第15讲-正弦定理、余弦定理及其应用专题(教师版)
正、余弦定理及其应用
正、余弦定理及其应用正、余弦定理及其应用一、正弦定理和余弦定理1、正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容变形形式①a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;②sinA=,sinB=,sinC=;③a:b:c=sinA:sinB:sinC;④ 解决的问题已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角。
已知三边，求各角；已知两角和它们的夹角，求第三边和其他两个角。
注：在ΔABC 中，sinA>sinB是A>B的充要条件。
（∵sinA>sinBa>bA>B）二、应用举例1、实际问题中的常用角（1）仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图①）（2）方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。
仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的。
（3）方向角：相对于某一正方向的水平角（如图③）①北偏东即由指北方向顺时针旋转到达目标方向；②北偏本即由指北方向逆时针旋转到达目标方向；③南偏本等其他方向角类似。
（4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角）坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，为坡比）2、ΔABC的面积公式（1）；（2）；（3）。
【基本训练】1．在△ABC中，“”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若三角形的面积S=（a2+b2－c2），则∠C的度数是_______．3．在△ABC中，为的中点，且，则.4．在中，若，，，则考点集结考点一：正弦定理、余弦定理的简单应用〖例1〗a=，b=，B=45°，求A,C及边c．2)在中，角所对的边分.若，则（）A．B．C．-1D．11.在△ABC中以知A=30°a、b分别为角A、B对边，且a=4=b解此三角形考点二：利用正弦定理、余弦定理判断三角形的性状及求取值范围〖例2〗若△的三个内角满足则△A．一定是锐角三角形.B．一定是直角三角形.C．一定是钝角三角形.D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则的值等于______，AC的取值范围为________．cos的最小值为。
(经典)正弦定理、余弦定理知识点总结及最全证明
正弦定理、余弦定理知识点总结及证明方法1．掌握正弦定理、 余弦定理，并能解决一些简单的三角形胸怀问题．2．能够运用正弦定理、 余弦定理等知识和方法解决一些与丈量和几何计算相关的实质问题．主要考察相关定理的应用、三角恒等变换的能力、运算能力及转变的数学思想．解三角形经常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明，或与三角函数联系在一同求距离、高度以及角度等问题，且多以应用题的形式出现．1． 正弦定理(1) 正弦定理：在一个三角形中， 各边和它所对角的正弦的比相等， 即 ．其 中 R 是三角形外接圆的半径．(2) 正弦定理的其余形式：， c① a ＝ R A ， b ＝2 sin＝；a②sin A ＝2R ， sin B ＝，sin C ＝ ；③a ∶b ∶c ＝______________________.2． 余弦定理——王彦文 青铜峡一中(1) 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其余两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a 2＝，b 2＝，c 2＝.，即为勾若令 C ＝°，则 c 2＝90股定理．(2) 余 弦 定 理 的 变 形 ： cosA＝ ， cosB ＝ ，cosC ＝ .若 C 为锐角，则 cosC>0，即 a 2＋ b 2 ______c 2；若 C 为钝角，则 cosC<0，即 a 2＋b 2______c 2. 故由 a 2 ＋b 2 与 c 2 值的大小比较，能够判断 C 为锐角、钝角或直角．(3) 正、余弦定理的一个重要作用是实现边角____________，余弦定理亦能够写成 sin 2A＝ sin 2B ＋ sin 2C － 2sin Bsin CcosA ，近似地，sin 2B ＝ ____________ ； sin 2C ＝__________________.注意式中隐含条件 A ＋ B ＋C ＝π.3． 解斜三角形的种类(1) 已知三角形的随意两个角与一边，用____________定理．只有一解．(2) 已知三角形的随意两边与此中一边的对 角 ， 用 ____________ 定 理 ， 可 能 有___________________．如在△ ABC 中，已知 a ， b 和 A 时，解的状况如表：A 为钝角A 为锐角或直角图 形关 a ＝ b A aa ≥b a b 系 b A sin <b> 式 sin <解 的 ① ② ③ ④ 个 数(3) 已知三边，用 ____________定理．有1解时，只有一解．(4) 已知两边及夹角，用 ____________定理，必有一解．4． 三角形中的常用公式或变式(1) 三角形面积公式 S △＝ ＝＝ ____________ ＝ ____________ ＝____________．此中 R ，r 分别为三角形外接圆、内切圆半径．，(2) A ＋ B ＋ C ＝π，则 A ＝__________A＝ __________ ， 从 而sin A ＝2____________，cosA ＝ ____________ ， tan A ＝____________；A Asin 2＝ __________， cos 2＝__________，Atan 2 ＝ ________.tan A ＋ tan B ＋ tan C ＝__________.(3) 若三角形三边 a ，b ，c 成等差数列，则b ＝____________? 2sin B ＝____________?2B A －C A ＋ C A － C A2sin 2＝ cos2 ? 2cos 2 ＝ cos 2 ? tan 2C 1tan 2＝3.【自查自纠】． a bc R1(1)sin A ＝ sin B ＝sin C ＝ 2R BRC ② bc(2) ①2 si2 siRR2 2③ s in A ∶sin B ∶sin C2． (1) b 2＋c 2－2bccosA c 2＋a 2－ 2cacosB a 2 ＋b 2－2abcosC a 2＋ b 2b 2 ＋c 2－a 2c 2＋a 2－b 2a 2 ＋b 2－c 2>(2)2ca2ab2bc<(3) 互化sin 2C ＋sin 2A －2sin Csin AcosBsin 2A ＋ sin 2B －2sin Asin BcosC3．(1) 正弦 (2) 正弦 一解、两解或无解①一解 ②二解 ③一解 ④一解 (3) 余弦 (4) 余弦．11 1 abc(1) ab sin C bc s inA ac s in B2 22R412( a ＋b ＋c) rπ B ＋C(2) π－ ( B ＋ C)2 － 2sin( B ＋C－cos( B ＋C) )－ tan( B ＋ C cos B ＋CsinB ＋ C) 2 21 B ＋Ctan 2A B C (3)a ＋ csin A ＋ sin C tan tan tan2在△ABC中， A B 是A B 的()>sin >sinA．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件解：因为在同一三角形中，角大则边大，边大则正弦大，反之也成立，故是充要条件．故选 C.在△ABC中，已知 b＝， c＝，B＝°，则61030解此三角形的结果有 ()A．无解B．一解C．两解D．一解或两解解：由正弦定理知 sin C＝c·sin B5b＝6，又由c>b>csin B知， C有两解．也可依已知条件，画出△ ABC，由图知有两解．应选 C.( 2013·陕西 ) 设△ ABC的内角 A, B, C所对的边分别为 a, b, c,若b cos C＋ c cos B＝a sin A,则△ ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确立C＋解：由已知和正弦定理可得BC B ＝A· A ，即sin cos＝sin sin sin sin( B ＋C cos A)sinA A，亦即sinA＝A因为Aπ，sin sin sin.0< <π所以 sin A＝1，所以 A＝ 2.所以三角形为直角三角形．应选.B( 2012·陕西 ) 在△ ABC中，角 A，B，C 所对的π边分别为 a，b，c. 若 a＝2，B＝6，c＝23，则 b＝________．解：由余弦定理知b2＝a2＋c2－ 2accosB＝π222 ＋( 23)－2×2×2 3×cos 6＝ 4， b＝ 2.在△ABC中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若 a＝ 2，b＝2，sin B＋cosB＝ 2，则角 A 的大小为 ________．解：∵ sin B＋ cosB＝2，ππ∴2sin B＋4＝ 2，即 sin B＋4＝1.πππ又∵ B∈(0 ，π ) ，∴ B＋4＝2， B＝4 .a b依据正弦定理sin A＝sin B，可得sin A＝asin B1＝.b2ππ∵a＜b，∴ A＜B. ∴ A＝6 . 故填6 .种类一正弦定理的应用△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 A－ C＝90°， a＋ c＝ 2b，求 C.解：由 a＋c＝ b 及正弦定理可得sinA2＋s in C＝ 2sin B.又因为 A－ C＝90°， B＝180°－ ( A＋ C) ，故 cosC＋ sin C＝ sin A＋sin C＝ 2sin( A＋ C) ＝2sin(90 °＋ 2C) ＝ 2sin2(45 °＋ C) ．∴2 sin(45° ＋C＝2 2 sin(45° ＋)C)cos(45 °＋ C) ，41即 cos(45 °＋ C) ＝2.又∵ 0°＜ C＜90°，∴ 45°＋ C＝60°，C ＝15°.【评析】利用正弦定理将边边关系转变为角角关系，这是解本题的重点．( 2012·江西 ) 在△ ABC中，角 A，B，C 的对边分别为a， b，c已知 A＝π，bsinπ＋C －.44c sinπ＋B ＝a4.π(1)求证： B－C＝2；(2)若 a＝ 2，求△ ABC的面积．解：(1)证明：对bπ＋C－sin4csin π＋ B＝ a应用正弦定理得4B π＋ C －sinCπ＋B ＝sinA，sin sin4sin422即sin B2 sin C＋2 cosC－sinC222，整理得 B C2 sin B＋2 cosB ＝2sin cos －s in CcosB＝ 1，即 sin ( B－C)＝1.3ππ因为 B，C∈ 0，4，∴ B－C＝2 .3π，又由 (1)知 B－C(2) ∵ B＋ C＝π－ A＝4π＝2，5ππ∴B＝8，C＝8.∵a＝2，A＝πb＝，∴由正弦定理知4a Bπa Cπsin5sinsin A＝ 2sin8，c＝sin A＝2sin 8 .115ππ∴S△ABC＝2bcsin A＝2×2sin8×2sin 8×225ππππ2＝ 2sin8 sin 8＝ 2cos8 sin8＝2π 1sin 4＝2.种类二 余弦定理的应用1 3 3∴S △ABC ＝2acsin B ＝ 4 .【评析】①依据所给等式的构造特色利用余弦定理将角化边进行变形是快速解答本题的 重点．②娴熟运用余弦定理及其推论，同时还 要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运 用．在△ ABC 中，a ，b ，c 分别是角 A ，B ，C 的对边，cosBb且cosC ＝－ 2a ＋c .(1) 求 B 的大小；(2) 若 b ＝ 13，a ＋c ＝4，求△ ABC 的面积．a 2＋ c 2－b 2， 解：(1) 由余弦定理知， cosB ＝ac2cosC ＝ a 2＋b 2－ c 2cosB b 2ab ，将上式代入cos C ＝－ a ＋c2 得a 2 ＋c 2－b 2 abb2＝－ a ＋c ， ac·a 2＋b 2－c22整理得 a 2＋c 2－ b 2＝－ ac.a 2＋c 2－b 2 －ac 1 ∴cosB ＝ ac ＝ ac ＝－ .22 22∵B 为三角形的内角，∴ B ＝ 3π.(2) 将 b ＝ 13，a ＋c ＝4，B ＝23π 代入 b 2＝a 2＋ c 2－2accosB ，得 13＝42－ 2ac －2accos 2 3π，解得 ac ＝3.若△ ABC 的内角 A ，B ，C 所对的边 a ，b ，c 知足( a ＋b) 2－ c 2＝4，且 C ＝60°，则 ab 的值为 ( )4A. 3B ．8－4 3C ． 12D.3解：由余弦定理得 c 2＝ a 2 ＋b 2－2abcosC ＝a 2＋b 2－ab ，代入 ( a ＋ b) 2－ c 2 ＝4 中得 ( a ＋ b) 24－ ( a 2＋b 2－ab) ＝ 4，即 3ab ＝ 4，∴ ab ＝3. 应选A.6种类三正、余弦定理的综合应用以用余弦定理化边后用不等式求最值．( 2013·全国新课标Ⅱ ) △ ABC的内角A、B、 C的对边分别为 a，b，c，已知 a＝bcosC＋ csin B.(1)求 B；(2)若 b＝2，求△ ABC面积的最大值．解： (1) 由已知及正弦定理得 sin A＝sin BcosC＋ sin Csin B. ①又 A＝π－ ( B＋ C) ，故sin A ＝ sin( B ＋ C) ＝ sin BcosC ＋cosBsin C. ②由①，②和 C∈(0 ，π ) 得 sin B＝ cosB.π又 B∈(0 ，π ) ，所以 B＝4 .12(2) △ ABC的面积 S＝2acsin B＝4 ac.由已知及余弦定理得 4 ＝ a2＋ c2－π2accos 4 .又 a2＋ c2≥2ac，故 ac≤4，2－ 2当且仅当 a＝c 时，等号成立．所以△ ABC面积的最大值为2＋1.【评析】(1) 化边为角与和角或差角公式的正向或反向多次联用是常用的技巧； (2) 已知边及其对角求三角形面积最值是高考取考过多次的问题，既可用三角函数求最值，也可( 2013·山东 ) 设△ ABC的内角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且 a＋ c＝ 6， b＝ 2， cosB7＝9.(1)求 a，c 的值；(2)求 sin( A－ B) 的值．解： (1) 由余弦定理 b2＝a2＋ c2－2accosB，得 b2＝( a＋c) 2－2ac(1 ＋cosB) ，又 a＋ c ＝6，b＝2，7cosB＝9，所以 ac＝9，解得 a＝3，c＝3.242(2) 在△ ABC中， sin B＝ 1－cos B＝9 ，asin B 22由正弦定理得 sin A＝b＝ 3 .因为 a＝c，所以 A 为锐角，21所以 cosA＝1－sin A＝3.所以 sin( A－B) ＝sin AcosB－ cosAsin B＝10 227.种类四 判断三角形的形状后进行三角函数式的恒等变形，找出角之间的 关系；或将角都化成边，而后进行代数恒等变 形，可一题多解，多角度思虑问题，进而达到 对知识的娴熟掌握．在三角形 ABC 中，若 tan A ∶tan B ＝a 2∶b 2，试判断三角形 ABC 的形状．a 2 sin 2A解法一：由正弦定理，得 b 2＝sin 2B ， tan A sin 2 A所以 tan B ＝sin 2 B ，A Bsin 2AA ＝ Bsin cos2 ，即sin2所以cosAsin B ＝sinB sin2 . 所以 A ＝ B ，或2 A ＋B ＝π，所以 A ＝B2 22π或 A ＋ B ＝ 2 ，进而△ ABC 是等腰三角形或直角三角形．a2sin 2A解法二：由正弦定理，得 b 2＝ sin 2B ，所以tan A sin 2A cosB sin Atan B ＝sin 2B，所以 cosA ＝ sin B，再由正、余弦a 2＋ c 2 －b 2aca a 2－ b2c 2－定理，得 2 22 2 )( b ＋ c －a ＝ b ，化简得 (2bca 2－b 2 )＝ ，即 a 2＝ b 2 或c 2＝ a 2 ＋b 2. 进而△ ABC 是等腰三角形或直角三角形．【评析】由已知条件，可先将切化弦，再联合正弦定理，将该恒等式的边都化为角，然( 2012·上海 ) 在 △ABC 中 ， 若 sin 2A ＋sin 2B 2C ，则△ ABC 的形状是 ( )<sin A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不可以确立解：在△ ABC 中，∵ sin 2A ＋sin 2 B<sin 2C ，∴由正弦定理知 a 2 ＋b 2<c 2. ∴cos C ＝ a 2＋b 2－c 22ab<0，即∠ C 为钝角，△ ABC 为钝角三角形． 