2014-2015(2) 微积分(B) 第六章练习题
微积分练习题(含答案)
练习题第六章 定积分1．1()(2(0)xF x dt x =->⎰的单调增加区间为_____. 1(,)4+∞2． 函数0()xt F x te dt -=⎰在点x =____处有极值. 03．设sin 201()sin ,()sin 2x f x t dt g x x x ==-⎰，则当0x →时有( A ). (A) ()~()f x g x (B) ()f x 与()g x 同阶，但()f x 不等价于()g x (C) ()(())f x o g x = (D) ()(())g x o f x =4．计算3523220sin sin 2sin cos . []3515x x x xdx ππ⋅-=⎰5．计算21e ⎰1)6.求函数dt t t x x I )ln 1(1)(-=⎰在],1[e 上的最大值与最小值. 最大值()3412-e ，最小值07.设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥=<<-+01 2cos 110 )(2x xx xe x f x ，计算⎰-41)2(dx x f .()11tan 214-+e 8.2sin ()xt dt tπ'=⎰( C ) (其中2x π>).(A)sin x x (B)sin xC x+ (C)sin 2x x π- (D) sin 2x C x π-+ 9. 设()f x 是连续函数,且3()x f t dt x =⎰,则(8)f =_____.11210. xdt t x x cos 1)sin 1ln(lim-+⎰→=___1__ ；)1ln(cos lim202x tdtx x +⎰→=__1__ .11. 设()()()bad d I f x dx f x dx f x dx dx dx '=+-⎰⎰⎰存在,则(C ). (A) ()I f x = (B) ()I f x C =+ (C) I C = (D) 0I =12. 已知1(2),(2)02f f '==，及20()1f x dx =⎰，则120(2)x f x dx ''⎰ = 0__ .13. 若sin 0()cos xf t dt x x =+⎰(0)2x π<<，则()f x ___.第五章 不定积分1. 若()()F u f u '=,则(sin )cos f x xdx =⎰__ _. (sin )F x C +2. 若()sin 2,f x dx x C =+⎰则()f x =__ _. 2cos 2x3.2()1xf x dx C x =+-⎰,则sin (cos )xf x dx =⎰_ __. 2cos sin x C x-+ 4. 若()()f u du F u C =+⎰.则211()f dx x x⋅=⎰__ _. 1()F C x -+5.求sin cos sin cos x xdx x x -=+⎰_____. ln sin cos x x C -++6. 求ln(ln )x dx x ⎰. ln (ln ln 1)x x C -+7. 已知()f x 的一个原函数为xe -,求(2)xf x dx '⎰. 211()22x e x C--++8.计算⎰+dx xx2cos 12. tan ln cos x x x C ++9.求dx ex⎰-11. ln 1xx e C --+10.计算⎰+dx x xe x2)1(. 1xx xe e C x -+++ 11.计算 ⎰++dx x xx )1(21222. 1arctan x C x-++ 12.求⎰dx x x 2sin 2cos 2. 12sin 2Cx -+13.求ln(x x C -+第四章 导数应用1.计算极限 （1）0ln lim ln sin x xx+→=___1___. （2） cot20lim(1)xx x →+ =___2e ___(3) 01lim(ln )xx x +→=___1___ (4) sin 0lim(cot)x x +→ =__1__(5) +1ln(1)lim arccot x x x →∞+=___1___2. 函数()(1)(2)(3)(4)f x x x x x x =----的二阶导函数有_____个零点. 33. 下列极限计算中,不能使用罗必塔法则的是( B ). (A) 111lim xx x-→ (B)201sinlimsin x x x x→(C) limx lim ln x x ax x a→+∞-+4. 设()y f x =满足方程sin 0xy y e'''+-=,且0()0f x '=,则()f x 在( A ).(A) 0x 处取得极小值 (B) 0x 处取得极大值 (C) 0x 的某个邻域内单调增加 (D) 0x 的某个邻域内单调减少 5. 若()f x 与()g x 可导，lim ()lim ()0x ax af xg x →→==，且()lim()x af x Ag x →=，则( C ). (A)必有()lim()x af x Bg x →'='存在，且A B = (B) 必有()lim()x af x Bg x →'='存在，且A B ≠ (C) 如果()lim()x af x Bg x →'='存在，则A B = (D) 如果()lim()x af x Bg x →'='存在，不一定有A B = 6. 设偶函数()f x 具有连续的二阶导数，且()0f x ''≠，则0x =( B ). (A) 不是函数()f x 的驻点(B) 一定是函数()f x 的极值点(C) 一定不是函数()f x 的极值点 (D) 是否为函数()f x 的极值点还不能确定7.求曲线22x y -=的单调区间、极值、拐点并研究图形的凹向.8.求函数32)1()4()(+⋅-=x x x f 的极值和拐点并讨论函数图形的单调性与凹向.9. 证明不等式：13(0)x x≥->.10. 证明方程5510x x -+=在(0,1)内有且仅有一个实根. (提示：设5()51f x x x =-+,利用零点存在定理和罗尔中值定理.) 11. 证明不等式：ln(1)1xx x x<+<+ (0x >). (提示：对()ln(1)f t t =+在[0,]x 上使用拉格朗日中值定理.)第三章 导数1．设函数()f x 依次是,,sin x ne x x ,则()()n fx =____ ,!,sin()2x ne n x π+.2．若直线12y x b =+是抛物线2y x =在某点处的法线,则b =_____.32 3．设)(x f 是可导函数，则220()()limx f x x f x x∆→+∆-=∆( D ).(A) 0 (B) 2()f x (C) 2()f x ' (D) 2()()f x f x '4．若0()sin 20ax e x f x b x x ⎧<=⎨+≥⎩ 在0x = 处可导,则,a b 值应为( A ).(A) 2,1a b == (B) 1,2a b == (C) 2,1a b =-= (D) 1,2a b ==- 5.设函数()y f x =有01()3f x '=,则0x ∆→ 时,该函数在0x x =的微分dy 是( B ).(A) 与x ∆等价的无穷小(B) 与x ∆同价的无穷小,但不是等价无穷小 (C) 比x ∆低阶的无穷小 (D) 比x ∆高阶的无穷小6.曲线21y ax =+在点1x =处的切线与直线112y x =+垂直,则a =__ _. -1 7.设()2xf x =,则0()(0)limx f x f x→''-=____. 2ln 28.)(x f =21sin00x x xx ⎧≠⎪⎨⎪=⎩ 在点x=0处 D .A.连续且可导B.连续，不可导C.不连续D .可导，但导函数不连续9.设()f x ''存在，求函数()f x y e-=的二阶导数. ()2[(())()]f x y ef x f x -'''''=-10.2ln(1)x y e =+，求dy . 2222ln(1)1x xx e x dy e dx dx e⋅'=+=+.11.arctanyxe =确定y 是x 的函数，求导数x y '.第一、二章 函数极限与连续1. )(x f 定义域是[2，3]，则)9(2x f -的定义域是___. ]5,5[-2. 设x x g -=2)(，当1≠x 时，[]1)(-=x xx g f ，则=)23(f _ _. -13. 设函数)(x f 和)(x g ，其中一个是偶函数，一个是奇函数，则必有( D ). (A))()()()(x g x f x g x f -=-+- (B) )()()()(x g x f x g x f +-=-+-(C) )()()()(x g x f x g x f ⋅=-⋅- (D) )()()()(x g x f x g x f ⋅-=-⋅-4．()()()10201521213lim16x x x x →∞+++. 53()25．()()111lim 13352121n n n →∞⎛⎫+++⎪ ⎪••-+⎝⎭. 12 6. 231sin 53limxx x x -∞→. 37. 设⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=<+=0sin01)1()(1x e x x x x x x f x ，求)(lim 0x f x →. e8. 0x →512。
微积分(B) 第六章练习题参考答案
2013-2014(2) 大学数学(B) 练习题第六章参考答案一、选择题1. B ；2. D ；3. D ；4. B ； 二、填空题1.Cxe y =； 2.0=y ； 3.C x x y ++=232151； 4. t e t C C s 2521)(+=.三、解答题1.解 原方程为分离变量的微分方程，分离变量可得x d x ydy2=， 两边积分：⎰⎰=xdx y dy 2，得12ln C x y +=，其中1C 为任意常数， 整理有：2x Ce y =，其中C 为任意常数. 2.解： （1）该方程的通解为 ]s i n [11C dx e xx ey dxx dxx +⎰⎰=⎰-=]sin [ln ln C dx e x x ey x x +=⎰-=)sin (1⎰+C xdx x =)cos (1C x x+-， 又1)(=πy ，得1-=πC ，故满足条件1)(=πy 的特解为)1cos (1-+-=πx x y . （2）4121])([222++-=⎰⎰-+=-⎰x e Ce e dx e x e C y x x dx dx x， 将45)0(=y 代人，得2=C ，故所求特解为412122++-=x e e y xx ．3. 解：对所给方程接连积分三次得，12sin 21C x e y x+-=''，22cos 41C Cx x e y x +++='，)2( sin 81132212C C C x C x C x e y x =++++=.4. 解：原方程可变形为y dx dy38-=，分离变量可得dx ydy =-38，两边积分：1383ln C x y +-=-，其中1C 为任意常数，所以383+=-xCey ， 代入初始条件20==x y 有：32-=C ，则满足条件的特解为32833x y e -=-+. 5. 解：原方程所对应的齐次方程为04=-''y y ，其特征方程为042=-λ，解得特征根为2±=λ，所以方程04=-''y y 的通解为x x e C e C 2221+=-γ. 又x e x f 2)(=，由于2=λ是特征单根，于是可设原方程的特解为x axe y 2*=. x e x a y 2)21()*(+='，x e x a y 2)1(4)*(+=''.代入原方程 x x x e a x e e x a 2224)1(4=-+， x x e ae 224=，于是41=a ， 所以xxe y 241*=，于是原方程的通解为x x x xe e C e C y y 2222141*++=+=-γ.6. 解：原方程所对应的齐次方程为065=+'-''y y y ，其特征方程为0652=+-λλ，解得特征根为32或=λ，所以方程065=+'-''y y y 的通解为x x e C e C 3221+=γ. 又x xe x f 2)(=，由于2=λ是特征单根，可设原方程的特解为x e b ax x y 2)(*+=.把它代入原方程，得 x b a ax =-+-22，比较等式两边同次幂的系数，得⎩⎨⎧=-=-0212b a a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=121b a ，因此求得一个特解为xe x x y 2)121(*--=， 从而所求的通解为x xxe x x eC eC y y 223221)2(*+-+=+=γ.7. 解 对函数)()1(2x u x y +=求导，得)()1()()1(22x u x x u x y '+++='，将其与y 一起代入所给的微分方程，得32)1()()1(2)()1()()1(2+=+-'+++x x u x x u x x u x ，x x u +='1)(，故C x x u ++=2)1(21)(． 8. 解 （1）方程两边同时除以32y x ，并整理得22211)1(x yx y =⋅-'，由一阶微分方程的求解公式，有 32221][1x Cx C dx e x e yx dxx dx+=+⎰⎰=-⎰．（2）方程两边同时除以2y ，并整理得11)1(1)1(=⋅++'yx y ，由一阶微分方程的求解公式，有 211][111x x C e dx e C y x dxx dx+++=⎰⎰+=+-+⎰． 10. 解 方程不显含设y ，令p y ='，则p y '=''，原方程即12=+'p p ，分离变量，得dx p dp=-21，两边积分，得C x p p +=-+2|11|ln ．将0)0(='y 代人，得0=C ，故x pp2|11|ln =-+，或1122+-=x x e e p ，故)1ln(112122x xx e x C dx e e y ++-=+-=⎰．将0)0(=y 代入，得2ln 1-=C ．故所求初值问题的解为chx e x y x ln )1ln(2ln 2=++--=．11. 解 方程不显含设y ，令p y ='，则p y '=''，原方程即12=+'xp p x ，即211xp x dx dp =+，由一阶微分方程的求解公式，有 )(ln 1]1[12C x x C dx e xep x dxxdx +=+⎰⎰=⎰-．即 )(ln 1]1[12C x x C dx e xey x dxxdx+=+⎰⎰='⎰-，两边积分，得2121ln ln 21)(ln 1C x C x dx C x x y ++=+=⎰．12. 解 （1）该二阶常系数线性齐次方程的特征方程为0542=--λλ，得两个不相等的实特征根1-和5，于是该方程的通解为x xe C eC y 521+=-．（2）这是二阶常系数线性非齐次方程，其对应齐次方程的特征方程为042=-λλ，得两个不相等的实特征根0和4，故其对应齐次方程的通解为xe C C y 421+=．为了求得该方程的一个特解，设Ax y =*代人原方程，得054=--A ，45-=A ，于是该方程的通解为x e C C y x45421-+=．（3）这是二阶常系数线性非齐次方程，其对应齐次方程的特征方程为0442=+-λλ，得两个相等的实特征根2，故其对应齐次方程的通解为x e x C C y 221)(+=．为了求得该方程的一个特解，设x e C Bx Ax x y 222)(*++=代人原方程，得121=A ，0=B ，0=C ，该方程的通解为xxe x e x C C y 24221121)(++=． （4）这是二阶常系数线性非齐次方程，其对应齐次方程的特征方程为022=-+λλ，得两个不相等的实特征根2-和1，故其对应齐次方程的通解为x x e C e C y 221-+=．为了求得该方程的一个特解，设x B x A y 2sin 2cos *+=代人原方程，得 52-=A ，56-=B ，于是该方程的通解为 x x e C e C y x x 2sin 562cos 52221--+=-．。
微积分第六章习题解答
2
3、利用定积分的几何意义,说明下列等式: 利用定积分的几何意义,说明下列等式: 1 1 π 2
(1)
∫ 0 2 x dx = 1 ;
y
y = 2x
（2）∫
0
1 − x dx =
y
4
;
2
x2 + y2 = 1
o
1 x
o
（3） ∫
π
−π
sin x dx = 0 ;
( 4)
∫
π
1
x
2 π − 2
cos x dx = 2∫ 2 cos x dx .
