圆专题复习切线与相似
专题复习与圆的切线有关的证明
是圆的切线
5、常用的添加辅助线的方法
（1）直线与圆的公共点已知时，作出过公共点的 半径，再证半径垂直于该直线。 有切点，连半径，证垂直 （2）直线与圆的公共点不确定时，过圆心作直线 的垂线段，再证明这条垂线段为圆的半径 无切点，作垂直，证半径
切线的性质
如图，⊙O的切线PC交直径AB的延长线于点P，C为切点， 若∠P＝30°，⊙O的半径为1，则PB的长为_______
无交点，作垂直，证半径
例：如图 ，已知：O 为 BAC 角平分线上一点，
OD AB 于 D ，以 O 为圆心， 为半径作圆。
求证：AC 是⊙ O 的切线。
E
数学解答题P7 数学解答题P9
P9《数学解答题》
切线的性质
P9《数学解答题》
切线的性质
P9《数学解答题》
切线的性质
切线的性质
垂直 于经过切点的半径． 定理：圆的切线________ 技巧：圆心与切点的连线是常用的辅助线．
垂直 于这条半径的直线是圆 定理： 经过半径的外端并且________ 的切线． 证圆的切线技巧： (1)如果直线与圆有交点，连接圆心与交点的半径，证明直 线与该半径垂直，即“有交点，作半径，证垂直”．
(2)如果直线与圆没有明确的交点， 则过圆心作该直线的垂 线段，证明垂线段等于半径，即“无交点，作垂直，证半径”．
切线的判定
作业：《数学解答题》 P7-10第一问
专题复习 与圆的切线有关的证明
1、圆的切线性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径．
2、辅助线： 连接圆心与切点
连半径，得垂直
半径与切线垂直
3、切线判定
定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的 直线是圆的切线。
圆切线解题思路十大技巧
圆切线解题思路十大技巧
解题思路十大技巧：
1. 理解圆的基本概念，首先要熟悉圆的定义、性质和相关定理，包括圆的直径、半径、弧、圆心角等。
2. 掌握切线的性质，了解切线与圆的位置关系、切线长度的计
算方法以及切线与半径的垂直关系等。
3. 确定切线的位置，通过观察题目给出的条件，确定切线与圆
的位置关系，包括内切、外切和相交等情况。
4. 运用切线定理，掌握切线定理的应用方法，包括切线长度定理、切线与切线之间的关系等。
5. 利用相似三角形，在解题过程中，经常会出现相似三角形的
情况，需要灵活运用相似三角形的性质来求解。
6. 使用角平分线，在某些情况下，可以利用角平分线的性质来
解题，特别是与切线和圆相交的角度问题。
7. 运用勾股定理，有时候可以利用勾股定理来解决与切线和圆相关的直角三角形问题。
8. 考虑切线与圆的位置关系，根据切线与圆的位置关系，可以运用相应的定理和性质来解题，例如切线与圆的相交位置、切线的判定条件等。
9. 多角度思考，在解题过程中，要多角度思考，不断尝试不同的方法和角度，灵活运用各种定理和性质。
10. 多练习多总结，通过大量的练习和总结，不断提高解题能力，熟练掌握圆和切线的相关知识，形成自己的解题方法和技巧。
以上就是解题思路十大技巧，希望对你有所帮助。
如果还有其他问题，欢迎继续提问。
图形的相似、圆的复习课件
相似图形的性质
性质 形状相似性 边长比例 角度比例
描述 相似图形具有相同的形状。 相似图形的对应边长之间的比例相等。 相似图形的对应角度之间的比例相等。
圆的复习
1 基本概念
圆是由所有到圆心距离 相等的点组成的图形。
2 性质和特点
圆的每条弧长相等，圆 的直径是圆的两倍。
3 相关公式
圆的面积公式为πr²，圆 的周长公式为2πr。
图形的相似、圆的复习 ppt课件
图形的相似性、圆的复习是学习几何的重要内容。本课程将帮助您理解相似 图形的定义、特点、性质以及圆的基本概念、性质和相关公式。通过精心设 计的ppt课件，您将能够轻松理解和掌握这些知识。
相似图形的定义
形状与比例
相似图形具有相同的形状，但尺寸可以不同。它们的边长、角度比例相等。
ppt课件设计
目录和标题 设计
清晰的目录和标题 设计能够帮助听众 更好地理解课程结 构和内容。
内容布局和 排版
合理的内容布局和 排版能够使信息更 易于理解和记忆。
图表和图像 的使用
图表和图像可以直 观地呈现概念和数 据，增加课件的吸 引力。
色彩和字体 选择
正确的色彩和字体 选择可以提升课件 的视觉效果和阅读 体验。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
对应的角度相等
相似图形的对应角度相等，因此它们的形状看起来相似。
比例相等
相似图形的对应线段的比例相等，这是相似性的另一个重要特点。
相似图形的特点
相似三角形的特点
相似三角形的对应角度相等， 对应线段的比例相等。
相似四边形的特点
相似四边形的对应角度相等， 对应线段的比例相等。
相似多边形的特点
相似多边形的对应角度相等， 对应线段的比例相等。
专题7圆的切线的判定与性质-重难点题型(举一反三)
专题2.2 圆的切线的判定与性质--重难点题型【知识点1 切线的判定】（1）切线判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线②和圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）③如果圆心到一条直线的距离等于圆的半径，那么这条直线是圆的切线（2）切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．【题型1 切线判定（连半径，证垂直）】【例1】（2021•新兴县一模）如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O，交⊙O于点C，连接BD，∠DAB＝∠B＝30°，求证：直线BD是⊙O的切线．【变式1-1】（2020秋•思明区校级期末）如图，AB是圆O的一条弦，点E是劣弧AB的中点，直线CD经过点E 且与直线AB平行，证明：直线CD是圆O的切线．【变式1-2】（2020秋•福州期末）如图，AB是⊙O的直径，C为半圆O上一点，直线l经过点C，过点A作AD ⊥l于点D，连接AC，当AC平分∠DAB时，求证：直线l是⊙O的切线．【变式1-3】（2021•芜湖模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD＝∠ACB 交⊙O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF．（1）求证：ED＝EC；（2）求证：AF是⊙O的切线．【题型2 切线判定（作垂直，证半径）】【例2】（2020秋•原州区期末）如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB．求证：直线AB是⊙O 的切线．【变式2-1】（2020秋•北京期末）如图，以点O为圆心作圆，所得的圆与直线a相切的是（）A．以OA为半径的圆B．以OB为半径的圆C．以OC为半径的圆D．以OD为半径的圆【变式2-2】（2020秋•曲靖期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC边于点D、F．过点D作DE⊥CF于点E．求证：DE是⊙O的切线；【变式2-3】（2021•南平模拟）如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，过A，C，D三点的圆O交AB于点E，已知，BD＝AD，∠BAD＝2∠DAC＝36°．（1）求证：AD是圆O的直径；（2）过点E作EF⊥BC于点F，求证：EF与圆O相切．【题型3 切线判定（定义法）】【例3】（2020秋•北塘区期中）给出下列说法：（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；（2）与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（3）垂直于圆的半径的直线是圆的切线；（4）过圆的半径的外端的直线是圆的切线．其中正确的说法个数为（）A．1B．2C．3D．4【变式3-1】（2020秋•锡山区校级月考）下列直线是圆的切线的是（）A．与圆有公共点的直线B．到圆心的距离等于半径的直线C．到圆心的距离大于半径的直线D．到圆心的距离小于半径的直线【变式3-2】给出下列说法：①与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；②与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；③垂直于圆的半径的直线是圆的切线；④过圆的半径的外端的直线是圆的切线；⑤经过圆心和切点的直线垂直于这条切线．其中正确的是．（填序号）【变式3-3】（2020•龙川县二模）如图，P A和⊙O相切于A点，PB和⊙O有公共点B，且P A＝PB，求证：PB是⊙O的切线．【知识点2 切线的性质】（1）切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径（2）切线性质的推论：①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心【题型4 切线的性质（求长度问题）】【例4】（2020秋•衢江区期末）如图，直线AB与⊙O相切于点C，OA交⊙O于点D，连结CD．已知OD＝CD ＝5，求AC的长．【变式4-1】（2021•温州三模）在等腰三角形ABC 中，AC ＝BC ＝2，D 是AB 边上一点，以AD 为直径的⊙O 恰好与BC 相切于点C ，则BD 的长为（ ）A ．1B ．2√33C ．2D ．2√55【变式4-2】（2021•湖州一模）如图，以△ABC 的边AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，过点D 的切线DE ⊥AC 于点E ．（1）求证：AB ＝AC ；（2）若AB ＝10，BD ＝8，求DE 的长．【变式4-3】（2021•陕西模拟）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，连接BC ，F 为BC 的中点，连接FO 并延长交⊙O 于点D ，过点D 的切线与CA 的延长线交于点E ．（1）求证：四边形CEDF 是矩形；（2）若AC ＝OA ＝2，求AE 的长．【题型5 切线的性质（求半径问题）】【例5】（2020秋•市中区期末）如图，BE 是⊙O 的直径，点A 和点D 是⊙O 上的两点，过点A 作⊙O 的切线交BE 延长线于点C ．（1）若∠ADE ＝28°，求∠C 的度数；（2）若AC ＝2√3，CE ＝2，求⊙O 半径的长．【变式5-1】（2020秋•沂水县期末）如图，已知⊙O 上三点A ，B ，C ，∠ABC ＝15°，切线P A 交OC 延长线于点P ，AP =√3，则⊙O 的半径为（ ）A ．√33B ．√32C ．√3D ．3【变式5-2】（2021•河南模拟）如图，AB 为⊙O 的直径，C 为BA 延长线上一点，CD 是⊙O 的切线，D 为切点，作OF ⊥AD 于点E ，交CD 于点F ．（1）在不增加辅助线的情况下，请直接写出图中一对相等的角，并证明；（2）若BD ＝8，EF ＝2，求⊙O 的半径．【变式5-3】（2021•贵池区模拟）已知：在⊙O 中，AB 为直径，P 为射线AB 上一点，过点P 作⊙O 的切线，切点为点C ，D 为弧AC 上一点，连接BD 、BC 、DC ．（1）如图1，求证：∠D ＝∠PCB ；（2）如图2，若四边形CDBP 为平行四边形，BC ＝5，求⊙O 的半径．【题型6 切线的性质（求角度问题）】【例6】（2021•红桥区三模）在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与边AC，BC交于点D，E，且DE＝BE．（Ⅰ）如图①，若∠CAB＝38°，求∠C的大小；（Ⅱ）如图②，过点E作⊙O的切线，交AB的延长线于点F，交AC于点G，若∠CAB＝52°，求∠BEF的大小．【变式6-1】（2021•三明模拟）从⊙O外一点A作⊙O的切线AB，AC，切点分别为B，C，D是⊙O上不同于B，C的点，∠BAC＝60°，∠BDC的度数是（）A．120°B．60°C．90°或120°D．60°或120°【变式6-2】（2021•北辰区二模）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，∠ABC＝58°．（Ⅰ）如图①，若∠AEC＝85°，求∠BAD和∠CDB的大小；（Ⅱ）如图②，若CD⊥AB，过点D作⊙O的切线DF，与AB的延长线相交于点F，求∠F的大小．【变式6-3】（2021•天津）已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BAC＝42°，点D是⊙O上一点．（Ⅰ）如图①，若BD为⊙O的直径，连接CD，求∠DBC和∠ACD的大小；（Ⅱ）如图②，若CD∥BA，连接AD，过点D作⊙O的切线，与OC的延长线交于点E，求∠E的大小．。
