【全国百强校】辽宁师范大学附属中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版)
辽宁师范大学附属中学2017-2018学年高三上学期期末考试数学(文)试题
辽宁师范大学附属中学2018届高三上学期期末考试数学（文）试题一、单选题1.设复数112i z i -=+（i 是虚数单位），则z 的共轭复数为（ ） A. 1355i + B. 1355i - C. 1355i -+ D. 1355i -- 答案：B解答： 化简1()(1)1(1)(2)1312()(12)2(2)(2)5i i i i i i i z i i i i i i ---++++=====+-+--+，∴1355z i =-，故选B. 2. 已知集合{|ln(1)}A x y x ==-， {|12}B x x =-<<，则A B =I （ ）A.(1,2)B.(1,2)-C.(1,1)-D.(1,1]-答案：A解答：集合{|ln(1)}{|1}A x y x x x ==-=>, {|12}B x x =-<<，所以{|12}(1,2)A B x x =<<=I ，故选A.3. 元代数学家朱世杰的数学名著《算术启蒙》是中国古代数学的通论，其中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.下图是源于其思想的一个程序图，若16a =， 9b =，则输出的n =（ ）A.2B.3C.4D.5答案：A解答：模拟程序的运行，可得16,9,1,24,18a b n a b =====，不满足a b ≤，执行循环体， 2,36,36n a b ===，满足条件a b ≤，退出循环，输出n 的值为2，故选A.4. 已知焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线方程为340x y +=和340x y -=，则该双曲线的离心率为（ ） A. 54或532C.53D. 54 答案：D解答：由渐近线方程为34=0,340x y x y +-=，即渐近线方程为34y x =±，设双曲线的方程为22221(,0)x y a b a b -=>，则渐近线方程为b y x a =±，即有34b a =， 又2222229251616c a b a a a =+=+=，即54c a =，可得54c e a ==，故选D. 5. 下列函数中，既是偶函数又在区间(0,1)上单调递减的是（ ） A. 13y x =B. x y e =C. 1()2x y =D. ln y x =答案：C解答：A ，13y x =是奇函数，在区间(0,1)内单调递增，不满足条件；B ，x y e =不是偶函数，在区间(0,1)内单调递增，不满足条件；C ，1()2xy =是偶函数，在区间(0,1)内单调递减，满足条件；D ，ln y x =不是偶函数，在区间(0,1)内单调递减，不满足条件，故选C.6. 某校初三年级有400名学生，随机抽查了40名学生，测试1分钟仰卧起坐的成绩（次数），将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图.用样本估计总体，下列结论正确的是（ ）A. 该校初三年级学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数为25次B. 该校初三年级学生1分钟仰卧起坐的次数的众数为24次C. 该校初三年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30次的人数约有80人D. 该校初三年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20次的人数约为8人答案：C解答：第一组数据的频率为0.0250.1⨯=；第二组数据的频率为0.0650.3⨯=，第三组的频率为0.0850.4⨯=，∴中位数在第三组内，设中位数为25x +，则.080.50.10.30.1x ⨯=--=，∴ 1.25x =，∴数据的中位数为26.25，故A 错误；最高矩形是第三组数据，第三组数据的中间值为27.5，∴众数为27.5，故B 错误；学生1分钟仰卧起坐的成绩超过30次的频率为0.0450.2⨯=，∴超过30次的人数为4000.280⨯=人，故C 正确；学生1分钟仰卧起坐的成绩少于20次的频率为0.0250.1⨯=，∴1分钟仰卧起坐的成绩少于20次的人数为4000.140⨯=人，故D 错误，故选C.7. 若α， β均为锐角且1cos 7α=， 11cos()14αβ+=-，则3sin(2)2πβ+=（ ） A.12-B.12C.答案：B解答：∵α，β为锐角，∴0αβπ<+<，∵111cos ,cos()714ααβ=+=-，∴sin sin(ααβ=+cos =cos[()]βαβα+-()1111cos +cos sin()sin ()1471472αβααβα=++=-⨯+=， 231sin(2)cos 212cos 22πβββ+=-=-=，故选B. 8. 甲乙丙丁四名同学参加某次过关考试，甲乙丙三个人分别去老师处问询成绩，老师给每个人只提供了其他三人的成绩.然后，甲说：我们四个人中至少两人不过关；乙说：我们四人中至多两人不过关；丙说：甲乙丁恰好有一人过关.假设他们说的都是真的，则下列结论正确的是（ ）A.甲没过关B.乙没过关C.丙没过关D.丁过关答案：B解答：因为甲说：我们四个人中至少两人不过关；乙说：我们四人中至多两人不过关；所以四人组有且只有两人过关，两人不过关，又因为，丙说：甲乙丁恰好有一人过关，不过关的情况有三种可能：甲乙、甲丁、乙丁，根据甲不知道自己成绩的情况下说四个人中至少两人不过关，可见乙丙丁中有两人不过关，不过关的可能的情况有三种：乙丙、丙丁、乙丁，结合以上六种，同时成立的是乙丁不过关，甲丙过关，故选B.9. 一个正六棱柱的主视图（由两个边长等于4的正方形组成）如图所示，则该六棱柱的侧视图的面积为（ ）A.16B.D.答案：C解答：由三视图可得，正六棱柱的直观图如图， 111111ABCDEF A B C D E F -，图中8FB =， 设底面正六边形边长为a8,a ==112A D a ==，∴棱柱侧视图是边长为3与4的矩形,4= C.10.已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，23a =，且3a ，5a ，8a 成等比数列，设11n n n b a a +=，则数列{}n b 的前n 项和n T 为（ ） A. 1n n +B. 1n n - C. 221nn + D. 24nn +答案：D解答：设首项为1a ，公差为d ， ∵23583,,,a a a a =成等比数列，∴112113(2)((4)7)a d a a a d d d +==++⎧⎨+⎩，解得121a d =⎧⎨=⎩，∴1n a n =+，111(1)(2)12n b n n n n ==-++++，∴12...n n T b b b =+++11111111+...2334122224nn n n n =--++-=-=++++，故选D.11. “01m <≤”是函数1,1() 1,1mx f x x x x ⎧->⎪=⎨⎪-+≤⎩满足：对任意的12xx ≠，都有12()()f x f x ≠”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件答案：A解答：∵当01m <≤时，()1mg x x =-在(1,)+∞上递减，()1h x x =-+在(,1)-∞递减，且(1)(1)g h ≤，∴()f x 在(,)-∞+∞上递减，∴任意12x x ≠都有12()()f x f x ≠， 若0,()m g x <在(1,)+∞上递增，()h x 在(,1)-∞上递减，()0,()0g x h x <≥， ∴任意12x x ≠，都有12()()f x f x ≠，∴“01m <≤”是函数1,1() 1,1m x f x x x x ⎧->⎪=⎨⎪-+≤⎩满足：对任意的12x x ≠，都有12()()f x f x ≠”的充分不必要条件，故选A.12. 已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在同一个球面上， 90BAC ∠=︒，BC =，PA = PA ⊥平面ABC ，则此三棱锥外接球的表面积为（ ） A.163π B.4πC.15πD.16π 答案：C解答：因为PA ⊥平面ABC ，所以,PA AB PA AC ⊥⊥ ，又因为90BAC ∠=︒，所以AB AC ⊥ ，所以三棱锥P ABC -的外接球就是以,,PA AB AC 为长宽高的长方体的外接球， 所以外接球的直径等于长方体的体对角线，可得22222222415R PA AB AC PA BC =++=+=+=，此三棱锥外接球的表面积为2415R ππ=，故选C.二、填空题13. 若函数2,[1,1]() (2),(1,)x x f x f x x ⎧∈-=⎨-∈+∞⎩，则(5)f = . 答案：1解答：因为函数2,[1,1]() (2),(1,)x x f x f x x ⎧∈-=⎨-∈+∞⎩，所以2(5)(3)(1)11f f f ====，故答案为1. 14. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2()13nn S =+，则n a = .答案： 15,13 12(),233n n n -⎧⎪=-⋅≥⎪⎨⎪⎪⎩ 解答：1n =时，1153a S ==，2n ≥时，1122()1[()1]33n n n n n a S S --=-=+-+， ∴15,13 12(),233n n n a n -⎧=⎪⎪=⎨⎪-⋅≥⎪⎩，故答案为15,13 12(),233n n n -⎧⎪⎪⎨=-≥⎪⎪⎩⋅. 15. 若0a >， 0b >，点(0,0)A在圆2240x y a b +++--=的外部，则2a b +的范围是 .答案：(2,8)解答：2240x y a b +++--=可化为22(24y a b x +=+-+，∴240a b +->，又∵(0,0)在圆2240x y a b +++--=的外部，∴40,4a b a b -->+<，画出4 0,0240a b a b a b ⎧⎪⎨⎪>>+-+⎩><的可行域，如图，由图知2a b +在(0,4)处有最大值8， 2a b +在(2,0)处有最小值2， 因为此可行域在边界处不能取值，∴2a b +的取值范围是(2,8)，故答案为(2,8).16. 直角梯形ABCD 中， CB CD ⊥， //AD BC ， ABD ∆是边长为2的正三角形， P是平面上的动点， ||1CP =u u r ，设A P AB D A λμ=+u u u r u u u r u u u r （λ， R μ∈），则λμ+的最大值为 .答案：解答：以C 为原点， CD uuu r 为x 轴， BC uu u r 所在直线为y 轴，建立直角坐标系， ∵1CP =uu r ，∴可设(cos ,sin )CP αα=u u r，(1AD =-u u u r ，(2,0)AB =-u u u r，(AC =-u u u r ，(cos 2,sin AP AC CP αα=+=-u u u r u u u r u u r ，因为AP AD AB λμ=+u u u r u u u r u u u r ，所以(cos 2,sin (2)ααλμ-+=--.sin 12cos 23 sin 11cos 22λαλμααμαα⎧⎪⎨⎧=+⎪--=-⎪⇒⎨=⎪=--+⎪⎩⎩⎪，1333cos =)2222λμαααϕ+=-++-+≤= ， 即λμ+的最大值为96+故答案为96+.三、解答题 17. 已知(cos ,1)4x m =u r ，2,cos )44x x n =r ，设函数()f x m n =⋅u r r . （1）求函数()f x 的单调增区间；（2）设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等比数列，求()f B 的取值范围.答案：（1）[]424433k k ππππ-+，，k Z ∈； （2）(. 解答：（1）21()(cos ,1),cos )sin()444262x x x x f x m n π=⋅=⋅=++u r r ， 令222262x k k πππππ-≤+≤+， 则424433k x k ππππ-≤≤+， k Z ∈， 所以函数()f x 单调递增区间为424,4]33[k k ππππ-+， k Z ∈. （2）由2b ac =可知，2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--==≥=（当且仅当a c =时，取等号），所以03B π<≤，6263B πππ<+≤，11()2f B +<≤，综上()f B 的取值范围为. 18. 某中学调查了某班全部40名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）（1）能否有95%的把握认为参加书法社团和参加演讲社团有关？（附： 当2 3.841χ>时，有95%的把握说事件A 与B 有关；当2 3.841χ≤，认为事件A 与B 是无关的.）（2）已知既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学12345,,,,A A A A A ， 3名女同学123,,B B B .现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求1A 被选中且1B 未被选中的概率.答案：（1）见解析；（2）215P =.