有两个交点，且k OA=16；直线OB与函数f（x）有两个交点，且k OB=120；又过点（0，0）作函数在[2，4）上的切线切于点C，作函数在[4，6）上的切线切于点D，则k OC=−3−2√2，k OD=52−√6．由图象可知，满足条件的实数m的取值范围为(52−√6，−3−2√2)．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．我校高一、高二、高三共有学生1800名，为了了解同学们对“智慧课堂”的意见，计划采用分层抽样的方法，从这1800名学生中抽取一个容量为36的样本．若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则我校高三年级的学生人数为700．【分析】设从高三年级抽取的学生人数为2x人，由题意利用分层抽样的定义和方法，求出x的值，可得高三年级的学生人数．解：设从高三年级抽取的学生人数为2x人，则从高二、高一年级抽取的人数分别为2x﹣2，2x ﹣4．由题意可得2x +（2x ﹣2）+（2x ﹣4）＝36，∴x ＝7． 设我校高三年级的学生人数为N ，再根据361800=2×7N，求得N ＝700，故答案为：700．14．已知实数x ，y 满足{x −2y −4≤0y ≤2x +y ≥0，则z ＝3x ﹣y 的最大值为 22 ．【分析】作出不等式组对应的平面区域，z ＝3x ﹣y ，利用数形结合即可的得到结论． 解：作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，由z ＝3x ﹣y 可得y ＝3x ﹣z ，观察可知，当直线y ＝3x ﹣z 过点B 时，z 取得最大值， 由{x −2y −4=0y =2，解得{x =8y =2，即B （8，2），所以z max ＝3×8﹣2＝22．故答案为：22．15．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，S 4＝10，则 ∑ n k=11S k=2nn+1．【分析】利用已知条件求出等差数列的前n 项和，然后化简所求的表达式，求解即可． 解：等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，S 4＝10，S 4＝2（a 2+a 3）＝10， 可得a 2＝2，数列的首项为1，公差为1， S n =n(n+1)2，1S n=2n(n+1)=2(1n−1n+1)，则 ∑ n k=11S k=2[1−12+12−13+13−14+⋯+1n −1n+1]＝2（1−1n+1）=2nn+1． 故答案为：2nn+1．16．在三棱锥P ﹣ABC 中，PA ＝PC ＝2，BA ＝BC ＝1，∠ABC ＝90°，点P 到底面ABC 的距离是√3；则三棱锥P ﹣ABC 的外接球的表面积是 5π ．【分析】由题意如图，求出底面外接球的半径，及球心O 到棱锥的高线的距离OH ，在两个三角形中求出球的半径，进而求出外接球的表面积．解：因为PA ＝PC ＝2，BA ＝BC ＝1，∠ABC ＝90°，所以可得AC 的中点O '为底面ABC的外接圆的圆心，且外接圆的半径r =AC 2=√22，PO '⊥AC ，PO '=√PC 2−(AC 2)2=√72，设PD ⊥面ABC 交于D ，连接DO '，则DO '⊥AC ， 可得PD =√3，所以DO '=√PO′2−PD 2=√22，过O '作垂直于底面的垂线OO '，则OO '∥PD ，取O 为外接球的球心，过O 作OH ⊥PD 交于H ，则OHDO '为矩形，可得OH ＝O 'D ，OO '＝HD ， 设球的半径为R ，连接OC ，OP ，则OC ＝OP ＝R ，在△PHO 中，OP 2＝（PD ﹣HD ）2+OH 2＝（√3−OO '）2+DO '2＝（√3−OO '）2+（√22）2，①在△OO 'C 中，OC 2＝OO '2+CO '2＝OO '2+（√22）2，②， 由①②可得OO '=√32，R 2＝（√32）2+（√22）2=54，所以外接球的表面积S ＝4πR 2＝4π⋅54=5π， 故答案为：5π．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分）17．某年级教师年龄数据如表：年龄（岁）人数（人）22 1 28 2 29330 5 31 4 32 3 40 2 合计20（Ⅰ）求这20名教师年龄的众数与极差；（Ⅱ）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名教师年龄的茎叶图；（Ⅲ）现在要在年龄为29岁和31岁的教师中选2位教师参加学校有关会议，求所选的2位教师年龄不全相同的概率．【分析】（Ⅰ）年龄为30岁的教师人数为5，频率最高，由此能求出这20名教师年龄的众数为30，极差为最大值与最小值的差．（Ⅱ）以十位数为茎，个位数为叶，能作出这20名教师年龄的茎叶图．（Ⅲ）设事件“所选的2位教师年龄不全相同”为事件A ．年龄为29，31岁的教师共有7名，从其中任选2名教师共有7×62=21种选法，3名年龄为29岁的教师中任选2名有3种选法，4名年龄为31岁的教师中任选2名有6种选法，所选的2位教师年龄不全相同的选法共有21﹣9＝12种，由此能求出所选的2位教师年龄不全相同的概率． 解：（Ⅰ）年龄为30岁的教师人数为5，频率最高， 故这20名教师年龄的众数为30，极差为最大值与最小值的差，即40﹣22＝18．（Ⅱ）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名教师年龄的茎叶图，如下：（Ⅲ）设事件“所选的2位教师年龄不全相同”为事件A ． 年龄为29，31岁的教师共有7名，从其中任选2名教师共有7×62=21种选法，3名年龄为29岁的教师中任选2名有3种选法，4名年龄为31岁的教师中任选2名有6种选法，所以所选的2位教师年龄不全相同的选法共有21﹣9＝12种， 所以所选的2位教师年龄不全相同的概率P （A ）=1221=47． 18．（开放题）在锐角△ABC 中，a ＝2√3，_______，求△ABC 的周长l 的范围． 在①m →=（﹣cos A 2，sin A2），n →=（cos A 2，sin A2），且m →•n →=−12，②cos A （2b ﹣c ）＝a cos C ，③f （x ）＝cos x cos （x −π3）−14，f （A ）=14注：这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并对其进行求解． 【分析】选①时，由平面向量的数量积与三角恒等变换求出A 的值， 再利用正弦定理和三角恒等变换求出△ABC 周长的取值范围； 选②时，由正弦定理和三角恒等变换求出A 的值，再利用正弦定理和三角恒等变换求出△ABC 周长的取值范围； 选③时，由三角恒等变换求得A 的值，再利用正弦定理和三角恒等变换求出△ABC 周长的取值范围．解：若选①，则由m →=（﹣cos A 2，sin A2），n →=（cos A 2，sin A2），且m →•n →=−12，得−cos 2A 2+sin 2A 2=−12，∴cos A =12， 又A ∈（0，π2）， 所以A =π3； 又asinA=√3√32=4，△ABC 的周长为l △ABC =4sin(2π3−B)+4sinB +2√3， 即l △ABC =4√3sin(B +π6)+2√3； 因为锐角△ABC 中，A =π3， 所以B ∈（π6，π2），所以B +π6∈（π3，2π3），所以△ABC 的周长为l △ABC ∈（6+2√3，6√3]． 若选②，由cos A （2b ﹣c ）＝a cos C ， 所以2b cos A ＝a cos C +c cos A ，所以2sin B cos A ＝sin A cos C +cos A sin C ＝sin （A +C ）＝sin B ； 又B ∈（0，π），所以sin B ≠0，所以cos A =12； 又A ∈（0，π2），所以A =π3；所以asinA=√3√32=4，△ABC 的周长为l △ABC =4sin(2π3−B)+4sinB +2√3，即l △ABC =4√3sin(B +π6)+2√3； 因为锐角△ABC 中，A =π3， 所以B ∈（π6，π2），所以B +π6∈（π3，2π3），所以△ABC 的周长为l △ABC ∈（6+2√3，6√3]． 若选③，则f （x ）＝cos x cos （x −π3）−14=12cos 2x +√32cos x sin x −14=12×1+cos2x 2+√32×sin2x 2−14=12（12cos2x +√32sin x 2）=12sin （2x +π6），又f （A ）=14，所以sin （2A +π6）=12， 又A ∈（0，π2），所以A =π3；所以asinA=√3√32=4，△ABC 的周长为l △ABC =4sin(2π3−B)+4sinB +2√3，即l △ABC =4√3sin(B +π6)+2√3； 因为锐角△ABC 中，A =π3， 所以B ∈（π6，π2），所以B +π6∈（π3，2π3），所以△ABC 的周长为l △ABC ∈（6+2√3，6√3]．19．如图所示的多面体中，四边形ABCD 是正方形，平面AED ⊥平面ABCD ，EF ∥DC ，ED ＝EF =12CD ＝1，∠EAD ＝30°． （Ⅰ）求证：AE ⊥FC ；（Ⅱ）求点D 到平面BCF 的距离．【分析】（Ⅰ）首先证明CD ⊥平面ADE ，CD ⊥AE ，又在△ADE 中，由余弦定理得可得AE ⊥ED ．即可得AE ⊥平面EFCD ．AE ⊥FC ．（Ⅱ）过点E 做EH ⊥AD 交AD 于点H ，连结FD ，求得EH =√32，易知E 到面ABCD的距离等于F 到面ABCD 的距离，设D 点到平面BFC 的距离为d ，得到点D 到平面BCF的距离2√217．解：（Ⅰ）∵四边形ABCD 是正方形，∵CD ⊥AD ，又∵平面AED ⊥平面ABCD ，平面AED ∩平面ABCD ＝AD ，CD ⊂面ABCD ， ∴CD ⊥平面ADE ，又AE ⊂平面ADE ，∴CD ⊥AE ，．∵在△ADE 中，AD ＝2，DE ＝1，∠EAD ＝30°，由余弦定理得，AE =√3，∴AE 2+DE 2＝AD 2，∴AE ⊥ED ． 又CD ∩ED ＝D ，∴AE ⊥平面EFCD ． 又FC ⊂平面EFCD ∴AE ⊥FC ．（Ⅱ）过点E 做EH ⊥AD 交AD 于点H ，连结FD ．∵平面ADE ⊥平面ABCD ，平面ADE ∩平面ABCD ＝AD ，EH ⊂平面ADE ，∴EH ⊥平面ABCD ，在Rt △AED 中，EH =√32又EF ∥DC ，∵DC ⊂面ABCD ，∵EF ⊄面ABCD∴EF ∥面ABCD ∴E 到面ABCD 的距离等于F 到面ABCD 的距离，∴V F−BCD =13S △BCD ⋅EH =13×2×√32=√33．在直角梯形EFBA 中，EF ＝1，AE =√3，DC ＝2，AB ＝2，可得BF ＝2，∴S △BFC =12×√2×√142=√72设D 点到平面BFC 的距离为d ，∵V D ﹣BCF ＝V F ﹣BCD ，即13S △BCF ⋅d =√33，∴点D 到平面BCF 的距离2√217．20．已知椭圆x 2a +y 2b =1(a ＞b ＞0)的长轴长是短轴长的2倍，且过点B （0，1）．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l ：y ＝k （x +2）交椭圆于P ，Q 两点，若点B 始终在以PQ 为直径的圆内，求实数k 的取值范围．【分析】（1）由题意可得a ＝2b ，b ＝1，解得a ＝2，进而得到椭圆方程；（2）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），联立直线l 的方程和椭圆方程，运用韦达定理，可得Q 的坐标，由点B 在以PQ 为直径圆内，得∠PBQ 为钝角或平角，即有BP →⋅BQ →＜0，运用数量积的坐标表示，解不等式即可得到所求范围． 解：（1）由题意知，a ＝2b ，b ＝1，解得a ＝2， 可得椭圆的标准方程为：x 24+y 2=1；（2）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）联立{y =k(x +2)x 24+y 2=1，消去y ，得（1+4k 2）x 2+16k 2x +16k 2﹣4＝0，（*） 依题意：直线l ：y ＝k （x +2）恒过点（﹣2，0）， 此点为椭圆的左顶点，所以x 1＝﹣2，y 1＝0 ①， 由（*）式，x 1+x 2=−16k21+4k2②，得y 1+y 2＝k （x 1+x 2）+4k ③， 由①②③，可得x 2=2−8k 21+4k2，y 2=4k 1+4k2，由点B 在以PQ 为直径圆内，得∠PBQ 为钝角或平角， 即BP →⋅BQ →＜0．BP →=(−2，1)，BQ →=(x 2，y 2−1) BP →⋅BQ →=−2x 2−y 2+1＜0．即4−16k 21+4k +4k 1+4k −1＞0，整理得20k 2﹣4k ﹣3＜0，解得k ∈(−310，12)． 21．已知函数f （x ）＝lnx ﹣ax （a ∈一、选择题）．（Ⅰ）若曲线y ＝f （x ）与直线x ﹣y ﹣1﹣ln 2＝0相切，求实数a 的值；（Ⅱ）若不等式（x +1）f （x ）≤lnx −xe 在定义域内恒成立，求实数a 的取值范围． 【分析】（Ⅰ）根据题意，由函数的解析式求出其导数，设切点横坐标为x 0，则有{1x 0−a =1x 0−1−ln2=lnx 0−ax 0，解可得a 的值，即可得答案；（Ⅱ）根据题意，原问题可以转化为a ≥lnxx+1+1e(x+1)，在定义域内恒成立，令g(x)=lnx x+1+1e(x+1)(x ＞0)，求出g （x ）的导数，利用导数分析g （x ）的最大值，据此分析即可得答案．解：（Ⅰ）根据题意，由f （x ）＝lnx ﹣ax ，得f′(x)=1x−a ， 设切点横坐标为x 0，依题意得{1x 0−a =1x 0−1−ln2=lnx 0−ax 0，解得{x 0=12a =1，即实数a 的值为1．