2019—2020年最新北师大版高中数学必修四全册考点综合测试1及答案解析.docx
北师大版高中数学必修四：本册综合测试【1】(含解析)
本册综合测试一本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若点A (x ，y )是300°角终边上异于原点的一点，则yx 的值为( )A ．3B ．－3C ．33D ．－33[答案] B[解析] 由三角函数的定义知yx ＝tan300°＝tan(360°－60°)＝－tan60°＝－ 3.2．(2014·陕西文，2)函数f (x )＝cos(2x ＋π4)的最小正周期是( )A ．π2B ．πC ．2πD ．4π[答案] B[解析] T ＝2π2＝π，选B.y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)，ω>0，A >0的最小正周期为2πω. 3．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为( )A ．⎝⎛⎭⎫2，72B ．⎝⎛⎭⎫2，－12C ．(3,2)D ．(1,3) [答案] A[解析] 本题主要考查平面向量的坐标运算． BC →＝(3＋1,1＋2)＝(4,3)， 2AD →＝2(x ，y －2)＝(2x,2y －4) ∵BC →＝2AD →，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝2x3＝2y －4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝72，故选A.4．函数f (x )＝sin(x －π4)的图像的一条对称轴是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2[答案] C[解析] 本题考查了正弦型函数图像的对称轴问题． 函数f (x )＝sin(x －π4)的图像的对称轴是x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋3π4，k ∈Z . 当k ＝－1时，x ＝－π＋3π4＝－π4.要清楚函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的对称轴，其本质是sin(ωx ＋φ)＝±1时解出的． 5．设向量a 和b 的长度分别为4和3，夹角为60°，则|a ＋b |等于( ) A ．37 B ．13 C ．37 D ．13 [答案] C[解析] |a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝|a |2＋2|a ||b |cos60°＋|b |2＝16＋2×4×3×12＋9＝37，|a ＋b |＝37，故选C.6．设0≤α<2π，若sin α>3cos α，则α的取值范围是( ) A ．⎝⎛⎭⎫π3，π2B ．⎝⎛⎭⎫π3，π2∪⎝⎛⎭⎫4π3，3π2C ．⎝⎛⎭⎫π3，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，4π3D ．⎝⎛⎭⎫π3，4π3 [答案] D[解析] 当α∈[0，π2)时，由sin α>3cos α，得sin αcos α＝tan α>3，解得α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2；当α∈[π2，π]时，cos α≤0，显然原式成立；当α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2时，易得tan α<3，解得α∈⎝⎛⎭⎫π，4π3；当α∈⎣⎡⎭⎫3π2，2π时，sin α<0，cos α≥0，原式不成立，综上，α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π3，4π3. 7．设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图像向右平移π3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值为( )A ．13B ．3C ．6D ．9[答案] C[解析] 由题意得：π3为函数f (x )＝cos ωx 的最小正周期的正整数倍，∴π3＝k ·2πω(k ∈N ＋)， ∴ω＝6k (k ∈N ＋)，∴ω的最小值为6.8．△ABC 外接圆的半径为1，圆心为O ，且2OA →＋AB →＋AC →＝0，|OA →|＝|AB →|，则CA →·CB →的值为( )A ．32B ．3C ．3D ．2 3[答案] C[解析] 如图所示，取BC 边中点M ，由2OA →＋AB →＋AC →＝0，可得2AO →＝AB →＋AC →＝2AM →， 则点M 与点O 重合．又由|OB →|＝|OC →|＝|OA →|＝|AB →|＝1， 可得|AC |＝|BC |·sin60°＝2×32＝3， 则CA →·CB →＝|CA →||CB →|·cos C ＝|CA →|2＝3.9．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)cos(ωx ＋φ)(ω>0)，以2为最小正周期，且能在x ＝2时取得最大值，则φ的一个值是( )A ．74πB ．－54πC ．－34πD ．π2[答案] C[解析] f (x )＝12sin(2ωx ＋2φ) T ＝2π2ω＝2∴ω＝π2，∴f (x )＝12sin(πx ＋2φ)，当x ＝2时，πx ＋2φ＝2π＋2φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π－3π4，k ∈Z .10．已知f (x )＝sin(x ＋π2)，g (x )＝cos(x －π2)，则下列结论中不正确的是( )A ．函数y ＝f (x )g (x )的最小正周期为πB ．函数y ＝f (x )g (x )的最大值为12C ．函数y ＝f (x )g (x )的图像关于点(π4，0)成中心对称D ．将函数f (x )的图像向右平移π2个单位后得到函数g (x )的图像[答案] C[解析] f (x )＝cos x ，g (x )＝sin x ， y ＝f (x )g (x )＝cos x sin x ＝12sin2x ，∴最小正周期T ＝π，最大值为12，∴选项A ，B 正确．当x ＝π4时，y ＝12sin(2×π4)＝12≠0，∴y ＝f (x )g (x )的图像不关于点(π4，0)对称，选项C 错误．将f (x )的图像向右平移π2个单位后得y ＝cos(x －π2)，即g (x )的图像，选项D 正确．第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上) 11．已知α为直线x ＋3y ＝0的倾斜角，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值为________． [答案] 12[解析] 因为直线x ＋3y ＝0的斜率为－13，所以tan α＝－13，所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan α·tan π4＝－13＋11＋13＝12. 12．(2014·重庆文，12)已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b |＝10，则a ·b ＝________.[答案] 10[解析] 此题考查向量数量积的运算． ∵a ＝(－2，－6)，∴|a |＝4＋36＝210， ∴a ·b ＝210×10×cos60°＝10.13.下图是y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图像，则其解析式为________．[答案] y ＝3sin(2x ＋π3)[解析] 由图知T ＝11π6＋π6＝2π，∴ω＝1且A ＝2.由图像过(－π6，0)，得1×(－π6)＋φ＝0，又0<φ<π2，∴φ＝π6.∴y ＝2sin(x ＋π6)．14．已知cos(α－β)＝－45，cos(α＋β)＝45，90°<α－β<180°，270°<α＋β<360°，则cos2α＝__________.[答案] －725[解析] 由cos(α－β)＝－45，cos(α＋β)＝45，90°<α－β<180°，270°<α＋β<360°， 所以sin(α－β)＝35，sin(α＋β)＝－35，所以cos2α＝cos[(α－β)＋(α＋β)]＝cos(α－β)·cos(α＋β)－sin(α－β)·sin(α＋β) ＝－45×45－35×⎝⎛⎭⎫－35＝－725. 15．设f (x )＝cos xcos (30°－x )，则f (1°)＋f (2°)＋…＋f (59°)＝________.[答案]5932[解析] f (x )＋f (60°－x ) ＝cos xcos (30°－x )＋cos (60°－x )cos (x －30°)＝cos x ＋cos (60°－x )cos (30°－x )＝3sin (60°＋x )cos (30°－x )＝3，∴f (1°)＋f (2°)＋…＋f (59°)＝[f (1°)＋f (59°)]＋[f (2°)＋f (58°)]＋…＋[f (29°)＋f (31°)]＋f (30°)＝5932. 三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)已知π6<α<2π3，sin(α－π3)＝m ，求tan(4π3－α)的值．[解析] ∵π6<α<2π3，∴－π6<α－π3<π3.∴cos(α－π3)＝1－m 2.∴tan(α－π3)＝sin (α－π3)cos (α－π3)＝m1－m 2. ∴tan(4π3－α)＝tan[π－(α－π3)]＝－tan(α－π3)＝－m 1－m 2.17．(本小题满分12分)OA →＝(2,5)，OB →＝(3,1)，OC →＝(6,3)，在OC →上是否存在点M ，使MA →⊥MB →？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．[解析] 设存在点M ，且OM →＝λOC →＝(6λ，3λ)(0<λ≤1)， ∴MA →＝(2－6λ，5－3λ)，MB →＝(3－6λ，1－3λ)． ∴45λ2－48λ＋11＝0，解得λ＝13或λ＝1115.∴OM →＝(2,1)或OM →＝(225，115)．∴存在M (2,1)或M (225，115)满足题意．18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝4cos 4x －2cos2x －1sin (π4＋x )sin (π4－x ).(1)求f (－11π12)的值；(2)当x ∈[0，π4)时，求g (x )＝12f (x )＋sin2x 的最大值和最小值．[解析] (1)f (x )＝(1＋cos2x )2－2cos2x －1sin (π4＋x )sin (π4－x )＝cos 22xsin (π4＋x )cos (π4＋x )＝2cos 22x sin (π2＋2x )＝2cos 22x cos2x ＝2cos2x ，∴f (－11π12)＝2cos(－11π6)＝2cos π6＝ 3.(2)g (x )＝cos2x ＋sin2x ＝2sin(2x ＋π4)，∵x ∈[0，π4)，∴2x ＋π4∈[π4，3π4)．∴当x ＝π8时，g max (x )＝2，当x ＝0时，g min (x )＝1.19．(本小题满分12分)已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°. (1)计算：①|a ＋b |；②|4a －2b |. (2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(k a －b )? [解析] 由已知可得a ·b ＝4×8×(－12)＝－16.(1)①|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2 ＝16＋2×(－16)＋64＝48， 所以|a ＋b |＝4 3.②|4a －2b |2＝16a 2－16a ·b ＋4b 2 ＝16×16－16×(－16)＋4×64 ＝3×162，所以|4a －2b |＝16 3. (2)若(a ＋2b )⊥(k a －b )，则 (a ＋2b )·(k a －b )＝0，所以k a 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0， 16k －16(2k －1)－2×64＝0， 故k ＝－7.20．(本小题满分13分)(2014·重庆理，17)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ<π2)的图像关于直线x ＝π3对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f (α2)＝34(π6<α<2π3)，求cos(α＋3π2)的值．[解析] (1)因f (x )的图像上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2，又因f (x )的图像关于直线x ＝π3对称，所以2·π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，…，因－π2≤φ<π2得k ＝0， 所以φ＝π2－2π3＝－π6.(2)由(1)得f (α2)＝3sin(2·α2－π6)＝34.所以sin(α－π6)＝14.由π6<α<2π3得0<α－π6<π2. 所以cos(α－π6)＝1－sin 2(α－π6)＝1－(14)2＝154.因此cos(α＋3π2)＝sin α＝sin[(α－π6)＋π6]＝sin(α－π6)cos π6＋cos(α－π6)sin π6＝14·32＋154·12 ＝3＋158. 21．(本小题满分14分)设函数f (x )＝a ·(b ＋c )，其中向量a ＝(sin x ，－cos x )，b ＝(sin x ，－3cos x )，c ＝(－cos x ，sin x )，x ∈R .(1)求函数f (x )的单调减区间；(2)函数y ＝f (x )的图像可由函数y ＝sin x 的图像经过怎样变化得出？ (3)若不等式|f (x )－m |<2在x ∈[π8，π2]上恒成立，求实数m 的取值范围．[解析] (1)由题意得f (x )＝a ·(b ＋c )＝(sin x ，－cos x )·(sin x －cos x ，sin x －3cos x )＝sin 2x －2sin x cos x ＋3cos 2x ＝2＋cos2x －sin2x ＝2＋2sin(2x ＋3π4)．由2k π＋π2≤2x ＋3π4≤2k π＋3π2，得k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z )．故f (x )的单调减区间为[k π－π8，k π＋3π8](k ∈Z )．(2)先将y ＝sin x 的图像上所有点向左平移3π4个单位，再将所得的图像上所有点横坐标压缩到原来的12，然后再将所得的图像上所有点纵坐标伸长到原来的2倍，最后将所得图像上所有点向上平移2个单位即可得y ＝f (x )的图像．(3)∵|f (x )－m |<2在x ∈[π8，π2]上恒成立，∴f (x )－2<m <f (x )＋2，∴m >[f (x )]max －2且m <[f (x )]min ＋2， 即m >0且m <4－2，∴0<m <4－ 2.。
新教材北师大版高中数学必修四：综合能力检测(1)及答案解析
（新教材）北师大版精品数学资料第一章综合能力检测本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2014·全国大纲文，2)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( ) A ．45B ．35C ．－35D ．－45[答案] D[解析] 由条件知：x ＝－4，y ＝3，则r ＝5，∴cos α＝x r ＝－45.要熟练掌握三角函数的定义．2．集合M ＝{x |x ＝sin n π3，n ∈Z }，N ＝{x |x ＝cos n π2，n ∈Z }，则M ∩N 等于( ) A ．{－1,0,1} B ．{0,1} C ．{0} D ．∅ [答案] C[解析] ∵M ＝{x |x ＝sinn π3，n ∈Z }＝{－32，0，32}，N ＝{－1,0,1}， ∴M ∩N ＝{0}，应选C.3．(2014·辽宁理，9)若点A (x ，y )是600°角终边上异于原点的一点，则yx 的值是( )A ．33B ．－33C ．3D ．－ 3[答案] C[解析] 由三角函数定义知，yx＝tan600°，而tan600°＝tan240°＝tan60°＝3，∴yx ＝ 3.4．下列说法中错误的是( )A ．y ＝cos x 在⎣⎡⎦⎤2k π，2k π＋π2(k ∈Z )上是减函数B ．y ＝cos x 在[－π，0]上是增函数C ．y ＝cos x 在第一象限是减函数D ．y ＝sin x 和y ＝cos x 在⎣⎡⎦⎤π2，π上都是减函数 [答案] C[解析] ∵y ＝cos x 的单调减区间为[2k π，2k π＋π]，k ∈Z ，∴在⎣⎡⎦⎤2k π，2k π＋π2上y ＝cos x 是减函数，但在第一象限不是减函数． 5．已知角α的终边上一点的坐标为(sin 2π3，cos 2π3)，则角α的最小正值为( )A ．5π6B ．2π3C ．5π3D ．11π6[答案] D[解析] ∵sin 2π3>0，cos 2π3<0，∴点(sin 2π3，cos 2π3)在第四象限．又∵tan α＝cos2π3sin 2π3＝－33，∴α的最小正值为2π－16π＝116π.6．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m 的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x＝π3是其图像的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是( ) A ．y ＝4sin(4x ＋π6)B ．y ＝2sin(2x ＋π3)＋2C ．y ＝2sin(4x ＋π3)＋2D ．y ＝2sin(4x ＋π6)＋2[答案] D[解析] 由四个选项可以看出A >0，ω>0，则有⎩⎪⎨⎪⎧A ＋m ＝4，－A ＋m ＝0，解得A ＝m ＝2.又周期T＝2πω＝π2，解得ω＝4，则y ＝2sin(4x ＋φ)＋2.排除选项A 和B ；又直线x ＝π3是其图像的一条对称轴，则当x ＝π3时，函数取得最值，排除选项C.7．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图像如图所示，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－23，则f (0)＝( )A ．－23B ．23C ．－12D ．12[答案] B[解析] 考查正弦型函数的振幅、周期、初相的求法． 由图知T 2＝π3⇒T ＝23π，由2πω＝T ⇒ω＝3.∴设y ＝A cos(3x ＋φ)，当x ＝712π时，y ＝0⇒3×712π＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )，φ＝2k π－9π4，当k ＝1时，φ＝－π4.∴y ＝A cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4， 当x ＝π2时，y ＝－23得－23＝A ·cos ⎝⎛⎭⎫32π－π4， －22A ＝－23⇒A ＝223. ∴y ＝223cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4， 当x ＝0时，f (0)＝223·cos ⎝⎛⎭⎫－π4＝23，∴选B. 8．将函数y ＝3sin(2x ＋π3)的图像向右平移π2个单位长度，所得图像对应的函数( )A ．在区间[π12，7π12]上单调递减B ．在区间[π12，7π12]上单调递增C ．在区间[－π6，π3]上单调递减D ．在区间[－π6，π3]上单调递增[答案] B[解析] 本题考查三角函数的图像平移、三角函数的单调区间． y ＝3sin[2(x －π2)＋π3]＝3sin(2x ＋π3－π)＝－3sin(2x ＋π3)．2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，2k π－5π6≤2x ≤2k π＋π6，k π－5π12≤x ≤k π＋π12，∴[k π－5π12，k π＋π12](k ∈Z )是减区间，[k π＋π12，k π＋7π12](k ∈Z )是增区间．9．对于函数y ＝f (x )＝sin x ＋1sin x (0<x <π)，下列结论正确的是( )A ．有最大值无最小值B ．有最小值无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值又无最小值[答案] B[解析] 令t ＝sin x ，t ∈(0,1]，则y ＝1＋1t ，t ∈(0,1]是一个减函数，则f (x )只有最小值而无最大值． 另外还可通过y ＝1＋1sin x，得出sin x ＝1y －1，由sin x ∈(0,1]也可求．故选B.10．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤|f (π6)|对x ∈R 恒成立，且f (π2)>f (π)，则f (x )的单调递增区间是( )A ．[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )B ．[k π，k π＋π2](k ∈Z )C ．[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )D ．[k π－π2，k π](k ∈Z )[答案] C[解析] 由∀x ∈R ，有f (x )≤|f (π6)|知，当x ＝π6时，f (x )取最值．∴f (π6)＝sin(π3＋φ)＝±1，∴π3＋φ＝±π2＋2k π(k ∈Z )， ∴φ＝π6＋2k π或φ＝－5π6＋2k π(k ∈Z )．又∵f (π2)>f (π)，∴sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)．∴－sin φ>sin φ，∴sin φ<0， ∴φ取－5π6＋2k π(k ∈Z )．不妨取φ＝－5π6，则f (x )＝sin(2x －5π6)．令－π2＋2k π≤2x －5π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，∴π3＋2k π≤2x ≤4π3＋2k π(k ∈Z )． ∴π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z )． ∴f (x )的单调递增区间为[π6＋k π，2π3＋k π](k ∈Z )．第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上) 11．若tan α＝2，则2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝________；2sin 2α－3cos 2α4sin 2α－9cos 2α＝________.[答案] －1 57[解析]2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝2tan α－34tan α－9＝2×2－34×2－9＝－1；2sin 2α－3cos 2α4sin 2α－9cos 2α＝2tan 2α－34tan 2α－9＝2×4－34×4－9＝57.12．已知函数f (x )＝a sin3x ＋b tan x ＋1满足f (5)＝7，则f (－5)＝________. [答案] －5[解析] 易知f (5)＋f (－5)＝2，∴f (－5)＝－5.13．函数y ＝－52sin(4x ＋2π3)的图像与x 轴的各个交点中，离原点最近的一点是________．[答案] (π12，0)[解析] 由4x ＋2π3＝k π，k ∈Z ，得x ＝k π4－π6，k ∈Z .k ＝0时，x ＝－π6；k ＝1时，x ＝π12.所以离原点最近的点是(π12，0)．14．函数f (x )＝lg(2cos x －3)的单调增区间为____________． [答案] (2k π－π6，2k π]，(k ∈Z )[解析] 2cos x －3>0即cos x >32.由图像观察 2k π－π6<x ≤2k π，k ∈Z 时，为增函数．15．关于函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3(x ∈R )，有下列命题： (1)y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋43π为偶函数；(2)要得到函数g (x )＝－4sin2x 的图像，只需将f (x )的图像向右平移π3个单位长度；(3)y ＝f (x )的图像关于直线x ＝－π12对称；(4)y ＝f (x )在[0,2π]内的增区间为⎣⎡⎦⎤0，512π和⎣⎡⎦⎤1112π，2π.其中正确命题的序号为________． [答案] (2)(3)[解析] (1)f ⎝⎛⎭⎫x ＋43π＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋83π－π3＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋73π，所以y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋43π不是偶函数，所以(1)不正确；(2)把函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图像向右平移π3个单位长度，得到函数f 1(x )＝4sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3－π3＝4sin(2x －π)＝－4sin2x ＝g (x )的图像，所以(2)正确；(3)当x ＝－π12时，f (x )取得最小值，所以(3)正确；(4)由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，得k π－π12≤x ≤k π＋512π，k ∈Z ，代入k ＝0,1，可知(4)错误．故选(2)(3)．三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)设f (θ)＝2cos 3θ－cos 2(2π－θ)＋sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－22＋2cos 2(π＋θ)＋cos (－θ)，求f ⎝⎛⎭⎫π3的值．[解析] f (θ)＝2cos 3θ－cos 2θ＋cos θ－22＋2cos 2θ＋cos θ＝2(cos 3θ－1)－(cos 2θ－cos θ)2＋2cos 2θ＋cos θ＝(cos θ－1)(2cos 2θ＋cos θ＋2)2＋2cos 2θ＋cos θ＝cos θ－1.所以f ⎝⎛⎭⎫π3＝cos π3－1＝12－1＝－12. 17．(本小题满分12分)设f (x )＝23cos(2x ＋π6)＋3.(1)求f (x )的最大值及单调递减区间．(2)若锐角α满足f (α)＝3－23，求tan 45α的值．[解析] (1)f (x )的最大值为23＋3.令2k π≤2x ＋π6≤2k π＋π，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，∴函数f (x )的单调递减区间是[k π－π12，k π＋5π12](k ∈Z )．(2)由f (α)＝3－23，得23cos(2α＋π6)＋3＝3－23，故cos(2α＋π6)＝－1.又由0<α<π2，得π6<2α＋π6<π＋π6，故2α＋π6＝π.解得α＝512π.从而tan 45α＝tan π3＝ 3.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，x ∈R )在一个周期内的图像如图所示，求直线y ＝3与函数f (x )图像的所有交点的坐标．[解析] 由图可知，函数f (x )的A ＝2，T ＝2πω＝4π，∴ω＝12，此时f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋φ，又f ⎝⎛⎭⎫π2＝2， 得sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝1，∴φ＝2n π＋π4，n ∈Z ， ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋2n π＋π4， 即f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4当f (x )＝3，即2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4＝3， 即sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4＝32∴12x ＋π4＝2k π＋π3或12x ＋π4＝2k π＋2π3，k ∈Z ∴x ＝4k π＋π6或x ＝4k π＋5π6，k ∈Z∴所求交点的坐标为⎝⎛⎭⎫4k π＋π6，3或⎝⎛⎭⎫4k π＋5π6，3，其中k ∈Z . 19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝lgsin(π3－2x )．(1)求f (x )的定义域及值域； (2)求f (x )的单调增区间．[解析] (1)由sin(π3－2x )>0得sin(2x －π3)<0，∴2k π－π<2x －π3<2k π(k ∈Z )，∴2k π－2π3<2x <2k π＋π3(k ∈Z )，∴k π－π3<x <k π＋π6(k ∈Z )，即f (x )的定义域为(k π－π3，k π＋π6)(k ∈Z )．∵0<sin(π3－2x )≤1，∴f (x )≤0，即f (x )的值域为(－∞，0]． (2)∵10>1，∴求f (x )的单调增区间即求sin(π3－2x )的单调增区间，即求sin(2x －π3)的单调减区间．由⎩⎨⎧k π－π3<x <k π＋π6(k ∈Z )，2k π＋π2<2x －π3<2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋2π3<x <k π＋11π12(k ∈Z )．∴函数的单调增区间为(k π＋2π3，k π＋11π12)(k ∈Z )． 20．(本小题满分13分)函数f 1(x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的一段图像过点(0,1)，如图所示．(1)求函数f 1(x )的表达式；(2)将函数y ＝f 1(x )的图像向右平移π4个单位，得函数y ＝f 2(x )的图像，求y ＝f 2(x )的最大值，并求出此时自变量x 的集合，并写出该函数的增区间．[解析] (1)由题图知，T ＝π，于是ω＝2πT ＝2.将y ＝A sin2x 的图像向左平移π12， 得y ＝A sin(2x ＋φ)的图像，于是φ＝2×π12＝π6.将(0,1)代入y ＝A sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，得A ＝2. 故f 1(x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)依题意，f 2(x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π6＝－2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. ∴y ＝f 2(x )的最大值为2. 当2x ＋π6＝2k π＋π(k ∈Z )，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )时，y max ＝2，x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π＋5π12，k ∈Z .∵y ＝cos x 的减区间为x ∈[2k π，2k π＋π]，k ∈Z ， ∴f 2(x )＝－2cos(2x ＋π6)的增区间为{x |2k π≤2x ＋π6≤2k π＋π，k ∈Z }，解得{x |k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z }， ∴f 2(x )＝－2cos(2x ＋π6)的增区间为x ∈[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z .21．(本小题满分14分)已知曲线y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)上的一个最高点的坐标为(π8，2)，此点到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点(38π，0)．(1)求出此函数的解析式并求出此函数的单调递增区间； (2)设g (x )＝f (x ＋π8)是偶函数，证明：g (x )是偶函数．[解析] (1)由已知：T 4＝3π8－π8＝π4，∴T ＝π＝2πω，∴ω＝2.又由最高点坐标为⎝⎛⎭⎫π8，2知：A ＝2， ∴y ＝2sin(2x ＋φ)，代入点⎝⎛⎭⎫π8，2，得sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝1， ∴π4＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝π4＋2k π，k ∈Z ，∴|φ|<π2，∴φ＝π4，∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 由－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z 得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π，k ∈Z ， ∴函数y 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－3π8＋k π，π8＋k π，k ∈Z . (2)g (x )＝f (x ＋π8)＝2sin[2(x ＋π8)＋π4]＝2sin(2x ＋π2)＝2cos2x .∵g (－x )＝2cos(－2x )＝2cos2x ＝g (x )， 定义域为R ，∴g (x )是R 上的偶函数．。
2019-2020学年北师大版高中数学必修四：第三章综合测试题(含答案)
