2015-2016学年高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 2.1 复数的加减运算课件 新人教B版选修1-2
(完整版)高中数学选修2-2第三章数系的扩充与复数的引入
第三章数系的扩充与复数的引入目录§3.1.1 数系的扩充与复数的概念（新授课）§3.1.2 复数的几何意义（新授课）§3.2.1 复数的代数形式的加减运算及其几何意义（新授课）§3.2.2 复数的代数形式的乘除运算（新授课）第三章数系的扩充与复数的引入小结与复习（复习课）选修2-2 第三章复数基础练习（一）选修2-2 第三章复数基础练习（一）答案选修2-2 第三章复数基础练习（二）选修2-2 第三章复数基础练习（二）答案第三章数系的扩充与复数的引入一、课程目标：本章学习的主要内容是数系的扩充与复数的概念，复数代数形式的四则运算。
复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充，这不仅可以使学生对于数的概念有一个初步的、完整的认识，也为进一步学习数学打下了基础。
通过本章学习，要使学生在问题情景中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数得一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用。
二、学习目标：（1）、在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。
（2）、理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。
（3）、了解复数的代数表示法及其几何意义。
（4）、能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。
三、本章知识结构：四、课时安排：本章教学时间约4课时，具体分配如下：3.1 数系的扩充与复数的概念约2课时3.2 复数代数形式的四则运算约2课时§3.1.1 数系的扩充与复数的概念（新授课）一、教学目标:知识与技能：了解数系的扩充过程，理解复数及其有关概念。
理解数系的扩充是与生活密切相关的，明白复数及其相关概念。
过程与方法：采取“阅读、质疑、探究”的过程，让学生体验数系的扩充过程。
情感、态度与价值观：让学生在“发现问题，解决问题”中增长技能，充分认识人类理性思维的能动性，使学生在掌握知识的同时增强战胜困难的信心和技能。
第3讲 数系的扩充与复数的引入
第3讲 数系的扩充与复数的引入一、 基础知识梳理：1．复数的有关概念：(1)复数①定义：形如a ＋b i 的数叫作复数，其中a ，b ∈R，i 叫作 ，a 叫作复数的 ，b 叫作复数的 ．②表示方法：复数通常用字母 表示，即 (a ，b ∈R)．(2)复数集①定义： 组成的集合叫作复数集．②表示：通常用大写字母C 表示．2．复数的分类及包含关系(1)分类：复数(a ＋b i ，a ，b ∈R)⎩⎨⎧ 实数b ＝0虚数b ≠0⎩⎪⎨⎪⎧ 纯虚数a ＝0非纯虚数a ≠0(2)集合表示： .3．两个复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i 当且仅当 .4．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)Z (a ，b ) 复平面内的点 ；(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R) OZ →＝(a ，b )平面向量 ．5．复数的模：复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)对应的向量为OZ →，则OZ →的模叫作复数z 的模或绝对值，记作|z |，且|z |＝ .二．问题探究探究点一：复数的概念例1 请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数还是纯虚数．①2＋3i ；②－3＋12i ；③2＋i ；④π；⑤－3i ；⑥0.跟踪训练1：符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在，请说明理由．(1)实部为－2的虚数；(2)虚部为－2的虚数；(3)虚部为－2的纯虚数；(4)实部为－2的纯虚数．探究点二：复数的分类例2：当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m＋(m 2－2m )i 为 (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．跟踪训练2：实数m 为何值时，复数z ＝m (m ＋2)m －1＋(m 2＋2m －3)i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．探究点三：两复数相等例3：已知x ，y 均是实数，且满足(2x －1)＋i ＝－y －(3－y )i ，求x 与y .跟踪训练3：已知x 2－x －6x ＋1＝(x 2－2x －3)i(x ∈R)，求x 的值．探究点四：复数的几何意义例4：在复平面内，若复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 对应点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y ＝x 上，分别求实数m 的取值范围．跟踪训练4： 已知复数z 的虚部为3，在复平面内复数z 对应的向量的模为2，求复数z .三.方法小结：1.复数a ＋b i 中，实数a 和b 分别叫作复数的实部和虚部．特别注意，b 为复数的虚部而不是虚部的系数，b 连同它的符号叫作复数的虚部．2.两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数．3.按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值四.练一练1．指出下列复数哪些是实数、虚数、纯虚数，是虚数的找出其实部与虚部。
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.1 复数
(【2)精已彩知点z1拨，】z2∈C(1，)先|z1写|＝出|z点2|＝A1，，B|z，1＋Cz的2|＝坐标3，，求利|z用1－向z量2|. A→B＝D→C 列方程求
解．
(2)由复数的几何意义，画出图形，利用平行四边形解决． 【自主解答】 (1)设 D(x，y)，类比向量的运算知 A→B ＝D→C ，所以有复数
对应的复数为
3－4i，则向量
Z→1Z2对应的复数为__________．
【解析】 Z→1Z2＝O→Z 2－O→Z 1＝(3－4i)－(2－3i)＝1－i. 【答案】 1－i
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阶
阶
段
段
一
三
3.2 复数代数形式的四则运算
3．2.1 复数代数形式的加、减运算及其几
何意义
学
第三章 复数章末复习
(5)复数的模：向量O→Z的模 r 叫做复数 z＝a＋bi 的模，记作 |z| 或_|_a_＋__b_i|_， 即|z|＝|a＋bi|＝ a2＋b2 (r≥0，r∈R).
2.复数的几何意义 (1)复数 z＝a＋bi←―一――一―对――应―→复平面内的点 Z(a，b)(a，b∈R). (2)复数 z＝a＋bi(a，b∈R) ←―一――一―对――应―→平面向量O→Z.