（Ⅱ）由在(x +1)f(x)=(x +1)(lnx −ax)≤lnx −xe 定义域内恒成立， 得a ≥lnxx+1+1e(x+1)在定义域内恒成立，令g(x)=lnx x+1+1e(x+1)(x ＞0)，则g′(x)=1−1e +1x −lnx (x+1)2， 再令h(x)=1−1e +1x−lnx ，则h′(x)=−(1x +1x 2)＜0， 即y ＝h （x ）在（0，+∞）上递减，又h （e ）＝0，所以当x ∈（0，e ）时，h （x ）＞0，从而g '（x ）＞0，g （x ）在x ∈（0，e ）递增； 当x ∈（e ，+∞）时，h （x ）＜0，从而g '（x ）＜0，g （x ）在x ∈（e ，+∞）递减， 所以g （x ）在x ＝e 处取得最大值g(e)=lnee+1+1e(e+1)=1e ，所以实数a 的取值范围是[1e，+∞)．选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos （θ+π4）=√22，曲线C 的极坐标方程为ρ﹣6cos θ＝0．（1）写出直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点A （1，0），若直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，P ，Q 中点为M ，求|AP||AQ||AM|的值．【分析】（1）直接利用转化关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．解：（1）因为直线l ：ρcos(θ+π4)=√22，故ρcos θ﹣ρsin θ﹣1＝0，即直线l 的直角坐标方程为x ﹣y ﹣1＝0．因为曲线C ：ρ﹣6cos θ＝0，则曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2﹣6x ＝0，即（x ﹣3）2+y 2＝9．（2）根据（1）x ﹣y ﹣1＝0转换为直线l 的参数方程为{x =1+√22ty =√22t（t 为参数），将其代入曲线C 的直角坐标方程x 2+y 2﹣6x ＝0， 得t 2−2√2t −5=0．设P ，Q 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝﹣5，t 1+t 2=2√2， 所以M 对应的参数t 0=t 1+t 22=√2， 故|AP||AQ||AM|=|t 1||t 2||t 0|=√2=5√22． [选修4-5：不等式选讲] 23．已知函数f （x ）＝|x +2|．（1）求不等式f （x ）+f （x ﹣2）＜x +4的解集；（2）若∀x ∈R ，使得f （x +a ）+f （x ）≥f （2a ）恒成立，求a 的取值范围．【分析】（1）由题意可得|x |+|x +2|＜x +4，由绝对值的意义，对x 讨论，去绝对值，解不等式，求并集即可；（2）由题意可得|x +a +2|+|x +2|≥|2a +2|，运用绝对值不等式的性质可得|2a +2|≤|a |，解不等式可得所求范围．解：（1）f（x）＝|x+2|，f（x）+f（x﹣2）＜x+4，即为|x|+|x+2|＜x+4，当x≥0时，x+x+2＜x+4，解得0≤x＜2；当﹣2＜x＜0时，﹣x+x+2＜x+4，解得﹣2＜x＜0；当x≤﹣2时，﹣x﹣x﹣2＜x+4，解得x∈∅．综上可得不等式的解集为{x|﹣2＜x＜2}；（2）f（x+a）+f（x）≥f（2a），即为|x+a+2|+|x+2|≥|2a+2|，由|x+a+2|+|x+2|≥|x+a+2﹣x﹣2|＝|a|，可得|2a+2|≤|a|，即有4a2+8a+4≤a2，可得3a2+8a+4≤0，解得﹣2≤a≤−2 3．。
宁夏回族自治区银川一中2020届高三第三次模拟考试数学(文)试题(解析版)
2020年宁夏银川一中高考数学三模试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A ＝{x |x 2≤1}，B ＝{x |3x ＜1}，则A ∪（∁R B ）＝（ ） A ．{x |x ＜0}B ．{x |0≤x ≤1}C ．{x |﹣1≤x ＜0}D ．{x |x ≥﹣1}2．若复数z 与其共轭复数z 满足z ﹣2z =1+3i ，则|z |＝（ ） A ．√2 B ．√3C ．2D ．√53．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的离心率为53，则其渐近线方程为（ ） A ．2x ±y ＝0B ．x ±2y ＝0C ．3x ±4y ＝0D ．4x ±3y ＝04．在区间（0，4]内随机取两个数a 、b ，则使得“命题‘∃x ∈R ，不等式x 2+ax +b 2＜0成立’为真命题”的概率为（ ）A ．14B ．12C ．13D ．345．若向量a →=(x +1，2)与b →=(1，−1)平行，则|2a →+b →|=（ ）A ．√2B ．3√22C ．3√2D ．√226．F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，A 、B 是抛物线上的两点，|AF |+|BF |＝8，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（ ）A ．4B ．92C ．72D ．37．已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中，错误的是（ ）A ．若m ⊥n ，m ⊥α，则n ∥αB ．若m ∥n ，m ∥α，n ⊄α，则n ∥αC ．若m ⊥n ，m ⊥α，n ⊥β，则α⊥βD ．若m ∥α，α∥β，则m ∥β或m ⊂β8．已知函数y＝f（x）的部分图象如图，则f（x）的解析式可能是（）A．f（x）＝x+tan x B．f（x）＝x+2sin xC．f（x）＝x﹣sin x D．f(x)=x−12 cosx9．已知函数f(x)=4x−12x，a＝f（20.3），b＝f（0.20.3），c＝f（log0.32），则a，b，c的大小关系为（）A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b10．天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（Hipparchus，又名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗．到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森（M．R．Pogson）又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m1﹣m2＝2.5（lgE2﹣lgE1），其中星等为m k的星的亮度为E k（k＝1，2）已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，“心宿二”的亮度是“天津四”的r倍，则与r最接近的是（当|x|较小时，10x≈1+2.3x+2.7x2）（）A．1.24B．1.25C．1.26D．1.2711．已知数列{a n}的通项公式是a n=f(nπ6)，其中f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示，S n为数列{a n}的前n项和，则S2020的值为（）A ．﹣1B ．−√32C ．12D ．012．已知函数f （x ）={−(x −1)2+1x ＜212f(x −2)x ≥2，若函数F （x ）＝f （x ）﹣mx 有4个零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（52−√6，16）B ．（52−√6，3﹣2√2）C ．（120，3﹣2√2）D ．（120，16）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．我校高一、高二、高三共有学生1800名，为了了解同学们对“智慧课堂”的意见，计划采用分层抽样的方法，从这1800名学生中抽取一个容量为36的样本．若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则我校高三年级的学生人数为 ．14．已知实数x ，y 满足{x −2y −4≤0y ≤2x +y ≥0，则z ＝3x ﹣y 的最大值为 ．15．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，S 4＝10，则 ∑ n k=11S k= ．16．在三棱锥P ﹣ABC 中，PA ＝PC ＝2，BA ＝BC ＝1，∠ABC ＝90°，点P 到底面ABC 的距离是√3；则三棱锥P ﹣ABC 的外接球的表面积是 ．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分）17．某年级教师年龄数据如表：年龄（岁）人数（人）22 1 28 2 29 3 30 5 31 4 32 3 40 2 合计20（Ⅰ）求这20名教师年龄的众数与极差；（Ⅱ）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名教师年龄的茎叶图；（Ⅲ）现在要在年龄为29岁和31岁的教师中选2位教师参加学校有关会议，求所选的2位教师年龄不全相同的概率．18．（开放题）在锐角△ABC 中，a ＝2√3，_______，求△ABC 的周长l 的范围． 在①m →=（﹣cos A 2，sin A2），n →=（cos A 2，sin A2），且m →•n →=−12，②cos A （2b ﹣c ）＝a cos C ，③f （x ）＝cos x cos （x −π3）−14，f （A ）=14注：这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并对其进行求解．19．如图所示的多面体中，四边形ABCD 是正方形，平面AED ⊥平面ABCD ，EF ∥DC ，ED ＝EF =12CD ＝1，∠EAD ＝30°．（Ⅰ）求证：AE⊥FC；（Ⅱ）求点D到平面BCF的距离．20．已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的长轴长是短轴长的2倍，且过点B（0，1）．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l：y＝k（x+2）交椭圆于P，Q两点，若点B始终在以PQ为直径的圆内，求实数k的取值范围．21．已知函数f（x）＝lnx﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）与直线x﹣y﹣1﹣ln2＝0相切，求实数a的值；（Ⅱ）若不等式（x+1）f（x）≤lnx−xe在定义域内恒成立，求实数a的取值范围．选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+π4）=√22，曲线C的极坐标方程为ρ﹣6cosθ＝0．（1）写出直线l和曲线C的直角坐标方程；（2）已知点A（1，0），若直线l与曲线C交于P，Q两点，P，Q中点为M，求|AP||AQ| |AM|的值．[选修4-5：不等式选讲] 23．已知函数f（x）＝|x+2|．（1）求不等式f（x）+f（x﹣2）＜x+4的解集；（2）若∀x∈R，使得f（x+a）+f（x）≥f（2a）恒成立，求a的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x2≤1}，B＝{x|3x＜1}，则A∪（∁R B）＝（）A．{x|x＜0}B．{x|0≤x≤1}C．{x|﹣1≤x＜0}D．{x|x≥﹣1}【分析】求出集合A，B，得到∁R B，由此能求出A∪（∁R B）．解：∵集合A＝{x|x2≤1}＝{x|﹣1≤x≤1}，B＝{x|3x＜1}＝{x|x＜0}，∴∁R B＝{x|x≥0}，∴A∪（∁R B）＝{x|x≥﹣1}．故选：D．2．若复数z与其共轭复数z满足z﹣2z=1+3i，则|z|＝（）A．√2B．√3C．2D．√5【分析】设z＝a+bi（a，b∈R），代入z﹣2z=1+3i，整理后利用复数相等的条件求得a，b的值，再由复数模的计算公式求解．解：设z＝a+bi（a，b∈R），由z﹣2z=1+3i，得（a+bi）﹣2（a﹣bi）＝1+3i，即﹣a+3bi＝1+3i，即a＝﹣1，b＝1．∴z＝﹣1+i，则|z|=√2．故选：A．3．已知双曲线x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的离心率为53，则其渐近线方程为（ ）A ．2x ±y ＝0B ．x ±2y ＝0C ．3x ±4y ＝0D ．4x ±3y ＝0【分析】运用双曲线的离心率公式和a ，b ，c 的关系，可得a ，b 的关系式，再由双曲线的渐近线方程即可得到所求．解：双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的离心率为53，可得e =c a =53，即c =53a ， 可得b =√c 2−a 2=43a ，由双曲线的渐近线方程可得y ＝±bax ，即为4x ±3y ＝0． 故选：D ．4．在区间（0，4]内随机取两个数a 、b ，则使得“命题‘∃x ∈R ，不等式x 2+ax +b 2＜0成立’为真命题”的概率为（ ）A ．14B ．12C ．13D ．34【分析】根据题意，以a 为横坐标、b 为纵坐标建立如图所示直角坐标系，得到所有的点在如图的正方形OABC 及其内部任意取，由命题‘∃x ∈R ，不等式x 2+ax +b 2＜0成立’为真命题，知△＝a 2﹣4b 2≥0，解之得a ≥2b ，满足条件的点（a ，b ）在正方形内部且在直线a ﹣2b ＝0的下方的直角三角形，因此用所得直角三角形面积除以正方形的两种，即可得到所求的概率．