2020年高考数学(理)冲刺模拟卷(五)(全国版含答案解析)
全国卷高考数学模拟卷(含答案)
全国卷高考数学模拟卷(含答案)全国卷-数学本试题卷共6页，23题（含选考题），全卷满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5.考试结束后，请将答题卡上交。
一、选择题：1.已知集合A={x|x-1>0}。
B={-2.2-1.1}，则A∩B=？A。
{-2.-1} B。
{-2} C。
{-1.1} D。
{0.1}2.设复数z=-1+ i（i是虚数单位），z的共轭复数为z，则(1+z)/(1-z)=？A。
-12/55+i/55 B。
-12/55-i/55 C。
12-i/55 D。
-12+i/553.若sin(α-π/4)=4/32，α∈(0,π/2)，则cosα的值为？A。
4-2√7/27 B。
4-√7/3 C。
4+√7/3 D。
4+2√7/274.已知双曲线(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1(a>0,b>0)的一个焦点为F(0,-2)，一条渐近线的斜率为3，ab，则该双曲线的方程为？A。
(y-2)^2/9 - x^2/4 = 1 B。
x^2/9 - (y-2)^2/4 = 1 C。
-x^2/9 + (y-2)^2/4 = 1 D。
(y+2)^2/9 - x^2/4 = 15.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为？A。
56-8π/3 B。
64-8π/3 C。
64-4π/3 D。
新高考数学模拟卷(附答案)
新高考数学模拟卷（考试时长120分钟，总分150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若1i z =+，则2|2|z z -=A ．0B ．1CD ．22.已知集合{}31|3,|log 02A x x B x x ⎧⎫=<<=<⎨⎬⎩⎭，则A B ⋂=( )A.122x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣ B.112x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣ C.{13}xx <<∣ D.1123xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣ 3. 已知a ，b 是单位向量，c ＝a ＋2b ，若a ⊥c ，则|c |＝A.34.已知,,a b ∈R 则“||1a ”是“||||1a b b -+”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5. 将函数2log (22)y x =+的图象向下平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到函数()g x 的图象，则()g x = A.2log (21)1x +- B.2log (21)1x ++ C.2log 1x - D.2log x6. 某中学举行“十八而志,青春万岁”成人礼，现在需要从4个语言类节目和6个歌唱类节目中各选2个节目进行展演，则语言类节目A 和歌唱类节目B 至少有一个被选中的不同选法种数是 A.15 B.45 C.60D.757.已知拋物线22y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与拋物线交于M ，N 两点，若3,PF MF =则||MN =( )A.163B.83C.2 8. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 分别是棱1AA ，1CC 的中点，过点,E F 的平面分别与棱1BB ，1DD 交于点G ，H ，给出以下四个命题：①平面EGFH 与平面ABCD 所成角的最大值为45°； ②四边形EGFH 的面积的最小值为1；③四棱锥1C EGFH -的体积为定值16；④点1B 到平面EGFH. 其中正确命题的序号为（ ） A ．②③ B ．①④C ．①③④D ．②③④二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.若函数2(),f x x =设155151log 4,log ,2,3a b c ===则(),(),()f a f b f c 的大小关系不正确的是( )A.()()()f a f b f c >>B.()()()f b f c f a >>C.()()()f c f b f a >>D.()()()f c f a f b >>10.已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题不正确的是( )A.若m α⊂，则m β⊥B.若,m n αβ⊂⊂，则m n ⊥C.若,m m αβ⊂⊥/，则//m αD.若,m n m αβ⋂=⊥，则n α⊥11.已知函数()2sin()(0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<，ππ082f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 在(0,π)上单调.下列说法不正确的是( ) A.12ω=B.π6282f -⎛⎫-= ⎪⎝⎭C.函数()f x 在ππ,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增D.函数()y f x =的图象关于点3π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称 12.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()e (1)x f x x -=-.下列命题正确的是( ) A.当0x <时，()e (1)x f x x =+ B.函数()f x 有5个零点C.若关于x 的方程()f x m =有解，则实数m 的范围是[(2),(2)]f f -D.对()()1221,,2x x f x f x ∀∈-<R 恒成立三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在6211(1)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中含2x 项的系数为____________.（用数字作答）.14.已知圆22(2)(1)2x y -+-=关于直线1(0,0)ax by a b +=>>对称，则21a b+的最小值为_______. 15.巳知球O 为正四面体ABCD 的内切球，E 为棱BD 的中点，2AB =,则平面ACE 截球O 所得截面圆的面积为____________.16. 对平面直角坐标系xOy 中的两组点，如果存在一条直线ax ＋by ＋c ＝0使这两组点分别位于该直线的两侧，则称该直线为“分类直线”，对于一条分类直线l ，记所有的点词l 的距离的最小值为d ，约定：d 1越大，分类直线l 的分类效果越好，某学校高三（2）出的7位同学在2020年期间网购文具的费用x （单位：百元）和网购图书的费用y （单位：百元）的情况如图所示，现将P 1，P 2，P 3和P 4归为第I 组点，樽Q 1，Q 2，和Q 3归为第II 组点，在上述约定下，可得这两组点的分类效果最好的分类直线，记为L 给出下列四个结论：①直线x ＝2.5比直线3x －y －5＝0的分类效果好； ②分类直线L 的斜率为2；③该班另一位同学小明的网购文具与网购图书的费用均为300元，则小明的这两项网购花销的费用所对应的点与第II组点位于L的同侧；④如果从第I组点中去掉点P1，第II组点保持不变，则分类效果最好的分类直线不是L。
金考卷—百校联盟—领航高考冲刺卷(理数答案)
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14垫［考查目标］ 本题主要; α厕ˉl≠0,所以α″ˉα″ˉ｜＝1,又易知αl＝1 ’故数列｛α鹏｝是首项和公
本题主要考 查双曲线的离心率,考查了分析
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差都为l的等差数列,故α,＝＂｀s＂＝÷″（″＋l） ’则b＂＝ 2
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问题和解决问题的能力。
（—］）,警二（—］）馏（←击） ,则数列｜h鹏｜的煎2022项和
考生的逻辑椎理能力以及运算求解能力,考查的核心素养是逻辑椎
面积,再利用几何概型的概率计算公式求解即可。
≤沪 ［解析］ 如图所示,设AB＝α,连接CF,根据
题意可知乙CEF＝90°’乙CFE＝45°,EF＝
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÷』则cF＝粤α;正八边形的面积为α2＋4×
理｀数学运算。 ［解题思路］ 分公比是否为l进行讨论,再利用等比数列的前门项 和公式及定义求解即可。 ［解析］ 设等比数列｛α′』 ｝的公比为q’当q＝1时,S＂＿2α｜ ＝nαl
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全国新高考一卷地区2024届普通高等学校招生模拟考试数学试题(含答案与解析)_9229
2023~2024学年普通高等学校招生模拟考试数学试卷本试卷共6页，共19小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效，4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知i 为虚数单位，且复数2024i 6z =，则下列说法中正确的是（ ）.A. 复数z 实数B. 2024i i =C. 复数z 为纯虚数D. 6i z =-2. 已知集合{}31,Z A x x k k ==+∈，则下列表示正确的是（ ）. A. 2A -∈ B. 2023A ∉ C. 231k A +∉D. 35A -∉3. 已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为积为（ ） A. 100πB. 128πC. 144πD. 192π4. 若a ，b 都是正数，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为（ ） A. 4 B. 8C.D.5. 神舟十五号飞行任务是中国载人航天工程2022年的第六次飞行任务，也是中国空间站建造阶段最后一次为飞行任务，航天员乘组将在轨工作生活6个月.某校为了培养学生们的航天精神，特意举办了关于航天知识的知识竞赛，竞赛一共包含两轮.高三（9）班派出了u 和v 两位同学代表班级参加比赛，每轮竞赛u 和v 两位同学各答1题.已知u 同学每轮答对的概率是45，v 同学每轮答对的概率是34，每轮竞赛中u 和v 两位同学答对与否互不影响，每轮结果亦互不影响，则u 和v 两位同学至少答对3道题的概率为（ ）.A.39200B.129200C.12950D.39506. 椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>左顶点为M ，点,A B 均在E 上，且点,A B 关于点y 轴对称，若直线,MA MB 均存在斜率，且斜率之积为18，记E 的离心率为e ，则2e =（ ）.A.18B.C.78D.147. 若直线π4x =是πsin()4y x ω=-(0)>ω的一条对称轴，且在区间π[0,12上不单调，则ω的最小值为（ ） A. 9B. 7C. 11D. 38. 设函数()f x 在R 上满足()()22f x f x -=+，()()77f x f x -=+，且在区间[]07，上只有()()130f f ==，则方程()0f x =在闭区间[]20232023-，上根的个数为（ ）. A. 806B. 810C. 807D. 811二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 如图，在下列给出的正方体中，点M N ，为顶点，点O 为下底面的中心，点P 为正方体的棱所在的中点，则OP 与MN 不垂直的是（ ）.A. B.C. D.10. 已知直线2:0l mx ny r +-=与圆222:C x y r +=，点(),P m n ，则下列命题中是假命题的是（ ）.的A. 若点P 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离B. 若点P 在圆C 内，则直线l 与圆C 相交C. 若点P 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切D. 若点P 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切11. 中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设a ，b ，m （m >0）为整数，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为a ≡b （mod m ）.如9和21除以6所得的余数都是3，则记为9≡21（mod 6）.若0122222222222222C C 2C 2C 2a =+⋅+⋅++⋅ ，a ≡b （mod 10），则b 的值可以是（ ）. A. 2019B. 2023C. 2029D. 2033三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知向量a 与b相互垂直，且3a = ，2b = ，则()()a b a b +⋅-= _____.13. 已知符号“lim ”代表极限的意思，现给出两个重要极限公式：①0sin lim1x xx →=；②10lim(1)e x x x →+=，则依据两个公式，类比求0sin cos limx x xx→=_____；1sin cos 0lim(1sin 2)x x x x →+= ________. 14. 已知函数()2e e e xxxg x x x =--，若方程()g x k =有三个不同实根，则实数k 的取值范围是_________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 当今社会面临职业选择时，越来越多的青年人选择通过创业､创新的方式实现人生价值.小明是一名刚毕业的大学生，通过直播带货的方式售卖自己家乡的特产，下面是他近5个月的家乡特产收入y （单位：万元）情况，如表所示. 月份 5 6 7 8 9 时间代号t 1 2 3 4 5 家乡特产收入y 32.42.221.8（1）根据5月至9月的数据，求y 与t 之间的线性相关系数（精确到0.001），并判断相关性；（2）求出y 关于t 的回归直线方程（结果中b 保留两位小数），并预测10月收入能否突破1.5万元，请说明理由.的附：相关系数公式：nnt y nt yr ==.（若0.75r >，则线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合）②一组数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),nnx y ，其回归直线方程y bx a =+$$$的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为1221ni ii ni i x y nx yb x nx==-=-∑∑ ， a y bx=- .③参考数据：2.91≈.16. 已知数列{}n a 是公差为d 的等差数列，2n na b n-=. （1）证明：数列{}n b 也等差数列；（2）若13a d ==，数列{}n c 是以数列{}n b 的公差为首项，2为公比的等比数列，数列{}n n b c 的前n 项和n T ，证明：1n T ≥.17. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BCC B 为正方形，平面11BCC B ⊥平面11ABB A ，2AB BC ==，M ，N 分别为11A B ，AC 的中点．（1）求证：MN ∥平面11BCC B ；（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB 与平面BMN 所成角的正弦值． 条件①：AB MN ⊥； 条件②：BM MN =．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．18. 已知1(2,0)F -，2(2,0)F ，点P 满足122PF PF -=，记点P 的轨迹为E .直线l 过点2F 且与轨迹E 交为于P 、Q 两点.（1）无论直线l 绕点2F 怎样转动，在x 轴上总存在定点(,0)M m ，使MP MQ ⊥恒成立，求实数m 值；（2）在（1）的条件下，求MPQ 面积的最小值. 19. 已知当π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，2()πxf x =，()sin g x x =，()h x x =. （1）证明：()()()f x g x h x ＜＜；（2）已知()()()0f x g x h x --＜，证明：()π()2πh x g x -（π可近似于3.14）. 参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知i 为虚数单位，且复数2024i 6z =，则下列说法中正确的是（ ）.A. 复数z 为实数B. 2024i i =C. 复数z 为纯虚数D. 6i z =-【答案】A 【解析】【分析】借助复数的运算法则计算即可得. 【详解】()()1012101220242i i 11==-=，故6z =，故A 正确，B 、C 、D 错误. 故选：A.2. 已知集合{}31,Z A x x k k ==+∈，则下列表示正确的是（ ）. A. 2A -∈ B. 2023A ∉ C. 231k A +∉ D. 35A -∉【答案】A 【解析】【分析】令31k +分别为选项中不同值，求出k 的值进行判定.的【详解】当1k =-时，2x =-，所以2A -∈，故A 正确；当674k =时，367412023x =⨯+=，所以2023A ∈，故B 错误； 当1k =或0k =时，23131k k +=+，所以231k A +∈，故C 错误； 当12k =-时，123135x =-⨯+=-，所以35A -∈，故D 错误. 故选：A3. 已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为积为（ ） A. 100π B. 128πC. 144πD. 192π【答案】A 【解析】【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径12,r r ，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径12,r r ，所以1222r r ==123,4r r ==，设球心到上下底面的距离分别为12,d d ，球的半径为R ，所以1d =，2d =121d d -=或121d d +=1=，解得225R =符合题意，所以球的表面积为24π100πS R ==． 故选：A ．4. 若a ，b 都是正数，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为（ ）A. 4B. 8C. D.【答案】A 【解析】【分析】将1ab =代入，利用基本不等式直接求解即可得出结论． 【详解】若a ，b 都是正数，且1ab =∴11888422222b a a b a b a b a b a b +++=++=+=+++≥， 当且仅当4a b +=时等号成立， 故选：A.5. 神舟十五号飞行任务是中国载人航天工程2022年的第六次飞行任务，也是中国空间站建造阶段最后一次飞行任务，航天员乘组将在轨工作生活6个月.某校为了培养学生们的航天精神，特意举办了关于航天知识的知识竞赛，竞赛一共包含两轮.高三（9）班派出了u 和v 两位同学代表班级参加比赛，每轮竞赛u 和v 两位同学各答1题.已知u 同学每轮答对的概率是45，v 同学每轮答对的概率是34，每轮竞赛中u 和v 两位同学答对与否互不影响，每轮结果亦互不影响，则u 和v 两位同学至少答对3道题的概率为（ ）.A.39200B.129200C.12950D.3950【答案】D 【解析】【分析】分别求出答对4道题，答对3道题的概率，再求和事件的概率即可.【详解】若u 和v 两位同学答对4道题，则其概率为224395425⎛⎫⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；若u 和v 两位同学答对3道题，则其概率为22143134212255444550⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；故u 和v 两位同学至少答对3道题的概率为92139255050+=. 故选：D.6. 椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左顶点为M ，点,A B 均在E 上，且点,A B 关于点y 轴对称，若直线,MA MB 均存在斜率，且斜率之积为18，记E 的离心率为e ，则2e =（ ）.A.18B.C.78D.14【答案】C 【解析】【分析】根据题意得到,,M A B 的坐标，进而利用两点距离公式与点在椭圆上得到关于,a b 的齐次方程，从而得解.【详解】由题可得(),0M a -，设()()0000,,,A x y B x y -. 则20002200018AM BMy y y k k x a a x a x ⋅=⋅==+--， 又222222000022222118x y y a x b a b b a a -+=⇒=⇒=， 则22222287a b c a b b ==-=,.则222227788c b e a b===. 故选：C 7. 若直线π4x =是πsin()4y x ω=-(0)>ω的一条对称轴，且在区间π[0,12上不单调，则ω的最小值为（ ） A. 9 B. 7C. 11D. 3【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件求出ω的关系式，再求出函数πsin()4y x ω=-含0的单调区间即可判断作答.【详解】因直线π4x =是πsin (0)4y x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的一条对称轴，则ππππ,Z 442k k ω-=+∈，即43,Z k k ω=+∈，由πππ242x ω-≤-≤，得π3π44x ωω-≤≤，则πsin()4y x ω=-在π3π[,44ωω-上单调递增， 而πsin(4y x ω=-在区间π[0,12上不单调，则3ππ412ω<，解得9ω>， 综上，ω的最小值为11. 故选：C8. 设函数()f x 在R 上满足()()22f x f x -=+，()()77f x f x -=+，且在区间[]07，上只有()()130f f ==，则方程()0f x =在闭区间[]20232023-，上根的个数为（ ）. A. 806 B. 810C. 807D. 811【答案】B 【解析】【分析】先根据条件确定函数周期，然后确定一个周期内的根的个数，进而得到在闭区间[]20232023-，上根的个数.【详解】因为()()22f x f x -=+，所以()()4f x f x -=+， 又()()77f x f x -=+，所以()()14f x f x -=+， 所以()()414f x f x +=+，即()()10f x f x =+， 所以函数()f x 的周期为10，在区间[]07，上只有()()130f f ==， 所以()0f x =在(]4,7上无解， 则()70f x -=在(]0,3上无解， 又()()77f x f x -=+，所以()70f x +=在(]0,3上无解，，即()0f x =在(]7,10上无解， 即一个周期[]0,10内，方程的根只有1,3，闭区间[]20202020-，上含有404个周期，此时有4042808⨯=个根， 在区间(]20202023，内，()()()()202110,202330,f f f f ==== 对于区间[)2023,2020--，根据周期等价于区间[)7,10，该区间上无解，故方程()0f x =在闭区间[]20232023-，上根的个数为810. 故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 如图，在下列给出的正方体中，点M N ，为顶点，点O 为下底面的中心，点P 为正方体的棱所在的中点，则OP 与MN 不垂直的是（ ）.A. B.C. D.【答案】CD 【解析】【分析】建立适当空间直角坐标系，利用空间向量分析判断即可. 【详解】设正方体的棱长为2，对A ：建立如图所示空间直角坐标系，则(2,2,2),(0,2,0),(0,0,1),(1,1,0)M N P O ，可得(2,0,2),(1,1,1)MN OP =--=-- ，则2020MN OP ⋅=+-=，所以MN OP ⊥，即MN OP ⊥，故A 错误；对B ：建立如图所示空间直角坐标系，则(0,0,2),(2,0,0),(2,0,1),(1,1,0)M N P O ，可得(2,0,2),(1,1,1)MN OP =-=- ，则2020MN OP ⋅=+-=，所以MN OP ⊥，即MN OP ⊥，故B 错误；对C ：建立如图所示空间直角坐标系，则(0,2,0),(0,0,2),(2,1,2),(1,1,0)M N P O ，可得(0,2,2),(1,0,2)MN OP =-= ，则0040MN OP ⋅=++≠，所以MN 与OP不垂直，即MN 与OP 不垂直，故C 正确；对D ：建立如图所示空间直角坐标系，则(2,0,2),(0,2,2),(0,2,1),(1,1,0)M N P O ，可得(2,2,0),(1,1,1)MN OP =-=- ，则2200MN OP ⋅=++≠，所以MN 与OP不垂直，即MN 与OP 不垂直，故D 正确.故选：CD.10. 已知直线2:0l mx ny r +-=与圆222:C x y r +=，点(),P m n ，则下列命题中是假命题的是（ ）. A. 若点P 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离 B. 若点P 在圆C 内，则直线l 与圆C 相交 C. 若点P 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切 D. 若点P 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切【答案】AB【解析】【分析】根据直线和圆相切、相交、相离的等价条件进行求解即可. 【详解】对于A ，因为点(),P m n 在圆C 外，所以222m n r +>， 则圆心()0,0C 到直线l的距离为d r <，所以直线l 与圆C 相交，故命题A 是假命题；对于B ，因为点(),P m n 在圆C 内，所以222m n r +<， 则圆心()0,0C 到直线l的距离为d r >，所以直线l 与圆C 相离，故命题B 是假命题；对于C ，因为点(),P m n 在圆C 上，所以222m n r +=， 则圆心()0,0C 到直线l的距离为d r =，所以直线l 与圆C 相切，故命题C 是真命题；对于D ，因为点(),P m n 在直线l 上，所以2220m n r +=-，即222m n r +=， 则圆心()0,0C 到直线l的距离为d r =，所以直线l 与圆C 相切，故命题D 是真命题； 故选：AB.11. 中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设a ，b ，m （m >0）为整数，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为a ≡b （mod m ）.如9和21除以6所得的余数都是3，则记为9≡21（mod 6）.若0122222222222222C C 2C 2C 2a =+⋅+⋅++⋅ ，a ≡b （mod 10），则b 的值可以是（ ）. A. 2019 B. 2023 C. 2029 D. 2033【答案】AC 【解析】【分析】先利用二项式定理化简得223a =；再利用二项式定理将()11221139101==-展开可得到a 除以10所得的余数是9，进而可求解.【详解】因为()22012222222222222222C C 2C 2C 2123a =+⋅+⋅++⋅=+=()()112211011110101101019101111111111111139101C 10C 10C 10C 10C 10C 10C 19==-=⨯-⨯++⨯-=⨯-⨯++-+所以a 除以10所得的余数是9. 又因为a ≡b （mod 10） 所以b 除以10所得的余数是9.而2019201109=⨯+，2023202103=⨯+，2029202109=⨯+，2033203103=⨯+ 故选：AC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知向量a 与b相互垂直，且3a = ，2b = ，则()()a b a b +⋅-= _____.【答案】5 【解析】【分析】根据向量的数量积运算法则即可求解.【详解】()()2222325a b a b a a b b a b +⋅-=⋅-⋅=-=-= ，故答案为：513. 已知符号“lim ”代表极限的意思，现给出两个重要极限公式：①0sin lim1x xx →=；②10lim(1)e x x x →+=，则依据两个公式，类比求0sin cos lim x x x x→=_____；1sin cos 0lim(1sin 2)x x x x →+= ________. 【答案】 ①. 1②. 2e【解析】【分析】根据题意，结合极限的运算法则，准确计算，即可求解.【详解】由极限的定义知：①0sin lim1x xx→=；②10lim(1)e x x x →+=， 因为sin cos sin 22x x x x x =，sin 2t x =，可得sin 2sin 2x tx t =， 则00sin cos sin limlim 1x t x x tx t→→==； 又因为12sin cos sin 2(1sin 2)(1sin 2)x x x x x +=+，令sin 2t x =，可得22sin 2(1sin 2)(1)x t x t +=+， 所以12122sin cos 0lim(1sin 2)lim(1)lim (1e [)]x xt t x t t x t t →→→+=+=+=.故答案为：1；2e .14. 已知函数()2e e e xxxg x x x =--，若方程()g x k =有三个不同的实根，则实数k 的取值范围是_________. 【答案】()20,5e -【解析】【分析】通过求导得出函数的单调性和极值，即可得出有三个实根时实数k 的取值范围. 【详解】由题意，()2e e e xxxg x x x =--中，()()2e2xg x xx '=+-，当()0g x '=时，解得2x =-或1，当()0g x '<即2<<1x -时，()g x 单调递减， 当()0g x '>即<2x -，1x >时，()g x 单调递增，∵()()()2222222e 2e e 5e g -----=----=，()1111e e e e g =--=-，当()()22,1e0xx g x x x -=--，方程()g x k =有三个不同的实根， ∴()02k g <<-即205e k -<<， 故答案为：()20,5e-.【点睛】易错点点点睛：本题考查函数求导，两函数的交点问题，在研究函数的图象时很容易忽略()()22,1e 0x x g x x x -=--这个条件.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 当今社会面临职业选择时，越来越多的青年人选择通过创业､创新的方式实现人生价值.小明是一名刚毕业的大学生，通过直播带货的方式售卖自己家乡的特产，下面是他近5个月的家乡特产收入y （单位：万元）情况，如表所示. 月份 5 6 7 8 9 时间代号t 1 2 3 4 5 家乡特产收入y32.42.221.8在（1）根据5月至9月的数据，求y 与t 之间的线性相关系数（精确到0.001），并判断相关性；（2）求出y 关于t 的回归直线方程（结果中b 保留两位小数），并预测10月收入能否突破1.5万元，请说明理由.附：相关系数公式：nnt y nt yr ==.（若0.75r >，则线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合）②一组数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),nnx y ，其回归直线方程y bx a =+$$$的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为1221ni ii ni i x y nx yb x nx==-=-∑∑ ， a y bx=- .③参考数据：2.91≈.【答案】（1）0.962r ≈-，y 与t 具有很强的线性相关关系（2） 0.28 3.12y t =-+，10月收入从预测看不能突破1.5万元，理由见解析 【解析】【分析】（1）直接套公式求出y 与t 之间的线性相关系数，即可判断； （2）套公式求出系数b 、a ，即可得到回归方程，并求出10月份的收入.小问1详解】（1）由5月至9月的数据可知1234535t ++++==，3 2.4 2.22 1.82.285y ++++==，51132 2.43 2.2425 1.831.4i i i t y ==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，()5214101410i i t t=-=++++=∑，()522222210.720.120.080.280.480.848ii y y =-=++++=∑，所以所求线性相关系数【为550.962t yr ===≈-.因为相关系数的绝对值0.9620.9620.75r =-=>， 所以认为y 与t 具有很强的线性相关关系. 【小问2详解】 由题得522222211234555ii t==++++=∑，51522215 3.1453 2.28 2.80.285553105i ii i i t y t ybt t==--⨯⨯-====--⨯-∑∑ ， 所以 ()2.280.283 3.12a y bt=-=--⨯= ， 所以y 关于t 的回归直线方程为 0.28 3.12y t =-+. 当6t =时， 0.286 3.12 1.44y =-⨯+=，因为144 15<．．，所以10月收入从预测看不能突破1.5万元. 16. 已知数列{}n a 是公差为d 的等差数列，2n na b n-=. （1）证明：数列{}n b 也为等差数列；（2）若13a d ==，数列{}n c 是以数列{}n b 的公差为首项，2为公比的等比数列，数列{}n n b c 的前n 项和n T ，证明：1n T ≥. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）通过计算1n n b b +-为定值可证明等差数列；（2）先求出数列的通项公式，然后利用错位相减法求n T ，根据n T 的结构即可证明不等式. 【小问1详解】∵2n na b n-=， ∴2n n b a n =-，∴()()1112122n n n n n n b b a n a n a a +++⎡⎤-=-+--=--⎣⎦， 又∵数列{}n a 是公差为d 的等差数列， ∴1n n a a d +-=， ∴12n n b b d +-=-，∴数列{}n b 是以2d -为公差的等差数列； 【小问2详解】 ∵13a d ==，∴112321b a =-=-=，2321d -=-=， ∴数列{}n b 是以1为首项，1为公差的等差数列. ∴1(1)1n b n n =+-⨯=，∴数列{}n c 是以1为首项，2为公比的等比数列， ∴11122n n n c --=⨯=，∴1·2n n n b c n -=，∴1121112222n n T n ---=⨯+⨯++⨯ ①，∴2n T =()21112122n n n n --⨯+++⨯⨯- ②，∴②-①得，11222n n n T n n -=----⨯+⨯()11222n n n n -=-+++⨯+⨯12212n n n -=-+⋅-122n n n =-+⋅()121n n =-+，∵1n ≥且n 为正整数， ∴10n -≥，20n ＞，∴()1211nn T n =-+≥（当1n =时取等）.17. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BCC B 为正方形，平面11BCC B ⊥平面11ABB A ，2AB BC ==，M ，N 分别为11A B ，AC 的中点．（1）求证：MN ∥平面11BCC B ；（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB 与平面BMN 所成角的正弦值． 条件①：AB MN ⊥； 条件②：BM MN =．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】【分析】（1）取AB 的中点为K ，连接,MK NK ，可证平面//MKN 平面11BCC B ，从而可证//MN 平面11BCC B .（2）选①②均可证明1BB ⊥平面ABC ，从而可建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量可求线面角的正弦值. 【小问1详解】取AB 的中点为K ，连接,MK NK ，由三棱柱111ABC A B C -可得四边形11ABB A 为平行四边形， 而11,B M MA BK KA ==，则1//MK BB ，而MK ⊄平面11BCC B ，1BB ⊂平面11BCC B ，故//MK 平面11BCC B ， 而,CN NA BK KA ==，则//NK BC ，同理可得//NK 平面11BCC B ， 而,,NK MK K NK MK =⊂ 平面MKN ，故平面//MKN 平面11BCC B ，而MN ⊂平面MKN ，故//MN 平面11BCC B ， 【小问2详解】因为侧面11BCC B 为正方形，故1CB BB ⊥，而CB ⊂平面11BCC B ，平面11CBB C ⊥平面11ABB A ， 平面11CBB C ⋂平面111ABB A BB =，故CB ⊥平面11ABB A ， 因为//NK BC ，故NK ⊥平面11ABB A ， 因AB ⊂平面11ABB A ，故NK AB ⊥，若选①，则AB MN ⊥，而NK AB ⊥，NK MN N = ， 故AB ⊥平面MNK ，而MK ⊂平面MNK ，故AB MK ⊥，所以1AB BB ⊥，而1CB BB ⊥，CB AB B ⋂=，故1BB ⊥平面ABC ，故可建立如所示的空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,0,2,0,1,1,0,0,1,2B A N M ，故()()()0,2,0,1,1,0,0,1,2BA BN BM ===，设平面BNM 的法向量为(),,n x y z =，则0n BN n BM ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，从而020x y y z +=⎧⎨+=⎩，取1z =-，则()2,2,1n =-- ，设直线AB 与平面BNM 所成的角为θ，则42sin cos ,233n AB θ===⨯ .