2015年寒假高中数学联赛提高班课前水平自我评估测试
2015年全国高中数学联赛江苏赛区初赛参考答案与评分细则 (1)
=2‰ ,求 g的 值 岛 刀
解:若
若
,
g=1,则 ‰=%=2,蜣 =4,则 岛ヵ =4刀 ,马 =4刀 ,s9″ ≠2‰
g=-1,则
‰
.
=2×
(—
1)刀
,蜣
=4,则
岛 刀=0,‰
=4刀 ,岛
刀≠
2‰
.
・ … … … … …… …… … … … ¨ 5分
若 g≠ ±1,则 ‰=勿
刀2,
柙 峤狎 艹 岬
11=55个
.
・ … …… … … …… … 5分
.
=2时 ,设 其 中 /″ ,/刀 染成 红色 ,其 余染成蓝色 当斤
以
'励
为顶角顶 点的等腰 三 角形有 5个 ,以
'仞
为底角顶 点的等腰 三 角形有 10个 ;同
,/刀 为顶 点的等腰 三 角形有 3个 ,这 些等腰三角形 的顶点不 同色 ,且 共有 6+10) 时以彳 泖
⒈
3.
)⒍ 滋 +狞 ⒋ 且 夕 由题意知 ,b酞 4均 =⒈ 即 夕
L份
解
解 :有 两类情况 :同 为 自球 的概率是 ,同 为红球 的概率是 磊矮埕←亻头 岩 搌 臁 醮 ・
解
解
: :
⒐ 从而 扔 ≤ 叩
=⒋
=3=2时 ,汕 的最大值是 4. 当曰
⒉ 函数 炯
=币 顿
⒉
F篑 均 在
处 的值是
一 ⒉ =辔 =岢 =2犷￠ =雨 ⒍ 以 灭 繁 碍 畀所 爹 宀 谔=钅 =畏 ℃
若不等式 |锚 +1}≤ 3的 解集为 姒 |-2≤ y≤ 1),则 实数 ε的值是
.
2015年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛高一、高二试题及答案
2015年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛评分标准（高一年级）说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中5分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题（本大题共10小题，每小题9分，共90分．）1．已知数列}{n a 是等差数列，2a 和2014a 是方程01652=+-x x 的两根，则数列}{n a 的前2015 项的和为 1209 ．2．已知b a ,是常数，函数3)1ln()(23++++=x x b ax x f 在)0,(-∞上的最大值为10,则)(x f 在),0(+∞上的最小值为 －4 ．3．若对于任意实数x ，a x a x 2|1|||≤+-+恒成立，则实数a 的最小值为31．4．设∈-==n n b a n n n (15,2N *)，},,,{},,,{201521201521a b b b a a a S =，则集合S 中的元素的个数为 504 ．5．△ABC 中,角C B A ,,的对边分别为c b a ,,．若C a c a s i n =-，则2s i n 2s i n BC A +-的值为 1 ．6．设多项式)(x f 满足322)1()(2++-=++x x x f x f ，则=+++)9()2()1(f f f －186 ．7．已知点P 在Rt △ABC 所在平面内，︒=∠90BAC ，CAP ∠为锐角，2||=AP ，2=⋅，1=⋅．当||++取得最小值时，27tan =∠CAP ．8． ︒+︒10sin 110sin 82的值为 6 ．9．函数638)(++-=x x x f 的最小值为10．10．使得21+p 和212+p 都是完全平方数的最大质数p 为 7 ．二、解答题（本大题共3小题，每小题20分，共60分．）11．定义在),0(+∞上的函数)(x f 满足：①1)2(=f ；②当1>x 时，0)(>x f ；③)()()(y f x f yxf -=．（1）试判断函数)(x f 的单调性；（2）若2)3()(≤-+t f t f ，试求t 的取值范围． 解 （1）设210x x <<，则112>x x ，故0)(12>x xf ，即0)()(12>-x f x f ，所以21()()f x f x >，故)(x f 在),0(+∞上是单调增函数． ………………………………………（5分）（2）因为)2()4()24()2(f f f f -==，所以2)2(2)4(==f f ，从而)4()3()(f t f t f ≤-+． ………………………………………（10分） 即)34()(-≤t f t f ，于是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤>->.34,03,0t t t t ………………………………………（15分） 解得 43≤<t ．故t 的取值范围是]4,3(． ………………………………………（20分） 12．已知正实数c b a ,,满足222c b a =+，求)1)(1(bca c ++的最小值． 解 设ααcos ,sin ⋅=⋅=cbc a ，)2,0(πα∈，则ααααααcos sin 1cos sin 1)sin 11)(cos 11()1)(1(+++=++=++=b c a c u ． …………………（5分）令ααcos sin +=x ，则)4sin(2πα+=x ，21≤<x ． …………………（10分）又21cos sin 2-=x αα，所以12121112-+=-++=x x x u ． ………………………………（15分）当2=x 时，u ＝)1)(1(b c a c ++取得最小值2231221+=-+．…………………（20分）13．设n T 是数列}{n a 的前n 项之积，满足*1,N n n T a n =-∈． （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设22221n n T T T S +++= ，求证：312111-<<-++n n n a S a ． 解 （1）易知2111==a T ，1,0≠≠n n a T ，且由n n n n a T a T -=-=++1,111，得 n n n n n a a T T a --==+++11111，即nn n a a a -=-++11111，即111111=---+n n a a ． ……………（5分）所以112111111111+=-+-=-+-=-n n n a a n ，故1111+=+-=n nn a n ． ………………………………………（10分） （2）由（1）得1121+==n a a a T n n ．一方面，222)1(13121++++=n S n 212121)2)(1(14313211-=+-=++++⋅+⋅>+n a n n n ；……………（15分） 另一方面，41)1(141314121222-+++-+-<n S n 32132)23)(21(12725125231+-=++++⋅+⋅=n n n ．又3131212132321321-=-++=+-<+-+n a n n n n ． 所以 312111-<<-++n n n a S a ． ………………………………………（20分）2015年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛评分标准（高二年级）说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中5分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题（本大题共10小题，每小题9分，共90分．）1．若对于任意实数x ，a x a x 2|1|||≤+-+恒成立，则实数a 的最小值为31．2．将5名大学生村官分配到某乡镇的3个村就职，若每个村至少1名，则不同的分配方案种数为 150 ．3．若66554433221032)2(x a x a x a x a x a x a a x x ++++++=--，则=++531a a a －4 ． 4．已知顶角为︒20的等腰三角形的底边长为a ，腰长为b ，则233abb a +的值为 3 ．5．设∈-==n n b a n n n (15,2N *，},,,{},,,{201521201521a b b b a a a S =，则集合S 中的元素的个数为 504 ．6．已知点P 在Rt △ABC 所在平面内，︒=∠90BAC ，CAP ∠为锐角，2||=AP ，2=⋅AC AP ，1=⋅．当||++取得最小值时，=∠CAP tan 27．7．已知正三棱锥ABC P -的底面的边长为6,侧棱长为21，则该三棱锥的内切球的半径为 1 ．