解：∵两个数a 、b 在区间[0，4]内随地机取，∴以a 为横坐标、b 为纵坐标建立如图所示直角坐标系， 可得对应的点（a ，b ）在如图的正方形OABC 及其内部任意取，其中A（0，4），B（4，4），C（4，0），O为坐标原点若命题‘∃x∈R，不等式x2+ax+b2＜0成立’为真命题，则△＝a2﹣4b2≥0，解之得a≥2b，满足条件的点（a，b）在直线a﹣2b＝0的下方，且在正方形OABC内部的三角形，其面积为S1=12×4×2=4，∵正方形OABC的面积为S＝4×4＝16，∴使得“命题‘∃x∈R，不等式x2+ax+b2＜0成立’为真命题”的概率为：P=S1S=416=14，故选：A．5．若向量a→=(x+1，2)与b→=(1，−1)平行，则|2a→+b→|=（）A．√2B．3√22C．3√2D．√22【分析】根据a→∥b→即可求出x＝﹣3，从而可得出向量2a→+b→的坐标，进而求出|2a→+b→|的值．解：∵a→∥b→，∴﹣（x+1）﹣2＝0，解得x＝﹣3，∴a→=(−2，2)，2a→+b→=(−3，3)，∴|2a→+b→|=3√2．故选：C ．6．F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，A 、B 是抛物线上的两点，|AF |+|BF |＝8，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（ ）A ．4B ．92C ．72D ．3【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A ，B 的中点横坐标的和，求出线段AB 的中点到y 轴的距离．解：∵F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，∴F （12，0），准线方程x =−12， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， ∴|AF |+|BF |＝x 1+12+x 2+12=8， ∴x 1+x 2＝7，∴线段AB 的中点横坐标为72，∴线段AB 的中点到y 轴的距离为72．故选：C ．7．已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中，错误的是（ ）A ．若m ⊥n ，m ⊥α，则n ∥αB ．若m ∥n ，m ∥α，n ⊄α，则n ∥αC ．若m ⊥n ，m ⊥α，n ⊥β，则α⊥βD ．若m ∥α，α∥β，则m ∥β或m ⊂β【分析】由空间中直线与直线、直线与平面的位置关系逐一分析四个选项得答案． 解：若m ⊥n ，m ⊥α，则n ∥α或n ⊂α，故A 错误；若m∥n，m∥α，则n∥α或n⊄α，又n⊄α，则n∥α，故B正确；若m⊥n，m⊥α，则n∥α或n⊂α，又n⊥β，则α⊥β，故C正确；若m∥α，α∥β，则m∥β或m⊂β，故D正确．故选：A．8．已知函数y＝f（x）的部分图象如图，则f（x）的解析式可能是（）A．f（x）＝x+tan x B．f（x）＝x+2sin xC．f（x）＝x﹣sin x D．f(x)=x−12 cosx【分析】由图可知，函数f（x）的定义域为R，为奇函数且单调递增，而选项A中函数的定义域为{x|x≠π2+kπ，k∈Z}，选项B不是单调增函数，选项D不是奇函数．解：由图可知，函数f（x）的定义域为R，为奇函数且单调递增，选项A，定义域为{x|x≠π2+kπ，k∈Z}，排除选项A；选项B，f'（x）＝1+2cos x＞0在x∈R上并不是恒成立，排除选项B；选项D，f(−x)=−x−12cos(−x)=−x−12cosx，与f（x）既非奇也非偶关系，排除选项D．故选：C．9．已知函数f(x)=4x−12x，a＝f（20.3），b＝f（0.20.3），c＝f（log0.32），则a，b，c的大小关系为（）A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【分析】可得出f（x）＝2x﹣2﹣x，从而可根据指数函数的单调性判断f（x）在R上单调递增，然后可得出20.3＞1＞0.20.3＞0＞log0.32，从而根据f（x）的单调性即可得出a，b，c的大小关系．解：f（x）＝2x﹣2﹣x，则f（x）在R上单调递增，∵20.3＞20＝1，0＜0.20.3＜0.20＝1，log0.32＜log0.31＝0，∴log0.32＜0．20.3＜20.3，∴f(log0.32)＜f(0．20.3)＜f(20.3)，∴c＜b＜a．故选：A．10．天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（Hipparchus，又名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗．到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森（M．R．Pogson）又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m1﹣m2＝2.5（lgE2﹣lgE1），其中星等为m k的星的亮度为E k（k＝1，2）已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，“心宿二”的亮度是“天津四”的r倍，则与r最接近的是（当|x|较小时，10x≈1+2.3x+2.7x2）（）A．1.24B．1.25C．1.26D．1.27【分析】根据题意，结合对数的运算性质即可求出结果．解：设“心宿二”的星等是m1，“天津四”的星等是m2，“心宿二”的亮度是E1，“天津四”的亮度是E2，则m1＝1.00，m2＝1.25，E1＝rE2，∵两颗星的星等与亮度满足m1﹣m2＝2.5（lgE2﹣lgE1），∴1﹣1.25＝2.5（lgE 2﹣lgrE 2）， 即：lgr ＝0.1，∴r ＝100.1≈1+2.3×0.1+2.7×（0.1）2＝1+0.23+0.027＝1.257， ∴与r 最接近的是1.26， 故选：C ．11．已知数列{a n }的通项公式是a n =f(nπ6)，其中f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2020的值为（ ）A ．﹣1B ．−√32C ．12D ．0【分析】求得f （x ）的周期，可得ω，再将（7π12，﹣1）代入y ＝sin （2x +φ），可得f（x ）的解析式，求得{a n }的周期，计算可得所求和． 解：由图象可得T4=7π12−π3=π4，即T ＝π，ω=2πT =2，再将（7π12，﹣1）代入y ＝sin （2x +φ）， 可得7π6+φ＝2k π+3π2，k ∈Z ， 即有φ＝2k π+π3，k ∈Z ， 可令k ＝0，可得φ=π3， 即f （x ）＝sin （2x +π3），a n =f(nπ6)=sin nπ+π3，为最小正周期为6的数列， 由a 1=√32，a 2＝0，a 3=−√32，a 4=−√32，a 5＝0，a 6=√32，可得一个周期的和为0，则S 2020＝336S 6+（a 1+a 2+a 3+a 4）＝0−√32=−√32．故选：B ．12．已知函数f （x ）={−(x −1)2+1x ＜212f(x −2)x ≥2，若函数F （x ）＝f （x ）﹣mx 有4个零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（52−√6，16）B ．（52−√6，3﹣2√2）C ．（120，3﹣2√2）D ．（120，16）【分析】依题意，函数y ＝f （x ）的图象与直线y ＝mx 有4个交点，作出函数图象，通过图象分析找到临界情况，即可得解．解：依题意，函数y ＝f （x ）的图象与直线y ＝mx 有4个交点，当x ∈[2，4）时，x ﹣2∈[0，2），则f （x ﹣2）＝﹣（x ﹣3）2+1，故此时f(x)=−12(x −3)2+12，取得最大值时对应的点为A(3，12)；当x ∈[4，6）时，x ﹣2∈[2，4），则f(x −2)=−12(x −5)2+12，故此时f(x)=−14(x −5)2+14，取得最大值时对应的点为B(5，14)； 作函数图象如下：由图象可知，直线OA与函数f（x）有两个交点，且k OA=16；直线OB与函数f（x）有两个交点，且k OB=120；又过点（0，0）作函数在[2，4）上的切线切于点C，作函数在[4，6）上的切线切于点D，则k OC=−3−2√2，k OD=52−√6．由图象可知，满足条件的实数m的取值范围为(52−√6，−3−2√2)．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．我校高一、高二、高三共有学生1800名，为了了解同学们对“智慧课堂”的意见，计划采用分层抽样的方法，从这1800名学生中抽取一个容量为36的样本．若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则我校高三年级的学生人数为700．【分析】设从高三年级抽取的学生人数为2x人，由题意利用分层抽样的定义和方法，求出x的值，可得高三年级的学生人数．解：设从高三年级抽取的学生人数为2x人，则从高二、高一年级抽取的人数分别为2x ﹣2，2x﹣4．由题意可得2x+（2x﹣2）+（2x﹣4）＝36，∴x＝7．设我校高三年级的学生人数为N ，再根据361800=2×7N，求得N ＝700，故答案为：700．14．已知实数x ，y 满足{x −2y −4≤0y ≤2x +y ≥0，则z ＝3x ﹣y 的最大值为 22 ．【分析】作出不等式组对应的平面区域，z ＝3x ﹣y ，利用数形结合即可的得到结论． 解：作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，由z ＝3x ﹣y 可得y ＝3x ﹣z ，观察可知，当直线y ＝3x ﹣z 过点B 时，z 取得最大值， 由{x −2y −4=0y =2，解得{x =8y =2，即B （8，2），所以z max ＝3×8﹣2＝22．故答案为：22．15．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，S 4＝10，则 ∑ n k=11S k=2nn+1．【分析】利用已知条件求出等差数列的前n 项和，然后化简所求的表达式，求解即可． 解：等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，S 4＝10，S 4＝2（a 2+a 3）＝10， 可得a 2＝2，数列的首项为1，公差为1， S n =n(n+1)2，1S n=2n(n+1)=2(1n−1n+1)，则 ∑ n k=11S k=2[1−12+12−13+13−14+⋯+1n −1n+1]＝2（1−1n+1）=2nn+1． 故答案为：2nn+1．16．在三棱锥P ﹣ABC 中，PA ＝PC ＝2，BA ＝BC ＝1，∠ABC ＝90°，点P 到底面ABC 的距离是√3；则三棱锥P ﹣ABC 的外接球的表面积是 5π ．【分析】由题意如图，求出底面外接球的半径，及球心O 到棱锥的高线的距离OH ，在两个三角形中求出球的半径，进而求出外接球的表面积．解：因为PA ＝PC ＝2，BA ＝BC ＝1，∠ABC ＝90°，所以可得AC 的中点O '为底面ABC的外接圆的圆心，且外接圆的半径r =AC 2=√22，PO '⊥AC ，PO '=√PC 2−(AC 2)2=√72，设PD ⊥面ABC 交于D ，连接DO '，则DO '⊥AC ， 可得PD =√3，所以DO '=√PO′2−PD 2=√22，过O '作垂直于底面的垂线OO '，则OO '∥PD ，取O 为外接球的球心，过O 作OH ⊥PD 交于H ，则OHDO '为矩形，可得OH ＝O 'D ，OO '＝HD ， 设球的半径为R ，连接OC ，OP ，则OC ＝OP ＝R ，在△PHO 中，OP 2＝（PD ﹣HD ）2+OH 2＝（√3−OO '）2+DO '2＝（√3−OO '）2+（√22）2，①在△OO 'C 中，OC 2＝OO '2+CO '2＝OO '2+（√22）2，②，由①②可得OO '=√32，R 2＝（√32）2+（√22）2=54，所以外接球的表面积S ＝4πR 2＝4π⋅54=5π， 故答案为：5π．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分）17．某年级教师年龄数据如表：年龄（岁）人数（人）221282293305314323402合计20（Ⅰ）求这20名教师年龄的众数与极差；（Ⅱ）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名教师年龄的茎叶图；（Ⅲ）现在要在年龄为29岁和31岁的教师中选2位教师参加学校有关会议，求所选的2位教师年龄不全相同的概率．【分析】（Ⅰ）年龄为30岁的教师人数为5，频率最高，由此能求出这20名教师年龄的众数为30，极差为最大值与最小值的差．（Ⅱ）以十位数为茎，个位数为叶，能作出这20名教师年龄的茎叶图．（Ⅲ）设事件“所选的2位教师年龄不全相同”为事件A ．年龄为29，31岁的教师共有7名，从其中任选2名教师共有7×62=21种选法，3名年龄为29岁的教师中任选2名有3种选法，4名年龄为31岁的教师中任选2名有6种选法，所选的2位教师年龄不全相同的选法共有21﹣9＝12种，由此能求出所选的2位教师年龄不全相同的概率． 解：（Ⅰ）年龄为30岁的教师人数为5，频率最高， 故这20名教师年龄的众数为30，极差为最大值与最小值的差，即40﹣22＝18．（Ⅱ）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名教师年龄的茎叶图，如下：（Ⅲ）设事件“所选的2位教师年龄不全相同”为事件A ．