54数列的求和
高考数学专题03数列求和问题（第二篇）（解析版）
⾼考数学专题03数列求和问题（第⼆篇）（解析版）备战2020年⾼考数学⼤题精做之解答题题型全覆盖⾼端精品第⼆篇数列与不等式【解析版】专题03 数列求和问题【典例1】【福建省福州市2019-2020学年⾼三上学期期末质量检测】等差数列{}n a 的公差为2, 248,,a a a 分别等于等⽐数列{}n b 的第2项，第3项，第4项. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满⾜12112n n nc c c b a a a ++++=L ,求数列{}n c 的前2020项的和．【思路引导】(1)根据题意同时利⽤等差、等⽐数列的通项公式即可求得数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (2)求出数列{}n c 的通项公式，再利⽤错位相减法即可求得数列{}n c 的前2020项的和.解：(1)依题意得: 2324b b b =，所以2111(6)(2)(14)a a a +=++ ，所以22111112361628,a a a a ++=++解得1 2.a = 2.n a n ∴= 设等⽐数列{}n b 的公⽐为q ，所以342282,4b a q b a ==== ⼜2224,422.n n n b a b -==∴=?= (2)由（1）知，2,2.n n n a n b ==因为11121212n n n n nc c c c a a a a +--++++= ①当2n ≥时,1121212n n n c c c a a a --+++= ②由①-②得，2n n nc a =，即12n n c n +=?，⼜当1n =时，31122c a b ==不满⾜上式，18,12,2n n n c n n +=?∴=?≥ .数列{}n c 的前2020项的和34202120208223220202S =+?+?++?2342021412223220202=+?+?+?++?设2342020202120201222322019220202T =?+?+?++?+? ③，则34520212022202021222322019220202T =?+?+?++?+? ④，由③-④得：234202120222020222220202T -=++++-?2202020222(12)2020212-=-?-2022420192=--? ，所以20222020201924T =?+，所以2020S =202220204201928T +=?+.【典例2】【河南省三门峡市2019-2020学年⾼三上学期期末】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满⾜221n S n n =-+，数列{}n b 中，2+，对任意正整数2n ≥，113nn n b b -??+=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在实数µ，使得数列{}3nn b µ+是等⽐数列？若存在，请求出实数µ及公⽐q 的值，若不存在，请说明理由；（3）求数列{}n b 前n 项和n T . 【思路引导】（1）根据n S 与n a 的关系1112n nn S n a S S n -=?=?-≥?即可求出；（2）假设存在实数µ，利⽤等⽐数列的定义列式，与题⽬条件1331n n n n b b -?+?=，⽐较对应项系数即可求出µ，即说明存在这样的实数；（3）由（2）可以求出1111(1)4312nn n b -??=?+?- ，所以根据分组求和法和分类讨论法即可求出．解：（1）因为221n S n n =-+，当1n =时，110a S ==；当2n ≥时，22121(1)2(1)123n n n a S S n n n n n -=-=-+-----=-．故*0,1 23,2,n n a n n n N =?=?-∈?…；（2）假设存在实数µ，使得数列{}3xn b µ?+是等⽐数列，数列{}n b 中，2133a b a =+，对任意正整数2n (113)n n b b -??+=.可得116b =，且1331n nn n b b -?+?=，由假设可得(n n n b b µµ--?+=-?+，即1334n n n n b b µ-?+?=-，则41µ-=，可得14µ=-，可得存在实数14µ=-，使得数列{}3nn b µ?+是公⽐3q =-的等⽐数列；（3）由（2）可得11111133(3)(3)444nn n n b b ---=-?-=?- ，则1111(1)4312nn n b -??=?+?- ，则前n 项和11111111(1)123643121212nn n T -=++?+?+-+?+?-?? ? ????????? 当n 为偶数时，111111*********n n n T ??- =+=- ???- 当n 为奇数时，11111115112311128312248313n n n nT ??- =+=-+=- ????- 则51,21248311,2883nn n n k T n k ?-=-=??-=（*k N ∈）．【典例3】【福建省南平市2019-2020学年⾼三上学期第⼀次综合质量检查】已知等⽐数列{}n a 的前n 项和为n S ，且( )*21,nn S a a n =?-∈∈R N．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【思路引导】（1）利⽤临差法得到12n n a a -=?，再根据11a S =求得1a =，从⽽求得数列通项公式；（2）由题意得1112121n n n b +=---，再利⽤裂项相消法求和. 解：（1）当1n =时，1121a S a ==-.当2n ≥时，112n n n n a S S a --=-=?()*,因为{}n a 是等⽐数列，所以121a a =-满⾜()*式，所以21a a -=，即1a =，因此等⽐数列{}n a 的⾸项为1,公⽐为2,所以等⽐数列{}n a 的通项公式12n n a -=.（2）由（1）知21nn S =-，则11n n n n a b S S ++=,即()()1121121212121n n n n n n b ++==-----，所以121111111113377152121n n n n T b b b +?=++???+=-+-+-+???+- ? ? ? ?--?,所以11121n n T +=--.【典例4】【⼭东省⽇照市2019-2020学年上学期期末】已知数列{}n a 的⾸项为2，n S 为其前n 项和，且()120,*n n S qS q n +=+>∈N （1）若4a ，5a ，45a a +成等差数列，求数列{}n a 的通项公式；（2）设双曲线2221ny x a -=的离⼼率为n e ，且23e =，求222212323n e e e ne ++++L .