8．函数)11)(211()(2+-+-++=x x x x f 的值域为]8,22[+．9．已知21,F F 是椭圆1422=+y x 的两个焦点,B A ,分别是该椭圆的左顶点和上顶点，点P 在线段AB 上，则21PF PF ⋅的最小值为511-．10．使得21+p 和212+p 都是完全平方数的最大质数p 为 7 ．二、解答题（本大题共3小题，每小题20分，共60分．）11．设平面点集}0)2518()(|),{(≥-⋅-=xy x y y x A ，}1)1()1(|),{(22≤-+-=y x y x B ．若B A y x ∈),(，求y x -2的最小值．解 作出平面点集A 、B 所表示的平面区域，A B 表示如图阴影部分D .令2z x y =-，则2y x z =-，z -表示直线2y x z =-的纵截距.易知：直线2y x z =-经过区域D 中的点P 时，2z x y =-取得最小值. ……………（5分）因为点P 在圆22(1)(1)1x y -+-=上，设它的坐标为(1cos,1sin )θθ++，结合图形可知(,)2πθπ∈.又点P 在曲线1825y x=上，所以有18(1cos )(1sin )25θθ++=，即7sin cos sin cos 025θθθθ+++=. ………………………………………（10分） 设sin cos t θθ+=，则21sin cos(1)2t θθ=-，代入得217(1)0225t t -++=，解得15t =或115t =-（舍），即1sin cos 5θθ+=. ………………………………………（15分） 结合22sin cos 1θθ+=，并注意到(,)2πθπ∈，解得4sin 5θ=，3cos 5θ=-．所以，点P 的坐标为29(,)55，2z x y =-的最小值为min 292155z =⨯-=-． ………（20分）12．设n T 是数列}{n a 的前n 项之积，满足∈-=n a T n n ,1N *． （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设22221n n T T T S +++= ，求证：312111-<<-++n n n a S a ． 解 （1）易知2111==a T ，1,0≠≠n n a T ，且由n n n n a T a T -=-=++1,111，得 n n n n n a a T T a --==+++11111，即nn n a a a -=-++11111，即111111=---+n n a a ． ……………（5分） 所以112111111111+=-+-=-+-=-n n n a a n ，故1111+=+-=n nn a n ． ………………………………………（10分） （2）由（1）得1121+==n a a a T n n ．一方面，222)1(13121++++=n S n 212121)2)(1(14313211-=+-=++++⋅+⋅>+n a n n n ；……………（15分） 另一方面，41)1(141314121222-+++-+-<n S n 32132)23)(21(12725125231+-=++++⋅+⋅=n n n ．又3131212132321321-=-++=+-<+-+n a n n n n ． 所以 312111-<<-++n n n a S a ． ………………………………………（20分）13．过直线0132=+-y x 上一动点A （A 不在y 轴上）作抛物线x y 82=的两条切线， N M ,为切点，直线AN AM ,分别与y 轴交于点C B ,．（1）证明直线MN 恒过一定点；（2）证明△ABC 的外接圆恒过一定点，并求该圆半径的最小值． 证明 （1）设),(00y x A ，11(,)M x y ，22(,)N x y .抛物线x y 82=的过点11(,)M x y 的切线方程为AM ：)(411x x yy +=．而AM 过),(00y x A ，故)(41010x x y y += ①①式说明直线)(400x x y y +=恒过点),(11y x M ．………………………………………（5分）同理可证得直线)(400x x y y +=恒过点),(22y x N ．故直线)(400x x y y +=过N M ,两点，则直线MN 的方程为：)(400x x y y +=． 又13200-=y x ，代入)(400x x y y +=中，得)13(4)8(0-=-x y y ．所以直线MN 恒过定点)8,13(． ………………………………………（10分）（2）直线AM ：)(411x x yy +=与y 轴交于)4,0(11y x B ． 抛物线x y 82=的焦点为)0,2(F ，则111122004y x y x k BF-=--=，又14y k BA =，则18211-=-=⋅y x k k BF BA ，所以BA BF ⊥. 同理可证CA CF ⊥．所以F C B A ,,,四点共圆，且AF 为直径．因此，△ABC 的外接圆恒过定点)0,2(F ． ………………………………………（15分） 在AF 和直线0132=+-y x 垂直时，圆的直径AF 最小．此时，直线AF ：)2(20--=-x y ， 与0132=+-y x 联立，求得)6,1(-A，则||AF =所以，△ABC． ……………………………………（20分）。
数学自我评价(多篇)
数学自我评价（多篇）篇：数学自我评价数学教师自我评价我现任数学课教师。
工作中我克服了重重困难，带领学生积极与班主任密切配合，团结协作，同时也得到校领导的大力支持与帮助，班级学习成绩及纪律都得到一定的提高。
在工作中，我早来晚归，爱岗敬业，无私奉献。
任教以来，一直以爱国心，事业心，责任心“三心”为动力，全身心投入教育工作，以良好师德形象和不断钻研科学育人的方法，探索教育规律，以不怕苦累的实际行动感召学生，以朴实端庄的人民教师形象教育学生，做到了为人师表，修德修才。
教育工作中，我把课前精备、课上精讲、课后精练作为减轻学生负担，提高教学质量的教学三环节，面对有限的课时，我以改革精神探索提高教学效率的科学方法，激发学生自觉参与学习的意识，最大限度地提高单位时间里的教学效益。
把提高教学效益当作首要任务，把课前精备、课上精讲、课后精练作为减轻学生负担，提高教学质量的教学三环节。
课前精备，是指上课前把功夫下在深入钻研教材，广泛搜集有关资料，精心设计课堂结构及教学方法上，特别是认真研究怎样“用最节省的时间、最简洁的方法让学生掌握最多的知识，并促使学生最快地转化为能力”。
课上精讲，是指在课堂教学中，集中时间，集中精力，讲清教材的重点、难点、疑点、能力点、思路和规律，激活课堂气氛，教得生动，学得主动，充分发挥课堂潜在功能。
课后精练，是指在课后作业的安排上，本着质量高，数量少，内容精，方法活，形式多样，针对性强的要求，精心设计，合理分配，严格控制作业数量。
在管理班级的工作中，积极探索班级管理新路子，所带班级班风纯正，学风较端正。
倡导“严谨、求实、启智、育人”的教风，不断加强自身师德，提高业务素质，努力把学生培养成为热爱国家、爱社会、爱他人的时代青年。
爱学生如亲人，对学习成绩优秀的学生予以更大的支持，对成绩或生活情况较差的有自悲心理的学生予以鼓励和帮助，日常通过班会、团活、升旗、宣传栏等形式开展活动以培养学生树立正确的世界观、人生观、价值观，鼓励学生竟选学生干部，树立起自强自立精神。
2015年全国高中数学联赛试题及答案解析
r2
n
1 r2
n
，这里 r 2 3 ．
y2 x2 PQ 2 1(a b 0) 与抛物线 x 2 2 py ( p 0) 有一个共同的焦点 F ， 2 a b 为它们的一条公切线， P 、 Q 为切点，证明： PF QF ．
10. （本小题满分 20 分） 设椭圆
2
令 m max ci ，证明： (
2i 2 n
m c2 c3 c2 n 2 a a an b1 b2 bn ) ( 1 2 )( )． 2n n n
四、 （本小题满分 50 分） n 个棋手参加象棋比赛，每两个棋手比赛一局．规定胜者得 1 分，负者得 0 分，平局各得 0.5 分．如果 赛后发现任何 m 个棋手中都有一个棋手胜了其余 m－1 个棋手， 也有一个棋手输给了其余 m－1 个棋手， 就称 此赛况具有性质 P（m） ．对给定的 m（m≥4） ，求 n 的最小值 f（m） ，使得对具有性质 P（m）的任何赛况， 都有所有 n 名棋手的得分各不相同．
2.若函数 f x log a ax x
2
3.已知 0
2
，且 tan 3tan ，则 u 的最大值为________.
