高考专题高中数学微课题研究性精品教程专题4.12：向量中求模和夹角取值范围问题研究与拓展.docx

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专题4.12：向量中求模和夹角取值范围问题研究与拓展
【探究拓展】
探究1：若平面向量α,β满足|α|=1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积 为
1
2
，则α与β的夹角θ的取值范围是 ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ππ656， 探究2：已知平面向量α，β （α≠ 0，α≠β ）满足|β |=1，且α与β- α的夹角为120°，则|a | 的取值范围是
⎥⎦
⎤
⎝⎛3320， 设x =α，y =-αβ，由余弦定理可知：
2
1
2122=-+xy y x ，要求x =α的取值范围， 则将方程视为以y 为主元的一元二次方程，由判别式可得⎥⎦⎤ ⎝⎛
3320，
或解：正弦定理也可以建立边和角的不等关系，从而求出结果⎥⎦
⎤ ⎝⎛3320，
变式1：已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足0)()(=-⋅-c b c a ,则c 的最大值是___________ 函数方程的思想，和引例2方法一致 2
变式2：设向量a ,b ,c 满足|a |=|b |=1,a · b =12
-
,<a -c ,b -c >=600
,则|c |的最大值为 . 2 识：利用四点共圆的结论完成该题，|c |的最大值即为圆的直径
变式3：已知向量a ，b ，满足1a =，0)2)((=-+b a b a ，则b 的最小值为 ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，
探究3：已知ABC ∆，若对任意R t ∈，AC BC t BA ≥-，则ABC ∆为_______三角形.（在锐角、直角、钝角中选择一个填写）直角
变式1：已知ABC ∆，若对任意R t ∈，BA BC t BA ≥-，则ABC ∆为______三角形 （在锐角、直角、钝角中选择一个填写） 直角
变式2：已知ABC ∆，若对任意R t ∈，BC BA BC t BA 2-≥-，则ABC ∆为______三角形（在锐角、直角、钝角中选择一个填写） 钝角
变式3：已知ABC ∆，若对任意R t ∈，BC BC t BA ≥-，则ABC ∆中哪一边最短？BC
变式4：已知ABC ∆，若对任意R t ∈，BC BA BC t BA 2
1
-≥-，则A C B ∠的取值范围是_________ 锐角
变式5：（2012年华约）向量e a ≠，1=e ，若对任意的R t ∈，e a e t a +≥-，则________.（填满足条件的序号）（1）e a ⊥；（2）)(a e a +⊥；（3）)(a e e +⊥ （4）)()(a e e a +⊥- 3
拓展1：在平面上，12AB AB ⊥，121OB OB ==，12AP AB AB =+. 若1
2
OP <，则OA 的取值范围是____________.7,22⎛⎤
⎥ ⎝⎦
解法1（特殊化）：设1(1,0)B =，()2cos ,sin B θθ=，(1,sin )A θ；
由12AP AB AB =
+可知P 点在x 轴上，当1
2
OP <时，可知()60,120θ︒︒∈.
则
OA 27
1sin (
,2]2
θ=+∈. 解法2（一般化）：设1(1,0)B =，()2cos ,sin B θθ=，(,)A x y ； 由12AB AB ⊥得到()()1,cos ,sin 0x y x y θθ-⋅--=，化简得：
22cos sin cos x y x x y θθθ+=++- (*)；
又由12AP AB AB =+得到：()1cos ,sin P x y θθ-+-.
由12OP <得到：221
0222cos 2cos 2sin 4
x x x y y θθθ≤+--++-<； 将(*)式代入到上式中，得到221024
x y ≤--<，即227
24x y <+≤.
因此，7
(
,2]2
OA ∈.
解法3（更一般化）：设1(cos ,sin )B αα=，()2cos ,sin B ββ=，(,)A x y ； 由12AB AB ⊥得到()()cos ,sin cos ,sin 0x y x y ααββ--⋅--=，化简得：
()()()22cos cos sin sin cos x y x y αβαβαβ+=+++--；
又由12AP AB AB =+得到：()cos cos ,sin sin P x y αβαβ+-+-.
12OP <
得：()()()221
02[1cos cos sin sin cos ]4
x y x y αβαβαβ≤-+-++-++<； 即有()
221
024
x y ≤-+<，得7(,2]2OA ∈.
拓展2：已知ABC ∆中，AB AC ⊥，||2AB AC -=，点M 是线段BC （含端点）上的一 点，且()1AM AB AC ⋅+=，则||AM 的取值范围是___________.
解：由于点M 是线段BC （含端点）上的一点，故可设=(1)AM AB AC λλ+-，其中01λ≤≤；那么
()(1)()
AM AB AC AB AC AB AC λλ⎡⎤⋅+=+-⋅+⎣⎦ ()22
1AB AC AB AC λλ=+-+⋅，又AB AC ⊥0AB AC ⇔⋅=
则()AM AB AC ⋅+()2
2
1AB AC
λλ=+-(
)
()2
2
41AC
AC λλ=-+-
()2
412AC λλ=+-，
得到()2
4121AC λλ+-=，即有()
2
1412AC λ
λ-=
-；
又()2
0,4AC ∈，可计算得到3,14λ⎛⎤∈
⎥⎝⎦
； ()
2
(1)AM AB AC λλ=
+-2
2
22(1)AB AC λλ=+-
2
2
2
2
4(1)AC
λλλ⎡⎤=+--⎣⎦2441λλ=-+21λ=-;
由3,14λ⎛⎤∈
⎥⎝⎦得到||AM 1,12⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
. 另解：建立如图所示的直角坐标系，由AB AC ⊥可知，点A 在以BC 为直径的圆周上，设()cos ,sin A θθ，0,
2πθ⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
；()[],0,0,1M t t ∈； 由()1AM AB AC ⋅+=得到：()()2cos ,sin cos ,sin 1t θθθθ-⋅--=；
即有：
1
2cos
t
θ
=；由0,
2
π
θ⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭
得到()
cos0,1
θ∈，
11
2cos2
t
θ
=>，则有
1
,1
2
t
⎛⎤
∈ ⎥
⎝⎦
.
拓展3：已知圆O：221
x y
+=，O为坐标原点，若正方形ABCD的一边AB为圆O 的一条弦，则线段OC 长度的最大值为
解：设
00
(1,0),(,),(,)
A B x y C x y，则由BD AC
⊥得到：
00
1
(1,)(,)0
22
x y
x y x y
+
-⋅--=，化简得到：
22
000
()()2(1).
x x y y x
-+-=-即
2(1)
BC x
=-.
那么要求OC范围，只要在△OBC中利用余弦定理，又cos sin
OBC OBA
∠=-∠，计算得到0
1
2
OA
x
d
+
=，则
()2
022
00
121
1
cos12(1)21
222(1)
x OC
x
OBC OC x x
x
+--
+
∠=-=⇔=+-+-
-
，
令
cos
xθ
=，即232cos2sin[322,322],
OCθθ
=-+∈-+亦即[21,21]
OC∈-+.
【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？。