2019年高考数学课时17简单几何体的结构直观图与三视图单元滚动精准测试卷文
2019年高考数学大一轮总复习 第7篇 第1节 空间几何体的结构、三视图和直观图课时训练 理 新人教
2019年高考数学大一轮总复习第7篇第1节空间几何体的结构、三视图和直观图课时训练理新人教A版一、选择题1．下列结论正确的是( )A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以正方形的一条对角线旋转一周围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等，则此棱锥可能是正六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析：三棱锥的侧面是有公共顶点的三角形，选项A错；由正方形的一条对角线旋转一周围成的几何体为两个圆锥形成的一个组合体，选项B错；六棱锥的侧棱长大于底面多边形的边长，选项C错；选项D正确．故选D.答案：D2．已知一个几何体的三视图如图所示，分析此几何体的组成为( )A．上面为棱台，下面为棱柱B．上面为圆台，下面为棱柱C．上面为圆台，下面为圆柱D．上面为棱台，下面为圆柱解析：由俯视图可知，该几何体的上面与下面都不可能是棱台或棱柱，故排除选项A、B、D.故选C.答案：C3．如图所示的几何体的正视图和侧视图可能正确的是( )解析：由于几何体是规则的对称几何体，所以其正视图和侧视图是相同的．故选A. 答案：A4．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )A ．2＋ 2 B.1＋22C.2＋22D ．1＋ 2解析：由题意画出斜二测直观图及还原后原图，由直观图中底角均为45°，腰和上底长度均为1，得下底长为1＋2，所以原图上、下底分别为1,1＋2，高为2的直角梯形．所以面积S ＝12(1＋2＋1)×2＝2＋ 2.故选A.答案：A5．(xx 辽宁沈阳二检)一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )解析：若俯视图为选项C ，侧视图的宽应为俯视图中三角形的高32，所以俯视图不可能是选项C.答案：C6．(xx 河北保定一模)三棱锥V －ABC 的底面三角形ABC 为正三角形，侧面VAC 垂直于底面，VA ＝VC ，已知其正视图△VAC 的面积为23，则其侧视图的面积为( )A.32B.36C.34D.33解析：由题得几何体直观图如图，设底面△ABC 边长为a ，棱锥高为h ，S △VAC ＝12ah ＝23，即ah ＝43，取AC 的中点H ，连接VH ，BH ，△VHB 即侧视图，其面积为12×h ×a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝34ah ＝33.故选D. 答案：D 二、填空题7．如图所示的Rt △ABC 绕着它的斜边AB 旋转一周得到的图形是________．解析：过Rt △ABC 的顶点C 作线段CD ⊥AB ，垂足为D ，所以Rt △ABC 绕着它的斜边AB 旋转一周后应得到是以CD 作为底面圆的半径的两个圆锥的组合体．答案：两个圆锥的组合体8．已知正三角形ABC 的边长为a ，那么△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′的面积为________．解析：如图①②所示的实际图形和直观图．由斜二测画法可知，A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝34a ，在图②中作C ′D ′⊥A ′B ′于D ′，则C ′D ′＝22O ′C ′＝68a .∴S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′＝12×a ×68a ＝616a 2.答案：616a 2 9．(xx 北京房山一模)某三棱椎的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的面积为________．解析：由题中三视图可知该几何体是底面边长为4的正三角形，棱AD 垂直底的三棱锥，如图所示．其中三棱锥四个面中，最大的为△ABC ，AD ＝4，BD ＝4，EC ＝23，取BC 的中点F ，则AF ＝AD 2＋DF 2＝42＋232＝27，所以△ABC 的面积为12×4×27＝47.答案：4710.(xx 合肥三检)已知正四面体(所有棱长都相等的三棱锥)的俯视图如图所示，其中四边形ABCD 是边长为2 cm 的正方形，则这个正四面体的正视图的面积为______ cm 2.解析：构造一个边长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，在正方体内作出一个正四面体AB 1CD 1，易得该正四面体的正视图是一个底边长为22，高为2的等腰三角形．从而可得正视图的面积是22(cm 2)．答案：2 2 三、解答题11．(xx 银川调研)正四棱锥的高为3，侧棱长为7，求侧面上斜高(棱锥侧面三角形的高)为多少？解：如图所示，正四棱锥S －ABCD 中， 高OS ＝3，侧棱SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝7， 在Rt △SOA 中，OA ＝SA 2－OS 2＝2， ∴AC ＝4.∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝2 2. 作OE ⊥AB 于E ，则E 为AB 中点． 连接SE ，则SE 即为斜高，在Rt △SOE 中，∵OE ＝12BC ＝2，SO ＝3，∴SE ＝5，即斜高为 5.12．已知正三棱锥VABC 的正视图、侧视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图； (2)求出侧视图的面积． 解：(1)直观图如图所示．(2)根据题中三视图间的关系可得BC ＝23， ∴侧视图中VA ＝42－⎝ ⎛⎭⎪⎫23×32×232＝23，∴S △VBC ＝12×23×23＝6.7 32401 7E91 纑T{26959 694F 楏30084 7584 疄?H20708 50E4 僤30977 7901 礁24449 5F81 征40800 9F60 齠。
2019年高考数学课时17简单几何体的结构直观图与三视图单元滚动精准测试卷文
课时17 简单几何体的结构、直观图与三视图模拟训练（分值：60分建议用时：30分钟）1．下图所示的四个几何体，其中判断正确的是( )A．(1)不是棱柱B．(2)是棱柱C．(3)是圆台D．(4)是棱锥【答案】D【解析】显然(1)符合棱柱的定义；(2)不符合；(3)中两底面不互相平行，故选D.2．如右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t变化的可能图象是（）【答案】:B3．在斜二测画法的规则下，下列结论正确的是( )A．角的水平放置的直观图不一定是角B．相等的角在直观图中仍然相等C．相等的线段在直观图中仍然相等D．若两条线段平行，且相等，则在直观图中对应的两条线段仍然平行且相等【答案】D【解析】角在直观图中可以与原来的角不等，但仍然为角；由正方形的直观图可排除B、C，故选D.4．一个几何体的三视图如下图所示，其中正(主)视图中△ABC是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧(左)视图的面积为( )A.32B.12C．1 D．2【答案】A5．一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且该梯形面积为2，则原梯形的面积为( )A．2 B. 2C．2 2 D．4【答案】D【解析】设直观图中梯形的上底为x ，下底为y ，高为h .则原梯形的上底为x ，下底为y ，高为22h ，故原梯形的面积为4，选D.【规律总结】(1)掌握直观图的概念及斜二测画法 在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段. “平行于x 轴的线段平行性不变，长度不变； 平行于y 轴的线段平行性不变，长度减半.” (2)够由空间几何体的三视图得到它的直观图；也能够由空间几何体的直观图得到它的三视图.提升空间想象能力.6．如图，不是正四面体的表面展开图的是( )A ．①⑥B ．②⑤C ．③④D ．④⑤【答案】D【解析】④⑤不能折成四面体．7．已知三棱锥的直观图及其俯视图与侧(左)视图如下，俯视图是边长为2的正三角形，侧(左)视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正(主)视图面积为________．【答案】2【解析】三棱锥的正(主)视图如图所示，故正(主)视图的面积为12×2×2＝2.8． 有一粒正方体的骰子每一面有一个英文字母．下图是从3种不同角度看同一粒骰子的情况，请问H 反面的字母是________．【答案】O9．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 是AA 1的中点，E 是BB 1上一点，如图所示，求PE ＋EC 的最小值．【解析】把面A 1ABB 1和面B 1BCC 1展成平面图形，如图所示，PE ＋EC 的最小值即为线段PC 的长．由于AP ＝PA 1＝12，AC ＝2，所以PC ＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝172，所以PE ＋EC 的最小值为172. 【评析】“化折为直”是求空间几何体表面上折线段最小值问题的基本方法，其途径是将各侧面展开．10．如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正(主)视图和侧(左)视图在下面画出(单位：cm)．(1)在正(主)视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； (2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积；【解析】(1)如图．(2)所求多面体的体积V ＝V 长方体－V 正三棱锥＝4×4×6－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×2×2＝2843(cm 3)． [新题训练] （分值：10分 建议用时：10分钟）11．（5分）如图，点O 为正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的中心，点E 为面B ′BCC ′的中心，点F 为B ′C ′的中点，则空间四边形D ′OEF 在该正方体的各个面上的正投影可能是______________(填出所有可能的序号)．【答案】①②③12．（5分）已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，两条侧棱长为132，则第三条侧棱长的取值范围是________．【答案】⎝⎛⎭⎪⎫32，332【解析】如图1，四面体ABCD 中，AB ＝BC ＝CA ＝1，DA ＝DC ＝132，只有棱长BD 是可以变动的．设M 为AC 的中点，则MD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1322－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝3，MB ＝32.但是要构成三棱锥，如图2所示，必须BD 1<BD<BD 2，BD 1＝MB ＝32，BD 2＝3MB ＝332，即32<BD<332.。
2019年高考数学(文)一轮复习讲练测：专题8.1 空间几何体的结构及其三视图和直观图(讲)(解析版)
2019年高考数学讲练测【新课标版】【讲】【课前小测摸底细】1.如图，在下列四个几何体中，其三视图(正视图、侧视图、俯视图)中有且仅有两个相同的是( )A．②③④ B．①②③ C．①③④D．①②④【答案】A2. 【2019高考天津文数】将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（）【答案】B【解析】由题意得截去的是长方体前右上方顶点，故选B3．【2019辽宁锦州二模】某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的各个面中,最大的面积是（）A．62B．1 C．22D．64【答案】A【解析】4．【基础经典题】以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于( )A．2πB．πC．2 D．1【答案】A【解析】由题意得圆柱的底面半径r＝1，母线l＝1.所以圆柱的侧面积S＝2πrl ＝2π，故选A.5.有下列四个命题：①底面是矩形的平行六面体是长方体；②棱长相等的直四棱柱是正方体；③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．其中真命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【考点深度剖析】三视图是高考重点考查的内容，考查内容有三视图的识别；三视图与直观图的联系与转化；求与三视图对应的几何体的表面积与体积．命题形式为用客观题考查识读图形和面积体积计算，或将三视图作为大题的背景，以几何体为载体考查空间想象能力和推理运算能力．【经典例题精析】考点1：空间几何体的结构特征【1-1】如图几何体中是棱柱的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】由图可知，①、③、⑤是棱柱．【1-2】下列结论正确的是( )A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线【答案】D【课本回眸】一、多面体的结构特征多面体结构特征棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个面的交线都平行且相等棱锥有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形棱台棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分二、旋转体的形成几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形任一边所在的直线圆锥直角三角形一条直角边所在的直线圆台直角梯形垂直于底边的腰所在的直线球半圆直径所在的直线三、简单组合体简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，有多面体与多面体、多面体与旋转体、旋转体与旋转体的组合体．【方法规律技巧】熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，可变换模型中线面的位置关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．