北师大版2019-2020学年数学精品资料阶段性测试题四(第三章综合测试题)本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，其中有且仅有一个是正确的．)1．函数f (x )＝sin x cos x 的最小值是( ) A ．－1 B ．－12C ．12D ．1[答案] B[解析] f (x )＝sin x cos x ＝12sin2x ，∴f (x )min ＝－12.2．cos67°cos7°＋sin67°sin7°等于( ) A ．12B ．22 C ．32D ．1[答案] A[解析] cos67°cos7°＋sin67°sin7° ＝cos(67°－7°)＝cos60°＝12.3．若x ＝π8，则sin 4x －cos 4x 的值为( )A ．12B ．－12C ．－22D ．22[答案] C[解析] sin 4x －cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )·(sin 2x －cos 2x )＝sin 2x －cos 2x ＝－cos2x ， ∴x ＝π8时，－cos2x ＝－cos π4＝－22.4．(2014·山东德州高一期末测试)下列各式中值为22的是( )A ．sin45°cos15°＋cos45°sin15°B ．sin45°cos15°－cos45°sin15°C ．cos75°cos30°＋sin75°sin30°D ．tan60°－tan30°1＋tan60°tan30°[答案] C[解析] cos75°cos30°＋sin75°sin30°＝cos(75°－30°)＝cos45°＝22. 5．1－sin20°＝( ) A ．cos10° B ．sin10°－cos10°C ．2sin35°D ．±(sin10°－cos10°)[答案] C[解析] 1－sin20°＝1－cos70°＝2sin 235°， ∴1－sin20°＝2sin35°.6．已知cos2α＝14，则sin 2α＝( )A ．12B ．34C ．58D ．38[答案] D[解析] ∵cos2α＝1－2sin 2α＝14，∴sin 2α＝38.7．若函数f (x )＝sin2x －2sin 2x ·sin2x (x ∈R )，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的偶函数 B ．最小正周期为π的奇函数 C ．最小正周期为2π的偶函数 D ．最小正周期为π2的奇函数[答案] D[解析] f (x )＝sin2x (1－2sin 2x )＝sin2x ·cos2x ＝12sin4x (x ∈R )， ∴函数f (x )是最小正周期为π2的奇函数．8．若sin θ＜0，cos2θ＜0，则在(0,2π)内θ的取值范围是( ) A ．π＜θ＜3π2B ．5π4＜θ＜7π4C ．3π2＜θ＜2πD ．π4＜θ＜3π4[答案] B[解析] ∵cos2θ＜0，得1－2sin 2θ＜0， 即sin θ＞22或sin θ＜－22， 又已知sin θ＜0，∴－1≤sin θ＜－22， 由正弦曲线得满足条件的θ取值为5π4＜θ＜7π4.9．若0＜α＜β＜π4，sin α＋cos α＝a ，sin β＋cos β＝b ，则( )A ．a ＜bB ．a ＞bC ．ab ＜1D ．不确定[答案] A[解析] ∵a ＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4，b ＝2sin ⎝⎛⎭⎫β＋π4， 又0＜α＜β＜π4，∴π4＜α＋π4＜β＋π4＜π2，且y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上为增， ∴2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＜2sin ⎝⎛⎭⎫β＋π4. 10．将函数y ＝sin2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝cos2xB ．y ＝2cos 2xC ．y ＝1＋sin(2x ＋π4)D ．y ＝2sin 2x [答案] B[解析] 将函数y ＝sin2x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π4，即y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos2x 的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y ＝1＋cos2x ＝2cos 2x .11．已知f (tan x )＝sin2x ，则f (－1)的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．12D ．0 [答案] B[解析] f (tan x )＝sin2x ＝2sin x cos x ＝2sin x cos xsin 2x ＋cos 2x ＝2tan xtan 2x ＋1，∴f (x )＝2xx 2＋1，∴f (－1)＝－22＝－1.12．已知函数f (x )＝(1＋cos2x )sin 2x ，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π2的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π2的偶函数[答案] D[解析] f (x )＝(1＋cos2x )sin 2x ＝2cos 2x sin 2x ＝12sin 22x ＝14－14cos4x . ∴函数f (x )是最小正周期为π2的偶函数．第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．设α∈(0，π2)，若sin α＝35，则2cos(α＋π4)等于________．[答案] 15[解析] ∵α∈(0，π2)，sin α＝35，∴cos α＝45，∴2cos(α＋π4)＝2cos αcos π4－2sin αsin π4＝2×45×22－2×35×22＝45－35＝15. 14．计算：sin7°－sin15°cos8°cos7°－cos15°cos8°的值为________．[答案] －2－ 3[解析] 原式＝sin (15°－8°)－sin15°cos8°cos (15°－8°)－cos15°cos8°＝sin15°cos8°－cos15°sin8°－sin15°cos8°cos15°cos8＋sin15°sin8－cos15°cos8°＝－cos15°sin8°sin15°sin8°＝－cot15°＝－1tan15°＝－1tan (45°－30°)＝－1＋tan30°1－tan30°＝－2－ 3.15．若α为锐角，且sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝13，则sin α的值为________． [答案]3＋226[解析] ∵0<α<π2，∴－π6<α－π6<π3.又∵sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝13>0，∴0<α－π6<π3， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6 ＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223.∴sin α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎫α－π6＋π6＝32sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＋12cos ⎝⎛⎭⎫α－π6 ＝32×13＋12×223＝3＋226. 16．关于函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，有下列命题： ①y ＝f (x )的最大值为2；②y ＝f (x )是以π为最小正周期的周期函数； ③y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π24，13π24上单调递减；④将函数y ＝2cos2x 的图像向左平移π24个单位后，与已知函数的图象重合．其中正确命题的序号是________．(注：把你认为正确的命题的序号都填上) [答案] ①②③[解析] 化简f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2－π3 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π12∴f (x )max ＝2，即①正确． T ＝2π|ω|＝2π2＝π，即②正确．由2k π≤2x －π12≤2k π＋π，得k π＋π24≤x ≤k π＋13π24，即③正确．将函数y ＝2cos2x 向左平移π24个单位得y ＝2cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π24≠f (x )，∴④不正确． 三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)已知α是第一象限的角，且cos α＝513，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos (2α＋4π)的值．[解析] ∵α是第一象限的角，cos α＝513，∴sin α＝1213，∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos (2α＋4π)＝22(sin α＋cos α)cos2α＝22(sin α＋cos α)cos 2α－sin 2α＝22cos α－sin α＝22513－1213＝－13214.18．(本小题满分12分)(2014·四川成都市树德协进中学高一阶段测试)已知π2<α<π，0<β<π2，tan α＝－34，cos(β－α)＝513，求sin β.[解析] ∵0<β<π2，π2<α<π，∴－π<β－α<0.又∵cos(β－α)＝513，∴sin(β－α)＝－1213.又tan α＝－34，∴sin α＝35，cos α＝－45.∴sin β＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)sin α ＝－1213×(－45)＋513×35＝6365.19．(本小题满分12分)已知sin α＝210，cos β＝31010，且α、β为锐角，求α＋2β 的值． [解析] ∵sin α＝210，α为锐角， ∴cos α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫2102＝7210. ∵cos β＝31010，β为锐角，∴sin β＝1－⎝⎛⎭⎫310102＝1010.∴sin2β＝2sin βcos β＝2×1010×31010＝35， cos2β＝1－2sin 2β＝1－2×⎝⎛⎭⎫10102＝45. 又β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴2β∈(0，π)． 而cos2β>0，∴2β∈⎝⎛⎭⎫0，π2.∴α＋2β∈(0，π)． 又cos(α＋2β)＝cos α·cos2β－sin α·sin2β＝7210×45－210×35＝22，∴α＋2β＝π4.20．(本小题满分12分)求函数y ＝12cos 2x ＋32sin x ·cos x ＋1，x ∈R 的最大值以及y 取最大值时自变量x 的集合．[解析] ∵y ＝12cos 2x ＋32sin x ·cos x ＋1＝12·1＋cos2x 2＋34sin2x ＋1 ＝14cos2x ＋34sin2x ＋54 ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋54 ∴当2x ＋π6＝π2＋2k π，即x ＝k π＋π6(k ∈Z )时，y max ＝74.∴函数取最大值时自变量x 和集合为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π＋π6，k ∈Z ，且最大值为74.21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝cos(2x －π3)＋2sin(x －π4)sin(x ＋π4)．(1)求函数f (x )的最小正周期和对称轴方程； (2)求函数f (x )在区间[－π12，π2]上的值域．[解析] (1)∵f (x )＝cos(2x －π3)＋2sin(x －π4)·sin(x ＋π4)＝12cos2x ＋32sin2x ＋(sin x －cos x )(sin x ＋cos x ) ＝12cos2x ＋32sin2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos2x ＋32sin2x －cos2x ＝sin(2x －π6)，∴最小正周期T ＝2π2＝π.∵2x －π6＝k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝k π2＋π3，k ∈Z ，∴对称轴方程为x ＝k π2＋π3，k ∈Z .(2)∵x ∈[－π12，π2]， ∴2x －π6∈[－π3，5π6]．∴f (x )＝sin(2x －π6)在区间[－π12，π3]上单调递增，在区间[π3，π2]上单调递减．当x ＝π3时，f (x )取最大值1.又∵f (－π12)＝－32<f (π2)＝12，∴当x ＝－π12时，f (x )取最小值－32.所以函数f (x )在区间[－π12，π2]上的值域为[－32，1]．22．(本小题满分14分)设函数f (x )＝a ·b ，其中向量a ＝(2cos x,1)，b ＝(cos x ，3sin2x )，x ∈R .(1)若f (x )＝1－3且x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π3，求x ； (2)若函数y ＝2sin2x 的图象平移向量c ＝(m ，n )⎝⎛⎭⎫|m |<π2得到函数y ＝f (x )的图象，求实数m 、n 的值．[解析] (1)∵f (x )＝a ·b ＝2cos 2x ＋3sin2x ＝1＋cos2x ＋3sin2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1， 又∵f (x )＝1－3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝－32， ∴2x ＋π6＝2k π－π3或2x ＋π6＝2k π－2π3，又∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π3，∴x ＝－π4. (2)f (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋1， y ＝2sin2x 向左平移π12个单位可得y ＝2sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π12，再向上平移1个单位， 即得y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋1＝f (x )， ∴c ＝⎝⎛⎭⎫－π12，1，即m ＝－π12，n ＝1.。
2019—2020年最新北师大版高中数学必修四《三角函数》章末综合测评及答案解析.docx
（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学必修四章末综合测评(一) 三角函数(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若α＝－6，则角α的终边在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】∵－2π<－6<－3π2，∴角α在第一象限，故选A．【答案】 A2．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】由条件可知，tan α<0且cos α<0，∴α是第二象限角．【答案】 B3．已知角α的终边经过点(3a，－4a)(a<0)，则sin α＋cos α等于( )A．15B．75C ．－15D ．－75【解析】 r ＝(3a )2＋(－4a )2＝－5a ，∴sin a ＝－4a －5a ＝45，cos a ＝3a －5a ＝－35，∴sin a ＋cos a ＝45－35＝15.【答案】 A4．(2016·阜阳高一检测)已知扇形的半径为r ，周长为3r ，则扇形的圆心角等于( )【导学号：66470036】A ．π3B ．1C.2π3D ．3【解析】 因为弧长l ＝3r －2r ＝r ， 所以圆心角α＝lr＝1.【答案】 B5．已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2x ＋π3，则下列不等式中正确的是( )A ．f (1)<f (2)<f (3)B ．f (2)<f (3)<f (1)C ．f (3)<f (2)<f (1)D ．f (2)<f (1)<f (3)【解析】 ∵f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2x ＋π3，∴f (1)＝3sin 5π6＝32，f (2)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π＋π3＝－3sin π3＝－332，f (3)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32π＋π3＝－3cos π3＝－32.∴f (2)<f (3)<f (1)． 【答案】 B6．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<π)的部分图像如图1所示，则函数f (x )的解析式为( )图1A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ＋π4B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ＋3π4C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x －π4D ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x －3π4【解析】 由图像知A ＝2，T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32π＋π2＝4π，∴ω＝2π4π＝12.∵函数在x ＝－π2时取到最大值，∴12×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2＋φ＝π2， 即φ＝34π，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ＋34π.【答案】 B7．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图像如图2所示，则( )图2A ．ω＝2，φ＝π6B ．ω＝1，φ＝－π6C ．ω＝1，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝－π6【解析】 由题图可知T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫712π－π3＝π.又T ＝2πω，ω＝2ππ＝2，∴y ＝sin(2x ＋φ)，代入点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3，1，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23π＋φ＝1，又|φ|<π2，∴φ＝－π6.【答案】 D8．(2016·宿州高一检测)函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π4，π4且x ≠0的值域为( )A ．[－1,1]B ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)C ．(－∞，1]D ．[－1，＋∞)【解析】 ∵x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π4，π4且x ≠0，∴π2－x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π4，3π4且π2－x ≠π2， 即π2－x ∈⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤π2，3π4，当π2－x ∈⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫π4，π2时，y ≥1； 当π2－x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤π2，3π4时，y ≤－1， ∴函数y 的值域是(－∞，－1]∪[1，＋∞)． 【答案】 B9．(2016·蜀山高一检测)设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图像向右平移π3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于( )A ．13B ．3C ．6D ．9【解析】 由题可知π3＝2πω·k (k ∈Z )，解得ω＝6k ，令k ＝1，即得ωmin ＝6. 【答案】 C10．(2016·合肥高一检测)函数y ＝sin x2的图像沿x 轴向左平移π个单位长度后得到函数的图像的一个对称中心是( )A ．(0,0)B ．(π，0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，0 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，0【解析】 函数y ＝sin x2的图像沿x 轴向左平移π个单位后得到函数y ＝sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12(x ＋π)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ＋π2＝cos 12x 的图像，它的一个对称中心是(π，0)．【答案】 B11．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π2(x ∈R )，下面结论错误的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2上是增函数C ．函数f (x )的图像关于直线x ＝0对称D ．函数f (x )是奇函数【解析】 因为y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π2＝－cos x ，所以T ＝2π，A 正确；y ＝cos x 在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2上是减函数，y ＝－cos x 在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2上是增函数，B 正确；由图像知y ＝－cos x 关于直线x ＝0对称，C 正确；y ＝－cos x 是偶函数，D 错误．故选D. 【答案】 D12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≥cos x ，cos x ，sin x <cos x ，下列说法正确的是( )A ．该函数值域为[－1,1]B ．当且仅当x ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，函数取最大值1C ．该函数是以π为最小正周期的周期函数D ．当π＋2k π<x <2k π＋3π2(k ∈Z )时，f (x )<0【解析】 画出函数y ＝f (x )图像如图：由图像可知，值域为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－22，1，A 错；当x ＝2k π或x ＝2k π＋π2，(k ∈Z )时，f (x )取最大值1，B 错；周期T ＝5π4－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－3π4＝2π，C 错．故选D.【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上)13．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π4的最小正周期为________．【解析】 由题意知，ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π4的最小正周期为T ＝2π2＝π.【答案】 π14．设f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在闭区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π3上的最大值为2，则ω的值为________.【导学号：66470037】【解析】 ∵0<ω<1，∴T ＝2πω，∴T 4＝π2ω>π2，∴f (x )＝2sin ωx 在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π3上为增函数，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3＝2sin π3ω＝2，∴sin π3ω＝22，即π3ω＝π4，∴ω＝34.【答案】 3415．已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝2 cos(2x ＋φ)＋1的图像的对称轴完全相同，若x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________．【解析】 如果两个函数的图像对称轴完全相同，那么它们的周期必须相同，∴ω＝2，即f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6，∴x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2，∴2x －π6∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π6，56π，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－12，1，故f (x )∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－32，3.【答案】 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－32，316．将函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx －π3(ω>0)的图像向左平移π3ω个单位得到函数y＝g (x )的图像，若y ＝g (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π6，π4上为增函数，则ω的最大值为________．【解析】 由题意得y ＝g (x )＝2sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π3ω－π3＝2sin ωx (ω>0)．∵y ＝g (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π6，π4上递增，且ω>0，∴－ω6π≤ωx ≤ωπ4且有⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－ω6π，ωπ4⊆⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π2，π2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－ω6π≥－π2，ω4π≤π2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω≤3，ω≤2，∴ω≤2，∴ω的最大值为2. 【答案】 2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知角x 的终边过点P (1，3)．求：(1)sin(π－x )－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋x 的值；(2)写出角x 的集合S . 【解】 ∵x 的终边过点P (1，3)，∴r ＝|OP |＝12＋(3)2＝2，∴sin x ＝32，cos x ＝12.(1)原式＝sin x －cos x ＝3－12.(2)由sin x ＝32，cos x ＝12.若x ∈[0,2π]，则x ＝π3，由终边相同角定义，∴S ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪x ＝2k π＋π3，k ∈Z. 18．(本小题满分12分)已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6＋32，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期和单调增区间；(2)函数f (x )的图像可以由函数y ＝sin 2x (x ∈R )的图像经过怎样的变换得到？ 【解】 (1)T ＝2π2＝π，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，知k π－π3≤x ≤kπ＋π6(k ∈Z )．所以所求函数的最小正周期为π，所求的函数的单调递增区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． (2)变换情况如下：19．(本小题满分12分)(2016·北海高一检测)函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx －π6＋1(A >0，ω>0)的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α2＝2，求α的值．【解】 (1)∵函数f (x )的最大值为3， ∴A ＋1＝3，即A ＝2.∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2，∴最小正周期T ＝π，∴ω＝2，∴函数f (x )的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6＋1.(2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π6＋1＝2，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α－π6＝12.∵0<α<π2，∴－π6<α－π6<π3，∴α－π6＝π6，∴α＝π3.20．(本小题满分12分)函数f 1(x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的一段图像过点(0,1)，如图3所示．图3(1)求函数f 1(x )的表达式；(2)将函数y ＝f 1(x )的图像向右平移π4个单位长度，得函数y ＝f 2(x )的图像，求y ＝f 2(x )的最大值，并求出此时自变量x 的集合．【解】 (1)由题图知，T ＝π，于是ω＝2πT＝2.将y ＝A sin 2x 的图像向左平移π12，得y ＝A sin(2x ＋φ)的图像，于是φ＝2·π12＝π6. 将(0,1)代入y ＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6，得A ＝2.故f 1(x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6.(2)依题意，f 2(x )＝2sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π4＋π6＝－2cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6，当2x ＋π6＝2k π＋π，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )时，y max ＝2，x 的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ＝k π＋5π12，k ∈Z .21．(本小题满分12分)设函数f (x )＝3 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx ＋π6，ω>0，x ∈R 的最小正周期为π2.(1)求f (x )的解析式；(2)画出f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图； (3)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α4＋π12＝95，求cos α的值．【解】 (1)∵T ＝2πω＝π2⇒ω＝4.∴f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4x ＋π6.(2)列表：4x ＋π60 π2 π 3π22πx －π24π125π24 π311π24 f (x )0 3 0－3图像如图所示：(3)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α4＋π12＝3sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α4＋π12＋π6＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π2＝95⇒cos α＝35.22．(本小题满分12分)已知某地一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π8x －5π4＋20，x ∈[4,16]．(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差；(2)若有一种细菌在15°C 到25°C 之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌最多能生存多长时间？【解】 (1)由函数易知，当x ＝14时函数取最大值，此时最高温度为30°C ，当x ＝6时函数取最小值，此时最低温度为10 °C ，所以最大温差为30 °C －10°C ＝20°C.(2)令10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π8x －5π4＋20＝15，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π8x －5π4＝－12，而x ∈[4,16]，所以x ＝263.令10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π8x －5π4＋20＝25，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π8x －5π4＝12，而x ∈[4,16]，所以x＝343. 故该细菌能存活的最长时间为343－263＝83(小时)．。
