考点规范练4函数及其表示
函数及其表示练习
2. x x 0; x x, x x ,且
2
x 0, x 1
所以函数的定义域是 ｛x| x 0, 且 x 1｝
3、分段函数的 定义域就是函数 所包含的所有的定 义域，即分段函数 每一段函数定义域 的并集。 所以函数的定义域是 ｛x| x 2 ｝
2.求下列函数的解析式
x 1 x 2 x ,求f(x)的
解析： t x 1, t 1,
x t 1, x t 1 t 1
2 2 2
f (t ) t 1 2(t 1)
所以 f ( x) x 1( x 1)
2
1 （3）已知函数f(x)满足 f x 2 f x x
2 x f ( x) 3x 3
函数解析式的求法： 待定系数法， 换元法， 解方程组求法。
知识变迁： 完成了这么多的习题巩固，同学们 能否根据相应的知识出题目给我们 的同学或者老师呢？
课堂小结： 这堂课我们练习了函数的概念 及其表示相关习题，那么你们 收获了多少？
3.给定映射f：（x，y）→（ x ，x＋y）， 在映射f下象（2，3）的原象是（a，b）， 则函数f（x）＝ax2＋bx的顶点坐标是________． 解析：
a 2, a b 3. a 4, b 1
x
f x 4x x
2
二、填空题
2 f x x x 1, f 1.已知
,
（x
0）求函数的解析式
。
2 （3）-(1)得 3 f x x x,
2 1 (2）式乘以2得， 2 f 4 f x ......(3) x x
函数及其表示知识点+练习题+答案
函数及其表示考纲知识梳理一、函数与映射的概念集合，可以不是数集，而函数中的两个集合必须是非空数集。
二、函数的其他有关概念〔1〕函数的定义域、值域在函数()y f x =，x A ∈中，x 叫做自变量，x 的取值围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值{()|}f x x A ∈的集合叫做函数的值域〔2〕一个函数的构成要素 定义域、值域和对应法则 〔3〕相等函数如果两个函数的定义域一样，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数。
注：假设两个函数的定义域与值域一样，是否为相等函数.〔不一定。
如果函数y=*和y=*+1,其定义域与值域完全一样，但不是相等函数；再如y=sin*与y=cos*，其定义域为R ，值域都为[-1，1]，显然不是相等函数。
因此凑数两个函数是否相等，关键是看定义域和对应关系〕〔4〕函数的表示方法表示函数的常用方法有：解析法、图象法和列表法。
〔5〕分段函数假设函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数。
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个局部组成，但它表示的是个函数。
函数及其表示测试题1、设函数⎩⎨⎧<+≥+-=0,60,64)(2x x x x x x f 则不等式)1()(f x f >的解集是〔 A 〕A.),3()1,3(+∞⋃-B.),2()1,3(+∞⋃-C.),3()1,1(+∞⋃-D.)3,1()3,(⋃--∞解析由，函数先增后减再增当0≥x ，2)(≥x f 3)1(=f 令,3)(=x f 解得3,1==x x 。
当0<x ，3,36-==+x x故3)1()(=>f x f ，解得313><<-x x 或 2、试判断以下各组函数是否表示同一函数.〔1〕f 〔*〕=2x ，g 〔*〕=33x ；〔2〕f 〔*〕=x x ||，g 〔*〕=⎩⎨⎧<-≥;01,01x x〔3〕f 〔*〕=1212++n n x ，g 〔*〕=〔12-n x 〕2n －1〔n ∈N *〕；〔4〕f 〔*〕=x 1+x ，g 〔*〕=x x +2； 〔5〕f 〔*〕=*2－2*－1，g 〔t 〕=t 2－2t －1。
考点04 高中数学-函数及其表示-考点总结及习题
考点04函数及其表示【命题趋势】对于此知识点，高考中主要掌握以下几点：（1）了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数.（3）了解简单的分段函数，并能简单应用.【重要考向】一、求函数的定义域二、求函数的值域三、求函数的解析式四、分段函数函数的概念(1)函数与映射的概念函数映射两个集合A 、B设A 、B 是两个非空数集设A 、B 是两个非空集合对应关系按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应名称称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射记法y ＝f (x )，x ∈Af ：A →B注意：判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点．(2)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．(3)构成函数的三要素函数的三要素为定义域、值域、对应关系.(4)函数的表示方法函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法.解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；图象法：注意定义域对图象的影响.函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为：(1)分式函数中分母不等于零.(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}.(5)y＝a x(a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R.(6)y＝log a x(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞).(7)y＝tan x的定义域为π{|π,}2x x k k≠+∈Z.【巧学妙记】1．（2021·全国高一课时练习）有对应法则f ：（1）A ＝{0，2}，B ＝{0，1}，x →2x；（2）A ＝{－2，0，2}，B ＝{4}，x →x 2；（3）A ＝R ，B ＝{y |y ＞0}，x →21x ；（4）A ＝R ，B ＝R ，x →2x ＋1；（5）A ＝{(x ，y )|x ，y ∈R}，B ＝R ，(x ，y )→x ＋y .其中能构成从集合A 到集合B 的函数的有________(填序号)．【答案】（1）(4)【分析】利用函数的定义判断.【详解】（1）由函数的定义知，正确；（2）当x ＝0时，B 中不存在数值与之对应，故错误；（3）当x ＝0时，B 中不存在数值与之对应，故错误；（4）由函数的定义知，正确；（5）因为集合A 不是数集，故错误；故答案为：（1）(4)2．（2021·北京清华附中高三其他模拟）函数()()lg 4f x x =+-的定义域是(1)相等函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等．①两个函数是否是相等函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示相等函数．②函数的自变量习惯上用x 表示，但也可用其他字母表示，如：f (x )＝2x −1，g (t )＝2t −1，h (m )＝2m −1均表示相等函数.(2)映射的个数若集合A 中有m 个元素，集合B 中有n 个元素，则从集合A 到集合B 的映射共有mn 个．_____________．【答案】[)1,4-【分析】根据函数解析式直接列出式子即可求解.【详解】()()lg 4f x x =+-，1040x x +≥⎧∴⎨->⎩，解得14x -≤<，故函数的定义域为[)1,4-.故答案为：[)1,4-.3．若函数()1f x +的定义域是[]1,1-________．【答案】1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】()1f x + 的定义域是[]1,1-，()f x ∴的定义域是[]02，，则12log f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的定义域为满足不等式120log 2x ≤≤的x 的取值范围，114x ∴≤≤，故答案为1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【名师点睛】根据“若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出．若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域”来解相应的不等式或不等式组即可顺利解决.求函数的值域通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域．一次函数的值域为R ；反比例函数的值域为{|0}y y ≠；指数函数的值域为(0,)+∞；对数函数的值域为R ；正、余弦函数的值域为[1,1]-；正切函数的值域为R .将形如cx dy ax b +=+(a ≠0)的函数分离常数，变形过程为：()c bc bc ax b d d cx d c a a a ax b ax b a ax b ++--+==++++，再结合x 的取值范围确定bc d a ax b-+的取值范围，从而确定函数的值域.对某些无理函数或其他函数，通过适当的换元，把它们化为我们熟悉的函数，再用有关方法求值域．如：函数()0)f x ax b ac =+≠，可以令0)t t =≥，得到2t dx c-=，函数()f x ax=0)b ac ++≠可以化为2()a t d y tb c-=++(t ≥0)，接下来求解关于t 的二次函数的值域问题，求解过程中要注意t的取值范围的限制．对二次函数型的解析式可以先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域的方法求函数的值域．作出函数图象，找出自变量对应的范围或分析条件的几何意义，在图上找出值域．函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其单调性，进而求函数的最值和值域．利用基本不等式a b +≥(a >0，b >0)求最值．若“和定”，则“积最大”，即已知a ＋b ＝s ，则ab ≤22()24a b s +=，ab 有最大值24s ，当a ＝b 时取等号；若“积定”，则“和最小”，即已知ab ＝t ，则a b +≥=，a ＋b有最小值，当a ＝b 时取等号．应用基本不等式的条件是“一正二定三相等”．将函数转化为二次方程：若函数y ＝f (x )可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程a (y )x 2＋b (y )x ＋c (y )＝0，则在a (y )≠0时，由于x ，y 为实数，故必须有Δ＝b 2(y )－4a (y )·c (y )≥0，由此确定函数的值域．利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数、“无理”函数等，使用此法要特别注意自变量的取值范围.充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域.利用导数求函数值域时，一种是利用导数判断函数单调性，进而根据单调性求值域；另一种是利用导数与极值、最值的关系求函数的值域.4．（2021·北京北大附中高三其他模拟）若函数()11x f x x -=+的定义域是[)0,+∞，则()f x 的值域是___________.【答案】[)1,1-【分析】先分离常数将函数解析式化为()211f x x =-+，结合x 的范围，先得出分母的范围，由反比例函数的性质和不等式的性质可得答案.【详解】由()11221111x x f x x x x -+-===-+++当0x ≥时，11x +≥，所以1011x <≤+，则2201x -≤-<+所以21111x -≤-<+，即()()101x f x x x -=≥+的值域为[)1,1-故答案为：[)1,1-5．（2021·浙江高一期末）函数y =的值域是_________．【答案】[0,)+∞．【分析】求出函数定义域，结合二次函数性质可得．【详解】2230x x --≥，解得1x ≤-或3x ≥，在此条件下，0y ≥．故答案为：[0,)+∞．6．（2021·浙江高一期末）函数21()2f x x x=-的值域为_________．【答案】(,-∞-∞ 1](0,+)【分析】利用换元法，令22t x x =-，则1()f t t=，根据二次函数性质得1t ≥-，然后再根据反比例函数的单调性判断值域.