高数同济§3.3 泰勒(Taylor)公式
3.3泰勒公式 [兼容模式] (1)
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3.3泰勒(Taylor)公式泰勒公式的建立泰勒(Taylor) (英)1685-1731泰勒公式常用函数的麦克劳林公式多项式函数特点一、泰勒公式的建立简单函数复杂的函数近似表示:(1)易计算函数值;(2)导数仍为多项式;用怎样的多项式去逼近给定的函数误差又如何呢,)(0存在若x f 'xx x ∆+=0记xx f x f x x f ∆'≈-∆+)()()(000回想微分一次多项式在x 0附近有=)(x f ))(()()(000x x x f x f x f -'+≈,0时当x x →))(()(000x x x f x f -'+)(0x x o -+其误差是比(x –x 0)高阶的无穷小.需要解决的问题如何提高精度?如何估计误差?{不足 1. 精确度不高; 2. 误差不能定量的估计.))(()(000x x x f x f -'+)(x f ≈希望一次多项式在x 0附近用适当的高次多项式2问题(1)系数怎么定?(2)误差(如何估计)表达式是什么?nn n x x a x x a x x a a x P )()()()(002010-++-+-+= )(x f ≈nn n x x a x x a x x a a x P )()()()(0202010-++-+-+= ,)(00a x P n =f ')()(0)(0)(x f x P k k n=),(00x f a =),()(00x f x P n =又,)(10a x P n ='),()(x f x P '='又0000nk ,,2,1,0 =因为因为所以所以3.3 泰勒公式n 次多项式系数的确定),(101x a =⋅)(!202x f a ''=⋅, )(10)(x f a k k =得)(!0)(x f a n n n =⋅00n 同理代入P n (x )中得=)(x P n .)(0nx x -+ ),,2,1,0(n k =20)(x x -+)(0x f )(0x x -+)(0x f '!2)(0x f ''!)(0)(n x f n 能满足要求.有x x x f x x x f x f )(!2)())(()(200000-''+-'+阶内有在若)1(),()()(0+∈n b a x x f ,),(时则当b a x ∈二、泰勒公式导数,泰勒中值定理:nn x x n x f )(!)(00)(-++ )(x R n +10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ其中).(0之间与在x x ξ的幂展开的按称为)()(0x x x f -n 阶泰勒公式.的幂展开的按称为)()(0x x x f -n 次泰勒多项式.拉格朗日型余项1.泰勒公式就是拉格朗日中值公式200000)(!2)())(()()(x x x f x x x f x f x f -''+-'+=).(0之间与在x x ξ10)1(00)()()!1()()(!)(++-++-++n n n n x x n f x x n xf ξ n 阶泰勒公式00000000时当.2. 在泰勒公式中,故之间介于则,,0x ξ),10(<<=θθξξx 可表为这时的泰勒公式, 按x 的幂(在零点)展开的泰勒公式;带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式.,0=n ,00=x 若称为或称为f (x )的麦克劳林(Maclaurin)公式nn xn f x f x f f x f !)0(!2)0()0()0()()(2++''+'+= 1)1()!1()(++++n n x n x f θ)10(<<θ近似公式误差估计式为1||)!1(||++≤n n x n M R 带有拉格朗日型余项≈)(x f nn xn f x f x f f !)0(!2)0()0()0()(2++''+'+当不需要余项的精确表达式时,n 阶泰勒公式也可写成带有佩亚诺(Peano)0()[()]nn R x o x x =-佩亚诺型余项.的泰勒公式.称为!n 型余项0()()f x x x -称按为的幂展开的解,e )()()()(xn x f x f x f ===''=' x x e )(=的n 阶带有拉格朗日型余项麦克劳林公式.因为(P 142, 例1)三、常用函数的麦克劳林公式nn xn f x f x f f x f !)0(!2)0()0()0()()(2++''+'+= 1)1()!1()(++++n n x n x fθ)10(<<θn 阶带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式1)0()0()0()0()(===''='=n ff f f .e )()1(xn x fθθ=+代入公式=xe ).10(,)!1(e !!2112<<+++++++θθn xnx n n x x x 所以得.!!21e 2n x x x nx++++≈ xe 有的近似表达公式这时产生的误差为1)!1(e ++=n xn x n R θ1e (1)!xn xn +<+)10()!1(e !!21e 12<<++++++=+θθn xn xx n n x x x 3.3 泰勒公式(01)θ<<时当1=x ,!1!2111e n ++++≈ 得到.)!1(3+<n 其误差n R )!1(e +<n ,8=n 若取其误差8R .!93<,718279.2e ≈可算出解),,2,1,0(2πsin )()( =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n x x f n ,0)0(=f 例,1)0(='f ,0)0(=''f ,,1)0( -='''f 因为所以x x f sin )(=求的n 阶带有拉格朗日型余项麦克劳林公式.(P 143, 例2)=x sin ≈x sin .)