若选②，因为//NK BC ，故NK ⊥平面11ABB A ，而KM ⊂平面11ABB A ， 故NK KM ⊥，而11,1B M BK NK ===，故1B M NK =， 而12B B MK ==，MB MN =，故1BB M MKN ≅ ， 所以190BB M MKN ∠=∠=︒，故111A B BB ⊥，为而1CB BB ⊥，CB AB B ⋂=，故1BB ⊥平面ABC ，故可建立如所示的空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,0,2,0,1,1,0,0,1,2B A N M ，故()()()0,2,0,1,1,0,0,1,2BA BN BM ===，设平面BNM 的法向量为(),,n x y z =，则00n BN n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，从而020x y y z +=⎧⎨+=⎩，取1z =-，则()2,2,1n =-- ， 设直线AB 与平面BNM 所成的角为θ，则42sin cos ,233n BA θ===⨯ .18. 已知1(2,0)F -，2(2,0)F ，点P 满足122PF PF -=，记点P 的轨迹为E .直线l 过点2F 且与轨迹E 交于P 、Q 两点.（1）无论直线l 绕点2F 怎样转动，在x 轴上总存在定点(,0)M m ，使MP MQ ⊥恒成立，求实数m 的值；（2）在（1）的条件下，求MPQ 面积的最小值. 【答案】18. 1m =-19. 9 【解析】【分析】（1）由双曲线定义即可得点P 的轨迹方程，设出直线l 方程，联立双曲线方程可得与x 有关韦达定理，借助向量垂直数量积为0可计算出M 点坐标；（2）借助弦长公式与点到直线的距离公式可表示出面积，再借助换元法计算即可得解.【小问1详解】由12122PF PF F F -=<知，点P 的轨迹E 是以1F 、2F 为焦点的双曲线的右支，设轨迹E 的方程为22221(1)x y x a b-=≥，0a >，0b >，2c = ，22a =，23b ∴=，故轨迹E 的方程为221(1)3y x x -=≥，当直线l 的斜率存在时，设直线方程为(2)y k x =-，()11,P x y ，()22,Q x y ，与双曲线方程联立2213(2)y x y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，可得()222234430k x k x k --++=， 有()()24222122212230Δ16434304034303k k k k k x x k k x x k ⎧-≠⎪=--+>⎪⎪⎪⎨+=>⎪-⎪+⎪⋅=>⎪-⎩，解得23k >， ()()()12121MP MQ x m x m y y x m ⋅=--+=-.()()()221222x m k x x -+--()()()22221212124k x x k m x x m k =+-++++()()()222222214342433k k k k m m k k k +++=-++--2223(45)3m k m k -+=+- ()()222245313m m k m k --+-=-MP MQ ⊥ ，0MP MQ ∴⋅=， 故得()()22231450mk mm -+--=对任意的23k >恒成立，2210,450,m m m ⎧-=∴⎨--=⎩解得1m =-， ∴当1m =-时，MP MQ ⊥.当直线l 斜率不存在时，可得(2,3)P ，则(2,3)Q -，此时有()()3312121-⋅=-----，即此时结论也成立，综上，当1m =-时，MP MQ ⊥；【小问2详解】由（1）知(1,0)M -，当直线l的斜率存在时，()222613k PQ x k +=-=-，点M 到直线PQ 的距离为d，则d =，1||2MPQS PQ d ∴====令23(0)k t t-=>，则MPQ S = 10t> ，9MPQ S ∴=> ， 当直线l 的斜率不存在时，13692MPQ S =⨯⨯= ， 综上可知，MPQ S 的最小值为9.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式； （5）代入韦达定理求解.19. 已知当π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，2()πx f x =，()sin g x x=，()h x x =. 的（1）证明：()()()f x g x h x ＜＜；（2）已知()()()0f x g x h x --＜，证明：()π()2πh x g x -（π可近似于3.14）. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）令π()()()sin ,02F x h x g x x x x ⎛⎫=-=-∈ ⎪⎝⎭，，求导得到函数单调性，得到sin x x >，要证()()f x g x ＜，只需证2sin πx x ＜，构造πsin 2()x G x x =-，π(0)2x ∈，，二次求导得到单调性，得到π()02G x G ⎛⎫= ⎪⎝⎭＞，证明出()(),(0)π2f x g x x ∈＜，，证明出不等式；（2）变形得到0ππ(2)sin x x --<，两边同时除以(2)s πin 0x -<得到：πsin 2πx x -＞，证明出不等式. 【小问1详解】令π()()()sin ,02F x h x g x x x x ⎛⎫=-=-∈ ⎪⎝⎭，，∴()1cos 0F x x =->'在π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上恒成立，∴()F x 在π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上单调递增， ∴()(0)0F x F =＞， ∴sin x x >，∴π()(),(0)2g x h x x ∈＜，， 要证()()f x g x ＜，只需证2sin πxx ＜， ∵π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴只需证2sin πx x ＜， 令πsin 2()x G x x =-，π(02x ∈，，∴2cos sin ()x x xG x x -'=，∴22cos tan cos cos ()(tan )x x x x xG x x x x x-'==-， 令()tan M x x x =-，π(02x ∈，，∴2221cos 1()1cos cos x M x x x-'=-=， 又∵当π(02x ∈，时，20cos 1x ＜＜， ∴当π(0)2x ∈，时，()0M x '＜， ∴()M x 在(0)π2，上单调递减， ∴()(0)0M x M =＜， ∴当π(0)2x ∈，时，()0G x '＜， ∴()G x 在(0π2，上单调递减∴π()02G x G ⎛⎫= ⎪⎝⎭＞，∴2sin πx x＜， ∴()(),(0)π2f x g x x ∈＜，， ∴综上所述，当π(02x ∈，时，()()()f x g x h x ＜＜，证毕.【小问2详解】∵当π(0)2x ∈，时，()()()0f x g x h x --＜，∴2sin 0πxx x --＜， ∴2sin 0πππx x x--＜， ∴0ππ2)i π(s n x x--＜，① 将①式两边同时乘以π得到：0ππ(2)sin x x --<，② ∵20π-＜，但当π(02x ∈，时，sin 0x >，∴(2)s πin 0x -<，将②式两边同时除以(2)s πin 0x -<得到：(2)sin 0(2)n ππsi πx xx-->-，∴0πsin 2πx x ->-， ∴πsin 2πx x -， ∴当π(0)2x ∈，时，()π()2πh x g x -＞，证毕. 【点睛】方法点睛:证明不等式或比较两函数大小，需构造函数，并根据导函数得到函数单调性，结合特殊点函数值得到结论.。
2023年高考数学模拟卷 (5)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z 满足(34i)2i z +=+，则z 的虚部为A ．25B ．225C ．15-D ．1-2．已知集合{}{}20,1,2,10A B x x ==∈<N ，则A B = A ．{0,1}B ．{1,2}C ．{0,1,2}D ．{0,1,2,3}3．已知甲､乙､丙､丁､戊五位同学高一入学时年龄的平均数､中位数均为16，方差为0.8，则三年后，下列判断错误的是A ．这五位同学年龄的平均数变为19B ．这五位同学年龄的中位数变为19C ．这五位同学年龄的方差仍为0.8D ．这五位同学年龄的方差变为3.84．某圆锥体积为1，用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥得到一个圆台，若圆台上底面和下底面半径之比为12，则该圆台体积为A ．78B ．34C ．12 D ．2 5．若函数()y f x =满足对x ∀∈R 都有()(2)0f x f x +-=，且()y f x =为R 上的奇函数，当(1,1)x ∈-时，()4sin()6f x x π=，则3()log f x x =的零点个数为 A ．2B ．3C ．4D ．5 6．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则ABC 的面积为A ．3 BC D ．37．已知实数0,0x y >>，满足32(2)e 3e y x x y -+=，若不等式12m x y+≥对任意的正实数x y 、恒成立，那么实数m 的最大值为A ．53B ．73C ．3D ．83 8．已知04a <<，02b <<，03c <<，且216ln ln 4a a =，24ln ln 2b b =，29ln ln 3c c =，则．A ．c b a >>B ．c a b >>C ．a c b >>D ．b c a >>二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知函数()sin()(0)6f x x πωω=+>的图象与直线y ＝1的交点中，距离最近的两点间的距离为π，则 A ．ω＝2B ．函数f (x )在[－4π，4π]上单调递增C ．6x π=是f (x )的一条对称轴D ．f (x )在[0，π]上存在唯一零点1112π 10．已知n x ⎛ ⎝的展开式中共有7项，则 A ．所有项的二项式系数和为64B ．所有项的系数和为1C ．二项式系数最大的项为第4项D ．有理项共4项 11．已知抛物线C ：2x my =的焦点为()0,1F ，点A ，B 为C 上两个相异的动点，则A ．抛物线C 的准线方程为1y =-B ．设点()2,3P ，则AP AF +的最小值为4C ．若A ，B ，F 三点共线，则AB 的最小值为2D ．若60AFB ∠=︒，AB 的中点M 在C 的准线上的投影为N ，则MN AB ≤12．三棱锥A BCD -各顶点均在表面积为20π的球体表面上，2,120AB CB ABC ∠===，90BCD ∠=，则A ．若CD AB ⊥，则2CD =B ．若2CD =，则CD AB ⊥C ．线段AD D ．三棱锥A BCD -三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．曲线3()33f x x x =-+在点(2,)P t 处的切线方程为___________．14．若双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一个焦点F 关于其一条渐近线的对称点P 在双曲线上，则双曲线的离心率为___________．15．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，点A 在x 轴负半轴且2AF p =，B 是抛物线上的一点，BC 垂直l 于点C ，且2BC p =，AB 分别交l ，CF 于点D ，E ，则EF DF=_________． 16．已知Rt ABC 中，3AB =，4AC =，5BC =，I 是ABC 的内心，P 是IBC 内部（不含边界）的动点．若AP AB AC λμ→→→=+（λ，R μ∈），则λμ+的取值范围是___________．四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第16题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤。
直击2024年高考--高三数学春季一模押题卷(全国版)1-答案解析
高三数学春季一模押题卷（全国版）1一、单选题（共8题，共 40 分）1. （5分）设集合U=R，A={x|0<x<2}，B={x|x<1}，则图中阴影部分表示的集合为()A. {x|x⩾1}B. {x|x⩽1}C. {x|0<x⩽1}D. {x|1⩽x<2}2. （5分）复数z=−1+2i(i是虚数单位)，z的共轭复数为z，则1+zz=()A. 45+25i B. −45+25i C. 45−25i D. −45−25i3. （5分）设{a n}是等差数列，且公差不为零，其前n项和为S n．则“∀n∈N∗，S n+1>S n”是“{a n}为递增数列”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. （5分）已知α∈(0,π2)，sin(α−π4)=√55，则tan2α=（）．A. 34B. −34C. 12D. −125. （5分）山西五台山佛光寺大殿是庑殿顶建筑的典型代表．庑殿顶四面斜坡，有一条正脊和四条斜脊，又叫五脊殿．《九章算术》把这种底面为矩形，顶部为一条棱的五面体叫做“刍甍”，并给出了其体积公式：16×（2×下袤+上袤）×广×高（广：东西方向长度；袤：南北方向长度）．已知一刍甍状庑殿顶，南北长18m，东西长8m，正脊长12m，斜脊长√34m，则其体积为（）．A. 64√34m3B. 192√2m3C. 320m3D. 192m36. （5分）某学校有四个优秀的同学甲、乙、丙、丁获得了保送到哈尔滨工业大学、东北林业大学和哈尔滨医科大学3所大学的机会，若每所大学至少保送1人，且甲同学要求不去哈尔滨医科大学，则不同的保送方案共有（）A. 24种B. 36种C. 48种D. 64种7. （5分）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1（a>b>0），直线l过坐标原点并交椭圆于P，Q两点（P在第一象限），点A是x轴正半轴上一点，其横坐标是点P横坐标的2倍，直线QA交椭圆于点B，若直线BP恰好是以PQ为直径的圆的切线，则椭圆的离心率为（）．A. 12B. √22C. √33D. √638. （5分）已知函数f(x)=x3−12sinx，若θ∈(0,π12)，a=f((cosθ)sinθ)，b=f((sinθ)sinθ)，c=−f(−12)，则a，b，c的大小关系为（）．A. a>b>cB. b>a>cC. a>c>bD. c>a>b二、多选题（共4题，共 20 分）9. （5分）若(x−ax )9的展开式中x3的系数是−84，则下列结论正确的有（）．A. a=1B. 展开式中偶数项的二项式系数和为0C. 展开式中所有项系数的和为1D. 展开式中所有二项式系数的和为51210. （5分）已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图像如图所示，将f(x)的图像向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到函数g(x)的图像，则（）．A. f(x)=2cos(2x−π3) B. g(x)=2cos(2x−π12)+1C. g(x)的图像关于点(π6,0)对称 D. g(x)在[−π12+kπ,5π12+kπ](k∈Z)上单调递减11. （5分）如图，点M 是棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中的侧面ADD 1A 1上的一个动点（包含边界），则下列结论正确的是（ ）．A. 存在无数个点M 满足CM ⊥AD 1B. 当点M 在棱DD 1上运动时，|MA|+|MB 1|的最小值为√3+1C. 在线段AD 1上存在点M ，使异面直线B 1M 与CD 所成的角是D. 满足|MD|=2|MD 1|的点M 的轨迹是一段圆弧12. （5分）关于函数f(x)=e x +asinx ，x ∈(−π,+∞)，下列说法正确的是（ ）． A. 当a =1时，f(x)在(0,f(0))处的切线方程为2x −y +1=0 B. 当a =1时，f(x)存在唯一极小值点x 0且−1<f(x 0)<0 C. 对任意a >0，f(x)在(−π,+∞)上均存在零点D. 存在a <0，f(x)在(−π,+∞)上有且只有一个零点三、填空题（共4题，共 20 分）13. （5分）已知正方形ABCD 的边长为2，P 为平面ABCD 内一点，则(PA → +PB → )⋅(PC → +PD →)的最小值为 ．14. （5分）设抛物线C:y 2=4x 的焦点为F ．过点F 的直线l 与C 相交于A ，B ，且|AF|−|BF|=32，则|AF||BF|= ．15. （5分）在平面直角坐标系xOy 中，若直线y =k(x −3√3)上存在一点P ，圆x 2+(y −1)2=1上存在一点Q ，满足OP → =3OQ →，则实数k 的最小值为 ．16. （5分）如图所示，阴影部分是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正三角形ABC的边长为4，取正三角形ABC各边的四等分点D，E，F，作第2个正三角形DEF，然后再取正三角形DEF各边的四等分点G，H，I，作第3个正三角形GHI，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案．设三角形ADF的面积为S1，后续各阴影三角形面积依次为S2，S3，⋯，S n，⋯，则S1=，数列{S n}的前n项和T n=．四、解答题（共6题，12小题；共 70 分）17. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acosC+ccosA=√3，a=√2b，记△ABC的面积为S．（1）（5分）求a．（2）（5分）请从下面的三个条件中任选一个，探究满足条件的△ABC的个数，并说明理由．条件：①S=√312(a2+c2−b2)，②bcosA+√22a=c，③bsinA=acos(B−π6)．18. 设函数f (x )=sin(ωx +π3)+2cos(ωx −π6)(0<ω<4)，将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度后图象关于原点对称．（1）（5分）求函数f(x)的单调递增区间；（2）（7分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且f (A )=3√32，①若a 2=√3bc ，求b 2+c 2a 2的值；②若b =4，AC → ⋅CB →>0，求c 的取值范围．19. 如图，在四棱锥V −ABCD 中，底面ABCD 为矩形，AB =2BC =4，E 为CD 的中点，且△VBC 为等边三角形．（1）（5分）若VB ⊥AE ，求证：AE ⊥VE ．（2）（7分）若二面角A −BC −V 的大小为30∘，求直线AV 与平面VCD 所成角的正弦值．20. 科研小组为提高某种水果的果径，设计了一套实验方案，并在两片果园中进行对比实验．其中实验园采用实验方案，对照园未采用实验方案．实验周期结束后，分别在两片果园中各随机选取100个果实，按果径分成5组进行统计：[21,26)，[26,31)，[31,36)，[36,41)，[41,46]（单位：mm）．统计后分别制成如下的频率分布直方图，并规定果径达到36mm及以上的为“大果”．（1）（5分）请根据题中信息完成下面的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“大果”与“采用实验方案”有关．附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)（2）（7分）根据长期种植经验，可以认为对照园中的果径X（单位：mm）服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ≈5.5．请估计对照园中果径落在区间(39,50)内的概率．（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）附：若X服从正态分布N(μ,σ2)，则P(μ−σ<X<μ+σ)≈0.683，P(μ−2σ<X<μ+2σ)≈0.954，P(μ−3σ<X<μ+3σ)≈0.997．21. 已知双曲线C:x 2a2−y 2b 2=1(a >0，b >0)的离心率为√62，点A (6,4)在C 上．（1）（4分）求双曲线C 的方程．（2）（8分）设过点B (1,0)的直线l 与双曲线C 交于D ，E 两点，问在x 轴上是否存在定点P ，使得PD → ⋅PE →为常数？若存在，求出点P 的坐标以及该常数的值；若不存在，请说明理由．22. 已知函数f(x)=lnx +ax ,a ∈R ．（1）（4分）当a =1时，求函数f(x)的单调递增区间． （2）（8分）设函数g(x)=f(x)−1x，若g(x)在[1,e 2]上存在极值，求a 的取值范围．参考答案一、单选题（共8题，共 40 分）1【答案】D【解析】解：A={x|0<x<2}，B={x|x<1}，∁R B={x|x⩾1}，则图中阴影部分表示的集合为(∁R B)∩A={x|1⩽x<2}．故选：D．2【答案】B【解析】解：∵z=−1+2i，∴1+zz =1−1−2i−1+2i=2i1−2i=2i(1+2i)(1−2i)(1+2i)=−45+25i．故选：B．3【答案】A【解析】∵{a n}是等差数列，且公差d不为零，其前n项和为S n，充分性：∵S n+1>S n，则a n+1>0对任意的n∈N∗恒成立，则a2>0，∵d≠0，若d<0，则数列{a n}为单调递减数列，则必存在k∈N∗，使得当n>k时，a n+1<0，则S n+1<S n，不合乎题意；若d>0，由a2>0且数列{a n}为单调递增数列，则对任意的n∈N∗，a n+1>0，合乎题意．所以，“∀n∈N∗，S n+1>S n”⇒“{a n}为递增数列”；必要性：设a n=n−10，当n⩽8时，a n+1=n−9<0，此时，S n+1<S n，但数列{a n}是递增数列．所以，“∀n∈N∗，S n+1>S n”⇍“{a n}为递增数列”.因此，“∀n∈N∗，S n+1>S n”是“{a n}为递增数列”的充分而不必要条件.故选：A．4【答案】B【解析】∵sin(α−π4)=√55，且α∈(0,π2)，∴α−π4∈(−π4,π4)，cos(α−π4)=√1−sin2(α−π4)=2√55，∴sinα=sin[(α−π4)+π4]=√22[sin(α−π4)+cos(α−π4)]=√22×3√55=3√1010，∵α∈(0,π2)，∴cosα=√1−sin2α=√1010，∴tanα=sinαcosα=3，tan2α=2tanα1−tan2α，tan2α=2×31−9=−34，故选B．5【答案】D【解析】如图，已知AB=18m，BC=8m，EF=12m，BF=√34m，过点F作FQ⊥AB，垂足为Q，过点F作FO⊥平面ABCD，垂足为O，连接OQ，则BQ=3m，FQ=√BF2−BQ2=5m，OQ=4m，FO=√FQ2−OQ2=3m，故该五面体的高度为3m．所以其体积V=16×(2×18+12)×8×3=192(m3)．故选：D．6【答案】A【解析】每所大学至少保送1人，且甲同学要求不去哈尔滨医科大学，先考虑甲去的学校有2种情况，对甲去的学校分类讨论，若该校只有1人保送，则另外3人去两所学校共有C32A22种方案；若甲去的学校有2人保送，则另外3人去3所学校共有A33种方案，则不同的保送方案共有2×(C32A22+A33)=24种．故选：A．7【答案】D【解析】依题意，设P(x1,y1)，Q(−x1,−y1)，B(x2,y2)，A(2x1,0)，直线PQ，QB(QA)，BP的斜率一定存在，分别设为k1，k2，k3，直线BP恰好是以PQ为直径的圆的切线，则PQ⊥PB，则k1k3=−1，则k2=0−(−y1)2x1−(−x1)=y13x1=13k1，∴k2k3=−13，∵x12a2+y12b2=1，x22a2+y22b2=1，两式相减得x12−x22a2+y12−y22b2=0，∴y1+y2x1+x2⋅y1−y2x1−x2=−b2a2，即k2k3=−b2a2，∴−b2a2=−13，∴b2a2=13，∴e2=c2a2=1−b2a2=23，∴椭圆的离心率e=√63，故选：D．8【答案】A【解析】因为f(−x)=(−x)3−12sin(−x)=−(x3−12sinx)=−f(x)，所以f(x)在R上是奇函数．所以c=−f(−12)=f(12)，对f(x)=x3−12sinx求导得，f′(x)=3x2−12cosx，令g(x)=3x2−12cosx，则g′(x)=6x+12sinx，当12<x<1时，g′(x)>0，所以g(x)在(12,1)上单调递增，则12<x<1时，g(x)>g(12)=34−12cos12>34−12×1>0，即f′(x)>0，所以f(x)在(12,1)上单调递增．因为θ∈(0,π12)，所以cosθ>12>sinθ，因为y=x sinθ(0<sinθ<12)在(0,+∞)上单调递增，所以(cosθ)sinθ>(sinθ)sinθ．令ℎ(x)=xlnx+ln2，则ℎ′(x)=lnx+1，所以当0<x<1e时，ℎ′(x)<0,ℎ(x)单调递减；当x>1e时，ℎ′(x)>0,ℎ(x)单调递增．所以ℎ(x)⩾ℎ(1e )=1eln1e+ln2=ln2−1e，而2e>e，即2>e1e，所以ln2>1e，即ln2−1e>0．所以xlnx>−ln2，即x x>12，则(sinθ)sinθ>12，所以(cosθ)sinθ>(sinθ)sinθ>12，所以f((cosθ)sinθ)>f((sinθ)sinθ)>f(12)，即a>b>c．故选：A．二、多选题（共4题，共 20 分）9【答案】A D【解析】A 选项：(x−ax )9的展开式的通项为T r+1=C9r⋅(−a)r⋅x9−2r，令9−2r=3，求得r=3，可得展开式中x3的系数是−a3⋅C93=−84，求得a=1，故A正确；B 选项：展开式中偶数项的二项式系数和为292=28，故B错误；C 选项：令x=1，可得展开式中所有项系数的和为0，故C错误；D 选项：展开式中所有二项式系数的和为29=512，故D正确．故选 AD.10【答案】A D【解析】由图像可知函数f(x)的最大值为2，最小值为−2，所以A=2，T2=2π3−π6=π2⇒T=π．又T=2πω，所以ω=2，又f(π6)=2⇒2cos(2×π6+φ)=2，所以π3+φ=2kπ(k∈Z)⇒φ=2kπ−π3(k∈Z)．又|φ|<π2，所以φ=−π3，所以f(x)=2cos(2x−π3)，故A正确．将f(x)的图像向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得g(x)=2cos[2(x+π4)−π3]+1=2cos(2x+π6)+1的图象，故B错误．由2x+π6=π2+kπ(k∈Z)得x=π6+kπ2(k∈Z)，所以g(x)的图像关于点(π6,1)对称，故C错误．由2kπ⩽2x+π6⩽2kπ+π(k∈Z)，得−π12+kπ⩽x⩽5π12+kπ(k∈Z)，所以选项D正确．故选AD．11【答案】A D【解析】对A选项，若M在A1D上，此时必有CM⊥AD1，证明如下：易得CD⊥平面ADD1A1，所以CD⊥AD1，又A1D⊥AD1，所以AD1⊥平面A1DC，所以AD1⊥CM，所以A选项正确；对B选项，如图，旋转平面ADD1A1使之与平面BB1D1D共面，连接A′B1，交DD1于M，此时|MA|+|MB1|最短，为A′B1，此时A′B1=√A′B2+BB12=√(1+√2)2+12=√4+2√2，所以B选项错误；对C选项，当M在A1D和AD1交点处时，此时直线B1M与CD所成的角即直线B1M与A1B1所成角，此时异面直线B1M与CD所成的角最小，其正切值为√22，即最小角大于30∘，所以C选项错误；对D选项，在平面ADD1A1上建立平面直角坐标系，设D(−12,0)，D1(12,0)，设M(x,y)，由|MD|=2|MD1|得(x+12)2+y2=4[(x−12)2+y2]，整理可得：x2+y2−53x+14=0，根据解析式可得M的轨迹是圆的一部分，故D选项正确．故选AD．12【答案】A B D【解析】直接法，逐一验证．A选项，当a=1时，f(x)=e x+sinx，x∈(−π,+∞)，所以f(0)=1，故切点为(0,1)，f′(x)=e x+cosx，所以切线斜率k=f′(0)=2，故切线方程为：y−1=2(x−0)，即切线方程为：2x−y+1=0，故A符合题意；B选项，当a=1时，f(x)=e x+sinx，x∈(−π,+∞)，则f′(x)=e x+cosx，f′′(x)=e x−sinx>0恒成立，所以f′(x)单调递增，又f′(−3π4)=e−3π4+cos(−3π4)<0，f′(−π2)=e−π2>0，故f(x)存在唯一极值点，不妨设x0∈(−3π4,−π2)，则f′(x)=0，即e x0+cosx0=0，f(x0)=e x0+sinx0=sinx0−cosx0=√2sin(x0−π4)∈(−1,0)，故B符合题意；对于C选项、D选项，f(x)=e x+asinx，x∈(−π,+∞)，令f(x)=0，即e x+asinx=0，当x=kπ，k>−1且k∈Z时，显然f(x)≠0，故x≠kπ，k>−1且k∈Z，所以a=−e xsin x，令F(x)=−e xsin x ，则F′(x)=e x(cosx−sinx)sin2x，令F′(x)=0，解得x=4k+14π，k⩾−1，k∈Z，所以F(x)在x∈(−π+2kπ,−34π+2kπ)(k∈Z,k⩾0)上单调递减，在x∈(−34π+2kπ,2kπ)(k∈Z,k⩾0)上单调递增，有极小值F(−34π+2kπ)=√2e−34π+2kπ⩾√2e−34π，在x∈(2kπ,14π+2kπ)(k∈Z,k⩾0)上单调递增，在x∈(14π+2kπ,π+2kπ)(k∈Z,k⩾0)上单调递减，有极大值为F(14π+2kπ)=−√2e14π+2kπ⩽−√2e14π，故C 选项，任意a >0均有零点，不符合，D 选项，存在a <0，有且只有唯一零点，此时a =−√2e 14π，故选ABD ．三、填空题（共4题，共 20 分）13【答案】-4【解析】解：建立如图所示的直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (2,2)，D (0,2)， 设P (x,y )，则PA → +PB → =(−x,−y )+(2−x,−y )=(2−2x,−2y )， PC → +PD →=(2−x,2−y )+(−x,2−y )=(2−2x,4−2y )， 则(PA → +PB → )⋅(PC → +PD →)=(2−2x )2−2y (4−2y ) =4[(x −1)2+(y −1)2]−4，当x =y =1时，上式取得最小值−4．故答案为：−4． 14【答案】2【解析】方法一：设直线AB 的方程为y =k (x −1)，代入y 2=4x ， 得k 2x 2−(2k 2+4)x +k 2=0，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则x 1+x 2=2+4k 2，x 1x 2=1，由|AF |−|BF |=32，得(x 1+1)−(x 2+1)=32，联立方程组，可求得|AF||BF|=2．故答案为：2．方法二：设直线l 的倾斜角为θ，由抛物线的定义易知|AF |=21−cosθ，|BF |=21+cosθ， ∵|AF |−|BF |=21−cosθ−21+cosθ=4cosθ1−cos 2θ=32， ∴cosθ=13，代入|AF |=21−cosθ=3，|BF |=21+cosθ=32．故答案为：2．方法三：设|AF |=m ，|BF |=n ，由抛物线焦点弦性质则有{1m+1n=2p =1m −n =32，解得{m =3n =32，所以mn =2． 故答案为：2． 15【答案】−√3【解析】解：[解法一]设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)； 则y 1=k(x 1−3√3)①， x 22+(y 2−1)2=1②； 由OP → =3OQ →，得{x 1=3x 2y 1=3y 2，即{x 2=13x 1y 2=13y 1， 代入②得x 12+(y 1−3)2=9；此方程表示的圆心(0,3)到直线kx −y −3√3k =0的距离为d ⩽r ； 即√3k|√2⩽3，解得−√3⩽k ⩽0． ∴实数k 的最小值为−√3．[解法二]设P (x,y ),Q (x 0,y 0)； 则x 02+(y 0−1)2=1①； 由OP → =3OQ →，得{x =3x 0y =3y 0，即{x 0=13xy 0=13y，代入①化简得x 2+(y −3)2=9；∴点P 的轨迹是圆心为(0,3)，半径为3的圆，又点P 在直线kx −y −3√3k =0上，如图所示， 则直线与该圆有公共点， 即圆心到直线的距离为d ⩽r ； ∴√3k|√2⩽3，解得−√3⩽k ⩽0； ∴实数k 的最小值为−√3．故答案为：−√3．16【答案】3√344√33×[1−(716)n]【解析】设正三角形ABC 的边长为a 1，后续各正三角形的边长依次为a 2，a 3，⋯，a n ，⋯， 由题意， 得a 1=4，由余弦定理得， a n =√(14a n−1)2+(34a n−1)2−2×34a n−1×14an−1cos60∘=√74a n−1， 则a nan−1=√74， 由于S n =12×34a n ×14a n ×sin60∘， S n−1=12×34a n−1×14a n−1×sin60∘，所以S n S n−1=(a n a n−1)2=716，S 1=12×34×4×14×4×sin60∘=3√34，于是数列{S n }是以3√34为首项，716为公比的等比数列， T n =3√34×[1−(716)n ]1−716=4√33×[1−(716)n]．故答案为：3√34；4√33×[1−(716)n ]．四、解答题（共6题，12小题；共 70 分）17（1）【答案】√6【解析】因为acosC +ccosA =√3， 所以a ⋅a 2+b 2−c 22ab+c ⋅b 2+c 2−a 22bc=√3，解得b =√3， 所以a =√2b =√6．17（2）【答案】选择①2个；选择②1个；选择③不存在，见解析 【解析】选择①，因为S =√312(a 2+c 2−b 2)，所以12acsinB =√312(a 2+c 2−b 2)，所以12acsinB=√312×2accosB，化简得tanB=√33.又0<B<π，故B=π6．由asin A =bsin B，得sinA=asinBb=√22．因为a>b，所以A=π4或A=3π4，故满足条件的△ABC的个数为2．选择②，因为bcosA+√22a=c，所以sinBcosA+√22sinA=sinC，即sinBcosA+√22sinA=sin(A+B)，化简得√22sinA=sinAcosB，因为sinA≠0，所以cosB=√22，解得B=π4．由asin A =bsin B，得sinA=asinBb=1，所以A=π2，故满足条件的△ABC的个数为1．选择③，因为bsinA=acos(B−π6)，所以sinBsinA=sinAcos(B−π6)．又sinA≠0，所以sinB=cos(B−π6)，所以sinB=√32cosB+12sinB，化简得tanB=√3．又0<B<π，故B=π3．由asin A =bsin B，得sinA=asinBb =√62>1，无解，不存在满足条件的三角形．18（1）【答案】[−5π12+kπ,π12+kπ](k∈Z)；【解析】通过题意，f(x)=sin(ωx+π3)+2cos[(ωx+π3)−π2]=3sin(ωx+π3)，f(x−π6)=3sin[ω(x−π6)+π3]=3sin[ωx−(π6ω−π3)]，而函数y=f(x−π6)的图象关于原点对称，则有π6ω−π3=kπ ，k ∈Z ， 即ω=6k +2，k ∈Z ， 而0<ω<4， 则k =0，ω=4， 因此f (x )=3sin(2x +π3)，由−π2+2kπ⩽2x +π3⩽π2+2kπ，k ∈Z ， 得−5π12+kπ⩽x ⩽π12+kπ,k ∈Z ，所以函数f(x)的单调递增区间是[−5π12+kπ,π12+kπ](k ∈Z ). 18（2）【答案】①2；②(8√33,+∞)【解析】由（1）知，f (A )=3sin(2A +π3)=3√32，即sin(2A +π3)=√32．在△ABC 中，0<A <π， 即π3<2A +π3<7π3，则2A +π3=2π3，解得A =π6， ①a 2=√3bc ，由余弦定理a 2=b 2+c 2−2bccosA 得：a 2=b 2+c 2−2bccosπ6=b 2+c 2−√3bc =b 2+c 2−a 2， 因此b 2+c 2=2a 2， 所以b 2+c 2a 2=2；②在△ABC 中，AC → ⋅CB → =−CA → ⋅CB →=−abcosC >0，则有cosC <0，得π2<C <5π6，又C =5π6−B ，因此0<B <π3，由正弦定理bsin B =csin C ， 得c =bsinC sin B=4sin(5π6−B)sin B=4(12cosB+√32sinB)sin B=2√3+2tan B，显然0<tanB <√3， 即1tan B>√33， 从而c >2√3+2√33=8√33， 所以c 的取值范围是(8√33,+∞).19（1）【答案】见解析【解析】因为底面ABCD 为矩形，AB =2BC =4，E 为CD 的中点， 所以AD =DE =2，所以△ADE 为等腰直角三角形， 所以∠AED =45∘． 同理，∠BEC =45∘． 所以AE ⊥BE ．又因为VB ⊥AE ，且VB ∩BE =B ，VB ⊂面VBE ，BE ⊂面VBE ， 所以AE ⊥面VBE ． 因为VE ⊂面VBE ， 所以AE ⊥VE ．19（2）【答案】√4214【解析】取BC 中点O ，AD 中点G 、连接OG ，VO ，则OG ⊥BC ． 又△VBC 为等边三角形， 所以VO ⊥BC ，所以∠GOV 为二面角A −BC −V 的平面角． 所以∠GOV =30∘，以O 为原点，以OB → ，GO →方向分别作为x ，y 轴正方向，建立空间直角坐标系O −xyz ．于是A(1,−4,0)，C(−1,0,0)，D(−1,−4,0)，V (0,−32,√32)，DC → =(0,4,0)，CV → =(1,−32,√32)，AV → =(−1,52,√32)． 令n →=(x,y,z )为平面VCD 的一个法向量，则{n →⋅DC → =0n →⋅CV → =0， 即{4y =0x −32y +√32z =0， 令z =2，得n →=(−√3,0,2)． 设直线AV 与平面VCD 所成的角为α，则sinα=|cos ⟨AV → ,n →⟩| =|AV → ⋅n →||AV → |⋅|n →| =2√3√8×√7=√4214， 故直线AV 与平面VCD 所成角的正弦值为√4214．20（1）【答案】有99.9%的把握认为“大果”与“采用实验方案”有关．【解析】由频率分布直方图可得：采用实验方案时“大果”数量为5×(0.110+0.010)×100=60， 则“非大果”数量为100−60=40，未采用实验方案时“大果”的数量为5×(0.040+0.020)×100=30， 则“非大果”数量为100−30=70，2×2列联表如下：假设H 0：“大果”与“采用实验方案”无关， 则χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) =200×(4200−1200)290×110×100×100 ≈18.182>10.828，依据小概率值α=0.001的独立性检验，有充分证据推断H 0不成立． 所以有99.9%的把握认为“大果”与“采用实验方案”有关． 20（2）【答案】0.157．【解析】x =23.5×0.1+28.5×0.2+33.5×0.4+38.5×0.2+43.5×0.1 =33.5，所以X 服从正态分布N (33.5,5.52)， P (39<X <50)=P (μ+σ<X <μ+3σ)=P (μ−3σ<X <μ+3σ)−P (μ−σ<X <μ+σ)2≈0.997−0.6832 =0.157．所以对照园中果径落在区间(39,50)内的概率为0.157． 21（1）【答案】x 24−y 22=1．【解析】因为双曲线C 的离心率为√62，所以(√62)2=1+b2a 2， 化简得a 2=2b 2．将点A (6,4)代入x 22b 2−y 2b 2=1，可得18b 2−16b 2=1， 解得b 2=2，所以C 的方程为x 24−y 22=1.21（2）【答案】存在，P (134,0)，常数为10516．【解析】设D (x 1,y 1)，E (x 2,y 2)，直线l 的方程为y =k(x −1)，联立方程组{y =k (x −1)x 24−y 22=1， 消去y 得(1−2k 2)x 2+4k 2x −2k 2−4=0， 由题可知1−2k 2≠0且Δ>0，即k 2<23且k 2≠12，所以x 1+x 2=−4k 21−2k 2，x 1x 2=−2k 2+41−2k 2． 设存在符合条件的定点P (t,0)，则PD → =(x 1−t,y 1)，PE → =(x 2−t,y 2)， 所以PD → ⋅PE → =(x 1−t )(x 2−t )+y 1y 2=(k 2+1)x 1x 2−(t +k 2)(x 1+x 2)+t 2+k 2．所以PD → ⋅PE →=(k 2+1)(−2k 2−4)+4k 2(t+k 2)+(t 2+k 2)(1−2k 2)1−2k 2，化简得PD → ⋅PE → =k 2(−2t 2+4t−5)+(t 2−4)−2k 2+1． 因为PD → ⋅PE → 为常数，所以−2t 2+4t−5−2=t 2−41，解得t =134． 此时该常数的值为t 2−4=10516，所以在x 轴上存在点P (134,0)，使得PD → ⋅PE → 为常数，该常数为10516.22（1）【答案】单调递增区间为(1,+∞)．【解析】当a =1时，函数f(x)=lnx +1x ，其定义域为(0,+∞) ， 可得f ′(x)=1x −1x 2=x−1x 2，当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈(1,+∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 所以函数f (x )的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,+∞)． 22（2）【答案】(0,e 2)．【解析】由g(x)=f(x)−1x =ln x x +a x 2−1x ,x ∈[1,e 2]， 可得g ′(x)=1−lnxx 2+1x 2−2ax 3=2x−xlnx−2ax 3，设ℎ(x )=2x −xlnx −2a ，则ℎ′(x )=2−(1+lnx)=1−lnx ， 令ℎ′(x )=0，即1−lnx =0，解得x =e ， 当x ∈[1,e)时，ℎ′(x )>0；当x ∈(e,e 2]时，ℎ′(x )<0，所以ℎ(x )在区间[1,e)上单调递增，在区间(e,e 2]上，单调递减． 且ℎ(1)=2−2a ，ℎ(e )=e −2a ，ℎ(e 2)=−2a ， 显然ℎ(1)>ℎ(e 2)，若g(x)在[1,e 2]上存在极值，则满足{ℎ(e )>0ℎ(1)<0或{ℎ(1)⩾0ℎ(e 2)<0， 解得0<a <e 2，综上可得，当0<a <e 2时，g(x)在[1,e 2]上存在极值， 所以实数a 的取值范围为(0,e 2)．。