三棱柱、四棱柱、正方体、长方体、三棱锥、四棱锥是常见的空间几何体，也是重要的几何模型，有些问题可用上述几何体举特例解决．【新题变式探究】【变式1】一个棱柱是正四棱柱的条件是( )．A．底面是正方形，有两个侧面是矩形B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面C．底面是菱形，具有一个顶点处的三条棱两两垂直D．每个侧面都是全等矩形的四棱柱【答案】C【解析】 A，B两选项中侧棱与底面不一定垂直，D选项中底面四边形不一定为正方形，故选C.【变式2】用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是( ) A．圆柱B．圆锥C．球体D．圆柱、圆锥、球体的组合体【答案】C【解析】当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面．考点2 空间几何体的直观图【2-1】利用斜二测画法得到的以下结论，正确的是________(写出所有正确的序号)．①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④圆的直观图是椭圆；⑤菱形的直观图是菱形．【答案】①②④【2-2】在如图所示的直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在xOy坐标系中，四边形ABCO为________，面积为________ cm2.【答案】矩形 8【课本回眸】简单几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是： (1)画几何体的底面在已知图形中取互相垂直的x 轴、y 轴，两轴相交于点O ，画直观图时，把它们画成对应的x ′轴、y ′轴，两轴相交于点O ′，且使∠x ′O ′y ′＝45°或135°，已知图形中平行于x 轴、y 轴的线段，在直观图中平行于x ′轴、y ′轴．已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y 轴的线段，长度变为原来的一半． (2)画几何体的高在已知图形中过O 点作z 轴垂直于xOy 平面，在直观图中对应的z ′轴，也垂直于x ′O ′y ′平面，已知图形中平行于z 轴的线段，在直观图中仍平行于z ′轴且长度不变．【方法规律技巧】按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系：S 直观图2S 原图形，S 原图形＝2S 直观图． 【新题变式探究】【变式1】如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( ) A ．22 B. 12+ C. 22+ D ．12【答案】A【解析】由题意画出斜二测直观图及还原后原图，由直观图中底角均为45°，腰和上底长度均为1，得下底长为12+，所以原图上、下底分别为1, 12+2的直角梯形． 所以面积S ＝12(12+1)×2＝22故选A.【变式2】如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是( )A．正方形B．矩形C．菱形D．一般的平行四边形【答案】C综合点评：解决有关“斜二测画法”问题时，一般在已知图形中建立直角坐标系，尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系.考点3 空间几何体的三视图【3-1】【广东省广州六中等六校2019届高三第一次联考】某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形,左视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为( )A．2B． 4C．23D．26【答案】C【3-2】【江西卷】将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )【答案】(1)D (2)D【解析】(1)球、正方体的三视图形状都相同，大小均相等，首先排除选项A和C.对于如图所示三棱锥OABC,当OA、OB、OC两两垂直且OA＝OB＝OC时，其三视图的形状都相同，大小均相等，故排除选项B.不论圆柱如何放置，其三视图的形状都不会完全相同，故答案选D.(2)如图所示，点D1的投影为C1，点D的投影为C，点A的投影为B，故选D.【3-3】一个几何体的主视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入所有可能的几何体前的编号)．①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱．【答案】①②③⑤【课本回眸】三视图几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．【方法规律技巧】三视图中的数据与原几何体中的数据不一定一一对应，识图要注意甄别. 揭示空间几何体的结构特征，包括几何体的形状，平行垂直等结构特征，这些正是数据运算的依据.还原几何体的基本要素是“长对齐，高平直，宽相等”.简单几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形．在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线．【新题变式探究】【变式1】一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( )【答案】C【变式2】如图，多面体ABCD－EFG的底面ABCD为正方形，FC＝GD＝2EA，其俯视图如下，则其正视图和侧视图正确的是( )．【答案】D【解析】注意BE，BG在平面CDGF上的投影为实线，且由已知长度关系确定投影位置，排除A，C选项，观察B，D选项，侧视图是指光线从几何体的左面向右面正投影，则BG，BF的投影为虚线，故选D.【变式3】【武汉市部分学校2019 届高三调研】）一个简单几何体的正视图、侧视图如右图所示，则其俯视图不可能为（．．．．．）．① 方形；②正方形；③圆；④椭圆.中的A.①②B.②③C.③④D.①④【答案】B综合点评：三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽.即“长对正，宽相等，高平齐”.【易错试题常警惕】易错典例：一个几何体的主视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入所有可能的几何体前的编号)．①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱．【错解】①②⑤【错因】忽视几何体的不同放置对三视图的影响，漏选③.【正解】①三棱锥的主视图是三角形；②当四棱锥的底面是四边形放置时，其主视图是三角形；③把三棱柱某一侧面当作底面放置，其底面正对着我们的视线时，它的主视图是三角形；④对于四棱柱，不论怎样放置，其主视图都不可能是三角形；⑤当圆锥的底面水平放置时，其主视图是三角形；⑥圆柱不论怎样放置，其主视图也不可能是三角形．故正确答案为①②③⑤.【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想数形结合是一种重要的数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.在解答三视图、直观图问题中，主要是通过图形的恰当转化，明确几何元素的数量关系，进行准确的计算．如：S-AB外接球的表面积为32π，【典例】【2019河南新乡名校联盟押题】已知三棱锥CS-AB的三视图如图所示，则其侧视图的面积的最大值为（）C90∠AB=o，三棱锥CA．4B．42C．8D．47【答案】A【解析】。
高三数学空间几何体的三视图与直观图试题答案及解析
高三数学空间几何体的三视图与直观图试题答案及解析1.一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的体积为（）A．48B．72C．12D．24【答案】D【解析】由三视图可知：该几何体是一个如图所示的三棱锥P-ABC，它是一个正四棱锥P-ABCD 的一半，其中底面是一个两直角边都为6的直角三角形，高PE=4，所以该几何体的体积为=24，故选D．【考点】三视图，简单几何体体积公式2.某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）（锥体体积公式：，其中为底面面积，为高）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据所给侧视图和俯视图，该三棱锥的直观图如下图所示.从俯视图可知，三棱锥的顶点A在底面内的投影O为边BD的中点，所以AO即为三棱锥的高，其体积为.选D.【考点】三角函数图象的变换.3.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是()A．2＋＋B．2(1＋)＋C．D．2＋＋【答案】A【解析】由三视图易知原几何体为水平放置的直三棱柱．底面为直角三角形，直角边长分别为1和，斜边长为．三棱柱的高为．故该几何体的表面积为2＋2＋．4.某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是________．【答案】2(π＋)【解析】由三视图可知此几何体的表面积分为两部分：底面积即俯视图的面积为2；侧面积为一个完整的圆锥的侧面积，且圆锥的母线长为2，底面半径为1，所以侧面积为2π．两部分加起来即为几何体的表面积，为2(π＋)．5.一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，= .【答案】【解析】由三视图知，原几何体是一个四棱锥，底面是面积为的矩形，高为，所以，解得.【考点】三视图，空间几何体的体积.6.已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．4D．【答案】【解析】由三视图可知，该几何体是一四棱锥，其底面正方形边长为，高为，故其体积为，选.【考点】1、三视图；2、几何体的体积.7. [2013·四川高考]一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是()A．棱柱B．棱台C．圆柱D．圆台【答案】D【解析】由正视图和侧视图可知，该几何体不可能是圆柱，排除选项C；又由俯视图可知，该几何体不可能是棱柱或棱台，排除选项A、B.故选D.8.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( )A．πB．πC．πD．π【答案】B【解析】设球半径是R,依题意知,该三棱柱是一个底面边长为2、侧棱长为1的正三棱柱,记上、下底面的中心分别是O1,O,易知球心是线段O1O的中点,于是R2=+=,因此所求球的表面积是4πR2=4π×=,选B.9.如图，某几何体的三视图都是等腰直角三角形，则几何体的体积是（）A．8B．7C．9D．6【答案】C【解析】由三视图可知,几何体是底面为等腰直角三角形,有一侧棱与底面垂直(垂足在非直角处)的三棱锥,其底面面积为×6×3=9,三棱锥的高为3,所以三棱锥的体积=×9×3=9．10.在三棱锥中，，平面ABC, ．若其主视图，俯视图如图所示，则其左视图的面积为。
2019版一轮高考数学复习(人教版)练习：第七章 第一节 简单几何体的结构、三视图和直观图 Word版含解析
课时规范练 A 组 基础对点练1．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则侧视图的面积为( )A ．8B ．4 3C ．4 2D ．4解析：由三视图可知，该几何体是一个正三棱柱，高为4，底面是一个边长为2的正三角形．因此，侧视图是一个长为4，宽为3的矩形，其面积S ＝3×4＝4 3. 答案：B2．如图是一个空间几何体的三视图，其中正视图、侧视图都是由边长为4和6的矩形以及直径等于4的圆组成，俯视图是直径等于4的圆，该几何体的体积是( )A.41π3B.62π3C.83π3D.104π3解析：由题意得，此几何体为球与圆柱的组合体，其体积V ＝43π×23＋π×22×6＝104π3.答案：D3．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．12＋4 2B ．18＋8 2C ．28D ．20＋8 2解析：由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，如图．则该几何体的表面积为S ＝2×12×2×2＋4×2×2＋22×4＝20＋82，故选D.答案：D4．已知某锥体的正视图和侧视图如图所示，其体积为233，则该锥体的俯视图可能是( )解析：由正视图得该锥体的高是h ＝22－12＝3，因为该锥体的体积为233，所以该锥体的底面面积是S ＝23313h ＝23333＝2，A 项的正方形的面积是2×2＝4，B 项的圆的面积是π×12＝π，C 项的大三角形的面积是12×2×2＝2，D 项不可能是该锥体的俯视图，故选C.答案：C5．已知四棱锥P ABCD 的三视图如图所示，则四棱锥P ABCD 的四个侧面中面积最大的是( )A ．3B ．2 5C ．6D ．8解析：四棱锥如图所示，取AD 的中点N ，BC 的中点M ，连接PM ，PN ，则PN ＝5，PM ＝3，S △P AD ＝12×4×5＝25，S △P AB ＝S △PDC ＝12×2×3＝3，S △PBC ＝12×4×3＝6.答案：C6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π解析：由三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，如图．其中长方体的长、宽、高分别是4,2,2，半个圆柱的底面半径为2，母线长为4.∴长方体的体积V 1＝4×2×2＝16， 半个圆柱的体积V 2＝12×22×π×4＝8π.∴这个几何体的体积是16＋8π. 答案：A7．一个半径为2的球体经过切割之后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．16πB ．12πC ．14πD ．17π解析：根据三视图可知几何体是一个球体切去四分之一，则该几何体的表面是四分之三球面和两个截面(半圆)． 由题意知球的半径是2，∴该几何体的表面积S ＝34×4π×22＋π×22＝16π.答案：A8．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为9π2，则正方体的棱长为________．解析：设正方体棱长为a ，球半径为R ，则43πR 3＝9π2，∴R ＝32，∴3a ＝3，∴a ＝ 3.答案： 39．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．解析：由题意得到几何体的直观图如图，即从四棱锥P ABCD 中挖去了一个半圆锥．其体积V ＝13×2×2×2－12×13×π×12×2＝8－π3. 