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（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学必修四三角函数一、选择题（每题4分，共10题）1．下列不等式中，正确的是 （ ） A.sin 57 π＞sin 47 π B.tan 158 π＞tan(－π7 )C.sin(－π5 )＞sin(－π6 )D.cos(－35 π)＞cos(－94π)2．已知cos(π＋θ)＝－45 ，θ是第一象限角，则sin （π＋θ）和tan θ的值分别为（ ）A. 35 ，－34 B.－35 ，34 C.－35 ，－34D.－35 ，－433．函数y ＝3sin(2x ＋π3)的图象，可由y ＝sin x 的图象经过下述哪种变换而得到( )A.向右平移π3 个单位，横坐标缩小到原来的12 倍，纵坐标扩大到原来的3倍B.向左平移π3 个单位，横坐标缩小到原来的12 倍，纵坐标扩大到原来的3倍C.向右平移π6 个单位，横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标缩小到原来的13 倍D.向左平移π6 个单位，横坐标缩小到原来的12 倍，纵坐标缩小到原来的13倍4．已知如图是函数y ＝2sin(ωx ＋ϕ)(｜ϕ｜＜π2)的图象，那么 ( )A.ω＝1011 ，ϕ＝π6B.ω＝1011 ，ϕ＝－π6C.ω＝2，ϕ＝π6D.ω＝2，ϕ＝－π65．设A 是第三象限角，且|sin A 2 |＝－sin A 2 ，则A2 是 （ ）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角6．如果｜x ｜≤π4，那么函数y ＝cos 2x ＋sin x 的最小值为 （ ）A. 2－12B. 1－22 C.－2＋12D.－17.设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋4，其中a 、b 、α、β均为非零实数，若f (1988)＝3，则f (2002)的值为 ( )A.1B.5C.3D.不确定8.在函数y ＝｜tan x ｜，y ＝｜sin(x ＋2π)｜，y ＝｜sin2x ｜，y ＝sin(2x －2π)四个函数中，既是以π为周期的偶函数，又是区间(0，2π)上的增函数个数是( )A.1B.2C.3D.49．在［0，2π］上满足sin x ≥12 的x 的取值范围是( )A.［0，π6］B.［π6 ，5π6 ］C.［π6 ，2π3］D.［5π6，π］10．函数y ＝sin(2x ＋5π2 )的图象的一条对称轴方程为( )A.x ＝5π4B.x ＝π2C.x ＝π8D.x ＝π4二、填空题（每题4分，共5题）1．已知扇形的圆心角为2 rad ，扇形的周长为8 cm ，则扇形的面积为_________cm 2. 2．已知α是第三象限角，则sin （cos α)·cos(sin α) 0（>,<,=）3.︒⋅--⋅︒690cos )619cos()313tan(330sin ππ= 4．求函数y ＝2sin x ＋12sin x －1的值域.5．cos 32 ，－cos 74 ，sin 110的大小关系是 .三、解答题（每题10分，共4题）1．已知cos(75°＋α)＝13，其中α为第三象限角，求cos(105°－α)＋sin(α－105°)的值.2．已知函数f (x )＝2 cos(2x ＋π4 ) x ∈［0，π2］.求f (x )的最大值，最小值.3．已知tan α＝2，求下列各式的值.（1）4sin α－2cos α3cos α＋3sin α (2) 2sin 2α－3cos 2α4sin 2α－9cos 2α(3) 23sin 2α＋14cos 2α 4．求函数y ＝log 21cos(x ＋π3)的单调递增区间.答案： 一.选择题1.B2.B3.B4.C5.D6.B7.C8.B9.B 10.B 二.填空题1. 42. 解：∵α是第三象限角3. 233 4. （－∞，13］∪［3，+∞)∴－1＜cos α＜0，－1＜sin α＜0， ∴sin(cos α)＜0，cos(sin α)＞0. ∴sin(cos α)·cos(sin α)＜0 5. cos 32 <sin 110 <－cos 74三.解答题1．解：∵cos(105°－α)＝cos ［180°－(75°＋α)］＝－cos(75°＋α)＝－13sin(α－105°)＝－sin ［180°－(75°＋α)］＝－sin(75°＋α) ∵cos(75°＋α)＝ 13＞0又∵α为第三象限角，∴75°＋α为第四象限角 ∴sin （75°＋α)＝－1－cos 2（750＋α）＝－1－（13 ）2 ＝－223∴cos(105°－α)＋sin(α－105°) ＝－13 ＋223＝－1＋2232.解：∵0≤x ≤π2 .∴π4 ≤2x ＋π4 ≤45当2x ＋π4 ＝π4 时,cos(2x ＋π4 )取得最大值22；当2x ＋π4 ＝π时，cos(2x ＋π4 )取得最小值－1.∴f (x )在［0，π2 ］上的最大值为1，最小值为－2 .3.解：（1）∵cos α≠0∴ 原式＝4sin α－2cos αcos α3cos α＋3sin αcos α＝4tan α－23＋3tan α ＝23(2)∵cos 2α≠0∴2sin 2α－3cos 2α4sin 2α－9cos 2α ＝2tan 2α－34tan 2α－9 ＝57(3) 23 sin 2α＋14cos 2α ＝23sin 2α＋14cos 2α sin 2α＋cos 2α ＝23 tan 2α＋14tan 2α＋1＝712.4. 解：依题意得π3，2kπ＋π6)(k∈Z)解得x∈［2kπ－。
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（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学必修四三角函数一.选择题（60分）1.将－300o 化为弧度为（ ） A ．－43π；B ．－53π；C ．－76π；D ．－74π； 2.如果点)cos 2,cos (sin θθθP 位于第三象限，那么角θ所在象限是（ ） Ａ.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3．下列选项中叙述正确的是 （ ）A ．三角形的内角是第一象限角或第二象限角B ．锐角是第一象限的角C ．第二象限的角比第一象限的角大D ．终边不同的角同一三角函数值不相等 4．下列函数中为偶函数的是（ ）A ．sin ||y x =B ．2sin y x =C ．sin y x =-D ．sin 1y x =+ 5已知函数sin()y A x B ωϕ=++的一部分图象如右图所示，如果0,0,||2A πωϕ>><，则（ ）A.4=AB.1ω=C.6πϕ=D.4=B6．函数3sin(2)6y x π=+的单调递减区间（ ） A 5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈ B ．511,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈ C ．,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈ D ．2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈ 7．已知α是三角形的一个内角,且32cos sin =+αα,则这个三角形( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．不等腰的直角三角形 D ．等腰直角三角形8．)2cos()2sin(21++-ππ等于 （ ）A ．sin2－cos2B ．cos2－sin2C ．±（sin2－cos2）D ．sin2+cos29．若角α的终边落在直线y =2x 上，则sin α的值为（ ）A. 15±B. 55±C. 255±D. 12± 10．函数y=cos 2x –3cosx+2的最小值是（ ）A ．2B ．0C ．41D ．611．如果α在第三象限，则2α必定在（）A ．第一或第二象限B ．第一或第三象限C ．第三或第四象限D ．第二或第四象 12．已知函数)sin(φϖ+=x A y 在同一周期内，当3π=x 时有最大值2，当x=0时有最小值-2，那么函数的解析式为 （ ）A ．x y 23sin2= B ．)23sin(2π+=x y C ．)23sin(2π-=x y D ．x y 3sin 21=二．填空题（20分）13、已知角α的终边经过点P(3，3)，则与α终边相同的角的集合是______ 14．1tan 、2tan 、3tan 的大小顺序是 15．函数()lg 1tan y x =-的定义域是 ．16．函数sin(2)6y x π=-+的单调递减区间是 。
2019_2020学年高中数学第一章三角函数章末综合测试一(含解析)北师大版必修4
章末综合测试一 三角函数本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．－25π6是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 2．若α为锐角，则下列各角中一定为第四象限角的是( ) A ．90°－α B ．90°＋α C ．360°－α D ．180°＋α3．为了得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，x ∈R 的图像，只需把曲线y ＝cos x 上所有的点( )A ．向上平移π3个单位长度B ．向左平移π3个单位长度C ．向下平移π3个单位长度D ．向右平移π3个单位长度4．已知扇形OAB 的圆心角为4 rad ，面积为8，则该扇形的周长为( ) A ．12 B ．10 C ．8 2 D ．4 25．已知角α的终边过点(12，－5)，则sin α＋12cos α＝( )A ．－113 B.113 C.112 D ．－1126．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin π4x ，x >0f x ＋2，x ≤0，则f (－5)的值为( )A ．0 B.22C ．1 D. 2 7．已知a ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，b ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫－23π4，c ＝sin 25π3，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．b >a >cB ．a >b >cC ．c >b >aD ．a >c >b8．已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝( ) A.13 B ．－13 C ．3 D ．－3 9．若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )A.π2 B.2π3 C.3π2 D.5π310.已知函数f (x )＝M sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫M >0，ω>0，|φ|<π2在半个周期内的图像如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 11．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－m2在[0，π]上有两个零点，则实数m 的取值范围为( )A ．[－3，2]B ．[3，2)C ．(－3，2]D ．[3，2]12．某市某房地产介绍所对本市一楼盘的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价y (单位：元/平方米)与第x 季度之间近似满足关系式：y ＝500sin(ωx ＋φ)＋9 500(ω>0). x 一 二 y10 0009 500则此楼盘在第三季度的平均单价大约是( ) A ．10 000 B ．9 500 C ．9 000 D ．8 500第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13.终边落在如图所示的阴影部分(包括边界)的角α的集合是________．14．函数y ＝2sin x －1的定义域是________________．15．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π2＋α＝1225，且0<α<π4，则sin α＝________，cosα＝________.16．关于函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3(x ∈R )，有下列命题：①y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋43π为偶函数 ②要得到函数g (x )＝－4sin 2x 的图像，只需将f (x )的图像向右平移π3个单位长度 ③y ＝f (x )的图像关于直线x ＝－π12对称 ④y ＝f (x )在[0,2π]内的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，512π和⎣⎢⎡⎦⎥⎤1112π，2π.其中真命题的序号为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在射线2x ＋y ＝0(x ≥0)上．(1)求2sin α＋cos α的值；(2)求1＋2sin π＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin 2α－cos 2α的值．18．(10分)已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递减区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π2上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值．19．(12分)已知函数f (x )＝sin(x ＋φ)，其中0<φ<π，x ∈R ，其图像经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12. (1)求f (x )的解析式；(2)作出函数y ＝1－2f (x )在[0,2π]内的简图，并指出函数y ＝1－2f (x )在[0,2π]内的单调递减区间．20.(12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<2π)的部分图像如图所示，且f (0)＝f ⎝⎛⎭⎪⎫5π6.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求f (x )的解析式，并写出它的单调递增区间．21．(12分)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系式：f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，t ∈[0,24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？22．(14分)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)－b (ω>0,0<φ<π)的图像两相邻对称轴之间的距离是π2. 若将f (x )的图像先向右平移π6个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得图像对应的函数g (x )为奇函数． (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )的对称轴及单调区间；(3)若对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，f 2(x )－(2＋m )f (x )＋2＋m ≤0恒成立，求实数m 的取值范围．章末综合测试一 三角函数1．解析：∵－25π6＝－4π－π6，∴－25π6的终边和角－π6的终边相同，∴－25π6是第四象限角．故选D.答案：D2．解析：∵0°<α<90°，∴270°<360°－α<360°，∴360°－α为第四象限角，故选C.答案：C3．解析：将曲线y ＝cos x 上所有的点向右平移π3个单位长度得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图像. 故选D.答案：D4．解析：设扇形的半径为r ，因为扇形OAB 的圆心角为4 rad ，所以根据扇形的面积公式可得S ＝12×4 r 2＝8，解得r ＝2，所以扇形的周长是2r ＋r ×4＝12，故选A.答案：A5．解析：点(12，－5)到原点的距离r ＝122＋－52＝13，结合三角函数的定义可知sin α＝－5r ＝－513， cos α＝12r ＝1213，则sin α＋12cos α＝－513＋12×1213＝113. 故选B.答案：B6．解析：由题意得f (－5)＝f (－3)＝f (－1)＝f (1)＝sin π4＝22，故选B.答案：B7．解析：a ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－33，b ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π4＝cos 23π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫6π－π4＝cos π4＝22，c ＝sin 25π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫8π＋π3＝sin π3＝32，所以c >b >a ，故选C. 答案：C8．解析：1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝sin α＋cos αsin α＋cos αsin α＋cos αsin α－cos α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝－12＋1－12－1 ＝－13.故选B.答案：B9．解析：∵f (x )是偶函数，∴φ3＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝3k π＋3π2(k ∈Z ). 又φ∈[0,2π]，∴φ＝3π2. 故选C.答案：C10．解析：由图像知M ＝2. 设函数f (x )的最小正周期为T ，则14T ＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，可知T ＝2π，ω＝2πT ＝1，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2代入f (x )的解析式得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1，又|φ|<π2，可得φ＝π6，故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，故选A.答案：A 11.解析：由f (x )＝0得 sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝m 2，作出函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3在[0，π]上的图像，如图．由图像可知当x ＝0时，g (0)＝sin π3＝32，函数g (x )的最大值为1，所以要使g (x )在[0，π]上有两个零点，则32≤m2<1，即3≤m <2.故选B. 答案：B12．解析：把x ＝1，y ＝10 000及x ＝2，y ＝9 500分别代入y ＝500sin(ωx ＋φ)＋9500(ω>0)，得sin(ω＋φ)＝1，sin(2ω＋φ)＝0. ∵ω>0，∴设ω＋φ＝2k 1π＋π2，k 1∈N,2ω＋φ＝2k 2π＋π，k 2∈N ，k 2≥k 1或2ω＋φ＝2k 3π，k 3∈N ，k 3>k 1. 则ω＝2(k 2－k 1)π＋π2或ω＝2(k 3－1－k 1)π＋32π，k 1，k 2，k 3∈N ，k 2≥k 1，k 3>k 1. ∴3ω＋φ＝2(2k 2－k 1)π＋32π或3ω＋φ＝2(2k 3－1－k 1)π＋32π，k 1，k 2，k 3∈N ，k 2≥k 1，k 3>k 1，∴sin(3ω＋φ)＝－1.∴y ＝500sin(3ω＋φ)＋9 500＝9 000. 故此楼盘在第三季度的平均单价大约是9 000元/平方米．故选C.答案：C13．解析：在－90°～90°范围内，阴影部分表示的角的范围是－40°≤α≤50°，所以终边落在阴影部分的角α的集合是{α|－40°＋k ·360°≤α≤50°＋k ·360°，k ∈Z }．答案：{α|－40°＋k ·360°≤α≤50°＋k ·360°，k ∈Z }14．解析：由题意，知2sin x －1≥0，即sin x ≥12，结合正弦函数的图像与性质有x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z )． 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z ) 15．解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π2＋α＝－cos α·(－sin α)＝sin αcos α＝1225，由0<α<π4，可得0<sin α<cos α，联立⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos α＝1225sin 2 α＋cos 2 α＝1，可得sin α＝35，cos α＝45.答案：35 4516．解析：①f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋43π＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋83π－π3＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋73π，所以y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋43π不是偶函数，所以①错误；②把函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图像向右平移π3个单位长度，得到函数f 1(x )＝4sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－π3＝4sin(2x －π)＝－4sin 2x ＝g (x )的图像，所以②正确；③当x ＝－π12时，f (x )取得最小值，所以③正确；④由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋512π，k ∈Z ，代入k ＝0,1，可知④错误．所以真命题为②③. 答案：②③17．解析：(1)因为角α的终边在射线2x ＋y ＝0(x ≥0)上，所以可设终边上一点P (a ，－2a )(a >0)，则tan α＝－2，sin α＝－255， cos α＝55，所以2sin α＋cos α＝－355. (2)1＋2sin π＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin 2α－cos 2α＝1－2sin αcos αsin 2α－cos 2α ＝sin α－cos αsin α＋cos α ＝tan α－1tan α＋1， 因为tan α＝－2，所以原式＝－2－1－2＋1＝3.18．解析：(1)f (x )的最小正周期T ＝2π|ω|＝2π2＝π.由2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )，得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )，所以函数f (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )． (2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π2，所以2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，3π4，故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，所以f (x )max ＝2，此时2x －π4＝0，即x ＝π8；f (x )min ＝－1，此时2x －π4＝3π4，即x＝π2. 19．解析：(1)∵函数f (x )的图像经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝12，∵0<φ<π，∴φ＝π2，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x .(2)x 0 π2 π 3π22π1－2cos x －1 1 3 1 －1描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示，由图像可知函数y ＝1－2f (x )在[0,2π]内的单调递减区间为[π，2π]．20．解析：(1)由题意知，函数图像的一条对称轴为直线x ＝0＋5π62＝5π12，则T 4＝5π12－π6＝π4，所以T ＝π. 所以函数f (x )的最小正周期是π.(2)由图可知，A ＝2. 因为T ＝π，所以ω＝2πT＝2.又因为f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＝－2，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋φ＝－2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋φ＝－1.所以5π6＋φ＝2k π－π2，k ∈Z ，即φ＝2k π－4π3，k ∈Z .因为0<φ<2π，所以φ＝2π3.所以函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3. 由2k π－π2≤2x ＋2π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－7π12≤x ≤k π－π12，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－7π12，k π－π12，k ∈Z . 21．解析：(1)因为f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，所以－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1，故当t ＝2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8，故实验室这一天的最大温差为12－8＝4 (℃)．(2)依题意，当f (t )>11时，实验室需要降温，由10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3>11，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3<－12.又0≤t <24，所以7π6<π12t ＋π3<11π6，即10<t <18，故在10时至18时实验室需要降温．22．解析：(1)因为2πω＝2×π2，所以ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)－b .又因为函数g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋φ－b ＋3为奇函数，且0<φ<π，所以φ＝π3，b＝3，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－ 3.(2)对称轴：直线x ＝π12＋k π2，k ∈Z .单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12＋k π，π12＋k π (k ∈Z )，单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12＋k π，7π12＋k π(k ∈Z )． (3)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，所以－3≤f (x )≤1－3，所以－1－3≤f (x )－1≤－ 3.因为f 2(x )－(2＋m )f (x )＋2＋m ≤0恒成立，整理可得m ≤1f x －1＋f (x )－1.由－1－3≤f (x )－1≤－3，得－1－332≤1fx －1＋f (x )－1≤－433，故m ≤－1－332， 即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－1－332.。
北师大版高中数学必修四：第一、二章综合测试题(含答案)
阶段性测试题三(第一、二章综合测试题)本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，其中有且仅有一个是正确的．)1．下列各式中，不能化简为AD →的是( ) A ．(AB →＋CD →)＋BC →B ．(AD →＋MB →)＋(BC →＋CM →) C ．MB →＋AD →－BM → D ．OC →－OA →＋CD →[答案] C[解析] A 中，(AB →＋CD →)＋BC →＝AB →＋BC →＋CD →＝AD →； B 中，(AD →＋MB →)＋(BC →＋CM →)＝AD →＋MB →＋BM →＝AD →. C 中，MB →＋AD →－BM →＝MB →＋AD →＋MB →＝2MB →＋AD →； D 中，OC →－OA →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →，故选C. 2．设a 、b 、c 是非零向量，下列命题正确的是( ) A ．(a·b )·c ＝a·(b·c )B ．|a －b|2＝|a|2－2|a||b|＋|b|2C ．若|a|＝|b|＝|a ＋b|，则a 与b 的夹角为60°D ．若|a|＝|b|＝|a －b|，则a 与b 的夹角为60° [答案] D[解析] 对于A ，数量积的运算不满足结合律，A 错；对于B ，|a －b|2＝|a|2－2a ·b ＋|b |2＝|a |2－2|a||b |·cos<a ，b>＋|b |2，B 错，对于C 、D ，由三角形法则知|a |＝|b |＝|a －b |组成的三角形为正三角形，则<a ，b >＝60°，∴D 正确．3．(2014·山东曲阜师范附属中学高一模块测试)已知一个扇形的半径为1，弧长为4，则该扇形的面积为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] B[解析] 扇形的面积S ＝12lR ＝12×4×1＝2.4．(2014·湖北长阳一中高一月考)下列说法正确的是( ) A ．第三象限的角比第二象限的角大B ．若sin α＝12，则α＝π6C ．三角形的内角是第一象限角或第二象限角D ．不论用角度制还是弧度制度量一个角，它们与扇形所对应的半径的大小无关 [答案] D[解析] －120°是第三象限角，120°是第二象限角，而－120°<120，排除A ；若sin α＝12，则α＝π6＋2k π或α＝5π6＋2k π(k ∈Z )，排除B ；当三角的内角等于90°时，它既不是第一象限，也不是第二象限，排除C ，故选D.5．已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝2DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则r ＋s 的值是( ) A ．23B ．43C ．－3D ．0[答案] D[解析] CD →＝AD →－AC →，DB →＝AB →－AD →， ∴CD →＝AB →－DB →－AC →＝AB →－12CD →－AC →，∴32CD →＝AB →－AC →， ∴CD →＝23AB →－23AC →，又AC →＝rAB →＋sAC →，∴r ＝23，s ＝－23，∴r ＋s ＝0，故选D.6．在△ABC 中，D 、E 、F 分别是BC 、CA 、AB 的中点，点M 是△ABC 的重心，则MA →＋MB →－MC →等于( )A ．0B ．4MD →C ．4MF →D ．4ME →[答案] C [解析] 如图，由已知得，MA →＋MB →＝2MF →，又∵M 为△ABC 的重心， ∴|MC |＝2|MF |，∴－MC →＝CM →＝2MF →， ∴MA →＋MB →－MC →＝4MF →.7．如图所示，点P 在∠AOB 的对角区域MON 内，且满足OP →＝xOA →＋yOB →，则实数对(x ，y )可以是( )A ．(12，－13)B ．(14，12)C ．(－23，－13)D ．(－34，25)[答案] C[解析] 向量OP →用基底OA →、OB →表示具有惟一性，结合图形知x <0，y <0，故选C. 8．(2014·江西九江外国语高一月考)已知sin(α＋75°)＝12，则cos(α－15°)＝( )A ．32B ．－32 C ．12D ．－12[答案] C[解析] ∵cos(15°－α)＝sin(α＋75°)＝12，∴cos(α－15°)＝cos(15°－α)＝12.9．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫32x ＋π4的图象相邻的两个零点之间的距离是( ) A ．π3B ．2π3C ．4π3D ．2π[答案] B[解析] 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫32x ＋π4的图象相邻的两个零 点之间的距离为半个周期，又T ＝2π32＝4π3，∴T 2＝2π3.10．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫－3x ＋π3的一个对称中心为( ) A ．⎝⎛⎭⎫π6，0 B ．⎝⎛⎭⎫π3，0 C ．⎝⎛⎭⎫5π18，0 D ．⎝⎛⎭⎫π2，0[答案] C[解析] y ＝cos ⎝⎛⎭⎫－3x ＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫3x －π3， 令3x －π3＝k π＋π2(k ∈Z )，∴x ＝k π3＋5π18(k ∈Z )．当k ＝0时，x ＝5π18，故选C.11．已知向量OA →＝(4,6)，OB →＝(3,5)，且OC →⊥OA →，AC →∥OB →，则向量OC →等于( ) A ．(－37，27)B ．(－27，421)C ．(37，－27)D ．(27，－421)[答案] D[解析] 设OC →＝(x ，y )，则AC →＝OC →－OA →＝(x －4，y －6)．∵OC →⊥OA →，AC →∥OB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋6y ＝0x －43＝y －65，解得⎩⎨⎧x ＝27y ＝－421.∴OC →＝(27，－421)．12．△ABC 为等边三角形，且边长为2，点M 满足BM →＝2AM →，则CM →·CA →＝( ) A ．6 B ．3 C ．15 D ．12[答案] A [解析] 如图，∵BM →＝2AM →，∴AB ＝AM ＝2， 又∵△ABC 为等边三角形， ∴∠BAC ＝60°，即∠CAM ＝120°.又AM ＝AC ，∴∠AMC ＝∠ACM ＝30°，∴∠BCM ＝90°. ∴CM ＝BM 2－BC 2＝16－4＝2 3. ∴CM →·CA →＝|CM →|·|CA →|cos30°＝23×2×32＝6.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知sin α、cos α是方程2x 2－x －m ＝0的两根，则m ＝________. [答案] 34[解析] 由题意，得⎩⎨⎧sin α＋cos α＝12sin αcos α＝－m2，解得m ＝34，又m ＝34时满足方程2x 2－x －m ＝0有两根．14．已知向量a ＝(1,0)，b ＝(1,1)，则(1)与2a ＋b 同向的单位向量的坐标表示为________； (2)向量b －3a 与向量a 夹角的余弦值为________． [答案] (1)(31010，1010) (2)－255[解析] (1)2a ＋b ＝2(1,0)＋(1,1)＝(3,1)，∴与2a ＋b 同向的单位向量为(31010，1010)．(2)cos 〈a ，b －3a 〉＝a ·(b －3a )|a |·|b －3a |＝(1，0)·(－2，1)5＝－255.15．已知函数f (x )＝a sin2x ＋cos2x (a ∈R )的图象的一条对称轴方程为x ＝π12，则a 的值为________．[答案]33[解析] 由题意，得f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫π6，即a sin0＋cos0＝a sin π3＋cos π3，∴32a ＝12，∴a ＝33. 16．设单位向量m ＝(x ，y )，b ＝(2，－1)．若m ⊥b ，则|x ＋2y |＝________. [答案]5[解析] 本题考查了向量垂直，坐标运算、数量积等．