1 1 e−x 0 1 dx + ∫ dx = − ln(1 + e − x ) + ln(1 + x ) =∫ 01+ x −1 1 + e − x 0 −1
e ⋅ y ′ + cos x = 0 ,
y′ = −
cos x e
y
.
11
4、求下列极限： 求下列极限： (2) lim
∫ 0 arctan t dt
x2
x
0 " "型 0
arctan x 1 = lim = . x →0 2x 2
x →0
sin 2 t dt ∫π
x
(3) lim π
x→ 2
2
F ′( x ) = f ( x ) + x f ′( x ) ,
∃c ∈ (ξ ,1) ⊂ (0,1) , 使 F ′( c ) = 0 ，即 f (c) + c f ′(c) = 0 ,
f (c ) 而 c > 0 , 即有 f ′(c ) = − . c
微积分第六章习题解答
y ex
解 A (e e ) dx
x x 0
1
1 e 2. e
y e x
19
P40 习题6.6 1.求由下列各曲线所围成的图形的面积： 1 (7) y x 与直线 x 2, y 2 ； y x
1 解 A ( x 2) dx 1 x
2
2
f ( x)
x 采用分部积分的方法 ,
1
其中 f ( x ) dx ，
x
1
x
e dt .
1 2 x
t 2
f ( x ) e
I
f ( x) x
0
dx 2 f ( x ) d x
0
1 1 0 0
1
2 f ( x ) x 2
x df ( x )
2 f (1) 0 2
22
P40 习题6.6 3 y x , x 2, y 0 所围成的图形,分别绕 x 轴及 y 轴 5. 由
旋转, 计算所得两个旋转体的体积.
y
128 6 , 解 Vx x dx 0 7
2
8
V y 2 2 8 y dy
0
8
2 3
y
y f ( x)
e2 1 I ,
1 2 I (e 1) . 2
14
P28 习题6.5 10.
计算下列定积分：
2
0
ln 2
x3 ex
x 2 t 1 ln 2 t t e dt dx 2 0
ln 2 0
1 ln 2 1 t t t de t e 2 0 2
1 ln 2 t e dt 2 0
微积分第六章习题答案
第六章 习题6-11. 略2.把B （10，-1,6），可证==7AB AC3.()1,0,0A4.表示平面21x y z y ++==与的交线5.（1）绕x 轴旋转：2221344x y z ++= 绕y 轴旋转： 2221343x y z ++=（2）绕x 轴旋转：2221x y z --=绕z 轴旋转：2221x y z +-=习题6-2１．求下列函数的定义域，并画出其示意图：(1)z =； (2)1ln()z x y =-；解：（1）要使函数有意义，必须222210x y a b --≥即22221x y a b+≤，则函数的定义域为2222(,)|1x y x y a b ⎧⎫+≤⎨⎬⎩⎭，如图8-1阴影所示.（2）要使函数有意义，必须ln()00x y x y -≠⎧⎨->⎩即1x y x y -≠⎧⎨>⎩，则函数的定义域为{(,)|x y x y >且1}x y -≠,如图8-2所示为直线y x =的下方且除去1y x =-的点的阴影部分（不包含直线y x =上的点）. 2．讨论下列函数在点(0，0)处的极限是否存在：(1) z =224xy x y +； (2) z =x y x y +-．解：(1)当(,)P x y 沿曲线2x ky =趋于（0，0）时，有24244200lim (,)lim 1y y x kyky kf x y k y y k →→===++ 这个值随k 的不同而不同，所以函数224z=xy x y+在(0,0)处的极限不存在. (2)当(,)P x y 沿直线(1)y kx k =≠趋于(0,0)时，有001lim (,)lim(1)1y x y kxx kx kf x y k x kx k→→=++==≠--，这个极限值随k 的不同而不同，所以函数z=x yx y+-在(0,0)处的极限不存在. 3．求下列极限：(1) 0sin lim x y axy x→→； (2)22011lim x y xyx y →→-+；(3)x y →→ (4)22sin lim x y xy x y →∞→∞+． 解：（1）00sin sin()limlim 0x x y a y axy xy y x xy →→→→=⋅=（2）2222011101lim101x y xy x y →→--⨯==++ （3）00001)2x x xy y y →→→→→→=== （4）当,x y →∞→∞时，221x y +是无穷小量，而sin xy 是有界函数，所以它们的积为无穷小量,即22sin lim0x y xyx y →∞→∞=+.4. 解：讨论极限222(,)(0,0)lim x y xy x y →+是否存在，222222+2,0+22xy xy yx y xy x y xy ≥∴≤≤=由夹逼定理可知222(,)(0,0)lim 0(0,0)x y xy f x y →==+，所以函数在(0,0)连续。
14-15微积分2答案(A卷).doc
6 . 2; 7. 2;8.9. 2dx +3dy;,210. J] dy^yf^x.y^dx ・单选题（每小题3分，共15分）1.2. B3. A4. B5. C（5（8dx_X dy；(5分)(8分)（4广东财经大学试题参考答案及评分标准2014-2015学年第二学期课程名称微积分II （A卷）课程代码100023课程负责人彭求实共3页填空题（每小题3分，共30分）1}; 2. 2xsinx2; 3. 0; 4. 1； 5. 1 ;计算题（每小题8分，共32分）u = In x , v r = x则八丄，卩亠x 2原式=112 In* I --|Ml：e2 一42.解设F(x, y, = x2 + y2 + z2 - 4z=2y(2 - z)2 + x2 _ 4 一y2(2 - z)3 = (2 - z)3Q 2 Q x3.解：原式=J。
必J兰_刃7(点) (2 - z)2（6分）（8（4分）（6（3分）（7分）=『竺兰（x —兰加J 0 x2=—（1 - cos 2） 24.解：令u =—，则y' = u + x u ：代入原方程得 Xu + x = u + tan u1 d V 分离变量 ------- dw =—tan ux卄、丄小八 f cos u . 「dx 两边积分 [ ---- d z;=[—J sin uJx得 In | sin u | = In | ^ | + In | C |, B 卩 sin u - C x 故原方程的通解为sin - = Cx （C 为任意常数）（8分）X四， 应用题（每小题9分，共18分）2.解:显然,有条件2x + 2y = 10成立，作辅助函数F （x, y, 2）= 6x - x ： + 16y - 4y 2 - 2 + 2（x + y — 5）= 6 - 2x + 2 = 0 令彳町=16 — 8y + 2 = 0 1尸；= x + y — 5 =解之得唯一驻点U y ） = （3,2）故当生产甲产品3千件,乙产品2千件时，利润最大,且最大利润为Z （3,2）= 6X 3- 32 + 16 X 2-4X 22 -2 = 23（万元）（9分）-x 2）dx = — x 21 --T 3J 0 2 0 3 1 s 1.先求y =十与y = x 的交点（0, 0）, （1, 1） （4分）Jdx =1--T 57 35'）=—71 015V = x 2dx - 7r^ （x z（9分）（3分）（5五，证明题（5分）00an I证明：考察级数£—,由于z?=i 门lim 沁=lim 2"" •「：)! .刀* jng (77 + l)(/?+1) 2" • n\/7Tco (77 + 1丿e2n .川所以此级数收敛，故lim --------- - = 0ns f-j n。
微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第六章习题详解
第六章习题6-11. 利用定积分定义计算由直线y =x +1,直线x =a ，x =b （a<b ）及x 轴所围成的图形的面积. 解 因y =x 2+1在[a,b ]上连续,所以x 2+1在[a,b ]上可积,从而可特殊地将[a,b ]n 等分,并取2,,()()1Δi i i b a b a b a a i x f a i n n nξξ---=+==++, 于是21122221222()[()1]1()[()2()1]111(1)1()[()(1)(21)2()]62Δ nni i i i ni b a b a f x a i n ni i b a a b a a b a n n n n n b a na b a n n n b a a n n n nξ===--=++=-+-+-++=-+-⋅⋅+++-⋅⋅+⋅∑∑∑ 故面积 22211(1)l i m ()()[()()1]3d Δnbi i a n i S x x f x b a a b a a b a ξ→∞==+==-+-+-+∑⎰ 331()()3b a b a =-+- 2. 利用定积分的几何意义求定积分： (1)12d x x ⎰;(2)x ⎰（a ＞0）.解 (1)根据定积分的几何意义知, 102d x x ⎰表示由直线y =2x ,x =0,x =1及x 轴所围的三角形的面积,而此三角形面积为1,所以12d x x ⎰=1.(2)根据定积分的几何意义知,0x ⎰表示由曲线0,y x x a ===及x轴所围成的14圆的面积,而此14圆面积为214πa ,所以2014πx a =⎰.3. 根据定积分的性质，比较积分值的大小： (1)12d x x ⎰与13d x x ⎰； (2)1e d xx ⎰与1(1)d x x +⎰.解 (1)∵当[0,1]x ∈时,232(1)0x x x x -=-≥,即23x x ≥,又2x3x ,所以11230d d x x x x >⎰⎰.(2)令()1,()1e e x xf x x f x '=--=-,因01x ≤≤,所以()0f x '>,从而()(0)0f x f ≥=,说明1e xx ≥+,又ex1+x .所以11(1)e d d xx x x >+⎰⎰.4. 估计下列各积分值的范围：(1)421(1)d x x +⎰；(2) arctan d x x ;(3)2e d ax ax --⎰（a ＞0)； (4)22e d x x x -⎰.解 (1)在区间[1,4]上,函数2()1f x x =+是增函数,故在[1,4]上的最大值(4)17M f ==,最小值(1)2m f ==,所以4212(41)(1)17(41)d x x -≤+≤-⎰, 即 4216(1)51d x x ≤+≤⎰.(2)令()arctan f x x x =,则2()arctan 1x f x x x '=++,当x ∈时,()0f x '>,从而()f x在上是增函数,从而f (x )在上的最大值M f ==,最小值m f ==,所以2arctan 93ππd x x =≤≤=即2arctan 93ππd x x ≤≤. (3)令2()e x f x -=,则2()2e x f x x -'=-,令()0f x '=得驻点x =0,又(0)1f =，2()()e a f a f a -=-=,a >0时, 21e a -<,故()f x 在[-a,a ]上的最大值M =1,最小值 2e a m -=,所以2222e e d aa x aa x a ---≤≤⎰.(4)令2()ex xf x -=,则2()(21)e xxf x x -'=-,令()0f x '=得驻点12x =,又(0)1,f = 1241(),(2)2e ef f -==,从而()f x 在[0,2]上的最大值2e M =,最小值14e m -=,所以 212242ee d e x x x --≤≤⎰,而2222ed e d x xx x x x --=-⎰⎰,故 21024222e ed ex xx ---≤≤-⎰.习题6-21. 求下列导数：(1)20d d x t x ⎰; (2) 53ln 2d e d d x t t t x -⎰； (3) cos 2sin cos()d xxt t '⎡⎤π⎢⎥⎣⎦⎰; (4) 22dsin d d x t t x tπ⎰ (x ＞0). 解220(1)()d d x t x x'⋅=⎰5353ln 2(2)d e d e d x tx t t x x --=⎰cos cos sin 222sin 00cos sin 220022222(3)cos()cos()cos()cos()cos()cos(cos )(cos )cos(sin )(sin )cos(cos )sin cos(sin )cos cos(sin )sin πd πd πd πd πd πππππx x xx xx t t t t t t t t t tx x x x x x x x x x ''⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦''⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦''=⋅-⋅=--=-⎰⎰⎰⎰⎰22cos(sin )cos (sin cos )cos(sin )ππx x x x x =-2222sin sin sin (4)cos sin sin cos .ππd d d d d d d d d d xx t t x t t xt x x x t x x x x x x x x x⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--=-=⎰⎰ 2. 求下列极限：(1) 02arctan d limxx t t x →⎰; (2) 2020sin 3d lim e d x xx tt t t t→-⎰⎰; (3)()22220e d lime d xt xx t t t t→⎰⎰.解 ()022000021a r c t a n a r c t a n a r c t a n11(1)l i m l i ml i m l i m 222d d x xx x xxt t t t x x x xx →→→→'⎡⎤--⎣⎦+====-'⎰⎰ 2220030003300222200sin 3sin 3sin 32(2)lim lim lim 2sin 3sin 3lim lim 663d d e e d e d e e x x x x x x x t x t x xx x t t t t x x x t t t t x x x x-→→→--→→'⎡⎤⋅⎢⎥⎣⎦=='⎡⎤⎣⎦=⋅=⋅⋅=⎰⎰⎰⎰()()[]222222222222222200002000022000200022(3)lim lim lim lim 222lim lim lim 2122e d e d e d e e d e e e d e d e d e e e e xxx x t t t x tx x x x x x x t x t x t x x x x x x x t t t t x x t tt t t x x x x →→→→→→→'⎡⎤⋅⎢⎥⎣⎦==='⎡⎤⎣⎦'⎡⎤⎣⎦====+'+⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 3. 求由方程e d cos d 0yxtt t t +=⎰⎰所确定的隐函数y =y (x )的导数.解 方程两边对x 求导数得:cos 0e y y x '⋅+=, cos e yxy '∴=-. 又由已知方程有000sin e y xtt +=,即1sin sin 00e y x -+-=即1sin e yx =-,于是有cos cos sin 1e yx xy x '=-=-. 4. 当x 为何值时，I (x )=2e d xt t t -⎰有极值?