答案：8－π310.某零件的正(主)视图与侧(左)视图均是如图所示的图形(实线组成半径为2 cm 的半圆，虚线是等腰三角形的两腰)，俯视图是一个半径为2 cm 的圆(包括圆心)，则该零件的体积是________．解析：依题意得，零件可视为从一个半球中挖去一个小圆锥所剩余的几何体，其体积为12×4π3×23－13×π×22×1＝4π(cm 3)．答案：4π cm 3B 组 能力提升练1．已知圆锥的表面积为a ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径是( ) A.a 2 B.3πa3πC.23πa 3πD.23a 3π解析：设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，由题意知2πr ＝πl ，∴l ＝2r ，则圆锥的表面积S表＝πr 2＋12π(2r )2＝a ，∴r 2＝a 3π，∴2r ＝23πa3π.答案：C2．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.163 B.203 C.152D.132解析：该几何体可视为正方体截去两个三棱锥所得，如图所示，所以其体积为23－13×12×2×2×2－13×12×1×1×1＝132.故选D.答案：D3.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( ) A ．6B ．9C ．12D ．18解析：由三视图可知该几何体是一个三棱锥，其底面是斜边为6的等腰直角三角形，高为3，则体积为13×12×6×3×3＝9.答案：B4．下图是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是( )A ．4B ．5C ．3 2D ．3 3解析：作出直观图如图所示，通过计算可知AF 最长且|AF |＝|BF |2＋|AB |2＝3 3.答案：D5.高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的( ) A.34 B.14 C.12D.38解析：由侧视图、俯视图知该几何体是高为2、底面积为12×2× (2＋4)＝6的四棱锥，其体积为4.易知直三棱柱的体积为8，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的48＝12，故选C.答案：C6．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为( )A.16π3B.8π3 C ．4 3D ．23π解析：由题意可得该几何体是有一个侧面P AC 垂直于底面ABC ，高为3，底面是一个等腰直角三角形的三棱锥，如图．则这个几何体的外接球的球心O 在高线PD 上，且是等边三角形P AC 的外心．这个几何体的外接球的半径R ＝23PD ＝233.则这个几何体的外接球的表面积S ＝4πR 2＝4π×⎝⎛⎭⎫2332＝16π3.答案：A7．(2018·郑州质量预测)如图是一个四面体的三视图，这三个视图均是腰长为2的等腰直角三角形，正视图和俯视图中的虚线是三角形的中线，则该四面体的体积为( )A.23B.43C.83D ．2解析：由三视图可知，此四面体如图所示，其高为2，底面三角形的一边长为1，对应的高为2，所以其体积V ＝13×12×2×1×2＝23，故选A.答案：A8．(2018·天津测试)若一个几何体的表面积和体积相同，则称这个几何体为“同积几何体”．已知某几何体为“同积几何体”，其三视图如图所示，则a ＝( )A.14＋223B.8＋223C.12＋223D ．8＋2 2解析：根据几何体的三视图可知该几何体是一个四棱柱，如图所示，可得其体积为12(a ＋2a )·a ·a ＝32a 3，其表面积为12·(2a ＋a )·a ·2＋a 2＋a 2＋2a ·a＋2a ·a ＝7a 2＋2a 2，所以7a 2＋2a 2＝32a 3，解得a ＝14＋223，故选A. 答案：A9．在三棱锥A BCD 中，侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直，△ABC ，△ACD ，△ADB 的面积分别为22，32，62，则该三棱锥外接球的表面积为________． 解析：设相互垂直的三条侧棱AB ，AC ，AD 分别为a ，b ，c ，则12ab ＝22，12bc ＝32，12ac＝62，解得a ＝2，b ＝1，c ＝ 3. 所以三棱锥A BCD 的外接球的直径2R ＝a 2＋b 2＋c 2＝6，则其外接球的表面积S ＝4πR 2＝6π. 答案：6π10．一个直三棱柱被削去一部分后的几何体ABCDE 及其侧视图、俯视图如图所示，其中侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形．设M 是BD 的中点，点N 在棱DC 上，且MN ⊥平面BDE ，则CN ＝______________________________________________________.解析：由题意可得，DC ⊥平面ABC ，所以DC ⊥CB .若MN ⊥平面BDE ，则MN ⊥BD .又因为∠MDN ＝∠CDB ，所以△DMN ∽△DCB ，所以DN DB ＝DM DC ，故DN 26＝64，解得DN ＝3，所以CN ＝CD －DN ＝1.答案：1。
2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：7-1空间几何体的结构特征及三视图与直观图
[课时跟踪检测][基础达标]1．下列说法正确的是()A．圆锥的侧面展开图是一个等腰三角形B．棱柱的两个底面全等且其余各面都是矩形C．任何一个棱台的侧棱必交于同一点D．过圆台侧面上一点有无数条母线答案：C2．某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是()A．三棱锥B．四棱锥C．四棱台D．三棱台解析：由俯视图知底面是一个四边形，由正视图及侧视图可知该几何体为锥体，故选B.答案：B3．(2017届山东徳州质检)如图是正方体截去阴影部分所得的几何体，则该几何体的侧视图是()解析：此几何体的侧视图是从左边往右边看，故其侧视图应选C.答案：C4．(2017届临川一中)以下四个选项中恰有三个是一个正四面体的一组三视图，则不是的为()解析：结合选项可知B、C、D可构成一个正四面体的一组三视图，故选A.答案：A5．(2017届湖南怀化一中模拟)沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为()答案：B6．(2017届湖南株洲质检)已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的()解析：通过对以下四个四棱锥的三视图对照可知，只有选项C是符合要求．答案：C7．(2017届北京东城区模拟)已知一个棱锥的三视图如下，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个棱锥的侧面积是()A．4 cm2B．12 cm2C．(8＋42) cm2D．(4＋42＋23) cm2解析：由三视图可知，该几何体为四棱锥P－ABCD，且PD⊥平面ABCD，底面ABCD为一直角梯形，AB∥CD，AD⊥AB，PD＝AD＝CD＝2，AB＝4，所以P A＝PC＝BC＝22，PB＝26，所以其侧面积为12×2×2＋12×2×2＋12×22×4＋12×26×2＝4＋42＋23，故选D.答案：D8．(2015年北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为()A．1 B. 2C. 3 D．2解析：将三视图还原成几何体的直观图，如图，由三视图可知，底面ABCD 是边长为1的正方形，SB⊥底面ABCD，SB＝AB＝1，由勾股定理可得SA＝SC＝2，SD＝SB2＋DB2＝1＋2＝3，故四棱锥中最长棱的棱长为 3.故选C.答案：C9.如图所示，四边形A′B′C′D′是一水平放置的平面图形的斜二测画法的直观图，在斜二测直观图中，四边形A′B′C′D′是一直角梯形，A′B′∥C′D′，A′D′⊥C′D′，且B′C′与y′轴平行，若A′B′＝6，D′C′＝4，A′D′＝2，则这个平面图形的实际面积为________．解析：根据斜二测画法规则可知，该平面图形是直角梯形ABCD，且AB＝6，CD＝4.由于C′B′＝2A′D′＝2 2.所以CB＝4 2.故平面图形的实际面积为12×(6＋4)×42＝20 2.答案：20 210．已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，左视图是一个面积为2的矩形，则该正方体的主视图的面积等于________．解析：由题知此正方体的主视图与左视图是一样的，主视图的面积与左视图的面积相等，为 2.答案： 211．(2018届蚌山区校级期中)如图正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是________cm.解析：由斜二测画法的规则知与x′轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，正方形的对角线在y′轴上，可求得其长度为2，故在平面图中其在y轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为22，其原来的图形如图所示，则原图形的周长是8 cm.答案：812．已知正三棱锥V －ABC 的正视图、侧视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图； (2)求出侧视图的面积． 解：(1)如图所示．(2)根据三视图间的关系可得BC ＝23， ∴侧视图中VA ＝42－⎝ ⎛⎭⎪⎫23×32×232＝2 3.∴S △VBC ＝12×23×23＝6.[能 力 提 升]1．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图，若图中“努”在正方体的后面，那么这个正方体的前面是( )A．定B．有C．收D．获解析：这是一个正方体的平面展开图，其直观图如下：共有六个面，其中面“努”与面“有”相对，所以图中“努”在正方体的后面，则这个正方体的前面是“有”．答案：B2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BB1，BC的中点，则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正投影为()解析：M，N两点在平面ADD1A1上的射影分别为AA1，AD的中点，故选A.答案：A3．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥P－ABC的正视图与侧视图的面积的比值为________．解析：三棱锥P－ABC的正视图与侧视图都是三角形，底边长都是正方体的棱长，P的射影到底边的距离(三角形的高)都是正方体的棱长，所以，三棱锥P －ABC的正视图与侧视图的面积的比值为1.答案：14．已知圆锥的轴截面面积为4 cm2，底面面积为4π cm2，则其母线长为________．解析：设圆锥底面半径为r ，高为h ，母线长为l . 则由题意知⎩⎪⎨⎪⎧12×2r ×h ＝4，πr 2＝4π，解得⎩⎨⎧r ＝2，h ＝2.所以母线长l ＝r 2＋h 2＝22(cm)． 答案：2 2 cm5．如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6，O ′C ′＝2，则原图形的面积为________．解析：因为矩形O ′A ′B ′C ′是一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6，O ′C ′＝2，所以直观图的面积是6×2＝12. 因为直观图的面积∶原图的面积＝24， 所以原图形的面积是12÷24＝24 2. 答案：24 2。
2019届高考数学精英特训之立体几何：(1)空间几何体的结构及其三视图和直观图
精英特训（1）空间几何体的结构及其三视图和直观图一、选择题(每小题5分,共35分)1.已知一个四棱锥的高为3，其底面用斜二侧画法所画的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，则此四棱锥的体积为( ) A ．2 2 B ．6 2 C ．1 D. 2答案 A解析 因为底面用斜二侧画法所画的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，所以在直角坐标系中，底面是边长为1和3的平行四边形，且平行四边形的一条对角线垂直于平行四边形的短边，此对角线的长为22，所以该四棱锥的体积为V ＝13×22×1×3＝2 2.2.对于用“斜二测画法”画平面图形的直观图,下列说法正确的是 ( ) A.等腰三角形的直观图仍为等腰三角形 B.梯形的直观图可能不是梯形 C.正方形的直观图为平行四边形 D.正三角形的直观图一定为等腰三角形【解析】选C.根据“斜二测画法”的定义可得正方形的直观图为平行四边形.3.点M ，N 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱A 1B 1，A 1D 1的中点，用过平面AMN 和平面DNC 1的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如图，则该几何体的正(主)视图，侧(左)视图、俯视图依次为( )A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．②④③答案 B解析由直视图可知，该几何体的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图依次为②③④，故选B.4.如图,在空间直角坐标系中,已知直三棱柱的顶点A在x轴上,AB平行于y轴,侧棱AA1平行于z轴.当顶点C在y轴正半轴上运动时,以下关于此直三棱柱三视图的表述正确的是( )A.该三棱柱正视图的投影不发生变化B.该三棱柱侧视图的投影不发生变化C.该三棱柱俯视图的投影不发生变化D.该三棱柱三个视图的投影都不发生变化【解析】选B.A:该三棱柱正视图的长度是AB或者AC在y轴上的投影,随C点的运动发生变化,故错误;B:设O1是z轴上一点,且AA1=OO1,则该三棱柱侧视图就是矩形AOO1A1,图形不变,故正确;C:该三棱柱俯视图就是△ABC,随C点的运动发生变化,故错误.故D也错误.【一题多解】选B.三视图主要刻画几何体的长宽高,在C点运动过程中,只有高和宽一定不会发生改变,所以侧视图的投影不发生改变.5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体最长棱的长度为( )A．4 B．3 2C．2 2 D．2 3答案D解析由三视图可知，该几何体为如图所示的四棱锥P－ABCD，由图可知其中最长棱为PC，因为PB2＝PA2＋AB2＝22＋22＝8，所以PC2＝PB2＋BC2＝8＋22＝12，则PC＝23，故选D.6.