2020高考数学(文)冲刺刷题首先练辑：第三部分 2020高考仿真模拟卷(五) Word版含解析
2020高考仿真模拟卷(五)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |(2x －1)(x －3)<0}，B ＝{x |(x －1)(x －4)≤0}，则(∁U A )∩B ＝( )A ．[1,3)B ．(－∞，1)∪[3，＋∞)C ．[3,4]D ．(－∞，3)∪(4，＋∞) 答案 C 解析 因为集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <3，B ＝{x |1≤x ≤4}， 所以∁U A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤12或x ≥3，所以(∁U A )∩B ＝{x |3≤x ≤4}． 2．在复平面内，复数z ＝4－7i2＋3i (i 是虚数单位)，则z 的共轭复数z －在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 B解析 因为z ＝4－7i 2＋3i ＝(4－7i )(2－3i )13＝－13－26i13＝－1－2i ，所以z 的共轭复数z －＝－1＋2i 在复平面内对应的点(－1,2)位于第二象限．3．在△ABC 中，点D 在边AB 上，且BD→＝12DA →，设CB →＝a ，CA →＝b ，则CD →＝( )A.13a ＋23bB.23a ＋13bC.35a ＋45bD.45a ＋35b 答案 B解析 因为BD→＝12DA →，CB →＝a ，CA →＝b ，故CD →＝a ＋BD →＝a ＋13BA →＝a ＋13(b －a )＝23a ＋13b .4．(2019·济南模拟)在平面直角坐标系xOy 中，与双曲线x 24－y 23＝1有相同的渐近线，且位于x 轴上的焦点到渐近线的距离为3的双曲线的标准方程为( )A.x 29－y 24＝1B.x 28－y 29＝1 C.x 212－y 29＝1 D.x 216－y 212＝1 答案 C解析 与双曲线x 24－y 23＝1有相同的渐近线的双曲线的方程可设为x 24－y 23＝λ(λ≠0)，因为该双曲线的焦点在x 轴上，故λ>0.又焦点(7λ，0)到渐近线y ＝32x 的距离为3，所以21λ7＝3，解得λ＝3.所以所求双曲线的标准方程为x 212－y 29＝1.5．若正项等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝22n (n ∈N *)，则a 6－a 5的值是( ) A. 2 B ．－16 2 C ．2 D ．162 答案 D解析 因为a n a n ＋1＝22n(n ∈N *)，所以a n ＋1a n ＋2＝22n ＋2(n ∈N *)，两式作比可得a n ＋2an＝4(n ∈N *)，即q 2＝4，又a n >0，所以q ＝2，因为a 1a 2＝22＝4，所以2a 21＝4，所以a 1＝2，a 2＝22，所以a 6－a 5＝(a 2－a 1)q 4＝16 2.6．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A ．4 3 B.1033 C ．2 3 D.833 答案 B解析 由三视图还原几何体如图所示，该几何体为直三棱柱截去一个三棱锥H －EFG ，三角形ABC 的面积S ＝12×2×22－12＝ 3.∴该几何体的体积V ＝3×4－13×3×2＝1033.7．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是59，则判断框中可填入的条件是( )A ．i <10?B ．i <9?C ．i >8?D ．i <8? 答案 B解析 由程序框图的功能可得S ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132×…×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1(i ＋1)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13×…×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1i ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1i ＋1＝12×32×23×43×…×ii ＋1×i ＋2i ＋1＝i ＋22i ＋2＝59，所以i ＝8，i ＋1＝9，故判断框中可填入i <9？.8．现有大小形状完全相同的4个小球，其中红球有2个，白球与蓝球各1个，将这4个小球排成一排，则中间2个小球不都是红球的概率为( )A.16B.13C.56D.23 答案 C解析 设白球为A ，蓝球为B ，红球为C ，则不同的排列情况为ABCC ，ACBC ，ACCB ，BACC ，BCAC ，BCCA ，CABC ，CACB ，CBCA ，CBAC ，CCAB ，CCBA 共12种情况，其中红球都在中间的有ACCB ，BCCA 两种情况，所以红球都在中间的概率为212＝16，故中间两个小球不都是红球的概率为1－16＝56.9．(2019·东北三省三校一模)圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示．早在公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之就得出精确到小数点后7位的结果，他是世界上第一个把圆周率的数值计算到小数点后第七位的人，这比欧洲早了约1000年．在生活中，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：从区间[－1，1]内随机抽取200个数，构成100个数对(x ，y )，其中满足不等式y ＞ 1－x 2的数对(x ，y )共有11个，则用随机模拟的方法得到的π的近似值为( )A.7825B.7225C.257D.227 答案 A解析 在平面直角坐标系中作出边长为1的正方形和单位圆，则符合条件的数对表示的点在x 轴上方、正方形内且在圆外的区域，区域面积为2－π2，由几何概型概率公式可得2－π22×2≈11100，解得π≈7825.故选A.10．(2018·全国卷Ⅱ)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( )A.15B.55C.56D.22 答案 B解析 解法一：(平行线法)如图1，取DB 1的中点O 和AB 的中点M ，连接OM ，DM ，则MO ∥AD 1，∠DOM 为异面直线AD 1与DB 1所成的角．依题意得DM 2＝DA 2＋AM 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝54.OD 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12DB 12＝14×(1＋1＋3)＝54，OM 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AD 12＝14×(1＋3)＝1.∴cos ∠DOM ＝OD 2＋OM 2－DM 22·OD ·OM ＝54＋1－542×52×1＝15＝55.解法二：(割补法)如图2，在原长方体后面补一个全等的长方体CDEF －C 1D 1E 1F 1，连接DE 1，B 1E 1.∵DE 1∥AD 1，∴∠B 1DE 1就是异面直线AD 1与DB 1所成的角．DE 21＝AD 21＝4，DB 21＝12＋12＋(3)2＝5. B 1E 21＝A 1B 21＋A 1E 21＝1＋4＝5.∴在△B 1DE 1中，由余弦定理得cos ∠B 1DE 1＝DE 21＋DB 21－B 1E 212·DE 1·DB 1＝4＋5－52×2×5＝445＝55，即异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为55.11．如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线C 的方程为x 2＋4y 2＝4，其左、右焦点分别是F 1，F 2，直线l 与椭圆C切于点P ，且|PF 1|＝1，过点P 且与直线l 垂直的直线l ′与椭圆长轴交于点M ，则|F 1M |∶|F 2M |＝()A.2∶ 3 B ．1∶ 2 C ．1∶3 D ．1∶3 答案 C解析 由椭圆的光学性质可知，直线l ′平分∠F 1PF 2， 因为S △PF 1M S △PF 2M ＝|F 1M ||F 2M |，又S △PF 1M S △PF 2M ＝12|PF 1||PM |sin ∠F 1PM 12|PF 2||PM |sin ∠F 2PM ＝|PF 1||PF 2|，故|F 1M ||F 2M |＝|PF 1||PF 2|.由|PF 1|＝1，|PF 1|＋|PF 2|＝4，得|PF 2|＝3，故|F 1M |∶|F 2M |＝1∶3.12．设x 1，x 2分别是函数f (x )＝x －a －x 和g (x )＝x log a x －1的零点(其中a >1)，则x 1＋4x 2的取值范围是( )A ．[4，＋∞)B ．(4，＋∞)C ．[5，＋∞)D ．(5，＋∞) 答案 D解析 令f (x )＝x －a －x ＝0，则1x ＝a x ，所以x 1是指数函数y ＝a x (a >1)的图象与y ＝1x 的图象的交点A 的横坐标，且0<x 1<1，同理可知x 2是对数函数y ＝log a x (a >1)的图象与y ＝1x 的图象的交点B 的横坐标．由于y ＝a x 与y ＝log a x 互为反函数，从而有x 1＝1x 2，所以x 1＋4x 2＝x 1＋4x 1.由y ＝x ＋4x 在(0,1)上单调递减，可知x 1＋4x 2>1＋41＝5，故选D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设某总体是由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体编号为________．1818 0792 4544 1716 5809 7983 8619...第1行6206 7650 0310 5523 6405 0526 6238 (2)答案 19解析 由题意，从随机数表第1行的第3列数字1开始，从左到右依次选取两个数字的结果为：18,07,17,16,09,19，…，故选出来的第6个个体编号为19.14．(2019·湖南师范大学附中模拟三)若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ＞0,0＜φ＜π)的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2，且相邻两条对称轴间的距离为π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为________．答案3解析 由题意得2πω＝π，∴ω＝2，则f (x )＝2sin(2x ＋φ)，又函数的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1，∵0＜φ＜π，∴φ＝π6，即f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π6＝ 3.15．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程为x ＝－2，点P 为抛物线上的一点，则点P 到直线y ＝x ＋3的距离的最小值为________．答案 22解析 由题设得抛物线方程为y 2＝8x ， 设P 点坐标为P (x ，y )， 则点P 到直线y ＝x ＋3的距离为 d ＝|x －y ＋3|2＝|8x －8y ＋24|82＝|y 2－8y ＋24|82＝|(y －4)2＋8|82≥22，当且仅当y ＝4时取最小值22.16．(2019·南宁摸底考试)在数列{a n }中，a 1＝－2，a n a n －1＝2a n －1－1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________，数列{b n }的前n 项和S n 的最小值为________．答案3n －13n －4－13 解析 由题意知，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，∴b n ＝1a n －1＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1a n －1－1＝a n －1a n －1－1＝1＋1a n －1－1＝1＋b n －1，即b n －b n －1＝1(n ≥2，n ∈N *)．又b 1＝1a 1－1＝－13，∴数列{b n }是以－13为首项，1为公差的等差数列，∴b n ＝n －43，即1a n －1＝n －43，∴a n ＝3n －13n －4.又b 1＝－13＜0，b 2＝23＞0，∴S n 的最小值为S 1＝b 1＝－13.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ≠π2，且3sin A cos B ＋12b sin2A ＝3sin C .(1)求a 的值；(2)若A ＝2π3，求△ABC 周长的最大值．解 (1)由3sin A cos B ＋12b sin2A ＝3sin C ，得3sin A cos B ＋b sin A cos A ＝3sin C ，由正弦定理，得3a cos B ＋ab cos A ＝3c ，由余弦定理，得3a ·a 2＋c 2－b 22ac ＋ab ·b 2＋c 2－a 22bc ＝3c ，整理得(b 2＋c 2－a 2)(a －3)＝0，因为A ≠π2，所以b 2＋c 2－a 2≠0，所以a ＝3.(另解：由sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B 代入条件变形即可)6分 (2)在△ABC 中，A ＝2π3，a ＝3，由余弦定理得，9＝b 2＋c 2＋bc ，因为b 2＋c 2＋bc ＝(b ＋c )2－bc ≥(b ＋c )2－⎝⎛⎭⎪⎫b ＋c 22＝34(b ＋c )2，所以34(b ＋c )2≤9，即(b ＋c )2≤12，所以b ＋c ≤23，当且仅当b ＝c ＝3时，等号成立．故当b ＝c ＝3时，△ABC 周长的最大值为3＋2 3.12分18．(2019·黑龙江齐齐哈尔市二模)(本小题满分12分)某县共有户籍人口60万，经统计，该县60岁及以上、百岁以下的人口占比为13.8%，百岁及以上老人15人．现从该县60岁及以上、百岁以下的老人中随机抽取230人，得到如下频数分布表：解他们的生活状况，则80岁及以上老人应抽多少人？(2)从(1)中所抽取的80岁及以上老人中，再随机抽取2人，求抽到90岁及以上老人的概率；(3)该县按省委办公厅、省人民政府办公厅《关于加强新时期老年人优待服务工作的意见》精神，制定如下老年人生活补贴措施，由省、市、县三级财政分级拨款：①本县户籍60岁及以上居民，按城乡居民养老保险实施办法每月领取55元基本养老金；②本县户籍80岁及以上老年人额外享受高龄老人生活补贴． (a)百岁及以上老年人，每人每月发放345元的生活补贴；(b)90岁及以上、百岁以下老年人，每人每月发放200元的生活补贴； (c)80岁及以上、90岁以下老年人，每人每月发放100元的生活补贴． 试估计政府执行此项补贴措施的年度预算．解 (1)样本中70岁及以上老人共105人，其中80岁及以上老人30人，所以应抽取的21人中，80岁及以上老人应抽30×21105＝6人.3分(2)在(1)中所抽取的80岁及以上的6位老人中，90岁及以上老人1人，记为A ，其余5人分别记为B ，C ，D ，E ，F ，从中任取2人，基本事件共15个：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，这15个基本事件发生的可能性相等.6分记“抽到90岁及以上老人”为事件M ，则M 包含5个基本事件， 所以P (M )＝515＝13.8分(3)样本中230人的月预算为230×55＋25×100＋5×200＝16150(元)，10分 用样本估计总体，年预算为⎝ ⎛⎭⎪⎫16150×6×105×13.8%230＋400×15×12＝6984×104(元)．所以政府执行此项补贴措施的年度预算为6984万元.12分19．(2019·湖南长沙长郡中学一模)(本小题满分12分)如图，在多边形ABPCD 中(图1)，四边形ABCD 为长方形，△BPC 为正三角形，AB ＝3，BC ＝32，现以BC 为折痕将△BPC 折起，使点P 在平面ABCD 内的射影恰好在AD 上(图2)．(1)证明：PD ⊥平面P AB ；(2)若点E 在线段PB 上，且PE ＝13PB ，当点Q 在线段AD 上运动时，求三棱锥Q －EBC 的体积．解 (1)证明：过点P 作PO ⊥AD ，垂足为O . 由于点P 在平面ABCD 内的射影恰好在AD 上，∴PO ⊥平面ABCD ，∴PO ⊥AB ，∵四边形ABCD 为矩形，∴AB ⊥AD ，又AD ∩PO ＝O ，∴AB ⊥平面P AD ，2分∴AB ⊥PD ，AB ⊥P A ，又由AB ＝3，PB ＝32，可得P A ＝3，同理PD ＝3，又AD ＝32，∴P A 2＋PD 2＝AD 2， ∴P A ⊥PD ，且P A ∩AB ＝A ， ∴PD ⊥平面P AB .5分(2)设点E 到底面QBC 的距离为h ，则V Q －EBC ＝V E －QBC ＝13S △QBC ×h ，由PE ＝13PB ，可知BE BP ＝23，7分∴h PO ＝23，∵P A ⊥PD ，且P A ＝PD ＝3， ∴PO ＝P A ·PD AD ＝322，∴h ＝23×322＝2，9分 又S △QBC ＝12×BC ×AB ＝12×32×3＝922， ∴V Q －EBC ＝13S △QBC ×h ＝13×922×2＝3.12分20．(本小题满分12分)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于A ，B 两点．(1)若点T (－1,0)，且直线AT ，BT 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1＋k 2为定值； (2)设A ，B 两点在抛物线的准线上的射影分别为P ，Q ，线段PQ 的中点为R ，求证：AR ∥FQ .证明 (1)设直线AB ：my ＝x －1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ⎩⎨⎧ my ＝x －1，y 2＝4x ，可得y 2－4my －4＝0，⎩⎨⎧y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，3分 k 1＋k 2＝y 1x 1＋1＋y 2x 2＋1＝y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)(x 1＋1)(x 2＋1)＝y 1x 2＋y 2x 1＋(y 1＋y 2)(x 1＋1)(x 2＋1)＝y 1(my 2＋1)＋y 2(my 1＋1)＋(y 1＋y 2)(my 1＋1＋1)(my 2＋1＋1)＝2my 1y 2＋2(y 1＋y 2)(my 1＋2)(my 2＋2)＝2m (－4)＋2×4m(my 1＋2)(my 2＋2)＝0.6分(2)A (x 1，y 1)，P (－1，y 1)，Q (－1，y 2)，R ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，y 1＋y 22，F (1,0)， k AR ＝y 1＋y 22－y 1－1－x 1＝y 1－y 221＋x 1＝y 1－y 22(1＋x 1)，k QF ＝y 2－0－1－1＝－y 22，8分k AR －k QF ＝y 1－y 22(1＋x 1)＋y 22＝y 1－y 2＋y 2(1＋x 1)2(1＋x 1)＝y 1－y 2＋y 2(my 1＋2)2(1＋x 1)＝(y 1＋y 2)＋my 1y 22(1＋x 1)＝4m ＋m ×(－4)2(1＋x 1)＝0，即k AR ＝k QF ，所以直线AR 与直线FQ 平行.12分21．(2019·山东潍坊一模)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x ln x －(a ＋1)x ，g (x )＝f (x )－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x －1，a ∈R .(1)当x ＞1时，求f (x )的单调区间；(2)设F (x )＝e x ＋x 3＋x ，若x 1，x 2为函数g (x )的两个不同极值点，证明：F (x 1x 22)＞F (e 2)．解 (1)f ′(x )＝1＋ln x －a －1＝ln x －a ，若a ≤0，x ∈(1，＋∞)，f ′(x )＞0，f (x )单调递增， 若a ＞0，由ln x －a ＝0，解得x ＝e a ，2分 且x ∈(1，e a )，f ′(x )＜0，f (x )单调递减， x ∈(e a ，＋∞)，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．综上，当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)；当a ＞0时，f (x )的单调递增区间为()e a，＋∞，单调递减区间为(1，e a ).5分 (2)证明：F ′(x )＝e x ＋3x 2＋1＞0，故F (x )在R 上单调递增，即证x 1x 22＞e 2，也即证ln x 1＋2ln x 2＞2，又g (x )＝x ln x －ax －x －a 2x 2＋ax ＋a ＝x ln x －a2x 2－x ＋a ，g ′(x )＝1＋ln x －ax －1＝ln x －ax ，所以x 1，x 2为方程ln x ＝ax 的两根，即⎩⎨⎧ln x 1＝ax 1， ①ln x 2＝ax 2， ②即证ax 1＋2ax 2＞2，即a (x 1＋2x 2)＞2， 而①－②得a ＝ln x 1－ln x 2x 1－x 2，8分即证ln x 1－ln x 2x 1－x 2·(x 1＋2x 2)＞2，则证ln x 1x 2·x 1＋2x 2x 1－x 2＞2，变形得ln x 1x 2·x 1x 2＋2x 1x 2－1＞2，不妨设x 1＞x 2，t ＝x 1x 2＞1，即证ln t ·t ＋2t －1＞2，整理得ln t －2(t －1)t ＋2＞0，设h (t )＝ln t －2(t －1)t ＋2，则h ′(t )＝1t －6(t ＋2)2＝t 2－2t ＋4t (t ＋2)2＝(t －1)2＋3t (t ＋2)2＞0，∴h (t )在(1，＋∞)上单调递增，h (t )＞h (1)＝0，即结论成立.12分(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的方程为x 22＋y 2＝1，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos φ，y ＝1＋sin φ(φ为参数)，曲线C 3的方程为y ＝x tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫0<α<π2，x >0，曲线C 3与曲线C 1，C 2分别交于P ，Q 两点．(1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程； (2)求|OP |2·|OQ |2的取值范围．解 (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以曲线C 1的极坐标方程为 ρ2cos 2θ2＋ρ2sin 2θ＝1，即ρ2＝21＋sin 2θ，2分由⎩⎨⎧x ＝cos φ，y ＝1＋sin φ(φ为参数)，消去φ， 即得曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1， 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，代入化简， 可得曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.5分 (2)曲线C 3的极坐标方程为θ＝α⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ>0，0<α<π2.6分由(1)得|OP |2＝21＋sin 2α，|OQ |2＝4sin 2α， 即|OP |2·|OQ |2＝8sin 2α1＋sin 2α＝81sin 2α＋1，8分因为0<α<π2，所以0<sin α<1， 所以|OP |2·|OQ |2∈(0,4).10分23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x －5|－|x ＋3|. (1)解关于x 的不等式f (x )≥x ＋1；(2)记函数f (x )的最大值为m ，若a >0，b >0，e a ·e 4b ＝e 2ab －m ，求ab 的最小值． 解 (1)当x ≤－3时，由5－x ＋x ＋3≥x ＋1，得x ≤7，所以x ≤－3；当－3<x <5时，由5－x －x －3≥x ＋1，得x ≤13，所以－3<x ≤13；当x ≥5时，由x －5－x －3≥x ＋1，得x ≤－9，无解.4分综上可知，x ≤13，即不等式f (x )≥x ＋1的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，13.5分(2)因为|x －5|－|x ＋3|≤|x －5－x －3|＝8，所以函数f (x )的最大值m ＝8.6分 因为e a ·e 4b ＝e 2ab －8，所以a ＋4b ＝2ab －8.又a >0，b >0，所以a ＋4b ≥24ab ＝4ab ，当且仅当a ＝4b 时，等号成立，7分所以2ab －8－4ab ≥0，即ab －4－2ab ≥0. 所以有(ab －1)2≥5.8分又ab >0，所以ab ≥1＋5或ab ≤1－5(舍去)，ab≥6＋25，即ab的最小值为6＋2 5.10分。
2023-2024学年全国甲卷高考数学(理)押题模拟试题(含答案)
2023-2024学年全国甲卷高考数学（理）押题模拟试题第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.A．14B．74．某公司对2022年的营收额进行了统计，并绘制扇形统计图如图所示，在华中地区的三省中，湖北省的营收额最多，河南省的营收额最少，湖南省的营收额约（）A．该公司在湖南省的营收额在华中地区的营收额的占比约为B．该公司在华东地区的营收额比西南地区､东北地区及湖北省的营收额之和还多C．该公司在华南地区的营收额比河南省营收额的三倍还多D．该公司2022年营收总额约为30800万元．．C ．．．数列{}n a 中，log 2)(N )n a n n *=+∈，定义：使12k a a a ⋅⋅⋅ 为整数的数k (N )k *∈叫做期盼数，则区间[1,2023]内的所有期盼数的和等于（2023B 2024C ．2025D ．．已知0w >，函数(π3sin 24f wx ⎛⎫+- ⎪⎝⎭在区间π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则的取值范围是（）A ．//BD 平面11CB DC ．1D C 与1AC 共面11．若存在[)1,x ∞∈+，使得关于AB=B．四边形A．5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量a ，b 满足个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分．是其左、右顶点，M是椭圆上异于A，计分．[选修4-4：坐标系与参数方程][选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()2f x x =-+a ，b ，c 满足a b c m ++=，求证三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分．设ABI θ∠=，则BAI ∠在ABI △中，由正弦定理得，π因为,H F 分别是11,DD CC 的中点，所以//HF AB ，且=HF AB ，（1分）（2）①设(4,)(0)P t t ≠，则PA k 联立方程226234120x y t x y ⎧=-⎪⎨⎪+-=⎩，得21．【详解】（1）由题意，(f 所以ln 3ax x+=有两个不相等正根，即记函数()3ln h x x x x =-，则h 令()0h x '=，得2e x =，令(h x '要使3ln a x x x =-有两个不相等正根，则函数由图知20e a <<，故实数a 的取值范围（2）函数()f x 定义域为()(0,,f '+∞当0a ≤时，()0f x ¢>，()f x 在(0,+当0a >时，若0x a <<时，()0f x '<计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．【详解】（1）当0x ≤时，()2342f x x x x =--=-+，解()10f x ≥，即4210x -+≥，解得2x ≤-；当02x <≤时，()2322f x x x x =-+=+，解()10f x ≥，即2210x +≥，解得4x ≥，无解；当2x >时，()2342f x x x x =-+=-，解()10f x ≥，即4210x -≥，解得3x ≥.（4分）综上所述，不等式()10f x ≥的解集为(][),23,-∞-+∞ .（5分）（2）由（1）可知，()24,022,0242,2x x f x x x x x -≤⎧⎪=+<≤⎨⎪->⎩.当0x ≤时，()422f x x =-+≥；当02x <≤时，()222f x x =+>；当2x >时，()426f x x =->，（7分）所以函数()f x 的最小值为2，所以2m =，所以2a b c ++=.（8分）由柯西不等式可得，()()()()222222231114a b c a b c a b c ++=++++≥++=，（9分）当且仅当23a b c ===时，等号成立.所以()22234a b c ++≥，所以22243a b c ++≥。
2020年高考全国卷Ⅱ数学(理)试卷(含解析)