【思路引导】（1）先由递推式()120,*n n S qS q n +=+>∈N 求得数列{}n a 是⾸项为2，公⽐为q 的等⽐数列，然后结合已知条件求数列通项即可；（2）由双曲线的离⼼率为求出公⽐q ，再结合分组求和及错位相减法求和即可得解. 解：解：（1）由已知，12n n S qS +=+，则212n n S qS ++=+，两式相减得到21n n a qa ++=，1n ≥.⼜由212S qS =+得到21a qa =，故1n n a qa +=对所有1n ≥都成⽴.所以，数列{}n a 是⾸项为2，公⽐为q 的等⽐数列. 由4a ，5a ，45+a a 成等差数列，可得54452=a a a a ++，所以54=2,a a 故=2q .所以*2()n n a n N =∈.（2）由（1）可知，12n n a q-=，所以双曲线2的离⼼率n e ==由23e ==，得q =.所以()()()()2122222123231421414n n e e e n e q n q -++++?=++++++ ()()()21214122n n n q nq -+=++++，记()212123n n T q q nq -=++++①()()2122221n n n q T q q n qnq -=+++-+②①-②得()()221222221111n n nnq q ---=++++-=-- 所以()()()()222222222211122121(1)111nn n n n n n n q nq q nq T n n q q q q --=-=-=-+?=-+----. 所以()()222212121242n n n n e e n e n +++++?=-++. 【典例5】已知数列{}n a 的各项均为正数，对任意*n ∈N ，它的前n 项和n S 满⾜()()1126n n n S a a =++，并且2a ，4a ，9a 成等⽐数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()111n n n n b a a ++=-，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求2n T .【思路引导】（1）根据n a 与n S 的关系，利⽤临差法得到13n n a a --=，知公差为3；再由1n =代⼊递推关系求1a ；（2）观察数列{}n b 的通项公式，相邻两项的和有规律，故采⽤并项求和法，求其前2n 项和. 解：（1）Q 对任意*n ∈N ，有() ()1126n n n S a a =++，①∴当1a =时，有()()11111126S a a a ==++，解得11a =或2. 当2n ≥时，有()()1111126n n n S a a ---=++.②①-②并整理得()()1130n n n n a a a a --+--=. ⽽数列{}n a 的各项均为正数，13n n a a -∴-=.当11a =时，()13132n a n n =+-=-，此时2429a a a =成⽴；当12a =时，()23131n a n n =+-=-，此时2429a a a =，不成⽴，舍去.32n a n ∴=-，*n ∈N .（2）2122n n T b b b =+++=L 12233445221n n a a a a a a a a a a +-+-+-L()()()21343522121n n n a a a a a a a a a -+=-+-++-L242666n a a a =----L ()2426n a a a =-+++L246261862n n n n +-=-?=--.【典例6】【2020届湖南省益阳市⾼三上学期期末】已知数列{}n a 的前n 项和为112a =，()1122n n n S a ++=-. （1）求2a 及数列{}n a 的通项公式；（2）若()1122log n n b a a a =L ，11n n nc a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T . 【思路引导】（1）利⽤临差法将递推关系转化成2112n n a a ++=，同时验证2112a a =，从⽽证明数列{}n a 为等⽐数列，再利⽤通项公式求得n a ；（2）利⽤对数运算法则得11221nn c n n ??=+- ?+??，再⽤等⽐数列求和及裂项相消法求和，可求得n T 。
数列的常见求和方法
数列的常见求和方法
数列求和的七种方法：倒序相加法、分组求和法、错位相减法、裂项相消法、乘公比错项相减（等差×等比）、公式法、迭加法。
1、倒序相加法
倒序相乘法如果一个数列{an}满足用户与首末两项等“距离”的两项的和成正比(或等同于同一常数)，那么谋这个数列的前n项和，需用倒序相乘法。
2、分组求和法
分组议和法一个数列的通项公式就是由几个等差或等比或可以议和的数列的通项公式共同组成，议和时需用分组议和法，分别议和而后相乘。
3、错位相减法
错位二者加法如果一个数列的各项就是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积形成的，那么这个数列的前n项和需用此法xi，例如等比数列的前n项和公式就是用此法推论的。
4、裂项相消法
裂项二者消法把数列的通项切割成两项之差，在议和时中间的一些项可以相互抵销，从而求出其和。
5、乘公比错项相减（等差×等比）
这种方法就是在推论等比数列的'前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用作谋数列{an×bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别就是等差数列和等比数列。
6、公式法
对等差数列、等比数列，求前n项和sn可以轻易用等差、等比数列的前n项和公式展开解。
运用公式解的注意事项：首先必须特别注意公式的应用领域范围，确认公式适用于于这个数列之后，再排序。
7、迭加法
主要应用于数列{an}满足用户an+1=an+f(n)，其中f(n)就是等差数列或等比数列的条件下，可以把这个式子变为an+1-an=f(n)，代入各项，获得一系列式子，把所有的式子提至一起，经过整理，纡出来an，从而算出sn。
苏教版高三数学复习课件5.4 数列的求和
【规律方法总结】
1．数列求和，如果是等差、等比数列的求和，可直接用求和公式求
解，公
式要做到灵活运用．
2．非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思路：
①转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一
思想方法
往往通过通项分解或错位相消来完成；
②不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错
＝
变式1：
求下面数列的前n项和： ，„.
