高中数学人教A版必修5解读与教学建议
人教A版高中数学《必修5第一章解三角形》单元教材教学分析
第一课时：1.1.1正弦定理
通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
第二课时：1.1.2余弦定理
掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
第三课时：1.2解三角形应用举例（一）
学数学的最终目的是应用数学，而如今比较突出的两个问题是，学生应用数学的意识不强，创造能力较弱。学生往往不能把实际问题抽象成数学问题，不能把所学的数学知识应用到实际问题中去，对所学数学知识的实际背景了解不多，虽然学生机械地模仿一些常见数学问题解法的能力较强，但当面临一种新的问题时却办法不多，对于诸如观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题、解决问题的科学思维方法了解不够。针对这些实际情况，本章重视从实际问题出发，引入数学课题，最后把数学知识应用于实际问题。
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语
第四课时：1.2解三角形应用举例（二）
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题
说明
1．要在本章的教学中，应该根据教学实际，启发学生不断提出问题，研究问题。在对于正弦定理和余弦定理的证明的探究过程中，应该因势利导，根据具体教学过程中学生思考问题的方向来启发学生得到自己对于定理的证明。如对于正弦定理，可以启发得到有应用向量方法的证明，对于余弦定理则可以启发得到三角方法和解析的方法。在应用两个定理解决有关的解三角形和测量问题的过程中，一个问题也常常有多种不同的解决方案，应该鼓励学生提出自己的解决办法，并对于不同的方法进行必要的分析和比较。对于一些常见的测量问题甚至可以鼓励学生设计应用的程序，得到在实际中可以直接应用的算法。
【高中数学说课稿】人教A版数学必修5《一元二次不等式的解法(第一课时)》说课稿
一元二次不等式的解法（第一课时）说课稿
一、教材分析
１、教学内容
本节课是人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修５第三章第二节《一元二次不等式及其解法》第１课时。
２、教材地位和作用
从内容上看它是我们初中学过的一元一次不等式的延伸，同时它也与一元二次方程、二次函数之间联系紧密，涉及的知识面较多。
从思想层面看，本节课突出本现了数形结合思想。
同时一元二次不等式是解决函数定义域、值域等问题的重要工具，因此本节课在整个中学数学中具有较重要的地位和作用。
３、教学目标
知识目标：正确理解一元二次不等式、一元二次方程、二次函数的关系。
熟练掌握一元二次不等式的解法。
能力目标：培养数形结合思想、抽象思维能力和形象思维能力。
思想目标：在教学中渗透由具体到抽象，由特殊到一般，类比猜想、等价转化的数学思想方法。
情感目标：通过具体情境，使学生体验数学与实践的紧密联系，感受数学魅力，激发学生求知欲望。
４、重难点
重点：一元二次不等式的解法。
难点：一元二次方程，一元二次不等式与二次函数的关系。
二、教法探讨
１、选择教法的原则和依据
根据学生的原有知识和现有的认知规律，以发展学生的能力和应试水平为原则。
２、教法选择
探究、启发诱导法，分层教学法。
重点以引导学生为主，让学生积极主动的参与到新知识的探究中去。
三、学法分析
结合本节内容和学生实际，适当引入研究性学习，采用讲练结合方法，通过阅读发现问题，分析探索，合作交流最终形成技能。
使学生在观察、思考、交流中体验数学学习的乐趣。
高二数学人教A版必修5教学教案1-1-1正弦定理(2)_1
正弦定理一、教学内容的分析“正弦定理”是人教A版必修五第一章第一节的主要内容。
其主要任务是引入并证明正弦定理．做好正弦定理的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且能培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力．二、学生学习情况分析在初中学生已经学习过关于任意三角形中大边对大角、小边对小角的边角关系，本节内容是处理任意三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系有着密切的联系；这里的一个重要问题是：是否能得到这个边、角关系准确量化的表示．也就是如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题．这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构．三、设计思想培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要前提，是高中新课程改革的主要任务。
这就要求教师在教学中引导学生在一定的情境中，运用已有的学习经验，并通过与他人（在教师指导和学习伙伴的帮助下）协作，主动建构而获得知识。
所以本节课的教学将以学生为中心，视学生为认知的主体，教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。
四、三维目标1、知识与技能通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及证明方法，并能解决一些简单的三角形问题。
2、过程与方法通过对特殊三角形边长和角度关系的探索，发现正弦定理，初步学会用特殊到一般的思想方法发现数学规律。
3、情感态度与价值观通过生活实例的探究引出正弦定理，体现数学来源于生活，并应用于生活，激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值。
五、教学重难点重点：正弦定理的证明及其基本运用．难点：（1）正弦定理的探索和证明；（2）已知两边和其中一边的对角解三角形时，判断解的个a cb O B C A 数．六、教学过程设计（一）新课导入如图，河流两岸有A 、B 两村庄，有人说利用测角器与直尺，不过河也可以得到A 、B 两地的距离(假设现在的位置是A 点)，请同学们讨论设计一个方案解决这个问题。
普通高中新课程数学学科《必修5》的教学建议
普通高中新课程数学学科《必修5》的教学建议在本模板中，学生将学习解三角形、数列、不等式．对教材习题要求，“感受·理解”部分是基本要求，“思考·运用”部分，教师可以根据教学需要与学生实际进行选择，“探究·拓展”部分，在高一、高二阶段不作统一要求，只是供学有余力的学生选用．第1章解三角形一、课标要求学生将在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系，并认识到运用它们可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．内容与要求：解三角形（约8课时）（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．二、教材分析解三角形是在学习了三角函数与平面向量的基础上，对任意三角形的边长和角度关系作进一步的探索和研究．正弦定理和余弦定理的证明让学生经历了运用向量工具解决三角形的度量问题的过程，从而为运用向量解决几何度量问题奠定基础．围绕本章的教育目标，教材注重数学知识的应用性，体现学以致用的原则，让学生自主体验数学在解决问题中的作用，提高学生的分析问题和解决问题的能力，培养数学应用意识；注重数学内部不同分支之间的联系、数学与日常生活的联系、数学与其他学科的联系，从而提高学生对数学的整体认识，体现数学的文化价值．本章设计中强调了信息技术在探索问题中的作用，如正弦定理的探索和验证、使用计算器进行近似计算等，一方面，学生借助信息技术手段去探索数学规律，从事一些富有探索性和创造性的数学活动，可以培养学生的探索精神和创新精神；另一方面，借助计算器可以解决计算量大的问题，也可以根据实际需要进行近似计算，有利于激发学生学习数学的兴趣．