山东高考数学一轮总复习教学案设计参考-平面向量基本定理及坐标表示含答案解析

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山东高考数学一轮总复习教学案设计参考-平面向量的概念及线性运算含答案解析

第1讲平面向量的概念及线性运算[考纲解读] 1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示．2．掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义．(重点)3．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义，了解向量线性运算的性质及其几何意义．(难点)[考向预测]从近三年高考情况来看，本讲一般不直接考查．预测2021年高考中，平面向量的线性运算是考查的热点，常以客观题的形式呈现，属中、低档试题.1.向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量向量的模向量a的□01大小，也就是表示向量a的有向线段AB→的□02长度(或称模)□03|a|或□04|AB→| 零向量长度为零的向量；其方向是任意的记作□050单位向量长度等于1个单位的向量与非零向量a共线的单位向量为±a|a|平行向量方向□06相同或□07相反的非零向量0与任一向量□08平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度□09相等且方向□10相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度□11相等且方向□12相反的向量0的相反向量为0向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝□01b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝□02a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝□03|λ||a|；(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向□04相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向□05相反；当λ＝0时，λa＝□060λ(μa)＝□07λμa；(λ＋μ)a＝□08λa＋μa；λ(a＋b)＝□09λa＋λb 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一的一个实数λ，使得□01b＝λa.1．概念辨析(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．()(2)若a∥b，b∥c，则a∥c.()(3)向量AB→与向量CD→是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．() (4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．()答案(1)√(2)×(3)×(4)√2．小题热身(1)下列命题正确的是()A．若|a|＝|b|，则a＝b B．若|a|>|b|，则a>bC ．若a ＝b ，则a ∥bD ．若|a |＝0，则a ＝0答案 C解析 A 错误，模相等，方向相同的向量才是相等向量；B 错误，向量不能比较大小；C 正确，若a ＝b ，则a 与b 方向相同，故a ∥b ；D 错误，若|a |＝0，则a ＝0.(2)设a ，b 是不共线的两个向量，已知BA →＝a ＋2b ，BC →＝4a －4b ，CD →＝－a ＋2b ，则( )A ．A ，B ，D 三点共线 B ．A ，C ，D 三点共线 C ．A ，B ，C 三点共线 D ．B ，C ，D 三点共线答案 B解析因为BA→＝a ＋2b ，所以AB →＝－a －2b ，所以AC →＝AB →＋BC →＝(－a －2b )＋(4a －4b )＝3a －6b ＝－3(－a ＋2b )＝－3CD →.所以AC →∥CD →，所以A ，C ，D 三点共线．(3)已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC→＝________(用a ，b 表示)．答案 b －a －a －b解析因为四边形ABCD 是平行四边形，所以DC→＝AB →，OC →＝－OA →＝－a ，所以DC→＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ， BC→＝OC →－OB →＝－a －b .题型一平面向量的基本概念1．设a 0为单位向量，下列命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |·a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0，假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 D解析向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.2．下列叙述错误的是________(填序号)．①已知向量a ∥b ，且|a |>|b |>0，则向量a ＋b 的方向与向量a 的方向相同； ②|a |＋|b |＝|a ＋b |⇔a 与b 方向相同；③向量b 与向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa ； ④AB→＋BA →＝0； ⑤若λa ＝λb ，则a ＝b . 答案 ②③④⑤解析对于①，当a 和b 方向相同，则它们的和的方向应该与a (或b )的方向相同；当a 和b 方向相反，而a 的模大于b 的模，则它们的和的方向与a 的方向相同．对于②，当a ，b 之一为零向量时结论不成立．对于③，当a ＝0且b ＝0时，λ有无数个值；当a ＝0但b ≠0时，λ不存在．对于④，由于两个向量之和仍是一个向量，所以AB→＋BA →＝0.对于⑤，当λ＝0时，无论a 与b 的大小与方向如何，都有λa ＝λb ，此时不一定有a ＝b .故②③④⑤均错误．有关平面向量概念的六个注意点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．(4)非零向量a 与a |a |的关系：a |a |是与a 同方向的单位向量，－a|a |是与a 反方向的单位向量．(5)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小．(6)表示两平行向量的有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件．1.给出下列说法：①若A ，B ，C ，D 是不共线的四个点，则AB→＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ；③向量AB →与BA→相等；④若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c .其中正确说法的序号是( ) A.①④ B ．③④ C ．②③ D ．①②答案 A解析 ①④正确；②错误，因为a ，b 的方向不一定相同；③错误，AB →＝－BA →.2.下列命题中，正确的个数是( )①若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合； ②若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ； ③若λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；④已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． A.0 B ．1 C ．2 D ．3答案 A解析 ①错误，如在▱ABCD 中，AD→＝BC →，但是这两个向量的起点和终点分别不重合；②错误，模相等的两个向量，方向关系不确定；③错误，若λa ＝0(λ为实数)，则λ＝0或a ＝0；④错误，当λ＝μ＝0时，λa ＝μb ＝0，但a 与b 不一定共线.题型二向量的线性运算1.下列四个结论： ①AB→＋BC →＋CA →＝0； ②AB→＋MB →＋BO →＋OM →＝0；③AB →－AC →＋BD →－CD →＝0； ④NQ→＋QP →＋MN →－MP →＝0. 其中一定正确的结论个数是( ) A.1 B ．2 C ．3 D ．4答案 C解析 ①正确；②错误，AB→＋MB →＋BO →＋OM →＝AB →＋BO →＋OM →＋MB →＝AB →≠0；③正确，AB →－AC →＋BD →－CD →＝(AB →－AC →)＋(BD →＋DC →)＝CB →＋BC →＝0；④正确，NQ →＋QP→＋MN →－MP →＝(NQ →＋QP →)＋(MN →－MP →)＝NP →＋PN →＝0. 2.(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( )A.34AB →－14AC →B.14AB →－34AC →C.34AB →＋14AC →D.14AB →＋34AC → 答案 A解析根据向量的运算法则，可得EB →＝AB →－AE →＝AB →－12AD →＝AB →－14(AB →＋AC →)＝34AB →－14AC →，故选A.3.在△ABC 中，D 为AB 的中点，点E 满足2CE →＋BE →＝0，则AE →＝________(用A B →，C D →表示)．答案 23 AB →－23 CD →解析因为D 为AB 的中点，所以CD →＝CA →＋AD →＝－AC →＋12AB →，所以AC →＝12AB →－CD →. 又因为2CE→＋BE →＝0，所以2(AE→－AC →)＋(AE →－AB →)＝0，所以3AE→＝2AC →＋AB →，所以AE→＝23AC →＋13AB → ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →－CD →＋13AB →＝23AB →－23CD →.1.平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．2.向量线性运算的两个常用结论(1)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，则AD→＝12(AC →＋AB →)，如举例说明2. (2)O 为△ABC 的重心的充要条件是OA→＋OB →＋OC →＝0.1.在△ABC 中，若点D 满足CD →＝2DB →，点M 为AC 的中点，则MD →＝( )A.23AB →－16AC →B.13AB →－16AC →C.23AB →－13AC →D.23AB →＋16AC →答案 A解析 MD→＝MC →＋CD →＝12AC →＋23CB →＝12AC →＋23(AB →－AC →)＝23AB →－16AC →. 2．(2019·衡水模拟)如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且AE→＝2EO →，则ED →＝( )A.13AD →－23AB →B.23AD →＋13AB →C.23AD →－13AB →D.13AD →＋23AB →答案 C解析因为AE→＝2EO →，所以AE →＝23AO →，又因为AO →＝12AC →，所以EA →＝－13AC →，所以ED→＝EA →＋AD →＝－13AC →＋AD →＝－13(AD →＋AB →)＋AD →＝23AD →－13AB →.题型三共线向量定理的应用角度1 证明向量共线或三点共线1.已知平面内一点P 及△ABC ，若P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则点P 与△ABC 的位置关系是( )A.点P 在线段AB 上 B ．点P 在线段BC 上 C.点P 在线段AC 上 D ．点P 在△ABC 外部答案 C解析因为P A →＋PB →＋PC →＝AB →＝PB →－P A →，所以PC →＝－2P A →，所以A ，P ，C 三点共线，且P 是线段AC 的三等分点(靠近A ).角度2 由向量共线求参数的值2．(2019·安徽合肥一中高考模拟)如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为AB ，AD 上的点，且AM→＝45AB →，连接AC ，MN 交于点P ，若AP →＝411AC →，则点N 在AD 上的位置为( )A.AD 中点B.AD 上靠近点D 的三等分点C.AD 上靠近点D 的四等分点D.AD 上靠近点D 的五等分点答案 B解析设AD →＝λAN →，因为AP →＝411AC →＝411(AB →＋AD →)＝411⎝ ⎛⎭⎪⎫54AM →＋λAN →＝511AM →＋4λ11AN →，又M ，N ，P 三点共线，所以511＋4λ11＝1，解得λ＝32，所以AN →＝23AD →，所以点N 在AD 上靠近点D 的三等分点.求解向量共线问题的注意事项(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．如举例说明2.(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．(3)若a 与b 不共线且λa ＝μb ，则λ＝μ＝0.(4)直线的向量式参数方程，A ，P ，B 三点共线⇔OP →＝(1－t )OA →＋tOB →(O 为平面内任一点，t ∈R )．OA→＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若A ，B ，C 三点共线，则λ＋μ＝1.1.在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( )A.矩形 B ．平行四边形 C.梯形 D ．以上都不对答案 C解析 AD→＝AB →＋BC →＋CD →＝(a ＋2b )＋(－4a －b )＋(－5a －3b )＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC→，所以AD ∥BC ，且AD ≠BC ，所以四边形ABCD 是梯形.2.设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB →＝2e 1－8e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e1－e 2.(1)求证：A ，B ，D 三点共线；(2)若BF →＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线，求k 的值．解 (1)证明：由已知得BD →＝CD →－CB →＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2， ∵AB →＝2e 1－8e 2， ∴AB→＝2BD →. 又A B →与B D →有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． (2)由(1)可知BD →＝e 1－4e 2， ∵BF →＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线， ∴BF→＝λBD →(λ∈R )，即3e 1－k e 2＝λe 1－4λe 2， ∴⎩⎨⎧λ＝3，－k ＝－4λ.解得k ＝12.组基础关1.设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，一定能使a |a |＋b|b |＝0成立的是( ) A.a ＝2b B ．a ∥b C.a ＝－13b D ．a ·b ＝0答案 C解析使a |a |＋b|b |＝0成立，需向量a 与b 反向．故选C.2.已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 反向共线，则实数λ的值为( )A.1 B ．－12 C.1或－12D ．－1或－12答案 B解析由于c 与d 反向共线，则存在实数k 使c ＝k d (k <0)，于是λa ＋b ＝k [a ＋(2λ－1)b ]．整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b .由于a ，b 不共线，所以有⎩⎨⎧λ＝k ，2λk －k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－12.又k <0，所以λ<0，故λ＝－12.3.已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且2OP →＝2OA →＋BA→，则( ) A.点P 在线段AB 上B.点P 在线段AB 的反向延长线上C.点P 在线段AB 的延长线上D.点P 不在直线AB 上答案 B解析因为2OP →＝2OA →＋BA →，所以2AP →＝BA →，所以点P 在线段AB 的反向延长线上，故选B.4.已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则AP →＝( )A.λ(AB→＋AD →)，λ∈(0,1) B.λ(AB→＋BC →)，λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 C.λ(AB→－AD →)，λ∈(0,1)D.λ(AB→－BC →)，λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 答案 A解析根据向量的平行四边形法则，得AC→＝AB →＋AD →.因为点P 在对角线AC上(不包括端点A ，C )，所以AP →与AC →共线，所以AP →＝λAC →＝λ(AB →＋AD →)，λ∈(0,1)，故选A.5.(2019·湖北省“四地七市”联考)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若向量λa ＋b 与c 共线，则实数λ＝( )A.－2 B ．－1 C.1 D ．2答案 D解析由图可知2a ＋b ＝c ，若向量λa ＋b 与c 共线，则λ＝2.故选D. 6．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝π2，AC ＝2AB ，∠BAC 的平分线交△ABC的外接圆于点D .设AB→＝a ，AC →＝b ，则向量AD →＝( )A.a ＋bB.12a ＋b C.a ＋12bD ．a ＋23b答案 C解析由题意知，AC 为△ABC 的外接圆的直径．设△ABC 的外接圆圆心为O ，如图，连接OD ，BD ，则AB ＝OA ＝OD .又易得AB ∥OD ，所以四边形ABDO 是平行四边形，所以AD→＝AB →＋AO →＝AB →＋12AC →＝a ＋12b .故选C.7．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2DC ，E 为BC 边上一点，BC →＝3EC→，F 为AE 的中点，则BF →＝( )A.23AB →－13AD →B.13AB →－23AD →C.－23AB →＋13AD → D ．－13AB →＋23AD →答案 C解析 BF→＝BA →＋AF →＝BA →＋12AE →＝－AB →＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →＋CE →＝－AB →＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →＋13CB →＝－AB →＋12AD →＋14AB →＋16(CD →＋DA →＋AB →)＝－23AB →＋13AD →. 8.(2019·河南三市联考)若AP→＝12PB →，AB →＝(λ＋1)BP →，则λ＝________.答案－52解析 ∵AP→＝12PB →，∴AP →＋PB →＝AB →＝32PB →＝－32BP →.∴λ＋1＝－32，λ＝－52.9.给出下列四个命题：①若a ＋b 与a －b 是共线向量，则a 与b 也是共线向量； ②若|a |－|b |＝|a －b |，则a 与b 是共线向量； ③若|a －b |＝|a |＋|b |，则a 与b 是共线向量；④若||a |－|b ||＝|a |＋|b |，则b 与任何向量都共线．其中是真命题的有________(填上序号)．答案 ①②③解析 ①由向量的平行四边形法则可知，若a ＋b 与a －b 是共线向量，则必有a 与b 也是共线向量，所以①是真命题；②若|a |－|b |＝|a －b |，则a 与b 同向，或b 是零向量，或a ，b 均为零向量，所以a 与b 是共线向量，所以②是真命题；③若|a －b |＝|a |＋|b |，则a 与b 方向相反，或a ，b 中至少有一个零向量，所以a 与b 是共线向量，所以③是真命题；④当a 是零向量，b 是非零向量时，||a |－|b ||＝|a |＋|b |成立，而b 不能与任何向量都共线，所以④是假命题.10.(2019·青岛质检)已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC→＝a ，CA →＝b ，给出下列命题：①AD→＝12a －b ；②BE →＝a ＋12b ；③CF →＝－12a ＋12b ；④AD →＋BE →＋CF →＝0. 其中正确命题的序号为________．答案 ②③④解析 AD→＝CD →－CA →＝－12BC →－CA →＝－12a －b ，所以①错误；BE →＝BC →＋CE →＝BC→＋12CA →＝a ＋12b ，故②正确；CF →＝12(CA →＋CB →)＝12(b －a )＝－12a ＋12b ，故③正确；综上知AD→＋BE →＋CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a －b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋12b ＝0，故④正确. 组能力关1.已知点O 为△ABC 的外接圆的圆心，且OA →＋OB →－OC →＝0，则△ABC 的内角A 等于( )A.30° B ．60° C ．90° D ．120°答案 A解析因为OA→＋OB →－OC →＝0，所以OC →＝OA →＋OB →.所以四边形OACB 是平行四边形，又因为|OA→|＝|OB →|＝|OC →|，所以四边形OACB 是菱形，△OAC 是等边三角形．所以∠BAC ＝12∠OAC ＝30°.2.在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC→＝3CD →，点O 在线段CD上(与点C ，D 不重合)，若AO→＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0 答案 D解析设CO →＝yBC →，∵AO →＝AC →＋CO →＝AC →＋yBC →＝AC →＋y (AC →－AB →)＝－yAB →＋(1＋y )AC →.∵BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，∴y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，∵AO→＝xAB →＋(1－x )AC →，∴x ＝－y ，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0.3.点O 是△ABC 内一点，满足条件OA →＝2BO →＋3CO →，延长BO 交AC 于点D ，则S △CODS △AOD的值为( ) A.23 B.13 C.12 D.34答案 B解析解法一：如图(1)，分别取BC ，AC 的中点为E ，F ，连接EF .∵OA →＝2BO→＋3CO →，∴OA →－CO →＝2(BO →＋CO →)，即OA →＋OC →＝－2(OB →＋OC →)，∴2OF →＝－2·2OE→，∴OF →＝－2OE →.故O 在△ABC 的中位线EF 上，且OF ＝2OE .过点E 作EH ∥CD ，交BD 于点H ，则H 为BD 的中点，EH ＝12CD ＝12DF ，因此CD ＝DF ，CD ∶AD ＝1∶3，∴S △COD S △AOD＝CD AD ＝13.故选B.解法二：∵OA →＋2OB →＋3OC →＝0，令2OB →＝OB ′→，3OC →＝OC ′→，∴OA →＋OB ′→＋OC ′→＝0，∴O 是△AB ′C ′的重心，如图(2)，延长B ′O 交AC ′于点F ，则AF ＝FC ′.过点C 作CE ∥AC ′，交BF 于点E ，∴CD AD ＝CE AF ＝CE C ′F ＝OC OC ′＝13，∴S △COD S △AOD ＝CD AD ＝13.故选B.4．在平面向量中有如下定理：设点O ，P ，Q ，R 为同一平面内的点，则P ，Q ，R 三点共线的充要条件是：存在实数t ，使OP→＝(1－t )OQ →＋tOR →.试利用该定理解答下列问题：如图，在△ABC 中，点E 为AB 边的中点，点F 在AC 边上，且CF ＝2F A ，BF 交CE 于点M ，设AM →＝xAE →＋yAF →，则x ＋y ＝________.答案 75解析因为B ，M ，F 三点共线，所以存在实数t ，使得AM →＝(1－t )·AB →＋tAF →，又AB→＝2AE →，AF →＝13AC →，所以AM →＝2(1－t )AE →＋13tAC →.又E ，M ，C 三点共线，所以2(1－t )＋13t ＝1，得t ＝35.所以AM→＝2(1－t )AE →＋tAF →＝45AE →＋35AF →，所以x ＝45，y ＝35，所以x ＋y ＝75.。

高三一轮复习教案15平面向量基本定理及其坐标表示

平面向量基本定理及其坐标表示1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中不共线的向量e 1，e 2叫表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，当且仅当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a ，b 共线．一个区别向量坐标与点的坐标的区别：在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA →＝a ，点A 的位置被向量a 唯一确定，此时点A 的坐标与a 的坐标统一为(x ，y )，但应注意其表示形式的区别，如点A (x ，y )，向量a ＝OA→＝(x ，y )．当平面向量OA →平行移动到O 1A 1→时，向量不变，即O 1A 1→＝OA →＝(x ，y )，但O 1A 1→的起点O 1和终点A 1的坐标都发生了变化．两个防范(1)要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．(2)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，所以应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0. 课前练习1．(人教A 版教材习题改编)已知a 1＋a 2＋…＋a n ＝0，且a n ＝(3,4)，则a 1＋a 2＋…＋a n －1的坐标为( )． A ．(4,3)B ．(－4，－3)C ．(－3，－4)D ．(－3,4)2．若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，c ＝(4,2)，则c ＝( )． A ．3a ＋b B ．3a －b C ．－a ＋3b D ．a ＋3b3．设向量a ＝(m,1)，b ＝(1，m )，如果a 与b 共线且方向相反，则m 的值为( )． A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．24．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，若表示向量4a 、3b －2a 、c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c ＝( )．A ．(4,6)B ．(－4，－6)C ．(4，－6)D ．(－4,6)5．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________.四、典例精析题型一：平面向量基本定理的应用例1.如图，在ABC 中，14OC OA = ,12OD OB =,AD 与BC 交于点M ，设O A a = ，OB b = ，用,a b表示OM .例2如图所示，在△ABC 中，H 为BC 上异于B ，C 的任一点，M 为AH 的中点，若AM →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ＝________.【训练1】如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．若AD →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________，y ＝________.BOCADM题型二：平面向量的坐标运算例1.已知点A （2,3），B(5,4)，C(10,8)，若()AP AB AC R λλ=+∈,求当点P 在第二象限时λ的取值范围.例2.已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，且CM →＝3CA →，CN →＝2CB →.求M ，N 的坐标和MN →.【训练2】在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →＝( )． A ．(－2，－4) B ．(－3，－5) C ．(3,5)D ．(2,4)题型三：平面向量共线的坐标表示例1.平面内给定三个向量()()()3,2,1,2,4,1,a b c ==-=回答下列问题：（1）若()()//2,a kc b a +-求实数k ；（2）设(),d x y =满足()()//d c a b -+ 且1d c -= ，求d .例2.已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，是否存在实数k ，使得k a ＋b 与a －3b 共线，且方向相反？【训练3】 (2011·西安质检)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)，若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫79，73B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－79C.⎝ ⎛⎭⎪⎫73，79D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－73题型四：新定义型信息题例1.（2010.山东高考）定义平面向量间的一中运算“⊙”如下：对任意的()(),,,,a m n b p q ==令,a b mq np =-下面说法错误的是（）（A ）若a 与b 共线，则0a b =（B ）a b b a =（C ）对任意的,R λ∈有()()a b a bλλ=（D ）()()2222a b a b a b +∙=例2.在边长为1的正三角形ABC 中，设BC →误．＝2BD →，CA →＝3CE →，则AD →·BE →＝________. 错因搞错向量的夹角或计算错实录－12(填错的结论多种)．【训练4】 (2011·天津)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →＋3PB →|的最小值为________． [尝试解析]五、达标检测1．（2010全国Ⅱ）ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分ABC ∠，若,,1,2,C B aC A b a b ====则CD = （） 12.33A a b + 21.33B a b + 34.55C a b + 43.55D a b +2．(2009广东)已知平面向量()()2,1,,,a x b x x ==- 则向量a b + （）A.平行于x 轴B.平行于第一、三象限的角平分线C.平行于y 轴D.平行于第二、四象限的角平分线3.已知向量()11sin ,1,,1sin ,//2a b a b θθ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，则锐角θ等于（）.30A .45B .60C .75D4． (2010陕西)已知向量()()()2,1,1,,1,2,a b m c =-=-=- 若()//,a b c +则m= .5.已知点A （1，-2），若向量AB 与()2,3a =同向，AB = 则点B 的坐标为 .6.设()()1212,,,a a a b b b == ，定义一种向量积：()1122,.a b a b a b ⊗=已知点()1,s i n ,2,,,0,23P m n πθθ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭点Q 在y=f(x)的图像上运动，满足OQ m OP n =⊗+（其中O 为坐标原点），求y=f(x)的最大值及其最小正周期.。