3.复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ (a＋c)＋(b＋d)i ； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝ (a－c)＋(b－d)i ； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝ (ac－bd)＋(ad＋bc)i ；
解答
反思与感悟 根据复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应 的，要求某个向量对应的复数，只要找出所求向量的始点和终点，或 者用向量相等直接给出结论.
跟踪训练3
在复平面内，设z＝1＋i(i是虚数单位)，则复数
2 z
＋z2对应的
点位于
√A.第一象限
C.第三象限
B.第二象限 D.第四象限
解析 ∵2z＋z2＝1＋2 i＋(1＋i)2 ＝1＋2 i＋2i＝(1－i)＋2i＝1＋i，
解 z＋1 ＝
2＋i
＝2＋i＝1－i，
∴z2－z＋3z1＋6的模为 2.
解答
z 跟踪训练 2 (1)已知1＋i＝2＋i，则复数 z 等于
A.－1＋3i C.3＋i
√B.1－3i
D.3－i
解析 ∵1＋z i＝2＋i，∴ z ＝(1＋i)(2＋i)＝2＋3i－1＝1＋3i，∴z＝1－3i.
第三章数系的扩充与复数的引入教材分析
第三章数系的扩充与复数的引入》教材分析广州市黄埔区教育局教研室肖凌戆数系的扩充与复数的引入是选修1－2与选修2－2 的内容，是高中生的共同数学基础之一．数系的扩充过程体现了数学的发现和创造过程，同时了数学产生、发展的客观需求，复数的引入襀了中学阶段数系的又一次扩充．《课标》将复数作为数系扩充的结果引入，体现了实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用，以及数系扩充过程中数系结构与运算性质的变化．这部分内容的学习，有助于学生体会理论产生与发展的过程，认识到数学产生和发展既有来自外部的动力，也有来自数学内部的动力，从而形成正确的数学观；有助于发展学生的全新意识和创新能力．复数的内容是高中数学课程中的传统内容．对于复数，《课标》要求在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以数与现实世界的联系；理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件；了解复数的代数表示法及其几何意义；能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．本章内容分为2节，教学时间约4 课时．第一节数系的扩充和复数的概念本节的主要教学内容是数系的扩充和复数的概念、复数的几何意义（几何表示和向量表示）．•教学目标（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件．（3）了解复数的代数表示法及其几何意义．•教学重点（1）数系的扩充过程．（2）复数的概念、复数的分类和复数相等的充要条件．（3）复数的几何意义．•教学难点（1）虚数单位i 的引进．（2）复数的几何意义．•教学时数本节教学，建议用2 课时．第1 课时处理数系的扩充和复数的概念；第 2 课时研究复数的几何意义．•课标对本节内容的处理特点数系的扩充和复数的概念，《课标》与《大纲》教学内容相同，但在处理方式和目标定位上存在差异：（1）《课标》将复数作为数系扩充的结果引入．《大纲》教科书先安排复数的概念，再研究复数的运算，最后介绍数系的扩充．《课标》实验教科书在介绍数系扩充的思想方法的基础上引入复数的概念，力求还原复数的发现与建构过程．（2）《课标》强调在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．从这上点上看，《课标》要求提高了．(3)在复数的代数表示法及其几何意义上，《课标》的教学定位是“了解”，而《大纲》要求“掌握”.从这上点上看，《课标》要求降低了.•教学建议1 •关于“数系的扩充的复数的概念”的教学建议(1)课题的引入•教学时，可从方程在给定范围内是否有解提出问题：①在自然数集N中，方程x= 0有解吗？②在整数集Z中，方程2x =1有解吗？③在有理数集Q中，方程x2= 2有解吗？④在实数集R中，方程•有解吗？(2)回顾从自然数集N扩充到实数集R的过程•帮助学生认识数系扩充的主要原因和共同特征•可让学生思考如下问题：①从自然数集N扩充到实数集R经历了几次扩充？②每一次扩充的主要原因是什么？③每一次扩充的共同特征是什么？然后师生共同归纳总结：扩充原因：① 满足实际问题解决的需要；② 满足数学自身完善和发展的需要. 扩充特征：① 引入新的数；② 原数集中的运算规则在新数集中得到保留和扩展.(3)提出新的问题：如何对实数集进行扩充，使方程x2T=0在新的数集中的解？(4)引入虚数单位i .(5)学习复数的概念.(6 )规定复数相等的意义.(7)研究复数的分类.(8)告诉学生“两个复数只能说相等或不相等，不能比较大小”的理由：①a，bi=c，di=a=c, b = d ；在a=c b c两式中，只要有一个不成立，则a bi = c di .②如果两个复数都是实数，则可以比较大小；否则，不能比较大小.③“不能比较大小”的确切含义是指：不论怎样定义两个复数之间的一个关系“v”，都不能使这种关系同时满足实数集中大小关系的四条性质：对于任意实数a , b来说，a ::: b , a = b , b . a这种情况有且只有一种成立；如果a ： b, b c，那么a c ；女口果a :: b，那么a c ：： b c ；如果a ： b, 0 ：：：c，那么ac ::: bc.2 •关于“复数的几何意义”的教学建议(1 )帮助学生认识复数的几何表示.复数的几何表示就是指用复平面内的点Z ( a,b)来表示复数z = a bi .①明确“复平面”的概念.②建立复数集C和复平面内所有的点所成的集合之间的—对应关系，即J一一对应、复数z=a，bi = "复平面内的点Z ( a,b).(2 )帮助学生认识复数的向量表示•复数的向量表示就是指用复平面内的向量OZ 来表示复数z = a bi •①认识复平面内的点Z ( a,b )与向量OZ 的■对应关系.② 在相互联系中把握复数的向量表示：复数z = a bi——对应戸' .兀、——对应点 Z ( a,b —— 对应 > 向量OZ(3 )用数形结合的思想方法，强化对复数几何意义的认识.在复平面内，实数与实轴上的点一一对应，纯虚数与虚轴上的点(原点除外)一一对应，非纯虚数的 虚数与象限内的点一一对应•可通过一组练习题来强化这一认识.第二节 复数代数形式的四则运算本节的主要教学内容是复数代数形式的加减运算及其几何意义，复数代数形式的乘除运算. •教学目标(1 )掌握复数代数形式的加减运算法则. (2 )了解复数代数形式的加减运算的几何意义. (3 )理解复数代数形式的乘除运算法则. (4)体验复数问题实数化的思想方法. •教学重点(1) 复数代数形式的加减运算及其几何意义. (2) 复数代数形式的乘除运算.