已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是( )A.88 cm3B.104 cm3C.98 cm3D.134 cm3【解析】选D.由三视图可得,原几何体为一个长宽高分别为6 cm、4 cm、6 cm的长方体砍去一个三棱锥,且三棱锥的底面是直角边分别为3 cm、5 cm的直角三角形,高为4 cm,如图.所以该几何体的体积V=4×6×6-××3×5×4= 134(cm3).7.某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大为( )A．2 2 B．4C．2 3 D．2 6答案 C解析由三视图知该几何体为棱锥S－ABD，其中SC⊥平面ABCD，将其放在正方体中，如图所示．四面体S－ABD的四个面中△SBD的面积最大，三角形SBD是边长为22的等边三角形，所以此四面体的四个面中面积最大为34×8＝2 3.故选C.二、填空题(每小题5分,共15分)8.如图,BD是边长为3的正方形ABCD的对角线,将△BCD绕直线AB旋转一周后形成的几何体的体积等于____________.【解析】对角线BD绕着AB旋转,形成圆锥的侧面;边BC绕着AB旋转形成圆面;边CD绕着AB旋转,形成圆柱的侧面,所以该几何体是由圆柱挖去一个同底面的圆锥,所以V=π·32·3-·π·32·3=18π.答案:18π9.已知正四面体的俯视图如图所示，其中四边形ABCD 是边长为2的正方形，则这个四面体的正视图的面积为________．答案 2 2解析 由俯视图可得，原正四面体AMNC 可视作是如图所示的正方体的一内接几何体，则该正方体的棱长为2，正四面体的正视图为三角形，其面积为12×2×22＝2 2.答案:4π【方法点晴】空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时,一般过球心及接、切点作截面,把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题,再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解.(2)若球面上四点P,A,B,C 构成的三条线段PA,PB,PC 两两互相垂直,且PA=a,PB=b,PC=c,一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体,利用4R 2=a 2+b 2+c 2求解.10.如图是一个棱长为1的无盖正方体盒子的平面展开图,A,B,C,D 为其上四个点,以A,B,C,D 为顶点的三棱锥的体积为______________.【解析】根据图示可知三棱锥的底面积为,高为1,进而得到三棱锥的体积为.答案:1.(5分)已知一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图是( )答案 C解析A项中的几何体，正视图不符，侧视图也不符，俯视图中没有虚线；B项中的几何体，俯视图中不出现虚线；C项中的几何体符合三个视图；D项中的几何体，正视图不符．故选C.2.(5分)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,记该正方体的正视图与侧视图的面积分别为S1,S2,则( )A.-为定值B.为定值C.+为定值D.+为定值【解析】选 A.设投影面与侧面所成的角为α⇒S1=sin α+cos α,S2=sin(90°-α)+cos(90°-α)=sin α+cos α,S1=S2⇒-为定值.3.(5分)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱答案 B解析由题知，该几何体的三视图为一个三角形，两个四边形，经分析可知该几何体为三棱柱，故选B.4.(5分)一个透明密闭的正方体容器中,恰好盛有该容器一半容积的水,任意转动这个正方体,则水面在容器中的形状可以是:①三角形;②长方形;③正方形;④正六边形.其中正确的结论是________________.(把你认为正确的序号都填上)【解析】因为正方体容器中盛有一半容积的水,无论怎样转动,其水面总是过正方体的中心,三角形截面不过正方体的中心,故①不正确;过正方体的一对棱和中心可作一截面,截面形状为长方形,故②正确;过正方体四条互相平行的棱的中点得截面形状为正方形,该截面过正方体的中心,故③正确; 过正方体一面上相邻两边的中点以及正方体的中心得截面形状为正六边形,故④正确.答案:②③④5.(10分)已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的( )答案 C解析通过对以下四个四棱锥的三视图对照可知，只有选项C是符合要求．。
2019届高考数学第八章 立体几何与空间向量 第1讲 简单几何体的结构、三视图和直观图.1 含答案
§8.1简单几何体的结构、三视图和直观图1．简单几何体的结构特征(1)旋转体①圆柱可以由矩形绕其一边所在直线旋转得到．②圆锥可以由直角三角形绕其直角边所在直线旋转得到．③圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上、下底中点连线所在直线旋转得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到．④球可以由半圆或圆绕直径所在直线旋转得到．(2)多面体①棱柱的侧棱都平行且相等，上、下底面是全等的多边形．②棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形．③棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形． 2．直观图画直观图常用斜二测画法，其规则是：(1)在已知图形中建立直角坐标系xOy .画直观图时，它们分别对应x ′轴和y ′轴，两轴交于点O ′，使∠x ′O ′y ′＝45°，它们确定的平面表示水平平面；(2)已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x ′轴和y ′轴的线段； (3)已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y 轴的线段，长度为原来的12.3．三视图(1)主、俯视图长对正；主、左视图高平齐；俯、左视图宽相等，前后对应．(2)在三视图中，需要画出所有的轮廓线，其中，视线所见的轮廓线画实线，看不见的轮廓线面虚线．(3)同一物体放置的位置不同，所画的三视图可能不同．(4)清楚简单组合体是由哪几个基本几何体组成的，并注意它们的组成方式，特别是它们的交线位置． 知识拓展1．常见旋转体的三视图(1)球的三视图都是半径相等的圆．(2)水平放置的圆锥的主视图和左视图均为全等的等腰三角形． (3)水平放置的圆台的主视图和左视图均为全等的等腰梯形． (4)水平放置的圆柱的主视图和左视图均为全等的矩形． 2．斜二测画法中的“三变”与“三不变” “三变”⎩⎪⎨⎪⎧坐标轴的夹角改变与y 轴平行的线段的长度变为原来的一半图形改变“三不变”⎩⎪⎨⎪⎧平行性不改变与x ，z 轴平行的线段的长度不改变相对位置不改变题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．( × ) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．( × )(3)夹在两个平行的平面之间，其余的面都是梯形，这样的几何体一定是棱台．(×)(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．(×)(5)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱．(×)(6)菱形的直观图仍是菱形．(×)题组二教材改编2．由斜二测画法得到：①相等的线段和角在直观图中仍然相等；②正方形在直观图中是矩形；③等腰三角形在直观图中仍然是等腰三角形；④平行四边形的直观图仍然是平行四边形．上述结论正确的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3答案 B解析逐一考查所给的说法：①相等的线段平行时在直观图中仍然相等，原说法错误；②正方形在直观图中是平行四边形，不是矩形，原说法错误；③等腰三角形在直观图中不是等腰三角形，原说法错误；④平行四边形的直观图仍然是平行四边形，原说法正确．综上可得，结论正确的个数是1.故选B.3．在如图所示的几何体中，是棱柱的为________．(填写所有正确的序号)答案③⑤题组三易错自纠4．某简单几何体的主视图是三角形，则该几何体不可能是()A．圆柱B．圆锥C．四面体D．三棱柱答案 A解析由三视图知识知，圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其主视图为三角形，而圆柱的主视图不可能为三角形．5．(2018·珠海质检)将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥，得到如图2所示的几何体，则该几何体的左视图为()答案 B解析 左视图中能够看到线段AD 1，应画为实线，而看不到B 1C ，应画为虚线．由于AD 1与B 1C 不平行，投影为相交线，故选B.6.正三角形AOB 的边长为a ，建立如图所示的直角坐标系xOy ，则它的直观图的面积是________．答案616a 2 解析 画出坐标系x ′O ′y ′，作出△OAB 的直观图O ′A ′B ′(如图)，D ′为O ′A ′的中点．易知D ′B ′＝12DB (D 为OA 的中点)，∴S △O ′A ′B ′＝12×22S △OAB ＝24×34a 2＝616a 2.题型一 简单几何体的结构特征1．给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥； ③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3答案 A解析①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；②不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；③错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．2．下列命题中正确的为________．(填序号)①存在一个四个侧面都是直角三角形的四棱锥；②如果棱柱有一个侧面是矩形，则其余各侧面也都是矩形；③圆台的任意两条母线所在直线必相交．答案①③解析①如图中的四棱锥，底面是矩形，一条侧棱垂直于底面，那么它的四个侧面都是直角三角形，故①正确；②如图所示的棱柱有一个侧面是矩形，则其余各侧面不是矩形，故②错误；③根据圆台的定义和性质可知，命题③正确．所以答案为①③.思维升华(1)关于简单几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种简单几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一反例即可．(2)圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系．(3)既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略．题型二简单几何体的三视图命题点1已知几何体，识别三视图典例(2017·贵州七校联考)如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体ABCD的三视图是(用①②③④⑤⑥代表图形)()A．①②⑥B．①②③C．④⑤⑥D．③④⑤答案 B解析主视图应该是边长为3和4的矩形，其对角线左下到右上是实线，左上到右下是虚线，因此主视图是①，左视图应该是边长为5和4的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此左视图是②；俯视图应该是边长为3和5的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此俯视图是③.命题点2已知三视图，判断几何体的形状典例(2017·全国Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中主视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为()A．10 B．12C．14 D．16答案 B解析 观察三视图可知，该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而成的，且直三棱柱的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，侧棱长为2.三棱锥的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，高为2，如图所示．因此该多面体各个面中有两个梯形，且这两个梯形全等，梯形的上底长为2，下底长为4，高为2，故这两个梯形的面积之和为2×12×(2＋4)×2＝12.故选B.命题点3 已知三视图中的两个视图，判断第三个视图典例 (2018届辽宁凌源二中联考)如图是一个简单几何体的主视图和俯视图，则它的左视图为( )答案 B解析 由主视图和俯视图可知，该几何体是一个圆柱挖去一个圆锥构成的，结合主视图的宽及俯视图的直径可知其左视图为B ，故选B. 思维升华三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．(3)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形状，然后再找其剩下部分三视图的可能形状．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．跟踪训练 (1)(2017·全国Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( ) A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π答案 B解析 方法一 (割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示．将圆柱补全，并将圆柱从点A 处水平分成上下两部分．由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的12，所以该几何体的体积V ＝π×32×4＋π×32×6×12＝63π.故选B.方法二 (估值法)由题意知，12V圆柱<V几何体<V圆柱，又V圆柱＝π×32×10＝90π，∴45π<V几何体<90π.观察选项可知只有63π符合．故选B.(2)一个几何体的三视图中，主视图和左视图如图所示，则俯视图不可以为( )答案 C解析 A 中，该几何体是直三棱柱，∴A 有可能； B 中，该几何体是直四棱柱，∴B 有可能； C 中，由题干中主视图的中间为虚线知，C 不可能； D 中，该几何体是直四棱柱，∴D 有可能． 