第13讲变化率与导数导数的运算课件-高考理科数学一轮复习

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2025高考数学一轮复习-3.1-变化率与导数、导数的计算【课件】

2025高考数学一轮复习-3.1-变化率与导数、导数的计算【课件】

2.某跳水运动员离开跳板后,他达到的高度与时间的函数关系式是 h(t)=10-4.9t2 +8t(距离单位:米,时间单位:秒),则他在 0.5 秒时的瞬时速度为_____3_._1_______米/秒.
【解析】 ∵h′(t)=-9.8t+8,∴他在 0.5 秒时的瞬时速度为 h′(0.5)=3.1 米/秒.
易错易混 5.(多选)下列求导运算正确的是( BC ) A.x+1x′=1+x12 B.(log2x)′=xl1n2 C.(3x)′=3x·ln3 D.(x2cosx)′=-2xsinx
【解析】
因为
x+1x
′=1-
1 x2
,所以选项A不正确;因为(log2x)′=
1 xln2
,所以选项B
正确;因为(3x)′=3xln3,所以选项C正确;因为(x2cosx)′=2xcosx-x2sinx,所以选项D不正
(2)函数 y=f(x)的导数 f ′(x)反映了函数 f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的 方向,其大小|f′(x)|反映了变化的快慢,|f ′(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.
『基础过关』
思考辨析
1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f ′(x0)是函数 y=f(x)在 x=x0 附近的平均变化率.( × ) (2)f ′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同.( × ) (3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( × ) (4)函数 f(x)=sin(-x)的导数是 f ′(x)=cosx.( × )
3
2.分别求下列函数的导数 (1)y=x2sinx; (2)y=lnx+1x; (3)y=coesx x; (4)y=ln(2x-5); (5)y=xsin2x+2πcos2x+2π.

高三数学复习课件【变化率与导数、导数的运算】

高三数学复习课件【变化率与导数、导数的运算】
f′(x)=__e_x
f(x)=logax(a>0,且 a≠1) f(x)=ln x
1 f′(x)=__x_ln__a_
1 f′(x)=___x__
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3.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′= f′(x)±g′(x);
(2)[f(x)·g(x)]′= f′(x)g(x)+f(x)g′(x);
考点二 导数的几何意义
导数的几何意义是每年高考的必考内容,考查题型 既有选择题、填空题,也常出现在解答题的第1问中, 难度较小,属中低档题.,常见的命题角度有:
1求曲线的切线方程; 2求切点坐标; 3求参数的值范围.
[题点全练] 角度(一) 求曲线的切线方程
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1.已知函数 f(x)=ln x-8xx+-11,则函数 f(x)的图象在1,-72处
(3)函数 f(x)的导函数:
fx+Δx-fx
称函数 f′(x)= lim Δx→0
Δx
为 f(x)的导函数.
2.基本初等函数的导数公式
原函数 f(x)=xn(n∈Q*)
f(x)=sin x f(x)=cos x f(x)=ax(a>0)
f(x)=ex
导函数 f′(x)=__n_·x_n_-_1 f′(x)=__c_o_s _x_ f′(x)=_-__s_in__x_ f′(x)=_a_x_l_n_a__
则 P 点的坐标为
()
A.(1,3)
B.(-1,3)
C.(1,3)和(-1,3)
D.(1,-3)
解析: f′(x)=3x2-1,令 f′(x)=2,则 3x2-1=2,解得 x
=1 或 x=-1,∴P(1,3)或(-1,3),经检验,点(1,3),(-1,3)

2020版导与练一轮复习理科数学课件:第十三篇 导数及其应用(选修1-1) 第10节 导数的概念及运算 .pdf

2020版导与练一轮复习理科数学课件:第十三篇 导数及其应用(选修1-1) 第10节 导数的概念及运算 .pdf

第10节 导数的概念及运算考点专项突破知识链条完善 把散落的知识连起来知识梳理1.导数的概念(1)函数y=f(x)在x=x 0处的导数()()00f x x f x x+∆-∆(2)函数f(x)的导函数函数f′(x)= 为f(x)的导函数.()()0lim x f x x f x x ∆→+∆-∆2.导数的几何意义函数y=f(x)在点x 0处的导数f′(x 0)的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处的切线的 ,过点P的切线方程为 .斜率y-y 0=f′(x 0)(x-x 0) 3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)=C(C为常数)f′(x)= .f(x)=x α(α∈Q *)f′(x)=.0αx α-1f(x)=sin x f′(x)= .f(x)=cos x f′(x)= .f(x)=e x f′(x)= .f(x)=a x(a>0,且a≠1)f′(x)= .f(x)=ln x f′(x)=f(x)=loga x(a>0,且a≠1)f′(x)=cos x-sin xe xa x ln a1lnx a1x4.导数的运算法则若f′(x),g′(x)存在,则有(1)[f(x)±g(x)]′= ;(2)[f(x)·g(x)]′= ;f′(x)±g′(x) f′(x)g(x)+f(x)g′(x) ()()()()()2f xg x f x g x g x ''-⎡⎤⎣⎦【重要结论】1.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数.周期函数的导数还是周期函数.2.函数y=f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f′(x)|反映了变化的快慢,|f′(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.1.(教材改编题)曲线y=x 3+11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )(A)-9 (B)-3 (C)9 (D)15解析:因为y=x 3+11,所以y′=3x 2,所以y′|x=1=3,所以曲线y=x 3+11在点P(1,12)处的切线方程为y-12=3(x-1),令x=0,得y=9.对点自测C2.已知f(x)=xln x,若f′(x0)=2,则x等于( )解析:f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=ln x+1,由f′(x0)=2,即ln x+1=2,解得x0=e.B3.(2018·天津卷)已知函数f(x)=e x ln x,f′(x)为f(x)的导函数,则f′(1)的值为 .答案:e答案:x-y+1=05.下面四个结论中正确的是 .(1)f′(x0)是函数y=f(x)在x=x附近的平均变化率.(2)函数f(x)=sin(-x)的导数f′(x)=cos x.(3)求f′(x0)时,可先求f(x),再求f′(x).(4) 曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.解析:(1)f′(x0)表示y=f(x)在x=x0处的切线斜率,(1)错误.(2)f(x)=sin(-x)=-sin x,则f′(x)=-cos x,(2)错误.(3)求f′(x)时,应先求f′(x),再代入求值,(3)错误,只有(4)正确.答案:(4)考点专项突破 在讲练中理解知识考点一 导数的运算(多维探究)考查角度1:利用求导法则运算【例1】 求下列函数的导数:(1)y=e x ln x;反思归纳(1)熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前提,求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错.(2)如函数为根式形式,可先化为分数指数幂,再求导.【跟踪训练1】 求下列函数的导数:考查角度2:抽象函数的导数运算【例2】 已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足关系式f(x)=x2+3xf′(2) +ln x,则f′(2)= .反思归纳(1)准确活用求导法则是解题的关键,另外一定注意f′(x0)(x是变量x某一取值)是一个常数,不是变量.(2)求解该类问题时要善于观察题目特征,恰当赋值,重视方程思想的运用.【跟踪训练2】 已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=2xf′(1)+ln x,则f′(1)等于( )(A)-e (B)-1 (C)1 (D)e考点二 导数的几何意义(多维探究)考查角度1:求切线方程或切点坐标【例3】 (1)已知函数f(x)=xln x,若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为 ;答案:(1)x-y-1=0(2)已知f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是 ;解析:(2)令x≥0,则-x≤0,f(-x)=e x-1+x,又f(x)为偶函数,所以x≥0时,f(x)=e x-1+x,所以f(1)=2,f′(x)=e x-1+1,f′(1)=2,所求切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.答案:(2)y=2x(3)若曲线y=xln x上点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P的坐标是 .答案:(3)(e,e)反思归纳(1)求曲线在点P(x0,y)处的切线,则表明P点是切点,只需求出函数在P处的导数,然后利用点斜式写出切线方程,若切线垂直于x轴,则切线方程为x=x.(2)求曲线过点P的切线,则P点不一定是切点,应先设出切点坐标,然后列出切点坐标的方程解出切点坐标,进而写出切线方程.求出切点坐标是解题的关键.【跟踪训练3】 (1)(2018·全国Ⅰ卷)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为( )(A)y=-2x(B)y=-x(C)y=2x(D)y=x解析:(1)法一 因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),由此可得a=1,故f(x)=x3+x,f′(x)=3x2+1,f′(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x.故选D.法二 因为f(x)=x3+(a-1)x2+ax为奇函数,所以f′(x)=3x2+2(a-1)x+a为偶函数,所以a=1,即f′(x)=3x2+1,所以f′(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x.故选D.答案:(1)D答案:(2)(1,1)考查角度2:求参数的值或取值范围【例4】 (1)(2018·开封模拟)函数f(x)=ln x+ax的图象存在与直线2x-y=0平行的切线,则实数a的取值范围是( )(A)(-∞,2] (B)(-∞,2)(C)(2,+∞) (D)(0,+∞)答案:(1)B答案:(2)-8反思归纳(1)求解与曲线切线有关的参数问题,其实质是利用导数的几何意义求曲线切线方程的逆用.(2)解题的关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数:①切点处的导数是切线的斜率;②切点在切线上;③切点在曲线上.答案:(1)1(2)已知曲线f(x)=acos x与曲线g(x)=x2+bx+1在交点(0,m)处有公切线,则实数a+b的值为 .解析:(2)因为两曲线的交点为(0,m),所以m=acos 0,m=02+b×0+1.所以m=1,a=1.因为曲线f(x),g(x)在(0,m)处有公切线,所以f′(0)=g′(0),所以-sin 0=2×0+b,所以b=0.所以a+b=1.答案:(2)1备选例题【例2】 (2018·西安质检)已知函数f(x)=axln x,x∈(0,+∞),其中a为实数, f′(x)为f(x)的导函数.若f′(1)=3,则a的值为 .答案:3【例3】 已知函数f(x)=-f′(0)e x+2x,点P为曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线l上的一点,点Q在曲线y=e x上,则|PQ|的最小值为 .点击进入应用能力提升。

