2019-2020学年广东省中山纪念中学高三上学期第一次质检数学试卷

2019-2020学年广东省中山纪念中学高三上学期第一次质检数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设复数z =−3i +1，则z 的共轭复数在复平面内对应的点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 已知集合A ={x|x(x −4)<0}，B ={−3,0，1，3}，则A ∩B =( )A. {−3,−1}B. {1,3}C. {−3,−1,0}D. {0,1，3} 3. 已知函数f(x)={x −2,x <2f(x −1),(x ≥2)则f(2)的值是( )A. −1B. 0C. 1D. 24. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)=x 2−2x ，则f(−1)=( )A. 1B. −1C. 3D. −2 5. 下列叙述中正确的是( )A. 若a ，b ，c ∈R ，则“∀x ∈R ，ax 2+bx +c ≥0”的充分条件是“b 2−4ac ≤0”B. 若a ，b ，c ∈R ，则“ab 2>cb 2”的充要条件是“a >c ”C. 命题“∀x ∈R ，x 2≥0”的否定是“∃x 0∈R ，x 02<0”D. {a n }是等比数列，则0<q <1是{a n }为单调递减数列的充分条件 6. 已知双曲线x 24−y 2b 2=1(b >0)的离心率等于√33b ，则该双曲线的焦距为( ) A. 2√5 B. 2√6 C. 6 D. 87. 如果定义在区间[3−a,6]上的函数f(x)为奇函数，那么a =( )A. 5B. 6C. 8D. 9 8. 若x <0且a x >b x >1，则下列不等式成立的是( )A. 0<b <a <1B. 0<a <b <1C. 1<b <aD. 1<a <b9. 已知三个平面α，β，γ，一条直线l ，要得到α//β，必须满足下列条件中的( )A. l//α，l//β且l//γB. l ⊂γ，且l//α，l//βC. α//γ，且β//γD. 以上都不正确10. 奇函数f(x)的定义域为R ，若f(x +2)为偶函数，且f(1)=1，则f(8)+f(9)=( )A. −2B. −1C. 0D. 111. 已知三棱锥P −ABC 的各顶点都在同一球的面上，且PA ⊥平面ABC ，若球O 的体积为20√5π3(球的体积公式为4π3R 3，其中R 为球的半径)，AB =2，AC =1，∠BAC =60°，则三棱锥P −ABC 的体积为( )A. √33B. 2√33C. √3D. 4√3312. 若函数f (x )={a x ,x ≥1(4−a2)x +2,x <1且满足对任意的实数x 1≠x 2都有f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2成立，则实数a的取值范围是( ) A. (1,+∞) B. (1,8) C. (4,8) D. [4,8)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知函数f(x)={f(x +2),x <2(12)x ,x >2，则f(−3)的值______ ．14. 一个正三棱柱的正视图和俯视图如图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为______ ．15. 抛物线y 2=8x 上一点M 到焦点的距离为5，则点M 的横坐标为______．16. 已知函数g(x)=x(e x −e −x )−(3x −1)(e 3x−1−e 1−3x )，则满足g(x)>0的实数x 的取值范围是______．三、解答题（本大题共8小题，共94.0分）17. 如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AC =BC =1，∠ACB =90°，D 是A 1B 1的中点．(1)求证：平面BC 1D ⊥平面ABB 1A 1；(2)若异面直线A 1B 1和BC 1所成的角为60°，求直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的体积．18. 某产品原来的成本为1000元/件，售价为1200元/件，年销售量为1万件．由于市场饱和顾客要求提高，公司计划投入资金进行产品升级．据市场调查，若投入x 万元，每件产品的成本将降低3x4元，在售价不变的情况下，年销售量将减少2x 万件，按上述方式进行产品升级和销售，扣除产品升级资金后的纯利润记为f(x)(单位：万元)． (1)求f(x)的函数解析式；(2)求f(x)的最大值，以及f(x)取得最大值时x 的值．19.如图，ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，AF//DE，DE=DA=2AF=2．