教学中教师注意把握下列几方面的问题：1．充分利用教材中的引言，介绍本章所蕴涵的数学文化背景，激发学生的学习兴趣．2．注重知识形成的过程，通过从特殊到一般，再从一般到特殊的过程，引导学生从猜想、验证，到证明等环节自主探究，从而培养学生的探究精神和探究能力，培养学生良好的学习习惯．让学生在学习数学和运用数学解决问题的过程中，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断，增强学生的应用意识，有利于拓展学生的视野，并在形成理性思维中发挥着独特的作用．教学中切忌教师包办代替．3．重视课本内容的教学，强化课本例题的教学功能，不要在恒等变形上进行过于烦琐的训练．重点引导学生体验数学在解决问题中的作用，感受数学与日常生活及其他学科的联系，发展数学应用意识，提高实践能力．4．教学形式灵活多样，不只限于让学生接受、记忆、模仿和练习，而要引导学生独立思考，尊重学生的学习主体地位，倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学；课堂教学应运用多媒体手段辅助教学，引导学生归纳猜想，培养学生的归纳概括能力；课外活动应针对正弦定理、余弦定理的实用性，设计一些研究性、开放性题材，让学生自行探索解决，也可以由学生在课外自行寻找研究性、应用性的题目去做，写出研究或实验报告，培养学生的实践能力和数学建模能力，同时还可以引导学生尝试用向量的方法去解决三角形的度量问题．5．注意挖掘课本习题中探究拓展题对培养学生能力的功能．与以往的教材相比，新教材增添了探究拓展题，目的是通过学生的自主探究，发现规律，让学生体验数学的发现和创造过程，培养学生“数学探究”意识和创新意识．6．从正弦定理和余弦定理的推导过程，以及对公式结构特征的分析，引导学生领会数学的美育价值．三、教学建议章头图、引言章头图展示了埃及金字塔的壮丽景色，从人类智慧的结晶、文明的传承到本章数学内容的呈现均蕴涵在这一主题背景之中．引言进一步“由远而近”地提出本章的中心问题：①“三角形的边角之间存在怎样的关系？”②“如何利用这些关系解决实际问题？”这就是本章数学知识与方法的生长点．解三角形全章教学引言可借助教材中的介绍来介绍解三角形的的历史及在人类发展史上的作用，一方面避免学生在学习过程对全章认识比较枯燥，另一方面让学生接受数学文化的熏陶．充分利用教材中的引言，介绍本章所蕴涵的数学文化背景，激发学生的学习兴趣．1．1 正弦定理1．第一节是“正弦定理”．教材首先由学生熟悉的直角三角形中的边角关系得出正弦定理的形式，提出问题：“对任意三角形也成立吗?”，然后进行猜想，接着进行验证．猜想对于任意三角形该结论也成立，然后引导学生按不同的思路尝试证明正弦定理．这一过程与以往教材的设计不同，它有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“发现”过程，从而培养学生的“数学探究”能力，体现了由特殊到一般的思维规律．2．教学中要鼓励学生大胆猜想，对于猜想的验证可在几何画板上进行（如果不具备条件的话也可通过纸笔或计算器来计算），建议此时不要采用现成的，而是采用从无到有操作，逐步度量计算，让学生通过验证感受到：对任意三角形，都有sin sin sin a b c A B C==，同时让学生感受到验证的真实性，发挥几何画板的工具性，而不是展示性，同时无形中强化了对正弦定理的认识．教学时强调，上面的验证不能代替证明．如何进行证明，可组织学生进行讨论，由学生给出证明思路．证法1关于证明过程的作高可以引导学生从正弦定理的变形bsinC=csinB 上联想，引导学生发现bsinC 与csinB 在三角形中的几何含义是a 上的高．通过作BC 边上的高AD 将任意三角形中的边角关系转化为直角三角形中的边角关系，由于垂足D 的位置不同，所以要分类讨论．证法2是用向量方法证明的．这是因为在向量的数量积中，由向量的投影可产生三角函数，从而得到相应的边角关系．证明的关键是将向量等式转化为数量等式．关于正弦定理的证明课堂不宜过多展开，可结合第5页中提示作为学生研究性课题．3．教材例2解决了“已知两边与其中一边所对的角，求另一边所对的角”问题，教学中仅要求学生掌握例2中的两种解的情况，也可以让学生利用“大边对大角”判断．实际教学中采用教材判断方法，学生往往对无法求出特殊角时忽略判断解的个数，所以建议利用“大边对大角”判断，对于课本中探究问题的情况不要求掌握，层次高的学生可作为探究性课题提出，让学生进行探索：当A 分别为直角、钝角时，若a>b 、a=b 、a<b ，则三角形解的情况分别是怎样的呢？实际上，这是根据给定条件来判定能否确定三角形的问题．5．对于利用正弦定理，解决两类解斜三角形的两种类型要结合正弦定理公式来认识．6．第9页的例3是正弦定理在高度测量问题中的应用，教学时应引导学生寻找与分析条件和结论所涉及的三角形中的边角关系．正弦定理应用中可以引入测量性的实际问题，但考虑学生对应用题的薄弱与恐惧感，建议难度要低，阅读量要少．7．例4是关于三角形形状判断的问题，判断三角形形状，通常是指等腰三角形、等边三角形、直角三角形或等腰直角三角形等特殊三角形．教学时应引导学生运用正弦定理将三角形中边的关系与角的关系相互转化．8．例5是平面几何中的三角形内角平分线定理，教学时通过分析指出，解题的关键是运用正弦定理将线段之比转化成三角函数之比．可以建议学生课后去探求和证明外角平分线定理，给学生创设活动空间．9．对于公式2sin sin sin a b c R A B C===，仅要求学生感受到2R 作为常数k 存在，不需要理解2R 的含义，也不需要证明，但要求学生能理解并利用上述公式进行边角转化，如练习2、3． 10．关于习题中出现的面积公式1sin 2ABC S ab C ∆=要求学生了解公式，并能利用公式求已知两边和夹角的三角形面积，不要求进行灵活运用，也不需要借助面积公式解题．1．2 余弦定理1．第二节是“余弦定理”．教材通过向量的数量积将向量等式化为数量等式，得出余弦定理，体现了向量方法在解三角形中的作用，也让学生进一步感受了数学的和谐美．2．教材先引导学生回顾用向量的数量积证明正弦定理的方法，然后提出还能有其它方法将向量等式BC → =BA → + AC →数量化吗？从而通过研究得出任一三角形的三边及其一角之间的关系，即余弦定理．教学时应重点在如何将向量等式BC → = BA → + AC →数量化上下功夫．教学时指出，由于cos900=，所以余弦定理可以看成是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．3．关于余弦定理的证明，可参照探究·拓展中12题，做为研究性课题，注意到学生在证明过程中对B 的坐标（ccos α，bsin α）理解的上的误区．4．第14页的例3表明，要判断角C 是锐角或钝角，只须判断22a b +与2c 的大小．5．第15页的例4是余弦定理在航运问题中的应用，教学时应引导学生将两个向量加法的问题转化为△ABC中的边角关系．对于航行问题学生在物理中有所涉及，但物理中仅限于直角三角形，而数学进行推广到任意三角形，让学生体会向量在物理中的应用．6．例5是关于三角形形状判断的问题，三角形的形状通常分为等腰三角形、等边三角形、直角三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等．为此，要分析三角形中边、角的大小关系，除了应用“内角和是180°”、“大边对大角”之外，常用正弦定理进行边角转化，揭示出边与边，或角与角的关系，或求出角的大小，从而作出正确的判断．7．第16页的例6是三角形的中线长公式，教学时可引导学生分析等式的结构，联想余弦定理，寻找证明等式的方法．例6是习题中第8题中的一个推广．8．习题第7题证明用余弦定理并不是最简洁的方法． 1．3 正弦定理、余弦定理的应用1．第三节是“正弦定理、余弦定理的应用”．教材通过具体实例体现解三角形在测量学、运动学、力学等领域的应用，以及正弦定理、余弦定理在几何证明与计算、最值探求等方面的应用．2．