甘肃省秦安县第二中学2018届高三数学一轮复习专训2：四种常见的几何关系的探究(附答案)

专训2 四种常见的几何关系的探究
位置关系
1．如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，BM＝AC，CN＝AB.求证：AM⊥AN.
(第1题)
相等关系
2．【2015·珠海】已知△ABC，AB＝AC，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF.
(1)如图①，连接BD，AF，则BD________AF.(填“＞”“＜”或“＝”)
(2)如图②，M为AB边上一点，过M作BC的平行线MN分别交边AC，DE，DF于点G，H，N，连接BH，GF.求证：BH＝GF.
(第2题)
和差关系
3．如图，∠BCA＝α，CA＝CB，C，E，F分别是直线CD上的三点，且∠BEC＝∠CFA ＝α，请提出对EF，BE，AF三条线段之间数量关系的合理猜想，并证明．
(第3题)
不等关系
4．【2016·贵阳】(1)阅读理解：
如图①，在△ABC中，若AB＝10，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE(或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD)，把AB，AC，2AD集中在△ABE中．利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是________________________________________________________________________；
(2)问题解决：
如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF 交AC于点F，连接EF，求证：BE＋CF＞EF；
(3)问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，CB＝CD, ∠BCD＝140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF 之间的数量关系，并加以证明．
(第4题)
参考答案
1．证明：如图，∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠1＋∠BAC＝90°，∠2＋∠BAC＝90°.
∴∠1＝∠2.
又∵BM＝CA，AB＝NC，
∴△ABM≌△NCA.
∴∠3＝∠N.
∵∠N＋∠4＝90°，
∴∠3＋∠4＝90°，
即∠MAN＝90°.
∴AM⊥AN.
(第1题)
2．(1)＝
(2)证明：将△DEF沿FE方向平移，使点E与点C重合，设ED平移后与MN相交于R，如图，
(第2题)
∵MN∥BC，RC∥EH，
∴∠GRC＝∠RHE＝∠DEF，∠RGC＝∠GCB，
易得∠GRC＝∠RGC，
∴△CGR是等腰三角形．
∴CG＝CR.
又∵MN∥BF，CR∥EH，
∴四边形RCEH为平行四边形，
∴CR＝EH.
∴CG＝HE.
由平移的性质得BC＝EF，
∴BC＋CE＝CE＋EF，即BE＝CF.
易得∠HEB＝∠GCF，
∴△BEH≌△FCG(SAS)，
∴BH＝FG.
3．解：猜想：EF＝BE＋AF.
证明：∵∠BCE＋∠CBE＋∠BEC＝180°，
∠BCE＋∠ACF＋∠BCA＝180°，
∠BCA＝α＝∠BEC，
∴∠CBE＝∠ACF.
又∵∠BEC＝∠CFA＝α，CB＝AC，
∴△BEC≌△CFA(AAS)．
∴BE＝CF，EC＝FA.
∴EF＝CF＋EC＝BE＋AF.
4．(1)2<AD<8
(2)证明：如图，延长FD至点G，使DG＝DF，连接BG，EG. ∵点D是BC的中点，
∴DB＝DC.
∵∠BDG＝∠CDF，DG＝DF，
∴△BDG≌△CDF(SAS)．
∴BG＝CF.
∵ED⊥FD，
∴∠EDF＝∠EDG＝90°，
又∵ED＝ED，FD＝GD，
∴△EDF≌△EDG，
∴EF＝EG.
∵在△BEG中，BE＋BG>EG，
∴BE＋CF>EF.
如图，延长AB至点G，使BG＝DF，连接CG.
∵∠ABC＋∠D＝180°，∠ABC＋∠CBG＝180°，
∴∠CBG＝∠D.
∵CB＝CD，
∴△CBG≌△CDF(SAS)．
∴CG＝CF，∠BCG＝∠DCF.
∵∠BCD＝140°，∠ECF＝70°，
∴∠DCF＋∠BCE＝70°.
∴∠BCE＋∠BCG＝70°.
∴∠ECG＝∠ECF＝70°.
∵CE＝CE，CG＝CF，
∴△ECG≌△ECF(SAS)．
∴EF＝EG.
∵BE＋BG＝EG，
∴BE＋DF＝EF.。