!12()1(!5!3212153m m m R m x x x x +--+-+--- ,)!12()1(!5!312153--+-+---m x x x x m m 的麦克劳林公式为从而x sin 的多项式近似表达式为所以x sin=mR 2).10(,)!12(12<<+≤+θm xm mm m R m x x x 212153)!12()1(!5!3+--+-+--- ξ),,2,1,0(2πsin )()( =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n x x f n x θ,3x≤12)!12(]2π)12(sin[++++m x m m ,1时当=m ,001.0要使误差小于,2时当=m ,001.0要使误差小于,sin x x ≈有.1817.0<x 必须2R 误差,!3sin 3x x x -≈有4R 误差.6544.0<x 必须6,1205x ≤xy =泰勒多项式逼近xsin xy sin =泰勒多项式逼近xsin mm 2)!12(!5!3-xy =xy sin =!33xx y -=o泰勒多项式逼近xsin mm 2)!12(!5!3-xy =xy sin =!33xx y -=o!5!353xx x y +-=泰勒多项式逼近xsin mm 2)!12(!5!3-xy =!7!5!3753xx x x y -+-=xy sin =!33xx y -=!5!353xx x y +-=o泰勒多项式逼近xsin mm 2)!12(!5!3-!11!9!7!5!3119753xx x x x x y -+-+-=xy sin =o类似地, 有)!2()1(!4!21cos 242m x x x x mm -+-+-= ]π)22(cos[++m x θ,)!22(222+++m x m ).10(<<θ例.()(1),(),0.f x x R x αα=+∈=()()(1)(1)(1),n nfx n x αααα-=--++ ()(0)(1)(1),n fn ααα=--+ 解2(1)(1)12!x x x αααα-+=+++(1)(1)().!nnn x o x n ααα--+++特别，有,n =α21(1)1)1.2!n n n n n x nx x nx x --+=+++++ （二项式展开公式1,α=-当时有2311(1)(),1n n n x x x x o x x=-+-++-++ 2311().1n n x x x x o x x =++++++-1253-=x x m ⎪⎩⎪⎨⎧+++++=!!21e 2n x x x n x 常用函数的麦克劳林公式带佩氏余项),0()(→x x o n 带拉氏余项,)!1(e 1++n x x n θ)10(<<θ(P 142--144))!12()1(!5!3sin 1--++---m x x x m ),0()(2→x x o m ⎪⎩⎪⎨⎧+带佩氏余项带拉氏余项,)!12(]2π)12(sin[12++++m x m m x θ)10(<<θ)!2()1(!6!4!21cos 2642m x x x x x m m -++-+-= ⎪⎩⎪⎨⎧+),0()(12→+x x o m 带佩氏余项带拉氏余项,)!22(]2π)22(cos[22++++m x m m x θ3.3 泰勒公式),0()(→x x o n )10(<<θnx x x x x n n 132)1(32)1ln(--+-+-=+ ⎪⎩⎪⎨⎧+带佩氏余项带拉氏余项,)1)(1()1(11++++-n n n x x n θ)10(<<θ带佩氏余项2(1)(1)12!(1)(1)!n x x x n x n ααααααα-+=+++--++ ),0()(→x x o n⎧3.3 泰勒公式带拉氏余项⎪⎩⎪⎨+11(1)(1)()(1),(1)!n n n n x x n αααααθ--+--+-++ )10(<<θ例解用间接展开的方法较简便.-x )(!!21e 2n nx x o n x x x +++++= 1112----+n n n x x xx 取代用-(带佩亚诺型余项).阶麦克劳林公式展开为把n x x f x-=e )(3.3 泰勒公式=e 两端同乘x , 得).()!1()1(!2e 132n n n x x o n x x x x x +--+-+-=-- )()!1()1(!21+--+-x o n x例.()30sin cos lim sin x x x x x →-利用带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式求3.3 泰勒公式(P 144, 例3)解33sin ()3!x x x o x =-+22x 33x cos 1()2!x o x =-+()2!x o x =-+[]x x 注：两个比x 3高阶无穷小的代数和还是比x 3的高阶无穷小()30sin cos lim sin x x x x x →-则3330()3=lim x x o x x →+1=333()3x o x +=-x x x cos sin处的在求函数1423)(023-=+-+=x x x x x f 解5)1(-=-'f 8)1(=-f 263)(2-+='x x x f 一阶和三阶泰勒公式及相应的拉格朗日型余项.)()!)()(000)(x R x x k x f x f n k n k k +-=∑=3.3 泰勒公式66)(+=''x x f 6)(='''x f 0)1(=-''f 6)1(=-'''f )()1(58)(1x R x x f ++-=f (x )的一阶泰勒公式是!2)1)((21+''=x f R ξ2)1(!2)1(6++=x ξ其中.)1(之间与介于x -ξ三阶泰勒公式是.0)(3≡x R )()1()1(58)(33x R x x x f ++++-=)0)(()4(=x f 因。
第三节、泰勒公式
一、泰勒（Taylor）定理
定理1(Taylor中值定理)
设函数f ( x)在x0处n阶可导,则
f (x)
f (x0 )
f ( x0 )( x x0 )
f
( x0 2！
)
(x
x0 )2
f
n( x0 n！
)
(x
x0 )n
o(( x
x0
)n )
f (x)
f (0)
f (0)x
f (0) x2 2!