(江苏专用)2013高考数学总复习 第三篇 导数及其应用《第13讲 导数的概念与运算》课件 理 苏教版

(江苏专用)2013高考数学总复习 第三篇 导数及其应用《第13讲 导数的概念与运算》课件 理 苏教版

f(x)=sin x
f′(x)= cos x
f(x)=cos x f′(x)=-sin x
f(x)=ax(a>0,a≠1) f′(x)= axln_a
f(x)=ex
f′(x)= ex
f(x)=logax(a>0,a≠1)
f′(x)=
1 xln
a
f(x)=ln x
f′(x)=1 x源自.导数的运算法则∴y′=f′(u)·u′(x)=(u5)′(2x-3)′=5u4·2
=10u4=10(2x-3)4.
(2)设u=3-x,则y= 3-x.
由y=u12与u=3-x复合而成.
y′=f′(u)·u′(x)=(u12)′(3-x)′=12u-12(-1)
=-12u-12=-2
31-x=
3-x 2x-6 .
(3)设y=u2,u=sin v,v=2x+3π, 则yx′=yu′·uv′·vx′=2u·cos v·2 =4sin2x+3π·cos2x+π3=2sin4x+23π. (4)设y=ln u,u=2x+5,则yx′=yu′·ux′ y′=2x+1 5·(2x+5)′=2x+2 5.
(4)∵y=-sin2x-cos2x=12sin x,
∴y′=12sin x′=12(sin x)′=12cos x.
(5)y=1-1
x+1+1
x=11+-
x+1- x1+
xx=1-2 x,
∴y′=1-2 x′=-211--xx2′=1-2 x2.
2.(2011·南通调研)已知函数f(x)=
1 3
x3+x2+(2a-1)x+a2-a+
1,若f′(x)=0在(1,3]上有解,则实数a的取值范围为
________.

近年高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第13讲变化率与导数、导数的计算精选教案理(2021年

近年高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第13讲变化率与导数、导数的计算精选教案理(2021年

2019版高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第13讲变化率与导数、导数的计算精选教案理编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(2019版高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第13讲变化率与导数、导数的计算精选教案理)的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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第13讲变化率与导数、导数的计算考纲要求考情分析命题趋势1.了解导数概念的实际背景.2.通过函数图象直观理解导数的几何意义.3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算求简单函数的导数,并了解复合函数求导法则,能求简单复合函数的导数.2017·全国卷Ⅰ,162017·全国卷Ⅱ,112016·全国卷Ⅲ,152016·北京卷,18(1)2016·山东卷,101.导数的概念及几何意义是命题热点,难度不大,经常与函数结合,通过求导研究函数的性质.2.导数几何意义的应用也是命题热点,难度较大,题型大多是根据导数的几何意义求参数值或参数的取值范围,以及与切线有关的计算、证明问题.分值:5~7分1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为!!!错误!###,若Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1),则平均变化率可表示为错误!.2.函数y=f(x)在x=x0处的导数及几何意义(1)定义:称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率li错误!错误!=!!!错误!错误!###为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f′(x0)或y′x=x0,即f′(x0)=错误!错误!=li错误!错误!。