2020年高考全国卷Ⅱ数学（理）试卷一、选择题1.已知集合U={−2,−1,0,1,2,3},A={−1,0,1},B={1,2}，则∁U(A∪B)=（）A.{−2,3}B.{−2,2,3}C.{−2,−1,0,3}D.{−2,−1,0,2,3}2.若α为第四象限角，则（）A.cos2α>0B.cos2α<0C.sin2α>0D.sin2α<03.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天新订单是1600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天积压订单及当日订单配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A.10名B.18名C.24名D.32名4.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（）A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块5.若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x−y−3=0的距离为（）A.√55B.2√55C.3√55D.4√556.数列{a n}中，a1=2，a m+n=a m a n.若a k+1+a k+2+⋯+a k+10=215−25，则k=()A.2B.3C.4D.57.如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为（）A.EB.FC.GD.H8.设O为坐标原点，直线x=a与双曲线C:x 2a −y2b=1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点.若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（）A.4B.8C.16D.329.设函数f(x)=ln|2x+1|−ln|2x−1|，则f(x)（）A.是偶函数，且(12,+∞)在单调递增B.是奇函数，且(−12,12)在单调递减C.是偶函数，且(−∞,−12)在单调递增D.是奇函数，且(−∞,−12)在单调递减10.已知△ABC是面积为9√34的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（）A.√3B.32C.1 D.√3211.若2x−2y<3−x−3−y，则（）A.ln(y−x+1)>0B.ln(y−x+1)<0C.ln|x−y|>0D.ln|x−y|<012.0−1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列a1a2⋯a n⋯满足a i∈{0,1}(i=1,2,⋯)，且存在正整数m，使得a i+m=a i(i=1, 2, ⋯)成立，则称其为0−1周期序列，并称满足a i+m=a i(i=1, 2, ⋯)的最小正整数m为这个序列的周期.对于周期为m的0−1序列a1a2⋯a n⋯,C(k)=1m ∑a i m i=1a 1+k (k =1, 2, ⋯, m −1)是描述其性质的重要指标.下列周期为5的0−1序列中，满足C (k )≤15(k =1,2,3,4)的序列是（ ）A.11010⋯B.11011⋯C.10001⋯D.11001⋯二、填空题13.已知单位向量a →，b →的夹角为45∘,ka →−b →与a →垂直，则k =________.14.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名学生，则不同的安排方法有________种．15.设复数z 1,z 2满足|z 1|=|z 2|=2，z 1+z 2=√3+i ，则|z 1−z 2|=________.16.设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l .则下列命题中所有真命题的序号是________.①p 1∧p 4；②p 1∧p 2；③¬p 2∨p 3；④¬p 3∨¬p 4.三、解答题17.△ABC 中，sin 2A −sin 2B −sin 2C =sinBsinC .(1)求A ；(2)若BC =3，求△ABC 周长的最大值．18.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加，为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ,y i )(i =1,2,⋯,20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得∑x i20i=1=60，∑y i 20i=1=1200，∑(x i −x ¯)220i=1=80，∑(y i −y ¯)220i=1=9000，∑(x i −x ¯)20i=1(y i −y ¯)=800.(1)求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；(2)求样本(x i ,y i )(i =1,2,⋯,20)的相关系数（精确到0.01）；(3)根据现有统计资料，各地块间植物短盖面积差异很大，为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．附：相关系数：r =∑(x −x ¯)n (y −y ¯)√∑(x i −x )2n i=1∑(y i −y )2n i=1，√2≈1.414.19已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合．C 1的中心与C 2的顶点重合，过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点．且|CD|=43|AB|.(1)求C 1的离心率；(2)设M 是C 1与C 2的公共点．若|MF|=5，求C 1与C 2的标准方程．20.如图已知三棱柱ABC −A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧面BB 1C 1C 是矩形，M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．(1)证明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥面EB1C1F.(2)设O为△A1B1C1的中心，若AO//面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值．21.已知函数f(x)=sin2xsin2x.(1)讨论f(x)在(0,π)上的单调性；(2)证明：|f(x)|≤3√38；(3)证明：sin2xsin22xsin24x⋯sin22n x≤3n4n.22.已知曲线C1,C2的参数方程分别为C1：{x=4cos2θ，y=4sin2θ(B为参数)，{x=t+1t，y=t−1t(t为参数).（1）（2）以坐标原点为极点，α轴正半轴为极轴建立极坐标系．设C1,C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程．(1)将C1，C2的参数方程化为普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程.23.已知函数f(x)=|x−a2|+|x−2a+1|.(1)当a=2时，求不等式f(x)≥4的解集；(2)若f(x)≥4，求a的取值范围.2020年高考全国卷Ⅱ数学（理）试卷一、选择1.已知集合U={−2,−1,0,1,2,3},A={−1,0,1},B={1,2}，则∁U(A∪B)=()A.{−2,3}B.{−2,2,3}C.{−2,−1,0,3}D.{−2,−1,0,2,3}【解答】解：由题意可知(A∪B)={−1,0,1,2}，故∁U(A∪B)={−2,3}.故选A.2.若α为第四象限角，则()A.cos2α>0B.cos2α<0C.sin2α>0D.sin2α<0【解答】解：∵α为第四象限角，+2kπ<α<2kπ，∴−π2∴−π+4kπ<2α<4kπ，∴2α是第三或第四象限角，∴当2α在第三象限时，cos2α<0，当2α在第四象限时，cos2α>0，故A，B错误；无论2α在第三还是在第四象限，都有sin2α<0.故选D.3.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天新订单是1600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天积压订单及当日订单配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者()A.10名B.18名C.24名D.32名【解答】解：因为公司可以完成配货1200份订单，则至少需要志愿者为：1600+500−1200=18名.50故选B.4.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块【解答】解：设每一层有n环，由题可知从内到外每环之间构成等差数列，公差d=9，a1=9.由等差数列性质知S n，S2n−S n，S3n−S2n成等差数列，且(S3n−S2n)−(S2n−S n)=n2d，则9n2=729，解得n=9，则三层共有扇形面石板为S3n=S27=27a1+27×262×9=3402块.故选C.5.若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x−y−3=0的距离为()A.√55B.2√55C.3√55D.4√55【解答】解：设圆心为(a,a)，则半径为a，圆过点(2,1)，则(a−2)2+(a−1)2=a2，解得a=1或a=5，所以圆心坐标为(1,1)或(5,5)，圆心到直线的距离都是d=√5=2√55.故选B.6.数列{a n}中，a1=2，a m+n=a m a n.若a k+1+a k+2+⋯+a k+10=215−25，则k=()A.2B.3C.4D.5【解答】解：a m+n=a m a n，取m=1，则a1+n=a1a n.又a1=2，所以a n+1a n=2，所以{a n}是首项，公比均为2等比数列，则a n=2n，所以a k+1+a k+2+⋯+a k+10=2k+1(1−210)1−2=2k+1⋅210−2k+1=215−25，解得k=4.故选C7.如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为()A.EB.FC.GD.H【解答】解：该几何体是两个长方体拼接而成，如图所示，显然所求点对应的为E点.故选A.8.设O为坐标原点，直线x=a与双曲线C:x 2a −y2b=1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点.若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为()A.4B.8C.16D.32【解答】解：双曲线C:x 2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的两条渐近线分别为y=±bax，则容易得到|DE|=2b，则S△ODE=ab=8.又因为c2=a2+b2≥2ab=16，即c≥4，焦距2c≥8.故选B.9.设函数f(x)=ln|2x+1|−ln|2x−1|，则f(x)()A.是偶函数，且(12,+∞)在单调递增B.是奇函数，且(−12,12)在单调递减C.是偶函数，且(−∞,−12)在单调递增D.是奇函数，且(−∞,−12)在单调递减【解答】解：函数f(−x)=ln|−2x+1|−ln|−2x−1|=ln|1−2x|−ln|2x+1|=−f(x)，∴f(x)为奇函数.当x∈(12，∞,)时，f(x)=ln(2x+1)−ln(2x−1)=ln2x+12x−1=ln(1+22x−1)，单调递减；当x∈(−12,12)时，f(x)=ln(2x+1)−ln(1−2x)，单调递增；当x∈(−∞,−12)时，f(x)=ln(−2x−1)−ln(1−2x)=ln2x+12x−1=ln(1+22x−1)，单调递减．故选D.10.已知△ABC是面积为9√34的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为()A.√3B.32C.1 D.√32【解答】解：设ABC的外接圆圆心为O1，记OO1=d，圆O1的半径为r，球O半径为R，等边三角形△ABC的边长为a，则S△ABC=√34a2=9√34，可得a=3，所以r=√3=√3.由题知球O的表面积为16π，则R=2，由R2=r2+d2，易得d=1，即O到平面ABC的距离为1.故选C.11.若2x−2y<3−x−3−y，则()A.ln(y−x+1)>0B.ln(y−x+1)<0C.ln|x−y|>0D.ln|x−y|<0【解答】解：2x−3−x<2y−3−y，设f(x)=2x−3−x，则f′(x)=2x ln2+3−x ln3>0，∴函数f(x)在R上单调递增，∵f(x)<f(y)，所以x<y，则y−x+1>1，∴ln(y−x+1)>0.故选A.12.0−1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列a1a2⋯a n⋯满足a i∈{0,1}(i=1,2,⋯)，且存在正整数m，使得a i+m=a i(i=1, 2, ⋯)成立，则称其为0−1周期序列，并称满足a i+m=a i(i=1, 2, ⋯)的最小正整数m为这个序列的周期.对于周期为m的0−1序列a1a2⋯a n⋯,C(k)=1 m ∑a imi=1a1+k(k=1, 2, ⋯, m−1)是描述其性质的重要指标.下列周期为5的0−1序列中，满足C(k)≤15(k=1,2,3,4)的序列是()A.11010⋯B.11011⋯C.10001⋯D.11001⋯【解答】解：对于A选项，C(1)=15∑a i5i=1a i+1=15(1+0+0+0+0)=15，C(2)=15∑a i5i=1a i+2=15(0+1+0+1+0)−25>15，不满足，排除；对于B 选项，C (1)=15∑a i 5i=1a i+1=15(1+0+0+1+1)=35>15，不满足，排除；对于C 选项，C (1)=15∑a i 5i=1a i+1=15(0+0+0+0+1)=15，C (2)=15∑a i 5i=1a i+2=15(0+0+0+0+0)=0，C (3)=15∑a i 5i=1a i+3=15(0+0+0+0+0)=0，C (4)=15∑a i 5i=1a i+4=15(1+0+0+0+0)=15，满足；对于D 选项，C (1)=15∑a i 5i=1a i+1=15(1+0+0+0+1)=25>0，不满足，排除.故选C ．二、填空题已知单位向量a →，b →的夹角为45∘,ka →−b →与a →垂直，则k =________.【解答】解：∵单位向量a →、b →的夹角为45∘,a →−b →与a →垂直，∴(ka →−b →)⋅a →=k −√22=0， ∴k =√22. 故答案为：√22.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名学生，则不同的安排方法有________种．【解答】解：由题意可得，不同的安排方法有C 42A 33=36种.故答案为：36.设复数z 1,z 2满足|z 1|=|z 2|=2，z 1+z 2=√3+i ，则|z 1−z 2|=________.【解答】解：由题设z 1=a +bi ，则z 2=(√3−a)+(1−b )i ，故|z 1|2=a 2+b 2=4，|z2|2=(√3−a)2+(1−b)2=a2+b2−2√3a−2b+4=4，则|z1−z2|2=(2a−√3)2+(2b−1)2=4a2+4b2−4√3a+4b+4=2(a2+b2)+2(a2+b2−2√3a−2b)+4=2×4+4=12，故|z1−z2|=2√3.故答案为：2√3.设有下列四个命题：p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.p4：若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.则下列命题中所有真命题的序号是________.①p1∧p4；②p1∧p2；③¬p2∨p3；④¬p3∨¬p4.【解答】解：对于p1：可设l1与l2相交，所得平面为α．若l3与l1相交，则交点A必在α内，同理，与l2交点B在α内，故直线AB在α内，即l3在α内，故p1为真命题．对于p2：过空间中任意三点，若三点共线，可形成无数多平面，故p2为假命题．对于p3：空间中两条直线的位置关系有相交、平行、异面，故p3为假命题．对于p4：若m⊥α，则m垂直于平面α内的所有直线，故m⊥l，故p4为真命题．综上可知：p1∧p4为真命题，¬p2∨p3为真命题，¬p3∨¬p4为真命题．故答案为：①③④.三、解答题△ABC中，sin2A−sin2B−sin2C=sinBsinC.(1)求A；(2)若BC=3，求△ABC周长的最大值．【解答】解：(1)在△ABC 中，设内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，∵sin 2A −sin 2B −sin 2C =sinBsinC ，由正弦定理得，a 2−b 2−c 2=bc ，即b 2+c 2−a 2=−bc ，由余弦定理得，cosA =b 2+c 2−a 22bc =−12.∵0<A <π，∴A =2π3. (2)由(1)知A =2π3，因为BC =3，即a =3，由余弦定理得，a 2=b 2+c 2−2bccosA ，∴9=b 2+c 2+bc =(b +c )2−bc ，由基本不等式√bc ≤b+c 2知bc ≤(b+c )24， 结合上式得9=(b +c )2−bc ≥34(b +c )2,(b +c )2≤12，∴b +c ≤2√3，当且仅当b =c =√3时取等号，∴△ABC 周长的最大值为3+2√3.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加，为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ,y i )(i =1,2,⋯,20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得∑x i20i=1=60，∑y i 20i=1=1200，∑(x i −x ¯)220i=1=80，∑(y i −y ¯)220i=1=9000，∑(x i −x ¯)20i=1(y i −y ¯)=800.(1)求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；(2)求样本(x i ,y i )(i =1,2,⋯,20)的相关系数（精确到0.01）；(3)根据现有统计资料，各地块间植物短盖面积差异很大，为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．附：相关系数：r=∑(x−x¯)n(y−y¯)√∑(xi−x)2ni=1∑(y i−y)2ni=1，√2≈1.414.【解答】解：(1)由题意可知，1个样区这种野生动物数量的平均数=120020=60，故这种野生动物数量的估计值=60×200=12000；(2)由参考公式得，r=∑(x i−x¯)ni=1(y i−y¯)√∑(xi−x)2ni=1∑(y i−y)2ni=1=√80×9000=6√2≈0.94；(3)由题意可知，各地块间植物短盖面积差异很大，因此在调查时，先确定该地区各地块间植物短盖面积大小并且由小到大排序，每十个分为一组，采用系统抽样的方法抽取20个地块作为样区进行样本统计．已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合．C1的中心与C2的顶点重合，过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点．且|CD|=43|AB|.(1)求C1的离心率；(2)设M是C1与C2的公共点．若|MF|=5，求C1与C2的标准方程．【解答】解：(1)F为C1的焦点且AB⊥x轴，∴F(c,0)，|AB|=2b2a，设C2的标准方程为y2=2px(p>0)，∵F为C2的焦点且AB⊥x轴，∴F(p2,0).由抛物线的定义可得，|CD|=2p．∵|CD|=43|AB|.C1与C2焦点重合，∴{c=p2，2p=43×2b2a，消去p得：4c=8b 23a，∴3ac=2b2，∴3ac=2a2−2c2，设C1的离心率为e，则2e2+3e−2=0，∴e=12或e=−2（舍），故C1的离心率为12.(2)由(1)知a=2c，b=√3c，p=2c．∴C1:x24c2+y23c2=1，C2:y2=4cx，联立两曲线方程，消去y得3x2+16cx−12c2=0，∴(3x−2c)(x+6c)=0，∴x=23c或x=−6c（舍），从而|MF|=x+p2=23c+c=53c=5，∴c=3，∴C1与C2的标准方程分别为x 2+y2=1，y2=12x.如图已知三棱柱ABC−A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．(1)证明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥面EB1C1F.(2)设O为△A1B1C1的中心，若AO//面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值．【解答】(1)证明：∵M，N分别为BC，B1C1的中点，底面为正三角形，∴B1N=BM，四边形BB1NM为矩形，A1N⊥B1C1，∴BB1//MN，而AA1//BB1，MN⊥B1C1∴AA1//MN，又∵MN∩A1N=N，∴面A1AMN⊥面EB1C1F.(2)∵三棱柱上下底面平行，平面EB1C1F与上下底面分别交于B1C1，∴EF//B1C1//BC.∵AO//面EB1C1F，AO⊂面AMNA1，面AMNA1∩面EB1C1F=PN，∴AO//PN，四边形APNO为平行四边形，而O为正三角形的中心，AO=AB，∴A1N=3ON，AM=3AP,PN=BC=B1C1=3EF.由(1)知直线B1E在平面A1AMN内的投影为PN直线B1E与平面A1AMN所成角即为等腰梯形EFC1B1中B1E与PN所成角在等腰梯形EFC1B1中，令EF=1，过E作EH⊥B1C1于H，则PN=B1C1=EH=3，B1H=1，B1E=√10，sin∠B1EH=B1HB1E =√1010.已知函数f(x)=sin2xsin2x.(1)讨论f(x)在(0,π)上的单调性；(2)证明：|f(x)|≤3√38；(3)证明：sin2xsin22xsin24x⋯sin22n x≤3n4n.【解答】(1)解：∵f (x )=2sin 3xcosx ，∴f ′(x )=2sin 2x (3cos 2x −sin 2x )=−8sin 2xsin (x +π3)sin (x −π3).当x ∈(0,π3)时，f ′(x )>0, f (x )单调递增；当x ∈(π3,2π3)时，f ′(x )<0, f (x )单调递减； 当x ∈(2π3,π)时，f ′(x )>0, f (x )单调递增；(2)证明：由f (x )=2sin 3xcosx 得，f (x )为R 上的奇函数． f 2(x )=4sin 6xcos 2x=4(1−cos 2x )3cos 2x=4(1−cos 2x )3×3cos 2x ≤43×((3−3cos 2x+3cos 2x)4)4=(34)3.当1−cos 2x =3cos 2x ，即cosx =±12时等号成立，故|f (x )|≤3√38. (3)证明：由(2)知：sin 2xsin2x ≤3√38=(34)32； sin 22xsin4x ≤3√38=(34)32； sin 222xsin23x ≤3√38=(34)32；⋯； sin 22n−1xsin2n x ≤3√38=(34)32， ∴sin 2xsin 32xsin 34x ⋯sin 32n−1xsin 22n x ≤(34)3n 2，∴sin 3xsin 32xsin 34x ⋯sin 32n−1xsin 32n x =sinx(sin 2xsin 32xsin 34x ⋯sin 32n−1xsin 22n x)sin2n x ≤(34)3n 2， ∴sin 2xsin 22xsin 24x ⋯sin 22n x ≤3n 4n .已知曲线C 1,C 2的参数方程分别为C 1：{x =4cos 2θ，y =4sin 2θ(B 为参数)，{x =t +1t ，y =t −1t (t 为参数).（1）（2）以坐标原点为极点，α轴正半轴为极轴建立极坐标系．设C 1,C 2的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程．(1)将C 1，C 2的参数方程化为普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C 1，C 2的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程.【解答】11已知函数f (x )=|x −a 2|+|x −2a +1|.(1)当a =2时，求不等式f (x )≥4的解集；(2)若f (x )≥4，求a 的取值范围.【解答】解：(1)当a =2时，f (x )={7−2x ，x ≤3，1，3<x ≤4，2x −7，x >4.因此，不等式f (x )≥4的解集为{x|x ≤32或x ≥112}.(2)因为f (x )=|x −a 2|+|x −2a +1|≥|a 2−2a +1|=(a −1)2， 故当(a −1)2≥4，即|a −1|≥2时，f (x )≥4，所以当a ≥3或a ≤−1时，f (x )≥4；当−1<a <3时，f (a 2)=|a 2−2a +1|=(a −1)2<4. 所以a 的取值范围是(−∞,−1]∪[3,+∞).。
2020年高考全国II卷理科数学试题(含解析)
2020年全国统一高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅱ）一、选择题1.已知集合{2,1,0,1,2,3}U =--，{1,0,1}A =-，{1,2}B =，则()U C A B ⋃=（ ） A.{2,3}- B.{2,2,3}-C.{2,1,0,3}--D.{2,1,0,2,3}--【答案】A 【解析】∵{1,0,1,2}AB =-，∴ (){2,3}UC A B ⋃=-.2.若α为第四象限角，则（ ） A.cos20α> B.cos20α<C.sin 20α>D.sin 20α<【答案】D 【解析】∵22()2k k k Z ππαπ-+<<∈，∴424()k k k Z ππαπ-+<<∈，∴2α是第三象限角或第四象限角，∴sin 20α<.3.在新冠肺炎疫情期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作。
已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天新订单超过1600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ） A.10名 B.18名 C.24名 D.32名 【答案】B【解析】因为公司可以完成配货1200份订单，则至少需要志愿者为160050012001850+-=名.4.北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，己知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇形面形石板（不含天心石）（ ） A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块【答案】C【解析】设每一层有n 环，由题可知从内到外每环之间构成等差数列，公差9d =，19a =，由等差数列性质知n S ，2n n S S -，32n n S S -成等差数列，且2322()()n n n n S S S S n d ---=，则29729n =，得9n =，则三层共有扇形面石板为3271272627934022n S S a ⨯==+⨯=块. 5.若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A.【答案】B【解析】设圆心为(,)a a ，则半径为a ，圆过点(2,1)，则222(2)(1)a a a -+-=，解得1a =或5a =，所以圆心坐标为(1,1)或(5,5)，圆心到直线的距离都是5d =. 6.数列{}n a 中，12a =，m n m n a a a +=,若155121022k k k a a a ++++++=-,则k =（ ）A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】取1m =，则11n n a a a +=，又12a =，所以12n na a +=，所以{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，则2nn a =，所以11011115512102(12)222212k k k k k k a a a ++++++-+++==-=--，得4k =.7.右图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ，则该端点在侧视图中对应的点为（ ）A.EB.FC.GD.H【答案】A【解析】该几何体是两个长方体拼接而成，如图所示，显然选A.8.设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1x yC a b-=(0,0)a b >>的两条渐近线分别交于D ，E 两点，若ODE ∆的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ） A.4 B.8 C.16 D.32 【答案】B【解析】双曲线2222:1x y C a b -=(0,0)a b >>的两条渐近线分别为b y x a =±，则容易得到||2DE b =，则8ODE S ab ∆==，222216c a b ab =+≥=，当且仅当a b ==号成立，所以min 4c =，焦距min (2)8c =.9.设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则()f x （ ）A. 是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B.是奇函数，且在11(,)22-单调递减C. 是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D.是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减【答案】D【解析】函数()ln |21|ln |21|ln |21|ln |21|()f x x x x x f x -=-+---=--+=-，则()f x 为奇函数，故排除A 、C ；当11(,)22x ∈-时，()ln(21)ln(12)f x x x =+--，根据函数单调性的性质可判断()f x 在11(,)22-上单调递增，故排除B ；当1(,)2x ∈-∞-时，212()ln(21)ln(12)lnln(1)2121x f x x x x x +=----==+--，根据复合函数单调性可判断()f x 在1(,)2-∞-上单调递减，故D 正确.10.已知ABC ∆的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上，若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（ ）B.32C.1【答案】C【解析】设ABC ∆的外接圆圆心为1O ，记1OO d =，圆1O 的半径为r ，球O 半径为R ，等边三角形ABC ∆的边长为a ，则2ABC S ∆==，可得3a =，于是r ==，由题知球O 的表面积为16π，则2R =，由222R r d =+易得1d =，即O 到平面ABC 的距离为1.11.若2233x y x y ---<-，则（ ） A.ln(1)0y x -+> B.ln(1)0y x -+< C.ln ||0x y -> D.ln ||0x y -<【答案】A【解析】2323x x y y---<-，设()23x x f x -=-，则()2ln 23ln30x xf x -'=+>，所以函数()f x 在R 上单调递增，因为()()f x f y <，所以x y <，则11y x -+>，ln(1)0y x -+>，选A.12.01-周期序列在通信技术中有着重要应用，若序列12......n a a a 满足{}10,1(1,2,...)a i ∈=，且存在正整数m ,使得(1,2,...)i m i a a i +==成立，则称其为01-周期序列，并称满足(1,2,...)i m i a a i +== 的最小正整数m 为这个序列的周期，对于周期为m的01-序列12......n a a a ，11()(1,2,...,1)mi i k i C k a a k m m +===-∑是描述其性质的重要指标，下列周期为5的01-序列中，满足1()(1,2,3,4)5C k k ≤=的序列是（ ） A. 11010... B.11011... C. 10001... D.11001... 【答案】C【解析】对于A 选项：511111(1)(10000)555i i i C a a +===++++=∑，5211121(2)(01010)5555i i i C a a +===++++=>∑，不满足，排除；对于B 选项，5111131(1)(10011)5555i i i C a a +===++++=>∑，不满足，排除；对于C 选项，511111(1)(00001)555i i i C a a +===++++=∑，52111(2)(00000)055i i i C a a +===++++=∑，53111(3)(00000)055i i i C a a +===++++=∑，541111(4)(10000)555i i i C a a +===++++=∑，满足；对于D 选项，5111121(1)(10001)5555i i i C a a +===++++=>∑，不满足，排除；故选C 。
高考数学精选真题模拟测试卷含答案解析
精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！高考数学之精选真题+模拟重组卷（一）历年真题精选姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．（2020·全国高考真题（理））已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．6【答案】C 【详解】由题意，A B 中的元素满足8y x x y ≥⎧⎨+=⎩，且*,x y N ∈，由82x y x +=≥，得4x ≤，所以满足8x y +=的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)， 故AB 中元素的个数为4.故选：C.2．（2020·北京高考真题）已知,R αβ∈，则“存在k Z ∈使得(1)kk απβ=+-”是“sin sin αβ=”的（ ）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【详解】(1)当存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-时，若k 为偶数，则()sin sin sin k απββ=+=；若k 为奇数，则()()()sin sin sin 1sin sin k k απβππβπββ=-=-+-=-=⎡⎤⎣⎦；(2)当sin sin αβ=时，2m αβπ=+或2m αβππ+=+，m Z ∈，即()()12kk k m απβ=+-=或()()121kk k m απβ=+-=+，亦即存在k Z ∈使得(1)kk απβ=+-．所以，“存在k Z ∈使得(1)kk απβ=+-”是“sin sin αβ=”的充要条件.故选：C.3．（2020·天津高考真题）函数241xy x =+的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A 【详解】由函数的解析式可得：()()241xf x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误； 当1x =时，42011y ==>+，选项B 错误. 故选：A.4．（2020·海南高考真题）已知函数2()lg(45)f x x x =--在(,)a +∞上单调递增，则a 的取值范围是（ ）A ．(2,)+∞B ．[2,)+∞C ．(5,)+∞D ．[5,)+∞【答案】D 【详解】由2450x x -->得5x >或1x <- 所以()f x 的定义域为(),1(5,)-∞-⋃+∞因为245y x x =--在(5,)+∞上单调递增所以2()lg(45)f x x x =--在(5,)+∞上单调递增 所以5a ≥ 故选：D5．（2015·北京高考真题（理））汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（ ）A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【答案】D【详解】对于A，由图象可知当速度大于40km/h时，乙车的燃油效率大于5km/L，∴当速度大于40km/h时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5km，故A错误；对于B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B错误；对于C，由图象可知当速度为80km/h时，甲车的燃油效率为10km/L，即甲车行驶10km时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km，燃油为8升，故C错误；对于D，由图象可知当速度小于80km/h时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，∴用丙车比用乙车更省油，故D正确故选D．6．（2016·全国高考真题（文））函数π()cos 26cos()2f x x x =+-的最大值为 A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】B 【解析】试题分析：因为22311()12sin 6sin 2(sin )22f x x x x =-+=--+，而sin [1,1]x ∈-，所以当sin 1x =时，()f x 取得最大值5，选B.7．（2017·全国高考真题（文））如图，在下列四个正方体中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 不平行与平面MNQ 的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【详解】对于A 选项，如下图所示，连接CD ，在正方体中，//AD BC 且AD BC =，所以，四边形ABCD 为平行四边形，则//AB CD ，N 、Q 分别为DE 、CE 的中点，则//NQ CD ，//AB NQ ∴， AB ⊄平面MNQ ，NQ ⊂平面MNQ ，//AB ∴平面MNQ ；对于B 选项，连接CD ，如下图所示：在正方体中，//AD BC 且AD BC =，所以，四边形ABCD 为平行四边形，则//AB CD ，M 、Q 分别为DE 、CE 的中点，则//MQ CD ，//AB MQ ∴，AB ⊄平面MNQ ，MQ 平面MNQ ，//AB ∴平面MNQ ；对于C 选项，连接CD ，如下图所示：在正方体中，//AD BC 且AD BC =，所以，四边形ABCD 为平行四边形，则//AB CD ，M 、Q 分别为DE 、CE 的中点，则//MQ CD ，//AB MQ ∴，AB ⊄平面MNQ ，MQ 平面MNQ ，//AB ∴平面MNQ ；对于D 选项，如下图所示，连接BE 交MN 于点F ，连接QF ，连接CD 交BE 于点O ，若//AB 平面MNQ ，AB 平面ABE ，平面ABE 平面MNQ FQ =，则//FQ AB ，则EF EQBE AE=， 由于四边形BCED 为正方形，对角线交于点O ，则O 为BE 的中点，M 、N 分别为DE 、CE 的中点，则//MN CD ，且MN BE F =，则12EF EN EO CE ==，1124EF OE BE ∴==， 则14EF BE =，又12EQ AE =，则EF EQBE AE≠，所以，AB 与平面MNQ 不平行；故选：D.8．（2014·浙江高考真题（文））如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练，已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面上的射线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小（仰角为直线与平面所成的角），若，，，则的最大值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：由勾股定理知，，过点作交于，连结，依题意，取最大值，点在点的左边，则，设，因为，则，在中，，在中由勾股定理得，整理得，令，当时，所以的最大值为，即的最大值是二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．（2020·海南高考真题）已知a >0，b >0，且a +b =1，则（ ）A ．2212a b +≥B ．122a b ->C ．22log log 2a b +≥-D ≤【答案】ABD 【详解】对于A ，()222221221a b a a a a +=+-=-+21211222a ⎛⎫⎪⎭+ ⎝≥-=，当且仅当12a b ==时，等号成立，故A 正确； 对于B ，211a b a -=->-，所以11222a b-->=，故B 正确；对于C ，2222221log log log log log 224a b a b ab +⎛⎫+=≤==- ⎪⎝⎭，当且仅当12a b==时，等号成立，故C不正确；对于D，因为2112a b=+≤++=，≤，当且仅当12a b==时，等号成立，故D正确；故选：ABD10．