解答：（1）由调查数据可知， 没有95%的把握认为参加书法社团和参加演讲社团有关.（2）从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有：11[,]A B ,12[,]A B ,13[,]A B ,21[,]A B ,22[,]A B ,23[,]A B ,31[,]A B ,32[,]A B ,33[,]A B ,41[,]A B ,42[,]A B ,43[,]A B ,51[,]A B ,52[,]A B ,53[,]A B 共15个.根据题意，这些基本事件的出现是等可能的.事件“1A 被选中且2B 未被选中”所包含的基本事件有： 11[,]A B ， 13[,]A B ，共2个. 因此， 1A 被选中且2B 未被选中的概率为215P =. 19. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，E 、F 分别为11A C 、BC 的中点， 12AA AB BC ===， 1C F AB ⊥.（1）求证：1//C F 平面ABE ；（2）求三棱锥1E ABC -的体积.答案：（1）见解析；（2）23. 解答：（1）设D 为边AB 的中点，连接ED ， FD ，∵D ，F 分别为AB ，BC 的中点，∴//DF AC ， 12DF AC =， 又∵1//EC AC ， 112EC AC =， ∴1//DF EC ， 1DF EC =，∴ 四边形1EC FD 为平行四边形.∴1//C F ED ，又ED ⊂平面EAB ， 1C F ⊄平面EAB ，∴1//C F 平面ABE .（2）在直三棱柱中1CC AB ⊥，又1C F AB ⊥，1CC ⊂平面11BCC B ， 1C F ⊂平面11BCC B ， 111CC C F C =I ，∴AB ⊥平面11BCC B ，知AB BC ⊥，可得三角形ABC 的面积为2，三角形ABF 的面积为1，由（1）1//C F 平面ABE 知： 1C 到平面EAB 的距离等于F 到平面EAB 的距离， ∴ .20. 已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>），长轴长为，1F 是左焦点，M 是椭圆上一点且在第二象限，1MF x ⊥轴，1MF =（1）求椭圆标准方程；（2）若00(,)R x y （0x ≠±）是椭圆上任意一点，过原点作圆R ： 2200021)()6(4y y x x x +-=+-的两条切线，分别交椭圆于P ，Q ，求证：OP OQ ⊥. 答案： （1）2212412x y +=； （2）见解析.解答：（1）由题意可知22 a b a==⎧⎪⎨⎪⎩，∴a b ⎧==⎪⎨⎪⎩， 椭圆标准方程为2212412x y +=. （2）∵0x ≠±OP ，OQ 斜率均存在，并记作1k ， 2k ，故设过原点和圆R 相切的直线方程为y kx =，= 22220000031(6)26044x k x y k y x --+--=*， 可知1k ， 2k 是*方程的两个根， ∴22001220164364y x k k x --=- 22200022001312(1)6624441336644x x x x x ----===---， 综上可知，OP OQ ⊥.21. 已知函数()2(1)x f x x e ax =-+， e 为自然对数的底数.（1）若函数()f x 在(1,(1))f 处的切线方程为y ex a e =-++，求实数a 的值；（2）讨论()f x 的单调性.答案：（1）a e =-；（2）见解析.解答：（1）∵()(2)x f x x e a '=+， (1)2f e a e '=+=-，∴a e =-.（2）()(2)x f x x e a '=+.①当0a ≥时， 20x e a +>.(,0)x ∈-∞， ()0f x '<，函数()f x 递减；(0,)x ∈+∞时， ()0f x '>，函数()f x 递增；②当102a -<<时， 021a <-<，ln(2)0a -<. (,ln(2))x a ∈-∞-， 20x e a +<， ()0f x '>，函数()f x 递增；(ln(2),0)x a ∈-， 20x e a +>， ()0f x '<，函数()f x 递减； 当(0,)x ∈+∞， 20x e a +>， ()0f x '>，函数()f x 递增； ③当12a =-时， ()(1)0x f x x e '=-≥，函数()f x 在(,)-∞+∞递增； ④当12a <-时， 21a ->， ln(2)0a ->. (0)x ∈-∞，， 20x e a +<， ()0f x '>，函数()f x 递增；(0,ln(2))x a ∈-， 20x e a +<， ()0f x '<，函数()f x 递减；(ln(2),)x a ∈-+∞， 20x e a +>， ()0f x '>，函数()f x 递增.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，曲线l的参数方程为12 x t y ⎧⎪⎪⎨-=⎪⎪⎩=（t 为参数）.（1）求曲线C 的直角坐标方程及曲线l 的极坐标方程；（2）当1t t =（10t <）时在曲线l 上对应的点为1M ，若1OCM ∆，求1M 点的极坐标，并判断1M 是否在曲线C 上（其中点C 为半圆的圆心）.答案：（1）见解析；（2）见解析.解答：（1）曲线C 的普通方程为224(2)x y +=-，曲线l 的极坐标方程为： 23πθ=，（ R ρ∈）. （2）设1M 的极坐标为1(),23ρπ，（ 10ρ<）11122sin()23OCM S ππρ∆=⨯⨯-= ∴12ρ=-，所以点1M 的极坐标为(22,)3π-，符合方程4cos ρθ=，所以点1M 在曲线C 上. 23. 选修4-5：不等式选讲 已知函数()f x x a =-，且不等式()1f x ≤的解集为{|02}x x ≤≤.（1）求实数a 的值；（2）若关于x 的不等式2()44f x x t t ++<-解集非空，求实数t 的取值范围. 答案：（1）1a =；（2）(,1)(5,)-∞-+∞U .解答：（1）由1x a -≤，得11a x a -≤≤+， ∴10 12a a -=+=⎧⎨⎩，得1a =.（2）由题意可知2144x x t t -++<-解集非空，()2min 4|1||4|t t x x ->-++， ∵14(1)(4)5x x x x -++≥--+=，所以245t t ->，所以1t <-或5t >，实数t 的取值范围为(,1)(5,)-∞-+∞U .。
辽宁省辽宁师范大学附属中学2018届高三上学期期末考试化学试题Word版含答案
考试时间：90分钟满分：100分H-1 B-11 C-12 N-14 O-16 Mg-24 S-32 Cu-64 Se-79一、选择题(本小题包括18小题，每题只有一个选项最符合题意，1-9每小题2分，10-18每小题3分，共45分)1.下列说法正确的是A.明矾净水时发生了物理及化学变化，明矾能起到杀菌消毒的作用B.稀豆浆、淀粉溶液、蛋白质溶液均能产生丁达尔效应C.红宝石、蓝宝石主要成分足氧化铝，而石英玻璃、分子筛的主要成分是硅酸盐D.日常生活中碱块(Na2CO3·10H2O)变成碱面(Na2CO3)属于风化，是物理变化2.设NA为阿伏加德罗常数的值，下列说法正确的是A.28g乙烯与环丁烷的混合气体中含有6NA个原子B.足量MnO2和含有2molHCl的浓盐酸共热，完全反应可生成0.5NA个Cl2分子C.标准状况下，22.4 LNO2溶于水转移NA个电子D.6g 金刚石中含有2NA个碳碳单健3.常温下，下列各组离子在指定溶液中一定能大量共存的是A.使甲基橙变红色的溶液：Al3+、Cu2+、I-、S2O32-B.常温下，加水冲稀时)()(-+OHcHc的值明显增大的溶液：CH3COO-、Ba2+、NO3-、Br-C.0.1mol·L-1Fe(NO3)2溶液：[Fe(CN)6]3-、Na+、SO42-、Cl-D.加入铝粉放出氢气的溶液：K+、Cl-、Mg2+、SO42-4. 3，5-二羟基-1-环己烯-1-羧酸是一种重要的化工原料，其结构简式如图所示：下列有关该有机物的叙述正确的是A.该有机物的分子式为C7H6O4B.能使溴的CCl4溶液、酸性KmnO4溶液褪色C.能发生酯化反应和水解反应D.1mol 该有机物与NaOH溶液反应时，消耗1.5moINaOH5.下列评价及离子方程式书写正确的是选项离子组不能大量共存于同一溶液中的原因A H+、Fe2+、NO3-、Cl- 发生了氧化还原反应4Fe2++ 2NO3-+ 6H+=4Fe3++2NO↑+3H2OB Na+、CO32-、Cl-、Al3+ 发生了互促水解反应2AI3++3CO32-+3H2O=2Al(OH)3↓+3CO2↑C Fe3+、K+、SCN-、Br- 有红色沉淀生成：Fe3++3SCN- =Fe(SCN)3↓D HCO3-、OH-、Na+、Ca2+ 发生如下反应：HCO3-+OH-=CO32-+H2O6.工业上以铬铁矿(主要成分为FeO·Cr2O3)、碳酸钠、氧气和硫酸为原料生产重铬酸钠(Na2Cr2O7·2H2O)，其主要反应为：(1)4FeO·Cr2O3+8Na2CO3+7O2高温8 Na2CrO4+2Fe2O3+ 8CO2(2)2 Na2CrO4+H2SO4=Na2SO4+ Na2Cr3O7+H2O下列说法正确的是A.反应( l)和(2)均为氧化还原反应B.反应(1)的氧化剂是O2，还原剂是FeO·Cr2O3C.高温下，O2的氧化性强于Fe2O3，弱于Na2CrO4D.反应(1)中每生成1mol Na2CrO4时电子转移3mol7.已知：C(s)+H2O(g)=CO(g)+H2(g) △H=+130kJ·mol-12C(s)+O2(g)=2CO(g) △H=-220 kJ·mol-1。
辽宁师范大学附属中学2017-2018学年高二上学期期末考试物理试题及答案
一.选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分每小题给出的四个选项中，1-6小题只有个选项正确，7-10小题有多个选项正确，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有错选或不选的得0分）1.如图甲所示，长直导线与闭合金属线框位于同一平面内，长直导线中的电流i 随时间t 的变化关系如图乙所示．在0-2T 时间内，直导线中电流向上，则在2T-T 时间内，线框中感应电流的方向与所受安培力的合力方向分别是（ ）A.顺时针，向左B.逆时针，向右C.顺时针.向右D.逆时针.向左2.如图，MN 、PQ 是间距为L 的平行光滑金属导轨，置于磁感应强度为B.方向垂直导轨所在平面向里的匀强磁场中，M 、P 间接有一阻值为R 的电阻。
一根与导轨接触良好、有效阻值为2R的金属棒ab 垂直导轨放置，并在水平外力F 作用下以速度v 向右匀速运动，不计导轨电阻，则（）A.通过电阻R 的电流方向为P-R-MB.a 端电势比b 端高C.ab 两点间的电压为BLvD.外力F 做的功等于电阻R 产生的焦耳热3.如图所示，L 是自感系数很大的理想线圈，a 、b 为两只完全相同的小灯泡，R 0是一个定值电阻，则下列有关说法中正确的是(）A.当S 闭合瞬间，a 灯比b 灯亮B.当S 闭合待电路稳定后，两灯亮度相同C.当S 突然断开瞬间，a 灯比b 灯亮些D.当S 突然断开瞬间，b 灯立即熄灭4.如图所示是一交变电流的i-t 图像，则该交变电流的有效值为（）A. 4AB. 22 AC. 3302 A D.38A 5.如图所示，等腰直角三角形区域内垂直于纸面向内的匀强磁场，左边有一形状完全相同的等腰直角三角形导线框，线框从图示位置开始水平向右匀速穿过磁场区域，规定线框中感应电流逆时针方向为正方向，线框刚进入磁场区域时感应电流为i 0，直角边长为L 其感应电流i 随位移x 变化的图象正确的是（）6.如图所示，理想变压器原、副线l匝数比为1：2，接有四个阻值相同的定值电阻，变压器初级线圈接到交流电源上，下面说法正确的是（）A.副线圈电压是电源电压的2倍B.流过R1的电流是副线圈上电流的2倍C.R1上的电功率是R2上电功率的2倍D.R1上的电功率是R2上电功率的9倍7.如图所示为某小型电站高压输电示意图，变压器均为理想变压器.发电机输出功率为20kW。
辽宁省实验中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学(文)试题含解析
辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校 2017-2018 学年高二上学期期末考试数学（文）试题第Ⅰ卷（共60 分）一、选择题：本大题共12 个小题 , 每题 5 分 , 共 60 分 . 在每题给出的四个选项中，只有一项是切合题目要求的.1.对于常数，“”是“方程的曲线是双曲线“的”（）A.充足不用要条件B.必需不充足条件C. 充足必需条件D.既不充足也不用要条件【答案】 C【分析】方程即为，故该方程表示双曲线等价于同号，即．所以“”是“方程的曲线是双曲线”的充足必需条件．选C．2.若，则以下不等式中错误的是（）．．A. B. C. D.【答案】 A【分析】由不等式的性质可得选项B,C,D 正确．对于选项 A，因为，所以，故．所以 A 不正确．选 A．3.以下函数中，最小值为 4 的是（）A. B.C. D.【答案】 B【分析】选项 A 中，，因为不必定为正，故最小值为 4 不可立．选项 B 中，因为，故，当且仅当，即时等号成立．故 B 正确．选项 C中，，但等号成即刻需知足，不合题意，故C不正确．选项 D中，不必定为正数，故D不正确．综上选项 B 正确．选B．4.已知实数知足，则目标函数的最小值是（）A. B.15 C.0 D.【答案】 A【分析】作出可行域如图：当直线向上挪动，过点 A 时，有最小值，由解得，所以，应选 A.5.以下命题中，说法错误的是（）．．A.“若，则”的否命题是“若，则”B.“是真命题”是“是真命题”的充足不用要条件C.“”的否认是“”D.“若，则是偶函数”的抗命题是真命题【答案】 C【分析】选项 A 中，由否命题的定义知，结论正确．选项 B 中，由“是真命题”可得“是真命题”，反之不可立．故“是真命题”是“是真命题”的充足不用要条件．所以 B 正确．选项 C中，“”的否认是“”，故 C 不正确．选项 D中，所给命题的抗命题为“若是偶函数，则”为真命题．故 D 正确．选 C．6.设，若是与的等比中项，则的最小值为（）A.5B.6C.7D.8【分析】∵是与的等比中项，∴，∴，∴，当且仅当且，即时等号成立．选D．7.已知分别是椭圆的左、右焦点，是以为直径的圆与该椭圆的一个交点，且，则这个椭圆的离心率是（）A. B. C. D.【答案】 A【分析】因为是以为直径的圆与该椭圆的一个交点，所以，因为，所以。