...
f (2m1) (0) x 2m1 (2m 1)!
f (2m) (0) x 2m (2m)!
R2m ( x).
sin x
x
x3 3!
x5！5 (1)m1
(2xm2m11)！
f (2) 3(2)2 4(2) 3 23. f (2) 6(2) 4 12 4 16.
f (2) 6. f (4) ( ) 0.
f ( x) 26 23( x 2) 8( x 2)2 ( x 2)3
x2 x x x 2 ln 2 o( x 2 )( x 0).
例3、设f ( x)在[a, b]上满足f ( x) 0, 证明:
对任意的x1 , x2 [a, b], 都有
证明
f
(
1 3
x1
2 3
x2 )
1 3
f ( x1 )
2 3
f ( x2 ).
令
:
x0
taylor公式及其应用
taylor公式及其应用Taylor公式是数学中的一个重要理论，它是将某个函数在某点附近展开成无限项的多项式，并且可以用于各个数学领域中的求解问题。
下面我们将对Taylor公式及其应用进行详细介绍。
一、Taylor公式的定义Taylor公式是将一个函数在某一点附近展开成一个无限项的多项式的表达式。
它的一般形式为：f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n其中f(x)表示原函数，x表示自变量的值，a表示展开中心，f^{(n)}(a)表示在a点处的n阶导数，n!表示n的阶乘，(x-a)^n表示自变量与展开中心的差的n次方。
二、Taylor公式的应用1. 函数求导很多函数的求导运算可以通过Taylor公式来解决。
比如f(x)的导函数为f'(x)，那么可以通过Taylor公式展开f(x)，然后求导得到f'(x)的表达式。
2. 函数逼近Taylor公式可以用于对函数进行逼近，在某一点附近用一条直线或曲线去逼近函数的值。
这个近似值可以用来进行数值计算，比如在数值方法中应用广泛。
3. 函数的错误估计Taylor公式中每一项的误差都会随着项数的增加而逐渐减小。
因此，可以通过Taylor公式来估计某个函数的误差范围，从而优化数值计算的结果。
4. 求函数值通过Taylor公式展开，可以用少量的计算得到特定点的函数值。
这在某些数值计算领域中非常有用，比如计算机图形学中的三维曲面绘制。
5. 解微积分方程在微积分领域中，有很多微积分方程难以用解析法求解。
而Taylor公式可以通过展开式子，求取高阶导数来求解微积分方程。
以上就是Taylor公式及其应用的详细介绍。
在数学领域中，Taylor公式的应用非常广泛，具有较高的实用性和理论性。
高数上3.3 泰勒公式
f ( x) f ( x0 ) f '( x0 )( x x0 )
f
(n)
(x 0
)
(x
x
)n
R
(x)
n!
0
n
用类似的证明方法，我们可以证得另外一种带有 皮亚诺余项的泰勒公式.
设 f (x (n) ) 存在，则 0
f ( x) f ( x0 ) f '( x0 )( x x0 )
例 2 求 f ( x) e x 的 n 阶麦克劳林公式.
解 f ( x) f ( x) f (n)( x) e x ,
f (0) f (0) f (0) f (n)(0) 1,
注意到 f ( (n1) x) e x 代入泰勒公式， 得
e
x
1
x
x2 2!
xn n!
ex (n 1)!
但这种近似等式存在明显不足, 首先是精度 不高,误差会比较大，其次是误差无法估计.
能否用其它较简单的曲线函数来近似替代 复杂的连续函数f(x)呢？
事实上多项式函数
Pn (x) a0 a1x a2 x2 an xn
是一种处处连续可导分析性质很好的函数， 在n>1时，它是一条连续的曲线函数。 因此在讨论较复杂的连续函数f(x)在某一个 邻域内的分析性质时，经常用多项式函数来 近似代替较复杂的连续函数。
f
(5)
(
)
6
2
.
例1 写出函数 f ( x) x3ln x 在 x0 1 处的四阶
泰勒公式.
