2017-2018学年高中数学考点38圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系
高中理科数学 直线与圆、圆与圆的位置关系
1 b
解析 将x2+y2+2ax+a2-4=0和x2+y2-4by-1-4b2=0化为标准方程得(x+a)2+y2
a 2 4b 2 =1+2=3,即a2+4b2=9,所 =4,x2+(y-2b)2=1,依题意得两圆相外切,故
a 2 4b 2 1 1 a 2 4b 2 1 1 1 a 2 4b 2 4 5 2 =1,当且 2 = 以 + = + ≥ +2 2 + 2 + 2 2 9 b 9 a 9 b 9a 9 a 2 b2 9 9 9 9 a b a 2 4b 2 1 1 2 2 仅当 = , 即 a =2 b 时等号成立 , 故 + 的最小值为1. 9b 2 9a 2 a 2 b2
答案 1
方法 3 解决与圆有关的切线和弦长问题的方法
1.求过圆上的一点(x0,y0)的切线方程 先求切点与圆心连线所在直线的斜率,当斜率不存在时,切线方程为y=y
0
;当斜率存在时,设为k,①k≠0时由垂直关系知切线斜率为- ,由点斜式
1 k
方程可求出切线方程,②k=0时切线方程为x=x0. 2.求过圆外一点(x0,y0)的圆的切线方程(切线斜率存在) (1)几何法:设切线斜率为k,则切线方程为y-y0=k(x-x0),即kx-y+y0-kx0=0.由 圆心到直线的距离等于半径,求得k,即可得出切线方程. (2)代数法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),即y=kx-kx0+y0,代入圆的方程,得到
4 结合图形可得kAB= =-1, 4 | 4 2k | 3 又由 2 =2可得k=- , 4 1 k 3 即kAT=- , 4
【高中数学】直线与圆、圆与圆的位置关系
12＋22
5
弦长为 2 r2－d2＝2 55. 5
答案：2 55 5
8．若 P(2,1)为圆(x－1)2＋y2＝25 的弦 AB 的中点，则直线 AB 的方程为________．
－1 解析：因为圆(x－1)2＋y2＝25 的圆心为(1,0)，所以直线 AB 的斜率等于1－0＝－1，由
2－1
点斜式得直线 AB 的方程为 y－1＝－(x－2)，即 x＋y－3＝0.
2 1－ 4 2＝ 14.
2
[解题技法] 几何法判断圆与圆的位置关系的 3 步骤
(1)确定两圆的圆心坐标和半径长； (2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距 d，求 r1＋r2，|r1－r2|； (3)比较 d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，写出结论．
[课时跟踪检测]
A级
1．若直线 2x＋y＋a＝0 与圆 x2＋y2＋2x－4y＝0 相切，则 a 的值为( )
高中数学学科
＝0 的距离 d＞2，即 |k＋2| ＞2，解得 0＜k＜4.
k2＋1
3
答案：
0，4 3
3．设直线 y＝kx＋1 与圆 x2＋y2＋2x－my＝0 相交于 A，B 两点，若点 A，B 关于直线 l：
x＋y＝0 对称，则|AB|＝________.
解析：因为点 A，B 关于直线 l：x＋y＝0 对称，所以直线 y＝kx＋1 的斜率 k＝1，即 y
(2)直线被圆截得的弦长
Байду номын сангаас
弦心距
d、弦长
l
的一半
1l
及圆的半径 r
构成一直角三角形，且有
r2＝d2＋
1l 2
2.
2
考点一 直线与圆的位置关系
直线与圆、圆与圆的位置关系—知识讲解(基础)
直线与圆、圆与圆的位置关系—知识讲解（基础）【学习目标】1.理解并掌握直线与圆、圆与圆的各种位置关系；2.理解切线的判定定理、性质定理和切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，并熟练掌握以上内容解决一些实际问题；3.了解两个圆相离(外离、内含)，两个圆相切(外切、内切)，两圆相交，圆心距等概念．理解两圆的位置关系与d、r1、r2数量关系的等价条件并灵活应用它们解题．【要点梳理】要点一、直线和圆的位置关系1．直线和圆的三种位置关系：(1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．(2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．2．直线与圆的位置关系的判定和性质．直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么要点诠释：这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定．要点二、切线的判定定理、性质定理和切线长定理1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要点诠释：切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可. 2．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.3．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 4．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.5．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.6．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).要点三、圆和圆的位置关系1．圆与圆的五种位置关系的定义两圆外离：两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离.两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点.两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交.两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点.两圆内含：两个圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含.2．两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系：设⊙O1的半径为r1，⊙O2半径为r2，两圆心O1O2的距离为d，则：两圆外离d＞r1+r2两圆外切d=r1+r2两圆相交r1-r2＜d＜r1+r2 (r1≥r2)两圆内切d=r1-r2 (r1＞r2)两圆内含d＜r1-r2 (r1＞r2)要点诠释：(1) 圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点个数分类，又可以分为：相离(含外离、内含)、相切(含内切、外切)、相交；(2) 内切、外切统称为相切，唯一的公共点叫作切点；(3) 具有内切或内含关系的两个圆的半径不可能相等，否则两圆重合.【典型例题】类型一、直线与圆的位置关系【高清ID号： 356966 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1-2】1．（优质试题•盐城）如图，在△ABC中，∠CAB=90°，∠CBA=50°，以AB为直径作⊙O交BC 于点D，点E在边AC上，且满足ED=EA．（1）求∠DOA的度数；（2）求证：直线ED与⊙O相切．【答案与解析】（1）解；∵∠DBA=50°，∴∠DOA=2∠DBA=100°，（2）证明：连接OE．在△EAO与△EDO中，，∴△EAO≌△EDO，∴∠EDO=∠EAO，∵∠BAC=90°，∴∠EDO=90°，∴DE与⊙O相切．【总结升华】本题考查了切线的判定，连接OE构造全等三角形是解题的关键．举一反三：【高清ID号： 356966 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1-2】【变式】如图，P点是∠AOB的平分线OC上一点，PE⊥OA于E，以P为圆心，PE为半径作⊙P .求证：⊙P与OB相切.