圆与相似综合题的有关定理
圆和相似综合题有关定理1、圆幂定理（在证明比例式、求线段长度时将发挥重要作用。
）2、托勒密定理：圆内接四边形两组对边乘积之和，等于两条对角线的乘积。
已知：四边形ABCD 内接于圆，如图，求证：AB·CD + BC·AD = AC·BD证明：在∠BAD 内作∠BAE=∠CAD ，交BD 于E 。
因∠ABE=∠ACD ，所以△ABE ∽△ACD ，从而AB BE ACCD =得 AB·CD = AC·BE ①； … 易证△ADE ∽△ACB ，从而BC AC DE AD = 得BC·AD = AC·DE ②； ①+② 得AB·CD + BC·AD = AC （BE+DE ）= AC·BD定理 图形已知 结论 证法 相交*弦定理⊙O 中，AB 、CD 为弦，交于点P 。
PA·PB ＝PC·PD 连结AC 、BD ， 证：△APC ∽△DPB 切 、割线定理 ⊙O 中，PT 切⊙O 于点T ，割线PB 交⊙O 于点A 。
PT 2＝PA·PB连结TA 、TB ， 证：△PTB ∽△PAT }割线定理PB 、PD 为⊙O 的两条割线，交⊙O 于A 、C 两点。
PA·PB ＝PC·PD ~ 过P 作PT 切⊙O 于T ，用两次切割线定理 C E3、弦切角定理：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角称为弦切角。
弦切角等于弦与切线所夹弧所对的圆周角。
}弦切角定理的证明：已知：AP切⊙O于P，PQ是弦，则∠APQ是弦切角，∠APQ夹的弧是弧PQ，弧PQ所对的圆周角记为∠PCQ证明：∠APQ=∠PCQ （弦切角的位置分以下三种情况）】1°圆心O在∠APQ外部过P作直径BP，联结BC则BP⊥AP，∠APB=90°，且∠BCP是直径BP所对的圆周角，∠BCP=90°#则有∠APB=∠BCP，即∠APQ+∠BPQ=∠BCQ+∠PCQ由于∠BPQ，∠BCQ都是弧BQ所对的圆周角，所以∠BPQ=∠BCQ所以∠APQ=∠PCQ2°圆心O在∠APQ的一边，PQ上此时PQ是直径，则PQ⊥AP，∠APQ=90°而且∠PCQ是直径PQ所对的圆周角，∠PCQ=90°所以∠APQ=∠PCQ3°圆心O在∠APQ内部过P作直径BP，联结BC则BP⊥AP，∠APB=90°，且∠BCP是直径BP所对的圆周角，∠BCP=90°则有∠APB=∠BCP由于∠BPQ，∠BCQ都是弧BQ所对的圆周角，所以∠BPQ=∠BCQ所以∠APB+∠BPQ=∠BCP+∠BCQ即∠APQ=∠PCQ。
中考复习专题——圆切线证明
中考复习专题--------圆的切线的判定与性质知识考点：1、掌握切线的判定及其性质的综合运用，在涉及切线问题时，常连结过切点的半径，切线的判定常用以下两种方法：一是连半径证垂直，二是作垂线证半径。
2、掌握切线长定理的灵活运用，掌握三角形和多边形的内切圆，三角形的内心。
精典例题：一、假设直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直〞，难点在于如何证明两线垂直.例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.求证：EF与⊙O相切.例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.求证：PA与⊙O相切.例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M求证：DM与⊙O相切.例4 如图，：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上. 求证：DC是⊙O的切线例5 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP.求证：PC是⊙O的切线.例6 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F.求证：CE与△CFG的外接圆相切.二、假设直线l与⊙O没有的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA 是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径〞例7 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切.例8 ：如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且AC∥BD，假设∠COD=900.求证：CD是⊙O的切线.[习题练习]例1如图，AB是⊙O的弦〔非直径〕，C、D是AB上两点，并且OC=OD，求证：AC=BD．例2：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC•交于点E，求证：△DEC为等腰三角形．例3如图，AB是⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，CD与⊙O切于C，交AB•的延长线于D，求证：AC=CD．，BF和AD交于E，例4如图20-12，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，AB AF求证：AE=BE．例5如图，AB是⊙O的直径，以OA为直径的⊙O1与⊙O2的弦相交于D，DE⊥OC，垂足为E．〔1〕求证：AD=DC．〔2〕求证：DE是⊙O1的切线．AB CDEF G O例6如图，直线MN 与以AB 为直径的半圆相切于点C ，∠A=28°．〔1〕求∠ACM 的度数．〔2〕在MN 上是否存在一点D ，使AB ·CD=AC ·BC ，说明理由．例7如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙O 的半径为3． 〔1〕假设圆心O 与C 重合时，⊙O 与AB 有怎样的位置关系？ 〔2〕假设点O 沿CA 移动，当OC 等于多少时，⊙O 与AB 相切？19.如图，Rt△ABC 内接于⊙O，AC=BC ，∠BAC 的平分线AD 与⊙0交于点D ，与BC 交于点E ，延长BD ，与AC 的延长线交于点F ，连结CD ，G 是CD 的中点，连结0G ．(1)判断0G 与CD 的位置关系，写出你的结论并证明；(2)求证：AE=BF ；〔3〕假设3(22)OG DE ⋅=-，求⊙O 的面积。
圆与相似三角形综合题解题技巧
圆与相似三角形综合题解题技巧
圆与相似三角形的综合题是高中数学中的重点难点之一。
一般来说，这类题目需要我们掌握以下的解题技巧：
一、圆相关定理
1.圆的性质：圆周上任意两点距离相等，圆心到圆周上任意一点的距离相等。
2.圆心角定理：圆周上两点的连线所对的圆心角是不变量。
3.圆的切线定理：切线与半径垂直，切点在圆心角的平分线上。
二、相似三角形相关定理
1.角度相等定理：若两个角分别相等，则两个三角形相似。
2.比例定理：若两个角分别相等，则两个三角形对应边的长度成比例。
3.三角形内角和定理：一个三角形内角的度数和是180度。
基于以上的定理，我们可以通过以下步骤解决圆与相似三角形的综合题：
1.根据圆心角定理，求出圆心角。
2.根据角度相等定理或比例定理，确定相似三角形的相似比例。
3.利用三角形内角和定理，求出三角形另一个角的度数。
4.根据三角形内角和定理和已知角度，求出第三个角的度数。
5.利用已知角度和比例定理，求出相似三角形的边长。
6.应用圆的切线定理、圆心角定理或其他定理，求出需要求解的量。
需要注意的是，在解题过程中，我们需要注意角度单位是否一致，如角度一般用度数表示，而弧度制需要换算。
同时，我们还需要注意图形的几何位置关系，如切线与圆周、圆心角的平分线等。
综上所述，圆与相似三角形的综合题需要我们掌握相关的定理和解题技巧，同时需要注意单位和几何位置关系。
中考复习专题——圆切线证明
中考复习专题——圆切线证明中考复习专题--------圆的切线的判定与性质知识考点：1、掌握切线的判定及其性质的综合运用，在涉及切线问题时，常连结过切点的半径，切线的判定常用以下两种方法：一是连半径证垂直，二是作垂线证半径。
2、掌握切线长定理的灵活运用，掌握三角形和多边形的内切圆，三角形的内心。