应选 C.种类五 解三角形应用举例某港口 O 要将一件重要物件用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口 O北偏西 30°且与该港口相距20 n mile的A 处，并以 30 n mile/h的航行速度沿正东方向匀速行驶．假定该小艇沿直线方向以v n mile/h 的航行速度匀速行驶，经过 t h 与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假定小艇的最高航行速度只好达到 30 n mile/h ，试设计航行方案 ( 即确立航行方向和航行速度的大小 ) ，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明原因．解法一：(1) 设相遇时小艇航行的距离为 S n mile ，则S＝900t 2＋400－2·30t ·20·cos（90°－ 30°）＝t2－t ＋400＝900600900 t －123＋300，1103故当 t ＝3时，S min＝103，此时 v＝1＝3 303.即小艇以 30 3 n mile/h的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)设小艇与轮船在 B 处相遇，则v2 t 2＝400＋t 2－900 2·20·30t ·cos(90 °－ 30°) ，2600400故 v ＝ 900－t＋t2.v≤，∴6004002－＋≤，即∵0<30900t t900t3－t≤0，22解得 t ≥3. 又 t ＝3时，v＝30. 故 v＝ 30 时，2t 获得最小值，且最小值等于3.此时，在△ OAB中，有 OA＝OB＝AB＝20，故可设计航行方案以下：航行方向为北偏东30°，航行速度为 30 n mile/h ，小艇能以最短时间与轮船相遇．解法二：(1) 若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向．设小艇与轮船在C处相遇．在 Rt△OAC中， OC＝20cos30°＝ 10 3，AC＝20sin30 °＝ 10.又 AC＝30t ，OC＝vt ，101103此时，轮船航行时间 t ＝30＝3，v＝1＝330 3.即小艇以 30 3 n mile/h的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)假定 v＝ 30 时，小艇能以最短时间与轮船在 D处相遇，此时 AD＝DO＝30t .又∠ OAD＝60°，所以 AD＝ DO＝OA＝20，2解得 t ＝3.据此可设计航行方案以下：航行方向为北偏东 30°，航行速度的大小为30 n mile/h. 这样，小艇能以最短时间与轮船相遇．证明以下：如图，由 (1) 得 OC＝103， AC＝10，故 OC>AC，且关于线段 AC上随意点 P，有OP≥ OC>AC.而小艇的最高航行速度只好达到30 n mile/h ，故小艇与轮船不行能在 A，C 之间 ( 包括 C) 的随意地点相遇．设∠ COD＝θ (0 °<θ<90°) ，则在 Rt△COD 中，103CD＝103tan θ， OD＝cosθ .因为从出发到相遇，轮船与小艇所需要的10＋10 3tan θ和 t ＝103，时间分别为 t ＝30vcosθ10＋10 3tan θ10 3所以30＝vcosθ.153由此可得，v＝sin （θ＋30°）.3又 v≤30，故 sin( θ＋30°) ≥2，进而，30°≤ θ<90°.因为θ＝30°时， tan θ获得最小值，且3最小值为3 .10＋103tan θ于是，当θ＝30°时，t ＝302获得最小值，且最小值为3.【评析】①这是一道相关解三角形的实质应用题，解题的重点是把实质问题抽象成纯数学识题，依据题目供给的信息，找出三角形中的数目关系，而后利用正、余弦定理求解．②解三角形的方法在实质问题中，有宽泛的应用．在物理学中，相关向量的计算也要用到解三角形的方法．最近几年的高考取我们发现以解三角形为背景的应用题开始成为热门问题之一．③不论是什么种类的三角应用问题，解决的重点都是充足理解题意，将问题中的语言表达弄理解，画出帮助剖析问题的草图，再将其归纳为属于哪种可解的三角形．④本题用几何方法求解也较简易．10( 2012·武汉 5月模拟 ) 如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西 60°方向的 B 处，且与岛屿 A 相距 12 海里，渔船乙以 10 海里 / 小时的速度从岛屿 A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，恰好用2 小时追上．(1)求渔船甲的速度；(2)求 sin α的值．解： (1)依题意，∠BAC＝°，A B＝，12012 AC＝× ＝2，在△ ABC中，由余弦定理知 BC 1022022∠ BAC＝2＋2－＝AB＋ AC－ AB·AC·12202cos2×12×20×cos120°＝ 784，BC＝ 28.所以渔船甲的速度为 v＝28＝14( 海里 / 小2时) ．(2)在△ ABC中， AB＝12，∠ BAC＝120°，BC＝ 28，AB ∠BCA＝α，由正弦定理得sinα＝BC12＝28，进而 sin α＝，即sin120 °sin ∠ BAC sin α12sin120 °3328＝14.1．已知两边及此中一边的对角解三角形时，要注意解的状况，提防漏解．2．在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转变为角角关系 ( 注意应用 A＋ B＋ C＝π 这个结论 ) 或边边关系，再用三角变换或代数式的恒等变形( 如因式分解、配方等 ) 求解，注意等式两边的公因式不要约掉，要移项提取公因式，不然有可能遗漏一种形状．3．要熟记一些常有结论，如三内角成等差数列，则必有一角为60°；若三内角的正弦值成等差数列，则三边也成等差数列；内角和定理与引诱公式联合产生的结论：sin A＝ sin( BA B＋C ＋C) ，cosA＝－ cos( B＋ C) ，sin 2＝cos 2，sin2 A＝－ sin2( B＋C) ，cos2A＝ cos2( B＋C) 等．4．应用正、余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤：(1)剖析：理解题意，分清已知与未知，画出表示图；(2)建模：依据已知条件与求解目标，把已11知量与求解量尽量集中到一个三角形中，成立一个解斜三角形的模型；(3)求解：利用正、余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；(4)查验：查验上述所求得的解能否切合实际意义，进而得出实质问题的解．5．正、余弦定理是应用极为宽泛的两个定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，进而使三角与几何产生联系，为求与三角形相关的量( 如面积、外接圆、内切圆半径和面积等 ) 供给了理论依照，也是判断三角形形状、证明三角形中相关等式的重要依照．主要方法有：化角法，化边法，面积法，运用初等几何法．注意领会此中蕴涵的函数与方程思想、等价转变思想及分类议论思想．12。
正弦定理和余弦定理讲解
1.掌握正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式，并能应用这些公式解斜三角形.2.能正确理解实际问题中仰角、俯角、视角、方位角及坡度、经纬度等有关名词和术语的确切含义.3.能熟练应用正、余弦定理及相关公式解决诸如测量、航海、天体运动、物理、几何等方面的问题.4.在解决实际问题时，能准确理解题意，分清已知和未知，并能把这些实际问题转化为数学问题，培养分析解决实际问题的能力.二、重点、难点重点：正、余弦定理及其证明；用正弦定理、余弦定理解三角形.难点：定理的推导；从实际问题中抽取出数学模型.三、考点分析本章是在学习了三角函数、平面向量等知识的基础上，进一步学习如何解三角形的.正、余弦定理是我们学习三角形相关知识的延续和发展，这些定理进一步揭示了三角形边与角之间的关系，在生产、生活中有着广泛的应用，是我们求角三解形的重要工具，本章内容经常会与三角部分结合起来综合考查，难度中等，各种题型均有可能出现.1.正弦定理 （1）正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即在ABC ∆中R CcB b A a 2sin sin sin ===（其中R 为ABC ∆外接圆半径），上式对任意三角形均成立.（2）利用正弦定理可以解决如下有关三角形的问题：①已知三角形的两角和任一边，求三角形的其他边与角；②已知三角形的两边和其中一边的对角，求三角形的其他边和角.2.余弦定理（1）余弦定理：三角形任一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即在ABC ∆中，余弦定理还有另一种形式： 若令︒=90C ，则222b ac +=，这就是勾股定理.（2）利用余弦定理，可以解决以下两类三角形的相关问题：①已知三边，求三个角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.3.在解三角形问题时，须掌握的三角关系式在ABC ∆中，以下的三角关系式，在解答有关的三角形问题时经常用到，同学们要记准、记熟，并能灵活地加以运用.（1）π=++C B A ；（2）C B A sin )sin(=+，C B A cos )cos(-=+； （3）2cos 2sinC B A =+，2sin 2cos CB A =+；（4）C ab S sin 21=∆，A bc S sin 21=∆，B ac S sin 21=∆.4.实际应用问题中的有关名词、术语（1）仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角.（2）方向角：从指定方向线到目标方向线的水平角. （3）方位角：从指定方向线顺时针到目标方向线的水平角. （4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数. 5.须熟悉的三角形中的有关公式解斜三角形时主要应用正弦定理和余弦定理，有时也会用到周长公式和面积公式，比如：c b a P ++=（P 为三角形的周长）a ah S 21=（a h 表示a 边上的高） RabcS 4=（可用正弦定理推得） )(21c b a r S ++=（r 为内切圆半径） 此处还须熟悉两角和差的正弦、余弦、正切及二倍角的正弦、余弦、正切公式.6.关于已知两边和其中一边的对角，解三角形的讨论已知两边和其中一边的对角，不能唯一确定三角形的形状，解这类三角形问题的过程中将出现无解、一解和两解的情况，应分情况予以讨论，图1与图2即表示了在ABC ∆中，已知a 、b 和A ∠时解三角形的各种情况当A ∠为锐角时， 当A ∠为直角或钝角时 知识点一：正弦定理与余弦定理例1：已知∆ABC 中，∠A ︒=60，a =sin sin sin a b cA B C++++思路分析：可通过设一参数k(k>0)使sin sin abAB=sin ckC==，证明出sin sin abAB=sin cC==sin sin sin a b cA B C++++即可.解题过程：设sin sin abAB=()0sin >==k k Cc则有sin a k A =，sin b k B =，sin c k C = 从而sin sin sin a b cA B C++++=sin sin sin sin sin sin k A k B k C A B C++++=k又sin aA=k ==︒=260sin 3，所以sin sin sin a b cA B C ++++=2 解题后反思：∆ABC 中，等式sin sin abAB=sin cC==()0sin sin sin a b ck k A B C++=>++恒成立.（1）定理的表示形式：sin sin abAB=sin cC==()0sin sin sin a b ck k A B C++=>++；或sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =(0)k >（2）正弦定理的应用范围：①已知三角形的两角和任一边，求其他两边及一角；②已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边及角.例2：在∆ABC 中，已知=a c ︒=45B ，求b 及A 的值.思路分析：本题的已知条件显然符合余弦定理求解的条件. 解题过程：∵2222cos =+-b a c ac B=222+-⋅cos45°=2121)+-= 8 ∴=b求A 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：解法一：∵cos 2222221,22+-=b c a A bc ∴︒=60A . 解法二：∵︒⋅==45sin2232sin sin B ba A ，又∵＞2.4+1.4=3.8，21.8 3.6,⨯=∴a ＜c ，即︒0＜A ＜︒90∴︒=60A解题后反思：使用解法二时应注意确定A 的取值范围.例3：在△ABC 中，已知a=3，b=2，B=45°，求A 、C及c.思路分析：这是一道已知两边及一边的对角解三角形的问题，可用正弦定理求解，但先要判定△ABC 是否有解，有几个解，亦可用余弦定理求解.解题过程：∵B=45°<90°，且b<a ，∴△ABC 有两解：由正弦定理得：sinA=23245sin 3sin =︒=bB a ，∴A=60°或120°.①当A=60°时，C=75°⇒c=22645sin 75sin 2sin sin +=︒︒=BCb . ②当A=120°时，C=15°⇒c=22645sin 15sin 2sin sin -=︒︒=BCb . 故A=60°，C=75°，c=226+或A=120°，C=15°，c=226-. 解题后反思：因sinA=sin(π－A)，故在解三角形中要考虑多种情况，灵活使用正、余弦定理，关键是将“条件”与情况对应. 知识点二：三角形中的几何计算例4：已知△ABC 中，22（sin2A －sin2C ）=（a －b ）sinB ，△ABC 外接圆半径为2.（1）求∠C；（2）求△ABC 面积的最大值.思路分析：利用正、余弦定理可以进行边角互化，解题时要注意有意识地进行边角关系的统一. 解题过程：（1）由22（sin2A －sin2C ）=（a －b ）sinB得22（224Ra －224Rc ）=（a －b ）Rb2. 又∵R=2，∴a2－c2=ab －b2.∴a2+b2－c2=ab.∴cosC=abc b a 2222-+=21.又∵0°＜C ＜180°，∴C=60°.（2）ABC S ∆=21absinC=21×23ab=23sinAsinB=23sinAsin （120°－A ）=23sinA （sin120°cosA－cos120°sinA）=3sinAcosA+3sin2A=23sin2A －23cos2A+23=3sin （2A －30°）+23. ∴当2A=120°，即A=60°时，Smax=233.解题后反思：求最值往往是先建立函数关系式，然后借助函数的方法去求解.例5：在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，272cos 2sin 42=-+A C B . （1）求角A 的度数； （2）若a=3，b+c=3，求b 和c 的值.思路分析：在三角形的求解中，会经常用到π=++C B A ，显然把B C +转化成A π-可是解题过程更为简便. 解题过程：（1）由272cos 2sin 42=-+A C B 及︒=++180C B A ，得：()[]271cos 2cos 122=+-+-A C B ， 即01cos 4cos 42=+-A A ，21cos =∴A ，︒<<︒1800A ，︒=∴60A （2）由余弦定理得：bc a c b A 2cos 222-+=21cos =A ，212222=-+∴bc a c b ，()bc a c b 322=-+∴. 3=a ，3=+c b 代入上式得：2=bc由⎩⎨⎧==+23bc c b 得：⎩⎨⎧==2c a b 或⎩⎨⎧==12c b .解题后反思：正弦定理和余弦定理在解斜三角形中应用得比较广泛，应熟练掌握这些定理.此外，还须熟悉两角和差的正弦、余弦、正切及二倍角的正弦、余弦、正切公式. 知识点三：应用性问题例6：如图，A ，B ，C ，D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B ，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为︒75，︒30，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为︒60，AC=0.1km.试探究图中B ，D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B ，D 的距离（计算结果精确到0.01km≈1.414≈2.449）思路分析：解斜三角形的问题时，通常要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出所要求的量，从而得到实际问题的解.解题过程：在△ADC 中，∠DAC=30°，∠ADC=60°－∠DAC=︒30，所以CD=AC=0.1 又∠BCD=180°－60°－60°=60°，故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，所以BD=BA ， 在△ABC 中，,ABC sin CBCA sin ∠=∠A AB即AB=2062315sin 60sin +=︒︒AC ，因此，BD=。