解
f
(4) ( x)
6 x
,
f (4)(1) 6,
f
(5)(
x)
6 x2
(同济大学)高等数学课件D3_3泰勒
4 3x
1( 9 n) o( x 2 n1 n1 x2 ) ( 1) 16 (1 x) 9 x 原式 lim 2 32 (n x0 1) ! x2
(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为 可见
f ( ) ( x x0 ) 2 f (x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) 2!
( 在 x0 与 x 之间)
df
返回 结束
误差
( 在 x0 与 x 之间)
机动 目录 上页 下页
在泰勒公式中若取 x0 0 , x (0 1) , 则有 f (0) 2 f ( n ) (0) n x x f (0) f (0) x 2! n!
其中 R2 m ( x)
sin() m x 2 x ) 2 m1 (1 cos(m 1 ) 2 (0 1) x (2m 1) !
机动
目录
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下页返回结束 Nhomakorabea类似可得
x2 x4 x 2m cos x 1 (1) m R2m1 ( x) 2! 4! ( 2 m) !
其中 Rn (x)
( 1)( n)
(n 1) !
(1 x) n1 x n1
(0 1)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
已知 f 类似可得
(k )
( x) (1)
k 1
(k 1)! (k 1, 2 ,) k (1 x)
x 2 x3 xn ln(1 x) x (1) n 1 Rn (x) 2 3 n
其中
(1) m1 cos( x) 2 m 2 R2m1 ( x) x (2m 2) !
同济大学高等数学7.泰勒公式
注意到 f (n1) ( ) e 代入公式,得
ex 1 x x2 xn e xn1
2!
n! (n 1)!
(在x与0之间).
由公式可知
ex 1 x x2 xn
2!
n!
估计误差 (设 x 0)
Rn (x)
e xn1 (n 1)!
ex xn1(0
(n 1)!
x).
取x 1, e 1 1 1 1
于是(i) Rn (x)与f (x)有相同的连续性,可导性;
(ii )
Rn (x0 )
Rn (x0) Rn(x0)
R(n) n
(
x0
)
0.
lim x x0
Rn (x) (x x0 )n
lim
x x0
Rn (x) n(x x0 )n1
lim
Rn( x)
xx0 n(n 1)( x x0 )n2
a2.
P2 (x)
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2
)
(
x
x0
)
2
P2(x)近似f (x)的误差:
f
(x) P2 (x) (x x0 )2
0
(x x0 )
f (x)
f
(x0 )
f (x0 )(x x0 )
f
(x0 2
)
(
x
x0
)2
o(x x0 )2.
)
f
(x2 )
2
2
证：不妨设 x1
x2 ,记
x0
x1
x2 2
,有
f (x)
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
泰勒(Taylor)公式
第三节 泰勒（Taylor ）公式一、泰勒（Taylor ）公式回忆：利用函数)(x f y =的微分来近似表示函数的增量，即x x f dy y ∆⋅=≈∆)(0/或为)()()()(00/0x x x f x f x f -⋅+≈；当0x x x -=∆相当小时，)(x f 可以用（0x x -）一次式)()()()(00/01x x x f x f x P -⋅+=来近似表示，且满足)()(010x P x f =、)()(0/10/x P x f = 其误差为)(00x x -；)(x f 可以用（0x x -）二次式200//00/02)(2)()()()()(x x x f x x x f x f x P -+-⋅+=来近似表示，且满足)()(020x P x f =、)()(0/20/x P x f =、)()(0//20//x P x f =其误差为))((020x x -。
更一般地,设函数 )(x f 有)1(+n 导数，)(x f 可以用（0x x -）的一个n 次多项式n n n x x a x x a x x a a x P )(...)()()(0202010-++-+-+=来近似表示, 且满足)()(00x P x f n =，)()(0/0/x P x f n =，……，)()(0)(0)(x P x f n n n =,其误差为))((00n x x -。
可以求出!)(0)(k x f a k k =),...,2,1,0(n k =，从而有： !)(......)(2)()()()()(0)(200//00/0n x f x x x f x x x f x f x P n n ++-+-⋅+=泰勒（Taylor ）中值定理：设函数)(x f 在含有0x 的某个开区间),(b a 内具有)1(+n 阶导数，则当),(b a x ∈时，)(x f 可以表示为（0x x -）的一个n 次多项式与一个余项)(x R n 之和，即：)()(!)(...)(2)())(()()(00)(200//00/0x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +-++-+-+=，其中10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ，而ξ界于x 与0x 之间。
同济大学高等数学第六版上册第三章第三节Taylor泰勒公式
f (k) (0) = α (α −1)L(α − k +1) (k = 1, 2,L)
∴
(1 +
x)α
=1
+α
x+
α (α −1)
2!
x2
+L
+ α (α −1)L(α − n +1)
n!
xn + Rn (x)
其中
Rn (x)
=
α (α
−1)L(α
(n +1) !