【详解】令22t x x =-，则1()f t t =，由二次函数的性质可得1t ≥-，因为函数1()f t t=在[1,0)-和(0,)+∞上单调递减，所以当[1,0)t ∈-时，()1f t ≤-；当(0,)t ∈+∞时，()0f t >，综上，函数21()2f x x x=-的值域为(,-∞-∞ 1](0,+).故答案为：(,-∞-∞ 1](0,+)7．（2021·全国高三专题练习）函数y =的值域是______．【答案】1,13⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【分析】1y ===-，然后可求出答案.【详解】由题知1y ===，0≥33+≥，所以103<≤，则403<≤因此11,13y ⎡⎫=--⎪⎢⎣⎭，故答案为:1,13⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.8．（2020·上海高一专题练习）已知22124x xx-+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，求函数22x x y -=-的值域【答案】2553,162⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】首先解指数不等式22124x x x-+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭得到41x -≤≤，再根据函数22x x y -=-的单调性求值域即可.【详解】222242122224414x xxxxx x x x x -++-+⎛⎫≤⇔≤⇔+≤-+⇔-≤≤ ⎪⎝⎭，而函数22x x y -=-在区间[]4,1-上是增函数，所以，函数22x x y -=-的值域为2553,162⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.求函数解析式1．换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；2．配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式；3．待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；4．方程组法：已知关于f (x )与1()f x或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f (x ).9．（2021·浙江高一期末）函数1)1f x -=+，则()f x =__________（注明定义域）【答案】222(1)x x x ++≥-【分析】利用换元法可得函数()f x 的解析式.【详解】1t -=，则2(1)x t =+，1t ≥-，所以22()(1)122f t t t t =++=++，1t ≥-，所以2()22(1)f x x x x =++≥-.故答案为：222(1)x x x ++≥-.【点睛】方法点睛：本题考查了利用换元法求函数()f x 的解析式，换元时要注意新元的取值范围.10．（2021·湖北高三其他模拟）（多选）已知奇函数()f x 与偶函数()g x 满足：()()x f x g x e +=(其中e 为自然对数的底数)，则下列结论中正确的是（）A ．()()221fx g x -=B ．()()()222g x f x g x =+C ．()()()22f x f x g x =D ．当0x <，12a ≤时，恒有()()21g x x f x ax +->+成立【答案】BCD 【分析】由()()xf xg x e +=得()()--+-=x f x g x e ，利用函数()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，求出()f x 和()g x ，经过验证可知A 不正确；B 、C 正确；当0x <，12a ≤时，将不等式()()21g x x f x ax +->+化为21x e ax x >++，(0x >)，构造函数2()12xx h x e x =---(0)x >，利用导数可证不等式21x e ax x >++，(0x >)恒成立..【详解】因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，因为()g x 为偶函数，所以()()g x g x -=，由()()xf xg x e +=得()()--+-=x f x g x e ，所以()()x f x g x e --+=，所以()e e 2x x f x --=，()2x xe e g x -+=，对于选项A ，[][]22()()()()()()f x g x f x g x f x g x -=-+2222x x x x x x x x e e e e e e e e ----⎛⎫⎛⎫-+-+=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1x x e e -=-⋅=-，故A 不正确；对于选项B ，2222()()22x x x x e e e e f x g x --⎛⎫⎛⎫-++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22(2)2x x e e g x -+==，故B 正确；对于选项C ，()222()()22222x x x x x xe e e e e ef xg x f x ----+-=⨯⨯==，故C 正确；对于选项D ：()()21g x x f x ax +->+等价于21x e ax x ->-+，(0x <)，等价于21x e ax x >++，(0x >)，又∵12a ≤，∴22112x ax x x ++++≤，∴只需要212xx e x >++，(0x >)即可，令2()12xx h x e x =---(0)x >，则()1x h x e x '=--，令()1x x e x ϕ=--(0)x >，则()1x x e ϕ'=-，因为0x >，所以()0x ϕ'>，所以()ϕx 在(0,)+∞上为增函数，所以0()(0)010x e ϕϕ>=--=，即()0h x '>，所以()h x 在(0,)+∞上为增函数，所以0()(0)0010h x h e >=---=，所以212xx e x >++，(0x >)，所以当0x <，12a ≤时，恒有()()21g x x f x ax +->+成立，故D 正确.故选：BCD 【点睛】关键点点睛：构造等式，利用函数的奇偶性求出()f x 和()g x 的解析式是解题关键.分段函数1．求函数值：弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算．2．求函数最值：分别求出每个区间上的最值，然后比较大小．3．求参数：“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程或不等式．4．解不等式：根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提．5．求奇偶性、周期性：利用奇函数(偶函数)的定义判断，而周期性则由周期性的定义求解.11．（2020·北京市十一学校高三月考）函数()2233,2()log 1,2x x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，若()3f a =，则a 的值是（）A ．3或B．C ．3或D ．以上都不对【答案】B 【分析】利用分段函数以及指对方程求解a 的值即可．【详解】函数()2233,2()log 1,2x x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，f （a ）＝3，当2a <时，23a -＝3，解得a ＝3，舍去当2a ≥时，()23log 1a -＝3，解得，a =±a =-舍掉，所以a =故选：B ．12．（2021·全国高三月考（理））已知函数()()()22log 1,23,2x x f x f x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，则()()4f f =（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A 【分析】由内向外，代入分段函数求值，先计算()4f ，再计算()()4f f .【详解】由题意，()224(1)log (11)1==+=f f ，所以()()224(1)log (11)1==+=ff f .故选：A.13．（2021·江西高三其他模拟（文））已知函数()222,0,2,0,x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-+<⎩则不等式()()324f x f x +<-的解集为（）A ．(),3-∞-B ．3,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．(),1-∞-D ．(),1-∞【答案】A 【分析】根据()f x 在R 上单调递增可求解.【详解】易得函数()f x 在R 上单调递增，则由()()324f x f x +<-可得324x x +<-，解得3x <-，故不等式的解集为(),3-∞-.故选：A ．14．（2021·浙江高一期末）已知函数()()()()()24312121xa x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨+-+>⎪⎩在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是_______．【答案】[)1,1-【分析】保证在每一段都是增函数，同时要注意上、下段间端点值之间的大小关系，由此列出不等式组，进而可解得结果.【详解】要使()f x 在R 上是增函数，则431114352a a a a ->⎧⎪-≤⎨⎪-≤-⎩，解得11a -≤<.故答案为：[)1,1-.【点睛】方法点睛：对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一是保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值之间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．一、单选题1．已知函数ln 01()2(1),1x x f x f x x <≤⎧=⎨->⎩，则72f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．16ln 2-B ．16ln 2C ．8ln 2-D ．32ln 2-2．已知函数21(0)()23(0)x x x f x x ⎧+≤=⎨+>⎩，若()5f a =，则a =（）A ．2-B ．2-或1C ．2或2-D ．2或2-或13．设函数()121,02,0x x f x x x ⎧⎛⎫≤⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎪>⎪⎩，若()02f x >，则0x 的取值范围是（）A ．()(),14,-∞-+∞B ．(),1-∞-C ．()4,+∞D ．()1,4-4．已知函数()f x 的定义域为R ，且()()2xf x f x xe-'+=，若()01f =，则函数()()f x f x '的取值范围为（）A ．[]2,0-B ．[]1,0-C ．[]0,1D ．[]0,25．已知定义在()0,∞+上的函数()f x 为减函数，对任意的()0,x ∈+∞，均有()()3124⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭f x f f x x ，则函数()()3g x f x x =+的最小值是（）A ．2B ．5C ．103D ．3二、填空题6．已知函数()3sin,06log ,0xx f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，则13f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______．7．已知函数22()2x xx a f x x x a⎧--≤=⎨-+>⎩，若存在实数0x ，使得对于任意的实数x 都有()0()f x f x ≤成立，则实数a 的取值范围是___________.8．