(完整版)正弦定理和余弦定理专题总结,推荐文档
正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理是解决三角形问题的主要工具，一、解三角形（一）已知三边例1、在ΔABC 中，，，，则B=_________。
1a =7b =3c =方法小结：已知三边用余弦定理。
（二）已知两边（一角）1例2、在⑴a = ⑵a = ⑶a = ⑷a = ⑸a =⑵，即时，有唯一解B=90°；1B sin =b A sin a = ⑶，即时，1B sin <b A sin a < ①若，则，有两解；a b >A B > ②若，则，有一解；a b <A B < ③若，则，有一解。
a b =A B =综上：⑴无解：；⑵两解：；⑶一解：或。
1B sin >⎩⎨⎧><a b 1B sin 1B sin =⎩⎨⎧≤<a b 1B sin例3、在ΔABC 中，，，B=45°，若这个三角形有两解，则x 的取值范围是_____________。
x a =2b =例4、在方法小结：2例5、在方法小结：例6、在方法小结：（四）综合1、如图，在ΔABC 中，D 是边AC 上的点，且AB=AD ，2AB=BD ，3BC=2BD ，则的值为（）C sin A ．B ．C ．D ．33633666ABC题12、在△ABC 中，D 为BC 边上一点，BC ＝3BD ，AD ＝，2∠ADB ＝135°，若AC ＝AB ，则BD ＝_______。
2方法小结：求角或求边必须先找到一个适当的三角形：①包含所求角或边；②条件尽可能充足（三个或以上）。
练：1、在2、在3、在DC=6，求二、边角转换，只留一类。
三角形中有些问题会需要转换边角类型来解决，一般情况下（少数问题除外），转换后的表达式最好只保留边或角的一种类型。
例7、在ΔABC 中，若，则ΔABC 的形状一定是（ ）C sin A sin B cos 2=A ．等腰直角三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等边三角形ABDC题2例8、在ΔABC 中，已知，则ΔABC 的形状为()()C cos a b C sin B cos a c B sin -=-_______________________。
6.4.3余弦定理与正弦定理课件(人教版)
所以bc＝b2＋c2－bc，即(b－c)2＝0，
所以b＝c，结合A＝60°可得△ABC一定是等边三角形.
正弦定理
思考：怎么解决AAS型的解三角形问题？
例.在ABC中，已知角 A, B, 边a, 求边b.
A
c
b
C
a
B
b
a
若ABC为直角三角形，有 sin B, sin A
bsin C 72
2
sin B＝ c ＝50sin C>sin C＝ 2 .
所以B>45°，所以B＋C>180°，故三角形无解.
反思感悟
(2)在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径
画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形
解的个数，解的个数见下表：
A为钝角
A为直角
所以
b 2 c 2 a 2 2ca cosC
余弦定理——向量法
余弦定理的文字描述：三角形中任何一边的平方，等于其他两
边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. 即
a b c 2bc cos C
2
2
2
b c a 2ca cos C
2
2
2
c a b 2ab cos C
C
B
图6.4-8
| c |2 (a b) (a b) a a b b 2a b a 2 b 2 2 | a | | b | cos C
c 2 a 2 b 2 2ab cosC
同理可得 a 2 b 2 c 2 2bc cosC
高中数学 正余弦定理解三角形 教师版
【教师备案】在初中的时候，我们就学过解直角三角形，解直角三角形是怎么回事呢？在直角三角形中，除了告诉我们直角外，还有5个要素，我们发现，如果解这个三角形，把要素都求出来，必须要知道至少2个要素，当然不能为2个角，换言之，解直角三角形就是知二求三的过程.当然，在我们学习了任意角的三角函数之后，我们的视野不能这么小，如果给我们一个一般的三角形，那我们应该如何解这个三角形呢？我们应该至少要知道几个量？我们先来回顾一下初中边和角相关的东西，我们在初中学过尺规作图，而且学过三角形全等的证明（SSS SAS ASA AAS ，，，），只要给出上述条件我们就能把三角形确定，也就是全等. 那么，为什么我们知道2条边1个夹角就能求出其他要素呢？而知道两条边和一边的对角就无法证明三角形全等呢？三角形的边和角之间存在什么关系呢？尺规作图毕竟是定性的感受，在高中阶段，我们可以给出一个严格的证明，就是今天我们要讲的正余弦定理.正余弦定理的本质就是构造边与角之间的关系，由角就可以求出边，由边就可以求出角.下面我们就先来介绍正弦定理.知识切片我会解三角形你会么？在ABC △中的三个内角A ，B ，C 的对边分别用a b c ，，表示： 1．正弦定理：在三角形中，各边的长和它所对的角的正弦的比相等，即sin sin sin a b cA B C==． 【教师备案】 正弦定理的推导由三角形中的线段关系或者由三角形的外接圆可以直接得到，且2sin sin sin a b cR A B C ===，其中R 为ABC △的外接圆的半径．建议老师用三角形的外接圆给学生证明，因为板块1.4中讲三角形面积的时候还会用到三角形的外接圆，所以不如这时给学生讲了.利用三角形中的线段关系证明正弦定理：①在R t ABC △中（如图），有sin sin a bA B c c==，，因此sin sin a b c A B ==，又因为sin 1C =，所以sin sin sin a b cA B C== ②在锐角ABC △中（如图），作CD AB ⊥于点D ，有sin CDA b =，即sin CD b A =；sin CDB a=，即sin CD a B =，因此 sin sin b A a B =，即sin sin a b A B =，同理可证sin sin a c A C=，因此sin sin sin a b cA B C== ③在钝角ABC △中（如图），作CD AB ⊥，交AB 的延长线于点D ，则sin CDA b =，即sin CD b A =；()sin 180sin CDB B a =-=，即sin CD a B =，因此sin sin b A a B =，即sin sin a b A B =，同理可证sin sin a cA C=，因此sin sin sin a b cA B C== 利用平面几何知识证明正弦定理：如图所示，设O 为ABC △的外接圆的圆心，连BO 并延长交O 于A '，连A C '，则A A '= 或πA A '=-，∴sin sin 2BC a A A A B R '==='，即2sin aR A =，同理可证2sin sin b c R B C ==，故有2sin sin sin a b cR A B C=== 当ABC △是钝角三角形时，类似地得出上述结论. 利用向量知识证明正弦定理：①当ABC △是锐角三角形时，过A 点作单位向量i 垂直于AB ， 如图，∵AC AB BC =+, ∴()i AC i AB BC i AB i BC i BC ⋅=⋅+=⋅+⋅=⋅， ∴()()cos 90cos 90b A a B -=-，得sin sin b A a B =，1.1正弦定理与其在解三角形中的应用知识点睛iCAc b a DCB A c b aDCB AC B Ac bOA 'C A得sin sin a bA B= ②当ABC △为钝角三角形时，类似地得出上述结论2．利用正弦定理解三角形⑴解三角形：三角形的三个内角和它们的对边分别叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．⑵利用正弦定理可解下列两类型的三角形：①已知三角形的任意两个角与一边，求其它两边和另一角；【教师备案】有了正弦定理之后，我们可以简单的看出，任意的两个角与一边相当于AAS 和ASA 的条件，可以确定所有的角，然后可以确定所有的边，因此，三角形也随之确定.②已知三角形的两边与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其它的边与角．【教师备案】1.已知三角形的两边和一边的对角，由正弦定理可以求得另一边的对角的正弦值，但是解三角形时，因为在(0,π)内，互补的角的正弦值相等，所以求得另一边所对的角的正弦值之后，可能对应有一个角或两个角，因此无法确定三角形的形状，这就是为什么SSA 无法证明三角形全等的原因.2.利用正弦定理证明三角形中“大边对大角”的结论：①当ABC △为锐角三角形时，若a b >，则sin sin A B >，又π02A B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，正弦函数在此区间内单调递增，故A B >；②当ABC △为钝角三角形时，若A 为钝角，则由πA B +<得，πB A <-，又ππ02A B ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，，，故由正弦函数的单调性知：()sin sin πsin B A A <-=，从而由正弦定理知：b a <．对直角三角形，此结论显然成立，故综上知，在任意三角形中，均有大边对大角．3.此时，到底取一个角还是取两个角，关键保持一个原则“大边对大角”.具体讨论如下：已知,a b 和角A ，若B 为钝角或直角，则C 至多有一个解； 若B 为锐角，得分情况讨论，如图：无解的情况例如：3460b c B ===︒，，，求C ． 由sin sin b c B C=sin 4sin 60sin 13c B C b ︒⇒==>， ∴C 无解，从而满足此条件的三角形不存在．这就是sin c B b >的情况．【教师备案】在讲利用正弦定理解三角形时，对于边角互化和利用边角互化判断三角形形状的题型建议放到同步去讲，本板块只讲利用正弦定理解两种类型三角形，在讲完“已知两角和任一边解三角形”后就可以让学生做例1；在讲“已知两边和其中一边的对角解三角形”时一定要注意三角形的多解问题，具体的多解见考点2的【教师备案】，讲完多解问题后就可以让学生做例2的铺垫以及例2.b sin A<a<b , 两解一解考点1：已知两角和任一边解三角形【例1】 已知两角和任一边解三角形⑴ 已知ABC △中，a b c ，，分别是A B C 、、的对边，3c =，60A =︒，45C =︒， 则a =_______.⑵在ABC △中，30B =︒，45C =︒，1c =，则b =_______；三角形的外接圆半径R =_______. ⑶在ABC △中，已知8a =，60B =，75C =，则b =_______. 【解析】⑴322 ⑵22；22已知30B =，45C =，1c =，由正弦定理得：2sin sin b cR B C==， 所以sin 1sin 302sin sin 452c B b C ⋅===，1122sin sin 4522c R C ====,22R =⑶46由60B =，75C =，知45A =，再由正弦定理有846sin 45sin 60bb =⇒=考点2：已知两边和其中一边的对角解三角形【铺垫】根据下列条件解三角形：①6031A a b ===，，；②3012A a b ===，，；③30610A a c ===，，； ④150105A a c ===，，，其中有唯一解的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【解析】C ①3sin 32b A =<，又31>∵，∴有唯一解；②sin 2sin301b A ==，∴有唯一解；③sin 10sin305610c A ==<<，∴有两解；④有唯一解.【例2】 已知两边和一边对角解三角形⑴在ABC △中，已知4522A a b ===，，，则B =_______.⑵已知ABC △中，a b c ，，分别是A B C 、、的对边，222345a b A ===︒，，， 则B =_______.⑶已知ABC △，三个内角A B C ，，的对边分别记为a b c ，，，若245c x b B ===︒，，，且这个 三角形有两解，求x 的取值范围． ⑷（目标班专用）（2010山东卷理数）在ABC △中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，若2a =，2b =，sin cos 2B B +=，则角A 的大小为 ．【解析】⑴30 根据正弦定理得：sin sin a b A B =，∴sin 2sin 451sin 22b A B a ⋅===，b a <∵，B A <∴， B ∴为锐角，即30B = ⑵60或120经典精讲由正弦定理得，sin 23sin 453sin 222b A B a ===，∵sin b A a b <<，∴这个三角形有两组解，即60B =或120. ⑶ 由正弦定理可得：sin sin c b C B =，解得：2sin 4xC =，由于三角形有两解，又45B =︒， 则45135C <<︒且90C ≠，则2sin 12C <<，即22124x<<，解得222x <<．【点评】 本题的⑶也可用以下方法解，当sin c B b c <<，即sin 2x B x <<时，对应两个C 的值，方程有两组解，解得222x <<．⑷ π6由sin cos 2B B +=平方得12sin cos 2B B +=，即sin 21B =，因为0πB <<，所以π4B =．又因为22a b ==，，所以在ABC △中，由正弦定理得：22sin sin A B =，解得1sin 2A =． 又a b <∵，所以AB <，所以π6A =．【点评】 易错点：忽略a b <A B ⇒<的隐藏条件．多解．【教师备案】在正弦定理中，我们还有两种类型的全等没有讨论，SAS 和SSS 型，正弦定理处理的是对边对角的情形，仅仅用正弦定理是很难把三角形求解出来的，因此，我们需要一个新的工具，能够把边的条件化成角，就是下面所介绍的余弦定理.1．余弦定理：三角形任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即：2222222222cos ,2cos ,2cos .c a b ab C b a c ac B a b c bc A ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 它的变形为：222222222cos ,2cos ,2cos .2a b c C ab a c b B ac b c a A bc ⎧+-=⎪⎪⎪+-=⎨⎪⎪+-=⎪⎩<教师备案> 余弦定理的推导可以由三角形的向量运算直接得到，比如：2222()()2a BC BA AC BA AC BA BA AC AC ==+⋅+=+⋅+()22222cos π2cos c bc A b c bc A b =+-+=-+．也可以通过坐标法及两点距离公式得到．建立合适的坐标系，如图，得()()()cos sin 000A b C b C B a C ，，，，，， 从而有22(cos )(sin )AB c b C a b C ==-+，整理得：2222cos c a b ab C =+-.也可以通过三角形中的线段关系证明：在ABC △中，已知边a b ，及C ∠（为了方便起见，假设C ∠为最大的角），求边c 的长证明：当90C ∠=时，那么222c a b =+1.2余弦定理及其在解三角形中的应用知识点睛bxyB C A (b cosC , b sinC)当90C ∠≠时，如图，无论C ∠为锐角还是为钝角，都过A 点做边BC 的高，交BC （或延长线）于点D ，这时高AD 把ABC △分成两个直角三角形ADB 和ADC ， 则sin AD b C =，cos BD a b C =-，在Rt ADB △中，运用勾股定理，得 ()222222sin cos c AD BD b C a b C =+=+-222cos a b ab C =+-2．余弦定理及其变形常用来解决这样两类解三角形的问题： ①已知两边和任意一个内角解三角形； ②已知三角形的三边解三角形．【教师备案】老师在讲完余弦定理后，可以就SSS 和SAS 型的全等证明做个简单讲解，这样子整个讲义的主线就串在一起.然后，可以让学生做【铺垫】，【铺垫】是直接套公式的，做完【铺垫】就可以做例3，例3是灵活的运用余弦定理解三角形，在解题过程中需要转化的；学生在能够灵活运用余弦定理后，就可以讲考点4，用余弦定理判断三角形形状，在三角形中，因为每个角都在()0π，内，所以一个角的正弦不能判断这个角是锐角还是钝角，但是余弦就能很快的判定是锐角还是钝角，在三角形中，当cos 0α>时，α为锐角；当cos 0α<时，α为钝角；当cos 0α=时，α为直角；考点4的【铺垫】是直接根据三角形的三条边判断三角形形状的，老师可以让学生先体会一下怎么样用余弦判定三角形形状，例4是已知三角形形状，求边的取值范围的，在解题过程中要注意用余弦定理和构成三角形的条件.