【全国百强校word版】辽宁师范大学附属中学2018届高三上学期期末考试物理试题
一、选择题1．如图所示，一定质量的物体通过轻绳悬挂，结点为O ，人沿水平方向拉着OB 绳，物体和人均处于静止状态，若人的拉力方向不变，缓慢向左移动一小段距离，，下列说法正确的是（ ）A ．OA 绳中的拉力逐渐减小B ．OB 绳中的拉力逐渐减小C ．人对地面的压力不变D ．地面给人的摩擦力不变 2．下列说法中正确的是A ．天然放射性元素23290Th （钍）共经历4次α衰变和6次β衰变边长20482Pb （铅）B ．放射性元素的半衰期与温度、压强有关C ．“原子由电子和带正电的物质组成”是通过卢瑟福α散射实验判定的D ．玻尔理论认为，氢原子的核外电子轨道是量子化的3．如图甲所示，理想变压器原副线圈的匝数比3：1，V 和12R R 、分别是理想电压表、定值电阻，且123R R =，已知ab 两端电压u 按图乙所示正弦规律变化，下列说法正确的是A ．电压u 的表达式10V u t π=（）B ．电压表示数为40VC ．R 1、R 2两端的电压之比为1：1D ．R 1、R 2消耗的功率之比为1：94．1798年英国物理学家卡文迪许测出万有引力常量G ，因此卡文迪许被人们称为“能称出地球质量的人”，若已知万有引力常量G ，地球表面处的重力加速度g ，地球半径为R ，地球上一个昼夜的时间为T 1（地球自转周期），一年的时间T 2（地球公转的周期），地球中心到月球中心的距离L 1，地球中心到太阳中心的距离为L 2．则下列说法正确的是A ．地球的质量2GR m g=地B ．太阳的质量222224L m GT π=太 C ．月球的质量221214L m GT π=月D ．可求月球、地球及太阳的密度5．如图所示，光滑水平桌面上有两个大小相同的小球，12:2:1m m =，球1以3m/s 的速度与静止的球2发生正碰并粘在一起，已知桌面距离地面的高度h=1.25m ，210/g m s =，则落地点到桌面边沿的水平距离为A ．0.5mB ．1.0mC ．1.5mD ．2.0m6．如图所示，某长为R 的轻杆一端固定一个质量为m 的小球，另一端有光滑的固定轴O ，现给球一初速度，使球和杆一起绕O 轴在竖直面内转动，不计空气阻力，以下说法中正确的是A．小球过最高点时，杆所受的弹力可以为零BC．小球过最低点时，杆对球的作用力一定大于重力D．小球过最高点时，杆对球的作用力一定小于重力7．如图所示，a、b为等量异种点电荷A、B连线的中垂线上的两点，b、c为其连线上的两点，AB连线沿竖直方向。
辽宁省师范大学附属中学2018届高三上学期期末考试数学理试题含Word版含解析
百度文库 - 好好学习，天天向上2017-2018 学年度上学期期末考试高三试题 数学（理） 第Ⅰ卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.1. 设复数（ 是虚数单位），则 的共轭复数为（ ）A.B.C.D.【答案】B【解析】化为，，故选 B.2. 已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】集合,,所以，故选 A.3. 元代数学家朱世杰的数学名著《算术启蒙》是中国古代代数学的通论，其中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.右图是源于其思想的一个程序图，若 ， ，则输出的 （ ）-- 1 -百度文库 - 好好学习，天天向上A.B.C.D.【答案】A【解析】模拟程序的运行，可得，不满足 ，执行循环体，，满足条件 ，退出循环，输出 的值为 ，故选 A.4. 已知双曲线 的两条渐近线方程为和，则该双曲线的离心率为（ ）A. 或B. 或C.D.【答案】A【解析】由渐近线方程为，即渐近线方程为，设双曲线的方程为，则渐近线方程为，即有 ，又，即，可得，故选 D.5. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（ ）A.B.C.D.【答案】C【解析】是奇函数，在区间 内单调递增，不满足条件；不是偶函数，在-- 2 -百度文库 - 好好学习，天天向上区间 内单调递增，不满足条件；是偶函数，在区间 内单调递减，满足条件； ，是偶函数，在区间 内单调递增，不满足条件，故选 C.6. 某校初三年级有 名学生，随机抽查了 名学生，测试 分钟仰卧起坐的成绩（次数），将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图.用样本估计总体，下列结论正确的是（）A. 该校初三年级学生 分钟仰卧起坐的次数的中位数为 次B. 该校初三年级学生 分钟仰卧起坐的次数的众数为 次C. 该校初三年级学生 分钟仰卧起坐的次数超过 次的人数约有 人D. 该校初三年级学生 分钟仰卧起坐的次数少于 次的人数约为 人.【答案】C【解析】第一组数据的频率为；第二组数据的频率为，第三组的频率为中位数在第三组内，设中位数为 ，则数据的中位数为 ，故 错误；最高矩形是第三组数据，第三组数据的中间值为人众数为 ，故 错误；学生 分钟仰卧起坐的成绩超过 次的频率为人超过 次的人数为人，故 正确；学生 分钟仰卧起坐的成绩少于 次的频率为分钟仰卧起坐的成绩少于 次的人数为人，故 错误，故选 C.7. 若 ， 均为锐角且，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】 为锐角，，，，，-- 3 -百度文库 - 好好学习，天天向上，故选 B. 8. 甲乙丙丁四名同学参加某次过关考试，甲乙丙三个人分别去老师处问询成绩，老师给每 个人只提供了其他三人的成绩.然后，甲说：我们四个人中至少两人不过关；乙说：我们四 人中至多两人不过关；丙说：甲乙丁恰好有一人过关.假设他们说的都是真的，则下列结论 正确的是（ ） A. 甲没过关 B. 乙没过关 C. 丙过关 D. 丁过关 【答案】B 【解析】因为甲说：我们四个人中至少两人不过关；乙说：我们四人中至多两人不过关； 所以四人组有且只有两人过关，两人不过关，又因为，丙说：甲乙丁恰好有一人过关，不 过关的情况有三种可能：甲乙、甲丁、乙丁，根据甲不知道自己成绩的情况下说四个人中 至少两人不过关，可见乙丙丁中有两人不过关，不过关的可能的情况有三种：乙丙、丙丁、 乙丁，结合与以上六种，同时成立的是乙丁不过关，所以一定正确的结论是乙没过关，故 选 B. 9. 一个正六棱柱的主视图（由两个边长等于 的正方形组成）如图所示，则该六棱柱的侧 视图的面积为（ ）A.B.C.D.【答案】C【解析】由三视图可得，正六棱柱的直观图如图，形边长为 ，则，-- 4 -，图中，设正六边百度文库 - 好好学习，天天向上棱柱侧视图是边长为 与 的矩形,面积为，故选 C.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力 以及正六棱柱的性质，属于难题. 三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是 高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素 “高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何 体直观图的影响.10. 已知数列 是公差不为 的等差数列， ，且 ， ， 成等比数列，设，则数列 的前 项和 为（ ）A.B.C.D.【答案】D【解析】设首项为 ，公差为 ，成等比数列，，解得，，，，故选 D.【方法点晴】本题主要考查等差数列的通项公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档 题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）； （3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题， 导致计算结果错误.11. “ ”是函数满足：对任意的，都有”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B-- 5 -百度文库 - 好好学习，天天向上【解析】 当时，在上递减，在递减，且在上递减， 任意都有，充分性成立；若在上递减， 在上递增，任意，都有，必要性不成立，“”是函数满足：对任意的，都有”的充分不必要条件，故选 A...................12. 已知三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，，，，平面 ，则此三棱锥外接球的表面积为（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】因为 所以三棱锥平面 ，所以 的外接球就是以，又因为，所以，为长宽高的长方体的外接球，所以外接球的直径等于长方体的对角线，可得，此三棱锥外接球的表面积为，故选 C.【方法点睛】本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和 体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用（ 为三棱的长）；②若 面 （），则（为外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径. 第Ⅱ卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 若，则__________．【答案】1【解析】令 x=1,得到=0，令 x=0 得到两式子做差得到.故答案为：1.14. 已知数列 的前 项和为 ，且，则 __________．-- 6 -百度文库 - 好好学习，天天向上【答案】【解析】 时，时，，故答案为.15. 若 ， __________． 【答案】，点在圆， 的外部，则 的范围是【解析】可化为，，又在圆的外部，，画出的可行域，如图，由图知， 在 处有最大值 ， 在 处有最小值 ，因为此可行域在边界处不能取值，的取值范围是，故答案为.【方法点晴】本题主要考查点与圆的位置关系以及线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题. 求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.16. 直角梯形中，，，是边长为 的正三角形， 是平面上的动点，，设（ ， ），则 的最大值为__________．【答案】-- 7 -百度文库 - 好好学习，天天向上【解析】以 为原点， 为 轴， 所在直线为 轴，建立直角坐标系，，为，所以，可设 因，即 的最大值为故答案为.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知，，设函数（1）求函数 的单调增区间；（2）设的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ， ， 成等比数列，求 的取值范围.【答案】（1） 单调递增区间为， ；（2）.【解析】试题分析：（1）根据平面向量的数量积公式、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角差的正弦公式化简可得，根据正弦函数的单调性可得，解不等式可得函数 的单调增区间；（2）由 ， ， 成等比数列，可得，再根据余弦定理结合基本不等式可得得角 的范围，进而可得 的取值范围.试题解析：（1）.令，则，，，从而可 ，-- 8 -百度文库 - 好好学习，天天向上所以函数 单调递增区间为（2）由可知，.（当且仅当 时，取等号），所以，，综上 的取值范围为.18. 某中学调查了某班全部 名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位： 人）（1）能否由 的把握认为参加书法社团和参加演讲社团有关？ （附：当时，有 的把握说事件 与 有关；当，认为事件 与 是无关的）（2）已知既参加书法社团又参加演讲社团的 名同学中，有 名男同学， 名女同学.现从这 名男同学和 名女同学中选 人参加综合素质大赛，求被选中的男生人数 的分布列和期望. 【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）根据表格中的数据得到，此时可以下结论；（2）根据题意分别求出 的取值为 ， ， ， ，时的概率值，再写出分布列和期望值即可。
2017-2018学年辽宁省师范大学附属中学高二数学上期末考试(文)试题
2017-2018学年度上学期期末考试高二试题数学（文）
第I 卷（共60 分）
项是符合题目要求的.
