弹塑性力学 第01-0章绪论

静力学： 物体的平衡条件--平衡微分方程和应力边界条件。 几何学： 位移与应变的关系--变形协调关系（几何方程和 位移边界条件）。 物理学： 应力与应变（或应变增量）的关系--本构关系。 如在材料力学中推导扭转切应力、弯曲正应力 时都应用了上述关系。
8、求解弹塑性力学问题的数学方法
由几何方程、物理方程、平衡方程及力和位移的边 界条件求出位移、应变、应力等函数。 精确解法：能满足弹塑性力学中全部方程的解。例 如运用分离变量法将偏微分方程组解耦并化为常微分方 程组进行求解，另外还有级数解法、复变函数解法、积 分变换等。 近似解法：根据问题的性质采用合理的简化假设而 获得近似结果；如有限元法、边界元法、有限差分法 等。
ε ≤ ε s 时，σ = Eε ε > ε s 时，σ = σ s sign ε
⎧1, 当 σ > 0 ⎪ ⎪ sign σ = ⎨0, 当 σ = 0 ⎪ ⎪ ⎩-1, 当 σ < 0
εs = σs E
4、线性强化（硬化）弹塑性模型
假设拉伸和压缩时屈服应力 的绝对值和强化模量E’都相同， 当不卸载时，应力—应变关系可 以写成
如：梁的弯曲问题
弹性力学
材料力学
当 l >> h 时，两者误差很小。
材料力学计算简单而结果往往是近似的，但不少情 况下精度可以满足工程要求的 变截面杆的分析
o
σ (x )
σ
(x )
? P
P x
τ (x )
二、弹塑性力学的基本假设
¾ 连续性假设，应力、应变和位移都可以用坐标的 连续函数表示，便于应用连续和极限的概念。 ¾ 均匀性假设，物体各部分的物理性质都相同，并 不会随坐标位置的改变而发生变化。 ¾ 各向同性假设，物体在各个方向具有相同的物理 性质，弹性常数不随坐标方向的改变而改变。
使得经济与安全这对矛盾得到更好的统一。
6、弹塑性力学的研究对象
包括杆状结构、板状结构及块体结构，如桥 梁、深梁、板壳、挡土墙、堤坝、地基等实体结 构，机械工程中的起重、运输、机械中各种形状 的零部件等。
7、弹塑性力学的研究方法
对弹塑性力学问题的研究从静力学、几何学和物 理学三方面出发，经过严密的数学推导，得到弹塑性 力学的基本方程和各类边界条件，从而把问题归结为 线性偏微分方程组的边值问题。
2）静水压力对屈服极限的影响 在不同静水压力作用下，布利基曼曾对镍和铌的 拉伸曲线做过研究，并获得了相应的实验结果。 实验结果表明，在静水压力不大的条件下（材料 的屈服极限量级），静水压力对材料屈服极限的影响 可以忽略不计。静水压力对金属材料的破坏准则和其 他的性质却可能有不可忽视的影响，例如对于像铸造 金属、矿物等材料，则静水压力影响比较大，不可忽 略。
塑性力学的发展开始于18世纪70年代，1773年库 伦曾提出一个塑性固体（主要是土壤）的屈服条件。 1864年特雷斯卡（Tresca）提出金属在最大剪应力达 到某一临界值时就发生塑性屈服。此后圣维南、莱维 等进行了许多有关材料塑性的实验，提出了许多种屈 服条件，其中最有意义的是胡勃（Huber）和米塞斯 （Mises）所提出的条件，后来被解释为最大变形能 屈服条件。
弹塑性力学与材料力学的区别
研究对象
材料力学：直杆，小曲率杆 弹塑性力学：一般弹性固体，如块体、板、壳、杆等
研究方法
材料力学：借助于直观和实验现象作一些假 定，如平面假设等，然后由静力学、几何关系、物 理方程三方面进行分析。 弹塑性力学：仅由静力平衡、几何方程、物理 方程三方面分析，放弃了材力中的大部分假定。
σ
σe σp
B A
Μ
C
Dσ
b
这种出现拉伸塑性变 形后使压缩屈服极限降低 的现象称为包辛格效应。 由于考虑这个效应，
σ's
E
σs
o
ε
将使塑性力学问题变得非 常复杂，因此一般塑性理 论中都忽略它的影响。 理想包辛格效应：
σ''s
屈服极限在一个方向提高 的数值与在相反方向降低的的 数值相等。
σ′ s′ ≤ σ s ≤ σ ′ s
1、低碳钢拉伸时的应力--应变曲线
σ
σe σp
B A
Μ
C
Dσ
b
σ's
P σ= A0
E
l − l0 ε= l
OB：弹性阶段
ε =
σ
E
塑性阶段
σs
o A0
BC：屈服阶段
ε
P l0 P
CD：强化阶段 DE：局部变形阶段
σ''s
反向屈服
σ′ s′ ≤ σ s ≤ σ ′ s
包辛格(J.Bauschinger)效应：
此后，前苏联的伊柳辛（Iliushin）很好地发展了 全量理论，提出了简单加载定理和卸载定理，并大量 地应用这一理论求解具体边值问题。 1951年美国德鲁克（Drucker）从稳定材料的定 义出发，讨论了塑性势函数，证明了塑性应变率和屈 服面的正交性，并提出相关联的流动法则的概念，为 塑性极限分析理论带来了很大的方便。60年代前后， 对结构承载能力的研究有了很大的发展，特别是德鲁 克和普拉格对三维应力状态下的问题提出了极限定 理，从而引出上、下限定理，使许多工程实际问题获 得了很好的结果。