−
n) (1+θ
x)α −n−1 xn+1
n +1 (1+θ x)n+1
(0 < θ < 1)
麦克劳林(Maclaurin)公式
f (x) =
f (0) +
f ′(0)x +
f ′′(0) x2 2!
+L+
f (n) (0) xn n!
+ f (n+1) (θx) xn+1
(n + 1)!
(0 < θ < 1)
f (x) =
f (0) +
注意到
f
θ( x) = e (n+1)
θx
代入公式,得
ex
=
1+
x
+
x2 2!
+L+
xn n!
+
eθ x
x n+1
(n + 1)!
(0 < θ < 1).
例. 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过 10−6.
解: 已知 ex 的麦克劳林公式为
泰勒公式详解
2.取 x0 0, 在0与 x之间,令 x
则余项
Rn ( x)
f (n1) (x) x n1
(n 1)!
(0 1)
3.带皮亚诺型余项的泰勒定理条件比带拉格朗
日型余项的弱，前者只需n阶导数存在.
注意 f(n 1)(x 到 )ex 代入公式,得
e x 1 x x 2 x ne x x n 1 ( 0 1 ). 2 ! n !(n 1 )!
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由公式可知
ex1xx2 xn 2! n!
估计误差 (设x0)
R n (x )(n e x 1 ) !(n e x 1 )x !n 1(0 1 ).
1 2
.
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例4 若函 f(x数 )在 [0,1]上二阶 ,且f可 (0)微
f(1),f(x)1,证:明 f(x)1 (x[0,1]) 2
证 设 x0[0,1]在 , x0处把 f(x)展成一阶泰 ,有勒
f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 )x (x 0 ) 1 2 f ()x (x 0 ) 2
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思 ex1xx2x3o(x3)
考
2! 3!
题 sin xxx3o(x3)
解 答
3!
lx im 0exsinxx 3x(1x)
lx i0m 1xx 2 !2x 3 !3o(x3) x 3 xx 3 !3o(x3) x(1x)
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五、小结
1.Taylor公 式 在 近 似 计 算 中 的 应 用 ;
3.3 Taylor(泰勒)定理
x0 )n1 . (
在
x0
与
x
之间)
13
3.3 Taylor定理
定理 3.8 设函数 f 在 x0 的某邻域 N ( x0 ) 内具有 n 1阶导
数，则对 x N ( x0 ) ，有
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )(x x0 )
f
( 2
x0 !
)
(
x
x0
)2
f
(n) ( x0 ) n!
(k 1)! (1 x)k
，
故 ak
f (k ) (0) (1)k1 (k 1)! (1)k1
k!
k!
k
(k 1,2, , n) ，
ln(1 x) x x 2 x 3 x4 (1)n1 x n o( x n ) ，
234
n
9
3.3 Taylor定理
（3） f ( x) sin x ∵ f (n)( x) sin( x n ) ，
f ( x0 )( x x0 )
f
(n)( x0 n!
)
(
x
x0
)n
],
Rn( x) f ( x) Pn( x) 在 (a, b) 内具有直到 (n 1) 阶的导数，且
Rn ( x0 ) 0 ， Rn ( x0 ) 0 ， Rn( x0 ) 0 ，…， Rn(n) ( x0 ) 0 由洛必达法则知 lim Rn ( x) lim Rn ( x)
f 在 x0 处带有 Peano 余项的 n 阶 Taylor 公式。
特别地，称在 x0 0 的泰勒公式为 Maclaurin(麦克劳林)公式:
f ( x) f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn o( xn )
高等数学 第三节 泰勒(Taylor)公式
例 3 . 求 sin x 的 Maclaurin 展开式 .
解.
D n sin x sin x cos x sin x cos x sin x
D n sin x 0 1 0 1 0
x 0
sin x 0 1 x 0 x 2 1 x 3 0 x 4 1 x 5 4! 2! 3! 5!
D n f ( x0 )
56
21
24 x 30 24 0 f x 56 21 ( x 4) 74 ( x 4)2 2! 66 ( x 4)3 24 ( x 4)4 3! 4!
74 66 24
( 余项 Rn 0 .)
56 21( x 4) 37 ( x 4)2 11( x 4)3 ( x 4)4 .
称 pn ( x ) 为 f ( x ) 的 Taylor 多项式 , 或 Taylor 展开式 . *
1
余项 :
Rn ( x ) f ( x ) pn ( x )
应用 Cauchy 定理和罗彼塔法则可推出余项的两个重要形式 :
f ( n 1) ( ) Rn ( x ) ( x x0 )n 1. ( 介于 x0 与 x 之间 .) ( n 1)! 称为 Taylor 公式的拉格朗日(Lagrange) 余项 .