2 2
1.双曲线3x -y =3的渐近线方程是（
5. 对于常数
m 、n , “mn 0”是“方程mx 2 y 2 =1的曲线是椭圆”的（ ）条件
A .充分不必要
B .必要不充分 C.充分必要
D .既不充分也不必 要条件
6. 下列选项错误的是（ ） A .命题“若x=1，则x 2 -3x ，2=0 ”的逆否命题是“若 x 2 -3x ^0，则x = 1 ”
B. “ x 2 ”是“ x^3x 2 0 ”的充分不必要条件；
C. 若命题 p : 一x • R , x 2 x V-0，则 一 p : x^ R , x 2 x 0 ^0; 、选择题：本大题共 12个小题，每小题 5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有
1
B . y T x
C . y = 3x y 「x 3
2•命题P : “平面内与两个定点的距离的和等于常数的点的集合叫做椭圆” ;命题Q : “平面
内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数的点的集合叫做双曲线” .下列命题中正确的是 A .命题P B .命题—Q C .命题P Q D .命题一 P Q
3.若 0 ::: a ::: b , a b =1，则a , 1 , 2ab 中最大的数为（ 2
B . 2ab D .无法确定
4.若函数f （x ） ax 3 bx 2 cx d 有极值，则导数 f （x ）的图象可能是（）
V
A .。
2017-2018学年辽宁省大连市高二上学期期末考试数学(理)试题Word版含答案
大连市2017 2018学年度第一学期期末考试试卷高二数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛物线x y 212=的准线方程为（ ） A ．81-=x B ．41-=x C ．21-=x D ．1-=x 2.命题：“0,02≥->∀x x x ”的否定是（ ）A ．0,02>-≤∀x x xB ．0,02≤->∀x x xC ．0,02<->∃x x xD ．0,02>-≤∃x x x3.若0>ab ，则ba ab +的最小值是（ ） A ．1 B ．2 C ．2 D ．224.已知{}n a 是等差数列，28,48721=+=+a a a a ，则该数列前10项和10S 等于（ ）A ．64B ．100 C.110 D ．1205.命题1:≥x p ，命题11:≤xq ，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件6.已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-≥+3022y y x y x ，则y x z -=2的最小值是（ ）A ．5B ．5- C. 25 D ．25- 7.已知ABC ∆的顶点C B ,在椭圆1322=+y x 上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是（ ）A ．32B ．6 C.34 D ．128.平行六面体1111D C B A ABCD -中，向量1,,AA AD AB 两两的夹角均为060，且1=AB ，3,21==AA AD ,则1AC 等于（ ）A ．5B ．6 C. 4 D ．89.已知直线1+=x y 与曲线()a x y +=ln 相切，则a 的值为（ ）A ． 1B ． 2 C. 1- D ．2-10.关于x 的不等式0>-b ax 的解集为()1,-∞-，则关于x 的不等式()()02<+-b ax x 的解集为（ ）A ．()2,1-B ．()2,1 C.()()+∞-∞-,21, D ．()()+∞∞-,21,11.已知双曲线12222=-by a x 的一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为（ ）A ．145522=-y x B ．14522=-y x C. 14522=-x y D ．154522=-y x 12.若()x f 的定义域为R ，()2<'x f 恒成立，()21=-f ，则()42+>x x f 的解集为（ ）A ．()1,1-B ．()1,-∞- C.()+∞-,1 D ．()+∞∞-,第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.{}n a 是公比为正数的等比数列，若16,453==a a 则数列{}n a 的前5项和为．14.直线1-=x y 与椭圆12422=+y x 相交于B A ,两点，则=AB ． 15.21,F F 为椭圆1:2222=+by a x C 左右焦点，A 为椭圆上一点，2AF 垂直于x 轴，且三角形21F AF 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为．16.点P 是圆()42:22=++y x C 上的动点，定点()0,2F ，线段PF 的垂直平分线与直线CP 的交点为Q ，则点Q 的轨迹方程是．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 过抛物线px y E 2:2=的焦点F 的一条直线与抛物线E 交于()()2211,,,y x Q y x P 两点.求证：.221p y y -=18.已知等差数列{}n a ()*∈N n 的前项和为n S ，且.9,533==S a（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）等比数列{}()*∈N n b n ，若5322,a b a b ==，求数列{}n n b a +的前n 项和.n T 19.如图，四边形ABCD 是直角梯形，⊥=∠=∠SA BAD ABC ,900平面ABCD ,.1,2====AD BC AB SA（1）求直线SC 与平面ASD 所成角的余弦；（2）求平面SAB 和平面SCD 所成角的余弦.20.已知函数()c bx ax x x f +++=23在32-=x 与1=x 时都取得极值. （1）求b a ,的值与函数()x f 的单调区间；（2）若对[]2,1-∈x ，不等式()2c x f <恒成立，求c 的取值范围.21.如图，四棱柱1111D C B A ABCD -中，侧棱A A 1⊥底面2,1,,//,1====⊥AB AA CD AD AD AB DC AB ABCD ,E 为棱1AA 的中点.（1）证明：CE C B ⊥11；（2）求二面角11C CE B --的正弦值.22.已知椭圆C 的中心是坐标原点O ，它的短轴长22，焦点()0,c F ，点⎪⎭⎫⎝⎛-0,10c c A ，且.2FA OF = （1）求椭圆C 的标准方程； （2）是否存在过点A 的直线与椭圆C 相交于Q P ,两点，且以线段PQ 为直径的圆过坐标原点O ，若存在，求出直线PQ 的方程；不存在，说明理由.试卷答案一、选择题1-5: ACCBA 6-10: BCABD 11、12：AB二、填空题13. 31 14. 534 15.12- 16.1322=-y x 三、解答题17.解：当过焦点F 的直线垂直于x 轴时，则221p y y -=成立，当直线不与x 轴垂直时，设⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2p x k y ⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=px y p x k y 222 得0222=--p py ky 所以221p y y -= .18.解：（1） 由93=S ，得932=a ，所以.32=a又因为53=a ，所以公差.2=d从而().1222-=-+=n d n a a n（2）由上可得9,35322====a b a b ，所以公比.3=q从而n n n q b b 322=⋅=-， 所以，()13212-+=n n n T . 19.解：（1） 如图建系，()()()()2,2,2,0,0,1,0,2,2,2,0,0-=SC D C S⊥AB 平面SAD ，故平面ASD 的一个法向量为()0,2,0=AB设SC 与平面ASD 所成的角为θ则 故36cos =θ，即SC 与平面ASD 所成的角余弦为36 （2）平面SAB 的一个法向量为()0,0,1=m()()2,0,1,2,2,2-=-=SD SC ,设平面SCD 的一个法向量为()z y x n ,,=， 由⎩⎨⎧=-=-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅02000z x z y x n SD n SC 令1=z 可得平面SCD 的一个法向量为 ()1,1,2-=n显然，平面SAB 和平面SCD 所成角为锐角，不妨设为α则36cos =⋅⋅=n m nm α 即平面SAB 和平面SCD 所成角的余弦36. 20．解：（1） ()()b ax x x f c bx ax x x f ++='+++=23,223 由()0231,03491232=++='=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-b a f b a f 得2,21-=-=b a ()()()123232-+=--='x x x x x f ，x 变化时()()x f x f '变化如下表所以函数()x f 的递增区间是⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-32,与()+∞,1，递减区间是⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,32； （2）()[]2,1,22123-∈+--=x c x x x x f ，当32-=x 时，c f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-272232 为极大值，而()c f +=22，则()c f +=22为最大值，要使()[]2,1,2-∈<x c x f 恒成立，则只需要()c f c +=>222，得.21>-<c c 或21.解：如图所示，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得()()()1,0,1,2,0,0,0,0,0C B A ()()()0,1,0,1,2,1,2,2,011E C B（1）证明：易得()()1,1,1,1,0,111--=-=CE C B ,于是011=⋅CE C B ,所以.11CE C B ⊥（2）()1,2,1:1--C B ,设平面CE B 1的一个法向量()z y x m ,,=， 则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅001CE m C B m ,即⎩⎨⎧=-+-=--002z y x z y x 消去x ，得02=+z y ，不妨令1=z ，所以平面CE B 1的一个法向量为 ()1,2,3--=m由（1）知，,11CE C B ⊥又⊂=⊥11111,,,CC CE C CC CE C B CC 平面1CEC ，所以⊥11C B 平面1CEC ，故()1,0,111-=C B 为平面1CEC 的一个法向量， 于是7722144cos 111111-=⨯-=⋅⋅=⋅C B m C B m C B m , 从而.721sin 11=⋅C B m所以二面角11C CE B --的正弦值为.721 22.解：（1） 由题意知，()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0,10,0,,2c c A c F b ()⎪⎭⎫ ⎝⎛-==0,210,0,c c FA c OF 由FA OF 2=，得c c c 420-=，解得：.2=c ∴=+=∴,6222c b a 椭圆的方程为12622=+y x 离心率为3662= （2）()0,3A ，设直线PQ 的方程为()3-=x k y联立()⎪⎩⎪⎨⎧=+-=126322y x x k y ， 得()062718312222=-+-+k x k x k 设()()2211,,,y x Q y x P ，则2221222131627,3118kk x x k k x x +-=+=+ ()[]22222222121221313931543162793k k k k k k k x x x x k y y +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+-=++-= 由已知得OQ OP ⊥，得02121=+y y x x ，即03163031331627222222=+-=+++-kk k k k k 解得：55±=k ， 符合∴>∆,0直线PQ 的方程为()355-±=x y .。
【全国百强校Word】辽宁师范大学附属中学2017-2018学年高二上学期期末考试英语试题(有答案)
考试时间：120分钟满分：150分本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷第一部分听力（共两节，满分30分）第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1. Whom is the man talking to?A. A customerB. A waitress B. A cleaner2. How much does the pie cost today?A. $10B. $6C. $43. What does the man need?A. His sister to call him backB. Something to eat and drinkC. Someone to take care of his pet4. When will the woman’s plane leave for Chicago?A. 8:00B. 9:20C. 10:005. What happened to the woman’s son?A. He didn’t get the job he wantedB. He failed an important examC. He was just fired by his company第二节（共15小题；每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。
每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟；听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。
每段对话或独白读两遍。
听第6段材料，回答第6、7题。
6. Which place is the hotel closed to?A. A shopping mallB. A bankC. A railway station7. How long will it take the man to walk to the hotel?A. About 11 minutesB. About 20 minutesC. About 30 minutes听第7段材料，回答第8、9题。