解决有关测量、航海、力学等问题时的一般步骤是：①分析：理解题意，画出示意图，分清已知和所求，尤其要理解应用题中有关名词和术语，如坡度、仰角、俯角、方位角、北偏东、南偏西、视角等．②建模：根据已知条件与求解目标，用数学语言（符号语言、图形语言）表示已知条件、未知条件及其关系，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型．③求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解．④检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．3．正弦定理、余弦定理在许多领域都有着广泛的应用，教学时可以根据学生实际情况适当增加一些应用的范例，建议所增加范例尽量应用特殊角，避免使用计算器．4．例1中AB 可以看成是△ABC 或△ABD 的一边，为此，需求出AC 、BC 或AD 、BD ，所以可考察△ADC和△BDC ，根据已知条件和正弦定理来求AC 、BC ，再由余弦定理求AB ．教师也可引导学生寻求多种方法．例1可作如下引申：如果A ，B 两点分别在河的两岸（不可直达），试设计一种测量A ，B 两点距离的方法．例1也可结合探究·拓展第8题和实习作业，提出各种实际情境，采取各种测量方案，分析各种方案的利弊．如：情境1：假设你作为桥梁设计工程师，在一条河流上建一座桥，需测量河流的宽度，请设计一套方案来测量河流的宽度，其中能用的仪器为经纬仪（在可视范围内测量两直线夹角）和地形平坦的距离较短的两地间长度？情境2：如果A 、B 两地间有一座小山挡住了视线，寻求什么方案来解决桥的长度？情境3：如果此地的山连绵不断，使观测者无法同时观测到A 、B 两点，那么寻求怎样的方案解决呢？5．例2是正弦定理、余弦定理在航海问题中的综合应用．因为舰艇从A 到B 与渔轮从C 到B 的时间相同，所以根据余弦定理可求出该时间，从而求出AB 和BC ；再根据正弦定理求出∠BAC ．6．例3是正弦定理、余弦定理在力学问题中的应用，教学时可作如下分析：由图，根据余弦定理可求出OF ，再根据正弦定理求出∠F 1OF ．7．例4教学时应引导学生分析得到四边形OACB 的面积随着∠AOB =α的变化而变化．这样将四边形OACB的面积表示成α的函数，利用三角函数的有界性求出四边形OACB 面积的最大值．考虑例4难度太高，层次较弱的学校可不讲．8．练习3、4要求偏高，需要很强的空间想象能力，学生对此很难理解，建议层次较低学校不做要求．9．习题1．3中第2、4题可以结合习题1．1中3、4，将此问题归结为一类问题，并探讨多种方法，学生在解题过程中一般用5tan tan MC MC MAC MBC-=∠∠求解． 10．第24页复习题中第6题涉及利用基本不等式，应去掉．第二章 数列一、课标要求：数列作为一种特殊的函数，是刻画离散现象基本数学模型．在本模块中，学生将通过对日常生活中大量实际问题如存款利息、购房贷款、资产折旧的分析，建立等差数列和等比数列这两种数列模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受这两种数列模型的广泛应用，并利用它们解决一些实际问题．数列在数学中占有重要的地位，学习数列知识对进一步理解函数的概念和体会数学的应用价值具有十分重要的意义．内容与要求：数列（约12课时）（1）数列的概念和简单表示法通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊函数．（2）等差数列、等比数列①通过实例，理解等差数列、等比数列的概念．②探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n 项和的公式．③能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．④体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系．等差数列和等比数列有着广泛的应用，教学中应重视通过具体实例（如教育贷款、购房贷款、放射性物质的衰变、人口增长等），使学生理解这两种数列模型的作用，培养学生从实际问题中抽象出数列模型的能力．在数列的教学中，应保证基本技能的训练，引导学生通过必要的练习，掌握数列中各量之间的基本关系．但训练要控制难度和复杂程度．二、教材分析：数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型．本章中，我们将通过对日常生活中大量的实际问题的分析，建立等差数列和等比数列这两种数列模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受这两种数列模型的广泛应用，并利用它们解决一些实际问题．通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式），了解数列是一种特殊的函数；通过实例，理解等差数列、等比数列的概念；探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n 项和的公式．在公式的推导过程中，通过观察、实验、猜测、归纳、类比、抽象、概括等过程，经过反思、交流，培养学生观察分析、探索、归纳的能力，体会特殊到一般，一般到特殊的思想方法；体会等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系；能在具体问题情境中，发现等差、等比数列模型，并能用有关知识解决相应的问题；通过建立数列模型，以及应用数列模型解决实际问题的过程，培养学生数学地提出、分析、解决问题的能力，提高学生的基本数学素养，为后续的学习奠定良好的数学基础．数列教学中要注重应用，关注学生对数列模型的本质的理解，以及运用数列模型解决实际问题的能力。
高中数学第一章解三角形教学设计新人教A版必修5
（新课标）高中数学第一章解三角形教学设计新人教A版必修5从容说课本章主要学习了正弦定理和余弦定理、应用举例以及实习作业．正弦定理、余弦定理是反映三角形边、角关系的重要定理．利用正弦定理、余弦定理，可以将三角形中的边的关系与角的关系进行相互转化，许多几何问题也可以转化为解三角形的问题来研究．本节课是人教版数学必修五第一章解三角形的全章复习.教学重点1.在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形.2.三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用.3.正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用．教学难点定理及有关性质的综合运用．教具准备多媒体投影仪三维目标一、知识与技能1.掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形确良；2.三角形各种类型的判定方法；3.三角形面积定理的应用.二、过程与方法通过引导学生分析，解答典型例题，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题．三、情感态度与价值观通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系．教学过程导入新课师本章我们共学习了哪些内容？生 本章我们学习了正弦定理与余弦定理. 师 你能讲出正弦定理、余弦定理的具体内容吗？生 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即R CcB b A a 2sin sin sin ===； 余弦定理: a 2=b 2+c 2-2bcco s A ，b 2=a 2+c 2-2acco s B ， c 2=b 2+a 2-2baco s C ;abc b a C ac b c a cisB bc a c b A 2cos ,2,2cos 222222222-+=-+=-+=.师 很好！哪位同学来说说运用正弦定理、余弦定理可以解决哪些类型的问题？ 