解：前n项和为Sn＝ ＝ 设T1＝ 当a＝1时，T1＝n；当a≠1时，T1＝ T2＝1＋4＋7＋„＋(3n－2)＝
＋[1＋4＋7＋„＋(3n－2)]，
∴当a＝1时，Sn＝T1＋T2＝
当a≠1时，Sn＝T1＋T2＝
1．利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下 第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项或 前后剩的项更多，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调 整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式
解：(1)由a1＝1，当n≥2时，an－an－1＝2n－1，
∴a n ＝a 1 ＋(a 2 －a 1 )＋(a 3 －a 2 )＋„＋(a n －a n－1 )＝1＋2＋2 2
＋„＋2n－1
＝
＝2n－1.
(2)bn＝(2n－1)an＝(2n－1)(2n－1)＝(2n－1)·2n－(2n－1)， ∴Sn＝b1＋b2＋„＋bn ＝[2＋3·22＋5·23＋„＋(2n－1)·2n]－[1＋3＋5＋„＋(2n－ 1)]． 令Tn＝2＋3·22＋5·23＋„＋(2n－1)·2n① 则2Tn＝22＋3·23＋5·24＋„＋(2n－3)·2n＋(2n－1)·2n＋1②
sum函数数列求和
sum函数数列求和sum函数是一种常用的数学函数，可以用来求解数列的和。
数列是由一系列按照一定规律排列的数组成的，而sum函数可以将这些数相加，得到数列的总和。
本文将围绕sum函数展开，介绍其用法、应用场景以及一些注意事项。
一、sum函数的用法sum函数是Python编程语言中的一个内置函数，它的语法结构为sum(iterable, start)，其中iterable表示一个可迭代对象，如列表、元组或集合，start表示求和的初始值，默认为0。
sum函数会将可迭代对象中的所有元素相加，并返回求和结果。
例如，我们有一个数列[1, 2, 3, 4, 5]，我们可以使用sum函数来计算这个数列的和：sum([1, 2, 3, 4, 5])，得到结果15。
二、sum函数的应用场景sum函数在实际应用中非常常见，特别是在处理数学和统计相关的问题时。
以下是一些常见的应用场景：1. 统计学生考试成绩：假设有一个班级，每个学生的考试成绩存储在一个列表中，可以使用sum函数来计算所有学生的总成绩。
2. 计算商品总价：假设一个购物车中有多个商品，每个商品的价格存储在一个列表中，可以使用sum函数来计算购物车中所有商品的总价。
3. 求解数学问题：例如，给定一个数列，要求计算其中奇数的和或偶数的和，可以使用sum函数来实现。
4. 统计数据分析：在数据分析领域，常常需要对大量数据进行统计分析，求和是最基本的操作之一，sum函数可以帮助我们快速求解数据的总和。
三、sum函数的注意事项在使用sum函数时，需要注意以下几点：1. 确保可迭代对象中的元素是数值类型，否则会出现TypeError错误。
2. 可以通过设置start参数来指定求和的初始值，如果不设置，默认为0。
3. sum函数只能求解一维可迭代对象的和，如果需要求解多维可迭代对象的和，需要使用嵌套的sum函数。
4. sum函数对浮点数的精度处理可能存在误差，因此在涉及到浮点数计算时，应注意精度问题。
等差等比数列求和公式大全_等比数列怎么求和
等差等比数列求和公式大全_等比数列怎么求和等差等比数列求和公式大全等差数列公式：等差数列的通项公式为：an=a1+(n-1)d前n项和公式为：Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2从等差数列的定义、通项公式、前n项和公式还可推出：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1(类似地：p1+pn=p2+pn-1=p3+pn-2=…=pk+pn-k+1)，k∈{1,2,…,n}.等比数列公式：(1)等比数列的通项公式是：An=A1×q^(n-1)若通项公式变形为an=a1/qxq^n(n∈Nx),当q0时，则可把an看作自变量n 的函数，点(n,an)是曲线y=a1/qxq^x上的一群孤立的点。
(2) 任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m)(3)从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n}(4)等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。
(5) 等比求和：Sn=a1+a2+a3+.......+an①当q≠1时，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)或Sn=(a1-an×q)÷(1-q)②当q=1时， Sn=n×a1(q=1)记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1等比数列的求和公式的应用1. 数学题目在一些数学题目中，需要计算等比数列的前 n 项的和。
通过使用等比数列的求和公式，可以快速计算出结果。
这类题目通常涉及金融、物理、几何等领域。
2. 财务和投资计算在财务和投资领域，等比数列的求和公式可以用来计算复利问题。
当利率保持不变，每期利息与本金的比值也保持不变时，可以将问题转化为等比数列，并使用求和公式计算出累积本金与利息的总和。
等比数列求和程序
等比数列求和程序首先，让我们来看一下等比数列的定义。
一个等比数列可以写成如下形式：$a, ar, ar^2, ar^3, ar^4, …$其中，$a$ 是等比数列的首项，$r$ 是等比数列的公比。
例如，若首项为2，公比为3，则等比数列为2, 6, 18, 54, 162, …。
在求解等比数列的和时，可以利用以下公式：$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$其中，$S_n$ 为等比数列的前 $n$ 项和，$a$ 为等比数列的首项，$r$ 为等比数列的公比。
接下来，我将使用Python编程语言来实现一个程序，用于求解等比数列的和。
下面是程序的代码：```pythondef geometric_sum(a, r, n):if r == 1:return a * nelse:return a * (1 - r**n) / (1 - r)a = float(input("Enter the first term of the geometric sequence: "))r = float(input("Enter the common ratio of the geometric sequence: "))n = int(input("Enter the number of terms in the geometric sequence: "))sum = geometric_sum(a, r, n)print(f"The sum of the first {n} terms of the geometric sequence is: {sum}")```在这段代码中，我们首先定义了一个名为`geometric_sum`的函数，它接受三个参数，分别是等比数列的首项$a$，公比$r$和项数$n$。