辽宁师范大学附属中学2017-2018学年高二上学期期末考
2017-2018学年度上学期期末考试高二试题数学（理）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.双曲线2233x y -=的渐近线方程是（ ）A ．y =B ．13y x =± C ．3y x =± D ．y = 2.命题P ：“平面内与两个定点的距离的和等于常数的点的集合叫做椭圆”；命题Q ：“平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数的点的集合叫做双曲线”.下列命题中正确的是（ ）A ．命题PB ．命题Q ⌝C ．命题P Q ∨D ．命题P Q ⌝∨ 3.若0a b <<，1a b +=，则a ，12，2ab 中最大的数为（ ） A ．a B ．2ab C ．12D ．无法确定 4.对于常数m 、n ，“0mn >”是“方程221mx y +=的曲线是椭圆”的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C.充分必要 D ．既不充分也不必要条件5.下列选项错误的是（ ）A ．命题“若1x ≠，则2320x x -+≠”的逆否命题是“若2320x x -+=，则1x =”B ．“2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件；C.若命题p ：x R ∀∈，210x x ++≠，则p ⌝：0x R ∃∈，20010x x ++=；D ．在命题的四种形式中，若原命题为真命题，则否命题为假命题6.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，21a =，5642a a a =+，则6a 的值是（ ）A ．1B ．2 C.．47.在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为AC 与BD 的交点，若11A B a =，11A D b =，1A A c =，则下列向量中与1B M 相等的向量是（ ）A ．1122a b c -++B ．1122a b c -+ C. 1122a b c --+ D ．1122a b c ++8.已知抛物线214y x =，P 是抛物线上一点，F 为焦点，一个定点(35)A ，，则PA PF +的最小值为（ ）A ．5B ．6 C.7 D ．89.已知1v ，2v 分别为直线1l ，2l 的方向向量（1l ，2l 不重合），1n ，2n 分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），则下列说法中：①1212v v l l ⇔∥∥；②1212v v l l ⊥⇔⊥；③12n n αβ⇔∥∥；④12n n αβ⊥⇔⊥，其中正确的有（ ）个 A ．1 B ．2 C.3 D ．410.已知椭圆中心在原点，且一个焦点为(0F ，直线43130x y +-=与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为1，则此椭圆的方程是（ ）A ．221325y x +=B ．221325x y += C.221369y x += D ．221369x y +=11.设x ，y 满足约束条件1x y a x y +⎧⎨--⎩≥≤，且z x ay =+的最小值为7，则a =（ ）A ．5-B ．3 C.5-或3 D ．5或3- 12.函数1y x=的图象也是双曲线，请根据上述信息解决以下问题：若圆222(1)x y r +-=与曲线(1)1x y -=没有公共点，则半径r 的取值范围是（ ）A ．0r <<B ．0r <<C.0r << D ．0r <<第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若椭圆的短轴的一个端点与两个焦点是同一个正三角形的顶点，则这个椭圆的离心率为 ．14.已知四面体P ABC -，60PAB BAC PAC ∠=∠=∠=︒，1AB =，2AC =，3AP =，则AB AP AC ++= ．15.已知0x >，0y >，2280x xy y ++-=，则2x y +的最小值是 ．16.已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11S =，221132n n n n S a S a ++-=，则数列{}n a 的通项公式为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在等差数列{}n a 中，26a =，420S = （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2(12)n n b n a =-（*n N ∈），12n n T b b b =+++（*n N ∈），求n T 18. 如图，已知正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1，E ，F ，G ，H 分别是棱AB ，CC '，AA '，C D ''的中点.（1）求证：EF ∥平面GHD ； （2）求直线EF 与BD '所成的角.19. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线24y x =相交于A 、B 两点. （1）求证：“如果直线l 过点(30)T ，，那么3OA OB ⋅=-”是真命题； （2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由.20. 如图，在直角梯形11AA B B 中，190A AB ∠=︒，11A B AB ∥，11122AB AA A B ===.直角梯形11AA C C 通过直角梯形11AA B B 以直线1AA 为轴旋转得到，且使平面11AA C C ⊥平面11AA B B .M 为线段BC 的中点，P 为线段1BB 上的动点.（1）求证：AC AB ⊥；（2）当点P 是线段1BB 中点时，求二面角P AM B --的余弦值； （3）是否存在点P ，使得直线1AC ∥平面AMP ？请说明理由. 21. 在学习过程中，我们通常遇到相似的问题.（1）已知动点P 为圆O ：222x y r +=外一点，过P 引圆O 的两条切线PA 、PB .A 、B 为切点，若0PA PB ⋅=，求动点P 的轨迹方程；（2）若动点Q 为椭圆M ：22143x y +=外一点，过Q 引椭圆M 的两条切线QC 、QD .C 、D为切点，若0QC QD ⋅=，猜想动点Q 的轨迹是什么，请给出证明并求出动点Q 的轨迹方程. 22.已知抛物线2C ：22x py =（0p >）的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）长为4，椭圆1C ：22221x y a b+=（0a b >>2C 的焦点.（1）求抛物线2C 和椭圆1C 的方程；（2）过定点3(1)2M -，引直线l 交抛物线2C 于A 、B 两点（A 在B 的左侧），分别过A 、B作抛物线2C 的切线1l ，2l ，且1l 与椭圆1C 相交于P 、Q 两点，记此时两切线1l ，2l 的交点为D .①求点D 的轨迹方程；②设点1(0)4E ，，求EPQ △的面积的最大值，并求出此时D 点的坐标.2017-2018学年度上学期期末考试高二试题数学（理）参考答案及评分标准一、选择题1-5:ABCBD 6-10:DABDC 11、12：BC二、填空题13.12 14.5 15.4 16.21122n n n a n -=⎧=⎨⎩，，≥ 三、解答题17.解：设{}n a 的公差为d ，由题意得1164620a d a d +=⎧⎨+=⎩解得182a d =⎧⎨=-⎩得82(1)102n a n n =--=- （2）∵2111(12)(1)1n n b n a n n n n ===--++123n n T b b b b =++++=11111(1)()()22311nn n n -+-++-=++ 18.（1）证明：以D 为原点O ，建立空间直角坐标系[;]O DA DC DD '，， 由已知条件可得(000)D ，，，1(10)2G ，，，1(01)2H ，，，1(10)2E ，，，1(01)2F ，，11(1)22EF =-，，，1(10)2DG =，，，1(01)2DH =，，EF DH DG =-，又有EF ⊄平面GHD所以EF ∥平面GHD（其它证法酌情给分，但要注意“EF ⊄平面GHD ”） （2）如（1）问建系，(110)B ，，，(001)D '，， (111)BD '=--，，，11(1)22EF =-，，cos EF BD EF BD EF BD '⋅'=='，11(1)(1)(1)1-⨯-+⨯-+⨯= 所以EF BD '=， 即求直线EF 与BD '所成的角19.证明：（1）设过点(30)T ，的直线l 交抛物线24y x =于点11()A x y ，，22()B x y ， 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为3x =，此时，直线l与抛物线相交于点(3A ，、(3B -，，∴3OA OB ⋅=- 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(3)y k x =-，其中0k ≠ 由24(3)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得24120ky y k --=，则1212y y =- 又∵21114x y =，22214x y =，∴2121212121()316OA OB x x y y y y y y ⋅=+=+=- 综上所述，命题“如果直线l 过点(30)T ，，那么3OA OB ⋅=-”是真命题. （2）逆命题是：设直线l 交抛物线24y x =于A 、B 两点， 如果3OA OB ⋅=-，那么直线l 过点(30)T ，， 该命题是假命题.例如：取抛物线上的点(12)A ，，(12)B -，.此时3OA OB ⋅=- 直线AB 的方程为1x =，而(30)T ，不在直线AB 上.20.解：（1）由已知190A AC ∠=︒，平面11AA C C ⊥平面11AAB B AC ⊂平面11ACC A ，平面11ACC A 平面111ABB A AA =所以AC ⊥平面11ABB A 又AB ⊂平面11ACC A 所以AC AB ⊥（2）由（1）可知AC ，AB ，1AA 两两垂直.分别以AC ，AB ，1AA 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图所示.由已知1112AB AC AA A B ===1122AC ==所以(000)A ，，，(020)B ，，，(200)C ，，，1(012)B ，，，1(002)A ，， 因为M 为线段BC 的中点，P 为线段1BB 的中点.所以(110)M ，，，3(01)2P ，，易知平面ABM 的一个法向量(001)m =，， 设平面APM 的一个法向量为()n x y z =，，由00n AM n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得0302x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩取2y =，得(223)n =--，，由图可知，二面角P AM B --的大小为锐角，所以cos 17m n m n m n⋅===⋅，所以二面角P AM B --（3）存在点P ，使得直线1AC ∥平面AMP设111()P x y z ，，，且1BP BB λ=，[01]λ∈，，则111(2)(012)x y z λ-=-，，，，所以10x =，12y λ=-，12z λ=.所以(022)AP λλ=-，， 设平面AMP 的一个法向量为0000()n x y z =，，，由0000n AM n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得00000(2)20x y y z λλ+=⎧⎨-+=⎩取01y =，得02(11)2n λλ-=-，，（0λ=不符合题意） 又1(202)AC =-，，若1AC ∥平面AMP ，则10AC n ⊥ 所以10220AC n λλ-⋅=--=，所以23λ= 所以存在点P ，使得直线1AC ∥平面AMP21.解：（1）由切线的性质及0PA PB ⋅=可知，四边形OAPB 为正方形 所以点P 在以O 为圆心，OP长为半径的圆上，且OP OA = 进而动点P 的轨迹方程为2222x y r += （2）动点Q 的轨迹是一个圆 设两切线1l ，2l①当1l 与x 轴不垂直且不平行时，设点Q 的坐标为00()Q x y ，，则02x ≠±设1l 的斜率为k ，则0k ≠，2l 的斜率为1k-，1l 的方程为00()y y k x x -=-，联立22143x y +=得2220000(34)8()4()120k x k y kx x y kx ++-+--= 因为直线与椭圆相切，所以0=△，得 2222200008()4(34)4[()3]0k y kx k y kx --+⋅--=化简，2222200004()(34)()(34)30k y kx k y kx k --+-++= 进而2200()(34)0y kx k --+=所以222000(4)230x k x y k y --+-=所以k 是方程2220000(4)230x k x y k y --+-=的一个根.同理1k-是方程2220000(4)230x k x y k y --+-=的另一个根.所以202031()4y k k x -⋅-=-，得22007x y +=，其中02x ≠±②当1l x ⊥轴或1l x ∥轴时，对应2l x ∥轴或2l x ⊥轴，可知(2P ±，，满足上式， 综上知：点P 的轨迹方程为227x y += 22.解：（1）∵抛物线2C 的通径长为4 ∴24p =，得2p =∴抛物线2C 的方程为24x y = ∵抛物线2C 的焦点(01)，在椭圆1C 上 ∴211b=，得21b = ∵椭圆1C的离心率为c e a ==∴24a =∴椭圆1C 的方程为2214x y +=（2）设211()4x A x ，，200()4x B x ，其中A B x x ≠，0A x <，0B x > ∵点A 、M 、B 三点共线∴2233424211A B A B x x x x --=++∴60A B A B x x x x +++=（*）设切线1l 的方程为2()4AA x y k x x =-+，与抛物线方程24x y =联立消去y ，得22440A A x kx kx x -+-=，由0=△，可得2Ax k =即224A Ax x y x =-同理可得，切线2l 的方程为224B Bx x y x =- 联立两方程解得，点D 坐标为()24A B A Bx x x x +， ①设点()D x y ，，则2A B x x x +=，4A B x x y = 代入（*）式得，点D 的轨迹方程为：230x y ++= ②由切线1l 和椭圆1C 方程，消去y 得：22344(1)4160A A A x x x x x +-+-=∴321AP Q A x x x x +=+，42164(1)A P Q A x x x x -=+∴PQ ==∵点E 到切线1l的距离为2d ==∴EPQ △的面积为212S == ∴当28A x =，A x =-S此时，由（*）可得B x = ∴点D坐标为。