解：因为 0 所以 tan
2
， tan 3tan ，所以 0
5. 已知点 P (1, 2, 5) 是空间直角坐标系 O xyz 内一定点，过 P 作一平面与三坐标轴的正半轴分别交于 A, B, C 三点，则所有这样的四面体 OABC 的体积的最小值为 ． x y z 解：设此平面的方程为 1 ， a, b, c 0 分别是该平面在 x, y, z 轴上的截距，又点 P 在平面 ABC 内， a b c 3 1 2 5 1 10 1 1 2 5 1 1 2 5 1 2 5 ，即 ，得 VOABC abc 45 ．当 ， 故 1 ，由于 1 3 a b c a b c 27 abc a b c 3 a b c 6 即 (a, b, c) (3, 6,15) 时， VOABC 的最小值为 45．
2015年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)
(i ) 5 2 ，此时 1 且 5 ，无解；
22
2
4
(ii) 5 9 2 ，此时有 9 5 ；
件等价于：存在整数 k, l (k l) ，使得
2k 2l 2 ．
①
2
2
当 4 时，区间[, 2]的长度不小于 4 ，故必存在 k, l 满足①式．
当 0 4 时，注意到[, 2] (0, 8) ，故仅需考虑如下几种情况：
．
答案： 2015 1007i ．
解：由已知得，对一切正整数 n ，有
zn2 zn1 1n 1i zn 1 ni 1n 1i zn 2 i ， 于是 z2015 z1 10072 i 2015 1007i ．
4. 在矩形 ABCD 中， AB 2, AD 1 ，边 DC 上（包含点 D 、 C ）的动点 P 与 CB 延 长线上（包含点 B ）的动点 Q 满足 DP BQ ，则向量 PA 与向量 PQ 的数量积 PA PQ 的
6. 在平面直角坐标系 xOy 中，点集 K (x, y) x 3y 6 3x y 6 0所对
应的平面区域的面积为
．
答案：24．
解：设 K1 (x, y) x 3y 6 0 ．先考虑 K1
在第一象限中的部分，此时有 x 3y 6 ，故这些点对
应于图中的 OCD 及其内部．由对称性知， K1 对应的 区域是图中以原点 O 为中心的菱形 ABCD 及其内部．
同理，设 K2 (x, y) 3x y 6 0 ，则 K2 对
应的区域是图中以 O 为中心的菱形 EFGH 及其内部．
由点集 K 的定义知， K 所对应的平面区域是被
2015年全国高中数学联赛试题答案
…………………20 分
包含 a1 的集合至少有
n− s −t 个．又由于 A1 ⊆ Ci （ i = 1, , t ） ，故 C1 , C2 , , Ct 都 k
n− s −t ，即在剩下的 n − s − t 个集合中， k
包含 a1 ，因此包含 a1 的集合个数至少为
n− s −t n − s + (k − 1)t n − s + t （利用 k ≥ 2 ） = +t ≥ k k k n ． ……………40 分 ≥ （利用 t ≥ s ） k
n ≤ (n + 1) ∑ห้องสมุดไป่ตู้ai2 ， i =1 所以①得证，从而本题得证．
…………………40 分
证法二：首先，由于问题中 a1 , a2 , , an 的对称性，可设 a1 ≥ a2 ≥ ≥ an ．此 n 外，若将 a1 , a2 , , an 中的负数均改变符号，则问题中的不等式左边的 ∑ ai 不 i =1 减，而右边的 ∑ ai2 不变，并且这一手续不影响 ε i = ±1 的选取，因此我们可进一
2t u − 1 2u − 1 m 1 2αt ⋅ 1 2αt ⋅ 1 + 2u + + 2(t −1)u ) =+ =+ ( q q q
…………………10 分
n + 2 ∑ aj n = j +1 2
2
2
n 2 n n n 2 2 ≤ 2 ∑ ai + 2 n − ∑ a j （柯西不等式） …………30 分 2 i =1 2 = n j +1 2 n n 2 2 n + 1 n n n + 1 2 a j （利用 n − = = 2 ∑ ai + 2 ） ∑ 2 2 2 i =1 2 = n j +1 2 n n 2 2 2 ≤ n ∑ ai + (n + 1) ∑ a j （利用 [ x ] ≤ x ） n = i =1 j +1 2
2014—2015学年度高一数学竞赛试题(含答案)
2014—2015学年度高一数学竞赛试题(含答案)2014-2015学年度高一数学竞赛试题一．选择题：本大题共5小题，每小题6分，共30分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一个正确的答案。
1.已知集合$M=\{x|x+3<0\}$，$N=\{x|x\leq -3\}$，则集合$M\cap N$=（）A。
$\{x|x0\}$ D。
$\{x|x\leq -3\}$2.已知$\alpha+\beta=\frac{\pi}{4}$，则$(1-\tan\alpha)(1-\tan\beta)$等于（）A。
2 B。
$-\frac{2}{3}$ C。
1 D。
$-\frac{1}{3}$3.设奇函数$f(x)$在$(0,+\infty)$上为增函数，且$f(1)=0$，则不等式$f(x)-f(-x)<0$的解集为（）A。
$(-\infty,-1)\cup (0,1)$ B。
$(-1,0)\cup (1,+\infty)$ C。
$(-\infty,-1)\cup (1,+\infty)$ D。
$(0,1)$4.函数$f(x)=\ln|x-1|-x+3$的零点个数为（）A。
3 B。
2 C。
1 D。
05.已知函数$f(x)=\begin{cases}1/x。
& x\geq 4 \\ 2.&x<4\end{cases}$，则$f(\log_2 5)$=（）A。
$-\frac{11}{23}$ B。
$\frac{1}{23}$ C。
$\frac{11}{23}$ D。
$\frac{19}{23}$二．填空题：本大题共5小题，每小题6分，共30分。
将正确的答案写在题中横线上。
6.已知$0\leq x\leq \frac{\pi}{2}$，则函数$f(x)=4\sqrt{2}\sin x\cos x+\cos^2 x$的值域是\line(5,0){80}。
7.已知：$a,b,c$都不等于0，且$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}$，则$\max\{m,n\}=$\line(5,0){80}，$\min\{m,n\}=$\line(5,0){80}。
2015年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准(加试)(定稿)
2015 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准加 试一、（本题满分 40 分）如图，E 、F 分别是△ABC ，△ACD 的内心，AC 平分∠BAD ，AC 2＝AB ·AD ，延长 EC 交 △CDF 的外接圆于点 K ，延长 FC 交△BCE 的外接圆于点 R ．若 RK ∥EF ，求证：点 A 是△BCD 的外心．RK 证明：如图，连接 ER ，FK ．因为∠BAC ＝∠CAD ，AC 2＝AB ·AD ， 所以△ABC ∽△ADC ，∠ABC ＝∠ACD ．又∠EBC ＝1∠ABC ，∠ACF 1ACD ，2 所以∠EBC ＝∠ACF .＝2∠ 由∠EBC ＝∠ERC 得，∠ERC ＝∠ACF ，所以 ER ∥AC ． K同理 FK ∥AC ，于是 ER ∥FK ． ………………………… 20 又因为 RK ∥EF ，所以四边形 EFKR 为平行四边形，从而 ER ＝FK ． 因为 ER ∥AC ，所以∠REC ＝∠ECA ＝∠ECB ． 又因为∠EBC ＝∠ERC ，EC ＝EC ， 所以△BEC ≌△ECR ，从而 BC ＝ER ． 同理，CD ＝FK ，所以 BC ＝CD ．AC AD CD由AB ＝AC ＝BC ＝1，得△ABC ≌△ADC ，于是 AB ＝AC ＝AD ，即 A 为△BCD 外接圆的外心． ..................................... 40 分≤ n ＋23( 3 )33求所有的正整数 n ，使得对于任意正实数 a 、b 、c 满足 a ＋b ＋c ＝1，有 abc (a n ＋b n ＋c n ) 1． 3解：（1）当 n ≥3 时，取 a 2 b ＝c 1＝3， ＝6， 则 abc (a n ＋b n ＋c n ) 1 (2n －1 11 1 ＞ ．所以 n ≥3 不满足题意． 3n ＋3 ＋2n ＋2n3n ＋2………………………… 10 分（2） 当 n ＝1 时，abc (a ＋b ＋c )＝abc ≤ a ＋b ＋c 3≤ 1，所以n ＝1 时，满足题意．………………………… 20 分（3） 当 n ＝2 时，原不等式也成立．令 x ＝ab ＋bc ＋ca ，则 a 2＋b 2＋c 2＝1－2x ， 由(ab ＋bc ＋ca )2≥3abc (a ＋b ＋c )，得3abc ≤x 2． 于是，abc (a 2＋b 2＋c 2)≤1x 2(1－2x )． 因此 0＜x 1 1 2 －2x ) 1x ＋x ＋1－2x 3 1＜2，从而3x (1 ≤3×( 3) ＝34． 即 abc (a 2＋b 2＋c 2) 1 2 －2x ) 1 ………………………… 40 分 ≤3x (1 ≤34．＝ )设n 为正整数，求满足以下条件的三元正整数组〈a，b，c〉的个数：（1）ab＝n；（2）1≤c≤b；（3）a、b、c 的最大公约数为1．解：用(a，b，c)表示a、b、c 的最大公约数．令S n＝{〈a，b，c〉| a、b、c 为正整数，ab＝n，1≤c≤b，(a，b，c)＝1}，记S n中元素的个数为f(n) (n∈N*)．显然f(1)＝1．①如果n＝pα，其中p 为素数，α≥1．设〈a，b，c〉∈S n，若b＝1，则a＝pα，c＝1；若b＝p t，1≤t≤α－1，则a＝pα－t，(c，p)＝1，1≤c≤b；若b＝pα，则a＝1，1≤c≤b．因此，f(pα)＝1 α－1t＋pα＝pα－1＋pα．