已知函数()313f x x x =-的值域为22,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则()f x 的定义域可以是__________．(写出一个符合条件的即可)9．已知函数()()()()22220430x ka x f x x x a x ⎧+≥⎪=⎨-+-<⎪⎩其中a R ∈．若对任意的非零实数1x ，存在唯一的非零实数()212x x x ≠，使得()()12f x f x =成立，则实数k 的取值范围是______．10．已知函数22211x x y f x x ⎛⎫+-= ⎪+-⎝⎭的定义域是[)1,+∞，则函数()y f x =的定义域是_______．三、双空题11．已知11fx =+，则()f x =________，值域为_________．12．已知()24,1,log ,2,ax x f x x x +≤⎧=⎨≥⎩则()()0f f =______；若函数()f x 的值域为[)1,+∞，则a 的最小值为______．一、单选题1．（2019·上海高考真题）下列函数中，值域为[)0,+∞的是A ．2xy =B ．12y x =C ．tan y x=D ．cos y x=2．（2011·广东高考真题（文））函数f (x )＝11x-＋lg(1＋x )的定义域是（）A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1，1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)3．（2011·湖北高考真题（文））若定义在R 上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝e x ，则g(x)＝()A ．e x －e －x B．(e x ＋e －x )C．(e －x －e x )D．(e x －e －x )4．（2016·全国高考真题（文））下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y x5．（2008·江西高考真题（理））若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()()()F x f x f x =+的值域是A ．1[,3]2B ．10[2,3C ．510[,23D ．10[3,36．（2019·天津高考真题（文））已知函数201,()1,1.x x f x x x ⎧⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程1()()4f x x a a R =-+∈恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为A ．59,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．59,44⎛⎤⎥⎝⎦C ．59,{1}44⎛⎤⎥⎝⎦D ．59,{1}44⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．（2014·江西高考真题（文））已知函数f (x )＝2,02,0x xa x x -⎧⋅≥⎨<⎩(a ∈R)，若f [f (－1)]＝1，则a ＝()A ．14B ．12C ．1D ．28．（2018·全国高考真题（文））设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，9．（2017·山东高考真题（文））设()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．2B ．4C ．6D ．8二、填空题10．（2016·江苏高考真题）设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[1,1-）上，,10,(){2,01,5x a x f x x x +-≤<=-≤<其中.a R ∈若，则(5)f a 的值是.11．（2019·江苏高考真题）函数y =_____.12．（2018·江苏高考真题）函数()f x 满足(4)()()f x f x x R +=∈，且在区间(2,2]-上，cos ,02,2()1,20,2x x f x x x π⎧<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩则((15))f f 的值为____．一、单选题1．（2021·江西南昌市·高三三模（文））若函数()3log ,12,1x x x f x x ≥⎧=⎨<⎩．则()0f f ⎡⎤=⎣⎦（）A ．0B ．1C ．2D ．32．（2020·云南昆明市·昆明一中高三其他模拟（文））函数1ln ln y x x=+的值域为（）A ．(-∞，-2]B ．[2，+∞)C ．(-∞，-2] [2，+∞)D ．[-2，2]3．（2021·全国高三专题练习）下列函数中，是偶函数且值域为[0,)+∞的是（）A ．2()1f x x =-B ．12()f x x=C ．2()log f x x=D ．()||f x x =4．（2021·重庆八中高三其他模拟）已知集合{}24A x y x ==-，{}e x B y y ==，其中e 是自然对数的底数，则A B = （）A ．∅B ．(0,2]C ．[2,)+∞D ．[2,)-+∞5．（2021·福建厦门双十中学高三其他模拟）设集合2{|2},{|}M x y x x N x x a ==-=<，若M N ⊆，则实数a 的取值范围是（）A ．2a <B ．2a<C ．2a≤D ．2a ≤6．（2020·全国高三专题练习）函数()22368f x x x x =--+-的值域是()A ．35,5⎡⎤-⎣⎦B ．[]1,5C ．2,35⎡+⎣D ．35,35⎡⎤-+⎣⎦二、填空题7．（2020·山东高一期中）函数4()21f x x =+在[-4，-2]上的值域是________.8．（2021·千阳县中学高三其他模拟（文））已知函数()()()11330log 0x x f x x x +⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则不等式()1f x >的解集为___________.9．（2021·全国高三其他模拟（文））设函数()22,01,0x m x f x x x --<⎧=⎨-≥⎩，若()()28f f -=，则实数m =___________.10．（2021·江西上高二中高二月考（文））函数21,1()1,1x x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨>⎪⎩的值域为______．11．（2021·黑龙江齐齐哈尔市·高三二模（文））设()221x f x x =+，()sin 323x g x a a π=+-（0a >），若对于任意[]10,1x ∈，总存在030,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()01g x f x =成立，则a 的取值范围是______．12．（2021·山西阳泉市·高三三模（文））已知函数()()2211,21ln 1,2x x x f x x x +⎧<-⎪⎪=⎨⎪+≥-⎪⎩，()233g x x x =-+.设b 为实数，若存在实数a ，使得()()0f a g b +=，则b 的取值范围是___________.三、双空题13．（2021·浙江高三其他模拟）已知()24,1,log ,2,ax x f x x x +≤⎧=⎨≥⎩则()()0f f =______；若函数()f x 的值域为[)1,+∞，则a 的最小值为______．参考答案跟踪训练1．C 【分析】根据定义域的范围代入解析式求函数值可得答案.【详解】由题意可知，75312488ln 22222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：C ．2．B 【分析】分类讨论自变量的范围，然后带入对应分段函数的解析式，解方程即可.【详解】当0a ≤时，()215f a a =+=，∴2a =-；当0a >时，()235af a =+=，∴1a =.故选：B.3．A 【分析】分别在00x ≤和00x >的情况下，根据解析式构造不等式，解不等式求得结果.【详解】当00x ≤时，()0001222x x f x -⎛⎫==> ⎪⎝⎭，01x ∴->，解得：01x <-；当00x >时，()1202f x x ==>，解得：04x >；综上所述：0x 的取值范围为()(),14,-∞-+∞ .故选：A.4．A 【分析】将已知等式变为()2x e f x x '⎡⎤=⎣⎦，令()()xg x e f x =，根据()2g x x '=可知()()2xg x x C e f x =+=，由()01f =可确定()f x 解析式，并得到()f x '；根据()()f x f x '的表达式，在0x =和0x ≠两种情况下，结合对号函数的值域可确定最终结果.【详解】由()()2xf x f x xe-'+=得：()()2xxe f x e f x x '+=，即()2x e f x x '⎡⎤=⎣⎦，令()()xg x e f x =，则()2g x x '=，()2g x x C ∴=+（C 为常数），()2xx C e f x ∴+=，()2xx C f x e+∴=，又()01f =，1C ∴=，()21x x f x e +∴=，则()221xx x f x e --'=，()()222212111f x x x xf x x x '--∴==-++；当0x =时，()()1f x f x '=-；当0x ≠时，()()211f x f x x x'=-+，(][)1,22,x x+∈-∞-+∞ ，111,00,122x x ⎡⎫⎛⎤∴∈-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦+，则[)(]212,11,01x x -∈---+ ，即()()[)(]2,11,0f x f x '∈--- ；综上所述：()()[]2,0f x f x '∈-.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查导数在函数中的应用问题，解题关键是能够根据已知等式构造出函数()g x ，从而利用()2g x x '=构造出等量关系求得()f x 的解析式.5．D【分析】根据题意x 由3()2f x x +带入()()3124⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭f x f f x x ，可得：3331[()[()]32242[()]2f f x f f f x x x f x x ⎛⎫⎪+⋅++= ⎪ ⎪+⎝⎭整理化简可得228()2()30x f x xf x --=，解方程求得函数解析式，再结合基本不等式即可得解.【详解】由任意的()0,x ∈+∞，均有()()3124⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭f x f f x x ，x 由3()2f x x+带入可得：3331[()[()]32242[()]2f f x f f f x x x f x x ⎛⎫ ⎪+⋅++= ⎪ ⎪+⎝⎭，所以()()3333[()][()]32222[()]2f x f f x f f x f f f x x x x f x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⋅+=+⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪+⎝⎭所以()33[()]322[()]2f x f f f x x f x x ⎛⎫ ⎪=++ ⎪ ⎪+⎝⎭，由()f x 为减函数，所以33[()]322[()]2f f x xx f x x++=+所以333[()]2[()]32[()]222f f x f x x f x x x x+⋅++=+即3332()[()]+[()]32()322f x f f x f f x xf x x x x⋅+⋅++=+由()()3124⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭f x f f x x ，所以11342()2()xf x x f x +⋅=，化简整理可得228()2()30x f x xf x --=，所以3()4f x x =或3()2f x x=-，由()g x 为减函数所以3()4f x x=，故当0x >时，3()()3334g x f x x x x =+=+≥=，当且仅当12x =时，等号成立.