高中数学一轮复习专题学案——平面向量的基本定理与坐标运算

第38课时平面向量基本定理与坐标运算一.知识梳理 1.平面向量基本定理：如果12,e e u r u r 是平面内的两个不共线向量，那么对于平面内的任意向量a r ，有且只有一对实数μλ,，使12a e e λμ=+r u r u r 。

不共线的向量12,e e u r u r 叫做表示这一平面内的所有向量的一组基底，记为1212{,},e e e e λμ+u r u r u r u r 叫做向量a r 关于基底12{,}e e u r u r 的分解式. 2.在直角坐标系内，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个向量,i j r r 作为基底，任作一个向量a r ，由平面向量基本定理知，有一对实数,x y ，使得：,(,)a xi y j x y =+r r r 叫做向量a r 的，记作a r 。

显然i =r ， j r = ，0r = .3.平面向量的坐标运算 ①若1122(,),(,)a x y b x y ==r r ，则a b +r r = ，a b -r r = . ②如果1122(,),(,)A x y B x y ，则AB uu u r = ，AB uu u r = .③若(,)a x y =r ，则a λr = ，当1aλ=r 时，表示a r 方向的单位向量.④如果1122(,),(,)a x y b x y ==r r ，则//a b r r 的充要条件是 . a b ⊥r r 的充要条件是 .二.基础训练 1.已知向量12,e e r r 不共线，12122,2,a e e b e e λ=+=+r r r r r r 要使,a b r r 能成为平面内所有向量的一组基底，则实数λ的取值范围是 . 2.设O 为坐标原点，向量52OA =-uu r （，），将向量OA uu r 向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到向量CD uu u r ，则向量CD uu u r 的坐标为 . 3.若向量(1,1),(1,1),(1,2),a b c ==-=-r r r 用,a b r r 表示c r ，则c r = . 4.已知点A(-1,-2),B(-4,5)，则与AB uu u r 共线的单位向量的坐标为 . 5.已知点A （-1，-2），B （2，3），C （-2，0），D(),y x ，且2AC BD =u u u r u u u r ,则x y += .6.已知平行四边形ABCD ，点A(-1,2),B(3,0)C(5,1),则点D 的坐标是 .三.典型例题例1.(1)已知向量(1,2),(,1),2,2a b x u a b v a b ===+=-r r r r r r r r ，且u r //v r ，求x 的值； (2)在直角三角形ABC 中，(2,3),(1,)AB AC k ==uu u r uuu r ，求实数k 的值.例2.已知点00(1,2),(4,5),()OA B OP OA t AB t R =+∈uu u r uu r uu u r (，),. (1)要使点P 在x 轴上、y 轴上、第二象限内，则t 分别应取什么值？(2)四边形OABP 是否有可能是平行四边形？如可能，求出相应的t 得值，如不可能说明理由.A OBC 例3.平面内有向量(1,7),(5,1),(2,1)OA OB OP ===uu r uu u r uu u r ，点M 为直线OP 上的一个动点，当MA MB ⋅uuu r uuu r 取最小值时，求OM uuur 的坐标.例4.已知向量(3,1)a =- ,13(,)22b = ，若存在实数,x y ,使向量2(43),c a x b =+- 11d ya b x =-+- ,且c d ⊥ . （1）试求函数()y f x =的关系式；（2）若1x >，则是否存在实数m ，使得()m f x <恒成立？如果存在,求出m 的取值范围；如果不存在，请说明理由.四.课后作业1.已知点A(1,-3),B(8,-1),若点C(2)2,1+-a a 在直线AB 上，则a = .2.已知||1,||2,(),|a b a b R a b λλ===∈-=r r r r r r 则| .3.已知向量(cos ,sin ),(3,1),a b θθ==-r r 则|2|a b -r r 的最大值是 .4.已知向量(1,1),(2,)a b x ==r r ，若a b +r r 与42b a -r r 平行，则实数x 的值是 .5.在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若12,3AD DB CD CA CB λ==+ ，则λ=________. 6.已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===- ,且A 、B 、C 三点共线,则k =________.7.如图，平面内有三个向量,,OA OB OC ，其中OA 与OB 的夹角为120°，OA 与OC 的夹角为150°，且1OA OB == ，23OC = ．若()OC OA OB λμλμ=+∈R ，，则λμ+的值为．8.已知(1,2),(3,2),a b ==-r r 当k 为何值时（1）ka b +r r 与3a b -r r 垂直？（2）ka b +r r 与3a b -r r 平行？平行时它们是同向还是反向？。

高考数学一轮复习备课手册第54课平面向量的基本定理与坐标运算

第课平面向量的基本定理与坐标运算一、教学目标．了解平面向量的基本定理及其意义；．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；. 理解坐标表示的平面向量共线的条件，会用坐标判定向量共线.二、基础知识回顾与梳理.平面向量的基本定理定理：如果是同一个平面内的两个向量，那么对于这一平面内的任意向量，一对实数，使，不共线的向量叫做这一平面内所有向量的一组．.平面向量的坐标表示及运算在平面直角坐标系中,分别取与轴,轴方向相同的两个单位向量作为基底,对于平面内的一个向量,有且只有一对实数,,使,把有序数对叫做的坐标,记做.设,实数,则,,..向量平行的坐标表示设,(),如果,那么,反过来,如果,那么.【教学建议】.平面向量的基本定理是建立向量坐标的基础,它保证了向量与坐标是一一对应的,在应用时注意构成基底的两个向量是不共线向量..两向量,共线的充要条件的坐标表示是,而不是或.在应用是特别注意,不能混淆..向量的坐标等于向量的终点坐标减去起点坐标,只有当向量的起点是原点时,向量坐标才与其终点坐标相同,向量平移前后其本身的坐标不变.答案：.不共线的,有且只有,,基底..,,,,..,.三、诊断练习、教学处理：课前由学生自主完成道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏。

课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误。

将知识问题化，通过问题驱动，使教学言而有物，帮助学生内化知识，初步形成能力。

、诊断练习点评题：设向量(),且点的坐标为（），则点的坐标为.【分析与点评】明确一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标题．向量，若、、三点共线，则【分析与点评】（）注意体会向量的坐标运算法则以及坐标表示向量的方便与简洁.（）问题：向量共线的条件是什么？问题：如何建立关于的等式？题．已知梯形，其中∥，且,若三个顶点坐标为,则点的坐标为．答案为：.【分析与点评】一般方法:依题意有，设，则.【变式】一梯形三个顶点的坐标分别为，且上底长是下底的倍，求第四个顶点的坐标.点评：需要分情况讨论。

高考数学一轮复习 (基础知识+高频考点+解题训练)平面向量的基本定理及坐标表示教学案

平面向量的基本定理及坐标表示[知识能否忆起]一、平面向量基本定理及坐标表示 1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 3．平面向量的坐标表示(1)在平面直角坐标系中，分别取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底．对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x ，y ，使a ＝x i ＋y j ，把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标．(2)设OA u u u r ＝x i ＋y j ，则向量OA u u u r 的坐标(x ，y )就是终点A 的坐标，即若OA u u u r＝(x ，y )，则A 点坐标为(x ，y )，反之亦成立．(O 是坐标原点)二、平面向量坐标运算1．向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)．2．向量坐标的求法(1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB u u u r ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB u u u r|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.三、平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.若a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.[小题能否全取]1．(2012·广东高考)若向量AB u u u r＝(1,2)，BC u u u r ＝(3,4)，则AC u u u r ＝( )A ．(4,6)B ．(－4，－6)C ．(－2，－2)D ．(2,2)解析：选A ∵AC u u u r ＝AB u u u r ＋BC u u ur ，∴AC u u u r ＝(1,2)＋(3,4)＝(4,6)．2．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(x ，－2)，若a ∥b ，则a ＋b 等于( ) A ．(－2，－1) B ．(2,1) C ．(3，－1)D ．(－3,1)解析：选A 由a ∥b 可得2×(－2)－1×x ＝0，故x ＝－4，所以a ＋b ＝(－2，－1)．3．(教材习题改编)已知两点A (4,1)，B (7，－3)，则与AB u u u r同向的单位向量是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35D.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35解析：选A ∵A (4,1)，B (7，－3)，∴AB u u u r＝(3，－4)，∴与AB u u u r 同向的单位向量为AB u u u r|AB u u u r |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45. 4．在平行四边形ABCD 中，若AB u u u r ＝(1,3)，AC u u u r ＝(2,5)，则AD u u u r ＝________，BD u u u r＝________.解析：AD u u u r ＝BC u u u r ＝AC u u u r －AB u u u r＝(2,5)－(1,3)＝(1,2)， BD u u u r ＝AD u u u r －AB u u u r＝(1,2)－(1,3)＝(0，－1)．答案：(1,2) (0，－1)5．梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别是CD ，AB 的中点，设AB u u u r ＝a ，AD u u u r ＝b .若MN u u u u r ＝m a ＋n b ，则nm＝________.解析：∵MN u u u u r ＝MD u u u r ＋DA u u u r ＋AN u u u r ＝－14a －b ＋12a ＝14a －b ，∴m ＝14，n ＝－1.∴nm ＝－4.答案：－41.基底的不唯一性只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量a都可被这个平面的一组基底e1，e2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．2．向量坐标与点的坐标的区别要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向的信息也有大小的信息．典题导入[例1] (2012·苏北四市联考)如图，在四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于点O ，设AD u u u r ＝a ，AB u u u r ＝b ，若AB u u u r＝2DC u u u r ，则AO u u u r ＝________(用向量a 和b 表示)．[自主解答] ∵AB u u u r ＝2DC u u u r ，∴△DOC ∽△BOA ，且OC OA ＝12，∴AO u u u r ＝23AC u u u r ＝23(AD u u u r ＋DC u u u r )＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b ＝23a ＋13b . [答案] 23a ＋13b由题悟法用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，也就是利用已知向量表示未知向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算．以题试法1．(2012·南宁模拟)在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点，AN u u u r ＝λAB u u u r＋μAC u u u r，则λ＋μ的值为( )A.12B.13C.14D ．1解析：选A 设CM u u u r ＝m CB u u u r ＝m (AB u u u r －AC u u u r )(0≤m ≤1)，则AM u u u u r ＝AC u u ur ＋CM u u u r ＝(1－m ) AC u u u r ＋m AB u u u r ，AN u u u r ＝12AM u u u u r ＝m 2AB u u u r ＋1－m 2AC u u u r ，所以λ＋μ＝m 2＋1－m 2＝12.典题导入[例2] (1)(2012·西城期末)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－2)．若实数k 与向量c 满足a ＋2b ＝k c ，则c 可以是( )A ．(3，－1)B ．(－1，－3)C ．(－3，－1)D ．(－1, 3)(2)已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB u u u r＝a ，BC u u u r ＝b ，CA u u u r ＝c .①求3a ＋b －3c ；②求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n .[自主解答] (1)∵a ＝(3，1)，b ＝(0，－2)， ∴a ＋2b ＝(3，－3)＝－3(－1，3)．(2)由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． ①3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24) ＝(6，－42)．②∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.[答案] (1)D本例中第(2)题增加条件CM u u u r ＝3c ，ON u u u r ＝2b ，求M ，N 的坐标及向量MN u u u u r的坐标．解：∵CM u u u r ＝OM u u u u r －OC u u u r＝3c ， ∴OM u u u u r ＝3c ＋OC u u u r＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．∴M (0,20)．又∵CN u u u r ＝ON u u u r －OC u u u r＝－2b ， ∴ON u u u r ＝－2b ＋OC u u u r＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N (9,2)．∴MN u u u u r＝(9，－18)．由题悟法1．向量的坐标运算实现了向量运算代数化，将数与形结合起来，从而可使几何问题转化为数量运算．2．两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同．此时注意方程(组)思想的应用． [注意] 向量的坐标与点的坐标不同：向量平移后，其起点和终点的坐标都发生变化，但向量的坐标不变．以题试法2．(2012·淮安模拟)已知向量a ＝(6,4)，b ＝(0,2)，OC u u u r＝a ＋λb ，O 为坐标原点，若点C 在函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12x 的图象上，则实数λ的值为________．解析：由题意得OC u u u r＝(6,4)＋λ(0,2)＝(6,4＋2λ)，故点C 的坐标为(6,4＋2λ)，根据条件得4＋2λ＝sin 6π12＝1，解得λ＝－32.答案：－32典题导入[例3] (2011·广东高考)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝( )A.14B.12 C ．1D ．2[自主解答] 可得a ＋λb ＝(1＋λ，2)，由(a ＋λb )∥c 得(1＋λ)×4－3×2＝0，所以λ＝12.[答案] B在本例条件下，问是否存在非零常数λ，使a＋λb和a－λc平行？若平行，是同向还是反向？解：∵a＋λb＝(1＋λ，2)，a－λc＝(1－3λ，2－4λ)，若(a＋λb)∥(a－λc)，∴(1＋λ)(2－4λ)－2(1－3λ)＝0.∴λ＝1.∴a＋λb＝(2,2)与a－λc＝(－2，－2)反向．即存在λ＝1使a＋λb与a－λc平行且反向．由题悟法a ∥b 的充要条件有两种表达方式(1)a ∥b (b ≠0)⇔a ＝λb (λ∈R )；(2)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.两种充要条件的表达形式不同．第(1)种是用线性关系的形式表示的，而且有前提条件b ≠0，而第(2)种无b ≠0限制．以题试法3．(1)(2012·北京东城区综合练习)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则m n＝( )A ．－2B ．2C ．－12D.12解析：选C 由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)，因为m a ＋n b 与a －2b 共线，所以(2m －n )×(－1)－(3m ＋2n )×4＝0，整理得m n ＝－12.(2)(2012·嘉兴模拟)已知a ，b 是不共线的向量，AB u u u r＝λa ＋b ，AC u u u r ＝a ＋μb ，λ，μ∈R ，那么A ，B ，C 三点共线的充要条件为( )A ．λ＋μ＝2B ．λ－μ＝1C ．λμ＝－1D ．λμ＝1解析：选D ∵A ，B ，C 三点共线，∴存在实数t ，满足AB u u u r＝t AC u u u r ，即λa ＋b ＝t a＋μt b ，又a ，b 是不共线的向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝μt ，即λμ＝1.1．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP u u u r ＝2PC u u u r ，点Q 是AC 的中点，若PA u u u r ＝(4,3)，PQu u u r＝(1,5)，则BC u u u r等于( )A ．(－2,7)B ．(－6,21)C ．(2，－7)D ．(6，－21)解析：选 B BC u u u r ＝3PC u u u r ＝3(2PQ u u u r －PA u u u r )＝6PQ u u u r －3PA u u u r＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21)．2．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝( ) A ．(－2，－4) B ．(－3，－6) C ．(－4，－8)D ．(－5，－10)解析：选C 由a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，得1×m ＝2×(－2)⇒m ＝－4，从而b ＝(－2，－4)，那么2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．3.(2013·昆明模拟)如图所示，向量OA u u u r ＝a ，OB u u u r ＝b ，OC u u u r＝c ，A ，B ，C 在一条直线上，且AC u u u r ＝－3CB u u u r，则( )A ．c ＝－12a ＋32bB ．c ＝32a －12bC ．c ＝－a ＋2bD ．c ＝a ＋2b解析：选A ∵AC u u u r ＝－3CB u u u r ，∴OC u u u r －OA u u u r ＝－3(OB u u u r －OC u u u r)． ∴OC u u u r ＝－12OA u u u r ＋32OB u u u r ，即c ＝－12a ＋32b .4．已知点A (2,1)，B (0,2)，C (－2,1)，O (0,0)．给出下面的结论：①直线OC 与直线BA 平行；②AB u u u r ＋BC u u ur ＝CA u u u r ；③OA u u u r ＋OC u u u r ＝OB u u u r ；④AC u u u r ＝OB u u u r －2OA u u u r.其中正确的结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C ∵OC u u u r ＝(－2,1)，BA u u u r ＝(2，－1)，∴OC u u u r ∥BA u u u r，又A ，B ，C ，O 不共线，∴OC ∥AB .①正确；∵AB u u u r ＋BC u u ur ＝AC u u u r ，∴②错误； ∵OA u u u r ＋OC u u u r ＝(0,2)＝OB u u u r，∴③正确； ∵OB u u u r －2OA u u u r ＝(－4,0)，AC u u u r＝(－4,0)，∴④正确．5．(2012·郑州模拟)已知平面直角坐标系内的两个向量a ＝(1,2)，b ＝(m,3m －2)，且平面内的任一向量c 都可以唯一的表示成c ＝λa ＋μb (λ、μ为实数)，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)解析：选D 由题意知向量a ，b 不共线，故m ≠3m －22，解得m ≠2.6．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD交于点F .若AC u u u r ＝a ，BD u u u r ＝b ，则AF u u u r＝( )A.14a ＋12b B.23a ＋13b C.12a ＋14bD.13a ＋23b 解析：选B 由已知得DE ＝13EB ，又∵△DEF ∽△BEA ， ∴DF ＝13AB .即DF ＝13DC .∴CF ＝23CD .∴CF u u u r ＝23CD u u u r ＝23(OD u u u r －OC u u u r )＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫12b －12a ＝13b －13a .∴AF u u u r ＝AC u u u r ＋CF u u u r ＝a ＋13b －13a ＝23a ＋13b .7．(2012·洛阳质检)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8，x 2，b ＝(x,1)，其中x >0，若(a －2b )∥(2a ＋b )，则x ＝________.解析：a －2b ＝⎝⎛⎭⎪⎫8－2x ，x2－2，2a ＋b ＝(16＋x ，x ＋1)，由题意得(8－2x )·(x ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x2－2·(16＋x )，整理得x 2＝16，又x >0，所以x ＝4.答案：48．(2013·九江模拟)P ＝{a |a ＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R }，Q ＝{b |b ＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q 等于________．解析：P 中，a ＝(－1＋m,1＋2m )，Q 中，b ＝(1＋2n ，－2＋3n )．则⎩⎪⎨⎪⎧－1＋m ＝1＋2n ，1＋2m ＝－2＋3n .得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12，n ＝－7.此时a ＝b ＝(－13，－23)．答案：{}－13，－239．已知向量OA u u u r ＝(1，－3)，OB u u u r ＝(2，－1)，OC u u u r＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．解析：若点A ，B ，C 能构成三角形，则向量AB u u u r ，AC u u ur 不共线．∵AB u u u r ＝OB u u ur －OA u u u r ＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)， AC u u u r ＝OC u u u r －OA u u u r＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)，∴1×(k ＋1)－2k ≠0，解得k ≠1. 答案：k ≠110．已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )． (1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系式；(2)若AC u u u r ＝2AB u u u r，求点C 的坐标．解：(1)由已知得AB u u u r＝(2，－2)，AC u u u r ＝(a －1，b －1)，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB u u u r ∥AC u u ur .∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2.(2)∵AC u u u r ＝2AB u u u r ，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2)．∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝4，b －1＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－3.∴点C 的坐标为(5，－3)．11．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．求： (1)|a ＋3b |；(2)当k 为何实数时，k a －b 与a ＋3b 平行，平行时它们是同向还是反向？解：(1)因为a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，所以a ＋3b ＝(7,3)，故|a ＋3b |＝72＋32＝58.(2)k a －b ＝(k －2，－1)，a ＋3b ＝(7,3)，因为k a －b 与a ＋3b 平行，所以3(k －2)＋7＝0，即k ＝－13.此时k a －b ＝(k －2，－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－1， a ＋3b ＝(7,3)，则a ＋3b ＝－3(k a －b )，即此时向量a ＋3b 与k a －b 方向相反．12．已知O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM u u u u r ＝t 1OA u u u r ＋t 2AB u u u r.(1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点都共线．解：(1) OM u u u u r ＝t 1OA u u u r ＋t 2AB u u u r＝t 1(0,2)＋t 2(4,4)＝(4t 2,2t 1＋4t 2)．当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎪⎨⎪⎧4t 2<0，2t 1＋4t 2≠0，故所求的充要条件为t 2<0且t 1＋2t 2≠0.(2)当t 1＝1时，由(1)知OM u u u u r＝(4t 2,4t 2＋2)．∵AB u u u r ＝OB u u ur －OA u u u r ＝(4,4)，AM u u u u r ＝OM u u u u r －OA u u u r ＝(4t 2,4t 2)＝t 2(4,4)＝t 2AB u u u r，∴不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点共线．1.如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，N 是线段OD 的中点，AN 的延长线与CD 交于点E ，则下列说法错误．．的是( )A ．AC u u u r ＝AB u u u r ＋AD u u u rB ．BD u u u r ＝AD u u u r －AB u u u rC ．AO u u u r ＝12AB u u u r ＋12AD u u u rD ．AE u u u r ＝53AB u u u r ＋AD u u u r解析：选D 由向量减法的三角形法则知，BD u u u r ＝AD u u u r －AB u u u r，排除B ；由向量加法的平行四边形法则知，AC u u u r ＝AB u u u r ＋AD u u u r ，AO u u u r ＝12AC u u u r ＝12AB u u u r ＋12AD u u u r，排除A 、C.2．(2012·山西四校联考)在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC u u u r ＝3CD u u u r，点O 在线段CD 上(与点C 、D 不重合)，若AO u u u r ＝x AB u u u r＋(1－x ) AC u u u r ，则x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0 解析：选D 依题意，设BO u u u r ＝λBC u u u r ，其中1<λ<43，则有AO u u u r ＝AB u u u r ＋BO u u u r ＝AB u u u r ＋λBC u u u r ＝AB u u u r ＋λ(AC u u u r －AB u u u r )＝(1－λ) AB u u u r＋λAC u u u r .又AO u u u r ＝x AB u u u r ＋(1－x ) AC u u u r ，且AB u u u r ，AC u u u r 不共线，于是有x ＝1－λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0，即x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0. 3．(2012·东营模拟)已知P 为△ABC 内一点，且3AP u u u r ＋4BP u u u r＋5CP u u u r ＝0.延长AP 交BC 于点D ，若AB u u u r ＝a ，AC u u u r ＝b ，用a ，b 表示向量AP u u u r ，AD u u u r.解：∵BP u u u r ＝AP u u u r －AB u u u r ＝AP u u u r －a ，CP u u u r ＝AP u u u r －AC u u u r ＝AP u u u r－b ，又3AP u u u r ＋4BP u u u r＋5CP u u u r ＝0，∴3AP u u u r ＋4(AP u u u r －a )＋5(AP u u u r－b )＝0，化简，得AP u u u r ＝13a ＋512b .设AD u u u r ＝t AP u u u r (t ∈R )，则AD u u u r ＝13t a ＋512t b ．①又设BD u u u r＝k BC u u u r (k ∈R )，由BC u u u r ＝AC u u u r －AB u u u r＝b －a ，得 BD u u u r ＝k (b －a )．而AD u u u r ＝AB u u u r ＋BD u u u r ＝a ＋BD u u u r ， ∴AD u u u r＝a ＋k (b －a )＝(1－k )a ＋k b .②由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧13t ＝1－k ，512t ＝k ，解得t ＝43.代入①，有AD u u u r ＝49a ＋59b .1．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(sin α－m ，cos α)，且a ∥b ，则实数m 的最小值为( ) A ．－2B ．－1C ．－ 2D ．－3解析：选A ∵a ∥b ，∴3cos α－sin α＋m ＝0. ∴m ＝sin α－3cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3≥－2.2．若α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a 在另一组基底m ＝(－1,1)，n ＝(1,2)下的坐标为( )A ．(2,0)B ．(0，－2)C ．(－2,0)D ．(0,2)解析：选D ∵a 在基底p ，q 下的坐标为(－2,2)，即a ＝－2p ＋2q ＝(2,4)．令a ＝x m ＋y n ＝(－x ＋y ，x ＋2y )，故⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.3.如图，已知平行四边形ABCD 的顶点A (0，0)，B (4,1)，C (6,8)． (1)求顶点D 的坐标；(2)若DE u u u r＝2EC u u u r ，F 为AD 的中点，求AE 与BF 的交点I 的坐标．解：(1)设点D (x ，y )，因为AD u u u r ＝BC u u ur ，所以(x ，y )＝(6,8)－(4,1)＝(2,7)，所以顶点D 的坐标为(2,7)．(2)设点I (x ，y )，则有F 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，72，由于DE u u u r ＝2EC u u u r ，故(x E －2，y E －7)＝2(6－x E,8－y E )⇒E ⎝ ⎛⎭⎪⎫143，233，由于BF u u u r ＝⎝⎛⎭⎪⎫－3，52，BI u u r ＝(x －4，y －1)，BF u u u r ∥BI u u r ⇒52(x －4)＝－3(y －1)，又AE u u u r ∥AI u u r ⇒233x ＝143y ，联立方程组可得x ＝74，y ＝238，则点I 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫74，238.。