2020届高三理科数学一轮复习讲义教师用书第13讲 变化率与导数、导数的计算

2020届高三理科数学一轮复习讲义教师用书第13讲 变化率与导数、导数的计算

第三章 导数及其应用第1讲 变化率与导数、导数的计算1.导数的概念(1)函数y =f (x )在x =x 0处的导数一般地,称函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率lim Δx →0f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx =lim Δx →0Δy Δx 为函数y =f (x )在x =x 0处的导数,记作f ′(x 0)或y ′|x =x 0,即f ′(x 0)=lim Δ→0Δy Δx =lim Δ→0f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx. (2)导数的几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y =f (x )上点P (x 0,y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)y -y 0=f ′(x 0)(x -x 0).(3)函数f (x )的导函数 称函数f ′(x )=lim Δx →0f (x +Δx )-f (x )Δx为f (x )的导函数.2.基本初等函数的导数公式(1)[f (x )±g (x )]′=f ′(x )±g ′(x ).(2)[f (x )·g (x )]′=f ′(x )g (x )+f (x )g ′(x ).(3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′=f ′(x )g (x )-f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0).4.复合函数的导数复合函数y =f (g (x ))的导数和函数y =f (u ),u =g (x )的导数间的关系为y x ′=y u ′·u x ′,即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.导师提醒 1.注意两种区别(1)f ′(x )与f ′(x 0)的区别与联系:f ′(x )是一个函数,f ′(x 0)是函数f ′(x )在x 0处的函数值(常数),所以[f ′(x 0)]′=0.(2)“过”与“在”:曲线y =f (x )“在点P (x 0,y 0)处的切线”与“过点P (x 0,y 0)的切线”的区别:前者P (x 0,y 0)为切点,而后者P (x 0,y 0)不一定为切点.2.关注两个易错点(1)函数y =f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢,|f ′(x )|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.(2)曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个,而直线与二次曲线相切只有一个公共点.3.记住两个常用结论(1)奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数. (2)[af (x )+bg (x )]′=af ′(x )+bg ′(x ).判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)f ′(x 0)是函数y =f (x )在x =x 0附近的平均变化率.( ) (2)求f ′(x 0)时,可先求f (x 0),再求f ′(x 0).( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.( ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( )(5)曲线y =f (x )在点P (x 0,y 0)处的切线与过点P (x 0,y 0)的切线相同.( ) 答案:(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×(教材习题改编)函数y =x cos x -sin x 的导数为( ) A .x sin x B .-x sin x C .x cos xD .-x cos x解析:选B.y ′=x ′cos x +x (cos x )′-(sin x )′=cos x -x sin x -cos x =-x sin x .(教材习题改编)函数y =f (x )的图象如图,则导函数f ′(x )的大致图象为( )解析:选B.由导数的几何意义可知,f′(x)为常数,且f′(x)<0.(2018·高考全国卷Ⅱ)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为________.解析:因为y=2ln(x+1),所以y′=2x+1.当x=0时,y′=2,所以曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y-0=2(x-0),即y=2x.答案:y=2x有一机器人的运动方程为s=t2+3t(t是时间,s是位移),则该机器人在时刻t=2时的瞬时速度为________.解析:因为s=t2+3t,所以s′=2t-3t2,所以s′|t=2=4-34=134.答案:13 4若曲线y=e-x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标是________.解析:设P(x0,y0),因为y=e-x,所以y′=-e-x,所以点P处的切线斜率为k=-e-x=-2,所以-x0=ln 2,所以x=-ln 2,所以y=e ln 2=2,所以点P的坐标为(-ln 2,2).答案:(-ln 2,2)导数的计算(多维探究)角度一根据求导法则求函数的导数求下列函数的导数:(1)y=(3x2-4x)(2x+1);(2)y=sin x2(1-2cos2x4);(3)y =3x e x -2x +e ; (4)y =ln xx 2+1;(5)y =ln 2x -12x +1.【解】 (1)因为y =(3x 2-4x )(2x +1) =6x 3+3x 2-8x 2-4x =6x 3-5x 2-4x , 所以y ′=18x 2-10x -4.(2)因为y =sin x 2(-cos x 2)=-12sin x ,所以y ′=(-12sin x )′=-12(sin x )′=-12cos x .(3)y ′=(3x e x )′-(2x )′+e ′=(3x )′e x +3x (e x )′-(2x )′ =3x e x ln 3+3x e x -2x ln 2 =(ln 3+1)·(3e)x -2x ln 2.(4)y ′=(ln x )′(x 2+1)-ln x (x 2+1)′(x 2+1)2=1x (x 2+1)-2x ln x (x 2+1)2=x 2+1-2x 2ln x x (x 2+1)2.(5)y ′=(ln 2x -12x +1)′=[ln(2x -1)-ln(2x +1)]′=[ln(2x -1)]′-[ln(2x +1)]′=12x -1·(2x -1)′-12x +1·(2x +1)′=22x -1-22x +1=44x 2-1.角度二 抽象函数的导数计算已知函数f (x )的导函数为f ′(x ),且满足关系式f (x )=x 2+3xf ′(2)+ln x ,则f ′(2)=________.【解析】 因为f (x )=x 2+3xf ′(2)+ln x ,所以f ′(x )=2x +3f ′(2)+1x ,所以f ′(2)=4+3f ′(2)+12=3f ′(2)+92,所以f ′(2)=-94.【答案】 -94导数的计算技巧(1)求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错;遇到函数的商的形式时,如能化简则化简,这样可避免使用商的求导法则,减少运算量.(2)复合函数求导时,先确定复合关系,由外向内逐层求导,必要时可换元.1.已知f (x )=x (2 017+ln x ),若f ′(x 0)=2 018,则x 0=( ) A .e 2 B .1 C .ln 2D .e解析:选B.因为f (x )=x (2 017+ln x ), 所以f ′(x )=2 017+ln x +1=2 018+ln x , 又f ′(x 0)=2 018,所以2 018+ln x 0=2 018,所以x 0=1.2.(2019·宜昌模拟)已知f ′(x )是函数f (x )的导数,f (x )=f ′(1)·2x +x 2,则f ′(2)=( ) A.12-8ln 21-2ln 2B.21-2ln 2C.41-2ln 2D .-2解析:选C.因为f ′(x )=f ′(1)·2x ln 2+2x ,所以f ′(1)=f ′(1)·2ln 2+2,解得f ′(1)=21-2ln 2,所以f ′(x )=21-2ln 2·2x ln 2+2x ,所以f ′(2)=21-2ln 2×22ln 2+2×2=41-2ln 2.3.求下列函数的导数: (1)y =x 2sin x ; (2)y =ln x +1x ;(3)y =cos x ex .解:(1)y ′=(x 2)′sin x +x 2(sin x )′=2x sin x +x 2cos x . (2)y ′=⎝⎛⎭⎫ln x +1x ′=(ln x )′+⎝⎛⎭⎫1x ′=1x -1x 2. (3)y ′=⎝⎛⎭⎫cos x e x ′=(cos x )′e x-cos x (e x)′(e x )2=-sin x +cos xe x.