【答案】作PF⊥OB于F，则可证明△OEP≌△OFP，所以PF=PE，即F在圆P上，故⊙P与OB相切.2．（优质试题•黄石）如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC交⊙O于D，D是BC的中点．（1）求BC的长；（2）过点D作DE⊥AC，垂足为E，求证：直线DE是⊙O的切线．【思路点拨】（1）根据圆周角定理求得∠ADB=90°，然后解直角三角形即可求得BD，进而求得BC即可；（2）要证明直线DE是⊙O的切线只要证明∠EDO=90°即可．【答案与解析】证明：（1）解：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，又∵∠ABC=30°，AB=4，∴BD=2，∵D是BC的中点，∴BC=2BD=4；（2）证明：连接OD．∵D是BC的中点，O是AB的中点，∴DO是△ABC的中位线，∴OD∥AC，则∠EDO=∠CED又∵DE⊥AC，∴∠CED=90°，∠EDO=∠CED=90°∴DE是⊙O的切线．【总结升华】此题主要考查了切线的判定以及含30°角的直角三角形的性质．解题时要注意连接过切点的半径是圆中的常见辅助线．类型二、圆与圆的位置关系3．(1)已知两圆的半径分别为3cm，5cm，且其圆心距为7cm，则这两圆的位置关系是( )A．外切 B．内切 C．相交 D．相离(2)已知⊙O1与⊙O2相切，⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，则O1O2的长是( )A．1cm B．5cm C．1cm或5cm D．0.5cm或2.5cm【答案】（1）C ；（2）C.【解析】(1)由于圆心距d＝7cm，R+r＝5+3＝8(cm)，R-r＝5-3＝2(cm)．∴ R-r＜d＜R+r，故这两圆的位置关系是相交．(2)两圆相切包括外切和内切，当⊙O1与⊙O2外切时，d＝O1O2＝R+r＝3+2＝5(cm)；当⊙O1与⊙O2内切时，d＝O1O2＝R-r＝3-2＝1(cm)．【总结升华】由数量确定位置或由位置确定数量的依据是：①两圆外离⇔d＞R+r；②两圆外切⇔d＝R+r；③两圆相交⇔R-r＜d＜R+r；④两圆内切⇔d＝R-r；⑤两圆内含⇔d＜R-r．4．已知：如图，⊙O1与⊙O2外切于A点，直线l与⊙O1、⊙O2分别切于B，C点，若⊙O1的半径r1=2cm，⊙O2的半径r2=3cm．求BC的长．【思路点拨】首先连接O1B，O2C，O1O2，过点O1作O1D⊥O2C于D，由直线l与⊙O1、⊙O2分别切于B，C 点，可得四边形O1BCD是矩形，即可知CD=O1B=r1=2cm，BC=O1D，然后在Rt△O2DO1中，利用勾股定理即可求得O1D的长，即可得BC的长．【答案与解析】【总结升华】此题考查了相切两圆的性质、切线的性质、矩形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，掌握相切两圆的性质．举一反三：【变式】如图所示，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O与BC相切于点B，则AC等于( )A．．【答案】因为以AB为直径的⊙O与BC相切于点B，所以∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，AC=C．。
8.3 直线与圆、圆与圆的位置关系
(4)过圆O:x2+y2=r2外一点P(x0,y0)作圆的两条切线,切点为A,B,则 O,P,A,B四点共圆且直线AB的方程是x0x+y0y=r2.( √ )
(5)若两圆相交,联立两圆的方程,则消掉二次项后得到的二元一 次方程是两圆的公共弦所在直线的方程.( √ )
-5-
知识梳理 双基自测
因为圆 O:x2+y2=12 的圆心为 O(0,0),半径为 r=2√3,圆心 O 到直 线 l 的距离为 d= |������| = √3,所以直线 l 被圆 O 所截得的弦长为
������2+������2
2 ������2-������2=2 (2√3)2-(√3)2=6.故选 C.
(2)由题意得圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=5,则圆心为(-1,2).
这样的点共有( C )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
(3)若过点A(4,0)的直线l与圆C:(x-2)2+y2=1有公共点,则直线l的斜
率的最小值为 -√33
.
-14-
考点1
考点2
考点3
解析 (1)由题意知y'=ex(x2+ax+2x+1-a),当x=0时,y'=1-a,
所以曲线y=ex(x2+ax+1-2a)在点P(0,1-2a)处的切线方程为y-1+2a
=(1-a)x,即a(x+2)+y-x-1=0,恒过定点(-2,-1).
将其代入(x-1)2+y2-16,可得9+1-16<0,即定点在圆内,所以切线l与
圆C:(x-1)2+y2=16的位置关系是相交.故选A.
高考理科数学考点解析圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系
考点36 圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系1.(2018·全国卷I高考文科·T15)直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B 两点,则=.【解析】由x2+y2+2y-3=0,得圆心为(0,-1),半径为2,所以圆心到直线的距离d==.所以|AB|=2=2.答案:22.(2018·全国Ⅲ高考理科·T6)同 (2018·全国Ⅲ高考文科·T8)直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是()A.B.C.D.【命题意图】本题以直线与圆作为问题背景,考查圆的方程、点到直线的距离以及三角形的面积的求解,考查逻辑推理能力、运算求解能力,体现了逻辑推理和数学运算的核心素养.试题难度:中.【解析】选A.由A(-2,0),B(0,-2),则三角形ABP的底边|AB|=2,圆心(2,0)到直线x+y+2=0的距离为d==2,又因为半径为r=,所以点P到直线x+y+2=0的距离的最大值为2+=3,最小值为2-=,则三角形ABP的面积的最大值为S×2×3=6,最小值为S min=×2×=2,故△ABP面积的取值范围为[2,6].3.(2018·北京高考理科·T7)在平面直角坐标系中,记d为点P(cosθ,sinθ)到直线x-my-2=0的距离,当θ,m变化时,d的最大值为 ()A.1B.2C.3D.4【命题意图】本小题主要考查三角函数,点到直线的距离公式,直线方程,圆的方程等知识,意在考查基本运算能力,转化思想,培养学生的逻辑思维能力,体现了逻辑推理、数学运算的数学素养.【解析】选C.方法一:由已知d===≤|sin(θ+φ)|+||≤1+2=3.当且仅当=2,且sin(θ+φ)=-1时取=,此时m=0,d=|cosθ-2|,cosθ能取到-1,所以d的最大值为3.方法二:由已知及sin2θ+cos2θ=1,点P(cosθ,sinθ)在圆x2+y2=1上.又直线x-my-2=0过定点(2,0),当d取得最大值时,即圆x2+y2=1上的动点P到动直线x-my-2=0距离最大, 此时圆x2+y2=1的圆心(0,0)到动直线x-my-2=0距离最大,数形结合,可知动直线为x=2时,圆心(0,0)到动直线x-my-2=0距离最大值为2,所以圆x2+y2=1上的动点P到动直线x-my-2=0的距离最大值为2+1=3,即d 的最大值为3.4.(2018·天津高考文科·T12)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为.【命题意图】本题考查圆的概念、圆的一般方程或标准方程以及待定系数法,考查方程思想以及运算求解能力.【解题指南】可选择圆的一般方程,利用待定系数法求解.【解析】设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,又因为圆经过三点(0,0),(1,1),(2,0),所以解得D=-2,E=0,F=0,所以圆的方程为x2+y2-2x=0.答案:x2+y2-2x=0【光速解题】在平面直角坐标系中,画出圆上的三点,显然圆心坐标为(1,0),半径为1,所以圆的标准方程为(x-1)2+y2=1.答案:(x-1)2+y2=15.(2018·江苏高考·T12)在平面直角坐标系xOy中,A为直线l:y=2x上在第一象限内的点,B(5,0),以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若·=0,则点A的横坐标为.【解析】因为AB为直径,所以AD⊥BD,所以BD即B到直线l的距离,BD==2.因为CD=AC=BC=r,又CD⊥AB,所以AB=2BC=2,设A(a,2a),AB==2⇒a=-1或3(a=-1舍去).答案:3。