考点3：用余弦定理解三角形【铺垫】⑴在ABC △中，5a =，8b =，60C =︒，则c =_______．⑵在ABC △中，222a b c bc =++，则A 等于（ ）．A ． 60B ． 45C ．120 D ． 30 【解析】⑴ 7 由余弦定理2222cos 25644049c a b ab C =+-=+-=，∴7c =． ⑵C∵2222222()1cos 222b c a b c b c bc A bc bc +-+-++===-∵0180A <<，∴120A =．【例3】 余弦定理解三角形⑴在ABC △中，5a =，8b =，7c =，则sin C =_______．⑵在ABC △中，已知3sin 5A =，sin cos 0A A +<，35a =，5b =，则c =______.⑶在ABC △中，若1378cos 14a b C ===，，，则最大角的余弦是( )． A ．15- B ．16- C ．17- D ．18-【解析】⑴32经典精讲abcABCDD cbaCBA由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，∴1cos 2C =，3sin 2C =． ⑵∵sin cos 0A A +<，且3sin 5A =，24cos 1sin 5A A =--=-∴，又∵35a =，5b =，2222cos a b c bc A =+-，∴()2224355255c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭，即28200c c +-=，解得2c =或10c =-（舍），∴2c = ⑶ C由2222cos c a b ab C =+-，∴3c =，则b a c >>，∴最大角为B ，∴2221cos 27a cb B ac +-==-考点4：用余弦定理判断三角形形状【教师备案】最大角定三角形的形状，由余弦定理易得，较小两边的平方和与最大边的平方的差可以定最大角是锐角、直角或钝角．注意:三角形三边关系应满足的为:较小两边的和大于 第三边．【铺垫】在ABC △中，已知5a =，6b =，7c =，则此三角形是一个 三角形．【解析】锐角三角形 c b a >>∵,∴角C 为最大角，2221cos 025a b c C ab +-==>∴，∴角C 为锐角，∴三角形为锐角三角形 【例4】 判断三角形形状⑴ 若以34x ，，为三边组成一个直角三角形，则x 的值为 ． ⑵ 若以34x ，，为三边组成一个锐角三角形，则x 的取值范围为 ． ⑶ 若以34x ，，为三边组成一个钝角三角形，则x 的取值范围为 ． 【追问】我们还可以考虑，当我们知道三角形两边的情况下，求某一个角的取值范围，例如下面这个问题：已知ABC △中，12AB BC ==，，则C ∠的取值范围是________________⑷ （目标班专用）已知三角形的三边长为三个连续自然数, 且最大角是钝角.求这个三角形三边的长. 【解析】 ⑴ 5722234x +=或22234x +=．⑵)75依题意有:22217434x x x ⎧<<⎪>⎨⎪+>⎩或22217434x x x ⎧<<⎪⎨⎪+>⎩≤75x <．⑶ (()1757，∪， 解法一：依题意有:22217434x x x⎧<<⎪>⎨⎪+<⎩或22217434x x x ⎧<<⎪⎨⎪+<⎩≤解得57x <<或17x <<．解法二：本题也可以由函数的图象来解决，如图，设圆的半径3OA =， 4OB =，圆上任取一点与O B ，两点构成三角形，从图形上看 出，当圆上的点在点D 和点E 上时，构成直角三角形；当点 在DE 上时，构成锐角三角形；当点在AD 和EG 上时，构成 钝角三角形.由此可以很快得出答案.【追问】π06⎛⎤ ⎥⎝⎦，⑷设三角形三边的长为：()12n n n n *++∈N ，，最大角为α，∴222(1)(2)cos 2(1)n n n n n α++-+=+，∵α是钝角，∴cos 0α<，∴222(1)(2)02(1)n n n n n ++-+<+，2(1)0n n +>∵，∴222(1)(2)0n n n ++-+<∴2230n n --<，∴13n n *-<<∈N ，∵，1n =∴或2. 当1n =时，123，，不能构成三角形的三边，故舍去. 当2n =时，234，，即为所求三边的长.【拓展】⑴钝角三角形的三边分别是12a a a ++，，，其最大角不超过120，求a 的取值范围. ⑵在ABC △中，若三条边是三条连续的正整数，且最大角是最小角的2倍，求ABC △的三条边长.【解析】 ⑴∵钝角三角形的三边分别是12a a a ++，，，∴显然有210a a a +>+>>，设钝角三角形 的最大的（内）角为α，依题意，得90120α<≤，由()()()()()()22212313cos 21212a a a a a a a a a a a α++-+-+-===++，可得13022a a--<≤， 解得332a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，⑵设最小内角为θ，三边长为11n n n -+，，，根据正弦定理得：11sin sin 2n n θθ-+=， 112cos n n θ+-=∴，()1cos 21n n θ+=-∴，根据余弦定理得：()()()22211cos 21n n n n n θ++--=+，()()()()2221112121n n n n n n n ++--+=-+∴，解得5n =，从而得ABC △的三条边分别为456，，GFEDCBAO1.正弦定理灵活应用：①2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C = (其中R 为ABC △的外接圆的半径)；②sin2a A R =，sin 2b B R =，sin 2cC R=；③::sin :sin :sin a b c A B C =． 2.正余弦定理的综合应用已知条件 应用定理 一般解法一边和两角（如a B C ，，） 正弦定理 由πA B C ++=，求角A ；由正弦定理求出b 与c ．两边和夹角 （如a b C ，，） 余弦定理 正弦定理 由余弦定理求第三边c ；由正弦定理求出小边所对的角(此角一定是锐角)；再由πA B C ++=，求剩下的角.三边（a b c ，，） 余弦定理正弦定理由余弦定理求出最大角，然后正弦计算剩余两角． 两边和其中一边的对角 （如a b A ，，） 正弦定理余弦定理 由正弦定理求出角B ；由πA B C ++=，求出角C ；再利用正弦定理或余弦定理求c ．【教师备案】本板块主要讲正余弦定理在解三角形中的灵活应用，尤其是正弦定理的灵活运用，根据正弦定理可以得到三角形的边与角之间的关系，可以把角全部换成边，也可以把边全部换成角，【铺垫】就是根据正弦定理把边用角表示，例5是先要根据正弦定理把边角化掉再根据余弦定理解三角形，此类题型不属于边角互化题型，是正弦定理的灵活运用，边角互化的题型是比如“2sin a b A =”类型的，对于这类题我们放到同步去讲；在讲完正余弦定理的灵活运用后就可以让学生体会一下正余弦定理在平面几何中的应用，因为在同步的时候不会讲此类题型，所以在预习的时候可以给学生介绍一下，具体见例6和目标班学案2，而对于三角形中()sin sin A B C +=的应用建议放到同步去讲.【铺垫】在ABC △中，若::1:2:3A B C =，则::a b c =______.【解析】 由已知得306090A B C ===，，，::sin :sin :sin 1:3:2a b c A B C ==∴【例5】 正余弦定理的综合运用⑴在ABC △中，若sin :sin :sin 3:2:4A B C =，则cos C 的值为（ ）A ．14-B ．14C ．23-D ．23⑵在ABC △中，若222sin sin sin A B C +<，则角C 为（ ）A ．锐角B ．钝角C ．直角D ．不确定【追问】在ABC △中，若cos cos cos a b cA B C==，则ABC △是（ ） A .直角三角形 B .等边三角形C .钝角三角形D .等腰直角三角形 ⑶（2010天津理7）在ABC △中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若223a b bc -=，sin 23sin C B =，则A =（ ）A ．30B ．60C ．120D ．1501.3正余弦定理在解三角形中的灵活应用经典精讲知识点睛【解析】⑴A 根据正弦定理sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2cC R=，sin :sin :sin ::3:2:4A B C a b c ==∴，2223241cos 2324C +-==-⨯⨯∴⑵B222sin sin sin A B C +<∵，∴根据正弦定理得222a b c +<，222cos 02a b c C ab+-=<∴，∴角C 为钝角 【追问】B ⑶A由sin 23sin C B =，根据正弦定理，得23c b =.所以22236a b bc b -==，即227a b =.由余弦定理得2223cos 22b c a A bc +-==.所以30A =︒.【例6】 正余弦定理在平面几何中的应用⑴ 在平行四边形ABCD 中，3AB =，5BC =，6AC =，求BD⑵ 在ABC △中，已知4AB =，7AC =，BC 边上的中线7AD =，那么BC = ．⑶ （目标班专用）在ABC △中，已知46AB =6cos ABC ∠=，AC 边上的中线5BD ，求sin A 的值【解析】 ⑴如图，在ABC △中，2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅，即222635235cos B =+-⋅⋅ ①在ABD △中，2222cos BD AB AD AB AD A =+-⋅，即22235235cos BD A =+-⋅⋅ ② ①+②得：()22226235BD +=+，即42BD =【点评】由本题可以得出平行四边形定理：平行四边形的对角线平方之和等于四条边长平方之和⑵ 解法一：如图：设BD x =，则2BC x =，DC x =，∵πADB ADC ∠=-∠,cos cos ADB ADC ∠=-∠∴，由余弦定理，得222222774722772222x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-⋅⋅⋅⋅，解得92x =，9BC =∴ 解法二：由平行四边形定理得：()2222247781BC =+-=，9BC =∴⑶ 如图：设E 为BC 的中点，连接DE ，则DE AB ∥，且1262DE AB ==BE x =，在BDE △中利用余弦定理可得： 2222cos BD BE ED BE ED BED =+-⋅∠，()()6cos cos πcos πcos BED DEC ABC ABC ∠=-∠=-∠=-∠=∵28266523x =++∴，解得1x =或73x =-（舍），故2BC =，从而222282cos 3AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠=，即DA 72xx745463DCADCB A2213AC =, 又30sin 6ABC ∠=∵，故22123sin 306A =，70sin 14A =∴【教师备案】因为三角形的面积和正余弦定理关系不是特别紧密，而且到本讲结束，三角形的面积公式已经全部讲完，所以把三角形的面积单独做一个板块，老师可以把所有的三角形面积公式给学生讲一下. 面积公式：()11111sin sin sin 222224a abcS ah a b c r ab C bc A ac B R ==++====．其中r 为ABC △内切圆半径，R 为外接圆半径.【教师备案】在求三角形的面积时，学生印象最深的就是12a ah ，那这个时候老师就可以根据12a ah 推导其它公式，并且老师可以在这里把三角形的面积公式全部给学生整理一下，但是本讲重点是介绍1sin 2S ab C =类型的三角形面积公式，如果学生的程度很好，老师可以介绍一下“海伦公式”和圆内接四边形面积公式.【选讲】海伦公式：()()()S p p a p b p c =---，其中2a b cp ++=. 【推导】 ()2222222111sin 1cos 12224a b c S ab C ab C ab a b+-==-=- ()()()2222222222221142244a b a b c ab a b c ab a b c =-+-=++---+()()()()()()22221144a b c c a b a b c a b c a c b b c a ⎡⎤⎡⎤=+---=+++-+-+-⎣⎦⎣⎦ 令()12p a b c =++，则()()()S p p a p b p c =---圆内接四边形面积：()()()()S p a p b p c p d =----，其中2a b c dp +++=. 【推导】由()22222cos 2cos πa b ab c d cd θθ+-=+--，可得2222cos 22a b c d ab cdθ+--=+()()222222222sin 1cos 22ab cd a b c d ab cdθθ+-+--=-=+()()()()=22b c d a a c d b a b d c a b c d ab cd++-++-++-++-+1.4三角形的面积知识点睛CB A c b aDC BAπ-θθd cba(){}()11sin sin πsin 22S ab cd ab cd θθθ=+-=+ ()()()()()()()()1=42222b c d a a c d b a b d c a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d p a p b p c p d ++-++-++-++-++++++++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---- ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=----【教师备案】老师在讲完三角形的面积后就可以让学生做【铺垫】，【铺垫】是直接利用公式求三角形面积的，例7不能够直接利用公式求三角形面积，需要先看在面积公式中缺少哪些变量，然后再根据题中的已知条件利用正余弦定理求出所需要的变量，最后再利用面积公式就可以了.第三题放了一道关于圆内接四边形面积的题目，供老师选择使用；例8是已知三角形面积解三角形，在解题过程中会用到正余弦定理，对于求面积的最大值的问题建议放到同步，因为在求最大值的问题时大多数要用到均值定理，学生这时候还没学，所以建议以后再讲.【铺垫】 在ABC △中，若5AB =，7BC =,33sin 14B =，求ABC △的面积. 【解析】 ∵5AB =，7BC =,33sin 14B =， 1133153sin 5722144ABCS AB BC B =⋅⋅=⨯⨯⨯=△∴【例7】求面积⑴ 已知ABC △，三个内角,,A B C 的对边分别记为a b c ，，，43460b c B ===︒，，，求ABC S △． ⑵ 已知ABC △，三个内角,,A B C 的对边分别记为a b c ，，，若234a b c ===，，，求ABC S △． ⑶（目标班专用）已知：四边形ABCD 内接于圆O ，四边长依次为2,7,6,9，求圆直径. 【解析】⑴ 分析:三角形的已知条件为常见的SSA 型．根据条件有两种思路求三角形的面积: 11sin sin 22ABC S bc A ac B ∆=⋅=⋅．所以欲求三角形面积需要先求A 或先求a ．方法一:由正弦定理知sin sin b cB C =，sin 4sin 601sin 243c B C b ︒===， 因为C 是三角形的一个内角，故30C ︒=或150︒， 又60B ︒=，故30C ︒=．180603090A ︒︒︒︒=--=，从而1832ABC S bc ∆==．方法二:由余弦定理得222cos 2a c bB ac +-=，即24320a a --=．()()480a a +-=．因为0a >，所以8a =．1sin 832ABC S ac B ∆=⋅=．⑵ 要求面积，先求一个角，已知三边，可以用余弦定理求一角：222416911cos 21616a cb B ac +-+-===，经典精讲∴2315sin 1cos 16B B =-=， ∴113153sin 241522164ABC S ac B ∆==⋅⋅⋅=． ⑶85.【铺垫】已知ABC △的三边长分别为a b c ，，，且面积()22214ABC S b c a =+-△，则A 等于（ ） A ．45 B ．30 C ．120 D ．