解 2()e x I x x -'=,令()0I x '=得驻点0x =,又22()(12),(0)10e x I x x I -''''=-=>, 所以当x =0时,I (x )有极小值,且极小值为I (0)=0.5. 计算下列定积分：(1)3x ⎰; (2)221d x x x --⎰;(3)()d f x x π⎰,其中,0,2()sin ,2x x f x x x π⎧≤≤⎪⎪=⎨π⎪≤≤π;⎪⎩ (4) {}222max 1,d x x -⎰.解433322233222(1)(43)(8333x x ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭⎰201222221101(2)()()()d d d d x x x x x x x x x x x x --=-+-+--⎰⎰⎰⎰012322332101111111116322332x x x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()22220022(3)()sin 1cos 82ππππππππd d d xf x x x x x x x =+=+=+-⎰⎰⎰(4)由于22221()max{1,}11112x x f x x x x x ⎧-≤<-⎪==-≤<⎨⎪≤≤⎩,于是 21121212223312122111120max{1,}333d d 1d d x x x x x x x x x x -------=++=++=⎰⎰⎰⎰ 6. 已知f (x )连续，且f (2)=3,求2222()d d lim(2)xt x f u u tx →⎡⎤⎢⎥⎣⎦-⎰⎰.解 []222222222222()()()()limlim lim lim (2)2(2)2(2)(2)d d d d d d x xx x t t x x x x t f u u t f u u f u u f u u x x x x →→→→''⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦===--''-⎡⎤-⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 22()113lim lim ()(2)2222x x f x f x f →→-==-=-=-.习题6-31. 计算下列积分： (1)3sin()d x x πππ+3⎰; (2) 32d (115)xx 1-+⎰;(3)1x -⎰; (4) 320sin cos d ϕϕϕπ⎰;(5)22cos d u u ππ6⎰;(6)2e 1⎰;(7)1;(8)x ;(9)ln 3ln 2d e ex xx--⎰; (10) 322d 2xx x +-⎰;(11)21x ⎰;(12) 22x ππ-⎰.解 333(1)sin()d sin()d()[cos()]x x x x x ππππππππππ+=++=-+3333⎰⎰42coscos 033ππ=-+= 12332221d 1d(511)151(2)(511)(115)5(511)10512x x x x x 11---+==-=+++⎰⎰1111(3)4)14x x--=-==⎰⎰2334220011(4)sin cos d cos dcos cos44ϕϕϕϕϕϕπππ=-==-⎰⎰22222π2π61cos211(5)cos d d d cos2d22241πππ1sin226264uu u u u u uuππππππππ6666+==+⎛⎫=+=-⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰222e e11(6)1)===⎰⎰(7)令x=tan t,则d x=sec2t d t,当x=1时,π4t=;当x=,π3t=,于是ππ33π21π44cos1dsin sinttt t==-=⎰(8)令x t,则d dx t t=,当x=0时,t=0;当x=,π2t=,于是πππ222200π12cos d(1cos2)d(sin2)22x t t t t t t==+==+⎰⎰.(9)令e x t=,则1ln,d dx t x tt==,当ln2x=时,2t=;当ln3x=时,3t=,于是3ln3332ln2222d d1113111d ln lne e12222111x xx t ttt t t t--⎛⎫====-⎪---++⎝⎭⎰⎰⎰.3 333222222d d11111(10)()d ln19231232()241211(ln ln)ln2ln53543x x xxx x x x xx-==-=+--+++-=-=-⎰⎰⎰(11)t=,则65,d6dx t x t t==,当x=1时,t=1;当x=2,t于是2111611d6()d1x t tt t t t==-++⎰6(ln ln(7ln26ln(1t t=-+=-220202(12)d sin )d sin d x x x x x x x x xπ-π-π-==-+=-⎰⎰⎰33022202224cos cos 333x x ππ-=-= 2. 利用被积函数的奇偶性计算下列积分值：(1)ln(aa x x -+⎰(a 为正常数)；(2) 325425sin d 21x xx x x -++⎰; (3) 4224cos d θθππ-⎰.解((1)()l n f x x =+是奇函数.(ln 0d aax x -∴=+⎰.3242sin (2)()21x xf x x x =++ 是奇函数.325425sin 021d x x x x x -∴=++⎰4(3)()cos f θθ= 是偶函数.4422222022202020222004cos 24cos 2(1cos )2(12cos 2cos 2)312(2cos 2cos 4)22(34cos 2cos 4)1332sin 2sin 442ππππππππππd d d d d d θθθθθθθθθθθθθθθθθθ-∴==+=++=++=++=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰π3. 证明下列等式： (1)2321()d ()d 2aa x f x x xf x x =⎰⎰ (a 为正整数)；(2)证明：11221d d 11xx x x x x =++⎰⎰ (x ＞0)；(3) 设f (x )是定义在(-∞，+∞)上的周期为T 的连续函数，则对任意a ∈［－∞，＋∞），有()d ()d a TTaf x x f x x +=⎰⎰.证 (1)令x 2=t ,则d x x t ==,当x =0时,t =0;当x =a 时,t =a 2, 于是2223200011()()()()22d d d aa a a x f x x t t tf t t xf x x ===⎰⎰⎰⎰即2321()()2d d aa x f x x xf x x =⎰⎰.(2)令1x t=则21d d x t t -=,1111111222231111111111111d d d d d t xx t tx t t t x x t t x t t⎛⎫=⋅=-⋅==- ⎪++++⎝⎭+⎰⎰⎰⎰⎰ 即 1122111d d xx x x x x =++⎰⎰. 4. 若f (t )是连续函数且为奇函数，证明0()d xf t t ⎰是偶函数；若f (t )是连续函数且为偶函数，证明()d xf t t ⎰是奇函数.证 令0()()d xF x f t t =⎰.若f (t )为奇函数,则f (-t )=- f (t ),从而()()()()()d d d xxxF x f t tt u f u u f u u F x -==---==⎰⎰⎰,所以0()()d xF x f t t =⎰是偶函数.若f (t )为偶函数,则f (-t )=f (t ),从而()()()()()d d d xxxF x f t tt u f u u f u u F x --==---=-=-⎰⎰⎰,所以0()()d xF x f t t =⎰是奇函数.5※. 设f (x )在(-∞，+∞)内连续，且F (x )= 0(2)()d xx -t f t t ⎰,试证：若f (x )单调不减，则F (x )单调不增.证 00()()()2()()2()d d d x xxF x f t t xf x xf x xf t t tf t x '⎡⎤'==+--⎣⎦⎰⎰⎰()()()()[()()]d xf t t xf x f x xf x x f f x ξξ=-=-=-⎰,其中ξ在x 与0之间.当x >0时,x >ξ,由f (x )单调不减有()()0f f x ξ-≤,即()0F x '≤;当x <0时,ξ> x ,由f (x )单调不减有()()0f f x ξ-≥,即()0F x '≤;综上所述知F (x )单调不增.习题6-41. 计算下列定积分： (1)10e d xx x -⎰; (2)e1ln d x x x ⎰;(3)41x ⎰; (4) 324d sin xx x ππ⎰; (5) 220e cos d x x x π⎰; (6)221log d x x x ⎰;(7)π20(sin )d x x x ⎰; (8)e1sin(ln )d x x ⎰；(9)230e d x x ; (10)1201lnd 1xx x x+-⎰. 解 (1)1111000e d de e e d x x x xx x x x x ----=-=-+⎰⎰⎰ 111012e e e e e 1ex----=--=--+=-.e e e 22222ee 11111111111(2)ln d ln d ln d e (e 1)222244x x x x x x x x x x ==-=-=+⎰⎰⎰444441111(3)2ln 28ln 28ln 24x x x x ==-=-=-⎰⎰⎰33332444434(4)d dcot cot cot d sin π131πln πlnsin 492249xx x x x x x xx x ππππππππππ=-=-+⎛=-+=+- ⎝⎭⎰⎰⎰22222222000π2π222220π220(5)e cos d e dsin e sin 2e sin d e 2e dcos e 2e cos 4e cos d e 24e cos d xxxx xxx x x x x xx xx x x x x xππππππππ==-=+=+-=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰故2π201e cos d (e 2)5x x x π=-⎰.()2222222111111(6)log d ln d ln d 2ln 22ln 2133(4ln 2)22ln 224ln 2x x x x x x x x x ==-=-=-⎰⎰⎰πππ2232π000033ππ2π0003ππ0033π01111(7)(sin )d (1cos 2)d (dsin2)2232π1π1(sin 22sin2d )dcos26464π1(cos 2cos d )64ππ1ππsin 264864x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x =-=-=--=-=--=-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰ee e111ee11e1(8)sin(ln )d sin(ln )cos(ln )d esin1cos(ln )sin(ln )d esin1ecos11sin(ln )d x x x x x x x x x x x x=-=--=-+-⎰⎰⎰⎰故e11sin(ln )d (esin1ecos11)2x x =-+⎰. 222222322000011(9)e d de e e d 22111ln 2ln 2e ln 2222x x x x x x x x x x==-=-=-=-1112122222220000111222200012011111(10)ln d ln d ln d 121211111111ln 3(1)d ln 3()d 818211111131ln 3ln ln 3822281x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++==+----=++=++---+-=++=-+⎰⎰⎰⎰⎰2. 已知f (2)= 12,f ′(2)=0, 2()d 1f x x =⎰,求220()d x f x x ''⎰.解222222200()d d ()()2()d x f x x x f x x f x xf x x '''''==-⎰⎰⎰222004(2)2d ()2()2()d 14(2)21420.2f x f x xf x f x xf '=-=-+=-+⨯=-⨯+=⎰⎰3※. 利用分部积分公式证明：()()()d ()d d xxuf u x u u f x x u -=⎰⎰⎰.证 令0()()d uF u f x x =⎰则()()F u F u '=,则(())()()()d d d d xu x xx f x x u f u u uF u uF u u '==-⎰⎰⎰⎰()()()()()()()()()()d d d d d d d d x x xx x x xxxF x uf u u x f x x uf u ux f u u uf u u xf u u uf u u x u f u u=-=-=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰即等式成立.习题6-51. 求由下列曲线所围成的平面图形的面积：(1) y =e x 与直线x =0及y =e; (2) y =x 3与y =2x ;(3) y =x 2,4y =x 3; (4) y =x 2与直线y =x 及y =2x ; (5) y =1x,x 轴与直线y =x 及x =2; (6) y =(x -1)(x -2)与x 轴； (7) y =e x ,y =e -x 与直线x =1; (8) y =ln x ,y 轴与直线y =ln a ,y =ln b , (0)a b <<. 解 (1)可求得y =e x 与y =e 的交点坐标(1,e), y =e x 与x =0的交点为(0,1),它们所围成的图形如图6-1中阴影部分,其面积eee111d ln d (ln )1S x y y y y y y ===-=⎰⎰图6-1 图6-2(2)解方程组32y x y x ⎧=⎨=⎩得0,0x x x y y y ⎧⎧===⎧⎪⎪⎨⎨⎨==-=⎩⎪⎪⎩⎩即三次抛物线3y x =和直线2y x =的交点坐标分别为(0,0),(-,它们所围成的图形的面积3342240112)d )d ()(244S x x x x x x x x x x =-+-=-+-=⎰.(3)解方程234y xy x⎧=⎪⎨=⎪⎩得两曲线的交点为(0,0),(4,16),所求面积为 4233440011116()d ()43163S x x x x x =-=-=⎰.图6-3 图6-4(4)可求得2y x =与y x =的交点为(0,0),(1,1);2y x =与2y x =的交点为(0,0),(2,4); y =x 与y =2x 的交点为(0,0),它们所围图形如图6-4中阴影所示,其面积为:121122012231201(2)d (2)d d (2)d 117()236S x x x x x x x x x x xx x x =-+-=+-=+-=⎰⎰⎰⎰(5) 1y x =与y x =的交点为(1,1),1y x=,x 轴与直线x =1,及x =2所围成的图形如图6-5阴影所示,其面积:2121201111d d ln ln 222x S x x x xx =+=+=+⎰⎰.