第三节
泰勒(Taylor)公式
P 137
设 f ( x ) 在 U ( x0 ) 内有 n 1 阶导数 . pn ( x ) a0 a1( x x0 ) a2 ( x x0 )2 an ( x x0 )n . 为了能用 n 次多项式 pn ( x ) 近似代替 f ( x ) , 我们规定 :
高等数学同济7版精品智能课件-第3章-第3节-泰勒公式
第三节 泰勒公式
于是提出如下的问题：
设函数 f (x) 在含有 x0 的开区间内具有直到 (n + 1) 阶导数，试找出一个关于 (x – x0) 的 n 次多项式
pn (x) a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )2 an (x x0 )n 来近似表达 f (x)，要求
f (x) pn (x) o((x x0 )n ) ,
第三节 泰勒公式
一、泰勒中值定理 二、几个初等函数的麦克劳林公式 三、泰勒公式的应用
第三节 泰勒公式
一、泰勒中值定理
1. 问题的提出
在微分的应用中已经知道，当 |x – x0| 很小时，有近 似计算公式
f (x) f (x0) + f (x0)(x – x0) . 在上述近似计算公式的右边是一个 x – x0 的一次多 项式，因此其实质是用一个一次多项式来表达一个较 复杂的函数. 这种近似表达存在以下不足之处：
x0
)n
.
n 阶泰勒多项式
下面的定理将证明该多项式的确是所要找的 n 次多 项式.
第三节 泰勒公式
2. 泰勒(Taylor)中值定理
泰勒中值定理 如果函数 f (x) 在含有 x0 的某个开
区间 (a , b) 内具有直到 n + 1 阶的导数，则对任一 x
(a
,
b)
，有
f
(x)
f
(x0 )
f
所以
f (k) (0) 1 (k 0 , 1, 2 , , n).
例2 求出函数 f (x) = sin x 的 n 阶麦克劳林公式..
于是解可ex 得因1为sxinfx1(n)x(x2x)31!sxin3 1x51x!nxn5
高等数学《中值定理-泰勒》课件
3x 4 2
1
3 4
x
2
1
1 2
(
3 4
x)
21!
1 2
(
1 2
1)
(
3 4
x)2
o(
x2
)
2
3 4
x
1 4
9 16
x2
o( x2 )
4 3x
2
3 4
x
1 4
196
x2
o( x2 )
原式
lim
x0
1 2
9 16
x2
o(
x2
)
x2
9 32
例7 证明
证明
1
1 x (1 x)2
1 x 1 1 (1 1)x2 2 2! 2 2
使其精确到0.005,试确定 x 的适用范围.
解 近似公式的误差
R3(x)
x4 cos( x)
4!
x4 24
令
x 4 0.005
24
解得 x 0.588
即当 x 0.588 时,由给定的近似公式计算的结果
能准确到 0.005 .
例6 求
用洛必塔法则
解 用泰勒公式将分子展到 x2 项,由于 不方便 !
由f（x）、Pn（x）的性质知，Rn（x）在（a ，b）内
有直至（n+1）阶的导数，且有
Rn(n1) (x) f (n1) (x)
而 Rn (x0) Rn(x0) Rn(n) (x0) 0
对于函数Rn（x）与（x－x0）n+1在以 x0、x 为端 点的区间上，应用柯西中值定理，则有
பைடு நூலகம்(x
x
x0
n1
§3.3 泰勒(Taylor)级数展开
定理（泰勒定理）：
设 f z 在以z0为圆心 的圆域CR内解析，f z 可 展开为幂级数 z R1
CR
R
z0 CR1
f z a
k 0
k
z z0
k
其中
1 ak 2 i
z
CR1 0
f
k 1
d
f
k
z0
k!
又
z z0 t 1 z0
z z0 1 1 ( z z0 ) ( z0 ) k 0 z0
k
z z0 1 1 1 k 1 ( z z ) z z0 1 0 k 0 z0 z0
f ( z ) ak ( z z0 )
k 0
k
初等函数幂级数展开式举例： 例1 ： 解：
f z ez 在复平面上解析
f
z
f z ez 在z=0处
k
k!
0
2
z z z e 1 z 2! 3! k ! k
3
1 k!
k
z k 0 k !