由m ⊥b 知m ·b ＝0，即2x －y ＝0①，又由m 为单位向量，所以|m |＝1，即x 2＋y 2＝1 ②，由①②联立解得⎩⎨⎧x ＝55y ＝255或⎩⎨⎧x ＝－55y ＝－255，所以|x ＋2y |＝ 5.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)(2014·安徽合肥市撮镇中学高一月考) (1)已知A (1,2)、B (3,5)、C (9,14)，求证：A 、B 、C 三点共线； (2)已知|a |＝2，|b |＝3，(a －2b )·(2a ＋b )＝－1，求a 与b 的夹角． [解析] (1)AB →＝(2,3)，AC →＝(8,12)， ∴AC →＝4AB →， ∴AC →与AB →共线． 又∵AC →与AB →有公共点A ， ∴A 、B 、C 三点共线. (2)设a 与b 的夹角为θ，则(a －2b )·(2a ＋b )＝2a 2－3a ·b －2b 2＝2×4－3×2×3×cos θ－2×9＝－10－18cos θ＝－1，∴cos θ＝－12.∵θ∈[0，π]，∴θ＝2π3.18．(本小题满分12分)已知两个非零向量a 、b 满足(a ＋b )⊥(2a －b )，(a －2b )⊥(2a ＋b )，求a 与b 的夹角的余弦值．[解析] 由(a ＋b )⊥(2a －b )，(a －2b )⊥(2a ＋b )，得⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋b )·(2a －b )＝0，(a －2b )·(2a ＋b )＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋a ·b －b 2＝0，①2a 2－3a ·b －2b 2＝0.② 由①×3＋②得a 2＝58b 2，∴|a |2＝58|b |2，即|a |＝58|b |.③由①得a ·b ＝b 2－2a 2＝|b |2－2×58|b |2＝－14b 2，④由③④可得cos θ＝a ·b|a |·|b |＝－14|b |258|b |·|b |＝－1010.∴a 、b 的夹角的余弦值为－1010. 19．(本小题满分12分)函数f (x )＝A sin(ωx －π6)＋1(A >0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈(0，π2)，f (α2)＝2，求α的值．[解析] (1)∵函数f (x )的最大值为3， ∴A ＋1＝3，即A ＝2.∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，∴最小正周期T ＝π，∴ω＝2.故函数f (x )的解析式为y ＝2sin(2x －π6)＋1.(2)∵f (α2)＝2sin(α－π6)＋1＝2，即sin(α－π6)＝12，∵0<α<π2，∴－π6<α－π6<π3，∴α－π6＝π6，故α＝π3.20．(本小题满分12分)已知a ＝3i －4j ，a ＋b ＝4i －3j ， (1)求向量a 、b 的夹角；(2)对非零向量p 、q ，如果存在不为零的常数α、β使αp ＋βq ＝0，那么称向量p 、q 是线性相关的，否则称向量p 、q 是线性无关的．向量a 、b 是线性相关还是线性无关的？为什么？[解析] (1)b ＝(a ＋b )－a ＝i ＋j ，设a 与b 夹角为θ，根据两向量夹角公式： cos θ＝a ·b |a ||b |＝3－452＝－210.故夹角θ＝π－arccos210. (2)设常数α，β使得αa ＋βb ＝0，那么⎩⎪⎨⎪⎧ 3α＋β＝0－4α＋β＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧α＝0β＝0，所以不存在非零常数α，β，使得αa ＋βb ＝0成立．故a 和b 线性无关．21．(本小题满分12分)如图所示，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|≤π2)的图象上相邻的最高点与最低点的坐标分别为⎝⎛⎭⎫5π12，3和⎝⎛⎭⎫11π12，－3，求该函数的解析式．[解析] 由题意知A ＝3，设最小正周期为T ， 则T 2＝11π12－5π12＝π2， ∴T ＝π，又T ＝2πω，∴ω＝2.∴函数解析式为y ＝3sin(2x ＋φ)． ∵点⎝⎛⎭⎫5π12，3在图象上， ∴3＝3sin ⎝⎛⎭⎫2×5π12＋φ， ∴sin ⎝⎛⎭⎫5π6＋φ＝1. ∴5π6＋φ＝2k π＋π2， ∴φ＝2k π－π3，k ∈Z .∵|φ|≤π2，∴φ＝－π3.∴函数的解析式为y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.22．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝23sin(3ωx ＋π3)，其中ω>0.(1)若f (x ＋θ)是周期为2π的偶函数，求ω及θ的值； (2)若f (x )在(0，π3]上是增函数，求ω的最大值．[解析] (1)由函数解析式f (x )＝23sin(3ωx ＋π3)，ω>0整理可得f (x ＋θ)＝23sin[3ω(x ＋θ)＋π3]＝23sin(3ωx ＋3ωθ＋π3)，由f (x ＋θ)的周期为2π，根据周期公式2π＝2π3ω，且ω>0，得ω＝13，∴f (x ＋θ)＝23sin(x ＋θ＋π3)， ∵f (x ＋θ)为偶函数，定义域x ∈R 关于原点对称， 令g (x )＝f (x ＋θ)＝23sin(x ＋θ＋π3)，∴g (－x )＝g (x )，23sin(x ＋θ＋π3)＝23sin(－x ＋θ＋π3)，∴x ＋θ＋π3＝π－(－x ＋θ＋π3)＋2k π，k ∈Z ，∴θ＝k π＋π6，k ∈Z .∴ω＝13，θ＝k π＋π6，k ∈Z .(2)∵ω>0，∴2k π－π2≤3ωx ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，∴2k π3ω－15π18ω≤x ≤π18ω＋2k π3ω，k ∈Z ，若f (x )在(0，π3]上是增函数，∴(0，π3]为函数f (x )的增区间的子区间，∴π18ω≥π3，∴ω≤16，∴ωmax ＝16.。
2019-2020年高中数学 本册综合测试2 北师大版必修4
2019-2020年高中数学 本册综合测试2 北师大版必修4一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数y ＝cos x3＋cos x 的定义域是( )A ．RB ．{x |x ≠2k π，k ∈Z }C ．{x |x ≠2k π＋π，k ∈Z }D ．{x |x ≠k π2，k ∈Z }[答案] A[解析] 要使函数有意义，则需3＋cos x >0， 又因为－1≤cos x ≤1，显然3＋cos x >0，所以x ∈R .2．已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，c ＝2a ＋3b ，d ＝k a －b (k ∈R )，且c ⊥d ，那么k 的值为( )A ．－6B ．6C ．－145D ．145[答案] D[解析] a ·b ＝1×2×cos60°＝1，∵c ⊥d ，∴c ·d ＝(2a ＋3b )·(k a －b )＝2k a 2－2a ·b ＋3k a ·b －3b 2＝2k －2＋3k －12＝0. ∴k ＝145.3．若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x <π2，则f (x )的最大值为( )A ．1B ．2C ．3＋1D ．3＋2[答案] B[解析] 因为f (x )＝(1＋3tan x )cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2cos(x －π3)，当x ＝π3时，函数取得最大值为2.4．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，c ＝(－3，－4)，且c ＝λ1a ＋λ2b ，则λ1，λ2的值分别为( )A ．－2,1B ．1，－2C ．2，－1D ．－1,2[答案] B[解析] 因为c ＝λ1a ＋λ2b ，则有(－3，－4)＝λ1(1,2)＋λ2(2,3)＝(λ1＋2λ2,2λ1＋3λ2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ1＋2λ2＝－3，2λ1＋3λ2＝－4，解得λ1＝1，λ2＝－2.5．下列函数中，周期为1的奇函数是( ) A ．y ＝1－2sin 2πx B ．y ＝sin(2πx ＋π3)C ．y ＝tan π2xD ．y ＝sin πx cos πx [答案] D[解析] 选项A 中函数y ＝cos2πx 为偶函数，排除选项A ； 选项B 中函数为非奇非偶函数，排除选项B ； 选项C 中函数的周期为2，排除选项C ； D 中函数y ＝12sin2πx 周期为1，且为奇函数．6．设0≤α<2π，若sin α>3cos α，则α的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，3π2C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，4π3D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，4π3[答案] D[解析] 当α∈[0，π2)时，由sin α>3cos α，得sin αcos α＝tan α>3，解得α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2；当α∈[π2，π]时，cos α≤0，显然原式成立；当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2时，易得tan α<3，解得α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，4π3；当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π2，2π时，sin α<0，cos α≥0，原式不成立，综上，α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，4π3.另解：sin α－3cos α，即sin(α－π3)>0，∴0<α－π3<π，即π3<α<π4，故选D ．7．设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图像向右平移π3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值为( )A ．13B ．3C ．6D ．9[答案] C[解析] 由题意得：π3为函数f (x )＝cos ωx 的最小正周期的正整数倍，∴π3＝k ·2πω(k ∈N ＋)， ∴ω＝6k (k ∈N ＋)，∴ω的最小值为6. 8.3－sin70°2－cos 210°＝( ) A ．12 B ．22 C ．2 D ．32[答案] C[解析] 原式＝3－sin70°2－1＋cos20°2＝－3－cos20°＝－3－cos20°＝2.9．(xx·四川理，7)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4.若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →＝( )A ．20B ．15C ．9D ．6[答案] C[解析] AM →＝AB →＋34AD →，NM →＝CM →－CN →＝－14AD →＋13AB →，所以AM →·NM →＝14(4AB →＋3AD →)·112(4AB →－3AD →)＝148(16AB →2－9AD →2)＝148(16×36－9×16)＝9，选C ． 10.如图所示的半径为3 m 的水轮，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮自点B 开始1 min 旋转4圈，水轮上的点P 到水面距离y (m)与时间x (s)满足函数关系y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2，则有( )A ．ω＝2π15，A ＝3B ．ω＝152π，A ＝3C ．ω＝2π15，A ＝5D ．ω＝152π，A ＝5[答案] A[解析] ∵1min 旋转4圈，∴1圈需14min ，即T ＝604＝15(s)．又∵T ＝2πω，∴2πω＝604＝15，∴ω＝2π15.又∵P 到水面的最大距离为5 m ， ∴函数最大值为5 m ，故A ＝3.11．在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos(2x ＋π6)，④y ＝tan(2x －π4)中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．②④B ．①③④C ．①②③D ．①③[答案] C[解析] 本题考查三角函数的奇偶性． ①y ＝cos|2x |＝cos2x ，T ＝2π2＝π， ②y ＝|cos x |由图像可知T ＝π， ③y ＝cos(2x ＋π6)，T ＝2π2＝π，④y ＝tan(2x －π4)，T ＝π2.故选C ．12．设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )A ．f (x )在(0，π2)单调递减B ．f (x )在(π4，3π4)单调递减C ．f (x )在(0，π2)单调递增D ．f (x )在(π4，3π4)单调递增[答案] A[解析] 本题主要考查三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的周期性、奇偶性、单调性以及辅助角公式．依题意：f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)＝2sin(ωx ＋φ＋π4)，又T ＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝2sin(2x ＋φ＋π4)又f (x )为偶函数，∴φ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝k π＋π4.又|φ|<π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝2sin(2x ＋π2)＝2cos2x .又y ＝cos x 在x ∈[0，π)单调递减，则由0<2x <π得0<x <π2.即f (x )＝2cos2x 在(0，π2)单调递减，故选A ．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b |＝10，则a ·b ＝________. [答案] 10[解析] ∵a ＝(－2，－6)，∴|a |＝4＋36＝210， ∴a ·b ＝210×10×cos60°＝10.14．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为________． [答案] 78[解析] 由题设易知，等腰三角形的腰长是底边长的2倍，如图所示，△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 边的中点，设∠BAD ＝θ，∵AB ＝4BD ，∴sin θ＝14，故cos ∠BAC ＝cos2θ＝1－2sin 2θ＝1－2×(14)2＝78.15．已知cos(α－β)＝－45，cos(α＋β)＝45，90°<α－β<180°，270°<α＋β<360°，则cos2α＝__________.[答案] －725[解析] 由cos(α－β)＝－45，cos(α＋β)＝45，90°<α－β<180°，270°<α＋β<360°， 所以sin(α－β)＝35，sin(α＋β)＝－35，所以cos2α＝cos[(α－β)＋(α＋β)]＝cos(α－β)·cos(α＋β)－sin(α－β)·sin(α＋β)＝－45×45－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－725.16．已知函数f (x )＝cos 2x 5＋sin 2x5(x ∈R )，给出以下命题：①函数f (x )的最大值是2； ②周期是5π2；③函数f (x )的图像上相邻的两条对称轴之间的距离是5π2； ④对任意x ∈R ，均有f (5π－x )＝f (x )成立； ⑤点(15π8，0)是函数f (x )的图像的一个对称中心．其中正确命题的序号是________． [答案] ③⑤[解析] f (x )＝cos 2x 5＋sin 2x 5＝2sin(2x 5＋π4)，则函数f (x )的最大值是2，所以①不正确；周期T ＝2π25＝5π，所以②不正确；函数f (x )的图像上相邻的两条对称轴之间的距离是12T ＝5π2，所以③正确；令2x 5＋π4＝π2＋k π(k ∈Z )，不能得函数f (x )的图像中有一条对称轴是直线x ＝5π2，则对任意x ∈R ，均有f (5π－x )＝f (x )不成立，所以④不正确；f (15π8)＝2sin(25×15π8＋π4)＝2sin π＝0，所以⑤正确．三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知sin x ＝513，x ∈(π2，π)，求cos2x 和tan(x ＋π4)的值．[解析] cos2x ＝1－2sin 2x ＝1－2×(513)2＝119169.因为sin x ＝513，x ∈(π2，π)，所以cos x ＝－1－5132＝－1213.tan x ＝sin x cos x ＝－512.所以tan(x ＋π4)＝tan x ＋11－tan x ＝717.18．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)．(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值． [解析] (1)AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,1)，求两条对角线的长即求|AB →＋AC →|与|AB →－AC →|的大小． 由AB →＋AC →＝(2,6)，得|AB →＋AC →|＝210， 由AB →－AC →＝(4,4)，得|AB →－AC →|＝4 2. (2)OC →＝(－2，－1)，∵(AB →－tOC →)·OC →＝AB →·OC →－tOC →2，易求AB →·OC →＝－11，OC →2＝5，∴由(AB →－tOC →)·OC →＝0得t ＝－115.19．(本小题满分12分)(xx·湖北文，18)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：(2)将y ＝f (x )图像上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到y ＝g (x )图像，求y ＝g (x )的图像离原点O 最近的对称中心．[解析] (1)根据表中已知数据可得：A ＝5，π3ω＋φ＝π2，5π6ω＋φ＝3π2，解得ω＝2，φ＝－π6. 数据补全如下表：且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，因此g (x )＝5sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z .令2x ＋π6＝k π，解得x ＝k π2－π12，k ∈Z .即y＝g (x )图像的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，0，k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0.20．(本小题满分12分)已知向量a ＝(sin x ，32)，b ＝(cos x ，－1)．(1)当a 与b 共线时，求2cos 2x －sin2x 的值； (2)求f (x )＝(a ＋b )·b 在[－π2，0]上的值域．[解析] (1)向量a ＝(sin x ，32)，b ＝(cos x ，－1)，当a 与b 共线时，－sin x ＝32cos x ，即tan x ＝－32.2cos 2x －sin2x ＝2cos 2x －2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝2－2tan x tan 2x ＋1＝2013. (2)f (x )＝(a ＋b )·b ＝(sin x ＋cos x ，12)·(cos x ，－1)＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin2x ＋12cos2x ＝22sin(2x ＋π4)． 因为－π2≤x ≤0，所以－3π4≤2x ＋π4≤π4，所以－1≤sin(2x ＋π4)≤22.所以f (x )在[－π2，0]上的值域为[－22，12]．21．(本小题满分12分)(xx·山东理，16)已知向量a ＝(m ，cos2x )，b ＝(sin2x ，n )，设函数f (x )＝a ·b ，且y ＝f (x )的图像过点(π12，3)和(2π3，－2)．(1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图像向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图像，若y ＝g (x )图像上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间．[解析] (1)由题意知f (x )＝a ·b ＝m sin2x ＋n cos2x . 因为y ＝f (x )的图像过点(π12，3)和(2π3，－2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝m sin π6＋n cos π6，－2＝m sin 4π3＋n cos 4π3，即⎩⎪⎨⎪⎧3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得m ＝3，n ＝1.(2)由(1)知f (x )＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π6)．由题意知g (x )＝f (x ＋φ)＝2sin(2x ＋2φ＋π6)．设y ＝g (x )的图像上符合题意的最高点为(x 0,2)， 由题意知x 20＋1＝1，所以x 0＝0，即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)． 将其代入y ＝g (x )得sin(2φ＋π6)＝1，因为0<φ<π，所以φ＝π6，因此g (x )＝2sin(2x ＋π2)＝2cos2x ，由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z 得k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z ，所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为[k π－π2，k π]，k ∈Z .22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos(x －π3)＋2sin(3π2－x )．(1)求函数f (x )的单调减区间；(2)求函数f (x )的最大值并求f (x )取得最大值时的x 的取值集合； (3)若f (x )＝65，求cos(2x －π3)的值．[解析] f (x )＝2cos x cos π3＋2sin x sin π3－2cos x ＝cos x ＋3sin x －2cos x ＝3sin x －cos x ＝2sin(x －π6)．(1)令2k π＋π2≤x －π6≤2k π＋32π(k ∈Z )，∴2k π＋2π3≤x ≤2k π＋5π3(k ∈Z )，∴单调递减区间为[2k π＋2π3，2k π＋5π3](k ∈Z )．(2)f (x )取最大值2时，x －π6＝2k π＋π2(k ∈Z )，则x ＝2k π＋2π3(k ∈Z )．∴f (x )的最大值是2，取得最大值时的x 的取值集合是{x |x ＝2k π＋2π3，k ∈Z }．(3)f (x )＝65即2sin(x －π6)＝65，∴sin(x －π6)＝35.∴cos(2x －π3)＝1－2sin 2(x －π6)＝1－2×(35)2＝725.2019-2020年高中数学 本册综合测试2（含解析）北师大版必修3一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．某学校共有20个班级，每班各有40名学生，其中男生25人，女生15人，若从全校800人中利用简单随机抽样的方法抽出80人，则下列选项中正确的是( )A ．每班至少会有一人被抽中B ．抽出来的男生人数一定比女生人数多C ．已知甲是男生，乙是女生，则甲被抽中的概率大于乙被抽中的概率D ．每位学生被抽中的概率都是110[答案] D[解析] 由简单随机抽样的特点知每位学生被抽中的概率都是110.2．若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是( )C ．91和91.5 [答案] A[解析] 数据从小到大排列后可得其中位数为91＋922＝91.5，平均数为87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋968＝91.5.3．某中学高一、高二、高三三个年级共有学生3 000人，采用分层抽样的方法从全体学生中抽取一个容量为60的样本，已知高一年级学生为1 200人，则该年级抽取的学生数为( )A ．20 B.30 C ．24 D.25[答案] C[解析] 抽样比：603 000＝150，∴高一抽取：1 200×150＝24.4．(xx·陕西文，7)根据下边框图，当输入x 为6时，输出的y ＝( )A．1 B.2C．5 D.10[答案] D[解析]该程序框图运行如下：x＝6－3＝3＞0，x＝3－3＝0，x＝0－3＝－3＜0，y＝(－3)2＋1＝10，故答案选D.5．一箱产品中有正品4件，次品3件，从中任取2件，其中事件：①恰有1件次品和恰有2件次品；②至少有1件次品和全是次品；③至少有1件正品和至少有1件次品；④至少有1件次品和全是正品．四组中是互斥事件的有( )A．1组 B.2组C．3组 D.4组[答案] B[解析]是互斥事件的为①与④这2组；②中至少有1件次品包括“1件次品”“2件次品”两种情况，而全是次品指的是“2件次品”，故可能同时发生，故②不是互斥事件；③中至少有1件正品包括“一正一次”，“两正”两种情况，而至少有一件次品包括“一正一次”“两次”两种情况，故③中两事件不互斥．6．假设△ABC为圆的内接正三角形，向该圆内投一点，则点落在△ABC内的概率( )A.334πB.2πC.4πD.33π4[答案] A[解析]设圆O的半径为R，“所投点落在△ABC内”为事件A，则P(A)＝34AB2πR2＝343R 2πR2＝334π. 7．在样本的频率分布直方图中，一共有n 个小矩形，若中间一个小矩形的面积等于其余n －1个小矩形面积和的14，且样本容量为160，则中间一组的频数是( )A ．32 B.20 C ．40 D.25[答案] A[解析] 频率分布直方图中所有小矩形的面积和等于1，设中间一个小矩形的面积为S ，则其余n －1个小矩形的面积为4S .∴S ＋4S ＝1，S ＝15，所以频数为15×160＝32.8．从所有的两位数中任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率是( ) A.56 B.45 C.23 D.12 [答案] C[解析] 设在10～99中能被2,3,6整除的整数分别为2k,3m,6n ，其中k ，m ，n ∈Z ，令10≤2k ≤99,10≤3m ≤99,10≤6n ≤99，解得5≤k ≤4912，313≤m ≤33，123≤n ≤1612，所以有45个被2整除的整数，30个被3整除的整数，15个被6整除的整数，共有45＋30－15＝60(个)能被2或3整除的整数，10～99中只有99－10＋1＝90(个)整数，故所求事件的概率P ＝6090＝23. 9.我市某机构为调查xx 年下半年落实中学生“阳光体育”活动的情况，设平均每人每天参加体育锻炼时间X (单位：分钟)，按锻炼时间分下列四种情况统计：①0～10分钟；②11～20分钟；③21～30分钟；④30分钟以上，有10 000名中学生参加了此项活动，如图所示是此次调查中某一项的算法框图，其输出的结果是6 200，则平均每天参加体育锻炼时间在0～20分钟内的学生的频率是( )A ．0.62 B.0.38 C ．6 200 D.3 800[答案] B[解析] 该算法框图的功能是输出平均每天参加体育锻炼时间在21分钟及其以上的学生人数．由题意知，平均每天参加体育锻炼时间在0～20分钟内的学生人数为10 000－6 200＝3 800，故其频率为0.38.10．(xx·陕西文，6)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为( )A.15 B.25 C.35 D.45 [答案] B[解析] 本题考查了古典概型．“任取2个点”的所有情况有10种．而“距离小于正方形边长”的情况有4种(OA ，OB ，OC ，OD )，所求概率为410＝25.正确找出事件空间是关键．11．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确．．．的是( ) A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心(x －，y －)C ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg[答案] D[解析] 本题主要考查线性相关及回归方程．D 选项断定其体重必为58.79kg 不正确．注意回归方程只能说“约”“大体”而不能说“一定”“必”．12.设集合A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3}，分别从集合A 和B 中随机取一个数a 和b ，确定平面上的一个点P (a ，b )，记“点P (a ，b )落在直线x ＋y ＝n 上”为事件C n (2≤n ≤5，n ∈N )，若事件C n 的概率最大，则n 的所有可能值为( )A ．3 B.4 C ．2和5 D.3和4[答案] D[解析] 点P (a ，b )共有(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(2,3)6种情况，得x ＋y 分别等于2,3,4,3,4,5，∴出现3与4的概率最大． ∴n ＝3或n ＝4.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上) 13．甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件.[答案] 1 800[解析] 本题考查分层抽样．设乙厂生产的总数为n 件，则80－50n ＝804 800，解得n ＝1 800.分层抽样也叫等比例抽样，解决与分层抽样有关的问题，要紧扣等比例．14．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝1，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE ，在圆弧DE 上任取一点P ，则直线AP 与线段BC 有公共点的概率是________．[答案] 13[解析] 连接AC ，则tan ∠CAB ＝13，∠CAB ＝π6，由几何概型的计算公式得P ＝π6π2＝13.15．对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次，第i 次观测得到的数据为a i ，具体如下表所示：在对上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的算法流程图(其中a 是这8个数据的平均数)，则输出的S 的值是________．[答案] 7[解析] ∵a ＝44，∴由已知S 为数据的方差，等于18[(40－44)2＋(41－44)2＋(43－44)2＋(43－44)2＋(44－44)2＋(46－44)2＋(47－44)2＋(48－44)2]＝7.16.设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，则方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率为________．[答案]1936[解析] 基本事件总数为6×6＝36，若使方程有实根，则Δ＝b 2－4c ≥0，即b ≥2c . 当c ＝1时，b ＝2,3,4,5,6； 当c ＝2时，b ＝3,4,5,6；当c ＝3时，b ＝4,5,6；当c ＝4时，b ＝4,5,6； 当c ＝＝5时，b ＝5,6；当c ＝6时，b ＝5,6，目标事件个数为5＋4＋3＋3＋2＋2＝19，因此方程x 2＋b ＋c ＝0有实根的概率为1936.三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知1＋2＋3＋4＋…＋i ≤200，画出求i 的最大值的流程图． [解析] 流程图如下所示：18．(本小题满分12分)在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个小球被取出的可能性相等．(1)求取出的两个球上标号为相邻整数的概率； (2)求取出的两个球上标号之和能被3整除的概率．[解析] 设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为x ，y ，用(x ，y )表示抽取结果，则所有可能有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16种．(1)所取两个小球上的数字为相邻整数的结果有(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,3)，共6种．故所求概率P ＝616＝38.答：取出的两个小球上的标号为相邻整数的概率为38.(2)所取两个球上的数字和能被3整除的结果有(1,2)，(2,1)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，共5种．故所求概率为P ＝516.答：取出的两个小球上的标号之和能被3整除的概率为516.19.(本小题满分12分)(xx·广东文，17)某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图．(1)求直方图中x 的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数；(3)在月平均用电量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户？[解析] (1)由(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x ＋0.005＋0.002 5)×20＝1得：x ＝0.007 5，所以直方图中x 的值是0.007 5.(2)月平均用电量的众数是220＋2402＝230.因为(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45＜0.5，所以月平均用电量的中位数在[220,240)内，设中位数为a ，由(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＋0.012 5×(a －220)＝0.5得：a ＝224，所以月平均用电量的中位数是224.(3)月平均用电量为[220,240)的用户有0.012 5×20×100＝25户，月平均用电量为[240,260)的用户有0.007 5×20×100＝15户，月平均用电量为[260,280)的用户有0.005×20×100＝10户，月平均用电量为[280,300]的用户有0.002 5×20×100＝5户，抽取比例＝1125＋15＋10＋5＝15，所以月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×15＝5户．20．(本小题满分12分)假定以下数据是甲、乙两个供货商的交货天数： 甲：10,9,10,10,11,11,9,11,10,10 乙：8,10,14,7,10,11,10,8,15,12估计两个供货商的交货情况，并指出哪个供货商的交货时间短一些，哪个供货商的交货时间比较具有一致性与可靠性？[解析] x 甲＝110(10＋9＋10＋10＋11＋11＋9＋11＋10＋10)＝10.1(天)．s 2甲＝110[(10－10.1)2＋(9－10.1)2＋(10－10.1)2＋(10－10.1)2＋(11－10.1)2＋(11－10.1)2＋(9－10.1)2＋(11－10.1)2＋(10－10.1)2＋(10－10.1)2]＝0.49.x乙＝110(8＋10＋14＋7＋10＋11＋10＋8＋15＋12)＝10.5(天)，s2乙＝110[(8－10.5)2＋(10－10.5)2＋(14－10.5)2＋(7－10.5)2＋(10－10.5)2＋(11－10.5)2＋(10－10.5)2＋(8－10.5)2＋(15－10.5)2＋(12－10.5)2]＝6.05.从交货天数的平均数来看，甲供货商的供货天数短一些；从方差来看，甲供货商的交货天数较稳定，因此甲供货商的交货时间比较具有一致性与可靠性．21．(本小题满分12分)20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如下：(1)求频率分布直方图中a的值；(2)分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数；(3)从成绩在[50,70)的学生中任选2人，求此2人的成绩都在[60,70)中的概率．[解析]由频率之和为1，求a，然后求出落在[50,60)和[60,70)中的人数，最后用列举法求古典概型的概率．解：(1)∵组距为10，∴(2a＋3a＋6a＋7a＋2a)×10＝200a＝1，∴a＝1200＝0.005.(2)落在[50,60)中的频率为2a×10＝20a＝0.1，∴落在[50,60)中的人数为2.落在[60,70)中的学生人数为3a×10×20＝3×0.005×10×20＝3.(3)设落在[50,60)中的2人成绩为A1，A2，落在[60,70)中的3人为B1，B2，B3.则从[50,70)中选2人共有10种选法，Ω＝{(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)}其中2人都在[60,70)中的基本事件有3个：(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，故所求概率p＝3 10 .22.(本小题满分12分)班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25位女同学，15位男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．(1)如果按性别比例分层抽样，男、女生各抽取多少位才符合抽样要求？(2)随机抽出8位，他们的数学、物理分数对应如下表：分数均为优秀的概率是多少？2°根据上述数据，用变量y 与x 的散点图说明物理成绩y 与数学成绩x 之间的线性回归线方程(系数精确到0.01)．参考公式：b ＝∑i ＝1nx i －x－y i －y∑i ＝1nx 21－x －2，a ＝y －－b x －回归线直线方程是y ＝bx ＋a . 参考数据：x －＝77.5，y －＝84.875.∑i ＝18(x 1－x )2＝1050，∑i ＝18(y 1－y －)2≈457，∑i ＝18(x i －x －)(y i －y －)≈688，1050≈32.4，457＝21.4，550≈23.5.[解析] (1)应选女生25×840＝5位，男生15×840＝3位．(2)1°由表中可以看出，所选出的8位同学中，数学和物理分数均为优秀的人数是3人，故所求概率是38.2°数学成绩x 为横坐标，物理成绩为纵坐标作散点图如下：从散点图中可以看出这些点大致分布在一条直线附近．故物理与数学成绩相关． 设y 与x 的线性回归方程是y ＝bx ＋a ， 根据所给的数据，可以计算出b≈6881050≈0.66，a＝84.875－0.66×77.5≈33.73，所以y与x的回归方程是y≈0.66x＋33.73.。