15【解析】 A()2221112cos cos 442ABC S b c a bc A bc A =+-=⨯=△，又1sin 2ABC S bc A =△∵，sin cos A A =∴，45A =∴【例8】 已知三角形面积解三角形ABC △中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，22sin 3cos C C =，7c =，又ABC △的面积为332， 求⑴角C 的大小；⑵a b +的值【解析】⑴由已知得()221cos 3cos C C -=，1cos 2C =∴或cos 2C =-（舍）， ∴在ABC △中，60C =⑵133sin 22ABC S ab C ==△∵，133sin 6022ab =∴，6ab =∴，又2222cos c a b ab C =+-∵，()22272cos a b ab C =+-∴，227a b ab +-=∴，2213a b +=∴，222255a b a b ab +=++==∴【演练1】 （2010北京卷文理10）在ABC △中，若2π133b c C ==∠=，，，则________a = 【解析】1 方法一: 由余弦定理222cos 2a b c C ab+-=得， 220a a +-=．∵0a >，∴1a =．方法二: 由正弦定理sin sin b c B C =得，1sin 2B =，π6B =或5π6，又因为b c <，即B C <， 所以π6B =，∴2ππππ366A =--=．∴1a b ==．【演练2】 在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若()222tan 3a c b B ac +-=，则角B 的值为（ ）．实战演练A ．π6 B ． π3 C ．π6或5π6 D ． π3或2π3【解析】D由余弦定理2222cos a c b ac B +-=及()222tan a c b B +-得， sin B =． 所以π3B =或2π3．【演练3】 在ABC △中，已知222sin sin sin sin B C A A C --=，则角B 的大小为（ ）A ．150︒B ．30︒C ．120︒D ．60︒ 【解析】A由222sin sin sin sin B C A A C --及正弦定理可得222b c a --=即得222cos 2a c b B ac +-==，∴150B =︒．【演练4】 在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别是a b c ，，，1tan 2A =，cos B = 若ABC △最长的边为1，则最短边的长为（ ）．A B C D 【解析】D由cos B =B 为锐角，∴1tan 3B =，故()()tan tan πtan C A B A B =--=-+tan tan 11tan tan A BA B+=-=--⋅①， 由①知135C ∠=︒，故c 边最长，即1c =，又tan tan A B >，故b 边最短，∵sin B =，sin C =sin sin b c B C =，∴sin sin c B b C ==【演练5】（2011西城一模文15） 设ABC △的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且4cos 5B =，2b =． ⑴ 当30A =︒时，求a 的值；⑵ 当ABC △的面积为3时，求a c +的值．【解析】 ⑴ 因为4cos 5B =，所以3sin 5B =，由正弦定理sin sin a b A B =，可得10sin303a =︒，所以53a =．⑵ 因为ABC △的面积1sin 2S ac B =，3sin 5B =，所以3310ac =，10ac =．由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得222284165a c ac a c =+-=+-，即2220a c +=．所以2()220a c ac +-=，2()40a c +=，所以，a c +=概念要点回顾1.正弦定理公式；余弦定理公式22a b+-= .2.三角形面积公式S=.盲人数学家——欧拉1783年9月18日，法国人蒙高尔费兄弟举行了第二次热气球升空试验。
高中《正弦和余弦定理》数学教案4篇
高中《正弦和余弦定理》数学教案4篇教案是讲课的前提，是讲好课的基础，教案则备课的具体表现形式。
它可以反映教师在整个教学中的总体设计和思路尤其是教学态度认真与否的重要尺度。
以下是小编为大家整理的高中《正弦和余弦定理》数学教案，感谢您的欣赏。
高中《正弦和余弦定理》数学教案1教学目标进一步熟悉正、余弦定理内容，能熟练运用余弦定理、正弦定理解答有关问题，如判断三角形的形状，证明三角形中的三角恒等式.教学重难点教学重点：熟练运用定理.教学难点：应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化.教学过程一、复习准备：1.写出正弦定理、余弦定理及推论等公式.2.讨论各公式所求解的三角形类型.二、讲授新课：1.教学三角形的解的讨论：①出示例1：在△ABC中，已知下列条件，解三角形.分两组练习→讨论：解的个数情况为何会发生变化②用如下图示分析解的情况.(A为锐角时)②练习：在△ABC中，已知下列条件，判断三角形的解的情况.2.教学正弦定理与余弦定理的活用：①出示例2：在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC=6∶5∶4，求角的余弦. 分析：已知条件可以如何转化→引入参数k，设三边后利用余弦定理求角.②出示例3：在ΔABC中，已知a=7，b=10，c=6，判断三角形的类型.分析：由三角形的什么知识可以判别→求角余弦，由符号进行判断③出示例4：已知△ABC中，，试判断△ABC的形状.分析：如何将边角关系中的边化为角→再思考：又如何将角化为边3.小结：三角形解的情况的讨论;判断三角形类型;边角关系如何互化.三、巩固练习：3.作业：教材P11B组1、2题.高中《正弦和余弦定理》数学教案2一)教材分析(1)地位和重要性：正、余弦定理是学生学习了平面向量之后要掌握的两个重要定理，运用这两个定理可以初步解决几何及工业测量等实际问题，是解决有关三角形问题的有力工具。
(2)重点、难点。
重点：正余弦定理的证明和应用难点：利用向量知识证明定理(二)教学目标(1)知识目标：①要学生掌握正余弦定理的推导过程和内容;②能够运用正余弦定理解三角形;③了解向量知识的应用。
(完整版)正余弦定理教案
正弦定理和余弦定理安勤辉一。
教学目标:1知识与技能:认识正弦、余弦定理,了解三角形中的边与角的关系2过程与方法：通过具体的探究活动,了解正弦、余弦定理的内容，并从具体的实例掌握正弦、余弦定理的应用情感态度与价值观:通过对实例的探究,体会到三角形的和谐美,学会稳定性的重要二. 教学重、难点：1. 重点:正弦、余弦定理应用以及公式的变形2。
难点：运用正、余弦定理解决有关斜三角形问题。
知识梳理1．正弦定理和余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b,c,则(1)S＝错误!ah(h表示边a上的高)．(2）S＝错误!bc sin A＝错误!ab sin C＝错误!ac sin B。
(3)S＝错误!r(a＋b＋c)(r为△ABC内切圆半径）问题1:在△ABC中,a＝错误!，b＝错误!，A＝60°求c及B C问题2在△ABC中，c=6 A=30° B=120°求a b及C问题3在△ABC中,a＝5，c＝4，cos A＝错误!，则b＝通过对上述三个较简单问题的解答指导学生总结正余弦定理的应用;正弦定理可以解决(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角余弦定理可以解决（1）已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两角我们不难发现利用正余弦定理可以解决三角形中“知三求三”知三中必须要有一边应用举例【例1】(1)(2013·湖南卷)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a,b。
若2a sin B＝错误! b，则角A等于 ( ）．A.错误! B。
错误! C。
错误! D.错误!(2)（2014·杭州模拟）在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a，b，c,若a＝1，c＝4错误!，B ＝45°,则sin C＝______.解析(1）在△ABC中,由正弦定理及已知得2sin A·sin B＝错误!sin B，∵B为△ABC的内角，∴sin B≠0。
正弦定理、余弦定理精讲精析(解析版)
正弦定理、余弦定理精讲精析点点突破热门考点01 正弦定理正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为： a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R 等形式，以解决不同的三角形问题．面积公式S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B【典例1】（2019·全国高考真题（文））ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin A +a cos B =0，则B =___________. 【答案】34π. 【解析】由正弦定理，得sin sin sin cos 0B A A B +=．(0,),(0,)A B ∈π∈π，sin 0,A ∴≠得sin cos 0B B +=，即tan 1B =-，3.4B π∴=故选D ． 【典例2】（2020·江苏省高考真题）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,2,45a c B ===︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．【答案】（1）5sin C =；（2）2tan 11DAC ∠=.【解析】（1）由余弦定理得22222cos 9223252b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，所以5b =. 由正弦定理得sin 5sin sin sin 5c b c B C C B b =⇒==. （2）由于4cos 5ADC ∠=-，,2ADC ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以23sin 1cos 5ADC ADC ∠=-∠=.由于,2ADC ππ⎛⎫∠∈⎪⎝⎭，所以0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以225cos 1sin C C =-=. 所以()sin sin DAC DAC π∠=-∠()sin ADC C =∠+∠sin cos cos sin ADC C ADC C =∠⋅+∠⋅325452555⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭. 由于0,2DAC π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以2115cos 1sin DAC DAC ∠=-∠=. 所以sin 2tan cos 11DAC DAC DAC ∠∠==∠.【总结提升】已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a ，b ，A ，则A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系式 a ＜b sin Aa ＝b sin Ab sin A ＜a＜ba ≥ba ＞ba ≤b解的个数无解一解两解一解一解无解热门考点02 余弦定理余弦定理：2222cos a b c ab C +-= ， 2222cos b c a ac A +-= ， 2222cos c a b ac B +-=.变形公式cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，os C ＝a 2＋b 2－c 22ab【典例3】（2020·全国高考真题（理））如图，在三棱锥P –ABC 的平面展开图中，AC =1，3AB AD ==，AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∠CAE =30°，则cos ∠FCB =______________.【答案】14- 【解析】AB AC ⊥，3AB =1AC =，由勾股定理得2BC ==，同理得BD =BF BD ∴==在ACE △中，1AC =，AE AD ==，30CAE ∠=，由余弦定理得2222cos3013211CE AC AE AC AE =+-⋅=+-⨯=， 1CF CE ∴==，在BCF 中，2BC =，BF =1CF =，由余弦定理得2221461cos 22124CF BC BF FCB CF BC +-+-∠===-⋅⨯⨯.故答案为：14-. 【典例4】（2019·北京高考真题（文））在△ABC 中，a =3，–2b c =，cos B =12-．（Ⅰ）求b ，c 的值； （Ⅱ）求sin （B +C ）的值． 【答案】（Ⅰ）7,5b c ==；. 【解析】（Ⅰ）由余弦定理可得2221cos 22a cb B ac +-==-，因为3a =，所以22390c b c -++=；因为2b c -=，所以解得75b c =⎧⎨=⎩.（Ⅱ）由（Ⅰ）知3,7,5a b c ===，所以22213cos 214b c a A bc +-==；因为A 为ABC ∆的内角，所以sin A ==.因为sin()sin()sin B C A A +=π-==. 【总结提升】应用余弦定理解答两类问题：热门考点03正弦定理与余弦定理的综合运用【典例5】（2020·北京高考真题）在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：（Ⅰ）a的值：（Ⅱ）和的面积．条件①：；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）, ；选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）, .【解析】选择条件①（Ⅰ）（Ⅱ）由正弦定理得：选择条件②（Ⅰ）由正弦定理得：（Ⅱ）【典例6】（2019·全国高考真题（理））ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设22-=-．(sin sin)sin sin sinB C A B C（1）求A ；（22b c +=，求sin C ．【答案】（1）3A π=；（2）sin 4C =. 【解析】（1）()2222sin sin sin 2sin sin sin sin sin sin B C B B C C A B C -=-+=- 即：222sin sin sin sin sin B C A B C +-= 由正弦定理可得：222b c a bc +-=2221cos 22b c a A bc +-∴==()0,πA ∈3Aπ（2）22a b c +=sin 2sin A B C +=又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1sin 2sin 2C C C +=整理可得：3sin C C =22sin cos 1C C += (()223sin 31sin C C ∴=-解得：sin C =因为sin 2sin 2sin 0B C A C ==>所以sin C >，故sin C =（2）法二：22a b c +=sin 2sin A B C +=又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1sin 2sin 222C C C ++=整理可得：3sin 63cos C C -=，即3sin 3cos 23sin 66C C C π⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭2sin 62C π⎛⎫∴-=⎪⎝⎭ 由2(0,),(,)3662C C ππππ∈-∈-，所以,6446C C ππππ-==+ 62sin sin()46C ππ+=+=. 【总结提升】应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷就用哪一个定理．热门考点04 应用正弦定理、余弦定理判定三角形形状【典例7】在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，则△ABC 的形状为( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形【答案】D 【解析】因为c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，C ＝π－(A ＋B )，所以由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B ·cos A ， 所以sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ， 所以cos A (sin B －sin A )＝0， 所以cos A ＝0或sin B ＝sin A ， 所以A ＝2π或B ＝A 或B ＝π－A (舍去)， 所以△ABC 为等腰或直角三角形． 