图6-5 图6-6(6) 231(1)(2)()24y x x x =--=--,顶点坐标为31(,)24-,与x 轴所围成的图形如图6-6中阴影所示,由231()24y x =--得32x =所求面积0143021433d 2222112364S y y y --⎡⎤⎛⎛=-=⎢⎥ ⎝⎝⎣⎦⎛⎫=⋅=+ ⎪⎝⎭⎰⎰(7)可求得曲线e x y =与e x y -=的交点(0,1),曲线e x y =,e x y -=与x =1所围成的图形如图6-7阴影所示,其面积:10)() 2.101(e e d e e e ex x x x S x --=-=+=+-⎰图6-7 图6-8(8)曲线ln ,y x y =轴与直线ln ,ln y a y b ==所围成的图形如图6-8阴影所示,其面积:ln ln ln ln ln ln .d e d e bby yb aaaS x y y b a ====-⎰⎰2. 求由下列曲线围成的平面图形绕指定轴旋转而成的旋转体的体积：(1) y =e x ,x =0,y =0,x =1,绕y 轴； (2) y =x 3,x =2,x 轴，分别绕x 轴与y 轴； (3) y =x 2,x =y 2，绕y 轴； (4) y 2=2px ,y =0,x =a (p ＞0,a ＞0),绕x 轴； (5) (x -2)2+y 2≤1,绕y 轴.解 (1)如图6-9所求旋转体的体积为矩形OABD ,与曲边梯形CBD 绕y 轴旋转所成的几何体体积之差,可求得y =e x 与x =1的交点为(1,e), y =e x 与y 轴的交点为(0,1),所以,所求旋转体的体积.222111(ln )(ln )2(ln )22(1)2(ln )eee11ee1πe πd πe πd πe πe ππe e π.d y V y y y y y y y y y ⎡⎤=⋅⋅-=--⎣⎦⎡⎤=-+=-+=-⎣⎦⎰⎰⎰722262000128(2)7ππd πd π7x x V y x x x ===⋅=⎰⎰25882283336428323255πππd ππd ππy V x y y y y =⨯⨯-=-=-⋅⋅=⎰⎰.图6-9 图6-10(3)解方程组22y xx y⎧=⎪⎨=⎪⎩得交点(0,0),(1,1),所求旋转体的体积2511410031025πdπdππxx xV x x x x⎛⎫=-=⋅=-⎪⎝⎭⎰⎰.图6-11 图6-1222300(4)2πdπdππa aaxV y x px x p x pa===⋅=⎰⎰.(5)所求旋转体的体积是由右半圆2x=2x=x轴旋转生成的旋转体的体积之差,即((122122281641dπππyV yy yπ-⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦===⎰⎰⎰图6-133. 已知曲线y=(a＞0)与y(x0,y0)处有公共切线，求：(1) 常数a及切点(x0,y0);(2) 两曲线与x轴围成的平面图形的面积S.解(1)由题意有点00(,)x y在已知曲线上,且在点00(,)x y处两函数的导数相等.即有00x xyy==⎧=⎪⎪==即12yyx⎧=⎪⎪=⎨=解得211eexya⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩.(2)由(1)知两曲线的交点为2(,1)e,又在区间(0,1)上,曲线y=y=方,它们与x轴所围成的平面图形的面积122231221111()6223d ee ee e yyS y yy⎛⎫===-⎡⎤-- ⎪⎣⎦⎝⎭⎰.(由ey==得2()x ey=,由y=得2e yx=).4※. 设2()lim1e nxnxf xx→+∞=+-,试求曲线y=f(x),直线y=12x及x=1所围图形的面积.解2200()lim101nxnxxf x xx e xx→∞≥⎧⎪==⎨+-<⎪+⎩解方程2121y xxyx⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩得交点为11,2⎛⎫--⎪⎝⎭,且易知当(1,0)x∈-时,12y x=位于21xyx=+的上方.所围图形如阴影部分所示,其面积2221111111111ln2ln(1)22422142dxS xx x xx--⎛⎫⎡⎤=+⨯⨯=+=--+⎪⎢⎥+⎣⎦⎝⎭⎰.5. 一抛物线y=ax2+bx+c通过点(0，0)、(1，2)两点，且a＜0，试确定a,b,c的值，使抛物线与x轴所围图形的面积最小.解由抛物线过(0,0),(1,2)点,有c=0,a+b=2,又由抛物线方程2y ax bx=+得与x轴的两交点为(0,0), ,0ba⎛⎫-⎪⎝⎭,抛物线与x轴所围图形的面积.2220()6d b ab S ax bx x a-=+=⎰,由2a b +=得2b a =-,代入上式有32(2)6a S a -=, 23(2)(4)6a a S a--+'=,令0S '=得2a =或4a =-, 由已知0a <得4a =-,从而26b a =-=, 所以4,6,0a b c =-==.6. 已知某产品产量的变化率是时间t (单位：月)的函数f (t )=2t +5,t ≥0,问：第一个5月和第二个5月的总产量各是多少?解 设产品产量为()Q t ,则()()Q t f t '=,第一个5月的总产量552510()(25)(5)50.d d Q f t t t t t t ==+=+=⎰⎰ 第2个5月的总产量为10252055()(25)(5)100.d d tQ f t t t t t t ==+=+=⎰⎰ 7. 某厂生产某产品Q (百台)的总成本C (万元)的变化率为C ′(Q )=2(设固定成本为零)，总收入R (万元)的变化率为产量Q (百台)的函数R ′(Q )=7-2Q .问： (1) 生产量为多少时，总利润最大?最大利润为多少?(2) 在利润最大的基础上又生产了50台，总利润减少了多少? 解 (1)总利润()()()L Q R Q C Q =-当()0L Q '=即()()0R Q C Q ''-=即7220Q --=, Q =2.5百台时,总利润最大,此时的总成本2.5 2.52.50()225d d C C Q Q Q Q'====⎰⎰总利润11.255 6.25L R C =-=-=(万元).即当产量为2.5百台时,总利润最大,最大利润是6.25万元.(2)在利润最大的基础上又生产了50台,此时产量为3百台,总成本3300()26d d C C Q Q Q '===⎰⎰,总收入3323000()(72)(7)12d d R R Q Q Q Q Q Q '==-=-=⎰⎰, 总利润为1266L R C =-=-=(万元).减少了6.25-6=0.25万元.即在利润最大的基础上又生产了50台时,总利润减少了0.25万元.8. 某项目的投资成本为100万元，在10年中每年可获收益25万元，年利率为5％，试求这10年中该投资的纯收入的现值. 解 投资后T 年中总收入的现值(1)e rt ay r-=-,由题意知 25,5%0.05,10.a r T ====所以0.051025(1)196.730.05e y -⨯=-= 纯收入的现值为196.73-100=96.73.即这10年中该投资的纯收入的现值为96.73万元.习题6-61. 判断下列广义积分的敛散性，若收敛，则求其值： (1)41d xx +∞⎰; (2)1+∞⎰; (3)0e d axx +∞-⎰ (a ＞0); (4)0cos d x x +∞⎰;(5)0e sin d x x x +∞⎰; (6)2d 22xx x +∞-∞++⎰; (7)21⎰; (8)10ln d x x ⎰;(9)e1⎰(10)22d (1)xx -⎰;(11)1⎰解 (1)1431d 1133x x x +∞+∞=-=⎰,此广义积分收敛.(2)1+∞==+∞⎰,此广义积分发散. (3)111e d e ax axx aa+∞--+∞=-=⎰,此广义积分收敛. (4)1cos d sin lim sin sin 0lim sin x x x x xx x +∞+∞→+∞→+∞==-=⎰不存在,所以,此广义积分发散.00(5)e sin d e d cos e cos e cos d e cos e dsin e cos e sin e sin d 11e sin d (e sin e cos )e (sin cos )22e sin d lim e sin d lim x x x x x x x x x x x x x b x x b b x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x +∞→+∞→=-=-+=-+=-+-∴=-=-∴==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 01e (sin cos )211 lim e (sin cos )22x b b b x x b b +∞→+∞⎧⎫⎡⎤-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦不存在,此广义积分发散.22d d(1)(6)arctan(1)π22(1)1xx x x x x +∞+∞+∞-∞-∞-∞+==+=++++⎰⎰,收敛.23222110013202(7)lim lim (1)3222lim 2,.2333收敛x x εεεεεε++++→→+→⎡==-+⎢⎣⎛==-- ⎝⎰⎰111011eee1111222220100(8)ln d ln d ln 1 ln d lim ln d lim (ln 1)1,.π(9)arcsin(ln ),.211d d d (10)lim (1)(1)(1)收敛收敛x x x x x x x x x x x x x x x x εεσεεεεεεεεεεεε+++→→-+→=-=--∴==--=-===⎛⎫+= ⎪---⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰120100112 lim lim ,211xxεεεεε++-+→→⎛⎫⎛⎫===+∞+- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭此广义积分发散.)211-00001(11)lim lim 2lim 1,1εεεεε+++-→→→==-=-=⎰⎰此广义积分收敛. 2. 当k 为何值时，广义积分+2d (ln )kxx x ∞⎰收敛?当k 为何值时，这广义积分发散?又当k 为何值时，这广义积分取得最小值? 解 当k =1时,++222d dln ln(ln )ln ln x x x x x x∞∞+∞===+∞⎰⎰,发散.当1k ≠时,1++122211d (ln )(1)(ln 2)(ln )dln (ln)11kk kk k x x k x x x kk -∞∞--+∞⎧>⎪-==⎨-⎪+∞<⎩⎰⎰所以,当k >1时,此广义积分收敛,当k ≤1时,此广义积分发散.记1()(1)(ln 2),k f k k -=-11()(ln 2)(1)(ln 2)lnln 2k k f k k --'=+-.令()0f k '=得11ln ln 2k =-. 又 1()(ln 2)lnln 2[2(1)lnln 2]k f k k -''=+-,且 1ln ln 21(1)(ln 2)ln ln 20ln ln 2f -''-=<, 故()f k 在11ln ln 2k =-有极大值,而()f k 只有一个驻点,所以当11ln ln 2k =-时()f k 取得最大值,因而11ln ln 2k =-时,这个广义积分取得最小值.3. 利用递推公式计算反常积分+0e d n x n I x x ∞-=⎰.解 ++110de e e d n x n xn x n n I x x n x x nI ∞∞----+∞-=-=-+=⎰⎰又 +10de e e 1x x xI x x ∞---+∞+∞=-=--=⎰故 121(1)(1)2!n n n I nI n n I n n I n --==-=-= 4. 求120(1)d n n I x x =-⎰(n 0,1,2,…).解 设x =sin t ,则d x =cosd t ,π2120cos d n n I t t +=⎰而 ππ2200(21)!!π2(2)!!2sin d cos d (2)!!21(21)!!n n k n kk x x x x k n k k -⎧⋅=⎪⎪==⎨⎪=+⎪+⎩⎰⎰所以 π221220(2)!!(!)cosd 2 (0,1,2,)(21)!!(21)!n nn n n I t t n n n +====++⎰.6. 用Γ函数表示下列积分：(1)e d nx x +∞-⎰ (n ＞0)； (2)101(ln )d x x α⎰ (α＞-1)； (3) 0e d n m x x x +∞-⎰1(>0)m n +; (4)220e d n x x x +∞-⎰ （12n >-）.解 (1)令nx t =,则1111,d d nn x t x t t n-==,于是1111+++001111ed e d e d ()nx tt n n x t t t t n n n n --∞∞∞---=⋅==Γ⎰⎰⎰.(2)令1lnt x =,则e ,d e d .t t x x t --==- 于是 10+(1)1001(ln )d e d e d (1).a a t a tx t t tt a x∞-+--+∞=-==Γ+⎰⎰⎰ (3)令nx t =,则1111,d d nn x t x t t n-==,于是1111+++001111ed ()e d e d ()nm m x m tt n n n m x x t t t t t n n n n+-∞∞∞---+=⋅⋅=⋅=Γ⎰⎰⎰.(4)令2x t =,则x x t ==,于是21+++2220011+201ed e e d 2111e d ()222n n x ntt n t x x t t tt t n ∞∞∞----⎛⎫-+∞ ⎪-⎝⎭=⋅===Γ+⎰⎰⎰⎰。
微积分B(2)第六次习题课答案(2012年3月)_428706063
ò
w
0
p( x)dx = 0
y = x + cos x 的通解. y = x 的特解 y1 和 y ¢¢ + y = cos x 的特解 y 2 . 然后得到原方
5） y ¢ =
y 2x - y2
6) x(ln x - ln y )dy - ydx = 0
7） y
dy - 2x = y dx
8） y ¢ = sin( x + y + 1)
x2 + y2 x
9） y ¢ =
x - y +1 x+ y+3
12) y ¢tgx - y = 5 ,
10） xy¢ + x + sin( x + y ) = 0 13)
将这个解代入原方程得到
A=
于是原方程的通解为
1 9 + a2
y=
x 9+a
2
+ e -3 x (c1 cos ax + c 2 sin ax) + c3
3） y ¢¢ +
y = -2 x
y = c1 cos x + c2 sin x - 2 x
作者：闫浩 (2012 年 3 月)
4）求 y' '+
1 x y'y = 0 的通解。 1- x 1- x
解：二阶线性变系数齐次 观察出 y1 = x ，设 y 2 = u ( x ) y1 ，代入方程，得
u' ' x + 2u '+
微积分 第六章练习题答案复习进程