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高考数学新版一轮复习教程学案第 54 课平面向量的基本定理与坐标运算1.了解平面向量的基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；理解用坐标表示的平面向量共线的条件.1.阅读：必修 4 第 74～ 81 页 .2. 解悟：①平面向量基本定理；②平面向量的坐标表示；③结合第78 页例 4 能得到什么一般性的结论吗？3. 践习：在教材空白处，完成第82 页习题第7～16 题 .基础诊断1.→(4， 6) . 设向量 AB ＝ (2， 3)，且点 A 的坐标为 (2， 3)，则点 B 的坐标为解析：设点→→→，3)＝ (x－ 2， y－ 3)，所以B 的坐标为 (x， y)， AB ＝OB－ OA ＝ (x， y)－(2x－ 2＝ 2，x＝ 4，解得故点 B 的坐标为 (4，6).y－ 3＝3，y＝ 6，2. 已知向量 a＝ (1，1)， b＝ (－ 1，1) ，c＝ (4，2)，则用向量 a，b 表示向量 c＝3a－ b.x－y＝ 4，解析：设 c＝ xa＋yb，所以 (4， 2)＝ x(1， 1) ＋y(－ 1， 1)＝ (x－ y， x＋ y)，所以x＋y＝ 2，x＝ 3，解得故 c＝3a－ b.y＝－ 1，3. 如图所示，设 O 是平行四边形→→ABCD 两对角线的交点，给出下列向量组：① AD 与 AB ；→→→→→→②DA 与BC；③CA与DC；④ OD 与 OB . 其中，可作为该平面内其他向量的基底的是①③.(填序号 )解析：因为→→ → →AD与 AB ， CA与 DC不共线，所以可以作为该平面内其他向量的基底；因为→ → →→.DA 与 BC ， OD与 OB共线，所以不可作为该平面内其他向量的基底，故选①③4. 已知向量 a＝ (3，1)， b＝ (1， 3)， c＝ (k，7) ，若 (a－ c)∥ b，则 k＝ 5 .解析：由题意得 a－ c＝(3 －k，1－7)＝ (3－ k，－ 6).因为 (a－ c)∥ b，所以 3(3－ k)－ (－ 6)× 1＝0，解得 k＝ 5.范例导航考向 ?平面向量的基本定理例 1 如图所示，在△OCB 中， C 是以 A 为中点的点→两B 的对称点， D 是将 OB分为 2∶ 1部分的一个内分点，DC 和 OA 交于点→→E，设 OA ＝a， OB＝ b.(1)→ →用 a 和 b 表示向量 OC， DC ；(2) →→若 OE＝λOA ，求实数λ的值 .解析： (1)→→由题意知， A 是 BC 的中点，且 OD ＝2OB.3→ →→由平行四边形法则得 OB＋ OC＝2OA，→→→所以 OC＝ 2OA － OB＝ 2a－ b.→ →→ 2 5b. DC＝ OC－OD ＝ (2a－ b)－ b＝ 2a－33(2)由图可知，所以存在实数→→EC与 DC共线，→→t，使 EC ＝tDC .→ →→→ 5b，因为 EC＝ OC－ OE＝ (2a－ b)－λa＝(2 －λ)a－ b， DC ＝ 2a－35所以 (2－λ)a－ b＝ 2ta－ tb，32－λ＝ 2t，4所以 5 解得λ＝ .－1＝－t， 534故实数λ的值为5.→ 3 →在△ ABC 中， P 为边 BC 上一点，且 BP＝ PC.2→ →→2→ 3 →；(1) 用 AB， AC为基底表示 AP＝AB＋ AC5 5→ 3 →→→3→→5→→3→→2→ 解析：因为 BP ＝ PC ，所以 AP －AB ＝(AC － AP)，所以2AP ＝AB ＋ AC ，即 AP ＝ AB ＋22 253 →5AC.→ →→→ 3 →(2) 用 AB ， PC 为基底表示 AP ＝AB ＋PC Ｗ.2→→ →→ 3 →解析： AP ＝ AB ＋BP ＝AB ＋ PC.2考向 ?平面向量的坐标运算例 2 已知向量 a ＝ (3， 2)，b ＝ (－ 1， 2)， c ＝ (4， 1).(1) 求满足 a ＝mb ＋nc 的实数 m ，n 的值；(2) 若 (a ＋ kc)∥ (2b － a)，求实数 k 的值；(3) 若 d 满足 (d － c)∥(a ＋ b)，且 |d － c|＝ 5，求 d 的坐标 .解析： (1) 由题意得 (3，2) ＝m(－ 1，2) ＋n(4， 1)，－ m ＋ 4n ＝ 3，5，m ＝9所以解得82m ＋n ＝ 2，n ＝，9 58故 m 的值为， n 的值为 .9 9(2) a ＋ kc ＝ (3＋ 4k ， 2＋ k)， 2b － a ＝(－ 5， 2)，由题意得 2× (3＋ 4k)－ (－5)× (2＋ k)＝ 0，16解得 k ＝－ 13.(3) 设 d ＝ (x ， y)，则 d － c ＝ (x － 4，y － 1). 又 a ＋ b ＝ (2， 4)， |d － c|＝ 5，4（ x － 4）－ 2（ y － 1）＝ 0，所以（ x － 4）2＋（ y － 1） 2＝ 5，x ＝ 3， x ＝ 5，解得或y ＝－ 1 y ＝ 3，所以 d 的坐标为 (3，－ 1)或 (5， 3).→ → →已知点 A(2，3)，B(5 ，4)，C(10，8)，若 AP ＝ AB ＋ λAC(λ∈ R)，则当点 P 在第二象限时，λ的取值范围为解析：设点－4，－5.58P 的坐标为 → →→(x ， y).因为 AP ＝ AB ＋ λAC ，所以 (x － 2， y －3)＝ (3， 1)＋ λ(8， 5)x －2＝ 3＋ 8λ， x ＝ 5＋ 8λ，5＋8λ<0 ，＝(3 ＋ 8λ，1＋ 5λ)，所以即因为点 P 在第二象限，所以y －3＝ 1＋ 5λ， y ＝ 4＋ 5λ.4＋ 5λ>0 ，45解得－ 5<λ<－ 8.考向 ?平面向量基本定理的综合应用例 3 如图，已知△ ABC 的面积为14，D ，E 分别为边 AB ，BC 上的点，且 AD ∶ DB ＝ BE ∶ EC→ → → → → →＝2∶ 1， AE 与 CD 交于点 P.设存在 λ和 μ，使得 AP ＝ λAE ， PD ＝ μCD ， AB ＝ a ，BC ＝ b.(1) 求 λ及 μ的值；→ (2) 用 a ， b 表示 BP ；(3) 求△ PAC 的面积 .解析： (1)→ → ＝ b ，因为 AB ＝ a ， BC→→ 1a ＋b.所以 AE ＝ a ＋2b ， DC ＝3 3→→2→ → 1又因为 AP ＝ λAE ＝ λ(a ＋3b)， DP ＝ μDC ＝μ3a ＋ b ， → → → → → 1AP ＝ AD ＋ DP ＝ 2AB ＋ DP ＝ 2a ＋ μ a ＋b ，333212b ，所以 a ＋ μ 3 a ＋ b ＝ λa ＋3 32＋ 1λ＝ 6，λ＝33μ，7所以2解得4μ＝ 3λ， μ＝ 7.→ → → 621 4(2) BP ＝BA ＋ AP ＝－ a ＋ 7 a ＋3b ＝－ 7a ＋7b.(3) 设△ ABC 、△ PAB 、△ PBC 的高分别为 h 、 h 1、h 2.→→4，因为 h 1∶h ＝ |PD |∶ |CD |＝ μ＝7 4所以 S △ PAB ＝ 7S △ ABC ＝ 8.→→ 1又因为 h 2∶ h ＝ |PE|： |AE|＝ 1－ λ＝ 7，所以 S △PBC ＝1△7S ABC ＝ 2，所以 S △ PAC ＝ S △ ABC － S △ APB － S △ PBC ＝ 4.若 a ， b 是一组基底，向量 c ＝ xa ＋ yb(x ，y ∈R)，则称 ( x ，y)为向量 c 在基底 a ， b 下的坐标，现已知向量 α在基底 p ＝ (1，－ 1)， q ＝(2， 1)下的坐标为 (－ 2， 2)，则 α在另一组基底 m ＝ (－ 1， 1)， n ＝ (1，2)下的坐标为(0， 2) .解析：因为 α在基底 p ， q 下的坐标为 (－2， 2)，即 α＝－ 2p ＋ 2q ＝－ 2(1，－ 1)＋ 2(2， 1)＝(2 ，4). 令 α＝ xm ＋ yn ，则 (2， 4)＝ x(－ 1， 1)＋ y(1， 2) ＝ (－ x ＋ y ， x ＋ 2y)，－ x ＋ y ＝ 2， x ＝ 0，所以解得y ＝ 2，x ＋ 2y ＝ 4，所以 α在基底 m ， n 下的坐标为 (0，2).自测反馈1. 已知 a ， b 不共线，且 c ＝ λa ＋ b ，d ＝ a ＋ (2λ－ 1)b ，若 c 与 d 同向，则实数 λ的值为1 .解析：因为 c 与 d 同向，所以设 c ＝ kd(k>0)，所以 λa ＋ b ＝ k[a ＋ (2λ－ 1)b] ＝ka ＋ k(2λ－λ＝ k ，解得 λ＝ 1 11)b ，所以或 λ＝－ .因为 k>0 ，所以 λ＝ 1.k （ 2λ－ 1）＝ 1，22.→3 ，－4 .已知点 A(1 ， 3)， B(4 ，－ 1)，则与 AB 同方向的单位向量为55→→→同方向的解析：由题意得， AB ＝ (3，－ 4)，所以 |AB |＝32＋（－ 4）2＝ 5，所以与 AB→13 4单位向量 e ＝ AB，－ .→ ＝ (3，－ 4)＝5 55|AB|→ → → → → →→3. 如图，已知 |OA|＝ |OB |＝1，OA 与 OB 的夹角为 120°，OC 与 OA 的夹角为 30°，若OC＝→→λ2 .λOA ＋ μOB ( λ， μ∈ R)，则＝μ解析：如图，根据平行四边形法则将向量→ → →OC 沿OA 与OB 方向进行分解 .由题意可知∠ OCD→μλ＝90°，所以在 Rt △ OCD 中， sin ∠ COD ＝CD＝μ|OB|→ ＝＝ sin 30 ＝° 1，所以＝ 2.ODλ 2 μλ|OA|4. 已知平行四边形 ABCD 中 A( － 1，0)，B(3 ，0)，C(1，－ 5)，则点 D 的坐标为 (－ 3，－5).→ →解析：由题意可知，AD ＝BC.设点 D 的坐标为 (x ， y)，所以 (x ＋ 1， y)＝ (－ 2，－ 5)，所x＋ 1＝－ 2，解得x＝－ 3，以故点 D 的坐标为 (－3，－ 5).y＝－ 5，y＝－ 5，1.向量的线性运算 (加法、减法、实数与向量的积 )可转化为坐标运算，借助坐标运算讨论平行共线、向量表示等，可使问题简单，目标明确.2. 应用等价转化思想处理问题，如点共线转化为向量共线，基底的转化等.3.你还有哪些体悟，写下来：4.。

高考数学一轮复习第五章平面向量5.2平面向量的基本定理及坐标运算教学案理

5.2 平面向量的基本定理及坐标运算考纲要求1．了解平面向量的基本定理及其意义．2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．1．平面向量基本定理定理：如果e1，e2是同一平面内的两个__________向量，那么对于这一平面内的任意向量a，__________一对实数λ1，λ2，使a＝__________，其中，__________叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e1，e2}．2．平面向量的坐标表示(1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y使a＝x i＋y j，把有序数对__________叫做向量a 的坐标，记作a＝____，其中__________叫做a在x轴上的坐标，__________叫做a在y轴上的坐标，显然0＝(0,0)，i＝(1,0)，j ＝(0,1)．(2)设OA→＝x i＋y j，则__________就是终点A的坐标，即若OA→＝(x，y)，则A点坐标为(x，y)，反之亦成立(O是坐标原点)．3．平面向量的坐标运算已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝__________，即一个向量的坐标等于__________．(3)平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a与b共线⇔a＝__________⇔__________.1．若a＝(3,2)，b＝(0，－1)，则2b－a的坐标是( )．A．(3，－4) B．(－3,4)C．(3,4) D．(－3，－4)2．已知向量a＝(1，－m)，b＝(m2，m)，则向量a＋b所在的直线可能为( )．A．x轴B．第一、三象限的角平分线C ．y 轴D ．第二、四象限的角平分线 3．已知a ＝(4,5)，b ＝(8，y )且a ∥b ，则y 等于( )．A ．5B ．10C ．325D ．154．e 1，e 2是平面内一组基底，那么( )．A ．若实数λ1，λ2使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0B ．空间内任一向量a 可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2为实数)C ．对实数λ1，λ2，λ1e 1＋λ2e 2不一定在该平面内D ．对平面内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对一、平面向量基本定理的应用【例1】已知梯形ABCD ，如图所示，2DC →＝AB →，M ，N 分别为AD ，BC 的中点．设AD →＝e 1，AB →＝e 2，试用e 1，e 2表示DC →，BC →，MN →. 方法提炼应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的．请做演练巩固提升1二、平面向量的坐标运算【例2】已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB→＝a ，BC →＝b ，CA →＝c .(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n .方法提炼1．向量的坐标运算实现了向量运算代数化，将数与形结合起来，从而使几何问题可转化为数量运算．2．两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同．此时注意方程(组)思想的应用．提醒：向量的坐标与点的坐标有所不同，相等向量的坐标是相同的，但起点、终点的坐标却可以不同，以原点O 为起点的向量OA →的坐标与点A 的坐标相同．请做演练巩固提升2三、平面向量共线的坐标表示【例3－1】已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝( )．A.14B.12C ．1D ．2 【例3－2】已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)， (1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线； (2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b 且A ，B ，C 三点共线，求m 的值．方法提炼向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．提醒：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，所以应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.同时，a ∥b 的充要条件也不能错记为：x 1x 2－y 1y 2＝0，x 1y 1－x 2y 2＝0等．请做演练巩固提升3忽视平行四边形的种类而丢解【典例】已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1,0)，(3,0)，(1，－5)，求第四个顶点的坐标．错解：设A (－1,0)，B (3,0)，C (1，－5)，D (x ，y )， ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB →＝DC →. 而AB →＝(3,0)－(－1,0)＝(4,0)，DC →＝(1，－5)－(x ，y )＝(1－x ，－5－y )，∴(4,0)＝(1－x ，－5－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧4＝1－x ，0＝－5－y ，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－5.∴点D 的坐标为(－3，－5)．错因：(1)此解错因是思维定势，认为平行四边形只是如图所示中的一种情形，由此在解题构思中丢掉了两种情形．(2)若平行四边形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 的坐标分别为(－1,0)，(3,0)，(1，－5)，求D 点坐标，就只有一种情况，此题目中给出了平行四边形的三个顶点，并没有规定顺序，就可能有▱ABCD 1，▱ACD 2B ，▱ACBD 3三种情形，如解答中的图所示．正解：如图所示，设A (－1,0)，B (3,0)，C (1，－5)，D (x ，y )．(1)若四边形ABCD 1为平行四边形，则AD 1→＝BC →，而AD 1→＝(x ＋1，y )，BC →＝(－2，－5)．由AD 1→＝BC →，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝－2，y ＝－5.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－5.∴D 1(－3，－5)．(2)若四边形ACD 2B 为平行四边形，则AB →＝CD 2→. 而AB→＝(4,0)，CD 2→＝(x －1，y ＋5)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝4，y ＋5＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－5.∴D 2(5，－5)．(3)若四边形ACBD 3为平行四边形，则AD 3→＝CB →.而AD 3→＝(x ＋1，y )，CB →＝(2,5)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝2，y ＝5.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5.∴D 3(1,5)．综上所述，平行四边形第四个顶点的坐标为(－3，－5)或(5，－5)或(1,5)．答题指导：1．本题考查向量坐标的基本运算，难度中等，但错误率较高，典型错误是忽视了分类讨论．此外，有的学生不知道运用平行四边形的性质，找不到解决问题的切入口．2．向量本身就具有数形结合的特点，所以在解决此类问题时，要注意画图，利用数形结合的思想求解．1．(2012大纲全国高考)△ABC 中，AB 边的高为CD ，若CB →＝a ，CA →＝b ，a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则AD→＝( )．A.13a －13bB.23a －23bC.35a －35bD.45a －45b 2．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若PA →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →等于( )． A ．(－6,21) B ．(－2,7)C ．(6，－21)D ．(2，－7)3．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ，34，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12cos x ，且a ∥b ，则锐角x 等于( )．A.π6B.π4C.π3D.5π124．已知直角坐标平面内的两个向量a ＝(1,3)，b ＝(m,2m －3)，使得平面内的任意一个向量c 都可以唯一的表示成c ＝λa ＋μb ，则m 的取值范围是__________．参考答案基础梳理自测知识梳理1．不共线有且只有 λ1e 1＋λ2e 2 不共线的向量e 1，e 2 2．(1)(x ，y ) (x ，y ) x y (2)向量OA 的坐标3．(2)(x 2－x 1，y 2－y 1) 终点的坐标减去起点的坐标 (3)λb x 1y 2－x 2y 1＝0 基础自测 1．D 解析：∵2b －a ＝2×(0，－1)－(3,2)＝(0，－2)－(3,2)＝(－3，－4)，故2b －a ＝(－3，－4)．2．A 解析：a ＋b ＝(1，－m )＋(m 2，m )＝(m 2＋1,0)．其横坐标恒大于零，纵坐标等于零，故向量a ＋b 所在的直线可能为x 轴．3．B 解析：∵a ∥b ， ∴4y －40＝0，得y ＝10.4．A 解析：对于A ，∵e 1，e 2不共线，故λ1＝λ2＝0正确；对于B ，空间向量a 应改为与e 1，e 2共面的向量才可以； C 中，λ1e 1＋λ2e 2一定与e 1，e 2共面；D 中，根据平面向量基本定理，λ1，λ2应是唯一一对．考点探究突破【例1】解：∵2DC ＝AB ，∴2DC ＝e 2，∴DC ＝12e 2.又∵BC ＝BA ＋AD ＋DC ，∴BC ＝－e 2＋e 1＋12e 2＝e 1－12e 2.又由MN ＝MA ＋AB ＋BN ，得MN ＝12DA ＋AB ＋12BC ＝－12e 1＋e 2＋12(e 1－12e 2)＝34e 2.【例2】解：由已知得a ＝(5，－5)， b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )＝(5，－5)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.【例3－1】 B 解析：∵a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)，∴a ＋λb ＝(1,2)＋(λ，0)＝(1＋λ，2)．又∵(a ＋λb )∥c ， ∴1＋λ3＝24，解得λ＝12.【例3－2】解：(1)k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)，a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．∵k a －b 与a ＋2b 共线， ∴2(k －2)－(－1)×5＝0，即2k －4＋5＝0，得k ＝－12.(2)∵A ，B ，C 三点共线，∴存在实数λ，使AB ＝λBC ，即2a ＋3b ＝λ(a ＋m b )．∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ，3＝mλ.解得m ＝32.演练巩固提升1．D 解析：∵a ·b ＝0，∴a ⊥b . 又∵|a |＝1，|b |＝2， ∴|AB |＝5，∴|CD |＝1×25＝255.∴|AD |＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2552＝455. ∴AD ＝4555AB ＝45AB ＝45(a －b )＝45a －45b . 2．A 解析：如图，QC ＝AQ ＝PQ －PA ＝(1,5)－(4,3)＝(－3,2)，PC ＝PQ ＋QC ＝(1,5)＋(－3,2)＝(－2,7)，BC ＝3PC ＝(－6,21)．3．B 解析：∵a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ，34，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12cos x ，且a∥b ，∴12sin x cos x －34×13＝0，即14sin 2x －14＝0.∴sin 2x ＝1. 又∵x 为锐角，∴2x ＝π2，x ＝π4.4．{m |m ≠－3} 解析：要使c ＝λa ＋μb 成立，则只需a 与b 不共线即可，∴只需满足m 1≠2m －33，即3m ≠2m －3，∴m ≠－3.。