精典例题：一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.求证：EF与⊙O相切.例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.求证：PA与⊙O相切.例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC 于D，DM⊥AC于M求证：DM与⊙O相切.例4 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上.求证：DC是⊙O的切线例 5 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP.求证：PC是⊙O的切线.例6 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F.求证：CE与△CFG的外接圆相切.二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O 的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”例7 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切.例8 已知：如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且AC ∥BD，若∠COD=900.求证：CD是⊙O的切线.[习题练习]例1如图，AB是⊙O的弦（非直径），C、D是AB上两点，并且OC=OD，求证：AC=BD．例2已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC•交于点E，求证：△DEC为等腰三角形．例3如图，AB是⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，CD 与⊙O切于C，交AB•的延长线于D，求证：AC=CD．例4如图20-12，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，AB AF，BF和AD交于E，求证：AE=BE．例5如图，AB是⊙O的直径，以OA为直径的⊙O1与⊙O2的弦相交于D，DE⊥OC，垂足为E．（1）求证：AD=DC．（2）求证：DE是⊙O1的切线．AB CDE F G O例6如图，已知直线MN 与以AB 为直径的半圆相切于点C ，∠A=28°．（1）求∠ACM 的度数．（2）在MN 上是否存在一点D ，使AB ·CD=AC ·BC ，说明理由．例7如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙O 的半径为3．（1）若圆心O 与C 重合时，⊙O 与AB 有怎样的位置关系？（2）若点O 沿CA 移动，当OC 等于多少时，⊙O 与AB 相切？19.如图，Rt△ABC 内接于⊙O，AC=BC ，∠BAC 的平分线AD 与⊙0交于点D ，与BC 交于点E ，延长BD ，与AC 的延长线交于点F ，连结CD ，G 是CD 的中点，连结0G ．(1)判断0G 与CD 的位置关系，写出你的结论并证明；(2)求证：AE=BF ；（3）若3(2OG DE ⋅=-，求⊙O 的面积。
高三数学圆的相似知识点
高三数学圆的相似知识点在高三数学学习中，圆的相似是一个重要的知识点。
相似是指两个或多个图形的形状相同，但尺寸可能不同。
在数学中，我们通常用比值来表示图形的相似性。
下面，我们将深入探讨高三数学中与圆的相似相关的知识点。
一、相似圆的定义相似圆是指具有相同形状但尺寸不同的两个或多个圆。
在相似圆中，直径相等的两个圆即为相似圆。
二、相似圆的性质1. 相似圆的圆心角相等：对于相似圆中的圆心角，它们的度数相等。
2. 相似圆的弧长比例：在相似圆中，对应弧的弧长比例等于对应半径的比例。
3. 相似圆的面积比例：相似圆的面积比例等于半径的平方比例。
三、相似圆的判定定理1. 垂径定理：如果两个圆的互相垂直的直径之间有一条公共切线，那么这两个圆是相似圆。
2. 弦比定理：如果两个圆的半径分别被一条弦平分，那么这两个圆是相似圆。
四、相似圆的应用1. 相似圆的测量：通过相似圆的性质，我们可以根据已知圆的信息来计算未知圆的尺寸，如半径、弧长和面积等。
2. 相似圆的判定：利用相似圆的判定定理，我们可以通过已知信息判断两个圆是否相似。
3. 相似圆的建模：在实际问题中，我们可以将需要研究的物体抽象为圆，通过相似圆的概念和性质来进行建模，从而解决实际问题。
五、例题解析1. 已知圆A的半径为3cm，圆B的半径为6cm，判断圆A和圆B是否相似。
解析：根据相似圆的定义，相似圆是指具有相同形状但尺寸不同的两个或多个圆。
因为圆A和圆B的半径比例为3:6，即为1:2，符合相似圆的定义，所以圆A和圆B是相似圆。
2. 已知圆C的面积为16π，圆D的面积为9π，计算圆C与圆D的面积比例。
解析：根据相似圆的性质，相似圆的面积比例等于半径的平方比例。
设圆C的半径为r1，圆D的半径为r2，由题意得到以下等式：πr1^2 / πr2^2 = 16π / 9π化简可得：r1^2 / r2^2 = 16 / 9所以，圆C与圆D的面积比例为16:9。
通过以上例题解析，我们可以看出相似圆在高三数学中的重要性和应用价值。
圆切线、相似和锐角三角函数综合题专题复习-9(学生版)
个性化教学辅导教案学生姓名年 级初三学 科数学授课老师日 期上课时间课 题圆切线、相似和锐角三角函数综合题专题复习教学目标1、巩固圆的切线和相似三角形的性质和判定2、锐角三角函数求法和特殊锐角三角函3、数值，熟练应用它们解决相应的问题复习检查问题定位1、巩固圆的切线和相似三角形的性质和判定2、锐角三角函数求法和特殊锐角三角函3、数值，熟练应用它们解决相应的问题。
原因分析精准突破1.如图，A 是以BC 为直径的⊙O 上一点， AD ⊥BC 于点D ，过点B 作⊙O 的切线，与CA 的延长线相交于点E ，G 是AD 的中点，连接CG 并延长与BE 相交于点F ，延长AF 与CB 的延长线相交于点P ．（1）求证：BF=EF ；（2）求证：PA 是⊙O 的切线；（3）若FG=BF ，且⊙O 的半径长为,求BD 和FG 的长度．2.如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC 交△ABC 的外接圆⊙O 于点H ，过点H 作EF ∥BC 交AC 、AB 的延长线于点E 、F ．（1）求证：EF 是⊙O 的切线；（2）若AH=8，DH=2，求CH 的长；（3）若∠CAB=60°，在（2）的条件下，求弧BHC 的长．3.如图，AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，弦CD ⊥AB 于点E ，∠POC=∠PCE ．（1）求证：PC 是⊙O 的切线；（2）若OE ：EA=1：2，PA=6，求⊙O 的半径；（3）求sin ∠PCA 的值．4.如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8．以AB 为直径的⊙O 交AC 于D ，E 是BC 的中点，连接ED 并延长交BA 的延长线于点F ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）求DB 的长；（3）求S ：S 的值．△FAD △FDB 5.如图i ，半圆O 为△ABC 的外接半圆，AC 为直径，D 为劣弧BC上的一动点，P 在CB 的延长线上，且有∠BAP=∠BDA ．（1）求证：AP 是半圆O 的切线；（2）当其它条件不变时，问添加一个什么条件后，有BD =BE•BC 成立？说明理由；2（3）如图ii，在满足（2）问的前提下，若OD⊥BC与H，BE=2，EC=4，连接PD，请探究四边形ABDO是什么特殊的四边形，并求tan∠DPC的值．6.如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC 平分∠DAB，延长AB交DC于点E．（1）判定直线DE与圆O的位置关系，并说明你的理由；（2）求证：AC=AD•AB；（3）以下两个问题任选一题作答．（若两个问题都答，则以第一问的解答评分）①若CF⊥AB于点F，试讨论线段CF、CE和DE三者的数量关系；②若EC=，EB=5，求图中阴影部分的面积．27如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，⊙O的割线PDE 垂直AB于点F，交BC于点G，连接PC，∠BAC=∠BCP，求解下列问题：（1）求证：CP是⊙O的切线．（2）当∠ABC=30°，BG=，CG=时，求以PD、PE的长为两根的一元二次方程．（3）若（1）的条件不变，当点C在劣弧AD上运动时，应再具备什么条件可使结论BG=BF•BO成立？试写出你的猜想，并说明理由．28.如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB于点B，连接OC交⊙O于点E，弦AD∥OC，弦DF⊥AB于点G．（1）求证：点E是弧BD的中点；（2）求证：CD是⊙O的切线；（3）若sin∠BAD=，，⊙O的半径为5，求DF的长．9.如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O交AC边于点D，E是边BC的中点，连接DE．（1）求证：直线DE是⊙O的切线；（2）连接OC交DE于点F，若OF=CF，求tan∠ACO的值．巩固练习1.已知：如图，AB是⊙O的直径，AD是弦，OC垂直AD于F交⊙O于E，连接DE、BE，且∠C=∠BED．1）求证：AC是⊙O的切线；2）若OA=10，AD=16，求AC的长．2.如图，以线段AB为直径的⊙O交线段AC于点E，点M是弧AE中点，OM交AC于点D，∠BOE=60°，cosC=，BC=。
2020年中考数学专题复习：圆中三大切线定理
题目中圆的切线,可以“连半径,标直角〞,然后在直角三角形中利用勾股、相似或锐角三角函数解决问题.【例1】 如图,在△ABC 中,BC AB =,以AC 为直径的⊙0与BC 边交于点D ,过点D 作⊙O 的切线DE ,交AB 于点E ,假设 DE ⊥AB ．求证：BE AE 3=．【解析】 连接OD 、AD ,由切线的性质定理可得AB OD ⊥,知识互联网思路导航典题精练题型一：切线的性质定理圆中三大切线定理E ODCBA2又∵DE ⊥AB , ∴AB OD ∥那么OD 为ABC ∆的中位线, D 为BC 中点, 又∵︒=∠90ADC ,那么AD 为BC 的垂直平分线,∴BC AC AB ==,ABC ∆为等边三角形, ∴︒=∠=∠60ADE B , ∴BE DE AE 33==．判定切线共有三种方法：定义法、距离法和定理法,其中常用的是距离法和定理法,可以总结为六字口诀,定理法是“连半径,证垂直〞,距离法是“作垂直,证半径〞,定理法的使用频率最高,必须熟练掌握.【例2】 如图,C 是以AB 为直径的⊙O 上一点,过O 作OE ⊥AC于点E ,过点A 作⊙O 的切线 交OE 的延长线于点F , 连结CF 并延长交BA 的延长线于点P . ⑴ 求证：PC 是⊙O 的切线.⑵ 假设AB =4,2 1：：=PC AP ,求CF 的长.【解析】⑴ 证实：连结OC ．∵ OE ⊥AC ,∴ AE =CE ．∴ F A =FC ．∴ ∠F AC =∠FCA ．∵ OA =OC ,∴ ∠OAC =∠OCA ．∴ ∠OAC +∠F AC =∠OCA +∠FCA ． 即∠F AO =∠FCO ．∵ F A 与⊙O 相切,且AB 是⊙O 的直径, ∴ F A ⊥AB ．∴ ∠FCO =∠F AO =90°． ∴ PC 是⊙O 的切线．⑵ ∵∠PCO =90°,即∠ACO +∠ACP =90°.又∵∠BCO +∠ACO =90°,∴ ∠ACP =∠BCO . 思路导航典题精练题型二：切线的判定定理E ODCBA∵ BO =CO ,∴ ∠BCO =∠B ,∴ ∠ACP =∠B . ∵ ∠P 公共角,∴ △PCA ∽△PBC . ∴BCACPC PA PB PC ==. ∵2 1：：=PC AP ,∴21=BC AC . ∵ ∠AEO =∠ACB =90°,∴ OF ∥BC .∴ABC AOF ∠=∠.∴21tan tan =∠=∠ABC AOF .∴21tan ==∠AO AF AOF . ∵ AB =4,∴ AO =2 .∴ AF =1 .∴ CF =1 .【例3】 如图,Rt ABC △中,90ACB ∠=︒,BD 平分ABC ∠,以D 为圆心、CD 长为半径作D ⊙,与AC 的另一个交点为E ． ⑴ 求证：AB 与D ⊙相切； ⑵ 假设43AC BC ==，,求AE 的长．