导数的几何意义(多维探究)角度一求切线方程(一题多解)(2018·高考全国卷Ⅰ)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为()A.y=-2x B.y=-xC.y=2x D.y=x【解析】法一:因为函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax为奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以(-x)3+(a-1)(-x)2+a(-x)=-[x3+(a-1)x2+ax],所以2(a-1)x2=0,因为x∈R,所以a=1,所以f(x)=x3+x,所以f′(x)=3x2+1,所以f′(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x.故选D.法二:因为函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax为奇函数,所以f(-1)+f(1)=0,所以-1+a-1-a +(1+a-1+a)=0,解得a=1,所以f(x)=x3+x,所以f′(x)=3x2+1,所以f′(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x.故选D.【答案】 D角度二求切点坐标若曲线y=x ln x上点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P的坐标是________.【解析】设切点P的坐标为(x0,y0),因为y′=ln x+1,所以切线的斜率为k=ln x+1,由题意知k=2,得x=e,代入曲线方程得y=e.故点P的坐标是(e,e).【答案】(e,e)角度三求参数(1)(2018·高考全国卷Ⅲ)曲线y=(ax+1)e x在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a=________.(2)直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,3),则2a+b=________.【解析】(1)y′=(ax+1+a)e x,由曲线在点(0,1)处的切线的斜率为-2,得y′|x=0=(ax+1=1+a=-2,所以a=-3.+a)e x|x=0(2)由题意知,y ′=3x 2+a ,则⎩⎪⎨⎪⎧13+a +b =3,3×12+a =k ,k +1=3,由此解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-1,b =3,k =2,所以2a +b =1.【答案】 (1)-3(2)1 角度四 公切线问题已知曲线y =x +ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y =ax 2+(a +2)x +1相切,则a =________.【解析】 令f (x )=x +ln x ,求导得f ′(x )=1+1x ,f ′(1)=2,又f (1)=1,所以曲线y =x +ln x在点(1,1)处的切线方程为y -1=2(x -1),即y =2x -1.设直线y =2x -1与曲线y =ax 2+(a +2)x +1的切点为P (x 0,y 0),则y ′|x =x 0=2ax 0+a +2=2,得a (2x 0+1)=0,所以a =0或x 0=-12,又ax 20+(a +2)x 0+1=2x 0-1,即ax 20+ax 0+2=0,当a =0时,显然不满足此方程,所以x 0=-12,此时a =8.【答案】8角度五 导数与函数的图象(1)函数y =f (x )的导函数y =f ′(x )的图象如图所示,则函数y =f (x )的图象可能是()(2)已知y =f (x )是可导函数,如图,直线y =kx +2是曲线y =f (x )在x =3处的切线,令g (x )=xf (x ),g ′(x )是g (x )的导函数,则g ′(3)=________.【解析】 (1)不妨设导函数y =f ′(x )的零点依次为x 1,x 2,x 3,其中x 1<0<x 2<x 3,由导函数图象可知,y =f (x )在(-∞,x 1)上为减函数,在(x 1,x 2)上为增函数,在(x 2,x 3)上为减函数,在(x 3,+∞)上为增函数,从而排除A ,C.y =f (x )在x =x 1,x =x 3处取到极小值,在x =x 2处取到极大值,又x 2>0,排除B ,故选D.(2)由题图可知曲线y =f (x )在x =3处切线的斜率等于-13,所以f ′(3)=-13.因为g (x )=xf (x ),所以g ′(x )=f (x )+xf ′(x ), 所以g ′(3)=f (3)+3f ′(3), 又由题图可知f (3)=1, 所以g ′(3)=1+3×⎝⎛⎭⎫-13=0. 【答案】 (1)D (2)0导数几何意义的应用类型及求解思路(1)已知切点A (x 0,f (x 0))求斜率k ,即求该点处的导数值:k =f ′(x 0).(2)若求过点P (x 0,y 0)的切线方程,可设切点为(x 1,y 1),由⎩⎨⎧y 1=f (x 1),y 0-y 1=f ′(x 1)(x 0-x 1)求解即可.(3)已知斜率k ,求切点A (x 1,f (x 1)),即解方程f ′(x 1)=k .(4)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况,由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢.1.已知函数y =f (x )的图象是下列四个图象之一,且其导函数y =f ′(x )的图象如图所示,则该函数的图象是( )解析:选B.由y =f ′(x )的图象是先上升后下降可知,函数y =f (x )图象的切线的斜率先增大后减小,故选B.2.(2019·泉州模拟)若一直线与曲线y =ln x 和曲线x 2=ay (a >0)相切于同一点P ,则a 的值为________.解析:设切点P (x 0,y 0),则由y =ln x ,得y ′=1x ,由x 2=ay ,得y ′=2ax ,则有⎩⎪⎨⎪⎧1x 0=2a x 0,y 0=ln x 0,x 2=ay 0,解得a =2e.答案:2e3.已知f (x )=ln x ,g (x )=12x 2+mx +72(m <0),直线l 与函数f (x ),g (x )的图象都相切,且与f (x )图象的切点为(1,f (1)),则m =________.解析:因为f ′(x )=1x,所以直线l 的斜率为k =f ′(1)=1, 又f (1)=0,所以切线l 的方程为y =x -1. g ′(x )=x +m ,设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0,y 0),则有x 0+m =1,y 0=x 0-1,y 0=12x 20+mx 0+72,m <0,解得m =-2. 答案:-2分类讨论已知点是否为切点已知曲线y =13x 3上一点P ⎝⎛⎭⎫2,83,则过点P 的切线方程为________. 【解析】 (1)当P 为切点时,由y ′=⎝⎛⎭⎫13x 3′=x 2, 得y ′|x =2=4,即过点P 的切线方程的斜率为4. 则所求的切线方程是y -83=4(x -2),即12x -3y -16=0.(2)当P 点不是切点时,设切点为Q (x 0,y 0), 则切线方程为y -13x 30=x 20(x -x 0),因为切线过点P ⎝⎛⎭⎫2,83,把P 点的坐标代入以上切线方程, 求得x 0=-1或x 0=2(即点P ,舍去), 所以切点为Q ⎝⎛⎭⎫-1,-13, 即所求切线方程为3x -3y +2=0.综上所述,过点P 的切线方程为12x -3y -16=0或3x -3y +2=0. 【答案】 12x -3y -16=0或3x -3y +2=0求曲线的切线问题时,要明晰所运算的对象(切线)涉及的点是“在”还是“过”,然后利用求切线方程的方法进行求解.(1)“在”曲线上一点处的切线问题,先对函数求导,代入点的横坐标得到斜率. (2)“过”曲线上一点的切线问题,此时该点未必是切点,故应先设切点,求切点坐标.若存在过点(1,0)的直线与曲线y =x 3和y =ax 2+154x -9都相切,则a 等于( ) A .-1或-2564B .-1或214C .-74或-2564D .-74或7解析:选A.因为y =x 3,所以y ′=3x 2, 设过点(1,0)的直线与y =x 3相切于点(x 0,x 30), 则在该点处的切线斜率为k =3x 20,所以切线方程为y -x 30=3x 20(x -x 0),即y =3x 20x -2x 30.又点(1,0)在切线上,所以x 0=0或x 0=32.当x 0=0时,切线方程为y =0.由y =0与y =ax 2+154x -9相切可得a =-2564;当x 0=32时,切线方程为y =274x -274,由y =274x -274与y =ax 2+154x -9相切,可得a =-1.综上,a 的值为-1或-2564.[基础题组练]1.已知函数f(x)=1x cos x,则f(π)+f′⎝⎛⎭⎫π2=()A.-3π2B.-1π2C.-3πD.-1π解析:选C.因为f′(x)=-1x2cos x+1x(-sin x),所以f(π)+f′⎝⎛⎭⎫π2=-1π+2π·(-1)=-3π.2.(2019·河北衡水调研)曲线y=1-2x+2在点(-1,-1)处的切线方程为()A.y=2x+1 B.y=2x-1 C.y=-2x-3 D.y=-2x-2解析:选A.因为y=1-2x+2=xx+2,所以y′=x+2-x(x+2)2=2(x+2)2,y′|x=-1=2,所以曲线在点(-1,-1)处的切线的斜率为2,所以所求切线方程为y+1=2(x+1),即y=2x+1.3.