高考数学一轮复习 (基础知识+高频考点+解题训练)平面向量的基本定理及坐标表示教学案

高考数学一轮复习（基础知识+高频考点+解题训练）平面向量的基本定理及坐标表示教学案[知识能否忆起]一、平面向量基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．3．平面向量的坐标表示(1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y，使a＝x i＋y j，把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．(2)设OA＝x i＋y j，则向量OA的坐标(x，y)就是终点A的坐标，即若OA＝(x，y)，则A点坐标为(x，y)，反之亦成立．(O是坐标原点)二、平面向量坐标运算1．向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa ＝(λx1，λy1)．2．向量坐标的求法(1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝x2－x12＋y2－y12.三、平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.若a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.[小题能否全取]1．(2012·广东高考)若向量AB＝(1,2)，BC＝(3,4)，则AC＝( )A．(4,6) B．(－4，－6)C．(－2，－2) D．(2,2)解析：选A ∵AC ＝AB ＋BC ，∴AC ＝(1,2)＋(3,4)＝(4,6)． 2．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(x ，－2)，若a ∥b ，则a ＋b 等于( ) A ．(－2，－1) B ．(2,1) C ．(3，－1) D ．(－3,1)解析：选A 由a ∥b 可得2×(－2)－1×x ＝0，故x ＝－4，所以a ＋b ＝(－2，－1)． 3．(教材习题改编)已知两点A (4,1)，B (7，－3)，则与AB 同向的单位向量是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35D.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35解析：选A ∵A (4,1)，B (7，－3)，∴AB ＝(3，－4)， ∴与AB 同向的单位向量为AB |AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.4．在平行四边形ABCD 中，若AB ＝(1,3)，AC ＝(2,5)，则AD ＝________，BD ＝________.解析：AD ＝BC ＝AC －AB ＝(2,5)－(1,3)＝(1,2)，BD ＝AD －AB ＝(1,2)－(1,3)＝(0，－1)．答案：(1,2) (0，－1)5．梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别是CD ，AB 的中点，设AB ＝a ，AD ＝b .若MN ＝m a ＋n b ，则nm＝________.解析：∵MN ＝MD ＋DA ＋AN ＝－14a －b ＋12a ＝14a －b ，∴m ＝14，n ＝－1.∴nm ＝－4.答案：－41.基底的不唯一性只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量a 都可被这个平面的一组基底e 1，e 2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．2．向量坐标与点的坐标的区别要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向的信息也有大小的信息．平面向量基本定理及其应用典题导入[例1] (2012·苏北四市联考)如图，在四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于点O ，设AD ＝a ，AB ＝b ，若AB ＝2DC ，则AO ＝________(用向量a 和b 表示)．[自主解答] ∵AB ＝2DC ，∴△DOC ∽△BOA ，且OC OA ＝12，∴AO ＝23AC ＝23(AD ＋DC )＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b ＝23a ＋13b . [答案] 23a ＋13b由题悟法用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，也就是利用已知向量表示未知向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算．以题试法1．(2012·南宁模拟)在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点，AN ＝λAB ＋μAC ，则λ＋μ的值为( )A.12B.13 C.14D ．1 解析：选A 设CM ＝m CB ＝m (AB －AC )(0≤m ≤1)，则AM ＝AC ＋CM ＝(1－m ) AC ＋m AB ，AN ＝12AM ＝m 2AB ＋1－m 2AC ，所以λ＋μ＝m 2＋1－m 2＝12.平面向量的坐标运算典题导入[例2] (1)(2012·西城期末)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－2)．若实数k 与向量c 满足a ＋2b ＝k c ，则c 可以是( )A ．(3，－1)B ．(－1，－3)C ．(－3，－1)D ．(－1, 3)(2)已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB ＝a ，BC ＝b ，CA ＝c . ①求3a ＋b －3c ；②求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n .[自主解答] (1)∵a ＝(3，1)，b ＝(0，－2)， ∴a ＋2b ＝(3，－3)＝－3(－1，3)．(2)由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． ①3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24) ＝(6，－42)．②∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.[答案] (1)D本例中第(2)题增加条件CM ＝3c ，ON ＝2b ，求M ，N 的坐标及向量MN 的坐标．解：∵CM ＝OM －OC ＝3c ，∴OM ＝3c ＋OC ＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M (0,20)．又∵CN ＝ON －OC ＝－2b ， ∴ON ＝－2b ＋OC ＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N (9,2)．∴MN ＝(9，－18)．由题悟法1．向量的坐标运算实现了向量运算代数化，将数与形结合起来，从而可使几何问题转化为数量运算．2．两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同．此时注意方程(组)思想的应用． [注意] 向量的坐标与点的坐标不同：向量平移后，其起点和终点的坐标都发生变化，但向量的坐标不变．以题试法2．(2012·淮安模拟)已知向量a ＝(6,4)，b ＝(0,2)，OC ＝a ＋λb ，O 为坐标原点，若点C 在函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12x 的图象上，则实数λ的值为________．解析：由题意得OC ＝(6,4)＋λ(0,2)＝(6,4＋2λ)，故点C 的坐标为(6,4＋2λ)，根据条件得4＋2λ＝sin 6π12＝1，解得λ＝－32.答案：－32平面向量共线的坐标表示典题导入[例3] (2011·广东高考)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝( )A.14B.12 C ．1 D ．2[自主解答] 可得a ＋λb ＝(1＋λ，2)，由(a ＋λb )∥c 得(1＋λ)×4－3×2＝0，所以λ＝12.[答案] B在本例条件下，问是否存在非零常数λ，使a ＋λb 和a －λc 平行？若平行，是同向还是反向？解：∵a ＋λb ＝(1＋λ，2)，a －λc ＝(1－3λ，2－4λ)，若(a ＋λb )∥(a －λc )，∴(1＋λ)(2－4λ)－2(1－3λ)＝0. ∴λ＝1.∴a ＋λb ＝(2,2)与a －λc ＝(－2，－2)反向．即存在λ＝1使a ＋λb 与a －λc 平行且反向．由题悟法a ∥b 的充要条件有两种表达方式(1)a ∥b (b ≠0)⇔a ＝λb (λ∈R )；(2)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.两种充要条件的表达形式不同．第(1)种是用线性关系的形式表示的，而且有前提条件b ≠0，而第(2)种无b ≠0限制．以题试法3．(1)(2012·北京东城区综合练习)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则m n＝( )A ．－2B ．2C ．－12D.12解析：选C 由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)，因为m a ＋n b 与a －2b 共线，所以(2m －n )×(－1)－(3m ＋2n )×4＝0，整理得m n ＝－12.(2)(2012·嘉兴模拟)已知a ，b 是不共线的向量，AB ＝λa ＋b ，AC ＝a ＋μb ，λ，μ∈R ，那么A ，B ，C 三点共线的充要条件为( )A ．λ＋μ＝2B ．λ－μ＝1C ．λμ＝－1D ．λμ＝1解析：选D ∵A ，B ，C 三点共线，∴存在实数t ，满足AB ＝t AC ，即λa ＋b ＝t a ＋μt b ，又a ，b 是不共线的向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝μt ，即λμ＝1.1．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP ＝2PC ，点Q 是AC 的中点，若PA ＝(4,3)，PQ ＝(1,5)，则BC 等于( )A ．(－2,7)B ．(－6,21)C ．(2，－7)D ．(6，－21)解析：选 B BC ＝3PC ＝3(2PQ －PA )＝6PQ －3PA ＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21)．2．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝( ) A ．(－2，－4) B ．(－3，－6) C ．(－4，－8) D ．(－5，－10)解析：选C 由a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，得1×m ＝2×(－2)⇒m ＝－4，从而b ＝(－2，－4)，那么2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．3.(2013·昆明模拟)如图所示，向量OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，A ，B ，C 在一条直线上，且AC ＝－3CB ，则( )A ．c ＝－12a ＋32bB ．c ＝32a －12bC ．c ＝－a ＋2bD ．c ＝a ＋2b解析：选A ∵AC ＝－3CB ，∴OC －OA ＝－3(OB －OC )． ∴OC ＝－12OA ＋32OB ，即c ＝－12a ＋32b .4．已知点A (2,1)，B (0,2)，C (－2,1)，O (0,0)．给出下面的结论：①直线OC 与直线BA 平行；②AB ＋BC ＝CA ；③OA ＋OC ＝OB ；④AC ＝OB －2OA .其中正确的结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C ∵OC ＝(－2,1)，BA ＝(2，－1)，∴OC ∥BA ，又A ，B ，C ，O 不共线，∴OC ∥AB .①正确；∵AB ＋BC ＝AC ，∴②错误； ∵OA ＋OC ＝(0,2)＝OB ，∴③正确；∵OB －2OA ＝(－4,0)，AC ＝(－4,0)，∴④正确．5．(2012·郑州模拟)已知平面直角坐标系内的两个向量a ＝(1,2)，b ＝(m,3m －2)，且平面内的任一向量c 都可以唯一的表示成c ＝λa ＋μb (λ、μ为实数)，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，＋∞) D．(－∞，2)∪(2，＋∞)解析：选D 由题意知向量a ，b 不共线，故m ≠3m －22，解得m ≠2.6．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC ＝a ，BD ＝b ，则AF ＝( )A.14a ＋12bB.23a ＋13bC.12a ＋14bD.13a ＋23b。

高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)平面向量的基本定理及坐标表示(含解析)