【规律方法】1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁．2．无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．注意挖掘隐含条件，重视角的范对三角函数值的限制．热门考点05 与三角形面积有关的问题【典例8】（2018·全国高考真题（文））△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为________．. 【解析】因为sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，结合正弦定理可得sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=， 可得1sin 2A =，因为2228b c a +-=， 结合余弦定理2222a b c bccosA =+-，可得2cos 8bc A =，所以A 为锐角，且cos A =，从而求得bc =，所以ABC ∆的面积为111sin 222S bc A ===.【典例9】（2017·上海高考真题）已知函数()221cos sin 2f x x x =-+，()0,x π∈. （1）求()f x 的单调递增区间；（2）设ABC ∆为锐角三角形，角A 所对边a =，角B 所对边5b =，若()0f A =，求ABC ∆的面积.【答案】（1）[,)2ππ;（2 【解析】（1）函数2211()cos sin cos 2,(0,)22f x x x x x π=-+=+∈ 由222,k x k k Z πππ-≤≤∈，解得,2k x k k Z πππ-≤≤∈1k =时，12x ππ≤≤，可得()f x 的增区间为[,)2ππ（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a =B 所对边b=5， 若()0f A =，即有1cos 202A += 解得223A π=，即3A π= 由余弦定理可得a 2=b 2+c 2﹣2bc cos A ， 化为c 2﹣5c +6=0， 解得c =2或3， 若c =2，则cos 0B =<即有B 为钝角，c =2不成立， 则c =3，△ABC 的面积为11sin 532224S bc A ==⨯⨯⨯=【总结提升】1.求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键． 2．已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解． (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．提醒：正弦定理、余弦定理与三角函数性质的综合应用中，要注意三角函数公式的工具性作用．热门考点06 与三角形周长有关的问题【典例10】（2017课标1，理17）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A（1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长. 【答案】 【解析】【典例11】（2019·江西洪都中学高二月考（理））在ABC △中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且cos 4c A =，sin 5a C =．（1）求边长c ；（2）若ABC △的面积20S =．求ABC △的周长． 【答案】（141（2）8241+【解析】（1）由正弦定理可得：2sin sin sin a b cR A B C===，可得sin sin a C c A =， 因为sin 5a C =，可得sin 5c A =，所以5sin A c=， 又由cos 4c A =，可得4cos A c=，又因为22222516sin cos 1A A c c+=+=，解得c = （2）由题意，ABC ∆的面积1sin 202S ab C ==，sin 5a C =，解得8b =，由余弦定理，可得2222cos 64412841a b c bc A =+-=+-=，解得a =，所以ABC ∆的周长88L a b c =++=+=+【总结提升】应用正弦定理、余弦定理，建立边长的方程，是解答此类问题的基本方法，解答过程中，要注意整体代换思想的应用，如果遇到确定最值问题，往往要结合均值定理求解.热门考点07 三角形中的最值与范围问题【典例12】（2018·江苏高考真题）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为________． 【答案】9 【解析】由题意可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△,由角平分线性质和三角形面积公式得111sin1201sin 601sin 60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得11,1ac a c a c=++=，因此1144(4)()559,c a a c a c a c a c +=++=++≥+=当且仅当23c a ==时取等号，则4a c +的最小值为9.【典例13】（2020·全国高考真题（理））ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C ． （1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.【答案】（1）23π；（2）3+【解析】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB --=⋅，2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅，()0,A π∈，23A π∴=. （2）由余弦定理得：222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB =+-⋅=++⋅=， 即()29AC AB AC AB +-⋅=.22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭（当且仅当AC AB =时取等号）， ()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭，解得：AC AB +≤（当且仅当AC AB =时取等号），ABC ∴周长3L AC AB BC =++≤+，ABC ∴周长的最大值为3+【典例14】（2019·全国高考真题（文））ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sinsin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围．【答案】(1) 3B π=;(2). 【解析】 (1)根据题意sinsin 2A C a b A +=，由正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=，因为0A π<<，故sin 0A >，消去sin A 得sin sin 2A CB +=. 0<B <π，02AC π+<<因为故2A C B +=或者2A CB π++=，而根据题意A BC π++=，故2A C B π++=不成立，所以2A CB +=，又因为A BC π++=，代入得3B =π，所以3B π=. (2)因为ABC 是锐角三角形，由（1）知3B π=，A B C π++=得到23A C π+=，故022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62C ππ<<.又应用正弦定理sin sin a cA C=，1c =， 由三角形面积公式有：222sin()111sin 3sin sin sin 222sin 4sin ABCC a A Sac B c B c B c C Cπ-=⋅=⋅=⋅=22sin cos cos sin 2123133(sin cos )sin 3tan 38tan C C C C C ππππ-==-=又因,tan 623C C ππ<<>,故3188tan 82C <+<，故82ABCS <<. 故ABCS的取值范围是 【总结提升】三角形中的最值范围问题，往往有三种情况，一是转化成三角函数的值域问题，利用三角函数的图象和性质；二是利用基本不等式求最值，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误；三是利用函数的单调性.热门考点08 应用正弦定理、余弦定理解决实际问题【典例15】（2019·上海市金山中学高一月考）如图，在笔直的海岸线l 上有两个观测点A 和B ，点A 在点B 的正西方向，2AB km =．若从点A 测得船C 在北偏东60°的方向，从点B 测得船C 在北偏东45°的方向，则船C 离海岸线l 的距离为______km ．（结果保留根号）【答案】13+ 【解析】如图所示，过点C 作CD AB ⊥，交AB 的延长线与点D ，设CD x =，45CBD BCD ∴∠=∠=， 设BD CD x ==， 又2AB =，2AD AB BD x ∴=+=+，30,tan CDCAD CAD AD︒∠=∠=， 323x x ∴=+， 解得：13x =+所以船C 离海岸线l 的距离为(13)km ， 故答案为：13+【典例16】（2018届山东、湖北部分重点中学高考冲刺（二））我国古代著名的数学家刘徽著有《海岛算经》.内有一篇：“今有望海岛,立两表齐,高三丈,前后相去千步,令后表与前表相直.从前表却行百二十三步,人目著地取望岛峰,与表末参合.从后表却行百二十七步,人目著地取望岛峰,亦与表末参合.问岛高及去表各几何?”请你计算出海岛高度为__________步.（参考译文：假设测量海岛,立两根标杆，高均为5步,前后相距1000步,令前后两根标杆和岛在同一直线上,从前标杆退行123 步, 人的视线从地面(人的高度忽略不计)过标杆顶恰好观测到岛峰,从后标杆退行127步, 人的视线从地面过标杆顶恰好观测到岛峰,问岛高多少？ 岛与前标杆相距多远?）（丈、步为古时计量单位，当时是“三丈=5步”） 【答案】1255步【解析】如图所示，设岛高步，与前标杆相距步，由相似三角形的性质有，解得：，则海岛高度为1255步.【典例17】（2019·海南高一期中）在海岸A 处发现北偏东45︒方向，距A 处()31-海里的B 处有一艘走私船.在A 处北偏西75︒方向，距A 处2海里的C 处的我方缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B 处向北偏东30方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间.【答案】缉私船应沿北偏东60︒的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟. 【解析】如图，设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获走私船（在D 点），则3CD t =海里，10BD t =海里， 在ABC ∆中，由余弦定理，得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅))2212212cos1206=+-⋅⋅⋅︒=，解得=BC 又sin sin BC ACBAC ABC=∠∠，sin sin2AC BAC ABC BC ⋅∠∴∠===45ABC ∴∠=︒，故B 点在C 点的正东方向上，9030120CBD ∴∠=︒+︒=︒，在BCD ∆中，由正弦定理，得sin sin BD CDBCD CBD=∠∠，sin sin BD CBDBCD CD⋅∠∴∠=12==. 30BCD ∴∠=︒，∴缉私船沿北偏东60︒的方向行驶.又在BCD ∆中，120CBD ∠=︒，30BCD ∠=︒，30D ∴∠=︒，BD BC ∴=，即10t =解得t =15≈分钟. ∴缉私船应沿北偏东60︒的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟.【总结提升】1.测量距离问题，归纳起来常见的命题角度有： （1）两点都不可到达； （2）两点不相通的距离；（3）两点间可视但有一点不可到达. 2. 求解高度问题的三个关注点(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是关键．(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题． 3. （1）测量角度问题的基本思路测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．提醒：方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角． （2）解决角度问题的注意事项①测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义． ②求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值．③在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．巩固提升1．（2020·全国高考真题（文））在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则tan B =（ ）A B ．C ．D ．【答案】C 【解析】设,,AB c BC a CA b ===22222cos 916234933c a b ab C c =+-=+-⨯⨯⨯=∴=2221cos sin tan 29a c b B B B ac +-==∴===故选：C2．（2020·全国高考真题（理））在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（ ） A ．19B ．13C ．12 D ．23【答案】A 【解析】在ABC 中，2cos 3C =，4AC =，3BC =根据余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅2224322433AB =+-⨯⨯⨯可得29AB = ，即3AB = 由22299161cos22339AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯故1cos 9B =. 故选：A.3. （2019·上海市金山中学高一月考）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，则“cos cos a A b B =”是“ABC ∆是以A 、B 为底角的等腰三角形”的（ ）. A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件【答案】B 【解析】cos cos a A b B =，根据正弦定理得到：sin cos sin cos sin 2sin 2A A B B A B =∴=故22A B A B =∴=或222A B A B ππ=-∴+=，ABC ∆为等腰或者直角三角形.所以“cos cos a A b B =”是“ABC ∆是以A 、B 为底角的等腰三角形”的必要非充分条件 故选：B4．（2016·全国高考真题（文））△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =，2c =，2cos 3A =，则b=（ ） A ．2 B ．3C ．2D ．3【答案】D 【解析】 由余弦定理得，解得（舍去），故选D.5．（2018·全国高考真题（理））在ABC ∆中，cos 2C =，则AB=（ ）A ．BCD ．【答案】A 【解析】因为223cos 2cos 121,25C C =-=⨯-=-所以22232cos 125215()325c a b ab C c =+-=+-⨯⨯⨯-=∴= A.6．（2012·陕西高考真题（理））在ABC ∆中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为（ ）A B C ．12D ．12-【答案】C 【解析】2221()2c a b =+，由余弦定理得,222221cos 242a b c a b C ab ab +-+==≥当且仅当a b =时取“=”，cos C ∴的最小值为12，选C.7．（2019·吴起高级中学高二期中（文））在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边为a,b,c ，60B =，b =则ABC ∆外接圆的面积是（ ） A ．2π B ．πC ．34πD ．2π 【答案】B 【解析】设ABC △外接圆的半径r ，则22sin sin 60b r B ===，解得1r =， ∴ABC △外接圆的面积21ππ=⨯=，8．（2019·榆林市第二中学高二期中（文））在ΔABC 中，4a =，5b =，A =45°，则此三角形解的情况是( ) A ．两解 B ．一解C ．一解或两解D ．