高考数学复习讲义：圆的方程、直线与圆及圆与圆的位置关系
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[方法技巧]
求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程 2 方法
几 当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)， 何 即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即 法 可求出k的值，进而写出切线方程 代 当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)， 数 即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一 法 元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出
d＝|－11＋＋k32k|＝1，|－1＋ 3k|＝ 1＋k2，解得 k＝0 或 k＝ 3，
故选 D. 答案：D
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弦长问题
[典例] 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C：x2＋y2－4x＝0 及点 A(－1,0)，B(1，2)．
2．(2019·黑龙江伊春三校联考)已知圆 C1：(x＋1)2＋(y－1)2 返回
＝1，圆 C2 与圆 C1 关于直线 x－y－1＝0 对称，则圆 C2
的方程为
()
A．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1 D．(x－2)2＋(y－2)2＝1
C 到直线 x＋y＋2＝0 的距离为|2＋22|＝2 2，可得 dmax＝2 2＋
r＝3 2，dmin＝2 2－r＝ 2.由已知条件可得|AB|＝2 2，所以 △ABP 面积的最大值为12|AB|·dmax＝6，△ABP 面积的最小值
为12|AB|·dmin＝2.综上，△ABP 面积的取值范围是[2,6]． 答案：A
(2)求过点 A，B 且与 C 的准线相切的圆的方程．
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[解] 由(1)得 AB 的中点坐标为(3,2)，
所以 AB 的垂直平分线方程为 y－2＝－(x－3)，
直线与圆及圆与圆的位置关系
直线与圆及圆与圆的位置关系【本讲教育信息】⼀. 教学内容：直线与圆及圆与圆的位置关系⼆. 学习⽬标：1、能根据给出的直线和圆的⽅程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系；2、在学习过程中，进⼀步体会⽤代数⽅法处理⼏何问题的思想；3、进⼀步体会转化、数形结合等数学思想和⽅法。
三. 知识要点：1、直线和圆的位置关系设△是联⽴直线⽅程与圆的⽅程后得到的判别式，dO－L是圆⼼O到直线L的距离，则有：直线与圆相交：有两个公共点——△>0——dO－L∈[0，R]；直线与圆相切：有⼀个公共点——△＝0——dO－L＝R；直线与圆相离：⽆公共点——△<0——dO－L>R.2、圆与圆的位置关系两圆相交：有两个公共点——△>0——dO－O’∈[|R－r|，R＋r]；两圆外切:有⼀个公共点——△＝0——dO－O’＝R＋r；两圆内切:有⼀个公共点——△＝0——dO－O’＝|R－r|；④两圆相离:⽆公共点——△<0——dO－O’>R＋r;⑤两圆内含：⽆公共点——△<0——dO－O’<|R－r|.【典型例题】考点⼀ 研究直线与圆的位置关系例1 已知直线Ｌ过点（－2，０），当直线Ｌ与圆x2＋y2＝2x有两个不同交点时，求斜率k的取值范围。
法⼀：设直线L的⽅程为：y＝k（x＋2），与圆的⽅程联⽴，代⼊圆的⽅程令△>0可得：。
法⼀：法⼆：设直线L的⽅程为：y＝k（x＋2），利⽤圆⼼到直线的距离dO－L∈[0，R]可解得：。
法⼆：考点⼆ 研究圆的切线例2 直线y＝x＋b与曲线有且仅有⼀个公共点，求b的取值范围。
分析：作出图形后进⾏观察，以找到解决问题的思路。
分析：解：曲线即x2＋y2＝1（x≥0），当直线y＝x＋b解：与之相切时，满⾜：由观察图形可知：当或时，它们有且仅有⼀个公共点。
例3 过点P（1，2）作圆x2＋y2＝5的切线L，求切线L的⽅程。
解：因P点在圆上，故可求切线L的⽅程为x＋2y＝5。
高三数学第一轮复习：圆的方程及直线与圆的位置关系知识精讲
高三数学第一轮复习：圆的方程及直线与圆的位置关系知识精讲【本讲主要内容】圆的方程及直线与圆的位置关系圆的标准方程、圆的一般方程、圆的参数方程、直线和圆的位置关系【知识掌握】 【知识点精析】1. 圆的标准方程：()()222x a y b r -+-=，方程表示圆心为(),C a b ，半径为r 的圆。
2. 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x⑴当0422>-+F E D 时，表示圆心为,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，的圆； ⑵当2240D E F +-=时，表示一个点,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭； ⑶当0422<-+F E D 时，它不表示任何图形。
3. 圆的标准方程与一般方程的比较：圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径，而一般方程突出了方程形式上的特点：①2x 和2y 的系数相同，都不等于０；②没有xy 这样的二次项。
二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的充要条件是：①2x 和2y 的系数相等且不为零，即0A C =≠；②没有xy 项，即0B =；③0422>-+F E D ，其中①、②是二元二次方程表示圆的必要条件，但不是充分条件。
说明：圆的标准方程和一般方程均含有三个参变量，因此必须有三个独立条件才能确定一个圆；求圆的方程的主要方法为待定系数法。
4. 圆的参数方程：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数，即()()x f t y g t =⎧⎪⎨=⎪⎩()*，并且对于t 的每一个允许值，由方程组()*所确定的点(),M x y 都在这条曲线上，那么方程组()*就叫做这条曲线的参数方程，联系,x y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数。
cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩()θ为参数表示圆心为()a ，b ，半径为r 的圆。
5. 直线与圆的位置关系： ⑴点与圆的位置关系：若圆()()222x a y b r -+-=，那么点()000,P x y 在⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+-⇔<-+-⇔=-+-⇔220202202022020)()()()()()(r b y a x r b y a x r b y a x 圆外圆内圆上⑵直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有三种：相离、相切、相交。
直线与圆、圆与圆的位置关系题型归纳总结