(3) 复数问题实数化的思想方法复数的理解与运用. •教学难点(1) 复数代数形式的加减运算的规定.(2) 复数代数形式的加减运算的几何意义的理解. (3) 复数代数形式的乘除运算法则的运用. •教学时数本节教学，建议用 2课时•第1课时处理复数代数形式的加减运算及其几何意义；第 2课时研究复数代数形式的乘除运算.•课标对本节内容的处理特点复数代数形式的四则运算， 《课标》与《大纲》教学内容与要求基本相同，但在目标定位上存在差异：(1) 《课标》要求了解复数代数形式的加减运算的几何意义，对复数的向量表示提出了要求，强化了 数形结合思想方法； (2) 《课标》明确强调“淡化烦琐的计算和技巧性训练，突出了复数问题实数化的思想方法. •教学建议1 •复数代数形式的加法和乘法的运算法则是一种规定，要让学生理解其合理性•这种合理性应从数 系扩充的角度来理解：这种规定与实数加法、乘法的法则是一致的，而且实数加法、乘法的有关运算律在 这里仍然成立.2 •复数的减法、除法分别规定为复数的加法和乘法的逆运算，要让学生按照这种规定自主得出复数 减法和除法的运算法则. 3•复数代数形式的四则运算可以类比代数运算中的“合并同类项”“分母有理化”，利用i 2二-1，将它们归结为实数的四则运算•在具体运算情境中，弓I 入共轭复的概念，明确公式(a - bi)(a_bi)二a 2 • b 2是复数除法中“分母实数化”的基础，不必让学生专门计忆复数除法法则•从而让学生体验复数问题实数 化的思想方法.4 •要引领学生从平面向量的加法、减法的平行四边形或三角形法则来认识并理解复数代数形式的加 减运算的几何意义.附录一:《数系的扩充与复数的引入》章末复习学案一、本章复习要求：(1)复数的概念：①理解复数的基本概念；②理解复数相等的充要条件；③了解复数的代数表示法及其几何意义•(2)复数的四则运算：①会进行复数代数形式的四则运算；②了解复数代数形式的加、减运算的几何意义二、基础知识回顾：1 •虚数单位“ i ”的两条规定：①i2=-1, ②i与实数在一起，可以进行通常的四则运算。
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.1 复数
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.1 复数的加法和减法课堂探究 新人教B 版选修1-2探究一 复数的加减法运算复数的和(差)仍为复数，计算复数的加减法时，先分清复数的实部与虚部，然后将实部与实部、虚部与虚部分别相加减．【典型例题1】 已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i ，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i(x ，y ∈R )．设z ＝z 1－z 2，且z ＝13＋2i ，求z 1，z 2.思路分析：通过复数的加减法运算求得z (用x ，y 表示)，再利用共轭复数的定义及复数相等的充要条件求出x ，y 的值，从而求得z 1，z 2.解：∵z ＝z 1－z 2＝(3x ＋y )＋(y －4x )i －[(4y －2x )－(5x ＋3y )i]＝[(3x ＋y )－(4y －2x )]＋[(y －4x )＋(5x ＋3y )]i＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i ，∴z ＝(5x －3y )－(x ＋4y )i.又∵z ＝13＋2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5x －3y ＝13，－(x ＋4y )＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－1.∴z 1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i ，z 2＝[4×(－1)－2×2]－[5×2＋3×(－1)]i ＝－8－7i.探究二复数加减法的几何意义由于复数与向量的对应关系为复数赋予了几何意义，因此在处理复数某些问题时，可通过数形结合实现数与形的沟通．【典型例题2】 在复平面内，▱ABCO 的顶点O 是坐标原点，顶点A ，C 对应的复数分别是z 1＝x ＋23i ，z 2＝23－x i ，若B 点在单位圆内，则实数x 的取值范围为________． 解析：设点B 对应的复数为z ，∵OB ＝OA ＋OC ，即z ＝z 1＋z 2＝x ＋23i ＋23－x i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23－x i. 由已知|z |＜1，∴|z |2＜1. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23－x 2＜1.即x 2＜118.∴－26＜x ＜26. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－26，26 点评 本题综合考查了复数减法与复数模的几何意义，要注意数形结合的充分利用． 探究三 易错辨析易错点 忽视了复数、向量、点对应关系的前提而致误【典型例题3】 已知z 1＝2i ，z 2＝1＋i ，z 3＝3＋2i 对应的点依次为A ，B ，C ，按A →B →C →D 的顺序作平行四边形ABCD ，求顶点D 对应的复数．错解：BA u u u r 对应的复数为z 1－z 2＝2i －(1＋i)＝－1＋i ，BC uuu r 对应的复数为z 3－z 2＝3＋2i －(1＋i)＝2＋i ，则BD u u u r 对应的复数为(z 1－z 2)＋(z 3－z 2)＝－1＋i ＋(2＋i)＝1＋2i ，所以点D 对应的复数为1＋2i.错因分析：将BD u u u r 对应的复数错认为是点D 对应的复数．实际上D 点对应的复数应与ODu u u r 相对应．正解：由错解得BD u u u r 对应的复数为1＋2i ，又OD u u u r ＝OB uuu r ＋BD u u u r ＝(1＋i)＋(1＋2i)＝2＋3i ，故点D 对应的复数为2＋3i.。
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 习题课(二)数系的扩充与复数的引入 苏教版选修2-2-苏教