【精品卷】2019—2020年最新北师大版高中数学必修四《三角函数》单元复习测试题1及答案答案解析.docx
（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学必修四第一章三角函数单元测试一.选择题（60分） 1.将－300o 化为弧度为（）A ．－B ．－C ．－D ．－ 2.如果点位于第三象限，那么角所在象限是（）Ａ.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3．下列选项中叙述正确的是（）A ．三角形的内角是第一象限角或第二象限角B ．锐角是第一象限的角C ．第二象限的角比第一象限的角大D ．终边不同的角同一三角函数值不相等 4．下列函数中为偶函数的是（）A ．B ．C ．D ． 5已知函数的一部分图象如右图所示，如果，则（）A. B. C. D.6．函数的单调递减区间（）A B ． 43π；53π；76π；74π；)cos 2,cos (sin θθθP θsin ||y x =2sin y x =sin y x =-sin 1y x =+sin()y A x B ωϕ=++0,0,||2A πωϕ>><4=A 1ω=6πϕ=4=B 3sin(2)6y x π=+5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈511,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈C ．D ． 7．已知是三角形的一个内角,且,则这个三角形( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．不等腰的直角三角形D ．等腰直角三角形 8．等于（）A ．sin2－cos2B ．cos2－sin2C ．±（sin2－cos2）D ．sin2+cos2 9．若角的终边落在直线y =2x 上，则sin 的值为（）A. B. C. D.10．函数y=cos 2x –3cosx+2的最小值是（）A ．2B ．0C ．D ．6 11．如果在第三象限，则必定在（） A ．第一或第二象限B ．第一或第三象限 C ．第三或第四象限D ．第二或第四象 12．已知函数在同一周期内，当时有最大值2，当x=0时有最小值-2，那么函数的解析式为（）A ．B ．C ．D ．二．填空题（20分）13、已知角α的终边经过点P(3，)，则与α终边相同的角的集合是______ 14．、、的大小顺序是 15．函数的定义域是． 16．函数的单调递减区间是。
北师大版高一数学必修四复习测试全套及答案
北师大版高一数学必修四复习测试全套及答案第一章章末分层突破[自我校对]①弧度制②负角③零角④y＝cos x⑤y＝tan x三角函数的定义及三角函数函数值，利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域．(1)点P 从点(2,0)出发，沿圆x 2＋y 2＝4逆时针方向运动π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为；(2)函数y ＝lg(2sin x －1)＋1－2cos x 的定义域为．【精彩点拨】 (1)先求∠POQ ，再利用三角函数定义求出Q 点坐标；(2)先列出三角函数的不等式组，再利用三角函数线求解．【规范解答】 (1)设∠POQ ＝θ，则θ＝π32＝π6，设Q (x ，y )，根据三角函数的定义，有x ＝2cos π6＝3，y ＝2sin π6＝1，即Q 点的坐标为(3，1)．(2)要使函数有意义，必须有 ⎩⎨⎧2sin x －1>0，1－2cos x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >12，cos x ≤12，解得⎩⎪⎨⎪⎧π6＋2k π<x <56π＋2k π(k ∈Z )，π3＋2k π≤x ≤53π＋2k π(k ∈Z )，∴π3＋2k π≤x <5π6＋2k π(k ∈Z )．故所求函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3＋2k π，5π6＋2k π(k ∈Z )．【答案】 (1)(3，1) (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3＋2k π，5π6＋2k π(k ∈Z )[再练一题]1．求函数f (x )＝－sin x ＋tan x －1的定义域．【解】 函数f (x )有意义，则⎩⎨⎧ －sin x ≥0，tan x －1≥0，即⎩⎨⎧sin x ≤0，tan x ≥1. 如图所示，结合三角函数线知⎩⎪⎨⎪⎧2k π＋π≤x ≤2k π＋2π(k ∈Z )，k π＋π4≤x <k π＋π2(k ∈Z )，∴2k π＋5π4≤x <2k π＋3π2(k ∈Z )．故f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2k π＋5π4，2k π＋3π2(k ∈Z )．用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，也可以实现正弦与余弦、正切与余切之间函数名称的变换．2k π＋α，π±α，－α，2π±α，π2±α的诱导公式可归纳为：k ×π2＋α(k ∈Z )的三角函数值．当k 为偶数时，得α的同名三角函数值；当k 为奇数时，得α的余名三角函数值，然后在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，概括为“奇变偶不变，符号看象限”，这里的奇偶指整数k 的奇偶．已知f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αtan (α＋5π)tan (－α－π)sin (α－3π)，(1)化简f (α)；(2)若α＝－25π3，求f (α)的值．【精彩点拨】 直接应用诱导公式求解．【规范解答】 (1)f (α)＝cos α·(－sin α)·tan α(－tan α)·sin (π＋α)＝cos α·sin α·sin αcos α－sin αcos α·sin α＝－cos α.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3 ＝－cos π3＝－12. [再练一题]2．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＝14，求cos (π＋θ)cos θ[cos (π＋θ)－1]＋cos (θ－2π)cos (θ＋2π)cos (θ＋π)＋cos (－θ).【解】 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＝14，所以cos θ＝－14.所以cos (π＋θ)cos θ[cos (π＋θ)－1]＋cos (θ－2π)cos (θ＋2π)cos (θ＋π)＋cos (－θ)＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＋cos θcos θ(－cos θ)＋cos θ＝cos θcos θ(cos θ＋1)－cos θcos θ(cos θ－1)＝1cos θ＋1－1cos θ－1＝1－14＋1－1－14－1＝3215.考查中，主要体现在三角函数图像的变换和解析式的确定，以及通过对图像的描绘、观察来讨论函数的有关性质．如图1-1是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋kA >0，ω>0，φ<π2的一段图像．图1-1(1)求此函数解析式；(2)分析一下该函数是如何通过y ＝sin x 变换得来的．【精彩点拨】 (1)先确定A ，k ，再根据周期求ω，最后确定φ. (2)可先平移再伸缩，也可先伸缩再平移． 【规范解答】 (1)由图像知，A ＝－12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝12，k ＝－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝－1，T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－π6＝π，∴ω＝2πT ＝2，∴y ＝12sin(2x ＋φ)－1.当x ＝π6时，2×π6＋φ＝π2，∴φ＝π6. ∴所求函数解析式为y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1. (2)把y ＝sin x 向左平移π6个单位得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，然后纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的12，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12，得到y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，最后把函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图像向下平移1个单位，得到y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1的图像．[再练一题]3．若函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A >0,0<φ<π)在x ＝π6处取得最大值，且最大值为3，求函数f (x )的解析式，并说明怎样变换f (x )的图像能得到g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图像．【解】 因为函数f (x )最大值为3，所以A ＝3， 又当x ＝π6时函数f (x )取得最大值，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1.因为0<φ<π，故φ＝π6，故函数f (x )的解析式为f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，将f (x )的图像向右移π6个单位，即得g (x )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图像．奇偶性、对称性等有关性质，特别是复合函数的周期性、单调性和最值(值域)，应引起重视．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1(其中a 为常数)．(1)求f (x )的单调区间；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最大值为4，求a 的值；(3)求f (x )取最大值时，x 的取值集合．【精彩点拨】 (1)将2x ＋π6看成一个整体，利用y ＝sin x 的单调区间求解． (2)先求x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π6的范围，再根据最值求a 的值． (3)先求f (x )取最大值时2x ＋π6的值，再求x 的值．【规范解答】 (1)由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，解得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π(k ∈Z )， ∴函数f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π(k ∈Z )，由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )，解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z )，∴函数f (x )的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )．(2)∵0≤x ≤π2，∴π6≤2x ＋π6≤7π6， ∴－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1， ∴f (x )的最大值为2＋a ＋1＝4，∴a ＝1. (3)当f (x )取最大值时，2x ＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z )． ∴2x ＝π3＋2k π，∴x ＝π6＋k π(k ∈Z )． ∴当f (x )取最大值时， x的取值集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝π6＋k π，k ∈Z . [再练一题]4．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，(x ∈R ) (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，34π上的最大值和最小值．【解】 (1)∵f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，∴T ＝2πω＝2π2＝π， 故f (x )的最小正周期为π.(2)f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，3π8上是增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，3π4上是减函数，∴函数f (x )在x ＝3π8处取得最大值，在两端点之一处取得最小值． 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝ 2.F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－ π4＝－2cos π4＝－1. 故函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，3π4上的最大值为2，最小值为－1.问题转化为数量关系去求解，体现了数与形的联系．在三角函数中可以利用单位圆中的三角函数线或三角函数图像研究三角函数的求值、大小比较、最值、解三角不等式、单调区间、对称性等问题，其特点是直观形象．若集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪sin θ≥12，0≤θ≤π，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪cos θ≤12，0≤θ≤π，求M ∩N .【精彩点拨】 本题主要考查已知三角函数值范围求角，可以根据正弦函数图像和余弦函数图像，作出集合M 和N ，然后求M ∩N ，或利用单位圆中三角函数线确定集合M ，N .【规范解答】 法一：首先作出正弦函数与余弦函数的图像以及直线y ＝12，如图：结合图像得集合M ，N 分别为M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪ π6≤θ≤5π6，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π3≤θ≤π， 得M ∩N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π3≤θ≤56π. 法二：作出单位圆的正弦线和余弦线． 如图：由单位圆三角函数线知：M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪ π6≤θ≤5π6，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π3≤θ≤π， 得M ∩N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π3≤θ≤56π. [再练一题]5．(1)求满足不等式cos x <－12的角x 的集合； (2)求y ＝2sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3≤x ≤2π3的值域． 【解】 (1)作出函数y ＝cos x 在[0,2π]上的图像，如图所示：由于cos 2π3＝cos 4π3＝－12，故当2π3<x <4π3时，cos x <－12.由于y ＝cos x 的周期为2π，∴适合cos x <－12的角x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2π3＋2k π<x <4π3＋2k π，k ∈Z . (2)作出y ＝sin x 的简图，如图所示：由图像可知，当－π3≤x ≤2π3时，－32≤sin x ≤1， ∴－3≤2sin x ≤2，因此函数y ＝2sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3≤x ≤2π3的值域为[－3，2].1．要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图像，只需将函数y ＝sin 4x 的图像( ) A ．向左平移π12个单位 B ．向右平移π12个单位 C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位【解析】 由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝sin 4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12得，只需将y ＝sin 4x 的图像向右平移π12个单位即可，故选B.【答案】 B2．函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图像如图1-2所示，则f (x )的单调递减区间为( )图1-2A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 【解析】 由图像知，周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，∴2πω＝2，∴ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4， ∴f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π4.由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z .故选D.【答案】 D3．如图1-3，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )图1-3A ．5B ．6C ．8D ．10【解析】 根据图像得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8. 【答案】 C4．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图像的对称轴，且f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．5【解析】 因为f (x )＝sin(ωx ＋φ)的一个零点为x ＝－π4，x ＝π4为y ＝f (x )图像的对称轴， 所以T 4·k ＝π2(k 为奇数)．又T ＝2πω，所以ω＝k (k 为奇数)． 又函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，所以π12≤12×2πω，即ω≤12.若ω＝11，又|φ|≤π2，则φ＝－π4，此时，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11x －π4，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，3π44上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫3π44，5π36上单调递减，不满足条件． 若ω＝9，又|φ|≤π2，则φ＝π4，此时，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9x ＋π4，满足f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调的条件．故选B.【答案】 B5．某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)．．．．．．．．．．．)的解析式； (2)将y ＝f (x )图像上所有点向左平行移动θ(θ＞0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图像．若y ＝g (x )图像的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0，求θ的最小值．【解】 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6，数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝ ⎭⎪⎫2x －6.(2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，则g (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6.因为函数y ＝sin x 图像的对称中心为(k π，0)，k ∈Z ， 令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z . 由于函数y ＝g (x )的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0成中心对称，所以令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z . 由θ＞0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.第二章章末分层突破[自我校对]①单位向量②坐标表示③数乘向量④坐标⑤夹角公式1.2．向量线性运算的结果仍是一个向量．因此对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意大小、方向两个方面．3．向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线问题、共点问题．4．题型主要有证明三点共线、两直线平行、线段相等、求点或向量的坐标等．已知△OAB 中，延长BA 到C ，使AB ＝AC ，D 是将OB 分成2∶1的一个分点，DC 和OA 交于E ，设OA →＝a ，OB →＝b (如图2-1)，图2-1(1)用a ，b 表示向量OC →，DC →；(1)若OE→＝λOA →，求实数λ的值. 【精彩点拨】 (1)根据平行四边形法则求解．(2)结合三角形法则与平行四边形法则及向量共线定理求解． 【规范解答】 (1)∵A 为BC 的中点， ∴OA→＝12(OB →＋OC →)， ∴OC→＝2OA →－OB →＝2a －b ， DC→＝OC →－OD →＝OC →－23OB →＝2a －b －23b ＝2a －53b . (2)若OE →＝λOA →，则CE →＝OE →－OC →＝λOA →－OC →＝λa －(2a －b ) ＝(λ－2)a ＋b .∵CE→与CD →共线，∴存在实数m ，使得CE →＝mCD →， 即(λ－2)a ＋b ＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a ＋53b ，∴(λ＋2m －2)a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－53m b ＝0.∵a ，b 不共线， ∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2m －2＝0，1－53m ＝0，解得λ＝45.[再练一题]1．(1)若a ，b 是不共线的两个向量，且a 与b 的起点相同，则实数t 为何值时，a ，t b ，13(a ＋b )三个向量的终点在一条直线上？(2)已知A (－1,1)，B (1,5)，C (x ，－5)，D (4,7)，AB →与CD →共线，求x 的值．【解】 (1)由题易知，存在唯一实数λ.使得 a －t b ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －13(a ＋b )＝23λa －13λb ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧23λ＝1，－13λ＝－t .∴t ＝12，即当t ＝12时，三向量共线． (2)AB→＝(2,4)，CD →＝(4－x,12)． ∵AB →∥CD →，∴2×12＝4(4－x )， ∴x ＝－2.向量的夹角、垂直及长度问1.求夹角问题求向量a ，b 夹角θ的步骤：(1)求|a |，|b |，a·b ；(2)求cos θ＝a·b|a||b|(夹角公式)；(3)结合θ的范围[0，π]确定θ的大小．因此求向量的夹角先转化为求向量夹角的余弦值，再结合夹角的范围确定夹角的大小．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， 则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. 2．垂直问题这类问题主要考查向量垂直的条件：若向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.3．向量的模 (1)|a |2＝a 2，|a |＝a 2.(2)若a ＝(x ，y )，则a 2＝x 2＋y 2， |a |＝x 2＋y 2.(1)已知向量a 与b 的夹角为120°，|a |＝3，|a ＋b |＝13，则|b |＝.(2)已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为． (3)若|a |＝1，|b |＝2，(2a －b )⊥b ，求a 与b 的夹角． 【精彩点拨】 (1)利用模与数量积进行转化求解． (2)结合已知条件利用向量的夹角公式计算． (3)利用垂直关系结合数量积运算求解．【规范解答】 (1)因为|a ＋b |＝13，所以|a ＋b |2＝13，即(a ＋b )2＝13，|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝13.又因为a 与b 的夹角为120°，|a |＝3，所以9＋2×3×|b |·cos 120°＋|b |2＝13，|b |2－3|b |－4＝0，解得|b |＝4或|b |＝－1(舍)．(2)设a 与b 的夹角为θ，依题意有(a ＋2b )·(a －b )＝a 2＋a ·b －2b 2＝－7＋2cos θ＝－6，所以cos θ＝12，因为0≤θ≤π，所以θ＝π3.【答案】 (1)4 (2)π3(3)由(2a －b )⊥b ，则(2a －b )·b ＝0， 即2a ·b －b 2＝0，所以2|a ||b |cos θ－|b |2＝0， 即2×2cos θ－2＝0，所以cos θ＝22. 又∵0≤θ≤π，∴θ＝π4. [再练一题]2．已知c ＝m a ＋n b ，c ＝(－23，2)，a ⊥c ，b 与c 的夹角为23π，b·c ＝－4，|a |＝22，求实数m ，n 的值及a 与b 的夹角θ.【解】 ∵c ＝(－23，2)，∴|c |＝4. ∵a ⊥c ，∴a·c ＝0.∵b·c ＝|b ||c |cos 23π＝|b |×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4.∴|b |＝2.∵c ＝m a ＋n b ，∴c 2＝m a·c ＋n b·c ， ∴16＝n ×(－4)，因此n ＝－4. 在c ＝m a ＋n b 两边同乘以a ， 得0＝8m －4a·b .①在c ＝m a ＋n b 两边同乘以b ，得m a·b ＝12. ② 由①②，得m ＝±6， ∴a·b ＝±26， ∴cos θ＝±2622·2＝±32.∵θ∈[0，π]， ∴θ＝π6或56π.1.运算和线段平行之间、数量积运算和垂直、夹角、距离问题之间联系密切，因此用向量方法可以解决平面几何中的相关问题．2．向量在解析几何中的应用，主要利用向量平行与垂直的坐标条件求直线的方程． 3．在物理中的应用，主要解决力向量、速度向量等问题．已知e 1＝(1,0)，e 2＝(0,1)，今有动点P 从P 0(－1,2)开始，沿着与向量e 1＋e 2相同的方向做匀速直线运动，速度为|e 1＋e 2|；另一动点Q 从Q 0(－2，－1)开始，沿着与向量3e 1＋e 2相同的方向做匀速直线运动，速度为|3e 1＋2e 2|，设P ，Q 在t ＝0 s 时分别在P 0，Q 0处，问当PQ →⊥P 0Q 0→时，所需的时间为多少？【精彩点拨】 求出t s 后P ，Q 两点的坐标，结合数量积运算建立方程求解． 【规范解答】 e 1＋e 2＝(1,1)，|e 1＋e 2|＝2，其单位向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22；3e 1＋2e 2＝(3,2)，|3e 1＋2e 2|＝13，其单位向量为⎝⎛⎭⎪⎫313，213，如图．依题意，|P 0P →|＝2t ，|Q 0Q →|＝13t ， ∴P 0P →＝|P 0P →|⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22＝(t ，t )， Q 0Q →＝|Q 0Q →|⎝ ⎛⎭⎪⎫313，213＝(3t,2t )． 由P 0(－1,2)，Q 0(－2，－1)， 得P (t －1，t ＋2)，Q (3t －2,2t －1)， ∴P 0Q 0→＝(－1，－3)，PQ →＝(2t －1，t －3)． 由于PQ →⊥P 0Q 0→，∴P 0Q 0→·PQ →＝0， 即2t －1＋3t －9＝0， 解得t ＝2，即当PQ →⊥P 0Q 0→时，所需时间为2 s. [再练一题]3.如图2-2，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠B ＝90°，D 是BC 边的中点，BE ⊥AD ，垂足为E ，延长BE 交AC 于F ，连接DF ，求证：∠ADB ＝∠FDC ．图2-2【证明】 如图，以B 为原点，BC 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设A (0,2)，C (2,0)，则D (1,0)，AC →＝(2，－2)． 设AF→＝λAC →， 则BF→＝BA →＋AF →＝(0,2)＋(2λ，－2λ)＝(2λ，2－2λ)． 又因为DA→＝(－1,2)，由题设BF →⊥DA →，所以BF →·DA→＝0，所以－2λ＋2(2－2λ)＝0，所以λ＝23， 所以BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，23， 所以DF→＝BF →－BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23. 又因为DC→＝(1,0)，所以cos ∠ADB ＝DA →·DB →|DA →||DB →|＝55，cos ∠FDC ＝DF →·DC →|DF →||DC →|＝55.又因为∠ADB ，∠FDC ∈(0，π)， 所以∠ADB ＝∠FDC ．待定系数法在向量中的应1.的某种形式，则可引入一些尚待确定的系数(参数)来表示该结果，通过变形比较，建立含有参数(待定字母)的方程(组)进行求解．2．待定系数法在向量中有着广泛的应用，如两向量平行，垂直或平面向量基本定理等就是这种形式的体现．