直线与圆、圆与圆的位置关系【重难点精讲】重点一、直线与圆的位置关系：(1)直线与圆相交，有两个公共点；(2)直线与圆相切，只有一个公共点；(3)直线与圆相离，没有公共点． 重点二、几何判定法：设r 为圆的半径，d 为圆心到直线的距离：(1)d >r ⇔圆与直线相离；(2)d ＝r ⇔圆与直线相切；(3)d <r ⇔圆与直线相交．重点三、代数判定法：由⎩⎪⎨⎪⎧ Ax ＋By ＋C ＝0x －a 2＋y －b 2＝r 2消元，得到一元二次方程的判别式Δ，则(1)Δ>0⇔直线与圆相交；(2)Δ＝0⇔直线与圆相切；(3)Δ<0⇔直线与圆相离．重点四、圆与圆的位置关系：两圆(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)与(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0)圆心距d 221212()()a a b b -+- d >r 1＋r 2⇔两圆外离；d ＝r 1＋r 2⇔两圆外切；|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2⇔两圆相交；d ＝|r 1－r 2|⇔两圆内切；0<d <|r 1－r 2|⇔两圆内含，d ＝0时为同心圆．重点五、两圆的公切线条数：当两圆内切时有一条公切线；当两圆外切时有三条公切线；相交时有两条公切线；相离时有四条公切线；内含时无公切线．【典题精练】考点1、直线与圆的位置关系例1．已知直线320l x y -+=，圆22:4410C x y x y ++--=.（1）判断直线l 与圆C 的位置关系，并证明；（2）若直线l 与圆C 相交，求出圆C 被直线l 截得的弦长；否则，求出圆上的点到直线l 的最短距离.【解析】（1）相交，证明如下；可将圆的一般方程22:4410C x y x y ++--=化为：22(2)(2)9x y ++-=，可得其圆心：(2,2)-，半径为：3，由直线320l x y -+=， 可得圆心到直线l 的距离：2322313d --+==+d r ＜，可得直线l 与圆C 相交；（2）由（1）得直线l 与圆C 相交，且圆心到直线l 的距离d =故弦长为：==考点2、弦长问题例2．已知圆C 的圆心在直线1y x =+上，且圆C 经过点()3,6P 和点()5,6Q .（1）求圆C 的方程；（2）过点()3,0的直线l 截圆所得弦长为2，求直线l 的方程.【解析】（1）由题意可知，设圆心为(),1a a +，则圆C 为：22()[(1)]2x a y a -+-+=， 圆C 经过点()3,6P 和点()5,6Q ，2222(3)[6(1)]2(5)[6(1)]2a a a a ⎧-+-+=∴⎨-+-+=⎩，解得4a =，则圆C 的方程为：22(4)(5)2x y -+-=； （2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()3y k x =-，即30k y k --=，∴过点()3,0的直线l 截圆所得弦长为2，1d ∴==，解得125k =， ∴直线l 的方程为125360x y --=，当直线l 的斜率不存在时，直线l 为3x =，此时弦长为2符合题意. 综上，直线l 的方程为3x =或125360x y --=.考点点睛：设直线l 的方程为ax ＋by ＋c ＝0，圆O 的方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2，求弦长的方法通常有以下两种：(1)几何法：由圆的性质知，过圆心O 作l 的垂线，垂足C 为线段AB 的中点．如图所示，在Rt △OCB 中，|BC |2＝r 2－d 2，则弦长|AB |＝2|BC |＝2r 2－d 2．(2)代数法：解方程组222000()()ax by c x x y y r++=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，消元后可得关于x 1＋x 2，x 1·x 2或y 1＋y 2，y 1·y 2的关系式，则|AB |考点3、圆的切线问题例3．已知点1,2P ，点()3,1M ，圆22:124C x y(1)求过点P 的圆C 的切线方程；(2)求过点M 的圆C 的切线方程．【解析】由题意得：圆心()1,2C ，半径2r（1）()()22211224+-+= P ∴在圆C 上 1PC k ==-∴切线的斜率11PC k k =-= ∴过点P 的圆C 的切线方程为()21y x --=-，即10x y -+-= （2）()()22311254-+-=> M ∴在圆C 外部若过点M 的直线斜率不存在，直线方程为3x =，是圆C 的切线；若过点M 的切线斜率存在，可设切线方程为：()13y k x -=-，即310kx y k--+=∴圆心C 到切线的斜率2d ===，解得：34k = ∴切线方程为()3413y x -=-，即3450x y --= 综上所述：切线方程为3x =或3450x y --=考点点睛：求过某一点的圆的切线方程，首先判定点与圆的位置关系，以确定切线的条数．(1)求过圆上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程：先求切点与圆连线的斜率k ，则由垂直关系得切线斜率为－1k，由点斜式方程可求得切线方程．如果k ＝0或斜率不存在，则由图形可直接得切线方程为y ＝y 0或x ＝x 0．(2)求过圆外一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程时，常用几何方法求解：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，即kx －y －kx 0＋y 0＝0，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k ，进而求出切线方程．但要注意，若求出的k 值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，切线方程为x ＝x 0． 考点4、两圆位置关系的判断例4．已知两圆1C ：22210100x y x y +-++=和2C ：222210x y x y ++++=. （Ⅰ）判断两圆的位置关系；（Ⅱ）求两圆公共弦所在直线方程；（Ⅲ）求两圆公共弦的长度.【解析】（Ⅰ）1C ：()()221516x y -++=，()11,5C -，14r =， 2C ：()()22111x y +++=，()21,1C --，21r =，∴12C C ==121212r r C C r r <<-+，故1C 与2C 相交. （Ⅱ）因为两圆1C ：22210100x y x y +-++=和2C 222210x y x y ++++=，所以两方程相减得：4890x y --=.（Ⅲ）设1C 到4890x y --=的距离为d ，则d ==，弦长AB ==2=. 考点点睛： 判断两圆位置关系的方法有两种，一是代数法，看方程组的解的个数，但往往较繁琐，另外须注意方程组有“一个”解与两圆相切不等价；二是几何法，看两圆连心线的长d ，若d ＝r 1＋r 2，两圆外切；d ＝|r 1－r 2|时，两圆内切；d >r 1＋r 2时，两圆外离；d <|r 1－r 2|时，两圆内含；|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2时，两圆相交．考点5、由圆与圆的位置关系求参数的值或取值范围例5．已知直线:0l x y m ++=与圆()()22:119C x y ++-=没有公共点，圆()()221:121O x y -++=与圆()()()2222:420O x y m m -+-=>相交，求m 的取值范围.【解析】圆()()22:119C x y ++-=的圆心()1,1C -，半径3r =，由题意可得，圆心C 到直线的距离3d =>，0m >，则m >圆()()221:121O x y -++=与圆()()()2222:420O x y m m -+-=>相交，圆心()11,2O -，圆1O 的半径11R =，圆心()24,2O ，圆2O 的半径2R m =，121212R R OO R R ∴-<<+，即11m m -<<+，解得46m <<.综上所述，实数m 的取值范围是().考点点睛： 两圆相切包括外切与内切，外切时，圆心距等于两圆半径之和，内切时，圆心距等于两圆半径差的绝对值．在题目没有说明是内切还是外切时，要分两种情况进行讨论．解决两圆相切问题，常用几何法．。
第3讲-圆的方程及直线与圆、圆与圆的位置关系