生 正弦定理可以解决以下两类问题：（1）已知两角和一边解三角形；（2）已知两边及其中一边的对角解三角形.余弦定理可以解决以下两类问题:(1)已知三边解三角形；（2）已知两边及其夹角解三角形.生 老师，我来补充.利用正弦定理的解题的类型（1）在有解时只有一解，类型（2）可有解、一解和无解；利用余弦定理的解题的两种类型有解时只有一解. 师 very good ！除了以上这些，我们还学习了什么？ 生 除了正弦定理、余弦定理我们还学习了三角形面积公式：C ab B ac A bc S sin 21sin 21sin 21===C ，利用它我们可以解决已知两边及其夹角求三角形的面积.师 你说的非常完善，你是我们全班同学学习的榜样.希望我们全班同学都向他学习.推进新课 多媒体投影解斜三角形时可用的定理公式 适用类型 备注余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A b 2=a 2+c 2-2ac cos B c 2=b 2+a 2-2ba cos C(1) 已知三边 （2）已知两边及其夹角类型（1）（2）有解时只有一解正弦定理（3）已知两角和一边类型（3）在有解时只有一解，类型（4）可有解、一解和无R CcB b A a 2sin sin sin === （4）已知两边及其中一边的对角解三角形面积公式S ＝21bc sin A =21ac sin B =21ab sin C(5)已知两边及其夹角生 老师，我也来补充.利用正弦定理、余弦定理我们还可以解决实际生活中的一些问题:有关测量距离、高度、角度的问题．师 看来同学们对解三角形这一章掌握得都不错．下面，我们来看一下例题与练习． ［例题剖析］【例１】在△ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A 与B 的大小关系为_________. 生 这个题目以前做过的，A 与B 的大小关系不定． 师 对吗？生 我认为不对．我以前做过的题目中没有“在△ABC 中”这个条件． （其他学生一致认可） 师 那本题应该怎么做呢？生 我觉得答案应该是A ＞B ，但是理由我说不上来． 生 我来说．因为在△ABC 中，由正弦定理得R CcB b A a 2sin sin sin ===,所以 a =2Rsin A ,B =2Rsin B .又因为sin A ＞sin B ，所以A ＞B ． 又因为在三角形中，大边对大角，所以A ＞B ． 师 好，你解得非常正确．【例２】在△ABC 中，若△ABC 的面积为S ，且2S=(a +b )2-C 2，求t a n C 的值． 师 拿到题目你怎么考虑，从哪里下手？生 利用三角形的面积公式，代入已知条件2S=(A +B )2-C 2中，再化简. 师 用面积公式S=21 bc in A =21ac sin B =21ab sin C 中的哪一个呢？ 生 用哪一个都可以吧. 生 不对，应该先化简等式右边，得(A +B )2-C 2=A 2+2AB +B 2-C 2，出现了A 与B 的乘积：AB ，而2abco s C =a 2+b 2-c 2，因此面积公式应该用S=21ab sin C ，代入等式得 ab sin C =a 2+b 2+2ab -C 2=2ab -2abco s C .化简得tan 2C=2．从而有344142tan12tan2tan2-=-=-=CCC．师思路非常清晰，请同学们思考本题共涉及到了哪些知识点？生正弦定理、余弦定理与三角形面积公式．生还有余切的二倍角公式．师你能总结这类题目的解题思路吗？生拿到题目不能盲目下手，应该先找到解题切入口．师对，你讲得很好．生正弦定理、余弦定理都要试试．【例3】将一块圆心角为120°，半径为20 c m的扇形铁片裁成一块矩形，有如图（1）、（2）的两种裁法：让矩形一边在扇形的一条半径OA上，或让矩形一边与弦AB平行，请问哪种裁法能得到最大面积的矩形？并求出这个最大值.师本题是应用题，怎么处理？生由实际问题抽象出数学模型，找到相应的数学知识来解决.分析:这是一个如何下料的问题，从图形的特点来看，涉及到线段的长度和角度，将这些量放置在三角形中，通过解三角形求出矩形的边长，再计算出两种方案所得矩形的最大面积，加以比较，就可以得出问题的结论.解：按图（1）的裁法：矩形的一边O P在OA上，顶点M在圆弧上，设∠M OA=θ，则|MP|=20sinθ,|OP|=20co sθ,从而S=400sinθco sθ=200sin2θ，即当4πθ=时，S m a x=200.按图（2）的裁法：矩形的一边PQ与弦AB平行，设∠M O Q=θ，在△M O Q中，∠O QM=90°+30°=120°,由正弦定理，得|MQ|=θθsin2340120sinsin20=︒.又因为|MN |=2|OM |sin(60°-θ)，=40sin(60°-θ),所以 S=|MQ |·|MN |=331600sinθsin(60°-θ)=331600｛-21［co s60°-co s(2θ-60°)］｝=33800［cos(2θ-60°)-co s60°］. 所以当θ=30°时，S m a x =33400. 由于33400＞200，所以用第二种裁法可裁得面积最大的矩形，最大面积为33400c m 2. 评注:正弦定理、余弦定理在测量（角度、距离）、合理下料、设计规划等方面有广泛应用.从解题过程来看，关键是要找出或设出角度，实质是解斜三角形，将问题涉及的有关量集中在某一个或者几个三角形中，灵活地运用正弦定理、余弦定理来加以解决.【例4】如果一个三角形的三边是连续的三个自然数，求所有这些三角形中的最大角的度数．（精确到°） 师 已知什么，要求什么？生（齐答）已知三角形的三边，要求三角形中的角． 师 怎么处理呢？生用正弦定理或余弦定理实现三角形中边与角的转化，可是三条边的值不知道啊． 生条件中三角形的三边是连续的三个自然数，那么我们可以设这三个连续的自然数为n-1，n ，n+1，最大的角为θ，则)1(2321)1(24)1(2)1()1(cos 2222--=--=-+--+=n n n n n n n n n n θ.师 接下来怎么做呢？生 因为co sθ是［0°,180°］内的减函数，所以要求θ的最大值即求co sθ的最小值． 师cosθ的最小值怎么求呢？ 生 因为cosθ＞－１，从而有)1(2321--n ＞-1)1(23-⇒n ＜23n-1＞1⇒n ＞2. 又因为n 为自然数，所以当n=3时，（cosθ）min =-41，所以θ的最大值为°． （教师用多媒体投影）解：设这三个连续的自然数为n-1，n ，n+1，最大的角为θ，则)1(2321)1(24)1(2)1()1(cos 2222--=--=-+--+=n n n n n n n n n n θ.因为cosθ是［0°,180°］内的减函数，所以要求θ的最大值即求co s θ的最小值，且cosθ＞－１，从而有)1(2321--n ＞-1)1(23-⇒n ＜⇒23n-1＞1⇒n ＞2． 因此，当n=3时，（cosθ）min =-41，所以θ的最大值为°． 师 下面我们来看一组练习 多媒体投影1.在△ABC 中，若A =30°,B =45°,C =6，则A 等于（ ） A.26- B.26(2-C.)26(3-D.)26(4-2.在△ABC 中，若a =7,b =4,c =5, 则△ABC 的面积为（精确到0.１）（ ） A ．7B ．C ．D ． 3.某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离D 1与第二辆车与第三辆车的距离D 2之间的关系为（ ） ＞d 2=d 2 ＜d 2 D.大小确定不了4.在△ABC 中，若A ·co t A =bco t B ，则△ABC 是_______三角形．5.在异面直线A ,B 上有两点M 、N ，EF 是直线A ,B 的公垂线段，若EM ＝５，EF ＝３，FN ＝４，MN ＝６，则异面直线A ,B 所成的角为___________．（精确到1°） 练习题答案：4.等腰°课堂小结同学们本节课你的收获是什么？生 正弦定理、余弦定理都是联系三角形边和角的关系式.