已知曲线y=x24-3ln x的一条切线的斜率为12,则切点的横坐标为()A.3 B.2C.1 D.1 2解析:选A.因为y′=x2-3x,令y′=12,解得x=3,即切点的横坐标为3.4.如图所示为函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象,那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是()解析:选D.由y=f′(x)的图象知y=f′(x)在(0,+∞)上单调递减,说明函数y=f(x)的切线的斜率在(0,+∞)上也单调递减,故排除A、C.又由图象知y=f′(x)与y=g′(x)的图象在x=x处相交,说明y =f (x )与y =g (x )的图象在x =x 0处的切线的斜率相同,故排除B.5.函数g (x )=x 3+52x 2+3ln x +b (b ∈R )在x =1处的切线过点(0,-5),则b 的值为( )A.72B.52 C.32D.12解析:选B.当x =1时,g (1)=1+52+b =72+b ,又g ′(x )=3x 2+5x +3x,所以切线斜率k =g ′(1)=3+5+3=11, 从而切线方程为y =11x -5,由于点⎝⎛⎭⎫1,72+b 在切线上,所以72+b =11-5, 解得b =52.故选B.6.已知f (x )=ax 4+b cos x +7x -2.若f ′(2 018)=6,则f ′(-2 018)=________. 解析:因为f ′(x )=4ax 3-b sin x +7, 所以f ′(-x )=4a (-x )3-b sin(-x )+7 =-4ax 3+b sin x +7. 所以f ′(x )+f ′(-x )=14. 又f ′(2 018)=6,所以f ′(-2 018)=14-6=8. 答案:87.若曲线f (x )=x sin x +1在x =π2处的切线与直线ax +2y +1=0相互垂直,则实数a =________.解析:因为f ′(x )=sin x +x cos x ,所以f ′⎝⎛⎭⎫π2=sin π2+π2·cos π2=1.又直线ax +2y +1=0的斜率为-a 2,所以1×⎝⎛⎭⎫-a 2=-1,解得a =2. 答案:28.(2019·南昌第一次模拟)设函数f (x )在(0,+∞)内可导,其导函数为f ′(x ),且f (ln x )=x +ln x ,则f ′(1)=________.解析:因为f (ln x )=x +ln x ,所以f (x )=x +e x ,所以f ′(x )=1+e x ,所以f ′(1)=1+e 1=1+e. 答案:1+e9.已知函数f (x )=x 3+(1-a )x 2-a (a +2)x +b (a ,b ∈R ).(1)若函数f (x )的图象过原点,且在原点处的切线斜率为-3,求a ,b 的值; (2)若曲线y =f (x )存在两条垂直于y 轴的切线,求a 的取值范围. 解:f ′(x )=3x 2+2(1-a )x -a (a +2).(1)由题意得⎩⎨⎧f (0)=b =0,f ′(0)=-a (a +2)=-3,解得b =0,a =-3或a =1.(2)因为曲线y =f (x )存在两条垂直于y 轴的切线,所以关于x 的方程f ′(x )=3x 2+2(1-a )x -a (a +2)=0有两个不相等的实数根, 所以Δ=4(1-a )2+12a (a +2)>0, 即4a 2+4a +1>0, 所以a ≠-12.所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫-∞,-12∪⎝⎛⎭⎫-12,+∞. 10.已知函数f (x )=x 3+x -16.(1)求曲线y =f (x )在点(2,-6)处的切线的方程;(2)直线l 为曲线y =f (x )的切线,且经过原点,求直线l 的方程及切点坐标; (3)如果曲线y =f (x )的某一切线与直线y =-14x +3垂直,求切点坐标与切线的方程.解:(1)可判定点(2,-6)在曲线y =f (x )上. 因为f ′(x )=(x 3+x -16)′=3x 2+1.所以f (x )在点(2,-6)处的切线的斜率为k =f ′(2)=13. 所以切线的方程为y =13(x -2)+(-6), 即y =13x -32. (2)设切点为(x 0,y 0),则直线l 的斜率为f ′(x 0)=3x 20+1, 所以直线l 的方程为y =(3x 20+1)(x -x 0)+x 30+x 0-16,又因为直线l 过点(0,0),所以0=(3x 20+1)(-x 0)+x 30+x 0-16,整理得,x 30=-8, 所以x 0=-2,所以y 0=(-2)3+(-2)-16=-26, k =3×(-2)2+1=13.所以直线l 的方程为y =13x ,切点坐标为(-2,-26). (3)因为切线与直线y =-14x +3垂直,所以切线的斜率k =4. 设切点的坐标为(x 0,y 0), 则f ′(x 0)=3x 20+1=4, 所以x 0=±1.所以⎩⎨⎧x 0=1,y 0=-14或⎩⎨⎧x 0=-1,y 0=-18,即切点坐标为(1,-14)或(-1,-18), 切线方程为y =4(x -1)-14或y =4(x +1)-18. 即y =4x -18或y =4x -14.[综合题组练]1.(应用型)在等比数列{a n }中,a 1=2,a 8=4,函数f (x )=x (x -a 1)(x -a 2)·…·(x -a 8),则f ′(0)=( )A .26B .29C .212D .215解析:选 C.因为f ′(x )=x ′·[(x -a 1)(x -a 2)·…·(x -a 8)]+[(x -a 1)·(x -a 2)·…·(x -a 8)]′·x =(x -a 1)(x -a 2)·…·(x -a 8)+[(x -a 1)(x -a 2)·…·(x -a 8)]′·x ,所以f ′(0)=(0-a 1)(0-a 2)·…·(0-a 8)+0=a 1a 2·…·a 8.因为数列{a n }为等比数列,所以a 2a 7=a 3a 6=a 4a 5=a 1a 8=8,所以f ′(0)=84=212.故选C. 2.(应用型)(2019·成都第二次诊断检测)若曲线y =f (x )=ln x +ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线,则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫-12,+∞ B .[-12,+∞)C .(0,+∞)D .[0,+∞)解析:选 D.f ′(x )=1x +2ax =2ax 2+1x (x >0),根据题意有f ′(x )≥0(x >0)恒成立,所以2ax 2+1≥0(x >0)恒成立,即2a ≥-1x 2(x >0)恒成立,所以a ≥0,故实数a 的取值范围为[0,+∞).故选D.3.(创新型)(2019·黑龙江伊春质检)曲线y =ln(2x -1)上的点到直线2x -y +8=0的最短距离是________.解析:设M (x 0,ln(2x 0-1))为曲线上的任意一点,则曲线在M 点处的切线与直线2x -y +8=0平行时,M 点到直线的距离即为曲线y =ln(2x -1)上的点到直线2x -y +8=0的最短距离.因为y ′=22x -1,所以22x 0-1=2,解得x 0=1,所以M (1,0).记点M 到直线2x -y +8=0的距离为d ,则d =|2+8|4+1=2 5.答案:2 54.设有抛物线C :y =-x 2+92x -4,过原点O 作C 的切线y =kx ,使切点P 在第一象限.(1)求k 的值;(2)过点P 作切线的垂线,求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标. 解:(1)由题意得,y ′=-2x +92.设点P 的坐标为(x 1,y 1),则y 1=kx 1,① y 1=-x 21+92x 1-4,② -2x 1+92=k ,③联立①②③得,x 1=2,x 2=-2(舍去). 所以k =12.(2)过P 点作切线的垂线, 其方程为y =-2x +5.④ 将④代入抛物线方程得, x 2-132x +9=0.设Q 点的坐标为(x 2,y 2),则2x 2=9, 所以x 2=92,y 2=-4.所以Q 点的坐标为⎝⎛⎭⎫92,-4.5.(2019·福州质检)设函数f (x )=ax -bx ,曲线y =f (x )在点(2,f (2))处的切线方程为7x -4y -12=0.(1)求f (x )的解析式;(2)证明:曲线y =f (x )上任一点处的切线与直线x =0和直线y =x 所围成的三角形的面积为定值,并求此定值.解:(1)方程7x -4y -12=0可化为y =74x -3.当x =2时,y =12.又f ′(x )=a +bx2,于是⎩⎨⎧2a -b 2=12,a +b 4=74,解得⎩⎨⎧a =1,b =3.故f (x )=x -3x .(2)证明:设P (x 0,y 0)为曲线上任一点,由y ′=1+3x 2,知曲线在点P (x 0,y 0)处的切线方程为y -y 0=⎝⎛⎭⎫1+3x 20(x -x 0), 即y -⎝⎛⎭⎫x 0-3x 0=⎝⎛⎭⎫1+3x 20(x -x 0). 令x =0,得y =-6x 0,从而得切线与直线x =0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0,-6x 0. 令y =x ,得y =x =2x 0,从而得切线与直线y =x 的交点坐标为(2x 0,2x 0).所以点P (x 0,y 0)处的切线与直线x =0,y =x 所围成的三角形的面积为S =12⎪⎪⎪⎪-6x 0|2x 0|=6. 故曲线y =f (x )上任一点处的切线与直线x =0,y =x 所围成的三角形的面积为定值,且此定值为6.。