辽宁师范大学附属中学高二上学期期末考试数学(文)试题Word版含答案
辽宁师范大学附属中学高二上学期期末考试数学（文）试题Word版含答案2017-2018学年度上学期期末考试高二试题数学（文）第I卷（共60 分）、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.双曲线3x2y2 3的渐近线方程是（）A.y■J3xB口 C -y 3xD.y T x2.命题内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数的点的集合叫做双曲线”A.充分不必要 B .必要不充分 C. 充分必要D .既不充分也不必要条件.下列命题中正确的是A.命题P B .命题~Q C .命题P Q.命题P Q3.若0 a ,2ab中最大的数为（D.mn 0 ”是“方程 2 2mx y i的曲线是椭圆”的（）条件C的图象可能是（）D .无法确定A.叵］B . |2ab6.下列选项错误的是（)I ---------- 1 2B •“ x 2 ”是“ x 3x 20 ”的充分不必要条件;/1 _「, 「 I 2 I I2C. 若命题 凹: x R ，|x x 1 o |，则匚p : x 0 R ， x o x o 1 0D. 在命题的四种形式中，若原命题为真命题，则否命题为假命题7.已知抛物线y 2 4x ,直线|x 2y 1 0|与该抛物线交于 囚，叵］两点，则弦［AB 的长为（）的极小值是() A. 6 B . [5C. [4 D . [3_128 49.关于函数f （x ）丄x 2 4x 4。
下列说法中：①它的极大值为28，极小值为 -;②当 3 |3 | 3-------------- 1 281I~41 | ---------- 1x ［3 , 4］时，它的最大值为一，最小值为 一；③它的单调减区间为［2 ,2］:④它在点 -------------- 33 ----------- （0 , 4）处的切线方程为y 4x 4，其中正确的有（）个 A. 1 B . ［2C. 色 D ._ 2 210.已知双曲线与椭圆4x y 64有共同的焦点，双曲线的实轴长于虚轴长的比值为11.1x y > a._.12. 设区I ，［y 满足约束条件 x y V 1，且|z X ay |的最小值为冋，则可 （ ）A 匚51B . ［3C .匚5或［3 D . ［5 或匚3第U 卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. _________________________________ 抛物线|y x 2的直线方程为 .A.命题“若 厂，则x 2 3x 20 ”的逆否命题是“若14. 若 ―cotx ，则 f (x)(1) 求数列叵的通项公式;(2)若y f(x)在区间(0,)上为单调递增函数，求 g 的取值范围。
辽宁师范大学附属中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学(理)试题
辽宁师范大学附属中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学（理）试题一、 单选题1.双曲线2233x y -=的渐近线方程是（ ）A.y =B.13y x =±C.3y x =±D.y x = 答案： A解答：由双曲线2233x y -=可得：2230x y -=，即y =，∴双曲线2233x y -=的渐近线方程是y =.故选A.2.命题P ：“平面内与两个定点的距离的和等于常数的点的集合叫做椭圆”；命题Q ：“平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数的点的集合叫做双曲线”.下列命题中正确的是（ ） A.命题P B.命题Q ⌝ C.命题P Q ∨ D.命题P Q ⌝∧ 答案： B解答：命题P 错误，椭圆的定义中，常数必须大于两个定点的距离；命题Q 错误，双曲线的定义中，常数必须小于两个定点的距离；∴命题Q ⌝为真命题.故选B. 3.若0a b <<，1a b +=，则a ，12，2ab 中最大的数为（ ） A.a B.2ab C.12D.无法确定 答案： C解答：∵0a b <<，1a b +=，∴1a b a <=-，即1a a <-，12a <； 又2()1222a b ab +<=，（a b <等号取不到），∴最大的数为12.故选C. 4.对于常数m ，n ， “0mn >”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 答案： B解答：由方程221mx ny +=的曲线是椭圆可得0m >，0n >，m n ≠，所以“0mn >”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的必要不充分条件.故选B.5.下列选项错误的是（ ）A.命题“若1x ≠，则2320x x -+≠”的逆否命题是“若2320x x -+=，则1x =” B.“2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件C.若命题:p x R ∀∈，210x x ++≠，则0:p x R ⌝∃∈，20010x x ++=D.在命题的四种形式中，若原命题为真命题，则否命题为假命题 答案： D解答：对于A ，命题“若1x ≠，则2320x x -+≠”的逆否命题是“若2320x x -+=，则1x =”，正确；对于B ，由2320x x -+>解得：2x >或1x <，∴“2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件，正确；对于C ，若命题:p x R ∀∈，210x x ++≠，则0:p x R ⌝∃∈，20010x x ++=，正确；对于D ，在命题的四种形式中，原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，原命题与否命题关系不定，故错误.故选D.6.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，21a =，8642a a a =+，则6a 的值是（ ）A.1B.2C.D.4 答案： D解答：由题意，得到175311112a q a q a q a q =⎧⎨=+⎩，解得：14212a q q q =⎧⎨=+⎩，即12a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴556142a a q ===.故选D. 7.在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为AC 与BD 的交点，若11A B a =uuu u r r ，11A D b =uuuur r ， 1A A c =uuu r r ，则下列向量中与1B M uuuu r相等的向量是（ ） A.1122a b c -++r r rB.1122a b c -+r r r C.1122a b c --+r r rD.1122a b c ++r r r 答案： A解答：由题意得：111111111111()22B M B A A A AM B A A A AC B A A A AB AD =++=++=+++uuuu r uuu u r uuu r uuu r uuu u r uuu r uuu r uuu u r uuu r uu u r uuu r,111()222a c ab a bc =-+++=-++r r r r r r r.故选A.8.已知抛物线214y x =，P 是抛物线上一点，F 为焦点，一个定点(3,5)A ，则||||PA P F +的最小值为（ ） A.5 B.6 C.7 D.8 答案： B解答：设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义可知||||PF PD =， ∴要求||||PA PF +取得最小值，即求||||PA PD +取得最小， 当D ，P ，A 三点共线时||||PA PD +最小为5(1)6--=.故选B.9.已知1v u r ，2v u r 分别为直线1l ，2l 的方向向量（1l ，2l 不重合），1n u r ，2n u u r 分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），则下列说法中：①1212////v v l l ⇔u r u r ；②1212v v l l ⊥⇔⊥u r u r ； ③12////n n αβ⇔u r u u r ；④12n n αβ⊥⇔⊥u r u u r，其中正确的有（ ）个A.1B.2C.3D.4 答案： D解答：∵1v u r ，2v u r 分别为直线1l ，2l 的方向向量（1l ，2l 不重合），∴1212////v v l l ⇔u r u r ，1212v v l l ⊥⇔⊥u r u r ；∵1n u r ，2n u u r分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），∴12////n n αβ⇔u r u u r，法向量夹角与二面角的平面角相等或互补， ∴12n n αβ⊥⇔⊥u r u u r.故选D.10.已知椭圆中心在原点，且一个焦点为F ，直线43130x y +-=与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为1，则此椭圆的方程是（ ）A.221325y x += B.221325x y += C.221369y x += D.221369x y += 答案： C解答：设椭圆方程为22221(0)y x a b a b +=>>，联立方程2222143130y x a b x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩，整理得2222222(169)10416990b a x b x b a b +-+-=，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则1212x x +=，即2221042169b b a =+，化简得：224a b =， 又2227a b -=，易得22369a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴此椭圆的方程是221369y x +=.故选C. 11.函数1y x=的图象也是双曲线，请根据上述信息解决以下问题：若圆222(1)x y r +-=与曲线(1)1x y -=没有公共点，则半径r 的取值范围是（ ）A.0r <<B.02r <<C.0r <<D.02r << 答案： C解答：圆的圆心为(0,1)，半径为r ，设圆与曲线11y x =-相切的切点为(,)m n ， 可得11n m =-，① 11y x =-的导数为21(1)y x '=--， 可得切线的斜率为21(1)m --，由两点的斜率公式可得211[]10(1)n m m -⋅-=---， 即为21(1)n m m -=-，②由①②可得4310n n n ---=，化为22(1)(1)0n n n --+=，即有210n n --=，解得n =则有m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得此圆的半径r ==结合图象即可得到圆与曲线没有公共点的时候，r的范围是.故选C.12. 设x ，y 满足约束条件1x y ax y +≥⎧⎨-≤-⎩，且z x ay =+的最小值为7，则a =（ ）A.5-B.3C.5-或3D.5或3- 答案： B解答：根据题中约束条件可画出可行域如下图所示，两直线交点坐标为；11(,)22a a A -+， 又由题中z x ay =+可知，当0a >时，z 有最小值；21121222a a a a z a -++-=+⨯=，则22172a a +-=，解得3a =； 当0a <时，z 无最小值.故选B.二、填空题13.已知0x >，0y >，2280x xy y ++-=，则2x y +的最小值是.答案：4解答：因为0x >，0y >，根据基本不等式：222()2x y xy +≤，当且仅当2x y =时取等号， 则228222()2x y x y xy x y +=++≤++，令2x y t +=， 不等式转化为：28(0)4t t t +≥>，解得：4t ≥，即2x y +的最小值为4.14. 若椭圆的短轴的一个端点与两个焦点是同一正三角形的顶点，则这个椭圆的离心率为 . 答案：12解答：∵椭圆的短轴的一个端点与两个焦点是同一个正三角形的顶点， ∴2a c =，即12e =，故答案为12. 15.已知四面体P ABC -，60PAB BAC PAC ∠=∠=∠=︒,||1AB =u u u r ，||2AC =uu u r ，||3AP =u u u r， 则||AB AP AC ++=u u u r u u u r u u u r.答案： 5解答：∵四面体P ABC -,60PAB BAC PAC ∠=∠=∠=︒,||1AB =uu u r ,||2AC =uu u r ,||3AP =u u u r,∴12cos 601AB AC ⋅=⨯⨯︒=uu u r uuu r ，23cos 603AC AP ⋅=⨯⨯︒=uuu r uu u r，313cos602AB AP ⋅=⨯⨯︒=uu u r uu u r ，∴||5AB AP AC ++===uu u r uu u r uuu r .故答案为5.16.已知各项均为正数的数列{}n a 前n 项和为n S ，若11S =，221132n n n n S a S a ++-=，则数列{}n a 的通项公式为 . 答案：21,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩解答：由11S =，得111a S ==，有221132n n n n S a S a ++-=，得2214()n n n S S a +=+，又0n a >，∴12n n n S S a +=+，即1n n S a +=，当2n ≥时，1n n S a -=， 两式作差得：1n n n a a a +=-，即12n na a +=，又由11S =， 221132n n n n S a S a ++-=，求得21a =，∴当2n ≥时，22n n a -=， 验证1n =时不成立，∴21,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩.三、解答题17.