【解析】 ⑴ 证实：过点D 作DH AB ⊥于H ．∵BD 平分ABC ∠,90ACB ∠=︒,DH AB ⊥, ∴DC DH =．∵DC 是D ⊙的半径,∴AB 与D ⊙相切．⑵ 解：设D ⊙的半径为r ．在Rt ABC △中,90ACB ∠=︒,43AC BC ==，, ∴5AB =．由⑴可知BC 切D ⊙于C ,BH 切D ⊙于H ,∴3BH BC ==, ∴532AH AB BH =-=-=． 又4AD AC CD r =-=-,∴在Rt ADH △中,90AHD ∠=︒,∴222AH DH AD +=,即()22224r r +=-,解得32r =．∴421AE AC CE r =-=-=．另：该问还可以用AHD ACB △∽△求得AE 的长． 还可以用ADB △面积的求法,3(4)5r r -=.【例4】 ：如图,AB 是O ⊙的直径,C 是O ⊙上一点,OD BC ⊥于点D ,过点C 作O ⊙的切线,交OD 的延长线于点E ,连结BE ． ⑴ 求证：BE 与O ⊙相切；⑵ 连结AD 并延长交BE 于点F ,9OB =，2sin 3ABC ∠=,求BF 的长．【解析】⑴ 证实：连结OC .EC 与⊙O 相切,C 为切点.FECBMAO DE DCBAHABCDE490....ECO OB OC OCB OBC OD DC DB DC ∴∠==∴∠=∠⊥∴=，∴直线OE 是线段BC 的垂直平分线....90.EB EC ECB EBC ECO EBO EBO ∴=∴∠=∠∴∠=∠∴∠=AB 是⊙O 的直径. BE ∴与⊙O 相切.⑵ 解：过点D 作DM AB ⊥于点M ,那么DM ∥FB . 在Rt ODB ∆中,2909sin 3sin 6.ODB OB ABC OD OB ABC ∠==∠=∴=⋅∠=，，，由勾股定理得223 5.BD OB OD =-= 在Rt DMB ∆中,同理得 22sin 2 5.5.DM BD ABC BM BD DM =⋅∠==-=O 是AB 的中点, 18.13.AB AM AB BM ∴=∴=-=DM ∥FB ,..365.AMD ABF MD AMBF ABMD AB BF AM ∴∆∆∴=⋅∴==切线长和切线长定理：⑴ 在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长． 思路导航题型三 切线长定理O PE DC BA⑵ 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．【引例】：如图,PA PB 、分别与O ⊙相切于A B 、两点．求证：⑴ APO BPO ∠=∠；⑵ PA PB =；⑶ OP 垂直平分线段AB ．【解析】 连结OA OB ， ∵PA PB ，分别与O ⊙相切,∴PA OA PB OB ⊥⊥，, ∵OA OB =,OP=OP ∴AOP BOP △≌△ ∴APO BPO ∠=∠． ∴PA PB =,由等腰三角形“三线合一〞可知：OP AB ⊥且AC BC =, ∴OP 垂直平分线段AB ．【例5】 ⑴ 如图,PA PB DE 、、分别切O ⊙于A B C 、、,假设10PO =,PDE △周长为16,求O ⊙的半径．⑵ 梯形ABCD 中,AB CD ∥,O 是AB 上一点,以O 为圆心的半圆与AD CD BC 、、都相切．6AD =,4BC =,求AB 的长．【解析】 ⑴ 连结OA∵PA PB DE 、、都与O ⊙相切, ∴PA PB DC DA EC EB ===，，,∴PDE △周长PD DE PE PD DC CE PE =++=+++16PD DA EB PE PA PB =+++=+= ∴8PA =∴226OA PO PA =-=,即O ⊙的半径为6． ⑵ 连接OD OC 、,∵AD CD BC 、、都是半圆O 的切线,由切线长定理得OD 平分ADC ∠,OC 平分BCD ∠, ∵AB CD ∥,∴6AO AD ==,4BO BC ==, ∴6410AB AO BO =+=+=．【例6】 ⑴ 如右图所示,ABC △的内切圆与三边AB 、BC 、CA 分别切于D 、E 、F .13cm AB =,14cm BC =,11cm CA =,求AD 、BE 、CF 的长．例题精讲典题精练C OB AP ABO C FEDA ODCAA BCDO6⑵ 如图,在ABC ∆Rt 中,︒=∠90C ,6=AC ,8=BC ,圆O 为ABC ∆的内切圆,点D 是斜边AB 的中点,那么ODA ∠tan .〔2021启东市模拟〕【解析】 ⑴ ∵AB 、BC 、CA 与O ⊙相切,∴AD AF =,BD BE =,CE CF =设 AD x =,BD y =,CE z =,131411x y y z z x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩,解得586x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩,即AD 、BE 、CF 的长分别为5cm 、8cm 和6cm ．⑵ 2．MC图6FBO M 图4F【例7】 ：AB 是半圆O 的直径,点C 在BA 的延长线上运动〔点C 与点A 不重合〕,以OC 为直径的半圆M 与半圆O 交于点D ,DCB ∠的平分线与半圆M 交于点E ． (1) 求证：CD 是半圆O 的切线〔图1〕；(2) 作EF AB ⊥于点F 〔图2〕,猜测EF 与已有的哪条线段的一半相等,并加以证实.【解析】 ⑴ 连结OD ,那么OD 为半圆O 的半径．∵OC 为半圆M 的直径, ∴90CDO ∠=︒．∴CD 是半圆O 的切线．⑵ 猜测：12EF =OA ．证法一：如图4,连结OD OE ，,延长OE 交CD 于点K ,作EG CD ⊥于点G ,那么EG OD ∥． ∵CE 平分DCB ∠, ∴OCE KCE ∠=∠． ∵EF AB ⊥, ∴EG EF =．∵OC 是半圆M 的直径,E 为半圆M 上的一点, ∴90CEO CEK ∠=∠=．∵CE 为公共边, ∴COE CKE △≌△． ∴OE KE =．∵EG OD ∥, ∴DG GK =．∴1122EF EG OD OA ===．证法二：如图5,以OC 为直径作M ,延长EF 交M 于点P ,连结OD ． ∵EF CO ⊥,∴12EF PF EP ==,EO PO =．∵CE 平分DCB ∠, ∴DCE ECO ∠=∠． ∴DE OE =． ∴OD EP =． ∴OD EP =．C F O 图2C 图18C图5∴1122EF OD OA ==．证法三：如图6,连结OD ME 、,OD ME 、相于点H ．∵CE 平分DCB ∠, ∴DE OE =．∴12ME OD OH OD ⊥=，．∵EF CO ⊥,∴90MFE MHO ∠=∠=︒． ∵EMF OMH ME MO ∠=∠=，, ∴MEF MOH △≌△． ∴EF OH =．∴1122EF OD OA ==．精讲：三角形内切圆相关性质和结论探究；【探究对象】三角形内切圆相关性质和结论【探究过程】【探究1】角的相关性质探究：AO 、BO 、CO 均为角平分线,且A BOC ∠+︒=∠2190；【探究2】直角三角形内切圆半径计算方法探究：直角三角形的内切圆半径2a b cr +-=,或cb a ab r ++=(其中a 、b 为直角边,c 为 斜边)例：如图,O 为Rt ABC ∆的内切圆,9043ACB AC BC ∠=︒==，，,求内切圆半径r ．43OCBAPNMOCBA分析：方法一：连接OA OB OC ，，, ∵43AC BC ==，, ∴5AB =∵BOC AOC AOB ABC S S S S ∆∆∆∆++=,设三角形的底BC AB AC ，，各为a b c ，，, 即11112222ar br cr ab ++=,∴341345r ⨯==++ 方法二：设O 切BC AC ，,AB 于M N ，,P 三点, 由切线长定理可知：CN CM AN AP BM BP ===，， O A∴()()CM CN CB BM AC AN +=-+- BC AC BP AP =+--3452BC AC AB =+-=+-= ∵CM CN =,∴1CM =, 由90C OM BC ON AC ∠=︒⊥⊥，，可证得四边形OMCN 为正方形． ∴1OM MC ==,即O 的半径1r =．【探究3】普通三角形内切圆半径计算方法探究：普通三角形的内切圆半径()()()cb ac p b p a p p r ++---=2(其中a 、b 为直角边,c 为斜边,2cb a p ++=) 分析：由【探究2】的方法一可知,cb a Sr ++=2,由海伦公式可得()()()c p b p a p p S ---=；【探究4】增加内切圆的个数；例：如图,1O 和2O 为Rt ABC ∆的内切等圆,43AC BC ==，,求1O 的半径r ．BABA分析：连接1212BO AO CO CO ，，，．那么121212ABC BCO ACO CO O ABO O S S S S S ∆∆∆∆=+++梯形, 即34(25)(2.4)234r r r r r r ++++-=⨯,解得57r =． 【探究5】继续增加内切圆的个数； 例：如图,12n O O O ，为Rt ABC ∆的内切等圆,43AC BC ==，,求1O 的半径r ．分析：参见前一变式的解法,由面积易得,∵111n n n ABC BO C CO O ACO BAO O S S S S S ∆∆∆∆=+++梯形,即11111213434(22)()[2(1)5]222252r r n r r n r r ⨯⨯=⨯+⨯+-⨯-+-+, ∴6512236(1)5r n n ==++-．【探究6】改变内切圆的位置；例：如图,假设两等圆12O O ，与Rt ABC ∆的边BC 及AC AB ，的延长线相切,且两等圆外切,求此时两等圆的半径r ．分析：连接121122O O O C O A O B O A ，，，，,∵112212ABC ACO O O A AO B O O BC S S S S S ∆∆∆∆=+++梯形, 即()()12424523r r r r r r =+⋅++-+,解10得,67r =． 例：假设将上面变式中的n 个等圆,放到ABC ∆外相邻两圆相外切,且与线段BC 相切,与线段AB AC ，的延长线相切,求这些圆的半径r ．分析：连接111n n n O C O A O O O B O A ，，，，,那么111n n n ABC AO C AO O ABO BCO O S S S S S ∆∆∆∆=++-梯形,即4(22)(4)5[(22)3]12r n r r r n r r +-⋅++--+=,解得641r n =-． 【总结】求直角三角形内切圆半径通常方法有两种：⑴ 面积法；⑵ 利用切线长定理．求其它三角形内切圆半径的方法也有两种： ⑴ 面积法：知道三角形的三边,利用勾股定理可求出任意一边上的高,于是就可以求出三角形的面积,接着仿照例题中的方法利用面积即可求出其内切圆的半径．⑵ 利用切线长定理：利用切线长定理可求出三角形任意一顶点到内切圆的切线长,利用三角函数可求出三角形以这个顶点为角的内角度数,再解以这个顶点到圆心的线段、内切圆的半径、这个顶点到内切圆的切线长为三边的直角三角形即可．