2018高考数学一轮复习方案第13讲变化率与导数、导数的

2018高考数学一轮复习方案第13讲变化率与导数、导数的

2018高考数学一轮复习方案 第13讲 变化率与导数、导数的运算 第15讲 导数研究函数的最值与生活中的优化问题举例]配套测评 文 北师大版45分钟滚动基础训练卷(四)(考查范围:第4讲~第15讲,以第13讲~第15讲内容为主 分值:100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知函数f(x)=ax 2+c ,且f′(1)=2,则a 的值为( ) A. 2 B .1 C .-1 D .02.曲线y =x 3-2x +1在点(1,0)处的切线方程为( ) A .y =x -1 B .y =-x +1 C .y =2x -2 D .y =-2x +2 3.[2018·哈尔滨附中月考] 若函数f(x)的定义域为[a ,b],且b>-a>0,则函数g(x)=f(x)+f(-x)的定义域为( )A .[a ,b]B .[-b ,-a]C .[-b ,b]D .[a ,-a]4.[2018·银川一中月考] 过点(0,1)且与曲线y =x +1x -1在点(3,2)处的切线垂直的直线的方程为( )A .2x -y +1=0B .2x +y -1=0C .x +2y -2=0D .x -2y +2=05.设函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧1,x>0,0,x =0,-1,x<0,g(x)=x 2f(x -1),则函数g(x)的递减区间是( )A .(0,1)B .(1,+∞)C .(-∞,0)D .(0,+∞)6.[2018·鹰潭一中模拟] 定义域为R 的函数f (x )满足f (1)=1,且f (x )的导函数f ′(x )>12,则满足2f (x )<x +1的x 的集合为( )A .{x |-1<x <1}B .{x |x <1}C .{x |x <-1或x >1}D .{x |x >1}7.设f (x )=x (ax 2+bx +c )(a ≠0)在x =1和x =-1处有极值,则下列点中一定在x 轴上的是( )A .(a ,b )B .(a ,c )C .(b ,c )D .(a +b ,c )8.[2018·山西四校联考] 设曲线y =x n +1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点横坐标为x n ,则log 2 012x 1+log 2 012x 2+…+log 2 012x 2018的值为( )A .-log 2 0122 011B .-1C .-1+log 2 0122 011D .1二、填空题(本大题共3小题,每小题6分,共18分)9.[2018·福州质检] 函数f (x )=x 3+ax (x ∈R )在x =1处有极值,则曲线y =f (x )在原点处的切线方程是________.10.[2018·课程标准卷] 曲线y =x (3ln x +1)在点(1,1)处的切线方程为________. 11.设f (x ),g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当x <0时,f ′(x )g (x )+f (x )g ′(x )>0且g (-3)=0,则不等式f (x )g (x )<0的解集为________.三、解答题(本大题共3小题,每小题14分,共42分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)12.[2018·双鸭山一中期中] 某商品进货价每件50元,据市场调查,当销售价格(每件x 元)为50<x ≤80时,每天售出的件数为P =105(x -40)2,若要使每天获得的利润最多,销售价格每件应定为多少元?13.已知函数f (x )=e x (ax 2+x +1). (1)设a >0,讨论f (x )的单调性;(2)设a =-1,证明:对任意x 1,x 2∈[0,1],都有|f (x 1)-f (x 2)|<2.14.已知函数f (x )=e x+1x -a.(1)当a =12时,求函数f (x )在x =0处的切线方程;(2)当a >1时,判断方程f (x )=0实根的个数.45分钟滚动基础训练卷(四)1.B [解析] 因为f ′(x )=2ax ,所以f ′(1)=2a =2,所以a =1.故选B.2.A [解析] 因为y ′=3x 2-2,切线的斜率为k =3×12-2=1,所以切线方程为y =x -1,故选A.3.D [解析] 因为函数f (x )的定义域为[a ,b ],且b >-a >0,所以函数f (-x )的定义域为[-b ,-a ],所以g (x )=f (x )+f (-x )的定义域为[a ,b ]∩[-b ,-a ]=[a ,-a ].故选D.4.A [解析] y ′=x -1-(x +1)(x -1)2=-2(x -1)2,曲线在点(3,2)处的切线斜率为k =y ′|x =3=-12,所以与该切线垂直的直线的斜率为2,所以所求直线方程为y -1=2x .故选A.5.A [解析] 依题意得,g (x )=x 2f (x -1)=⎩⎪⎨⎪⎧x 2,x >1,0,x =1,-x 2,x <1,所以g (x )的递减区间为(0,1).故选A.6.B [解析] 令F (x )=f (x )-12x ,F ′(x )=f ′(x )-12>0,所以函数F (x )为增函数,而F (1)=f (1)-12=12,2f (x )<x +1的解即为F (x )<12的解.故选B.7.A [解析] f ′(x )=3ax 2+2bx +c ,由题意知1,-1是方程3ax 2+2bx +c =0(a ≠0)的两根,∴1-1=-2b3a⇒b =0.故选A.8.B [解析] y ′=(n +1)x n,曲线在点(1,1)的切线斜率为(n +1),切线方程为y -1=(n +1)(x -1),令y =0,得x =n n +1,即切线与x 轴的交点横坐标x n =nn +1,所以x 1x 2…x 2 011=12×23×…×2 0112 012=12 012,所以log 2 012x 1+log 2 012x 2+…+log 2 012x 2 011=-1.故选B.9.3x +y =0 [解析] 因为函数f (x )=x 3+ax (x ∈R )在x =1处有极值,则f ′(1)=3×12+a =0,a =-3,所求切线的斜率为k =a =-3,因此所求切线方程为y =-3x .10.y =4x -3 [解析] y ′=3ln x +1+x ·3x=3ln x +4,故y ′|x =1=4.故所求切线方程为y -1=4(x -1),即4x -y -3=0.11.(-∞,-3)∪(0,3) [解析] 由f ′(x )g (x )+f (x )g ′(x )>0得[f (x )g (x )]′>0,所以F (x )=f (x )g (x )在(-∞,0)上是增函数.又f (x ),g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,所以F (x )=f (x )g (x )在R 上为奇函数,且在(0,+∞)上为增函数.因为g (-3)=0,所以F (-3)=0,F (3)=0.当x <0时,f (x )g (x )<0的解集为(-∞,-3);当x >0时,不等式f (x )g (x )<0的解集为(0,3).综上,不等式的解集为(-∞,-3)∪(0,3).12.解:设销售价格定为每件x 元,50<x ≤80,每天获得的利润为y 元,则y =(x -50)·P =105(x -50)(x -40)2,令x -50=t ,y =105t (t +10)2=105tt 2+20t +100=105t +100t+20≤10520+20=2 500,所以当且仅当t =10,即x =60时,y max =2 500. 答:销售价格每件应定为60元.13.解:(1)因为f ′(x )=e x(ax 2+x +1+2ax +1)=e x(x +2)(ax +1). 令f ′(x )>0,得(x +2)(ax +1)>0,注意到a >0,所以当a ∈0,12时,f (x )在-∞,-1a 上递增,在-1a,-2上递减,在(-2,+∞)上递增;当a =12时,f (x )在(-∞,+∞)上递增;当a ∈12,+∞时,f (x )在(-∞,-2)上递增,在-2,-1a 上递减,在-1a,+∞上递增.(2)证明:因为a =-1,由(1),f ′(x )=-e x(x +2)(x -1), 所以f (x )在[0,1]上单调递增,故f (x )在[0,1]的最大值为f (1)=e ,最小值为f (0)=1. 从而对任意x 1,x 2∈[0,1],有|f (x 1)-f (x 2)|≤e -1<2.14.解:(1)f (x )=e x +1x -a ,f ′(x )=e x-1(x -a )2,f ′(0)=1-1a2.当a =12时,f ′(0)=-3.又f (0)=-1.所以f (x )在x =0处的切线方程为y =-3x -1. (2)函数f (x )的定义域为(-∞,a )∪(a ,+∞).当x ∈(a ,+∞)时,e x >0,1x -a >0,所以f (x )=e x+1x -a>0.即f (x )在区间(a ,+∞)上没有实数根.当x ∈(-∞,a )时,f (x )=e x+1x -a =e x(x -a )+1x -a,令g (x )=e x(x -a )+1.只要讨论g (x )=0根的个数即可. g ′(x )=e x (x -a +1),g ′(a -1)=0.当x ∈(-∞,a -1)时,g ′(x )<0,g (x )是减函数; 当x ∈(a -1,a )时,g ′(x )>0,g (x )是增函数.所以g (x )在区间(-∞,a )上的最小值为g (a -1)=1-e a -1.因为a >1时,g (a -1)=1-e a -1<0,所以g (x )=0有两个实根,即f (x )=0有两个实根.。

2023高考数学(理,北师大版)一轮复习课件第13讲 变化率与导数、导数的运算

2023高考数学(理,北师大版)一轮复习课件第13讲 变化率与导数、导数的运算


f(x2)-f(x1) x2-x1








[x1

x2]






率.( ) (2)若一质点按规律 s=8+t2 运动,则在[2,2.1]内相应的
平均速度是 4.1.( )
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第13讲 变化率与导数、导数的运算


固 基
[答案] (1)√ (2)√

[解析] (1)根据平均变化率的概念知正确.

(a,b) 内
lim
x0
_f_(__x_+___Δ__xΔ_)_x__-__f_(__x_)叫作函数在区间(a,b)内的导

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第13讲 变化率与导数、导数的运算

(续表)


基 础
几何意 义
函数 y=f(x)在点 x=x0 处的导数 f′(x0)就是函数图像在该点
处切线的__斜___率___.曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方 程是y_-___y0_=__f_′_(x_0)(x-x0)
(2) v =(8+2.122).1- -2(8+22)=4.1.
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第13讲 变化率与导数、导数的运算

向 固 基
2.导数的概念 (1)f′(x0)=[f(x0)]′.( )

(2)f′(x0)=
lim
x x0
f(x)x--xf(0 x0)=
lim
h0
f(x0+h)h-f(x0)=
lim
h0
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第13讲 变化率与导数、导数的运算

高考数学大一轮复习课时123.1变化率与导数导数的计算课件

高考数学大一轮复习课时123.1变化率与导数导数的计算课件
4 4 2 244
x,
∴y'=- 1 sin x.
(3)设y=4 u13,u=sin x,
则y'x=y'u×u'x=- 13 u 43
×cos
x=- 13 (sin
4
x ) 3 ×cos
x.
方法指导
导数运算的原则与方法 (1)原则:先化简解析式,再求导. (2)方法:
▶提醒 求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简, 然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错;遇到函数的商 的形式时,如能化简则化简,这样可减少运算量.
lim f (x x) f (x)
称函数f '(x)=⑤ x0
x
为f(x)的导函数.
2.基本初等函数的导数公式
原函数 f(x)=C(C为常数) f(x)=xα(α∈Q*) f(x)=sin x f(x)=cos x f(x)=ax(a>0,且a≠1) f(x)=ex f(x)=logax(a>0,且a≠1)
4
4
5.已知函数y=f(x)及其导函数y=f '(x)的图象如图所示,则曲线y=f(x)在点P
(2,0)处的切线方程是 x-y-2=0
.
考点突破
导数计算
典例1 求下列函数的导数:
(1)y= x 1;
x
(2)y=sin4 x +cos4 x ;
4
4
(3)y= 3 1 . sin x
解析
(1)∵y= x 1
1-1 求下列各函数的导数:
(1)y=(3x3-4x)(2x+1);
(2)y=-sin 2x 1
2cos2
x 4

