开封市五县联考2020年春高二数学(文)下学期期末考试卷附答案解析

值？（保留两位小数）
2
n
n
xi x yi y xi yi nx y
5
参考公式： bˆ i1 n
i1 n
， aˆ y bˆx ， xi yi 62.7 .
xi x 2
xi2 nx 2
i
i 1
i 1
19.（本小题满分 12 分）
为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了 100 天空气中的 PM2.5
5
由古典概型的概率计算公式得： p A 62 0.62 .…………………………………………4 分
100
（2）
PM2.5\ SO2
0,150
150, 475
0, 75
62
18
75,115
10
10
.……………………………………………………………………………………………………8 分
（3）由（2）中的列联表可得 k 2 100 62 10 1810 2 6.000 6.635
当 x 0 时，由 f x 1 f x 2x 5 ，得 f 1 6
当 x 1 时，由 f x 1 f x 2x 5 ，得 f 2 13 .………………………………4 分
f 0 1 c 1
a 1
由
f
1
6
，得
abc 6
，求得 b 4
f
2
13
4a 2b c 13
2
a2
∴ a 2 或 a 1 （舍去），.…………………………………………8 分 2
∴ g x 22x 22x 4 2x 2x 2x 2x 2 4 2x 2x 2 ，
令 t 2x 2x x 1 ， p t t2 4t 2 .
则 t 2x 2x 在 1, 上为增函数，所以 t 3 ，.…………………………10 分
所以： yˆ 8.69 1.23x ，.…………………………………………………………6 分
（2）年利润 z x 8.69 1.23x 2x 1.23x2 6.69x .…………………………10 分
当 x 5.69 2.31 时， z 有最大值. 2 1.23
因此当 x 2.31吨，年利润 z 最大.……………………………………………………12 分 19.解：（1）由条件知：包含事件 A 发生的总数为 30 20 6 6 62 ，.……………………2 分
A【选修 4-4：坐标系与参数方程】（12 分）
在平面直角坐标系
xOy
中，曲线 C1
的参数方程为
x y
2 2 cos 2 sin
（
为参数），以原点为极点，
x
轴的非负
半轴为极轴，建立极坐标系，曲线
C2
的极坐标方程为
2
cos2
4 4 sin2
.
（1）求曲线 C1 的极坐标方程以及曲线 C2 的直角坐标方程；
12.若 2x log2 x 4y 2 log4 y ，则（
A. x 2 y
B. x 2 y
）
C. x y2
D. x y2
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13.在复平面内，O 是坐标原点，向量 OA 对应的复数是 2 i ，若点 A 关于实轴的对称点为点 B，则向量 OB 对
A. y ex
B. y x3
1
C. y x2
D. y x
5.“ x 0 ”是“ ln x 1 0 ”的（ ）
A.充分不必要条件 B.充要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
6.用反证法证明命题“设 a，b 为实数，则方程 x3 ax b 0 至少有一个实根”时，首先假设的是（ ）
x
ex
ex x2
的图像大致为（
）
A.
B.
C.
D.
9.甲，乙、丙、丁四位同学参加作文竞赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位同学，甲说“是乙或丙获奖.”乙说： “甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了.”丁说：“是乙获奖.”已知四位同学的话只有一句是对的，则获奖的同学是（ ）
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
10.若 a log2 3 ， b log5 7 ， 0.74 ，则 a，b，c 的大小关系为（ ）
和 SO2 浓度（单位： g / m3 ）
PM2.5\ SO2
0, 50
50,150
150, 475
0, 35
30
20
6
35, 75
6
6
12
75,115
3
7
10
（1）估计事件“该市一天空气中 PM2.5 浓度不超过 75，且 SO2 浓度不超过 150”的概率；
（2）根据所给数据，完成下面 2×2 列联表：
A. a b c
B. c b a
C. a c b
D. b a c
1
11.已知命题 p：关于 x 的方程 x2 ax 1 0 没有实根；命题 q : x 0 ， 2x a 0 .若 p 和 p q 都是假命
题，则实数 a 的取值范围是（ ）
A. , 2 1, B. 2,1 C. 1, 2 D.1, 2
2
∴ p t t2 4t 2 t 22 2 ，
∴当
t
2
时，
p
t
min
2 ，此时 x log2
1
2
，
即当 x log2 1 2 时， g x 有最小值-2.……………………………………12 分
B.【选修 4-5 不等式选讲】（10 分）
设函数 f x 2x 1 2x 3 ， x R .
（1）解不等式 f x 5 ；
（2）若 g x
2
f x m 的定义域为 R，求实数 m 的取值范围.
22.选考题：共 12 分，请考生在下面 A，B 两题中任选一题作答.如果多选，则按所做的第一题计分.
D. 1 2i
）
A.0,1
B. 1, 0,1
C.2,0,1, 2
D.1, 0,1, 2
3.命题： x R ， ex x2 的否定是（ ）
A. x R ， ex x2 B. x0 R ， ex0 x02 C. x0 R ， ex0 x02 D. x R ， ex x2
4.下列函数中，定义域为 R 且在 R 单调递增的函数是（ ）
18.（本小题满分 12 分）
为了解某地区某种产品的年产量 x（单位：吨）对价格 y（单位：千元/吨）和利润 z 的影响，对近五年该农产品 的年产量和价格统计如下表：
x
1
2
3
4
5
y
7.0
6.5
5.5
3.8
2.2
（1）求 y 关于 x 的线性回归方程 yˆ bˆx aˆ ；
（2）若每吨该农产品的成本为 3 千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润 z 取到最大
开封市五县联考 2020 年春高二数学（文）下学期期末考试卷
一、选择题（本大题共 12 小题，每小題 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求 的）
1.设 z i 2 i ，则 z （ ）
A.1 2i
B. 1 2i
C.1 2i
2.已知集合 A x x 2 ， B 2, 0,1, 2，则 A B （
20.（本小题满分 12 分）
设函数 f x ax kax （ a 0 且 a 1）是定义域为 R 的奇函数.