四、变形体的本构模型
对于不同的材料，不同的应用领域，可以采用不 同的变形体模型，这种模型关系到材料性质的基本假 定，所选取的本构模型必须符合材料的实际性质。其 次，所选取的本构模型在数学必须是足够简单，以便 解决具体问题时，容易获得解答。
1、线性弹性体
σ
σ = Eε
变形可恢复，无残余变形和应力
ε σ
2、弹性力学研究弹性物体在弹性变形阶段的力学行为，
3、塑性力学研究弹性物体在塑性变形阶段的力学响应。 材料行为呈现弹性或基本上是弹性的；当外载增加 时，材料进入塑性，材料的行为呈现为塑性。
4、大多数材料都具有弹性和塑性性质，当外载较小时，
弹性变形
弹性力学
应力与应变一一对应，线性
变形
外载荷属于静载 没有能量损耗的可逆过程
另一个重要理论成果是建立各种能量原理；提出 一系列基于能量原理的近似计算方法。例如，里茨和 迦辽金分别于1908年和1915年提出基于能量原理的直 接解法。 由于弹性理论基本方程的复杂性，能够精确求解 的工程结构的问题实属少数。到20世纪50年代基于能 量原理的近似计算方法发展成为了有限元法、边界元 法等数值计算方法，从而使对各种工程结构进行弹性 分析成为了现实。
20世纪20年代罗德（Lode）用钢、铜、镍的薄 壁圆管试件在不同的轴向拉伸和内压联合作用下的实 验，泰勒和奎宁用薄壁管，但却是在轴向拉伸和扭转 联合作用下进行实验。这些实验证明了莱维-米塞斯 本构关系是在真实情况很好的近似。以上是塑性力学 中的增量理论。至此，经典塑性力学理论已经初步形 成。 以此同时，亨奇和纳戴提出了一个在实践中使用 比较方便的全量理论，即应变是用全量而不是用增量 表示的理论。 Nhomakorabea=σ
E
+εp
表明，当
ε p 一定时，应力与应变由
单一的对应关系。
¾ 应力与应变的线性关系式（上式）是有使用范围
的。对于固定的内变量，应力或应变不能随意地取 值。只有在卸载或再加载的弹性范围内时才适用。
¾ 外力在塑性变形所做的功（塑性功）具有不可逆
性。
2、静水压力（各项均匀受压）的实验
1）关于体积变化 在不同的应力状态下，布利基曼曾对静水压力对 变形过程的影响做过比较全面的研究。当压力达到 15000大气压时，他提出各向均匀压力p和单位体积变 化之间的关系为
¾等向强化模型
认为拉伸时的强化屈服应力和压缩时的强化屈服 应力（绝对值）始终是相等的。
¾随动强化模型
考虑包氏效应，认为拉伸时的屈服应力和压缩时 的屈服应力（的代数值）之差，即弹性响应的范围始 终是不变的。
五、弹塑性力学的发展简史
弹性力学是一门有悠久历史的学科，早期研究可 以追溯到1678年，胡克（R.Hooke）发现胡克定律。 到19世纪20年代，法国的纳维和柯西在当时数学 飞跃发展的基础上建立了弹性力学的数学理论。 纳维于1827年首次导出了弹性固体的平衡微分方 程。柯西在其论文中也明确提出了应变、应变分量、 应力和应力分量的概念，建立了弹性力学的几何方 程，各向同性以及各向异性材料的广义胡克定律。
第一章
绪论
一、弹塑性力学的任务、研究对象和方法 二、弹塑性力学基本假设 三、弹塑性力学的基础实验 四、变形体的本构模型 五、弹塑性力学发展简史
一、弹塑性力学的任务、研究对象和方法
1、弹性力学和塑性力学是固体力学的两个重要分支。 包括在外部干扰下弹性物体的内力、应力、变形和位 移的分布，以及与之相关的理论和方法。
¾ 在弹性区完全弹性假设，引起物体变形的外界 因素被消除以后能够完全恢复原状的性质。 ¾ 小变形假设，变形后物体内各点的位移远小于 原尺寸，可忽略变形引起的几何变化。 ¾ 无初应力假设，假设物体处于自然状态，即在 力和温度等外界因素作用之前，物体内部是没 有应力的。
三、弹塑性力学的基础实验
¾单向拉伸实验 ¾材料在静水压力作用下，物体体积变形规律的实验 这两个实验的结果是建立各种弹塑性理论的基础
柯西的工作是近代弹性力学的一个起点，使得弹 性力学成为一门独立的固体力学分支学科。 1856年，圣维南建立了柱体扭转和弯曲的基本理 论； 1862年，艾瑞发表了关于弹性力学的平面理论； 1881年，赫兹建立了接触应力理论； 1898年，基尔霍夫建立了平板理论，对薄板理论 的研究做出了重要贡献; 欧拉、拉格朗日等力学大师对弹性力学的发展做 出了重要的贡献。
由实验现象可以归纳出以下特点
¾ 在材料的弹塑性变形过程中，应力与应变的关系依
赖于加载路径。 例如简单拉伸实验应 力—应变曲线图中，同一 应力视加载历史的不同可 对应于1、2、3点的应变。 通常引进一组称为内变量 的宏观参量来刻画加载历史， 最简单的近似，可取内变量为 塑性应变 ε p 从而将简单拉伸时的应力应变关系写为