(1)求证：AC⊥平面BDE；(2)求AE与平面BDE所成角的大小；(3)求三棱锥D−BEF的体积．20.已知抛物线C：y2=2px(p>0)，直线l：y=x−1与抛物线C交于A，B两点，且|AB|=8．(1)求抛物线C的方程；(2)求过点A，B且与抛物线C的准线相切的圆的方程．21.已知函数f(x)=xcosx−sinx,x∈[0,π2]，(1)求证：f(x)≤0；(2)若a<sinxx<b在(0,π2)上恒成立，求a的最大值与b的最小值．22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的普通方程是y=xtanα(π2<α<π)，曲线C1的参数方程是{x=a+acosφy=asinφ(φ为参数).在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程是ρ=2bsinθ．(1)写出l及C1的极坐标方程；(2)已知a=12，b=1，l与C1交于O,M两点，l与C2交于O,N两点，求2|OM|2+|OM||ON|的最大值．23.已知函数f(x)=|x+1|−|x−1|，g(x)=x2+ax−2．(1)当a=3时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[−1,1]，求a的取值范围．24.已知函数f(x)=2ax−2，g(x)=a(x−2a)(x+a−2)，a∈R且a≠0．(1)若{x|f(x)g(x)=0}={1,2}，求实数a的值;(2)若{x|f(x)<0或g(x)<0}=R，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：复数z=−3i+1，则z的共轭复数：1+3i，对应点为(1,3)，在第一象限．故选：A．写出复数的共轭复数的对应点的坐标，即可判断选项．本题考查复数的基本概念以及复数的几何意义，基本知识的考查．2.答案：B解析：【分析】本题考查交集及其运算，可求出集合A，然后进行交集的运算即可．【解答】解：A={x|0<x<4}；∴A∩B={1,3}．故选：B．3.答案：A解析：f(2)=f(2−1)=f(1)=1−2=−14.答案：A解析：【分析】本题考查函数的奇偶性及其应用，属基础题，本题也可先利用函数的奇偶性求出x<0时的表达式再求值．由奇函数性质可得f(−1)=−f(1)，再有已知表达式可求得f(1)．【解答】解：∵f(x)为奇函数，∴f(−1)=−f(1)，又x≥0时，f(x)=x2−2x，∴f(−1)=−f(1)=−(12−2×1)=1，故选：A．5.答案：C解析：解：对于A，a<0时，“b2−4ac≤0”不是“∀x∈R，ax2+bx+c≥0”的充分条件，A 错误；对于B，b=0时，由a>c不能得出ab2>cb2，充要条件不成立，B错误；对于C，命题“∀x∈R，x2≥0”的否定是“∃x0∈R，x02<0”，C正确；对于D，{a n}是等比数列，0<q<1时，若a1<0，则{a n}为单调递增数列，充分性不成立，D错误．故选：C．A，举例说明“b2−4ac≤0”不是“∀x∈R，ax2+bx+c≥0”的充分条件；B，举例说明由a>c不能得出ab2>cb2，充分性不成立；C，根据全称命题的否定是特称命题判断命题C正确；D，举例说明充分性不成立．本题利用命题真假的判断，考查了简易逻辑的应用问题，是基础题．6.答案：D解析：解：设双曲线x24−y2b2=1(b>0)的焦距为2c，由已知得，a=2；又离心率e=c2=√33b，且c2=4+b2，解得c=4；所以该双曲线的焦距为2c=8．故选：D．设双曲线x24−y2b2=1(b>0)的焦距为2c，根据双曲线的几何性质求出c的值即可得焦距．本题考查了双曲线的定义与简单几何性质的应用问题，是基础题目．7.答案：D解析：【分析】本题考查函数的奇偶性，首先要求定义域关于原点对称．根据奇函数的定义域关于原点对称可得3−a+6=0，求解a．【解答】解；由题意函数f(x)为奇函数，则定义域关于原点对称，则有3−a+6=0，解得a=9．故选：D．8.答案：B解析：【分析】此题考查指数函数及其性质，属于基础题．【解答】解：取x=−1，∴1a >1b>1，∴0<a<b<1.故选B．9.答案：C解析：【分析】本题主要考查判断两个平面平行的方法，属于基础题．根据直线与平面的位置关系，平面与平面的位置关系，逐一判断即可．【解答】解：A选项，α与β还可能相交；B选项，α与β还可能相交；C选项，⇒α与β无公共点⇒α//β．故选C．10.答案：D解析：由函数的奇偶性和对称性推出周期性，利用周期性求函数值.因为f(x)为R上的奇函数，所以f(−x)=−f(x),f(0)=0，因为f(x+2)为偶函数，所以f(x+2)=f(−x+2)，所以f(x+4)=f(−x)=−f(x)，所以f(x+8)=f(x)，即函数的周期为8，故f(8)+f(9)=f(0)+f(1)=1．11.