（2020·海南高考真题）我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是（）A．这11天复工指数和复产指数均逐日增加;B．这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量;C．第3天至第11天复工复产指数均超过80%;D．第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量;【答案】CD【详解】由图可知，第1天到第2天复工指数减少，第7天到第8天复工指数减少，第10天到第11复工指数减少，第8天到第9天复产指数减少，故A错误；由图可知，第一天的复产指标与复工指标的差大于第11天的复产指标与复工指标的差，所以这11天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B错误;由图可知，第3天至第11天复工复产指数均超过80%，故C 正确; 由图可知，第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，故D 正确;11．（2020·海南高考真题）下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)= （ ）A ．πsin(3x +）B ．πsin(2)3x - C ．πcos(26x +）D ．5πcos(2)6x - 【答案】BC 【详解】由函数图像可知：22362T πππ=-=，则222T ππωπ===，所以不选A, 当2536212x πππ+==时，1y =-∴()5322122k k Z ππϕπ⨯+=+∈， 解得：()223k k ϕππ=+∈Z ， 即函数的解析式为：2sin 22sin 2cos 2sin 236263y x k x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.而5cos 2cos(2)66x x ππ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭故选：BC.12．（2020·海南高考真题）信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为1,2,,n ，且1()0(1,2,,),1ni i i P X i p i n p ===>==∑，定义X 的信息熵21()log ni i i H X p p ==-∑.（ ）A ．若n =1，则H (X )=0B ．若n =2，则H (X )随着1p 的增大而增大C ．若1(1,2,,)i p i n n==，则H (X )随着n 的增大而增大D ．若n =2m ，随机变量Y 所有可能的取值为1,2,,m ，且21()(1,2,,)j m j P Y j p p j m +-==+=，则H (X )≤H (Y )【答案】AC 【详解】对于A 选项，若1n =，则11,1i p ==，所以()()21log 10H X =-⨯=，所以A 选项正确. 对于B 选项，若2n =，则1,2i =，211p p =-， 所以()()()121121X log 1log 1H p p p p =-⋅+-⋅-⎡⎤⎣⎦，当114p =时，()221133log log 4444H X ⎛⎫=-⋅+⋅ ⎪⎝⎭， 当13p 4=时，()223311log log 4444H X ⎛⎫=-⋅+⋅ ⎪⎝⎭，两者相等，所以B 选项错误. 对于C 选项，若()11,2,,i p i n n==，则()222111log log log H X n n nn n ⎛⎫=-⋅⨯=-= ⎪⎝⎭，则()H X 随着n 的增大而增大，所以C 选项正确.对于D 选项，若2n m =，随机变量Y 的所有可能的取值为1,2,,m ，且()21j m jP Y j p p +-==+（1,2,,j m =）.()2222111log log mmi i i i i iH X p p p p ===-⋅=⋅∑∑ 122221222122121111log log log log m m m mp p p p p p p p --=⋅+⋅++⋅+⋅. ()H Y =()()()122221212122211111log log log m m m m m m m m p p p p p p p p p p p p -+-++⋅++⋅+++⋅+++12222122212221221121111log log log log m m m m m mp p p p p p p p p p p p ---=⋅+⋅++⋅+⋅++++由于()01,2,,2i p i m >=，所以2111i i m i p p p +->+，所以222111log log i i m ip p p +->+， 所以222111log log i i i i m ip p p p p +-⋅>⋅+， 所以()()H X H Y >，所以D 选项错误. 故选：AC三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．（2020·江苏高考真题）已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23f x x = ，则f (-8)的值是____. 【答案】4- 【详解】23(8)84f ==，因为()f x 为奇函数，所以(8)(8)4f f -=-=-故答案为：4-14．（2015·陕西高考真题（理））设曲线x y e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x=>上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为_____． 【答案】【详解】 设00(,)P x y .对y ＝e x 求导得y ′＝e x ，令x ＝0，得曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线斜率为1，故曲线1(0)y x x=>上点P 处的切线斜率为－1，由02011x x y x ==-=-'，得01x =，则01y =，所以P 的坐标为(1，1)． 15．（2020·浙江高考真题）设52345123456(12)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则5a =________；123a a a ++=________．【答案】80 51 【详解】5(12)x +的通项为155(2)2r r r r rr T C x C x +==，令4r =，则444455280T C x x ==，故580a =；11221235512251a a a C C ++=++=.故答案为：80；51.16．（2019·江苏高考真题）设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，()f x =，(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中0k >.若在区间(0]9，上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是_____.【答案】13⎡⎢⎣⎭. 【详解】当(]0,2x ∈时，()f x =即()2211,0.x y y -+=≥又()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为4，如图，函数()f x 与()g x 的图象，要使()()f x g x =在(]0,9上有8个实根，只需二者图象有8个交点即可.当1g()2x =-时，函数()f x 与()g x 的图象有2个交点； 当g()(2)x k x =+时，()g x 的图象为恒过点()2,0-的直线，只需函数()f x 与()g x 的图象有6个交点.当()f x 与()g x 图象相切时，圆心()1,0到直线20kx y k -+=的距离为11=，得4k =，函数()f x 与()g x 的图象有3个交点；当g()(2)x k x =+过点1,1（）时，函数()f x 与()g x 的图象有6个交点，此时13k =，得13k =. 综上可知，满足()()f x g x =在(]0,9上有8个实根的k 的取值范围为134⎡⎢⎣⎭，.四、解答题(本大题共6小题，共70分)17．（2019·天津高考真题（文）） 设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，公比大于0，已知113a b ==，23b a = ，3243b a =+.（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅰ）设数列{}n c 满足21,,,n n n c bn ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数求()*112222n na c a c a c n N +++∈.【答案】（I ）3n a n =，3nn b =；（II ）22(21)369()2n n n n N +*-++∈【详解】（I ）解：设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，依题意，得23323154q d q d =+⎧⎨=+⎩，解得33d q =⎧⎨=⎩， 故33(1)3n a n n =+-=，1333n nn b -=⨯=，所以，{}n a 的通项公式为3n a n =，{}n b 的通项公式为3nn b =；（II ）112222n n a c a c a c +++135212142632()()n n n a a a a a b a b a b a b -=+++++++++123(1)[36](6312318363)2n n n n n -=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯21236(13233)n n n =+⨯⨯+⨯++⨯，记 1213233n n T n =⨯+⨯++⨯ ∴ 则 231313233n n T n +=⨯+⨯++⨯ ∴∴-∴得，231233333n n n T n +=-----+⨯113(13)(21)333132n n n n n ++--+=-+⨯=-， 所以122112222(21)3336332n n n n n a c a c a c n T n +-++++=+=+⨯22(21)369()2n n n n N +*-++=∈.18．（2020·北京高考真题）在ABC 中，11a b +=，再从条件Ⅰ、条件Ⅰ这两个条件中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）a 的值：（Ⅰ）sin C 和ABC 的面积． 条件Ⅰ：17,cos 7c A ==-； 条件Ⅰ：19cos ,cos 816A B ==． 注：如果选择条件Ⅰ和条件Ⅰ分别解答，按第一个解答计分．【答案】选择条件∴（∴）8（∴）sin C =, S =选择条件∴（∴）6（∴）sin C =, S =. 【详解】 选择条件∴（∴）17,cos 7c A ==-，11a b +=22222212cos (11)72(11)7()7a b c bc A a a a =+-∴=-+--⋅⋅-8a ∴=（∴）1cos (0,)sin 77A A A π=-∈∴==，由正弦定理得：7sin sin sin sin 2a c C A C C ==∴=11sin (118)822S ba C ==-⨯=选择条件∴（∴）19cos ,cos ,(0,)816A B A B π==∈，sin A B ∴====由正弦定理得：6sin sin a b a A B === （∴）91sin sin()sin cos sin cos 168C A B A B B A =+=+=+=11sin (116)622S ba C ==-⨯=19．（2020·海南高考真题）如图，四棱锥P -ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ．设平面PAD 与平面PBC 的交线为l ．（1）证明：l ⊥平面PDC ；（2）已知PD =AD =1，Q 为l 上的点，QB PB 与平面QCD 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2. 【详解】 （1）证明：在正方形ABCD 中，//AD BC ，因为AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， 所以//AD 平面PBC ，又因为AD ⊂平面PAD ，平面PAD 平面PBC l =，所以//AD l ，因为在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，所以,,AD DC l DC ⊥∴⊥且PD ⊥平面ABCD ，所以,,AD PD l PD ⊥∴⊥ 因为CDPD D =所以l ⊥平面PDC ；（2）如图建立空间直角坐标系D xyz -，因为1PD AD ==，则有(0,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(1,1,0)D C A P B ，设(,0,1)Q m ，则有(0,1,0),(,0,1),(1,1,1)DC DQ m PB ===-，因为QB 1m =⇒=设平面QCD 的法向量为(,,)n x y z =，则00DC n DQ n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即00y x z =⎧⎨+=⎩，令1x =，则1z =-，所以平面QCD 的一个法向量为(1,0,1)n =-，则2cos ,1n PB n PB n PB⋅<>==== 根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线与平面所成角的正弦值等于6|cos ,|3n PB <>=所以直线PB 与平面QCD . 20．（2020·北京高考真题）某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（Ⅰ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅰ）将该校学生支持方案的概率估计值记为0p ，假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为1p ，试比较0p 与1p 的大小．（结论不要求证明）【答案】（∴）该校男生支持方案一的概率为13，该校女生支持方案一的概率为34； （∴）1336,（∴）01p p < 【详解】（∴）该校男生支持方案一的概率为2001200+4003=，该校女生支持方案一的概率为3003300+1004=；（∴）3人中恰有2人支持方案一分两种情况，（1）仅有两个男生支持方案一，（2）仅有一个男生支持方案一，一个女生支持方案一，所以3人中恰有2人支持方案一概率为：2121311313()(1)()(1)3433436C -+-=; （∴）01p p <21．（2020·浙江高考真题）如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于M （B ，M 不同于A ）．（Ⅰ）若116=p ，求抛物线2C 的焦点坐标； （Ⅰ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．【答案】（∴）1(,0)32；（∴）40【详解】（∴）当116=p 时，2C 的方程为218y x =，故抛物线2C 的焦点坐标为1(,0)32；（∴）设()()()112200,,,,,,:A x y B x y M x y I x y m λ=+，由()22222222220x y y my m x y mλλλ⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩， 1200022222,,222m m my y y x y m λλλλλλ--∴+===+=+++， 由M 在抛物线上，所以()222222244222m pm mp λλλλλ=⇒=+++，又22222()220y pxy p y m y p y pm x y mλλλ⎧=⇒=+⇒--=⎨=+⎩， 012y y p λ∴+=，2101022x x y m y m p m λλλ∴+=+++=+，2122222mx p m λλ∴=+-+.由2222142,?22x y x px y px ⎧+=⎪⇒+=⎨⎪=⎩即2420x px +-=12x p ⇒==-+222221822228162p p p m p p p λλλλλ+⇒-=+⋅=++≥+，18p ≥，21160p ≤，p ≤ 所以，p的最大值为40，此时(55A . 法2：设直线:(0,0)l x my t m t =+≠≠，()00,A x y .将直线l 的方程代入椭圆221:12x C y +=得：()2222220m y mty t +++-=，所以点M 的纵坐标为22M mty m =-+.将直线l 的方程代入抛物线22:2C y px =得：2220y pmy pt --=，所以02M y y pt =-，解得()2022p m y m+=，因此()220222p m xm+=，由220012x y +=解得22212242160m m p m m ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当m t ==时，p . 22．（2020·天津高考真题）已知函数3()ln ()f x x k x k R =+∈，()'f x 为()f x 的导函数．（Ⅰ）当6k =时，（i ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（ii ）求函数9()()()g x f x f x x'=-+的单调区间和极值； （Ⅰ）当3k -时，求证：对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-．【答案】（∴）（i ）98y x =-；（ii ）()g x 的极小值为(1)1g =，无极大值；（∴）证明见解析.【详解】(∴) (i) 当k =6时，()36ln f x x x =+，()26'3f x x x=+.可得()11f =，()'19f =， 所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()191y x -=-，即98y x =-. (ii) 依题意，()()32336ln ,0,g x x x x x x=-++∈+∞. 从而可得()2263'36g x x x x x=-+-， 整理可得：323(1)(1)()x x g x x '-+=，令()'0g x =，解得1x =.当x 变化时，()()',g x g x 的变化情况如下表：所以，函数g (x )的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞)； g (x )的极小值为g (1)=1，无极大值.（∴）证明：由3()ln f x x k x =+，得2()3k f x x x'=+. 对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，令12(1)x t t x =>，则 ()()()()()()()1212122x x f x f x f x f x ''-+--()22331121212122332ln x k k x x x x x x k x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3322121121212212332ln x x x x x x x x x k k x x x ⎛⎫=--++-- ⎪⎝⎭()332213312ln x t t t k t t t ⎛⎫=-+-+-- ⎪⎝⎭. ∴令1()2ln ,[1,)h x x x x x=--∈+∞.当x >1时，22121()110h x x x x '⎛⎫=+-=-> ⎪⎝⎭，由此可得()h x 在[)1,+∞单调递增，所以当t >1时，()()1h t h >，即12ln 0t t t-->.因为21x ≥，323331(1)0t t t t -+-=->，3k ≥-，所以()()332322113312ln 33132ln x t t t k t t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫-+-+------- ⎪+ ⎪⎝⎭⎝⎭32336ln 1t t t t=-++-. ∴由(∴)(ii)可知，当1t >时，()()1g t g >，即32336ln 1t t t t-++>， 故32336ln 10t t t t-++-> ∴ 由∴∴∴可得()()()()()()()12121220x x fx f x f x f x ''-+-->.所以，当3k ≥-时，任意的[)12,1,x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-.（二）2021新高考模拟卷姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．（2020·全国高三专题练习（文））已知复数5i5i 2iz =+-，则z =（ ）A B ．C ．D ．【答案】B 【详解】由题，得()()()5i 2+i 5i5i 5i 1+7i 2i 2i 2+i z =+=+=---，所以z == 故选：B.2．（2020·阳江市第一中学高三其他模拟）已知全集为实数集R ，集合{}36A x x =-<<，{}29140B x x x =-+<，则()U A B ⋂=（ ）A ．()2,6B ．()2,7C ．(]3,2-D ．()3,2-【答案】C 【详解】{}{}2914027B x x x x x =-+<=<<, {2U B x x ∴=≤或}7x ≥，{}(]()323,2U A B x x ∴⋂=-<≤=-.故选：C.3．（2020·浙江杭州市·高一期末）已知集合(){}2ln 32,{}M xy x x N xx a ==+-=>∣∣，若M N ⊆，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[3,)+∞B ．(3,)+∞C ．(,1]-∞-D ．(,1)-∞-【答案】C 【详解】令2320x x +->，即()()310x x -+<，解得13x则(){}{}2ln 32|13M xy x x x x ==+-=-<<∣M N ⊆，1a ∴≤-故选：C4．（2020·霍邱县第二中学高二开学考试）若曲线()sin f x x x =在2x π=处的切线与直线210ax y ++=互相垂直，则实数a 等于（ ） A ．-2 B ．-1C ．1D ．2【答案】D 【详解】由题可得：()sin cos f x x x x '=+，()12f π'=，∴曲线()sin f x x x =在2x π=处的切线的斜率为1，曲线()sin f x x x =在2x π=处的切线与直线210ax y ++=互相垂直，且直线210ax y ++=的斜率为2a -， ∴()1=12a -⨯-，解得：2a =；故答案选D.5．（2020·安徽金安区·六安一中高三月考（理））已知5log 2a =，7log 2b =，112c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．c a b <<【答案】A 【详解】5ln 2log 2ln 5a ==，7ln 2log 2ln 7b ==，0ln 2ln5ln7<<<，01b a ∴<<<， 11212c -⎛⎫==> ⎪⎝⎭，则b a c <<故选：A6．（2020·江苏高一课时练习）若方程2cos 2cos 10x x x m +--=在区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有实根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[]02，B ．[]12-， C ．0⎡⎣ D ．1⎡-⎣【答案】B 【详解】解：由题得2cos 2cos 10x x x m +--=，2cos 2x x m +=，则2sin 26x m π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，得72666x πππ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，，所以，1sin 2162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，， 得，[]2sin 2126x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，， 因为2sin 26x m π⎛⎫+= ⎪⎝⎭有实根， ∴[]12m ∈-，， 故选：B ．7．（2020·全国高二课时练习）在数列{}n a 中，12a =-，111n na a +=-，则2019a 的值为（ ） A ．2- B ．13C ．5D ．4【答案】B 【详解】解：由111n na a +=-，得2111111111n n n na a a a ++=-=-=--， 即32111111n nn na a a a ++=-=-=-， ∴数列{}n a 是以3为周期的周期数列，2019311113a a a ∴===-． 故选：B ．8．（2020·广东广州市·高三月考）在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB CC ==1BC =，点M 在正方形11CDD C 内，1C M ⊥平面1ACM ，则三棱锥11M ACC -的外接球表面积为（ ）A ．11π2B ．7πC ．11πD ．14π【答案】C 【详解】长方体1AC 中，11A D ⊥平面11CDD C ，1C M ⊂平面11CDD C ，∴111C M A D ⊥，又1C M ⊥平面1ACM ，1AC ⊂平面1ACM ，∴11C M AC ⊥， ∵1111AC A D A =，∴1C M ⊥平面11A CD ，而1CD ⊂平面11A CD ，∴11C M CD ⊥，11CDD C 是正方形，∴M 是1CD 与1C D 交点，即为1CD 的中点，也是1C D 的中点．1C MC △是直角三角形，设E 是1CC 中点，F 是1BB 中点，则由//EF BC 可得EF ⊥平面1MCC （长方体中棱与相交面垂直），E 是1C MC △的外心，三棱锥11A MCC -的外接球球心O 在直线EF 上（线段EF 或EF 的延长线上）．设OE h =，则22222(1)22h h ⎛⎫⎛+=++- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，解得32h =，∴外接球半径为2r ==， 表面积为21144114S r πππ==⨯=． 故选：C ．二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．（2020·福建福州市·高三期中）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若222sin a a b c ab C =+-=，cos sin a B b A c +=，则下列结论正确的是（ ）A ．tan 2C =B ．4A π=C ．b =D ．ABC 的面积为6【答案】ABD 【详解】因为222sin a b c ab C +-=，所以222sin sin cos 222a b c ab C C C ab ab +-===， 所以sin tan 2cos CC C==，故A 正确； 因为cos sin a B b A c +=，利用正弦定理可得sin cos sin sin sin A B B A C +=， 因为()C A B π=-+，所以sin sin[()]sin()C A B A B π=-+=+，所以sin cos sin si sin()sin cos cos sin n A A B B A B A B A B ++==+， 即sin sin cos sin B A A B =因为(0,)B π∈，所以sin 0B ≠，所以tan 1A =，又(0,)A π∈，所以4A π=，故B 正确；因为tan 2C =，(0,)C π∈所以sin C C ==所以sin sin()sin cos cos sin 22B A C A C A C =+=+=+=， 因为sin sin a bA B=，所以sin sin 2a Bb A===，故C 错误；11sin 622△===ABC S ab C ，故D 正确； 故选：ABD10．（2020·江苏连云港市·高三期中）已知ABC 是边长为2的等边三角形，D 是边AC 上的点，且2AD DC =，E 是AB 的中点，BD 与CE 交于点O ，那么（ ）A ．0OE OC +=B ．1AB CE ⋅=-C ．32OA OB OC ++=D ．132DE =【答案】AC【详解】建立平面直角坐标系如下图所示：取BD 中点M ，连接ME ，因为,M E 为,BD BA 中点，所以1//,2ME AD ME AD =，又因为12CD AD =， 所以//,ME CD ME CD =，所以易知EOM COD ≅，所以O 为CE 中点，A ．因为O 为CE 中点，所以0OE OC +=成立，故正确；B ．因为E 为AB 中点，所以AB CE ，所以0AB CE ⋅=，故错误；C ．因为()()(0,,1,0,1,0,2O A B C ⎛- ⎝⎭，所以1,1,0,0,2222OA OB OC ⎛⎛⎫⎛⎫⎛++=-+--+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以32OA OB OC ++=，故正确；D ．因为()1,0,03DE ⎛ ⎝⎭，所以1,3DE ⎛=- ⎝⎭，所以133DE =，故错误， 故选：AC.11．（2020·深圳市高级中学高二期中）如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11A D 的中点，Q 为11A B 上任意一点，E 、F 为CD 上两点，且EF 的长为定值，则下面四个值中是定值的是（ ）A ．点P 到平面QEF 的距离B ．直线PQ 与平面PEF 所成的角C ．三棱锥P QEF -的体积D ．QEF △的面积【答案】ACD 【详解】平面QEF 就是平面11A B CD ，是确定的平面，因此点P 到平面QEF 的距离为定值，A 正确；平面PEF 即平面PCD ，而Q 在直线11A B 上，11//A B CD ，因此11A B 与平面PCD 平行，Q 到平面PEF 的距离为定值，但Q 运动时，PQ 的长度在变化，因此直线PQ 与平面PEF 所成的角也在变化，B 错误；P 点到直线CD 的距离是确定，而EF 的长度不变，因此PEF S △为定值，又Q 到平面PEF 的距离为定值，从而三棱锥P QEF -的体积为定值，C 正确；11//A B CD ，Q 到EF 的距离为定值，EF 的长度不变，∴QEF △的面积为定值，D 正确．故选：ACD ．12．（2020·广东广州市·高三月考）已知直线2y x =-+分别与函数12xy e =和()ln 2y x =的图象交于点()11,A x y ，()22,B x y ，则（ ）A ．122x x e e e +>B．124x x >C ．1221ln ln 0x x x x +> D ．()12ln 22xe x +>【答案】ABD 【详解】如图所示，由函数12xy e =和函数()ln 2y x =互为反函数， 所以函数12xy e =和()ln 2y x =的图象关于y x =对称， 从而直线2y x =-+与函数12xy e =和()ln 2y x =的图象的交点()11,A x y ，()22,B x y 也关于y x =对称，所以2112,x y x y ==，又由()11,A x y 在直线2y x =-+，可得112x y +=，所以122x x +=，则122x x e e e +≥=，又由12x x ≠，所以等号不成立， 所以122x x e e e +>，所以A 正确；记()2ln 2g x x x =--，则()1110,102g g =>=-<21x <<， 又121222(2)ln 2x x x x x x =-=，又由函数ln 2y x x =在单调递增，所以12x x >=B 正确； 由212120()12x x x x +<<=，则1201x x ，记()ln x f x x =，则()1ln x xf x x-'=， 当01x <<时，()0f x '>，则函数()f x 在(0,1)上单调递增，故121()()f x f x <，即1222121lnln ln 1x x x x x x <=-，所以1221ln ln 0x x x x +<，所以C 不正确； 由122x x +=，可得122y y +=，即()121ln 222x e x +=， 又由1112xx e e >，所以()121ln 222x e x +>，所以D 正确. 故选：ABD三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．（2020·兴县友兰中学高一期中）“[]1,3x ∃∈-，220x x a -+<”为假命题，则实数a 的最小值为________. 【答案】1 【详解】[]“1,3x ∃∈-，220x x a -+<”为假命题，即在[-1，3]上，220x x a -+≥恒成立，分离参数得22a x x ≥-+,令()()22211f x x x x =-+=--+, 当1x =时()f x 取得最大值1，a∴的最小值为1，故答案为:1.14．（2020·上海闵行区·高三一模）新冠病毒爆发初期，全国支援武汉的活动中，需要从A医院某科室的6名男医生(含一名主任医师)､4名女医生(含一名主任医师)中分别选派3名男医生和2名女医生，要求至少有一名主任医师参加，则不同的选派方案共有___________种.(用数字作答)【答案】90【详解】根据题意，从6名男医生(含一名主任医师)､4名女医生(含一名主任医师)中分别选派3名男医生和2名女医生，共有3264206120C C⋅=⨯=种选派方案，如果所选的男女主任都没有参加，共有215330C C⨯=种选派方案，所以至少有一名主任医师参加有1203090-=种，故答案为：90.15．（2019·黄梅国际育才高级中学高二月考）下列说法：①线性回归方程y bx a=+必过(),x y；②命题“21,34x x∀≥+≥”的否定是“21,34x x∃<+<”③相关系数r越小，表明两个变量相关性越弱；④在一个22⨯列联表中，由计算得28.079K=，则有99%的把握认为这两个变量间有关系；其中正确．．的说法是__________．(把你认为正确的结论都写在横线上）本题可参考独立性检验临界值表：【答案】①④【解析】线性回归方程ˆˆˆybx a =+必过样本中心点(),x y ，故①正确． 命题“21,34x x ∀≥+≥”的否定是“21,34x x ∃≥+<” 故②错误③相关系数r 绝对值越小，表明两个变量相关性越弱，故不正确；④在一个22⨯列联表中，由计算得28.079K =，则有99%的把握认为这两个变量间有关系，正确. 故答案为①④.16．（2020·浙江高三其他模拟）设椭圆22143x y +=的右焦点为F ，则F 的坐标是______；若A 为椭圆的右顶点，P 为椭圆上的动点.则当2PF PA -最小时，P 点的横坐标是______【答案】()1,0 8- 【详解】由椭圆方程22143x y +=知：右焦点F 的坐标为(1,0)由题意，知：(1,0)F ，(2,0)A ，令(,)P x y ，()22x -≤≤则2PF PA -=4x =--令()4g x x =-，则()1g x '=-当()0g x '<有28x -≤<-()g x 单调递减；当()0g x '>有82x -<≤，即()g x 单调递增，而()0g x '=有8x =-∴当8x =-()g x 有最小值，即2PF PA -最小 故答案为：()1,0；8-四、解答题(本大题共6小题，共70分)17．（2020·广东肇庆市·高三月考）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()*112n n a S n =+∈N ． （1）求n S ；（2）若21log 2n n n nb a a ⎛⎫=+⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】（1）122n +-； （2）1(1)22n n n +-⋅++.【详解】（1）由题意，数列{}n a 满足()*112n n a S n =+∈N ， 当2n ≥时，可得11112n n a S --=+， 两式相减，可得1111()22n n n n n a S S a a --==--，整理得12n n a a -=，即12n n a a -=， 当1n =时，可得111111122a S a =+=+，解得12a =， 所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，所以2nn a =，所以12(12)2212n n n S +-==--.（2）由（1）知2nn a =，则211log 2()212()2n n n n n n n b a a n n =+=+=⋅+设2,1nn n k n p =⋅=，数列{}{},n n k p 的前n 项和分别为,n n K P ，则1231122232(1)22n n n K n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ 23412122232(1)22n n n K n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯，两式相减得23111223222222n n n n n K n n +++-=++⨯++-⨯=--⨯，所以1(1)22n n K n +=-⋅+，又由111n P n =+++=，所以数列{}n b 的前n 项和1(1)22n n n n T n n K P +-⋅=+++=.18．（2020·宁夏银川市·银川一中高三月考（理））如图，扇形ABC 是一块半径为2千米，圆心角为60的风景区，P 点在弧BC 上，现欲在风景区中规划三条商业街道，要求街道PQ 与AB 垂直，街道PR 与AC 垂直，线段RQ 表示第三条街道．（1）如果P 位于弧BC 的中点，求三条街道的总长度；（2）由于环境的原因，三条街道PQ 、PR 、RQ 每年能产生的经济效益分别为每千米300万元、200万元及400万元，问：这三条街道每年能产生的经济总效益最高为多少？【答案】（1）2+；（2）. 