故选：D.【点睛】本题考查了求函数解析式，考查了单调性求解过程中的应用，考查了较高的计算能力，属于较难题.本题的关键点有：（1）带入化简，把3()2f x x +带入()()3124⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭f x f f x x 在利用原式进行化简，是本题的关键；（2）掌握利用基本不等式求最值.6．12-【分析】利用分段函数直接进行求值即可．【详解】∵函数()3,06log ,0xsin x f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，∴311log 133f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭＝，∴611(1)sin 32f f f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：12-.7．1a ≥【分析】作出分段函数的图象，再结合图形就可以得到a 的取值范围.【详解】分别作出22y x x =--、2y x =-+的图象中下图所示，由图可以看出当1a ≥时，()f x 有确定的最大值()11f -=，所以这时存在0x ，使得对于任意x 都有0()()f x f x ≤.故答案为：1a ≥.8．[1,1]-（答案不唯一）【分析】利用导数求出函数的单调性，再求出2()3f x =±时所对应的自变量，即可求解.【详解】()21f x x '=-，令()0f x '=可得1,1x =-，所以当1x <-或1x >时，(0)0f '>，当11x -<<时，(0)0f '<，故()f x 在(,1)-∞-和(1,)+∞上单调递增，在(1,1)-上单调递减，且22(1),(1)33f f -==-，由此可知定义域可以是[1,1]-，故答案为：[1,1]-（答案不唯一）9．1,8⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【分析】由函数单调性可将问题转化为方程()21680k a a -+-=有实数解的问题，分别在1k =和1k ≠两种情况下，根据方程有实数解求得k 的范围.【详解】当0x ≥时，()22xf x ka =+单调递增；当0x <时，()()2243f x x x a =-+-单调递减；若对任意的非零实数1x ，存在唯一的非零实数()212x x x ≠，使得()()12f x f x =成立，则()2213ka a +=-，整理可得：()21680k a a -+-=，则问题转化为()21680k a a -+-=有实数解，当1k =时，43a =，满足题意；当1k ≠时，()363210k ∆=+-≥，解得：18k ≥-；综上所述：实数k 的取值范围为1,8⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】关键点点睛：本题考查根据方程有根求解参数范围的问题，解题关键是能够根据函数单调性将问题转化为在0x =处函数值相等的关系，将问题化为一元二次方程有实数解的问题.10．(]1,2【分析】令()()222111x x g x x x x +-=≥+-，根据函数值域的求解方法可求得()g x 的值域即为所求的()f x 的定义域.【详解】令()()222111x x g x x x x +-=≥+-，则()()222111111111x x x x g x x x x x x x x+-+==+=+≥+-+--+，1y x x =- 在[)1,+∞上单调递增，10x x∴-≥，10111x x∴<≤-+，()12g x ∴<≤，()f x ∴的定义域为(]1,2.故答案为：(]1,2.【点睛】思路点睛：已知()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域，求解()f x 定义域的基本思路为：()g x 的值域即为()f x 的定义域.11．()2101x x ≥+(]0,1【分析】利用换元法可求出函数的解析式，由反比例函数的性质可求得值域.【详解】令)0t t =≥，则2x t =，所以()()2101f t t t =≥+，即()()2101f x x x =≥+；由于211x +≥，所以(]210,11x ∈+，即函数()f x 的值域为(]0,1，故答案为：()2101x x ≥+，(]0,1.12．23-【分析】根据函数的解析式，结合()21f =和一次函数的性质，列出不等式组，即可求解.【详解】()()()204log 42f f f ===，要使得函数()f x 的值域为[)1,+∞，则满足041a a ≤⎧⎨+≥⎩，解得30a -≤≤，所以实数a 的最小值为3-．故答案为：①2；②-3.【点睛】本题考查了分段函数的性质，解题的关键点是画出函数的图象，考查了学生的识图能力和计算能力.真题再现1．B 【分析】依次判断各个函数的值域，从而得到结果.【详解】A 选项：2xy =值域为()0,∞+，错误B 选项：12y x =值域为[)0,+∞，正确C 选项：tan y x =值域为R ，错误D 选项：cos y x =值域为[]1,1-，错误本题正确选项：B 【点睛】本题考查初等函数的值域问题，属于基础题.2．C 【分析】根据函数解析式建立不等关系即可求出函数定义域.【详解】因为f (x )＝11x-＋lg(1＋x )，所以需满足1010x x -≠⎧⎨+>⎩，解得1x >-且1x ≠，所以函数的定义域为(－1，1)∪(1，＋∞)，故选：C 【点睛】本题主要考查了函数的定义域，考查了对数函数的概念，属于容易题.3．D 【分析】由已知中定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()x f x g x e +=，根据奇函数和偶函数的性质，我们易得到关于()f x 、()g x 的另一个方程：()()--+-=x f x g x e ，解方程组即可得到()g x 的解析式．【详解】∵()f x 为定义在R 上的偶函数，∴()()f x f x -=，又∵()g x 为定义在R 上的奇函数，()()g x g x -=-，由()(),()()()()x x f x g x e f x g x f x g x e -+=∴-+-=-=，∴1()()2xx e g x e -=-.故选：D.【点睛】本题考查的知识点是函数解析式的求法——方程组法，及函数奇偶性的性质，其中根据函数奇偶性的定义构造出关于关于()f x 、()g x 的另一个方程：()()--+-=x f x g x e ，是解答本题的关键．4．D 【详解】试题分析:因函数lg 10x y =的定义域和值域分别为,故应选D ．考点：对数函数幂函数的定义域和值域等知识的综合运用．5．B 【详解】试题分析：设()f x =t,则1,32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,从而()F x 的值域就是函数11,,32y t t t ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦的值域，由“勾函数”的图象可知，102()3F x ≤≤，故选B ．考点：函数的值域．6．D 【分析】画出()f x 图象及直线14y x a =-+，借助图象分析．【详解】如图，当直线14y x a =-+位于B 点及其上方且位于A 点及其下方，或者直线14y x a =-+与曲线1y x =相切在第一象限时符合要求．即1124a ≤-+≤，即5944a ≤≤，或者2114x -=-，得2x =，12y =，即11224a =-⨯+，得1a =，所以a 的取值范围是{}59,144⎡⎤⎢⎣⎦．故选D ．【点睛】根据方程实根个数确定参数范围，常把其转化为曲线交点个数，特别是其中一条为直线时常用此法．7．A 【分析】由题意，函数()f x 的解析式，可得()12f -=，进而求解()(1)f f -的值，列出方程，即可求解.【详解】由题意，函数()2,02,0x x a x f x x -⎧⋅≥=⎨<⎩，则()(1)122f ---==，则()2(1)(2)241f f f a a -==⋅==，所以14a =，故选A.【点睛】本题主要考查了分段函数的应用问题，其中解答中根据分段函数的分段条件，合理选择相应的对应法则求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8．D 【分析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有()()12f x f x +<成立，一定会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，从而求得结果.详解：将函数()f x 的图像画出来，观察图像可知会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是()0-∞，，故选D .点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果.【详解】9．C【详解】由1≥x 时()()21f x x =-是增函数可知,若1a ≥,则()()1f a f a ≠+,所以01a <<,由()(+1)f a f a =2(11)a a =+-,解得14a =,则1(4)2(41)6f f a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭,故选C.【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．10．25-【详解】51911123()()()(22222255f f f f a a -=-==⇒-+=-⇒=，因此32(5)(3)(1)(1)1.55f a f f f ===-=-+=-【考点】分段函数，周期性质【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时，要注意区间端点是否可以取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数分界点处的函数值.11．[1,7]-.【分析】由题意得到关于x 的不等式，解不等式可得函数的定义域.【详解】由已知得2760x x +-≥,即2670x x --≤解得17x -≤≤，故函数的定义域为[1,7]-.【点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．12．2【详解】分析：先根据函数周期将自变量转化到已知区间，代入对应函数解析式求值，再代入对应函数解析式求结果.详解：由(4)()f x f x +=得函数()f x 的周期为4，所以11(15)(161)(1)1,22f f f =-=-=-+=因此1π2((15))()cos .242f f f ===点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现(())f f a 的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.模拟检测【分析】利用函数()f x 的解析式由内到外逐层计算可得()0f f ⎡⎤⎣⎦的值.【详解】()3log ,12,1x x x f x x ≥⎧=⎨<⎩ ，则()0021f ==，因此，()()301log 10f f f ===⎡⎤⎣⎦.故选：A.2．C【分析】利用基本不等式可求该函数的值域.【详解】当1x >时，1ln 2ln y x x =+≥=，当01x <<时，[11ln (ln )()2ln ln y x x x x ⎤=+=--+-≤--⎥⎦，所以函数的值域为][(,22-∞-⋃，)+∞，故选：C ．【点睛】本题考查函数值域、基本不等式，注意根据基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”，本题属于基础题.3．D【分析】通过函数的性质依次分析选项中的奇偶性和值域即可.【详解】解：对于A ：2()1f x x =-，为偶函数，但值域为[)1,-+∞，故A 不正确；对于B ：12()f x x =定义域不对称，为非奇非偶函数函数，故B 不正确；对于C ：2()log f x x =定义域不对称，为非奇非偶函数函数，故C 不正确；对于D ：()||f x x =为偶函数，且值域为[)0,+∞，故D 正确；故选：D.【分析】根据函数的定义域求法以及指数函数的值域求出集合,A B ，再由集合的交运算即可求解.