答案：B解析：解：如图所示，在△ABC中，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，则BC2=22+12−2×1×2×cos60°=3，解得BC=√3，∴12+(√3)2=22．∴∠ACB=90°．取AB的中点D，则球心O满足OD⊥平面ABC．又PA⊥平面ABC，∴三棱锥P−ABC的外接球的球心O为PB的中点．∴OD=12PA．由球的体积计算公式可得：4π3R3=20√5π3，解得R=√5．∴OD=√R2−AD2=2．∴PA=4，∴三棱锥P−ABC的体积V=13×S△ABC×PA=13×12×1×√3×4=2√33．故选：B．如图所示，在△ABC中，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，利用余弦定理可得：BC=√3，利用勾股定理的逆定理可得∠ACB=90°.取AB的中点D，则球心O满足OD⊥平面ABC.又PA⊥平面ABC，可得三棱锥P−ABC的外接球的球心O为PB的中点．OD=12PA.由球的体积计算公式可得：4π3R3=20√5π3，解得R.OD=√R2−AD2，利用三棱锥P−ABC的体积V=13×S△ABC×PA即可得出．本题考查了空间位置关系、线面垂直的判定与性质定理、三棱锥的体积计算公式、勾股定理与逆定理、三角形中位线定理、球的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.答案：D解析：【分析】本题考查的知识点是分段函数的应用，正确理解分段函数的单调性，是解答的关键.若对任意的实数x1≠x2都有f(x1)−f(x2)x1−x2>0成立，则函数f(x)={a x,x≥1(4−a2)x+2,x<1在R上单调递增，进而可得答案．【解答】解：∵对任意的实数x1≠x2都有f(x1)−f(x2)x1−x2>0成立，∴函数f(x)={a x,x≥1(4−a2)x+2,x<1在R上单调递增，∴{a>1 4−a2>0a≥4−a2+2,解得：a ∈[4,8)． 故选D ．13.答案：18解析：解：由题意，x =−3时，f(−3)=f(−1)=f(1)=f(3)=(12)3=18 故答案为：18根据分段函数，利用相应的解析式，即可求得结论． 本题考查分段函数，考查学生的计算能力，属于基础题． 14.答案：6√3解析：解：由三视图可知，该正三棱柱的底边三角形的高为：3，底面边长为：4， ∴侧视图三角形的高为：2√3，侧视图的面积S =3×2√3=6√3． 故答案为：6√3．由已知中三棱柱的体积及俯视图中标识的棱柱的高，求出底面的高，即侧视图的宽，代入即可得到侧视图的面积．本题考查的知识点是由三视图求面积，其中根据已知求出侧视图的宽是解答的关键． 15.答案：3解析：解：抛物线的准线方程为x =−2， 设M(x 0,y 0)，则M 到准线的距离为x 0+2， 由抛物线的定义可知x 0+2=5，即x 0=3． 故答案为：3．根据抛物线的定义即可得出M 的横坐标． 本题考查了抛物线的性质，属于基础题．16.答案：(14,12)解析：【分析】本题主要考查了构造新函数，函数的奇偶性和单调性，属于中档题． 构造新函数ℎ(x)=x(e x −e −x )，求出ℎ(x)为偶函数且在x >0上单调递增，即能得到ℎ(|x|)>ℎ(|3x −1|)． 【解答】解：构造函数ℎ(x)=x(e x −e −x )，ℎ(−x)=(−x)(e −x −e x )=x(e x −e −x )，所以函数ℎ(x)是偶函数． 当x >0时，ℎ(x)为单调递增函数， 由g(x)>0，可得x(e x −e −x )>(3x −1)(e 3x−1−e 1−3x )， 即：ℎ(x)>ℎ(3x −1)，由于ℎ(x)是偶函数，不等式等价于ℎ(|x|)>ℎ(|3x −1|)， 由ℎ(x)在x >0上是增函数，∴|x|>|3x −1|，两边平方，解得：14<x <12． 故答案为：(14,12).17.答案：(1)证明：∵三棱柱ABC −A 1B 1C 1是直三棱柱， ∴AA 1⊥平面A 1B 1C 1，又C 1D ⊂平面A 1B 1C 1则AA 1⊥C 1D ，∵A 1C 1=B 1C 1，D 为A 1B 1 的中点， ∴C 1D ⊥A 1B 1，又AA 1∩A 1B 1=A 1，AA 1、A 1B 1⊂平面AA 1B 1B ， ∴C 1D ⊥平面AA 1B 1B ， 而C 1D ⊂平面BC 1D ，∴平面BC 1D ⊥平面ABB 1A 1； (2)解：连接AC 1，∵A 1B 1//AB ，∴异面直线A 1B 1和BC 1所成的角为∠ABC 1， ∴∠ABC 1=60°， ∵AC =BC ，∴在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AC 1=BC 1， ∴△ABC 1 为等边三角形，取AB 中点O ，连接CO ，C 1O ，∵AC =BC =1，∠ACB =90°，AB =√2， ∴CO =√22，C 1O =√62． ∴C 1C =(√62)(√22)=1． 