【详解】（1）由P 位于弧BC 的中点，在P 位于BAC ∠的角平分线上，则1||||||sin 2sin30212PQ PR PA PAB ==∠=⨯︒=⨯=，||cos 22AQ PA PAB =∠=⨯= 由60BAC ∠=︒，且AQ AR =，∴QAR 为等边三角形，则||RQ AQ ==三条街道的总长||||||112l PQ PR RQ =++=++ ； （2）设PAB θ∠=，060θ︒<<︒， 则sin 2sin PQ AP θθ==，PR AP =()()sin 602sin 603cos sin θθθθ-=-=-， cos 2cos AQ AP θθ==，||||cos(60)2cos(60)cos AR AP θθθθ=-=-=+，由余弦定理可知：2222cos60RQ AQ AR AQ AR =+-，22(2cos )(cos )22cos (cos )cos 603θθθθθθ=+-⨯+=，则|RQ =设三条街道每年能产生的经济总效益W ，300200400W PQ PR RQ =⨯+⨯+⨯，3002sin sin )200θθθ=⨯+-⨯+400sin θθ=++200(2sin )θθ=+)θϕ=++tan ϕ=当()sin 1θϕ+=时，W 取最大值，最大值为．19．（2020·全国高二专题练习）现有甲、乙两个规模一致的大型养猪场，均养有1万头猪．根据猪的体重，将其分为三个成长阶段，如下表：根据以往经验，两个养猪场内猪的体重X 均近似服从正态分布()250,16N ．由于我国有关部门加强对大型养猪场即将投放市场的成年期的猪的监控力度，高度重视其质量保证，为了养出健康的成年期的猪，甲、乙两个养猪场引入两种不同的防控及养殖模式．已知甲，乙两个养猪场内一头成年期的猪能通过质检合格的概率分别为43,54． （1）试估算各养猪场三个阶段的猪的数量；（2）已知甲养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利400元，若为不合格的猪，则亏损200元；乙养猪场出售--头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利500元，若为不合格的猪，则亏损100元记Y 为甲，乙养猪场各出售一头成年期的猪所得的总利润，求随机变量Y 的分布列，假设两个养猪场均能把成年期的猪售完，求两个养猪场的总利润的期望值． （参考数据：若()2~,Z Nμσ，则()0.683,(22)0.954,(33)0.997P Z P Z P Z μσμσμσμσμσμσ-+≈-+≈-+≈）【答案】（1）幼年期的猪215头，成长期的猪9540头，成年期的猪215头；（2）135450元.【详解】（1）设各阶段猪的数量分别为123,,n n n ，∵猪的体重X 近似服从正态分布2(50,16)N ，0.9970.954(218)(50316502 16) 0.02152P X P X -∴<=-⨯<-⨯≈=，1100000.0215215n ∴=⨯=（头）；(1882)(5021650216)0.954P X P X <=-⨯<+⨯≈2100000.9549540n ∴=⨯=（头）；0.9970.954(8298)(5021650316) 0.02152P X P X -=+⨯+⨯≈=，3100000.0215215n ∴=⨯=（头）∴甲、乙两个养猪场各有幼年期的猪215头，成长期的猪9540头，成年期的猪215头． （2）随机变量Y 的所有可能取值为900，300，300-．43341137111(900),(300),(300)5455454205420P Y P Y P Y ==⨯===⨯+⨯==-=⨯=，Y ∴的分布列为371()90030030063052020E Y ∴=⨯+⨯-⨯=（元），由于两个养猪场均有215头成年期的猪，且两个养猪场各出售一头成年期的猪所得的总利润的期望为630元，则总利润的期望为630215135450⨯=（元）．20．（2020·全国高三其他模拟）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，90CDA BAD ∠=∠=，1AD DC ==，2AB =， E 、F 分别为PD 、PB 的中点．（1）求证：平面PCB ⊥平面PAC ；（2）若平面CEF 与底面ABCD 所成的锐二面角为4π，求PA 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）5. 【详解】（1）因为1AD DC ==，2AB =，90CDA BAD ∠=∠=，所以AC BC ==因为222AC BC AB +=，所以BC AC ⊥，因为PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PA BC ⊥， 因为AC PA A ⋂=，所以BC ⊥平面PAC ， 因为BC ⊂平面PCB ，所以平面PCB ⊥平面PAC .（2）如图，以A 为坐标原点，分别以AD 、AB 、AP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设(0)PA a a =>，则()0,2,0B =，()1,1,0C ，()1,0,0D ，()0,0,P a ， 因为E 、F 分别为PD 、PB 的中点，所以1,0,22a E ⎛⎫⎪⎝⎭，0,1,2a F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,1,22a CE ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，1,0,2a CF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 易知平面ABCD 的一个法向量1(0,0,1)n =， 设平面CEF 的法向量为2(,,)n x y z =，则220,0,CE n CF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即10,220,2az x y az x ⎧--+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，不妨取4z =，则2x a =，y a =，即2(2,,4)a a n =，因为平面CEF 与底面ABCD 所成的锐二面角为4π，所以12122124cos ,5n n n n n n a ⋅===⋅，解得5a =，即PA 的长为5. 21．（2020·上海嘉定区·高三一模）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的长轴长为6，且经过点3(2Q ，A 为左顶点，B 为下顶点，椭圆上的点P 在第一象限，PA 交y 轴于点C ，PB 交x 轴于点D .（1）求椭圆的标准方程（2）若20OB OC +=，求线段PA 的长（3）试问：四边形ABCD 的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由【答案】（1）22194x y +=；（2；（3）是定值，6. 【详解】（1）解：由题意得26a =，解得3a =.把点Q 的坐标代入椭圆C 的方程22221x y a b+=，得229314a b +=由于3a =，解得2b =所以所求的椭圆的标准方程为22194x y +=.（2）解：因为20OB OC +=，则得1(0,1)2OC OB =-=，即(0,1)C ， 又因为(3,0)A -，所以直线AP 的方程为1(3)3y x =+.由221(3)3194y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得30x y =-⎧⎨=⎩(舍去)或27152415x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即得2724,1515P ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以||15AP ==即线段AP（3）由题意知，直线PB 的斜率存在，可设直线2:23PB y kx k ⎛⎫=->⎪⎝⎭. 令0y =，得2,0D k ⎛⎫⎪⎝⎭， 由222194y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2249360k x kx +-=，解得0x =(舍去)或23649k x k =+ 所以2218849k y k -=+，即22236188,4949k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭于是直线AP 的方程为22218849(3)36314k k y x k k -+=⨯+++，即2(32)(3)3(32)k y x k -=++ 令0x =，得2(32)32k y k -=+，即2(32)0,32k C k -⎛⎫⎪+⎝⎭，所以四边形ABDC 的面积等于1||||2AD BC ⨯⨯ 122(32)13212326232232k k kk k k k -+⎛⎫⎛⎫=+⋅+=⋅⋅= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ 即四边形ABDC 的面积为定值.。
2024年高考数学冲刺模拟卷(解析版)
备战2024年高考数学模拟卷（新题型）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．在ABC 中，三个内角,,A B C 成等差数列，则()sin A C +=（）A．12B．2C．2D．1【答案】C【分析】由条件可知2A+C =B ，结合πA B C ++=求得A C +，从而代入得解.【详解】因为,,A B C 成等差数列，所以2A+C =B ；又πA B C ++=，所以3πB =，即π3B =，所以2π23A CB +==，所以()2sin sin π32A C +==.故选：C.2．若()20272i 3i z ⋅+=-，则z 的虚部为（）A．1-B．75C．1i5-D．15-【答案】D【分析】利用复数的周期性化简2027i i =-，再利用复数的四则运算化简3i2iz +=+求出结果即可.【详解】因为()506202743i i i i =⨯=-，所以()2027i 2i 3i 3z ⋅+=-=+，所以()()()()3i 2i 3i 71i 2i 2i 2i 55z +-+===-++-，所以z 的虚部为15-，故选：D.3．已知向量m 和n都是非零向量，则“0m n > ”是“,m n 为锐角”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】先由0m n > 及向量夹角范围[]0,π推断充分性，再由数量积定义以及“,m n为锐角”即可推断必要性.【详解】因为0m n > ，向量m 和n都是非零向量，则由·cos ,m n m n m n = 得cos ,0m n >，所以由向量夹角范围为[]0,π，得“,0m n =”或“,m n 为锐角”；反之，若,m n为锐角，则·cos ,0m n m n m n m n ==> ，故“0m n > ”是“,m n为锐角”的必要不充分条件.故选：B.4．数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的产物，曲线C ：22322()16x y x y +=为四叶玫瑰线，下列结论正确的有（）（1）方程22322()16(0)x y x y xy +=<，表示的曲线在第二和第四象限；（2）曲线C 上任一点到坐标原点O 的距离都不超过2；（3）曲线C 构成的四叶玫瑰线面积大于4π；（4）曲线C 上有5个整点(横、纵坐标均为整数的点).A．（1）（2）B．（1）（2）（3）C．（1）（2）（4）D．（1）（3）（4）【答案】A【分析】因为0xy <，所以x 与y 异号，从而可判断（1）；利用基本不等可判断（2）；将以O 为圆心，2为半径的圆的面积与曲线C 围成区域的面积进行比较即可判断（3）；先确定曲线C 经过点，再将第一象限内经过的整点(1,1)，(1,2)，(2,1)逐一代入曲线C 的方程进行检验，根据对称性即可判断（4）.【详解】对于（1）：因为0xy <，所以x 与y 异号，故图象在第二和第四象限，正确；对于（2）：因为222x y xy +≥()0,0x y >>，所以222x yxy ≤+，所以()()22232222222161642x y x y x y x y ⎛⎫++=≤⨯=+ ⎪⎝⎭，所以224x y +≤，正确；对于（3）：以O 为圆点，2为半径的圆O 的面积为4π，结合（2）知然曲线C 围成的区域的面积小于圆O 的面积，错误；对于（4）：将224x y +=和22322()16x y x y +=联立，解得222x y ==，所以可得圆224x y +=与曲线C 相切于点，(，(，，点的位置是图中的点M ，由曲线的对称性可知，只需要考虑曲线在第一象限内经过的整点即可，把()1,1，()1,2和()2,1代入曲线C 的方程验证可知，等号不成立，所以曲线C 在第一象限内不经过任何整点，再结合曲线的对称性可知，曲线C 只经过整点()0,0，错误.故选：A5．已知n S 为正项数列{}n a 的前n 项和．若121n n n S a S ++=-，且557S =，则4a =（）A．7B．15C．8D．16【答案】B【分析】本题可通过题中的一般项n a 与前n 项和n S 的关系式，利用公式11n n n a S S ++=-来推导n a 和1n a +的关系，再通过构造法构造新数列{}1n a +并结合557S =来得到n a 的通项公式，算出结果.【详解】因为121n n n S a S ++=-，所以1121n n n n a S S a +++=-=，即()1211n n a a ++=+．因为0n a >，所以10n a +>，所以1121n n a a ++=+，所以数列{}1n a +是公比为2的等比数列，所以()11112n n a a -+=+⋅，则()11121n n a a -=+⋅-，所以()()51511255712a S +⋅-=-=-，解得11a =，所以21nn a =-，则442115a =-=．故选：B．6．如图所示，在边长为1⎫⎪⎪⎝⎭的正方形铁皮上剪下一个扇形和一个圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为（）【答案】B【分析】根据扇形的弧长与圆锥底面周长的关系可求得小圆半径和扇形半径之间的关系，继而结合正方形的对角线长，列式求出底面圆的半径，继而求得圆锥的高，即得答案.【详解】如图1，过⊙F 圆心F 作EE AD ⊥于E ，FG CD ⊥于G ，则四边形EFGD 为正方形，设小圆半径为r ，扇形半径为R，则FD =，小圆周长为2πr ，扇形弧长为90πR180，∵剪下一个扇形和圆恰好围成一个圆锥，90πR2π180r ∴=，解得4R r =，即4BH r =，(45BD BH HFFD r r r r ∴=++=+=，∵正方形铁皮边长为12+，152BD ⎛⎫∴=+= ⎪ ⎪⎝⎭，(55r ∴+=+，∴1r =；在图2中，1,4EF BE ==，由勾股定理得，圆锥的高BF ===故选：B7．甲、乙两人进行一场游戏比赛，其规则如下：每一轮两人分别投掷一枚质地均匀的骰子，比较两者的点数大小，其中点数大的得3分，点数小的得0分，点数相同时各得1分．经过三轮比赛，在甲至少有一轮比赛得3分的条件下，乙也至少有一轮比赛得3分的概率为（）A．209277B．210277C．211277D．212277【答案】B【分析】先根据古典概型得出一轮游戏中，甲得3分、1分、0分的概率.进而求出三轮比赛，在甲至少有一轮比赛得3分的概率，以及事件三轮比赛中，事件甲乙均有得3分的概率.即可根据条件概率公式，计算得出答案.【详解】用(),a b 分别表示甲、乙两人投掷一枚骰子的结果，因为甲、乙两人每次投掷均有6种结果，则在一轮游戏中，共包含6636⨯=个等可能的基本事件.其中，甲得3分，即a b >包含的基本事件有()()()()()()()()()()()()()()()2,1,3,1,3,2,4,1,4,2,4,3,5,1,5,2,5,3,5,4,6,1,6,2,6,3,6,4,6,5，共15个，概率为1553612p ==.同理可得，甲每轮得0分的概率也是512，得1分的概率为16.所以每一轮甲得分低于3分的概率为57111212p -=-=．设事件A 表示甲至少有一轮比赛得3分，事件B 表示乙至少有一轮比赛得3分，则事件A 表示经过三轮比赛，甲没有比赛得分为3分.则()333377C 1212P A ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()37138511121728P A P A ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭.事件AB 可分三类情形：①甲有两轮得3分，一轮得0分，概率为221355125C 1212576P ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；②甲有一轮得3分，两轮得0分，概率为212355125C 1212576P ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；③甲有一轮得3分，一轮得0分，一轮得1分，概率为33355125A 12126144P ⨯⨯⨯==.所以()12312512525175576576144288P AB P P P =++=++=175288=，所以()()()175210288|13852771728P AB P B A P A ===.故选：B．8．已知函数()1ex x f x +=，若过()1,P t -可做两条直线与函数()f x 的图象相切，则t 的取值范围为（）A．4,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B．4e ⎧⎫⎨⎬⎩⎭C．40,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D．{}40,0e ⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】根据导数几何意义求出切线方程，依题意，过点()1,P t -的直线与函数()1e xx f x +=的图象相切的切线条数即为直线y t =与曲线()2(1)eaa g a +=的图象的公共点的个数，根据导数研究函数()g a 的图象可得结果.【详解】设过点()1,P t -的直线与函数()1e x x f x +=的图象相切时的切点为(),a b ，则1e aa b +=，因为()()()2e 1e 1,e e ex x x x xx x xf x f x -++==-'=，所以切线方程为()1e ea a a ay x a +-=--，又()1,P t -在切线上，所以()11e e a a a a t a +-=---，整理得2(1)eaa t +=，则过点()1,P t -的直线与函数()1ex x f x +=的图象相切的切线条数即为直线y t =与曲线()2(1)e aa g a +=的图象的公共点的个数，因为()()()()2221e (1)e 11e ea a a aa a a a g a '+-+-+-==，令()0g a '=，得1a =±，所以，当1a <-时，()()0,g a g a '<单调递减；当11a -<<时，()()0,g a g a '>单调递增；当1a >时，()()0,g a g a '<单调递减，因为()()410,1eg g -==，当a →+∞时()0g a →，所以，函数()g a 的图象大致如图：所以当4et =时，图像有两个交点，切线有两条.故选：B.【点睛】关键点点睛：依题意求出切线方程，本题关键是将过点()1,P t -的直线与函数()1e xx f x +=的图象相切的切线条数转化为直线y t =与曲线()2(1)eaa g a +=的图象的公共点的个数，在利用导数研究函数()g a 的图象.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数()cos 2cos f x x x x =-，则下列命题正确的是（）A．()f x 的最小正周期为π；B．函数()f x 的图象关于π3x =对称；C．()f x 在区间2ππ,36⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减；D．将函数()f x 的图象向左平移5π12个单位长度后所得到的图象与函数2sin 2y x =的图象重合．【答案】AB【分析】根据二倍角的正弦公式和辅助角公式可得π()2cos(2)3f x x =+，结合余弦函数的图象与性质依次判断选项即可求解.【详解】π()cos 2cos cos 222cos(2)3f x x x x x x x =-==+.A：函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，故A 正确；B：πππ()2cos(2)2cos π2333f =⨯+==-，为()f x 的最小值，故B 正确；C：由2ππ36x -≤≤-，得ππ203x -≤+≤，所以函数()f x 在2ππ[,]36--上单调递增，故C 错误；D：将函数()f x 图象向左平移5π12个单位长度，得5ππ7π2π2cos[2()]2cos(2)2sin(2)12363y x x x =++=+=-+图象，与函数2sin 2y x =的图象不重合，故D 错误；故选：AB10．已知圆22:1O x y +=，圆22:()(1)4,R C x a y a -+-=∈，则（）A．两圆的圆心距OC 的最小值为1B．若圆O 与圆C相切，则a =±C．若圆O 与圆Ca -<<D．若圆O 与圆C 2【答案】AD【分析】根据两点的距离公式，算出两圆的圆心距1d ≥，从而判断出A 项的正误；根据两圆相切、相交的性质，列式算出a 的取值范围，判断出B,C 两项的正误；当圆O 的圆心在两圆的公共弦上时，公共弦长有最大值，从而判断出D 项的正误．【详解】根据题意，可得圆22:1O x y +=的圆心为(0,0)O ，半径1r =，圆22:()(1)4C x a y -+-=的圆心为(,1)C a ，半径2R =．对于A，因为两圆的圆心距1d OC ==，所以A 项正确；对于B，两圆内切时，圆心距||1d OC R r ==-=1，解得0a =．两圆外切时，圆心距||3d OC R r ==+=3=，解得a =±综上所述，若两圆相切，则0a =或a =±B 项不正确；对于C，若圆O 与圆C ||(,)d OC R rR r =∈-+，(1,3)，可得13<<，解得a -<<0a ≠，故C 项不正确；对于D，若圆O 与圆C 相交，则当圆22:1O x y +=的圆心O 在公共弦上时，公共弦长等于22r =，达到最大值，因此，两圆相交时，公共弦长的最大值为2，故D 项正确．故选：AD．11．大衍数列来源《乾坤诺》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程．已知大衍数列{}n a 满足10a =，11,,n n na n n a a n n +++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数，则（）A．46a =B．()221n n a a n +=++C．221,2,2n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数D．1234567820a a a a a a a a -+-+-+-=-【答案】BCD【分析】当2n k =时，2122k k a a k +=+，当21n k =-时，2212k k a a k -=+，联立可得21214k k a a k +--=，利用累加法可得22122k a k k +=+，从而可求得n a 的通项公式，在逐项判断即可.【详解】因为10a =，11,,n n na n n a a n n +++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数，令k *∈N 且1k ≥，当2n k =时，2122k k a a k +=+①；当21n k =-时，221212112k k k a a k a k --=+-+=+②，由①②联立得21214k k a a k +--=.所以315321214,8,,4k k a a a a a a k +--=-=-= ，累加可得()22112114844222k k k k a a a k kk +++-==+++=⨯=+ .令21k n +=(3n ≥且为奇数)，得212n n a -=，当1n =时10a =满足上式，所以当n 为奇数时，212n n a -=.当n 为奇数时，()221111122n n n n a a n n ++-=++=++=，所以22n na =，其中n 为偶数.所以221,2,2n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，故C 正确.所以24482a ==，故A 错误.当n 为偶数时，()22222222n nn n a a n ++-=-=+，即()221n n a a n +=++，当n 为奇数时，()2222112222n n n n a a n ++---==+，即()221n n a a n +=++，综上可得()221n n a a n +=++，故B 正确.因为12345678a a a a a a a a -+-+-+-02481218243220=-+-+-+-=-，故D 正确.故选：BCD.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．若,a b 均为不等于1的正数，且满足2182nma b a b ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，且，则122n m +=.【答案】3【分析】将已知条件中的指数式化为对数式求得,m n ，代入122nm +，根据对数运算，结合8a b =，即可求得结果.【详解】因malog m =212nb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以22122log log n b b ==-，所以122nm +=222222log 2log 1log log log 2log 22a b b a a b b -=-=-=，因为8a b =，所以22log log 83ab==.故答案为：3.13．已知椭圆1C ：221103x y +=与双曲线2C 有相同的左，右顶点A ，B ，过点A 的直线l 交1C 于点P ，交2C 于点Q ．若PBQ 为等边三角形，则双曲线2C 的虚轴长为．【答案】【分析】设出,P Q 坐标，结合椭圆和双曲线的性质表示出310PA PB k k ⋅=-和210QA QB b k k ⋅=，再由图形关系得到2π3tan tan 310θθ⎛⎫⋅+=- ⎪⎝⎭，用正切展开式整理出关于tan θ的一元二次方程，解出tan θ再验证即可.【详解】由题意，得()A，)B．设双曲线2C 的方程为()2221010x y b b -=>，()()1122,,,P x y Q x y ，则22111103x y +=，所以212131010PA PB y k k x ×===--．同理，得210QA QBb k k ⋅=．如图，设PAB θ∠=，则tan PA QA k k θ==，2πtan 3PB k θ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，πtan 3QB k θ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．由310PA PB k k ⋅=-，得2π3tan tan 310θθ⎛⎫⋅+=- ⎪⎝⎭．整理，得210tan 30θθ-+=，解得tan 2θ=或tan5θ=．2πtan tan 310QA QB b k k θθ⎛⎫⋅=⋅+= ⎪⎝⎭．当tan 2θ=0<（舍去）；当tan 5θ=时，29255351015b +==-，所以b =2b =．故答案为：【点睛】关键点点睛：本题关键是能够利用图形关系和斜率关系得到2π3tan tan 310θθ⎛⎫⋅+=- ⎪⎝⎭.14．已知首项为12的正项数列满足{}n a 满足11n n n n a a ++=，若存在*N n ∈，使得不等式()()3(1)(1)0nnnn m a m a +--+-<成立，则m 的取值范围为．【答案】11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】先将已知等式两边取对数后由累乘法得到通项12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，再分n 为奇数和偶数时化简不等式后结合数列的单调性解一元二次不等式即可求出.【详解】因为()110n nn n n a a a ++=>，所以()11ln 11ln ln ln n n n n a n n a n a a n++++=⇒=，当2n ≥时，12121ln ln ln 12ln ln ln 121n n n n a a a n n a a a n n ----⋅⋅=⋅-- ，所以()1ln 2ln n a n n a =≥，又112a =，所以()12,12nn a n n ⎛⎫=≥= ⎪⎝⎭时也成立，所以12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为()()3(1)(1)0n n n n m a m a +--+-<，当n 为奇数时，上式变为()()30n n m a m a ++-<，所以3n n m a a +<<-，因为{}n a 为递减数列，所以解得11216m -<<；当n 为偶数时，上式变为()()30n n m a m a +-+<，所以3n n a m a +<<-，解得11324m -<<；综上，m 的取值范围为11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭，故答案为：11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：本题关键在于对已知不等式的变形，通过观察分析取对数化简后再累乘是关键.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量i y （i =1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.xyw821()ii x x =-∑821()ii w w =-∑81()()iii x x y y =--∑81()()iii w w yy =--∑46.6563 6.8289.8 1.61469108.8表中i iw x =ˆw=1881i i w =∑（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx 与x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利润z 与x、y 的关系为z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（ⅰ）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ⅱ）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据11(,)u v ,22(,)u v ，……，(,)n n u v ,其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：【答案】（Ⅰ）y c x =+；（Ⅱ）ˆ100.6y x =+66.32；（ⅱ）46.24【详解】（Ⅰ）由散点图可以判断，y c d x =+适合作为年销售y 关于年宣传费用x 的回归方程类型.............3分（Ⅱ）令w x =y 关于w 的线性回归方程，由于81821()()()ˆi ii ii w w yy d w w ==--=-∑∑=108.8=681.6，∴ˆˆc y dw=-=563-68×6.8=100.6.∴y 关于w 的线性回归方程为ˆ100.668yw =+，∴y 关于x 的回归方程为ˆ100.6y x =+分（Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当x =49时，年销售量y 的预报值100.89ˆ664y=+年利润的预报值ˆ576.60.24966.32z =⨯-=.（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z 的预报值ˆ0.2(100.6)13.620.12zx x x x =+-=-++，x 13.6=6.82，即46.24x =时，ˆz 取得最大值.故宣传费用为46.24千元时，年利润的预报值最大..............13分16．（15分）已知函数()()22ln f x x a x a x =+--.(1)当1a =时，求函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程；(2)当0a >时，若函数()()()2h x f x a x =+-在[]1,e 上的最小值为0，求实数a 的值.【答案】(1)2y x =；(2)2e a =.【分析】（1）根据()f x ，求得()f x '，再利用导数的几何意义，即可求得结果；（2）令()0h x '=，求得x =数的单调性和最小值，结合题意，求解即可.【详解】（1）当1a =时，()2ln f x x x x =+-，定义域为()0,∞+，()()121,12f x x f x=+-''= ，又()12f =，所以切线方程为()2212y x y x -=-⇒=（或写成20)x y -=..............5分（2）()()()22ln h x f x a x x a x =+-=-，定义域为()0,+∞，()222a x a h x x x x -=-='，令()0h x '=得2x =；①当12≤，即02a <≤时，()()0,h x h x ∴'≥在[]1,e 上单调递增，这时()min ()11h x h ==，不合题意，舍去；.............8分②当1e <<，即222e a <<时，当()(),0,x h x h x ⎛∈< ⎝'⎭单调递减()();,0,x h x h x ⎫∈>'⎪⎪⎝⎭单调递增，这时min ()ln ln 0222222a a a ah x h a ⎛==-=-= ⎝⎭，解得2e a =；.............11分e ≥，即22e a ≥时，()()0,h x h x ∴'≤在[]1,e 上单调递减，这时()2min ()e e 0h x h a ==-=，解得2e a =（舍去），.............14分综上：2e a =..............15分17．（15分）如图所示，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 为直角梯形，AD BC ∥，AB BC ⊥，侧面ABEF 为菱形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，M 为棱BE 的中点．(1)若点N 为DE 的中点，求证：MN 平面ABCD ；(2)若12AB BC AD ==，60EBA ∠=︒，求平面MAD 与平面EFD 夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)19．【分析】（1）连接BD ，MN ，证得//MN BD ，利用线面平行的判定定理，即可证得//MN 平面ABCD ．（2）根据题意，证得OE ⊥平面ABCD ，以O 为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面MAD 和平面EFD的一个法向量(m =和(n =，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）证明：连接BD ，MN ，因为M ，N 分别为BE ，DE 的中点，所以MN 为EBD △的中位线，所以//MN BD ，又MN ⊄平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以//MN 平面ABCD ．..............6分（2）解：取AB 的中点O ，连接OE ，因为侧面ABEF 为菱形，且60EBA ∠=︒，所以在EBO 中，2222cos 60EO BO EB BO EB =+-⋅︒，解得EO =，所以222EO OB EB +='，即OE AB ⊥，又因为平面ABEF ⊥平面ABCD ，平面ABEF ⋂平面ABCD AB =，OE ⊂平面ABEF ，所以OE ⊥平面ABCD ，过O 作AB 的垂线，交BD 于H 并延长，分别以OH ，OA ，OE 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示，设4=AD ，则122AB BC AD ===，故(E ，()4,1,0D ，()0,1,0A，(F ，()0,1,0B -，则10,22M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，30,,2MA ⎛=⎝⎭，34,,2MD ⎛= ⎝⎭，()0,2,0= EF，(4,1,ED = ，设平面MAD 的法向量为()111,,m x y z =r，则1111130234022m MA y m MD x y ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=+-=⎪⎩，即1110x z =⎧⎪⎨=⎪⎩，取11y =，可得(m =，设平面EFD 的法向量为()222,,n x y z =r，21212040n EF y m ED x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，即22204y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，令2z =，则23x =，所以(n =，则cos m n m n m n⋅⋅==MAD 与平面EFD夹角的余弦值为．..............15分18．（17分）已知抛物线2:2(0)C x py p =>上任意一点R 满足RF 的最小值为1（F 为焦点）.(1)求C 的方程；(2)过点(),1P t -的直线经过F 点且与物线交于M N ､两点，求证：211PF PM PN=+；(3)过F 作一条倾斜角为60 的直线交抛物线于A B ､两点，过A B ､分别作抛物线的切线.两条切线交于Q 点，过Q 任意作一条直线交抛物线于E H ､，交直线AB 于点G ，则QG QE QH ､､满足什么关系？并证明.【答案】(1)24x y=(2)证明见解析；(3)211QG QE QH=+，证明见解析.