【详解】{{}[]222,2A x y x x ===-≤≤=-，{}{}()e 00,x B y y y y ===>=+∞，所以A B = (0,2].故选：B5．B【分析】先利用定义域的求法化简集合M ，再根据M N ⊆求解.【详解】因为集合{|{|02}M x y x x ===≤≤，{|}N x x a =<，且M N ⊆，所以实数a 的取值范围是2a >.故选：B.6．A【详解】由()232x 3f x x =-=-，知2680x x -+-≥，解得[]2,4.x ∈令t 23x =-，则23x t =--.，即为y =y 23x t =--两函数图象有交点，作出函数图象，如图所示：由图可知，当直线和半圆相切时t 最小，当直线过点A(4,0)时，t 最大.3t 114-=+，解得35t =±35t =-当直线过点A(4,0)时，2430t ⨯--=，解得t 5=.所以t 35,5⎡⎤∈-⎣⎦，即() 35,5f x ⎡⎤∈⎣⎦.故选A.7．44[,]37--【分析】利用反比例型函数的单调性进行求解即可.【详解】因为函数4()21f x x =+在1(,)2-∞-上是单调递减函数，所以当[4,2]x ∈--时，函数4()21f x x =+也是单调递减函数，因此有：(4)()(2)f f x f -≥≥-，即44()37f x -≤≤-，所以函数4()21f x x =+在[-4，-2]上的值域是44[,]37--.故答案为：44[,]37--8．11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】根据分段函数的定义，分段讨论即可求解.【详解】解：()()()11330log 0x x f x x x +⎧≤⎪=⎨>⎪⎩ ，()10131x x f x +≤⎧∴>⇔⎨>⎩或130log 1x x >⎧⎪⎨>⎪⎩，解得10-<≤x 或103x <<，即113x -<<，∴不等式()1f x >的解集为11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.9．1或16【分析】由题意得()24f m -=-，分别讨论40-≥m 和40m -<，代入不同解析式，结合题意，即可求得答案.【详解】由题意得：()24f m -=-，若40-≥m ，则2(4)(4)18f m m -=--=，即43m -=，解得1m =，满足题意；若40m -<，则(4)2(4)8f m m m -=---=，即88m -=，解得16m =，满足题意，综上，m 的值为1或16.故答案为：1或1610．(0,)+∞【分析】按1x <和1x >分别求出函数的值域，取并集可得答案．【详解】当1x <时，()221331244f x x x x ⎛⎫=-+=-+≥ ⎪⎝⎭当1x >时，()()10,1f x x=∈综上可得，21,1()1,1x x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨>⎪⎩的值域为(0,)+∞故答案为：(0,)+∞11．3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】由()221x f x x =+，由0x =，()0f x =和当01x <≤时，转化为()22221111124f x x x x ==⎛⎫++- ⎪⎝⎭，利用二次函数求得其值域；利用三角函数的性质求得()g x 的值域；根据对于任意[]10,1x ∈，总存在030,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()01g x f x =成立，由()f x 的值域是()g x 的值域子集求解.【详解】()221x f x x =+，当0x =时，()0f x =；当01x <≤时，()(]22220,11111124f x x x x ==∈⎛⎫++- ⎪⎝⎭，所以()f x 在[]0,1的值域为[]0,1；()sin323x g x a a π=+-（0a >），当302x ≤≤时，032x ππ≤≤，有0sin 13x π≤≤，可得()g x 的值域为[]32,3a a --，对于任意[]10,1x ∈，总存在030,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()01g x f x =成立，可得[][]01323a a ⊆,-,-，。
高考数学 考点汇总 考点4 函数及其表示(含解析)
考点4 函数及其表示一、选择题1.（2014·浙江高考理科·Ｔ10）设函数21)(x x f =，),(2)(22x x x f -=|2sin |31)(3x x f π=，99,,2,1,0,99Λ==i i a i ， 记|)()(||)()(||)()(|98991201a f a f a f a f a f a f I k k k k k k k -++-+-=Λ，.3,2,1=k 则A.321I I I <<B. 312I I I <<C. 231I I I <<D. 123I I I <<【解题指南】由已知条件，分别计算123,,I I I 再比较大小.【解析】选Ｂ．由22112199999999i i i --⎛⎫⎛⎫-=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故1113529919999999999I ⨯-⎛⎫=+++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭219919999=⨯=，由2211199(21)22999999999999ii i i i ----⎛⎫⎛⎫--+=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2I =150(980)98100221992999999+⨯⨯⨯=⨯⨯＜，311219998sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 23999999999999I ππππππ⎛⎫=⨯-⨯+⨯-⨯+⋅⋅⋅+⨯-⨯ ⎪⎝⎭22574(sin 2sin 2)139999ππ=⨯-⨯＞，故213I I I ＜＜2. （2014·辽宁高考理科·Ｔ12）已知定义在[]0,1上的函数()f x 满足：①(0)(1)0f f ==；②对所有[],0,1x y ∈，且x y ≠，有1()()2f x f y x y -<-.若对所有[],0,1x y ∈,()()f x f y k -<恒成立,则k 的最小值为1111()()()()2428A B C D π【解题提示】 利用已知条件构造不等式，结合绝对值不等式a b a b +≤+解决问题【解析】选B.不妨设01y x ≤<≤，当102x y <-≤时，111()()()224f x f y x y x y -<-=-≤当12x y ->时，()()(()(1))((0)())f x f y f x f f f y -=-+- 11111()(1)(0)()10(1)22224f x f f f y x y x y ≤-+-<-+-=--+< 综上可知，min 14k =． 3.(2014·江西高考理科·T3)已知函数f(x)=5|x|,g(x)=ax 2-x(a ∈R),若f(g(1))=1,则a=( )A.1B.2C.3D.-1【解题指南】先计算g(1),再求f(g(1)),最后进行指数式的计算.【解析】选A.g(1)=a-1,f(g(1))=5|a-1|=1, 解得|a-1|=0,所以a=1.4.(2014·江西高考文科·T4)已知函数f(x)=(a ∈R),若f(f(-1))=1,则a=( )A. B. C.1 D.2 【解题指南】分段函数的求值关键是弄清代入哪段的问题.【解析】选A.选f(-1)=2,f(f(-1))=f(2)=4a=1,解得a=.二.填空题5. （2014·上海高考理科·Ｔ4）[)2,(,),(),(2)4,_______.,,x x a f x f a x x a ∈-∞⎧==⎨∈+∞⎩设若则的取值范围为【解题提示】本题考查分段函数求值，若a>2,则f(2)=2与条件矛盾，则a ≥2,f(2)=4.【解析】若a>2,则f(2)=2与条件矛盾;若a ≥2,f(2)=4，符合条件，所以a 的取值范围为a ≤2.答案：a ≤26. （2014·浙江高考文科·Ｔ15）设函数2222, 0(), 0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨->⎪⎩，若(())2f f a =，则a ＝_________；【解析】2()0()()22f a f a f a ⎧⎨++=⎩≤或2()0()2f a f a ⎧⎨-=⎩＞解得()0f a =（无解）或()2f a =- 所以2022a a a ⎧⎨++=-⎩≤（无解）202a a ⎧⎨-=-⎩＞解得2a =2。
2020版高考数学人教版理科一轮复习课时作业：4函数及其表示Word版含解析
课时作业4函数及其表示一、选择题11 .函数 f （x ） = log 2（1 — 2x ）+ 的定义域为（D ）X I ( n B.「，2丿解析：由1 — 2x>0，且x + 1工0,得x<2且 x 工一1,所以函数f(x) =log 2（1 — 2x ） + 丄的定义域为（―乂，一 1）U ' — 1, 1 jx +1 22. (2019晋豫省际大联考)下列各组函数中，表示同一函数的是 (D )A . y = ( x)2 与 y = x 2B . y = lne x 与 y = e kx 「x 2— G彳 C .尸齐1与尸x — 1_,x+1D . y = ig(x +1)— 1 与 y =ig^0"解析：对于A , y = ( x)2的定义域为［0，+乂), y = x 2的定义域 为R ，则A 不正确；对于B , y = ine x = x , y = e kx ，则B 不正确；对于 x 2— 1 C , y =的定义域为(一=,—1)U (— 1,+乂), y =x — 1 的定义x + 1A .0 2丿 C . （—1,0）u 0 2）—1）u — 1,域为R，贝S C不正确；对于D, y = lg(x +1) —1的定乂域为(一1,+x + 1g ）, y = ig 市 =ig （x +1）— 1的定义域为（—1,+乂），则D 正确，故 选D.3 .已知函数f(x)的定义域为[0,2]，则函数g(x) = f(2x) + 8— 2x 的 定义域为(A )A . [0,1]B . [0,2]C . [1,2]D . [1,3]f 0< 2x < 2,解析：由题意，得18 — 2x > 0,代71解析：令 t =2x — 1,贝y x = 2t + 2, f(t) = 2(2t + 2)— 5 = 4t — 1,贝S 4a — 1 = 6,解得 a = 4.[2x , x>0,4 •已知 f (x )Jx +1), x < 0,+4- 3 f—3 J 的值等于（B ） 解析：由题意得f 劭=2X3' 4 3,5. 所以f f 4)f — 3 = 4・已知 f qx — 1 = 2x — 5,且 f(a)= 6, 则a 等于（A ） 解得0W x < 1,故选A.其中 m € R ，则 f(3 + 4m )= ( A A . 2m解析：因为 3+ 4m >3，所以 f(3 + 4m ) = log 24m = 2m ,故选 A. fj x , 0<x<1, ⑴ 7. 设 f(x)=・ 彳 d 若 f(a) = f(a +1)，则 f a =( <I2(x - 1 ), x > 1. 切解析：当 0<a<1 时，a + 1>1, f(a)= a , f(a + 1) = 2(a + 1- 1)= 2a,vf(a) = f(a + 1),二 a = 2a ,1解得a =4或a = 0(舍去)./.f -卜f(4) = 2X (4- 1)= 6.当 a > 1 时，a + 1>2, .*.f(a)= 2(a - 1), f(a + 1)=2(a + 1-1)= 2a ,「・2(a — 1) = 2a ,无解.综上，怙丿=6.[x 2 + x , x<0,8. 设函数f(x) = 2c g(x)为定义在R 上的奇函数，且L -x , x >0,当x<0时，g(x) = x 2-2x -5,若f(g(a))<2,则实数a 的取值范围是 (A ) _A . (一 oo, 一 1]U [0,2 2- 1]B . [ - 1,2 2 - 1]C . (-o,- 1]U (0,3]B . 6 D . 