在等差数列{}n a 中，26a =，420S =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2(*)(12)n n b n N n a =∈-，12(*)n n T b b b n N =+++∈L ，求n T .答案：（1）102n a n =-； （2）1n n T n =+. 解答：（1）设{}n a 的公差为d ，由题意得1164620a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得182a d ==-⎧⎨⎩，得()821102n a n n =--=-. （2）∵()()21111211n n b n a n n n n ===--++，123n n T b b b b =+++=+L 11111(1)()()22311nn n n -+-++-=++L .18.如图，已知正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1，E ,F ,G ,H 分别是棱AB ,CC ',AA ',C D ''的中点.（1）求证：//EF 平面GHD ；（2）求直线EF 与BD '所成的角的余弦值. 答案：（1）见解析； （2）3. 解答：（1）证明：以D 为原点，建立空间直角坐标系[;,,]D DA DC DD ',由已知条件可得，(0,0,0)D ，1(1,0,)2G ，1(0,,1)2H ，1(1,,0)2E ，1(0,1,)2F ，11(1,,)22EF =-uu u r ,11(1,,)22GH =-,EF GH =,又有EF ⊄平面GHD ,所以//EF 平面GHD .（2）如（1）问建系，(1,1,0)B ，(0,0,1)D '，(1,1,1)BD '=--，11(1,,)22EF =-uu u r ，11(1)(1)(1)1cos ,3||||EF BD EF BD EF BD -⨯-+⨯-+⨯'⋅'〈〉==='uu u r uuu ruu u r uuu r uuu r uuu r , 所以EF 与BD '所成的角的余弦值为3. 19.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线24y x =相交于A 、B 两点.（1）求证：“如果直线l 过点(3,0)T ，那么3OA OB ⋅=-uu r uu u r”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由. 答案：（1）见解析； （2）见解析. 解答：（1）证明：设过点(3,0)T 的直线l 交抛物线24y x =于点11(,)A x y ，22(,)B x y ，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为3x =，此时，不妨设直线l 与抛物线相交于点(3,A 、(3,B -，∴3OA OB ⋅=-uur uu u r,当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(3)y k x =-，其中0k ≠，由24(3)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得24120ky y k --=，则1212y y =-，又∵21114x y =，22214x y =，∴2121212121()316OA OB x x y y y y y y ⋅=+=+=-uu r uu u r ，综上所述，命题“如果直线l 过点(3,0)T ,那么3OA OB ⋅=-uu r uu u r”是真命题.（2）逆命题是：设直线l 交抛物线24y x =于A 、B 两点，如果3OA OB ⋅=-uu r uu u r,那么直线l 过点(3,0)T ，该命题是假命题.例如，取抛物线上的点(1,2),(1,2)A B -，此时3OA OB ⋅=-，直线l 的方程为1x =，而(3,0)T 不在该直线上.20.如图，在直角梯形11AA B B 中，190A AB ∠=︒,11//A B AB ,11122AB AA A B ===,直角梯形11AAC C 通过直角梯形11AA B B 以直线1AA 为轴旋转得到，且使平面11AAC C ⊥平面11AA B B ,M 为线段BC 的中点，P 为线段1BB 上的动点.（1）求证：AC AB ⊥；（2）当点P 是线段1BB 中点时，求二面角P AM B --的余弦值；（3）是否存在点P ，使得直线1//AC 平面AMP ？请说明理由. 答案：（1）见解析；（2； （3）存在点P ,使得直线1//AC 平面AMP .解答：（1）由已知190A AC ∠=︒,平面11AA C C ⊥平面11AA B B ,AC ⊂平面11ACC A ,平面11ACC A I 平面111ABB A AA =,所以AC ⊥平面11ABB A ， 又AB ⊂平面11ABB A ,所以AC AB ⊥.（2）由（1）可知AC ,AB ,1AA 两两垂直，分别以AC ,AB ,1AA 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图所示.由已知11111222AB AC AA A B AC =====，所以(0,0,0)A ,(0,2,0)B ,(2,0,0)C ,1(0,1,2)B ,1(0,0,2)A ，因为M 为线段BC 的中点，P 为线段1BB 的中点.所以(1,1,0)M ，3(0,,1)2P ，易知平面ABM 的一个法向量(0,0,1)m =u r ，设平面APM 的一个法向量为(,,)n x y z =r ，由00n AM n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uuu r r uu u r 得0302x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，取2y =，得(2,2,3)n =--r ， 由图可知，二面角P AM B --的大小为锐角，所以|||cos ,|17||||m n m n m n ⋅〈〉===⋅u r r u r r u r r ， 所以二面角P AM B --的余弦值为17. （3）存在点P ，使得直线1//AC 平面AMP ,设111(,,)P x y z .且1BP BB λ=uu r uuu r ,[0,1]λ∈, 则111(,2,)(0,1,2)x y z λ-=-.所以10x =，12y λ=-，12z λ=，所以(0,2,2)AP λλ=-u u u r 设平面AMP 的一个法向量为0000(,,)n x y z =u u r ，由0000n AM n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r uuu r u u r uu u r 得00000(2)20x y y z λλ+=⎧⎨-+=⎩，取01y =，得02(1,1,)2n λλ-=-u u r （0λ=不符合题意），又1(2,0,2)AC =-uuu r ，若1//AC 平面AMP ,则10AC n ⊥uuu r u u r ， 所以10220AC n λλ-⋅=--=uuu r u u r ，所以23λ=，所以存在点P ,使得直线1//AC 平面AMP . 21.在学习过程中，我们通常遇到相似的问题.（1）已知动点P 为圆222:O x y r +=外一点，过P 引圆O 的两条切线PA 、PB ，A 、B为切点，若0PA PB ⋅=uu r uu r ，求动点P 的轨迹方程；（2）若动点Q 为椭圆22:143x y M +=外一点，过Q 引椭圆M 的两条切线QC 、QD ，C 、D 为切点，若0QC QD ⋅=uu u r uuu r ，猜想动点Q 的轨迹是什么，请给出证明并求出动点Q 的轨迹方程.答案：（1）2222x y r +=；（2）动点Q 的轨迹是一个圆，点Q 的轨迹方程为227x y +=.解答：（1）由切线的性质及0PA PB ⋅=uu r uu r 可知，四边形OAPB 为正方形，所以点P 在以O 为圆心，||OP长为半径的圆上，且|||OP OA ==，进而动点P 的轨迹方程为2222x y r +=. （2）动点Q 的轨迹是一个圆，设两切线1l ，2l ，①当1l 与x 轴不垂直且不平行时，设点Q 的坐标为00(,)Q x y ，则02x ≠±，0y ≠， 设1l 的斜率为k ，则0k ≠，2l 的斜率为1k-， 1l 的方程为00()y y k x x -=-，联立22143x y +=， 得2220000(34)8()4()120k x k y kx x y kx ++-+--=，因为直线与椭圆相切，所以0∆=，得2222200008()4(34)4[()3]0k y kx k y kx --+⋅--=，化简，2222200004()(34)()(34)30k y kx k y kx k --+-++⨯=，进而2200()(34)0y kx k --+=，所以2220000(4)230x k x y k y --+-=，所以k 是方程2220000(4)230x k x y k y --+-=的一个根， 同理1k-是方程2220000(4)230x k x y k y --+-=的另一个根. 所以202031()4y k k x -⋅-=-，得22007x y +=，其中02x ≠±.②当1l x ⊥轴或1//l x 轴时，对应2//l x 轴或2l x ⊥轴，可知(2,Q ±,满足上式，综上知：点Q 轨迹方程为227x y +=.22.已知抛物线22:2(0)C x py p =>的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）长为4，椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2，且过抛物线2C 的焦点.（1）求抛物线2C 和椭圆1C 的方程；（2）过定点3(1,)2M -引直线l 交抛物线2C 于A 、B 两点（A 在B 的左侧），分别过A 、B 作抛物线2C 的切线1l ，2l ，且1l 与椭圆1C 相交于P 、Q 两点，记此时两切线1l ，2l 的交点为D .①求点D 的轨迹方程； ②设点1(0,)4E ，求EPQ ∆的面积的最大值，并求出此时D 点的坐标. 答案： （1）24x y =；2214x y +=； （2）①230x y ++=；②S D 坐标为110(,)77-. 解答：（1）∵抛物线2C 的通径长为4，∴24p =，得2p =，∴抛物线2C 的方程为24x y =， ∵抛物线2C 的焦点(0,1)在椭圆1C 上，∴211b=，得21b =.∵椭圆1C 的离心率为c e a ===24a =，∴椭圆1C 的方程为2214x y +=. （2）设2(,)4A A x A x ，2(,)4B B x B x ，其中A B x x ≠，0A x <，0B x >， ∵点A 、M 、B 三点共线， ∴2233424211A B A B x x x x --=++，∴60(*)A B A B x x x x +++=， 设切线1l 的方程为2()4A A x y k x x =-+，与抛物线方程24x y =联立消去y ， 得22440A Ax kx kx x -+-=，由0∆=，可得2A x k =，即224A A x x y x =-， 同理可得，切线2l 的方程为224B B x x y x =-， 联立两方程解得，点D 坐标为(,)24A B A B x x x x +， ①设点(,)D x y ，则2A B x x x +=，4A B x x y =，代入（*）式得，点D 的轨迹方程为：230x y ++=.②由切线1l 和椭圆1C 方程，消去y 得：22344(1)4160A A A x x x x x +-+-=， ∴321A P Q A x x x x +=+，42164(1)AP Q A x x x x -=+，∴||PQ ==， ∵点E 到切线1l的距离为22d ==，∴EPQ ∆的面积为212S ==，∴当28A x =，A x =-S有最大值为2，x=，∴点D坐标为. 此时，由（*）可得B。
辽宁师范大学附属中学高三上学期期末考试数学(文)试题Word版含答案
5 2 3辽宁师范大学附属中学高三上学期期末考试数学（文）试题Word 版含答案2017-2018学年度上学期期末考试高三试题数学（文）第I 卷（共60 分）、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的3.元代数学家朱世杰的数学名著 《算术启蒙》是中国古代代数学的通论，其中有关于“松竹5.下列函数中，既是偶函数又在区间 （0，1）上单调递减的是（ ）3x 4y 0和3x 4y 0,则该双曲线A. 5 或 543 C. A. 1 , 2 B，则三的共轭复数为（，则D 1 ,1并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等 .下图是源于C. ” （訓6.某校初三年级有［400名学生，随机抽查了 匹|名学生，测试也分钟仰卧起坐的成绩（次数），ln x将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图 •用样本估计总体，下列结论正确的是B.该校初三年级学生也分钟仰卧起坐的次数的中位数为25次也分钟仰卧起坐的次数的众数为 _24次C.该校初三年级学生D.该校初三年级学生 丄分钟仰卧起坐的次数超过 30次的人数约有80人 也分钟仰卧起坐的次数少于空次的人数约为人.7.若—，|均为锐角且刁 11 I3cos 二，cos(，sinH 2 )__1 1 14 | 21 C.耳D.丨2丨218.甲乙丙丁四名同学参加某次过关考试， 甲乙丙三个人分别去老师处问询成绩,A.老师给每个人只提供了其他三人的成绩 •然后，甲说：我们四个人中至少两人不过关；乙说：我们四人 中至多两人不过关；丙说：甲乙丁恰好有一人过关 •假设他们说的都是真的，则下列结论正确的是（）9. 一个正六棱柱的主视图（由两个边长等于［4的正方形组成）如图所示，则该六棱柱的侧视A. 116 B10.已知数列a n是公差不为0的等差数列, 3，且関，离，闔成等比数列，设图的面积为（a2第U 卷(共90 分)、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)b 01，点 | A(0 , 0) |在圆 x 2 y 2 2J ax 4 a b 0 的外部，贝|a 2b| 的范围R )，贝U 的最大值为13.若函数 2 f (x )X( x X 2)[1x 1(1 )，则匣14. 已知数列过的前也项和为应，且S n(2)n，则a16.直角梯形ABCD 中,CB CD , AD // BC△ ABD 是边长为［2］的正三角形, |P 是平面b n —1a n an 1的( )A.充分不必要条件 B•必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件12.已知三棱锥P ABC 的四个顶点都在同一个球面上,BAC ~~9^1，BC 73，PA 2庐， PA 平面ABC ，则此三棱锥外接球的表面积为() I 1615.若 a 0) B11. “0 m w 1 ，都有 f(Xj f(X 2)-，则数列叵的前mi 项和冋为 上的动点，rutw --- tutr ----- t tm-i .__. 设 AP AD AB (口,三、解答题 (本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)n (\/3sin°, cos2-)，设函数f (x) m n4 4 ----------------(1)求函数f(x)的单调增区间;(2)设△ ABC |的内角［A, B，叵］所对的边分别为叵］，冋，用，且迢，际用成等比数列, 求f(B)的取值范围18. 某中学调查了某班全部匝名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位:(1)求证：GF //平面IABE (2 )求三棱锥 E ABG 的体积.20. 已知椭圆X 2 y r 1 (|a b 01)，长轴长为 丽，冋是左焦点，［M参加书法社团 未参加书法社团参加演讲社团西未参加演讲社团(附:2n(ad be)(a b)(e d)(a e)(b d)2 ----------------------------------------------当 3.841时，有95%的把握说事件 因与⑥有关；当2 < 3.841，认为事件囚与叵］是无 关的)(2)已知既参加书法社团又参加演讲社团的囲名同学中，有 制名男同学"A , A , A , A ,A ，囘名女同学包,空,色.现从这国名男同学和3名女同学中各随机选 M 人，求△被选 中且B !位被选中的概率•19.如图，在直三棱柱|ABC AB Q ］中，回、［F 分别为I AG |、UC 的中点，［AB BC 2人)是椭圆上一点且在 a b 1—［第二象限，|MF1 国轴，|吋| 76 .(1)求椭圆标准方程;1求实数色的值；(2)若|R(X o , y。