生 凡是可用正弦定理的时候，都可以用余弦定理；当关系式中有边的平方项时，可以考虑余弦定理.生 已知两边一对角求解三角形时用余弦定理讨论二次方程，更容易判断是无解、一解还是两解的问题.生 利用正弦定理和余弦定理解决几何问题的关键还是在于找出图形中的边角关系，然后假设有关的边和角，利用正弦定理和余弦定理建立边或角的关系式.生 在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解.其基本步骤是: （1）分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图（一个或几个三角形）；（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；（3）求解：利用正弦定理、余弦定理解这些三角形，求得数学模型的解； （4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.布置作业1.已知锐角三角形的三边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是__________．2.在△ABC 中，已知t a n A =21,t a n B =31，试求最长边与最短边的比． 3.某人坐在火车上看风景，他看见远处有一座宝塔在与火车前进方向成30°角的直线上，1分钟后，他看见宝塔在与火车前进方向成45°角的直线上，设火车的速度是100 km/h ，求宝塔离开铁路线的垂直距离． 答案：1.(5,13)2.解：因为t a n A =21,t a n B =31，所以1312113121tan tan 1tan tan )tan(=•-+=-+=+BA B A B A ． 因为0°＜A ＜45°，0°＜B ＜45°，所以A +B = 45°． 所以3510103135sin sin sin =︒==B C b c ，所以最长边与最短边的比为35． ３.解：如图，设宝塔在C 点，先看时的位置为A ，再看时的位置为B ，由题意知∠BAC =45°-30°=15°,AB =3560100=（km ），AC =)13(3513515sin 53sin sin +=︒︒=∠•∠=ABC BCA AB AC ,所以C 点到直线AB 的距离为d =AC ·sin30°=65(3+1)（km ）．板书设计 本章复习例1 例3 例2 例4(投影区)备课资料解三角形三角形的三条边和三个内角是三角形的六个基本元素．已知其中的三个基本元素(至少有一个是边)求其余的基本元素叫做解三角形． 1.直角三角形的解法因为直角三角形中有一个是直角，例如△ABC 中，C ＝90°，角A 、B 、C 的对边分别是A 、B 、C ．那么利用以下关系式：（1）A +B =90°；（2）A 2＋B 2=C 2；（3）A =c sin A =cco s B ＝B ·t a n A ；（4）B =cco s A =c sin B =acxtana ． 可分四种情况来解直角三角形． （1）已知斜边和一锐角； （2）已知一条直角边和一锐角； （3）已知一斜边和一直角边； （4）已知两条直角边． 2.斜三角形的解法在一个三角形中，如果没有一个角是直角，那么这个三角形叫做斜三角形．斜三角形的解法可分以下四种情况：（1）已知两角和一边；（2）已知两边和其中一边的对角；（3）已知两边和它们的夹角；（4）已知三边．解斜三角形常常利用以下基本关系式： 1．三角形内角和为180°，即A ＋B ＋C =180°； 2．正弦定理，即R CcB b A a 2sin sin sin ===3．余弦定理，即(1)⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=;cos cos ,cos cos ,cos cos B a A b c A c C a b C b B c a(2)⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=-+=C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2,cos 2222222222一般地说，在已知两边和其中一边的对角的情况下，解三角形时，问题不一定有解，如果有解也不一定有唯一解．对这类问题进行讨论，可得如下结论．90°≤A ＜180°0°＜A ＜90°a ＞b 一解 一解 a =b 无解 一解a ＜b无解A ＞B sin A A =B sin A A ＜B sin A两解 一解 无解。
高一必修五教材分析与教学建议
必修五教材分析第一章解三角形教材分析本章中，学生应该在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系（即正余弦定理），并认识到运用它们可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。
地位与作用：本章知识是初中解直角三角形的继续，通过本章内容的学习，学生就能够系统地掌握解三角形的完整知识。
可以从数量的角度认识三角形，使三角成为研究几何问题的重要工具。
是中学许多数学知识的交汇点（向量，平面几何，三角，解析几何，立体几何）。
通过用解三角形的方法解决有关的实际问题，可以培养学生的数学应用意识，使学生逐渐形成用数学的思维方式去解决问题、认识世界的意识。
《标准》与《大纲》要求的对比与说明：（课标在边角恒等变换的“变”上有所弱化，更加重视在“解”上做文章，更加注重几何度量。
大纲注重结果的运用，课标更加重视定理的探索过程，重视对学生数学理性思维的培养，教学中不要直接给出定理进行证明，让学生从中体会发现和探索数学知识的思想方法。
）近几年北京高考题（解三角形部分）分析：课时安排建议：1.1正弦定理和余弦定理（约3课时）1.2应用举例（约4课时）1.3习题与小结（约1课时）教学重难点：教学重点：1．正弦定理与余弦定理的探究与发现；2．依据所学数学知识设计测量方法，应用正弦定理和余弦定理进行几何测量。
教学难点：1．已知“两条边及一边对角”确定三角形的情况；2．解三角形在实际问题中的应用；将实际问题转化为数学问题也是学生面临的一个难题。
教学建议：1．重视对学生问题意识和探究意识的培养和探究方法的训练。
教学中，启发学生不断提出问题，研究问题。
教材最突出的特点是对学生问题意识、探究意识以及探究能力的培养与探究方法的训练。
对正、余弦定理的学习要重结论但更重过程与方法，应侧重于结论的探究与形成的过程，和探究思想与方法的运用。
根据具体教学过程中学生思考问题的方向来启发学生得到自己对于定理的证明。
人教版A版高中数学必修5：等差数列的求和公式
n（n 1)
Sn na1
2
d
an a1 (n 1)d
结论：知 三 求 二
举例
例1:根据题中的条件,求相应的等差数列{an}的Sn
(1)a1 5, an 95, n 10;
n(a1 an ).
a1 an a2 an1 an a1
Sn
n(a1 an ) . 2
等差数列的前n项和公式
公式1
Sn
n（a1 2
an )
an a1 (n 1)d
公式2
Sn
na1
n（n 1) 2
d
思考
(1)两个求和公式有何异同点？
等差数列的前n项和
教学目标
知识与技能目标：
掌握等差数列前n项和公式，能较熟练应用等差数列前n项和求和公式。
过程与方法目标：
经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的 研究方法，学会观察、归纳、反思。
情感、态度与价值观目标：
获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提高代数推理的能力。
(2)d
1 3
,
n
37,
Sn
629,
求a1及an
;
(1)d 17 , n 27 13
(2)a1 11, an 23
例3 等差数列-10，-6，-2，2， …的前多少项的 和为54？
解：设题中的等差数列是｛an｝，前n项和为Sn. 则a1＝-10，d＝-6-（-10）＝4，Sn＝54.