圆的方程以及直线与圆、圆与圆的位置关系学习提纲1、了解圆的方程2、了解直线和圆、圆与圆的位置关系及其判断标准3、了解圆的切线方程，相交弦方程1．圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆．这个定点叫做圆的圆心，定长称为该圆的半径。
2．圆的标准方程在平面直角坐标系中，设动点(,)P x y ，圆心(,)C a b ，半径为r ，由圆的定义有22()()x a y b r -+-=，即222()()x a y b r -+-=此即为：以(,)C a b 为圆心，r 为半径的圆的标准方程．特别地，以原点为圆心，半径为(0)r r >的圆的标准方程为222x y r +=3．圆的一般方程有时，我们也把圆的方程写成如下形式220x y Dx Ey F ++++= （*）由于22222240()()224D E D E F x y Dx Ey F x y +-++++=⇔+++= 因此，（*）表示圆的方程，前提是2240D E F +-> 事实上，如2240D E F +-=，方程（*）表示一个点(,)22D E -- 如2240D E F +-<，则方程（*）不表示任何图形．4、点00(,)P x y 与圆222()()(0)x a y b r r -+-=>的位置关系(1)若22200()()x a y b r -+->，则点P 在圆外；(2)若22200()()x a y b r -+-=则点P 在圆上；(3)若22200()()x a y b r -+-<，则点P 在圆内． 5．直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种：相离、相切、相交．判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法：(1)代数法：直线方程与圆的方程联立，化简得一元二次方程，令其判别式为∆，则0∆<⇔相离； 0∆=⇔相切； 0∆>⇔相交；(2)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系：d r <⇔相交； d r =⇔相切； d r >⇔相离．6．圆与圆的位置关系的判定设⊙1C ：2221111()()(0)x a y b r r -+-=>， ⊙2C ：2222222()()(0)x a y b r r -+-=>，则有： 1212||C C r r >+⇔⊙1C 与⊙2C 相离；1212||=C C r r +⇔⊙1C 与⊙2C 外切；121212||||r r C C r r -<<+⇔⊙1C 与⊙2C 相交；121212||||()C C r r r r =-≠⇔⊙1C 与⊙2C 内切；1212||||C C r r <-⇔⊙1C 与⊙2C 内含；一条规律过圆外一点M 可作两条直线与圆相切，求切线方程时，可先设出方程，再用圆心到切线的距离等于半径列出方程求出切线的斜率．求直线被圆所截得弦长的两种常用方法(1)几何方法圆心到弦所在直线的距离、半弦长、半径构成直角三角形，用勾股定理．(2)代数方法运用根与系数关系及弦长公式 222||1||1()4A B A B A B AB k x x k x x x x =+-=++-说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法． CA B D7、切线方程，切点弦方程，相交弦方程（1）点00(,)P x y 在圆222()()(0)x a y b r r -+-=>上，则过P 的切线之方程为 200()()()()x a x a y b y b r --+--=（2）点00(,)P x y 在圆222()()(0)x a y b r r -+-=>外，则过P 可作两条切线，设切点为,A B ，则切点弦AB 所在直线的方程为 200()()()()x a x a y b y b r --+--=（3）如果圆22211:()()C x a y b r-+-=与22222:()()C x c y d r -+-=交于,A B 两点，则相交弦AB 所在直线的方程为 22222212()()[()()]x a y b x c y d r r -+---+-=-例1（1）若点(1,1)在圆22()()4x a y a -++=的内部，则实数a 的取值范围是( )．A ．11a -<<B ．01a <<C ．1a >或1a <-D ．1a =±（2）方程(1)(7)(2)(10)0x x y y --+--=表示什么曲线？【解】（1）因为点(1,1)在圆的内部，∴22(1)(1)4a a -++<∴11a -<< （2）(1)(7)(2)(10)0x x y y --+--=22812270x y x y ⇒+--+=22(4)(6)25x y ⇒-+-=故，原方程表示的曲线为以点(4,6)为圆心，5为半径的圆。
高二数学点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系知识精讲
高二数学点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系【本讲主要内容】点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系【知识掌握】 【知识点精析】1. 点与圆的位置关系设圆C ∶（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2，点M （x 0，y 0）到圆心的距离为d ，则有： （1）d ＞r 点M 在圆外； （2）d ＝r 点M 在圆上； （3）d ＜r 点M 在圆内。
2. 直线与圆的位置关系设圆C ∶（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2，直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，圆心（a ，b ）到直线l 的距离为d ，⎩⎨⎧=++=-+-0C By Ax r )b y ()a x (222消去y 得x 的一元二次方程判别式为△，则有： （1）d ＜r 直线与圆相交； （2）d ＝r 直线与圆相切； （3）d>r 直线与圆相离，即几何特征； 或（1）△＞0直线与圆相交； （2）△＝0直线与圆相切； （3）△＜0直线与圆相离，即代数特征。
3. 圆与圆的位置关系 设圆C 1：（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2和圆C 2：（x －m ）2＋（y －n ）2＝k 2（k≥r ），且设两圆圆心距为d ，则有： （1）d ＝k ＋r 两圆外切； （2）d ＝k －r 两圆内切； （3）d ＞k ＋r 两圆外离； （4）d ＜k －r 两圆内含； （5）k －r ＜d ＜k ＋r 两圆相交。
4. 其他（1）过圆上一点的切线方程：①圆x 2＋y 2＝r 2，圆上一点为（x 0，y 0），则此点的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2 ②圆（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2，圆上一点为（x 0，y 0），则过此点的切线方程为（x 0－a ）（x －a ）＋（y 0－b ）（y －b ）＝r 2（2）相交两圆的公共弦所在直线方程：设圆C 1∶x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0和圆C 2∶x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0，若两圆相交，则过两圆交点的直线方程为（D 1－D 2）x ＋（E 1－E 2）y ＋（F 1－F 2）＝0。
圆的方程、直线与圆的位置关系
例 4 . 已 知 圆 满 足 ① 截 y轴 所 得 弦 长 为 2 ； ② 被 x轴 分 成 两 段 圆
弧，其弧长的比为3：1；③圆心到直线 l : x-2y 0 的距离为 5
5 求该圆的方程为.
题型二：直线与圆的位置关系
考点1.直线与圆位置关系的判定
例 5 . 直 线 l : mx y 1 m 0 与 圆 C ： x2 ( y 1)2 5
例13.若直线 y x b与曲线 x 1 y2 恰有一个公共点，求 b
的取值范围？
题型二：确定参数的值或取值范围
例13.若直线 y x b与曲线 x 1 y2 恰有一个公共点，求 b
的取值范围？
定义 平面内到定点 的距离等于定长 的点的轨迹叫做圆.