微积分第六章练习题答案第六单练习题一、选择题1、在球x 2+y 2+z 2-2z =0内部的点是（ C ）A 、（0，0，0）B 、（0，0，-2）C 、111,,222⎛⎫ ⎪⎝⎭D 、111,,222⎛⎫-- ⎪⎝⎭2、点(1,1,1)关于xy 平面的对称点是（ B ）A 、(-1,1,1)B 、(1,1,-1)C 、(-1,-1,-1)D 、(1,-1,1)3、设函数z =f (x ,y )在点(x 0,y 0)处存在对x ,y 的偏导数，则00(,)x f x y '=（ B ） A 、00000(2,)(,)lim x f x x y f x y x ∆→-∆-∆ B 、00000(,)(,)lim x f x y f x x y x∆→--∆∆C 、00000(,)(,)limx f x x y y f x y x∆→+∆+∆-∆ D 、0000(,)(,)lim x x f x y f x y x x →--4、函数z =f (x ,y )在点(x 0,y 0)处可微的充分条件是（ D ） A 、f (x ,y )在点(x 0,y 0)处连续 B 、f (x ,y )在点(x 0,y 0)处存在偏导数 C 、00000lim (,)(,)0x y z f x y x f x y y ρ→''⎡⎤∆-∆-∆=⎣⎦D 、00000(,)(,)lim 0x y z f x y x f x y y ρρ→''∆-∆-∆⎡⎤=⎢⎥⎣⎦其中ρ=5、已知函数22(,)f x y x y x y +-=-，则(,)(,)f x y f x y x y∂∂+=∂∂（ B ） A 、22x y - B 、x y + C 、22x y + D 、x y -6、平行于z 轴且过点（1，2，3）和（-1，4，5）的平面方程是（ A ）． A 、03=-+y x B 、03=++y x C 、01=+-z y D 、5=z7、二元函数224),(y x y x f z +==在点（0，0）处（ D ） A 、连续、偏导数不存在 B 、不连续、偏导数存在C 、连续，偏导数存在但不可微D 、可微8、若可微函数),(y x f z =在点),(000y x P 有极值，则（ C ）． A 、两个偏导数都大于零 B 、两个偏导数都小于零C 、两个偏导数在点),(000y x P 的值都等于零D 、两个偏导数异号9、二重积分⎰⎰+=Ddxdy y x I )sin(1，⎰⎰+=Ddxdy y x I )(sin 22，其中Ｄ是由1,21,0,0=+=+==y x y x y x 围成，则（ C ）． A 、21I I = B 、21I I < C 、21I I > D 、以上都不对10、设方程xyz =z =z (x ,y )，则z =z (x ,y )在点 （1，0，-1）处的全微分dz =（ D ）A 、dx +B 、dx -+C 、dx --D 、dx - 11、二元函数3322339z x y x y x =-++-的极小值点是（ A ） A 、（1，0） B 、（1，2） C 、（-3，0） D 、(-3，2) 12、点00(,)x y 使(,)0x f x y '=且(,)0y f x y '=成立，则（ D ）A 、00(,)x y 是(,)f x y 的极值点B 、00(,)x y 是(,)f x y 的最小值点C 、00(,)x y 是(,)f x y 的最大值点D 、00(,)x y 可能是(,)f x y 的极值点 13、设区域D 是单位圆221x y +≤在第一象限的部分，则二重积分Dxyd σ=⎰⎰（ C ）A 、xydy B 、1dx xydy ⎰C 、1dy xydx ⎰ D 、12201sin 22d r dr πθθ⎰⎰14、110(,)xdx f x y dy -=⎰⎰（ D ）A 、1100(,)xdy f x y dx -⎰⎰ B 、110(,)xdy f x y dx -⎰⎰C 、11(,)dy f x y dx ⎰⎰ D 、110(,)ydy f x y dx -⎰⎰15、若1Ddxdy =⎰⎰，则积分域D 可以是（ C ）A 、由x 轴，y 轴及20x y +-=所围成的区域B 、由x =1，x =2，及y =2，y =4所围成的区域C 、由11,22x y ==所围成的区域D 、由1,1x y x y +=-=所围成的区域 二、填空题1、设)ln(22y x z +=，则xz∂∂＝ ．222y x x + 2、交换二次积分的次序⎰⎰101),(xdy y x f dx ＝ ．⎰⎰12),(y dx y x f dy3、若⎰⎰=--Ddxdy y x a π222，则=a ，其中Ｄ是由222a y x =+围成的区域．3234、⎰⎰Dd y x f σ),(在极坐标系下的二次积分为 ，其中Ｄ是由422=+y x 围成的区域．⎰⎰πθθθ202)sin ,cos (rdr r r f d四、计算题1、.求由方程xyz e z=所确定的函数),(y x f z =的偏导数x z ∂∂，yx z∂∂∂2解:设xyz e z y x F z -=),,(，则yz F x -=，xy e F z z -=xye yz F F x z z z x -=-=∂∂ 22)()())(()(xy e x yze yz xy e y z yz xye yzy x z z z z y z --∂∂--∂∂+='-=∂∂∂322322)(xy e e z y z xy z y e xyz e z e z zz z z ---+-= 2、设vuz arctan =，其中y x v y x u -=+=,23，求全微分dz解: xv v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ 22223vu uv u v +-+⋅+= 2222)()23(23)()23()(3y x y x yx y x y x y x -+++--++-=yv v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ )1(22222-⋅+-+⋅+=vu uv u v 2222)()23(23)()23()(2y x y x yx y x y x y x -++++-++-=dy y zdx x z dz ∂∂+∂∂=dx y x y x y x y x y x y x ])()23(23)()23()(3[2222-+++--++-= dy y x y x yx y x y x y x ])()23(23)()23()(2[2222-++++-++-+3、设2z u v =，其中y x v y x u -=+=,23，求全微分dz 解:xvv z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ 232u uv +⋅=2)23())(23(6y x y x y x ++-+=yv v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ )1(222-⋅+⋅=u uv 2)23())(23(4y x y x y x +--+=dy yzdx x z dz ∂∂+∂∂=dx y x y x y x ])23())(23(6[2++-+= dy y x y x y x ])23())(23(4[2+--++ 4、求函数22(,)4()f x y x y x y =---的极值解：x f x 24-=，y f y 24--= 令0,0==y x f f 得2,2-==y x 由2,0,2-====-==yy xy xx f C f B f A 知0>-B AC 且0<A 故),(y x f 在点（2，-2）处有极大值， 极大值为8)2,2(=-f5、、计算二重积分⎰⎰+Ddxdy y x )23(，其中Ｄ是由X 轴、Y 轴及直线2=+y x 所围成的区域解：⎰⎰+Ddxdy y x )23( ⎰⎰-+=x dy y x dx 202)23(⎰++-=22)422(dx x x＝320解法二：原式⎰⎰-+=y dx y x dy 202)23(⎰+--=202)6221(dy y y 320=6、、计算二重积分⎰⎰Ddxdy xxsin ，其中Ｄ是由直线x y =和曲线2x y =所围成的闭区域． 解：⎰⎰Ddxdy x xsin ⎰⎰=x x dy xx dx 2sin 10dx x x xx)(sin 210-=⎰dx x x x )sin (sin 10-=⎰1sin 1-=7、计算二重积分2Dx ydxdy ⎰⎰，其中Ｄ是由X 轴、Y 轴及直线2x y +=所围成的区域解：⎰⎰Dydxdy x 2 ⎰⎰-=x ydy x dx 2022⎰+-=20234)44(21dx x x x ＝158解法二：原式⎰⎰-=y ydx x dy 2022⎰-+-=20432)6128(31dy y y y y 158=8、计算二重积分2y De dxdy ⎰⎰，其中Ｄ是由直线,1,0y x y x ===所围成的闭区域解： 本题只能先对x 积分再对y 积分⎰⎰Dydxdy e 2⎰⎰=yy dx e dy 0102dy ye y 210⎰=)(212102y d e y ⎰= )1(21-=e 五、应用题１．求由曲线3x y =及直线0,2==y x 所围成的图形的面积以及由该图形绕y 轴旋转一周所产生的旋转体的体积（要求作出草图）. 阴影部分面积⎰=203dx x S2414x == 4旋转体的体积⎰-=802312])(2[dy y V y π08)534(35y y -=ππ564=2、求由曲线2y x =和2x y =所围成的图形的面积以及由该图形绕Ｙ轴旋转 一周所产生的旋转体的体积（要求作出草图）.解：阴影部分面积⎰-=102)(dx x x S01)3132(323x x -== 31旋转体的体积⎰-=1222])()[(dy y y V y π01)5121(52y y -=π3 =π10。
微积分6习题答案
一、填空题1．设()A dx x f a =⎰0，则()=-⎰dx x a f aA2．22π=⎰∞+-dx e x ，则=⎰+∞-dx e x 02242π3．=⎰dx e x 124．若2sin 0π=⎰+∞dx x x ，则=⎰∞+dx xx 0 22sin ． 2π5．=-⎰θθθπd 03sin sin 346．由两条抛物线x y =2，及2x y =所围成的图形的面积是 1 7．已知22π=⎰∞+-dx e x ，则=⎰+∞-dx e x 02242π8．函数dt t x F y x ⎰+==02)2()(在0=x 处的切线方程是 x y 2=9．设)(x f 在积分区间上连续，则=--⎰-a adx x f x f x )]()([2 010．=++⎰-2232)cos 1sin (ππdx x x x 34 11．=++⎰-dx x x x 112||1)cos (sin12．设dx x x I ⎰=101sin ，dx x x I ⎰++=10211sin ，比较1I 与2I 的大小：1I 2I 13．=+++⎰-dx x xx x 114571cos 82 0 二、单项选择题1．设C x F dx x f +=⎰)()(在],[b a 上成立，则 ④①)(x f 在],[b a 上必连续，但不一定可导 ②)(x f 在],[b a 上必可导 ③)(x F 在],[b a 上必连续，但不一定可导 ④)(x F 在],[b a 上必可导 2．=-⎰dx x R R22 ④①R ②R π ③2R π ④42R π3．设)(x f 是定义在),(+∞-∞上的连续函数，则 ④ ①dx x f ⎰+∞∞-)(必收敛 ②若0)(lim =+∞→x f x ，则dx x f ⎰+∞∞-)(收敛③当dx x f aax ⎰-+∞→)(lim存在时，则dx x f ⎰+∞∞-)(收敛④当且仅当dx x f aa ⎰+∞→0)(lim 及dx x f bb ⎰+∞→0)(lim 均存在时，就有dx x f ⎰+∞∞-)(收敛6．导数=⎪⎭⎫⎝⎛⎰'arcsin dx x ba ①① 0 ②211x- ③x arcsin ④a b arcsin arcsin -7．积分()=⎰-dt t f xx' ④①()x f ②()x f - ③()()x f x f -+ ④()()x f x f -- 8．设()x f 为偶函数，且()I dx x f ba=⎰，则 ③①()I dx x f a b=⎰ ②()I dx x f b a =⎰-- ③()I dx x f ab=⎰-- ④前面的结论都不对 9．设()x f 为偶函数，则()()dt t f x F x⎰=0为 ①①奇函数 ②偶函数 ③非奇非偶函数 ④奇偶性不能确定 10．设函数()x f 在区间[]b a ,上连续，且()0>x f ，则积分上限函数()()dt t f x F xa⎰=在区间[]b a ,上 ① ①单调增加 ②单调减少 ③有增有减 ④不增不减 11．函数()x f 在区间[]b a ,上有界是()x f 在区间[]b a ,上可积的 ②①充分条件 ②必要条件 ③充要条件 ④无关条件 12．设)(x f 是定义在),(+∞-∞上的连续函数，则 ④ ①dx x f ⎰+∞∞-)(必收敛 ②若0)(lim =+∞→x f x ，则dx x f ⎰+∞∞-)(收敛③当dx x f aaa ⎰-+∞→)(lim存在时，则dx x f ⎰+∞∞-)(收敛④当且仅当dx x f aa ⎰+∞→0)(lim及dx x f bb ⎰+∞→0)(lim 均存在时，就有dx x f ⎰+∞∞-)(收敛三、求下列积分1．332cos sin13422=⋅⎰dx x x ππ 2．22110π-=+⎰dx x x 3．926arcsin 102-=⎰πdx x x 4．()()12254ln 154ln 1414514-⋅=+=+⎰ee x dx x x 5．3ln 381203-=+⎰dx x x 6．2132ln sec sec 14332222++=-=-⎰⎰--dt t t x x dx ππ令 7．()3822cos tan 2422arctan 21arctan 2132-==+⎰⎰dt t t x x dx 令 8．614511=-⎰-x xdx 9．e dx e x4210-=⎰- 10．()()[]2121ln ln 022-++=++⎰a a dx a x x a11．()2111π=+⎰∞+dx x x 12．351130=++⎰dx x x 13．1ln 12=⎰∞+dx x x 14．()2ln 1214150+=-+⎰dx x 15． 21arctan 13=⎰∞+dx x x 16．()2ln 1ln 22=⎰∞+x x dx 17．π=++⎰∞+∞-222x x dx 18．dx x ⎰-1024 233+=π 19．dxx x⎰-1221 ＝16π20．dx xx ⎰-122221 41π-=21．dx x e x ⎰∞+-0sin22．dx x x ⎰+213252ln 3＝ 23．⎰∞++0xx x dxπ=四、求下列各题中平面图形的面积及旋转体体积1．曲线x e y =与直线e y =及y 轴所围成的图形。
微积分第六章习题答案
证明： ，而 ，恰好
5.不用求出函数 的导数，说明方程 有几个实根，并指出它们所在的区间。
解： ，分别在区间 上应用罗尔定理得 在 上都有根，而 为三次多项式，所以恰有三个实根。
6.证明恒等式
证明：在 上， ，所以 为常数，令 得此常数为 。又显然 ，所以结论成立。
4.求下列函数的极值点与极值：
（1）
解： ， 上 上 所以 为极大值点，极大值为 。 上 上 所以 为极小值点，极小值为 。
（2）
解： ， 上 上 所以 为极大值点，极大值为 。
（3）
解： ， 上 上 上 所以 为极小值点，极小值为 。 为极大值点，极大值为
5.确定下列函数的单调区间：
（1）
解： 。在 上 ， 上 ， 上 ，所以 ， 为单增区间， 为单减区间。
7.讨论方程 有几个实根。
解：设 ， ，在 上 ， 单增，在 上 ， 单减。所以 为最大值。又有 所以当 时没有实根，当 时有一个实根，当 时有两个实根。
8.判定下列曲线的凹凸性：
（1）
解： 所以函数是凸的。
（2）
解： 所以 上函数是凸的， 上函数是凹的。
（3）
解： 所以函数是凹的。
（4）
解： 所以函数是凹的。
16.设函数 ，求证：当 时， 当 时，有
。
证明：当 时， 所以
即 ，在其中取 即得
6.4函数的单调性与曲线的凹凸性
习题6.4
1.判定函数 的单调性。
解： 只在 处为零，所以函数单调下降。
2.判定函数 的单调性。
解： ，只在 处为零，所以函数单调上升。
3.求下列函数的单调性区间与极值点：
2014级《微积分B(二)》A卷及解答
4.二次积分
2 d
cos f (r cos , r sin )rdr 可以写成
0
0
(D)一定有极值 （D）
1
yy2
(A) dy
f (x, y)dx
0
0
1
1 y2
(B) dy
f (x, y)dx
0
0
1
1
(C) dx f (x, y)dy
0
0
1
xx2
(D) dx
2x3ex2
2.