高中数学必修5教案等比数列第2课时
高中数学必修5教案等比数列第2课时第一篇：高中数学必修5教案等比数列第2课时等比数列第２课时授课类型：新授课●教学目标知识与技能：灵活应用等比数列的定义及通项公式；深刻理解等比中项概念；熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法过程与方法：通过自主探究、合作交流获得对等比数列的性质的认识。
情感态度与价值观：充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。
●教学重点等比中项的理解与应用●教学难点灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题●教学过程Ⅰ.课题导入首先回忆一下上一节课所学主要内容：1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠an0），即：=q（q≠0）an-12.等比数列的通项公式:an=a1⋅q3．｛an｝成等比数列⇔列的必要非充分条件4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列Ⅱ.讲授新课1．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，那么称这个数G为a与b的等比中项.即G=±ab（a,b同号）如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，则n-1(a1⋅q≠0)，an=am⋅qn-m(am⋅q≠0)an+1+=q（n∈N,q≠0）“an≠0”是数列｛an｝成等比数anGb=⇒G2=ab⇒G=±ab，aG反之，若G=ab,则≠0）[范例讲解] 课本P58例4 证明：设数列{an}的首项是a1，公比为q1;{bn}的首项为b1，公比为q2，那么数列{an⋅bn}的第n项与第n+1项分别为：2Gb2=，即a,G,b成等比数列。
∴a,G,b成等比数列⇔G=ab（a·baGa1⋅q1n-1⋅b1⋅q2与a1⋅q1⋅b1⋅q2即为a1b1(q1q2)n-1与a1b1(q1q2)nn-1nnan+1⋅bn+1a1b1(q1q2)nΘ==q1q2.n-1an⋅bna1 b1(q1q2)它是一个与n无关的常数，所以{an⋅bn}是一个以q1q2为公比的等比数列拓展探究：对于例4中的等比数列{an}与{bn}，数列{an}也一定是等比数列吗？ bnana，则cn+1=n+1 bnbn+1探究：设数列{an}与{bn}的公比分别为q1和q2，令cn=∴cn+1bn+1abqa==(n+1)γ(n+1)=1，所以，数列{n}也一定是等比数列。
高中数学：1.2应用举例第三课时：测量角度问题(新人教A版必修5)
1. 2应用举例第三课时：测量角度问题一、教学目标：1、能力要求：①综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决与测量学、航海问题等有关的实际问题； ②体会数学建摸的基本思想，掌握求解实际问题的一般步骤；③能够从阅读理解、信息迁移、数学化方法、创造性思维等方面，多角度培养学生分析问题和解决问题的能力2、过程与方法：测量角的问题多在行驶问题中出现，利用正弦、余弦定理求得最优解。
二、教学重点、难点：重点：综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些实际问题。
难点：掌握求解实际问题的一般步骤。
三、例题讲解：例1、一艘海伦从A 出发，沿北偏东 75的方向航行67.5n mile 后到达海岛B ，然后从B 出发，沿北偏东 32的方向航行54.0n mile 后到达海岛C 。
如果下次航行直接从A 出发到达C ，此船应该沿怎样的方向航行，需航行多少距离？（角度精确到 1.0，距离精确到01.0n mile ） 解：在ABC ∆中， 1373275180=+-=∠ABC ，由余弦定理 又由正弦定理ABC AC CAB BC ∠=∠sin sin 即3255.015.113137sin 0.54sin sin ≈=∠=∠AC ABC BC CAB 所以，此船应该沿北偏东0.56的方向航行，需要航行n 15.113 mile 。
例2、一架飞机以h km /360的速度，沿北偏东 75的航向从城市A 出发向城市B 飞行，min 18后，飞机由于天气原因按指令改飞另一个城市C 。
如下图所示，已知km AD 57=，km CD 110=，km BC 204=， 133,66=∠=∠DCB ADC ,问收到命令时，飞机应该沿什么航向飞行，此时离城市C 的距离是多少？（角度精确到 1，距离精确到km 1） 解：设飞机在E 处改变航向，要求改变航向后只需求出AEC ∠，则航向为南偏西AEC ∠- 75，这需在AEC ∆中使用正弦定理或余弦定理求解，故需求解AC 与CE 的长。
高中数学 等比数列的概念说课稿 新人教A版必修5
等比数列的概念说课各位老师：你们好！我叫张海燕，说课的题目是《等比数列的概念》。
这节课是以“提出问题，解决问题”为主线，并且把“关注学生体验,感悟和实践活动”作为该课的基本原则。
下面我从以下几个方面说明该课的设计。
在教材中的作用与地位学情分析教学目标分析教法分析、学法指导教学程序分析●在教材中的作用与地位《等比数列的概念》是《等比数列》在教学中的第一节课。
数列有着广泛的实际应用，例如：物理、化学、生物等，能够培养学生的各种数学能力。
而且它起着承前启后的作用，一方面，初中的许多知识在数列中都有应用，另一方面，他又对进一步学习数列的应用等内容作准备。
●学情分析1、我校是一所职业高中，文化基础课是大部分学生的老大难问题，尤其是数学。
我所任教的班级是计算机基础及应用，大部分学生是抱着接触电脑，玩游戏的心态，才报这个专业的，所以他们的数学基础可想而知了。
基础不好，自信心就不足，所以我把尽可能多的时间、空间让给学生，让学生参与到知识的发展过程中，体验知识的形成，增加学生的自信心和学习热情，充分体现学生的主体作用。
2、在知识结构上，学生已经掌握了等差数列的概念和通项公式，为学习等比数列做好了准备；在能力上，通过对等差数列的学习，已具备一定的观察和分析能力，可以通过类比迁移到等比数列中去。
●教学目标分析主要依据《教学大纲》和学生的实际情况，具体目标如下：1．知识目标：正确理解等比数列的定义，明确一个数列是等比数列的限定条件，掌握等比数列的通向公式。
通过对日常生活中大量实际问题的分析，使学生建立等比数列的数学模型。
2．能力目标：通过对等比数列的研究，逐步培养学生观察、类比、归纳、猜想等思维能力并进一步培养学生善于思考，解决问题的能力。
3．情感目标：在参与问题的提出，思考，解决的过程，培养学生勇于探索、实事求是的科学态度和勇于发现的求知精神；通过本节课的学习深切的体会数学来源于生活，提高学生学习数学的兴趣。
教学重点、难点重点：等比数列的概念及通项公式.难点：推导等比数列的通项公式及对公式的灵活运用；● 教法分析、学法指导为了突出重点、突破难点，本节课主要采用观察、分析、类比、归纳的方法让学生参与学习，将学生置于主体位置，发挥学生的主观能动性，将知识的形成过程转化为学生亲自探索的过程，使学生获得发现的成就感。
高中数学 1.1.1正弦定理教学设计 新人教A版必修5(1)
第一章解三角形1.1.1正弦定理教材分析与导入三维目标一、知识与技能1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；2.会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题．二、过程与方法1.让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系；2.引导学生通过观察、推导、比较，由特殊到一般归纳出正弦定理；3.进行定理基本应用的实践操作．三、情感态度与价值观1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；2.培养学生探索数学规律的思维能力，通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一．教学重点发现正弦定理、用几何法和向量法证明正弦定理。
正弦定理是三角形边角关系中最常见、最重要的两个定理之一，它准确反映了三角形中各边与它所对角的正弦的关系，对于它的形式、内容、证明方法和应用必须引起足够的重视。
正弦定理要求学生综合运用正弦定理和内角和定理等众多基础知识解决几何问题和实际应用问题，这些知识的掌握，有助于培养分析问题和解决问题能力，所以一向为数学教育所重视。
教学难点用向量法证明正弦定理。
虽然学生刚学过必修4中的平面向量的知识，但是要利用向量推导正弦定理，有一定的困难。
突破此难点的关键是引导学生通过向量的数量积把三角形的边长和内角的三角函数联系起来。
用平面向量的数量积方法证明这个定理，使学生巩固向量知识，突出了向量的工具性，是向量知识应用的范例。
教学建议正弦定理是刻画三角形边和角关系的基本定理，也是最基本的数量关系之一。