无解【答案】A 【解析】因为4a =，5b =，A =45°,所以由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-,所以290c -+=,解得2c =或2c =, 所以此三角形解有两解. 故选:A .9．（2019·榆林市第二中学高二期中（文））已知△ABC 中，sin sin sin c b Ac a C B-=-+，则B =( ) A ．6πB ．4π C ．3π D ．34π 【答案】C 【解析】 因为sin sin sin c b Ac a C B -=-+,利用正弦定理角化边得c b a c a c b-=-+,所以()()()c b c b a c a -+=-, 所以222c b ac a -=-, 所以222a c b ac +-=,所以222122a cb ac +-=,根据余弦定理可得2221cos 22a cb B ac +-==,因为0B π<<,所以3B π=.10．（2019·陕西高三（理））在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且cos cos sin A B Ca b c+=，若22285b c a bc +-=，则tan B 的值为（ ） A ．13- B ．13C ．3-D ．3【答案】C 【解析】ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，由cos cos sin A B C a b c +=，得：cos cos sin 1sin sin sin A B CA B C +==， 故111tan tan A B+=， 若22285b c a bc +-=，则222425b c a bc +-=，即4cos 5A =．3sin 5A ∴=，故3tan 4A =， 代入111tan tan A B+=，解得tan 3B =-． 故选：C ．11．（2019·四川高三月考（理））已知ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()sin sin sin a b A c C b B -⋅=-，若ABC △的面积为ABC △的周长的最小值为（ ）A ．B ．3+C ．D ．3+【答案】C 【解析】()sin sin sin a b A c C b B -⋅=-,∴222a ab c b -=-,∴222a b c ab +-=,∴222cos 122a b c C ab +-==,∴3C π=, 1sin2S ab C ==∴12ab =,222212c a b ab ab ab =+-≥-=（当且仅当c =时取等号）,∴c ≥∴222()3()36c a b ab a b =+-=+-,∴a b +=，∴a b c c ++=设()f c c =()f c 单调递增,c ≥,∴a b c ++≥=故选：C.12．（2019·全国高考真题（文））△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－14，则bc =（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A 【解析】详解：由已知及正弦定理可得2224a b c -=，由余弦定理推论可得22222141313cos ,,,464224242b c a c c c b A bc bc b c +---==∴=-∴=∴=⨯=，故选A ． 13.（2018·全国高考真题（文））ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的面积为2224a b c +-，则C =（ ）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6【答案】C 【解析】 由题可知222124ABCa b c SabsinC +-==所以2222absinC a b c +-= 由余弦定理2222a b c abcosC +-=所以sinC cosC =()C 0,π∈C 4π∴=故选C.14.（2020·江苏省高考真题）在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC =+-（m 为常数），则CD 的长度是________．【答案】185【解析】∵,,A D P 三点共线， ∴可设()0PA PD λλ=>， ∵32PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，∴32PD mPB m PC λ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，即32m m PD PB PC λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+， 若0m ≠且32m ≠，则,,B D C 三点共线， ∴321m m λλ⎛⎫-⎪⎝⎭+=，即32λ=， ∵9AP =，∴3AD =，∵4AB =,3AC =,90BAC ∠=︒， ∴5BC =，设CD x =，CDA θ∠=，则5BD x =-，BDA πθ∠=-.∴根据余弦定理可得222cos 26AD CD AC xAD CD θ+-==⋅，()()()222257cos 265x AD BD AB AD BD x πθ--+--==⋅-，∵()cos cos 0θπθ+-=，∴()()2570665x x x --+=-，解得185x =，∴CD 的长度为185. 当0m =时， 32PA PC =，,C D 重合，此时CD 的长度为0， 当32m =时，32PA PB =，,B D 重合，此时12PA =，不合题意，舍去.故答案为：0或185.15．（2019·江苏高考真题）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． （1）若a =3c ，b =2，cos B =23，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值． 【答案】（1）3c =；（2）25. 【解析】（1）因为23,2,cos 3a cb B ===， 由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)(2)3c c +-=，即213c =.所以3c =. （2）因为sin cos 2A Ba b=， 由正弦定理sin sin a b A B=，得cos sin 2B Bb b =，所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而25cos B =. 因此π25sin cos 25B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭. 16．（2020·山东海南省高考真题）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】详见解析【解析】解法一：由可得：，不妨设，则：，即.选择条件①的解析：据此可得：，，此时.选择条件②的解析：据此可得：，则：，此时：，则：.选择条件③的解析：可得，，与条件矛盾，则问题中的三角形不存在.解法二：∵,∴,，∴,∴,∴,∴, 若选①，,∵,∴,∴c=1; 若选②，,则,;若选③,与条件矛盾.。
(优质课)正、余弦定理及其应用
BD2 + CD2 - CB2 202 + 212 - 312 1 cosβ = = =- , 2BD·CD 2×20×21 7
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∴sinβ=
4 3 . 7
而sinα=sin(β-60°)=sinβcos60°-sin60°cosβ ° ° °
4 3 1 3 1 5 3 = × + × = , 7 2 2 7 14 21 AD 在△ACD中, 中 = o sin60 sinα
考点三
应用问题
某观测站C在城 的南偏西 由城A出发的一 某观测站 在城A的南偏西 °的方向 由城 出发的一 在城 的南偏西20°的方向,由城 条公路,走向是南偏东 ° 在 处测得公路上 处测得公路上B处有一 条公路 走向是南偏东40°,在C处测得公路上 处有一 走向是南偏东 千米,正沿公路向 城走去,走了 人,距C为31千米 正沿公路向 城走去 走了 千米后到 距 为 千米 正沿公路向A城走去 走了20千米后到 此时CD间的距离为 千米,问 这人还要走多少 达D处,此时 间的距离为 千米 问:这人还要走多少 处 此时 间的距离为21千米 千米才能到达A城 千米才能到达 城?
3. 2
∵a>b,∴A=60°或A=120°. ∴ ° ° ①当A=60°时,C=180°- 45°- 60°=75°, ° ° ° ° °
bsinC 6 + 2 = . ∴c= sinB 2
②∵当A=120°时,C=180°- 45°- 120°=15°, ° ° ° ° °
bsinC 6 − 2 = . ∴c= sinB 2
正弦定理、 正弦定理、余弦 定理及应用
a = 1.正弦定理 sinA 正弦定理: 正弦定理
b sinB
正弦定理、余弦定理的综合应用 课件
规律技巧 将复杂图形，分解为三角形，通过解三角形 解决问题，当三角形中的条件不够用时，要探索与其他三角 形的联系，当条件够用时，注意选择正弦定理，还是余弦定 理，必要时也可以列出方程(组)求解．
解 在△ABD中，由余弦定理，得 AB2＝AD2＋BD2－2·AD·BD·cos∠ADB， 设BD＝x，则142＝x2＋102－2×10xcos60°， 即x2－10x－96＝0. ∴x1＝16，x2＝－6(舍去)，即BD＝16. 在△BCD中，由正弦定理，得 sin∠BCCDB＝sin∠BDBCD. ∴BC＝BDsi·ns∠in∠BCCDDB＝1s6i·ns1in3350°°＝8 2.
解法2：由sin2A＝sin2B＋sin2C，利用正弦定理，得a2＝ b2＋c2，∴△ABC是直角三角形．又由sinA＝2sinBcosC，得
a＝2b·a2＋2ba2b－c2，即a2＝a2＋b2－c2. 即b2＝c2，∴b＝c，故△ABC是等腰三角形． 综上知，△ABC为等腰直角三角形．
规律技巧 判定三角形形状时，如果条件中给出了边和 角的关系式，转化等式时一般有以下两个思路：①先化为角 的关系式，再化简求值；②先化为边的关系式，再化简求值.
正弦定理、余弦定理的综合应用
解三角形问题的几种类型．
在三角形的六个元素中，要知道三个(其中至少有一个为
边)才能解该三角形．据此可按已知条件分以下几种情况
已知条件
应用定理
一般解法
一边和两角 (如a，B，C)
正弦定理
由A＋B＋C＝180°，求角 A；由正弦定理求出b与c， 在有解时只有一解
已知条件 应用定理
解 解法1：由sin2A＝sin2B＋sin2C，利用正弦定理，得 a2＝b2＋c2，故△ABC是直角三角形，且A＝90°，∴B＋C＝ 90°，B＝90°－C，∴sinB＝cosC.由sinA＝2sinB·cosC，可得1 ＝2sin2B，∴sin2B＝12.∵B为锐角，∴sinB＝ 22.从而B＝45°， ∴C＝45°.∴△ABC是等腰直角三角形．
正弦定理与余弦定理的应用(优秀课件)
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其对应的角的正弦值的比等于三角形的外接圆直径与另一条边 与其对应的角的正弦值的比。数学公式表示为：a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R，其中a、b、c分别代表 三角形的三边，A、B、C分别代表与边a、b、c相对的角，R代表三角形的外接圆半径。
三角函数值的计算
总结词
利用正弦定理和余弦定理解三 角形，进而计算三角函数值。
详细描述
通过已知的边长和角度，利用 正弦定理和余弦定理解三角形 ，进而计算三角函数值。
总结词
利用正弦定理和余弦定理解决 三角形中的角度问题。
详细描述
通过已知的边长和角度，利用 正弦定理和余弦定理解三角形 ，进而解决三角形中的角度问
总结词
利用正弦定理和余弦定理解决经济学中的供需关系和价格波动问题，如预测商品价格、 分析供需平衡等。
详细描述
在经济学中，供需关系决定了商品的价格。通过正弦定理和余弦定理，我们可以分析供 需双方的周期性变化，预测商品价格的波动趋势，为企业制定生产和销售策略提供依据。
05
正弦定理与余弦定理的综 合应用
详细描述
利用正弦定理和余弦定理，可以 推导出海伦公式，从而方便地计 算出三角形的面积。
三角形形状的判断
总结词
通过比较三角形的边长和角度，可以利用正弦定理和余弦定理来判断三角形的 形状。
详细描述
根据正弦定理和余弦定理的性质，可以判断出三角形是否为等腰三角形、直角 三角形或等边三角形等。
03
正弦定理与余弦定理在三 角函数问题中的应用
THANKS
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正弦定理和余弦定理讲义
姓名学生姓名填写时间
学科数学年级高三教材版本新人教版阶段第（）周观察期：□维护期：□
课题名称高考专题复习——正弦定理和
余弦定理
课时计划
第（）次课
共（）课时
上课时间
教学目标教学重点教学难点
教学过程
课后记本节课教学计划完成情况：照常完成□提前完成□延后完成□
学生的接受程度：完全能接受□部分能接受□不能接受□
学生的课堂表现：很积极□比较积极□一般□不积极□
学生上次的作业完成情况：数量% 完成质量分存在问题
备
注
班主任签字家长或学生签字教研主任审批
第11页。
正弦定理与余弦定理及应用试讲讲义
海伊教育学科教师辅导讲义
学员编号： 学员姓名：姜敏 课 题 2013 年 8 月 12 日 年 级：高一升高二 辅导科目：数学 课时数： 学科教师：高老师
正弦定理和余弦定理讲义
备课时间： 2013 年 8 月 10 日 1.三角形形状的判断依据； 2.利用正、余弦定理进行边角互换. 3.进一步熟悉正、余弦定理内容； 4.能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化； 5.能够利用正、余弦定理判断三角形的形状； 6.能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式 重点：利用正、余弦定理进行边角互换 难点：1.利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向； 2.三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系的寻求. 联想质疑——交流研讨——归纳总结——实践提高
授课时间：
教学目标
重点、难点
授课方法
教学过程 一、 情景设置（知识导入）
探索研究 【知识点总结与归纳】 正弦定理：
a b c 2R sin A sin B sin C
2bc cos A,
b 2 c 2 a 2 2ca cos B, c 2 a 2 b 2 2ab cos C b2 c2 a2 cos A 2bc 2 c a2 b2 cos B 2ca 2 a b2 c2 cos C 2ab
四、 课堂练习
中小学课外辅导专家
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六、
课后作业
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第15讲 三余弦定理、三正弦定理 讲义——浙江省临安中学2021-2022学年高三数学二轮复习专题