1 －1
x2
tan
x
1
1 x
2
dx
2
3.设 z f (x ln y, y x) ，且 f 具有一阶连续偏导数，则全微分 dz
( f1ln
y
f
2)dx
(
x y
f1
f2)dy
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4.若 D 是由 x 1, y 1 围成的正方形区域，则 x2dxdy _____________
上海立信会计学院 2014～2015 学年第二学期
2014 级本科《微积分 B（二）》期终考试试卷（A）答案
（本场考试属闭卷考试，考试时间 120 分钟，禁止使用计算器） 共 4 页
学院：
班级
学号
姓名
题号 一
二
三
四
五 总分
得分
一、单项选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分）
1.下列不等式中，成立的是
0 0
，解得唯一驻点：
x0
3a 2b 2a2 b2
刘迎东微积分第六章习题6.7答案
6.7 曲率 习题6.71. 求椭圆在点处的曲率。
2244x y +=(0,2)"0解：，在()2''820,822x yy yyy +=++=()0,2处带入后得'"0, 2.y y ==−所以此点曲率为2.K =2. 求下列函数在指定点处的曲率： （1） 双曲线，在点(处。
4xy =)2,2解：'"244,,y y y 38.x x x==−=在点()2,2处，'"1, 1.y y =−=所以此点曲率为()321.411K ==+ （2） 抛物线，在其顶点处。
24y x x =−解：在顶点(处，'"42, 2.y x y =−=−)2,4'"0, 2.y y ==−所以此点曲率为2.K =（3）33cos ,sin ,x a t y a ==t 在/4t π=处。
解：22/4/4/43sin cos tan 1.3cos sin t t t dy a t tt dx a t tπππ=====−−=−2222/4/4sec 3cos sin t t d y tdx a t tππ==−==−()211K =+ （4）xy acha =，在点处。
(0,a )解：'"1,.x x y sh y ch a a a ==)0,a 在点(处，'"10,.y y a ==所以此点曲率为1.K a=3. 求223,3x t y t t ==−1=在t 处的曲率半径。
解：11321.66t t dy t dx t ==−==2221111261t t d y t dx t ==−2==−。
所以此点曲率为321121136K ==⎛⎞+⎜⎟⎝⎠曲率半径为.184. 求阿基米德螺线r a ϕ=的曲率半径。
解：参数方程为cos ,sin x a y a ϕϕϕϕ=⎧⎨=⎩，所以曲率为()()()()()()()322223222cos sin cos sin sin cos 2sin cos cos sin sin cos 21a a a a a a a a K a a a a a ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ−−−+−−=⎡⎤−++⎣⎦+=+曲率半径为()322212a ϕϕ++。
微积分第六章练习题答案
第六单练习题第六单练习题一、选择题一、选择题1、在球x 2+y 2+z 2-2z =0内部的点是（内部的点是（ C ）A 、（0，0，0）B 、（0，0，-2）C 、111,,222æöç÷èø D 、111,,222æö--ç÷èø 2、点(1,1,1)关于xy 平面的对称点是（平面的对称点是（ B ）A 、(-1,1,1) B 、(1,1,-1) C 、(-1,-1,-1) D 、(1,-1,1) 3、设函数z =f (x ,y )在点(x 0,y 0)处存在对x ,y 的偏导数，则00(,)x f x y ¢=（ B ） A 、00000(2,)(,)lim x f x x y f x y x D ®-D -D B 、00000(,)(,)lim x f x y f x x y x D ®--D D C 、00000(,)(,)lim xf x x y y f x y x D ®+D +D -D D 、0000(,)(,)lim x x f x y f x y x x ®-- 4、函数z =f (x ,y )在点(x 0,y 0)处可微的充分条件是（处可微的充分条件是（ D ）A 、f (x ,y )在点(x 0,y 0)处连续处连续B 、f (x ,y )在点(x 0,y 0)处存在偏导数处存在偏导数C 、00000lim (,)(,)0x y z f x y x f x y y r ®¢¢éùD -D -D =ëû D 、00000(,)(,)lim 0x y z f x y x f x y y r r ®¢¢D -D -D éù=êúëû其中22x y r =+ 5、已知函数22(,)f x y x y x y +-=-，则(,)(,)f x y f x y x y ¶¶+=¶¶（ B ） A 、22x y - B 、x y + C 、22x y + D 、x y -6、平行于z 轴且过点（1，2，3）和（-1，4，5）的平面方程是（）的平面方程是（ A ）． A 、03=-+y x B 、03=++y x C 、01=+-z y D 、5=z7、二元函数224),(y x y x f z +==在点（0，0）处（）处（ D ） A 、连续、偏导数不存在、连续、偏导数不存在 B 、不连续、偏导数存在、不连续、偏导数存在 C 、连续，偏导数存在但不可微、连续，偏导数存在但不可微 D 、可微、可微8、若可微函数),(y x f z =在点),(000y x P 有极值，则（有极值，则（ C ）． A 、两个偏导数都大于零、两个偏导数都大于零 B 、两个偏导数都小于零、两个偏导数都小于零C 、两个偏导数在点),(0y x P 的值都等于零的值都等于零D 、两个偏导数异号、两个偏导数异号 9、二重积分òò+=Ddxdy y x I )sin(1，òò+=Ddxdy y x I )(sin 22，其中Ｄ是由是由1,21,0,0=+=+==y x y x y x 围成，则（围成，则（ C ）． A 、21I I = B 、21I I < C 、21I I > D 、以上都不对、以上都不对 10、设方程2222xyz x y z +++=确定了函数z =z (x ,y )，则z =z (x ,y )在点在点（1，0，-1）处的全微分dz =（ D ）A 、2dx dy +B 、2dx dy -+C 、2dx dy --D 、2dx dy - 11、二元函数3322339z x y x y x =-++-的极小值点是（的极小值点是（ A ） A 、（1，0） B 、（1，2） C 、（-3，0） D 、(-3，2) 12、点00(,)x y 使(,)0x f x y ¢=且(,)0y f x y ¢=成立，则（成立，则（ D ）A 、00(,)x y 是(,)f x y 的极值点的极值点B 、00(,)x y 是(,)f x y 的最小值点C 、00(,)x y 是(,)f x y 的最大值点D 、00(,)x y 可能是(,)f x y 的极值点的极值点13、设区域D 是单位圆221x y +£在第一象限的部分，则二重积分Dxyd s =òò（ C ） A 、22110y x dxxydy --òòB 、21100y dx xydy -òòC 、21100y dy xydx -òòD 、12201sin 22d r dr pq q òò14、110(,)xdx f x y dy -=òò（ D ）A 、11(,)xdy f x y dx -òò B 、110(,)x dy f x y dx -òò C 、11(,)dy f x y dx òò D 、110(,)ydy f x y dx -òò15、若1Ddxdy =òò，则积分域D 可以是（可以是（ C ）A 、由x 轴，y 轴及20x y +-=所围成的区域所围成的区域B 、由x =1，x =2，及y =2，y =4所围成的区域所围成的区域C 、由11,22x y ==所围成的区域所围成的区域D 、由1,1x y x y +=-=所围成的区域所围成的区域 二、填空题1、设)ln(22y x z +=，则xz¶¶＝ ．222y x x + 2、交换二次积分的次序òò101),(xdy y x f dx ＝ ．òò12),(y dx y x f dy3、若òò=--Ddxdy y x a p 222，则=a ，其中Ｄ是由222a y x =+围成的区域．323 4、òòDd y x f s ),(在极坐标系下的二次积分为在极坐标系下的二次积分为 ，其中Ｄ是由422=+y x 围成的区域．òòp q q q 202)sin ,cos (rdr r r f d四、计算题四、计算题1、.求由方程xyz e z=所确定的函数),(y x f z =的偏导数x z ¶¶，y x z ¶¶¶2解:设xyz e z y x F z -=),,(，则yzFx-=，xy e F z z -= xy e yz F F x zzz x -=-=¶¶ 22)()())(()(xy e x yz e yz xy e y z y z xy e yz y x z z z z y z --¶¶--¶¶+=¢-=¶¶¶ 322322)(xy e e z y z xy z y e xyz e z e z zz z z ---+-= 2、设vuz arctan =，其中y x v y x u -=+=,23，求全微分dz解: xv v z x u u z x z ¶¶¶¶+¶¶¶¶=¶¶ 22223v u uv u v +-+×+= 2222)()23(23)()23()(3y x y x y x y x y x y x -+++--++-=y vv z y u u z y z ¶¶¶¶+¶¶¶¶=¶¶ )1(22222-×+-+×+=vu u v u v2222)()23(23)()23()(2y x y x yx y x y x y x -++++-++-=dy y z dx x z dz ¶¶+¶¶=dx y x y x y x y x y x y x ])()23(23)()23()(3[2222-+++--++-= dy y x y x y x y x y x y x ])()23(23)()23()(2[2222-++++-++-+3、设2z u v =，其中y x v y x u -=+=,23，求全微分dz 解:xvv z x u u z x z ¶¶¶¶+¶¶¶¶=¶¶ 232u uv +×=2)23())(23(6y x y x y x ++-+= y vv z y u u z y z ¶¶¶¶+¶¶¶¶=¶¶ )1(222-×+×=u uv 2)23())(23(4y x y x y x +--+=dy y z dx x z dz ¶¶+¶¶=dx y x y x y x ])23())(23(6[2++-+=dy y x y x y x ])23())(23(4[2+--++ 4、求函数22(,)4()f x y x y x y =---的极值的极值解：x f x 24-=，y f y 24--= 令0,0==yx f f 得2,2-==y x由2,0,2-====-==yy xy xx f C f B f A 知0>-B AC 且0<A 故),(y x f 在点（2，-2）处有极大值， 极大值为8)2,2(=-f5、、计算二重积分òò+Ddxdy y x )23(，其中Ｄ是由X 轴、Y 轴及直线2=+y x 所围成的区域成的区域解：òòòò+Ddxdy y x )23( òò-+=x dy y x dx 202)23(ò++-=202)422(dx x x ＝320解法二：原式òò-+=y dx y x dy 2020)23(ò+--=202)6221(dy y y320=6、、计算二重积分òòDdxdy x xsin ，其中Ｄ是由直线x y =和曲线2x y =所围成的闭区域．区域． 解：òòDdxdy xxsin òò=xxdy xx dx2sin 1dx x x xx)(sin 21-=ò dx x x x )sin (sin 10-=ò1sin 1-=7、计算二重积分2Dx ydxdy òò，其中Ｄ是由X 轴、Y 轴及直线2x y +=所围成的区域解：òòDydxdy x 2 òò-=x ydy x dx 202221ò=(22414x =31)y 08)535y -p 564=2、求由曲线2y x =和2x y =所围成的图形的面积以及由该图形绕Ｙ轴旋转一周所产生的旋转体的体积（要求作出草图）. 解：阴影部分面积ò-=12)(dx x x S01)3132(323x x -== 31旋转体的体积ò-=1222])()[(dy y y Vyp 01)5121(52y y -=pp 103=。
微积分习题册(精华版)
微积分练习题册第一章函数1. 1y x=是无穷小量； 2. 奇函数与偶函数的和是奇函数；3. 设arcsin y u =，u =2arcsin 2+=x y ；4. 函数 1lg lg y x= 的定义域是 1x > 且 10x ≠； 5. 函数 2x y e -= 在 (0,)+∞ 内无界；6. 函数 211y x =+ 在 (0,)+∞ 内无界；7. 21()cos x f x x-= 是奇函数；8. ()f x x = 与2()g x = 是相同函数 ； 9. 函数 x y e = 是奇函数；10. 设 ()sin f x x = ，且2[()]1f x x ϕ=-，则()x ϕ的定义域是 (0,1)； 11. y x = 与y 是同一函数； 12. 函数 31y x x =++ 是奇函数；13. 函数 1arcsin 2x y -= 的定义域是(1,3)- ；14. 函数 cos3y x = 的周期是 3π ；15. y x = 与 2x y x= 不是同一个函数；16. 函数 cos y x x =是偶函数 .填空题1. 设23,,tan ,u y u v v x === 则复合函数为 ()y f x = = _________；2. 设cos 0()0xx f x x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩ ，则 (0)f = __________；3. 设 x x x f --=24)(2，则 )2(-f = _______ ；4. 设 xx f 1)(=，x x g -=1)( ，则 )]([x g f = _______ ；5. 复合函数2(sin )x y e =是由 ________, ________, _______函数复合而成的； 6. 函数 43y x =- 的反函数是 _______ ；7. 已知 11()1f x x =- ，则 (2)f = __________ ；8.y =，其定义域为 __________ ； 9. 设函数 2()1x f x x -=- ，则 (1)f -= __________；10. 考虑奇偶性，函数 ln(y x = 为 ___________ 函数 ；11. 函数 2x y e = 的反函数是 1ln 2y x = ,它的图象与 2x y e = 的图象关于________ 对称 .选择题1. 函数 32--=x x y 的定义域是 ( ) (A) (2,)+∞ (B) [2,]+∞(C) (,3)(3,)-∞+∞ (D) [2,3)(3,)+∞ 2. 函数 22)1(-=x x y 在区间 (0,1) 内 ( )(A) 单调增加 (B) 单调减少 (C) 不增不减 (D)有增有减 3. 