【分析】（1）设(),R x y ，由两点间距离公式求得RF ，结合0y ≥，得出RF 的最小值为2p，得解；（2）设()()1122,,,M x y N x y ，:1PF l y kx =+，将要证211PF PM PN=+，转化为121y y =，联立直线PF 与抛物线方程，由韦达定理可得证；（3）猜想满足211QG QE QH=+，根据题意求出点,,A B Q 坐标，设()()()(334400,,,,,,:12QG E x y H x y G x y l y k x +=-，将要证关系式等价转化为034211111y y y =++++，联立直线QG 和直线AB的方程求出0y =，得021y +，联立直线QG 和抛物线方程，由韦达定理求得341111y y +=++，得解.【详解】（1）设(),R x y，则2p RF y ===+，因为0y ≥，所以,22p py RF +≥的最小值为2，即12p =，得2p =，所以抛物线的方程为24x y =...............4分（2）由（1）得()0,1F ，设()()1122,,,M x y N x y ，:1PF l y kx =+，0k ≠，则()211PF ⎡⎤=--⎣⎦，同理())11PM y =--，())21PN y =--，所以1PF PM PN=+2⇔()()()()()()121111y y ⇔=+------()()12121221111111y y y y y y ++⇔=+=++++()()1212211y y y y ⇔++=++121y y ⇔=，又()()11:10PF l y x t t--+=--，即()21y x t t +=--，联立()2214y x t tx y⎧+=-⎪-⎨⎪=⎩，得2216210y y t ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，由韦达定理得121y y =，综上所述：211PF PM PN=+...............10分（3）满足的关系为：211QG QE QH=+.由题意，直线:31AB y =+，联立23+14y x x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得((234,73,34,743A B +-，由214y x =，得12y x '=，所以抛物线C 在A 处的切线斜率为32k =，所以抛物线C 在A 处的切线为()()()1:74332234l y x -+=-，同理，在B 处的切线为()()()2:74332234l y x --=-，联立12l l ､可得()23,1Q -，设()()()(334400,,,,,,:123QG E x y H x y G x y l y k x +=-，则211||||||QG QE QH =+()()()0342221111(1)1(1)1(1)y y y k k k ⇔=+--+--+--()()()034211111y y y ⇔=+------034211111y y y ⇔=++++（*），联立(:123:13QG AB l y k x l y ⎧+=-⎪⎨⎪-=⎩，得0733k y k +=-，则02314k y k =+，联立(2:1234QG l y k x x y⎧+=-⎪⎨=⎪⎩，得()2222434(123)0y k y k ++-++=，所以()()(3434234343434432211311111164k k y y y y k y y y y y y y y k ++++-+====+++++++所以340112111y y y +=+++，即211QG QE QH =+...............17分【点睛】关键点睛：本题第二问关键是将要证的关系式211PF PM PN=+，等价转化为121y y =，结合韦达定理证明.第三问，同理转化证明.19．（17分）给定正整数2n ≥，任意的有序数组()12,,,n x x x α=⋅⋅⋅，()12,,,n y y y β=⋅⋅⋅，定义：1122n n x y x y x y αβ⋅=++⋅⋅⋅+，ααα=⋅(1)已知有序数组()2,1,0,1α=-，()1,0,1,0β=-，求α及αβ⋅；(2)定义：n 行n 列的数表A ，共计2n 个位置，每个位置的数字都是0或1；任意两行都至少有一个同列的数字不同，并且有只有一个同列的数字都是1；每一行的1的个数都是a ；称这样的数表A 为‘n a -表’．①求证：当4n =时，不存在‘n a -表’；②求证：所有的‘n a -表’的任意一列有且只有a 个1．【答案】(1)6α=、2αβ⋅=；(2)①证明见解析；②证明见解析【分析】（1）根据新定义，代入数值计算即可.（2）①根据题中‘n a -表’的定义，由0a =，1，2，3，4逐个判断推出矛盾，即可证明当4n =时，不存在‘n a -表’；②根据‘n a -表’的定义，由当0a =或1时，当2a ≥时推出矛盾证明即可.【详解】（1）由题意可得，221100(1)(1)6ααα=⋅=⨯+⨯+⨯+-⨯-=20002αβ⋅=+++=，所以2αβ⋅=...............4分（2）数表A 的第i 行构成一个有序数组记为i r ，则i r a =，()1i j r r i j ⋅=≠；①当4n =时，0a =，1，2，3，40a =，{|1,2,3,4}{0000}i M r i ==⊆，这与M 有4个元素矛盾；同理4a =，{}1111M ⊆，矛盾；1a =，{}0001,0010,0100,1000M ⊆，()01i j r r i j =⋅=≠矛盾；同理3a =，{}0111,1011,1101,1110M ⊆，()21i j r r i j =⋅=≠，矛盾；2a =，{}0011,0101,0110,1001,1010,1100M ⊆，M 也不能满足()1i j r r i j ⋅=≠．故知，4n =时，不存在n a -表．..............10分②数表A 中只有0或1，每一行的1的个数都是a ，故数表中的1的总数是na ．第i 行组成有序数组记为i r ，第j 列构成有序数组记为j c ．i r a =，1ni i r na ==∑，下证j c a =，首先，0a =或1时，有i j ≠时01i j r r ⋅=≠，不合题意．其次，2a ≥时，若存在1j c a ≥+．不妨记为11c a ≥+，则第一列至少有1a +个1，不妨记为前1a +行的第一列都是1；这1a +行的每一行都另有1a -个1，并且这()()2111a a a +-=-个1都在不同列中．于是数表至少有2211a a -+=列，即2n a ≥，故第一列不是1的行至少有21a a --行；取第一列不是1的某行（不妨记为第i 行），则它与前1a +行中的每一行都有且只有1个同列的1；又前1a +行的第一列之外的所有1（共21a -个）都在不同列中，故第i 行就出现了1a +个1，与i r a =矛盾．故存在1j c a ≥+不成立，即{}1,2,3,,j n ∀∈⋅⋅⋅，j c a ≤成立，由11nnj i j i c r na ====∑∑，故j c a =，需证成立．..............17分【点睛】关键点点睛：本题考查新定义问题.本题的关键点是根据题中所给的运算公式和‘n a -表’等定义，分析a 在不同取值时，均不符合题意，推出矛盾，进而证明结论即可.。
精品解析：2023年全国新高考数学仿真模拟卷(五)数学试题(原卷版) (3)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）A．{1} B．{2} C．{0，1} D．{1，2}2.=（）A．1+2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i3.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.454.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A．12种B．18种C．24种 D．36种5.设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（）A．0 B．1 C．2 D．36.设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（）A．1 B．2 C．3 D．57.正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A﹣B1DC1的体积为（）A．3 B．C．1 D．8.设点M （x 0，1），若在圆O ：x 2+y 2=1上存在点N ，使得∠OMN=45°，则x 0的取值范围是（ ） A ．[﹣1，1]B ．[﹣，]C ．[﹣，]D ．[﹣，]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列命题中，是真命题的是（ ）A ．函数()()22231m m f x m m x --=--是幂函数的充分必要条件是2m =B ．若:(0,),1ln p x x x ∀∈+∞->，则000:(0,),1ln p x x x ⌝∃∈+∞-≤C ．若()()()()62601263222x a a x a x a x +=+++++++，则315a =D ．若随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，(4)0.79P ξ≤=，则(2)0.21P ξ≤-=10．已知点()()()1,2,5,2,,4A B C k ，若ABC 为直角三角形，则k 的可能取值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．511．已知直线l ：20kx y k -+=和圆O ：222x y r +=，则（ ）A ．存在k 使得直线l 与直线0l ：220x y 垂直B ．直线l 恒过定点()2,0C ．若4r >，则直线l 与圆O 相交D ．若4r =，则直线l 被圆O 截得的弦长的取值范围为(23,8⎤⎦12．已知圆22:(5)(5)16C x y -+-=与直线:240l mx y +-=，下列选项正确的是（ ）A ．直线l 与圆C 不一定相交B ．当1615m ≥时，圆C 上至少有两个不同的点到直线l 的距离为1 C ．当2m =-时，圆C 关于直线l 对称的圆的方程是22(3)(3)16x y +++=D ．当1m =时，若直线l 与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，P 为圆C 上任意一点，当||32PB =PBA∠最大或最小二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.（x+a ）10的展开式中，x 7的系数为15，则a=14．（5分）函数f （x ）=sin （x+φ）﹣2sin φcosx 的最大值为 ．15．（5分）偶函数y=f （x ）的图象关于直线x=2对称，f （3）=3，则f （﹣1）= ．16．（5分）数列{a n }满足a n+1=，a 8=2，则a 1= ．四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.四边形ABCD 为圆内接四边形，1AD BC ==，3AC =（1）若6DAC ，求AB ； （2）若2AB CD =，求四边形ABCD 的面积．18.已知函数f （x ）=excosx ﹣x ．（1）求曲线y=f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程；（2）求函数f （x ）在区间[0，]上的最大值和最小值．19如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4．（1）求证：M为PB的中点；（2）求二面角B﹣PD﹣A的大小；（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．20.某学校田径运动会跳远比赛规定：比赛设立及格线，每个运动员均有3次跳远机会，若在比赛过程中连续两次跳不过及格线，则该运动员比赛结束．已知运动员甲跳过及格线的概率为23，且该运动员不放弃任何一次跳远机会．（1）求该运动员跳完两次就结束比赛的概率；（2）设该运动员比赛过程中跳过及格线的总次数为ξ，求ξ的概率分布．21已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=√2x，右准线方程为x=√33.(1)求双曲线C的标准方程；(2)过点P(0,−1)的直线l分别交双曲线C的左、右两支于点A，B，交双曲线C的两条渐近线于点D，E(D在y 轴左侧)．①是否存在直线l，使得OA⊥OB?若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由；②记△ODE和△OAB的面积分别为S1，S2，求S1S2的取值范围．22.已知函数f（x）=excosx﹣x．（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．。
高考数学模考适应模拟卷05(新高考专用)(解析版)
保密★启用前2023新高考名师一模模拟卷（5）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题(共40分)1．已知集合,A B 为全集U 的子集，若UUA B ⊆，则()UAB =（ ）A ．AB ．BC ．UD ．∅【答案】C 【分析】由UUA B ⊆可得出B A ⊆，从而求出结果. 【详解】解：因为UUA B ⊆，所以有B A ⊆，则()UAB =U .故选：C.2．若i 为虚数单位，复数z 满足1z ≤，则(1i)z -+的最大值为（ ） A1 BC1 D．【答案】C【分析】2i z -+表示的几何意义是复数z 对应的点与点()1,1连线段的长度，从这个角度可以得到复数模的最大值. 【详解】1z ≤表示的几何意义是复数z 对应的点到原点的距离小于等于1， ()1i z -+表示的几何意义是复数z 对应的点与点()1,1连线段的长度，故的(1i)z -+11=，故选：C.3．已知一个圆锥的底面半径为2，高为3，其体积大小等于某球的表面积大小，则此球的体积是（） A ．B C ．4π D ．43π 【答案】D【分析】设半径为R ，根据已知条件列等式求出R 的值，利用球体的体积公式可求得结果. 【详解】设球的半径为R ，圆锥的体积为212343ππ⨯⨯=，由于球的体积大小等于某球的表面积大小，则244R ππ=，1R ∴=，因此，该球的体积为344133V ππ=⨯=.故选：D.4．如图所示，九连环是中国传统民间智力玩具，以金属丝制成9个圆环，解开九连环共需要256步，解下或套上一个环算一步，且九连环的解下和套上是一对逆过程.九连环把玩时按照一定得程序反复操作，可以将九个环全部从框架上解下或者全部套上.将第n 个圆环解下最少需要移动的次数记为()*9,n a n n N ∈，已知121,1a a ==，按规则有()*12213,n n n a a a n n N --=++∈，则解下第4个圆环最少需要移动的次数为（ ）A ．4B ．7C ．16D ．31【答案】B【分析】由题意，根据递推公式求数列中的某一项，可得答案.【详解】由题意，11a =，21a =，()*12213,N n n n a a a n n --=++≥∈，解下第4个圆环，则4n =，即43221a a a =++， 而321211214a a a =++=++=，则44217a =++=， 故选：B.5．如图，唐金筐宝钿团花纹金杯出土于西安，这件金杯整体造型具有玲珑剔透之美，充分体现唐代金银器制作的高超技艺，是唐代金银细工的典范之作.该杯主体部分的轴截面可以近似看作双曲线C 的一部分，若C 的中心在原点，焦点在x轴上，离心率2e =，且点P 在双曲线C 上，则双曲线C 的标准方程为（ ）A ．2213y x -=B ．22126x y -=C ．22139x y -=D ．221412x y -=【答案】C【分析】利用待定系数法可求双曲线C 的标准方程.【详解】设双曲线的方程为：22221(0,0)x y a b a b-=>>，因为离心率2e =，故半焦距2c a =，故b =，而双曲线过)P，故22691a b -=，解得3a b =， 故双曲线的方程为：22139x y -=，故选：C.6．已知4cos 45πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，177124ππθ<<，则21tan 2sin sin 2θθθ-+的值为（ ） A ．10021 B ．10021-C ．7528D ．7528-【答案】A【分析】由题知3sin 45πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，进而得sin θ=，cos θ=tan 7θ=-，再根据()()22221tan sin cos 1tan 2sin 2sin cos 2sin 2sin cos θθθθθθθθθθ-+-=++，并结合齐次式求解即可. 【详解】解：因为177124πθπ<<，5234ππθπ<+<，所以sin 04πθ⎛⎫+< ⎪⎝⎭， 因为4cos 45πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以3sin 45πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭所以，34sin sin 4455ππθθ⎡⎤⎛⎫=+-=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，43cos cos 4455ππθθ⎡⎤⎛⎫=+-== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦tan 7θ=-，所以，()()22221tan sin cos 1tan 2sin 2sin cos 2sin 2sin cos θθθθθθθθθθ-+-=++ ()()221tan tan 18501002tan 2tan 981421θθθθ-+⨯===+-.故选：A ．7．设抛物线2:8E y x =的焦点为F ，过点(4,0)M 的直线与E 相交于A ，B 两点，与E 的准线相交于点C ，点B 在线段AC 上，||3BF =，则BCF △与ACF △的面积之比BCF ACFSS=（ ）A ．14 B ．15C ．16D ．17【答案】C【分析】根据抛物线焦半径公式得到B 点横坐标，进而利用抛物线方程求出B 点纵坐标，直线AB 的方程，求出C 点坐标，联立直线与抛物线，求出A 点纵坐标，利用21BCF CACFCSy y BC SAC y y -==-求出答案. 【详解】如图，过点B 作BD 垂直准线2x =-于点D ，则由抛物线定义可知：||||3BF BD ==， 设直线AB 为4x my =+， ()11,A x y ，()22,B x y ，()2,C C y -，不妨设0m >，则120,0y y ><，所以223x +=，解得：21x =，则22288y x ==，解得：2y =-(1,B -，所以41-+=，解得：4m =，则直线AB 为4x y =+，所以当2x =-42y +=-，解得：C y =-(2,C --， 联立4x my =+与28y x =得：28320y my --=，则1232y y =-，所以1y =2116BCF C ACFC Sy y BC SAC y y -====-.故选：C 8．已知5ln05a a -=<，4ln 04b b -=<，3ln 03cc -=<，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．b<c<a B ．a c b <<C ．a b c <<D ．c b a <<【答案】C【分析】令函数()ln f xx x =-，利用导数求得函数()f x 的单调性，得到(5)(4)(3)f f f >>，再根据5lnln ln 505a a a -==-<，4ln ln ln 404b b b -==-<，3ln ln ln 303cc c -==-<，结合题意ln 5ln5a a -=-，ln 4ln 4b b -=-，ln 3ln3c c -=-，得到()()()f a f b f c >>，分别求得01a <<，01b <<，01c <<，即可求解.【详解】令函数()ln f x x x =-，则11()1x f x x x'-=-=， 当1x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， 当01x <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 所以(5)(4)(3)f f f >>，所以5ln54ln 43ln3->->-， 因为5lnln ln 505a a a -==-<，4ln ln ln 404b b b -==-<，3ln ln ln 303cc c -==-<， 所以ln 5ln5a a -=-，ln 4ln 4b b -=-，ln 3ln3c c -=-， 所以ln ln ln a a b b c c ->->-，即()()()f a f b f c >>， 因为5ln ln50a a -=-<，可得5a <， 又因为()(5)f a f =，则01a <<，同理()(4)f b f =，()(3)f c f =，所以01b <<，01c <<，因为当01x <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，所以c b a >>． 故选：C ．【点睛】方法点拨：设函数()ln f x x x =-，求得当1x >时，函数()f x 单调递增，当01x <<时，函数()f x 单调递减，得到(5)(4)(3)f f f >>，得出()()()f a f b f c >>，结合函数的单调性进行比较是解答的关键.二、多选题(共20分)9．已知,A B 是两个随机事件，0()1P A <<，下列命题正确的是（ ） A ．若,A B 相互独立，()()P B A P B = B ．若事件A B ⊆，则()1P B A = C ．若,A B 是对立事件，则()1P B A = D ．若,A B 是互斥事件，则()0P B A =【答案】ABD【分析】利用条件概率、相互独立事件判断A ；利用条件概率的定义判断B ；利用条件概率及对立、互斥事件的意义判断C ，D 作答.【详解】对于A ，随机事件,A B 相互独立，则()()()P AB P A P B =，()(|)()()P AB P B A P B P A ==，A 正确； 对于B ，事件A B ⊆，()()P AB P A =，()(|)1()P AB P B A P A ==，B 正确； 对于C ，因,A B 是对立事件，则()0P AB =，()(|)0()P AB P B A P A ==，C 不正确； 对于D ，因,A B 是互斥事件，则()0P AB =，()(|)0()P AB P B A P A ==，D 正确. 故选：ABD10．如图所示，在正六边形ABCDEF 中，下列说法正确的是（ ）A ．AC AE BF -=B ．32AC AE AD +=C ．2||AD AB AB ⋅= D ．AD 在AB 上的投影向量为AB【答案】BCD【分析】根据图形，结合向量的线性运算及数量积运算，对选项逐一判断即可.【详解】因为ABCDEF 为正六边形，即每个内角都为120︒ 对于A ，AC AE EC FB BF -==≠,故A 错误.对于B ，连接,AE AC ,CE ，AD 则ACE △为等边三角形，设六边形边长为a ，CE 中点为M ，连接AM ，则CE =，2AD a =，32AM a =，所以322AM AD = 即322AC AE AM AD +==，故B 正确.对于C ，由B 选项可知，21cos6022AD AB AD AB a a a ⋅=︒=⋅⨯= 且22AB a =，故C 正确.对于D ，因为2AD AB =，所以AD 在AB 上的投影向量为cos60AB AD AB AB⋅︒⋅=故D ，正确. 故选:BCD.11．设m R ∈，过定点A 的动直线1:0l x my +=，和过定点B 的动直线23:0l mx y m --+=交于点P ，圆()()22:243C x y -+-=，则下列说法正确的有（ ）A ．直线2l 过定点(1，3)B ．直线2l 与圆C 相交最短弦长为2 C ．动点P 的曲线与圆C 相交D ．|P A |+|PB |最大值为5【答案】ABC【分析】根据直线过定点的求法求出定点坐标即可判断A ；由题意可知当2l CB ⊥时所得弦长最短，由21CM l l k k ⋅=-求出m 进而得到2l 的方程，结合 到直线的距离公式和勾股定理求出弦长即可判断B ；当0m =时得到(03)P ，，P 在圆C 外；当0m ≠时，根据两直线方程消去m 得到点P 的轨迹方程，比较圆心距和两圆半径之和的大小即可判断C；由题可证12l l ⊥，设ABP θ∠=可得PA PB θθ，，进而得到 )4PA PB πθ+=+，结合三角函数的值域即可判断D.【详解】A ：由230(1)(3)0l mx y m m x y --+=⇒-+-=：，有101330x x y y -=⎧⇒==⎨-=⎩，，所以直线过的定点为(1)3，，故A 正确； B ：由圆的标准方程可得圆心为4(2)C ，，半径r =2l 过的定点为3(1)B ，，当 2l CB ⊥时所得弦长最短，则21CM l l k k ⋅=-，又2l k m =，1CM l k =，所以1m =-，得240l x y+-=：，则圆心到直线2l 的距离为d =222d ，故B 正确；C ：当0m =时，1203l x l y ==：，：，则点(03)P ，，此时点P 在圆C 外； 当0m ≠时，由直线1l 得xm y=-，代入直线2l 中得点P 的方程为 圆22135()()222N x y -+-=：，得13()22N，，半径为R ，所以圆心距NC r R <=+，所以两圆相交.故C 正确； D ：由10(00)l x my A +=⇒：，， 当0m =时，1203l x l y ==：，：，有12l l ⊥， 当0m ≠时，11l k m=-，2l k m =，则1l k 21l k =-，所以12l l ⊥， 又点P 是两直线的交点，所以PA PB ⊥，所以222=10PA PB AB +=，设ABP θ∠=，则PA PB θθ，， 因为0PA PB ≥≥0，，所以[0]2πθ∈，，所以cos ))4PA PB πθθθ+=+=+≤，故D 错误.故选：ABC.12．如图，在三棱锥-P ABC 中，AB BC ==BA BC ⊥，2PA PB PC ===，O 为AC的中点，点M 是棱BC 上一动点，则下列结论正确的是（ ）A ．三棱锥-P ABC1B ．若M 为棱BC 的中点，则异面直线PM 与AB C．若PC 与平面PAM所成角的正弦值为12，则二面角M PA C --D ．PM MA +的取值范围为⎤⎥⎦【答案】ABD【分析】连结OB .证明出OP ⊥面ABC .O 为原点，以,,OB OC OP 分别为x 、y 、z 轴正方向建立空间直角坐标系. 对于A ：直接求出三棱锥-P ABC 的表面积，即可判断；对于B ：用向量法求出异面直线PM 与AB 所成角的余弦值，即可判断； 对于C ：用向量法求出二面角M PA C --对于D:把平面PBC 展开，判断出当M 与C 重合时，PM MA +最大；PM MA +的最小值为AP ，利用余弦定理可以求得.【详解】连结OB .在三棱锥-P ABC中，AB BC ==BA BC ⊥，2PA PB PC ===. 所以OP AC ⊥,OB AC ⊥,且OP 1OB =. 所以222OB OP PB +=，所以OB OP ⊥. 又因为OB AC O ⊥=，所以OP ⊥面ABC .可以以O 为原点，以,,OB OC OP 分别为x 、y 、z 轴正方向建立空间直角坐标系.则()0,0,0O ，()0,1,0A -，()1,0,0B ，()0,1,0C，(P，所以(0,1,PA =-,(1,0,PB =,(0,1,PC =,()1,1,0CB =-.对于A ：在三棱锥-P ABC中，AB BC ==BA BC ⊥，2PA PB PC ===， 所以底面三角形ABC为直角三角形，其面积为112=；APC △为边长为2的等边三角形，所以面积为1222⨯⨯= APB △和CPB △为腰长为212； 所以三棱锥-P ABC的表面积为211=.故A 正确； 对于B ：M 为棱BC 的中点，所以11,,022M ⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以11,,22PM ⎛= ⎝,()1,1,0AB =.所以异面直线PM 与AB 所成角的余弦值为cos ,1PM AB PM AB PM AB⋅===⨯故B 正确；对于C ：点M 是棱BC 上一动点，不妨设()()1,1,0,,0CM CB λλλλ==-=-，（01λ≤≤） . 所以()()()0,2,0,,0,2,0AM AC CMλλλλ=+=+-=-.设(),,n x y z =为面P AM 的一个法向量，则()0020n PA y n AMx y λλ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，不妨设y=1，则2,1,n λλ⎛-= ⎝⎭(0,1,PC =.因为PC 与平面PAM 所成角的正弦值为12，所以1sin cos ,2013PC n PC n PCn PC nPC nθ⋅⋅=====⨯⨯++，解得：201λλλ-=≤≤取2λλ-=，则263n ⎛=- ⎝⎭显然，面PAC 的一个法向量为()1,0,0m =.设二面角M PA C --的平面角为β，所以cos cos ,m nm n m nβ⋅====⨯所以sin β== 故C 错误； 对于D:如图示，把平面PBC 展开，使A 、B 、C 、P 四点共面.当M 与B重合时，24PM MA +=； 当M 与C 重合时，224PM MA +=+=最大；连结AP 交BC 于M 1，由两点之间直线最短可知，当M 位于M 1时，PM MA +最小.此时，sin CBP ∠cos cos sin 2ABP CBP CBP π⎛⎫∠=+∠=-∠= ⎪⎝⎭.由余弦定理得：AP==所以PM MA +的取值范围为⎤⎥⎦. 故D 正确. 故选：ABD【点睛】立体几何题目的解题策略： (1)证明题：几何关系的证明，用判定定理；(2)计算题：求角或求距离（求体积通常需要先求距离），可以用向量法.第II 卷（非选择题）三、填空题(共20分)13．已知函数sin π,0()(),01(2),1x x f x f x x f x x ≤⎧⎪=-<≤⎨⎪->⎩，则2021()2f =________． 【答案】1-【分析】根据分段函数()f x 的解析式求得正确答案.【详解】2021111π2020sin 122222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：1-14．若直线21y x =-与抛物线22y x =交于点()()1122,,,A x y B x y ，则OA OB ⋅的值为______. 【答案】34-【分析】首先将直线与抛物线联立，利用韦达定理求出12y y +与12y y 的值，然后利用向量数量积的坐标运算公式及抛物线方程得22121212124y y OA OB x x y y y y ⋅=+=+，将12y y 的值代入即可. 【详解】已知()11,A x y ，()22,B x y ，将21x y =+代入抛物线中得：21y y =+，即210y y --=， 所以121y y +=，121y y =-.11,OAx y ，22,OB x y1212OA OB x x y y ⋅=+，又2112y x =，2222y x =，2212124y y x x ∴=， 得()()22212121212131444y y OA OB x x y y y y -⋅=+=+=+-=-. 故答案为：34-15．甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行某种劳动技能比赛，决出第1名到第5名的名次.甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”，从这个回答分析，5人的名次排列共可能有________种不同的情况.（用数字作答） 【答案】54【分析】由题意可得：甲、乙都不是第一名，且乙不是最后一名，先排乙，再排甲，其他三名同学在三个位置上全排列，由分步乘法计数原理即可求解.【详解】由题意可得：甲、乙都不是第一名，且乙不是最后一名， 先排乙，有第二、三、四名3种情况，再排甲，除第一名和乙排的名次外，甲有3种情况， 其他三名同学排在三位置全排列有33A 种，由分步乘法计数原理可知共有3333A 54⨯⨯=种， 故答案为：54.16．在处理多元不等式的最值时，我们常用构造切线的方法来求解．例如：曲线2y x =在=1x 处的切线方程为21y x =-，且221x x ≥-，若已知3m n t ++=，则2222121213m n t m n t ++≥-+-+-=，当1m n t ===时等号成立，所以222m n t ++的最小值为3．已知函数32()612f x x x x =-+，若数列{}n a 满足2n a ≤，且1210...10a a a +++=，则数列{()}n f a 的前10项和的最大值为________；若数列{}n b 满足0n b ≥，且12100...210b b b +++=，则数列{()}n f b 的前100项和的最小值为________． 【答案】 70 630【分析】利用导数的几何意义求=1x 、=3x 处的切线方程，根据题设描述，数形结合求{()}n f a 的前10项和最大值、{()}n f b 的前100项和的最小值，注意等号成立条件.【详解】22()312123(2)0f x x x x '=-+=-≥，则()f x 在R 上单调递增，如下图所示：①易知(1)7,(1)3f f '==，所以曲线=()y f x 在=1x 处的切线方程为73(1)y x -=-，即34y x =+， 结合图象知()34f x x ≤+（2x ≤），所以()34n n f a a ≤+，所以12101210()()...()3(...)4070f a f a f a a a a +++≤++++=，当且仅当1210...1a a a ====时，等号成立；①曲线=()y f x 在0x x =处的切线为232000000(31212)()612y x x x x x x x =-+-+-+， 因为0n b ≥，则令此切线过原点，解得03x =或00x =，所以曲线=()y f x 在=3x 处的切线方程为3y x =，结合图象知()3(0)f x x x ≥≥，所以1210012100()()...()3(...)630f b f b f b b b b +++≥+++= 当且仅当0n b =或3n b =时等号成立，取1270...3b b b ====，7172100...0b b b ====，即{}n b 的前100项中有70项为3，30项为0时，等号成立． 故答案为：70，630.【点睛】关键点点睛：根据导数几何意义求切线方程，数形结合列不等式求{()}n f a 、{()}n f b 前n 项和的最值.四、解答题(共70分)17．(本题10分)设各项非负的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知212n n S a n +=-*()n N ∈，且235,,a a a 成等比数列. (1)求{}n a 的通项公式； (2)若12nn n a a b +=，数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】(1)1n a n =- (2)1242n n n T -+=-【分析】（1）利用1(2)n n n a S S n -=-≥得出{}n a 的递推关系，从而得数列从第2项起为等差数列，结合等比数列的性质可求得2a ，这样可得通项公式(2)n a n ≥，然后由已知式中令1n =求得1a ，比较后可得结论； （2）用错位相减法求和．(1)当1n =时，21221a a =-，当2n ≥时，212n n S a n +=-①，212(1)n n S a n -=--①.①-①得22121n n n a a a +=--，即()2221211n n n n a a a a +=++=+，①0n a ≥，①11n n a a +=+，①数列{}n a 从第2项起是公差为1的等差数列.①22(2)n a a n n =+-≥，又2a ，3a ，5a 成等比数列，①2325a a a =，即()()222213a a a +=+，解得21a =，①121(2)n a n n n =+-=-≥，①21221a a =-，①10a =，适合上式， ①数列{}n a 的通项公式为1n a n =-. (2) 12n n nb -=， ①数列{}n b 的前n 项的和为01221123122222n n n n nT ---=+++++① 123111231222222n n n n nT --=+++++① ①-①得211111122222n n n nT -=++++- 111122*********nn n n n n n n -⎛⎫- ⎪+⎝⎭=-=--=--， ①1242n n n T -+=-. 18．(本题12分)在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a，b ，c ，且2cos 2b C a c =+． (1)求角B 的大小；(2)若b =D 为AC 边上的一点，1BD =，且______，求ABC 的面积．①BD 是B ∠的平分线；①D 为线段AC 的中点．（从①，①两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）． 【答案】(1)2π3B =【分析】（1）利用正弦定理化简2cos 2b C a c =+，再根据三角形中角的范围可求得2π3B =； （2）若选①：利用三角形面积关系和余弦定理求得4ac =，然后根据面积公式即可；若选①：根据中点的向量关系式并同时平方，结合余弦定理求得4ac =，然后根据面积公式即可.(1)由正弦定理知：2sin cos 2sin sin B C A C =+ 又：()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+ 代入上式可得：2cos sin sin 0B C C +=()0,πC ∈，则sin 0C >故有：1cos 2B =-又()0,πB ∈，则2π3B = 故B ∠的大小为：2π3(2) 若选①：由BD 平分ABC ∠得：ABC ABD BCD S S S =+△△△则有：12π1π1πsin1sin 1sin 232323ac c a =⨯⨯+⨯⨯，即ac a c =+在ABC 中，由余弦定理可得：2222π2cos3b ac ac =+- 又b =2212a c ac ++=联立2212ac a ca c ac =+⎧⎨++=⎩ 可得：()--=2120ac ac解得：4ac =（3ac =-舍去） 故12π1sin 4232ABC S ac ==⨯=△若选①：可得：12BD BA BC →→→⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，222211244BD BA BC BA BA BC BC →→→→→→→⎛⎫⎛⎫=+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2212π12cos43c ac a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，可得：224a c ac +-= 在ABC 中，由余弦定理可得：2222π2cos3b ac ac =+-，即2212a c ac ++=联立2222412a c ac a c ac ⎧+-=⎨++=⎩ 解得：4ac =故12π1sin 4232ABCS ac ==⨯=△19．