高考数学总复习 高分攻略第13讲 变化率与导数、导数的运算

高考数学总复习 高分攻略第13讲 变化率与导数、导数的运算

(时间:45分钟 分值:100分)基础热身1.[2013·江西卷] 若f (x )=x 2-2x -4ln x ,则f ′(x )>0的解集为( )A .(0,+∞)B .(-1,0)∪(2,+∞)C .(2,+∞)D .(-1,0)2.曲线y =xx +2在点(-1,-1)处的切线方程为( )A .y =2x +1B .y =2x -1C .y =2x -3D .y =-2x -23.若曲线y =x 2+ax +b 在点(0, b )处的切线方程是x -y +1=0,则( )A .a =1,b =1B .a =-1,b =1C .a =1,b =-1D .a =-1,b =-14.y =cos x 1-x的导数是( ) A .y ′=cos x +sin x +x sin x (1-x )2 B .y ′=cos x -sin x +x sin x (1-x )2 C .y ′=cos x -sin x +x sin x 1-xD .y ′=cos x +sin x -x sin x (1-x )2能力提升5.[2013·沈阳模拟] 若函数y =x 33-x 2+1(0<x <2)的图象上任意点处切线的倾斜角为α,则α的最小值是( )A.π4B.π6C.5π6D.3π46.若曲线f (x )=x sin x +1在x =π2处的切线与直线ax +2y +1=0互相垂直,则实数a 等于( )A .-2B .-1C .1D .27.等比数列{a n }中,a 1=2,a 8=4,函数f (x )=x (x -a 1)·(x -a 2)…(x -a 8),则f ′(0)=( )A .26B .29C .212D .2158.若曲线y =x -12在点⎝⎛⎭⎪⎫a ,a -12处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18,则a =( )A .64B .32C .16D .89.已知点P 在曲线y =4e x +1上,α为曲线在点P 处的切线的倾斜角,则α的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0,π4B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4,π2 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤π2,3π4 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4,π 10.[2013·深圳模拟] 已知曲线y =x 2-1在x =x 0处的切线与曲线y =1-x 3在x =x 0处的切线互相平行,则x 0的值为________.11.直线y =12x +b 是曲线y =ln x (x >0)的一条切线,则实数b =________. 12.[2013·豫北六校联考] 已知直线y =x +1与曲线y =ln(x +a )相切,则a 的值为________.13.已知f (x )=e x -e -x e x +e-x ,则f ′(0)=________. 14.(10分)求下列函数的导数:(1)y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-x +cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+x ; (2)y =e 1-2x +ln(3-x );(3)y =ln 1-x 1+x.15.(13分)设函数f (x )=ax +1x +b(a ,b ∈Z ),曲线y =f (x )在点(2,f (2))处的切线方程为y =3.(1)求f (x )的解析式;(2)证明:函数y =f (x )的图象是一个中心对称图形,并求其对称中心;(3)证明:曲线y =f (x )上任一点的切线与直线x =1和直线y =x 所围三角形的面积为定值,并求出此定值.难点突破16.(12分)用导数方法求和:1+2x+3x2+…+nx n-1(x≠0,1,n∈N*).【基础热身】1.C [解析] f ′(x )=2x -2-4x >0,即x 2-x -2x>0.∵x >0,∴(x -2)(x +1)>0,∴x >2. 2.A [解析] ∵y ′= ⎪⎪⎪2(x +2)2x =-1=2,∴切线方程为y =2x +1. 3.A [解析] ∵y ′=2x +a⎪⎪⎪ )x =0=a ,∴a =1,(0,b )在切线x -y +1=0上,∴b =1. 4.B [解析] y ′=-(1-x )sin x -(-1)cos x (1-x )2=cos x -sin x +x sin x (1-x )2. 【能力提升】5.D [解析] y ′=x 2-2x ,当0<x <2时,-1≤y ′<0,即-1≤tan α<0,故3π4≤α<π,α的最小值为3π4. 6.D [解析] f ′(x )=sin x +x cos x ,f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2=1,即函数f (x )=x sin x +1在x =π2处的切线的斜率是1,直线ax +2y +1=0的斜率是-a 2,所以⎝ ⎛⎭⎪⎫-a 2×1=-1,解得a =2. 7.C [解析] f ′(x )=[x ·(x -a 1)(x -a 2)…(x -a 8)]′=(x -a 1)(x -a 2)…(x -a 8)+x [(x -a 1)(x -a 2)…(x -a 8)]′,所以f ′(0)=a 1a 2…a 8=(a 1a 8)4=84=212.8.A [解析] y ′=-12x -32,所以k =-12a -32,切线方程为y -a -12=-12a -32(x -a ).令x =0,得y =32a -12;令y =0,得x =3a .所以三角形的面积是S =12·3a ·32a -12=94a 12=18,解得a =64.9.D [解析] 由于y ′=⎝ ⎛⎭⎪⎫4e x +1′=-4e x (e x +1)2,而α为曲线在点P 处的切线的倾斜角,则k =tan α=-4e x (e x +1)2<0.又(e x +1)2≥(2e x )2=4e x ,当且仅当e x =1,即x =0时,取等号,那么k =tan α=-4e x (e x +1)2≥-1,即-1≤k <0,那么对应的α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4,π. 10.0或-23 [解析] 由题意2x 0=-3x 20,解得x 0=0或-23. 11.ln2-1 [解析] y ′=1x ,令1x =12得x =2,故切点(2,ln2),代入直线方程,得ln2=12×2+b ,所以b =ln2-1. 12.2 [解析] 函数y =ln(x +a )的导数为y ′=1x +a,设切点(x 0,y 0),则切线方程为y -ln(x 0+a )=1x 0+a (x -x 0),即y =x +1,所以⎩⎪⎨⎪⎧1x 0+a =1,ln (x 0+a )-x 0x 0+a=1,解得a =2. 13.1 [解析] ∵f ′(x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫e x -e -x e x +e -x ′=⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x -1e 2x +1′=⎝ ⎛⎭⎪⎫1-2e 2x +1′=2(e 2x +1)-2·e 2x ·2=4e 2x (e 2x +1)2,∴f ′(0)=44=1. 14.解: (1)y ′=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-x ′-sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+x ′=-cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-x -sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+x =-2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+x . (2)y ′=e 1-2x ·(1-2x )′+13-x ·(3-x )′=-2e 1-2x +1x -3. (3)∵y =ln(1-x )-ln(1+x ),∴y ′=11-x ·(1-x )′+11+x (1+x )′=1x -1+1x +1=2x x 2-1. 15.解:(1)f ′(x )=a -1(x +b )2, 于是⎩⎪⎨⎪⎧2a +12+b =3,a -1(2+b )2=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =1,b =-1或⎩⎪⎨⎪⎧a =94,b =-83. 因为a ,b ∈Z ,故f (x )=x +1x -1. (2)证明:已知函数y 1=x ,y 2=1x都是奇函数. 所以函数g (x )=x +1x也是奇函数,其图象是以原点为中心的中心对称图形.而f (x )=x -1+1x -1+1,可知函数g (x )的图象按向量a =(1,1)平移,即得到函数f (x )的图象,故函数f (x )的图象是以点(1,1)为中心的中心对称图形.(3)证明:在曲线上任取一点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0,x 0+1x 0-1. 由f ′(x 0)=1-1(x 0-1)2知,过此点的切线方程为 y -x 20-x 0+1x 0-1=⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-1(x 0-1)2(x -x 0). 令x =1得y =x 0+1x 0-1,切线与直线x =1交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1,x 0+1x 0-1. 令y =x 得y =2x 0-1,切线与直线y =x 交点为(2x 0-1,2x 0-1).直线x =1与直线y =x 的交点为(1,1).从而所围三角形的面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0+1x 0-1-1|2x 0-1-1|=12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0-1|2x 0-2|=2. 所以,所围三角形的面积为定值2.【难点突破】16.解:逆用导数公式,把1+2x +3x 2+…+nx n -1转化为等比数列{x n }的前n 项和的导数,求解和式的导数即可.1+2x +3x 2+…+nx n -1=x ′+(x 2)′+(x 3)′+…+(x n )′=(x +x 2+x 3+…+x n )′=⎣⎢⎡⎦⎥⎤x (1-x n )1-x ′=⎝ ⎛⎭⎪⎫x -x n +11-x ′ =[1-(n +1)x n ](1-x )+(x -x n +1)(1-x )21-(n+1)x n+nx n+1=(1-x)2。

高考一轮复习通用版3.1变化率与导数导数的计算课件(40张)