【探究7】圆外切四边形的性质探究：圆外切四边形的对边和相等：BC AD CD AB +=+；分析：由切线长定理可设线段长度如下图； 那么BC AD d c b a CD AB +=+++=+；BADDOD CB AO ABCDO F E D CBA题型一 切线的性质定理 稳固练习【练习1】 如图,AB 与O ⊙相切于点B ,线段OA 与弦BC 垂直于点D ,60AOB ∠=︒,4cm BC =,那么切线AB = cm .【解析】 4．题型二 切线的判定定理 稳固练习【练习2】 在平行四边形ABCD 中,1060AB AD m D ==∠=︒，，,以AB 为直径作O ⊙,⑴ 求圆心O 到CD 的距离〔用含m 的代数式来表示〕；⑵ 当m 取何值时,CD 与O ⊙相切．【解析】 ⑴ 分别过A O ，两点作AE CD OF CD ⊥⊥，,垂足分别为点E F ，, ∴AE OF ∥,OF 就是圆心O 到CD 的距离．∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB CD ∥,∴AE OF =．在Rt ADE △中,60D ∠=︒,∴3sin AE D AD ==,那么3AE m =, ∴3AE OF m ==,∴圆心到CD 的距离OF 为3m ．⑵ 由⑴得3OF m =,∵AB 为O ⊙的直径,且10AB =,∴当5OF =时,CD 与O ⊙相切于F 点,即35m =,解得103m =, ∴当103m =时,CD 与O ⊙相切．【练习3】 ：如图,由正方形ABCD 的顶点A 引一条直线分别交BD 、CD 及BC 的延长线于点E 、F 、G ,求证：CE 和CGF △的外接圆相切．【解析】 连结OC由ABCD 是正方形,容易证实()SAS ABE CBE △≌△,∴BAE BCE ∠=∠,∵CFG △是直角三角形,∴外接圆圆心O 为FG 中点, ∴OC OG =,∴OCG OGC ∠=∠．∵90BAE OGC ∠+∠=︒,∴90BCE OCG ∠+∠=︒, ∴90OCE ∠=︒,∴CE 与O ⊙相切．复习稳固OGFEDC GOFEDCBA12【练习4】 如图,AB 是O ⊙的直径,BC AB ⊥于点B ,连接OC 交O ⊙于点E ,弦AD OC ∥,弦DF AB ⊥于点G ．⑴ 求证：点E 是BD 的中点； ⑵ 求证：CD 是O ⊙的切线；⑶ 假设4sin 5BAD ∠=,O ⊙的半径为5,求DF 的长．【解析】 ⑴ ∵AD OC ∥,∴A COB ∠=∠,∴2DB BE =,∴DE BE =． ⑵ 连结OD由⑴知DOE BOE ∠=∠在COD △和COB △中,CO CO OD OB ==，, ∴COD COB △≌△ ∴CDO B ∠=∠,又∵BC AB ⊥,∴90CDO B ∠=∠=︒, 即CD 是O ⊙的切线．⑶ 解法一：在ADG △中,4sin 5DG A AD ==,设45DG x AD x ==， ∵DF AB ⊥,∴3AG x =,又∵O ⊙的半径为5,∴53OG x =-,∵222OD DG OG =+,即()()2225453x x =+-,解得12605x x ==，〔舍去〕,∴6482855DF DG ==⨯=． 解法二：连结BD ∵AB 是直径,∴90ADB ∠=︒,4sin 5BD A AB ==∵O ⊙的半径为5,∴485BD AB ==,6AD =,∵DF AB ⊥,∴2DF DG =,在Rt ABD △中,AB DG AD BD ⋅=⋅,∴6824105AD BD DG AB ⋅⨯===, ∴4825DF DG ==．题型三 切线长定理 稳固练习【练习5】 ⑴ 如图,O ⊙是ABC △的内切圆,D E F 、、是切点,18cm AB =,20cm BC =,12cm AC =,又直线MN 切O ⊙于G ,交AB BC 、于M N 、,那么BMN △的周长为______________．⑵ Rt ABC △中,9068C AC BC ∠=︒==，，,那么ABC △的内切圆半径r =________．⑶ 等腰梯形ABCD 外切于圆,且中位线MN 的长为10,那么这个等腰梯形的周长是_____．【解析】 ⑴ 26cm ；⑵ 2；⑶ 40．14【测试1】 如图,MP 切O ⊙于点M ,直线OP 交O ⊙于点A B 、,弦AC MP ∥,求证：MO BC ∥．MPOC BA【解析】 ∵MP 是O ⊙的切线,∴OM MP ⊥,∵AC MP ∥,∴AC OM ⊥,∵AB 是直径,∴90ACB ∠=︒,即BC AC ⊥, ∴MO BC ∥． 【测试2】 如图,四边形ABCD 内接于O ,BD 是O 的直径,CD AE ⊥于点E ,DA 平分BDE ∠．(1) 求证：AE 是O 的切线；(2) 如果4=AB ,2=AE ,求O 的半径．【解析】(1) 证实：联结OA ,∵OA =OD ,∴∠1=∠2．∵DA 平分BDE ∠,∴∠2=∠3．∴∠1=∠3．∴OA ∥DE ． ∴∠OAE =∠4,∵AE CD ⊥,∴∠4=90°．∴∠OAE =90°,即OA ⊥AE ． 又∵点A 在⊙O 上,∴AE 是⊙O 的切线.(2) 解：∵BD 是⊙O 的直径,∴∠BAD =90°．∵∠5=90°,∴∠BAD =∠5． 又∵∠2=∠3,∴△BAD ∽△AED ．∴AEBA AD BD =,∵BA =4,AE =2,∴BD =2AD ． 在Rt △BAD 中,根据勾股定理,得BD =833． ∴⊙O 半径为433．课后测OA CEBD 54321O A CEBD。
2022 年中考数学人教版三轮冲刺复习：圆切线与相似含答案
2022年中考数学人教版三轮冲刺复习：圆切线与相似1．如图1，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，点B是弧CD的中点．（1）求证：AB⊥CD；（2）如图2，点E在弧AD上，连接AE，DE，CE，CE与直径AB交于点F，若∠FAE ＝2∠FCD，求证：CF＝DE；（3）如图3，在（2）问的条件下，连接AC，OR⊥DE于R，点G在AC上，且∠AFG ＝45°，AG＝5，EF＝6，求OR的长．2．如图，已知⊙O为△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，作射线BF，使得BA平分∠CBF，过点A作AD⊥BF于点D．（1）求证：DA为⊙O的切线；（2）若BD＝1，tan∠ABD＝2，求⊙O的半径．3．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，点D为线段BA的延长线上一点，连接DC，过点O作OE∥AC交DC延长线于点E，交BC于点F，且满足∠B＝∠E．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若AB＝8，AC＝4，求EF的长．4．如图，AC是⊙O的直径，点B是⊙O上一点，且BD＝BA，过点B作BE⊥DC，交DC 的延长线于点E．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）若BE＝2CE，当AD＝6时，求BD的长．5．如图，△ABC中，BC＝AC＝10，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G；DF⊥AC于点F，交CB的延长线于点E．（1）求证：直线EF是⊙O的切线；（2）若，求CF的值．6．已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一动点，连接AC，BC，在BA的延长线上取一点D，连接CD，使CD＝CB．（1）如图1，若AC＝AD，求证：CD是⊙O的切线；（2）如图2，延长DC交⊙O于点E，连接AE．i）若⊙O的直径为，sin B＝，求AD的长；ii）若CD＝2CE，求cos B的值．7．如图1，AB是⊙O的直径，点P在⊙O上，且PA＝PB，点M是⊙O外一点，MB与⊙O 相切于点B，连接OM，过点A作AC∥OM交⊙O于点C，连接BC交OM于点D．（1）填空：OD＝AC；求证：MC是⊙O的切线；（2）若OD＝9，DM＝16，连接PC，求sin∠APC的值；（3）如图2，在（2）的条件下，延长OB至N，使BN＝，在⊙O上找一点Q，使得NQ+MQ的值最小，请直接写出其最小值为．8．△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，交⊙O于点E，连接AE，∠AEB＝2∠ABE．（1）如图1，求证：AC＝BC；（2）如图2，作射线CO，交线段BD于点F，求证：DE＝DF；（3）如图3，在（2）的条件下，连接BO并延长，交⊙O于点G，连接AG，交弦BE 于点H，连接EG、CH，若EG＝DH，S△BCF＝15，求线段CH的长．9．AB，AC为⊙O的弦，AB＝AC．（1）如图（1），求证：∠BAO＝∠CAO；（2）如图（2），BD为⊙O的弦，过点D作OA的垂线交⊙O于点E，连接CE，求证：BD＝CE；（3）如图（3），在（2）的条件下，连接CD交AB于点F，连接OF，AE，若OF⊥AB，FD＝5，S＝30，求DE的长．△ACE10．如图，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，BG与⊙O相切于点B交AC的延长线于点D（点D在线段BG上），AC＝8，tan∠BDC＝．（1）求⊙O的直径；（2）当DG＝时，过G作GE∥AD，交BA的延长线于点E，证明GE与⊙O相切．11．如图1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过C作CD∥AB，CD交⊙O 于D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF．（1）求证：AF是⊙O的切线；（2）求证：AB2﹣BE2＝BE•EC；（3）如图2，若点G是△ACD的内心，BC•BE＝64，求BG的长．12．如图所示，已知△ABC是等边三角形，以AC为直径作⊙O，交BC边于点D，交AB 边于点E，作DF⊥AB垂足为点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若△ABC的边长为2，求DF的长度．13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AD交AB于点E，△ADE的外接圆⊙O与边AC相交于点F，过点F作AB的垂线交AD于P，交AB于M，交⊙O于点G，连接GE．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若sin∠G＝，AB＝16，求⊙O的直径．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，点F在AC的延长线上，连接BF，∠BAC＝2∠CBF．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若OA＝CF＝3，求△BCF的面积．15．问题：如图1，⊙O中，AB是直径，AC＝BC，点D是劣弧BC上任一点（不与点B、C重合），求证：为定值．思路：和差倍半问题，可采用截长补短法，先证明△ACE≌△BCD．按思路完成下列证明过程．证明：在AD上截取点E，使AE＝BD，连接CE．运用：如图2，在平面直角坐标系中，⊙O1与x轴相切于点A（3，0），与y轴相交于B、C两点，且BC＝8，连接AB、O1B．（1）OB的长为．（2）如图3，过A、B两点作⊙O2与y轴的负半轴交于点M，与O1B的延长线交于点N，连接AM、MN，当⊙O的大小变化时，问BM﹣BN的值是否变化，为什么？