2m 或 6D . [ - 1,3]解析：Tg(x)是定义在R上的奇函数，「・g(0) = 0,若x>0,则—x<0, g( - x)= X2+ 2x-5,vg(- x) =-g(x),Ag(x)=- x2- 2x+ 5, x>0，由题意，知f(-2) = 2,•••f(g(a)) < 2 即为f(g(a)) < f( - 2).2x + X, x<0, 又f(x)= 2「g(a)》-2,l —x2, x>0,a<0, a>0,二2或2或a= 0,a2—2a—5> —2 —a2—2a+ 5> —2「a w — 1 或O w a w 2 2— 1.故选A.二、填空题门x>1 59. 设函数f(x) = x' ，则f(f(2))= —2,函数f(x)的[—x —2, x w 1, —值域是[—3,+乂).解析：-.f(2) = 2,Af(f(2)) = f|21= —2—2= —I当x>1 时,f(x) € (0,1),当x w 1 时,f(x) € [ —3 , +乂) ,「.f(x)€ [—3, ).10. 已知函数f(x)满足f(5x) = x,贝S f(2) = log52.解析：因为f(5x) = x,令5x= t,则x= log5t ,所以f(t)= log5t ,所以f(2)= log52.②,x>0,11. 已知函数f(x)= 若f(a) + f(1) = 0,则实数aL x+ 1 , x w 0 ,的值等于一3.解析：\f(1) = 2>0 ,且f(1) + f(a) = 0, /.f(a) = —2<0 ,故a w 0.依题知a+ 1 = —2,解得a= — 3.x2+ 2ax, x>2, o12. 已知函数f(x)= x , c 若ff(1))>3a2，则a的取2x+ 1, x<2,值范围是(一1,3).解析：由题知，f(1)= 2+ 1= 3, f(f(1))= f(3) = 9+ 6a,若f(f(1))>3a2，则9+ 6a>3a2，即a2—2a-3<0,解得一1<a<3.力提升练13. 已知f(x)=]4X X'0,贝y方程f(x)= 3的根的个数fx + 2)，—6< x<0,B. 4D .无数多个解析：画出函数f(x)的图象，如图所示.画出函数g(x) = 3的图象，观察可得，函数f(x)与函数g(x)的交点的个数为4,则方程f(x)四川内江一中高三第一模拟)设函数f(x)=14 . (2019x x—1 , x>0,则满足f(x) + f(x—1)<2的x的取值范围是(一乂,一f一x, x<0,2).解析：(1)当 x > 1 时，f(x) + f(x — 1)=x(x — 1)+ (x — 1)(x — 2)V2, 解得 0<x<2，即 1 < x<2;(2)当 0< x<1 时，f(x) + f(x — 1) = x(x —1) + x(1 — x) = 0<2,满足题 意;⑶当 x<0 时，f(x) + f(x — 1) = x( — x — 1) + x(1 — x)= — 2x 2<2 恒成 立,综上，x 的取值范围是(一乂，2).尖子生小题库一一供重点班学生使用，普通班学生慎用2 2综上可知a >3,即a 的取值范围是3,+^ .16.(2019广东佛山学情调研)定义在R 上的函数满足f? != fg ]= 1, f&j= 2f(x)，且当 o <X 1VX 2< 1 时，f(xd < f(X 2)，则 f°0届卜厉1 111 1 111 1111 解析：f 25 = 1f 1 = 1, f^5 =2f 25 = 1, f 625= 2f 莎=8,3x — 1, x<1,15.设函数怒戶2x , x >1,则满足f[f(a)] = 2f(a)的a 的取值范围是(C ) B . [0,1]D . [1，+* )解析：由已知函数和f[f(a)] = 2f(a),得f(a)> 1•若a<1,则3a — 1> 1, 2 2解得a >3,此时3<a<1;若a > 1,则2a > 1,解得a >0,此时a > 1.2 c._3,1 1 f250 = 2fj25^./= 2f^50)= 16，因为 X 1<X 2< 1 时，f(xd <哄),以J 1 ■-丄 以 f 2 018 =16.4) ( 1)⑵ 2 f —3 =f r3.=f 3=2X 2「1 )仃1 IJ 1 1/口 1 二 w =，得 16=f则 1 v贝"1 250V2 0183 125,了 1 ) ( 1 、 1 f0 018戶怡125丿=16，所。
2020年高考数学 考点4 函数及其表示
考点4 函数及其表示一、选择题 1. （2020·福建卷文科·Ｔ8） 已知函数()f x =20,1, 0⎧>⎨+≤⎩，x x x x ，若f(a )+f(1)=0,则实数a 的值等于（ ）（A ）-3 （B ）-1 （C ）1 （D ）3【思路点拨】由f (a)+f(1)=0得()f a 的值，然后根据()f x 的解析式，分两段求出a 的值.【精讲精析】选A. ()(1)0,()(1)2+=∴=-=-Q f a f f a f ，若0a >，则22=-a ， 显然不成立；若0a ≤，则()1f a a =+2,3a =-=-，符合题意. 3.a ∴=-2.（2020·广东高考文科·Ｔ4）函数1()lg(1)1f x x x=++-的定义域是（ ） （A ）（-∞，1）（B ）（1，+∞）（C ）（-1,1）∪（1，+∞）（D ）（-∞，+∞）【思路点拨】本题主要考查函数定义域的求法，由分母不为零和对数的真数为正，列不等式组可求得定义域.【精讲精析】选C.要使函数有意义当且仅当⎩⎨⎧>+≠-0101x x 解得1->x 且1≠x ，从而定义域为），（），（∞+-111Y ，故选C.3.（2020·广东高考文科·Ｔ10）设f （x ），g （x ），h （x ）是R 上的任意实数函数，如下定义两个函数()()f g x o 和()()f x x •；对任意x ∈R ，（f ○g ）（x ）=(())f g x ；（f ·g ）（x ）=()()f x g x .则下列恒等式成立的是（A ）（（f οg ）·h ）（x ）=（（f ·h ）ο（g ·h ））（x ）（B ）（（f ·g ）οh ）（x ）=（（f οh ）·（g οh ））（x ）（C ）（（f οg ）οh ）（x ）=（（f οh ）ο（g οh ））（x ）（D ）（（f ·g ）·h ）（x ）=（（f ·h ）·（g ·h ））（x ）【思路点拨】按题目中对各函数的定义逐项验证.【精讲精析】选B.分析如下表 选项分析 结论 A （（f οg ）·h ）（x ）=(f οg)(x)h(x)=f(g(x))h(x); 等式（（f ·h ）ο（g ·h ））（x ）=（f ·h ）(（g ·h ）(x))= （f ·h ）(g(x)h(x))=f(g(x)h(x))h(g(x)h(x)) 不成立B（（f ·g ）οh ）（x ）=（f ·g ）（h(x)）=f(h(x))g(h(x));（（f οh ）·（g οh ））（x ）=（f οh ）(x)（g οh ）(x)=f(h(x))g(h(x))等式 成立 C （（f οg ）οh ）（x ）=（f οg ）（h(x)）=f(g(h(x)));（（f οh ）ο（g οh ））（x ）=（f οh ）(（g οh ）(x))= （f οh ）(g(h(x))=f(h(g(h(x))); 等式不成立 D （（f ·g ）·h ）（x ）=（f ·g ）h(x)=f(h(x))g(h(x)); （（f ·h ）·（g ·h ））（x ）=（f ·h ）(x)（g ·h ）(x)=f(x)h(x)g(x)h(x)等式不成立 4、（2020·北京高考理科·T6）根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为,,(),c x A x f x c x A A⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩（,A c 为常数）.已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是（ ）A.75,25B.75,16C.60,25D.60,16【思路点拨】分段讨论列出方程组，即可求A 和c.【精讲精析】选D.当4A >时，(4)30,2()15,c f f A A ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩，解得c=60, A=16; 当4A ≤时，(4)30,()15,f A f A A ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩，无解. 5.（2020·江西高考理科·Ｔ3） 若()()12log 21f x x =+，则()f x 的定义域为A. 1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 1,02⎛⎤- ⎥⎝⎦C. 1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D. ()0,+∞ 【思路点拨】结合求定义域的原则，分母不为零，偶次根下非负，真数大于零等，即可解得.【精讲精析】选A.2x 1)2x 1)11221log 0x 0.log 02++⎧⎪≠<⎨>⎪⎩（（2x+1>0由题意得：且，得-< 6.（2020·江西高考文科·Ｔ3）(21)121(),log x f x +=若则f(x)的定义域为A ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．()1,00,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【思路点拨】根据求函数定义域的原则：分母不为零，真数大于零，即得。
[高考数学]2020届4函数及其表示理99.doc
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课后限时集训(四) 函数及其表示(建议用时：40分钟) A 组 基础达标一、选择题1．下面各组函数中为相同函数的是( ) A ．f (x )＝－，g (x )＝x －1B ．f (x )＝x －1，g (t )＝t －1C ．f (x )＝x2－1，g (x )＝x ＋1·x －1D ．f (x )＝x ，g (x )＝x2xB [∵－＝|x －1|，∴A 中f (x )≠g (x )；B 正确；C 、D 选项中两函数的定义域不同，故选B.] 2．函数f (x )＝3x －1＋1的定义域为( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤18，14 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0.14C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞ D [由题意得log 2(2x )＋1＞0，解得x ＞14.所以函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞.故选D.] 3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ＞1，2＋36x ，x≤1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( )A ．3B ．4C ．－3D ．38C [由题意知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2＋3612＝8，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f (8)＝log 128＝－3.故选C.]4．若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (1)＝( ) A ．2 B ．0 C ．1D ．－1A [令x ＝1，得2f (1)－f (－1)＝4，① 令x ＝－1，得2f (－1)－f (1)＝－2，② 联立①②得f (1)＝2.]5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－＋3a ，x ＜1，ln x ，x≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，12C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C [要使函数f (x )的值域为R ，需使⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ＞0，ln 1≤1－2a ＋3a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＜12，a≥－1，所以－1≤a ＜12.故选C.]6．