然后根据上面提到的公式，计算并返回等比数列的和。
求数列前N项和的七种方法(含例题和答案)
求数列前N项和的七种方法(含例题和答案)求数列前N 项和的七种方法点拨:核心提示：求数列的前n 项和要借助于通项公式，即先有通项公式，再在分析数列通项公式的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和。
当遇到具体问题时，要注意观察数列的特点和规律，找到适合的方法解题。
1. 公式法等差数列前n 项和： 11()(1)22n n n a a n n S na d ++==+ 特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+，即前n 项和为中间项乘以项数。
这个公式在很多时候可以简化运算。
等比数列前n 项和： q=1时，1n S na =()1111n n a q q S q-≠=-，，特别要注意对公比的讨论。
其他公式： 1、)1(211+==∑=n n k S nk n 2、)12)(1(6112++==∑=n n n kS nk n3、213)]1(21[+==∑=n n kS nk n[例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x xx 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得nn x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 （利用常用公式）＝xx x n --1)1(＝211)211(21--n ＝1－n21[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n nSn Sn f 的最大值.解：由等差数列求和公式得)1(21+=n n S n ，)2)(1(211++=+n n S n （利用常用公式）∴1)32()(++=n nS n S n f ＝64342++n nn ＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当nn 8=，即n ＝8时，501)(max =n f当x=1时，S n =1+5+9+······+（4n-3）=2n 2-n当x ≠1时，S n = 1 1-x [ 4x(1-x n )1-x +1-（4n-3）x n]2. 反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1na a +. [例5] 求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..②（反序）又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得（反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝44.53. 分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.[例6] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n aa a n ，…解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a Sn n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n（分组）当a ＝1时，2)13(nn n Sn-+=＝2)13(nn +（分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n aa S n n -+--=＝2)13(11nn a a a n -+---[例7] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设kk k k k k a k++=++=2332)12)(1(∴∑=++=nk n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k knk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得S n＝kk k nk nk nk ∑∑∑===++1213132（分组）＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++＝2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n（分组求和）＝2)2()1(2++n n n练习：求数列•••+•••),21(,,813,412,211nn 的前n 项和。
数列公式求和范文
数列公式求和范文如何求解数列公式的求和问题是高中数学中常见的问题之一、在这里，我将介绍一些常见的数列公式求和方法，并针对不同类型的数列，分别进行详细的讲解。
首先，我们先来回顾一下数列的概念。
数列是将按照一定规则排列的数按顺序排列形成的一个序列。
数列中的每一项都有一个对应的序号，通常用字母n表示。
数列中的每个数我们一般称为数列的项。
一、等差数列求和公式等差数列是最常见的数列形式之一、等差数列中的每一项与他的前一项之差都是一个常数d，这个常数叫做等差数列的公差。
在等差数列中，我们可以通过以下公式来求和：Sn = (a1 + an) * n / 2其中，Sn表示前n项的和，a1表示数列的第一项，an表示数列的第n项，n表示求和项数。
例如，我们要求等差数列1，3，5，7，9，11的前10项和，我们可以按照以下步骤来计算：首先，确定数列的公差，公差为3-1=2，所以d=2然后，确定数列的首项，即a1=1接下来，确定要求和的项数n=10。
最后，代入公式计算得到Sn=(1+11)*10/2=60。
所以，数列的前10项和为60。
二、等比数列求和公式等比数列是另一种常见的数列形式。
等比数列中的每一项与它的前一项之比都是一个常数q，这个常数叫做等比数列的公比。
在等比数列中，我们可以通过以下公式来求和：Sn=(a1*(1-q^n))/(1-q)其中，Sn表示前n项的和，a1表示数列的第一项，q表示等比数列的公比，n表示求和项数。
例如，我们要求等比数列2，6，18，54的前5项和，我们可以按照以下步骤来计算：首先，确定数列的公比，公比为6/2=18/6=3，所以q=3然后，确定数列的首项，即a1=2接下来，确定要求和的项数n=5最后，代入公式计算得到Sn=(2*(1-3^5))/(1-3)=-242、所以，数列的前5项和为-242三、特殊数列求和公式除了等差数列和等比数列，还存在一些特殊的数列形式，例如等差数列的和等于等差数列的项数的平方，即Sn=n^2、这种特殊数列的求和公式往往可以通过观察数列的规律得到。
几种常见数列求和方法的归纳
几种常见数列求和方法的归纳1．公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。
