等差数列与等比数列的判断与证明以及构造数列2018年高考数学备考之百强校大题狂练.doc

2018 届高考数学大题狂练
第一篇数列专题02 等差数列与等比数列的判断与证明（以及构造数列）一、解答题
1．已知数列是等差数列，其首项为，且公差为
（）求证：数列是等比数列．
（）设，求数列的前项和．
，若．
【答案】（1）见解析；（ 2）
∴，
∴，
∴，
又，
∴数列是首项为4，公比为（）解：由（ 1）知
∴4 的等比数列．
，
．
2．设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，a 1＝ 1，且对任意正整数
n ，点 ( a n ＋ 1， S n ) 在直线 2x ＋ y － 2＝ 0 上 .
(1) 求数列 { a n } 的通项公式；
(2) 是否存在实数 λ，使得数列 S n n
为等差数列？若存在，求出 λ 的值；若不存在，请说明理
n 2
由 .
1 n 1
【答案】（1） a n
（ 2） λ＝2
2
求出 λ＝ 2, 经检验 λ＝ 2 时 , 此数列的通项公式是关于 n 的一次函数 , 故满足数列为等差数列
, 从而得出结
论 .
试题解析： (1) 由题意，可得 2a ＋1＋ S － 2＝0. ①
n
n
当 ≥2时， 2
n
＋
n － 1
－ 2＝0. ②
n
a
S
①－②，得 2
a n ＋1
－ 2 n ＋ n
＝ 0，所以
＝ (
n ≥2).
a a
因为 a 1＝ 1， 2a 2＋ a 1＝ 2，所以 a 2＝ . 所以 { a } 是首项为 1，公比为 的等比数列 .
n
所以数列 { a n } 的通项公式为 a n ＝
.
n
＝2－.
(2) 由(1) 知， S ＝
若
为等差数列，则 S 1＋λ＋ ， S 2＋ 2λ＋
， S 3＋ 3λ＋ 成等差数列，则 2
＝ S 1＋ ＋
3
＋
，即 2
＝ 1＋
＋ ＋ ，
S
解得 λ＝2. 又 λ＝2 时， S n ＋2n ＋ ＝ 2n ＋ 2，
显然 {2 n ＋2} 成等差数列，故存在实数
λ＝ 2，
使得数列 { S n＋λn＋} 成等差数列 .
3．已知数列的前项和（为正整数）．
（ 1）求证：为等差数列；
（ 2）求数列的前项和公式．
【答案】 (1) 见解析 (2)
【解析】【试题分析】( I ) 利用, 可求得, 即证明了数列为等差数列.( II ) 由 ( I ) 求得的表达式,并利用错位相减求和法求其前项和.
所以是以为首项，为公差的等差数列
（方法二）当时，解得
，设，则，
当时，有
代入得
整理得
所以即是以为首项，为公差的等差数列
（ 2）由（ 1）得，
依题意①
上式两边同乘以，得②
①- ②得，
所以
4．设为数列的前项和，已知，. （ 1）证明：为等比数列；
（2）求 .
【答案】 (1) 见解析；（ 2）.
（ 1）证明：∵，，∴，
∴，∴，
则，
∴是首项为2，公比为 2 的等比数列 .
（ 2）解：由（1）知，，则.
∴.
5．已知数列a n 的前 n 项和为 S n, 满足 S n 2a n 1 ( n N *),数列b n 满足nb n 1 n 1 b n n n 1 (n N*),且b1 1
（ 1）证明数列b n
为等差数列 , 并求数列a n 和 b n的通项公式; n
（ 2）若c n 1 n 1
4 n 1
, 求数列c n 的前 n 项和 T2n;
3 2log 2 a n 3 2log 2 a n 1
（ 3）若d n a n b n,数列 d n的前n项和为D n,对任意的n N *,都有 D n nS n a ,求实数 a 的取值范围 .
【答案】（1）a n2n 1，b n n2；（2）11
；（3）a0
3 4n 3
代入可求。

试题解析：（ 1）由nb n 1 n 1 b n n n 1 两边同除以 n n 1 ，
得b
n 1 b n 1 ，n 1 n
从而数列b n 为首项 b1 1，公差d 1 的等差数列，所以b n =n ，n n
数列 b n 的通项公式为 b n n2 ．
当 n=1时，S12a11=a1，所以a1=1．
当 n 2 时，S n 2a n 1 ， S n -1 2a n -1 1，
两式相减得 a n 2a n 1，又 a1 =1，所以
a n
2 ，
a n 1
从而数列a n 为首项 a1 =1，公比 q=2 的等比数列，从而数列a n 的通项公式为 a n 2n 1 ．
c n ( 4 n 1
n 1 1 1
(2) 2n 1 2n 3 1 2n 1 2n 3
1 1 1 1 1 1 1 1
T
2 n c1 c2 c
3 L c
2n 1
c
2 n
=
35 5 7 L 4n 1 4n 3 3 4n 3
（ 3）由（ 1）得d n a n b n n2n 1，
D n 1122322 L n 1 2n 2 n2n 1
2D n
2 3 n 1 n 1 n 1 2 2 2 3 2 L n 1 2 n 1 2 n2 ，
所以，两式相减得D n 1 2 22 L 2n 1 n2n 1 2n n2n ,
1 2
因为 d n +1 d n 2n 1 n 1 12n n 1 2n 1 0 ，从而数列d n为递增数列所以当 n=1时，d n取最小值 d1 =0 ，于是a 0 ．
6．已知等差数列{ a n} 中，公差d>0，其前 n 项和为 S n，且满足： a2a3＝45， a1＋ a4＝14.
(1) 求数列 { a n } 的通项公式；
(2) 通过公式 b ＝ S n 构造一个新的数列 { b } ．若 { b } 也是等差数列，求非零常数
c ；
n
n c
n n
(3) 对于 (2) 中得到的数列 { b n } ，求 f ( n ) ＝
b n ( n ∈ N * ) 的最大值．
n 25
b
n 1
【答案】 (1) a ＝4 －3．(2)
1 ．
n
36
【解析】试题分析：
2n
n
1 ，故可根据基本不等式求最值．
f n
n 2 26n 25
25 2 n 25 n 1
n
26
n
试题解析：
(1) ∵数列 { a n } 是等差数列． ∴ a 2＋ a 3＝ a 1＋ a 4＝ 14，
由 { a 2 a 3 14 ，解得 {
a 2
5 或 { a 2
9 ．
a 2a 3＝45
a 3
9 a 3 5
∵公差 d >0，
∴ a 2＝ 5， a 3＝9．
∴ d ＝ a 3－ a 2＝4， a 1＝ a 2－d ＝ 1． ∴ a n
1 4 n 1 4n 3．
(2) ∵ S n ＝ na 1＋ n ( n －1) d ＝ n ＋ 2n ( n － 1) ＝ 2n 2－ n ，
∴ b n
S n 2n 2 n ．
n c
n c
∵数列 { b n } 是等差数列，
∴ 2b 2＝ b 1＋ b 3，
∴2· ＝ ＋ ，
解得c 1 ( c＝0 舍去 ) ．
2
∴ b n 2n2 n
2n ．
1
n
2
显然 { b n} 成等差数列，符合题意，
∴ c 1 ．
2
(3) 由（ 2）可得f 2n n 1
n
1 n
2 26n 25 25
2 n 25 n n
26
n
1 1
，当且仅当n
25
，即 n 5 时等号成立．
2 n 25 26 36 n
n
∴ f ( n)的最大值为 1 ．
36。