（1）若 f 1 0 ，试求不等式 f x2 2x f x 4 0 的解集；
（2）若 f 1 3 ，且 g x a2x a2x 4 f x ，求 g x 在 1, 上的最小值.
A.方程 x3 ax b 0 没有实根
B.方程 x3 ax b 0 至多有一个实根
C.方程 x3 ax b 0 至多有两个实根
D.方程 x3 ax b 0 恰好有两个实根
7.函数
f
x
x2 2, x 0
2x
6
lg
x,
x
的零点的个数为（
0
）
A.0
B.1
C.2
D.3
8.函数
f
原不等式分为： f x2 2x f 4 x .……………………………………3 分
∴ x2 2x 4 x ，即 x2 3x 4 0
∴不等式的解集为 x x 1或x 4 .………………………………………………6 分
（2）∵ f 1 3 ，∴ a 1 3 ，即 2a2 3a 2 0 ，
16.定义在 R 上的偶函数 f x 满足 f x 2 f x ，且在2, 0 上是减函数，下面是关于 f x 的判断： （1） f x 是以 2 为周期的函数；（2） f 0 是函数的最大值；
（3） f x 在2,3 上是减函数；（4） f x 的图像关于直线 x 2 对称.
（2）若直线 L : 0 R 与曲线 C1 、曲线 C2 在第一象限交于 P，Q 两点，且 OP 2 OQ ，点 M 的坐 标为 1, 0 ，求△MPQ 的面积.
B【选修 4-5：不等式选讲】（2 分）
（1）已知
a, b
R
，
a
b
4
.证明：
1 a
1 b
1
；
（2）已知
a,
b,
c
R
，
a
b
c
9
.证明：
5
5
5
5
5
xi 15 ， yi 25 ， xi yi 62.7 ， x2 55 ， xi2 55 ，
i 1
i 1
i 1
i 1
i 1
解得： bˆ 1.23 ，.…………………………………………………………2 分
因为回归直线通过样本点的中心，将 3,5 代入回归直线的方程得 a 8.69 ，.………………4 分
c 1
所以 f x x2 4x 1.……………………………………………………6 分
（2）因为 f x x2 4x 1，对称轴 x 2
又因为 2 3,1 ，所以当 x 1 时， f x 的最大值是 6.…………………………8 分
m2 5m 6 .………………………………………………10 分 ∴ m 6 或 m 1.…………………………………………12 分 18.解：（1） x 3 ， y 5 ，
1 a
1 b
1 c
1
；
类比上面的结论，写出推广后的一般性结论（不需证明）.
4
参考答案
一、选择题（ 512 60 分）：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
A
C
B
C
A
C
B
D
A
D
B
二、填空题（ 4 5 20 分）：
பைடு நூலகம்
13. 5
14.
x
1
x
1
3
15.11
16.（3）（4）
17.解：（1）设 f x ax2 bx c ，因为 f 0 1，所以 c 1…………………………2 分
PM2.5\ SO2
0,150
150, 475
0, 75
75,115
（3）根据（2）中的列联表，判断是否有 99%的把握认为该市一天空气中 PM2.5 浓度与 SO2 浓度有关？
附：
K
2
a
n ad bc2 bc da cb
d
PK2 k
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
2
3
21.选考题：共 10 分.请考生在下面 A，B 两题中任选一题作答.如果多选，则按所做的第一题计分. A【选修 4-4：坐标系与参数方程】（10 分）
已知直线 L : x y 1 0 抛物线 y x2 交于 A，B 两点.
求：（1）点 M 1, 2 到 A，B 两点的距离之积；
（2）线段 AB 的长.
应的复数的模为_______________.
14.设函数 f x ln 1 x ，则使得 f x f 1 2x 成立的 x 的取值范围为_____________.
15.已知13
23
6 2
2
，13
23
33
12 2
2
，13
23
33
43
20 2
2
，…，
13 23 33 43 n3 4356 ，则 n ____________.
其中正确的命题的序号是____________（注：把你认为正确的命题的序号都填上） 三、解答题（本大题共 6 小题，满分 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分 12 分）
已知二次函数 f x 满足 f 0 1， f x 1 f x 2x 5 . （1）求 f x 的解析式； （2）若 x 3,1 ，若 f x m2 5m 恒成立，求实数 m 的取值范围.
72 2880 20 因此没有 99%的把握认为该市一天空气中 PM2.5 浓度与 SO2 浓度有关.…………………………12 分
20.解∵ f x 是定义域为 R 上的奇函数，∴ f 0 0 ，∴1 k 0 .∴ k 1.……………………1 分 （1）∵ f 1 0 ，∴ a2 1 0 ，又 a 0 且 a 1，∴ a 1， f x ax ax ， ∴ f x 在 R 上为增函数.