主要适用于等差，比数列求和。
（1）等差数列的求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=（等差数列推导用到特殊方法：倒序相加）（2）等比数列的求和公式⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11q qq a q na S nn （切记：公比含字母时一定要讨论）（3）222221(1)(21)1236nk n n n k n =++=++++=∑（不作要求，但要了解）例：（1）求=2+4+6+ (2)（2）求=x+++…+(x )2．倒序相加：适用于：数列距离首尾项距离相同的两项相加和相同。
例：（1）求证：等差数列{}的前n 项和d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=（2）2222sin 1sin 2sin 3sin 89++++ .3.分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。
例：（1）求和：(1)个n n S 111111111++++=81109101--+n n（2）22222)1()1()1(n n n x x x x x x S ++++++=当1±≠x 时，n x x x x S n n n n 2)1()1)(1(22222+-+-=+ 当n S x n 4,1=±=时4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。
（分式求和常用裂项相消）常见的拆项公式：111)1(1+-=+n n n n ，)121121(21)12)(12(1+--=+-n n n n ， 1111()(2)22n n n n =-++，)12)(12(11)12)(12()2(2+-+=+-n n n n n ，=例：（1）求和：1111,,,,,132435(2)n n ⨯⨯⨯+.（2）求和)12)(12()2(534312222+-++⋅+⋅=n n n S n12)1(2++=n n n S n5．错位相减法：比如{}{}.,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++ (适用于：等差数列乘以等比数列的通项求和)例：求和：23,2,3,,,n a a a na当1a =时，123n S =+++ (1)2n n n ++=， 当1a ≠时，212(1)(1)n n n na n a aS a ++-++=-6．合并求和法：如求22222212979899100-++-+- 的和。
带单位的求和公式
带单位的求和公式对于一些特定的问题，为了进行计算和研究，可能需要使用一些带有单位的求和公式。
这些公式可以帮助解决各种物理、数学、统计等方面的问题。
下面是一些常见的带有单位的求和公式，这些公式可以帮助我们更好地进行计算和分析。
1.等差数列求和公式等差数列是指每个项与前一项的差都相等的数列。
求和公式可以表示为：Sn=n/2[2a+(n-1)d]其中，Sn是前n项和，a是首项，d是公差。
2.等比数列求和公式等比数列是指每个项与前一项的比都相等的数列。
求和公式可以表示为：Sn=a*(1-r^n)/(1-r)其中，Sn是前n项和，a是首项，r是公比。
3.组合求和公式组合是指从n个不同对象中选取r个对象的方式数。
求和公式可以表示为：C(n+1,r+1)=C(n,r)+C(n,r+1)其中，C(n,r)表示从n个对象中选取r个对象的方式数。
4.泰勒级数公式泰勒级数是用来表示一个函数在一些点附近的近似表达式。
泰勒级数公式可以表示为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)/1!+f''(a)(x-a)^2/2!+...其中，f(x)为函数，f(a)为函数在点a处的值，f'(a)为函数在点a处的导数，f''(a)为函数在点a处的二阶导数，以此类推。
5.黎曼积分求和公式黎曼积分是对函数在一个区间上的积分。
求和公式可以表示为：∫[a, b] f(x) dx = lim(n→∞) (b-a)/n * (f(x0) + f(x1) + ... + f(xn-1) + f(xn))其中，∫[a, b]表示在区间[a, b]上的积分，f(x)是被积函数，dx是微元，n是划分的区间数，xn是每个区间的代表点。
这些带单位的求和公式可以帮助我们进行各种科学和数学问题的计算和分析。
它们在科学、工程、经济等领域中都具有广泛的应用。
数列的常见求和方法
（ ３ ） １ ＋ ２ 。 ＋３ ＋…＋＂ ｚ ：
中 运 用 反 序 求 和 方 法 是 比较 好 的 想法 ．
五、 裂项 法 求 和
（ ４）１ ＋ ２ 。＋ ３ 。＋ … ４ －１ ７ 。一 （１ ４ －２＋ … ４ －”） 一
［
］ ．
这 是 分 解 与 组 合 思 想 在 数 列 求 和 中 的具 体 应 用 ． 裂 项 法 的 实 质 是 将 数 列 中 的每 项 （ 通项 ） 分解 ， 然 后重新组合 ， 使 之 能 消去一些项 ， 最 终 达 到求 和 的 目的． 分 式 的求 和 多 用 此 法 ． 常见 的拆 项 公 式 有 ：
和Ｓ ．
１
（ ’ 丽一 ÷・ （ １ ） ；
１
一
一 一
ａ ａ ｎ＋ １
（ ２ ） 若数列 ｛ ａ ｝ 为等差数列， 公 差 为 ， 则 — Ｌ—
） ．
㈦
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一 亡 （ 一 ， ｌ － Ｚ ） ・
干 １ 干
方法．
点评 ： 本 例 中数 列 ｛ ｂ ｝ 既非等差数 列又非 等比数 列， 但 是
对 前 项 和 分 组 后 马 上 可 以变 形 为 两 个 特 殊 数 列 进 行 求和 ．
当数列的通项由两部 分组成 ， 每 一 部 分 都 是 易 于 求 和 的 特殊数列 ， 可 以用 拆 项 求 和 的 方 法 ． 注 意 在 应 用 等 比 数 列 的求
鹏 ・ 帅 专 题 讲 座
２ ０ １ ３ 年第 １ 期
中掌鸯数理亿 ． 掌研版
数 列 的 常 见 求 和 方 法
■ 朱 广 胜
在高考 中， 数 列问题一 直 占有较大 的分量 ， 大 题年 年考 ，
数列的求和
解 : a a a a
2 3
n
a(1 a n ) (a 1) 1 a na(a 1)
方法2：错位相减法（借因子法）
若数列的通项公式为 cn an bn ，其中 an bn 中有一个是等差数列，另一个是等比数列，求和 时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的 等比数列的公比；然后再将得到的新和式和原和 式相减，转化为同倍数的等比数列求和，这种方 法就是错位相减法。
4.裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一 项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消， 于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称 为 裂项相消法.