标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
方程
圆心：(_a_，__b_)_ 半径：r
一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
圆心：－D2 ，－E2
方程 (D2＋E2－4F＞0)
半径：r＝ D2＋E2－4F 2
注：确定圆心位置的方法： • ①圆心在过切点且与切线垂
是（ ）. A.相交
B.相切
C.相离
的位置关系 D.不确定
例 5 . 直 线 l : mx y 1 m 0 与 圆 C ： x2 ( y 1)2 5 的 位 置 关 系
是（ ）. A.相交
B.相切
C.相离
D.不确定
例8.从直线 l : x y 1 上一点 P 向圆 C : x2 y2 4x 4y 7 0
【解析】 方法一：设所求圆的标准方程为 (x a)2 ( y b)2 r 2 ，
由题意得
直线与圆、圆与圆位置关系2018版高中数学重要知识点总结
2018版高中数学重要知识点总结直线与圆、圆与圆位置关系1、直线与圆的位置关系及其判定方法1.1、利用圆心0),(=++C By Ax b a O 到直线的距离22B A CBb Aa d +++=与半径r 的大小来判定。
（1）⇔<r d 直线与圆相交（2）⇔=r d 直线与圆相切（3）⇔>r d 直线与圆相离1.2、联立直线与圆的方程组成方程组，消去其中一个未知量，得到关于另外一个未知量的一元二次方程，通过解的个数来判定。
（1）有两个公共解（交点），即⇔>∆0直线与圆相交（2）有且仅有一个解（交点），也称之为有两个相同实根，即0=∆⇔直线与圆相切（3）无解（交点），即⇔<∆0直线与圆相离1.3、等价关系相交0>∆⇔<⇔r d相切0=∆⇔=⇔r d相离0<∆⇔>⇔r d2、 计算直线被圆所截得的弦长的方法2.1、 几何法：运用弦心距、半径、半弦长构成的∆Rt 计算，即222d r AB -=2.2、代数法：运用根与系数关系（韦达定理），即[]B A B A B A x x x x k x x k AB 4)()1(1222-++=-+=（注：①当直线AB 斜率不存在时，请自行探索与总结； ②弦中点坐标为）（2,2B A B A y y x x ++，求解弦中点轨迹方程。
） 3、 已知切点，求切线方程 3.1、经过圆222r y x =+上一点）（00,y x P 的切线方程为200r y y x x =+3.2、经过圆222)()(r b y a x =-+-上一点）（00,y x P 的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--3.3、经过圆022=++++F Ey Dx y x 上一点),(00y x P 的切线方程为0220000=++++++F y y E x x Dy y x x4、 切点未知，过圆外一点，求切线方程4.1、 k 不存在，验证是否成立；4.2、k 存在，设点斜式，用圆到直线的距离r d =，即)(00x x k y y -=-1)(200+---=k x a k y b r5、切线长（记不住可以不记，考试时推导）若圆222)()(:r b y a x C =-+-，则过圆外一点),(00y x P 的切线长22020)()(r b y a x d --+-=6、圆与圆的位置关系设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)，圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0).7、圆与圆的常用结论(1)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．(2)当两圆相交时，两圆方程(x 2，y 2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程．。
圆的方程以及直线与圆的位置关系
圆的方程以及直线与圆的位置关系一、圆的定义二、圆的方程⎪⎩⎪⎨⎧标准和一般的互化一般方程标准方程三、二元二次方程表示圆的充要条件四、点与圆的位置关系五、直线与圆的位置关系六、圆与圆的位置关系七、圆的切线八、直线被圆截得的弦长例1、一个圆与y 轴相切，圆心在直线x-3y=0上，且在直线y=x 上截得的弦长为72，求此圆的方程。
变式、若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是_________________________。
例2、从原点O 向圆C ：0427622=+-+x y x 作两条切线，切点分别为P,Q ，则圆C 上两切点P,Q 之间的劣弧长为_____________。
变式、过圆x 2+y 2=8内的点P(-1,2)作直线l 交圆于A,B 两点，若直线l 的倾斜角为π43，则弦AB 的长为________。
例3、（07全国II 21）在直角坐标系xoy 中，以O 为圆心的圆与直线43=-y x 相切。
（1）求圆O 的方程；（2）圆O 与x 轴相交于A,B 两点，圆内的动点P 使|PA|,|PO|,|PB|成等比数列，求PB PA ∙的取值范围。
变式、已知圆C 的方程为x 2+y 2=4.（1）直线l 过点P （1,2），且与圆C 交于A,B 两点，若|AB|=32，求直线l 的方程；（2）过圆C 上的动点M 作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量ON OM OQ +=,求动点Q 的轨迹方程。
变式、在平面直角坐标系xoy 中，设二次函数)(2)(2R x b x x x f ∈++=的图象与两个坐标轴有三个交点，经过这三点的圆记为C 。
（1）求实数b 的取值范围；（2）求圆方程；（3）问圆C 是否经过定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论。
练习1、直线03=+-m y x 与圆x 2+y 2-2x-2=0相切，则实数m 的值为333.3-3.或或-B A 3333.333.或或--D C1、圆O 1:x 2+y 2-2x=0和圆O 2：x 2+y 2-4y=0的位置关系为_____________。
高中数学复习：直线与圆、圆与圆的位置关系
0≤d<|r1-r2| (r1≠r2)
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代数法:联立两圆方程 组成方程组的解的情况 ⑩ 无解
一组实数解 两组不同的实数解
一组实数解
无解
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知识拓展 1.两相交圆的公共弦所在直线的方程 设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0①,圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0②,若两圆相交, 则有一条公共弦,由①-②,得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0③. 方程③表示圆C1与C2的公共弦所在直线的方程. 说明 当两圆相交时,两圆方程相减,所得的方程即两圆公共弦所在的 直线方程.这一结论的前提是两圆相交,如果不确定两圆是否相交,那么 两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在直线的方程.
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(4)过圆O:x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程是x0x+y0y=r2. ( √ ) (5)过圆O:x2+y2=r2外一点P(x0,y0)作圆的两条切线,切点分别是A、B, 则O、P、A、B四点共圆且直线AB的方程是x0x+y0y=r2. ( √ ) (6)若直线与圆组成的方程组有解,则直线与圆相交或相切. ( √ )
解法二:因为圆心(0,1)到直线l的距离d=
|m|
m2 1 <1<
5 ,故直线l与圆相交,
选A.