习题课（二）数系的扩充与复数的引入1．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若a ＋i ＝2－b i ，则 (a ＋b i)2＝( ) A ．3－4i B ．3＋4i C ．4－3i D ．4＋3i解析：选A 由a ＋i ＝2－b i 可得a ＝2，b ＝－1，则(a ＋b i)2＝(2－i)2＝3－4i. 2．复数z 满足(－1＋i)z ＝(1＋i)2，其中i 为虚数单位，则在复平面上复数z 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D z ＝(1＋i )2－1＋i ＝2i (－1－i )(－1＋i )(－1－i )＝2i (－1－i )2＝1－i ，故z 在复平面内对应的点的坐标为(1，－1)，位于第四象限．3．如果复数z ＝2－1＋i ，则( )A ．|z |＝2B ．z 的实部为1C ．z 的虚部为－1D ．z 的共轭复数为1＋i解析：选C 因为z ＝2－1＋i ＝2(－1－i )2＝－1－i ，所以|z |＝2，z 的实部为－1，虚部为－1，共轭复数为－1＋i ，因此选C.4．在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA →对应的复数为( )A ．1－2iB ．－1＋2iC ．3＋4iD ．－3－4i解析：选D ∵AB →对应复数2＋i ，BC →对应复数1＋3i ， ∴AC →对应复数(2＋i)＋(1＋3i)＝3＋4i ， ∴CA →对应的复数是－3－4i.5．已知i 为虚数单位，若复数z ＝1－a i1＋i (a ∈R )的实部为－3，则|z |＝( )A.10B ．2 3 C.13D ．5解析：选D ∵z ＝1－a i 1＋i ＝(1－a i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝1－a －(a ＋1)i 2的实部为－3，∴1－a2＝－3，解得a ＝7.∴z ＝－3－4i ，则|z |＝5.故选D.6．设z 是复数，则下列命题中的假命题是( ) A ．若z 2≥0，则z 是实数 B ．若z 2<0，则z 是虚数 C ．若z 是虚数，则z 2≥0 D ．若z 是纯虚数，则z 2<0解析：选C 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，选项A ，z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i≥0，则⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝0，a 2≥b 2，故b ＝0或a ，b 都为0，即z 为实数，正确．选项B ，z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i<0，则⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝0，a 2<b 2，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ≠0，故z 一定为虚数，正确．选项C ，若z 为虚数，则b ≠0，z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ，由于a 的值不确定，故z 2无法与0比较大小，错误．选项D ，若z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ≠0，则z 2＝－b 2<0，正确．7．复数z ＝3＋i1＋2i的共轭复数是________．解析：依题意得z ＝(3＋i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝5－5i5＝1－i ，因此z 的共轭复数是1＋i.答案：1＋i8．i 为虚数单位，设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1＝2－3i ，则z 2＝________.解析：∵(2，－3)关于原点的对称点是(－2,3)， ∴z 2＝－2＋3i. 答案：－2＋3i9．已知z ，ω为复数，(1＋3i)z 为纯虚数，ω＝z2＋i ，且|ω|＝52，则ω＝________.解析：由题意设(1＋3i)z ＝k i(k ≠0且k ∈R )，则ω＝k i(2＋i )(1＋3i ).∵|ω|＝52，∴k ＝±50，故ω＝±(7－i)． 答案：±(7－i)10．已知复数z ＝(1－i)2＋1＋3i.(1)求|z |；(2)若z 2＋az ＋b ＝z ，某某数a ，b 的值． 解：z ＝(1－i)2＋1＋3i ＝－2i ＋1＋3i ＝1＋i. (1)|z |＝12＋12＝ 2.(2)z 2＋az ＋b ＝(1＋i)2＋a (1＋i)＋b ＝2i ＋a ＋a i ＋b ＝a ＋b ＋(a ＋2)i ， ∵z ＝1－i ，∴a ＋b ＋(a ＋2)i ＝1－i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，a ＋2＝－1，∴a ＝－3，b ＝4.11．已知z ＝x －i 1－i (x >0)，且复数ω＝z (z ＋i)的实部减去它的虚部所得的差等于－32，求ω·ω.解：ω＝z (z ＋i)＝x －i 1－i ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －i 1－i ＋i ＝x －i 1－i ·x ＋11－i ＝x ＋12＋x 2＋x2i.根据题意x ＋12－x 2＋x2＝－32，得x 2－1＝3. ∵x >0，∴x ＝2，∴ω＝32＋3i.∴ω·ω＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋3i ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－3i ＝454.12．已知等腰梯形OABC 的顶点A ，B 在复平面上对应的复数分别为1＋2i ，－2＋6i ，OA ∥BC .求顶点C 所对应的复数z .解：设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，如图，因为OA ∥BC ，|OC |＝|BA |， 所以k OA ＝k BC ，|z C |＝|z B －z A |， 即⎩⎪⎨⎪⎧21＝y －6x ＋2，x 2＋y 2＝32＋42，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝4.因为|OA |≠|BC |，所以x ＝－3，y ＝4(舍去)，故z＝－5.。
2016高考数学-数系的扩充与复数的引入
2016高考数学:数系的扩充与复数的引入2016高考各科复习资料
2016年高三开学已经有一段时间了，高三的同学们是不是已经投入了紧张的高考一轮复习中，数学网高考频道从高三开学季开始为大家系列准备了2016年高考复习，2016年高考一轮复习，2016年高考二轮复习，2016年高考三轮复习都将持续系统的为大家推出。
1.复习平面向量内容时要注意：
(1)向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系，同向且等长的有向线段都表示同一向量.