方法1：公式法
（若问题可以转化为等差、等比数列，则可以直接 利用求和公式即可）
例 求和 : a a a a (a 0) 1.
Thank you！
S f (5) f (4) ... f (0) f (1) ... f (5) f (6) S f (6) f (5) ... f (1) f (0) ... f (4) f (5) 两式相加得 : (即倒序相加得 :）
2S [ f (5) f (6)] [ f (4) f (5)] ... [ f (0) f (1)] [ f (1) f (0)] ... [ f (5) f (4)] [ f (6) f (5)] 2 12 2
等差数列的求和公式：
n(a1 an ) 1 sn na1 n(n 1)d 2 2
等比数列的求和公式：
q 1 q 1
求数列的前n项和Sn，重点应掌握以下几种方法：
数学中的数列通项与求和公式推导
数学中的数列通项与求和公式推导在数学中，数列是由一系列按照一定规律排列的数字组成的序列。
而数列通项与求和公式是数学中用来计算数列中任意位置的值以及求解数列的部分和的重要工具。
本文将从数列的定义开始，逐步展开介绍数列通项与求和公式的推导过程。
一、数列的定义数列是由一系列按照一定规律排列的数字组成的序列。
一般来说，数列的前几项可以通过直接列出或用递推公式来表达，而后续的项则可以通过这一规律进行推导得到。
数列通常用字母表示，例如常见的等差数列用$a_n$表示，而等比数列则用$g_n$表示。
二、等差数列的通项与求和公式推导等差数列是指数列中任意两个相邻的项之间的差相等的数列。
设等差数列的首项为$a_1$，公差为$d$，则它的通项可以用以下公式表示：$$a_n=a_1+(n-1)d$$其中，$n$表示数列中的第$n$项。
对于等差数列的求和公式，我们可以通过将数列从首项到最后一项依次相加得到。
假设等差数列的前$n$项和为$S_n$，则其求和公式为：$$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$$推导过程如下：由等差数列的通项公式可知，$a_n=a_1+(n-1)d$。
又由等差数列的定义可知，最后一项$a_n$可以表示为$a_n=a_1+(n-1)d$。
因此，等差数列的前$n$项和$S_n$可以表示为：$$S_n=a_1+a_2+...+a_n$$将等差数列的通项公式代入上式，得：$$S_n=a_1+a_1+d+a_1+2d+...+a_1+(n-1)d$$将上式中的各项按照公差$d$进行合并，得：$$S_n=na_1+(1+2+...+n-1)d$$根据等差数列的性质，$1+2+...+(n-1)$可以表示为$\frac{(n-1)n}{2}$，代入上式可得：$$S_n=na_1+\frac{(n-1)n}{2}d$$化简上式得到等差数列前$n$项和的通式：$$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$$三、等比数列的通项与求和公式推导等比数列是指数列中任意两个相邻的项之间的比相等的数列。
累加求和的数学公式
累加求和的数学公式累加求和是数学中一个常见的求和方法，用于计算一系列数值的总和。
在数学中，累加求和常被表示为“∑(n=1 to N) a(n)”或“a(1)+a(2)+a(3)+...+a(N)”，其中N是累加的上限，a(n)表示要累加的数列的第n个数值。
累加求和可以用于各种数学问题和应用，如计算数列的总和、求解极限、计算面积和体积等。
以下是一些常见的数学公式和性质，用于描述和计算累加求和。
1.等差数列的累加求和公式：当数列a(n)是等差数列时，即a(n)=a(1)+(n-1)d，其中a(1)是首项，d是公差。
那么数列的前N项和可以表示为：S(N)=N(a(1)+a(N))/2或简写为S(N)=N[2a(1)+(N-1)d]/22.等比数列的累加求和公式：当数列a(n)是等比数列时，即a(n)=a(1)r^(n-1)，其中a(1)是首项，r是公比。
那么数列的前N项和可以表示为：S(N)=a(1)(r^N-1)/(r-1)3.常见数列的特殊累加和公式：a.自然数的累加和：S(N)=1+2+3+...+N=N(N+1)/2b.平方数的累加和：S(N)=1^2+2^2+3^2+...+N^2=N(N+1)(2N+1)/6c.立方数的累加和：S(N)=1^3+2^3+3^3+...+N^3=[N(N+1)/2]^24.性质：a.S(N)=S(N-1)+a(N)，即数列前N项和等于前N-1项和再加上第N项的值。
b.若N是偶数，则S(N)=S(N/2)+(N/2)(a(1)+a(N))，即偶数项的累加和等于前一半项的累加和再加上两头相同的数值之和。
5. telescopin_sum：对于形如a(n) = b(n) - b(n+1)的数列，求和后存在很强规律，这种情况下通常称之为telescopin sum则a(1)+a(2)+..+a(N)=b(1)-b(N+1)其它常见的累加求和操作还包括重排求和、倒序求和、部分和等，这些方法可以根据具体问题和数列的性质来进行计算。
excel等比数列求和公式
excel等比数列求和公式