如图2-3，在△ABC 中，M 是BC 的中点，N 在AC 上且AN ＝2NC ，AM 与BN 交于点P ，求AP ∶PM 的值．图2-3【精彩点拨】 本题主要考查三角形法则、平面向量共线基本定理，适当选取基底表示出AP→，PM →，因为点A ，P ，M 共线，若有AP →＝λPM →，则λ为AP ∶PM 的值． 【规范解答】 设BM →＝e 1，CN →＝e 2，∴AM →＝AC →＋CM →＝－3e 2－e 1，BN →＝2e 1＋e 2. ∵A ，P ，M 共线且B ，P ，N 共线，∴AP →＝λAM →＝－λ(e 1＋3e 2)，BP →＝μBN →＝μ(2e 1＋e 2)． ∵BA →＝BP →＋P A →＝BC →＋CA →， ∴μ(2e 1＋e 2)＋λ(e 1＋3e 2)＝2e 1＋3e 2， ∴⎩⎨⎧2μ＋λ＝2，μ＋3λ＝3⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝45，μ＝35，∴AP→＝45AM →，∴AP ∶PM ＝4∶1. [再练一题]4．设平面内给定的三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)，求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n 的值．【解】 ∵a ＝m b ＋n c ，∴(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)＝(4n －m,2m ＋n )， ∴⎩⎨⎧4n －m ＝3，2m ＋n ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.1．对任意向量a ，b ，下列关系式中不恒成立的是( ) A ．|a·b |≤|a ||b | B ．|a －b |≤||a |－|b || C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2 D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2【解析】 根据a·b ＝|a||b|cos θ，又cos θ≤1，知|a·b|≤|a||b|，A 恒成立．当向量a 和b 方向不相同时，|a －b |>||a|－|b||，B 不恒成立．根据|a ＋b |2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝(a ＋b )2，C 恒成立．根据向量的运算性质得(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2，D 恒成立．【答案】 B2．△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( )A ．|b |＝1B ．a ⊥bC ．a ·b ＝1D ．(4a ＋b )⊥BC→【解析】 在△ABC 中，由BC →＝AC →－AB →＝2a ＋b －2a ＝b ，得|b |＝2.又|a |＝1，所以a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝－1，所以(4a ＋b )·BC →＝(4a ＋b )·b ＝4a ·b ＋|b |2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a ＋b )⊥BC →，故选D.【答案】 D3．已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t .若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝AB →|AB →|＋4AC →|AC →|，则PB →·PC→的最大值等于( ) A ．13 B ．15 C ．19D ．21【解析】 ∵AB→⊥AC →，故可以A 为原点，AB ，AC 所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系(略)，不妨设B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1t ，C (t,0)，则AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1t 1t ＋4(t ，0)t ＝(4,1)，故点P 的坐标为(4,1).PB →·PC→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，1t －1·(t －4，－1)＝－4t －1t ＋17＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫4t ＋1t ＋17≤－24＋17＝13. 当且仅当4t ＝1t ，即t ＝12时(负值舍去)取得最大值13. 【答案】 A4．如图2-4，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE→的值是．图2-4【解析】 由题意，得BF →·CF →＝(BD →＋DF →)·(CD →＋DF →)＝(BD →＋DF →)·(－BD →＋DF →)＝DF →2－BD →2 ＝|DF→|2－|BD →|2＝－1， ①BA →·CA →＝(BD →＋DA →)·(CD →＋DA →) ＝(BD →＋3DF →)·(－BD →＋3DF →) ＝9DF→2－BD →2 ＝9|DF→|2－|BD →|2＝4. ② 由①②得|DF→|2＝58，|BD →|2＝138.∴BE →·CE →＝(BD →＋DE →)·(CD →＋DE →)＝(BD →＋2DF →)·(－BD →＋2DF →)＝4DF →2－BD →2 ＝4|DF→|2－|BD →|2＝4×58－138＝78. 【答案】 78第三章章末分层突破[自我校对]①sin2α＋cos2α＝1②sin αcos α＝tan α③Cα＋β④S2α⑤T2α1．给角求值：这类题目的解法相对简单，主要是利用所学的诱导公式、同角三角函数的基本关系式、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式等，化非特殊角为特殊角，在转化过程中要注意上述公式的正用及逆用．2．给值求值：这类题目的解法较上类题目灵活、多变，主要解答方法是利用三角恒等变形中的拆角变形及同角三角函数的基本关系式，和、差、倍、半角公式的综合应用．由于此类题目在解答过程中涉及的数学方法及数学思想相对较多，因此也是平时乃至高考考查的一个热点．3．给值求角：这类问题的解法规律是根据已知条件，求出该角的某种三角函数值，并根据条件判断出所求角的范围，然后确定角的大小，其难点在于有时不但要看角的三角函数值的符号，还要看其大小，以缩小角的范围．已知0<α<π4，0<β<π4，且3sin β＝sin(2α＋β)，4tan α2＝1－tan 2α2，求α＋β的值． 【精彩点拨】 因为2α＋β＝α＋(α＋β)，β＝(α＋β)－α，由已知条件3sin β＝sin(2α＋β)，即可求得tan(α＋β)．【规范解答】 ∵3sin β＝sin(2α＋β)， ∴3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]， 即2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α. ∴tan(α＋β)＝2tan α. 又4tan α2＝1－tan 2α2， ∴tan α＝2tan α21－tan 2α2＝12，∴tan(α＋β)＝2tan α＝1. 又∵0<α<π4，0<β<π4， ∴α＋β＝π4. [再练一题]1．已知－π2<x <0，sin x ＋cos x ＝15. (1)求sin 2x 和cos x －sin x 的值； (2)求sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x的值．【解】 (1)由sin x ＋cos x ＝15，平方得1＋sin 2x ＝125，所以sin 2x ＝－2425.因为－π2<x <0，所以cos x >sin x ，所以cos x －sin x ＝1－2sin x cos x ＝75. (2)sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x＝2sin x cos x ＋2sin 2x 1－sin x cos x＝2sin x (cos x ＋sin x )cos x －sin x cos x＝sin 2x cos x ＋sin x cos x －sin x＝－2425×17＝－24175.公式；②对三角的分式，基本思路是分子与分母的约分和逆用公式，最终变成整式或较简式子；③对二次根式，则需要运用倍角公式的变形形式．在具体过程中体现的则是化归的思想，是一个“化异为同”的过程，涉及切弦互化，即“函数名”的“化同”；角的变换，即“单角化倍角”、“单角化复角”、“复角化复角”等具体手段．以实现三角函数式的化简．化简： (1)2sin 130°＋sin 100°(1＋3tan 370°)1＋cos 10°；(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .【精彩点拨】 (1)把“切化弦”然后逆用和差公式及二倍角公式求解． (2)利用同角三角函数关系及两角和与差的正切公式化简． 【规范解答】 (1)原式＝2sin 50°＋sin 80°(1＋3tan 10°)2·cos 5°＝2sin 50°＋sin 80°×cos 10°＋3sin 10°cos 10°2cos 5°＝2sin 50°＋2sin 40°2cos 5°＝2(sin 50°＋cos 50°)2cos 5°＝22sin (50°＋45°)2cos 5°＝2.(2)原式＝1－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 1＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝tan π4－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 1＋tan π4·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π4－x ＝－tan x .[再练一题]2．化简sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－12cos 2αcos 2β.【解】 原式＝sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β－12(2cos 2α－1)·(2cos 2β－1) ＝sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β－12(4cos 2αcos 2β－2cos 2α－2cos 2β＋1) ＝sin 2αsin 2β－cos 2αcos 2β＋cos 2α＋cos 2β－12＝sin 2αsin 2β＋cos 2α(1－cos 2β)＋cos 2β－12 ＝sin 2αsin 2β＋cos 2α·sin 2β＋cos 2β－12 ＝sin 2β(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2β－12 ＝sin 2β＋cos 2β－12＝1－12＝12.构上的差异，这些差异有以下几个方面：①角的差异；②三角函数名称的差异；③三角函数式结构形式上的差异．针对上面的差异，选择合适的方法进行等价转化．证明三角恒等式的常用方法有：左右互推、左右归一、恒等变形、分析法、综合法． 三角恒等式的证明可分为两类：不附条件的三角恒等式的证明和附条件的三角恒等式的证明．不附条件的三角恒等式的证明多用综合法、分析法、恒等变形等．附条件的三角恒等式的证明关键在于恰当、合理地运用条件，或通过变形观察所给条件与要证等式之间的联系，找到问题的突破口，常用代入法或消元法证明．求证：sin 4x 1＋cos 4x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x＝tan x2.【精彩点拨】 等式两边涉及到的角有4x,2x ，x ，x 2等角，故可将左边4x,2x ，x 化为x2的形式．【规范解答】 左边＝2sin 2x cos 2x 2cos 22x ·cos 2x 2cos 2x ·cos x 2cos 2 x 2＝2sin 2x ·cos 22x ·cos x 2cos 22x ·2cos 2x ·2cos 2x 2＝sin 2x2cos x ·2cos 2x 2＝2sin x ·cos x2cos x ·2cos 2x 2＝2sin x 2cos x 22cos 2x 2＝sin x2cos x 2＝tan x2＝右边． ∴等式成立． [再练一题]3．求证：1＋sin 4θ－cos 4θ2tan θ＝1＋sin 4θ＋cos 4θ1－tan 2θ.【证明】 原式等价于1＋sin 4θ－cos 4θ1＋sin 4θ＋cos 4θ＝2tan θ1－tan 2θ，即1＋sin 4θ－cos 4θ1＋sin 4θ＋cos 4θ＝tan 2θ，而上式左边＝1＋2sin 2θ·cos 2θ－ 1－2sin 22θ 1＋2sin 2θ·cos2θ＋ 2cos 22θ－1 ＝2sin 2θcos 2θ＋2sin 22θ2sin 2θcos 2θ＋2cos 22θ ＝2sin 2θ cos 2θ＋sin 2θ2cos 2θ sin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＝右边， 所以原式得证.三角函数与平面向量的综合应求值与证明的结合，向量与三角函数的图像与性质的结合等几个方面．此类题目所涉及向量的知识往往比较基础，所涉及的三角函数往往是讨论三角函数的图像与性质，以及三角函数的化简、求值．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2，sin 3x 2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2，－sin x 2，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4.(1)求a ·b 及|a ＋b |；(2)若f (x )＝a ·b －|a ＋b |，求f (x )的最大值和最小值．【精彩点拨】 本题主要考查向量的数量积的坐标运算、向量的模及两角和与差的三角函数．(1)按向量数量积与向量加法运算结合三角函数知识求解、化简；(2)化简f (x )，并参照x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，求出最大值和最小值． 【规范解答】 (1)a ·b ＝cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x 2＝cos 2x ， |a ＋b |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2＋cos x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3x 2－sin x 22 ＝2＋2cos 2x ＝2|cos x |. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，∴cos x >0， 即|a ＋b |＝2cos x .(2)∵f (x )＝cos 2x －2cos x ＝2cos 2x －2cos x －1 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －122－32， 且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，∴12≤cos x ≤1.∴当cos x ＝12时，f (x )取得最小值－32； 当cos x ＝1时，f (x )取得最大值为－1. [再练一题]4．已知向量m ＝(sin x,1)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3A cos x ，A 2cos 2x (A >0)，函数f (x )＝m ·n 的最大值为6.(1)求A ；(2)将函数y ＝f (x )的图像向左平移π12个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图像，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24上的值域． 【解】 (1)f (x )＝m ·n ＝3A sin x cos x ＋A2cos 2x ＝A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 2x ＋12cos 2x＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.因为A >0，由题意知A ＝6. (2)由(1)得f (x )＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.将函数y ＝f (x )的图像向左平移π12个单位后得到y ＝6sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π6＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像；再将得到图像上各点横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到y ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3的图像．因此g (x )＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24，所以4x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π6，故g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24上的值域为[－3,6].关概念和公式把给定的三角式化为另一等价形式．转化与化归思想是三角恒等变形应用最广泛，也是最基本的数学思想，它贯穿于三角恒等变形的始终，要认真体会理解，在解题过程中学会灵活应用．已知向量a ＝(2sin x ，cos x )，b ＝(3cos x ，2cos x )，定义函数f (x )＝a·b －1. (1)求函数f (x )的最小正周期； (2)求函数f (x )的单调递减区间；(3)画出函数g (x )＝f (x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12，5π12的图像，由图像写出g (x )的对称轴和对称中心．【精彩点拨】 本题主要考查平面向量数量积的坐标运算、三角公式及三角函数图像和性质，化简函数式为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，然后求解．【规范解答】 f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1 ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(1)T ＝2π2＝π.(2)2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2⇔k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )，∴函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )．(3)列表及图像如下：从图像可以看出，此函数有一个对称中心⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0，无对称轴．[再练一题]5．已知函数f (x )＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋π6，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝ 2.(1)求A 的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋43π＝－3017，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4β－23π＝85，求cos(α＋β)的值． 【解】 (1)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2，所以A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫14×π3＋π6＝A cos π4＝22A ＝2，所以A ＝2. (2)由(1)知f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋π6，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋4π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋π6＝－2sin α＝－3017，所以sin α＝1517，因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos α＝817.又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4β－2π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π6＋π6＝2cos β＝85，所以cos β＝45，因为β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以sinβ＝35，所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝817×45－1517×35＝－1385.1．若tan α＝13，tan(α＋β )＝12，则tan β＝( ) A ．17B ．16 C ．57 D.56【解析】 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)·tan α＝12－131＋12×13＝17. 【答案】 A2．函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( ) A ．π2B ．πC ．3π2D ．2π【解析】 法一：∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x －12sin x＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴T ＝2π2＝π.法二：∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝3sin x cos x ＋3cos 2x －3sin 2x －sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴T ＝2π2＝π.故选B. 【答案】 B3．函数f (x )＝1－3sin 2x 的最小正周期为．【解析】 因为2sin 2x ＝1－cos 2x ，所以f (x )＝1－32(1－cos 2x )＝－12＋32cos 2x ，所以函数f (x )的最小正周期为2π2＝π.【答案】 π4．已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是． 【解析】 由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2.所以2sin αcos α－cos 2α＝2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan 2α＋1＝－4－14＋1＝－1. 【答案】 －15．函数y ＝sin x －3cos x 的图像可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图像至少向右平移个单位长度得到．【解析】 因为y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，所以把y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图像至少向右平移2π3个单位长度可得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图像． 【答案】 2π3。
2019版数学北师大版必修4练习：模块综合测试卷Word版含解析
2019版数学精品资料（北师大版）模块综合测试卷时间：90分钟分值：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知角α的终边上有一点M (11，－5)，则sin α等于()A ．－57B ．－56C ．－58D ．－115答案：B 解析：∵|OM |＝112＋－52＝6，∴sin α＝－56. 2．若向量MN →＝(－1,3)，NP →＝(3，t)，且MN →∥NP →，则MP →等于() A ．(1,3)B ．(2，－6)C ．(－3,2)D ．(3,2)答案：B 解析：∵MN →∥NP →，∴－t －9＝0，∴t ＝－9，NP →＝(3，－9)，∴MP →＝MN →＋NP →＝(2，－6)．3．下列函数中，周期是π2的偶函数是() A ．y ＝sin4xB ．y ＝cos 22x －sin 22xC ．y ＝tan2xD ．y ＝cos2x答案：B 解析：A 选项中y ＝sin4x 的周期是π2，但是是奇函数．B 选项中y ＝cos 22x －sin 22x ＝cos4x ，是偶函数，且周期T ＝π2.C 选项中y ＝tan2x 的周期是π2，但是是奇函数．D 选项中y ＝cos2x 是偶函数，但周期是π．4．已知向量a ＝(3,2)，b ＝(x,4)，且a ∥b ，则x 的值为() A ．6 B ．－6C ．－83 D.83答案：A解析：2x －12＝0∴x ＝6，故选 A.5．已知tan α2＝3，则cos α的值为() A.45B ．－45C.415D ．－35答案：B解析：将cos α表示成tan α2的关系式，代入求值．cos α＝cos 2α2－sin 2α2＝cos 2α2－sin 2α2cos 2α2＋sin 2α2＝1－tan 2α21＋tan 2α2＝1－321＋32＝－45.。
【精品卷】2019—2020年最新北师大版高中数学必修四《三角恒等变形》章末综合测评及答案答案解析.docx
（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学必修四章末综合测评(三) 三角恒等变形(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．计算sin 21°·cos 9°＋sin 69°·sin 9°的结果是( ) A ．32B ．12C ．－12D ．－32 【解析】 sin 21°·cos 9°＋sin 69°·sin 9°＝sin 21°·cos 9°＋cos 21°·sin 9°＝sin(21°＋9°)＝sin 30°＝12.【答案】 B2．(2016·贺州高一检测)cos 4π8－sin 4 π8等于( )A ．0B ．22 C ．1 D ．－22【解析】 原式＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫cos 2π8－sin 2π8⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫cos 2π8＋sin 2π8＝cos 2π8－sin 2π8 ＝cos π4＝22. 【答案】 B3．设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两个根，则tan(α＋β)的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3【解析】 依题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝2，则tan(α＋β)＝tan α＋tan β1＋tan αtan β＝31－2＝－3.【答案】 A4．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－x ＝35，则sin 2x 的值为( )A ．1925B ．1625C.1425D ．725 【解析】 sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－2x ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－x＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－x ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫352＝725. 【答案】 D 5.2－sin 22＋cos 4的值等于( )A ．sin 2B ．－cos 2 C.3cos 2D ．－3cos 2【解析】 原式＝2－sin 22＋1－2sin 22＝3(1－sin 22) ＝3|cos 2|.∵π2<2<π，∴cos 2<0， ∴原式＝－3cos2.【答案】 D6．tan (α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4＝322，那么tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫β－π4＝( )A ．15B ．1318C.14D ．1322【解析】 tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫β－π4＝tan ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4＝tan (α＋β)－tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π41＋tan (α＋β)·tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4＝25－3221＋25×322＝14. 【答案】 C7．(2016·西安高一检测)若tan α＝3，则sin 2αcos 2α的值等于( )【导学号：66470076】A ．2B ．3C ．4D ．6【解析】sin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2tan α＝6.【答案】 D8．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2 B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2【解析】 由条件得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α(1＋sin β)，sin(α－β)＝cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－α，因为－π2<α－β<π2，0<π2－α<π2，所以α－β＝π2－α，所以2α－β＝π2，故选B. 【答案】 B9．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π6＋sin α＝453，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋7π6的值是( )A ．－235B ．235C ．－45D ．45【解析】 由条件可知32cos α＋12sin α＋sin α＝453.所以32(cos α＋3sin α)＝453， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π6＝45，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋76π＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π6＝－45.【答案】 C10．在△ABC 中，已知tan A ＋B 2＝sin C ，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形【解析】 在△ABC 中，tanA ＋B 2＝sin C ＝sin(A ＋B )＝2sinA ＋B 2cosA ＋B 2，所以2cos 2A ＋B 2＝1，所以cos(A ＋B )＝0.从而A ＋B ＝π2，△ABC 为直角三角形． 【答案】 C11．设α，β，γ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，且sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cosα，则β－α等于( )A ．－π3B ．π6 C.π3或－π3D ．π3【解析】 由已知得， sin γ＝sin β－sin α，① cos γ＝cos α－cos β，②由①2＋②2，得1＝2－2cos(β－α)， ∴cos(β－α)＝12.又sin α＋sin γ＝sin β，且α，β，γ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，∴sin α<sin β. ∴α<β， ∴β－α＝π3.【答案】 D12．若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋θ＝26⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0<θ<π2，则sin 2θ的值为( ) A ．23B ．73C.76D ．346【解析】 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－θ＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋θ＝π2，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－θ.由已知得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－θ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－θ＝26，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－2θ＝23，即cos 2θ＝23.∵0<θ<π2，∴0<2θ<π，∴sin 2θ＝73.【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．已知1＋tan α1－tan α＝2 016，那么1cos 2α＋tan 2α＝________.【解析】1cos 2α＋tan 2α＝1cos 2α＋sin 2αcos 2α＝1＋sin 2αcos 2α＝(sin α＋cos α)2cos 2α－sin 2α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α＝2 016. 【答案】 2 01614．tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6－θ＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6＋θ＋3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6－θtan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6＋θ的值是________．