第十讲张帅统计学课件优秀课件

第十讲张帅统计学 课件
参数的区间估计
待估计参数
已知条件
置信区间ˆ △
总体均值 （μ）
大样本放回抽样
X Z / n
2
σ未知时，用S
小样本放回抽样，正态总体，σ2未知
大样本，不放回抽样， 有限总体
Xt(n1)S/ n
2
X Z
2
n
Nn N1
σ未知时，用S
【例5－5】
• 为了解某县农户的年收入状况，从该县所有农户 中随机抽取了200户进行调查，得样本每户农民 的年平均收入为3600元，标准差为192元，试在 95％的概率保证下，求该县农户平均年收入的置 信区间。
2 1
,
2 2
已知
(x1 x2)Z
2
12 22
n1 n2
两个正态总体 未知但相等 12
,
2 2
11
x1x2t
Sp
2(n1n22)
n1 n2
， 两个非正态总体 ,n n ≥30 1 2
(x1 x2)Z
2
12 22
n1 n2
例
待估计参数 已知条件
总体比例 （p）
无限总体， np和nq都大于5
总体总量的上限 10000 10 .6 955 106955 （斤）
即最少应准备 106955 斤才能以 99 % 的把握满足需要。
提示：对于越大越好的指标往往关注下限， 对于越小越好的指标往往关注上限。
参数的区间估计
待估计参1-μ2
两个正态总体
(Pˆ1
Pˆ2) Z
2
Pˆ1qˆ1 N1 n1 Pˆ2qˆ2 N2 n2 n1 N1 1 n2 N2 1
【例5－7】
• 某电视台举办了一台大型晚会，为了了解这台晚 会的收视情况，随机抽取了400人，经调查有86 人收看了这台晚会，以95％的置信度求这台晚会 收视率的置信区间
解：
n
400
, 大样本，1
解：
n 10 , 小样本， 1 95 %, x ~ t ( n 1) sn
n
x i1 xi 1 6 5 3(个)
n
10
s
n
i1( xi
x )2
(1 3)2 (5 3)2 2(个 )
n1
10 1
t ( n 1 ) t 0 .025 ( 9 ) 2 .26 2
例
• 某商店供应居民一万户，春节前夕，为了调查居 民对某种商品的需要量，用不重复抽样法抽查了 100户，得出每户平均需要量为10斤，样本均方 差为3斤。问该种商品最少应准备多少，才能以 99%的把握满足需要？
解：N 10000 , n 100 , 大样本， x 10 , s 3
2 1 99 %, x ~ N ( , )
95 %,
p
~
N
(P,
P (1
P))
n
p 86 21 .5% 400
Z Z 0.25 1.96 2
p
p(1 p)
n1
21 .5%( 1 21 .5%) 2.06 %
400 1
p Z p 1.96 2.06 % 4.03 % 2
p p P p p 17 .47 % P 25 .53 %
• 这表明在95％的概率保证下，可认为该县农户的平均年收入在
3573.39元至3626.61元之间。
【例5－6】
• 某玩具生产企业为了了解产品生产的最后一道工 序对产品质量的影响，从玩具组装车间中随机抽 取了10名工人，观察得某日的次品量为：1，6， 3，0，2，4，1，5，3，5，假定次品量的概率分 布为正态分布，给定置信概率95％，求组装车间 人均日次品量的置信区间。
这表明在95％的概率保证程度下，可认为这台 晚会的收视率在17.47%至25.53%之间。
例
• 抽样调查某批产品中的200件，其中合格品190件， 这批产品共2000件，合格品件数在1840件到 1960件的把握是多少？
解：
N
2000
, n 200
, 大样本，
p 190 95 %,
200
有限总体， np和nq都大于5
置信区间 ˆ △
Pˆ Z
2
Pˆ qˆ n
Pˆ Z
2
pˆ qˆ N n n N 1
两个总体比 例之差
（P1 - P2）
无限总体， n1p1＞5, n1q1 ＞5 n2p2＞5, n2q2＞5
(Pˆ1 Pˆ2) Z
2
Pˆ1qˆ1 Pˆ2qˆ2 n1 n2
有限总体， n1p1＞5, n1q1 ＞5 n2p2＞5, n2q2＞5
n 由题意可知，需要求 x的单侧置信区间
Z Z 0.01 2.33
x
s2
n
(1 )
n
N
32 (1
100
) 0.2985 (斤 )
100
10000
x Z x 2 .33 0 .2985 0 .6955（斤）
样本均值的上限 x x 10 0 .6955 10 .6 955（斤）
x s 2 0 .6325 (个 ) n 10
x t ( n 1 ) x 2 .26 0 .6325 1 .43 (个 ) 2
x x x x 1 .57 1 .43
•
这表明在95%的概率保证下,可认为组装车间人均日次品量在
1.57至4.43之间。
单侧置信区间
• 所谓单侧置信区间，是将待估总体指标的上置信
限或下置信限指定在其上界或下界值上，并根据
给定的置信概率求出另一置信限而得到的置信区
间。记待估计总体指标为θ，其取值上界为θU ，
取值下界为θL ，样本估计量为
置信概率1-α，若有：
，对于 ˆ 给定的
P (ˆLU)1
或者，有： P(LˆU)1
则称区间 和 (ˆL,U ) (L,ˆU ) 为总体指标θ的单侧置 信区间。
解：
n2,0 大 0 样 x3本 6 ,s 01 ， 092
19% 5x~,N (,s2n )
Z Z0.02 51.96 2
x
s n
1921.35(8元 ) 200
x Z x 1 .9 1 6.5 3 8 2.6 6 (元 2 ) 2
•
x x x x 3.5 3 7 9 3 3.62 1
pL
1840 2000
92 %,
pU
1960 2000
98 %
p ~ N ( P , P (1 P ) ) n
思考： 若所给 比例区 间不关
p 1 0 . 92 0 . 95 p 2 0 . 98 0 . 95 3 % 故 p 3%
于样本 比例对
p
p(1 p ) (1 n )