年龄为29，31岁的教师共有7名，从其中任选2名教师共有7×62=21种选法，3名年龄为29岁的教师中任选2名有3种选法，4名年龄为31岁的教师中任选2名有6种选法，所以所选的2位教师年龄不全相同的选法共有21﹣9＝12种，所以所选的2位教师年龄不全相同的概率P （A ）=1221=47． 18．（开放题）在锐角△ABC 中，a ＝2√3，_______，求△ABC 的周长l 的范围．在①m →=（﹣cos A 2，sin A2），n →=（cos A 2，sin A2），且m →•n →=−12，②cos A （2b ﹣c ）＝a cos C ，③f （x ）＝cos x cos （x −π3）−14，f （A ）=14注：这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并对其进行求解． 【分析】选①时，由平面向量的数量积与三角恒等变换求出A 的值， 再利用正弦定理和三角恒等变换求出△ABC 周长的取值范围； 选②时，由正弦定理和三角恒等变换求出A 的值，再利用正弦定理和三角恒等变换求出△ABC 周长的取值范围； 选③时，由三角恒等变换求得A 的值，再利用正弦定理和三角恒等变换求出△ABC 周长的取值范围．解：若选①，则由m →=（﹣cos A 2，sin A2），n →=（cos A 2，sin A2），且m →•n →=−12，得−cos 2A 2+sin 2A 2=−12，∴cos A =12， 又A ∈（0，π2），所以A =π3；又asinA=√3√32=4，△ABC 的周长为l △ABC =4sin(2π3−B)+4sinB +2√3，即l △ABC =4√3sin(B +π6)+2√3； 因为锐角△ABC 中，A =π3， 所以B ∈（π6，π2），所以B +π6∈（π3，2π3），所以△ABC 的周长为l △ABC ∈（6+2√3，6√3]． 若选②，由cos A （2b ﹣c ）＝a cos C ， 所以2b cos A ＝a cos C +c cos A ，所以2sin B cos A ＝sin A cos C +cos A sin C ＝sin （A +C ）＝sin B ；又B ∈（0，π），所以sin B ≠0，所以cos A =12；又A ∈（0，π2），所以A =π3；所以asinA=√3√32=4，△ABC 的周长为l △ABC =4sin(2π3−B)+4sinB +2√3，即l △ABC =4√3sin(B +π6)+2√3； 因为锐角△ABC 中，A =π3， 所以B ∈（π6，π2），所以B +π6∈（π3，2π3），所以△ABC 的周长为l △ABC ∈（6+2√3，6√3]． 若选③，则f （x ）＝cos x cos （x −π3）−14=12cos 2x +√32cos x sin x −14=12×1+cos2x 2+√32×sin2x 2−14=12（12cos2x +√32sin x 2）=12sin （2x +π6），又f （A ）=14，所以sin （2A +π6）=12， 又A ∈（0，π2），所以A =π3；所以asinA=√3√32=4，△ABC 的周长为l △ABC =4sin(2π3−B)+4sinB +2√3， 即l △ABC =4√3sin(B +π6)+2√3； 因为锐角△ABC 中，A =π3， 所以B ∈（π6，π2），所以B +π6∈（π3，2π3），所以△ABC 的周长为l △ABC ∈（6+2√3，6√3]．19．如图所示的多面体中，四边形ABCD 是正方形，平面AED ⊥平面ABCD ，EF ∥DC ，ED ＝EF =12CD ＝1，∠EAD ＝30°． （Ⅰ）求证：AE ⊥FC ；（Ⅱ）求点D 到平面BCF 的距离．【分析】（Ⅰ）首先证明CD ⊥平面ADE ，CD ⊥AE ，又在△ADE 中，由余弦定理得可得AE ⊥ED ．即可得AE ⊥平面EFCD ．AE ⊥FC ．（Ⅱ）过点E 做EH ⊥AD 交AD 于点H ，连结FD ，求得EH =√32，易知E 到面ABCD的距离等于F 到面ABCD 的距离，设D 点到平面BFC 的距离为d ，得到点D 到平面BCF的距离2√217．解：（Ⅰ）∵四边形ABCD 是正方形，∵CD ⊥AD ，又∵平面AED ⊥平面ABCD ，平面AED ∩平面ABCD ＝AD ，CD ⊂面ABCD ， ∴CD ⊥平面ADE ，又AE ⊂平面ADE ，∴CD ⊥AE ，．∵在△ADE 中，AD ＝2，DE ＝1，∠EAD ＝30°，由余弦定理得，AE =√3，∴AE 2+DE 2＝AD 2，∴AE ⊥ED ． 又CD ∩ED ＝D ，∴AE ⊥平面EFCD ． 又FC ⊂平面EFCD ∴AE ⊥FC ．（Ⅱ）过点E 做EH ⊥AD 交AD 于点H ，连结FD ．∵平面ADE ⊥平面ABCD ，平面ADE ∩平面ABCD ＝AD ，EH ⊂平面ADE ，∴EH ⊥平面ABCD ，在Rt △AED 中，EH =√32又EF ∥DC ，∵DC ⊂面ABCD ，∵EF ⊄面ABCD∴EF ∥面ABCD ∴E 到面ABCD 的距离等于F 到面ABCD 的距离，∴V F−BCD =13S △BCD ⋅EH =13×2×√32=√33．在直角梯形EFBA 中，EF ＝1，AE =√3，DC ＝2，AB ＝2，可得BF ＝2，∴S △BFC =12×√2×√142=√72设D 点到平面BFC 的距离为d ，∵V D ﹣BCF ＝V F ﹣BCD ，即13S △BCF ⋅d =√33，∴点D 到平面BCF 的距离2√217．20．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的长轴长是短轴长的2倍，且过点B （0，1）．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l ：y ＝k （x +2）交椭圆于P ，Q 两点，若点B 始终在以PQ 为直径的圆内，求实数k 的取值范围．【分析】（1）由题意可得a ＝2b ，b ＝1，解得a ＝2，进而得到椭圆方程；（2）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），联立直线l 的方程和椭圆方程，运用韦达定理，可得Q 的坐标，由点B 在以PQ 为直径圆内，得∠PBQ 为钝角或平角，即有BP →⋅BQ →＜0，运用数量积的坐标表示，解不等式即可得到所求范围． 解：（1）由题意知，a ＝2b ，b ＝1，解得a ＝2，可得椭圆的标准方程为：x 24+y 2=1；（2）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）联立{y =k(x +2)x 24+y 2=1，消去y ，得（1+4k 2）x 2+16k 2x +16k 2﹣4＝0，（*） 依题意：直线l ：y ＝k （x +2）恒过点（﹣2，0）， 此点为椭圆的左顶点，所以x 1＝﹣2，y 1＝0 ①， 由（*）式，x 1+x 2=−16k21+4k2②，得y 1+y 2＝k （x 1+x 2）+4k ③， 由①②③，可得x 2=2−8k 21+4k2，y 2=4k 1+4k2，由点B 在以PQ 为直径圆内，得∠PBQ 为钝角或平角， 即BP →⋅BQ →＜0．BP →=(−2，1)，BQ →=(x 2，y 2−1) BP →⋅BQ →=−2x 2−y 2+1＜0．即4−16k 21+4k +4k 1+4k −1＞0，整理得20k 2﹣4k ﹣3＜0，解得k ∈(−310，12)． 21．已知函数f （x ）＝lnx ﹣ax （a ∈一、选择题）．（Ⅰ）若曲线y ＝f （x ）与直线x ﹣y ﹣1﹣ln 2＝0相切，求实数a 的值；（Ⅱ）若不等式（x +1）f （x ）≤lnx −xe 在定义域内恒成立，求实数a 的取值范围． 【分析】（Ⅰ）根据题意，由函数的解析式求出其导数，设切点横坐标为x 0，则有{1x 0−a =1x 0−1−ln2=lnx 0−ax 0，解可得a 的值，即可得答案；（Ⅱ）根据题意，原问题可以转化为a ≥lnx x+1+1e(x+1)，在定义域内恒成立，令g(x)=lnx x+1+1e(x+1)(x ＞0)，求出g （x ）的导数，利用导数分析g （x ）的最大值，据此分析即可得答案．解：（Ⅰ）根据题意，由f （x ）＝lnx ﹣ax ，得f′(x)=1x−a ， 设切点横坐标为x 0，依题意得{1x 0−a =1x 0−1−ln2=lnx 0−ax 0，解得{x 0=12a =1，即实数a 的值为1．（Ⅱ）由在(x +1)f(x)=(x +1)(lnx −ax)≤lnx −xe 定义域内恒成立，得a≥lnxx+1+1e(x+1)在定义域内恒成立，令g(x)=lnxx+1+1e(x+1)(x＞0)，则g′(x)=1−1e+1x−lnx(x+1)2，再令h(x)=1−1e+1x−lnx，则h′(x)=−(1x+1x2)＜0，即y＝h（x）在（0，+∞）上递减，又h（e）＝0，所以当x∈（0，e）时，h（x）＞0，从而g'（x）＞0，g（x）在x∈（0，e）递增；当x∈（e，+∞）时，h（x）＜0，从而g'（x）＜0，g（x）在x∈（e，+∞）递减，所以g（x）在x＝e处取得最大值g(e)=lnee+1+1e(e+1)=1e，所以实数a的取值范围是[1e，+∞)．选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+π4）=√22，曲线C的极坐标方程为ρ﹣6cosθ＝0．（1）写出直线l和曲线C的直角坐标方程；（2）已知点A（1，0），若直线l与曲线C交于P，Q两点，P，Q中点为M，求|AP||AQ| |AM|的值．【分析】（1）直接利用转化关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．解：（1）因为直线l：ρcos(θ+π4)=√22，故ρcosθ﹣ρsinθ﹣1＝0，即直线l的直角坐标方程为x﹣y﹣1＝0．因为曲线C：ρ﹣6cosθ＝0，则曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣6x＝0，即（x﹣3）2+y2＝9．（2）根据（1）x ﹣y ﹣1＝0转换为直线l 的参数方程为{x =1+√22ty =√22t（t 为参数），将其代入曲线C 的直角坐标方程x 2+y 2﹣6x ＝0， 得t 2−2√2t −5=0．设P ，Q 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝﹣5，t 1+t 2=2√2， 所以M 对应的参数t 0=t 1+t 22=√2， 故|AP||AQ||AM|=|t 1||t 2||t 0|=√2=5√22． [选修4-5：不等式选讲] 23．已知函数f （x ）＝|x +2|．（1）求不等式f （x ）+f （x ﹣2）＜x +4的解集；（2）若∀x ∈R ，使得f （x +a ）+f （x ）≥f （2a ）恒成立，求a 的取值范围．【分析】（1）由题意可得|x |+|x +2|＜x +4，由绝对值的意义，对x 讨论，去绝对值，解不等式，求并集即可；（2）由题意可得|x +a +2|+|x +2|≥|2a +2|，运用绝对值不等式的性质可得|2a +2|≤|a |，解不等式可得所求范围． 解：（1）f （x ）＝|x +2|， f （x ）+f （x ﹣2）＜x +4， 即为|x |+|x +2|＜x +4，当x ≥0时，x +x +2＜x +4，解得0≤x ＜2； 当﹣2＜x ＜0时，﹣x +x +2＜x +4，解得﹣2＜x ＜0；当x≤﹣2时，﹣x﹣x﹣2＜x+4，解得x∈∅．综上可得不等式的解集为{x|﹣2＜x＜2}；（2）f（x+a）+f（x）≥f（2a），即为|x+a+2|+|x+2|≥|2a+2|，由|x+a+2|+|x+2|≥|x+a+2﹣x﹣2|＝|a|，可得|2a+2|≤|a|，即有4a2+8a+4≤a2，可得3a2+8a+4≤0，解得﹣2≤a≤−2 3．。
2018年宁夏银川一中高考数学三模试卷(文科)
2018年宁夏银川一中高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(★)已知集合A={1，3}，B={x|0＜x＜3，x∈N}，则A∩B=（）A．{1}B．{1，2}C．{1，2，}D．{1，3}2．(★)复数z满足i（z+i）=1+i（其中i为虚数单位），则z对应的点在第（）象限A．一B．二C．三D．四3．(★)设曲线y= 在点（2，3）处的切线与直线ax+y+1=0平行，则a=（）A．B．-C．-2D．24．(★★★)已知向量=（3，-2），=（x，y-1）且∥，若x，y均为正数，则+的最小值是（）A．24B．8C．D．5．(★)已知各项均不为0的等差数列{a n}满足a 3- +a 11=0，数列{b n}为等比数列，且b 7=a 7，则b 1•b 13=（）A．25B．16C．8D．46．(★)双曲线的渐近线方程为y=±，则此双曲线的离心率为（）A．B．或C．D．或7．(★)下列选项中，说法正确的是（）A．命题“p∨q为真“是命题“p∧q为真“的必要条件．B．若向量，满足＜0，则与的夹角为钝角．C．若am2≤bm2，则a≤b．D．命题“∃x0-x0≤0”的否定是“∃x∈R，x2-x＞0”．8．(★★)甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子．已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是（）A．甲是工人，乙是知识分子，丙是农民B．甲是知识分子，乙是农民，丙是工人C．甲是知识分子，乙是工人，丙是农民D．甲是农民，乙是知识分子，丙是工人9．(★★)已知函数f（x）= （a＞0，a≠1），在其定义域上单调，则ab的值不可能的是（）A．-1B．1C．-2D．210．(★★)若x，y满足且z=3x-y的最大值为2，则实数m的值为（）A．B．C．1D．211．(★★)在△ABC中，D在三角形所在平面内一点，且= ，则=（）A．B．C．D．12．