解法三:直线l:mx-y+1-m=0过定点(1,1),因为点(1,1)在圆C:x2+(y-1)2=5的
答案 (1) × (2)× (3)× (4)√ (5)√ (6)√
圆的方程、直线与圆的位置关系
地址：凤凰路中段468号鑫苑小区2栋2单元2号（柏杨小学旁）圆的方程、直线与圆的位置关系一、内容提示：1. 圆的方程：圆的标准方程：222()()x a y b r -+-= （圆心(,)a b ，半径为r ）圆的一般方程：220x y Dx Ey F ++++=（其中2240D E F +->）， 圆心为点)2,2(E D --，半径2422F E D r -+= （Ⅰ）当2240D E F +-=时，方程表示一个点，这个点的坐标为(,)22D E -- （Ⅱ）当2240D E F +-<时，方程不表示任何图形。
2. 直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种 （Ⅰ）若22B A CBb Aa d +++=，d r >⇔相离，即直线与圆没有公共点；（Ⅱ）d r =⇔相切，即直线与圆只有一个公共点；（Ⅲ）d r <⇔相交，即直线与圆有两个公共点。
3. 两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为12,O O ，半径分别为12,r r ，d O O =21。
12d r r >+⇔外离；12d r r =+⇔外切；1212r r d r r -<<+⇔相交；12d r r =-⇔内切；120d r r <<-⇔内含。
二、例题分析：地址：凤凰路中段468号鑫苑小区2栋2单元2号（柏杨小学旁）【例1】求经过原点，且过圆0216822=+-++y x y x 和直线50x y -+=的两个交点的圆的方程。
【例2】已知直线l :052=+-y x 与圆C :36)1()7(22=-+-y x .（1）判断直线l 圆的位置关系;（2）求直线l 被圆C 所截得的弦长.三、典题精练：1. 圆22(2)5x y ++=关于原点(0,0)P 对称的圆的方程为( )A. 22(2)5x y -+=B. 22(2)5x y +-=C. 22(2)(2)5x y +++=D. 22(2)5x y ++=2. 若)1,2(-P 为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是( )A. 03=--y xB. 032=-+y xC. 01=-+y xD. 052=--y x3. 圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是( )A. 2B. 12+C. 221+ D. 221+ 4. 圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为( ) A. 023=-+y x B. 043=-+y x C. 043=+-y x D. 023=+-y x5. 圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B --,则圆C 的方程 为____________.6. 从点4,5P （）向圆（x －2）2＋y 2＝4引切线，求切线方程。
圆的方程-直线与圆的位置关系--知识点
圆的方程，直线、圆的位置关系 一·圆的方程1. 圆的标准方程：求标准方程的方法——关键是求出圆心(),a b 和半径r ①待定系数：往往已知圆上三点坐标，例如教材119P 例2 ②利用平面几何性质往往涉及到直线与圆的位置关系，特别是：相切和相交 相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理2.圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x2240D E F +->表示圆，圆心C （,22D E -- 2240D E F +-=表示点（,22D E --） 2240D E F +-<不表示任何图形二·直线、圆的位置关系1. 点与圆的位置关系：点00(,)M x y 与圆的关系的判断方法：（1）圆方程为标准式222()()x a y b r -+-= 222()()x a y b r -+->⇔点在圆外222()()x a y b r -+-=⇔点在圆上222()()x a y b r -+-<⇔点在圆内（2）圆方程为一般式022=++++F Ey Dx y x 220x y Dx Ey F ++++>⇔点在圆外022=++++F Ey Dx y x ⇔点在圆上220x y Dx Ey F ++++<⇔点在圆内2. 直线与圆的位置关系：直线l ：0Ax By C ++=与圆C 的位置关系判断方法（1）求出圆的半径r ，圆心C 到直线l 的距离为dr d >⇔直线l 与圆C 相离⇔直线l 与圆C 无交点 r d =⇔直线l 与圆C 相切⇔直线l 与圆C 有一交点r d <⇔直线l 与圆C 相交⇔直线l 与圆C 有两交点（2）将直线方程代入圆的方程消元变成一元二次方程，求出判别式24b ac =-0<⇔直线l 与圆C 相离⇔直线l 与圆C 无交点0=⇔直线l 与圆C 相切⇔直线l 与圆C 有一交点0>⇔直线l 与圆C 相交⇔直线l 与圆C 有两交点3. 4. 圆与圆的位置关系：圆与圆的位置关系判断方法求出圆心距12C C ，两圆的半径12,r r1212C C r r >+⇔圆1C 与圆2C 相离⇔有4条公切线 1212C C r r =+⇔圆1C 与圆2C 外切⇔有3条公切线 121212||r r C C r r -<<+⇔圆1C 与圆2C 相交⇔有2条公切线1212||C C r r =-⇔圆1C 与圆2C 内切⇔有1条公切线 1212||C C r r <-⇔圆1C 与圆2C 内含⇔有0条公切线 补充：直径圆方程： (x-x 1)(x -x 2)-(y -y 1)(y -y 2)=0圆系方程： 设圆C 1 : x 2+y 2+D 1x+E 1 y+F 1=0, C 2 : x 2+y 2+D 2x+E 2 y+F 2=0,则方程C : x 2+y 2+D 1x+E 1 y+F 1 + m(x 2+y 2+D 2x+E 2 y+F 2)=0表示过两圆C 1、C 2的交点的圆系方程(m 不为-1，且不含圆C 2). 其中一圆可以退化成直线。
高考数学考点38 圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系
温馨提示：考点38 圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题1、（2014·安徽高考文科·Ｔ6）过点P ）（1,3--的直线l 与圆122=+y x 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）A.]60π，（B.]30π，（C.]60[π，D.]30[π，【解题提示】求出直线与圆相切时的直线的斜率，数形结合即可得到直线l 的倾斜角的取值范围。
【解析】选D 。
设直线l 与圆的切线方程为1(y k x +=，则圆心到直线l 的距离1d =，解得120,k k =，画出图形可得直线l 的倾斜角的取值范围是]30[π，.2. (2014·新课标全国卷Ⅱ高考文科数学·T12)设点M(x 0,1),若在圆O:x 2+y 2=1上存在点N,使得∠OMN= 45°,则x 0的取值范围是( )A.[－1，1]B. 11[,]22- C. [ D. 22⎡-⎢⎣⎦【解题提示】画出图形,利用圆的性质,求得x 0的取值范围. 【解析】在坐标系中画出圆O 和直线y=1,其中M(x 0,1)在直线上. 由圆的切线相等及三角形外角知识,可得x 0∈[-1,1].故选A3.（2014·福建高考文科·Ｔ6）．已知直线l 过圆()2234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是 （ ）.20.20.30.30A x y B x y C x y D x y +-=-+=+-=-+=【解题指南】圆心为()0,3，垂直两直线的斜率积为-1，利用这两信息解题即可．【解析】D ．圆()22+34x y -=的圆心为()0,3．直线10x y ++=的斜率为-1，且直线l 与该直线垂直，故直线l 的斜率为1.即直线l 是过点()0,3，斜率为1的直线，用点斜式表示为3y x -=，即30x y -+=．4. （2014·浙江高考文科·Ｔ5）已知圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦的长度为4，则实数a的值是（）A．－2 B．－4 C．－6 D．－8【解题提示】将圆的方程化为标准方程，计算圆心到直线的距离，利用勾股定理求解.【解析】选B.由22220x y x y a++-+=配方得22(1)(1)2x y a++-=-，所以圆心坐标为(1,1)-，半径r=20x y++==，所以2222a+=-，解得4a=-.5.（2014·湖南高考文科·Ｔ6）若圆221:1C x y+=与圆222:680C x y x y m+--+=外切，则m=（）.21A.19B.9C.11D-【解题提示】根据两个圆的位置关系：两圆外切的充要条件是它们的圆心距等于半径和。