平面向量的基本定理及坐标表示[知识能否忆起]一、平面向量基本定理及坐标表示 1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 3．平面向量的坐标表示(1)在平面直角坐标系中，分别取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底．对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x ，y ，使a ＝x i ＋y j ，把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标．(2)设OA u u u r ＝x i ＋y j ，则向量OA u u u r 的坐标(x ，y )就是终点A 的坐标，即若OA u u u r＝(x ，y )，则A 点坐标为(x ，y )，反之亦成立．(O 是坐标原点)二、平面向量坐标运算1．向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)．2．向量坐标的求法(1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB u u u r ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB u u u r|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.三、平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.若a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.[小题能否全取]1．(2012·广东高考)若向量AB u u u r＝(1,2)，BC u u u r ＝(3,4)，则AC u u u r ＝( )A ．(4,6)B ．(－4，－6)C ．(－2，－2)D ．(2,2)解析：选A ∵AC u u u r ＝AB u u u r ＋BC u u ur ，∴AC u u u r ＝(1,2)＋(3,4)＝(4,6)．2．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(x ，－2)，若a ∥b ，则a ＋b 等于( )A ．(－2，－1)B ．(2,1)C ．(3，－1)D ．(－3,1)解析：选A 由a ∥b 可得2×(－2)－1×x ＝0，故x ＝－4，所以a ＋b ＝(－2，－1)．3．(教材习题改编)已知两点A (4,1)，B (7，－3)，则与AB u u u r同向的单位向量是( )A.⎝⎛⎭⎫35，－45 B.⎝⎛⎭⎫－35，45 C.⎝⎛⎭⎫－45，35D.⎝⎛⎭⎫45，－35 解析：选A ∵A (4,1)，B (7，－3)，∴AB u u u r＝(3，－4)，∴与AB u u u r 同向的单位向量为AB u u u r|AB u u u r |＝⎝⎛⎭⎫35，－45. 4．在平行四边形ABCD 中，若AB u u u r ＝(1,3)，AC u u u r ＝(2,5)，则AD u u u r ＝________，BD u u u r＝________.解析：AD u u u r ＝BC u u u r ＝AC u u u r －AB u u u r＝(2,5)－(1,3)＝(1,2)， BD u u u r ＝AD u u u r －AB u u u r＝(1,2)－(1,3)＝(0，－1)．答案：(1,2) (0，－1)5．梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别是CD ，AB 的中点，设AB u u u r ＝a ，AD u u u r ＝b .若MN u u u u r ＝m a ＋n b ，则nm＝________.解析：∵MN u u u u r ＝MD u u u r ＋DA u u u r ＋AN u u u r ＝－14a －b ＋12a ＝14a －b ，∴m ＝14，n ＝－1.∴nm ＝－4.答案：－41.基底的不唯一性只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量a 都可被这个平面的一组基底e 1，e 2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．2．向量坐标与点的坐标的区别要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向的信息也有大小的信息．平面向量基本定理及其应用典题导入[例1] (2012·苏北四市联考)如图，在四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于点O ，设AD u u u r ＝a ，AB u u u r ＝b ，若AB u u u r＝2DC u u u r ，则AO u u u r ＝________(用向量a 和b 表示)．[自主解答] ∵AB u u u r ＝2DC u u u r ，∴△DOC ∽△BOA ，且OC OA ＝12，∴AO u u ur ＝23AC u u u r ＝23(AD u u u r ＋DC u u u r )＝23⎝⎛⎭⎫a ＋12b ＝23a ＋13b . [答案] 23a ＋13b由题悟法用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，也就是利用已知向量表示未知向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算．以题试法1．(2012·南宁模拟)在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点，AN u u u r ＝λAB u u u r＋μAC u u u r，则λ＋μ的值为( )A.12B.13C.14D ．1解析：选A 设CM u u u r ＝m CB u u u r ＝m (AB u u u r －AC u u u r )(0≤m ≤1)，则AM u u u u r ＝AC u u ur ＋CM u u u r ＝(1－m ) AC u u u r ＋m AB u u u r ，AN u u u r ＝12AM u u u u r ＝m 2AB u u u r ＋1－m 2AC u u u r ，所以λ＋μ＝m 2＋1－m 2＝12.平面向量的坐标运算典题导入[例2] (1)(2012·西城期末)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－2)．若实数k 与向量c 满足a ＋2b ＝k c ，则c 可以是( )A ．(3，－1)B ．(－1，－3)C ．(－3，－1)D ．(－1, 3)(2)已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB u u u r＝a ，BC u u u r ＝b ，CA u u u r ＝c .①求3a ＋b －3c ；②求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n .[自主解答] (1)∵a ＝(3，1)，b ＝(0，－2)， ∴a ＋2b ＝(3，－3)＝－3(－1，3)．(2)由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． ①3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24) ＝(6，－42)．②∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.[答案] (1)D本例中第(2)题增加条件CM u u u r ＝3c ，ON u u u r ＝2b ，求M ，N 的坐标及向量MN u u u u r的坐标．解：∵CM u u u r ＝OM u u u u r －OC u u u r＝3c ， ∴OM u u u u r ＝3c ＋OC u u u r＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．∴M (0,20)．又∵CN u u u r ＝ON u u u r －OC u u u r＝－2b ， ∴ON u u u r ＝－2b ＋OC u u u r＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N (9,2)．∴MN u u u u r＝(9，－18)．由题悟法1．向量的坐标运算实现了向量运算代数化，将数与形结合起来，从而可使几何问题转化为数量运算．2．两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同．此时注意方程(组)思想的应用． [注意] 向量的坐标与点的坐标不同：向量平移后，其起点和终点的坐标都发生变化，但向量的坐标不变．以题试法2．(2012·淮安模拟)已知向量a ＝(6,4)，b ＝(0,2)，OC u u u r＝a ＋λb ，O 为坐标原点，若点C在函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π12x 的图象上，则实数λ的值为________．解析：由题意得OC u u u r＝(6,4)＋λ(0,2)＝(6,4＋2λ)，故点C 的坐标为(6,4＋2λ)，根据条件得4＋2λ＝sin 6π12＝1，解得λ＝－32.答案：－32平面向量共线的坐标表示典题导入[例3] (2011·广东高考)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝( )A.14B.12 C ．1D ．2[自主解答] 可得a ＋λb ＝(1＋λ，2)，由(a ＋λb )∥c 得(1＋λ)×4－3×2＝0，所以λ＝12.[答案] B在本例条件下，问是否存在非零常数λ，使a ＋λb 和a －λc 平行？若平行，是同向还是反向？解：∵a ＋λb ＝(1＋λ，2)，a －λc ＝(1－3λ，2－4λ)，若(a ＋λb )∥(a －λc )，∴(1＋λ)(2－4λ)－2(1－3λ)＝0. ∴λ＝1.∴a ＋λb ＝(2,2)与a －λc ＝(－2，－2)反向．即存在λ＝1使a ＋λb 与a －λc 平行且反向．由题悟法a ∥b 的充要条件有两种表达方式 (1)a ∥b (b ≠0)⇔a ＝λb (λ∈R )；(2)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.两种充要条件的表达形式不同．第(1)种是用线性关系的形式表示的，而且有前提条件b ≠0，而第(2)种无b ≠0限制．以题试法3．(1)(2012·北京东城区综合练习)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b共线，则mn＝( )A ．－2B ．2C ．－12D.12解析：选C 由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)，因为m a ＋n b 与a －2b 共线，所以(2m －n )×(－1)－(3m ＋2n )×4＝0，整理得m n ＝－12.(2)(2012·嘉兴模拟)已知a ，b 是不共线的向量，AB u u u r＝λa ＋b ，AC u u u r ＝a ＋μb ，λ，μ∈R ，那么A ，B ，C 三点共线的充要条件为( )A ．λ＋μ＝2B ．λ－μ＝1C ．λμ＝－1D ．λμ＝1解析：选D ∵A ，B ，C 三点共线，∴存在实数t ，满足AB u u u r ＝t AC u u ur ，即λa ＋b ＝t a ＋μt b ，又a ，b 是不共线的向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝μt ，即λμ＝1.1．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP u u u r ＝2PC u u u r ，点Q 是AC 的中点，若PA u u u r＝(4,3)，PQ u u u r＝(1,5)，则BC u u u r 等于( )A ．(－2,7)B ．(－6,21)C ．(2，－7)D ．(6，－21)解析：选B BC u u u r ＝3PC u u u r ＝3(2PQ u u u r －PA u u u r )＝6PQ u u u r －3PA u u u r＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21)．2．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝( ) A ．(－2，－4) B ．(－3，－6) C ．(－4，－8)D ．(－5，－10)解析：选C 由a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，得1×m ＝2×(－2)⇒m ＝－4，从而b ＝(－2，－4)，那么2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．3.(2013·昆明模拟)如图所示，向量OA u u u r ＝a ，OB u u u r ＝b ，OC u u u r ＝c ，A ，B ，C 在一条直线上，且AC u u u r ＝－3CB u u u r，则( )A ．c ＝－12a ＋32bB ．c ＝32a －12bC ．c ＝－a ＋2bD ．c ＝a ＋2b解析：选A ∵AC u u u r ＝－3CB u u u r ，∴OC u u u r －OA u u u r ＝－3(OB u u u r －OC u u u r)．∴OC u u u r ＝－12OA u u u r ＋32OB u u u r ，即c ＝－12a ＋32b .4．已知点A (2,1)，B (0,2)，C (－2,1)，O (0,0)．给出下面的结论：①直线OC 与直线BA 平行；②AB u u u r ＋BC u u ur ＝CA u u u r ；③OA u u u r ＋OC u u u r ＝OB u u u r ；④AC u u u r ＝OB u u u r －2OA u u u r.其中正确的结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C ∵OC u u u r ＝(－2,1)，BA u u u r ＝(2，－1)，∴OC u u u r ∥BA u u u r，又A ，B ，C ，O 不共线，∴OC ∥AB .①正确；∵AB u u u r ＋BC u u ur ＝AC u u u r ，∴②错误； ∵OA u u u r ＋OC u u u r ＝(0,2)＝OB u u u r，∴③正确； ∵OB u u u r －2OA u u u r ＝(－4,0)，AC u u u r＝(－4,0)，∴④正确．5．(2012·郑州模拟)已知平面直角坐标系内的两个向量a ＝(1,2)，b ＝(m,3m －2)，且平面内的任一向量c 都可以唯一的表示成c ＝λa ＋μb (λ、μ为实数)，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)解析：选D 由题意知向量a ，b 不共线，故m ≠3m －22，解得m ≠2.6．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC u u u r ＝a ，BD u u u r ＝b ，则AF u u u r＝( )A.14a ＋12b B.23a ＋13b C.12a ＋14bD.13a ＋23b 解析：选B 由已知得DE ＝13EB ，又∵△DEF ∽△BEA ， ∴DF ＝13AB .即DF ＝13DC .∴CF ＝23CD .∴CF u u u r ＝23CD u u u r ＝23(OD u u u r －OC u u u r)＝23⎝⎛⎭⎫12b －12a ＝13b －13a . ∴AF u u u r ＝AC u u u r ＋CF u u u r ＝a ＋13b －13a ＝23a ＋13b .7．(2012·洛阳质检)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫8，x2，b ＝(x,1)，其中x >0，若(a －2b )∥(2a ＋b )，则x ＝________.解析：a －2b ＝⎝⎛⎭⎫8－2x ，x2－2，2a ＋b ＝(16＋x ，x ＋1)，由题意得(8－2x )·(x ＋1)＝⎝⎛⎭⎫x 2－2·(16＋x )，整理得x 2＝16，又x >0，所以x ＝4. 答案：48．(2013·九江模拟)P ＝{a |a ＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R }，Q ＝{b |b ＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q 等于________．解析：P 中，a ＝(－1＋m,1＋2m )，Q 中，b ＝(1＋2n ，－2＋3n )．则⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋m ＝1＋2n ，1＋2m ＝－2＋3n .得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12，n ＝－7.此时a ＝b ＝(－13，－23)．答案：{}(－13，－23)9．已知向量OA u u u r ＝(1，－3)，OB u u u r ＝(2，－1)，OC u u u r＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．解析：若点A ，B ，C 能构成三角形，则向量AB u u u r ，AC u u ur 不共线．∵AB u u u r ＝OB u u ur －OA u u u r ＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)， AC u u u r ＝OC u u u r －OA u u u r＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)，∴1×(k ＋1)－2k ≠0，解得k ≠1.答案：k ≠110．已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )． (1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系式；(2)若AC u u u r ＝2AB u u u r，求点C 的坐标．解：(1)由已知得AB u u u r＝(2，－2)，AC u u u r ＝(a －1，b －1)，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB u u u r ∥AC u u ur .∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2.(2)∵AC u u u r ＝2AB u u u r ，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝4，b －1＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－3.∴点C 的坐标为(5，－3)． 11．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．求： (1)|a ＋3b |；(2)当k 为何实数时，k a －b 与a ＋3b 平行，平行时它们是同向还是反向？解：(1)因为a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，所以a ＋3b ＝(7,3)，故|a ＋3b |＝72＋32＝58.(2)k a －b ＝(k －2，－1)，a ＋3b ＝(7,3)，因为k a －b 与a ＋3b 平行，所以3(k －2)＋7＝0，即k ＝－13.此时k a －b ＝(k －2，－1)＝⎝⎛⎭⎫－73，－1， a ＋3b ＝(7,3)，则a ＋3b ＝－3(k a －b )，即此时向量a ＋3b 与k a －b 方向相反．12．已知O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM u u u u r ＝t 1OA u u u r ＋t 2AB u u u r.(1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点都共线．解：(1) OM u u u u r ＝t 1OA u u u r ＋t 2AB u u u r＝t 1(0,2)＋t 2(4,4)＝(4t 2,2t 1＋4t 2)．当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎪⎨⎪⎧4t 2<0，2t 1＋4t 2≠0，故所求的充要条件为t 2<0且t 1＋2t 2≠0.(2)当t 1＝1时，由(1)知OM u u u u r＝(4t 2,4t 2＋2)．∵AB u u u r ＝OB u u ur －OA u u u r ＝(4,4)，AM u u u u r ＝OM u u u u r －OA u u u r ＝(4t 2,4t 2)＝t 2(4,4)＝t 2AB u u u r，∴不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点共线．1.如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，N 是线段OD 的中点，AN 的延长线与CD 交于点E ，则下列说法错．误．的是( ) A ．AC u u u r ＝AB u u u r ＋AD u u u rB ．BD u u u r ＝AD u u u r －AB u u u rC ．AO u u u r ＝12AB u u u r ＋12AD u u u rD ．AE u u u r ＝53AB u u u r ＋AD u u u r解析：选D 由向量减法的三角形法则知，BD u u u r ＝AD u u u r －AB u u u r，排除B ；由向量加法的平行四边形法则知，AC u u u r ＝AB u u u r ＋AD u u u r ，AO u u u r ＝12AC u u u r ＝12AB u u u r ＋12AD u u u r，排除A 、C.2．(2012·山西四校联考)在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC u u u r ＝3CD u u u r，点O 在线段CD 上(与点C 、D 不重合)，若AO u u u r ＝x AB u u u r＋(1－x ) AC u u u r ，则x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，12 B.⎝⎛⎭⎫0，13 C.⎝⎛⎭⎫－12，0D.⎝⎛⎭⎫－13，0 解析：选D 依题意，设BO u u u r ＝λBC u u u r ，其中1<λ<43，则有AO u u u r ＝AB u u u r ＋BO u u u r ＝AB u u u r ＋λBC u u u r ＝AB u u u r ＋λ(AC u u u r －AB u u u r )＝(1－λ) AB u u u r＋λAC u u u r .又AO u u u r ＝x AB u u u r ＋(1－x ) AC u u u r ，且AB u u u r ，AC u u u r 不共线，于是有x ＝1－λ∈⎝⎛⎭⎫－13，0，即x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－13，0. 3．(2012·东营模拟)已知P 为△ABC 内一点，且3AP u u u r ＋4BP u u u r＋5CP u u u r ＝0.延长AP 交BC 于点D ，若AB u u u r ＝a ，AC u u u r ＝b ，用a ，b 表示向量AP u u u r ，AD u u u r.解：∵BP u u u r ＝AP u u u r －AB u u u r ＝AP u u u r －a ，CP u u u r ＝AP u u u r －AC u u u r ＝AP u u u r－b ，又3AP u u u r ＋4BP u u u r ＋5CP u u u r ＝0，∴3AP u u u r ＋4(AP u u u r －a )＋5(AP u u u r －b )＝0，化简，得AP u u u r ＝13a ＋512b . 设AD u u u r ＝t AP u u u r (t ∈R )，则AD u u u r ＝13t a ＋512t b ．① 又设BD u u u r ＝k BC u u u r (k ∈R )，由BC u u u r ＝AC u u u r －AB u u u r ＝b －a ，得BD u u u r ＝k (b －a )．而AD u u u r ＝AB u u u r ＋BD u u u r ＝a ＋BD u u u r ，∴AD u u u r ＝a ＋k (b －a )＝(1－k )a ＋k b .②由①②，得⎩⎨⎧ 13t ＝1－k ，512t ＝k ，解得t ＝43. 代入①，有AD u u u r ＝49a ＋59b .1．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(sin α－m ，cos α)，且a ∥b ，则实数m 的最小值为( )A ．－2B ．－1C ．－ 2D ．－3 解析：选A ∵a ∥b ，∴3cos α－sin α＋m ＝0.∴m ＝sin α－3cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π3≥－2. 2．若α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a 在另一组基底m ＝(－1,1)，n ＝(1,2)下的坐标为( )A ．(2,0)B ．(0，－2)C ．(－2,0)D ．(0,2) 解析：选D ∵a 在基底p ，q 下的坐标为(－2,2)，即a ＝－2p ＋2q ＝(2,4)．令a ＝x m ＋y n ＝(－x ＋y ，x ＋2y )，故⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.3.如图，已知平行四边形ABCD 的顶点A (0，0)，B (4,1)，C (6,8)．(1)求顶点D 的坐标；(2)若DE u u u r ＝2EC u u u r ，F 为AD 的中点，求AE 与BF 的交点I 的坐标．解：(1)设点D (x ，y )，因为AD u u u r ＝BC u u u r ，所以(x ，y )＝(6,8)－(4,1)＝(2,7)，所以顶点D 的坐标为(2,7)．(2)设点I (x ，y )，则有F 点坐标为⎝⎛⎭⎫1，72，由于 DE u u u r ＝2EC u u u r ，故(x E －2，y E －7)＝2(6－x E,8－y E )⇒E ⎝⎛⎭⎫143，233，由于BF u u u r ＝⎝⎛⎭⎫－3，52， BI u u r ＝(x －4，y －1)，BF u u u r ∥BI u u r ⇒52(x －4)＝－3(y －1)，又AE u u u r ∥AI u u r ⇒233x ＝143y ，联立方程组可得x ＝74，y ＝238，则点I 的坐标为⎝⎛⎭⎫74，238.。

高考数学一轮复习学案：5.2 平面向量基本定理及坐标表示(含答案)

高考数学一轮复习学案：5.2 平面向量基本定理及坐标表示（含答案）5.2平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示最新考纲考情考向分析1.了解平面向量基本定理及其意义2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示3.会用坐标表示平面向量的加法.减法与数乘运算4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.主要考查平面向量基本定理.向量加法.减法.数乘向量的坐标运算及平面向量共线的坐标表示，考查向量线性运算的综合应用，考查学生的运算推理能力.数形结合能力，常与三角函数综合交汇考查，突出向量的工具性一般以选择题.填空题形式考查，偶尔有与三角函数综合在一起考查的解答题，属于中档题.1平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量的坐标运算1向量加法.减法.数乘及向量的模设ax1，y1，bx2，y2，则abx1x2，y1y2，abx1x2，y1y2，ax1，y1，|a|x21y21.2向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设Ax1，y1，Bx2，y2，则ABx2x1，y2y1，|AB|x2x12y2y12.3平面向量共线的坐标表示设ax1，y1，bx2，y2，其中b0.a，b共线x1y2x2y10.知识拓展1若a与b不共线，ab0，则0.2设ax1，y1，bx2，y2，如果x20，y20，则abx1x2y1y2.题组一思考辨析1判断下列结论是否正确请在括号中打“”或“”1平面内的任何两个向量都可以作为一组基底2若a，b不共线，且1a1b2a2b，则12，12.3平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可用这组基底唯一表示4若ax1，y1，bx2，y2，则ab的充要条件可表示成x1x2y1y2.5当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标6平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变题组二教材改编2P97例5已知ABCD的顶点A1，2，B3，1，C5,6，则顶点D的坐标为________答案1,5解析设Dx，y，则由ABDC，得4,15x,6y，即45x，16y，解得x1，y5.3P119A组T9已知向量a2,3，b1,2，若manb与a2b共线，则mn________.答案12解析由向量a2,3，b1,2，得manb2mn,3m2n，a2b4，1由manb与a2b共线，得2mn43m2n1，所以mn12.题组三易错自纠4设e1，e2是平面内一组基底，若1e12e20，则12________.答案05已知点A0,1，B3,2，向量AC4，3，则向量BC________.答案7，4解析根据题意得AB3,1，BCACAB4，33,17，46xx全国已知向量am,4，b3，2，且ab，则m________.答案6解析因为ab，所以2m430，解得m6.题型一题型一平面向量基本定理的应用平面向量基本定理的应用1在下列向量组中，可以把向量a3,2表示出来的是Ae10,0，e21,2Be11,2，e25，2Ce13,5，e26,10De12，3，e22,3答案B解析方法一设ak1e1k2e2，A选项，3,2k2,2k2，k23，2k22，无解；B选项，3,2k15k2,2k12k2，k15k23，2k12k22，解得k12，k21.故B中的e1，e2可以把a表示出来；同理，C，D选项同A 选项，无解方法二只需判断e1与e2是否共线即可，不共线的就符合要求2xx 济南模拟如图，在ABC中，AN13NC，P是BN上的一点，若APmAB211AC，则实数m的值为________答案311解析AN13NC，AC4AN，ADmAB211ACmAB811AN，又P，B，N三点共线，m8111，即m311.思维升华平面向量基本定理应用的实质和一般思路1应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加.减或数乘运算2用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决题型二题型二平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算典例1已知a5，2，b4，3，若a2b3c0，则c等于A.1，83B.133，83C.133，43D.133，43答案D解析由已知3ca2b5,28，613，4所以c133，43.2xx北京西城区模拟向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若cab，R，则等于A1B2C3D4答案D解析以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系设每个小正方形边长为1，则A1，1，B6,2，C5，1，aAO1,1，bOB6,2，cBC1，3cab，1，31,16,2，即61，23，解得2，12，4.引申探究在本例2中，试用a，c表示b.解建立本例2解答中的平面直角坐标系，则a1,1，b6,2，c1，3，设bxayc，则6,2x1,1y1，3即xy6，x3y2，解得x4，y2，故b4a2c.思维升华向量的坐标运算主要是利用加.减.数乘运算法则进行计算若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则跟踪训练1已知四边形ABCD的三个顶点A0,2，B1，2，C3，1，且BC2AD，则顶点D的坐标为A.2，72B.2，12C3,2D1,3答案A解析设Dx，y，ADx，y2，BC4,3，又BC2AD，42x，32y2，x2，y72，故选A.2已知平面向量a1,1，b1，1，则向量12a32b等于A2，1B2,1C1,0D1,2答案D解析12a12，12，32b32，32，故12a32b1,2题型三题型三向量共线的坐标表示向量共线的坐标表示命题点1利用向量共线求向量或点的坐标典例已知点A4,0，B4,4，C2,6，则AC与OB的交点P的坐标为________答案3,3解析方法一由O，P，B三点共线，可设OPOB4，4，则APOPOA44,4又ACOCOA2,6，由AP与AC共线，得446420，解得34，所以OP34OB3,3，所以点P的坐标为3,3方法二设点Px，y，则OPx，y，因为OB4,4，且OP与OB共线，所以x4y4，即xy.又APx4，y，AC2,6，且AP与AC共线，所以x46y20，解得xy3，所以点P的坐标为3,3命题点2利用向量共线求参数典例已知向量a1sin，1，b12，1sin，若ab，则锐角________.答案45解析由ab，得1sin1sin12，cos212，cos22或cos22，又为锐角，45.思维升华平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略1利用两向量共线求参数如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若ax1，y1，bx2，y2，则ab的充要条件是x1y2x2y1”解题比较方便2利用两向量共线的条件求向量坐标一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为aR，然后结合其他条件列出关于的方程，求出的值后代入a即可得到所求的向量跟踪训练1xx北京海淀区模拟已知向量a1,1，点A3，0，点B为直线y2x上的一个动点若ABa，则点B的坐标为________答案3，6解析设Bx,2x，则ABx3,2xABa，x32x0，解得x3，B3，62若三点A1，5，Ba，2，C2，1共线，则实数a的值为________答案54解析ABa1,3，AC3,4，根据题意ABAC，4a1330，即4a5，a54.解析法坐标法在向量中的应用典例12分给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为23.如图所示，点C在以O为圆心的AB上运动若OCxOAyOB，其中x，yR，求xy的最大值思想方法指导建立平面直角坐标系，将向量坐标化，将向量问题转化为函数问题更加凸显向量的代数特征规范解答解以O为坐标原点，OA所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A1,0，B12，32.4分设AOC0，23，则Ccos，sin，由OCxOAyOB，得cosx12y，sin32y，所以xcos33sin，y233sin，8分所以xycos3sin2sin6，10分又0，23，所以当3时，xy取得最大值2.12分。

高考数学一轮复习人教A版平面向量基本定理及坐标运算教案

高三一轮复习第四章平面向量与复数4.2 平面向量基本定理及坐标运算【教学目标】1.了解平面向量基本定理及其意义．2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 【重点难点】1.教学重点了解平面向量基本定理，会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运，算理解用坐标表示的平面向量共线的条件；2.教学难点学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力；【教学策略与方法】自主学习、小组讨论法、师生互动法【教学过程】教学流程教师活动学生活动设计意图考纲传真1.了解平面向量基本定理及其意义．2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 真题再现;1.(2012·大纲全国，6)△ABC 中，AB 边的高为CD .若CB→＝a ，CA →＝b ，a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则AD →＝( ) A.13a －13b B.23a －23b C.35a －35b D.45a －45b 解析解Rt △ABC 得AB ＝5，AD ＝45 5.即AD →＝45AB→＝45(CB →－CA →)＝45a －45b ，故选D. 答案 D 2.(2016·全国Ⅰ，13)设向量a ＝(m ，1)，b ＝(1，2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________.解析由|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，得a ⊥b ，所以m ×1＋1×2。

学生通过对高考真题的解决，发现自己对知识的掌握情况。

通过对考纲的解读和分析。

让学生明确考试要求，做到有的放矢＝0，得m ＝－2. 答案－2 知识梳理知识点1 平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.向量e 1，e 2叫做表示这一平面内的所有向量的一组基底．知识点2 平面向量的坐标运算1．向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)， λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21. 2．向量坐标的求法(1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12. 知识点3 平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.1．必会结论；(1)若a 与b 不共线，λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.(2)平面向量的基底中一定不含零向量．2．必清误区；若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，而应该表示为x 1y 2－x 2y 1＝0. 考点分项突破考点一平面向量基本定理及其应用1．(2015·北京高考)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________.【解析】∵AM→＝2MC→，∴AM→＝23AC→.∵BN→＝NC→，∴AN→＝12(AB→＋AC→)，∴MN→＝AN→－AM→＝12(AB→＋AC→)－23 AC→＝12AB→－16AC→.又MN→＝xAB→＋yAC→，∴x＝12，y＝－16. 【答案】12－162．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点．若AC→＝λAE→＋μAF→，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.【解析】选择AB→，AD→作为平面向量的一组基底，则AC→＝AB→＋AD→，AE→＝12AB→＋AD→，AF→＝AB→＋12AD→，又AC→＝λAE→＋μAF→＝⎝⎛⎭⎫12λ＋μAB→＋⎝⎛⎭⎫λ＋12μAD→，于是得⎩⎨⎧12λ＋μ＝1，λ＋12μ＝1，解得⎩⎨⎧λ＝23，μ＝23，所以λ＋μ＝43.【答案】433．如图所示，在△ABC中，H为BC上异于B，C的任一点，M为AH的中点，若AM→＝λAB→＋μAC→，则λ＋μ＝________.【解析】由B，H，C三点共线知，BH→＝kBC→(k≠0,1)，则AH→＝AB→＋BH→＝AB→＋kBC→＝AB→＋k(AC→－AB→)＝(1－k)AB→＋kAC→，所以AM→＝12AH→＝12(1－k)AB→＋k2AC→，又AM→＝λAB→＋μAC→，所以⎩⎨⎧λ＝121－k，μ＝k2，从而λ＋μ＝12.【答案】12环节二归纳应用平面向量基本定理的关键点1．平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量．2．选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．3．强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．提醒在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．考点二平面向量的坐标运算(1)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图4-2-2所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则λμ＝________.图4-2-2(2)已知A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，①求AB→；②若AB→＝mAC→＋nBC→，求m，n；③若AP→＝AB→＋λAC→(λ∈R)，试求λ为何值时，点P在一、三象限的角平分线上．【解析】(1)以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)，∴a＝AO→＝(－1,1)，b＝OB→＝(6,2)，c＝BC→＝(－1，－3)．∵c＝λa＋μb，∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，即⎩⎪⎨⎪⎧－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。