此节内容从地位上讲起到承上启下的作用：承上，可以说正弦定理是初中锐角三角函数（直角三角形内问题）的拓广与延续，是对初中相关边角关系的定性知识的定量解释，即对“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”这一定性知识的定量解释，即正弦定理得到这个边、角的关系准确的量化的表示，实现了边角的互化。
它是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体应用，同时教材这样编写也体现了新课标中“体现相关内容的联系，帮助学生全面地理解和认识数学”这一指导思想；启下，正弦定理解决问题具有一定的局限性，产生了余弦定理，二者一起成为解决任意三角形问题重要定理。
高中数学第三章不等式3.2简单的分式不等式与高次不等式解法教学设计新人教A版必修5
简单的分式不等式与高次不等式解法一、教学目标：掌握简单的分式不等式和高次不等式的解法； 二、教学重点：简单的分式不等式和高次不等式的解法三、教学难点：简单分式不等式与高次不等式的等价变形. 四、 教学过程： 1．分式不等式的解法 例1 解不等式：073<+-x x . 解法1：化为两个不等式组来解： ∵073<+-x x ⇔⎩⎨⎧>+<-⎩⎨⎧<+>-07030703x x x x 或⇔x ∈φ或37<<-x ⇔37<<-x ， ∴原不等式的解集是{}37|<<-x x . 解法2：化为二次不等式来解： ∵073<+-x x ⇔0)7)(3(<+-x x ⇔37<<-x ， ∴原不等式的解集是{}37|<<-x x 变式1：解不等式073≤+-x x 解：073≤+-x x ⇔70)7)(3(-≠≤+-x x x 且⇔37≤<-x 原不等式∴的解集是{x| -7<x ≤3}变式2：解不等式173<+-x x 解：}7{707100173173->∴->∴<+-⇔<-+-⇔<+-x x x x x x x x 原不等式的解集是归纳分式不等式的解法：（1） 化分式不等式为标准型：方法：移项，通分，右边化为0，左边化为)()(x g x f 的形式 （2） 将分式不等式转化为整式不等式求解如：()0()f x g x >⇔ 0)()(>x g x f ()0()f xg x <⇔0)()(<x g x f()0()f xg x ≥⇔⎩⎨⎧≠≥0)(0)()(x g x g x f ()0()f x g x ≤⇔⎩⎨⎧≠≤0)(0)()(x g x g x f 练习： 1.不等式0121>+-x x的解集是 。
2.不等式112x <的解集是 . 2．高次不等式的解法：引例：解一元二次不等式（x+3）(x-1)<0 方法一：利用上节课的方法求解；方法二：解：①求根：令(x-1)(x+3)=0，解得x （从小到大排列）分别为-3，1，这两根将x 轴分为三部分：x<-3 , -3<x<1 , x>1②分析这三部分中原不等式左边各因式的符号③由上表可知，原不等式（x+3）(x-1)<0的解集是{x|-3<x<1}. 例1：解不等式：(x-1)(x+4)(x-3)>0； 解：①检查各因式中x 的符号均正；②求得相应方程的根为：-4，1，3； ③列表如下：④由上表可知，原不等式的解集为：{x|-4<x<1或x>3}. 小结：此法叫列表法，解题步骤是：①将不等式化为)0(0)())()((321<>----n x x x x x x x x 形式（各项x 的符号化“+”）， 求出方程0)())()((321=----n x x x x x x x x 的各根②按各根把实数分成的n+1部分，由小到大横向排列，相应各因式纵向排列（由对应较小根的因式开始依次自上而下排列）；③计算各范围内各因式的符号，最下面一行是乘积的符号； ④看下面积的符号写出不等式的解集. 练习：解不等式：(1)(x+1)(x-2)(x+3)(x-4)>0思考：刚才例1中列表法的步骤我们还可以画图求解，称之为根轴法（零点分段法）。
高中数学人教A版必修5解读与教学建议
高中数学人教A版必修5解读与教学建议奉港高级中学杨亢尔（315500）本模块包括“解三角形”、“数列”、“不等式”等三章内容，全书约需36课时，具体课时分配如下：第一章解三角形约8课时第二章数列约12课时第三章不等式约16课时“解三角形”的主要内容是介绍三角形的正、余弦定理，及其简单应用，旨在通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题以及能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。
“数列”的主要内容是数列的概念与表示，等差数列与等比数列的通项公式与前n项和。
数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型。
教科书通过对日常生活中大量实际问题的分析，建立等差数列和等比数列这两种数列模型，力求使学生在探索中掌握与等差数列、等比数列有关的一些基本数量关系，感受这两种数列模型的广泛应用，并利用它们解决一些实际问题。
“不等式”一章通过大量现实世界和日常生活中的具体实例引入不等关系，帮助学生理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值，进而引导学生结合一些实际问题探索求解一元二次不等式的基本方法，用二元一次不等式组表示平面区域，以及解决一些简单的二元线性规划问题的方法，最后引导学生讨论了基本不等式及其简单应用。
第一章解三角形在本章中，要求学生在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系，并认识到运用它们可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。
1、内容与课程学习目标本章的中心内容是解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。
通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。
）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。
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高中数学人教A版必修5解读与教学建议奉港高级中学杨亢尔（315500）本模块包括“解三角形”、“数列”、“不等式”等三章内容，全书约需36课时，具体课时分配如下：第一章解三角形约8课时第二章数列约12课时第三章不等式约16课时“解三角形”的主要内容是介绍三角形的正、余弦定理，及其简单应用，旨在通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题以及能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。
“数列”的主要内容是数列的概念与表示，等差数列与等比数列的通项公式与前n项和。
数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型。
教科书通过对日常生活中大量实际问题的分析，建立等差数列和等比数列这两种数列模型，力求使学生在探索中掌握与等差数列、等比数列有关的一些基本数量关系，感受这两种数列模型的广泛应用，并利用它们解决一些实际问题。
“不等式”一章通过大量现实世界和日常生活中的具体实例引入不等关系，帮助学生理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值，进而引导学生结合一些实际问题探索求解一元二次不等式的基本方法，用二元一次不等式组表示平面区域，以及解决一些简单的二元线性规划问题的方法，最后引导学生讨论了基本不等式及其简单应用。
第一章解三角形在本章中，要求学生在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系，并认识到运用它们可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。
1、内容与课程学习目标本章的中心内容是解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。
通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。
（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。
2、教学要求(浙江省《数学学科教学指导意见》2007年6月版，下同)2.1基本要求（1）会证明正弦定理、余弦定理。
（2）能理解正、余弦定理在讨论三角形边角关系时的作用。
（3）能用正、余弦定理解斜三角形。
（4）理解用正、余弦定讨论三角形解的情形。
（5）掌握用正、余弦定理解任意三角形的方法。
（6）通过解三角形在实际中的一些应用，培养学生分析问题、解决问题的能力。
（7）理解三角形的面积公式C ab S sin 21 并能应用。
