李萨如图形的相关研究

李萨如图形的相关研究

姓名：XXX

班级：XXX

学号：XXX

指导教师：XXX

班级序号：XXX

摘要：探究李萨茹图形形成的原因以及影响其形状的因素，并通过matlab软件模拟出李萨茹图形，给出其原程序，及其相关图形；利用示波器和信号源，演示出一个李萨茹图形，探究李萨如图形的应用并设计出一个简易演示李萨茹图形的教具，并做简单说明。

关键词：李萨如图形；matlab；应用；设计教具

1、李萨如图形简介

(1)形成原因

两个相互垂直的简谐振动，当他们的频率比是整数比时，合振动的轨迹是稳定的闭合曲线，此时就形成了李萨如图形。

(2)影响李萨如图形形状的因素：

设两个互相垂直的简谐运动的方程为x=A1cos（2πn1t+Φ1）

y=A2cos（2πn2t+Φ2）

①设n1/n2=m1/m2(m1、m2是互质的整数)，李萨如图形的形状由分振动振幅、频率比和cos

（m1Φ1-m2Φ2）确定。

②萨如图形具有对称性。设n1/n2=m1/m2(m1、m2是互质的整数)。

当m1为为偶数时，图形关于x轴对称；

当m2为偶数时，图形关于y轴对称；

当m1、m2均为奇数时，图形关于原点对称。

③李萨如图形具有周期性。取a= =Φ2-Φ1

当Φ1为定值时，图形随Φ2变化的周期是2π/m1；

当Φ2取定值时，图形随Φ1变化的周期为2π/m2；

a取定值，图形随Φ1或Φ2变化的周期为|2π/(m1-m2)|。

2、MATLAB制图

①一个振动初相位为零时的振动合成

设wx和wy，为x、y两个方向的振动频率．

先讨论简单情况：不妨设y方向初相位Φy为零，则初相位差Φx-Φy=Φx

程序设计：

wx=input(‘wx=’)；

wy=input(‘wy=’)；

nx=input(‘nx=’)；

t=0：0．02：200；

x=cos(wx*t+nx*3.1415926)；

y=cos(wy*t)；

plot(x，y)

图像：

②两个振动初相位均不为零时的振动合成

程序设计：wx=input(‘wx=’)；

wy=input(‘wy=’)；

nx=input(‘nx=’)；

ny=input(‘ny=’)；

t=0：0.02：200；

x=cos(wx*t+nx*3.1415926)；

y=cox(wy*t+ny*3.1415926)；

plot(x，y)

图像：首先绘制几组不同y初相位条件下的图形，如图所示．为减少频率比的特殊性，选取频率比为3：2。图中纵方向为Φy，横方向为Φx-Φy。

③振动合成与振幅的衰减——广义李萨如图形

为使图像结果相对清晰，将阻尼系数设为0．25。

程序设计：wx=input(‘wx=’)；

wy=input(‘wy=’)；

k=input(‘k=’)；

t=0：0．02：200；

x=cos(wx*t+k*3.1415926)．*exp(-t*0．25)；

y=cos(wy*t)．*exp(-t*0．25)；

plot(x，y)

图像：

3、若有示波器和信号源，能否演示出一个李萨茹图形，并拍照。

若有示波器和信号源，可以演示出一个李萨如图形。我们在大学物理实验中，已经做过关于示波器的实验，其中关于测量相位差的两个方法之一就是采用李萨如图形。将示波器置X-Y工作方式，被测信号输入Y轴，标准频率信号输入“X外接”，慢慢改变标准频率，使这两个信号频率成整数倍时，就会在荧光屏上会形成稳定的李萨如图形。两个信号一个加在y轴，一个加在x轴，数一下横向或纵向眼孔数，眼孔数就是它们的频率比值。

横向眼孔多就是横向频率高，反之就是y轴信号频率高。

4、李萨如图形的应用

李萨如图形以其特征性的图像为研究物体振动与其频率和相位之间的关系提供了很好的手段，因而在测量方面也具有重要价值。例如对于很多物体(如音叉等)的振动频率的测定，可以设法使其振动与一个已知频率振动分别表征在一个屏的垂直双方向上。如果适当调整已知频率振动，使合成振动表现出椭圆曲线、直线和圆等情况，则调得的频率即为待测频率；而如果考虑到调整范围的限度问题，也可将合成振动图像调至一个较易识别的李萨如图形，仍可大致读出待测频率与已知频率的比值，结果也比较准确和精确。

5、简易演示李萨茹图形的教具

（1）光学方法

所用仪器主要是激光器和定音音叉。如图所示,A和B是两个

频率比为2 ：1的定音音叉，A 音叉水平放置，B 音叉竖直放置，

M1和M2是分别粘在两个音叉上高反射率的平面镜。调整M1和M2

的位置, 直到经M1 和M2从反射的光斑落在屏幕标的中心O点上。

当只有A 音叉振动时, 光斑沿xx’轴移动, 当只有B 音叉振动时,

光点只沿yy’轴移动, 当A 和B 同时并且同位相振动时, 则光点

形成“8”字形轨迹。

此实验方法的特点是简单易行的, 但李萨茹图形保持的时间

较短且不太稳定。还可以用同频率的两个音叉作这个实验, 效果较好。

音叉的选择应尽量选用频率较低、振幅较大的定音音叉, 而且实验时应使两个音叉同时振动。注意了以上两方面, 就可以作出效果比较明显的李萨茹图形

（2）电学方法

用电学方法作李萨茹图形所用仪器是示波器和信号发生器。在示波器的y 轴输人一个频率为f1的正弦电压。在x轴输入另一个频率为f2的正弦电压信号, 调节信号f2, 当这两个信号的频率经为整数比时, 如1 : 2 , 1 : 3 , 2 : 3等, 则示波器的显示屏上会出现李萨茹图形。这种方法作出的李萨茹图形清晰而稳定。用示波器作李萨茹图形要求信号频率的稳定度高, 而且只适用于低频信号。

六、参考文献：

【1】成正维，牛原，赵红敏等.大学物理实验[M].北京：北京交通大学出版社，2010 【2】吴柳，李爱红.大学物理实验[M].北京：北京交通大学出版社，2009

【3】贲进柱. 广义李萨如图形的MATLAB程序设计与若干结论[J]. 青海大学学报,2006，24 【4】韩新华. 李萨如图形特点的研究[J]. 忻州师范学院学报,2009,25(5)

【5】石涵。用Matlab研究李萨如图形及其讨论[J].物理与工程，2009（19）

【6】丘新宇，赵锡平. 李萨茹图形的几种实验方法[J]. 济南大学学报,1995,5(4)