如果不2变，请求出BM﹣BN的值．参考答案1．证明：（1）如图1，连接OC，OD，∵B是弧CD的中点，∴，∴∠COB＝∠DOB，∵OC＝OD，∴OB⊥CD，即AB⊥CD；解：（2）如图2连接AC，FD，AD，设∠FCD＝x，∵∠FAE＝2∠FCD，∴∠FAE＝2x，又∠EAD＝∠FCD＝x，∴∠DAB＝∠FAE﹣∠EAD＝x，∵AB是直径，AC⊥CD，∴AB垂直平分CD，∴FC＝FD，∠CAB＝∠DAB＝x，∴∠FCD＝∠FDC＝x，∴∠CAD＝∠DFE＝2∠FCD＝2x，又∠DEF＝∠CAD＝2x，∴∠DFE＝∠DEF，∴DF＝DE，∵DF＝CF，∴CF＝DE；解：（3）如图3，连接AD交CE于Q，过F作MF⊥FD交AD于M，则∠MFD＝90°，设CG＝2a，∵AB垂直平分CD，∴AC＝AD＝2a+5，∠ADC＝∠ACD＝90°﹣x，∴∠ADF＝∠ADC﹣∠FDC＝90°﹣2x，∴∠FMD＝90°﹣∠ADF＝2x，∴∠MFA＝∠FMD﹣∠DAB＝2x﹣x＝x，∴∠MFA＝∠DAB＝x，∴AM＝MF，设AM＝MF＝m，则DM＝2a+5﹣m，∵∠ACF＝∠ACD﹣∠FCD＝90°﹣2x，又∠AFG＝45°，∴∠CGF＝∠CAB+∠AFG＝45°+x，∴∠CFG＝180°﹣∠CGF﹣∠ACF＝45°+x，∴∠CGF＝∠CFG，∴CG＝CF＝2a，∴DF＝DE＝2a，∵DM2＝DF2+MF2，∴m2+4a2＝（2a+5﹣m）2①，∵∠AEC＝∠ADC＝90°﹣2x，∠AFE＝∠CFB＝90°﹣2x，∴∠AFE＝∠AEC，∴AF＝AE，∴A在EF的中垂线上，同理，D在EF的中垂线上，所以AD是EF的中垂线，∴FQ＝EQ＝，∵，∴2am＝3（2a+5﹣m）②，联立①②得，16a2﹣10a﹣75＝0，∴或，∵a＞0，∴a＝，m＝，∵OR⊥DE，∴OE＝，∴DG＝，连接OE，如图4，∵OA＝OE，∴∠OEA＝∠BAE＝2x，∴∠OED＝∠AEC+∠CED﹣∠OEA＝90°﹣x+2x﹣2x＝90°﹣x，∴∠EOR＝90°﹣∠OER＝x，在Rt△OGD中，tan∠DCE＝tan x＝，又tan∠EOR＝tan x＝，∴OR＝2ER＝5．2．（1）证明：连接OA；∵BC为⊙O的直径，BA平分∠CBF，AD⊥BF，∴∠ADB＝∠BAC＝90°，∠DBA＝∠CBA；∵∠OAC＝∠OCA，∴∠DAO＝∠DAB+∠BAO＝∠BAO+∠OAC＝90°，∴DA为⊙O的切线．（2）解：∵BD＝1，tan∠ABD＝2，∴AD＝2，∴AB＝＝＝，∴cos∠DBA＝；∵∠DBA＝∠CBA，∴BC＝＝＝5．∴⊙O的半径为2.5．3．（1）证明：连接OC，如图所示：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAO+∠B＝90°．∵∠B＝∠E，∴∠E+∠CAO＝90°，∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO，∴∠E+∠ACO＝90°，∴∠ACD＝∠E，∴∠ACD+∠ACO＝90°，∴∠DCO＝90°，∴OC⊥DE，∴DC是⊙O的切线；（2）解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OE∥AC，∴∠OFB＝∠ACB＝90°，∵AB＝8，AC＝4，∴BC＝＝＝4，∵AC∥OF，OA＝OB，∴CF＝BF＝BC＝2，∵∠B＝∠E，∠ACB＝∠CFE，∴△ACB∽△CFE，∴，∴，∴EF＝6．4．（1）证明：连接OB、OD，如图1所示：∵AB＝DB，AO＝DO，BO＝BO，∴△ABO≌△DBO（SSS），∴∠ABO＝∠DBO，∵OA＝OB，∠BDC＝∠BAC，∴∠ABO＝∠BAC＝∠BDC，∴∠DBO＝∠BDC，∴OB∥DE，∵BE⊥DC，∴BE是⊙O的切线；（2）解：延长BO交AD于点F，如图2所示：由（1）可知，∠ABO＝∠DBO，∵AB＝BD，∴BF⊥AD，AF＝DF＝AD＝3，∵∠BAF＝∠BCE，∠AFB＝∠E＝90°，BE＝2CE，∴△ABF∽△CBE，∴＝＝2，∴BF＝2AF＝6，在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB＝＝＝3，∴BD＝AB＝3．5．（1）证明：连接OD，∵BC＝AC，∴∠ABC＝∠A，∵BO＝DO，∴∠ABC＝∠BDO，∴∠A＝∠BDO，∴DO∥AC，又∵EF⊥AC，∴∠EDO＝∠EFC＝90°，∴OD⊥EF，∵OD是⊙O半径，∴EF是⊙O的切线；（2）解：∵BC＝10，∴OD＝OC＝5在Rt△EDO中，∵，∴，，∴，∵OD∥AC，∴△EDO∽△EFC，∴，∴，∴FC＝9．6．（1）证明：连接OC，∵CD＝BC，∴∠B＝∠D，∵AC＝AD，∴∠D＝∠ACD，∴∠B＝∠ACD，∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠OCA，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B+∠BAC＝90°，∴∠ACD+∠OCA＝90°，∴∠DCO＝90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；解：（2）i）连接OC，∵∠ACB＝90°，AB＝，sin B＝，在Rt△ACB中，AC＝AB•sin B，∴AC＝＝1，在Rt△ACB中，BC＝＝＝3，∵OB＝CO，∴∠OCB＝∠B，∵∠B＝∠D，∴∠OCB＝∠D，∵∠CBO＝∠DBC，∴△COB∽△DCB，∴，∴CB2＝OB•BD，∵AB＝，∴OA＝OB＝，∴BD＝32×＝，∴AD＝BD﹣AB＝；ii）连接CO，∵CD＝2CE，设CE＝k，∴CD＝BC＝2k，∴DE＝3k，∵∠E＝∠B，∠OCB＝∠B＝∠D，∴△DAE∽△COB，∴，设⊙O的半径为r，∴AD＝r，∴BD＝AD+AB＝r+2r＝r，∵△COB∽△DCB，∴，∴BC2＝OB•BD，∴（2k）2＝r×r，∴k＝r，∴BC＝2k＝r，∴cos B＝．7．解：（1）∵AC∥OM，∴△BOD∽△BAC，∴．∴OD＝AC．连接OC，∵AC∥OM，∴∠OAC＝∠BOM，∠ACO＝∠COM，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠ACO，∴∠BOM＝∠COM，在△OCM与△OBM中，，∴△OCM≌△OBM（SAS）；又∵MB是⊙O的切线，∴∠OCM＝∠OBM＝90°，∴MC是⊙O的切线；（2）∵MB，MC是⊙O的切线，∴OM⊥BC，∴∠ODB＝∠ODC＝90°，∵OC⊥MC，∴∠OCM＝90°，∴∠COM＝∠DCM，∴△MCD∽△COD，∴，即，∴CD＝BD＝12，在Rt△BOD中，OB＝＝＝15，∴sin∠ABC＝，∴sin∠APC＝sin∠ABC＝；（3）如图2，由（2）知AB＝30，OM＝25，BM＝20，OQ＝OB＝15，∵，∴OM上取点D，使，∴OD＝9，D为定点，∵，且∠DOQ＝∠QOM，∴△ODQ∽△OQM恒成立，∴求NQ+MQ的值最小，相当于求DQ+QN最小，∴当D、Q、N共线时，DQ+QN最小，∴NQ+MQ＝DN，作DH⊥ON于点H，可得OH＝9×＝，DH＝9×＝，∴NH＝15﹣＝，∴DN＝＝，即NQ+MQ的最小值为．8．解：（1）证明：设∠ABE＝m，∵∠AEB＝2∠ABE，∴∠AEB＝2m，∴∠ACB＝∠AEB＝2m，∵BD⊥AD，∴∠BDA＝∠BDC＝90°，∴∠BAD＝90°﹣m，∠CBD＝90°﹣2m，∴∠ABC＝90°﹣m，∴∠BAD＝∠ABC，∴CA＝CB；（2）连接CE、OB，如图：设∠OCB＝n，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝n，∴∠BOC＝180°﹣2n，∴∠BAC＝90°﹣n，∴∠ABE＝n，∴∠ACE＝∠ABE＝n＝∠OCB，而∠FBC＝∠CAE，AC＝BC，∴△FBC≌△EAC（AAS），∴CF＝CE，∵CD⊥EF，∴DF＝DE；（3）连接AF、CG，延长CF交AB于L，过C作CM⊥BG于M，过H作HK⊥CG于K，如图：∵BG为直径，∴∠BAH＝90°，∴∠EHG＝∠AHB＝∠BAC，∵四边形ABCG内接于⊙O，∴∠KGH＝∠ABC，∴∠EHG＝∠KGH，∵∠HEG＝∠HKG＝90°，HG＝GH，∴△EHG≌△KGH（AAS），∴EG＝HK，∵EG＝HD，∴HK＝HD，∴CH平分∠DCG，∵CL⊥AB，∴∠ACL＝∠BCL，∴∠FCH＝45°，由（2）可知，∠FBC＝90°﹣2n，∠HCB＝45°+n，∴BH＝BC，∴△BAH≌△CBM（AAS），∴CM＝AH＝BL＝AL，∴tan∠ABD＝，设CM＝4a，则BM＝8a，设OM＝b，则OC＝OB＝8a﹣b，Rt△OCM中，OM2+CM2＝OC2可得b＝3a，∴tan∠MOC＝tan∠BCD＝，设CD＝6t，则DF＝3t，BF＝5t，∵S△BCF＝15，∴•BF•CD＝15∴t＝1，∴AD＝4，DH＝2，∴CH＝＝2．9．解：（1）连接OB、OC，∵BO＝CO，AO＝AO，AB＝AC，∴△ABO≌△ACO（SSS），∴∠BAO＝∠CAO；（2）∵AO⊥DE，点O是圆心，∴，∵AB＝AC，∴，∴，∴BD＝CE；（3）连接AD，过点O作OM⊥AC于点M，在△BDF和△CAF中，∵∠BFD＝∠CAF，∠BDC＝∠CAB，∴△BDF∽△CAF，∴，由（1）知：∠BAO＝∠CAO，AO＝AO，∠OFA＝∠OMA＝90°，∴△AOF≌△AOM（ASA），∴AF＝AM，∵AB＝AC，BD＝CE，由（2）知，△ADB≌△AEC（SSS），∴S△AEC＝S△ADB＝30，∵，AC＝AB，∴，在△ADB和△AEC中，∠OFA＝∠OMA，则BD＝DE，∴，∵AF＝AM，∴，∴DE＝6．10．解：（1）∵AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∴∠ACB＝90°，∵BG与⊙O相切于点B，∴∠ABD＝90°，∴∠BDC+∠BAC＝90°，∠ABC+∠BAC＝90°，∴∠BDC＝∠ABC，∵tan∠BDC＝，∴tan∠ABC＝．∵AC＝8，∴＝，∴＝，∴BC＝6，∴由勾股定理得：AB＝10，∴⊙O的直径为10；（2）过点D作DF⊥GE于F，过点O作OH⊥GE于H交AD于M，GE∥AD，∴∠G＝∠BDC，∴tan∠G＝tan∠BDC＝，∴设DF＝4x，FG＝3x，∵DG＝，∴由勾股定理得：（4x）2+（3x）2＝，解得：x＝，∴DF＝4x＝2，∵GE∥AD，DF⊥GE，OH⊥GE，∴DF＝MH＝2，OM⊥AM，又∵O为AB中点，∴OM＝BC＝3，∴OH＝5，又∵⊙O的直径为10，从而半径r＝5，∴OH＝r，∴EG与⊙O相切．11．解：（1）如图1，连接OA，∵AB＝AC，∴＝，∠ACB＝∠B，∴OA⊥BC，∵CA＝CF，∴∠CAF＝∠CFA，∵CD∥AB，∴∠BCD＝∠B，∴∠ACB＝∠BCD，∴∠ACD＝∠CAF+∠CFA＝2∠CAF，∵∠ACB＝∠BCD，∴∠ACD＝2∠ACB，∴∠CAF＝∠ACB，∴AF∥BC，∴OA⊥AF，∴AF为⊙O的切线；（2）∵∠BAD＝∠BCD＝∠ACB，∠B＝∠B，∴△ABE∽△CBA，∴，∴AB2＝BC•BE＝BE（BE+CE）＝BE2+BE•CE，∴AB2﹣BE2＝BE•EC；（3）由（2）知：AB2＝BC•BE，∵BC•BE＝64，∴AB＝8，如图2，连接AG，∴∠BAG＝∠BAD+∠DAG，∠BGA＝∠GAC+∠ACB，∵点G为内心，∴∠DAG＝∠GAC，又∵∠BAD+∠DAG＝∠GAC+∠ACB，∠BAD＝∠ACB，∴∠BAG＝∠BGA，∴BG＝AB＝8．