故直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的体积V =12×AC ×BC ×CC 1=12×1×1×1=12．解析：本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，属于中档题．(1)由三棱柱ABC−A1B1C1是直三棱柱，得AA1⊥平面A1B1C1，则AA1⊥C1D，再由已知得C1D⊥A1B1，利用线面垂直的判定可得C1D⊥平面AA1B1B，从而得到平面BC1D⊥平面ABB1A1；(2)连接AC1，由AC=BC，得AC1=BC1，进一步得到△ABC1为等边三角形，求出三棱柱的高，代入棱柱体积公式求解．18.答案：解：(1)依题意，产品升级后，每件的成本为1000−3x4元，利润为200+3x4元，年销售量为1−2x万件，纯利润为f(x)=(200+3x4)(1−2x)−x，=198.5−400x −x4(万元)；(2)f(x)=198.5−400x −x4≤198.5−2×√400x×x4，=178.5．等号当且仅当400x =x4，即x=40(万元)．即最大值时的x的值为40．解析：(1)求出产品升级后每件的成本、利润及年销售量，则利润的函数表达式可求；(2)利用基本不等式求出f(x)的最大值．本题考查了函数模型的选择及应用，训练了简单的建模思想方法，考查了利用基本不等式求最值，是中档题．19.答案：解：(1)证明：∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥DE，∵BD，DE⊂平面BDE，BD∩DE=D，∴AC⊥平面BDE；(2)设AC∩BD=O，连接AE，EO，∵AC ⊥平面BDE ，∴EO 是直线AE 在平面BDE 上的射影，∴∠AEO 是AE 与平面BDE 所成角，在Rt △EAD 中，EA =√AD 2+DE 2=2√2，AO =√2，∴在Rt △EOA 中，sin∠AEO =AO EA =12，∴∠AEO =30°，即AE 与平面BDE 所成角为30°；(3)∵DE ⊥平面ABCD ，DE ⊂平面ADEF ，∴平面ADEF ⊥平面ABCD ，∴AB ⊥AD ，∵平面ADEF ∩平面ABCD =AD ，AB ⊂平面ABCD ，∴AB ⊥平面ADEF ，∴三棱锥D −BEF 的体积V D−BEF =V B−DEF =13×S △DEF ×AB =13×12×22×2=43．解析：本题考查线面垂直的证明，考查线面角、三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．(1)由AC ⊥BD ，得DE ⊥平面ABCD ，从而AC ⊥DE ，由此能证明AC ⊥平面BDE ；(2)设AC ∩BD =O ，连接AE ，EO ，由AC ⊥平面BDE ，得∠AEO 是AE 与平面BDE 所成角，由此求出AE 与平面BDE 所成角；(3)推导出平面ADEF ⊥平面ABCD ，从而AB ⊥AD ，三棱锥D −BEF 的体积V D−BEF =V B−DEF ，由此能求出结果．20.答案：(本小题满分12分)解：(1)由{y 2=2px y =x −1得x 2−2(1+p)x +1=0，……(1分) 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=2(1+p)，x 1x 2=1……(2分)|AB|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√2(x 1−x 2)2=√2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=8即√2√4(1+p)2−4=8，解得p =2，……(4分)所以抛物线C 的方程y 2=4x …………(5分)(2)由(1)得x 1+x 22=(1+p)=3，y =3−1=2，即AB 的中点坐标为(3,2)，则AB 的中垂线方程为y −2=−(x −3)，即y =−x +5.……(7分)设所求圆的圆心坐标为(x 0,y 0)，则{y 0=−x 0+5(x 0+1)2=(y 0−x 0+1)22+16，解得{x 0=3y 0=2或{x 0=11y 0=−6……(10分) 因此所求圆的方程为(x −3)2+(y −2)2=16或(x −11)2+(y +6)2=144……(12分)解析：(1)由{y 2=2px y =x −1得x 2−2(1+p)x +1=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，利用韦达定理以及弦长公式，求出p 即可得到抛物线方程．(2)求出AB 的中垂线方程y =−x +5，设所求圆的圆心坐标为(x 0,y 0)，列出方程组，求解圆心坐标，得到圆的方程．