(2)共线向量和平面向量的两条基本定理，揭示了共线向量和平面向量的基本结构，它们是进一步研究向量的基础.
(3)向量的加、减、数乘是向量的线性运算，其结果仍是向量.向量的数量积结果是一个实数.向量的数量积，可以计算向量的长度、平面内两点间的距离、两个向量的夹角，判断相应的两条直线是否垂直.
(4)向量的运算与实数的运算有异同点，学习时要注意这一点，如数量积不满足结合律.
(5)要注意向量在几何、三角、物理学中的应用.
(6)平面向量的数量积及坐标运算是高考的重点，复习中要注意培养准确的运算能力和灵活运用知识的.
精心整理，仅供学习参考。
数系的扩充与复数的引入
知识精要
复 数 ： 我 们 把 集 合 C = { a + b i a , b ∈ R }中 的 数 ， 即 形 如 a + b i（ a , b ∈ R ） 的 数 叫 做 复 数 ， 其 中 i叫 做 虚 数 单 位 ， 全 体 复 数 的 集 合 C叫 做 复 数 集 合 。 (1)i2 = −1, 复数集C和实数集R 之间有 (2)i可以与实数一起进行四则运算， (2)i可以与实数一起进行四则运算， 什么关系？ 并且加乘运算律不变。 答：R ⊆ C，即R是C的真子集。
欢迎指导！ 欢迎指导！ 谢谢！ 谢谢！
例 3 如果（x + y ) + ( y − 1)i = (2 x + 3 y ) + (2 y + 1)i， 求实数x, y的值.
解：由复数相等的定义（条件），得 x + y = 2x + 3 y, x = 4, 解得 y −1 = 2 y +1, y = −2.
练习： 练习：P52，1，2. ， ， P55，1，2. ， ，
三、本章知识结构框图
数系扩充 复数引入 复数的概念
复数代数形式的 四则运算
四、课时安排
3.1 数系的扩充和复数的概念 约2课时 3.2 复数代数形式的四则运算 约2课时
§3.1 数系的扩充与复数的概念 本节要点
数系的扩充 复数的概念 复数的代数表示及复数相等的定义 复数的几何意义
教学情境设计
方程
x 2 + 1 = 0 在实数集中有解么？
答 ：无解
你能设想 一种方法， 使这个方 程有解么？
联系从自然数系到实数系的扩充过程，我们可以考虑将实数系扩大。
数系的每一次扩充过程都与实际需求密切相关。简要讲述数系扩 充的历史，人们为了计数，创造了自然数，1，2，3，…我们看到的自然 界中事物的个数都是自然数，如一支钢笔，三本书，后来人们为了方便将 0归入自然数。为了公平分配物质，引入了分数，如一个苹果平均分给三 个人，每个人得到多少苹果？为了表示各种具有相反意义的量以及满足记 数法的需要，人类引进了负数．如今天最低温度为零下3度，最高温度为8 度，就用到了负数。边长为1的正方形对角线之长不是分数，5开方开不尽， 不能用分数来表示，于是无理数出现了。数系扩充发展到了实数集了，这 是我们以前学到的非常熟悉的数集。
数系的扩充与复数的引入 (2).
课堂教学单元教案科目：高二数学课题：数系的扩充与复数的引入一．数学分析：（1）复数系是在实数系的基础上扩充儿得到的，为了帮助学生了解学习复数的必要性，了解实际需求和数学内部的矛盾在数系扩充中的作用，本章从一个思考问题开始，在问题情境中简单介绍了由实数系扩到复数系的过程，这样不仅可以激发学生的学习复数的欲望，而且也可以比较自然的引入复数的学习之中。
复数的概念是整个复数内容的基础，复数的有关概念都是围绕复数的代数形式展开的，虚数单位、实部、虚部、复数相等的充要条件、以及虚数，纯虚数等概念的理解都应促进对复数实质的理解，即复数实际上一有序的实数对。
类比实数可以用数轴上的点表示，把复数在直角坐标系中表示出来，就得到了复数的集合表示。
用复平面内的点或平面向量表示复数，不仅使抽象的复数得到直观形象的表示，而且也使数和形得到了有机的结合。
（2）复数代数形式的四个运算，及复数代数形式的加法，减法，乘法和除法，重点是加法和乘法。
复数加法和乘法的法则是规定的，是具有其合理性的；这种规定与实数的加法，乘法的法则是一致的，而且实数的加法，乘法的有关运算仍然成立的。
二．学情分析：1.知识掌握上，高二年级的学生已经学过实数的扩充，已经有一定基础，但是扩充的过程可能会有所遗忘，所以首先应该进行适当的引入复习，同时高二的学生已经掌握了一些分析思考的能力，所以教学中通过问题的提出到解决过程有意识地进一步应用、提高学生的这些能力；2.心理上，多数学生感觉到数学过于枯燥繁琐，而且刚刚学的一章内容“推理与证明”又是数学中的难点，所以学生对新的一块内容可能也带有异样情绪，因此在引入、学习时要能让学生们能够感兴趣并且愿意去了解；3.学生学习本节内容可能存在的知识障碍：学生学习本节内容可能会遇到一些障碍，如对复数的理解，复数的引入是否具有实际意义，复数的引入是否具有实际应用，复数相等条件的理解等。
所以教学中对复数概念的讲解中尽量以简单明白、深入浅出的分析为主，在引入后花少许时间对复数的实际意义、复数的实际应用作以解释。
数系的扩充和复数的概念
2、复数加法的几何意义： 问题二：复数与复平面内的向量有一一 对应关系。我们讨论过向量加法的几何 意义，你能由此出发讨论复数加法的几 何意义吗？ 复数的加法可以按照向量的加法来进行——平行四边 形法则或三角形法则
问题三：复数是否有减法?如何理解复数的减法？
（二）复数的减法：
1、定义：复数的减法是加法的逆运算，即把满足 (c+di）+(x+yi)=a+bi的复数x+yi叫做复数a+bi减去复数 c+di的差，记作(a+bi)-(c+di).