(这里φ(x)为Euler 函数)．＋∑φ(p )t=1……………………………… 20 分②下证：如果m，n 为互素的正整数，那么f(mn)＝f(m)·f(n)．首先，对每个〈a，b，c〉∈S mn．由于ab＝mn．令b1＝(b，n)，b2＝(b，m)，那么(b1，b2)＝1，再令a1＝(a，n)，a2＝(a，m)，那么(a1，a2)＝1，而且a1b1＝n，a2b2＝m．因为1＝(a，b，c)＝(a1a2，b1b2，c)＝((a1a2，b1b2)，c)＝((a1，a2)·(b1，b2)，c)．那么(a1，b1，c)＝1，(a2，b2，c)＝1，令c i≡c(mod b i)，1≤c i≤b i，i＝1，2．那么(a1，b1，c1)＝1，(a2，b2，c2)＝1，因此，〈a1，b1，c1〉∈S n，〈a2，b2，c2〉∈S m．……………………………… 30 分其次，若〈a1，b1，c1〉∈S n，〈a2，b2，c2〉∈S m．令a＝a1a2，b＝b1b2．由于(m，n)＝1，从而(b1，b2)＝1．⎧c≡c1 (mod b1)由中国剩余定理，存在唯一的整数c，1≤c≤b，满足⎨．⎩c≡c2 (mod b2)……………………………… 40 分显然(a1，b1，c)＝(a1，b1，c1)＝1，(a2，b2，c)＝(a2，b2，c2)＝1，从而(a，b，c)＝((a，b)，c)＝((a1，b1)(a2，b2)，c)＝(a1，b1，c) (a2，b2，c)＝1．因此，〈a，b，c〉∈S mn．所以，f(mn)＝f(m)·f(n)．利用①②可知，f(n)＝nΠ(1＋1 )． .................................. 50 分p|np设 a 、b 、c 、d 、e 为正实数，且 a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋e 2＝2．若 5 个正三角形的面积分别为 a 2， b 2，c 2，d 2，e 2．求证：这五个三角形中存在四个能覆盖面积为 1 的正三角形 ABC ． 证明：不妨设 a ≥b ≥c ≥d ≥e ＞0．若 a ≥1，则面积为 a 2 的三角形可覆盖△ABC ． ..................... 10 分若 a ＜1，则必有 b ＋c ＞1，这是因为当 c 1 b ≥c ，则 b ＋c ＞1；当 c 1＞2时，由于 又 a ＜1，则 b 2＝2－a 2－c 2－d 2－e 2＞1－3c 2≥(1－c )2，≤2时，所以 b ＋c ＞1，从而 a ＋c ＞1，a ＋b ＞1． .......................... 20 分用面积为 a 2，b 2，c 2 的三个三角形覆盖的△ABC ，使得每个三角形都分别有一个顶点与△ABC 的一个顶点重合，且有两条边在△ABC 的两条边上．于是，这三个三角形两两相交．若这三个三角形能覆盖△ABC ，则结论成立．否则有(a ＋b －1)＋(b ＋c －1)＋(c ＋a －1)＜1，得 2－a －b －c ＞0．……………………………… 30 分令中间不能被 a 2，b 2，c 2 的三个三角形所覆盖的正三角形面积为 f 2， 则 f 2＝1－(a 2＋b 2＋c 2)＋(a ＋b －1)2＋(b ＋c －1)2＋(c ＋a －1)2＝(2－a －b －c )2，得 f ＝2－a －b －c ． .............................................. 40 分下证：d ≥f ．若 d 1 1 1＞2，由 a ≥b ≥c ≥d ≥2，则 f ＝2－a －b －c ＜2，从而 d ＞f ．若 d 1 2 2 2 2 2 2≤2，由 a 、b 、c ＜1，有 d ≥2d ≥d ＋e ＝2－a －b －c ＞2－a －b －c ＝f ． 所以，面积为 d 2 的正三角形可以覆盖△ABC 不能被面积 a 2，b 2，c 2 覆盖的部分．……………………………… 50 分。
2015全国高中数学联赛模拟试题总
2015全国高中数学联赛模拟试题总D面，且使截面与底面BCD 所成的角为075.这样的截面共可作出 个 .二、解答题：本大题共3小题，共56分.9.（本小题满分16分）.试求实数a 的取值范围，使得2是不等式22log (23)21log x x a a+->+的最小整数解.10.（本小题满分20分）、数列{}1n n a ≥定义为11a =，24a=，)1112nn n a a a n -+=+≥.⑴ 求证：数列{}1n n a ≥为整数列；⑵ 求证：121n n a a ++()1n ≥是完全平方数.11.（本小题满分20分）已知S,P(非原点)是抛物线y=x 2上不同的两点,点P 处的切线分别交x,y 轴于Q,R.MDO 2O 1O 3CBA(1)若PR PQ λ=,求λ的值;(2)若⊥,求ΔPSR 面积的最小值.2015年全国高中数学联赛模拟试题01加试一、（本小题满分40分）一、如图，设A 为12,O O 的一个交点，直线l 切12,O O 分别于,B C ，3O 为ABC ∆的外心，3O 关于A 的对称点为D ，M 为12O O 的中点.求证：12O DM O DA ∠=∠.二、（本小题满分40分）设)(131211*N n nSn∈++++= .证明:对任意m ∈N *,存在n ∈N *,使得[S n ]=m.三、（本小题满分50分）试求所有的正整数n ，使得存在正整数数列12na a a <<<，使得和()1i ja a i j n +≤<≤互不相同，且模4意义下各余数出现的次数相同.四、（本小题满分50分）集合S是由空间内2014个点构成，满足任意四点不共面.正整数m满足下列条件：将任意两点连成一条线段，并且在此线段上标上一个m 的非负整数，使得由S中顶点构成的任何一个三角形，一定有两边上的数字是相同的，且这个数字小于第三边上的数字.试求m的最小值.2015全国高中数学联赛模拟试题02一、填空题（每小题8分，共64分） 1.在如下图所示的正方体''''D C B A ABCD -中，二面角''C BD A --等于 （用反三角函数表示）2.如果三角形ABC ∆的三个内角C B A ,,满足CB A cot ,cot ,cot 依次成等差数列，则角B 的最大值是3.实数列{}na 满足条件：)2(2,12,12211121≥+-=++=+=--+n a a n a a a an n n n ，则通项公式=na )1(≥n 。
2015年全国高中数学联赛模拟试题02
( 2 Å x) Å 2 y = [2( 2 Å x) + 2 y ] = 2( 2 Å x) + [2 y ] = 2[2 2 + x] + [2 y ] = 2[ x] + 2[ y ] + 2[2 2 + {x}] + [2{ y}] ， 其中 {x}, { y} 表示 x, y 的小数部分．同理可知 ( 2 Å y ) Å 2 x = 2[ y ] + 2[ x] + 2[2 2 + { y}] + [2{x}] ．
2n 1 知 2n
a9 a10 a20 147 时，符合条件，故最小值为 147 克．
8.在同一直角坐标系中， 函数 f ( x) a 的取值范围是
1759 146 ，即 a20 147 ，又当 ak 2k 1 (k 8) ， 12
ax 4 (a 0) 与其反函数 f 1 ( x) 的图像恰有三个不同的交点， 则实数
二、简答题（本大题共 3 小题，共 56 分） 9.（16 分）设数列 an 的前 n 项和 S n 组成的数列满足
S n S n 1 S n 2 6n 2 9n 7(n 1) ，已知 a1 1, a2 5, 求数列 an 的通项公式。
10.（20 分）设 x1, x2, x3, 是多项式方程 x 10 x 11 0 的三个根。 （1）已知 x1, x2, x3, 都落在区间 (5,5) 之中，
3.实数列 an 满足条件： a1 则通项公式 an 4. F1 , F2 是椭圆
2 n 1, a2 2 1, an 1 an 1 2(n 2) ， 2 an an 1 (n 1) 。
2015年全国高中数学联赛模拟试题06
一、填空题（每小题8分，共64分）1.函数2()24f x x x x =--的值域是 .2. 已知,,a b c 成等比数列，log ,log ,log c b a a c b 成等差数列，则该等差数列的公差为3.正八面体的任意两个相邻面所成二面角的余弦值等于 .4.设椭圆22111x y t t +=+-与双曲线1xy =相切，则t = .5.设z 是复数，则|1||||1|z z i z -+-++的最小值等于 .6.设a ，b ，c 是实数，若方程320x ax bx c +++=的三个非负实根构成公差为1的等差数列， 则3a b c ++的最大值是 .7.设O 是ABC ∆的内心，5AB =，6AC =，7BC =，OP xOA yOB zOC =++， 0,,1x y z ≤≤，动点P 的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于 .8.从正方体的八个顶点中随机选取三点，构成直角三角形的概率是 .二、简答题（本大题共3小题，共56分）9．已知整数列{}n a 满足31a =-，74a =，前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列． (1) 求数列{}n a 的通项公式； (2) 求出所有的正整数m ，使得1212m m m m m m a a a a a a ++++++=．10. 已知函数()()322,32f x x ax bx c g x x ax b =+++=++及△ABC 满足下列条件： （1）,,A B C ∠∠∠成等差数列；（2）tan B 为方程()0f x =的一个根，（3）tan ,tan A C 为方程()0g x =的两个不相等的实根；（4）(tan )(tan )0f A f C += 求()(),f x g x 及,,A B C ∠∠∠的度数11.过抛物线24y x =的焦点F 做直线l 与抛物线交于,A B （1）求证：△AOB 不是直角三角形； （2）当l 斜率为12时，抛物线上是否存在点C 使得△ABC 为直角三角形，若存在，求出所有的点C ；若不存在，说明理由一（本题满分40分）如图，在△ABC 中，AB AC <，O 是△ABC 的外接圆，过点A 作O 的切线交BC 延长线于点D ，过点,B C 作BC 的两条垂线分别与,AB AC 的中垂线交于点,E F . 