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关键能力—考点突破
答案:D
2.[2022·四川省南充市测试]已知函数f(x)=2xf′(e)+ln x,则f(e)= ()
A.-e B.e C.-1 D.1
答案:C
0
1
y′=(x2)′sin x+x2(sin x)′=2x sin x+x2cos x.
反思感悟
[提醒] 求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化 简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错;遇 到函数的商的形式时,如能化简则先化简,这样可避免使用商的求导 法则,减少运算量.
D x-y+2=0或4x-y-4=0
答案:B
反思感悟 求切点坐标的思路
(1)已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数,再 让导数等于切线的斜率,从而求出切点的横坐标,将横坐标代入函数 解析式求出切点的纵坐标.
(2)已知曲线外一点求切点的一般思路是先设出切点坐标,列出切线 方程,将切点代入曲线方程,已知点代入切线方程联立方程求出切点 坐标.
三、必练4类基础题 (一)判断正误 1.判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)f′(x0)是函数y=f(x)在x=x0附近的平均变化率.( × ) (2)求f′(x0)时,可先求f(x0),再求f′(x0).( × ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.( √ ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( × ) (5) 曲 线 y = f(x) 在 点 P(x0 , y0) 处 的 切 线 与 过 点 P(x0 , y0) 的 切 线 相 同.( × )
答案:D
f′(x)=________ f′(x)=________
f′(x)±g′(x) f′(x)g(x)+f(x)g′(x)
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数 y=f(x)图像的切线,则切线方程

.
[答案] y=-2 或 y=9x+16
[解析] 对函数求导,得 f'(x)=3x2-3.
当点 P(-2,-2)为切点时,切线斜率 k=3×(-2)2-3=9,
根据点斜式得切线方程为 y=9x+16.
当点 P(-2,-2)不是切点时,设切点坐标为(m,n),
������ = ������3-3������,
求简单的复合函数(仅限于形如 f(ax+b)的复合函数)的导数.
课前双基巩固
知识聚焦
1.变化率与导数
(1)平均变化率:
概念 几何 意义
对于函数
y=f(x),f(x2)-f(x1)=������y叫作函数
x2-x1 ������x
y=f(x)从
x1

x2

平均 变化率
函数 y=f(x)图像上两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))连线的 斜率
课前双基巩固
7.已知 f(x)=x2+3xf'(2),则 f(2)=
.
[答案] -8 [解析] 因为 f'(x)=2x+3f'(2),令 x=2, 得 f'(2)=-2,所以 f(x)=x2-6x,所以 f(2)=-8.
课前双基巩固
8.已知 f(x)=x3,则 f'(2x+3)=
,[f(2x+3)]'=
坐标为
.
[思路点拨] 先根据 f(x)为偶函数 求得 a=1,再建立方程,解得切点的 横坐标.
课堂考点探究
例 3 设 a∈R,函数 f(x)=ex+e������������是偶函数,若曲 线 y=f(x)的一条切线的斜率是32,则切点的横
坐标为
.
[答案] ln 2
[解析] 由题意可得 f(x)=f(-x),即
.
(2)函数 y=sin(x+1)-cos���2���的导数为
y'=
.
[思路点拨] (1)对函数 f(x)=x·ex+f'(1)·x2 求导,令 x=1, 即可求得 f'(1)的值;(2)根据导 数的四则运算法则及复合函数 的求导法则求解.
课堂考点探究
例 1 (1)若函数 f(x)=x·ex+f'(1)·x2,则
即切点的横坐标为 ln 2.
课堂考点探究
[总结反思] (1)f'(x)=k(k 为切线斜率)的解即为切点的横坐标;(2)切点既在曲线上也 在切线上,这个点对于与切点有关的问题非常重要.
课堂考点探究
变式题 曲线 y=ex 在点 A 处的切线与直线
x-y+1=0 平行,则点 A 的坐标为 ( )
2-1
课前双基巩固
2.[教材改编] 已知将 1 吨水净化到纯净度为 x %时所 需费用(单位:元)为 c(x)=150208-4������ (80<x<100),当净化到 纯净度为 98 %时费用的瞬时变化率

.
[答案] 1321 元/吨 [解析] c'(x)=(150208-���4���)2,代入 x=98 计 算可得.
课前双基巩固
3.[教材改编] y=ln(x+1)的导数是 y'=
.
[答案]
1 ������ +1
[解析] y'=������+11×(x+1)'=������+11.
课前双基巩固
4.[教材改编] 曲线 y=xex-1 在点(1,1)处切线的斜率等

.
[答案] 2 [解析] y'=x'ex-1+xex-1·(x-1)'=(x+1)ex-1,所 以 y'|x=1=2,即曲线在点(1,1)处的切 线的斜率为 2.
课堂考点探究
[总结反思] (1)曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为 y-f(x0)=f'(x0)(x-x0);(2)求解曲线切 线问题的关键是求切点的横坐标,在使用切点横坐标求切线方程时应注意其取值范 围;(3)注意曲线过某点的切线和曲线在某点处的切线的区别.
课堂考点探究
变式题 已知 f(x)=x3-3x,过点 P(-2,-2)作函
2������-
π 3
,
∴f'
π 3
=2cos
2π 3
-
π 3
=2cosπ3=1,故选 D.
(2)因为 f'(x)=������������������-1,所以 f'(2)=2������������-1=2,解得 a=23,
故选 B.
课堂考点探究
角度1 求切线方程
探究点二 导数的几何意义
例 2 [2018·南昌模拟] 曲线 y=3sin x+16x3+1 在点(0,1)
第13讲 UNIT 2
变化率与导数、 导数的运算
课前双基巩固│课堂考点探究│教师备用例题
考试说明
1.导数概念及其几何意义
①了解导数概念的实际背景. ②理解导数的几何意义.
2.导数的运算
①能根据导数定义求函数 y=C(C 为常数),y=x,y=x2,y=x3,y=���1���,y= ������的导数. ②能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,能
ex+e������������ =e-x+e���-��������� ,即(1-a)
e������
-
1 e ������
=0 对任
意 x∈R 都成立,所以 a=1,所以
f(x)=ex+e-x,f'(x)=ex-e-x.设切点为(x0,y0),
则 f'(x0)=e������0 -e-������0 =32,由于 f'(x)是 R 上的 增函数,且 f'(ln 2)=32,所以 x0=ln 2,
f(x
0
+������x )-f (x ������x
0
),我们称它为函数
y=f(x)在
x=x0
处的导数,记为
f'(x0)或
y'|x =x0,即
f'(x0)=������������x������→������0
������y ������x
=
������������������
������x →0

������ +2 ������ +2
=
3������2-3,可得
m=1,
所以切点为(1,-2),此时切线方程为 y=-2.
综上,切线方程为 y=9x+16 或 y=-2.
课堂考点探究
角度2 求切点坐标
例 3 设 a∈R,函数 f(x)=ex+e������������是偶函数,若曲 线 y=f(x)的一条切线的斜率是32,则切点的横
处的切线方程为
.
[思路点拨] 先求导,从而得切线 的斜率,再由点斜式求得切线方 程.
课堂考点探究
例 2 [2018·南昌模拟] 曲线 y=3sin x+16x3+1 在点(0,1)
处的切线方程为
.
[答案] 3x-y+1=0
[解析] 求导得 y'=3cos x+12x2, 当 x=0 时,可得切线斜率 k=3, 所以切线方程为 y=3x+1,即 3x-y+1=0.
课堂考点探究
[总结反思] (1)对于复杂函数的求导,首先应利用代数、三角恒等变换等变形规则对函数解 析式进行化简,之后再求导,这样可以减少运算量,提高运算速度.(2)利用公式求导时要特别 注意除法公式中分子的符号,不要与求导的乘法公式混淆.
课堂考点探究
变式题
(1)已知函数 f(x)=sin
2������-
课前双基巩固
四则 运算 法则
复合 函数 导数
加减 [f(x)±g(x)]'= f'(x)±g'(x)
������
∑ fi(������) '=
������ =1 ������
∑ f'i(x)
������ =1
乘法 [f(x)·g(x)]'= f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x) [Cf(x)]'=Cf'(x)
(sin x)'= cos x , (cos x)'= -sin x
(ax)'= axln a(a>0 且 a≠1)
(logax)'= a≠1)
(a>0 且
特例或推广
1 ������
'=-���1��� 2
偶(奇)函数的导数是奇(偶)函数,
周期函数的导数是周期函数
(ex)'=ex
(ln x)'=1������, (ln|x|)'=1������
f'(1)=
.
(2)函数 y=sin(x+1)-cos���2���的导数为
y'=
.
[答案] (1)-2e (2)cos(x+1)+12sin���2��� [解析] (1)∵f(x)=x·ex+f'(1)·x2, ∴f'(x)=ex+x·ex+2f'(1)x, ∴f'(1)=e+e+2f'(1),解得 f'(1)=-2e.
除法
f(x) g(x)
'=
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