3.1.2复数的几何意义
问题一：我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此， 实数可用数轴上的点来表示，类比实数的几何意义，复数 的几何意义是什么？
复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建 立一一对应的关系.
王新敞
奎屯
新疆
王新敞
奎屯
新疆
一、复数的坐标表示 1、复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a，纵坐标是 b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建 立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫 高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。 实轴上的点都表示实数
第三章 数系的扩充与复数的引入
（一）数系的扩充
• 我们认识数是一个不断发展的过程，从自然数到 整数，从整数到有理数，再从有理数到实数。这 个认识过程是在原有数集的基础上，再加上新的 数，是对原有数集不断扩充的过程。而这种扩充 是为了解决新的问题所必需的。 • 这种扩充的动力主要来源于两个方面：
①解决实际问题的需要
若存在实数t 使得 | z2 || z1 | 成立，求：实数 k的取值范围。
练习：设z是复数，满足下列条件的点Z的集合是什么图 形？ （1）|z|=2 ； （2） 2<|z|<3。
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数代数形式的四则运算 3.2.1 复数代数形式的
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2 复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义教案2 新人教A版选修1-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2 复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义教案2 新人教A版选修1-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义教学过程一、推进新课1.复数的加法探究新知我们规定，复数的加法法则如下：设bi a z +=1,di c z +=2是任意两个复数，那么()()()()i d b c a di c bi a +++=+++提出问题问题1：两个复数的和是个什么数，值唯一确定吗?问题2：当b=0,d=0时，与实数加法法则一致吗？问题3：它的实质是什么?类似于实数的哪种运算方法？活动设计:学生独立思考，口答。
活动成果：1．仍然是个复数，且是一个确定的复数。
2．一致。
3．实质是实部与实部相加，虚部与虚部相加，类比于实数运算中的合并同类项。
设计意图：加深对复数加法法则的理解,且与实数类比，了解规定的合理性。
提出问题:实数加法有交换律、结合律，复数满足吗?并试着证明。
活动设计：学生先独立思考，然后小组交流.活动成果：满足,对任意的,,,321C z z z ∈有交换律:1221z z z z +=+结合律：()()321321z z z z z z ++=++证明:设bi a z +=1，di c z +=2,()()i d b c a z z +++=+21x O y()b a Z ,1 ()d c Z ,2 Z ()()i b d a c z z +++=+12显然，1221z z z z +=+同理可得，()()321321z z z z z z ++=++设计意图:引导学生根据实数加法满足的运算律，大胆尝试推导复数加法的运算律，提高学生的建构能力及主动发现问题,探究问题的能力。
(完整版)数系的扩充与复数的引入
数系的扩充
复数的概念
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复数的概念
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复数的概念
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复数的概念
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复数的概念
1.虚数单位i的引入； 2.复数有关概念：
复数的代数形式:z a bi (a R,b R)
2 7 , 0.618, 2 i, 0
7
i i 2 , i 1 3 , 3 9 2i, 5 +8，
数系的扩充
复数的概念
数系的扩充
复数的概念
数系的扩充
复数的概念
数系的扩充
复数的概念
数系的扩充
复数的概念
例1: 实数m取什么值时，复数
z m 1 (m 1)i
（1）实数？ （2）虚数？（3）纯虚数？
满足 i2 1
数系的扩充
复数的概念
现在我们就引入这样一个数 i ，把 i 叫做虚数单位，
并且规定：
（1）i21；
（2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运
算时，原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结 合律和分配律)仍然成立。
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.
全体复数所形成的集合叫做复数集， 一般用字母C表示 .
数系的扩充
复数的概念
复数的代数形式： 通常用字母 z 表示，即
z a bi (a R位。
讨 论？
复数集C和实数集R之间有什么关系？
实数b 0
R C
复数a+bi虚数b
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充与复数的概念 3.1.1 数系的扩充和复
【微思考】 1.两个复数一定能比较大小吗? 提示:不能. 2.复数a+bi的实部是a,虚部是b吗? 提示:只有a,b都是实数时才是.
主题2 复数的相等和分类 1.复数z=a+bi(a,b∈R)中实部与虚部分别为零时表示 什么数? 提示:虚部b=0时,z=a是一个实数; 虚部b≠0时,z=a+bi是一个虚数; 虚部b≠0,实部a=0时,z=bi是纯虚数.
【解析】选B.若复数a-bi为纯虚数,则a=0且b≠0,故 ab=0.而由ab=0不一定能得到复数a-bi是纯虚数,故 “ab=0”是“复数a-bi为纯虚数”的必要不充分条件.
类型二 复数的分类
【典例2】设
z log1 m 1 ilog2 5 m(mR).
(1)若z是虚数,求m的2 取值范围.
【解析】要使z为实数,故其虚部log2(5-m)=0,m应满足
的条件是 5 m 1, m 1 0,
解得m=4.
【方法总结】 1.解决复数分类问题的方法与步骤 (1)化标准式:解题时一定要先看复数是否为 a+bi(a,b∈R)的形式,以确定实部和虚部.