高考数学一轮复习第2节平面向量的基本定理及坐标表示教学案理(解析版)

[考纲传真] 1.了解平面向量的基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．1．平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)基底：不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|x 2－12＋y 2－3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中a ≠0，b ≠0，a ，b 共线⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. [常用结论]1．若a 与b 不共线，且λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0. 2．若G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝0，AG →＝13(AB →＋AC →)．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( ) (2)在△ABC 中，向量AB →，BC →的夹角为∠ABC .( ) (3)同一向量在不同基底下的表示是相同的．( )(4)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b ＝( )A ．(－2，－1)B ．(－2,1)C ．(－1,0)D ．(－1,2)D [∵a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)， ∴12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，32b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32∴12a －32b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32，12＋32＝(－1,2)，故选D.] 3．在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3)B [A 项中e 1∥e 2，C 项中e 2＝2e 1，D 项中e 1＝－e 2，只有B 项中e 1，e 2不共线，故a 可以由e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2)表示，故选B.]4．设向量a ＝(2,4)与向量b ＝(x,6)共线，则实数x 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6B [由a ∥b 可知2×6－4x ＝0，∴x ＝3.故选B.]5．(教材改编)已知▱ABC D 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5,6)，则顶点D 的坐标为________． (1,5) [设D(x ，y )，则由AB →＝D C →，得(4,1)＝(5－x,6－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧ 4＝5－x ，1＝6－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5.]平面向量基本定理及其应用1．如果e 1，e 2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( ) A ．e 1与e 1＋e 2 B ．e 1－2e 2与e 1＋2e 2 C ．e 1＋e 2与e 1－e 2D ．e 1＋3e 2与6e 2＋2e 1D [选项A 中，设e 1＋e 2＝λe 1，则⎩⎪⎨⎪⎧1＝λ，1＝0，无解；选项B 中，设e 1－2e 2＝λ(e 1＋2e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，－2＝2λ，无解；选项C 中，设e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，1＝－λ，无解；选项D 中，e 1＋3e 2＝12(6e 2＋2e 1)，所以两向量是共线向量．故选D.]2．在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( ) A.12 B.13 C.14 D ．1 A [因为M 为边BC 上任意一点，所以可设AM →＝xAB →＋yAC →(x ＋y ＝1)．因为N 为AM 的中点，所以AN →＝12AM →＝12xAB →＋12yAC →＝λAB →＋μAC →.所以λ＋μ＝12(x ＋y )＝12.故选A.]3．如图，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为邻边作▱OA D B ，BM →＝13BC →，CN →＝13C D →，用a ，b 表示OM →，ON →，MN →.[解] ∵BA →＝OA →－OB →＝a －b ，BM →＝16BA →＝16a －16b ，∴OM →＝OB →＋BM →＝16a ＋56b .∵O D →＝a ＋b ，∴ON →＝OC →＋13C D →＝12O D →＋16O D →＝23O D →＝23a ＋23b ， ∴MN →＝ON →－OM →＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b .综上，OM →＝16a ＋56b ，ON →＝23a ＋23b ，MN →＝12a －16b .应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的平面向量的坐标运算【例1】 (1)向量a ，b 满足a ＋b ＝(－1,5)，a －b ＝(5，－3)，则b 为( ) A ．(－3,4) B ．(3,4) C ．(3，－4)D ．(－3，－4)(2)向量a ，b ，c 在正方形网格中，如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R)，则λμ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4(1)A (2)D [(1)∵a ＋b ＝(－1,5)，a －b ＝(5，－3)，∴a ＝(2,1)，b ＝(－3,4)，故选A.(2)以O 为坐标原点，建立坐标系可得a ＝(－1,1)，b ＝(6,2)，c ＝(－1，－3)．∵c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R)．∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＝－λ＋6μ，－3＝λ＋2μ，解得λ＝－2，μ＝－12.∴λμ＝4.](1)已知A (1,4)，B (－3,2)，向量BC ＝(2,4)，D 为AC 的中点，则B D ＝( )A ．(1,3)B ．(3,3)C ．(－3，－3)D ．(－1，－3)(2)若向量a ＝(2,1)，b ＝(－1,2)，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52，则c 可用向量a ，b 表示为( ) A ．c ＝12a ＋bB ．c ＝－12a －bC ．c ＝32a ＋12bD ．c ＝32a －12b(1)B (2)A [(1)∵D 为AC 的中点，∴B D →＝12(BA →＋BC →)，又BA →＝(4,2)，BC →＝(2,4)，∴B D →＝12(6,6)＝(3,3)，故选B.(2)设c ＝xa ＋yb ，易知 ⎩⎪⎨⎪⎧0＝2x －y ，52＝x ＋2y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝1.∴c ＝12a ＋b .故选A.]向量共线的坐标表示【例2】已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)． (1)当k 为何值时，ka －b 与a ＋2b 共线；(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋mb ，且A ，B ，C 三点共线，求m 的值． [解] (1)∵a ＝(1,0)，b ＝(2,1)， ∴ka －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)，a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)，∵ka －b 与a ＋2b 共线， ∴2(k －2)－(－1)×5＝0， ∴k ＝－12.(2)AB →＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)， BC →＝(1,0)＋m (2,1)＝(2m ＋1，m )．∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥BC →， ∴8m －3(2m ＋1)＝0，∴m ＝32.证三点共线：可先证明相关的两向量共线，再说明两向量有公共点；已知向量共线，求参数：可利用向量共线的充要条件列方程组求解(1)－b 平行，则实数(2)已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(－k,10)，且A ，B ，C 三点共线，则实数k 的值是________．(1)2 (2)－23 [(1)由题意得a ＋b ＝(3,1＋x )，3a －b ＝(1,3－x )，则由a ＋b 与3a －b 平行得3×(3－x )－1×(1＋x )＝0，解得x ＝2. (2)AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)， AC →＝OC →－OA →＝(－2k ，－2)． ∵A ，B ，C 三点共线， ∴AB →，AC →共线，∴－2×(4－k )＝－7×(－2k )，解得k ＝－23.]1．(2015·全国卷Ⅰ)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( ) A ．(－7，－4) B ．(7,4) C ．(－1,4)D ．(1,4)A [AB →＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)， BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．故选A.]2．(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________. 12 [2a ＋b ＝(4,2)，因为c ＝(1，λ)，且c ∥(2a ＋b )，所以1×2＝4λ，即λ＝12.] 3．(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________. －6 [∵a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，a ∥b ， ∴－2m －4×3＝0，∴m ＝－6.]。

高考数学一轮复习第五章平面向量、复数 2 第2讲平面向量基本定理及坐标表示教学案

第2讲平面向量基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理(1)定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e1＋λ2e2．(2)基底：不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)，|AB→|3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0．[提醒] 当且仅当x2y2≠0时，a∥b与x1x2＝y1y2等价．即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( )(2)在△ABC 中，向量AB →，BC →的夹角为∠ABC .( ) (3)同一向量在不同基底下的表示是相同的．( )(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可表示成x 1x 2＝y 1y 2.( ) (5)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2 ，μ1＝μ2.( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ [教材衍化]1．(必修4P99例8改编)若P 1(1，3)，P 2(4，0)且P 是线段P 1P 2的一个三等分点，则点P 的坐标为( )A ．(2，2)B ．(3，－1)C ．(2，2)或(3，－1)D ．(2，2)或(3，1)解析：选D.由题意得P 1P →＝13P 1P 2→或P 1P →＝23P 1P 2→，P 1P 2→＝(3，－3)．设P (x ，y )，则P 1P →＝(x －1，y －3)，当P 1P →＝13P 1P 2→时，(x －1，y －3)＝13(3，－3)，所以x ＝2，y ＝2，即P (2，2)；当P 1P →＝23P 1P 2→时，(x －1，y －3)＝23(3，－3)，所以x ＝3，y ＝1，即P (3，1)．故选D.2．(必修4P97例5改编)已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5，6)，则顶点D 的坐标为________．解析：设D (x ，y )，则由AB →＝DC →，得(4，1)＝(5－x ，6－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧4＝5－x ，1＝6－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5.答案：(1，5)3．(必修4P119A 组T9改编)已知向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则mn＝________．解析：由向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，2)，得m a ＋n b ＝(2m －n ，3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)．由m a ＋n b 与a －2b 共线，得2m －n 4＝3m ＋2n －1，所以m n ＝－12.答案：－12[易错纠偏](1)忽视基底中基向量不共线致错； (2)弄不清单位向量反向的含义出错； (3)不正确运用平面向量基本定理出错．1．给出下列三个向量：a ＝(－2，3)，b ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－32，c ＝(－1，1)．在这三个向量中任意取两个作为一组，能构成基底的组数为________．解析：易知a ∥b ，a 与c 不共线，b 与c 不共线，所以能构成基底的组数为2.答案：22．已知A (－5，8)，B (7，3)，则与向量AB →反向的单位向量为________．解析：由已知得AB →＝(12，－5)，所以|AB →|＝13，因此与AB →反向的单位向量为－113AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213，513.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213，5133.如图，在正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AE →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为________．解析：因为E 为DC 的中点，所以AC →＝AB →＋AD →＝12AB →＋12AB →＋AD →＝12AB →＋DE →＋AD →＝12AB →＋AE →，即AE →＝－12AB →＋AC →，所以λ＝－12，μ＝1，所以λ＋μ＝12.答案：12平面向量基本定理及其应用(1)已知平行四边形ABCD 中，点E ，F 满足AE →＝2EC →，BF →＝3FD →，则EF →＝________(用AB →，AD →表示)．(2)在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP →＝23CA →＋13CB →，Q 是BC的中点，AQ 与CP 的交点为M ，又CM →＝tCP →，则实数t 的值为________．【解析】 (1)如图所示，AE →＝23AC →＝23(AB →＋AD →)，BF →＝34BD →＝34(AD→－AB →)，所以EF →＝EA →＋AB →＋BF →＝－23(AB →＋AD →)＋AB →＋34(AD →－AB →)＝－512AB →＋112AD →.(2)因为CP →＝23CA →＋13CB →，所以3CP →＝2CA →＋CB →，即2CP →－2CA →＝CB →－CP →，所以2AP →＝PB→. 即P 为AB 的一个三等分点(靠近A 点)，又因为A ，M ，Q 三点共线，设AM →＝λAQ →. 所以CM →＝AM →－AC →＝λAQ →－AC →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋12AC →－AC →＝λ2AB →＋λ－22AC →，又CM →＝tCP →＝t (AP →－AC →)＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →－AC → ＝t 3AB →－tAC →.故⎩⎪⎨⎪⎧λ2＝t3，λ－22＝－t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝34，λ＝12.故t 的值是34.【答案】 (1)－512AB →＋112AD → (2)341．(变问法)在本例(2)中，试用向量AB →，AC →表示CP →. 解：因为CP →＝23CA →＋13CB →，所以3CP →＝2CA →＋CB →，即2CP →－2CA →＝CB →－CP →， 2AP →＝PB →，所以AP →＝13AB →，CP →＝AP →－AC →＝13AB →－AC →. 2．(变问法)在本例(2)中，试问点M 在AQ 的什么位置？解：由本例(2)的解析CM →＝λ2AB →＋λ－22AC →及λ＝12，CB →＝2CQ →知，CM →＝12λ(CB →－CA →)＋2－λ2CA →＝λ2CB →＋(1－λ)CA →＝λCQ →＋(1－λ)CA →＝CQ →＋CA →2.因此点M 是AQ 的中点．平面向量基本定理应用的实质和一般思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．1．(2020·温州七校联考)如图，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝1，且∠B ＝90°，∠BCD ＝135°.若向量AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A.2a －⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋22b B ．－2a ＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋22bC ．－2a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－22b D.2a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－22b 解析：选B.根据题意可得△ABC 为等腰直角三角形，由∠BCD ＝135°，得∠ACD ＝135°－45°＝90°.以B 为原点，AB 所在直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，并作DE ⊥y 轴于点E ，则△CDE 也为等腰直角三角形．由CD ＝1，得CE ＝ED ＝22，则A (1，0)，B (0，0)，C (0，1)，D ⎝⎛⎭⎪⎪⎫22，1＋22，所以AB →＝(－1，0)，AC →＝(－1，1)，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22－1，1＋22.令AD →＝λAB →＋μAC →(λ，μ∈R )，则有⎩⎪⎨⎪⎧－λ－μ＝22－1，μ＝1＋22，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝1＋22，则AD →＝－2a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋22b ，故选B. 2．在平行四边形ABCD 中，点E 是AD 边的中点，BE 与AC 相交于点F ，若EF →＝mAB →＋nAD →(m ，n ∈R )，则m n的值是________．解析：法一：根据题意可知△AFE ∽△CFB ，所以EF FB ＝AE CB ＝12，故EF →＝12FB →＝13EB →＝13(AB →－AE →)＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →－12AD →＝13AB →－16AD →，所以m n ＝13－16＝－2.法二：如图，AD →＝2AE →，EF →＝mAB →＋nAD →，所以AF →＝AE →＋EF →＝mAB→＋(2n ＋1)AE →，因为F ，E ，B 三点共线，所以m ＋2n ＋1＝1，所以mn＝－2.答案：－2平面向量的坐标运算已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN→＝－2b .(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)求M ，N 的坐标及向量MN →的坐标．【解】由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1，8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)因为m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，所以⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点，因为CM →＝OM →－OC →＝3c ，所以OM →＝3c ＋OC →＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)．所以M(0，20)．又因为CN→＝ON→－OC→＝－2b，所以ON→＝－2b＋OC→＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)，所以N(9，2)．所以MN→＝(9，－18)．向量坐标运算问题的一般思路(1)向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算．(2)巧借方程思想求坐标：向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用．(3)妙用待定系数法求系数：利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出系数．在△ABC中，点P在BC上，且BP→＝2PC→，点Q是AC 的中点，若PA→＝(4，3)，PQ→＝(1，5)，则BC→等于( ) A．(－2，7) B．(－6，21)C．(2，－7) D．(6，－21)解析：选B.BC→＝3PC→＝3(2PQ→－PA→)＝6PQ→－3PA→＝(6，30)－(12，9)＝(－6，21)．平面向量共线的坐标表示(高频考点)平面向量共线的坐标表示是高考的常考内容，多以选择题或填空题的形式出现，难度较小，属容易题．主要命题角度有：(1)利用两向量共线求参数；(2)利用两向量共线求向量坐标； (3)三点共线问题．角度一利用两向量共线求参数(2020·浙江省名校联考)已知向量a ＝(m ，1)，b ＝(1－n ，1)(其中m ，n 为正数)，若a∥b ，则1m ＋2n的最小值是( )A ．2 2B ．32C ．32＋2D ．22＋3【解析】已知a ＝(m ，1)，b ＝(1－n ，1)(其中m ，n 为正数)，若a∥b ，则m －(1－n )＝0，即m ＋n ＝1.所以1m ＋2n ＝m ＋n m ＋2m ＋2n n ＝3＋n m ＋2m n≥3＋2n m ·2mn＝3＋22，当且仅当n m ＝2m n 时取等号，故1m ＋2n的最小值是3＋22，故选D.【答案】 D角度二利用两向量共线求向量坐标已知O 为坐标原点，点C 是线段AB 上一点，且A (1，1)，C (2，3)，|BC →|＝2|AC →|，则向量OB →的坐标是________．【解析】由点C 是线段AB 上一点，|BC →|＝2|AC →|，得BC →＝－2AC →.设点B (x ，y )，则(2－x ，3－y )＝－2(1，2)，即⎩⎪⎨⎪⎧2－x ＝－2，3－y ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝7.所以向量OB →的坐标是(4，7)．【答案】 (4，7)角度三三点共线问题已知向量OA →＝(k ，12)，OB →＝(4，5)，OC →＝(－k ，10)，且A ，B ，C 三点共线，则k 的值是( )A ．－23B.43C.12D.13【解析】 AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)， AC →＝OC →－OA →＝(－2k ，－2)．因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →，AC →共线，所以－2×(4－k )＝－7×(－2k )，解得k ＝－23.【答案】 A(1)向量共线的两种表示形式设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，①a ∥b ⇒a ＝λb (b ≠0)；②a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用②.(2)两向量共线的充要条件的作用判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值．已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(3，m )，m ∈R ，则“m＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的( )A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.由题意得a＋b＝(2，2＋m)，由a∥(a＋b)，得－1×(2＋m)＝2×2，所以m＝－6.当m＝－6时，a∥(a＋b)，则“m ＝－6”是“a∥(a＋b)”的充分必要条件．核心素养系列11 数学运算——平面向量与三角形的“四心”设O为△ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c则(1)O为△ABC的外心⇔|OA→|＝|OB→|＝|OC→|＝a2sin A.(2)O为△ABC的重心⇔OA→＋OB→＋OC→＝0.(3)O为△ABC的垂心⇔OA→·OB→＝OB→·OC→＝OC→·OA→.(4)O为△ABC的内心⇔aOA→＋bOB→＋cOC→＝0.一、平面向量与三角形的“重心”问题已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足OP→＝13[(1－λ)OA→＋(1－λ)OB→＋(1＋2λ)·OC→]，λ∈R，则点P的轨迹一定经过( )A．△ABC的内心B．△ABC的垂心C．△ABC的重心D．AB边的中点【解析】取AB的中点D，则2OD→＝OA→＋OB→，因为OP→＝13[(1－λ)OA→＋(1－λ)OB→＋(1＋2λ)OC→]，所以OP→＝13[2(1－λ)OD→＋(1＋2λ)OC→]＝2（1－λ）3OD →＋1＋2λ3OC →，而2（1－λ）3＋1＋2λ3＝1，所以P ，C ，D 三点共线，所以点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心．【答案】 C二、平面向量与三角形的“内心”问题在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝6，cos A ＝15，O 是△ABC 的内心，若OP →＝xOB →＋yOC →，其中x ，y ∈[0，1]，则动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为( )A.1063B.1463C ．4 3D ．62【解析】根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P 的轨迹是以OB ，OC 为邻边的平行四边形及其内部，其面积为△BOC 面积的2倍．在△ABC 中，设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a ＝7.设△ABC 的内切圆的半径为r ，则12bc sin A ＝12(a ＋b ＋c )r ，解得r ＝263，所以S △BOC ＝12×a ×r ＝12×7×263＝763.故动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为2S △BOC ＝1463.【答案】 B三、平面向量与三角形的“垂心”问题已知O 是平面上的一个定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ，λ∈(0，＋∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心【解析】因为OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ，所以AP →＝OP →－OA →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ，所以BC →·AP →＝BC →·λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ＝λ(－|BC →|＋|BC→|)＝0，所以BC →⊥AP →，所以点P 在BC 的高线上，即动点P 的轨迹一定通过△ABC 的垂心．【答案】 B四、平面向量与三角形的“外心”问题已知在△ABC 中，AB ＝1，BC ＝6，AC ＝2，点O 为△ABC 的外心，若AO →＝xAB→＋yAC →，则有序实数对(x ，y )为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，35 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45 【解析】取AB 的中点M 和AC 的中点N ，连接OM ，ON ，则OM →⊥AB →，ON →⊥AC →，OM →＝AM →－AO →＝12AB →－(xAB →＋yAC →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x AB →－yAC →，ON →＝AN →－AO→＝12AC →－(xAB →＋yAC →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－y AC →－xAB →.由OM →⊥AB →，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x AB →2－yAC →·AB →＝0，①由ON →⊥AC →，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12－y AC →2－xAC →·AB →＝0，②又因为BC →2＝(AC →－AB →)2＝AC →2－2AC →·AB→＋AB 2→，所以AC →·AB →＝AC →2＋AB →2－BC →22＝－12，③把③代入①，②得⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ＋y ＝0，4＋x －8y ＝0，解得x ＝45，y ＝35.故实数对(x ，y )为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，35.【答案】 A[基础题组练]1．已知a ＝(1，1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1，2)，则c 等于( ) A ．－12a ＋32b B.12a －32bC ．－32a －12bD ．－32a ＋12b解析：选B.设c ＝λa ＋μb ，则(－1，2)＝λ(1，1)＋μ(1，－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＝λ＋μ，2＝λ－μ，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，μ＝－32，所以c ＝12a －32b . 2．设向量a ＝(x ，1)，b ＝(4，x )，且a ，b 方向相反，则x 的值是( )A ．2B ．－2C ．±2D ．0解析：选B.因为a 与b 方向相反，所以b ＝m a ，m <0，则有(4，x )＝m (x ，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧4＝mx ，x ＝m ，解得m ＝±2.又m <0，所以m ＝－2，x＝m ＝－2.3．已知A (1，4)，B (－3，2)，向量BC →＝(2，4)，D 为AC 的中点，则BD→＝( )A ．(1，3)B ．(3，3)C ．(－3，－3)D ．(－1，－3)解析：选B.设C (x ，y )，则BC →＝(x ＋3，y －2)＝(2，4)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝2，y －2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝6即C (－1，6)．由D 为AC 的中点可得点D 的坐标为(0，5)，所以BD →＝(0＋3，5－2)＝(3，3)．4．(2020·温州瑞安七中高考模拟)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝( )A ．－8B ．－4C ．4D ．2解析：选C.设正方形的边长为1，则易知c ＝(－1，－3)，a ＝(－1，1)，b ＝(6，2)；因为c ＝λa ＋μb ，所以(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，解得λ＝－2，μ＝－12，故λμ＝4.5．已知非零不共线向量OA →，OB →，若2OP →＝xOA →＋yOB →，且PA →＝λAB →(λ∈R )，则点Q (x ，y )的轨迹方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋2y －2＝0D ．2x ＋y －2＝0解析：选A.由PA →＝λAB →，得OA →－OP →＝λ(OB →－OA →)，即OP →＝(1＋λ)OA →－λOB →.又2OP →＝xOA →＋yOB →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2λ，y ＝－2λ，消去λ得x＋y －2＝0，故选A.6．(2020·金华十校联考)已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 的坐标分别为(0，1)，(2，0)，(0，－2)，O 为坐标原点，动点P 满足|CP →|＝1，则|OA →＋OB →＋OP →|的最小值是( )A.3－1B.11－1C.3＋1D.11＋1解析：选A.设点P (x ，y )，动点P 满足|CP →|＝1可得x 2＋(y ＋2)2＝1.根据OA →＋OB →＋OP →的坐标为(2＋x ，y ＋1)，可得|OA →＋OB →＋OP →|＝（x ＋2）2＋（y ＋1）2，表示点P (x ，y )与点Q (－2，－1)之间的距离．显然点Q 在圆C ：x 2＋(y ＋2)2＝1的外部，求得QC ＝3，|OA →＋OB →＋OP →|的最小值为QC －1＝3－1，故选A.7．已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1＋sin θ，若a ∥b ，则锐角θ＝________．解析：因为a ∥b ，所以(1－sin θ)×(1＋sin θ)－1×12＝0，得cos 2θ＝12，所以cos θ＝±22，又因为θ为锐角，所以θ＝π4. 答案：π48．设向量OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b ，0)，其中a ＞0，b ＞0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则ab 的最大值为________．解析：易知AB →＝(a －1，1)，AC →＝(－b －1，2)，由A ，B ，C 三点共线知AB →∥AC →，故2(a －1)－(－b －1)＝0，所以2a ＋b ＝1.由基本不等式可得1＝2a ＋b ≥22ab ，当且仅当2a ＝b 时等号成立，所以ab ≤18，即ab 的最大值为18.答案：189．(2020·台州质检)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C 的对边，向量a＝(cos C，3b－c)，向量b＝(cos A，a)且a∥b，则tan A＝________．解析：a∥b⇒(3b－c)cos A－a cos C＝0，即3b cos A＝c cos A＋a cos C，再由正弦定理得3sin B cos A＝sin C cos A＋cos C sinA⇒3sin B cos A＝sin(C＋A)＝sin B，即cos A＝33，所以sin A＝63，tan A＝sin Acos A＝ 2.答案：210．如图，两块全等的等腰直角三角板拼在一起形成一个平面图形，若直角边长为2，且AD→＝λAB→＋μAC→，则λ＋μ＝________．解析：因为∠DEB＝∠ABC＝45°，所以AB∥DE，过D作AB，AC的垂线DM，DN，则AN＝DM＝BM＝BD·sin 45°＝2，所以DN＝AM＝AB＋BM＝2＋2，所以AD→＝AM→＋AN→＝2＋22AB→＋22AC→，所以λ＝2＋22，μ＝22，所以λ＋μ＝1＋ 2.答案：1＋211．已知OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，OD→＝d，OE→＝e，设t∈R，如果3a ＝c ，2b ＝d ，e ＝t (a ＋b )，那么t 为何值时，C ，D ，E 三点在一条直线上？解：由题设，知CD →＝d －c ＝2b －3a ，CE →＝e －c ＝(t －3)a ＋t b .C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE →＝kCD→，即(t －3)a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ，整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b . ①若a ，b 共线，则t 可为任意实数； ②若a ，b不共线，则有⎩⎪⎨⎪⎧t －3＋3k ＝0，2k －t ＝0，解之得t ＝65.综上，可知a ，b 共线时，t 可为任意实数； a ，b 不共线时，t ＝65.12．(2020·杭州市七校高三联考)在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别是线段AB ，BC 的中点，且|DM |＝1，|DN |＝2，∠MDN ＝π3.(1)试用向量AB →，AD →表示向量DM →，DN →； (2)求|AB →|，|AD →|；(3)设O 为△ADM 的重心(三角形三条中线的交点)，若AO →＝xAD →＋yAM→，求x ，y 的值．解：(1)如图所示，DM →＝DA →＋AM →＝12AB →－AD →； DN →＝DC →＋CN →＝AB →＋12CB →＝AB →－12AD →. (2)由(1)知AD →＝23DN →－43DM →，AB →＝43DN →－23DM →，所以|AD →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23DN →－43DM →2＝43，|AB →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43DN →－23DM →2＝2313.(3)由重心性质知：AO →＋DO →＋MO →＝0，所以有：0＝xAD →＋yAM →＋OA →＝x (AO →－DO →)＋y (AO →－MO →)－AO →＝(x ＋y －1)AO →＋(－x )DO →＋(－y )MO →.所以(x ＋y －1)∶(－x )∶(－y )＝1∶1∶1⇒x ＝y ＝13.[综合题组练]1．(2020·宁波诺丁汉大学附中期中考试)在△ABC 中，BC ＝7，AC ＝6，cos C ＝267.若动点P 满足AP →＝(1－λ)AB →＋2λ3AC →(λ∈R )，则点P 的轨迹与直线BC ，AC 所围成的封闭区域的面积为( )A ．5B ．10C ．2 6D ．46解析：选 A.设AD →＝23AC →，因为AP →＝(1－λ)AB →＋2λ3AC →＝(1－λ)AB →＋λAD →，所以B ，D ，P 三点共线．所以P 点轨迹为直线BC .在△ABC 中，BC ＝7，AC ＝6，cos C ＝267，所以sin C ＝57，所以S△ABC ＝12×7×6×57＝15，所以S △BCD ＝13S △ABC ＝5.2．设两个向量a ＝(λ＋2，λ2－cos2α)和b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m2＋sin α，其中λ，m ，α为实数，若a ＝2b ，则λm的取值范围是( )A ．[－6，1]B ．[4，8]C ．(－∞，1]D ．[－1，6]解析：选A.由a ＝2b ，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2＝2m ，λ2－cos 2α＝m ＋2sin α，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2m －2，λ2－m ＝cos 2α＋2sin α，又cos 2α＋2sin α＝－sin 2α＋2sin α＋1＝－(sin α－1)2＋2，所以－2≤cos 2α＋2sin α≤2，所以－2≤λ2－m ≤2，将λ2＝(2m －2)2代入上式，得－2≤(2m －2)2－m ≤2，得14≤m≤2，所以λm ＝2m －2m ＝2－2m∈[－6，1]．3．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(0，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 满足的条件是________________．解析：由题意得AB →＝(－3，1)，AC →＝(2－m ，1－m )，若A ，B ，C 能构成三角形，则AB →，AC →不共线，则－3×(1－m )≠1×(2－m )，解得m ≠54.答案：m ≠544．(2020·浙江名校新高考研究联盟联考)如图，在等腰梯形ABCD 中，DC ∥AB ，AD ＝DC ＝CB ＝12AB ＝1，F 为BC 的中点，点P 在以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE ︵上变动，E为圆弧DE ︵与AB 的交点，若AP →＝λED →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则2λ－μ的取值范围是________．解析：建立平面直角坐标系如图所示，则A (0，0)，E (1，0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，32，B (2，0)， C ⎝⎛⎭⎪⎪⎫32，32，F ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫74，34；设P (cos α，sin α)(0°≤α≤60°)，因为AP →＝λED →＋μAF →，所以(cos α，sin α)＝λ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－12，32＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫74，34. 所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝－12λ＋74μ，sin α＝32λ＋34μ，所以2λ－μ＝3sin α－cos α＝2sin(α－30°)，因为0°≤α≤60°，所以－1≤2sin(α－30°)≤1. 答案：[－1，1]5．(2020·嘉兴模拟)已知点O 为坐标原点，A (0，2)，B (4，6)，OM →＝t 1OA →＋t 2AB →.(1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A 、B 、M 三点都共线．解：(1)OM →＝t 1OA →＋t 2AB →＝t 1(0，2)＋t 2(4，4)＝(4t 2，2t 1＋4t 2)．当点M在第二或第三象限时，有⎩⎪⎨⎪⎧4t 2＜0，2t 1＋4t 2≠0，故所求的充要条件为t 2＜0且t 1＋2t 2≠0.(2)证明：当t 1＝1时，由(1)知OM →＝(4t 2，4t 2＋2)．因为AB →＝OB →－OA →＝(4，4)，AM →＝OM →－OA →＝(4t 2，4t 2)＝t 2(4，4)＝t 2AB →，且有公共点A ，所以不论t 2为何实数，A 、B 、M 三点都共线． 6．已知a ＝(1，0)，b ＝(2，1)．(1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线？(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b 且A 、B 、C 三点共线，求m 的值．解：(1)k a －b ＝k (1，0)－(2，1)＝(k －2，－1)，a ＋2b ＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)．因为k a －b 与a ＋2b 共线，所以2(k －2)－(－1)×5＝0，即2k －4＋5＝0，得k ＝－12.(2)法一：因为A 、B 、C 三点共线，所以AB →＝λBC →，即2a ＋3b ＝λ(a ＋m b )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ3＝mλ，解得m ＝32.法二：AB →＝2a ＋3b ＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)， BC →＝a ＋m b ＝(1，0)＋m (2，1)＝(2m ＋1，m )．因为A 、B 、C 三点共线，所以AB →∥BC →. 所以8m －3(2m ＋1)＝0，即2m －3＝0，所以m ＝32.。