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2017-2018学年度上学期期末考试高二试题数学（理）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 双曲线的渐近线方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由双曲线可得：即，∴双曲线的渐近线方程是故选：A2. 命题：“平面内与两个定点的距离的和等于常数的点的集合叫做椭圆”；命题：“平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数的点的集合叫做双曲线”.下列命题中正确的是（）A. 命题PB. 命题C. 命题D. 命题【答案】B【解析】命题错误，椭圆的定义中，常数必须大于两个定点的距离；命题错误，双曲线的定义中，常数必须小于两个定点的距离；∴命题为真命题，故选：B3. 若，，则，，中最大的数为（）A. B. C. D. 无法确定【答案】C【解析】∵，，∴,即,；又，（）∴最大的数为故选：C4. 对于常数、，“”是“方程的曲线是椭圆”的（）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：由方程的曲线是椭圆可得，所以“”是“方程的曲线是椭圆”的必要不充分条件考点：椭圆方程及充分条件必要条件视频5. 下列选项错误的是（）A. 命题“若，则”的逆否命题是“若，则”B. “”是“”的充分不必要条件；C. 若命题：，，则：，；D. 在命题的四种形式中，若原命题为真命题，则否命题为假命题【答案】D【解析】对于A，命题“若，则”的逆否命题是“若，则”，正确；对于B，由解得：或，∴“”是“”的充分不必要条件，正确；对于C，若命题：，，则：，，正确；对于D，在命题的四种形式中，原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，原命题与否命题关系不定，故错误；故选：D6. 在各项均为正数的等比数列中，，，则的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意，得到解得：，即，∴故选：D7. 在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得：，，故选：A8. 已知抛物线，是抛物线上一点，为焦点，一个定点，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|，∴要求|PA|+|PF|取得最小值，即求|PA|+|PD|取得最小，当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小为5﹣（﹣1）=6，故选：B点睛：利用抛物线的定义，实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化，由此可解抛物线中的最值问题。
常见的有下列两种情况：（1）将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中的垂线段最短”解决．9. 已知，分别为直线，的方向向量（，不重合），，分别为平面，的法向量（，不重合），则下列说法中：①；②；③；④，其中正确的有（）个A. B. C. D.【答案】D【解析】∵，分别为直线，的方向向量（，不重合），∴，；∵，分别为平面，的法向量（，不重合），垂直同一平面的两直线平行∴，法向量夹角与二面角的平面角相等或互补∴，故选：D10. 已知椭圆中心在原点，且一个焦点为，直线与其相交于、两点，中点的横坐标为，则此椭圆的方程是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设椭圆方程为联立方程：，整理得：,设，，则，即，化简得：，又，易得：，∴此椭圆的方程是故选：C点睛：弦中点问题解法一般为设而不求，关键是求出弦AB所在直线方程的斜率k,方法一利用点差法，列出有关弦AB的中点及弦斜率之间关系求解；方法二是直接设出斜率k，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程.11. 设，满足约束条件，且的最小值为，则（）A. B. C. 或 D. 或【答案】B【解析】试题分析：根据题中约束条件可画出可行域如下图所示，两直线交点坐标为：，又由题中可知，当时，z有最小值：，则，解得：;当时，z无最小值．故选B考点：线性规划的应用视频12. 函数的图象也是双曲线，请根据上述信息解决以下问题：若圆与曲线没有公共点，则半径的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】圆的圆心为(0,1),半径为r,设圆与曲线y=相切的切点为(m,n)，可得n=，①y=的导数为y′=−，可得切线的斜率为−，由两点的斜率公式可得⋅(−)=−1，即为n−1=m(m−1)2，②由①②可得n4−n3−n−1=0，化为(n2−n−1)(n2+1)=0，即有n2−n−1=0,解得n=或，则有或.,可得此时圆的半径r==.结合图象即可得到圆与曲线没有公共点的时候，r的范围是(0,).故选：C.点睛：圆与曲线没有公共点问题转化为找二者的临界位置问题，即圆与曲线相切的情况，明确二者的公切线，利用导数明确曲线的公切线，利用圆半径与切线垂直建立等量关系，利用点在曲线上，建立方程组即可得到切点坐标，从而问题得解.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若椭圆的短轴的一个端点与两个焦点是同一个正三角形的顶点，则这个椭圆的离心率为．【答案】【解析】∵椭圆的短轴的一个端点与两个焦点是同一个正三角形的顶点∴，即.故答案为：14. 已知四面体，，，，，则__________．【答案】5【解析】∵四面体，，，，，∴，∴.故答案为：515. 已知，，，则的最小值是__________．【答案】4【解析】试题分析：因为，根据基本不等式：，则，令，不等式转化为：，解得：，即的最小值为．考点：1.基本不等式；2.一元二次不等式．【方法点晴】本题考查的是基本不等式和解一元二次不等式，属于中档题．首先利用基本不等式建立与的关系，将其代入已知条件，转化为：，即关于的一元二次不等式，利用换元法，令，转化为关于的一元二次不等式：，此时一定注意的取值范围，否则容易出错，解不等式即可．视频16. 已知各项均为正数的数列的前项和为，若，，则数列的通项公式为________．【答案】【解析】由,得a1=S1=1，由，得4=(+)2，又a n>0，∴2S n=+,即S n=a n+1，当n⩾2时,=a n，两式作差得：a n=a n+1−a n,即=2，又由S1=1, ,求得a2=1，∴当n⩾2时,a n=.验证n=1时不成立，∴，三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在等差数列中，，（1）求数列的通项公式；（2）设（），（），求【答案】(1) (2)...........................（2）．利用裂项相消求和方法即可得出．试题解析：(1)设的公差为，由题意得解得得（2）∵=18. 如图，已知正方体的棱长为，，，，分别是棱，，，的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与所成的角.【答案】(1)见解析(2)【解析】试题分析：（1）建立空间直角坐标系，由，即可证明平面；（2）在空间坐标系中求出，的坐标，利用公式即可得到直线与所成的角.试题解析：（1）证明：以为原点，建立空间直角坐标系由已知条件可得，，，，，，，又有平面所以平面（其它证法酌情给分，但要注意“平面”）（2）如（1）问建系，，，所以即求直线与所成的角点睛：求空间两条异面直线所成角的大小是立体几何中最为常见的基本题型之一。
这类问题的求解一般有两条途径：其一是平移其中的一条直线或两条直线，将其转化为共面直线所成角，然后再构造三角形，通过解三角形来获得答案；其二是建立空间直角坐标系，借助空间向量的数量积公式，求出两向量的夹角的大小来获解。
19. 在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于、两点.（1）求证：“如果直线过点，那么”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由.【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】试题分析：（1）设出A，B两点的坐标根据向量的点乘运算求证即可，（2）把（1）中题设和结论变换位置然后设出A，B两点的坐标根据向量运算求证即可．试题解析：证明：（1）设过点的直线交抛物线于点，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，直线与抛物线相交于点、，∴当直线的斜率存在时，设直线的方程为，其中由得，则又∵，，∴综上所述，命题“如果直线过点，那么”是真命题.（2）逆命题是：设直线交抛物线于、两点，如果，那么直线过点，该命题是假命题.例如：取抛物线上的点，.此时直线的方程为，而不在直线上.20. 如图，在直角梯形中，，，.直角梯形通过直角梯形以直线为轴旋转得到，且使平面平面.为线段的中点，为线段上的动点.（1）求证：；（2）当点是线段中点时，求二面角的余弦值；（3）是否存在点，使得直线平面？请说明理由.【答案】(1)见解析(2) （3）存在点，使得直线平面【解析】试题分析：（Ⅰ）由平面平面.．推出平面．即可证明．（Ⅱ）以AC，AB，AA1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求出平面ABM的一个法向量，平面APM的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角P﹣AM﹣B的余弦值．（Ⅲ）存在点P，使得直线A1C∥平面AMP．设P（x1，y1，z1），求出平面AMP的一个法向量，求出，利用．求出λ，即可证明结果．试题解析：（1）由已知，平面平面平面，平面平面所以平面又平面所以（2）由（1）可知，，两两垂直.分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示.由已知所以，，，，因为为线段的中点，为线段的中点.所以，易知平面的一个法向量设平面的一个法向量为由得取，得由图可知，二面角的大小为锐角，所以所以二面角的余弦值为（3）存在点，使得直线平面设，且，，则所以，，.所以设平面的一个法向量为，由得取，得（不符合题意）又若平面，则所以，所以所以存在点，使得直线平面21. 在学习过程中，我们通常遇到相似的问题.（1）已知动点为圆：外一点，过引圆的两条切线、.、为切点，若，求动点的轨迹方程；（2）若动点为椭圆：外一点，过引椭圆的两条切线、.、为切点，若，猜想动点的轨迹是什么，请给出证明并求出动点的轨迹方程.【答案】(1) (2) 动点的轨迹是一个圆，点的轨迹方程为【解析】试题分析：（1）由切线的性质及可知，四边形OAPB为正方形，所以点P在以O为圆心，|OP|长为半径的圆上，进而可得动点P的轨迹方程；（2）设两切线为l1，l2，分当l1与x轴不垂直且不平行时，和当l1与x轴垂直或平行时两种情况，结合，可得动点Q的轨迹方程；试题解析：（1）由切线的性质及可知，四边形为正方形所以点在以为圆心，长为半径的圆上，且进而动点的轨迹方程为（2）动点的轨迹是一个圆设两切线，①当与轴不垂直且不平行时，设点的坐标为，则设的斜率为，则，的斜率为，的方程为，联立得因为直线与椭圆相切，所以，得，化简，进而所以所以是方程的一个根.同理是方程的另一个根.所以，得，其中②当轴或轴时，对应轴或轴，可知，满足上式，综上知：点的轨迹方程为22. 已知抛物线：（）的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）长为，椭圆：（）的离心率为，且过抛物线的焦点.（1）求抛物线和椭圆的方程；（2）过定点引直线交抛物线于、两点（在的左侧），分别过、作抛物线的切线，，且与椭圆相交于、两点，记此时两切线，的交点为.①求点的轨迹方程；②设点，求的面积的最大值，并求出此时点的坐标.【答案】(1) (2)①②有最大值为点坐标为【解析】试题分析：1）由抛物线C2：x2=2py（p＞0）的通径长为4，得p=2，由此能求出抛物线C2的方程．由题意C2焦点坐标为（0，1），，由此能求出椭圆C1的方程．（2）①设，，由点、、三点共线得，设切线的方程为，与抛物线方程联立消去，得，可得，即，同理可得，切线的方程为联立两方程解得，点坐标为)，由此能求出点C的轨迹方程．②设l1与椭圆方程联立，得：，由此利用韦达定理和根的判别式结合已和条件能求出△DPQ的面积的最大值和此时点C的坐标．试题解析：（1）∵抛物线的通径长为∴，得∴抛物线的方程为∵抛物线的焦点在椭圆上∴，得∵椭圆的离心率为∴∴椭圆的方程为（2）设，其中，，∵点、、三点共线∴∴（*）设切线的方程为，与抛物线方程联立消去，得，由，可得即同理可得，切线的方程为联立两方程解得，点坐标为①设点，则，代入（*）式得，点的轨迹方程为：②由切线和椭圆方程，消去得：，∴，∴，∵点到切线的距离为∴的面积为∴当，时，有最大值为此时，由（*）可得∴点坐标为点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．。