求证：,,D E F 三点共线二、（本题满分40分）已知无穷正数数列{}n a 满足：（1）存在m R ∈，使得()1,2,i a m i ≤= ；（2）对任意正整数(),i j i j ≠均有1i j a a i j-≥+，求证：1m ≥三、（本题满分50分）设,,,a b c d N ∈满足：1bc ad -=，集合{}{}1,2,3,,1,A a c B ia i N =+-=∈ ， 如果k A B ∈-，求证：b d k k a c ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（其中[]x 表示不超过x 的最大整数）四、（本题满分50分）求所有的自然数n ，使得存在()1,2,,n 的一个置换()12,,,n p p p 满足：集合{}1i p i i n +≤≤和{}1ip i i n -≤≤均为mod n 的完全剩余系一、填空题（每小题8分，共64分）1.函数2()24f x x x x =--的值域是 . 解：425,8⎡⎤-⎣⎦.提示：因04x ≤≤，设22cos x α-=（0απ≤≤），则4cos 2sin 425cos()4y αααϕ=-+=++（其中2cos 5ϕ=，1sin 5ϕ=，ϕ为锐角），所以当0α=时，max 8y =，当αϕπ+=时，min425y =-，故425,8y ⎡⎤∈-⎣⎦.2. 已知,,a b c 成等比数列，log ,log ,log c b a a c b 成等差数列，则该等差数列的公差为解：0或32因为,,a b c 成等比数列，所以2b ac =，所以log log 2b b a c +=，设log ,log b b x a y c ==，则2x y +=又因为log ,log ,log c b aa cb 成等差数列，所以log log 2log ,c a b a b c +=即12x y y x+=于是3229920x x x -+-=即2(1)(272)0x x x --+=，1x =或7334x ±=故32d =或03.正八面体的任意两个相邻面所成二面角的余弦值等于 .解：正八面体由两个棱长都相等的正四棱锥组成，所以任意两个相邻面所成二面角是正四棱锥侧面与底面所成二面角α的两倍.∵tan 2α=，∴2211cos 1tan 3αα==+，则21cos 22cos 13αα=-=-. 4.设椭圆22111x y t t +=+-与双曲线1xy =相切，则t = . 解：由椭圆方程22111x y t t +=+-知，1t >，设其参数方程为1cos 1sin x t y t θθ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（θ为参数）代入双曲线方程1xy =，得22sin 21t θ=-.因两曲线相切，∴2211t =-，故5t =.5.设z 是复数，则|1||||1|z z i z -+-++的最小值等于 .解：在复平面上，设(1,0)A -，(1,0)B ，(0,1)C ，则当Z 为ABC ∆的费马点时，|1||||1|z z i z -+-++取得最小值，最小值为32323113333-++=+. 6.设a ，b ，c 是实数，若方程320x ax bx c +++=的三个非负实根构成公差为1的等差数列， 则3a b c ++的最大值是 .解：设三个根为1α-，α，1α+，则32(1)()(1)x ax bx c x x x ααα+++=-+---，右边展开与左边比较得3a α-=，2(1)(1)(1)(1)31b ααααααα=-++++-=-，(1)(1)c ααα-=-+，消去α得0a ≤且231,3273a a abc =-=-，故323()193a a a b c g a ++==+-，设22'()03a ag a +==得2a =-或0a =. 所以()g a 在(),2-∞-递增，在()2,0-递减，所以max 5(3)(2)9a b c g ++=-=-7.设O 是ABC ∆的内心，5AB =，6AC =，7BC =，OP xOA yOB zOC =++， 0,,1x y z ≤≤，动点P 的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于 . 解：如图，根据向量加法的几何意义，知点P 在图中的三个平形四边形及其内部运动， 所以动点P 的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于等于ABC ∆面积的2倍，即1268.从正方体的八个顶点中随机选取三点，构成直角三角形的概率是 .解：从正方体的八个顶点中随机选取三点，共有38C 个三角形，其中直角三角形有3412C ⨯个，所求“构成直角三角形”的概率是34381267C C ⨯=.三、简答题（本大题共3小题，共56分）9．已知整数列{}n a 满足31a =-，74a =，前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列． (1) 求数列{}n a 的通项公式； (2) 求出所有的正整数m ，使得1212m m m m m m a a a a a a ++++++=． 解：(1) 设数列前6项的公差为d ，则a 5=－1+2d ，a 6=－1+3d ，d 为整数.又a 5，a 6，a 7成等比数列， 所以(3d －1)2=4(2d －1)， 即 9d 2－14d +5=0，得d =1. ………………4分 当n ≤6时，a n =n －4，由此a 5=1，a 6=2，数列从第5项起构成的等比数列的公比为2， 所以，当n ≥5时，a n =2n -5. 故 a n =⎩⎪⎨⎪⎧n －4，n ≤4，2n -5， n ≥5．…………………8分(2) 由（1）知，数列{}n a 为：－3，－2，－1，0，1，2，4，8，16，…当m =1时等式成立，即 －3－2－1=―6=(－3)(－2)(－1)； 当m =3时等式成立，即 －1+0+1=0； 当m =2、4时等式不成立； …………………12分 当m ≥5时，a m a m +1a m +2 =23m -12， a m +a m +1+a m +2=2m -5(23－1)=7×2m -5， 7×2m -5≠23m -12，所以 a m +a m +1+a m +2≠a m a m +1a m +2 .故所求 m = 1，或m =3． …………………16分 10. 已知函数()()322,32f x x ax bx c g x x ax b =+++=++及△ABC 满足下列条件： （1）,,A B C ∠∠∠成等差数列；（2）tan B 为方程()0f x =的一个根，（3）tan ,tan A C 为方程()0g x =的两个不相等的实根；（4）(tan )(tan )0f A f C += 求()(),f x g x 及,,A B C ∠∠∠的度数11.过抛物线24y x =的焦点F 做直线l 与抛物线交于,A B （1）求证：△AOB 不是直角三角形；（2）当l斜率为12时，抛物线上是否存在点C使得△ABC为直角三角形，若存在，求出所有的点C；若不存在，说明理由2015全国高中数学联赛模拟试题06加试一（本题满分40分）如图，在△ABC 中，AB AC <，O 是△ABC 的外接圆，过点A 作O 的切线交BC 延长线于点D ，过点,B C 作BC 的两条垂线分别与,AB AC 的中垂线交于点,E F . 求证：,,D E F 三点共线二、（本题满分40分）已知无穷正数数列{}n a 满足：（1）存在m R ∈，使得()1,2,i a m i ≤= ；（2）对任意正整数(),i j i j ≠均有1i j a a i j-≥+， 求证：1m ≥三、（本题满分50分）设,,,a b c d N ∈满足：1bc ad -=，集合{}{}1,2,3,,1,A a c B ia i N =+-=∈ ， 如果k A B ∈-，求证：b d k k a c⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（其中[]x 表示不超过x 的最大整数）四、（本题满分50分）求所有的自然数n ，使得存在()1,2,,n 的一个置换()12,,,n p p p 满足：集合{}1i p i i n +≤≤和{}1ip i i n -≤≤均为mod n 的完全剩余系。
2015年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)
PA
PQ
(t
)
(2
t)
(1)
(t
1)
t
2
t
1
t
1 2
2
3 4
3 4
．
当 t 1 时， PA PQ 3 ．
2
min 4
5. 在正方体中随机取 3 条棱，它们两两异面的概率为
．
答案： 2 ． 55
化简并整理得，
(m k)(x1 x2 2) 0 ．
假如 m k ，则直线 l 的方程为 y kx k ，即 l 经过点 F1 (1, 0) ，不符合条件．
2
2
f (2) 4 2a b 4 ．
2. 若实数 满足 cos tan ，则 1 cos4 的值为
．
sin
答案：2．
解：由条件知， cos2 sin ，反复利用此结论，并注意到 cos2 sin2 1 ，得
1 cos4 cos2 sin2 sin2
不同的方向．可先取定 AB 方向的棱，这有 4 种取法．不妨设取的棱就是 AB ，则 AD 方向
只能取棱 EH 或棱 FG ，共 2 种可能．当 AD 方向取棱是 EH 或 FG 时， AE 方向取棱分别
只能是 CG 或 DH ． 由上可知，3 条棱两两异面的取法数为 42 8 ，故所求概率为 8 2 ． 220 55
对任一四位数 abcd A1 ，将其对应到四位数 dcba ，注意到 a b, b c, c d 1，故 dcba B ．反之，每个 dcba B 唯一对应于 A1 中的元素 abcd ．这建立了 A1 与 B 之间的一一 对应，因此有
2015年全国高中数学联赛试卷解析汇报