下列函数中，是奇函数的是 ( )(A)42y x x =- (B) 2y x x =- (C)22x x y -=- (D)22x x y -=+4. 已知函数 20()10ax bx f x x x +<⎧=⎨+≥⎩，则(0)f 的值为 ( )(A) a b + (B) b a - (C) 1 (D) 2第二章 极限与连续判断题1. 函数在点 0x 处有极限，则函数在 0x 点极必连续；2. 0x → 时，x 与 sin x 是等价无穷小量；3. 若 00(0)(0)f x f x -=+，则 )(x f 必在 0x 点连续；4. 当 0x → 时，2sin x x +与 x 相比是高阶无穷小；5. 函数 221y x =+ 在 (,)-∞+∞ 内是单调的函数；6. 设 )(x f 在点 0x 处连续，则 00(0)(0)f x f x -=+ ；7. 函数 21sin ,0()0,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 在 0x = 点连续； 8. 1=x 是函数 122--=x x y 的间断点； 9.()sin f x x = 是一个无穷小量；10. 当 0→x 时，x 与 )1ln(2x + 是等价的无穷小量； 11.若 )(lim 0x f x x → 存在，则 )(x f 在 0x 处有定义；12. 若x 与y 是同一过程下两个无穷大量，则x y -在该过程下是无穷小量；13. 22--=x y 是一个复合函数；14. 21sin lim 0=+→x x x x ；15. 01lim sin 1x x x→= ；16. 22lim(1)x x e x-→∞+= ；17. 11,0,,0,,0,481数列收敛2；18. 函数 1sin y x= 在0x = 点连续；19. 当0x +→x ；20. 函数 1()cos f x x x= ，当 x →∞ 时为无穷大；21. 当 1x → 时， ln x 与 1x - 是等价无穷小量；22. 0x = 是函数 ln(2)x y x-= 的间断点；23. 以零为极限的变量是无穷小量；24. sin lim 1x xx→∞= ；25. 0sin 25lim sin 52x x x →= ；26. 无穷大量与无穷小量的乘积是无穷小量； 27. ln(1)x +~x ；28. 1lim sin 1x x x→∞= ；29. 110lim(1)xx x e -→-= ；30. 0tan lim1x xx→= .填空题1. sin lim x xx→∞= _______ ；2. 711lim 1x x x →-=- ______ ； 3. xx xx sin lim+∞→ = _______ ； 4. 函数 922-+=x x y 在 _______ 处间断；5.1253lim 22-+∞→n n n n = _______； 6. 函数 x y ln = 是由 ______， ______ ，______复合而成的；7. 22111arcsin xx y -+-= 的定义域是 ______ ；8. 当 0x → 时，1cos x - 是比 x ______ 阶的无穷小量；9. 当 0x → 时， 若 sin 2x 与 ax 是等价无穷小量，则 a = ______；10.0lim x +→= __________ ；11. 设 sin 2,0(),0xx f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 连续，则 a = _________ ；12.0limh h→=___________ ； 13. 函数 y x = 在点 _________连续，但不可导；14. 2lim(1)x x x →∞-=________；15. 0ln(13)lim sin 3x x x →+=_________ ；16. 设 21,0()0,0x e x f x x -⎧⎪≠=⎨⎪=⎩ 在 0x = 处________（是、否）连续；17. 当0x →23是______（同阶、等价）无穷小量.选择题1. 当 0x →时，xy 1sin = 为 ( )(A) 无穷小量 (B) 无穷大量 (C) 有界变量但不是无穷小量 (D) 无界变量 2. 1x +→ 时，下列变量中为无穷大量的是 ( )(A) 113-x (B) 112--x x (C) x 1(D) 112--x x3.已知函数2,()1,f x x ⎧-⎪=-⎨11001x x x ≤--<<≤<，则1lim ()x f x →- 和 0lim ()x f x →( )(A) 都存在 (B) 都不存在(C) 第一个存在，第二个不存在 (D) 第一个不存在，第二个存在4. 函数 ()12xf x ⎧⎪=⎨⎪⎩ 11x x ≠= 的连续区间是 ( ) (A)(,1)-∞ (B)(1,)+∞ (C)(,1)(1,)-∞⋃+∞ (D) (,)-∞+∞ 5. 函数 4cos 2y x = 的周期是 ( )(A) 4π (B) 2π (C) π (D) 2π6. 设 232,0()2,0x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩ ，则 0lim ()x f x +→= ( ) (A) 2 (B) 0 (C) 1- (D) 2-7. 函数 1,0()1,0x f x x ≥⎧=⎨-<⎩ ，在 0x = 处 ( )(A) 左连续 (B) 右连续 (C) 连续 (D) 左、右皆不连续8. 当 n →∞ 时，1sin n n是 ( )(A)无穷小量 (B) 无穷大量 (C) 无界变量 (D) 有界变量9. 02lim 5arcsin x xx→= ( )(A) 0 (B) 不存在 (C) 25(D) 110. ()f x 在点 0x x = 处有定义，是 ()f x 在 0x x =处连续的 ( )(A) 必要条件 (B) 充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 无关条件 11. 下列极限存在的有 ( )(A)2(1)lim x x x x →∞+ (B) 01lim 21x x →- (C) 10lim xx e →(D) x计算与应用题1. 设 )(x f 在点 2x =处连续，且232,2(),x x x f x a ⎧-+⎪-⎪⎪=⎨⎪⎪⎪⎩22=≠x x ，求 a2. 求极限 20cos 1lim 2x x x→-3. 求极限 121lim()21x x x x +→∞+-4. 512lim 43-+-∞→x x x x5. x x x10)41(lim -→6. 2)211(lim -∞→-x x x7. 20cos 1lim x xx -→8. 求 2111lim()222n n →∞+++9. 求极限 22lim(1)n n n→∞-10. 求极限 lim()1xx x x →∞+11. 求极限 211lim ln x x x→-12. 201lim x x e x x →--13. 21002lim(1)x x x +→∞+14. 求lim x →-15. 21lim()1xx x x →∞-+16. 求 3131lim()11x x x→---第三章 导数与微分判断题1. 若函数)(x f 在0x 点可导，则00()[()]f x f x ''=；2. 若)(x f 在0x 处可导，则 )(lim 0x f x x → 一定存在；3. 函数 x x x f =)( 是定义区间上的可导函数；4. 函数 x x f =)( 在其定义域内可导；5. 若 )(x f 在 [,]a b 上连续，则 )(x f 在 (,)a b 内一定可导；6. ()(),()f x f x y e y e f x ''''==已知则；7. 函数 22,1()ln ,014x x f x x x ⎧≥⎪=⎨<<⎪⎩ 在 1x = 点可导；8. 若 (),n f x x = 则 ()(0)!n f n = ；9. 2()2d ax b ax += ；10. 若 ()f x 在 0x 点不可导，则 ()f x 在 0x 不连续； 11. 函数 ()f x x x = 在点 0x = 处不可导 .填空题1.()f x = ，则 (0)f '= _________ ；2. 曲线 3y x = 在点 (1,1) 处的切线方程是 ________ ；3. 设 ln e x e y x e x e =+++，则 y '= ______ ；4. sin(1)x y e =+ ，dy =_______ ；5. 设 222e x y x += ，则 y ' = ________ ；6. 设 e x y n += ，则 ()n y = ________ ；7. 曲线 x e x y += 在点 (0,1) 的处的切线方程是_______；8. 若 )(x u 与 )(x v 在 x 处可导，则 ])()(['x v x u = _________ ； 9. ()x x ' = _______；10. 设 )(x f 在 0x 处可导，且 A x f =')(0，则 hh x f h x f h )3()2(lim000--+→用A 的代数式表示为_______ ；11. 导数的几何意义为 ________________________ ；12. 曲线y = 在 (1,1) 处的切线方程是 ___________ ；13. 曲线 31y x =+ 在 (1,0)- 处的切线方程是 ___________ ； 14. 函数 32sin(1)y x x =+ 的微分 dy =__________ ； 15. 曲线 2y x = 在点 (0,0)处切线方程是_________ ； 16. dy y -∆ 的近似值是 _________ ；17. n y x =(n 是正整数)的 n 阶导数是 ________ .选择题1. 设)(x f 在点0x 处可导，则下列命题中正确的是 ( )(A) 000()()lim x x f x f x x x →-- 存在 (B) 000()()lim x x f x f x x x →--不存在(C) 00()()lim x x f x f x x →+-存在 (D) 00()()lim x f x f x x∆→-∆不存在2. 设)(x f 在点0x 处可导且0001lim(2)()4x x f x x f x →=--，则0()f x '等于( )(A) 4 (B) –4 (C) 2 (D) –23.设 21,10()1,02x x f x x ⎧+-<≤=⎨<≤⎩ ，则)(x f 在点x = 0 处 ( )(A) 可导 (B) 连续但不可导 (C) 不连续 (D) 无定义 4.设 ()y f x = 可导，则 (2)()f x h f x -- = ( ) (A) ()()f x h o h '+ (B) 2()()f x h o h '-+ (C) ()()f x h o h '-+ (D) 2()()f x h o h '+5.设 (0)0f = ，且 0()lim x f x x → 存在，则 0()lim x f x x→＝ ( )(A) ()f x ' (B) (0)f ' (C) (0)f (D) 1(0)2f '6.函数 )(x f e y =，则 ="y ( )(A) )(x f e (B) )(")(x f e x f(C) 2)()]('[x f e x f (D) )}(")]('{[2)(x f x f e x f + 7.函数 x x x f )1()(-=的导数为 ( )(A)x x x )1(- (B)1)1(--x x (C)x x x ln (D))]1ln(1[)1(-+--x x xx x8.函数)(x f 在 0x x =处连续，是 )(x f 在 0x 处可导的 ( )(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 9. 已知 ln y x x = ，则 (10)y = ( )(A) 91x - (B) 91x (C) 98!x (D) 98!x-10. 函数 xxx f =)( 在 0=x 处 ( )(A) 连续但不可导 (B) 连续且可导(C) 极限存在但不连续 (D) 不连续也不可导11. 函数 1,0()1,0x f x x ≥⎧=⎨-<⎩ ，在 0x = 处 ( )(A) 左连续 (B) 右连续 (C) 连续 (D) 左、右皆不连续 12. 设 x x y e e -=+ ，则 y ''=( )(A) x x e e -+ (B) x x e e -- (C) x x e e --- (D) x x e e --+13. 函数 0,0()1,0x f x x x≤⎧⎪=⎨>⎪⎩ ，在点 0x = 不连续是因为 ( ) (A) (00)(0)f f +≠ (B) (00)(0)f f -≠ (C) (00)f +不存在 (D) (00)f -不存在14. 设 1(2)1f x x +=+ ，则 ()f x '= ( )(A) 21(1)x -- (B) 21(1)x -+ (C) 11x + (D) 11x -- 15. 已知函数 2ln y x = ，则 dy =（ ）(A) 2dx x (B) 2x (C) 21x (D) 21dx x16. 设 21cos ,0()0,01tan ,0x x x f x x x x x⎧<⎪⎪==⎨⎪⎪>⎩ ，则 ()f x 在 0x =处（ ）(A) 极限不存在 (B) 极限存在，但不连续 (C) 连续但不可导 (D) 可导 17. 已知 sin y x = ，则 (10)y = ( )(A) sin x (B) cos x (C) sin x - (D) cos x -计算与应用题1. 设 f(x) = xaa a x arccos 22-- (0a >), 求 (2)f a '-2. 设 ln()y xy = 确定 y 是 x 的函数，求 dxdy3. 设 xx y 1cos 1ln += ，求 dy4. 设 21(1)arctan cos 2y x x x =++，求 y '5. 设 x y e y ln = 确定 y 是 x 的函数，求 dxdy6. 设 )ln(ln x y =，求 dy7. 221arcsin x y e x x=+-y , 求 'y 及 dy8. ln tan 2xy = ，求 'y 及 dy9. sin()y x y =+ ，求 'y 及 dy10. 221cos 5ln x x y -+= ，求 y ' 及 dy11. y e =，求 y ' 及 dy12. xy e y x -= ，求 y ' 及 dy13. 已知 2cos 3y x =，求 y '14. 设 22sin 0y x y --=， 求 y '15. 求 13cos x y e x -= 的微分16. 设 ln(y x x =，求 y '17. 设 cos 2x y e = ，求 dy18. 方程 0y x e e xy -+= 确定 y 是 x 的函数，求 y '19. 设 22arctan()1xy x=- ，求 y '20. 方程 2cos 0y y x e += 确定 y 是 x 的函数，求 y '21. 3cos cos x y x x e =+ ，求 dy22. ln y x x = ，求 y ''23. 已知 ln(y x = ，求 y '24. 设 x y x = ，求 y '25. 已知 ()sin3f x x = ，求 ()2f π''26. 求 2xe y x= 的微分第四章 导数的应用判断题1. y 轴是曲线 24(1)2x y x+=- 的铅垂渐近线； 2. 曲线 3y x x =- 在(,0)-∞是下凹的，在(0,)+∞是上凹的；3. 