(★★)设函数f（x）是定义在（-∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2f （x）+xf′（x）＞x 2，则不等式（x+2018）2f（x+2018）-4f（-2）＞0的解集为（）A．（-2020，0）B．（-∞，-2020）C．（-2016，0）D．（-∞，-2016）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．(★★)已知sin2 ，则2cos 2（）= ．14．(★★)一几何体的三视图如图，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是．15．(★★★)执行如图所示的流程图，则输出的S的值为．16．(★★)如图是3世纪我国汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形，在大正方形内随机取一点，这一点落在小正方形内的概率为，若直角三角形的两条直角边的长分别为a，b（a＜b），则= ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．(★★★)函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后得到函数y=g（x）的图象．（1）求函数y=g（x）的解析式；（2）在△ABC中，角A，B，C满足2sin 2=g（C+ ）+1，且其外接圆的半径R=2，求△ABC的面积的最大值．18．(★★)为了参加某数学竞赛，某高级中学对高二年级理科、文科两个数学兴趣小组的同学进行了赛前模拟测试，成绩（单位：分）记录如下．理科：79，81，81，79，94，92，85，89文科：94，80，90，81，73，84，90，80（1）画出理科、文科两组同学成绩的茎叶图；（2）计算理科、文科两组同学成绩的平均数和方差，并从统计学的角度分析，哪组同学在此次模拟测试中发挥比较好；（参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n的方差：，其中为样本平均数）（3）若在成绩不低于90分的同学中随机抽出3人进行培训，求抽出的3人中既有理科组同学又有文科组同学的概率．19．(★★★)在矩形ABCD所在平面α的同一侧取两E、F，使DE⊥α且AF⊥α，若AB=AF=3，AD=4，DE=1．（1）求证：AD⊥BF（2）取BF的中点G，求证DF∥平面AGC（3）求多面体ABF-DCE的体积．20．(★★★★)已知点P（0，-2），椭圆E：的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线PF的斜率为2，O为坐标原点．（1）求椭圆E的方程；（2）直线l被圆O：x 2+y 2=3截得的弦长为3，且与椭圆E交于A、B两点，求△AOB面积的最大值．21．(★★★★★)设函数f（x）=lnx，g（x）=（2-a）x-2f（x）+a-2（1）当a=1时，求函数g（x）的单调区间；（2）设F（x）=|f（x）|+ （b＞0），对任意x 1，x 2∈（0，2]，x 1≠x 2，都有＜-1，求实数b的取值范围．请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．(★★★★)在直角坐标系xOy中，圆C 1的参数方程为（t为参数），圆C 2与圆C 1外切于原点O，且两圆圆心的距离|C 1C 2|=3，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C 1和圆C 2的极坐标方程；（2）过点O的直线l 1、l 2与圆C 2异于点O的交点分别为点A和点D，与圆C 1异于点O的交点分别为C和B，且l 1⊥l 2，求四边形ABCD面积的最大值．[选修4-5；不等式选讲]23．(★★★★)已知函数f（x）=|x+3|+|x-1|的最小值为m．（Ⅰ）求m的值以及此时的x的取值范围；（Ⅱ）若实数p，q，r满足p 2+2q 2+r 2=m，证明：q（p+r）≤2．。
宁夏银川一中高三数学第三次模拟考试试题 文
2015年普通高等学校招生全国统一考试文 科 数 学(银川一中第三次模拟考试)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．函数()f x = A ．(],0-∞ B ．（0,∞-） C ．)21,0(D ．（21,∞-） 2. 复数512i+的共轭复数是 A. 12i -B. 12i +C. 12i -+D. 12i --3．已知向量)1,(λ=，)1,2(+=λ-=+，则实数λ的值为 A ．2 B ．2- C ．1 D ．1- 4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若94=a ，116=a ，则9S 等于 A ．180 B ．90 C ．72 D ．1005．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b x a y 的离心率为3，则双曲线的渐近线方程为A ．x y 22±= B ．x y 2±= C ．x y 2±= D ．x y 21±=6．下列命题正确的个数是A ．“在三角形ABC 中，若sin sin AB >,则A B >”的逆命题是真命题；文科数学试卷 第1页(共6页)2正视图 11第题图侧视图+1+ B ．命题:2p x ≠或3y ≠，命题:5q x y +≠则p 是q 的必要不充分条件； C ．“32,10x R x x ∀∈-+≤”的否定是“32,10x R x x ∀∈-+>”； D ．“若,221a b a b >>-则”的否命题为“若a b ≤，则221a b -≤”；A ．1B ．2C ．3D ．47．已知某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的 外接球的表面积等于 A ．7 3π B ．16π C ．8π D ． 28 3π 8．按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是 63，则判断框中的整数M 的值是 A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 9．已知函数x x x x f 2231)(23++-=，若存在满足 003x ≤≤的实数0x ，使得曲线()y f x =在点 00(,())x f x 处的切线与直线100x my +-=垂直，则实数m 的取值范围是 A ．[6,)+∞ B ．(,2]-∞ C ．[2,6] D ．[5,6]10．若直线)0,0(022>>=+-b a by ax 被圆014222=+-++y x y x 截得的弦长为4，则ba 11+的最小值是 A ．12 B ．－12C ．－2D ．411．设不等式组2020x y mx y ++≥⎧⎨++≤⎩表示的区域为1Ω，不等式221x y +≤表示的平面区域为2Ω．若1Ω与2Ω有且只有一个公共点，则m 等于A． B ． 12．已知函数()sin()32mf x x π=+-在[]0,π上有两个零点，则实数m 的取值范围为 A．2⎡⎤⎣⎦B．)2 C ．2⎤⎦ D ．2⎤⎦第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设函数22,(0)()log ,(0)xx f x x x ⎧⎪=⎨>⎪⎩≤错误！未找到引用源。
宁夏回族自治区银川一中2023届高三三模数学(文)试题
一、单选题二、多选题1. 第24届冬季奥运会于2022年2月4日至20日在北京举行，中国代表团取得了9枚金牌，4枚银牌，2枚铜牌的历史最好成绩．2月8日，在自由式滑雪女子大跳台坡面障碍技巧比赛中，中国运动员谷爱凌在最后一跳中完美地完成了超高难度动作1620，得分反超对手，获得了金牌．已知六个裁判为谷爱凌这一跳的打分分别为95，95，95，93，94，94，评分规则为去掉六个原始分中的一个最高分和一个最低分，剩下四个有效分的平均数即为该选手的本轮得分．设这六个原始分的中位数为，方差为；四个有效分的中位数为，方差为．则下列结论正确的是（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，2.在等比数列中，，若、、成等差数列，则的公比为（ ）A．B．C．D．3.设，则的大小关系是（ ）A．B．C．D．4. 若过点可作直线与的图象相切，则的取值范围为（ ）A．B．C．D．5. 已知函数的图象的相邻两条对称轴间的距离为，则（ ）A ．的周期为B ．在上单调递增C．的图象关于点对称D．的图象关于直线对称6. 已知，，，则A．B．C．D．7. 已知，，，则，，大小关系为A．B．C．D．8. 已知黄金三角形是一个等腰三角形，其底与腰的长度的比值为黄金比值（即黄金分割值，该值恰好等于），则（ ）A．B．C．D．9. （多选）函数(，，)在一个周期内的图像如图所示，则（）A．该函数的解析式为B ．该函数图像的对称中心为，C ．该函数的增区间是，D ．把函数的图像上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，可得到该函数图像宁夏回族自治区银川一中2023届高三三模数学（文）试题宁夏回族自治区银川一中2023届高三三模数学（文）试题三、填空题四、解答题10. 设z ，，均为复数，则下列命题中正确的是（ ）A ．若，则B．C ．若，则的最大值为2D ．若复数，则11. 下列说法正确的有（ ）A ．将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，且，则总体方差B．在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数越接近于1C ．已知随机变量，若，则D ．已知一组数据为，则这组数据的第40百分位数为3912. 如图，若正方体的棱长为1，点是正方体的侧面上的一个动点（含边界），是棱的中点，则下列结论正确的是（）A ．沿正方体的表面从点到点的最短路程为B ．若保持，则点在侧面内运动路径的长度为C．三棱锥的体积最大值为D．若在平面内运动，且，点的轨迹为线段13.若，则的最小值是___________.14. 若函数f (x )的反函数为f －1(x )＝x 2（x ＞0），则f (4)＝__________.15. 复数（为虚数单位）的实部为________.16.设函数，若，且，证明：.17. 记的内角所对的边分别为，已知．(1)求；(2)若，，求的面积．18. 已知函数为奇函数.（1）求实数a 的值；（2）求的值.19.已知函数（1）当时，求函数的单调增区间；（2）求函数在区间上的最小值；（3）在（1）的条件下，设，证明：．（参考数据：）20.已知函数.(1)求函数在区间上的最大值；(2)若为整数，且关于的不等式恒成立，求整数的最小值.21. 如图，在三棱柱中，分別是梭的中点．(1)在棱上找一点，使得平面平面，并证明你的结论；(2)若是边长为2的等边三角形，，求二面角的正弦值．。
宁夏回族自治区银川一中2022届高考三模数学(文)试题 (2)
一、单选题二、多选题1.已知复数，则（ ）A．B．C．D．2. 函数y =a x （a >0， 且a ≠1）的图象过定点（ ）A ．（0，2）B ．（1，1）C ．（0，1）D ．（0， 0）3.设抛物线与直线交于点（点在第一象限），且到焦点F 的距离为8，则抛物线C 的标准方程为（ ）A．B．C．D．4. 在的展开式中，常数项为（ ）A ．20B ．-20C ．160D ．-1605. 将函数的图象F按向量平移得到图象F ′，若F ′的一条对称轴是直线，则θ的一个可能取值是A．B．C．D．6. 设，分别是双曲线（，）的左右焦点，为双曲线左支上一点，且满足，直线与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线的离心率为（ ）A．B．C ．2D．7. 命题“∃x ∈Z ，使x 2+2x+m≤0”的否定是A ．∀x ∈Z ，都有x 2+2x+m≤0B ．∃x ∈Z ，使x 2+2x+m ＞0C ．∀x ∈Z ，都有x 2+2x+m ＞0D ．不存在x ∈Z ，使x 2+2x+m ＞08. 已知函数，的最小值为，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．9. 已知数列是首项为的正项等比数列，若A ，B ，C 是直线l 上不同的三点，O 为平面内任意一点，且，则（ ）A．B ．数列的前6项和为C．数列是递减的等差数列D ．若，则数列的前n 项和的最大值为110. 过抛物线的焦点F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，设、，已知，，则（ ）A ．若直线l 垂直于x轴，则B．C ．若P 为C 上的动点，则的最小值为5D ．若点N 在以AB 为直径的圆上，则直线l 的斜率为211. 已知是抛物线的焦点，直线经过点交抛物线于A 、B 两点，则下列说法正确的是（ ）A ．以为直径的圆与抛物线的准线相切B ．若，则直线的斜率C．弦的中点的轨迹为一条抛物线，其方程为D ．若，则的最小值为18宁夏回族自治区银川一中2022届高考三模数学（文）试题 (2)宁夏回族自治区银川一中2022届高考三模数学（文）试题 (2)三、填空题四、解答题12. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关为了建立茶水温度随时间变化的函数模型，小明每隔1分钟测量一次茶水温度，得到若干组数据，，，，绘制了如图所示的散点图.小明选择了如下2个函数模型来拟合茶水温度随时间的变化情况，函数模型一：；函数模型二：，下列说法正确的是（）A ．变量与具有负的相关关系B ．由于水温开始降得快，后面降得慢，最后趋于平缓，因此模型二能更好的拟合茶水温度随时间的变化情况C ．若选择函数模型二，利用最小二乘法求得到的图象一定经过点D．当时，通过函数模型二计算得，用温度计测得实际茶水温度为65.2，则残差为0.113. 在平面直角坐标系中，已知椭圆左、右焦点分别为，上顶点为，离心率为，为椭圆上在第一象限内一点，记的面积为，的面积为．若，则直线的斜率为_______．14.在中，，，则________；________.15. 已知函数，在上单调递增，那么常数的一个取值____．16.若，，且，，求的值．17. 边长为1的正方形中，点M ，N 分别是DC ，BC 的中点，现将，分别沿AN ，AM 折起，使得B ，D 两点重合于点P ，连接PC，得到四棱锥.(1)证明：平面平面；(2)求四棱锥的体积.18. 已知椭圆的两个焦点分别为，且经过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）直线过点，且与相交于两点，线段的中点为(异于坐标原点)，延长与交于点若四边形为平行四边形，求直线的方程.19. 已知函数的首项，且满足．(1)求证为等比数列，并求．(2)对于实数，表示不超过的最大整数，求的值．20. 设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，过点与垂直的直线交轴负半轴于点，且恰是的中点，若过三点的圆恰好与直线相切.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于两点，在轴上是否存在点，使得以为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由.21. 计算下列各式的值.(1)；(2).。