2015 年全国高中数学联合竞赛（A 卷）参考答案及评分标准一试说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标冶填空题只设。
分和香分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题该分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1．设b a ,为不相等的实数，若二次函数b ax x x f ++=2)(满足)()(b f a f =，则=)2(f 答案：4.解：由己知条件及二次函数图像的轴对称性，可得22a b a+=-，即20a b +=，所以(2)424f a b =++=．2．若实数α满足ααtan cos =，则αα4cos sin 1+的值为 ． 答案：2. 解：由条件知，ααsin cos 2=，反复利用此结论，并注意到1sin cos 22=+αα，得)cos 1)(sin 1(sin sin sin cos cos sin 122224αααααααα-+=++=+ 2cos sin 22=-+=αα．3．已知复数数列{}n z 满足),2,1(1,111⋅⋅⋅=++==+n ni z z z n n ，其中i 为虚数单位，n z 表示n z 的共轭复数，则=2015z ．答案：2015 + 1007i ．解：由己知得，对一切正整数n ，有211(1)11(1)2n n n n z z n i z ni n i z i ++=+++=+++++=++, 于是201511007(2)20151007z z i i =+⨯+=+．4．在矩形ABCD 中，1,2==AD AB ，边DC 上（包含点D 、C ）的动点P 与CB 延长线上（包含点B ）的动点Q =PQ PA ⋅的最小值为 ． 答案34． 解：不妨设 A ( 0 , 0 ) , B ( 2 , 0 ) , D ( 0 , l ) ．设 P 的坐标为（t , l) （其中02t ≤≤），则由||||DP BQ =得Q 的坐标为（2，-t )，故(,1),(2,1)PA t PQ t t =--=---,因此，22133()(2)(1)(1)1()244PA PQ t t t t t t ⋅=-⋅-+-⋅--=-+=-+≥．当12t =时，min 3()4PA PQ ⋅=．5．在正方体中随机取三条棱，它们两两异面的概率为 ．答案：255．解：设正方体为ABCD-EFGH ，它共有12条棱，从中任意取出3条棱的方法共有312C =220种．下面考虑使3条棱两两异面的取法数．由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向（即 AB 、AD 、AE 的方向），具有相同方向的4条棱两两共面，因此取出的3条棱必属于3个不同的方向．可先取定AB 方向的棱，这有4种取法．不妨设取的棱就是AB ，则AD 方向只能取棱EH 或棱FG ，共2种可能．当AD 方向取棱是EH 或FG 时，AE 方向取棱分别只能是CG 或DH ．由上可知，3条棱两两异面的取法数为4×2=8，故所求概率为8222055=．6．在平面直角坐标系xOy 中，点集{}0)63)(63(),(≤-+-+y x y x y x 所对应的平面区域的面积为 ． 答案：24．解：设1{(,)||||3|60}K x y x y =+-≤． 先考虑1K 在第一象限中的部分，此时有36x y +≤,故这些点对应于图中的△OCD 及其内部．由对称性知，1K 对应的区域是图中以原点O为中心的菱形ABCD 及其内部．同理，设2{(,)||3|||60}K x y x y =+-≤，则2K 对应的区域是图中以O 为中心的菱形EFGH 及其内部．由点集K 的定义知，K 所对应的平面区域是被1K 、2K 中恰好一个所覆盖的部分，因此本题所要求的即为图中阴影区域的面积S ．由于直线CD 的方程为36x y +=，直线GH 的方程为36x y +=，故它们的交点P 的坐标为33(,)22．由对称性知，138842422CPG S S ∆==⨯⨯⨯=．7．设ω为正实数，若存在实数)2(,ππ≤<≤b a b a ，使得2sin sin =+b a ωω，则ω的取值范围为 ． 答案：9513[,)[,)424w ∈+∞．解：2sin sin =+b a ωω知，1sin sin ==b a ωω，而]2,[,ππωωw w b a si ∈，故题目条件等价于：存在整数,()k l k l <，使得ππππππw l k w 22222≤+≤+≤． ①当4w ≥时，区间]2,[ππw w 的长度不小于π4，故必存在,k l 满足①式． 当04w <<时，注意到)8,0(]2,[πππ⊆w w ，故仅需考虑如下几种情况：(i) ππππw w 2252≤<≤，此时21≤w 且45>w 无解； (ii) ππππw w 22925≤<≤，此时2549≤≤w ; (iii) ππππw w 221329≤<≤，此时29413≤≤w ,得4413<≤w ． 综合(i)、(ii)、(iii)，并注意到4≥w 亦满足条件，可知9513[,)[,)424w ∈+∞．8．对四位数abcd (9d ,0,91≤≤≤≤c b a ，)，若,,,d c c b b a ><>则称abcd 为P 类数；若d c c b b a <><,,，则称abcd 为Q 类数，用N(P)和N(Q)分别表示P 类数与Q 类数的个数，则N(P)-N(Q)的值为 ．答案：285．解：分别记P 类数、Q 类数的全体为A 、B ，再将个位数为零的P 类数全体记为0A ，个位数不等于零的尸类数全体记为1A ．对任一四位数1A abcd ∈，将其对应到四位数dcba ，注意到1,,≥><>d c c b b a ，故B dcba ∈．反之，每个B dcba ∈唯一对应于从中的元素abcd ．这建立了1A 与B 之间的一一对应，因此有011()()||||||||||||N P N Q A B A A B A -=-=+-=．下面计算0||A 对任一四位数00A abc ∈, b 可取0, 1，…，9，对其中每个b ，由9≤<a b 及9≤<c b 知，a 和c 分别有b -9种取法，从而992200191019||(9)2856b k A b k ==⨯⨯=-===∑∑．因此，()()285N P N Q -=．二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2015年寒假高中数学联赛VIP班二试解题提高班课前水平自我评估测试pdf
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2015 年寒假高中数学联赛 VIP 班 （二试解题提高班）
课前水平自我评估测试
本测试与数学联赛提高班公用。以下给出各分数段学员预期听课感受。 具体班型选择，参考班级对应的课程说明。
1、 高中数学联赛 VIP 班（二试解题提高班）：本课程学习难度按照课前水
，由于
f
(−x)
=f ( x) ，只须考虑
x,
y ∈ R+
的情
( ) ( ) ( ) 况，= 令 x = u , y v ，化为 = 1 1 + 1 ，再令 f u+v f u f v
( )
g
(t
)
=
f
1 t
,
0 ,
f( t)≠0 ，
f( t)=0
则化为 g (u + v=) g (u) + g (v) ………○1 ，
≤
λ.．
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加试部分
1. 凸四边形 ABCD 的对角线交于 P。已知角 DAC = 30◦，角 BDC = 50◦， 角 CBD = 15◦，角 BAC =75◦, 求角 AP D. （本题 40 分） 2. 已知对任意 x, y, z ≥ 0 都有 x3 + y3 + z3 − 3xyz ≥ c|(x − y)(y − z)(z − x)|. 求 cmax. （本题 40 分） 3. 由 2014 个不同的正整数组成的集合 M 满足：M 中任意两个不同的数的比不是 整数. M 中的数 x 称为好的,如果存在 y, z ∈ M, y ≠ z 满足 x2|yz. 问:M 中至多可能有多 少个好数? （本题 50 分）
2015年福建省高中数学竞赛暨2015年全国高中数学联赛(福建省赛区)预赛试卷及参考答案
2015年福建省高中数学竞赛暨2015年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷及参考答案2015年福建省高中数学竞赛暨2015年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷（考试时间：2015年5月24日上午9：00—11: 30,满分160分）一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。
请直接将答案写在题中的横线上）*JC +4I1 .设集合^ = J x∖—≤0,x∈Z ,从集合』中随机抽取一个元素，记W,则随机x-3 J '变量J的数学期望^ _____________________ 。
2 •已知∕fχ）= χ4g（jc）,其中g（x）是定义在R上，最小正周期为2的函数。
若/衣）在区间上的最大值为1 ,则幷）在区间［10,12）上的最大值为___________________ OJ L Z3 . ! ■、为椭圆：［∙I （—7 ）的左、右焦点，若椭圆「上存在一点/ ,使a b得门一宀；，则椭圆离心率J的取值范围为_______________ O4 •已知实数X, y, Z满足^ .,贝U - 2；- - 的最小值为_________________ o5•已知函数,数列-；•中，, ∙ n（―「「），则数列的前100项之和；O6 •如图，在四面体中二」，占畳1；L ］, "― L山—L∙L ,且川与平面二L所成角的余弦值为"。
则该四面体外接球半径H ______________________________________ O37•在复平面内，复数召、4、百的对应点分别为Z］、&&、。