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x≤0，1，x>0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B ．(0，＋∞) C ．(－1,0)D ．(－∞，0)D [当x ≤0时，函数f (x )＝2－x是减函数，则f (x )≥f (0)＝1.作出f (x )的大致图象如图所示，结合图象可知，要使f (x ＋1)<f (2x )，则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x<0，2x<x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x<0，所以x <0，故选D.]7．(2019·济南模拟)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为( ) A ．－32B ．－34C ．－32或－34D.32或－34B [当a ＞0时，1－a ＜1,1＋a ＞1.由f (1－a )＝f (1＋a )得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32，不合题意；当a ＜0时，1－a ＞1,1＋a ＜1，由f (1－a )＝f (1＋a )得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－34，所以a 的值为－34，故选B.]二、填空题8．已知f (2x)＝x ＋3.若f (a )＝5，则a ＝________. 4 [令t ＝2x ，则t ＞0，且x ＝log 2 t ， ∴f (t )＝3＋log 2 t ， 即f (x )＝3＋log 2 x ，x ＞0.则有log 2 a ＋3＝5，解之得a ＝4.]9.若函数f (x )在闭区间[－1,2]上的图象如图所示，则此函数的解析式为________．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x＜0－12x ，0≤x≤2 [由题图可知，当－1≤x ＜0时，f (x )＝x ＋1；当0≤x ≤2时，f (x )＝－12x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x＜0，－12x ，0≤x≤2.]10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x≥0，＋，x ＜0，若f (a )＝3，则实数a ＝________.－5 [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a≥0，2－a ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，＋＝3，解得a ＝－ 5.]B 组 能力提升1．已知函数y ＝f (2x －1)的定义域是[0,1]，则函数＋＋的定义域是( )A ．[1,2]B ．(－1,1] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0 D ．(－1,0)D [因为函数y ＝f (2x －1)的定义域是[0,1]，所以－1≤2x －1≤1，要使函数＋＋有意义，则需⎩⎪⎨⎪⎧－1≤2x＋1≤1，x ＋1＞0，x ＋1≠1，解得－1＜x ＜0，故选D.]2．(2018·厦门二模)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－－1，x≤1，ln x ，x ＞1，若f (x )≥f (1)恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)A [由题意可知，函数f (x )的最小值为f (1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a≥1－－1≤ln 1，解得1≤a ≤2，选A.]3．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.－＋2[当－1≤x ≤0时，有0≤x ＋1≤1，所以f (1＋x )＝(1＋x )[1－(1＋x )]＝－x (1＋x )，又f (x ＋1)＝2f (x )，所以f (x )＝12f (1＋x )＝－＋2.]4．具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数： ①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0＜x ＜1，0，x ＝1，－1x ，x ＞1.其中满足“倒负”变换的函数是________(填序号)．①③ [对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足题意；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足题意；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0＜1x＜1，0，1x ＝1，－x ，1x ＞1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ＞1，0，x ＝1，－x ，0＜x ＜1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )，满足题意．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.]。
高考数学一轮复习专题04函数及其表示(含解析)
专题04函数及其表示最新考纲1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念．2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．).3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段基础知识融会贯通1．函数与映射2.(1)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．3．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．【知识拓展】简单函数定义域的类型(1)f (x )为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合； (2)f (x )为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数的集合；(3)f (x )为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合； (4)若f (x )＝x 0，则定义域为{x |x ≠0}； (5)指数函数的底数大于0且不等于1；(6)正切函数y ＝tan x 的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z.重点难点突破【题型一】函数的概念 【典型例题】若函数y ＝f （x ）的定义域为M ＝{x |﹣2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f （x ）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：对A 不符合定义域当中的每一个元素都有象，即可排除； 对B 满足函数定义，故符合；对C 出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，从而可以否定； 对D 因为值域当中有的元素没有原象，故可否定． 故选：B ．【再练一题】下列四组函数中，表示同一函数的是（ ） A ．B ．y ＝arcsin （sin x ）和y ＝sin （arcsin x ）C．y＝x和y＝arccos（cos x）D．y＝x（x∈{0，1}）和y＝x2（x∈{0，1}）【解答】解：A．y＝log22x＝x，函数的定义域为R，y x，函数的定义域为{x|x＞0}，两个函数的定义域不相同，不是同一函数B．y＝sin（arcsin x）的定义域为[﹣1，1]，y＝arcsin（sin x）的定义域是R，两个函数的定义域不相同，不是同一函数．C．y＝arccos（cos x）的值域是[，]，y＝x的值域是R，不是相同函数．D．y＝x对应的点为（0，0），（1，1），y＝x2对应的点为（0，0），（1，1），两个函数是同一函数，故选：D．思维升华函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同．【题型二】函数的定义域问题命题点1 求函数的定义域【典型例题】若函数f（x）ln（x+1），则函数g（x）＝f（x）+f（﹣x）的定义域为（）A．（﹣1，2] B．（﹣1，1）C．（﹣2，2）D．[﹣2，2]【解答】解：解得，﹣1＜x≤2；∴要使g（x）有意义，则：；解得﹣1＜x＜1；∴g（x）的定义域为（﹣1，1）．故选：B．【再练一题】已知函数f（x）的定义域为（1，2），则函数f（x2）的定义域是（）A．（1，2）B．（1，4）C．R D．（，﹣1）∪（1，）【解答】解：∵数f（x）的定义域为（1，2），∴由1＜x2＜2，得x＜﹣1或1＜x．即函数f（x2）的定义域是（，﹣1）∪（1，）．故选：D．命题点2 已知函数的定义域求参数范围【典型例题】设函数f（x）．（1）当a＝5时，求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）的定义域为R，试求a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝5时，f（x），由|x﹣1|+|x﹣2|﹣5≥0，得或或，解得：x≥4或x≤﹣1，即函数f（x）的定义域为{x|x≤﹣1或x≥4}．（2）由题可知|x﹣1|+|x﹣2|﹣a≥0恒成立，即a≤|x﹣1|+|x﹣2|恒成立，而|x﹣1|+|x﹣2|≥|（x﹣1）+（2﹣x）|＝1，所以a≤1，即a的取值范围为（﹣∞，1]．【再练一题】函数的定义域为R，则实数k的取值范围是．【解答】解：函数的定义域为R，∴关于x的不等式2kx2﹣kx0恒成立，k＝0时，不等式为0恒成立；k≠0时，应满足△＝k2﹣4×2k0，解得0＜k＜3，综上，实数k的取值范围是[0，3）．故答案为：[0，3）．思维升华 (1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，可借助于数轴，注意端点值的取舍．(2)求抽象函数的定义域：①若y＝f(x)的定义域为(a，b)，则解不等式a<g(x)<b即可求出y＝f(g(x))的定义域；②若y＝f(g(x))的定义域为(a，b)，则求出g(x)在(a，b)上的值域即得f(x)的定义域．(3)已知函数定义域求参数范围，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解．【题型三】求函数解析式【典型例题】已知函数f（2）＝x+45，则f（x）的解析式为（）A．f（x）＝x2+1 B．f（x）＝x2+1（x≥2）C．f（x）＝x2D．f（x）＝x2（x≥2）【解答】解：；∴f（x）＝x2+1（x≥2）．故选：B．【再练一题】若函数f（x）对于任意实数x恒有f（x）﹣2f（﹣x）＝3x﹣1，则f（x）等于（）A．x+1 B．x﹣1 C．2x+1 D．3x+3【解答】解：函数f（x）对于任意实数x恒有f（x）﹣2f（﹣x）＝3x﹣1，令x＝﹣x，则：f（﹣x）﹣2f（x）＝3（﹣x）﹣1．则：，解方程组得：f（x）＝x+1．故选：A．思维升华函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；(4)消去法：已知f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x或f (－x )之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )． 【题型四】分段函数命题点1 求分段函数的函数值 【典型例题】已知函数，则的值是（ ）A ．﹣1B ．3C ．D ．【解答】解：由题意可得，f （） 1∴f （f （））＝f （﹣1）＝3﹣1故选：C ．【再练一题】 设f （x ）则使得f （m ）＝1成立的m 值是（ ） A ．10B ．0，10C ．0，﹣2，10D ．1，﹣1，11【解答】解：当m ＜1时，f （m ）＝（m +1）2＝1 ∴m ＝﹣2或m ＝0 当m ≥1时，f （m ）＝4 1∴m ＝10综上：m 的取值为：﹣2，0，10 故选：C ．