宁夏回族自治区银川一中2022届高考三模数学(文)试题(2)
一、单选题二、多选题1. 已知，是双曲线的左､右焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为点，交另一条渐近线于点，且，则该双曲线的离心率为（ ）A．B ．3C．D ．22. 已知正方体棱长为6，如图，有一球的球心是的中点，半径为2，平面截此球所得的截面面积是（）．A ．B．C．D．3. 某校高二年级1600名学生参加期末统考，已知数学成绩（满分150分）．统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的．则此次统考中数学成绩不低于120分的学生人数约为（ ）A ．80B ．100C ．120D ．2004. 已知，且，则（ ）A．B．C．D．5.若，则（ ）A．B．C．D．或6. 设随机变量服从正态分布，若，则 a 的值为（ ）A．B ．1C ．2D．7. 已知函数，，若对任意的，都有，则实数的取值范围为A．B．C．D．8. 已知集合，，若，则实数a 的值是（ ）A ．1B．C ．1或D ．以上答案都不对9. 已知正方体的棱长为1，下列命题正确的是（ ）A ．平面B．四面体的体积是正方体的体积的三分之一C．与正方体所有棱都相切的球的体积为D ．与平面所成的角等于10. 已知甲烷的化学式为，其结构式可看成一个正四面体，其中四个氢原子位于正四面体的四个顶点处，而碳原子恰好在这个正四面体宁夏回族自治区银川一中2022届高考三模数学（文）试题(2)宁夏回族自治区银川一中2022届高考三模数学（文）试题(2)三、填空题四、解答题的中心，碳原子与每个氢原子之间均有化学键相连，若我们把每个原子看成一个质点，两个氢原子之间的距离为1，则（ ）A．碳原子与氢原子之间的距离为B．正四面体外接球的体积为C．正四面体的体积为D．任意两个碳氢化学键的夹角的余弦值为11. 已知函数，则（ ）A ．是奇函数B．是增函数C ．曲线在处的切线过原点D ．存在实数，使得的图象与的图象关于直线对称12. 嘌呤是一种杂环有机化合物，它在能量的供应、代谢的调节等方面都有十分重要的作用，它的化学结构式主要由一个正五边形与一个正六边形构成（设它们的边长均为1），其平面图形如图所示，则（）A．B ．O 到AC的距离是C ．O是的内切圆的圆心D．13.若正数满足，则__________，__________.14.已知数列的前项和为，，，且，若对任意都成立，则实数的最小值为______．15. 已知函数为定义在上的偶函数，当时，函数的最小值为1，则______.16. 已知对于不相等的正实数a ，b ，有成立，我们称其为对数平均不等式．现有函数．(1)求函数的极值；(2)若方程有两个不相等的实数根，．①证明：；②证明：．17.已知数列的前项和为，且满足．（Ⅰ）求数列通项公式；（Ⅱ）若，求的值．18. 已知数列是首项为2，公差为4的等差数列，等比数列满足.(1)求的通项公式；(2)记，求数列的前项和.19. 已知数列的前n项和为，，且.（1）求数列的通项；（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.20. 已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，不等式恒成立，求整数的最大值．21. 随着互联网的飞速发展，我国智能手机用户不断增加，手机在人们日常生活中也占据着越来越重要的地位．某机构做了一项调查，对某市使用智能手机人群的年龄、日使用时长情况做了统计，将18~40岁的人群称为“青年人”（引用青年联合会对青年人的界定），其余人群称为“非青年人”．根据调查发现“青年人”使用智能手机占比为，“非青年人”使用智能手机占比为；日均使用时长情况如下表：时长2小时以内2～3小时3小时以上频率0.40.30.3将日均使用时长在2小时以上称为“频繁使用人群”，使用时长在2小时以内称为“非频繁使用人群”．已知“频繁使用人群”中有是“青年人”．现对该市“日均使用智能手机时长与年龄的关系”进行调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据上面提供的数据．（Ⅰ）补全下列列联表；青年人非青年人合计频繁使用人群非频繁使用人群合计（Ⅱ）根据列联表的独立性检验，判断有多大把握认为“日均使用智能手机时长与年龄有关”？附：，其中．以参考数据：独立性检验界值表0.150.100.0500.0250.0102.072 2.7063.841 5.024 6.635。
宁夏回族自治区银川一中2023届高三三模数学(文)试题
一、单选题二、多选题1.在中，点在边上，且，设，，则为A．B．C．D．2.已知平面向量，，若，则（ ）A．B ．1C ．2D ．43. 若为一条直线，、、为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：①；②；③.其中正确的命题有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4. 已知定义域为{x |x ≠0}的偶函数f (x )，其导函数为f ′(x )，对任意正实数x 满足xf ′(x )>2f (x )，若g (x )＝，则不等式g (x )<g (1)的解集是（ ）A ．(－∞，1)B ．(－1,1)C ．(－∞，0)∪(0,1)D ．(－1,0)∪(0,1)5. 已知正方体的棱长为，点是线段上的动点，下列说法错误的是（ ）A ．三棱锥的体积为定值B．C．平面D．存在点使平面6. 已知均为正实数，且，若，则下列关系中可能成立的是（ ）A．B．C．D．7. 已知集合，，则（ ）A．B．C．D ．或8. 已知抛物线上有两点、，焦点为F ，则是“直线经过焦点F ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件9. 平面螺旋是以一个固定点开始，向外圈逐渐旋绕而形成的图案，如图（1）．它的画法是这样的：正方形ABCD 的边长为4，取正方形ABCD 各边的四等分点E ，F ，G ，H 作第二个正方形，然后再取正方形EFGH 各边的四等分点M ，N ，P ，Q 作第三个正方形，以此方法一直循环下去，就可得到阴影部分图案，设正方形ABCD边长为，后续各正方形边长依次为，，…，，…；如图（2）阴影部分，设直角三角形AEH面积为，后续各直角三角形面积依次为，，…，，…．则（）A ．数列是以4为首项，为公比的等比数列B．从正方形开始，连续个正方形的面积之和为32宁夏回族自治区银川一中2023届高三三模数学（文）试题三、填空题四、解答题C ．使得不等式成立的的最大值为3D ．数列的前项和10. 已知是定义在R上的偶函数，且对任意，有，当时，，则（ ）A ．是以2为周期的周期函数B ．点是函数的一个对称中心C．D ．函数有3个零点11.已知平面平面，且，则下列命题不正确的是（ ）A ．平面α内的直线必垂直于平面β内的任意一条直线B ．平面α内的已知直线必垂直于平面β内的无数条直线C ．平面α内的任意一条直线必垂直于平面βD ．过平面α内的任意一点作交线l 的垂线，则此垂线必垂直于平面β12. 甲乙两个质地均匀且完全一样的四面体，每个面都是正三角形，甲四个面上分别标有数字1，2，3，4，乙四个面上分别标有数字5，6，7，8，同时抛掷这两个四面体一次，记事件为“两个四面体朝下一面的数字之和为奇数”，事件为“甲四面体朝下一面的数字为奇数”，事件为“乙四面体朝下一面的数字为偶数”，则下列结论正确的是（ ）A．B．C．D．13. 已知多项式，若，则________，________．14.在的展开式中，项的系数是__________（用数字作答）．15.设函数，则曲线在点处的切线方程为___________.16. 如图，中，，，，点为线段的四等分点，线段互相平行，现沿折叠得到图所示的几何体，此几何体的底面为正方形.(1)证明：四点共面；(2)求四棱锥的体积.17.已知为椭圆的左焦点，直线与C 交于A ，B两点，且的周长为，面积为2.(1)求C 的标准方程；(2)若关于原点的对称点为Q，不经过点P且斜率为的直线l与C交于点D，E，直线PD与QE交于点M，证明：点M在定直线上.18. 已知函数，（）．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)设，请判断是否存在极值？若存在，求出极值；若不存在，说明理由；(3)当时，若对于任意，不等式恒成立，求k的取值范围．19. 已知椭圆E的左、右焦点为，过的直线交椭圆于，两点，的周长为.(1)求椭圆的方程;(2)点，分别为椭圆的上、下顶点，过直线上任意一点作直线和，分别交椭圆于，两点.证明：直线过定点.20. 在中，内角所对的边分别为，．(1)求的值；(2)若的面积为，求的值．21. 已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）是否存在，对任意，总存在，使得成立？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由；（3）若函数在上单调递减，且存在非零实数，满足，，依次成等差数列，求证：；（4）已知函数有两个不同的零点，和一个极值点，记，，，试判断是否可能为等腰直角三角形？若是，求实数的值；若否，请说明理由．。
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宁夏银川一中2015届高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数f（x）=的定义域为( )A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，0）C．（0，）D．（﹣∞，）2．复数的共轭复数是( )A．1﹣2i B．1+2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i3．已知向量=（λ， 1），=（λ+2，1），若|+|=|﹣|，则实数λ的值为( ) A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣24．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=9，a6=11，则S9等于( )A．180 B．90 C．72 D．105．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则双曲线的渐近线方程为( ) A．y=±2x B．y=±x C．y=±x D．y=±x6．下列命题正确的个数是( )A．“在三角形ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的逆命题是真命题；B．命题p：x≠2或y≠3，命题q：x+y≠5则p是q的必要不充分条件；C．“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“∀x∈R，x3﹣x2+1＞0”；D．“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”．A．1 B．2 C．3 D．47．已知某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的表面积等于( )A．B．16πC．8πD．8．按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M的值是( )A．5 B．6 C．7 D．89．已知函数f（x）=+2x，若存在满足0≤x0≤3的实数x0，使得曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线与直线x+my﹣10=0垂直，则实数m的取值范围是（三分之一前有一个负号）( )A．C．D．10．若直线2ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）恰好平分圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的面积，则的最小值( )A．B．C．2 D．411．设不等式组表示的区域为Ω1，不等式x2+y2≤1表示的平面区域为Ω2．若Ω1与Ω2有且只有一个公共点，则m等于( )A．﹣B．C．±D．12．已知函数f（x）=sin（x+）﹣在上有两个零点，则实数m的取值范围为( ) A．B．