高三数学高考专题复习系列导学案不等式-绝对值不等式的应用

第5课时 绝对值不等式的应用
1、有关绝对值不等式的主要性质：
① | x |＝ ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>)
0()0(0
)0(x x x x x ② | x |≥0
③ | |a|－|b||≤|a±b|≤| a |＋| b |
④| ab |＝ ，b
a ＝ (b≠0) 特别：ab≥0，|a ＋b|＝ ，|a －b|＝ ．
ab≤0，|a －b|＝ ，|a ＋b|＝ ．
2、最简绝对值不等式的解法．
① | f(x) |≥a ⇔ ；
② | f(x) |≤a ⇔ ；
③ a≤| f(x) |≤b ⇔ ．
④ 对于类似a | f(x) |＋b| g(x) | > c 的不等式，则应找出绝对值的零点，以此划分区间进行讨论求解．
例1. 解不等式：| x 2－3x －4|> x ＋1
解 :{x ｜x<－1或－1＜x ＜3或x ＞5}
变式训练1：若不等式|x －4|－|x －3|≤a 对一切实数x 都成立，则实 数a 的取值范围是（ ）
A ．a ＞1
B ．a ＜1
C ．a≤1
D ．a≥1
解 :D
例2. 设f(x)＝x 2－x ＋b ，| x －a |<1，求证：| f(x) －f(a) |<2(| a |＋1).
解：∵｜x －a ｜＜1
∴｜f(x)－f(a)｜＝｜(x 2－x ＋b)－(a 2－a ＋b)｜
＝｜x －a ｜⋅｜x ＋a －1｜＜｜x ＋a －1｜＝｜(x －a)＋2a －1｜
≤｜x －a ｜＋｜2a ｜＋1＝2(｜ a ｜＋1)
变式训练2：若a 、b ∈R ，α, β是方程x 2＋a x ＋b ＝0的两根，且|a|＋| b |＜1，求证：| α |＜1且| β |＜1．
解 :由韦达定理和绝对值不等式的性质可证得
例3. 已知f(x)＝x ，g(x)＝x ＋a(a>0)，⑴ 当a ＝4时，求)
()()(x f x g a x f -的最小值；⑵ 若
不等式)
()()(x f x g a x f ->1对x ∈[1, 4]恒成立，求a 的取值范围． 解 : (1)a ＝4时，最小值15； (2)1)
()()(>-x f x ag x f ，x ∈[1，4]恒成立． 等价变形后，只要a(t ＋t a
)＞2，t ∈[1，2]恒成立
(t ＝x )
设h(t)＝a(t ＋t a
)，h'＝(t) a(1－
2t a ) 当0＜t ＜
a 时，h'(t)＜0，h(t)单调递减； 当t ＞
a 时，h'(t)＞0，h(t)单调递增； 当t ＝a 时，h'(t)＝0，h(a )为极小值；
这样对于t ∈[1，2]有
① a ＞2时，h(t)min ＝h(2)＝a(2＋2a )＞2 a ＞4
② 1≤a ≤2时，h(t)min ＝h a ＝2a a ＞2
∴ 1＜a ≤4
③ 0＜a ＜1时，h(t)min ＝h(1)＝a(a ＋1) ∴无解
综上知：a ＞1
变式训练3：已知适合不等式| x 2－4x ＋p|＋| x －3 |≤5的x 的最大值是3，求p 的值． 解 :P ＝8
例4. 设a 、b ∈R ，已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c ，g(x)＝cx 2＋bx ＋a ，当｜x ｜≤1时，｜f(x)｜≤２
⑴ 求证：｜g(1)｜≤２；⑵ 求证：当｜x ｜≤1时，| g(x)|≤4.
证明(1) ∵｜x ｜≤1时，｜f(x)｜≤2
｜g(1)｜＝｜c ＋b ＋a ｜＝｜f (x)｜≤2
(2) 当｜x ｜≤1时，
｜g(x)｜＝｜cx 2＋bx ＋a ｜＝｜c(x 2－1)＋bx ＋a ＋c ｜
＝｜c(x 2－1)｜＋｜bx ＋a ＋c ｜
≤｜c ｜＋｜a±b ＋c ｜≤2＋2＝4
变式训练4：(1) 已知：| a |＜1，| b |＜1，求证：|
b a ab --1|＞1； (2)求实数λ的取值范围，使不等式|
b
a a
b --λλ1|＞1对满足| a |＜1，| b |＜1的一切实数a 、b 恒成立；
(3) 已知| a |＜1，若|ab b a ++1|＜1，求b 的取值范围.
(1)证明：|1－ab|2－|a －b|2＝1+a 2b 2－a 2－b 2
＝(a 2－1)(b 2－1).
∵| a |＜1，| b |＜1，∴a 2－1＜0，b 2－1＜0.
∴|1－ab|2－|a －b|2＞0. ∴|1－ab|＞|a －b|，
|||1|b a ab --＝|
||1|b a b a -⋅-＞1. (2)解：∵|b
a a
b --λλ1|＞1⇔|1－abλ|2－|aλ－b|2
＝(a 2λ2－1)(b 2－1)＞0.
∵b 2＜1，∴a 2λ2－1＜0对于任意满足| a |＜1的a 恒成立.
当a ＝0时，a 2λ2－1＜0成立；
当a ≠0时，要使λ2＜
21a 对于任意满足| a |＜1的a 恒成立，而21a
＞1， ∴ |λ|≤1. 故－1≤λ≤1. (3)|ab b a ++1|＜1⇔(ab b a ++1)2＜1 ⇔(a+b)2＜(1+ab)2⇔a 2+b 2－1－a 2b 2＜0
⇔(a 2－1)(b 2－1)＜0.
∵|a|＜1，∴a 2＜1.∴1－b 2＞0，即－1＜b ＜1.
1．利用性质｜|a|－|b|｜≤｜a ＋b ｜≤|a|＋|b|时，应注意等号成立的条件．
2．解含绝对值的不等式的总体思想是：将含绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式求解．
3．绝对值是历年高考的重点，而绝对值不等式更是常考常新，教学中，应注意绝对值与函数问题的结合．。