【解析】 ∵tan π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6－θ＋π6＋θ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6－θ＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6＋θ1－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6－θtan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6＋θ＝3，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6－θ＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6＋θ＋3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6－θtan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6＋θ＝3.【答案】315．已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，那么log5tan αtan β＝________.【解析】 由题意有sin αcos β＋cos αsin β＝12，sin αcos β－cos αsin β＝13，两式相加得sin αcos β＝512，两式相减得cos αsin β＝112， 则tan αtan β＝5，故log5tan αtan β＝2. 【答案】 216．已知α，β均为锐角，sin α＝35，cos β＝513，则tan(α－β)的值是________.【导学号：66470077】【解析】 由α为锐角，sin α＝35，得cos α＝45⇒tan α＝34.由β为锐角，cos β＝513，得sin β＝1213⇒tan β＝125，故tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝－3356.【答案】 －3356三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋x ＝35，求sin 2x －2sin 2x 1－tan x 的值．【解】 sin 2x －2sin 2x1－tan x＝cos x ·2sin x cos x －2sin 2 x cos x cos x －sin x ＝sin 2x＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π2＝－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π4＋1＝－2×925＋1＝725. 18．(本小题满分12分)求值：cos 40°＋sin 50°(1＋3tan 10°)sin 70°1＋sin 50°.【解】cos 40°＋sin 50°(1＋3tan 10°)sin 70°1＋sin 50°＝cos 40°＋sin 50°⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋3sin 10°cos 10°cos 20°1＋cos 40°＝cos 40°＋cos 40°·2sin(10°＋30°)cos 10°2cos220°＝cos 40°＋sin 80°cos 10°2cos220°＝cos 40°＋12cos220°＝ 2.19．(本小题满分12分)已知锐角α，β满足tan(α－β)＝sin 2β，求证：tan α＋tan β＝2tan 2β.【证明】因为tan(α－β)＝sin 2β，tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β，sin 2β＝2sin βcos β＝2sin βcos βsin2β＋cos2β＝2tan α1＋tan2β，所以tan α－tan β1＋tan αtan β＝2tan β1＋tan2β，整理得：tan α＝3tan β＋tan3β1－tan2β.所以tan α＋tan β＝3tan β＋tan3β＋tan β－tan3β1－tan2β＝2×2tan β1－tan2β＝2tan 2β.20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝32sin ωx－sin2ωx2＋12(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值及函数f (x )的单调增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的取值范围． 【解】 (1)f (x )＝32sin ωx －1－cos ωx 2＋12＝32sin ωx ＋12 cos ωx ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx ＋π6. 因为f (x )的最小正周期为π，所以ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6. 由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z . 所以函数f (x )的单调增区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z . (2)因为x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π6，7π6， 所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6≤1. 所以函数f (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2上的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－12，1. 21．(本小题满分12分)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－β2＝－277，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α2－β＝12且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2.求： (1)cos α＋β2；(2)tan(α＋ β)．【解】 (1)∵π2<α<π，0<β<π2， ∴π4<α－β2<π，－π4<α2－β<π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α－β2＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－β2＝217， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α2－β＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α2－β＝32. ∴cos α＋β2＝cos ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α2－β ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－β2·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α2－β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－β2·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α2－β ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－277×32＋217×12＝－2114. (2)∵π4<α＋β2<34π， ∴sin α＋β2＝1－cos 2α＋β2＝5714，∴tan α＋β2＝sin α＋β2cos α＋β2＝－533， ∴tan(α＋β)＝2tan α＋β21－tan 2α＋β2＝5311. 22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝sin x ＋cos x .(1)若f (x )＝2f (－x )，求cos 2x －sin x cos x 1＋sin 2x的值； (2)求函数F (x )＝f (x )f (－x )＋f 2(x )的最大值和单调增区间．【解】 (1)∵f (x )＝sin x ＋cos x ，∴f (－x )＝－sin x ＋cos x .又f (x )＝2f (－x )，∴sin x ＋cos x ＝2(cos x －sin x )，∴3sin x ＝cos x ，即tan x ＝sin x cos x ＝13， ∴cos 2x －sin x cos x 1＋sin 2x＝cos 2x －sin x cos x 2sin 2x ＋cos 2x＝1－tan x 2tan 2x ＋1＝1－132×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫132＋1＝611. (2)由题意知，F (x )＝(cos x ＋sin x )(cos x －sin x )＋(cos x ＋sin x )2 ＝cos 2x －sin 2x ＋1＋2sin x cos x＝cos 2x ＋sin 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π4＋1. ∴当sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π4＝1时， F (x )max ＝2＋1.由－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z . 得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π，k ∈Z . ∴F (x )的单调增区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z )．。
新版高中数学北师大版必修4习题模块综合检测含解析
模块综合检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列各数中,与sin(-331°)的值最接近的是()A.−√32B.−12C.12D.√32解析:sin(-331°)=sin 29°≈sin 30°=1 2 .答案:C2.已知角α的终边与单位圆x2+y2=1交于点P(12,y0),则cos 2α的值为()A.−12B.12C.−√32D.1解析:由题意知y0=±√32,∴cos α=12,sin α=±√32,∴cos 2α=cos2α-sin2α=−1.答案:A3.设向量a=(2,4)与向量b=(x,6)共线,则实数x=()A.2B.3C.4D.6解析:由a=(2,4),b=(x,6)共线,可得4x=12,即x=3.答案:B4.若cos(π+α)=12,π<α<3π2,则sin(5π−α)=()A.−12B.±√32C.√32D.−√32解析:∵cos(π+α)=12,∴cos α=−12.∵π<α<3π2,∴sin α=−√32.故sin(5π-α)=sin(π-α)=sin α=−√32.答案:D5.已知电流I=3sin ωt ,电压U=4si n (ωt +π2)(t >0),且电功率P =IU,则电功率P 的最大值是( ) A .12B .6C .3D .4解析:P=IU=3sin ωt ·4si n (ωt +π2)=12sin ωt cos ωt=6sin 2ωt ,∴P max =6.答案:B6.设D 为△ABC 所在平面内一点,BC⃗⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则( ) A .AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +43AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −43AC ⃗⃗⃗⃗⃗C .AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =43AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =43AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 解析:如图:∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗ +43BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +43(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +43AC ⃗⃗⃗⃗⃗. 答案:A7.若sin α=3,α∈(-π,π),则cos (α+5π)=( ) A.−√210B.√210 C.−7√210D.7√210解析:∵α∈(-π2,π2),sin α=35,∴cos α=4.∴co s (α+5π4)=−√22(cos α-sin α)=−√210. 答案:A8.设D ,E ,F 分别为△ABC 的三边BC ,CA ,AB 的中点,则EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A .AD ⃗⃗⃗⃗⃗ B.12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ C.BC ⃗⃗⃗⃗⃗ D.12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 解析:由于D ,E ,F 分别是BC ,CA ,AB 的中点,所以EB⃗⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )−12(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−12(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12×2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故选A . 答案:A9.在平面直角坐标系xOy 中,已知四边形ABCD 是平行四边形,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−2),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1),则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.5 B.4C.3D.2解析:AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−2)+(2,1)=(3,−1),所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1)·(3,-1)=2×3+1×(-1)=5. 答案:A10.已知定义域为R 的函数f (x )=2a+acosx+3sinx2+cosx(a ∈R )有最大值和最小值,且最大值与最小值的和为6,则a 等于( ) A .1 B .2C .3D .4解析:f (x )=a +3sinx ,令g (x )=3sinx,则g (x )为奇函数,所以g (x )max +g (x )min =0,f (x )max +f (x )min =a+g (x )max +a+g (x )min =2a=6.∴a=3. 答案:C11.已知函数y=ta n (π4x −π2)的部分图像如图,则(OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A .6B .4C .-4D .-6解析:由ta n (π4x -π2)=0,得π4x −π2=kπ(k ∈Z ),即x=4k+2(k ∈Z ),结合图形可知点A 的坐标为(2,0).由ta n (π4x -π2)=1,得π4x −π2=π4+kπ(k ∈Z ),即x=3+4k (k ∈Z ),结合图形可知点B 的坐标为(3,1),故(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5,1)·(1,1)=6. 答案:A12.已知函数y=A cos(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的图像如图,则函数y=Acos(ωx+φ)的递减区间是()A.[2kπ+π4,2kπ+5π4](k∈Z)B.[2kπ-π4,2kπ+3π4](k∈Z)C.[kπ+π8,kπ+5π8](k∈Z)D.[kπ-π4,kπ+3π4](k∈Z)解析:由图像可知A=1,周期T=(7π8-3π8)×2=π,∴2πω=π,∴ω=2,即y=cos(2x+φ).将点(3π8,0)代入,得2×3π8+φ=π2,∴φ=−π4.∴y=cos(2x-π4).令2kπ≤2x−π4≤2kπ+π(k∈Z),解得kπ+π≤x≤kπ+5π(k∈Z).答案:C二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.已知向量a=(3,1),b=(1,3),c=(k,2).若(a-c)⊥b,则k=.解析:a-c=(3-k,-1).∵(a-c)⊥b,∴(a-c)·b=0.∴(3-k)-3=0,解得k=0.答案:014.已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0),x∈R.若函数f(x)在区间(-ω,ω)内是增加的,且函数y=f(x)的图像关于直线x=ω对称,则ω的值为.解析:f (x )=sin ωx+cos ωx =√2sin (ωx +π4),由2k π−π2≤ωx +π4≤2k π+π2,k ∈Z , 解得2kπω−3π4ω≤x ≤2kπω+π4ω,k ∈Z , 即f (x )的递增区间是[2kπω-3π4ω,2kπω+π4ω](k ∈Z ), 而f (x )在区间(-ω,ω)内是增加的,所以{2kπω-3π4ω≤-ω(k ∈Z ),2kπω+π4ω≥ω(k ∈Z ),解得{ω2≤-2kπ+3π4(k ∈Z ),ω2≤2kπ+π4(k ∈Z ).因为ω2>0,所以只能取k=0,这时有0<ω2≤π4.① 又因为函数f (x )的图像关于直线x=ω对称, 所以ω2+π=kπ+π(k ∈Z ), 即ω2=k π+π4(k ∈Z ). ②由①②知ω2=π4.故ω=√π2.答案:√π215.已知e 1,e 2是平面单位向量,且e 1·e 2=12.若平面向量b 满足b ·e 1=b ·e 2=1,则|b |= . 解析:因为b ·e 1=b ·e 2=1,|e 1|=|e 2|=1,由数量积的几何意义,知b 在e 1,e 2方向上的投影相等,且都为1,所以b 与e 1,e 2所成的角相等.由e 1·e 2=1知e 1与e 2的夹角为60°,所以b 与e 1,e 2所成的角均为30°,即|b |cos 30°=1,所以|b |=1cos30°=2√33. 答案:2√3316.已知平面向量a ,b ,|a |=1,|b |=2,a ·b =1.若e 为平面单位向量,则|a ·e |+|b ·e |的最大值是 . 解析:由已知得<a ,b >=60°,不妨取a =(1,0),b =(1,√3). 设e =(cos α,sin α),则|a ·e|+|b ·e|=|cos α|+|cos α+√3sin α|≤|cos α|+|cos α|+√3|sin α|=2|cos α|+√3|sin α|, 取等号时cos α与sin α同号.所以2|cos α|+√3|sin α|=|2cos α+√3sin α|=√7|√7+√3√7=√7|sin(α+θ)|(其中sinθ=√7cosθ=√3√7取θ为锐角).显然√7|sin(α+θ)|≤√7.易知当α+θ=π2时,|sin(α+θ)|取最大值1,此时α为锐角,sin α,cos α同为正,因此上述不等式中等号能同时取到.故所求最大值为√7.答案:√7三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61.(1)求a与b的夹角θ;(2)求|a+b|.解(1)由(2a-3b)·(2a+b)=61,得4|a|2-4a·b-3|b|2=61.∵|a|=4,|b|=3,代入上式,求得a·b=-6,∴cos θ=a·b|a||b|=-64×3=−12.又0≤θ≤π,∴θ=2π3.(2)∵|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2=13,∴|a+b|=√13.18.(12分)已知函数f(x)=sin x-2√3sin2x2.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间[0,2π3]上的最小值.解(1)因为f(x)=sin x+√3cos x−√3=2sin (x+π3)−√3,所以f(x)的最小正周期为2π.(2)因为0≤x≤2π3,所以π≤x+π≤π.当x+π3=π,即x=2π3时,f(x)取得最小值.所以f(x)在区间[0,2π3]上的最小值为f(2π3)=−√3.19.(12分)已知函数f(x)=si n(π2-x)sin x−√3cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值;(2)讨论f(x)在[π6,2π3]上的单调性.解(1)f(x)=si n(π2-x)sin x−√3cos2x=cos x sin x−√32(1+cos 2x)=12sin 2x−√32cos 2x−√32=sin(2x-π3)−√32,因此f(x)的最小正周期为π,最大值为2-√32.(2)当x∈[π6,2π3]时,0≤2x−π3≤π,从而当0≤2x−π3≤π2,即π6≤x≤5π12时,f(x)是增加的,当π2≤2x−π3≤π,即5π12≤x≤2π3时,f(x)是减少的.综上可知,f(x)在[π6,5π12]上是增加的,在[5π12,2π3]上是减少的.20.(12分)若m=(1,√3),n=(sin(ωx+φ),cos(ωx+φ))(ω>0,0<|φ|<π2),f(x)=m·n,已知点P(x1,y1),Q(x2,y2)是函数f(x)图像上的任意两点,若|y1-y2|=4时,|x1-x2|的最小值为π2,且函数f(x)为奇函数.(1)求f(π6)的值;(2)将函数f(x)的图像向右平移π6个单位长度后,得到函数y=g(x)的图像,求函数g(x)的递增区间.解(1)因为m=(1,√3),n=(sin(ωx+φ),cos(ωx+φ)),所以f(x)=sin(ωx+φ)+√3cos(ωx+φ)=2[12sin(ωx+φ)+√32cos(ωx+φ)]=2sin(ωx+φ+π3).因为f(x)为奇函数,所以f(0)=2sin(φ+π3)=0,又0<|φ|<π2,可得φ=-π3,所以f(x)=2sin ωx.因为当|y 1-y 2|=4时,|x 1-x 2|的最小值为π2, 所以T 2=π2, 故T=π,又T=2πω,所以ω=2.故f (x )=2sin 2x. 因此f (π6)=2sin π3=√3.(2)将f (x )的图像向右平移π6个单位长度后,得到f (x -π6)的图像,所以g (x )=f (x -π6)=2sin [2(x -π6)]=2sin (2x -π3).当2k π-π2≤2x-π3≤2k π+π2(k ∈Z ),即k π-π12≤x ≤k π+5π12(k ∈Z )时,g (x )是增加的, 因此函数g (x )的递增区间为[kπ-π12,kπ+5π12] (k ∈Z ).21.(12分)设函数f (x )=√2cos (2x +π)+sin 2x. (1)求f (x )的最小正周期;(2)设函数g (x )对任意x ∈R ,有g (x +π2)=g (x ),且当x ∈[0,π2]时,g (x )=12-f (x ),求g (x )在区间[-π,0]上的解析式.解(1)f (x )=√2cos (2x +π)+sin 2x=√2(cos2xcos π-sin2xsin π)+1-cos2x=1-1sin 2x ,故f (x )的最小正周期为π.(2)当x ∈[0,π2]时,g (x )=12-f (x )=12sin 2x.故 ①当x ∈[-π2,0]时,x+π2∈[0,π2].由于对任意x ∈R ,g (x +π2)=g (x ),从而g (x )=g (x +π2)=12sin [2(x +π2)]=12sin(π+2x )=-12sin 2x. ②当x ∈[-π,-π2)时,x+π∈[0,π2).从而g (x )=g (x +π2)=g (x+π)=12sin[2(x+π)]=12sin 2x. 综合①②,得g (x )在[-π,0]上的解析式为g (x )={12sin2x ,x ∈[-π,-π2),-12sin2x ,x ∈[-π2,0].22.(12分)已知函数f (x )=a ·(b +c ),其中向量a =(sin x ,-cos x ),b =(sin x ,-3cos x ),c =(-cos x ,sin x ),x ∈R . (1)求函数f (x )的递减区间.(2)函数f (x )的图像可由函数y=sin x 的图像经过怎样的变化得到? (3)若不等式|f (x )-m|<2在x ∈[π8,π2]上恒成立,求实数m 的取值范围. 解(1)由题意,得f (x )=a ·(b +c )=(sin x ,-cos x )·(sin x-cos x ,sin x-3cos x ) =sin 2x-2sin x cos x+3cos 2x =2+cos 2x-sin 2x =2+√2sin (2x +3π4).由2k π+π≤2x+3π≤2k π+3π(k ∈Z ), 得k π-π8≤x ≤k π+3π8(k ∈Z ).故f (x )的递减区间为[kπ-π8,kπ+3π8](k ∈Z ).(2)先将y=sin x的图像上所有的点向左平移3π4个单位长度,再将所得的图像上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),然后将所得的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的√2倍(横坐标不变),最后将所得图像上所有的点向上平移2个单位长度即可得f(x)的图像.(3)∵|f(x)-m|<2在x∈[π8,π2]上恒成立,∴f(x)-2<m<f(x)+2恒成立,∴m>[f(x)]max-2,且m<[f(x)]min+2.又f(x)在x∈[π8,π2]上的最大值和最小值分别为2和2-√2,∴m>0,且m<4-√2,∴0<m<4-√2.。
2019_2020学年高中数学模块综合检测北师大版必修4
模块综合检测(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．函数f (x )＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为( )A.π2 B ．π C ．2π D ．4 解析：选C T ＝πω＝π12＝2π.2．已知圆的半径为1，则60°的圆心角所对的弧长为( )A.π3B.2π3C. 3D.33解析：选A 本题考查弧度制与角度制的互化以及弧长公式的应用．因为圆心角α＝60°＝π3，圆的半径为1，根据弧长公式，可知弧长为π3×1＝π3，故选A. 3．cos⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4－sin⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4的值是( )A. 2 B ．－ 2 C ．0 D.22解析：选A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4＝cos π4＋sin π4＝ 2.4．如果tan θ＝2，那么1＋sin θcos θ的值为( )A.53B.54C.75D.73解析：选C tan θ＝2，∴1＋sin θcos θ＝sin 2θ＋cos 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ＋1tan 2θ＋1＝22＋2＋122＋1＝75. 5．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(c －b )·a ＝152，则a 与c 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：选C a ·b ＝－10，则(c －b )·a ＝c ·a －b ·a ＝c ·a ＋10＝152，所以c ·a ＝－52，设a 与c 的夹角为θ，则cos θ＝a ·c |a |·|c |＝－525×5＝－12，又0°≤θ≤180°，所以θ＝120°.6．已知函数y ＝a －b cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，(b ＞0)在0≤x ≤π上的最大值为32，最小值为－12，求2a＋b 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：选C ∵0≤x ≤π，∴－π3≤x －π3≤2π3，∴－12≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3≤1.∵b ＞0并且在0≤x ≤π上的最大值为32，最小值为－12，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－12，a ＋12b ＝32，解得：a ＝56，b ＝43，∴2a ＋b ＝3.7．有下列命题：①在四边形ABCD 中，若AB ―→＝DC ―→，则四边形ABCD 为平行四边形； ②在四边形ABCD 中，若AB ―→∥DC ―→，且AB ―→≠DC ―→，则四边形ABCD 为梯形； ③在△ABC 中，若|AB ―→|＝|BC ―→|＝|AC ―→|，则△ABC 为正三角形；④若P 是△ABC 所在平面内一点，且|PA ―→|＝|PB ―→|＝|PC ―→|，则点P 为△ABC 的内心．其中正确命题的个数为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选C 当|PA ―→|＝|PB ―→|＝|PC ―→|时，P 为△ABC 的外心，故④错误，①②③均正确． 8．(2017·天津高考)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( )A ．ω＝23，φ＝π12B ．ω＝23，φ＝－11π12C ．ω＝13，φ＝－11π24D ．ω＝13，φ＝7π24解析：选A ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，∴11π8－5π8＝T4(2m ＋1)，m ∈N ， ∴T ＝3π2m ＋1，m ∈N ，∵f (x )的最小正周期大于2π，∴T ＝3π， ∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋φ. 由2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23×5π8＋φ＝2，得φ＝2k π＋π12，k ∈Z.又|φ|<π，∴取k ＝0，得φ＝π12.故选A.9．如图，在等腰直角三角形AOB 中，设OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OA ＝OB ＝1，C 为AB 上靠近点A 的四等分点，过C 作AB 的垂线l ，设P 为垂线上任意一点，OP ―→＝p ，则p ·(b －a )＝ ( )A ．－12 B.12C ．－32 D.32解析：选A 因为在等腰直角三角形AOB 中，OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OA ＝OB ＝1，所以|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0.由题意，可设OP ―→＝－14(b －a )＋λ·12(b ＋a )，λ∈R ，所以p ·(b －a )＝－14(b －a )·(b －a )＋λ2(b ＋a )·(b －a )＝－14(b －a )2＋λ2(|b |2－|a |2)＝－14(|a |2＋|b |2－2a ·b )＝－14(1＋1－0)＝－12.10．若sinθ＋cos θ＝2，则tan⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3的值是 ( )A ．2－ 3B ．－2－ 3C ．2＋ 3D ．－2＋ 3解析：选B ∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，且sin θ＋cos θ＝2， ∴sin θ＝22，cos θ＝22， ∴tan θ＝1，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝tan θ＋tanπ31－tan θtanπ3＝－2－ 3.11．若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为 ( )A.2－1 B ．1 C. 2 D ．2解析：选B 由题意，知a 2＝1，b 2＝1，c 2＝1，由a ·b ＝0及(a －c )·(b －c )≤0，知(a ＋b )·c ≥c 2＝1.因为|a ＋b －c |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b －2a ·c －2b ·c ，所以|a ＋b －c |2＝3－2(a ·c ＋b ·c )≤1，故|a ＋b －c |≤1.12．定义行列式运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1 a 2b 1 b 2＝a 1b 2－a 2b 1，将函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 sin 2x 1 cos 2x 的图像向左平移t (t >0)个单位，所得图像对应的函数为奇函数，则t 的最小值为 ( ) A.π6 B.π3 C.5π6 D.2π3解析：选A 由行列式的定义知f (x )＝3cos 2x －sin 2x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6向左平移t 个单位后，得到的图像对应函数为y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2t ＋π6.因为该函数为奇函数，所以2t ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z.得t ＝π6＋k π2，k ∈Z ，可知t 的最小值为π6，故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．角α的终边与直线y ＝3x 重合，且sin α<0，又P (m ，n )是角α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n ＝________.解析：∵角α的终边与直线y ＝3x 重合，且sin α<0， ∴角α的终边在第三象限．又P (m ，n )是角α终边上一点，故m <0，n <0.又|OP |＝10，∴⎩⎨⎧n ＝3m ，m 2＋n 2＝10，解得m ＝－1，n ＝－3，故m －n ＝2. 答案：214．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 交于点O ，则BA uu u r －BC uuu r －OA uu u r ＋OD uuu r ＋DA uuu r＝________.