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设函数f（x）=，则方程f（x）=的解集为__________．14．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，﹣3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是__________．15．若点P（cosα，sinα）在直线y=﹣2x上，则的值等于__________．16．16、如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是棱C1D1、C1C的中点．以下四个结论：①直线AM与直线CC1相交；②直线AM与直线BN平行；③直线AM与直线DD1异面；④直线BN与直线MB1异面．其中正确结论的序号为__________．（注：把你认为正确的结论序号都填上）三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．在△ABC中，角A，B，C的对应边分别是a，b，c满足b2+c2=bc+a2．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）已知等差数列{a n}的公差不为零，若a1cosA=1，且a2，a4，a8成等比数列，求{}的前n项和S n．18．如图，四边形ABCD为梯形，AB∥CD，PD⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，DC=2AB=2a，DA=，E为BC中点．（1）求证：平面PBC⊥平面PDE；（2）线段PC上是否存在一点F，使PA∥平面BDF？若有，请找出具体位置，并进行证明；若无，请分析说明理由．19．在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评．某校2014-2015学年高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从2014-2015学年高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：表1：男生等级优秀合格尚待改进频数15 x 5表2：女生等级优秀合格尚待改进频数15 3 y（1）从表二的非优秀学生中随机选取2人交谈，求所选2人中恰有1人测评等级为合格的概率；（2）从表二中统计数据填写下边2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”．男生女生总计优秀非优秀总计参考数据与公式：K2=，其中n=a+b+c+d．临界值表：P（K2＞k0）0.10 0.05 0.01k0 2.706 3.841 6.63520．已知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点F1与抛物线y2=4x的焦点重合，原点到过点A（a，0），B（0，﹣b）的直线的距离是．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设动直线l=kx+m与椭圆C有且只有一个公共点P，过F1作PF1的垂线与直线l交于点Q，求证：点Q在定直线上，并求出定直线的方程．21．已知函数f（x）=x2﹣ax﹣alnx（a∈R）．（1）若函数f（x）在x=1处取得极值，求a的值．（2）在（1）的条件下，求证：f（x）≥﹣+﹣4x+；（3）当x∈B．（﹣∞，0）C．（0，）D．（﹣∞，）考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数f（x）的解析式，列出不等式，求出解集即可．解答：解：∵函数f（x）=，∴lg（1﹣2x）≥0，即1﹣2x≥1，解得x≤0；∴f（x）的定义域为（﹣∞，0]．故选：A．点评：本题考查了根据函数的解析式，求函数定义域的问题，是基础题目．2．复数的共轭复数是( )A．1﹣2i B．1+2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．专题：计算题．分析：首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，得到a+bi的形式，根据复数的共轭复数的特点得到结果．解答：解：因为，所以其共轭复数为1+2i．故选B点评：本题主要考查复数的除法运算以及共轭复数知识，本题解题的关键是先做出复数的除法运算，得到复数的代数形式的标准形式，本题是一个基础题．3．已知向量=（λ，1），=（λ+2，1），若|+|=|﹣|，则实数λ的值为( ) A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：先根据已知条件得到，带入向量的坐标，然后根据向量坐标求其长度并带入即可．解答：解：由得：；带入向量的坐标便得到：|（2λ+2，2）|2=|（﹣2，0）|2；∴（2λ+2）2+4=4；∴解得λ=﹣1．故选C．点评：考查向量坐标的加法与减法运算，根据向量的坐标能求其长度．4．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=9，a6=11，则S9等于( ) A．180 B．90 C．72 D．10考点：等差数列的前n项和；等差数列的性质．专题：计算题．分析：由a4=9，a6=11利用等差数列的性质可得a1+a9=a4+a6=20，代入等差数列的前n项和公式可求．解答：解：∵a4=9，a6=11由等差数列的性质可得a1+a9=a4+a6=20故选B点评：本题主要考查了等差数列的性质若m+n=p+q，则a m+a n=a p+a q和数列的求和．解题的关键是利用了等差数列的性质：利用性质可以简化运算，减少计算量．5．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则双曲线的渐近线方程为( ) A．y=±2x B．y=±x C．y=±x D．y=±x考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：运用离心率公式，再由双曲线的a，b，c的关系，可得a，b的关系，再由渐近线方程即可得到．解答：解：由双曲线的离心率为，则e==，即c=a，b===a，由双曲线的渐近线方程为y=x，即有y=x．故选D．点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率公式和渐近线方程的求法，属于基础题．6．下列命题正确的个数是( )A．“在三角形ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的逆命题是真命题；B．命题p：x≠2或y≠3，命题q：x+y≠5则p是q的必要不充分条件；C．“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“∀x∈R，x3﹣x2+1＞0”；D．“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”．A．1 B．2 C．3 D．4考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：A项根据正弦定理以及四种命题之间的关系即可判断；B项根据必要不充分条件的概念即可判断该命题是否正确；C项根据全称命题和存在性命题的否定的判断；D项写出一个命题的否命题的关键是正确找出原命题的条件和结论．解答：解：对于A项“在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的逆命题为“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”，若A＞B，则a＞b，根据正弦定理可知sinA＞sinB，∴逆命题是真命题，∴A正确；对于B项，由x≠2，或y≠3，得不到x+y≠5，比如x=1，y=4，x+y=5，∴p不是q的充分条件；若x+y≠5，则一定有x≠2且y≠3，即能得到x≠2，或y≠3，∴p是q的必要条件；∴p是q的必要不充分条件，所以B正确；对于C项，“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“∃x∈R，x3﹣x2+1＞0”；所以C不对．对于D项，“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”．所以D正确．故选：C．点评：本题主要考查各种命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强．7．已知某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的表面积等于( )A．B．16πC．8πD．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图知，几何体是一个正三棱柱，三棱柱的底面是一边长为2的正三角形，侧棱长是2，先求出其外接球的半径，再根据球的表面公式即可做出结果．解答：解：由三视图知，几何体是一个正三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，如图，设O是外接球的球心，O在底面上的射影是D，且D是底面三角形的重心，AD的长是底面三角形高的三分之二∴AD=×=，在直角三角形OAD中，AD=，OD==1∴OA==则这个几何体的外接球的表面积4π×OA2=4π×=故选：D．点评：本题考查由三视图求几何体的表面积，本题是一个基础题，题目中包含的三视图比较简单，几何体的外接球的表面积做起来也非常容易，这是一个易得分题目．8．按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M的值是( )A．5 B．6 C．7 D．8考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据题意，模拟程序框图的运行过程，得出S计算了5次，从而得出整数M的值．解答：解：根据题意，模拟程序框图运行过程，计算S=2×1+1，2×3+1，2×7+1，2×15+1，2×31+1，…；当输出的S是63时，程序运行了5次，∴判断框中的整数M=6．故选：B．点评：本题考查了程序框图的运行结果的问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论．9．已知函数f（x）=+2x，若存在满足0≤x0≤3的实数x0，使得曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线与直线x+my﹣10=0垂直，则实数m的取值范围是（三分之一前有一个负号）( )A．C．D．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：导数的概念及应用；直线与圆．分析：求出函数的导数，求出切线的斜率，再由两直线垂直斜率之积为﹣1，得到4x0﹣x02+2=m，再由二次函数求出最值即可．解答：解：函数f（x）=﹣+2x的导数为f′（x）=﹣x2+4x+2．曲线f（x）在点（x0，f（x0））处的切线斜率为4x0﹣x02+2，由于切线垂直于直线x+my﹣10=0，则有4x0﹣x02+2=m，由于0≤x0≤3，由4x0﹣x02+2=﹣（x0﹣2）2+6，对称轴为x0=2，当且仅当x0=2，取得最大值6；当x0=0时，取得最小值2．故m的取值范围是．故选：C．点评：本题考查导数的几何意义：曲线在某点处的切线的斜率，考查两直线垂直的条件和二次函数最值的求法，属于中档题．10．若直线2ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）恰好平分圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的面积，则的最小值( )A．B．C．2 D．4考点：直线与圆的位置关系；基本不等式．专题：计算题；直线与圆．分析：根据题意，直线2ax﹣by+2=0经过已知圆的圆心，可得a+b=1，由此代换得：=（a+b）（）=2+（+），再结合基本不等式求最值，可得的最小值．解答：解：∵直线2ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）恰好平分圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的面积，∴圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的圆心（﹣1，2）在直线上，可得﹣2a﹣2b+2=0，即a+b=1因此，=（a+b）（）=2+（+）∵a＞0，b＞0，∴+≥2=2，当且仅当a=b时等号成立由此可得的最小值为2+2=4故答案为：D点评：本题给出直线平分圆面积，求与之有关的一个最小值．着重考查了利用基本不等式求最值和直线与圆位置关系等知识，属于中档题．11．设不等式组表示的区域为Ω1，不等式x2+y2≤1表示的平面区域为Ω2．若Ω1与Ω2有且只有一个公共点，则m等于( )A．﹣B．C．±D．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用Ω1与Ω2有且只有一个公共点，确定直线的位置即可得到结论解答：解：（1）作出不等式组对应的平面区域，若Ω1与Ω2有且只有一个公共点，则圆心O到直线mx+y+2=0的距离d=1，即d==1，即m2=3，解得m=．故选：C．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用直线和圆的位置关系是解决本题的关键，利用数形结合是解决本题的基本数学思想．12．已知函数f（x）=sin（x+）﹣在上有两个零点，则实数m的取值范围为( ) A．B．D．