第16讲 三余弦定理与三正弦定理一、学习目标1.了解三余弦定理和三正弦定理；2.了解最小角定理和最大角定理；3.掌握三余弦定理、三正弦定理、最小角定理、最大角定在立体几何中的初步应用.二、知识要点1.三余弦定理：设A 为面α上一点，过A 的斜线AO 在面α上的射影为AB ，AC 为面上的一条直线，则21cos cos cos θθθ⋅=说明：线面角是斜线与平面内任意直线的所成角的最小值，即线面角是线线角的最小值，又称最小角定理.2.三正弦定理：设二面角N AB M --的度数为α，在平面上M 上有一条射线AC ，它和棱AB 所成角 为β，和平面N 所成角为γ，则.sin sin sin βαγ⋅=说明：二面角是半平面内的一条直线与另一半平面所成线面角的最大值，即二面角是线面角的最大值.三、典例分析例1.（1）已知二面角βα--MN 的大小为︒60，直线α⊂OA ，︒=∠30AON ，则直线OA 与平面β所成的线面角的正弦值为_______.（2）如图，三棱锥BCD A -中，3====CD BD AC AB ，2==BC AD ，点M 、N 分别是AD 、BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是_________.【答案】（1）43； （2）87.例2.（1）如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱111C B A ABC -中，P 是棱BC 上的动点.记直线P A 1与平面ABC 所成的角为1θ，与直线BC 所成的角为2θ，则21θθ，的大小关系是（ ）A.21θθ=B.21θθ>C.21θθ<D.不能确定（2）设三棱锥ABC V -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点）.记直线PB 与直线AC 所成的角为α，直线PB 与平面ABC 所成的角为β，二面角B AC P --的平面角为γ，则（ ）A.γβ<,γα<B.αβ<,γβ<C.αβ<,αγ<D.βα<,βγ< 【答案】（1）C ； （2）B.变式:1.如图，已知三棱锥ABC D -，记二面角D AB C --的平面角是θ，直线DA 与 平面ABC 所成的角是1θ，直线DA 与BC 所成的角是2θ，则（ ）A.1θθ≥B.1θθ≤C.2θθ≥D.2θθ≤【答案】A2.如图，已知ABC ∆，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ∆翻折成A CD ∆'，所成二面角A CDB '--的平面角为α，则（ ）A ．A DB α∠'≤B ．A DB α∠'≥C ．A CB α∠'≤D ．A CB α∠'≤【答案】B例3.（1）已知等腰ABC Rt ∆内接于圆O ，点M 是下半圆弧上的动点，现将上半圆沿AB 折起，使所成的二面角M AB C --为4π，则直线AC 与直线OM 所成角的最小值为（ ） A.12π B.6π C.4π D.3π（2）如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练，已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小，若15,25,30AB cm AC cm BCM ==∠=︒，则tan θ的最大值是_______（仰角θ是直线AP 与平面ABC 所成的角）.【答案】（1）C ， （2）935. 变式：1.已知棱长为1的正四面体ABC P -，PC 的中点为D ，动点E 在线段AD 上， 记直线BE 与平面ABC 所成的角为θ，则当θ最大时，=θcos ________.【答案】37四、课外作业1.在四面体ABCD 中，二面角D BC A --为60°，点P 为直线BC 上一动点，记直线PA 与平面BCD 所成的角为θ，则（ ） A ．θ的最大值为60° B ．θ的最小值为60° C ．θ的最大值为30° D ．θ的最小值为30°【答案】A2.已知四棱锥S ABCD -的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点（不含端点），设SE 与BC 所成的角为1θ，SE 与平面ABCD 所成的角为2θ，二面角S AB C --的平面角为3θ，则（ ）A.123θθθ≤≤B.321θθθ≤≤C.132θθθ≤≤D.231θθθ≤≤ 【答案】D3．如图，在矩形ABCD 中，将△ACD 沿AC 翻折至'ACD ∆，设直线'AD 与直线BC 所成角为α，直线'AD 与平面ABC 所成角为β，二面角B CD A --'的平面角为γ，当γ为锐角时（ ）A. γβα>>B.αβγ>>C. βαγ>>D. βγα>>【答案】D4.如图，已知ABC ∆，CD 为ACB ∠的角平分线，沿直线CD 将ACD ∆翻折成CD A '∆，所成二面角B CD A --'的平面角为θ，则（ ）A.θθ≤∠≤∠CB A DB A ''，B.θθ≥∠≤∠CB A DB A ''，C.θθ≤∠≥∠CB A DB A ''，D.θθ≥∠≥∠CB A DB A ''，【答案】C5. 如图，在ABC 中，AB AC =，3A π∠=，P 为底边BC 上的动点，BP BC λ=，102λ<<，沿折痕AP 把ABC 折成直二面角B AP C '--，则B AC '∠的余弦值的取值范围为（ ）A. 3⎛ ⎝⎭B . 132⎛ ⎝⎭C. 13,24⎛⎫⎪⎝⎭D. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C6.如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，D 是AC 的中点，11BC AB ⊥，求二面角C BC D --1的大小为________.【答案】︒457.如图，在正四面体ABCD 中，点E 满足EC DE 3=，点P 在棱AC 上运动，设EP 与平面BCD 所成角为θ，则θsin 的最大值为______.【答案】322 9.已知b a ，为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与b a ，都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：①直线AB 与a 成︒60角时，AB 与b 成︒30角；②直线AB 与a 成︒60角时，AB 与b 成︒60角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为︒45角； ④直线AB 与a 所成角的最小值为︒60角. 其中，正确的结论有___________. 【答案】②③10.如图，正方形ABCD 与正方形BCEF 所成的二面角的平面角大小为4π，PQ 是正方形BCEF 所在平面内的一条动直线，则直线BD 与PQ 所成角的取值范围是___________.【答案】]26[ππ，11.如图，在三棱锥ABC P -中，22==BC AB ，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点. （1）证明：⊥PO 平面ABC ； （2）若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C --的大小为30︒，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值.【答案】（1）略； （2）3sin sin 30sin 604θ=︒︒=. 12.已知ABC Rt ∆的两直角边2=AC ，3=BC ，P 为斜边AB 上一点，现沿CP 将此直角三角形折成直二面角B CP A --'（如图），当7=AB 时，求二面角B C A P --'的大小的余弦值.【答案】33.。
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正余弦定理及其应用()1正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===， ()2余弦定理：222222222222222222cos ,22cos ,2cos ,cos ,22cos .cos .2b c a A bc a b c bc A a c b b a c ac B B ac c a b ab C a b c C ab ⎧+-=⎪⎧⎪=+-+-⎪⎪=+-⇒=⎨⎨=+-⎪⎪⎩+-⎪=⎪⎩()3推论：正余弦定理的边角互换功能① 2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C = ②sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2cC R= ③sin sin sin a b c A B C ===sin sin sin a b cA B C++++=2R ④::sin :sin :sin a b c A B C =()4三角形中的基本关系式：sin()sin ,cos()cos ,sin cos ,cos sin 2222B C A B C A B C A B C A +=+=-++==3．三角形的面积公式：（1）△＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）△＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ；4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形。
解斜三角形的主要依据是：设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角为A 、B 、C 。
（1）角与角关系：A +B +C = π；（2）边与边关系：a + b > c ，b + c > a ，c + a > b ，a －b < c ，b －c < a ，c －a > b ； （3）边与角关系：正弦定理 、余弦定理正、余弦定理的五大命题热点正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。
在近年高考中主要有以下五大命题热点：一、求解斜三角形中的基本元素例1. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，已知20a c +=，2C A =，3cos 4A =． （1）求ca的值；（2）求b 的值．分析：利用2C A =转化为边的关系． 解：（1）由sin sin 232cos sin sin 2c C A A a A A ====． （2）由20,3.2a c c a +=⎧⎪⎨=⎪⎩得8,12.a c =⎧⎨=⎩．由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得： 218800b b -+=，解得：8b =或10b =， 若8b =，则A B =，得4A π=，即3cos 4A =≠矛盾，故10b =． 点评：在解三角形时，应注意多解的情况，往往要分类讨论．真题训练：（1）（2012北京）在∆ABC 中，已知433=a ，b ＝4，A ＝30°，则sinB ＝ . 解：由正弦定理易得结论sinB。
（2）（2012江苏卷）在△ABC 中，已知BC ＝12，A ＝60°，B ＝45°，则AC ＝ 【正确解答】由正弦定理得，sin 45sin 60AC BC=解得AC =【解后反思】解三角形：已知两角及任一边运用正弦定理，已知两边及其夹角运用余弦定理（3）．（2010全国II ）已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为 ． 解析: 由ABC ∆的三个内角A 、B 、C 成等差数列可得A+C=2B 而A+B+C=π可得3B π∠=AD 为边BC 上的中线可知BD=2,由余弦定理定理可得AD =二、判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状．例2、在三角形ABC 中，已知2222()sin()()sin()a b A B a b A B +-=-+，试判断该三角形的形状．解法一：(边化角)由已知得：22[sin()sin()][sin()sin()]a A B A B b A B A B --+=---+， 化简得222cos sin 2cos sin a A B b B A =，由正弦定理得：22sin cos sin sin cos sin A A B B B A =，即sin sin (sin cos sin cos )0A B A A B B -=，又,(0,)A B π∈，sin sin 0A B ∴⋅≠，sin 2sin 2A B ∴=．又2,2(0,2)A B π∈，22A B ∴=或22A B π=-，即该三角形为等腰三角形或直角三角形．解法二：(角化边)同解法一得：222cos sin 2cos sin a A B b B A =，由正余弦定理得：2222222222b c a a c b a b b abc ac+-+-=， 整理得：22222()()0a b c a b ---=，即a b =或222c a b =+，即该三角形为等腰三角形或直角三角形．点评：判断三角形形状主要利用正弦或余弦定理进行边角互化，从而利用角或边判定三角形形状．练习：在ABC ∆中，已知C B A sin cos sin 2=，那么ABC ∆一定是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形 解法1：由C B A sin cos sin 2=＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin A cos B －cos A sin B ＝0，得sin(A －B )＝0，得A ＝B ．故选(B)．解法2：由题意，得cos B ＝sin 2sin 2C cA a=，再由余弦定理，得cos B ＝2222a c b ac +-． ∴ 2222a c b ac +-＝2c a，即a 2＝b 2，得a ＝b ，故选(B)．评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：⑴统一化为角，再判断(如解法1)，⑵统一化为边，再判断(如解法2)．三、 解决与面积有关问题主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题．例3 在ABC ∆中，若120A ∠=，5AB =，7BC =，则ABC ∆的面积S ＝_________分析：本题只需由余弦定理，求出边AC ，再运用面积公式S ＝21AB •AC sin A 即可解决． 解：由余弦定理，得cos A ＝2222254912102AB AC BC AC AB AC AC +-+-==-∙∙，解得AC ＝3． ∴ S ＝21AB •AC sin A ＝4315．∴ 21AB •AC •sin A ＝21AC •h ，得h ＝AB • sin A ＝223，故选(A)．四、求值问题例4、在ABC ∆中，已知2AC =，3BC =，4cos 5A =-． （Ⅰ）求sin B 的值；（Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值．解：（Ⅰ）在ABC ∆中，3sin 5A ===，由正弦定理，sin sin BC AC A B =．所以232sin sin 355AC B A BC ==⨯=．（Ⅱ）因为4cos 5A =-，所以角A 为钝角，从而角B 为锐角，于是cos B ===2217cos 22cos 12125B B =-=⨯-=，2sin 22sin cos 25B B B ==⨯=．sin 2sin 2cos cos 2sin 666B B B πππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭171252=+⨯= 易错题解析例题1 在不等边△ABC 中，a 为最大边，如果a b c 222<+，求A 的取值范围。
错解：∵a b c b c a 2222220<++->，∴。
则cos A b c a bc=+->22220，由于cosA 在（0°，180°）上为减函数，且cos90090°，∴°=<A 又∵A 为△ABC 的内角，∴0°＜A ＜90°。
辨析：错因是审题不细，已知条件弱用。
题设是a 为最大边，而错解中只把a 看做是三角形的普通一条边，造成解题错误。
正解：由上面可得A ＜90°。
又∵a 为最大边，∴A ＞60°。
因此得A 的取值范围是（60°，90°）。
例题2 在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝22，C ＝15°，求A 。
错解：由余弦定理，得c a b ab 222215=+-cos °482284=+-=-××∴c =-62。
又由正弦定理，得sin sin A a C c ==12而0000018030150A A A <<=，∴＝或。
辨析：由题意b a >，∴B A >。
因此A ＝150°是不可能的。
错因是没有认真审题，未利用隐含条件。
在解题时，要善于应用题中的条件，特别是隐含条件，全面细致地分析问题，避免错误发生。
正解：同上c A b a =-=>6212，，∵sin ，000018030B A A A ><<=∴，且，∴。
高考真题再现1.【2012天津理】在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是c b a ,,，已知8b=5c ，C=2B ，则cosC=（A ）257 （B ）257- （C ）257± （D ）2524 【答案】A 【解析】因为B C 2=,所以B B B C cos sin 2)2sin(sin ==,根据正弦定理有BbC c sin sin =，所以58s in s in ==B C b c ，所以545821sin 2sin cos =⨯==B C B 。
又1cos 2)2cos (cos 2-==B B C ，所以2571251621cos 2cos 2=-⨯=-=B C ，选A.2.【2012上海理】在ABC ∆中，若C B A 222sin sin sin <+，则ABC ∆的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定【答案】C 【解析】根据正弦定理可知由C B A 222sin sin sin <+,可知222c b a <+，在三角形中02cos 222<-+=abc b a C ，所以C 为钝角，三角形为钝角三角形，选C.3.（2011天津理）在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，若22a b -=，sin C B =，则A= ( )（A ）030 （B ）060 （C ）0120 （D ）0150【命题立意】考查三角形的有关性质、正弦定理、余弦定理以及分析问题、解决问题的能力。