解析：原式＝CA uur －OA uu u r ＋OA uu u r ＝CA uur.答案：CA uur15．设tan α，tan β是函数f (x )＝x 2－4x ＋3的两个零点，则tan(α＋β)的值为________．解析：因为tan α，tan β是函数f (x )＝x 2－4x ＋3的两个零点，所以tan α＋tan β＝4，tan α·tan β＝3，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝41－3＝－2.答案：－216．(2019·天津高考)在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝23，AD ＝5，∠A ＝30°，点E 在线段CB 的延长线上，且AE ＝BE ，则BD ―→·AE ―→＝________.解析：如图，∵E 在线段CB 的延长线上，∴EB ∥AD .∵∠DAB ＝30°，∴∠ABE ＝30°. ∵AE ＝BE ，∴∠EAB ＝30°. 又∵AB ＝23，∴BE ＝2. ∵AD ＝5，∴EB ―→＝25AD ―→.∴AE ―→＝AB ―→＋BE ―→＝AB ―→－25AD ―→.又∵BD ―→＝AD ―→－AB ―→，∴BD ―→·A AE ―→＝(AD ―→－AB ―→)⎝ ⎛⎭⎪⎫AB ―→－25 AD ―→＝AD ―→·AB ―→－25AD ―→2－AB ―→2＋25AD ―→·AB ―→＝75|AD ―→|·|AB ―→|·cos 30°－25×52－(23)2＝75×5×23×32－10－12＝21－22＝－1. 答案：－1三、解答题(本题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分) 在平面直角坐标系中，A ，B 两点的坐标分别为(1,2)，(3,8)，向量CD ―→＝(x,3)．(1)若AB ―→∥CD ―→，求实数x 的值； (2)若AB ―→⊥CD ―→，求实数x 的值．解：(1)依题意，AB ―→＝(3,8)－(1,2)＝(2,6)． ∵AB ―→∥CD ―→，CD ―→＝(x,3)，∴2×3－6x ＝0，∴x ＝1. (2)∵AB ―→⊥CD ―→，CD ―→＝(x,3)，∴2x ＋6×3＝0，∴x ＝－9.18．(本题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知点A ，B 的横坐标分别为13，255.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求tan (α＋β)－tan α2＋2tan (α＋β)·tan α的值．解：(1)由题意，得cos α＝13，cos β＝255.因为α，β为锐角，所以sin α＝223，sin β＝55，因此tan α＝22，tan β＝12，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝22＋121－22×12＝－9＋522.(2)tan (α＋β)－tan α2＋2tan (α＋β)·tan α ＝12×tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)·tan α ＝12×tan [](α＋β)－α ＝12×tan β ＝12×12 ＝14. 19．(本小题满分12分)已知曲线y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，－π2<φ<π2上的一个最高点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫π8，2，此点到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，0.(1)试求这条曲线的函数表达式；(2)用“五点法”画出(1)中函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，7π8上的图像．解：(1)由题意，知A ＝2，T ＝4×⎝⎛⎭⎪⎫3π8－π8＝π， ∴ω＝2πT＝2，∴y ＝2sin(2x ＋φ)．又sin ⎝⎛⎭⎪⎫π8×2＋φ＝1，∴π4＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π＋π4，k ∈Z ，又φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2， ∴φ＝π4，∴y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. (2)列出x ，y 的对应值表：x－π8 π8 3π8 5π8 7π8 2x ＋π40 π2 π 3π2 2π y2－2描点、连线，得题中函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，7π8上的图像如图所示．20．(本小题满分12分)已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，b ＝(2，－1)． (1)若a ⊥b ，求sin θ－cos θsin θ＋cos θ的值；(2)若|a －b |＝2，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4的值．解：(1)由a ⊥b 可知，a ·b ＝2cos θ－sin θ＝0， 所以sin θ＝2cos θ，所以sin θ－cos θsin θ＋cos θ＝2cos θ－cos θ2cos θ＋cos θ＝13.(2)由a －b ＝(cos θ－2，sin θ＋1)可得， |a －b |＝(cos θ－2)2＋(sin θ＋1)2＝6－4cos θ＋2sin θ＝2， 即1－2cos θ＋sin θ＝0，①又cos 2θ＋sin 2θ＝1，且θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，②由①②可解得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝35，cos θ＝45，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22(sin θ＋cos θ) ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫35＋45＝7210. 21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2x ＋a . (1)求f (x )的最小正周期及单调递减区间；(2)若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上的最大值与最小值的和为32，求a 的值． 解：(1)因为f (x )＝32sin 2x ＋1＋cos 2x2＋a ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋12，所以T ＝π. 由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ， 故函数f (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z)．(2)因为－π6≤x ≤π3，所以－π6≤2x ＋π6≤5π6，－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1.因为函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上的最大值与最小值的和为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋a ＋12＝32，所以a ＝0.22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝sin 2x ＋23sin x ·cos x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，x ∈R.(1)求f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)若x ＝x 00≤x 0≤π2为f (x )的一个零点，求cos 2x 0的值．解：(1)f (x )＝sin 2x ＋3sin 2x －12cos 2x －cos π2＝1－cos 2x 2＋3sin 2x －12cos 2x＝3sin 2x －cos 2x ＋12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12， ∴f (x )的最小正周期为π.由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π(k ∈Z)，得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π(k ∈Z)．∴f (x )的单调递增区间为－π6＋k π，π3＋k π(k ∈Z)． (2)由f (x 0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0－π6＋12＝0， 得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0－π6＝－14<0.又由0≤x 0≤π2，得－π6≤2x 0－π6≤5π6，∴－π6≤2x 0－π6<0，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0－π6＝154，∴cos 2x 0＝cos2x 0－π6＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0－π6cos π6－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0－π6sin π6 ＝154×32－⎝ ⎛⎭⎪⎫－14×12＝35＋18.。
20192020学年高中数学阶段质量检测(一)三角函数北师大版必修4.doc
2021-2021 学年高中数学 阶段质量检测〔一〕三角函数 北师大版必修 4一、选择题 ( 本大题共 10 小题，每题 5 分，共 50 分．在每题所给的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的． )1．以下各角中与－π终边相同的是 ()3A ．－ 5πB. 2π33 4π5πC. 3D.32．cos 330 °＝ ()11A.2 B ．－233 C.D ．－ 22αα α3．设 α 是第三象限角，且 cos 2 ＝－ cos 2 ，那么 2 终边所在的象限是 ()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．假设函数 f ( x ) ＝ sin ω x ( ω >0) 在区间π π π0，上是增加的，在区间 [ 3 ， 2 ] 上是减小的，3 那么 ω ＝( )A ．3B ．23 2 C.2 D.35．函数 y ＝3sinπ－ x 的一个单调递减区间为()4A. －π ， πB. － π， 3π2244C. 3π ， 7πD. － 3π ， π4 44 46．( 全国高考 ) 假设函数 f ( x ) ＝ sinx ＋ φφ ＝ ()， φ ∈ [0 ， 2π ] 是偶函数，那么3π2πA.2B.33π5πC.D.237．( 山东高考 ) 函数 y ＝ 2sin π x － π63 (0 ≤ x ≤9) 的最大值与最小值之和为 ( )A ．2－ 3B ．0C．－1 D ．－1－38．方程 | x| ＝ cos x在( －∞，＋∞ ) 内 ()A．没有根 B ．有且仅有一个根C．有且仅有两个根 D ．有无量多个根9．函数图像的一局部如图，那么函数的剖析式是()πA．y＝ sin x＋πB．y＝ sin2x－6πC．y＝ cos 4x－3πD．y＝ cos 2x－610．若是函数y＝ 3cos(2 x＋φ ) 的图像关于点4π， 0 中心对称，那么 | φ| 的最小值为 () 3A. πB.π64ππC.3D.2二、填空题 ( 本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上 ) 11．设扇形的半径长为 4 cm，面积为4 cm2，那么扇形的圆心角的弧度数是 ________．12．角θ的极点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，假设 p(4， y)是角θ终边上一点，2 5且 sin θ＝－5，那么y＝ ________．13．f ( x) ＝A sin( ωx＋φ ) ，f ( α ) ＝A，f ( β ) ＝ 0， | α －β | 的最小值为π3，那么正数ω＝ ________．14．函数y＝log 12sin2x＋π＋ 2 的定义域是 ________．24三、解答题 ( 本大题共 4 小题，共 50 分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 )15． ( 本小题总分值12 分 )π3πsin α －2 cos2＋α tan 〔π－α〕.f (α)＝tan 〔－α－π〕 sin 〔－π －α〕(1) 化简f ( α) ；3π1(2) 假设 sinα －2＝5，求f(α )的值．π16． ( 本小题总分值12 分 ) 函数 f ( x)＝2sin2x＋3.π(1)当 x∈0，2时，求 f ( x)的值域；π5π(2)用五点法作出 y＝f ( x)在－6，6闭区间上的简图；(3)说明 f ( x)的图像可由 y＝sin x 的图像经过怎样的变化获取？17.( 本小题总分值 12 分 ) 函数f ( x) ＝A sin( ωx＋φ) 的图像如图，试依图指出：(1)f ( x)的最小正周期；(2)f ( x)的单调递加区间和递减区间；(3)图像的对称轴方程与对称中心．18． ( 本小题总分值 14 分 ) 函数f ( x) ＝2sin( ωx＋φ －ππ，ω >0 .) ， 0<φ <62π(1) 假设函数y＝f ( x) 图像的两相邻对称轴间的距离为2，且它的图像过 (0 ，1) 点，求函数y＝f ( x)的表达式；π(2)将 (1) 中的函数y＝f ( x) 的图像向右平移6个单位后，再将获取的图像上各点的横坐标伸长到原来的 4 倍，纵坐标不变，获取函数y＝g( x)的图像，求函数y＝ g( x)的单调递加区间；1(3) 假设f ( x) 的图像在x∈a，a＋100 ( a∈ R) 上最少出现一个最高点或最低点，求正整数ω 的最小值．答案1．剖析：选 D∵ 2π－ π3 ＝ 5π3，∴－ π3 与角 5π3的终边相同．2．剖析：选 C cos 330 °＝ cos(360 °－ 30° ) ＝cos( － 30° )3＝ c os 30 °＝ 2 .3．剖析：选 B ∵ α 是第三象限角，3π∴ 2k π ＋ π＜ α ＜ 2k π ＋ 2 ， k ∈ Z ，∴ k π ＋π2 ＜α2 ＜ k π ＋3π4 ， k ∈Z ，∴α是第二象限或第四象限角． 2又∵ |cosα 2 | ＝－ cosα2 ，α∴ c os 2 ＜ 0，α∴ 2是第二象限角．πω π 34．剖析：选 C 由题意知，函数在x ＝ 3 处获取最大值 1，所以 1＝ sin3 ，ω ＝ 2.5．剖析：选 By ＝ 3sin π － x ＝－ 3sin x － π，检验各选项知，只有B 项中的区间是单4 4调递减区间．6．剖析：选C假设 f ( x ) 为偶函数，那么f (0)＝± 1，即 sin φ 3 ＝± 1，∴φ π3 ＝ k π ＋ 2 ( k ∈ Z) ．3π∴φ ＝ 3k π＋ 2 ( k ∈Z) ．只有 C 项吻合．7．剖析：选A当 0≤ x ≤ 9 时，－ π ≤π x － π ≤7π ，3 6 3 6－32≤ sinπ x － π 6 3≤ 1，所以函数的最大值为2，最小值为－3，其和为2－3.8．剖析：选C构造两个函数y ＝ |x |和y ＝ cos x ，在同一个坐标系内画出它们的图像，如图所示，观察图像知有两个公共点，所以方程有且仅有两个根．π π9. 剖析：选 D 由图像知 T ＝ 4× 12＋ 6 ＝ π .∴ω ＝ 2，消除选项 A 、 C.π， 1代入选项 B ，∵图像过 12ππ π∴f 12 ＝ sin 2× 12－ 6 ＝ 0≠ 1，故 B 错误．10．剖析：选 A ∵函数 y ＝ 3cos(2 x ＋ φ ) 的图像关于点 (4π 4π ， 0) 中心对称，∴ 2×＋ φ33＝ k π ＋π2 ( k ∈ Z) ．φ＝ k π ＋ 13π ( k ∈ Z) ，由此易得 | φ | min ＝ π.6 61 2，得 α ＝2 S 111．剖析：由 S ＝αr r2＝ .221答案： 212．剖析：依照正弦值为负数，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，判断该角为第四象限角，故 y <0，y2 5由sin θ ＝16＋y 2＝－5 得y ＝－ 8.答案：－ 813．剖析：由f ( ) ＝ sin( ω ＋ φ ) ， ( α ) ＝ ， ( β ) ＝ 0， | α － β | 的最小值为 π，知周x A x f A f34π 2π3期 T ＝ 3 ＝ ω ， ω ＝ 2.3答案： 214．剖析：要使函数有意义，必定有π2sin 2x ＋ 4＋ 2>0，π 2即 sin 2x ＋ 4 >－ 2 .π2设 z ＝ 2x ＋ 4 ，那么 sin z >－ 2 .由图知，－ πk π < 5π k ∈Z)，＋ 2 < ＋ 2 π (44 ππ 5π即－ 4 ＋ 2k π<2x ＋ 4 < 4 ＋ 2k π( k ∈ Z) ，ππ解得－4 ＋ k π <x < 2 ＋ k π ( k ∈ Z) ．答案： ( － π＋ k π ， π＋ k π )( k ∈ Z)4 2－ c os α sin α 〔－ tan α 〕15．解： (1) 原式＝－ tan α sin α ＝－ cos α .3π(2) ∵ sin α －2π ＝sin( 2 ＋ α ) ＝ cos α ，1 1 ∴ c os α ＝ 5. 故 f ( α) ＝－ 5.16．解： (1) ∵ x ∈ 0，ππ≤ 2x ＋ π4π，2 ，∴3 3 ≤ 33 π － 2 ≤ sin 2x ＋ 3≤ 1，∴所求值域为 [ － 3， 2] ．(2) ①列表：xπ π π 7π 5π－ 612 312 6ππ 3π2 x ＋3 0 2 π 2 2π2sin 2 ＋π2－ 2x3②画图 (如图)(3) 法一：可由y＝ sin x的图像先向左平移π 个单位长度，再将图像上各点的横坐标缩短到312 倍而获取．原来的2，最后将纵坐标伸长为原来的法二：可由 y＝sin x 的图像先将图像上各点的横坐标缩短到原来的1π，再将图像向左平移6 2个单位长度，最后将纵坐标伸长为原来的 2 倍而获取．17．解： (1) 由图像知f ( x) 的最小正周期为7ππ2－＝ 3π.44(2)∵半个周期是3π，π－3π＝－5π，由图像可知， f ( x)的单调递增区间是2424－5π＋3kπ，π＋ 3kπ ( k∈ Z) ，f ( x)的单调递减区间是π＋ 3kπ，7π4444＋ 3kπ ( k∈Z) ．π3kπ－π＋3kπ， 0(3) f ( x) 的图像的对称轴方程是x＝4＋2 ( k∈ Z) ，对称中心是22( k∈ Z) ．2ππ18．解： (1) 由题意得ω＝ 2×2，所以ω＝ 2，π所以 f ( x)＝2sin2x＋φ－6 .又因为 y＝ f ( x)的图像过点(0，1)，∴sin φ －π16＝ .2ππ又∵ 0<φ < 2，∴φ＝3，π∴f ( x)＝2sin2x＋6.π(2) 将f ( x) 的图像向右平移 6 个单位长度后，π获取 y＝2sin2x－6的图像，再将所得图像上各点的横坐标伸长到原来的 4 倍，纵坐标不变，1π获取 y＝2sin2x－6的图像．1π即 g( x)＝2sin2x－6.令 2kπ －π≤1x－π≤ 2kπ＋π，2 2622π4π那么 4kπ －3≤x≤ 4kπ＋3， ( k∈ Z) ，∴g( x)的单调递加区间为4kπ －2π3， 4kπ＋4π3( k∈ Z) ．(3) 假设f (x) 的图像在x∈ a， a＋1( ∈ R) 上最少出现一个最高点或最低点，那么π <，100aω即ω >100π，又ω为正整数，∴ωmin＝ 315.。
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（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学必修四本册综合测试一本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若点A (x ，y )是300°角终边上异于原点的一点，则yx的值为( )A ． 3B ．－ 3C ．33D ．－33[答案] B[解析] 由三角函数的定义知yx＝tan300°＝tan(360°－60°)＝－tan60°＝－3.2．(2014·陕西文，2)函数f (x )＝cos(2x ＋π4)的最小正周期是( )A ．π2B ．πC ．2πD ．4π[答案] B[解析] T ＝2π2＝π，选B.y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)，ω>0，A >0的最小正周期为2πω.3．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，72B ．⎝⎛⎭⎪⎫2，－12C ．(3,2)D ．(1,3)[答案] A[解析] 本题主要考查平面向量的坐标运算．BC →＝(3＋1,1＋2)＝(4,3)，2AD →＝2(x ，y －2)＝(2x,2y －4) ∵BC →＝2AD →，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝2x3＝2y －4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝72，故选A.4．函数f (x )＝sin(x －π4)的图像的一条对称轴是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2[答案] C[解析] 本题考查了正弦型函数图像的对称轴问题． 函数f (x )＝sin(x －π4)的图像的对称轴是x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋3π4，k ∈Z .当k ＝－1时，x ＝－π＋3π4＝－π4.要清楚函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的对称轴，其本质是sin(ωx ＋φ)＝±1时解出的． 5．设向量a 和b 的长度分别为4和3，夹角为60°，则|a ＋b |等于( ) A ．37 B ．13 C ．37D ．13[答案] C[解析] |a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝|a |2＋2|a ||b |cos60°＋|b |2＝16＋2×4×3×12＋9＝37，|a ＋b |＝37，故选C.6．设0≤α<2π，若sin α>3cos α，则α的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，3π2C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，4π3D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，4π3[答案] D[解析] 当α∈[0，π2)时，由sin α>3cos α，得sin αcos α＝tan α>3，解得α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2；当α∈[π2，π]时，cos α≤0，显然原式成立；当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2时，易得tan α<3，解得α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，4π3；当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π2，2π时，sin α<0，cos α≥0，原式不成立，综上，α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，4π3.7．设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图像向右平移π3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值为( )A ．13B ．3C ．6D ．9[答案] C[解析] 由题意得：π3为函数f (x )＝cos ωx 的最小正周期的正整数倍，∴π3＝k ·2πω(k ∈N ＋)， ∴ω＝6k (k ∈N ＋)，∴ω的最小值为6.8．△ABC 外接圆的半径为1，圆心为O ，且2OA →＋AB →＋AC →＝0，|OA →|＝|AB →|，则CA →·CB →的值为( )A ．32B ． 3C ．3D ．2 3[答案] C[解析] 如图所示，取BC 边中点M ，由2OA →＋AB →＋AC →＝0，可得2AO →＝AB →＋AC →＝2AM →， 则点M 与点O 重合．又由|OB →|＝|OC →|＝|OA →|＝|AB →|＝1，可得|AC |＝|BC |·sin60°＝2×32＝3，则CA →·CB →＝|CA →||CB →|·cos C ＝|CA →|2＝3.9．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)cos(ωx ＋φ)(ω>0)，以2为最小正周期，且能在x ＝2时取得最大值，则φ的一个值是( )A ．74πB ．－54πC ．－34πD ．π2[答案] C[解析] f (x )＝12sin(2ωx ＋2φ) T ＝2π2ω＝2∴ω＝π2，∴f (x )＝12sin(πx ＋2φ)，当x ＝2时，πx ＋2φ＝2π＋2φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π－3π4，k ∈Z .10．已知f (x )＝sin(x ＋π2)，g (x )＝cos(x －π2)，则下列结论中不正确的是( )A ．函数y ＝f (x )g (x )的最小正周期为πB ．函数y ＝f (x )g (x )的最大值为12C ．函数y ＝f (x )g (x )的图像关于点(π4，0)成中心对称D ．将函数f (x )的图像向右平移π2个单位后得到函数g (x )的图像[答案] C[解析] f (x )＝cos x ，g (x )＝sin x ， y ＝f (x )g (x )＝cos x sin x ＝12sin2x ，∴最小正周期T ＝π，最大值为12，∴选项A ，B 正确．当x ＝π4时，y ＝12sin(2×π4)＝12≠0，∴y ＝f (x )g (x )的图像不关于点(π4，0)对称，选项C 错误．将f (x )的图像向右平移π2个单位后得y ＝cos(x －π2)，即g (x )的图像，选项D 正确．第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上)11．已知α为直线x ＋3y ＝0的倾斜角，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值为________．[答案]12[解析] 因为直线x ＋3y ＝0的斜率为－13，所以tan α＝－13，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan α·tan π4＝－13＋11＋13＝12. 12．(2014·重庆文，12)已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b |＝10，则a ·b ＝________.[答案] 10[解析] 此题考查向量数量积的运算． ∵a ＝(－2，－6)，∴|a |＝4＋36＝210，∴a ·b ＝210×10×cos60°＝10.13.下图是y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图像，则其解析式为________．[答案] y ＝3sin(2x ＋π3)[解析] 由图知T ＝11π6＋π6＝2π，∴ω＝1且A ＝2.由图像过(－π6，0)，得1×(－π6)＋φ＝0，又0<φ<π2，∴φ＝π6.∴y ＝2sin(x ＋π6)．14．已知cos(α－β)＝－45，cos(α＋β)＝45，90°<α－β<180°，270°<α＋β<360°，则cos2α＝__________.[答案] －725[解析] 由cos(α－β)＝－45，cos(α＋β)＝45，90°<α－β<180°，270°<α＋β<360°， 所以sin(α－β)＝35，sin(α＋β)＝－35，所以cos2α＝cos[(α－β)＋(α＋β)]＝cos(α－β)·cos(α＋β)－sin(α－β)·sin(α＋β) ＝－45×45－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－725.15．设f (x )＝cos xcos (30°－x )，则f (1°)＋f (2°)＋…＋f (59°)＝________.[答案] 5932[解析] f (x )＋f (60°－x )＝cos xcos (30°－x )＋cos (60°－x )cos (x －30°) ＝cos x ＋cos (60°－x )cos (30°－x )＝3sin (60°＋x )cos (30°－x )＝3，∴f (1°)＋f (2°)＋…＋f (59°)＝[f (1°)＋f (59°)]＋[f (2°)＋f (58°)]＋…＋[f (29°)＋f (31°)]＋f (30°)＝5932.三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)已知π6<α<2π3，sin(α－π3)＝m ，求tan(4π3－α)的值．[解析] ∵π6<α<2π3，∴－π6<α－π3<π3.∴cos(α－π3)＝1－m 2.∴tan(α－π3)＝sin (α－π3)cos (α－π3)＝m1－m 2.∴tan(4π3－α)＝tan[π－(α－π3)]＝－tan(α－π3)＝－m1－m 2. 17．(本小题满分12分)OA →＝(2,5)，OB →＝(3,1)，OC →＝(6,3)，在OC →上是否存在点M ，使MA →⊥MB →？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．[解析] 设存在点M ，且OM →＝λOC →＝(6λ，3λ)(0<λ≤1)， ∴MA →＝(2－6λ，5－3λ)，MB →＝(3－6λ，1－3λ)． ∴45λ2－48λ＋11＝0，解得λ＝13或λ＝1115. ∴OM →＝(2,1)或OM →＝(225，115)．∴存在M (2,1)或M (225，115)满足题意．18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝4cos 4x －2cos2x －1sin (π4＋x )sin (π4－x ).(1)求f (－11π12)的值；(2)当x ∈[0，π4)时，求g (x )＝12f (x )＋sin2x 的最大值和最小值．[解析] (1)f (x )＝(1＋cos2x )2－2cos2x －1sin (π4＋x )sin (π4－x )＝cos 22xsin (π4＋x )cos (π4＋x )＝2cos 22xsin (π2＋2x )＝2cos 22x cos2x ＝2cos2x ，∴f (－11π12)＝2cos(－11π6)＝2cos π6＝3.(2)g (x )＝cos2x ＋sin2x ＝2sin(2x ＋π4)，∵x ∈[0，π4)，∴2x ＋π4∈[π4，3π4)．∴当x ＝π8时，g max (x )＝2，当x ＝0时，g min (x )＝1.19．(本小题满分12分)已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°. (1)计算：①|a ＋b |；②|4a －2b |. (2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(k a －b )? [解析] 由已知可得a ·b ＝4×8×(－12)＝－16.(1)①|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2 ＝16＋2×(－16)＋64＝48， 所以|a ＋b |＝43.②|4a －2b |2＝16a 2－16a ·b ＋4b 2 ＝16×16－16×(－16)＋4×64 ＝3×162， 所以|4a －2b |＝163.(2)若(a ＋2b )⊥(k a －b )，则 (a ＋2b )·(k a －b )＝0，所以k a 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0， 16k －16(2k －1)－2×64＝0， 故k ＝－7.20．(本小题满分13分)(2014·重庆理，17)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ<π2)的图像关于直线x ＝π3对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π. (1)求ω和φ的值；(2)若f (α2)＝34(π6<α<2π3)，求cos(α＋3π2)的值． [解析] (1)因f (x )的图像上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2， 又因f (x )的图像关于直线x ＝π3对称，所以 2·π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，…，因－π2≤φ<π2得k ＝0， 所以φ＝π2－2π3＝－π6. (2)由(1)得f (α2)＝3sin(2·α2－π6)＝34. 所以sin(α－π6)＝14. 由π6<α<2π3得0<α－π6<π2. 所以cos(α－π6)＝1－sin 2(α－π6)＝1－(14)2＝154. 因此cos(α＋3π2)＝sin α ＝sin[(α－π6)＋π6] ＝sin(α－π6)cos π6＋cos(α－π6)sin π6 ＝14·32＋154·12 ＝3＋158.21．(本小题满分14分)设函数f (x )＝a ·(b ＋c )，其中向量a ＝(sin x ，－cos x )，b ＝(sin x ，－3cos x )，c ＝(－cos x ，sin x )，x ∈R .(1)求函数f (x )的单调减区间；(2)函数y ＝f (x )的图像可由函数y ＝sin x 的图像经过怎样变化得出？(3)若不等式|f (x )－m |<2在x ∈[π8，π2]上恒成立，求实数m 的取值范围． [解析] (1)由题意得f (x )＝a ·(b ＋c )＝(sin x ，－cos x )·(sin x －cos x ，sin x －3cos x )＝sin 2x －2sin x cos x ＋3cos 2x ＝2＋cos2x －sin2x＝2＋2sin(2x ＋3π4)． 由2k π＋π2≤2x ＋3π4≤2k π＋3π2， 得k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z )． 故f (x )的单调减区间为[k π－π8，k π＋3π8](k ∈Z )． (2)先将y ＝sin x 的图像上所有点向左平移3π4个单位，再将所得的图像上所有点横坐标压缩到原来的12，然后再将所得的图像上所有点纵坐标伸长到原来的2倍，最后将所得图像上所有点向上平移2个单位即可得y ＝f (x )的图像．(3)∵|f (x )－m |<2在x ∈[π8，π2]上恒成立， ∴f (x )－2<m <f (x )＋2，∴m >[f (x )]max －2且m <[f (x )]min ＋2，即m >0且m <4－2，∴0<m <4－ 2.。