12．（1）证明：如图，连接OD，∵OD＝OC，∴∠C＝∠ODC，∵△ABC是等边三角形．∴∠B＝∠C＝60°，∴∠B＝∠ODC，∴AB∥OD，∴∠AFD+∠ODF＝180°，∵DF⊥AB，∴∠AFD＝∠ODF＝90°，∴FD⊥OD，∵点D在⊙O上．∴DF是⊙O的切线；（2）解：∵△ABC的边长为2，∴OC＝1，在△ODC中，OD＝OC，∠C＝600∴△ODC是等边三角形．∴OD＝DC＝1，∴BD＝BC﹣DC＝1，∵DF⊥AB，∴∠DFB＝90°，∴∠BDF＝30°，∴，在Rt△BDF中，，∴．13．解：（1）连接OD，∵AD⊥DE，∴AE是⊙O的直径，即点O在AE上，又∵AD是∠BAC的平分线，∴∠CAD＝∠BAD，∵OA＝OD，∴∠BAD＝∠ADO，∴CAD＝∠ADO，∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠C＝90°，∴OD⊥BC，∴BC是⊙O的切线；（2）∵OD∥AC，∴∠DOB＝∠EAF，∵∠G＝∠EAF，∴∠DOB＝∠G，∴sin∠DOB＝sin∠G＝，∴tan∠DOB＝tan∠G＝，设OD＝3k，则BD＝4k，OB＝5k，∵OB＝AB﹣OA，∴5k＝16﹣3k，∴k＝2，因此OD＝3k＝6，∴⊙O的直径为12．14．（1）证明：连接AE，如图所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠BAE+∠ABE＝90°，∵AB＝AC，∴2∠BAE＝∠CAB，∵∠BAC＝2∠CBF，∴∠BAE＝∠CBF，∴∠CBF+∠ABE＝90°，即∠ABF＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴直线BF是⊙O的切线；（2）解：∵OA＝CF＝3，∴AC＝AB＝2OA＝6，AF＝AC+CF＝9，∴CF＝AF，∵∠ABF＝90°，∴BF＝＝＝3，∴△BCF的面积＝△ABF的面积＝××BF×AB＝××3×6＝3．15．解：证明：在AD上截AE＝BD，∵，∴∠CAD＝∠CBD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠ACE＝∠BCD，CE＝CD，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ECD＝90°，∴△ECD是等腰直角三角形，∴CD＝，∵ED＝AD﹣BD，∴，即为定值；（1）如图2，连接O1A，过O1作O1H⊥BC于点H，∴CH＝BH＝4，O1H＝3，O1A⊥x轴，∴，∴O1A＝O1B＝5，∴HO＝5，∴OB＝HO﹣HB＝5﹣4＝1，故答案为：1；（2）BM﹣BN的值不变，如图2，由（1）得，O1A⊥OA，∵OB⊥AO，∴O1A∥OB，∴∠O1BA＝∠OBA，∵O1A＝O1B，∴∠O1BA＝∠O1AB，∴∠ABO1＝∠ABO，如图3，在MB上取一点G，使MG＝BN，连接AN，AG，∵∠ABO1＝∠ABO，∠ABO1＝∠AMN，∴∠ABO＝∠AMN，∵∠ABO＝∠ANM，∴∠AMN＝∠ANM，∴AM＝AN，∵，∴∠AMG＝∠ANB，在△AMG和△ANB中，，∴△AMG≌△ANB（SAS），∴AG＝AB，∵AO⊥BG，∴BG＝2BO＝2，∴BM﹣BN＝BM﹣MG＝BG＝2，即BM﹣BN的值不变．。
初中数学复习圆的切线与切点计算
初中数学复习圆的切线与切点计算圆的切线与切点计算圆是初中数学中的重要概念之一，而切线与切点是与圆密切相关的概念。
在数学复习中，掌握圆的切线与切点的计算方法对于解题至关重要。
本文将介绍圆的切线与切点的相关知识以及如何计算它们。
一、圆的切线与切点的定义在圆内部的一点P，如果从这一点出发作两条不同的射线，这两条射线与圆的交点分别为A和B。
如果射线AP、BP分别与圆的弧AB 相切，则称AP、BP为圆的切线，A、B为切点。
二、切线长度的计算方法在圆的切线与切点计算中，我们常需要计算切线的长度。
首先，我们需要知道两条切线的长度相等。
1. 两切线长度相等的原因由于切线与半径垂直，根据正弦定理，可知圆的切线长度等于半径与切点到圆心连线的夹角的正弦值的乘积。
2. 切线长度的计算公式设圆的半径为r，切点到圆心连线的夹角为θ，则切线的长度为L。
根据正弦定理，有L = 2rsinθ。
三、切点的坐标计算方法在解题中，有时需要计算切点的坐标。
我们可以通过以下步骤来计算切点的坐标。
1. 已知圆的方程和切线的方程假设圆的方程为(x-a)² + (y-b)² = r²，切线的方程为y = kx + c。
2. 求解切点的坐标将切线方程代入圆的方程，得到一个关于x的二次方程。
求解这个二次方程，得到x的值。
将x的值代入切线方程，计算得到对应的y的值，即为切点的坐标。
四、切线与切点的计算实例现在，我们通过一个实例来展示如何计算圆的切线与切点。
例题：已知圆O的方程为x² + y² = 25，点A(5, 0)在圆上，求点A处的切线方程。
解：首先，根据圆的方程，我们可以得到圆的半径r为5。
其次，我们需要计算点A处的切线方程。
由于点A在圆上，所以点A到圆心O的距离等于圆的半径5。
利用勾股定理，可得到点O的坐标为(0, 0)。
接下来，我们可以计算切线的斜率。
由于点A(5, 0)在圆上，所以切线与点A处的切点重合。
初中数学复习圆的切线与切点性质
初中数学复习圆的切线与切点性质圆的切线与切点是初中数学中的重要知识点。
在学习这部分内容之前，我们要先了解圆的基本性质和术语。
圆是由一条曲线组成，其中每一个点到圆心的距离都相等，这个距离被称为半径。
圆上的任意一条线段叫做弦，而连接圆心和圆上一点的线段则被称为半径。
本文将重点介绍圆的切线和切点的性质。
1. 切线的定义在圆上的点上作一条直线，如果这条直线与圆只有一个交点，那么这条直线叫做圆的切线。
换句话说，切线与圆只有一个公共点。
根据切线的定义，我们可以得出结论：切线与半径垂直。
2. 切点的定义切线与圆的交点被称为切点。
根据圆的定义可知，切点处切线与圆相切，也就是说，切线通过切点和圆的切点处垂直。
3. 切线的性质(1) 切线与半径的垂直性质：切线与通过切点的半径垂直相交。
(2) 切线的唯一性质：一条圆的切线只有一个。
(3) 切线和切点的关系：切点与切线的连线垂直于切线。
4. 切点的性质(1) 由切线与半径的垂直性质可知，切线与半径的切点处的角度为90度。
(2) 连接切点与圆心的线段是切线的垂直线。
(3) 通过圆的切点可以作一个唯一的切线。
(4) 以圆心为顶点，切点为底边的角是直角。
5. 圆的切线定理在圆上的一个点P，如果作一条切线PT，那么PT与半径OP（O为圆心）垂直相交。
反过来也成立，即如果PT与半径OP垂直相交，那么PT是圆的切线。
6. 圆的切线与切点的应用圆的切线与切点的性质在解决几何问题时经常被使用。
例如，通过切线与半径的垂直性质，我们可以求得切线与半径的夹角；通过切点与圆心的连线垂直于切线，我们可以求得切线的斜率等。
总结起来，圆的切线与切点是圆中重要的性质和概念。
切线与圆只有一个公共点，且与半径垂直相交；切点处的切线与圆相切，并且切点处的切线与切点相垂直。
这些性质和定理有着广泛的应用，能够帮助我们更好地理解和解决与圆相关的几何问题。
希望通过本文的整理和归纳，初中数学学习者能够对圆的切线与切点性质有更加全面和深入的了解，并能够运用这些性质进行问题的解答和拓展。
圆切线证明(与相似无关)
中考复习专题--------圆的切线的判定与性质2011年11月17日知识考点：1、掌握切线的判定及其性质的综合运用，在涉及切线问题时，常连结过切点的半径，切线的判定常用以下两种方法：一是连半径证垂直，二是作垂线证半径。
2、掌握切线长定理的灵活运用，掌握三角形和多边形的内切圆，三角形的内心。
精典例题：一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.求证：EF与⊙O相切.例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.求证：PA与⊙O相切.例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M求证：DM与⊙O相切.例4 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上.求证：DC是⊙O的切线例5 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP.求证：PC是⊙O的切线.例6 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F.求证：CE与△CFG的外接圆相切.二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”例7 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切.例8 已知：如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且AC∥BD，若∠COD=900.求证：CD是⊙O的切线.[习题练习]例1如图，AB是⊙O的弦（非直径），C、D是AB上两点，并且OC=OD，求证：AC=BD．例2已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC•交于点E，求证：△DEC为等腰三角形．例3如图，AB是⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，CD与⊙O切于C，交AB•的延长线于D，求证：AC=CD．，BF和AD交于E，例4如图20-12，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，AB AF求证：AE=BE．例5如图，AB是⊙O的直径，以OA为直径的⊙O1与⊙O2的弦相交于D，DE⊥OC，垂足为E．（1）求证：AD=DC．（2）求证：DE是⊙O1的切线．例6如图，已知直线MN与以AB为直径的半圆相切于点C，∠A=28°．AB CDEF G O（1）求∠ACM 的度数．（2）在MN 上是否存在一点D ，使AB ·CD=AC ·BC ，说明理由．例7如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙O 的半径为3． （1）若圆心O 与C 重合时，⊙O 与AB 有怎样的位置关系？ （2）若点O 沿CA 移动，当OC 等于多少时，⊙O 与AB 相切？19.如图，Rt△ABC 内接于⊙O，AC=BC ，∠BAC 的平分线AD 与⊙0交于点D ，与BC 交于点E ，延长BD ，与AC 的延长线交于点F ，连结CD ，G 是CD 的中点，连结0G ．(1)判断0G 与CD 的位置关系，写出你的结论并证明；(2)求证：AE=BF ；（3）若3(22)OG DE ⋅=-，求⊙O 的面积。
圆的切线方程问题专题(重要知识)
重点辅导
2
方法二：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程联 立，化为关于x的一元二次方程，利用判别式为0，求出k.