题型三 简单几何体的直观图典例 (2018·福州调研)已知等腰梯形ABCD ，上底CD ＝1，腰AD ＝CB ＝2，下底AB ＝3，以下底所在直线为x 轴，则由斜二测画法画出的直观图A ′B ′C ′D ′的面积为________． 答案22解析 如图所示，作出等腰梯形ABCD 的直观图．因为OE ＝(2)2－1＝1，所以O ′E ′＝12，E ′F ＝24，则直观图A ′B ′C ′D ′的面积S ′＝1＋32×24＝22.思维升华用斜二测画法画直观图的技巧在原图形中与x 轴或y 轴平行的线段在直观图中与x ′轴或y ′轴平行，原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线，原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用平滑的曲线连接而画出．跟踪训练如图，一个水平放置的平面图形的直观图(斜二测画法)是一个底角为45°、腰和上底长均为2的等腰梯形，则这个平面图形的面积是( )A ．2＋ 2B ．1＋ 2C ．4＋2 2D ．8＋4 2答案 D解析 由已知直观图根据斜二测画法规则画出原平面图形，如图所示，∴这个平面图形的面积为4×(2＋2＋22)2＝8＋42，故选D.1．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是( ) A ．球 B ．三棱锥 C ．正方体 D ．圆柱 答案 D解析 球、正方体的三视图形状都相同、大小均相等．当三棱锥的三条侧棱相等且两两垂直时，其三视图的形状都相同、大小均相等．不论圆柱如何放置，其三视图的形状都不会完全相同，故选D.2．如图为几何体的三视图，根据三视图可以判断这个几何体为( )A ．圆锥B ．三棱锥C ．三棱柱D ．三棱台答案 C3．“牟合方盖”(如图1)是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图2所示，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线，其实际直观图中四边形不存在，当其主视图和左视图完全相同时，它的主视图和俯视图分别可能是( )A．a，b B．a，c C．c，b D．b，d答案 A解析当主视图和左视图完全相同时，“牟合方盖”相对的两个曲面正对前方，主视图为一个圆，俯视图为一个正方形，且两条对角线为实线，故选A.4．(2018·成都质检)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点P是棱CD上一点，则三棱锥P－A1B1A的左视图是()答案 D解析在长方体ABCD－A1B1C1D1中，从左侧看三棱锥P－A1B1A，B1，A1，A的射影分别是C1，D1，D；AB1的射影为C1D，且为实线，P A1的射影为PD1，且为虚线．故选D. 5.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，C1D1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，则四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影不可能是()A．三角形B．正方形C．四边形D．等腰三角形答案 B解析四边形AGFE在该正方体的底面上的投影为三角形，可能为A；四边形AGFE在该正方体的前面上的投影为四边形，可能为C；四边形AGFE 在该正方体的底面上的投影为等腰三角形，可能为D ； 四边形AGFE 在该正方体的左侧面上的投影为三角形，可能为A.故选B.6．(2017·广州模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的主视图(等腰直角三角形)和左视图，且该几何体的体积为83，则该几何体的俯视图可以是( )答案 C解析 该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P —ABCD ，如图所示，该几何体的俯视图为C.7．(2017·东北师大附中、吉林市一中等五校联考)如图所示，在三棱锥D —ABC 中，已知AC ＝BC ＝CD ＝2，CD ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°.若其主视图、俯视图如图所示，则其左视图的面积为( )A. 6 B ．2 C. 3 D. 2答案 D解析 由几何体的结构特征和主视图、俯视图，得该几何体的左视图是一个直角三角形，其中一直角边为CD ，其长度为2，另一直角边为底面△ABC 的边AB 上的中线，其长度为2，则其左视图的面积S ＝12×2×2＝ 2.8.如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球O 1，O 2，这两个球外切，且球O 1与正方体共顶点A 的三个面相切，球O 2与正方体共顶点B 1的三个面相切，则两球在正方体的面AA 1C 1C 上的正投影是( )答案 B解析 由题意可以判断出两球在正方体的面上的正投影与正方形相切．由于两球球心连线AB 1与面ACC 1A 1不平行，故两球球心射影所连线段的长度小于两球半径的和，即两个投影圆相交，即为图B.9.(2017·福建龙岩联考)一水平放置的平面四边形OABC ，用斜二测画法画出它的直观图O ′A ′B ′C ′如图所示，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面四边形OABC 的面积为________．答案 2 2解析 因为直观图的面积是原图形面积的24倍，且直观图的面积为1，所以原图形的面积为2 2. 10.(2017·南昌一模)如图，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点P 是平面A 1B 1C 1D 1内一点，则三棱锥P —BCD 的主视图与左视图的面积之比为________．答案 1∶1解析 根据题意，三棱锥P —BCD 的主视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高；左视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高，故三棱锥P—BCD的主视图与左视图的面积之比为1∶1.11．如图，点O为正方体ABCD—A′B′C′D′的中心，点E为平面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的各个面上的射影可能是_______．(填出所有可能的序号)答案①②③解析空间四边形D′OEF在正方体的平面DCC′D′上的射影是①；在平面BCC′B′上的射影是②；在平面ABCD上的射影是③，而不可能出现的射影为④中的情况．12．如图，已知三棱锥P—ABC的底面是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，侧面P AB⊥底面ABC，AB＝P A＝PB＝4，则这个三棱锥的三视图中标注的尺寸x，y，z分别是________．答案23，2,2解析由三棱锥及其三视图可知，x为等边△P AB的高，所以x＝23，又因为2y为AB的长，所以2y＝4，y＝2，可得z为点C到AB的距离，由此得z＝2.13．用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体需要的小正方体的块数是()A．8 B．7 C．6 D．5答案 C解析 画出直观图，共六块．14．(2017·湖南省东部六校联考)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面的面积中，最大的面积是( )A ．4 3B ．8 3C ．47D ．8 答案 C解析 如图，设该三棱锥为P —ABC ，其中P A ⊥平面ABC ，P A ＝4，则由三视图可知△ABC 是边长为4的等边三角形，故PB ＝PC ＝42，所以S △ABC ＝12×4×23＝43，S △P AB ＝S △P AC＝12×4×4＝8，S △PBC ＝12×4×(42)2－22＝47，故四个面中面积最大的为S △PBC ＝47，故选C.15．(2017·泉州二模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的左视图中的虚线部分是( )A．圆弧B．抛物线的一部分C．椭圆的一部分D．双曲线的一部分答案 D解析根据几何体的三视图，可得左视图中的虚线部分是由平行于旋转轴的平面截圆锥所得，故左视图中的虚线部分是双曲线的一部分，故选D.16.(2018·济南模拟)一只蚂蚁从正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点A出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到顶点C1的位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的主视图的是()A．①②B．①③C．③④D．②④答案 D解析由点A经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1的位置，共有6种路线(对应6种不同的展开方式)，若把平面ABB1A1和平面BCC1B1展开到同一个平面内，连接AC1，则AC1是最短路线，且AC1会经过BB1的中点，此时对应的主视图为②；若把平面ABCD和平面CDD1C1展开到同一个平面内，连接AC1，则AC1是最短路线，且AC1会经过CD的中点，此时对应的主视图为④.而其他几种展开方式对应的主视图在题中没有出现．故选D.。
高三数学空间几何体的三视图与直观图试题答案及解析
高三数学空间几何体的三视图与直观图试题答案及解析1.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是圆锥的四分之一，其底半径为，高为，所以其体积为，故选.【考点】1.三视图；2.几何体的体积.2.若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）A．B．C．D．【答案】D．【解析】由题意可知，该几何体为一直六棱柱，∴底面六边形的面积可以看成一个矩形与两个等腰直角三角形的面积和，即，∴．【考点】空间几何体的体积．3.一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球半径为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由三视图可知：该几何体是一个如图所示的三棱锥P-ABC，它是一个正四棱锥P-ABCD 的一半，其中底面是一个两直角边都为6的直角三角形，高PE=4．设其外接球的球心为O，O点必在高线PE上，外接球半径为R，则在直角三角形BOE中，BO2=OE2+BE2=（PE-EO）2+BE2，即R2=（4-R）2+（3）2，解得：R=，故选C.【考点】三视图，球与多面体的切接问题，空间想象能力4.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与侧视图均为半径是2的圆，则这个几何体的表面积是()A．16πB．14πC．12πD．8π【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是一个球挖去了剩下的部分．其中两个半圆的面积为π×22＝4π．个球的表面积为×4π×22＝12π，所以这个几何体的表面积是12π＋4π＝16π，选A．5.若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是________．【答案】48【解析】由三视图可知，该几何体上面是个长、宽、高分别为4、2、2的长方体，下面是一个放倒的四棱柱，四棱柱的高为4，底面是个梯形，上、下底分别为2、6，高为2．所以长方体的体积为4×2×2＝16，四棱柱的体积为4××2＝32，所以该几何体的体积为32＋16＝48．6.一个多面体的三视图如图所示，则多面体的体积是（）A．B．C．D．7【答案】A【解析】由题意，该多面体的直观图是一个正方体挖去左下角三棱锥和右上角三棱锥，如下图，则多面体的体积.故选A.【考点】1.多面体的三视图与体积.7.一个几何体的三视图如图所示，这个几何体的体积是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】三视图可知：原几何体是一个小蘑菇形状，且上面是半径为4半球；下面是一个长方体，其底面是边长为2的正方形，高为3．∴该几何体的体积，故选D．【考点】三视图，空间几何体的体积.8.如图所示是某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由三视图知，几何体为底面半径为1，高为3的圆柱挖去一个与圆柱同底，高为2的圆锥，所以几何体的表面积故选【考点】几何体的三视图；几何体的表面积.9.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（）A．B．C．D．【答案】【解析】由三视图可知，该几何体是底面半径为，高为的圆锥的一半，故其体积为.选.【考点】三视图，圆锥的体积.10.某几何体的三视图如图所示, 则其表面积为 .【答案】【解析】综合三视图可知，，立体图是一个半径r=1的半个球体。
高三数学一轮复习课时作业17：空间几何体的结构、三视图和直观图
