符号函数在几何画板中的应用

符号函数（一般用sgn(x)表示）是很有用的一类函数，能够帮助我们在几何画板中实现一些直接实现有困难的构造。

符号函数的定义如下：
⎪⎩⎪
⎨⎧<-=>=0,10
,00,1)sgn(x x x x
能够把函数的符号析离出来，应用他来定义我们熟悉的绝对值函数就可以改写成
x x x ∙=)sgn(||
在几何画板中(或者一般的程序设计软件中)有绝对值的运算，所以不必如此，但是，比较大小在几何画板中没有，在一般的程序中都可以很轻松的处理，这里恐怕就得借助于符号函数了。

给定两个数值A 和B,sgn(A-B)就代表了两者的大小。

但是我们需要的是返回一个那个大（或小）的值,就得费些周折了。

先给出另一个函数h(x)=sgn(1+sgn(x))，不难看出如下结论：
⎩⎨
⎧≥<=0,10
,0)(x x x h
B A B h A A B h ∙--+∙-))(1()(就可以表示两者之间的较小的。

B B A h A B A h ∙--+∙-))(1()(就可以表示两者之间的较大的。

这个符号函数的应用是很巧妙的，还有更巧之处，若把A,B 看成是两个变量，那么我们用符号函
数表出了},max{
y x ，},min{y x ，这是一个二元函数，在中学的范围内没有太多的研究的必要，但若把x,y 分别看成一个关于第三个变量的函数，就是x(t)以及y(t),问题就会转化回来，就变成了函数
{})(),(max t y t x ,这个函数还是比较让我们感兴趣的，就是函数:
⎩⎨
⎧≤>=)()(),()
()(),()max(t y t x t y t y t x t x t
=)()))()((1()())()((t y t y t x h t x t y t x h ∙--+∙-
于是，按照几何画板中的方式进行定义函数，并且画出函数图象。

下图以sinx 和cosx 为例画出了图象。

这里符号函数的应用显得很恰当，让我们再回顾一下，先是把sgn(x)加工成h(x),h(x)起到的作用是平衡两者之间那一个为0的，那么我们不妨尝试一下用另一种方法来定义h(x)。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<=>=+=0,00
,2
10
,121)sgn()(x x x x x h
几乎就可以象前面一样应用了，但是存在一个x=0的问题，可以把x=0点带入。

B A B A B h A h B A B h A A B h ==∙-+∙=
∙-+∙=∙--+∙-)21
1(21))0(1()0())(1()(
对于A=B 这个数值就象是加权平均一样，只要是10≤≤α，那么B A B A ==-+)1(αα。

于是，我们得到了新的形式的max{x(t),y(t)}
max{x(t),y(t)}=)()))()((1()())()((t y t y t x h t x t y t x h ∙--+∙-
从表面上没有差别，但“内核”的构造已经有了变化。

更有趣的是，如果你把这个新的式子还原成sgn(x)表述，那么，认识就会更深入一步。

[])]()([21
|)()(|21)()())()())(()(sgn(21
)
()2
1))()(sgn(1()(21))()(sgn()()))()((1()())()((t y t x t y t x t y t x t y t x t y t x t y t y t x t x t y t x t y t y t x h t x t y t x h ++-=++--=∙+--+∙+-=∙--+∙-
这个公式的可接受程度比前两者都好，应该很熟悉，无论怎么讲，比较两个量的大小已经很丰富了。

我们还可以就势讨论下去，一方面，可以把问题的从两个量到多个量，另一方面，可以考虑这个符号函数在指导其他函数的性质上的应用。

如何实现从两个量到多个量的拓展呢？当然可以使用复合。

用h(x)进行复合，在数学式子上太麻烦，但我们可以使用几何画板4中的定制工具，一旦以两个函数为基础定制了工具max{x(t),y(t)},就可以再次的使用进行定义，得到三个，四个以致多个的函数最值工具。

面产生的r(x),画出图象，之后就可以在这个基础上创建max{f(x),g(x),h(x)}工具。

我们再谈论一下其他方面的拓展，其实，我们可以看得出，在整个的图象的绘制中，f(x)-g(x)的作用，他是描述出了定义域的类别，在不同的定义域上，我们选择不同的解析式来作图，而使其他
的解析式无效，这种方式很容易让人联想到分段函数，不过分段函数的定义域的决定是取决于一个外部的因素，是人为的划分的区域，那么，我们就可以引如一个外部的量（比如x 轴上的一个点来划分）来划分定义域，在划分好的区域上面选择解析式作图。

比如，以平面上的任意一点D 的横坐标划分两个区域，在其左面画出y=sinx,右面画出y=x,并且定制了工具，如下图：
译者注：在作图的过程中，最好在preferrence中调整角度的弧度制。

用符号函数来写分段函数
h x () = g x ()⋅q x ()+f x ()⋅1-q x ()()
x ≥x D ,q(x)=1,x<0,q(x)=0q x () = sgn 1+sgn x-x D ()()x D = 2.28
g x () = x
f x () = sin x ()分段函数
这个工具可以在当前的坐标系统下，给定两个函数f和g以及一个分点"D"在平面上，画出分段函数 h(x)=f(x)(在D点的左边) =g(x)(在D点的右边)的图象。

这里是工作原理
这是我们分点
D
三个函数的复合，如同前面，这里不再赘述。

符号函数从本身的分段特性出发，很好处理了函数的区域的划分，解决了函数的特殊复合，更多的应用还要逐渐实践中发现。