②若通过上述方法只求出一个斜率k，则另一条切线斜率 一定不存在，此时另一切线方程为x＝x0.
注：过圆外一点与圆相切的直线有且只有两条．
重点辅导
3
(2)过圆上一点的圆的切线方程的求法． 利用斜率公式求出圆心和切点连线的斜率，进而求出切 线的斜率，利用点斜式求出切线方程． (3)斜率为k且与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2相切的切线方程的 求法． 方法一：先设切线方程为y＝kx＋b，然后变成一般式kx－ y＋b＝0，利用圆心到切线的距离等于半径，列出方程求b；
x0＝43， y0＝2 3 5
x0＝43，
，或
y0＝－2
3
5 .
重点辅导
13
跟踪训练
∴所求切线方程为 43x＋235y＝4或43x－23 5y＝4， 即2x＋ 5y－6＝0或2x－ 5y－6＝0.
重点辅导
14
课堂总结
(1)已知圆 x2 y2 Dx Ey F 0
．
①若已知切点 (x0 , y0 ) 在圆上，则切线只有一条，其方程是
重点辅导
11
跟踪训练
(3)解法1：∵32＋02>4，∴点Q在圆外． 设切线方程为y＝k(x－3)，即kx－y－3k＝0. ∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径， ∴ |－1＋3kk|2＝2，∴k＝±25 5， ∴所求切线方程为2x± 5y－6＝0.
重点辅导
12
跟踪训练
解法2：设切点为M(x0，y0)，则过点M的切线方程为 x0x＋y0y＝4，∵点Q(3,0)在切线上，∴x0＝43① 又M(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，∴x20＋y20＝4② 由①②构成的方程组可解得
圆切线、相似和锐角三角函数综合题中考专题复习(无答案)(word文档良心出品)
圆切线、相似和锐角三角函数综合题专题复习复习目标：巩固圆的切线和相似三角形的性质和判定、锐角三角函数求法和特殊锐角三角函数值，熟练应用它们解决相应的问题。
复习过程一、热身练习二、实战演练三、巩固提高2.如图，A是以BC为直径的⊙O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作⊙O的切线，与CA的延长线相交于点E，G是AD的中点，连接CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P．（1）求证：BF=EF；（2）求证：PA是⊙O的切线；3,求BD和FG的长度．（3）若FG=BF，且⊙O的半径长为23.如图，△ABC中，AD平分∠BAC交△ABC的外接圆⊙O于点H，过点H作EF∥BC交AC、AB的延长线于点E、F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AH=8，DH=2，求CH的长；（3）若∠CAB=60°，在（2）的条件下，求弧BHC的长．4.如图，AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，弦CD ⊥AB 于点E ，∠POC=∠PCE ．（1）求证：PC 是⊙O 的切线；（2）若OE ：EA=1：2，PA=6，求⊙O 的半径；（3）求sin ∠PCA 的值．5.如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8．以AB 为直径的⊙O 交AC 于D ，E 是 BC 的中点，连接ED 并延长交BA 的延长线于点F ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）求DB 的长；（3）求S △FAD ：S △FDB 的值．6.如图i ，半圆O 为△ABC 的外接半圆，AC 为直径，D 为劣弧BC 上的一动点，P 在CB 的延长线上，且有∠BAP=∠BDA ．（1）求证：AP 是半圆O 的切线；（2）当其它条件不变时，问添加一个什么条件后，有BD 2=BE•BC 成立？说明理由；（3）如图ii ，在满足（2）问的前提下，若OD ⊥BC 与H ，BE=2，EC=4，连接PD ，请探究四边形ABDO 是什么特殊的四边形，并求tan ∠DPC 的值．7.如图，AB 为圆O 的直径，C 为圆O 上一点，AD 和过C 点的直线互相垂直，垂足为D ，且AC 平分∠DAB ，延长AB 交DC 于点E ．（1）判定直线DE 与圆O 的位置关系，并说明你的理由；（2）求证：AC 2=AD•AB ；（3）以下两个问题任选一题作答．（若两个问题都答，则以第一问的解答评分） ①若CF ⊥AB 于点F ，试讨论线段CF 、CE 和DE 三者的数量关系；②若EC=35，EB=5，求图中阴影部分的面积．8.如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，⊙O 的割线PDE 垂直AB 于点F ，交BC 于点G ， 连接PC ，∠BAC=∠BCP ，求解下列问题：（1）求证：CP 是⊙O 的切线．（2）当∠ABC=30°，BG=32，CG=34时，求以PD 、PE 的长为两根的一元二次方程． （3）若（1）的条件不变，当点C 在劣弧AD 上运动时，应再具备什么条件可使结论 BG 2=BF•BO 成立？试写出你的猜想，并说明理由．9.如图，AB 是⊙O 的直径，BC ⊥AB 于点B ，连接OC 交⊙O 于点E ，弦AD ∥OC ，弦 DF ⊥AB 于点G ．（1）求证：点E 是弧BD 的中点；（2）求证：CD 是⊙O 的切线；（3）若sin ∠BAD=54，，⊙O 的半径为5，求DF 的长．10.如图，Rt △ABC 中，∠ABC=90°，以AB 为直径作⊙O 交AC 边于点D ，E 是边BC 的 中点，连接DE ．（1）求证：直线DE 是⊙O 的切线；（2）连接OC 交DE 于点F ，若OF=CF ，求tan ∠ACO 的值．11.已知：如图，AB 是⊙O 的直径，AD 是弦，OC 垂直AD 于F 交⊙O 于E ，连接DE 、BE ，且∠C=∠BED ．（1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）若OA=10，AD=16，求AC 的长．12.如图，以线段AB 为直径的⊙O 交线段AC 于点E ，点M 是弧AE 中点，OM 交AC 于 点D ，∠BOE=60°，cosC=21，BC=32。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
圆专题复习切线与相似公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]
圆专题复习（一）（切线与相似）
1.如图，已知点E 在ABC ∆的边AB 上， 90=∠C ，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，且D 在以AE 为直径的⊙O 上．
（1）证明：BC 是⊙O 的切线；
（2）若6AC ,4DC ==，求圆心O 到AD 的距离；
（3）若32DAC tan =∠，求BD
BE 的值．
2．如图，已知AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，弦ED ⊥AB 于点F ，交BC 于点G ，过点C 的直线与ED 的延长线交于点P ，PC =PG ．
（1）求证：PC 是⊙O 的切线；
（2）当点C 在劣弧AD 上运动时，其他条件不变，若BG 2=BF ?BO ．求证：点G 是BC 的中点；
（3）在满足（2）的条件下，AB =10，ED =4
，求BG 的长．
3．如图，已知△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，点F 在⊙O 上，且满足
=，过点C 作
⊙O 的切线交AB 的延长线于D 点，交AF 的延长线于E 点．
（1）求证：AE ⊥DE ；
（2）若tan ∠CBA =，AE =3，求AF 的长．
4、（2014?无锡，第26题10分）如图，二次函数y=ax2+bx（a＜0）的图象过坐标原点O，与x轴的负半轴交于点A，过A点的直线与y轴交于B，与二次函数的图象交于另一点C，且C点的横坐标为﹣1，AC：BC=3：1．
（1）求点A的坐标；
（2）设二次函数图象的顶点为F，其对称轴与直线AB及x轴分别交于点D和点E，若△FCD与△AED相似，求此二次函数的关系式．。