考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：由f（x）=0得sin（x+）=，然后求出函数y=sin（x+）在上的图象，利用数形结合即可得到结论．解答：解：由f（x）=0得sin（x+）=，作出函数y=g（x）=sin（x+）在上的图象，如图：由图象可知当x=0时，g（0）=sin=，函数g（x）的最大值为1，∴要使f（x）在上有两个零点，则，即，故选：B点评：本题主要考查函数零点个数的应用，利用三角函数的图象是解决本题的关键．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设函数f（x）=，则方程f（x）=的解集为{﹣1，}．考点：函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：结合指数函数和对数函数的性质，解方程即可．解答：解：若x≤0，由f（x）=得f（x）=2x==2﹣1，解得x=﹣1．若x＞0，由f（x）=得f（x）=|log2x|=，即log2x=±，由log2x=，解得x=．由log2x=﹣，解得x==．故方程的解集为{﹣1，}．故答案为：{﹣1，}．点评：本题主要考查分段函数的应用，利用指数函数和对数函数的性质及运算是解决本题的关键．14．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，﹣3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是．考点：等比数列的性质；古典概型及其概率计算公式．专题：等差数列与等比数列；概率与统计．分析：先由题意写出成等比数列的10个数为，然后找出小于8的项的个数，代入古典概论的计算公式即可求解解答：解：由题意成等比数列的10个数为：1，﹣3，（﹣3）2，（﹣3）3…（﹣3）9其中小于8的项有：1，﹣3，（﹣3）3，（﹣3）5，（﹣3）7，（﹣3）9共6个数这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是P=故答案为：点评：本题主要考查了等比数列的通项公式及古典概率的计算公式的应用，属于基础试题15．若点P（cosα，sinα）在直线y=﹣2x上，则的值等于﹣．考点：二倍角的余弦；运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：把点P代入直线方程求得tanα的值，原式利用诱导公式化简后，再利用万能公式化简，把tanα的值代入即可．解答：解：∵点P（cosα，sinα）在直线y=﹣2x上，∴sinα=﹣2cosα，即tanα=﹣2，则cos（2α+）=sin2α===﹣．故答案为：﹣点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及运用诱导公式化简求值，熟练掌握公式是解本题的关键．16．16、如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是棱C1D1、C1C的中点．以下四个结论：①直线AM与直线CC1相交；②直线AM与直线BN平行；③直线AM与直线DD1异面；④直线BN与直线MB1异面．其中正确结论的序号为③④．（注：把你认为正确的结论序号都填上）考点：棱柱的结构特征；异面直线的判定．专题：计算题；压轴题．分析：利用两条直线是异面直线的判断方法来验证①③④的正误，②要证明两条直线平行，从图形上发现这两条直线也是异面关系，得到结论．解答：解：∵直线CC1在平面CC1D1D上，而M∈平面CC1D1D，A∉平面CC1D1D，∴直线AM与直线CC1异面，故①不正确，∵直线AM与直线BN异面，故②不正确，∵直线AM与直线DD1既不相交又不平行，∴直线AM与直线DD1异面，故③正确，利用①的方法验证直线BN与直线MB1异面，故④正确，总上可知有两个命题是正确的，故答案为：③④点评：本题考查异面直线的判定方法，考查两条直线的位置关系，两条直线有三种位置关系，异面，相交或平行，注意判断经常出错的一个说法，两条直线没有交点，则这两条直线平行，这种说法是错误的．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．在△ABC中，角A，B，C的对应边分别是a，b，c满足b2+c2=bc+a2．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）已知等差数列{a n}的公差不为零，若a1cosA=1，且a2，a4，a8成等比数列，求{}的前n项和S n．考点：数列的求和；等比数列的性质；余弦定理．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由已知条件推导出=，所以cosA=，由此能求出A=．（Ⅱ）由已知条件推导出（a1+3d）2=（a1+d）（a1+7d），且d≠0，由此能求出a n=2n，从而得以==，进而能求出{}的前n项和S n．解答：解：（Ⅰ）∵b2+c2﹣a2=bc，∴=，∴cosA=，∵A∈（0，π），∴A=．（Ⅱ）设{a n}的公差为d，∵a1cosA=1，且a2，a4，a8成等比数列，∴a1==2，且=a2•a8，∴（a1+3d）2=（a1+d）（a1+7d），且d≠0，解得d=2，∴a n=2n，∴==，∴S n=（1﹣）+（）+（）+…+（）=1﹣=．点评：本题考查角的大小的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．18．如图，四边形ABCD为梯形，AB∥CD，PD⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，DC=2AB=2a，DA=，E为BC中点．（1）求证：平面PBC⊥平面PDE；（2）线段PC上是否存在一点F，使PA∥平面BDF？若有，请找出具体位置，并进行证明；若无，请分析说明理由．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）连接BD，便可得到BD=DC，而E又是BC中点，从而得到BC⊥DE，而由PD⊥平面ABCD便可得到BC⊥PD，从而得出BC⊥平面PDE，根据面面垂直的判定定理即可得出平面PBC⊥平面PDE；（2）连接AC，交BD于O，根据相似三角形的比例关系即可得到AO=，从而在PC上找F，使得PF=，连接OF，从而可说明PA∥平面BDF，这样即找到了满足条件的F点．解答：解：（1）证明：连结BD，∠BAD=90°，；∴BD=DC=2a，E为BC中点，∴BC⊥DE；又PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD；∴BC⊥PD，DE∩PD=D；∴BC⊥平面PDE；∵BC⊂平面PBC；∴平面PBC⊥平面PDE；（2）如上图，连结AC，交BD于O点，则：△AOB∽△COD；∵DC=2AB；∴；∴；∴在PC上取F，使；连接OF，则OF∥PA，而OF⊂平面BDF，PA⊄平面BDF；∴PA∥平面BDF．点评：考查直角三角形边的关系，等腰三角形中线也是高线，以及线面垂直的性质，线面垂直的判定定理，相似三角形边的比例关系，线面平行的判定定理．19．在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评．某校2014-2015学年高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从2014-2015学年高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：表1：男生等级优秀合格尚待改进频数15 x 5表2：女生等级优秀合格尚待改进频数15 3 y（1）从表二的非优秀学生中随机选取2人交谈，求所选2人中恰有1人测评等级为合格的概率；（2）从表二中统计数据填写下边2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”．男生女生总计优秀非优秀总计参考数据与公式：K2=，其中n=a+b+c+d．临界值表：P（K2＞k0）0.10 0.05 0.01k0 2.706 3.841 6.635考点：独立性检验．专题：概率与统计．分析：（1）根据分层抽样，求出x与y，得到表2中非优秀学生共5人，从这5人中任选2人的所有可能结果共10种，其中恰有1人测评等级为合格的情况共6种，所以概率为；（2）根据1﹣0.9=0.1，P（K2≥2.706）===1.125＜2.706，判断出没有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”．解答：解：（1）设从2014-2015学年高一年级男生中抽出m人，则=，m=25∴x=25﹣15﹣5=5，y=20﹣18=2表2中非优秀学生共5人，记测评等级为合格的3人为a，b，c，尚待改进的2人为A，B，则从这5人中任选2人的所有可能结果为（a，b），（a，c），（a，A），（a，B），（b，c），（b，A），（b，B），（c，A），（c，B），（A，B）共10种，记事件C表示“从表二的非优秀学生5人中随机选取2人，恰有1人测评等级为合格”则C的结果为：（a，A），（a，B），（b，A），（b，B），（c，A），（c，B），共6种，∴P（C）==，故所求概率为；（2）男生女生总计优秀15 15 30非优秀10 5 15总计25 20 45∵1﹣0.9=0.1，P（K2≥2.706）===1.125＜2.706∴没有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”．点评：本题考查了古典概率模型的概率公式，独立性检验，属于中档题．20．已知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点F1与抛物线y2=4x的焦点重合，原点到过点A（a，0），B（0，﹣b）的直线的距离是．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设动直线l=kx+m与椭圆C有且只有一个公共点P，过F1作PF1的垂线与直线l交于点Q，求证：点Q在定直线上，并求出定直线的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由抛物线的焦点坐标求得c=1，结合隐含条件得到a2=b2+1，再由点到直线的距离公式得到关于a，b的另一关系式，联立方程组求得a，b的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）联立直线方程和椭圆方程，消去y得到（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0，由判别式等于0整理得到4k2﹣m2+3=0，代入（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0求得P的坐标，然后写出直线F1Q方程为，联立方程组，求得x=4，即说明点Q在定直线x=4上．解答：（Ⅰ）解：由抛物线的焦点坐标为（1，0），得c=1，因此a2=b2+1 ①，直线AB：，即bx﹣ay﹣ab=0．∴原点O到直线AB的距离为②，联立①②，解得：a2=4，b2=3，∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）由，得方程（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0，（*）由直线与椭圆相切，得m≠0且△=64k2m2﹣4（4k2+3）（4m2﹣12）=0，整理得：4k2﹣m2+3=0，将4k2+3=m2，即m2﹣3=4k2代入（*）式，得m2x2+8kmx+16k2=0，即（mx+4k）2=0，解得，∴，又F1（1，0），∴，则，∴直线F1Q方程为，联立方程组，得x=4，∴点Q在定直线x=4上．点评：本题考查了椭圆方程的求法，考查了点到直线距离公式的应用，考查了直线和圆锥曲线的关系，训练了两直线交点坐标的求法，是中档题．21．已知函数f（x）=x2﹣ax﹣alnx（a∈R）．（1）若函数f（x）在x=1处取得极值，求a的值．（2）在（1）的条件下，求证：f（x）≥﹣+﹣4x+；（3）当x∈解答：（1）解：，由题意可得f′（1）=0，解得a=1；经检验，a=1时f（x）在x=1处取得极值，所以a=1．（2）证明：由（1）知，f（x）=x2﹣x﹣lnx．令，由，可知g（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，所以g（x）≥g（1）=0，所以成立；（3）解：由x∈=8×=4．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，两角和差的余弦公式，属于基础题．24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求实数m的取值范围．考点：带绝对值的函数；绝对值不等式．专题：计算题；压轴题．分析：（1）由|2x﹣a|+a≤6得|2x﹣a|≤6﹣a，再利用绝对值不等式的解法去掉绝对值，结合条件得出a值；（2）由（1）知f（x）=|2x﹣1|+1，令φ（n）=f（n）+f（﹣n），化简φ（n）的解析式，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，只须m大于等于φ（n）的最大值即可，从而求出实数m的取值范围．解答：解：（1）由|2x﹣a|+a≤6得|2x﹣a|≤6﹣a，∴a﹣6≤2x﹣a≤6﹣a，即a﹣3≤x≤3，∴a﹣3=﹣2，∴a=1．（2）由（1）知f（x）=|2x﹣1|+1，令φ（n）=f（n）+f（﹣n），则φ（n）=|2n﹣1|+|2n+1|+2=∴φ（n）的最小值为4，故实数m的取值范围是[4，+∞）．点评：本题考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，利用分段函数化简函数表达式是解题的关键．。