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考点38 圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题1、（2014·安徽高考文科·Ｔ6）过点P ）（1,3--的直线l 与圆122=+y x 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）A.]60π，（ B.]30π，（ C.]60[π， D.]30[π， 【解题提示】求出直线与圆相切时的直线的斜率，数形结合即可得到直线l 的倾斜角的取值范围。
【解析】选D 。
设直线l 与圆的切线方程为1(y k x +=，则圆心到直线l 的距离1d =，解得120,k k =，画出图形可得直线l 的倾斜角的取值范围是]30[π，.2. (2014·新课标全国卷Ⅱ高考文科数学·T12)设点M(x 0,1),若在圆O:x 2+y 2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x 0的取值范围是( )A.[－1，1]B. 11[,]22-C. [D. ⎡⎢⎣⎦【解题提示】画出图形,利用圆的性质,求得x 0的取值范围. 【解析】在坐标系中画出圆O 和直线y=1,其中M(x 0,1)在直线上. 由圆的切线相等及三角形外角知识,可得x 0∈[-1,1].故选A3.（2014·福建高考文科·Ｔ6）．已知直线l 过圆()2234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是 （ ）.20.20.30.30A x y B x y C x y D x y +-=-+=+-=-+=【解题指南】圆心为()0,3，垂直两直线的斜率积为-1，利用这两信息解题即可．【解析】D ．圆()22+34x y -=的圆心为()0,3．直线10x y ++=的斜率为-1，且直线l 与该直线垂直，故直线l 的斜率为1.即直线l 是过点()0,3，斜率为1的直线，用点斜式表示为3y x -=，即30x y -+=．4. （2014·浙江高考文科·Ｔ5）已知圆22220x y x y a++-+=截直线20x y++=所得弦的长度为4，则实数a的值是（）A．－2 B．－4 C．－6 D．－8【解题提示】将圆的方程化为标准方程，计算圆心到直线的距离，利用勾股定理求解.【解析】选B.由22220x y x y a++-+=配方得22(1)(1)2x y a++-=-，所以圆心坐标为(1,1) -，半径r=20x y++==，所以2222a+=-，解得4a=-.5.（2014·湖南高考文科·Ｔ6）若圆221:1C x y+=与圆222:680C x y x y m+--+=外切，则m=（）.21A.19B.9C.11D-【解题提示】根据两个圆的位置关系：两圆外切的充要条件是它们的圆心距等于半径和。
【解析】选C. 圆221:1C x y+=的圆心为()0,01C,半径为11=r，圆222:680C x y x y m+--+=的圆心为()4,32C，半径为mr-=252，所以mrrCC-+=+=251,52121，因为圆221:1C x y+=与圆222:680C x y x y m+--+=外切，所以9,2515=-+=mm二、填空题6. (2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学·T16)设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是.【解题提示】画出图形,利用圆的性质,求得x0的取值范围.【解析】在坐标系中画出圆O和直线y=1,其中M(x0,1)在直线上.由圆的切线相等及三角形外角知识,可得x0∈[-1,1].故x0∈[-1,1].答案:[-1,1]7.（2014·重庆高考文科·Ｔ14）已知直线0x y a-+=与圆心为C的圆222440x y x y ++--=相交于,A B 两点，且,AC BC ⊥ 则实数a 的值为 .【解题提示】可根据条件求出圆心到直线的距离，然后求出实数a 的值.【解析】圆C 的标准方程为22(1)(2)9x y ++-= ，圆心为(1,2)C - ，半径为3.因为,AC BC ⊥易知圆心到直线的距离为2 =， 解得0,a = 或 6.a = 答案：0或68. （2014·湖北高考理科·Ｔ12）直线1:l y x a =+和2:l y x b =+将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b +=________.【解析】依题意，圆心)0,0(到两条直线的距离相等，且每段弧的长度都是圆周的41，圆心到1:l y x a =+的距离为（-1）+，圆心到2:l y x b =+的距离为（-1）+，即2||2||b a =，2245cos 2||== a ，所以122==b a ，故222=+b a .答案：2【误区警示】 解答本题时容易出现的问题是不能把“将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧” 用数学语言表示出来。
9. (2014·湖北高考文科·T13)已知圆O:x 2+y 2=1和点A(-2,0),若定点B(b,0)(b ≠-2)和常数λ满足:对圆O 上任意一点M,都有|MB|=λ|MA|,则 (1)b= . (2)λ= .【解析】设M(x,y),因为MB =MA λ, 所以(x-b)2+y 2=λ2[(x+2)2+y 2],整理得(λ2-1)x 2+(λ2-1)y 2+(4λ2+2b)x-b 2+4λ2=0,因为圆O 上的点M 都有MB =MA λ成立,所以由222420411b b λλλ⎧+=⎪⎨-=⎪-⎩可求得1212b λ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 答案:(1) 12- (2)12【误区警示】将满足条件M(x,y)的几何形式MB =MA λ转化为代数形式,(λ2-1)x 2+(λ2-1)y 2+(4λ2+2b)x-b 2+4λ2=0,点M(x,y)在圆O:x 2+y 2=1上,故此方程就是圆O:x 2+y 2=1的方程.这是本题的易错点.10. （2014·上海高考理科·Ｔ14）:6,(,0),0________.C x l x A m C P l Q AP AQ m ==+=已知曲线：直线若对于点存在上的的点和上的使得，则的取值范围为【解题提示】曲线C 的方程表示y 轴左侧的半个圆，根据条件知P,Q 两点关于A 对称，易得坐标关系式，设出点Q 的坐标,表示出点P 的坐标，根据图像特点即得. 【解析】224(0),6),26,),-20,-2602 3.C x y x Q a P m a x m m +=≤--≤≤≤-≤≤≤曲线可化为：设点的坐标为（，则的坐标为（因为所以2，解得答案：[]2,311. （2014·上海高考文科·Ｔ14）:6,(,0),0________.C x l x A m C P l Q AP AQ m ==+=已知曲线：直线若对于点存在上的的点和上的使得，则的取值范围为【解题提示】曲线C 的方程表示y 轴左侧的半个圆，根据条件知P,Q 两点关于A 对称，易得坐标关系式，设出点Q 的坐标,表示出点P 的坐标，根据图像特点即得. 【解析】224(0),6),26,),-20,-2602 3.C x y x Q a P m a x m m +=≤--≤≤≤-≤≤≤曲线可化为：设点的坐标为（，则的坐标为（因为所以2，解得答案：[]2,312. （2014·山东高考文科·Ｔ14）圆心在直线20x y -=上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得的弦的长圆C 的标准方程为 .【解题指南】本题考查了直线与圆的位置关系，可利用圆心到直线的距离，弦长一半，半径，构成直角三角形求解.【解析】 设圆心(),02a a a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，半径为a . 由勾股定理2222a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得：2a =∴圆心为()2,1，半径为2， ∴圆C 的标准方程为()()22214x y -+-= 答案：()()22214x y -+-=.13.(2014·陕西高考理科·T12)若圆C 的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x 对称,则圆C 的标准方程为 .【解题指南】根据圆心与点(1,0)关于直线y=x 对称点,求出圆心坐标,再由圆的半径,即可求出圆C 的标准方程.【解析】因为圆C 的圆心与点P(1,0)关于直线y=x 对称,所以圆C 的圆心坐标为(0,1),且圆C 的半径为1,所以所求圆的标准方程为x 2+(y-1)2=1. 答案:x 2+(y-1)2=1。