1 解： f ( z) 有一个奇点 1, 2 (1 z ) 从而 R 0 (1) 1 1 由： 1 z z 2 ... z n ... z 1 1 z 1 1 可知： 1 z z 2 ... (1)n z n ... 1 z 1 ( z )
e e sin z 2i
iz
iz
k k iz iz 1 2i k ! k 0 k ! k 0
高数微积分泰勒公式
当对余项要求不高时, 可用Peano型余项
f(x ) k n 0f(k k )( !x 0 )(x x 0 )k o [x ( x 0 )n ]
称 为 f(x)按(xx0)的 幂 展带开 有P的 eano型余项 的n阶泰勒公式. 书上P209定理3.8
f(x ) f(x 00 ) f(x 00 )x ( x 00 ) f2 ( ! x 00 )(x x 00 ) 2
当xx0时,其误差(x是 x0比 )高阶的无 . 穷
以直代曲 如 当| x| 很小时, ex 1x, ln1(x)x（. 如下图）
y y ex
y
yx
y1x O
xO
yln 1 (x)
x
一次多项式
f(x 0)f(x 0)x (x 0) f (x)
不足 1. 精确度不高；2. 误差不能定量的估计.
希需望要解在 Pn决x(0x附 的) 问近a用题0 适 a当如如1 (的何何x 高提估x次高计0 )多精误 a项度差2 (式x?? x0 )2
同理 2!a2f(x0)L L ,n!anf(n)(x0)
得 akk1!f(k)(x0)(k 0 ,1 ,2 ,L ,n )代入 Pn(x)中得
Pn(x)f (x0) f(x0)(xx 0)f 2(!x0 ) (xx0)2
L f (n ) ( x
n!
0
)
(x x 0 )n
Pn(x)f(x0)f(x0)(xx0)f2 (!x0)(xx0)2 Lf(nn )(!x0)(xx0)n
设xx0, Rn(x),(x)在 [x0,x]上 连 , 续
在 (x 0,x )内,可 且 (x )导 0 .用1次 柯西定理
Rn(x) (x)
Rn(x) Rn(x0)
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即 y f ( x0 )x, 令： x x x0 , 则
f ( x x0 ), 误差为 o(| x x0 |) .
上式表明函数 f (x)在 x0的附近可用一个线性函数来近似。 且当 | x x 0 |很小时， 误差
位于 x 与 1之间。
2 cos x 3 例 3 计算 lim . 4 x0 x 1 4 x 2 解 e 1 x x o( x 4 ) 2! x2 x4 5 cos x 1 o( x ) 2! 4! 1 1 4 x e 2 cos x 3 ( 2 ) x o( x 4 ) 2! 4! e
1 1 取x 1, e 1 1 2! n!
其误差
e 3 Rn . ( n 1)! ( n 1)!
思考：e –x=?
ex x2 ( x ) n 1 x 2! n!
常用函数的麦克劳林公式
x3 x5 x 2 n1 sin x x ( 1) n o( x 2 n 2 ) 3! 5! ( 2n 1)! x2 x4 x6 x 2n cos x 1 ( 1) n o( x 2 n ) 2! 4! 6! ( 2n)! x x x ln(1 x ) x ( 1) o( x ) 2 3 n1 1 2 n n 1 x x x o( x ) 1 x m ( m 1) 2 m (1 x ) 1 mx x 2! m ( m 1)( m n 1) n x o( x n ) n!
假设
Pn( k ) ( x0 ) f ( k ) ( x0 ) k 0,1,2, , n
a0 f ( x0 ),
n
1 a1 f ( x0 ),
(n) 0
2!a 2 f ( x0 )
, n!a f ( x ) 1 (k ) 得 ak f ( x0 ) ( k 0,1,2,, n) k!
导数,且
( Rn ( x 0 ) Rn ( x 0 ) Rn( x 0 ) Rnn ) ( x 0 ) 0
两函数 Rn ( x ) 及 ( x x0 ) 中值定理的条件,得
n1
在[ x0 , x ]上满足柯西
Rn ( x ) Rn ( x ) Rn ( x0 ) n1 ( x x0 ) ( x x0 ) n 1 0 Rn (1 ) ( n 1)(1 x0 )n (1在x0与x之间)
1.若在 x0 点相交
y
y f ( x)
Pn ( x0 ) f ( x0 )
2.若有相同的切线
Pn( x0 ) f ( x0 )
3.若弯曲方向相同
Pn( x0 ) f ( x0 )
o
x0
x
Pn ( x ) a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 )2 an ( x x0 )n
拉格朗日形式的余项
f ( n 1) ( ) Rn ( x ) ( x x0 ) n 1 n 1 ! M | x x |n 1 0 n 1 !
即 Rn ( x ) o[( x x0 ) ].
n
皮亚诺形式的余项
f ( x)
k 0
n
f ( k ) ( x0 ) k n ( x x0 ) o[( x x0 ) ] k!
2.取 x 0 0 , 在0 与 x 之间,令 x 则余项
(0 1) f ( n 1) (x ) n 1 Rn ( x ) x ( n 1)!
f ( x ) 按( x x0 )的幂展开的 n 阶泰勒公式：
f ( k ) ( x0 ) f ( x) ( x x 0 ) k Rn ( x ) k 0 k!
f ( x0 ) Pn ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2! f ( n ) ( x0 ) ( x x0 ) n n!