(本题12分)如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是矩形，E 为AD 的中点，AD ⊥平面PAB ，PA PB ⊥．(1)若点M 在线段PB 上，且直线//EM 平面PCD ，确定点M 的位置；(2)若AP AD =，AB =，求平面PCE 与平面PAB 所成锐二面角的余弦值． 【答案】(1)M 为PB 的中点 (2)23【分析】（1）根据线面平行的性质定理及线面平行的判定定理，再利用平行四边形的性质及三角形的中位线，结合平行的传递性即可求解；（2）根据（1）建立空间直角坐标系，得出相关点的坐标，分别求出平面PCE 和平面PAB 的法向量，再利用向量的夹角公式即可求解. （1）M 为PB 的中点时，直线//EM 平面PCD ．证明如下：设平面DEM 交直线PC 于F ，连接,DF MF . 因为//EM 平面PCD ， 平面EDMF平面PCD DF =,EM ⊂平面EDMF ,所以//EM DF ．因为DE BC ∥，DE ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//DE 平面PBC ， 平面EDMF平面PBC MF =,DE ⊂平面EDMF ,所以DE FM ∥，所以四边形EDMF 为平行四边形，从而DE FM =．因为E 为AD 的中点，则1122DE AD BC ==， 所以12MF BC =又//MF BC ，所以点M 为PB 的中点． （2）因为AD ⊥平面PAB ，则AD PA ⊥，AD PB ⊥，以A 为原点，以垂直AB 所在直线为x 轴，AB 为y 轴，AD 为z 轴，建立的空间直角坐标系A xyz -，如图所示设2AD =，则2AP =，AB =PA PB ⊥，则45PAB ︒∠=．所以点)P，()0,0,2D，()B ，()0,0,1E，()C，()EC =，()2PC =-，设平面PCE 的一个法向量为(),,n x y z =，则，0,0n PC n EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即20,0,z z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩不妨令1y=-，得z =3x=，所以(3,1,n =-，因为AD ⊥平面PAB ，所以()0,0,2AD =为平面PAB 的一个法向量． 设平面PCE 与平面PAB 所成锐为二面角为θ，则()42cos cos ,323AD n AD n AD nθ⋅====⨯，所以平面PCE 与平面P AB 所成锐二面角的余弦值为23．20．(本题12分)2022年，是中国共产主义青年团成立100周年，为引导和带动青少年重温共青团百年光辉历程，某校组织全体学生参加共青团百年历史知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：[40，50）、[50，60）、[60，70）、、[90，100]，统计结果如图所示：(1)试估计这100名学生得分的平均数；(2)从样本中得分不低于70分的学生中，用分层抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人，记其得分在[90，100]的人数为ξ，试求ξ的分布列和数学期望；(3)以样本估计总体，根据频率分布直方图，可以认为参加知识竞赛的学生的得分X 近似地服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数，2σ近似为样本方差2s ，经计算242.25s =．现从所有参加知识竞赛的学生中随机抽取500人，若这500名学生的得分相互独立，试问得分高于77分的人数最有可能是多少？参考数据：()0.6827P X μσμσ-<≤+=，()220.9545P X μσμσ-<≤+=，()330.9974P X μσμσ-<≤+=． 【答案】(1)70.5(2)分布列见解析，数学期望为611(3)最有可能是79【分析】（1）根据频率分布直方图中平均数的计算公式计算可得；（2）首先按照分层抽样求出得分在[90,100]的人数，则ξ的可能取值为0，1，2，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望；（3）由（1）知，()2~70.5,6.5X N ，根据正态分布的性质求出()77P X >，记500名学生中得分高于77的人数为η，则()~500,B p η，根据二项分布的概率公式求出k 取何值时概率取得最大，即可得解； 【详解】（1）解：由频率分布直方图可得这100名学生得分的平均数()450.01550.015650.02750.03850.015950.011070.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=．（2）解：参加座谈的11人中，得分在[90,100]的有0.011120.030.0150.01⨯=++人， 所以ξ的可能取值为0，1，2，所以()393115C C 2805P ξ===，()219231124155C C C P ξ===，()12923113255C C C P ξ===．所以ξ的分布列为①()28243601255555511E ξ=⨯+⨯+⨯=． （3）解：由（1）知，()2~70.5,6.5X N ，所以()()10.6827770.158652P X P X μσ->=>+==． 记500名学生中得分高于77的人数为η，则()~500,B p η，其中0.15865p =，①()()500500C 1kkk P k p p η-==-，0k =，1，2， (500)则()()()()()()50050050111500C 1501150179.483711C 1kkk k k k P k p p k p k p P k k p p p ηη----=--==>⇒<≈=---， 当179k ≤≤时，()()1P k P k ηη=>=-， 当80500k ≤≤时，()()1P k P k ηη=<=-， ①得分高于77分的人数最有可能是79．21．(本题12分)如图.矩形ABCD 的长AB =12BC =，以A ､B 为左右焦点的椭圆2222:1x y M a b+=恰好过C ､D 两点，点P 为椭圆M 上的动点.(1)求椭圆M 的方程，并求PA PB ⋅的取值范围；(2)若过点B 且斜率为k 的直线交椭圆于M ､N 两点（点C 与M ､N 两点不重合），且直线CM ､CN 的斜率分别为12k k 、，试证明122k k k +-为定值.【答案】(1)2214x y +=，PA PB ⋅[]2,1∈-(2)证明见解析【分析】（1）由c =把点C 的坐标代入椭圆方程，结合222a b c =+可求得,a b 得椭圆方程，设点(,)P x y ，求出PA PB ⋅，根据椭圆的范围得数量积的范围；（2）设两点M 11(,)x y ､N 22(,)x y ，直线方程代入椭圆方程，应用韦达定理得1212,x x x x +，再代入122k k k +-化简可得． （1）由题意得c =又点)12C 在椭圆2222:1x y M a b+=上，所以223114a b +=，且223a b -=，所以2a =，1b =，故椭圆M 的方程为2214x y +=.设点(,)P x y，由A，(B 得222223331244x x PA PB x y x ⋅=-+=-+-=-.又[2,2]x ∈-，所以PA PB ⋅[]2,1∈-. （2）设过点B 且斜率为k的直线方程为(y k x =， 联立椭圆M方程得2222(14)1240k x x k +-+-=. 设两点M 11(,)x y ､N 22(,)x y ，故12x x +=212212414k x x k -=+.因为())()121212121212111y y y x x y y y x x k k --++-++=，其中()1212121228214k y x x y kx x x x k -+=+=+，12y y +=故221222228614141421242414143k k k k k k k k k k k k -+++++==--+++所以122k k k +-=22．(本题12分)已知2()ln 1f x x kx x =--，21()ln 2g x ax x x x =-+ (1)不等式()0f x ≥对任意1x ≥恒成立，求k 的取值范围；(2)当()g x 有两个极值点()1212,x x x x <时，求证：()12(2e 1)2e a x x -+<. 【答案】(1)(],2-∞； (2)证明见解析.【分析】（1）方法一：不等式变形得到1ln 0x k x x --≥，1x ≥，构造()()1ln 1h x x k x x x=--≥，求导后利用根的判别式进行分类讨论，求出k 的取值范围； 方法二：同样不等式变形为1ln 0x k x x --≥，1x ≥，构造函数，求导后对导函数变形为()21111k h x x k x x x x ⎛⎫=+-='+- ⎪⎝⎭，结合基本不等式，分2k ≤与2k >两种情况讨论，求出k 的取值范围； （2）求导后，转化为12,x x 是方程ln xa x =的两个不等实根，记()ln x x x ϕ=，求导后，研究其单调性及图象特征得到1210,1e ea x x <<<<<，得到21e 1,1e x x >>，在第一问的基础上，取2k =，得到11ln 2x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，将21e ,e x x 分别代入，变形得到()221112e 2e e 0a x x -+-<，()222212e 2e e 0a x x -+->，从而证明出结论.（1）方法一：当1x ≥时，不等式2ln 10x kx x --≥两边同除以x 得：1ln 0x k x x--≥，1x ≥， 记()()1ln 1h x x k x x x =--≥，则()222111k x kx h x x x x -='+=+-，①当2Δ()40k =--≤即22k -≤≤时，210-+≥x kx 则()0h x '≥， 所以()h x 在[)1,+∞上递增，()()10h x h ≥=满足要求，①当2k <-时，210-+≥x kx 则()()0,h x h x '≥在[)1,+∞上递增，()()10h x h ≥=满足要求①当2k >时，令()0h x '<得，1x <<所以()h x在⎛ ⎝⎭上递减，()()10h x h <=与题设不符，舍去， 综上，k 的取值范围为(],2-∞； 方法二：2ln 10x kx x --≥化为1ln 0x k x x--≥，1x ≥，记()()1ln 1h x x k x x x =--≥，则()21111k h x x k x x x x ⎛⎫=+-='+- ⎪⎝⎭①当2k ≤时，由基本不等式可知：120x k k x+-≥-≥则()0h x '≥，当且仅当1x =时取等，所以()h x 在[)1,+∞上递增，()()10h x h ≥=满足要求；①当2k >时，令()0h x '<得，1x <<所以()h x在⎛ ⎝⎭上递减， 此时()()10h x h <=与题设不符 综上，k 的取值范围为(],2-∞； （2） 21()ln 2g x ax x x x =-+定义域为()0,∞+， ()ln g x ax x -'=，令()0g x '=得ln x a x =，由题意，12,x x 是方程ln xa x=的两个不等实根， 记()ln x x xϕ=， 则()21ln xx x ϕ-'=，令()0x ϕ'>得：()0,e x ∈，令()0x ϕ'<，()e,x ∈+∞， 故()x ϕ在()0,e 上递增，在()e,+∞上递减，因为()()12x x a ϕϕ==，又()()110,e e ϕϕ==，且当1x >时，()ln 0xx x ϕ=>恒成立， 所以1210,1e e a x x <<<<<，则21e 1,1e x x >>，由（1）取2k =，则1x >时，11ln 2x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭22111111e e 1e ln 1ln 2e 2e x x x x x x ⎛⎫-<-⇒-< ⎪⎝⎭， 又11ln x ax =代入，并整理得，()221112e 2e e 0a x x -+-<，同理，()22222221e ln12e 2e e 0e 2e x x a x x x ⎛⎫<-⇒-+- ⎪⎭>⎝， 所以()()()()222222111212e 2e e 12e 2e e 2e 12e a x x a x x a x x -+->-+-⇒-+<.【点睛】导函数处理极值点偏移问题，通常构造差函数，然后利用导函数研究其单调性，图象特征，从而确定两根的范围，结合单调性，证明出不等式，也可以根据函数特征将双元问题转化为单元问题进行求解.。
百校联考2020年高考考前冲刺必刷卷(五)全国I卷文科数学试题
百校联考2020年高考考前冲刺必刷卷（五）全国Ⅰ卷文科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数12iz i+=，则复数z 在复平面内对应点所在的象限为（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知集合{}|31,A x x k k ==+∈N ，{}|41,B y y k k ==-∈N ，{}1,2,3,4,5,6,7,8C =，则()A B C =U I （ ）A.{}7B.{}1,4,7C.{}1,3,7D.{}1,3,4,73.已知实数0a >，0b >，则“1a b >>”是“e 2e 2abb a +>+”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知条件P ：①是奇函数；②值域为R ；③函数图象经过第四象限.则下列函数中满足条件P 的是（ ） A.()22xxf x -=+B.1()f x x x=+C.13()f x x =-D.()sin f x x =5.已知角θ的终边过点(sin ,cos )P αα，则sin()θα-=（ ） A.cos2α B.cos2 θC.sin 2αD.sin 2θ6.已知3ln ,0(),0x x f x x x x ->⎧=⎨-≤⎩，则不等式(23)(1)f x f -≥-的解集为（ ） A.[]1,2-B.[]1,2C.[]1,3-D.(1,2)-7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.103B.83 C.2 D.73 8.函数2211()sin 4f x x x x π=+-在区间[]2,2ππ-上的大致图象为（ ） A. B. C. D.9.已知角α，β满足sin(2)3sin αββ+=，若11tan tan tan λαβα-=，则实数λ的值为（ ） A.2B.3C.4D.610.定义：{}min ,a b 表示a ，b 两数中较小的数.例如：{}min 2,42=.已知{}2()min ,2f x x x =---，()2x g x x m =++（m ∈R ），若对任意[]12,0x ∈-，存在[]21,2x ∈，都有()()12f x g x ≤成立，则m 的取值范围为（ ） A.[)4,-+∞B.[)6,-+∞C.[)7,-+∞D.[)10,-+∞11.已知函数()sin()cos()f x x x ωϕωϕ=+-+（0ω>，||2πϕ<）的图象向右平移3π个单位长度得到函数()g x 的图象，若函数()g x 的最小正周期为π，3x π=为函数()g x 的一条对称轴，则函数()g x 的一个增区间为（ ） A.0,6π⎛⎫⎪⎝⎭B.,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C.5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭D.,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭12.已知函数()ln f x x x m =-+（m ∈R ），若()f x 有两个零点1x ，2x ()12x x <，下列选项中不正确的是（ ） A.1m <-B.1212x x x ex -=C.101x <<D.122x x +≤第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.已知()ln f x x x x =+，则()f x 在1x =处的切线方程为________.14.若实数x ，y 满足不等式组20220440x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，存在可行解(,)x y 满足60mx y m --=，则实数m 的最小值为________.15.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，12n n S a +=，则数列{}n a 的通项公式n a =________. 16.在三棱锥P ABC -中，已知PA BC ⊥，PB AC ⊥，24PA PB PC AB ====，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为________.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知平面向量(1,2)a =r ，(,3)b k =r（k ∈R ）.（1）若//a b r r，求k 的值；（2）若a b ⊥r r ，求向量a b +r r 与b r夹角的余弦值.18.已知函数()f x 为定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()e x f x m -=-，m ∈R .（1）当12m =时，求函数()f x 的单调区间； （2）若函数1()()4g x f x =-有两个零点，求实数m 的取值范围.19.已知数列{}n a 满足：0n a >，11a =，()121n n n a a a +=+（*n ∈N ）.（1）求证：1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求出n a ；（2）设()2211n n b a n n +=+（*n ∈N ），数列{}n b 的前n 项和为n S ，若不等式9991000n S ≥成立，求正整数n 的最小值.20.如图，在ABC ∆中，已知1AB =，2BC =，60ABC ∠=︒，M 为BC 中点，E ，F 分别为线段AB ，AC 上动点（不包括端点），记0,3EMB πθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭（1）当45θ=︒时，求BEM ∆的面积；（2）当EM FM ⊥时，求证：当θ变化时，恒有3EM FM =.21.如图1，在直角梯形ABCD 中，E ，F 分别为AB 的三等分点，//FG BC ，//ED BC ，3AB =，2BC =，若沿着FG ，ED 折叠使得点A 和点B 重合，如图2所示，连结GC ，BD .（1）求证：平面GBD ⊥平面BCDE ； （2）求点E 到平面CDG 的距离.22.已知函数()cos xf x e x ax =+-（a ∈R ）.（1）当0a =时，讨论()f x 在区间[],ππ-上零点个数； （2）若当[)0,x ∈+∞时，()2f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.百校联考2020年高考考前冲刺必刷卷（五）全国I 卷文科数学参考答案1.D 【解析】111222i z i i +==-，故复数z 在复平面内 对应点为11,22⎛⎫-⎪⎝⎭，故在第四象限. 2.D 【解析】由题意知集合C 中元素在集合A 中或 在集合B 中的有1，3，4，7，故{}1,3,4,()7A B C =U I . 3.A 【解析】e 2e 2e 2e 2a b a bb a a b +>+⇔->-，令()e 2(0)xf x x x =->，()e 2xf x '=-，令0()f x '=，解得ln 2x =， 故()f x 在(0,ln 2)上单调递减，在(ln 2,)+∞上单调递增， 故当1a b >>时，()()f a f b >，故“1a b >>”是“e 2e 2abb a +>+”的充分条件； 但当0ln 2a b <<≤时，有()()f a f b >，故“1a b >>”是“e 2e 2abb a +>+”的不必要条件. 4.C 【解析】A 选项为偶函数，不符合题意； B 选项虽然为奇函数，但0x >时()2f x ≥， 故(][)1(),22,f x x x=+∈-∞-+∞U ，不符合题意； C 选项()()f x f x -=-，故13()f x x =-为奇函数，值域为R ， 图象也经过第四象限，符合题意；D 选项，[]()sin 1,1f x x =∈-，不符合题意. 5.A 【解析】由题意知cos sin θα=，sin cos θα=，sin()sin cos cos sin θαθαθα-=-22cos sin cos 2ααα=-=.6.B 【解析】因为(1)0f -=，故只需求解不等式(23)0f x -≥即可，由图易知，当11x -≤≤时， ()0f x ≥，故令1231x -≤-≤，解得12x ≤≤.7.C 【解析】该几何体为一个直三棱柱削去两个三棱锥，故体积为1111112222222222232232V =⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=.8.C 【解析】由()()f x f x -=知()f x 为偶函数，故排除A ，D ；322233417540229436f ππππππ-⎛⎫=-+-=< ⎪⎝⎭. 9.A 【解析】由sin(2)3sin αββ+=得sin 2cos cos 2sin 3sin αβαββ+=， 两边同时除以cos β得sin 2cos 2tan 3tan ααββ+=，即2213cos 24sin 2cos tan sin 22sin cos αααβααα-+==22tan 112tan tan tan αααα+==+， 所以112tan tan tan αβα-=，故2λ=. 10.C 【解析】如图，当[]12,0x ∈-时，()1max (1)1f x f =-=-； 当[]21,2x ∈时，()2g x 为增函数，则()2max (2)6g x g m ==+. 由题意知()()12max max f x g x ≤，即16m -≤+，即7m ≥-.11.C 【解析】()24f x x πωϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，()2334g x f x x πωππωϕ⎛⎫⎛⎫=-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()g x 的最小正周期为π，所以2ππω=，所以2ω=.由3x π=为()g x 的一条对称轴，则42k ππϕπ-=+（k ∈Z ）， 即4πϕ=-，故7()2sin 26g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. 令7222262k x k πππππ-+≤-≤+（k ∈Z ），即536k x k ππππ+≤≤+.12.D 【解析】11()1x f x x x-'=-=，令()0f x '=，解得1x =，故()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 如图，故min ()(1)10f x f m ==+<， 即1m <-，并且101x <<，故A 、C 正确； 由于1x ，2x 为()f x 的零点，故有1122ln 0ln 0x x m x x m -+=⎧⎨-+=⎩，两式相减得1122lnx x x x -=，即1212x xx e x -=，故B 正确； 由于当2ln 2m ≤-+时，22x ≥，此时122x x +>，故D 不正确.13.210x y --=【解析】()ln 2f x x '=+，(1)2f '=，(1)1f =，故()f x 在1x =处的切线方程为2(1)121y x x =-+=-.14.—1【解析】如图阴影部分为可行域，直线60mx y m --=恒过定点(6,0)， 当过点P 时m 取最小值－1.15.21,123,2,*n n n a n n -=⎧=⎨⨯≥∈⎩N 【解析】当2n ≥时， 12n n S a -=①，12n n S a +=②，②－①得12n n n a a a +=-，即13n n a a +=，故数列{}n a 从第二项起为等比数列，22a =，223n n a -=⨯.当1n =时，11a =，故21,123,2,*n n n a n n -=⎧=⎨⨯≥∈⎩N . 16.19211π【解析】如图，作PH ⊥平面ABC ，垂足为H ，连结HA ，HB ，HC . 因为PA BC ⊥，BC PH ⊥，所以BC ⊥平面AHP ，故BC AH ⊥； 同理得AC BH ⊥，故H 为ABC ∆的垂心. 又因为Rt Rt Rt AHP BHP CHP ∆∆∆≌≌， 故AH BH CH ==，故H 为ABC ∆的外心. 故ABC ∆为等边三角形，因此22sin 60AH =︒，解得3AH =，故2444433PH =-=. 设三棱锥P ABC -的外接球的半径为R ，则222()PH R AH R -+=， 解得24811R =，故外接球表面积为4819241111S ππ=⨯=.17.【解析】1）由//a b r r 得320k -=，即32k =；（2）由a b ⊥r r 得0a b ⋅=r r，即60k +=，所以6k =-.设向量a b +r r 与b r 的夹角为θ，()cos ||||a b ba b b θ+⋅=+⋅r r rr rr ，||a =r，||b =r 222()54550a b a b +=+=+=r r r r ，故||a b +=r r ，2()45a b b b +⋅==r r r r，故cos θ==. 18.【解析】（1）因为()f x 为偶函数， 故先研究()f x 在(0,)+∞上的单调性.当0x >时，当12m =时，1()e 2xf x -=-，令()0f x =，解得ln 2x =，当0ln 2x <<时，1()e 2xf x -=-单调递减； 当ln 2x >时，1()2xf x e -=-单调递增. 故()f x 在(,ln 2)-∞-，(0,ln 2)上单调递减， 在(ln 2,0)-，(ln 2,)+∞上单调递增. （2）由于()f x 为定义在R 上的偶函数，故方程1()4f x =在(0,)+∞上有一个根即可. 当0m ≤时，()e x f x m -=-，即1e 4xm -=-在(0,)+∞上有一个根，由于1e 4xy -=-在(0,)+∞上单调递减，且113e,444xy -⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭，故104m -<≤； 当01m <<时，令e 0xm --=，解得ln x m =-，当(0,ln )x m ∈-时，e 0xy m -=->；当(ln ,)x m ∈-+∞时，e 0xy m -=-<.故由题意知只需1141401m m m ⎧->⎪⎪⎪≤⎨⎪<<⎪⎪⎩或1141401m m m ⎧-<⎪⎪⎪>⎨⎪<<⎪⎪⎩，解得104m <≤或314m <<； 当1m ≥时，()e xf x m -=-在(0,)+∞上单调递增，由于此时()(1,)f x m m ∈-，故只需114m m -<<，即514m ≤<. 综上可得，1144m -<≤或3544m <<. 19.【解析】（1）121112n n n n a a a a ++==+，故1112n na a +-=， 故1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，首项111a =，公差为2， 故11(1)221n n n a =+-⨯=-，故121n a n =-； （2）222222112111(1)(1)(1)n n n b a n n n n n n ++===-⋅+⋅++，故222222111111111223(1)(1)n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ， 令219991(1)1000n -≥+，即211(1)1000n ≤+，即2(1)1000n +≥， 当30n =时，2319611000=<；当31n =时，23210204100=>，故31n ≥， 因此不等式9991000n S ≥成立的正整数n 的最小值为31. 20.【解析】（1）在BEM ∆中，()sin 4560sin 45BM BE=︒+︒︒，()1sin 45602︒+︒=+=，故231262BE =⨯=-+， 故BEM ∆的面积为1331(31)sin 6024S -=⨯⨯-︒=； （2）在ABC ∆中，根据余弦定理得214212cos603AC =+-⨯⨯⨯︒=，故222BC AB AC =+，因此90BAC ∠=︒，30ACB ∠=︒.当EM FM ⊥时，在BEM ∆中，()sin 60sin 60BM EM θ=︒+︒， 即()sin 603sin 603cos sin EM θθθ︒==︒++； 在CFM ∆中，90CMF θ∠=︒-，60CFM θ∠=︒+，()sin 60sin 30CM FM θ=︒+︒， 即()sin 30sin 603cos sin FM θθθ︒==︒++，故3EM FM =. 21.【解析】（1）取BD ，BE 的中点分别为O ，M ，连结GO ，OM ，MF ，如图.//OM DE 且12OM DE =， 又因为//GF DE 且12GF DE =，所以//GF OM 且GF OM =， 故四边形OGFM 为平行四边形，故//GO FM .因为M 为EB 中点，三角形BEF 为等边三角形，故FM EB ⊥，因为平面EFB ⊥平面BCDE ，故FM ⊥平面BCDE ，因此GO ⊥平面BCDE ，故平面GBD ⊥平面BCDE ；（2）因为//BE CD ，故//BE 平面CDG ，故点E 到平面CDG 的距离等于点B 到平面CDG 的距离.由（1）知三棱锥G BCD -的体积113BCD V OG S ∆=⋅⋅，2OG FM ==，11212BCD S ∆=⨯⨯=，故16V =；在CDG ∆中，DG CG ==CD 中点P ，连结GP ，GP ==112CDG S ∆=⨯=， 设点B 到平面CDG 的距离为d ，故三棱锥B CDG -的体积213CDG V d S ∆=⋅⋅=，由于12V V =d =，即7d =故点E 到平面CDG . 22.【解析】（1）当0a =时，()e cos x f x x =+，当[]0,x π∈时，1x e ≥，故cos 0xe x +>，故()f x 在[]0,π上无零点； 当[),0x π∈-时，()e sin xf x x '=-， 因为sin 0x -≥，0x e >，故()0f x '>，因此()f x 在(,0)π-上单调递增.因为()e 10f ππ--=-<，(0)20f =>，故存在唯一0(,0)x π∈-使得()00f x =.综上知，()f x 在区间[],ππ-上有一个零点；（2）当[)0,x ∈+∞时，()e sin xf x x a '=--， ①当0a ≤时，因为e 1x≥，sin 1x -≥-，0a -≥，故()0f x '≥，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，故()(0)2f x f ≥=，符合题意；②当01a <≤时，令()e sin x g x x a =--（[)0,x ∈+∞）， ()e cos 1cos 0x g x x x '=->->，故()g x 在(0,)+∞上单调递增，故()(0)10g x g a ≥=-≥，故()0f x '≥，因此()(0)2f x f ≥=，符合题意；③当1a >时，令()e sin xg x x a =--（[)0,x ∈+∞）， (0)10g a =-<，()e sin e 1a a g a a a a =-->--， 令()e 1a h a a =--（1a >），()e 10a h a '=->， 故()(1)e 20h a h >=->，故()0g a >，存在0(0,)x a ∈使得()00g x =， 故()f x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， 当()00,x x ∈时，()(0)2f x f <=，与题意矛盾， 故1a >不符合题意.综上，1a ≤符合题意.。
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x cos 2x x2 1
的图象大致为(
)
A．
B．
4
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性排除 C，D，再根据函数值的正负即可判断．
【详解】
由
f
(x)
为奇函数，得
f
(x)
的图象关于原点对称，排除
C，D；又当 0
1
【详解】
ðR
A
x
|
3
x
3 ，
B
x
|
1 2
x
4
，所以
ðR
A
B
x
|
3
x
4
.
故选： C
【点睛】
本题考查了集合的运算，属于简单题.
3．“ a b 2c ”的一个充分条件是（ ） A． a c 或 b c B． a c 且 b c C． a c 且 b c
故θ＝60°．
故选：B.
【点睛】
本题考查了向量夹角的求法，考查了数量积的运算法则及模的求解方法，属于基础题
3
7．已知 cos( ) 4 ， cos( ) 3 ，则 tan tan （ ）
5
5
1
A．
7
B． 7 5
1
C．
10
D．-7
【答案】D
【解析】
【分析】
D． a c 或 b c
【答案】C
【解析】
对于 A, a c 或 b c ，不能保证 a b 2c 成立，故 A 不对；对于 B, a c 或 b c ，不能保证 a b 2c 成立，故 B 不对；对于 C, a c 且 b c ，由同向不等式相加的性质知，可以推出 a b 2c ，故 C 正确； 对于 D, a c 或 b c ，不能保证 a b 2c 成立，故 D 不对，故选 C.
《我和我的祖国》这部影片，故选 C．
【点睛】
本题考查根据样本的频率分布与总体的频率分布的关系求值，难度较易.注意样本的频率和总体的频率分布
一致.
2
5．已知数列 an 是等差数列，且 a1 a4 a7 2 ，则 tan(a3 a5 ) 的值为（ ）.
A． 3
B． 3
C． 3 3
4．2019 年国庆黄金周影市火爆依旧，《我和我的祖国》、《中国机长》、《攀登者》票房不断刷新，为了解我
校高三 2300 名学生的观影情况，随机调查了 100 名在校学生，其中看过《我和我的祖国》或《中国机长》
的学生共有 80 位，看过《中国机长》的学生共有 60 位，看过《中国机长》且看过《我和我的祖国》的学
C． 5 26
D． 5 i 26
【解析】
【分析】
化简得到 z 1 5 i 计算虚部得到答案. 26 26
【详解】
z
i 5 i
26
பைடு நூலகம்
1 26
5 26
i
，所以
z
i 5
i
的虚部为
5 26
.
故选： A
【点睛】
本题考查了复数虚部的计算，属于简单题.
2．设集合 A x | x2 9 ， B x | 2x 1 x 4 0 ，则 ðR A B （ ）
生共有 50 位，则该校高三年级看过《我和我的祖国》的学生人数的估计值为( )
A．1150
B．1380
C．1610
D．1860
【答案】C
【解析】
【分析】
根据样本中看过《我和我的祖国》的学生人数所占的比例等于总体看过《我和我的祖国》的学生人数所占
的比例，即可计算出全校中看过该影片的人数.
【详解】
依题有接受调查的 100 名学生中有 70 位看过《我和我的祖国》，故全校学生中约有 2300*0.7 1610 人看过
A．x | 3 x 4
B．
x
|
1 2
x
3
C．x | 3 x 4
【答案】C 【解析】 【分析】
D．
x
|
1
x
3
2
先计算得到 ðR A
x
|
3
x
3 ，
B
x
|
1 2
x
4
，再计算 ðR A U
B
得到答案.
2＝3（4
a
2﹣4
a
•
b
b
2）．
因为| a |＝1，| b |＝2，则 a 2 1，b 2＝4，
所以 8+4 a • b 3（8﹣4 a • b ），
即a •b 1．
设向量 a 与 b 的夹角为θ，
则|
a
|•|
b
|cosθ
1
，
即 cosθ 1 ， 2
利用两角和与差的余弦公式求出 sin sin 、 cos cos ，从而求出 tan tan ．
【详解】
解：∵ cos( ) 4 ， cos( ) 3 ，
5
5
cos ∴
cos
sin
sin
4 5
，
cos
cos
sin
sin
3 5
cos ∴
cos
1 10
，
sin
sin
7 10
∴ tan tan
sin sin cos cos
7 ，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查两角和与差的余弦公式，考查同角的三角函数关系，属于基础题．
8．函数
f
(x)
2020 年高考数学（理）冲刺模拟卷 5
（本试卷满分 150 分，考试用时 120 分钟）
第 I 卷（选择题)
一、 单选题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。
1．复数
z
5
i
i
上的虚部为（
）
5
A．
26
B． 5 i 26
【答案】A
D． 3 3
【答案】A
【解析】
试题分析： a1 a4 a7
2
，所以 3a4
2 , a4
2 3
, a3 a5
2a4
4 3
,
tan(a3
a5
)
tan
4 3
3
考点：1、等差数列；2、三角函数求值.
6．已知向量 a 、 b 满足 a 1 ， b 2 ， 2a b 3 2a b ，则 a 与 b 夹角为（ ）
A． 45
【答案】B
B． 60
C． 90
D．120
【解析】
【分析】
根据|
2a
b
|
3
|
2a
b
|，两边平方，根据|
a
|，|
b
|，得出向量的数量积，再根据夹角公式求解．
【详解】
由已知，（
2a
b
）2＝3（
2a
b
）2，即
4
a
2+4
a
•
b
b