（8）根据实际条件，利用本章知识完成一个有关测量的实习作业。
2.2发展要求（1）了解正、余弦定理与三角形外接圆半径的关系。
（2）利用正、余弦定理讨论三角形中的边角关系。
（3）条件允许的情况下，可多做几个实习作业，以培养学生应用知识解决实际问题的能力。
2.3说明(1)可以利用计算机进行近似计算,但不要求太复杂繁琐的运算。
(2)不必增加在立几情况下求解三角形的问题,可在立体几何学习时适当拓展。
（3）应用问题应限制在正、余弦定理的简单应用上。
(4)实习作业不要求太复杂的问题。
3．纲标比较3.1章节、课时比较3.2 内容安排上的变化大纲教材将解三角形安排在“平面向量”之中，成为平面向量的一个单元，而课标教材在模块 5中独立成章，突出其独立性。
3.3 几个特点①教学要求上的特点大纲教材对解斜三角形的要求是：掌握正弦定理、余弦定理，并能运用它们解斜三角形，能利用计算器解决斜三角形的计算问题。
通过解三角形教学，提高运用所学知识解决实际问题的能力。
通过以测量为内容的实习作业，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力和实际操作的能力。
而按照省《教学指导意见》，课标教材在计算方面降低了要求，削弱了用计算器解决斜三角形的有关计算问题，而在探索推理方面作了相应提高，重视正、余弦定理发现过程的探究。
②有关教学价值上的特点大纲教材中，解斜三角形作为平面向量知识的应用，重在其工具性和应用性，也比较关注三角形恒等变换和边角关系转换，把教学的重点放在运算上，而《意见》将解三角形作为几何度量问题来处理，突出几何作用，培养学生的量化思想，并引导教师关注运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量有关的实际问题，其侧重点放在推理与探究上。
4. 教学内容分析☆章引言本章一开始的引言就从一个测量问题引入：“在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事.明月高悬，我们仰望夜空，会有无限遐想，不禁会问，遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”接着指出：“在数学发展历史上，受到天文测量、航海测量和地理测量等方面实践活动的推动，解三角形的理论得到不断发展，并被用于解决许多测量问题.”这就点出了本章数学知识的某些重要的实际背景及其实际需要，使学生初步认识学习解三角形知识的必要性。
然后以一系列的实际问题引入本章要学习的数学知识，这些问题的解决需要进一步学习任意三角形中边与角关系的有关知识，于是顺理成章地指出，在本章中我们要学习正弦定理和余弦定理，并学习应用这两个定理解三角形以及解决实际测量中的一些问题。
☆1.1正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理揭示了关于一般三角形中的重要边角关系，它们是解三角形的两个重要定理。
对于正弦定理，教科书首先引导学生回忆任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系，引导学生思考是否能得到这个边、角关系准确量化表示的问题。
由于涉及边角之间的数量关系，就比较自然地引导到三角函数。
在直角三角形中，边之间的比就是锐角的三角函数。
研究特殊的直角三角形中的正弦，就很快证明了直角三角形中的正弦定理。
分析直角三角形中的正弦定理，考察结论是否适用于锐角三角形，而钝角三角形中定理的证明要求学生自己通过探究来加以证明。
用正弦定理解三角形是正弦定理的一个直接应用，正弦定理可以用于两类解三角形的问题：（1）已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边和另一角。
（2）已知三角形的两边与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其他的边和角。
对于（2），在某些条件下会出现无解或两解的情形，教科书在探究与发现：“关于解三角形的进一步讨论”中对此作了说明。
正弦定理略去等于2R，目的是控制难度，防止设计出太多难题，加重学生的负担。
对于余弦定理，首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。
由于涉及边长问题，教科书考虑用向量的数量积，比较容易地证明了余弦定理。
余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，每一个等式中都包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，就可以求得第四个量。
从已知三角形的三边确定三角形的角，这就是余弦定理的推论，也可以说是余弦定理的第二种形式。
应用余弦定理及其推论，并结合正弦定理，可以解决的解三角形问题有：（1）已知两边和它们的夹角解三角形；（2）已知三角形的三边解三角形。
☆1.2 应用举例正弦定理和余弦定理在实际测量中有许多应用，教科书介绍了它们在测量距离、高度、角度等问题中的一些应用。
对于未知的距离、高度等，存在着许多可以供选择的测量方案，可以应用全等三角形的方法，也可以应用相似三角形的方法，或借助解直角三角形的方法，以及在本节介绍的应用两个定理的方法，等等。
但是，由于在测量问题的实际背景下，某些方法也许不能实施，如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，一种方法会有局限性。
这里介绍的许多问题是用以前的方法所不能解决的。
关于三角形的有关几何计算，教科书还涉及了三角形的高和面积的问题，给出了计算三角形的高和面积的公式，这些公式实际上在正弦定理的证明过程中就已经得到。
值得一提的是，已知三角形的三边求三角形面积的问题在历史上是一个重要的问题，在西方有海伦公式，在我国数学史上有秦九韶的“三斜求积公式”，教科书在阅读与思考中对此作了介绍，在习题中要求学生加以证明。
另外，关于三角形边角关系恒等式的证明问题，课程标准要求不在这类问题上作过于繁琐的训练，教科书选择的例题（P21例9）仅限于直接用正弦定理和余弦定理可以证明的问题。
☆1. 3 实习作业本章内容有很强的实践性，教科书安排了一个利用本章知识的有关测量的实习作业。
实习作业重在过程，通过实习，培养学生构建数学模型，分析和解决简单实际问题的能力。
实习前，教师要指导好学生作好前期准备，选择好素材。
实习时注意现场指导。
对学生的实习报告要予以讲评和规范。
有条件的情况下，可让学生自主选择素材在课后再完成几个实习报告。
第二章 数列数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型。
根据课程标准的要求，在本章中，学生将通过对日常生活中大量实际问题的分析，建立等差数列和等比数列这两种数列模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受这两种数列模型的（等比）数列的求和公式广泛应用，并利用它们解决一些实际问题。
1．内容与课程学习目标本章的主要内容是数列的基本概念、等差数列和等比数列以及它们的一些基本数量关系。
通过本章学习，要使学生达到如下学习目标：（1）．通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊函数．（2）．通过实例，理解等差数列、等比数列的概念；探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n 项和的公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系．2．教学要求2.1 基本要求（1）理解数列的定义，了解数列是一类特殊函数。
（2）了解数列的几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）。
（3）认识数列是反映自然规律的基本模型。
（4）能根据给出的递推公式写出数列的前几项。
（4）理解等差（等比）数列的概念。
（5）掌握等差（等比）数列的通项公式。
（6）了解等差数列（等比）与一次函数（指数函数）的关系。
（7）能在具体的问题情境中，识别数列的等差（等比）关系，进而用等差（等比）数列有关知识解决相应的问题。
（8）掌握等差（等比）数列前n 项和的公式，并能用公式解决简单的问题。
（9）理解等差（等比）数列前n 项和公式的推导方法。
（10）能利用等差（等比）数列前n 项和公式极其性质求一些特殊数列的和。
（11）理解n S 与n a 的关系。
（12）等比数列的求和公式达到灵活应用。
2.2 发展要求（1）能根据数列的前几项写出一个通项公式。
（2）掌握等差（等比）数列典型性质及应用。
（3）能灵活运用等差数列的求和公式。
（4）能用类比观点推导等比数列性质。
（7）理解等差数列与等比数列简单组合的数列的前n 项和。
2.3 说明. （1）复杂的递推关系不作要求。
（2）已知数列的前几项写出一个通项公式，不必太难。