§8.1空间几何体的结构、三视图和直观图1．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是()A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱答案 D解析球、正方体的三视图形状都相同、大小均相等．当三棱锥的三条侧棱相等且两两垂直时，其三视图的形状都相同、大小均相等．不论圆柱如何放置，其三视图的形状都不会完全相同，故选D.2．如图为几何体的三视图，根据三视图可以判断这个几何体为()A．圆锥B．三棱锥C．三棱柱D．三棱台答案 C3．“牟合方盖”(如图1)是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图2所示，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线，其实际直观图中四边形不存在，当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是()A．a，b B．a，c C．c，b D．b，d答案 A解析当正视图和侧视图完全相同时，“牟合方盖”相对的两个曲面正对前方，正视图为一个圆，俯视图为一个正方形，且两条对角线为实线，故选A.4．(2018·成都质检)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点P是棱CD上一点，则三棱锥P －A1B1A的侧视图是()答案 D解析在长方体ABCD－A1B1C1D1中，从左侧看三棱锥P－A1B1A，B1，A1，A的射影分别是C1，D1，D；AB1的射影为C1D，且为实线，P A1的射影为PD1，且为虚线．故选D. 5．(2018·武汉调研)一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为()答案 A解析设O(0,0,0)，A(1,0,1)，B(1,1,0)，C(0,1,1)，将以O，A，B，C为顶点的四面体补成一正方体后，由于OA⊥BC，所以该几何体以zOx平面为投影面的正视图为A. 6．(2017·黄山质检)一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、俯视图如图所示，则其侧视图为()答案 C解析根据一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、俯视图可得几何体的直观图如图所示．所以侧视图如图所示.7．(2017·东北师大附中、吉林市一中等五校联考)如图所示，在三棱锥D—ABC中，已知AC ＝BC＝CD＝2，CD⊥平面ABC，∠ACB＝90°.若其正视图、俯视图如图所示，则其侧视图的面积为()A. 6 B．2C. 3D. 2答案 D解析由几何体的结构特征和正视图、俯视图，得该几何体的侧视图是一个直角三角形，其中一直角边为CD，其长度为2，另一直角边为底面△ABC的边AB上的中线，其长度为2，则其侧视图的面积S＝12×2×2＝ 2.8.如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1，O2，这两个球外切，且球O1与正方体共顶点A的三个面相切，球O2与正方体共顶点B1的三个面相切，则两球在正方体的面AA1C1C上的正投影是()答案 B解析由题意可以判断出两球在正方体的面上的正投影与正方形相切．由于两球球心连线AB1与面ACC1A1不平行，故两球球心射影所连线段的长度小于两球半径的和，即两个投影圆相交，即为图B.9.(2017·福建龙岩联考)一水平放置的平面四边形OABC，用斜二测画法画出它的直观图O′A′B′C′如图所示，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面四边形OABC 的面积为________．答案2 2解析因为直观图的面积是原图形面积的24倍，且直观图的面积为1，所以原图形的面积为2 2.10.(2017·南昌一模)如图，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥P—BCD的正视图与侧视图的面积之比为________．答案1∶1解析根据题意，三棱锥P—BCD的正视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高；侧视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高，故三棱锥P—BCD的正视图与侧视图的面积之比为1∶1.11．如图，点O为正方体ABCD—A′B′C′D′的中心，点E为平面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的各个面上的射影可能是________．(填出所有可能的序号)答案①②③解析空间四边形D′OEF在正方体的平面DCC′D′上的射影是①；在平面BCC′B′上的射影是②；在平面ABCD上的射影是③，而不可能出现的射影为④中的情况．12．(2018·长沙调研)某四面体的三视图如图所示，则该四面体的六条棱的长度中，最大的是________．答案27解析由三视图可知该四面体为三棱锥V—ABC，如图，其中EC＝CB＝2，AE＝23，VC＝2，AE⊥BE，VC⊥平面ABE，所以在六条棱中，最大的棱为VA或者AB.AC2＝AE2＋EC2＝(23)2＋22＝16，所以VA2＝AC2＋VC2＝16＋22＝20，此时VA＝20＝25，AB2＝AE2＋EB2＝(23)2＋42＝28，所以AB＝28＝27>25，所以棱长最大的为27.13．用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体需要的小正方体的块数是()A．8 B．7C．6 D．5答案 C解析画出直观图，共六块．14．(2017·湖南省东部六校联考)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面的面积中，最大的面积是()A．4 3 B．8 3C．47 D．8答案 C解析如图，设该三棱锥为P—ABC，其中P A⊥平面ABC，P A＝4，则由三视图可知△ABC是边长为4的等边三角形，故PB＝PC＝42，所以S△ABC＝12×4×23＝43，S△P AB＝S△P AC＝12×4×4＝8，S△PBC＝12×4×(42)2－22＝47，故四个面中面积最大的为S△PBC＝47，故选C.15．(2017·泉州二模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧视图中的虚线部分是()A．圆弧B．抛物线的一部分C．椭圆的一部分D．双曲线的一部分答案 D解析根据几何体的三视图，可得侧视图中的虚线部分是由平行于旋转轴的平面截圆锥所得，故侧视图中的虚线部分是双曲线的一部分，故选D.16.(2018·济南模拟)一只蚂蚁从正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点A出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到顶点C1的位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图的是()A．①②B．①③C．③④D．②④答案 D解析由点A经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1的位置，共有6种路线(对应6种不同的展开方式)，若把平面ABB1A1和平面BCC1B1展开到同一个平面内，连接AC1，则AC1是最短路线，且AC1会经过BB1的中点，此时对应的正视图为②；若把平面ABCD和平面CDD1C1展开到同一个平面内，连接AC1，则AC1是最短路线，且AC1会经过CD的中点，此时对应的正视图为④.而其他几种展开方式对应的正视图在题中没有出现．故选D.。
2019届高考数学复习立体几何与空间向量第1讲简单几何体的结构三视图和直观图练习理北师大版
第1讲简单几何体的结构、三视图和直观图一、选择题1.关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是( )A.棱柱的侧棱长都相等B.棱锥的侧棱长都相等C.三棱台的上、下底面是相似三角形D.有的棱台的侧棱长都相等解析根据棱锥的结构特征知，棱锥的侧棱长不一定都相等.答案 B2.如图所示的几何体是棱柱的有( )A.②③⑤B.③④⑤C.③⑤D.①③解析由棱柱的定义知③⑤两个几何体是棱柱.答案 C3.(2017·衡水中学月考)将长方体截去一个四棱锥后得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为( )解析易知左视图的投影面为矩形，又AF的投影线为虚线，即为左下角到右上角的对角线，∴该几何体的左视图为选项D.答案 D4.如图是一几何体的直观图、主视图和俯视图，该几何体的左视图为( )解析由直观图和主视图、俯视图可知，该几何体的左视图应为面PAD，且EC投影在面PAD上且为实线，点E的投影点为PA的中点，故B正确.答案 B5.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( )A.6 2B.4 2C.6D.4解析如图，设辅助正方体的棱长为4，三视图对应的多面体为三棱锥A－BCD，最长的棱为AD＝（42）2＋22＝6.答案 C6.某几何体的主视图和左视图均为如图所示的图形，则在下图的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是( )A.①③B.①④C.②④D.①②③④解析 由主视图和左视图知，该几何体为球与正四棱柱或球与圆柱体的组合体，故①③正确. 答案 A7.(2015·全国Ⅱ卷) 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( ) A.18B.17C.16D.15解析 由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥.设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为V 1＝13×12×1×1×1＝16.剩余部分的体积V 2＝13－16＝56.因此，V 1V 2＝15. 答案 D8.(2017·西安质检)一个三棱锥的主视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的左视图可能为( )解析 由题图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，其中平面ACD ⊥平面BCD .所以该三棱锥的左视图可能为选项D. 答案 D 二、填空题9.(2017·福建龙岩联考)一水平放置的平面四边形OABC ，用斜二测画法画出它的直观图O ′A ′B ′C ′如图所示，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面四边形OABC 面积为________.解析因为直观图的面积是原图形面积的24倍，且直观图的面积为1，所以原图形的面积为2 2.答案2 210.(2017·兰州模拟)已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，左视图是一个面积为2的矩形，则该正方体的主视图的面积等于________.解析由题知此正方体的主视图与左视图是一样的，主视图的面积与左视图的面积相等为2.答案 211.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为________.解析由题中三视图可知，三棱锥的直观图如图所示，其中PA⊥平面ABC，M为AC的中点，且BM⊥AC.故该三棱锥的最长棱为PC.在Rt△PAC中，PC＝PA2＋AC2＝22＋22＝2 2.答案2 212.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥P－ABC的主视图与左视图的面积的比值为________.解析三棱锥P－ABC的主视图与左视图为底边和高均相等的三角形，故它们的面积相等，面积比值为1.答案 113.在如图所示的空间直角坐标系O－xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)，给出编号①②③④的四个图，则该四面体的主视图和俯视图分别为( )A.①和②B.③和①C.④和③D.④和②解析如图，在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的主视图为④，俯视图为②.答案 D14.如图是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是( )A.4B.5C.3 2D.3 3解析由三视图知几何体的直观图如图所示，计算可知线段AF最长，且AF＝BF2＋AB2＝3 3.答案 D15.(2017·黄山中学月考)已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a 的正三角形，那么原△ABC 的面积为________.解析 如图，过C ′作y ′轴的平行线C ′D ′，与x ′轴交于点D ′. 则C ′D ′＝32a sin 45°＝62a .又C ′D ′是原△ABC 的高CD 的直观图，所以CD ＝6a . 故S △ABC ＝12AB ·CD ＝62a 2.答案62a 2 16.(2016·北京卷)某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为________.解析 由题中三视图可画出长为2、宽为1、高为1的长方体，将该几何体还原到长方体中，如图所示，该几何体为四棱柱ABCD －A ′B ′C ′D ′.故该四棱柱的体积V ＝Sh ＝12×(1＋2)×1×1＝32.答案 32。
高三人教A版(文科数学) 空间几何体的结构及其三视图与直观图 单元测试(含答案)
2019届人教A版（文科数学）空间几何体的结构及其三视图与直观图单元测试1．有下列三个说法：①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．其中正确的有A．0个B．1个C．2个D．3个2．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的正视图为A B C D3．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是A．圆柱B．圆锥C．四面体D．三棱柱4．某正四棱锥的正（主）视图和俯视图如图所示，则该正四棱锥的侧棱长是A．B．C．D．5．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是如图所示的一个正方形，则原来的图形是A．B．C．D．6．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为①长方形；②正方形；③圆；④椭圆中的A．①②B．②③C．③④D．①④7．一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是，绘制该四面体的三视图时，按照如下图所示的方向画正视图，则得到的正视图为A ．B ．C ．D ．8．已知用一个平行于棱锥底面的平面截这个棱锥，截得的棱台上、下底面面积比为1∶4，截去的棱锥的高是3cm ，则棱台的高是 A ．12cm B ．9cm C ．6cmD ．3cm9．一个正方体的内切球1O 、外接球2O 、与各棱都相切的球3O 的半径之比为 A ．1:3:2 B ．1:1:1C ．D ．1:2:310．如图， 格纸上小正方形的边长为1，粗实线和虚线画出的是某几何体的三视图，该几何体的各个面中有若干个是梯形，则这些梯形的面积之和为A ．28B ．30C ．32D ．3611．长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1BB =，设点A 关于直线1BD 的对称点为P ，则PC两点之间的距离是与1A．1BC D12．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长度为A．B．C．D．13．如图所示,E,F分别为正方体ABCD-A'B'C'D'的面ADD'A'、面BCC'B'的中心,现给出图①④的4个平面图形,则四边形BFD'E在该正方体的面上的射影可能是图.(填上所有正确图形对应的序号)14．如图所示是一个几何体的表面展开平面图,该几何体中与“数”字面相对的是“”.15．