山东高考数学一轮总复习学案设计-第四章第四讲平面向量的综合应用含答案解析

第四讲平面向量的综合应用知识梳理·双基自测知识梳理知识点一向量在平面几何中的应用 (1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理a ∥b ⇔__a ＝λb __⇔__x 1y 2－x 2y 1＝0__，其中a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， b ≠0垂直问题数量积的运算性质a ⊥b ⇔__a ·b ＝0__⇔__x 1x 2＋y 1y 2＝0__，其中a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a ，b 为非零向量夹角问题数量积的定义cos θ＝__a ·b|a ||b |__(θ为向量a ，b 的夹角)，其中a ，b 为非零向量长度问题数量积的定义|a |＝__a 2__＝__x 2＋y 2__，其中a ＝(x ，y )，a 为非零向量平面几何问题――→设向量向量问题――→运算解决向量问题――→还原解决几何问题．知识点二向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体．知识点三向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题．重要结论1．若G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝0.2．若直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，则向量(A ，B )与直线l 垂直，向量(－B ，A )与直线l 平行．双基自测题组一走出误区1．(多选题)下列命题正确的是( ACD ) A ．若AB →∥AC →，则A ，B ，C 三点共线B ．在△ABC 中，若AB →·BC →<0，则△ABC 为钝角三角形C ．向量P A →，PB →，PC →中三终点A 、B 、C 共线，则存在实数α，β，使得P A →＝αPB →＋βPC →，且α＋β＝1D ．已知平面直角坐标系内有三个定点A (－2，－1)，B (0,10)，C (8,0)，若动点P 满足：OP →＝OA →＋t (AB →＋AC →)，t ∈R ，则点P 的轨迹方程是x －y ＋1＝0题组二走进教材2．(必修4P 119A 组T12改编)设向量a ＝(cos θ，2)，b ＝(－1，sin θ)，若a ⊥b ，则sin 2θ＝__45__.[解析] ∵a ＝(cos θ，2)，b ＝(－1，sin θ)，且a ⊥b . ∴a·b ＝－cos θ＋2sin θ＝0，∴tan θ＝12.∴sin 2θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θtan 2θ＋1＝45.3．(必修4P 119B 组T13改编)平面四边形ABCD 中，AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则四边形ABCD 是( C )A ．矩形B ．正方形C ．菱形D ．梯形[解析] 因为AB →＋CD →＝0，所以AB →＝－CD →＝DC →，所以四边形ABCD 是平行四边形．又(AB →－AD →)·AC →＝DB →·AC →＝0，所以四边形对角线互相垂直，所以四边形ABCD 是菱形．4．(必修4P 108B 组T5改编)已知在正方形ABCD 中，AE →＝12AB →，AF →＝14AD →，则CE →在CF →方向上的投影为( A )A ．4B ．225C ．25D ．1155[解析] 设正方形ABCD 的边长为4，建立如图所示的平面直角坐标系，则由已知可得C (4,4)，E (2,0)，F (0,1)，所以CE →＝(－2，－4)，CF →＝(－4，－3)，则CE →在CF →方向上的投影为CE →·CF →|CF →|＝205＝4，故选A ．题组三考题再现5．(2017·北京)已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2,0)，O 为原点，则AO →·AP →的最大值为__6__.[解析] 方法一：由题意知，AO →＝(2,0)，令P (cos α，sin α)，则AP →＝(cos α＋2，sin α)，AO →·AP →＝(2,0)·(cos α＋2，sin α)＝2cos α＋4≤6，故AO →·AP →的最大值为6.方法二：由题意知，AO →＝(2,0)，令P (x ，y )，－1≤x ≤1，则AO →·AP →＝(2,0)·(x ＋2，y )＝2x ＋4≤6，故AO →·AP →的最大值为6.6．(2019·天津)在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝23，AD ＝5，∠A ＝30°，点E 在线段CB 的延长线上，且AE ＝BE ，则BD →·AE →＝__－1__.[解析] 方法一：△AEB 为等腰三角形，易得|BE |＝2，所以AE →＝AB →＋BE →＝AB →－25AD →，则BD →·AE →＝(AD →－AB →)·(AB →－25AD →)＝－25AD →2－AB →2＋75AD →·AB →＝－10－12＋21＝－1.方法二：如图，以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，垂直BC 且过点B 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则B (0,0)，易知E (－2,0)，A (－3，3)，又BD ＝25＋12－2×5×23×cos 30°＝7，所以D (2，3)，于是BD →＝(2，3)，AE →＝(1，－3)，所以BD →·AE →＝(2，3)·(1，－3)＝2－3＝－1.KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU 考点突破·互动探究考点一向量与平面几何——师生共研例1 (2018·天津，8)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD＝120°，AB ＝AD ＝1.若点E 为边CD 上的动点，则AE →·BE →的最小值为( A )A ．2116B ．32C ．2516D ．3[解析] 本题主要考查数量积的综合应用．解法一：如图，以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (1,0)，B (32，32)，C (0，3)，令E (0，t )，t ∈[0，3]，∴AE →·BE →＝(－1，t )·(－32，t －32)＝t 2－32t ＋32，∵t ∈[0，3]，∴当t ＝－－322×1＝34时，AE →·BE →取得最小值，(AE →·BE →)min ＝316－32×34＋32＝2116.故选A ．解法二：令DE →＝λDC →(0≤λ≤1)，由已知可得DC ＝3， ∵AE →＝AD →＋λDC →，∴BE →＝BA →＋AE →＝BA →＋AD →＋λDC →，又AD →·DC →＝0， ∴AE →·BE →＝(AD →＋λDC →)·(BA →＋AD →＋λDC →) ＝AD →·BA →＋|AD →|2＋λDC →·BA →＋λ2|DC →|2 ＝3λ2－32λ＋32.当λ＝－－322×3＝14时，AE →·BE →取得最小值2116.故选A ．[方法总结] 向量的最值问题常用数形结合的方法和函数的思想方法求解，建立函数关系时，可用平面向量基本定理，也可利用向量的坐标运算．名师点拨 ☞平面几何问题的向量解法(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．(2)基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解．〔变式训练1〕(2020·安徽皖南八校联考)在边长为1的正三角形ABC 中，BD →＝xBA →，CE →＝yCA →，x >0，y >0，且x ＋y ＝1，则CD →·BE →的最大值为( B )A ．－58B ．－38C ．－32D ．－34[解析] 由题意可知CD →＝AD →－AC →＝(1－x )AB →－AC →，BE →＝AE →－AB →＝(1－y )AC →－AB →，又x ＋y ＝1， ∴BE →＝－AB →＋xAC →，又|AB →|＝|AC →|＝1，AB →·AC →＝12，∴CD →·BE →＝[(1－x )AB →－AC →]·(－AB →＋xAC →)＝－x 2＋x －12＝－(x －12)2－342≤－38(当且仅当x ＝12时取等号)故选B ．考点二向量在解析几何中的应用——师生共研例2 已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝2交于A ，B 两点，O 是原点，C 是圆上一点，若OA →＋OB →＝OC →，则a 的值为( A )A ．±1B ．±2C ．±3D ．±2[解析] 因为A ，B ，C 均为圆x 2＋y 2＝2上的点，故|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝2，因为OA →＋OB →＝OC →，所以(OA →＋OB →)2＝OC →2，即OA →2＋2OA →·OB →＋OB →2＝OC →2，即4＋4cos ∠AOB ＝2，故∠AOB ＝120°.则圆心O 到直线AB 的距离d ＝2·cos 60°＝22＝|a |2，则|a |＝1，即a ＝±1.故选A ．名师点拨 ☞向量在解析几何中的“两个”作用：①载体作用，向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题；②工具作用，利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0(a ，b 为非零向量)，a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题常常是比较优越的方法．〔变式训练2〕(2017·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，A (－12,0)，B (0,6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上，若P A →·PB →≤20，则点P 的横坐标的取值范围是__[－52，1]__.[解析] 设P (x ，y )，由P A →·PB →≤20，易得2x －y ＋5≤0.由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋5＝0，x 2＋y 2＝50，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－5，y ＝－5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝7.令M (－5，－5)，N (1,7)，由2x －y ＋5≤0得P 点在圆左边弧MN ︵上，结合限制条件－52≤x ≤52，可得点P 横坐标的取值范围为[－52，1]．考点三向量与其他知识的交汇——师生共研例3 (2020·吉林省实验中学高三上第四次月考)已知向量a ＝(sin x ，－1)，b ＝(3cos x ，－12)，函数f (x )＝(a ＋b )·a －2.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，其中A 为锐角，a ＝3，c ＝1，且f (A )＝1，求△ABC 的面积S .[解析] (1)f (x )＝(a ＋b )·a －2＝|a |2＋a ·b －2＝sin 2x ＋1＋3sin x cos x ＋12－2＝1－cos 2x 2＋32sin 2x －12＝32sin 2x －12cos 2x ＝sin (2x －π6)，则－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π(k ∈Z )．解得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π(k ∈Z )．∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )． (2)f (A )＝sin (2A －π6)＝1，∵A ∈(0，π2)，∴2A －π6∈(－π6，5π6)，∴2A －π6＝π2，∴A ＝π3.又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴b ＝2，从而S ＝12bc sin A ＝32.名师点拨 ☞平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值．〔变式训练3〕(2020·广东华南师范大学附属中学高三月考)在△ABC 中，边a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且满足b cos C ＝(3a －c )cos B ，若BC →·BA →＝4，则ac 的值为( A )A ．12B ．11C ．10D ．9[解析] 在△ABC 中，∵b cos C ＝(3a －c )cos B ，由正弦定理可得sin B ·cos C ＝(3sin A －sin C )cos B ，∴3sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C ，∴3sin A cos B ＝sin C cos B ＋sin B cos C ，∴3sin A cos B ＝sin (B ＋C )．又sin (B ＋C )＝sin A ，∴3sin A cos B ＝sin A ．在△ABC 中，sin A ≠0，故cos B ＝13.∵BC →·BA →＝4，∴ac cos B ＝4，即ac ＝12.故选A ．MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG 名师讲坛·素养提升三角形的四“心”及三角形形状的判定例4 (1)点P 是△ABC 所在平面上一点，若P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →，则点P 是△ABC 的( D )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心(2)O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|＋AC→|AC →|)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( B ) A ．外心 B ．内心 C ．重心D ．垂心(3)已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C )，λ∈(0，＋∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( B )A ．重心B ．垂心C ．内心D ．外心(4)已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|sin B ＋AC →|AC →|sin C )，λ∈(0，＋∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( A )A ．重心B ．垂心C ．内心D ．外心[解析] (1)由P A →·PB →＝PB →·PC →，得P A →·PB →－PB →·PC →＝0，即PB →·(P A →－PC →)＝0，即PB →·CA →＝0，则PB ⊥CA .同理P A ⊥BC ，PC ⊥AB ，所以P 为△ABC 的垂心．故选D ．(2)因为AB →|AB →|是向量AB →方向上的单位向量，设AB →与AC →方向上的单位向量分别为e 1和e 2，又OP →－OA →＝AP →，则原式可化为AP →＝λ(e 1＋e 2)，则由菱形的基本性质可知AP 平分∠BAC ，选B ．(3)由条件，得AP →＝λ(AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C )从而AP →·BC →＝λ(AB →·BC →|AB →|cos B ＋AC →·BC →|AC →|cos C )＝λ[|AB →||BC →|cos (180°－B )|AB →|cos B ＋|AC →|·|BC →|cos C |AC →|cos C]＝λ(－|BC →|＋|BC →|)＝0，得AP →⊥BC →，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的垂心．故选B ．另解：作AD ⊥BC 于D ，则AB →|AB →|cos B ＋AC→|AC →|cos C＝AD →＋DB →|BD →|＋AD →＋DC →|CD →|＝AD →|BD →|＋AD →|CD →|＝(1|BD →|＋1|CD →|)AD →.∴AP →与AD →共线，故点P 必过△ABC 的垂心． (4)由正弦定理得|AB →|sin C ＝|AC →|sin B ，即|AB →|·sin B ＝|AC →|sin C ，∴OP →－OA →＝λ(AB →|AB →|sin B ＋AC →|AB →|sin B)，即AP →＝λ|AB →|sin B (AB →＋AC →)＝2λ|AB →|sin B AM →(其中M 为BC 的中点)，∴P ∈AM ，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的重心，故选A ．另解：作AD ⊥BC 于D ，则AB →|AB →|sin B ＋AC→|AC →|sin C＝1|AD →|(AB →＋AC →)＝2|AD →|AM →(其中M 为BC 的中点)，即AP →与AM →共线，∴动点P 的轨迹一定过△ABC 的重心，选A ．名师点拨 ☞三角形各心的概念介绍(1)重心：三角形的三条中线的交点；O 是△ABC 的重心⇔OA →＋OB →＋OC →＝0； (2)垂心：三角形的三条高线的交点；O 是△ABC 的垂心⇔OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →； (3)外心：三角形的三条边的垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)． O 是△ABC 的外心⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|(或OA →2＝OB →2＝OC →2)；(4)内心：三角形的三个内角角平分线的交点(三角形内切圆的圆心)；O 是△ABC 的内心⇔OA →·(AB →|AB →|－AC →|AC →|)＝OB →·(BA →|BA →|－BC →|BC →|)＝OC →·(CA →|CA →|－CB →|CB →|)＝0.注意：向量λ(AB →|AB →|＋AC→|AC →|)(λ≠0)所在直线过△ABC 的内心(是∠BAC 的角平分线所在直线)．例5 (2020·驻马店质检)若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB →－OC →)·(OB→＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为( C )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形[分析] 通过向量运算从算式中消掉O .[解析] 由题意知CB →·(AB →＋AC →)＝0.所以(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)＝0，即|AB →|＝|AC →|，所以△ABC 是等腰三角形，故选C ．[引申] (1)若条件改为“|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|”结果如何？ (2)若条件改为“AB →2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →”结果如何？[解析] (1)OB →＋OC →－2OA →＝OB →－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →，OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →，∴|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|⇒|AB →＋AC →|2＝|AB →－AC →|2⇒AB →·AC →＝0，∴三角形为直角三角形，故选B ．(2)∵AB →2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →， ∴AB →(AB →－AC →)＝BC →(BA →－CA →)， ∴AB →·CB →＝BC →2，∴BC →(BC →＋AB →)＝0，即BC →·AC →＝0 ∴BC →⊥AC →，即C ＝π2.∴△ABC 为直角三角形，故选B ．名师点拨 ☞三角形形状的判断在△ABC 中，①若|AB →|＝|AC →|，则△ABC 为等腰三角形；②若AB →·AC →＝0，则△ABC 为直角三角形；③若AB →·AC →<0，则△ABC 为钝角三角形；④若AB →·AC →>0，BA →·BC →>0，且CA →·CB →>0，则△ABC 为锐角三角形；⑤若|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则△ABC 为直角三角形；⑥若(AB →＋AC →)·BC →＝0，则△ABC 为等腰三角形．〔变式训练4〕(1)若P 为△ABC 所在平面内一点．①若(OP →－OA →)·(AB →－AC →)＝0，则动点P 的轨迹必过△ABC 的__垂心__. ②若OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)(λ≥0)，则动点P 的轨迹必过△ABC 的__重心__. ③若CA →2＝CB →2－2AB →·CP →，则动点P 的轨迹必过△ABC 的__外心__.(2)已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)·BC →＝0且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为( D )A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形[解析] (1)①由题意知AP →·CB →＝0，∴AP ⊥BC ，∴动点P 必过△ABC 的垂心；②由题意知AP →＝λ(AB →＋AC →)＝2λAM →(M 为BC 中点)∴P 、A 、M 共线，∴P 必过△ABC 的重心；③2AB →·CP →＝CB →2－CA →2＝(CB →－CA →)·(CB →＋CA →)＝AB →·(CB →＋CA →)，即2AB →·CP →＝AB →·(CB →＋CA →)，∴AB →·(2CP →－CB →－CA →)＝AB →·(BP →＋AP →)＝0.∴以BP →，AP →为邻边的平行四边形的对角线互相垂直．∴点P 在线段AB 的中垂线上，∴P 必过△ABC 的外心．(2)因为非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)·BC →＝0，所以∠BAC 的平分线垂直于BC ，所以AB ＝AC .又cos ∠BAC ＝AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，所以∠BAC ＝π3.所以△ABC 为等边三角形．故选D ．。