在Excel中，如果要计算等比数列的和，可以使用以下公式：
SUM(a*(r^n - 1) / (r - 1))
其中，a 是数列的首项，r 是公比，n 是数列的项数。
以下是一个示例，演示如何在Excel中使用等比数列求和公式：假设我们要计算一个等比数列的和，首项为2，公比为3，项数为4。
1.在一个单元格中输入数列的首项，如A1为2。
2.在另一个单元格中输入公比，如A2为3。
3.在下一个单元格中输入数列的项数，如A3为4。
4.在另一个单元格中使用求和公式，如A4为=SUM(A1*(A2^A3-
1) / (A2-1))。
5.执行计算后，A4单元格将显示等比数列的和。
在上述示例中，等比数列为2、6、18、54，项数为4，公比为3。
使用公式SUM(A1*(A2^A3-1) / (A2-1)) 计算后，得到的和为80。
请注意，以上公式假设公比不等于1。
如果公比为1，则等比数列的和将等于首项乘以项数。
数列的累加法
数列的累加法数列的累加法是数学中一个重要的概念，常常出现在数学课程中的教学内容中。
在学习数列的累加法之前，我们需要了解什么是数列。
数列是按照一定的规律排列的一组数，其中每个数称为数列的项，而数列中的规律即为数列的通项公式。
数列的累加法即是对数列中的所有项进行求和的操作，通常用符号∑来表示数列的累加。
下面我们将详细讨论数列的累加法的概念、性质以及如何进行计算。
首先，数列的累加法的概念是指将数列中的所有项进行求和的操作。
数列的累加法常用的表示方法为∑(通项公式)，其中∑表示累加的意思，通项公式即数列中的项的数学表达式。
数列的累加法可以帮助我们计算数列中所有项的和，从而更好地理解数列的性质和规律。
其次，数列的累加法有一些重要的性质。
首先是数列的累加法的次序不影响结果，即可以任意调换数列中的项的顺序进行求和。
其次是数列的累加法的加法性质，即对数列的两个部分进行分别求和，然后将它们的和相加的结果等于将整个数列的项进行求和的结果。
另外，数列的累加法的数乘性质也很重要，即对数列的每一项乘以一个常数后再进行累加，等于将数列的每一项进行累加的结果再乘以这个常数。
最后，我们来看如何进行数列的累加法的计算。
首先需要确定数列的通项公式，然后将通项公式中的项依次代入，进行求和的计算。
以等差数列为例，其通项公式为an=a1+(n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差，n表示项数。
对于等差数列的累加法，可以利用数列的求和公式Sn=n(a1+an)/2来求和，其中Sn表示数列的前n项和。
对于等比数列的累加法，可以利用数列的求和公式Sn=a1(1-q^n)/(1-q)来求和，其中q为公比，n为项数。
综上所述，数列的累加法是数学中的一个重要概念，对于数列的求和和数列的性质的理解都有很大的帮助。
通过数列的累加法的学习，我们可以更好地掌握数列的规律和特性，为数学的进一步学习打下坚实的基础。
数列的累加法的计算方法也是非常重要的，可以帮助我们更加快速和准确地计算数列的和，提高数学的计算能力和数学的应用能力。
等比数列与等比数列的求和公式总结
等比数列与等比数列的求和公式总结等比数列（Geometric Progression）是指从第二项开始，每一项与它前一项的比都相等的数列。
比如，1，2，4，8，16 就是一个等比数列，公比为 2，即任意一项与它前一项的比都是 2。
等比数列具有以下的特征：1. 每一项乘以公比得到下一项；2. 第一项可以为任意非零实数；3. 公比可以为任意非零实数；4. 等比数列中不能出现零。
等比数列的通项公式为：an = a1 * r^(n-1)，其中 an 表示第 n 项，a1 表示第一项，r 表示公比。
等比数列的求和公式为：Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中 Sn 表示前 n 项的和，a1 表示第一项，r 表示公比。
下面是一个例子，展示了如何应用等比数列的求和公式：例题：求等比数列 2，6，18，54 的和。
解析：首先确定该等比数列的首项 a1 和公比 r。
首项 a1 = 2，公比 r = 6 / 2 = 3。
接下来，我们需要求出该等比数列的项数 n。
根据通项公式 an = a1 * r^(n-1)，最后一项 54 = 2 * 3^(n-1)，再化简得 3^(n-1) = 27，两边取对数得 n-1 = 3，解得 n = 4。
然后，代入等比数列的求和公式 Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，得 S4 = 2 * (1 - 3^4) / (1 - 3)，即 S4 = -242。
所以，等比数列 2，6，18，54 的和为 -242。
总结：等比数列是一种重要的数列，应用广泛。
通过等比数列的通项公式和求和公式，我们可以准确地计算等比数列的任意一项和前n 项的和。
掌握了等比数列的求和公式，可以在数学问题中快速求解，提高计算效率。
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n n! (n 1)!n!