若I=ISiM,OZ1［OZ^=0, I石4勺-® I二1,则I I的取值范围是 ________________________ o 8•已知函数恰有两个极值点［,［（H.）,则'.L的取值范围为__________________ O9•已知.;■!<- T ,若卜」Q —j — b I「「11 - + ij ,则：'■■；■ λ 的取值范围为_____________________ O亠兀2兀n兀 1 4兀 a ,亠10.若Sin Sin -∙ Sin tan ,则正整数lr:的最小值为。
2015年全国高中数学联合竞赛XX省预赛校模拟试卷(高一年级)
3．若对于任意实数 x ， | x + a | - | x + 1 |≤ 2a 恒成立，则实数 a 的最小值为 1a2015}，则集合 S中的元| x x2015年全国高中数学联合竞赛XX 省预赛校模拟试卷（高一年级）说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中5分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题（本大题共10小题，每小题9分，共90分．）1．已知数列{a n } 是等差数列，a 2 和 a 项的和为 1209 ．2014是方程 5x 2 - 6 x + 1 = 0 的两根，则数列{a n } 的前 20152．已知 a , b 是常数，函数 f ( x ) = ax 3 + b ln( x +x 2 + 1) + 3 在 (-∞,0) 上的最大值为 10,则 f ( x )在 (0,+∞) 上的最小值为 －4 ．3 ．4．设 a = 2 n , b = 5n - 1(n ∈ N *)， S = {a , a , , ann12素的个数为504 ．2015} {b , b , , b1 2△5．ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ．若 a - c = a sin C ，则 sinA - C B+ sin 的值为2 21．6．设多项式 f ( x ) 满足 f ( x ) + f ( x + 1) = -2x 2 + 2x + 3 ，则 f (1) + f (2) + + f (9) = －186 ．7．已知点 P 在 △Rt ABC 所在平面内，∠BAC = 90︒ ，∠CAP 为锐角， AP |= 2 ，AP ⋅ AC = 2 ，AP ⋅ AB = 1 ．当 | AB + AC + AP | 取得最小值时， tan ∠CAP =72 ．8． 8sin 2 10︒ + 1 sin10︒的值为 6 ．9．函数 f ( x ) = 8 - x + 3x + 6 的最小值为10 ．p + 1p 2 + 110．使得和都是完全平方数的最大质数 p 为7 ．2 2二、解答题（本大题共3小题，每小题20分，共60分．） 11．定义在 (0,+∞) 上的函数 f ( x ) 满足：x① f (2) = 1 ；②当 x > 1时， f ( x ) > 0 ；③ f ( ) = f ( x ) - f ( y ) ．y（1）试判断函数 f ( x ) 的单调性；（2）若 f (t ) + f (t - 3) ≤ 2 ，试求 t 的取值范围．x x解 （1）设 0 < x < x ，则 2 > 1 ，故 f ( 2 ) > 0 ，即 f ( x ) - f ( x ) > 0 ，所以 f ( x ) > f ( x ) ，1 2 2 1 2 1 1 1故 f ( x ) 在 (0,+∞) 上是单调增函数． ………………………………………（5 分）4（2）因为 f (2) = f ( ) = f (4) - f (2) ，所以 f (4) = 2 f (2) = 2 ，从而2f (t ) + f (t - 3) ≤ f (4) ． ………………………………………（10 分） 即 f (t ) ≤ f ( 4 t - 3) ，于是⎨t - 3 > 0,………………………………………（15 分）⎪⎩ t - 312．已知正实数 a , b , c 满足 a 2 + b 2 = c 2 ，求 (1 +)(1 + ) 的最小值． 当 x = 2 时， u ＝ (1 + )(1 + ) 取得最小值1 +（2）设 S n = T 12 + T 22 + + T n 2 ，求证： a n +1 - 1 < S n < a n +1 - ． a n +1 n +1 = n +1 = =1 - a n +1 1 - a n n + 1 n + 1n + 1n +1 - ；……………（15 分）n + - = - = a n +1 - ． < S n < a n +1 - ． ………………………………………（20分） ⎧⎪t > 0,⎪ ⎪ 4 t ≤ . 解得 3 < t ≤ 4 ．故 t 的取值范围是 (3,4] ．………………………………………（20 分）c ca bπ解 设 a = c ⋅ sin α , b = c ⋅ cos α ， α ∈ (0, ) ，则2c c 1 1 sin α + cos α + 1u = (1 + )(1 + ) = (1 + )(1 + ) = 1 + ． …………………（5 分）a b cos α sin α sin α cos απ令 x = sin α + cos α ，则 x = 2 sin(α + ) ，1 < x ≤ 2 ． …………………（10 分）4x 2 - 1 x + 1 2又 sin α cos α = ，所以 u = 1 + = 1 +2 x 2 - 1 x - 1 2 c c 2a b 2 - 1． ………………………………（15 分）= 3 + 2 2 ．…………………（20 分）13．设 T n 是数列{a n } 的前 n 项之积，满足 T n = 1 - a n , n ∈ N * ．（1）求数列{a n } 的通项公式；1 2 3解 （1）易知 T 1 = a 1 = 12， T ≠ 0, a ≠ 1 ，且由 T n n n +1 = 1 - a n +1 , T = 1 - a ，得n nT 1 - a 1 1 1a n +1 ，即 ，即 - = 1． ……………（5 分） T 1 - a 1 - a 1 - a n n n +1 n 1 1 1所以 = + n - 1 = + n - 1 = n + 1 ，故1 - a 1 - a1 n 1 1 -21 na = 1 - = ． ………………………………………（10 分） n 1（2）由（1）得 T = a a a = ．n 1 2 n一方面， S = n 1 1 1+ + +2 2 32 (n + 1) 21 1 1 1 1 1 > + + + = - = a2 ⋅3 3 ⋅4 (n + 1)(n + 2) 2 n + 2 2 另一方面，S < 1n 2 2 - 1 4 + 1 + + 11 1 32 - (n + 1) 2 -4 4 = 1 + 1 + + 35 5 7 ⋅ ⋅ 2 2 2 211 3 (n + )(n + )2 2 = 2 3- 1 n + 2 ． 32 1 又 -3 2 3< 2 1 n + 1 1 1 3 n + 2 n + 2 3 3所以 a n +1 - 1 2 1 3。
2014-2015学年度高中数学学业水平测试模拟试卷(一)(含解析)
第1页 共12页 ◎ 第2页 共12页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………2014-2015学年度高中数学学业水平测试模拟试卷(一）考试范围：必修1—5；考试时间：100分钟第I 卷（选择题）评卷人 得分一、选择题（本大题共17个小题，每小题3分，共51分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请在答题卡相应的位置上填涂）.1．如果33log log 4m n +=，那么n m +的最小值是（ ）A ．4B ．34C ．9D ．182．若0ab >，则下列四个等式： ①()lg lg lg ab a b =+ ②lg lg lg a a b b ⎛⎫=-⎪⎝⎭③21lg lg 2a a b b ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭④()1lg log 10ab ab =中正确等式的符号是( ）A ．①②③④B ．①②C ．③④D ．③3．如图为()()()πϕωϕω<>>+=,0,0sin A x A x f 的图象的一段,则其解析式为（ ）A ．y=3sin 3x π⎛⎫-⎪⎝⎭B ．y=3sin 223x π⎛⎫-⎪⎝⎭C ．y=3sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ． y=3sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭4．已知集合A ＝｛0，1,2，3，4，5｝，B ＝｛1,3，6，9},C ＝{3，7，8｝，则（A ∩B ）∪C 等于 ( )A ．｛0,1，2，6，8}B ．｛3,7,8｝C ．｛1,3，7，8}D ．｛1,3，6，7，8｝5．数列－1,43,－95,167，…的一个通项公式是( ) A ．2(1)21nn n a n =-⋅- B ．(1)(1)21n n n n a n +=-⋅-C ．2(1)21nn n a n =-⋅+ D ．22(1)21n n n n a n -=-⋅- 6．下列表示中，正确的是 ( ）A 。
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3 −1 ， a3=
5+
3 −1 ， 2
a4
=7 +
3 −1 ，…，
( ) 易得， a2k = 3k +1+
3 −1 ， a2k+1 =
3k + 2 +
3 −1 ；所以 a=
2
2014
3021 +
3
3、（8 分） 1 6
【解= 】 SA1BD
= 3 ( 2)2 4
3 2
，设
AC1
与
DA1BD
所在
平面交于 M ， AM = h ，据四面体 A1ABD 的体积关系得
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测试答案
一试部分
一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分
1、（8 分）81.