命题点2 分段函数与方程、不等式问题 【典型例题】 已知f （x ）则不等式x +（x +2）•f （x +2）≤5的解集是（ ）A ．[﹣2，1]B ．（﹣∞，﹣2]C ．D ．【解答】解：①当x+2≥0时，即x≥﹣2，f（x+2）＝1由x+（x+2）•f（x+2）≤5可得x+x+2≤5∴x即﹣2≤x当x+2＜0即x＜﹣2时，f（x+2）＝﹣1由x+（x+2）•f（x+2）≤5可得x﹣（x+2）≤5即﹣2≤5∴x＜﹣2综上，不等式的解集为{x|x}故选：D．【再练一题】函数，若f（a）＝f（b）＝f（c）且a，b，c互不相等，则abc的取值范围是（）A．（1，10）B．（10，12）C．（5，6）D．（20，24）【解答】解：函数的图象如图：∵f（a）＝f（b）＝f（c）且a，b，c互不相等∴a∈（0，1），b∈（1，10），c∈（10，12）∴由f（a）＝f（b）得|lga|＝|lgb|，即﹣lga＝lgb，即ab＝1∴abc＝c由函数图象得abc的取值范围是（10，12）故选：B．思维升华 (1)分段函数的求值问题的解题思路①求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．②求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．基础知识训练1．下列图象中可作为函数图象的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】∵函数要求对应定义域P中任意一个x都有唯一的y值与之相对应，也就是说函数的图象与任意直线x＝c（c∈P）只有一个交点；选项A、B、D中均存在直线x＝c，与图象有两个交点，故不能构成函数；故选：C．2．下列四个图象中，不能作为函数图象的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由函数的定义可知，对定义域内的任意一个自变量x的值，都有唯一的函数值y与其对应，故函数的图象与直线x＝a至多有一个交点，图C中，当﹣2＜a＜2时，x＝a与函数的图象有两个交点，不满足函数的“唯一性”，故C不是函数的图象.故选：C．3．函数的定义域为A． B．C． D．【答案】D【解析】解：要使函数有意义，则：；解得，且；该函数的定义域为：．故选：D．4．已知函数,则的定义域为A． B．C． D．【答案】B【解析】解：要使f（x）有意义，则4﹣x＞0；∴x＜4；∴f（x）的定义域为（﹣∞，4）；∴函数g（x）满足：；∴x＜2，且x≠1；∴g（x）的定义域为（﹣∞，1）∪（1，2）．故选：B．5．函数的定义域为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，解得x≥0且x≠1．∴函数的定义域为[0，1）∪（1，+∞）．故选：C．6．已知函数，则( )A．1 B． C． D．【答案】D【解析】依题意，故，解得.故，所以.故选D.7．已知f（）=，则f（x）的解析式为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由可知，函数的定义域为{x|x≠0，x≠﹣1}，将x换为，代入上式得：f（x），故选：D．8．设f（x）=，则下列结论错误的是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据题意，依次分析选项：对于A， =f（x），A错误；对于B，，B正确；对于C，，C正确；对于D， =f（x），D正确；故选：A．9．已知函数，则满足的t的取值范围是A． B． C． D．【答案】C【解析】函数，可得时，递增；时，递增，且，可得在R上为增函数，由，即，解得，即t的范围是．故选：C．10．已知函数，则函数的零点个数为A． B． C． D．【答案】B【解析】当时，，据此可得函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，由函数的解析式易知函数在区间上单调递减，绘制函数图像如图所示，注意到，故方程的解：，则原问题转化为求方程时解的个数之和，由函数图像易知满足题意的零点个数为7个.本题选择B选项.11．定义在上的奇函数，当时，则关于的函数的所有零点之和为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为当时，，即时，，当时，，当时，，画出时，的图象，再利用奇函数的对称性，画出时的图象，如图所示：则直线的图象有5个交点，则方程共有5个实根，最左边两根之和为，最右边两根之和为，因为时，，所以，又，所以，所以中间的一个根满足，即，解得，所以所有根的和为，故选A.12．设函数，若，则实数a的取值范围是( )A． B．C． D．【答案】C【解析】解：当时，不等式可化为，即，解得；当时，不等式可化为，所以．故的取值范围是，故选C．13．若函数的值域是，则实数a的取值范围是A． B． C． D．【答案】D【解析】当时，，要使的值域是，则当时，恒成立，即，若，则不等式不成立，当时，则由，则，，即，故选：D．14．已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x>0时，, 则（）A．4 B．-4 C． D．【答案】B【解析】结合奇函数的概念，可知，所以，故选B。
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考点规范练4函数及其表示
基础巩固组
1.(2014江西,理2)函数f(x)=ln(x2-x)的定义域为()
A.(0,1)
B.[0,1]
C.(-∞,0)∪(1,+∞)
D.(-∞,0]∪[1,+∞)
2.下列四个命题中,正确命题的个数是()
①函数y=1与y=x0不是相等函数;
②f(x)=x-3+2-x是函数;
③函数y=2x(x∈N)的图象是一条直线;
④函数y=x2(x≥0),
-x2(x<0)
的图象是抛物线.
A.1
B.2
C.3
D.4
3.下列各组函数f(x)与g(x)相等的是()
A.f(x)=x,g(x)=(x)2
B.f(x)=x2,g(x)=(x+1)2
C.f(x)=x,g(x)=e ln x
D.f(x)=|x|,g(x)=x,x≥0, -x,x<0
4.已知函数f(x)=2x,x≤0,
f(x-3),x>0,则f(5)等于()
A.32
B.16
C.1
2D.1
32
5.下列函数中,不满足f(2x)=2f(x)的是()
A.f(x)=|x|
B.f(x)=x-|x|
C.f(x)=x+1
D.f(x)=-x
6.已知a,b为两个不相等的实数,集合M={a2-4a,-1},N={b2-4b+1,-2},f:x→x表示把M中的元素x 映射到集合N中仍为x,则a+b等于()
A.1
B.2
C.3
D.4
7.(2014山东枣庄模拟)如图是张大爷晨练时所走的离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系的图象.若用黑点表示张大爷家的位置,则张大爷散步行走的路线可能是()
8.设函数f(x)=2x-3,x≥1,
x2-2x-2,x<1,
若f(x0)=1,则x0等于()
A.-1或3
B.2或3
C.-1或2
D.-1或2或3
9.(2014安徽合肥模拟)函数y=ln1+1
x
+1-x2的定义域为.
10.已知函数f(x)=2x3,x<0,
-tan x,0≤x<π
2
,
则f fπ
4
=.
11.函数f(x)=log1
2
x,x≥1,
2x,x<1
的值域为.
12.已知一次函数f(x)满足f(f(x))=3x+2,则f(x)的函数解析式为.
能力提升组
13.(2014江西南昌模拟)已知函数f(x)=a·2x,x≥0,
2-x,x<0
(a∈R),若f(f(-1))=1,则a等于()
A.1
4B.1
2
C.1
D.2
14.(2014广东广州模拟)若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,则函数解析式为y=x2+1,值域为{1,3}的“同族函数”有()
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
15.已知函数f(x)满足2f(x)-f1
x =3
x2
,则f(x)的最小值是()
A.2
B.2
C.3
D.4
16.(2014天津十二区县联考)已知函数f(x)=log2x,x>0,
log1
2
(-x),x<0,若af(-a)>0,则实数a的取值范围是
()
A.(-1,0)∪(0,1)
B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(-1,0)∪(1,+∞)
D.(-∞,-1)∪(0,1)
17.(2014重庆模拟)函数y=kx2-6kx+9的定义域为R,则实数k的取值范围是.
18.设计一个水渠,其横截面为等腰梯形(如图),要求满足条件AB+BC+CD=a(常数),∠
ABC=120°,那么横截面的面积y关于腰长x的函数解析式为.
参考答案
1.C解析:由题意可知x2-x>0,解得x<0或x>1.
故函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(1,+∞).
2.A解析:只有①正确,②函数定义域不能是空集,③图象是分布在一条直线上的一系列的点,④图象不是抛物线.
3.D解析:A,C定义域不同,B对应关系不同,故选D.
4.C解析:f(5)=f(5-3)=f(2)=f(2-3)=f(-1)=2-1=1
2
,故选C.
5.C解析:对于A,f(2x)=|2x|=2|x|=2f(x);
对于B,f(2x)=2x-|2x|
=2(x-|x|)=2f(x);
对于C,f(2x)=2x+1≠2f(x);
对于D,f(2x)=-2x=2f(x),
故只有C不满足f(2x)=2f(x),所以选C.
6.D解析:由已知可得M=N,故a2-4a=-2,
b2-4b+1=-1
⇒
a2-4a+2=0,
b2-4b+2=0,
所以a,b是方程x2-4x+2=0
的两根,故a+b=4.
7.D解析:由y与x的关系知,在中间时间段y值不变,只有D符合题意.
8.C解析:∵f(x0)=1,
∴x0≥1,
2x0-3=1或
x0<1,
x02-2x0-2=1,
解得x0=2或x0=-1.
9.(0,1]解析:由1+1
x
>0,
1-x2≥0,
得
x<-1或x>0,
-1≤x≤1,
即0<x≤1.
∴该函数的定义域为(0,1].
10.-2解析:∵fπ
4=-tanπ
4
=-1,f fπ
4
=f(-1)=2×(-1)3=-2.
11.(-∞,2)解析:当x≥1时,lo g1
2x≤lo g1
2
1,即lo g1
2
x≤0,当x<1时,0<2x<21,即0<2x<2;故f(x)的值域
为(-∞,2).
12.f(x)=3x+3-1或f(x)=-3x-3-1解析:由题意令f(x)=ax+b(a≠0),则f(f(x))=af(x)+b=a(ax+b)+b=3x+2.
∴a2=3,
ab+b=2,解得
a=3,
b=3-1
或
a=-3,
b=-3-1,
∴f(x)=3x+3-1或f(x)=-3x-3-1.
13.A解析:由题意可知f(-1)=21=2,
则f(f(-1))=f(2)=a·22=4a=1,故a=1
4
.
14.C解析:由x2+1=1得x=0;由x2+1=3得x=±2,所以函数的定义域可以是{0,2},{0,-2},{0,2,-2},故值域为{1,3}的“同族函数”共有3个.
15.B解析:由2f(x)-f1
x =3
x2
, ①
令①式中的x变为1
x 可得2f1
x
-f(x)=3x2.②
由①②可解得f(x)=2
x2+x2.由于x2>0,因此由基本不等式可得f(x)=2
x2
+x2≥22
x2
·x2=2当且
仅当x=±21
4时取等号.
16.A解析:若a>0,则f(-a)>0,
即lo g1
2
a>0,解得0<a<1;
若a<0,则f(-a)<0,
即log2(-a)<0,解得-1<a<0.
故实数a的取值范围是(-1,0)∪(0,1).故选A.
17.[0,1]解析:若k=0,则符合题意;
若k≠0,则k>0,
且36k2-4×9k≤0,
即0<k≤1.综上0≤k≤1.
18.y=-3 34x 2+ 32ax ,x ∈ 0,a
2
解析:如图,连接AD ,分别过点B ,C 作BE ⊥AD ,CF ⊥AD ,垂足分别为E ,F.
∵AB+BC+CD=a , ∴BC=EF=a-2x>0,
即0<x<a
2.
∵∠ABC=120°, ∴∠A=60°, ∴AE=DF=x
2,BE= 3
2x ,
y=1
2(BC+AD )·BE=1
2(2a-3x )· 3
2x=-3 34x 2+ 32ax ,x ∈ 0,a
2
.。