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第2讲平面向量基本定理及坐标表示[考纲解读] 1.熟悉平面向量的基本定理及其意义，并掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．2．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算，并理解用坐标表示的平面向量共线的条件．(重点、难点)[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲一直是高考中的一个热点．预测2021年会从以下几点进行命题：①向量的坐标运算及线性表示；②根据向量共线求参数值；③共线向量与其他知识综合．题型以客观题为主，有时也会与三角函数、解析几何综合命题，试题难度以中档题型为主．1.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个□01不共线向量，那么对于这一平面内的任意02有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝□03λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，向量a，□e2叫做表示这一平面内所有向量的一组□04基底．把一个向量分解为两个□05互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．2.平面向量的坐标运算设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝□01(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝□02(x1－x2，y1－y2)，λa＝□03(λx1，λy1)，|a|＝x21＋y21，|a＋b|＝(x2＋x1)2＋(y2＋y1)2.3.平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔□01x1y2－x2y1＝0.1.概念辨析(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．()(2)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示．()(3)设a，b是平面内的一组基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.()(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可表示成x 1x 2＝y 1y 2.( )答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× 2.小题热身(1)设平面向量a ＝(－1,0)，b ＝(0,2)，则2a －3b 等于( ) A.(6,3) B ．(－2，－6) C.(2,1) D ．(7,2)答案 B解析 2a －3b ＝2(－1,0)－3(0,2)＝(－2,0)－(0,6)＝(－2，－6). (2)下列各组向量中，可以作为基底的是( ) A.e 1＝(0,0)，e 2＝(1，－2) B.e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7) C.e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D.e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－34答案 B解析对于A ，e 1∥e 2，不能作为基底；对于B ，－1×7－2×5≠0，所以e 1与e 2不共线，可以作为基底；对于C ，e 2＝2e 1，所以e 1∥e 2，不能作为基底；对于D ，e 1＝4e 2，所以e 1∥e 2，不能作为基底.(3)如图，正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AE →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )A.12 B ．－12 C.1 D ．－1答案 A解析由题意得AE →＝AC →＋CE →＝AC →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12AB →＝－12AB →＋AC →，又AE →＝λAB →＋μAC →，由平面向量基本定理得λ＝－12，μ＝1，所以λ＋μ＝12.(4)设e 1，e 2是不共线的两个向量，且λe 1＋μe 2＝0，则λ2＋μ2＝________. 答案 0解析解法一：假设λ≠0，则由λe 1＋μe 2＝0得e 1＝－μλe 2，则e 1，e 2共线，与e 1，e 2不共线矛盾，所以λ＝0，同理可得μ＝0，所以λ2＋μ2＝0.解法二：因为0e 1＋0e 2＝0，e 1，e 2不共线，又因为λe 1＋μe 2＝0，所以由平面向量基本定理得λ＝μ＝0，所以λ2＋μ2＝0.题型一平面向量基本定理及其应用1.如图，有5个全等的小正方形，BD →＝xAE →＋yAF →，则x ＋y 的值是________．答案 1解析由平面向量的运算可知BD→＝AD →－AB →，AD →＝2AE →，AB →＝AH →＋HB →＝2AF →－AE→，所以BD →＝AD →－AB →＝2AE →－(2AF →－AE →)＝3AE →－2AF →，注意到AE →，AF →不共线，且BD →＝xAE →＋yAF →，即xAE →＋yAF →＝3AE →－2AF →，所以x ＝3，y ＝－2，所以x ＋y ＝1.2．(2019·西安调研)如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，N 是线段OD 的中点，AN 的延长线与CD 交于点E ，若AE →＝mAB →＋AD →，则实数m 的值为________．答案 13解析由N 是OD 的中点，得AN→＝12AD →＋12AO →＝12AD →＋14(AD →＋AB →)＝34AD →＋14AB→，又因为A ，N ，E 三点共线，故AE →＝λAN →，即mAB →＋AD →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫34AD →＋14AB →，又AB →与AD →不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14λ，1＝34λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝13，λ＝43，故实数m ＝13.1.用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要注意运用平面几何的一些性质定理．2.运用平面向量基本定理时应注意的问题(1)只要两个向量不共线，就可以作为平面向量的一组基底，基底可以有无穷多组．(2)利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算．(3)利用“唯一性”建立方程组．如举例说明2.1．如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________．答案 311解析设BP →＝λBN →，∵P 是BN 上的一点，AN→＝13NC →，则AP→＝AB →＋BP →＝AB →＋λBN → ＝AB→＋λ(AN →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λAN → ＝(1－λ)AB→＋λ4AC →＝mAB →＋211AC →.∴m ＝1－λ，λ4＝211，解得λ＝811，m ＝311.2．(2019·衡阳模拟)在如图所示的方格纸中，向量a ，b ，c 的起点和终点均在格点(小正方形顶点)上，若c 与x a ＋y b (x ，y 为非零实数)共线，则x y 的值为________．答案 65解析设e 1，e 2分别为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量，则向量c ＝e 1－2e 2，a ＝2e 1＋e 2，b ＝－2e 1－2e 2，由c 与x a ＋y b 共线，得c ＝λ(x a ＋y b )，所以e 1－2e 2＝2λ(x －y )e 1＋λ(x －2y )e 2，所以⎩⎨⎧2λ(x －y )＝1，λ(x －2y )＝－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ，y ＝52λ，则xy的值为65.题型二平面向量的坐标运算1.已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与AB →同方向的单位向量是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35 答案 A解析 ∵AB→＝OB →－OA →＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)， ∴与AB →同方向的单位向量为AB →|AB→|＝⎝⎛⎭⎪⎫35，－45.2.已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN→＝－2b .(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)求M ，N 的坐标及向量MN→的坐标．解由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)．(1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)因为m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，所以⎩⎨⎧ －6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎨⎧m ＝－1，n ＝－1. (3)设O 为坐标原点，因为CM→＝OM →－OC →＝3c ，所以OM →＝3c ＋OC →＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，所以M (0,20)，又因为CN→＝ON →－OC →＝－2b ，所以ON→＝－2b ＋OC →＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，所以N (9,2)．所以MN→＝(9，－18).平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．1.(2019·厦门外国语学校模拟)已知点A (－1,1)，B (0,2)，若向量AC →＝(－2,3)，则向量BC→＝( ) A.(3，－2) B ．(2，－2) C.(－3，－2) D ．(－3,2)答案 D解析由已知，得AB→＝OB →－OA →＝(1,1)，则BC→＝AC →－AB →＝(－2,3)－(1,1)＝(－3,2). 2.已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 等于( ) A.－12a ＋32b B.12a －32b C.－32a －12b D ．－32a ＋12b 答案 B解析设c ＝λa ＋μb .则(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)，所以⎩⎨⎧λ＋μ＝－1，λ－μ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，μ＝－32，所以c ＝12a －32b .题型三平面向量共线的坐标表示角度1 利用向量共线求参数的值1.(1)(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________；(2)平面内有三点A (0，－3)，B (3,3)，C (x ，－1)，且A ，B ，C 三点共线，则x ＝________.答案 (1)12 (2)1解析 (1)由题意可得2a ＋b ＝(4,2)， ∵c ∥(2a ＋b )，c ＝(1，λ)， ∴4λ－2＝0，即λ＝12.(2)由题意知AB→＝(3,6)，BC →＝(x －3，－4)．因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →与BC→共线，所以3×(－4)－6(x －3)＝0，解得x ＝1. 角度2 向量共线综合问题2.(2019·山东德州一模)已知△ABC 的三边分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(sin B －sin A ，3a ＋c )，n ＝(sin C ，a ＋b )，且m ∥n ，则B 的大小是( )A.π6B.5π6 C.π3 D.2π3答案 B解析因为m ∥n ，所以(a ＋b )(sin B －sin A )＝sin C (3a ＋c )．由正弦定理得，(a ＋b )(b －a )＝c (3a ＋c )，整理得a 2＋c 2－b 2＝－3ac ，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－3ac 2ac ＝－32. 又0<B <π，所以B ＝5π6.1.平面向量共线的充要条件的两种形式(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0.如举例说明1(1)．(2)若a ∥b (b ≠0)，则a ＝λb . 2.利用向量共线求参数值向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由向量平行求参数值．当两向量的坐标均非零时，可以利用坐标对应成比例来求解.3.向量坐标运算解决综合问题的要点 (1)准确运用加、减、数乘的坐标运算法则．(2)准确运用向量相等、向量共线、垂直的坐标运算形式，实现问题的转化． (3)准确运用三角恒等变换、不等式、方程等知识，解决综合问题.1.(2019·绵阳模拟)已知向量a ＝(sin2α，1)，b ＝(cos α，1)，若a ∥b,0<α<π2，则α＝________.答案 π6解析因为a ∥b ，所以sin2α＝cos α，即cos α(2sin α－1)＝0，又0<α<π2，所以cos α>0，所以sin α＝12，解得α＝π6.2.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，若m a －n b 与2a ＋b 共线(其中n ∈R ，且n ≠0)，则mn ＝________.答案－2解析由a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，得m a －n b ＝(m ＋2n,2m －3n )，2a ＋b ＝(0,7)，由m a －n b 与2a ＋b 共线，可得7(m ＋2n )＝0，则mn ＝－2.组基础关1.向量a ，b 满足a ＋b ＝(－1,5)，a －b ＝(5，－3)，则b ＝( ) A.(－3,4) B ．(3,4) C.(3，－4) D ．(－3，－4)答案 A解析由a ＋b ＝(－1,5)，a －b ＝(5，－3)，得2b ＝(－1,5)－(5，－3)＝(－6,8)，所以b ＝12(－6,8)＝(－3,4).2.已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A ，12与向量n ＝(3，sin A ＋3cos A )共线，其中A 是△ABC的内角，则角A 的大小为( )A.π6 B.π4 C.π3 D.π2答案 C解析 ∵m ∥n ，∴sin A (sin A ＋3cos A )－32＝0，∴2sin 2A ＋23sin A cos A ＝3，∴1－cos2A ＋3sin2A ＝3，，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝1，∵A ∈(0，π)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，11π6，∴2A －π6＝π2，解得A ＝π3.3.(2019·绍兴模拟)已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN →＝－3a ，则点N 的坐标为( )A.(2,0) B ．(－3,6) C.(6,2) D ．(－2,0) 答案 A解析因为ON →＝OM →＋MN →＝OM →－3a ＝(5，－6)－3(1，－2)＝(2,0)，所以点N 的坐标为(2,0).4.已知向量a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，c ＝(x ，y )，若a －2b ＋3c ＝0，则c ＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫133，83 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫133，43 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，－43 答案 D解析因为a －2b ＋3c ＝(5，－2)－2(－4，－3)＋3(x ，y )＝(13＋3x,4＋3y )＝0，所以⎩⎨⎧13＋3x ＝0，4＋3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－133，y ＝－43，所以c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，－43.5.(2020·内蒙古包钢一中月考)已知在平行四边形ABCD 中，AD →＝(3,7)，AB →＝(－2,3)，对角线AC 与BD 交于点O ，则CO→的坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，5 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－5 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－5 答案 C解析 CO→＝－AO →＝－12(AB →＋AD →)＝－12[(－2,3)＋(3,7)]＝－12(1,10)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－5. 6.(2019·宁波模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为( )A.30° B ．60° C ．90° D ．120° 答案 B解析由题意得(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0，得a 2＋b 2－c 2＝ab ，故cos C ＝ab2ab ＝12，0°<C <180°，故C ＝60°.7.(2019·绵阳模拟)如图，四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得DE ＝CD ，若点P 为CD 的中点，且AP→＝λAB →＋μAE →，则λ＋μ＝( )A ．3 B.52 C ．2 D ．1答案 B解析由题知AP→＝AB →＋BC →＋CP →＝AB →＋AD →－12AB →＝12AB →＋AD →，又λAB →＋μAE →＝λAB→＋μ(AD →－AB →)＝(λ－μ)AB →＋μAD →.∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ＝12，μ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝32，μ＝1，∴λ＋μ＝52，故选B. 8.已知向量a ＝(1，λ)，b ＝(λ，2)，若(a ＋b )∥(a －b )，则λ＝________. 答案 ±2解析 a ＋b ＝(1＋λ，2＋λ)，a －b ＝(1－λ，λ－2)．因为(a ＋b )∥(a －b )，所以(1＋λ)(λ－2)＝(2＋λ)(1－λ)，解得λ＝±2.9.已知点A (2,3)，B (4,5)，C (7,10)，若AP →＝AB →＋λAC →(λ∈R )，且点P 在直线x －2y ＝0上，则λ的值为________．答案－23解析设P (x ，y )，则由AP→＝AB →＋λAC →，得(x －2，y －3)＝(2,2)＋λ(5,7)＝(2＋5λ，2＋7λ)，所以x ＝5λ＋4，y ＝7λ＋5.又点P 在直线x －2y ＝0上，故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得λ＝－23.10.在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →，若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________.答案 12 －16解析如图，在△ABC 中，MN→＝MA →＋AB →＋BN →＝－23AC →＋AB →＋12BC →＝－23AC →＋AB→＋12(AC →－AB →)＝12AB →－16AC →，所以x ＝12，y ＝－16.组能力关1.(2019·江西师大附中高考模拟)已知P ＝{a |a ＝(1,0)＋m (0,1)，m ∈R }，Q ＝{b |b ＝(1,1)＋n (－1,1)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q 等于( )A.{(1,1)} B ．{(－1,1)} C.{(1,0)}D ．{(0,1)}答案 A解析设a ＝(x ，y )，则P ＝(x ，y )⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫⎩⎨⎧x ＝1，y ＝m ，m ∈R， ∴集合P 是直线x ＝1上的点的集合．同理，集合Q 是直线x ＋y ＝2上的点的集合，即P ＝{(x ，y )|x ＝1，y ∈R }，Q ＝{(x ，y )|x ＋y －2＝0}，∴P ∩Q ＝{(1,1)}．故选A.2.(2019·山东师范大学附中模拟)在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO→＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ＝( )A.1B.12C.13D.23答案 D解析在△ABD 中，BD ＝12AB ＝1.又BC ＝3，所以BD ＝13BC .∴AD→＝AB →＋BD →＝AB→＋13BC →.∵O 为AD 的中点，∴AO →＝12AD →＝12AB →＋16BC →，∵AO →＝λAB →＋μBC →，∴λ＝12，μ＝16，∴λ＋μ＝23.3.(2020·南充摸底)原点O 是△ABC 内一点，顶点A 在x 轴上，∠AOB ＝150°，∠BOC ＝90°，|OA→|＝2，|OB →|＝1，|OC →|＝3，若OC →＝λOA →＋μOB →，则μλ＝( ) A.－33 B.33 C ．－ 3 D. 3 答案 D解析建立如图所示的直角坐标系，则A (2，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－332，因为OC→＝λOA →＋μOB →，由向量相等的坐标表示可得 ⎩⎪⎨⎪⎧2λ－3μ2＝－32，μ2＝－332，解得⎩⎨⎧λ＝－3，μ＝－33，即μλ＝ 3.4.(2019·湖北省武汉市武昌区高考数学模拟)已知点C 为扇形AOB 的弧AB 上任意一点，且∠AOB ＝120°，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围为( )A.[－2,2] B ．(1，2] C.[1，2] D ．[1,2]答案 D解析设半径为1，由已知可设OB 为x 轴的正半轴，O 为坐标原点，建立直角坐标系，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，B (1,0)，C (cos θ，sin θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中∠BOC ＝θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤2π3，有OC→＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，即(cos θ，sin θ)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32＋μ(1,0)，整理得－12λ＋μ＝cos θ，32λ＝sin θ，解得λ＝2sin θ3，μ＝cos θ＋sin θ3，则λ＋μ＝2sin θ3＋cos θ＋sin θ3＝3sin θ＋cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6⎝ ⎛⎭⎪⎫其中0≤θ≤2π3，易知λ＋μ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π3上单调递增，在⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，2π3上单调递减，由单调性易得其值域为[1,2].5.已知梯形ABCD ，其中AB ∥DC ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1,2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________．答案 (2,4)解析 ∵在梯形ABCD 中，DC ＝2AB ，AB ∥DC ， ∴DC→＝2AB →.设点D 的坐标为(x ，y )，则DC→＝(4－x,2－y )，AB →＝(1，－1)，∴(4－x,2－y )＝2(1，－1)， ∴⎩⎨⎧ 4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2,4).6.(2019·安徽省马鞍山二中高考模拟)已知向量AC →＝(1，sin α－1)，BA →＝(3,1)，BD→＝(2，cos α)，若B ，C ，D 三点共线，则tan(2019π－α)＝________. 答案－2解析 ∵B ，C ，D 三点共线，∴BD→＝xBC →＝x (BA →＋AC →)，即(2，cos α)＝x (4，sin α)，则⎩⎨⎧2＝4x ，cos α＝x sin α，得x ＝12，即cos α＝12sin α，得tan α＝2，则tan(2019π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－2.。

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