【解】由题设知，n
恰有
5
个约数.设
n
的质因数分解是 n
=
pα1 1
pαk k
，则
n
的约数个数为
(α1 +1)(αk +1) ， 所 以 (α1 +1)(αk +1) ＝ 5 ， 故 n 具 有 p4 的 形 式 ， 而
2
【解】设 cosθ = x ，则问题等价于：对任意 x ∈[0,1] ，有 1− x2 − ( px + q) ≤
2 −1 .
2
令 y1 =px + q, y2 =1− x2 .
于是， y2 −
2 −1 2
≤
y1
≤
y2
+
2 −1 .
2
故直线 l :=y
px + q 夹在曲线 C1 : y =
1− x2 −
4. n 个不同的球放在编号分别为 1 ∼ 9 的九个箱子中满足: 1 号箱中球的个数等于 2,3,4,5 号箱中球的个数之和. 令 an 表示满足条件的放法数. 求最小实数 c 使得对任意 正整数 n,都有 an+1 < can. （本题 50 分）
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序构成一个等差数列，求直线 l 的方程.
10、（20 分）已知函数 f (n) 是定义在 N + 上的严格增函数，其值域也在 N + 之中，且满足 f ( f (n)) = 3n .求 f (2014)
11、（20 分）各项均为正数的数列{an} ，= a1 a= , a2 b ，且对满足 m + n = p + q 的正整数
（满分 300 分）的学员层次进行难度及内容设计。通过本课程，主要目标为达到 160
分以上程度。
“课前水平自我评估测试” 听课预期感觉
分数段（满分 300 分）
0-80
很难
80-115
较难
115-135
普通
135 分以上
容易
“课后学习收获评估测试” 预期分数提升
预期分数段（满分 300 分）
未知
不建议进入本班学习
x2 + y2
f (x) f (y)
=
，则
f (x)+ fx, y, z 是 不 同 的 正 整 数 ， 若 {x + y, y + z, z + x} = {n2 , (n + 1)2 , (n + 2)2} ， 则 x2 + y2 + z 2 的最小值是 _________．
= 34 81,= 54 625 > 500 ，故 n 的最大值为 81.
2、（8 分） 3021 + 3
( ) 【解】据 a0 =1+
3 −1
， a1
= 1+ 1 = 1+ 3 +1 = 2 + 3 −1 ，
3 −1
2
2
( ) ( ) ( ) a2 =2 +
2 =2 + 3 −1
3 +1 =4 +
3, an=+1
[an
]
+
1 {an}
（
[an
]
与
{an}
分别表示
an
的整数部
分和小数部分），则 a2014 =
.
3、 将棱长为1的正方体的八个顶点按红、蓝间隔染色，使得每条棱上的两顶点不同色；那
么，由红色顶点连成的四面体与由蓝色顶点连成的四面体的公共部分的体积
是
．
( ) 4、 设偶函数 f ( x) 满足： f (1) = 2 ，且当 xy ≠ 0 时， f
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2015 年寒假高中数学联赛提高班 课前水平自我评估测试
本测试与数学联赛 VIP 班（二试解题提高班）公用。以下给出各分数 段学员预期听课感受。具体班型选择，参考班级对应的课程说明。
1、 高中数学联赛提高班：本课程学习难度按照课前水平自我评估测试平均 115 分
x2 a2
+
y=2 b2
1
(a > b > 0) 的中心，右焦点，右顶点，右准线与 x 轴的交点依次为
FG
O, F,G, H ，则
的最大值为
.
OH
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二、解答题：本大题共 3 个小题，共 56 分.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤. 9、（16 分）给定圆 P： x2 + y2 = 2x 及抛物线 S： y2 = 4x ，过圆心 P 作直线 l ，此直线与 上述两曲线的四个交点，自上而下顺次记为 A, B, C, D ，如果线段 AB, BC, CD 的长按此顺
因此 f (5) = 2 ．
25
（注：若看出
○1 为柯西方程，则可以直接得到
g
(u)
=
cu
，所以
f
(x)
=
c1 x2
，取
x
= 1 得 c1
=
2，
f
(x)
=
2 x2
，
f
(5)
=
2 25
．）
5、（8 分）1297 ． 【解】设 x > y > z ，由于 (x + y) + ( y + z) + (x + z) = 2(x + y + z) 为偶数，
m, n, p, q 都有 am + an = ap + aq . (1+ am )(1+ an ) (1+ ap )(1+ aq )
（1）= 当 a
1= , b 2
4 5
时，求通项
an
;
（2）证明：对任意 a ，存在与 a 有关的常数 λ ，使得对于每个正整数对于每个正整数 n ，
都有
1 λ
≤
an
QBXT/JY/KQSPZWPGCS2015/1-1-3
（2015 年寒假集中培训课程使用）
2015 年寒假高中数学联赛提高班 课前水平自我评估测试
试卷说明
本测试用于学生对水平进行提前自我评估。如有学员希望单独得到金牌助教们的阅卷及 分析，请通过邮箱与我们取得联系。方式 1：将自测结果（推荐直接在原试卷上给出答案） 以照片或扫描件的形式发送。方式 2：将自测答案单独以 excel 或 word 形式发送。我们会在 收到答案的两周内进行评阅并进行个性化分析。
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清北学堂学堂课前水平自我评估测试
一试部分
一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分
1、
正整数
n
≤
500
，具有如下性质：从集合 {1,
2, ,
500}
中任取一个元素
m，则
m
整除
n
1
的概率是 ，则 n 的最大值是
.
100
2、 数列 a0 , a1, a2 ，…，满足：= a0
据 ○1 ， g (2u)= g (u + u)= 2g (u) ， g (3u) = g (u + 2u) = g (u) + 2g (u) = 3g (u) ，
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清北学堂学堂课前水平自我评估测试
( ) ( ) 归纳得， g (ku) = kg (u) ，= 令 k 2= 5, u 1 ，得 g (25) = 25g (1) ，即 1 = 25 ， f 25 f 1
，由于
f
(−x)
=f ( x) ，只须考虑
x,
y ∈ R+
的情
( ) ( ) ( ) 况，= 令 x = u , y v ，化为 = 1 1 + 1 ，再令 f u+v f u f v
( )
g
(t
)
=
f
1 t
,
0 ,
f( t)≠0 ，
f( t)=0
则化为 g (u + v=) g (u) + g (v) ………○1 ，
110-140
30 分左右
140-160
20 分左右