1 n 1 n
n 1 1 (n 1)! n! (n 1)!
n 1 n
6．倒序相加法求和 1 2 k n 如:求和: 3 Cn 5 Cn (2k 1) Cn (2n 1) Cn
7.其它求和法：如：归纳猜想法，奇偶法等 如:
{ 如: 求数列 2 n 1}的前n项和
n
4．合并求和： 如： 2 992 982 972 2 2 12 求和 100
5．裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项 之差、正负相消剩下首尾若干项。 1 1 常见拆项： 1 n(n 1) n n 1
1 1 1 1 ( ) (2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1 1 1 1 1 [ ] n(n 1)(n 2) 2 n(n 1) (n 1)(n 2)
综上所述，
n n 3 2 ln 3 1, n为偶数 Sn 3n - n 1 ln3-ln2-1,n为奇数 2
四、作业(补充)
1 1 1 1 1. 求前n项的和:⑴ 1 ,3 ,5 ,... (2n 1) n 2 4 8 2 1 1 1 1 ⑵ 1 3 5 (2n 1) n 2 4 8 2
解： （I）当 a1 3 时，不合题意；当 a1 2 时，当且仅当 a2 6, a3 18 时， 符合题意；当 a1 10 时，不合题意。因此 a1 2, a2 6, a3 18, 所以公式
an 2 3n1. q=3，故
2 3n 1 (1) n (2 3n 1 ) 2 3n 1 (1) n [ln 2 (n 1) ln 3]
bn an (1)n ln an 2 3n1 (1)n (ln 2 ln 3) (1)n n ln 3, （II）因为
S2n 2(1 3 32n1) [111 (1)2n ](ln2 ln3) [1 2 5 (1)n n]ln3, 所以
所以当 当n
n 1 3n n n Sn 2 ln 3 3 ln 3 1; 2 1 3 2 n 为偶数时，
n 1 ln 3 ln 2 1. 2
n 1 3n n 1 Sn 2 (ln 2 ln 3) ( n) ln 3 3 1 3 2 为奇数时，
a1 , a2 , a3 分别是下表第
a1 , a2 , a3 中的任何两个数不 一、二、三行中的某一个数，且
在下表的同一列． 第一列
第一行 第二行 第三行
第二列 2 4 8
第三列 10 14 18
（Ⅰ）求数列 an 的通项公式；
3 6 9
bn 满足：b （Ⅱ）若数列
项和 Sn ．
n
an (1)ln an ，求数列 bn 的前 n
1 1 1 1 , ,... (3) , 1 1 2 1 2 3 1 2 3 ... n
⑷
1 3 5 7 (1) (2n 1)
n
⑸ 1·2·3+2·3·4+3·4·5+…+n(n+1)(n+2) 2. 已知数列 an }（n为正整数）是首项是 a1 ，公比为q的 {
等 比 数 列 ， 数 列
{bn }
满 足
1 bk (lg a1 lg a2 lg ak ) (k N * ) ， k
（1）求数列 {bn } 的前 n 项和的最大值；
{|b n |} 的前 n 项和 S n ． （2）求数列
an 104n ，∴ lg an 4 n ，∴数列 {lg an } 是首 解： （1）由题意：
公比含字母是一定要讨论
n
（2）利用公式法求和
n(n 1)(2n 1) k 6 k 1
n 2
n(n 1) k 2 k 1 n
3
n(n 1) 2 k [ 2 ] k 1
2．错位相减法求和： an 等差, bn 等比, 求a1b1 a2b2 anbn的和. 如： n 求数列{ n }的前 n项和 2 3．分组求和：把数列的每一项分成若干项，使其 转化为等差或等比数列，再求和。
2．错位相减法求和 例2．已知数列
1,3a,5a ,, (2n 1)a
2
n1
(a 0)
求前n项和。
1 2 3 n 练习:求 S n 2 3 n ( a 0) a a a a
3.裂项相消法求和 例3
22 42 (2n) 2 (1)求和 S n 1 3 3 5 (2n 1)(2n 1)
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5.4 数列求和
一、基本方法 1．（1）直接用等差、等比数列的求和公式求和。
n(a1 a n ) n(n 1) Sn na1 d 2 2 na1 (q 1) S n a1 (1 q n ) a1 a n q (q 0且q 1) 1 q 1 q
项为
3，公差为 1 的等差数列，∴ lg a1 lg a2 lg ak 3k
k (k 1) 2 ，
bn 0 1 n(n 1) 7 n ∴ bn n [3n 2 ] 2 由 bn 1 0 ，得
6 n 7 ，∴数列 {bn }
的前
1．用公式求和 例1．求和： ① S n ( x 1 ) 2 ( x 2 12 ) 2 ( x n 1n ) 2
x x x
②求数列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，… 前n项和 S n ③ Sn 1 11 111 111
n个
④1，1+2，1+2+22，。。。,1+2+22+。。。+2n
等比数列. 0 1 2 0 1 2 3 a （1）求和：1C2 a2C2 a3C2 , a1C3 a2C3 a3C3 a4C3 ; （2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论， 并加以证明.
(2)求和 S n
1 2 1
1 3 2
.....
1 n 1 n
4．其它求和方法 还可用归纳猜想法，奇偶法等方法求和。 例4．(1) 1 3 5 7 (1)
n
(2n 1)
n
(2)已知数列an ,
an 2[n (1) ], 求S n
1 例 6、 数列 {an } 是首项为 1000， 公比为 10 的
n
项和的最大值为 S 6 S7
（2）由（1）当 n ∴当 n
n
7 时， bn 0 ，当 n 7 时， bn 0 ，
3
1 2 n
21 2
7 时， S b b b (
7n 2 )n 1 n2 13 n 2 4 4
当 n 7 时， S n b1 b2 b7 b8 b9 7) 1 2 13 Sn 2S7 (b1 b2 bn ) n n 21 ，∴ 1 n 2 13 n 21 (n 7) ． 4 4 4 4
例 7、 （山东理 20） 等比数列 an 中，