本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．21.答案：证明：(1)由f(x)=xcosx−sinx得，f′(x)=cosx−xsinx−cosx=−xsinx．因为在区间(0,π2)上f′(x)=−xsinx<0，所以f(x)在区间[0,π2]上单调递减，从而f(x)≤f(0)=0．(2)当x>0时，“sinxx >a”等价于“sinx−ax>0”；“sinxx<b”等价于“sinx−bx<0”，令g(x)=sinx−cx，则g′(x)=cosx−c．当c≤0时，g(x)>0对任意x∈(0,π2)恒成立．当c≥1时，因为对任意x∈(0,π2)，g′(x)=cosx−c<0，所以g(x)在区间[0,π2]上单调递减，从而g(x)<g(0)=0对任意x∈(0,π2)恒成立．当0<c<1时，存在唯一的x0∈(0,π2)使得g′(x0)=cosx0−c=0．g(x)与g′(x)在区间(0,π2)上的情况如下：因为g(x)在区间[0,x0]上是增函数，所以g(x0)>g(0)=0，进一步，“g(x)>0对任意x∈(0,π2)恒成立”当且仅当g(π2)=1−π2c≥0，即0<c≤2π.综上所述，当且仅当c≤2π时，g(x)>0对任意x∈(0,π2)恒成立；当且仅当c≥1时，g(x)<0对任意x∈(0,π2)恒成立.所以，若a<sinxx<b对任意x∈(0,π2)恒成立，则a的最大值为2π，b的最小值为1．解析：本题考查利用导数求函数的最值问题，属于难题．(1)求出函数f′(x)=cosx−xsinx−cosx=−xsinx.可得f(x)在区间[0,π2]上单调递减，从而f(x)≤f(0)=0；(2)当x>0时，“sinxx >a”等价于“sinx−ax>0”；“sinxx<b”等价于“sinx−bx<0”，构造函数g(x)=sinx−cx，利用导数研究结果．22.答案：解：(1)将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入y=xtanα得tanθ=tanα，∴l极坐标方程是θ=α(ρ∈R,π2<α<π)．C1的普通方程是x2+y2−2ax=0，其极坐标方程是ρ=2acosθ；(2)C1：ρ=cosθ，C2：ρ=2sinθ，将θ=α分别代入C 1，C 2得|OM|=−cosα，|ON|=2sinα．∴2|OM|2+|OM||ON|=2cos 2α−2cosαsinα=cos2α−sin2α+1=√2sin(π4−2α)+1． ∵π2<α<π，∴当α=7π8时，2|OM|2+|OM||ON|取最大值√2+1．解析：本题考查了直角坐标方程与参数方程转化为极坐标方程和三角函数的图象与性质，考查了转化思想和计算能力，属中档题．(1)将x =ρcosθ，y =ρsinθ代入y =xtanα可得l 的极坐标方程，对曲线C 1的参数方程消去φ可得其普通方程，然后再转化为极坐标方程即可；(2)将θ=α分别代入C 1，C 2得|OM|=−cosα，|ON|=2sinα，然后根据2|OM|2+|OM||ON|=2cos 2α−2cosαsinα求出其最大值．23.答案：解：(1)不等式|x +1|−|x −1|≥x 2+3x −2等价于{x >12≥x 2+3x −2或{−1≤x ≤12x ≥x 2+3x −2或{x <−1−2≥x 2+3x −2, 解得⌀，或−1≤x ≤1，或−3≤x <−1．所以不等式f(x)≥g(x)的解集是{x|−3≤x ≤1}．(2)x ∈[−1,1]，令F(x)=g(x)−f(x)=x 2+(a −2)x −2不等式f(x)≥g(x)的解集包含[−1,1]等价于解得1≤a ≤3，所以a 的取值范围为[1,3]．解析：本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，属于中档题．(1)通过讨论x 的范围，得到关于x 的不等式组，解出即可；(2)得到关于a 的不等式组，解出即可．24.答案：解：(1)由f(x)=2ax −2=0，得x =1a ．由g(x)=a(x −2a)(x +a −2)=0，得x =2a 或x =2−a ．∵{x|f(x)g(x)=0}={1,2}，∴1a =1或1a =2，即a =1或a =12，经检验a=1符合题意，∴a=1．(2){x|f(x)<0或g(x)<0}=R，当a>0时，若x→+∞，则总有f(x)>0，g(x)>0，不符合题意;,+∞)，当a<0时，若f(x)<0，则x∈(1a若g(x)<0，则x∈(−∞,2a)∪(2−a,+∞)，<2a，则1a<a<0．∴−√22<a<0．综上，−√22解析：本题考查函数与方程的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．(1)通过方程的根，结合已知条件求解即可；(2)由于{x|f(x)<0或g(x)<0}=R，验证当a>0时，不符合题意，当a<0时，讨论若f(x)<0，若g(x)<0，推出结果即可．。