已知某一几何体的正视图与侧视图如图所示，则下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有.（填序号）16．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45︒，腰和上底均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积为 .17．正三棱锥P−ABC 中，90APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒，，AB 的中点为M ，一小蜜蜂沿锥体侧面由M 爬到C 点，最短路程是 .1．（2018新课标全国Ⅰ文 ）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为A ．172B ．52C ．3D ．22．（2018新课标全国Ⅲ文 ）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是3．（2016天津文）将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为A B C D4．（2015北京文）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥最长棱的棱长为A．1BC D．21．【答案】C2．【答案】C【解析】将正三棱柱展开,如图所示.,,则,所以从拉一条绳子绕过侧棱到达点时最短,最短绳长为.选C ．3．【答案】C【解析】通过观察剩余几何体（下半部分），可以发现C 图正确，故选C ． 4．【答案】B5．【答案】B【解析】根据斜二测画法，原来的高变成了45︒方向的线段，且长度是原高的一半，则原高为2AB =，而横向长度不变，且梯形ABCD 是直角梯形，如图，DC∴===，故选B.1．【答案】A【解析】本题主要考查棱台的结构特征．①中的平面不一定平行于底面，故①错；②③可用反例去检验，如图所示，故②③错．2．【答案】D【解析】所得几何体的正视图为一个长方形，且有一条从左下到右上的对角线，如下所示：故选D．3．【答案】A【解析】因为圆柱的三视图有两个矩形，一个圆，正视图不可能是三角形，而圆锥、四面体（三棱锥）、三棱柱的正视图都有可能是三角形，所以选A．4．【答案】B【解析】由三视图可知该正四棱锥的底面正方形的对角线长是，高为3，所以正四棱锥的侧棱长为，故选B．学5．【答案】A6．【答案】B【解析】若俯视图为正方形，则正视图中的边长3不成立；若俯视图为圆，则正视图中的边长3也不成立．所以其俯视图不可能为②正方形；③圆，故选B．7．【答案】D【解析】根据空间直角坐标系中点的位置，画出直观图如图，则正视图为D 中图形.故选D ．8．【答案】D【解析】面积比为底面边长比的平方,从而由面积比可得底面边长的比,底面边长的比与截去棱锥和原棱锥高的比相等，从而可求得原棱锥的高,即可得棱台的高.设原棱锥的高为h .依题意可得231()4h =,解得6h =，所以棱台的高为633(cm)-=.故D 正确.9．【答案】C【解析】设正方体的棱长为1，那么其内切球的半径为21，外接球的半径为23（正方体体对角线的一半），与各棱都相切的球的半径为22（正方体面对角线的一半），所以比值是1，故选C ． 【方法点睛】球与几何体的组合体的问题，尤其是相切，一般不画组合体的直观图，而是画切面图，圆心到切点的距离是半径并且垂直，如果是内切球，那么对面切点的距离就是直径，而对面切点的距离是棱长，如果与棱相切，那么对棱切点的距离就是直径，而切点在棱的中点，所以对棱中点的距离等于面对角线长，而如果外接球，那么相对顶点的距离就是直径，即正方体的体对角线是直径． 10．【答案】C【解析】由三视图可知该几何体如图所示，各个面中有两个梯形，一个矩形，两个直角三角形，则这两个梯形的面积和为.故选C ．学11．【答案】A【解析】如下图所示：12．【答案】C【解析】由三视图可知：原三棱锥为，其中，，如图，∴这个三棱锥最长棱的棱长是.故选C．13．【答案】②③【解析】四边形BFD'E在正方体ABCD-A'B'C'D'的面BCC'B'上的射影是③;在面ABCD上的射影是②;易知①④的情况不可能出现.14．【答案】学【解析】由图形可知,该几何体为三棱台，两个三角形为三棱台的上下底面，∴与“数”字面相对的是“学”.15．【答案】①②③④16．【答案】2【解析】由题意得，水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45︒，腰和上底均为1的等腰梯形，其面积为1(112S'=⨯++=，又原图形与直观图的面积比为SS='，所以原图形的面积为2S'==+17a【解析】由题意，将侧面PBC展开，那么点M到C的距离，就是在MBC△中的长度，由题中数据易得,MB BC==，90MBC PBA PBC∠=∠+∠=︒，，如果将侧面PAC展开，同理可得MC a=.1．【答案】B【解析】根据圆柱的三视图以及其本身的特征，知点M在上底面上，点N在下底面上，且可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，所以所求的最短路径的长度为，故选B．【名师点睛】该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题，在解题的过程中，需要明确两个点在几何体上所处的位置，再利用平面上两点间直线段最短，所以处理方法就是将面切开平铺，利用平面图形的相关特征求得结果.2．【答案】A3．【答案】B【解析】由题意得截去的是长方体前右上方顶点处的一个棱锥，故选B.【名师点睛】（1）解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．（2）三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何体中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．4．【答案】C【解析】四棱锥的直观图如图所示：由三视图可知，SB⊥平面ABCD，SD是四棱锥最长的棱，连接BD，则SD===，故选C.。
2019年高考数学一轮总复习第七章立体几何7.1空间几何体的结构特征及三视图与直观图课时跟踪检测理
7.1 空间几何体的结构特征及三视图与直观图[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是( )A ．三棱锥B ．四棱锥C ．四棱台D ．三棱台解析：因为正(主)视图和侧(左)视图都为三角形，可知几何体为锥体，又因为俯视图为三角形，故该几何体为三棱锥．答案：A2．(2017年浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A.π2＋1 B ．π2＋3C.3π2＋1 D ．3π2＋3解析：由图可知，几何体由半个圆锥与一个三棱锥构成，∵半圆锥的体积V 1＝12×(π×12)×3×13＝π2，三棱锥的体积V 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2×1×12×3×13＝1，∴该几何体的体积V ＝V 1＋V 2＝π2＋1.答案：A3．(2017年全国卷Ⅱ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A ．πB ．3π4C.π2D ．π4解析： 过圆柱的轴作截面，所得截面如图，则圆柱的底面半径为r ＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32，所以圆柱的体积为 πr 2·h ＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫322×1＝3π4. 答案：B4．(2017年全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( )A ．10B ．12C ．14D ．16解析：由三视图可画出立体图形，如图所示．该多面体有两个面是梯形，其面积之和为 2×(2＋4)×2÷2＝12.故选B. 答案：B5.把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起形成的三棱锥A －BCD 的正(主)视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为( )A.22 B ．12 C.24D ．14解析：由正(主)视图与俯视图可得三棱锥A －BCD 的一个侧面与底面垂直，其侧视图是直角三角形，且直角边长均为22，所以侧(左)视图的面积为S ＝12×22×22＝14. 答案：D6．已知四棱锥P －ABCD 的三视图如图所示，则四棱锥P －ABCD 的四个侧面中面积最大的是( )A ．3B ．2 5C ．6D ．8解析：四棱锥如图所示，取AD 的中点N ，BC 的中点M ，连接PM ，PN ，则PM ＝3，PN ＝5，S △PAD ＝12×4×5＝25， S △PAB ＝S △PDC ＝12×2×3＝3， S △PBC ＝12×4×3＝6.所以四个侧面中面积最大的是6. 答案：C7．(2018届山东泰安统考)一个几何体的三视图如图所示，且其侧(左)视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为( )A.＋π33B ．(4＋π) 3C.＋π32D ．＋π36解析：该几何体为一个四棱锥与一个半圆锥的组合体，四棱锥的高为3，底面为正方形；半圆锥高为3，底面是半径为1的半圆，因此体积为13×3×22＋13×3×π×122＝＋π36.答案：D8．(2017届山西太原三模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．2B ．83C ．4D ．209解析：观察三视图并依托正方体，可得该几何体直观图为A 1－ABEF ，如图所示，其体积为V正方体－V AFD －BEC －VA 1－BEC 1B 1－VA 1－FEC 1D 1＝2×2×2－12×2×1×2－13×2×(1＋2)×2×12－13×1×2×2＝83.答案：B9.一水平放置的平面四边形OABC ，用斜二测画法画出它的直观图O ′A ′B ′C ′如图所示，此图为一个边长是1的正方形，则原平面四边形OABC 的面积为________．解析：因为直观图的面积是原图形面积的24倍，且直观图的面积为1，所以原图形的面积为2 2.答案：2 210．(2017年江苏卷)如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．解析：设球的半径为R ，则V 1＝2R ×πR 2＝2πR 3，V 2＝43πR 3，所以V 1V 2＝32.答案：3211．已知正三角形ABC 的边长为2，那么△ABC 的直观图△A ′B ′C ′的面积为________． 解析：如图，图①、图②所示的分别是实际图形和直观图． 从图②可知，A ′B ′＝AB ＝2，O ′C ′＝12OC ＝32， 所以C ′D ′＝O ′C ′sin45°＝32×22＝64. 所以S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′＝12×2×64＝64.答案：6412．已知正三棱锥V －ABC 的正(主)视图、侧(左)视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图； (2)求出侧(左)视图的面积． 解：(1)直观图如图所示．(2)根据三视图间的关系可得BC ＝23， ∴侧视图中VA ＝42－⎝ ⎛⎭⎪⎫23×32×232＝23，∴S △VBC ＝12×23×23＝6.[能 力 提 升]1.(2017年全国卷Ⅰ)如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O .D 、E 、F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△FAB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△FAB ，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥．当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm 3)的最大值为________．解析：设△ABC 的边长为x ，则0<x <53，连接OD 交BC 于点P (图略)， 则OP ＝36x ，PD ＝5－36x ， ∴三棱锥的高h ＝⎝⎛⎭⎪⎫5－36x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫36x 2＝25－533x ，∴三棱锥的体积V ＝13·34x ·x ·25－533x ＝51215x 4－3x 5.令f (x )＝15x 4－3x 5，则f ′(x )＝60x 3－53x 4＝5x 3(12－3x )． 令f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝4 3. 当0<x <43时，f ′(x )>0； 当x >43时，f ′(x )<0，所以当x ＝43时，f (x )取最大值． 当x ＝43时，最大体积V ＝51234－335＝415(cm3)．答案：4152．(2017年江苏卷)如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32 cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为107 cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14 cm和62 cm.分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12 cm.现有一根玻璃棒l，其长度为40 cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)(1)将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度；(2)将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度．解：(1)设玻璃棒在CC1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，在平面ACM中，过N作NP∥MC交AC于点P.∵A1B1C1D1－ABCD为正四棱柱，∴CC1⊥平面ABCD.又∵AC⊂平面ABCD，∴CC1⊥AC，∴NP⊥AC，即NP＝12 cm，且AM2＝AC2＋MC2，解得MC＝30 cm.∵NP∥MC，∴△ANP∽△AMC，∵ANAM＝NPMC，即AN40＝1230，则AN＝16 cm.即l没入水中部分的长度为16 cm.(2)设玻璃棒在GG1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，在平面E 1EGG 1中，过点N 作NP ⊥EG 交EG 于点P ， 过点E 作EQ ⊥E 1G 1交E 1G 1于点Q . ∵EFGH －E 1F 1G 1H 1为正四棱台， ∴EE 1＝GG 1，EG ∥E 1G 1，EG ≠E 1G 1，∴EE 1G 1G 为等腰梯形，画出平面E 1EGG 1的平面图． ∵E 1G 1＝62 cm ，EG ＝14 cm ， ∴E 1Q ＝24 cm ，又在Rt △EE 1Q 中EQ ＝32 cm ，根据勾股定理得E 1E ＝40 cm. ∴sin ∠EE 1Q ＝45，sin ∠EGM ＝sin ∠EE 1G 1＝45，cos ∠EGM ＝－35.根据正弦定理得EM sin ∠EGM ＝EGsin ∠EMG ，得sin ∠EMG ＝725，∴cos ∠EMG ＝2425，∴sin ∠GEM ＝sin(∠EGM ＋∠EMG )＝ sin ∠EGM cos ∠EMG ＋cos ∠EGM sin ∠EMG ＝35，又NP ＝12 cm ， ∴EN ＝NPsin ∠GEM ＝1235＝20 cm.即l 没入水中部分的长度为20 cm.。