1x = 是 31()3f x x x =- 在 [2,2]-+ 上的极小值点；4. 曲线 y =在 0x = 点没有切线；5.函数可导，极值点必为驻点；6. 函数的极值只可能发生在驻点和不可导点；7. 直线 2y =- 是曲线2)1(42-+=x x y 的水平渐近线；8. 12x = 是曲线 234161x x y -= 的拐点；9. 若 )(x f 在 [,]a b 上连续，在 (,)a b 内可导，12a x x b <<<，则至少存在一点 12(,)x x ξ∈，使得 ))(()()(a b f a f b f -'=-ξ； 10. 若 0)(0='x f ，0)(0<''x f ，则 )(0x f 是 )(x f 的极大值；11. 函数 )12ln()(+=x x f 在 [0,2] 上满足拉格朗日定理； 12. 若 0x x = 是函数)(x f 的极值点，则0)('0=x f ； 13. 函数 )(x f 在 [,]a b 上的极大值一定大于极小值； 14. 当 x 很小时，ln(1)x x +≈ ；15. 30sin 1lim 3x x x x →-= ；16. 曲线 3y x = 的拐点是 (0,0)；17. 函数 ()y f x = 在 0x x = 点处取得极大值，则 0()0f x '= 或不存在； 18. 0()0f x '=是可导函数()y f x =在0x x =点处取得极值的充要条件； 19. 曲线 1ln y x =+ 没有拐点；20. 设()()()f x x a x ϕ=-，其中函数()x ϕ在x a =处可导，则 ()()f a a ϕ'= ；21. 因为 1y x = 在区间(0,1)内连续，所以在(0,1)内 1y x= 必有最大值；填空题1. 求曲线 53(2)y x =- 的拐点是 ________； 2. 求曲线 21x y x =+ 的渐近线为________ ；3. lim nax x x e→+∞ （ 0,a > n 为正整数）= ________ ；4. 幂函数 y x α=（ α为常数）的弹性函数是 _________ ；5. 221y x x =--+ 的单调递增区间为 __________ ；6. 函数()f x = 的间断点为 x = ______ ；7. 函数 112+=x y 的单调下降区间为 ______ ；8. 设 322++=ax x y 在点 1x = 处取得极小值，则 a = _______ ； 9. 设 3)(a x y -= 在 (1,)+∞ 是上凹的，则 a = ______ ；10. 若函数 )(x f 在区间 (,)a b 内恒有 ()0f x ''>，则曲线 )(x f y = 在(,)a b 内的凹向是_______；11. 若 3)(-=''x x f ，则曲线 )(x f y = 的拐点横坐标是 ______ ； 12. 函数 32y x =+ 在 3x = 处的弹性是 ________ ； 13. 函数 33y x x =- 的单调递减区间是 __________ ；14. x y e -= 的渐近线为 _______ ；15. 设需求函数(83)Q p p =-，P 为价格，则需求弹性值2P EQEp ==_______ ；16. 函数(1)(2)y x x =-- 有 ______ 个间断点；17.函数y =[0,5]上满足拉格朗日中值定理的ξ= ______ ； 18. 函数 2(1)y x =-- 的单调递增区间是 _________ ；19. 函数 2cos y x x =+ 在区间 [0,]2π上的最大值是 __________ ；20. 曲线y =的下凹区间是 __________ ；21. 函数22y x x =-在[0,2]上满足拉格朗日中值定理的 ξ=__________ ； 22. 函数y x = 在区间 [0,1] 上的最小值是 _________ .选择题1.函数 sin y x = 在区间 [0,]π 上满足罗尔定理的 ξ= ( )(A) 0 (B) 4π(C) 2π (D) π2. 曲线 21x y x=+ 的铅垂渐近线的方程是 ( )(A) 1y =- (B) 1y = (C) 1x =- (D) 1x = 3. 函数 ()y f x = 在点 0x x = 处取得极大值，则必有（ ）(A) 0()0f x '= (B) 0()0f x ''<(C) 0()0f x '= 且 0()0f x ''< (D) 0()0f x '= 或不存在 计算与应用题1. 求极限 11lim()1ln x x x x→-- 2.设某产品价格与销量的关系为 10P Q =-（Q 为销量），求： (1) 销量为 30 时的总收益；(2) 销量为 30时的平均收益； (3) 销量为 30时的边际收益；(4) 销量为 30时，销量对价格的弹性。
微积分课后习题参考答案第六章
第六章 微分方程与差分方程§1微分方程的基本概念习 题 6 — 11.验证下列各题中函数是所给微分方程的解，并指出解的类型： ⑴03=+'y y x ，3-=Cx y ； 解：3-=Cx y 是03=+'y y x 的通解；⑵ax xyy +='，bx ax y +=2，其中a ，b 为常数； 解：bx ax y +=2是ax xy y +='的特解（因为b 不是任意常数）；⑶()()022='-'+'+''-y y y y x y x xy ，()xy y ln =；解：()xy y ln =是()()022='-'+'+''-y y y y x y x xy 的特解；⑷0127=+'-''y y y ，x xe C e C y 4231+=；解：x xe C eC y 4231+=是0127=+'-''y y y 的通解；⑸x y y y 2103=-'+''，50355221--+=-x e C e C y x x. 解：50355221--+=-x e C eC y x x是x y y y 2103=-'+''的通解. 知识点：，定义6.2（若一个函数代入微分方程后，能使方程两端恒等，则称这个函数为微分方程的解）和若微分方程的解中含有独立的任意常数且个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解，不含任意常数的解称为特解。
2.在曲线族()xex C C y 221+=中找出满足条件10==x y ，10='=x y 的曲线.解：由题意得：()xe x C C C y 222122++='，∵10==x y ，10='=x y ， ∴解得11=C ,12-=C ， 故所求曲线为()xex y 21-=（xxe y 2=）。
微积分二第六章课外练习题参考答案
《微积分二》第六章课外综合练习题（一）参考答案单项选择题：1．设2()()2x xF x f t dt x =-⎰，其中()f x 是连续函数，则2lim ()x F x →=（ C ）。
A .0B .(2)fC .2(2)fD .不存在提示：22222()()()lim ()limlim21xxx x x x f t dtf t dt xf x F x x →→→+==-⎰⎰22()2(2)2(2)f t dt f f =+=⎰。
2．设13201()()1f x x f x dx x =++⎰，则10()f x dx ⎰=（ B ）。
A.2π B. 3π C. π D. 4π提示：111320001()[()]1f x dx x f x dx dx x =++⎰⎰⎰111320001()1dx f x dx x dx x=+⋅+⎰⎰⎰ =11001arctan ()4x f x dx +⎰101()44f x dx π=+⎰所以10()3f x dx π=⎰3．设()(),()xaf x f t dt '⎰为连续函数则 为（ C ）。
A ．)(t fB ．)()(a f t f -C ．)(x fD ．)()(a f x f - 提示：利用积分上限的函数的性质。
4．设)(x f 为连续函数，则()()b baaf x dx f a b x dx -+-⎰⎰等于（ A ）A ．0B ．1C ．b a +D ．()b af x dx ⎰提示：()()()()t a b xba b babaaf a b x dx f t dt f t dt f x dx =+-+-=-==⎰⎰⎰⎰。
5．下列定积分中，其值为零的是（ D ）A ．22sin x xdx -⎰ B ．2cos x xdx ⎰ C ．22()x e x dx -+⎰ D ．22(sin )x x dx -+⎰提示：因为sin x x +是奇函数。
2013级微积分B-第六章练习答案
0
0
由积分中值定理Βιβλιοθήκη 得： F(x) f ( ) (x 0) x f (x) x [ f ( ) f (x)]
[0, x] ，若 f (t) 单调减少，则 f ( ) f (x) 0
F(x) x [ f ( ) f (x)] 0 ， F(x) 单调增加。
《微积分》第六章 练习
学院
班级、学号
姓名
一、单项选择题（每小题 2 分，共 20 分）
成绩
1.设 I 4 ln sin xdx ， J 4 ln cot xdx ， K 4 ln cos xdx ，则 I, J , K 的大小关系为
0
0
0
()
B
(A) I J K
7
a3
，a
73
五、证明题（每题 7 分，共 14 分）
1.设 f (x)在(, ) 上连续，且 F(x)
x
(x
2t)
f
(t)dt
，试证：
0
（1）若 f (t) 为偶函数，则 F (x) 亦为偶函数；
（2）若 f (t) 单调减少，则 F (x) 单调增加。
证： F(x)
f (x)dx
f (c)( a b
a)
a
2
f (c)(b a ) 2
f (c) 2
ab
2 f (x)dx f (b)
ba a
3
于是 f (x) 在[c,b] 上连续，在 (c,b) 内可导，且 f (c) f (b) 再用罗尔定理，存在 (c,b) (a,b) ，使 f ( ) 0 。
第六章微积分微分方程初步（含答案）
第六章微积分微分⽅程初步（含答案）微分⽅程初步⼀、单项选择题1．微分⽅程3245(''')3('')(')0y y y x -++=阶数是（ b ）A.4阶 B ．3阶 C ．2阶 D ．1阶2．微分⽅程222y x dxdy x +=是（ b ） A.⼀阶可分离变量⽅程 B.⼀阶齐次⽅程 C.⼀阶⾮齐次线性⽅程 D.⼀阶齐次线性⽅程3．下列⽅程中，是⼀阶线性微分⽅程的是（ c ）A.0'2)'(2=+-x yy y xB.0'2=-+x yy xyC.0'2=+y x xyD.0)()67(=++-dy y x dx y x4．⽅程x y xy =-'满⾜初始条件11==x y 的特解是（ a ）A.x x x y +=lnB.Cx x x y +=lnC.x x x y +=ln 2D.Cx x x y +=ln 25．微分⽅程y y x 2='的通解为（ c ）A ．2x y =B ． c x y +=2C ． 2cx y =D ．0=y6．微分⽅程y y x ='满⾜1)1(=y 的特解为（ a ）A.x y =B. c x y +=C.cx y =D.0=y7. 设21,y y 是⼆阶常系数线性齐次⽅程()()0y P x y Q x y '''++=的两个线性⽆关的解，21,C C 是两个任意常数，则下列命题中正确的是（ c ）（A ） 2211y C y C +是微分⽅程的特解。
（B ）2211y C y C +不可能是微分⽅程的通解。
（C ）2211y C y C +是微分⽅程的通解。
（D ）2211y C y C +不是微分⽅程的解。
8．微分⽅程05))(sin(2''=+-+x y y xy y 是（ a ）A ⼀阶微分⽅程B ⼆阶微分⽅程C 可分离变量的微分⽅程D ⼀阶线性微分⽅程9．微分⽅程2y xy '=的通解为（ c ）A ．2x y e C =+B ． x y Ce =C ． 2x y Ce =D ．22x y Ce =⼆、填空题1．微分⽅程34()"30y y y y '++=的阶数为__2____；2．微分⽅程0=+y dxdy 的通解是x y ce -=； 3．微分⽅程02=+'xy y 的通解是2x y ce -=；4．微分⽅程x y y e +'=的通解是()10,0x y e C e C ++=<；5. 微分⽅程03='+''y y x 的通解为 221xC C y +=; 6. n 阶微分⽅程的通解含有__n __个独⽴的任意常数。
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2014-2015(2) 大学数学(B) 练习题
第六章
一、选择题
1. 微分方程的阶数是 ( )
()04
3='-'+''y y y x y xy A ．3 B ．2 C ．5 D ．4 2. 微分方程是（ ）
2(1)(1)0xy dx x dy +-+=A.可分离变量的微分方程 B.齐次微分方程
C.一阶线性齐次微分方程
D.一阶线性非齐次微分方程
3. 下列微分方程中，是二阶常系数齐次线性微分方程的是 ( )
A ．
B ．
02=-''y y 032=+'-''y y x y C ． D ．045=-''x y 012=+'-''y y
4. 的通解为 ( )
x e y x sin +=''-=y A ． B ．
21sin C x C x e x ++---21sin C x C x e x +++--C ． D ．
21sin C x C x e x ++--21sin C x C x e x +++-5. 函数221x c y c e +=是微分方程2y y y '''0--=的（ ）
A. 通解；
B. 特解；
C. 不是解；
D. 是解, 但既不是通解, 也不是特解.
二、填空题
1. 与微分方程t t x dt dx 2sin cos =+对应的齐次方程的通解是 .
2．已知及都是微分方程的解，则此方程的
通解为21x e y =22x xe y =0)24(42=-+'-''y x y x y ．
3．以为通解的二阶常数齐次线性微分方程为 x x e C xe C y 21+=．
4．求微分方程的一个特解时，应设特解的形式为 1222-='+''x y y =*y ．
5．求微分方程 x y y y sin 23=+'-''的一个特解时，应设特解的形式为 =*y ．
三、解答题
1.设函数是方程)()1(2x u x y +=3)1(12+=+-
'x x y y 的通解，求. )(x u 2. 求下列微分方程的通解
（1）xy dx
dy 2=； （2）； 0)1(2=++dy x xydx
（3）x
y x y y tan +='； （4）()x y y dx dy x ln ln -=． 3. 求下列一阶线性微分方程满足所给初始条件的特解 （1）83=+y dx dy ，20==x y ； （2），x e y y x -=-'24
5)0(=y ． 4. 求下列贝努利方程的通解
（1）x y x
y y ln 22=+
'； （2）012=++-'y x y y ． 5. 解微分方程0='+''y y x ． 6. 求解下列初值问题y y 3=''，1)0(=y ，2)0(='y ．
7. 已知某曲线，它的方程满足，并与曲线在点处
相切，证明此曲线方程为)(x f y =y 1)(2='+''y y y x e
y -=)1,0(x -=1．
8. 求下列方程的通解．
（1）； （2）02=-'+''y y y 02=-'+''y y ；
（3）； （4）x e x y y y 2244=+'-''x y y sin =+''.。