(2)定条件:复数的分类问题可以转化为复数的实部与 虚部应该满足的条件问题,列出实部和虚部满足的方程 (不等式)组即可. (3)下结论:设所给复数为z=a+bi(a,b∈R),①z为实数 ⇔b=0;②z为虚数⇔b≠0;③z为纯虚数⇔a=0且b≠0.
m应满足的条件是
m 1 5 m
0解, 得1<m<5,且m≠4. 0,
5 m 1,
(2)因为z是纯虚数,故其实部 lo(gm1 -1)=0,虚部
log2(5-m)≠0,
2
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 2.1 复数的
1．复数加法与减法的运算法则
(1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，则z1＋z2
2i. 如下图所示，Z→2Z1即为 z1－z2 所对应的向量． 根据复数减法的几何意义：复数 z1－z2 是连结向量O→Z1，O→Z2
的终点，并指向被减数的向量
所对应的复数．
[例 2] 已知复平面内的平行四边形 OABC 的三个顶点 O，A，C 对应的复数分别为 0,3＋2i，－2＋4i，试求：①A→O 对应的复数；
[解析] (1)原式＝(－2＋5)＋(3－1)i＝3＋2i. (2)原式＝(－1＋1)＋( 2－ 2)i＝0.
设向量O→Z1及O→Z2在复平面内分别与复数 z1＝5＋3i 及复 数 z2＝4＋i 对应，试计算 z1－z2，并在复平面内表示出来．
[解析] z1－z2＝(5＋3i)－(4＋i)＝(5－4)＋(3－1)i＝1＋
第四节 复数代数形式的 加减运算
本课主要学习复数代数形式的加减运算的运用，以动 画引入新课，接着讲述复数代数形式的加减运算的公式和 应用，研究不同题型时，多种求解方式；针对问题给出一 些典例和变式通过解决实际问题，掌握运算方法。
在讲述复数代数形式的加减运算的应用时，采用例题 与变式结合的方法，通过学生自主讨论、分析,总结小老 师的方法,师生互动,讲练结合,同学总结提出解题注意事 项,从而突出重点,突破难点。
∴另一条对角线的长|z1－z2|＝ 2.
满足条件|z－i|＝|3＋4i|的复数z在复平面上的对应点的
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本课主要学习复数代数形式的加减运算的运用，以动 画引入新课，接着讲述复数代数形式的加减运算的公式和 应用，研究不同题型时，多种求解方式；针对问题给出一
些典例和变式通过解决实际问题，掌握运算方法。
在讲述复数代数形式的加减运算的应用时，采用例题 与变式结合的方法，通过学生自主讨论、分析 ,总结小老 师的方法, 师生互动, 讲练结合, 同学总结提出解题注意事 项,从而突出重点,突破难点。
∴zD＝zA－zB＋zC ＝(－5－2i)－(－4＋5i)＋2＝1－7i. 即点 D 对应的复数为 1－7i.
[正解] 复数z.
用相同的方法可求得另两种情况下点D对应的
图①中点D对应的复数为3＋7i， 图②中点D对应的复数为－11＋3i.
一、选择题
1．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2＝(
2 1 2 1 2
予几何解释为：平行四边形两对角线长相等，故四边形 OACB为矩形．
[例 3]
若|z1|＝|z2|＝1，且|z1＋z2|＝ 2，求|z1－z2|.
→1和OZ →2为两邻边的平行 [ 解析] |z1 ＋z2|和 |z1 －z2|是以 OZ 总结： 复数的减法也可用向量来进行运算，同样可 四边形的两条对角线的长． 实施平行四边形法则和三角形法则． 如图所示，由 |z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝ 2，知四边形为正 方形， ∴另一条对角线的长|z1－z2|＝ 2.
[解析]
→1＋OZ 对应的复数为－1－i＋1－i＝－2i. OZ 2
→ ，OB → 对应的复数分别为 7＋i,3－ 5．在复平面内，若OA → |＝________. 2i，则|AB
[答案] 5
→ 对应的复数为 3－2i－(7＋i)＝－4－3i，所以 [解析] AB → |＝ (－4)2＋(－3)2＝5. |AB
A．8i [答案] B [解析] z1＋z2＝3＋4i＋3－4i ＝(3＋3)＋(4－4)i＝6 2．若复数z满足z＋i－3＝3－i，则z＝( ) B．6 C．6＋8i D．6－8i
)
A．0
[答案] D
B．2i
C．6
D．6－2i
[解析] ∵z＋i－3＝3－i ∴z＝3－i－(i－3)＝6－2i
→ ，AC → 对应的复数分别为－1＋2i， 3．在复平面内，向量AB → 对应的复数为 －2－3i，则BC ( A．－1－5i C．3－4i B．－1＋5i D．3＋4i )
[例4] 已知：复平面上的四个点A、B、C、D构成平
行四边形，顶点A、B、C对应于复数－5－2i，－4＋5i,2， 求点D对应的复数． [辨析] 四个点A、B、C、D构成平行四边形，并不仅 [误解] ∵B→ A ＝C→ D， 有▱ABCD一种情况，应该还有▱ABDC和▱ACBD两种情 ∴zA－zB＝zD－zC， 况．如图所示．
三、解答题
6 ．已知 z1 ＝ (3x ＋ y) ＋ (y － 4x)i ， z2 ＝ (4y － 2x) － (5x ＋ 3y)i(x，y∈R)，设z＝z1－z2，且z＝13－2i，求z1，z2.