2019版高考数学复习立体几何第一节空间几何体的结构特征及其三视图和直观图夯基提能作业本文
第一节空间几何体的结构特征及其三视图和直观图A组基础题组1.(2015北京东城二模)若一个底面是正三角形的直三棱柱的正(主)视图如图所示,则其侧面积等于( )A.3B.4C.5D.62.(2015北京海淀一模)某三棱锥的正视图如图所示,则图①②③④中,所有可能成为这个三棱锥的俯视图的是( )A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④3.(2015北京丰台二模)如图所示,某三棱锥的正视图、俯视图均为边长为2的正三角形,则其左视图的面积为( )A.2B.C.D.4.(2017北京朝阳一模)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的底面的面积是( )A. B. C. D.5.(2016北京朝阳二模)已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥最长棱的棱长是( )A. B. C.2 D.6.(2017北京西城二模)某四面体的三视图如图所示,该四面体的体积为( )A. B.2 C. D.47.(2017北京西城模拟)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的表面积是( )A.20+2B.14+4C.26D.12+28.(2015北京东城期末)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体最长棱的棱长为cm.B组提升题组9.(2017北京昌平期末)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图为( )10.(2017北京海淀期末)已知某四棱锥的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A. B.C.2D.11.(2017北京朝阳二模)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥最长棱的棱长为( )A. B.2 C.3 D.312.(2016北京丰台一模)如图,已知三棱锥P-ABC的底面是等腰直角三角形,且∠ACB=90°,侧面PAB⊥底面ABC,AB=PA=PB=4.则这个三棱锥的三视图中标注的尺寸x,y,z分别是( )A.2,2,2B.4,2,2C.2,2,2D.2,2,213.(2018北京海淀期末)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M,N分别是棱BC、C1D1的中点,点P在平面A1B1C1D1内,点Q在线段A1N上.若PM=,则PQ长度的最小值为( )A.-1B.C.-1D.14.(2016北京西城二模)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥最长棱的长为.答案精解精析A组基础题组1.D 由题意和三棱柱的正(主)视图可知该几何体为正三棱柱,其底面边长为2,高为1,故该三棱柱的侧面积S=3×2×1=6,故选D.2.D 若俯视图为题图①,则其直观图可以为如图1所示的三棱锥A-BCD;若俯视图为题图②,则其直观图可以为如图2所示的三棱锥A-BCD;若俯视图为题图③,则其直观图可以为如图3所示的三棱锥A-BCD;若俯视图为题图④,则其直观图可以为如图4所示的三棱锥A-BCD.3.C 由几何体的正视图和俯视图得该几何体的侧视图是底为,高为的直角三角形,则其面积为××=,故选C.4.D 根据三视图将四棱锥还原到正方体中,如图中四棱锥P-ABCD,底面面积为=.故选D.5.A 将几何体(三棱锥P-ABC)还原到长方体中,由三视图知该长方体的长、宽、高分别为2、1、1.如图所示.易得PA=1,AC=1,AB=,PB=,PC=,BC=.故该三棱锥最长棱的棱长是.6.A7.A8.答案解析由三视图可知该几何体为四棱锥,其直观图如图,其中PD⊥平面ABCD,ABCD为矩形,则易知PB是四棱锥最长的棱,易求得PB== cm.B组提升题组9.B 由几何体的三视图可知,只有B项符合题意,故选B.10.B 由三视图可知,几何体是以俯视图为底面,高为2的四棱锥,体积为×2××2=,故选B.11.C 根据三视图,将三棱锥P-ABC还原到正方体中,如图.易知PA为最长棱,PB=2,AB=1,∴PA==3.12.C 作PO⊥AB于O点,连接OC,则O为AB的中点,∵面PAB∩面ABC=AB,面PAB⊥面ABC,PO⊂面PAB,∴PO⊥面ABC.∴PO为几何体的高,在Rt△PAO中可求得PO=2,故x=2.∵在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,∴由俯视图知2y=AB=4,z=OC=2.故x=2,y=2,z=2.13.C 由题意知B1M=C1M=,取B1C1的中点M1,则P点轨迹是以M1为圆心,半径为1的半圆,建立以A1为原点,以A1B1,A1D1所在直线为x轴、y轴的平面直角坐标系,则B1(2,0),C1(2,2),M1(2,1),直线A1N的方程为y=2x,点M1到A1N的距离为,即PQ长度的最小值为-1,故选C.14.答案 3解析由三视图将几何体(四棱锥P-ABCD)还原到棱长为2的正方体中,如图.∴PA=AB=AD=2,连接AC,易得PB=PD=2,CD=AC=,BC=1,∴PC===3,∴最长棱的棱长为3.。
高三数学空间几何体的三视图和直观图试题
高三数学空间几何体的三视图和直观图试题1.一个几何体的正视图与侧视图相同，均为右图所示，则其俯视图可能是【答案】B【解析】解：因为一个几何体的正视图与侧视图相同，均为右图所示，则其俯视图可能是B，是一个四棱锥和一个圆柱的组合体。
2.某空间几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积A．有最大值2B．有最大值4C．有最大值6D．有最小值2【答案】A【解析】解：因为根据已知条件可知该几何体是三棱锥，底面是等腰三角形，高为3，利用底面的斜边长为x，结合正弦定理表示体积可知，有最大值为2.3.如图，三棱锥底面为正三角形，侧面与底面垂直且,已知其主视图的面积为，则其左视图的面积为A．B．C．D．【答案】B【解析】,由题意知，该三棱锥的主视图为，设底面边长为，高，则的面积为。
又三棱锥的左视图为直角，在正中，高，所以左视图的面积为，选B.4.已知一个几何体的三视图如下，正视图和俯视图两个等腰梯形，长度单位是厘米，那么该几何体的体积是（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】由图可知，该几何体是上下底面试正方形，高度是3的四棱台，根据台体的体积公式得：，故选B.【命题意图】考查三视图和简单几何体的基本概念，台体的体积计算公式和运算能力.5.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为____________.【答案】【解析】由三视图可知，该几何体是由左右两个相同的圆柱（底面圆半径为2，高为1）与中间一个圆柱（底面圆半径为1，高为4）组合而成，故该几何体的体积是.【点评】本题考查圆柱的三视图的识别，圆柱的体积.学生们平常在生活中要多多观察身边的实物都是由什么几何形体构成的，以及它们的三视图的画法. 来年需注意以三视图为背景，考查常见组合体的表面积6.某零件的正（主）视图与侧（左）视图均是如图所示的图形（实线组成半径为的半圆，虚线是等腰三角形的两腰），俯视图是一个半径为的圆（包括圆心），则该零件的体积是A．B．C．D．【答案】C【解析】解：因为该几何体是表示的为半球体中放一个倒立的圆锥，球的半径为2，圆锥的底面半径为2，高为1，母线长为，所求的体积即为半球的体积，加上圆锥的体积，因此为7.若一个螺栓的底面是正六边形，它的主视图和俯视图如图所示，则它的体积是A．B．C．D．【答案】C【解析】解：由三视图知，几何体是一个简单的组合体，上面是一个圆柱，圆柱的底面直径是2，高是3，∴圆柱的体积是π×12×3=3π，下面是一个六棱柱，棱柱的高是2，底面的边长是3，∴六棱柱的体积是6× ×2= ，∴组合体的体积是8.一个几何体的三视图（单位：）如图所示，则此几何体的体积是．【答案】18+【解析】由3个圆想到球，由3个长方形想到长方体。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课时17 简单几何体的结构、直观图与三视图模拟训练（分值：60分建议用时：30分钟）
1．下图所示的四个几何体，其中判断正确的是( )
A．(1)不是棱柱B．(2)是棱柱
C．(3)是圆台D．(4)是棱锥
【答案】D
【解析】显然(1)符合棱柱的定义；(2)不符合；(3)中两底面不互相平行，故选D.
2．如右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t变化的可能图象是（）
【答案】:B
3．在斜二测画法的规则下，下列结论正确的是( )
A．角的水平放置的直观图不一定是角
B．相等的角在直观图中仍然相等
C．相等的线段在直观图中仍然相等
D．若两条线段平行，且相等，则在直观图中对应的两条线段仍然平行且相等
【答案】D
【解析】角在直观图中可以与原来的角不等，但仍然为角；由正方形的直观图可排除B、C，故选D.
4．一个几何体的三视图如下图所示，其中正(主)视图中△ABC是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧(左)视图的面积为( )
A.3
2
B.
1
2
C．1 D．2
【答案】A
5．一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且该梯形面积为2，则原梯形的面积为( )
A．2 B. 2
C．2 2 D．4
【答案】D
【解析】设直观图中梯形的上底为x，下底为y，高为h.则原梯形的上底为x，下底为y，高为22h，故原梯形的面积为4，选D.
【规律总结】(1)掌握直观图的概念及斜二测画法在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段.
“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半.”
(2)够由空间几何体的三视图得到它的直观图；也能够由空间几何体的直观图得到它的三视图.提升空间想象能力.
6．如图，不是正四面体的表面展开图的是( )
A．①⑥ B．②⑤
C．③④ D．④⑤
【答案】D
【解析】④⑤不能折成四面体．
7．已知三棱锥的直观图及其俯视图与侧(左)视图如下，俯视图是边长为2的正三角形，侧(左)视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正(主)视图面积为________．
【答案】2
【解析】三棱锥的正(主)视图如图所示，故正(主)视图的面积为1
2
×2×2＝2.
8． 有一粒正方体的骰子每一面有一个英文字母．下图是从3种不同角度看同一粒骰子的情况，请问H 反面的字母是________．
【答案】O
9．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 是AA 1的中点，E 是BB 1上一点，如图所示，求PE ＋EC 的最小值．
【解析】把面A 1ABB 1和面B 1BCC 1展成平面图形，如图所示，PE ＋EC 的最小值即为线段PC 的长．由于AP ＝PA 1＝1
2
，AC ＝2，
所以PC ＝
22
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫122＝172，
所以PE ＋EC 的最小值为
172
. 【评析】“化折为直”是求空间几何体表面上折线段最小值问题的基本方法，其途径是将各侧面展开．
10．如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正(主)视图和侧(左)视图在下面画出(单位：cm)．
(1)在正(主)视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； (2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积；
【解析】(1)如图．
(2)所求多面体的体积
V ＝V 长方体－V 正三棱锥＝4×4×6－1
3×⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1
2×2×2×2
＝
2843
(cm 3
)． [新题训练] （分值：10分 建议用时：10分钟）
11．（5分）如图，点O 为正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的中心，点E 为面B ′BCC ′的中心，点F 为B ′C ′的中点，则空间四边形D ′OEF 在该正方体的各个面上的正投影可能是______________(填出所有可能的序号)．
【答案】①②③
12．（5分）已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，两条侧棱长为13
2
，则第三条侧棱长的取值范围是________．
【答案】⎝
⎛⎭⎪⎫
32
，332
【解析】如图1，四面体ABCD 中，AB ＝BC ＝CA ＝1，DA ＝DC ＝
13
2
，只有棱长BD 是可以变动的．
设M 为AC 的中点，则MD ＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫1322－⎝ ⎛⎭
⎪⎫122
＝3，MB ＝32.但是要构成三棱锥，如图2所示，必须BD 1<BD<BD 2，BD 1＝MB ＝
32，BD 2＝3MB ＝332，即32<BD<332
.。