代入 Pn ( x ) 中得
三、泰勒(Taylor)中值定理
泰勒(Taylor)中值定理 如果函数 f ( x ) 在含有 x0 的某个开区间 ( a , b ) 内具有直到 ( n 1) 阶的导数,则 当 x 在 ( a , b ) 内时, f ( x ) 可以表示为 ( x x 0 ) 的一个 n次多项式与一个余项 Rn ( x ) 之和: f ( x0 ) f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2! f ( n ) ( x0 ) ( x x0 )n Rn ( x ) n! f ( n1) ( ) ( x x0 )n1 ( 在 x0 与 x 之间). 其中 Rn ( x )
f ( x0 ) f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2! f ( n ) ( x0 ) ( x x0 )n Rn ( x ) n!
(0 1)
一、问题的提出 在微分中我们讲过，当 | x |很小时， y dy o( x ),
( x ) | x 1 ( 1)
( n 1)! xn
l n x ( x 1) ( 1) n1
1 1 1 ( x 1) 2 ( x 1) 3 ( x 1) 4 2 3 4 1 ( 1) n 1 n ( x 1) ( x 1) n1 n n 1 n1
2 3 n1 n n1
n . 例2 将 f ( x) ln x在x0 1处展开成 阶泰勒公式
解： f ( x )
x 1
0,
1 x
2
f ( x ) | x 1
x 1 n1
1 | x 1 1 x
直接展开法
f ( x ) | x 1 f
( n)
1 , , | x 1 ( 1) n1 ( n 1)!
如此下去,经过( n 1) 次后,得
( Rn ( x ) Rnn1) ( ) n 1 n 1! ( x x0 ) (在x0与 n之间 ,也在 x 0 与x 之间)
Pn( n1) ( x ) 0,
则由上式得
R
( n 1 ) n
( x) f
( n 1 )
§3.3 泰勒(Taylor)公式
0 问题的提出 0 泰勒中值定理 0 简单应用 P139
f ( x ) f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 ) x. f ( x) f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 x) x.
( x ) 及( n 1)( x x0 ) n 在[ x0 , 1 ]上也满 而两函数 Rn
足柯西中值定理的条件,得
Rn (1 ) Rn (1 ) Rn ( x0 ) n ( n 1)(1 x0 ) ( n 1)(1 x0 )n 0 Rn( 2 ) n( n 1)( 2 x0 )n1 ( 2在x0与1之间)
( x)
f ( n1) ( ) Rn ( x ) ( x x0 )n1 (在x0与x之间) n 1!
f ( k ) ( x0 ) Pn ( x ) ( x x0 ) k k 0 k! 称为 f ( x ) 按 (x x ) 的幂展开的 n 次近似多项式
n
0
f ( k ) ( x0 ) f ( x) ( x x 0 ) k Rn ( x ) k 0 k! 称为 f ( x ) 按( x x0 )的幂展开的 n 阶泰勒公式
2.麦克劳林(Maclaurin)公式—Talyor公式特例 (n)
四、Talyor公式简单的应用
n 例 1 求 f ( x ) e 的 阶麦克劳林公式,并估计误差.
x
解
f ( x ) f ( x ) f ( n ) ( x ) e x , f (0) f (0) f (0) f ( n ) (0) 1
( n 1)!
即 : f ( x ) Pn ( x ) Rn ( x )
f ( n1) ( ) n 1 ( x x0 ) Rn ( x ) f ( x ) Pn ( x ) Rn ( x ) ( n 1)! 证明: 由假设, Rn ( x ) 在(a , b ) 内具有直到( n 1) 阶
ye
y ex
x
y x
y ln(1 x )
y 1 x
o o
不足: 1、精确度不高； 2、误差不能估计.
问题: 寻找函数 P ( x ) ,使得 f ( x ) P ( x )
误差 R( x ) f ( x ) P ( x ) 可估计
设函数 f ( x ) 在含有 x 0 的开区间( a , b ) 内具有直到
( n 1) 阶导数, P ( x ) 为多项式函数
Pn ( x ) a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 )2 an ( x x0 )n
误差 Rn ( x ) f ( x ) Pn ( x )
二、 Pn 和 Rn 的确定
分析:
近 似 程 度 越 来 越 好
n
f ( n1) ( ) Rn ( x ) ( x x0 )n1 (在x0与x之间) n 1!
f (0) 2 f ( 0) n f ( x ) f ( 0 ) f ( 0 ) x x x 2! n! f ( n 1) (x ) n 1 x (0 1) ( n 1)! f (0) 2 f ( n ) ( 0) n 或 f ( x ) f ( 0 ) f ( 0 ) x x x 2! n! O( x n )