[解析]
z＝z1－z2＝(3x＋y)＋(y－4x)i－[(4y－2x)－(5x＋
3y)i] ＝ [(3x ＋ y) － (4y － 2x)] ＋ [(y － 4x) ＋ (5x ＋ 3y)]i ＝ (5x － 3y) ＋(x＋4y)i， 又因为 z＝13－2i，且 x，y∈R，
2．复数减法的几何意义 →1，OZ →2的终点，并指向被减数 复数 z2－z1 是指连结向量OZ 的向量Z→ 1Z2所对应的复数．
3．对复数加减法几何意义的理解
它包含两个方面：一方面是利用几何意义可以把几何
图形的变换转化为复数运算去处理，另一方面对于一些复 数的运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几 何之中． 4.学习复数的加(减)法，只需把握复数的实部与实部， 虚部与虚部分别相加(减)即可．对于加(减)法的几何意义，
4 i)＝5－2i. 处理．
(2)→ 对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作 → ＋AB → ＝OA → ＋OC → ，所以OB → 对应的复数为(3＋ ③OB ＝OA 为工具运用于几何之中．例如：已知复数 z1 ， z2，z1 ＋ z2 在 2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i， 复平面内分别对应点A，B，C，O为原点，且|z1＋z2|＝|z1－ 即 B 点对应的复数为 1＋6i. z |，判断四边形 OACB的形状．把关系式 |z ＋ z | ＝ |z － z | 给
1 2
(2)对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝ z2＋z1 ， (z1 ＋ z2) ＋z3＝ z1＋(z2＋z3)
2．复数加减法的几何意义 如图：设复数z1，z2对应向量分别为 与z1－z2对应的向量是 .
， ，四边
，
形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是
实战演练 [例1] 计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)； (2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]； (3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)．
[答案] A
[ 解析] → ＝AC → － AB → ，故BC → 对应的复数为 (－2－3i)－ BC
(－1＋2i)＝－1－5i.
二、填空题 →1对应的复数为－1－i，向量 OZ2 4．在复平面内，向量OZ →1＋OZ →2对应的复数为________． 对应的复数为 1－i，则OZ
[答案] －2i
本题给出了几何图形上一些点对应的复数， → ＝－OA →， → 对应的复数为－(3＋2i)， [总结： 解析] ① AO 则AO 即 因此，借助复数加、减法的几何意义求解即可，要学会利 －3－2i. 用复数加减运算的几何意义去解题，主要包含两个方面： → ＝OA → －OC → ，所以CA → 对应的复数为(3＋2i)－(－2＋ ②CA (1)利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去
[解析]
(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)＝(4－2i)－(5＋6i)
＝－1－8i.
(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]＝5i－(4＋i)＝－4＋4i. (3)(a ＋ bi) － (2a － 3bi) － 3i ＝ (a － 2a) ＋ [b － ( － 3b) － 3]i ＝－a＋(4b－3)i. [点评] 两个复数相加(减)，将两个复数的实部与实部
→1 1.已知复数 z1＝x1＋y1i， z2＝x2＋y2i 及其对应的向量OZ →2＝(x2，y2)．以OZ →1和OZ →2为邻边作平行四边 ＝(x1，y1)，OZ → ＝OZ →1＋OZ →2， 形 OZ1ZZ2，如图．对角线 OZ 所表示的向量OZ →1＋OZ →2所对应的坐标是(x1＋x2，y1＋y2)，这正是两个复 而OZ 数之和 z1＋z2 所对应的有序实数对．
应明确它们符合向量加 ( 减 ) 法的平行四边形法则．另外，
还可以按三了．
1．复数加法与减法的运算法则 (1) 设 z1 ＝ a ＋ bi ， z2 ＝ c ＋ di 是任意两个复数，则 z1 ＋ z2 (a－c)＋(b－d)i (a＋c)＋(b＋d)i ＝ ，z －z ＝ .
2i. 如下图所示，Z→ 2Z1即为 z1－z2 所对应的向量．
→1， →2 根据复数减法的几何意义： 复数 z1－z2 是连结向量OZ OZ
的终点，并指向被减数的向量
所对应的复数．
[例 2] 已知复平面内的平行四边形 OABC 的三个顶点 → O，A，C 对应的复数分别为 0,3＋2i，－2＋4i，试求：①AO 对应的复数； → 对应的复数； ②CA ③B 点对应的复数．
5x－3y＝13， 所以 x＋4y＝－2， x＝2， 解得 y＝－1.
所以 z1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i， z2＝4×(－1)－2×2－[5×2＋3×(－1)]i＝－8－7i.
满足条件|z－i|＝|3＋4i|的复数z在复平面上的对应点的
轨迹是
A．一条直线 C．圆 [答案] C B．两条直线 D．椭圆
(
)
[解析] 解法一：设 z＝x＋yi(x，y∈R)， 总结： 解法一是利用复数的代数形式求解，即“化 则由已知|z－i|＝|3＋4i|， 虚为实”．解法二则是利用复数的几何意义求解．关于复 得|x＋(y－1)i|＝|3＋4i|， 数模的问题，可以转化为复平面内两点间的距离解决． ∴ x2＋(y－1)2＝ 9＋16， 即 x2＋(y－1)2＝25. 故复数 z 在复平面上对应点的轨迹是以(0,1)为圆心，5 为 半径的圆． 解法二：∵|z－i|＝|3＋4i|＝ 9＋16＝5， ∴复数 z 与复数 z1＝i 两点间的距离为常数 5，根据圆的 定义知，复数 z 的轨迹是圆．故应选 C.
相加(减)，虚部与虚部相加(减)．
计算： (1)(－2＋3i)＋(5－i)； (2)(－1＋ 2i)＋(1－ 2i)．
[解析]
(1)原式＝(－2＋5)＋(3－1)i＝3＋2i.
(2)原式＝(－1＋1)＋( 2－ 2)i＝0.
→1及OZ →2在复平面内分别与复数 z1＝5＋3i 及复 设向量OZ
数 z2＝4＋i 对应，试计算 z1－z2，并在复平面内表示出来． [ 解析 ] z1 － z2 ＝ (5 ＋ 3i) － (4 ＋ i) ＝ (5 － 4) ＋ (3 － 1)i ＝ 1 ＋