矩形的性质2
18.2.1矩形的性质(2)课件
在Rt△ABD中，AO是斜边BD的中线 A D
则有：AO= 1 BD
2
O B
直角三角形斜边上的中线等于斜边一半
具体事例1.首先以直角三角形斜边为直径画圆, 然后发现直角顶点处于( B ) A.圆内 B.圆周上 C.圆外 D.无法确定 具体事例2.长4m的竹竿贴墙而立(AB),竹竿底部 往外滑动,倒在地上(BC),则竹竿中点O的 运动轨迹是什么?运动路线有多长? A 斜边上有中点的时候, 应立即连接直角顶点.
C
B
情景引入
一位很有名望的木工师傅，招收了两名徒弟， 一天，师傅有事外出，两徒弟就自已在家练习用 两块四边形的废料各做了一扇矩形式的门，做完 之后，两人都说对方的门不是矩形，而自已 的是 矩形。
你能想一个办法确定 谁做的门是矩形吗？
方法一.
A
定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形.
D
若
ABCD中，∠B=90°
D P
C
A
Q
B
学习了本节课 你有何收获？
归纳小结
矩形判定方法1
有一个角是直角的平行四边形是矩形
矩形判定方法2
有三个角是直角的四边形是矩形。
矩形判定方法3
对角线相等的平行四边形是矩形。
作 业
1. P105 练习， 2. P112-114，
1、2、3、4、14
再 见
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
（8）一组对角互补的平行四边形是矩形；
（9）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；
（10）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的 四边形是矩形；
第2讲 矩形的性质和判定
数学辅导教案教学课题北师大版初三数学九年级上册第一章特殊的平行四边形预习教案教学目标知识目标：掌握矩形的定义，矩形的性质及其判定方法；能力目标：能灵活运用矩形的性质和判定解决简单问题，能区分矩形和平行四边形的异同点；情感态度价值观：从已有的知识学习出发，体会数学学习的乐趣.教学重点与难点重点：矩形的性质和判定定理难点：矩形性质的灵活运用教学过程第2讲矩形的性质和判定【知识梳理】一、定义：有一个是直角的平行四边形是矩形．二、性质：①矩形的四个角都是直角②矩形的对角线相互平分且相等③矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，有两条对称轴④矩形的面积S=长×宽三、判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形；④对角线相等且互相平分的四边形是矩形．四、矩形与平行四边形的区别与联系：① 相同点1、两组对边分别平行2、两组对边分别相等3、两组对角分别相等4、对角线相互平分②区别1、 有一个角是直角的平行四边形矩形2、对角线相互平分且相等【例题精讲】考点1 矩形的性质【例1】 已知：如图，在矩形ABCD 中，BE=CF ，求证：AF=DE ．【例2】如图，在矩形ABCD 中，,E F 分别是,BC AD 上的点，且BE DF =. 求证：ABE ∆≌CDF ∆.【例3】如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，60AOB ∠=︒，2AB =，则矩形的对角线AC 的长是（ ）A ．2B ．4C ．23D ．43【变式1】下列性质中，矩形具有而平行四边形不一定具有的是（ ）A 、对边相等B 、对角相等C 、对角线相等D 、对边平行【变式2】矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于O ，如果ABC ∆的周长比AOB ∆的周长大10cm ，则边AD 的长是 ．【变式3】如图，矩形ABCD 沿AE 折叠，使D 点落在BC 边上的F 点处，如果60BAF ∠=︒，则DAE ∠=考点2 矩形的判定【例4】如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 中点，四边形ABDE 是平行四边形．求证：四边形ADCE 是矩形．【例5】如图，在平行四边形ABCD 中，E 是CD 的中点，△ABE 是等边三角形，求证：四边形ABCD 是矩形．【例6】如图，平行四边形ABCD 中，AQ 、BN 、CN 、DQ 分别是DAB ∠、ABC ∠、BCD ∠、CDA ∠的平分线，AQ 与BN 交于P ，CN 与DQ 交于M ，证明：四边形PQMN 是矩形．【变式4】如图，在ABC ∆中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于点F ，且AF BD =，连结BF ．⑴、求证：BD CD =．⑵、如果AB AC =，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论．【变式5】已知，如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD 是BC 边上的高，AF 是BAC ∠的外角平分线， DE ∥AB 交AF 于E ，试说明四边形ADCE 是矩形．Y中BC边的中点，连接AE并延长AE交DG的延长线于点F.【变式6】如图11，已知E是ABCD（1）求证：△ABE△△FCE.（2）连接AC、BF，若△AEC=2△ABC，求证：四边形ABFC为矩形.【课堂训练】1、矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A、对角线相等B、对边相等C、对角相等D、对角线互相平分2、下列对矩形的判定：“（1）对角线相等的四边形是矩形；（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（3）有一个角是直角的四边形是矩形；（4）有四个角是直角的四边形是矩形；（5）四个角都相等的四边是矩形；（6）对角线相等，且有一个直角的四边形是矩形；（7）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（8）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形”中,正确的个数有（）A、3 个B、4个C、5个D、6个3、已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不一定正确的是( ) A 、 A 、AB=CD B 、AC=BD C 、当AC ⊥BD 时，它是菱形 D 、当∠ABC=90°时，它是矩形4、矩形的两条对角线所成的钝角是120°，若一条对角线的长为2,那么矩形的周长为（ ）A 、6B 、5.8C 、2（1+ 3 ）D 、5.5、如图,矩形内有两个相邻的正方形,面积分别为4和9,则阴影部分的面积为______________．6、已知：如图，在□ABCD 中，O 为边AB 的中点，且∠AOD=∠BOC ．求证：□ABCD 是矩形．第5题图 9 47、如图所示，矩形ABCD中，M是BC的中点，且MA⊥MD，若矩形的周长为36cm，求此矩形的面积．8、折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕BD，再折叠使AD边与对角线BD重合，得折痕DG，如图，若AB=2，BC=1，求AG．A.等边三角形B.等腰三角形C.不等边三角形D.等腰直角三角形2.如上右图，在矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD=90°，若矩形ABCD的周长为30 cm，则AB的长为（）A.5 cmB.10 cmC.15 cmD.7.5 cm3.下列命题中正确的是（）A.有一个角是直角的四边形是矩形B.三个角是直角的多边形是矩形C.两条对角线相等的四边形是矩形D.两条对角线相等的平行四边形是矩形4.在矩形ABCD中，AB=2AD，E是CD上一点，且AE=AB，则∠CBE等于（）A.30°B.22.5°C.15°D.以上答案都不对5. 顺次连结矩形四边中点所得的四边形一定是（）A.正方形B.矩形C.菱形D.等腰梯形6. 若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定是（）A. 矩形B. 菱形C. 对角线互相垂直的四边形D. 对角线相等的四边形四、简答题1、如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，以AB,BD为邻边作平行四边形ABDE，连接AD，EC．（1）求证：△ADC△ECD；（2）若BD=CD,求证四边形ADCE是矩形．3、2、如图，在矩形ABCD 中，对角线BD 的垂直平分线MN 与AD 相交于点M ,与BD 相较于点O ，与BC 相较于N ，连接MN DN ，．(1)求证：四边形BMDN 是菱形；(2) 若 4 , 8 ,AB AD ==求MD 的长．。
第一章矩形的性质与判定2第一课时ppt课件
7. 如图S1-2-17所示，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB⊥AD， BD=BC，∠C=60°，如果△DBC的周长为m，则AD的长为
（ ）B
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
课前预习
3. 矩形具有而菱形不具有的性质是
（ A）
A. 对角线相等
B. 两组对边分别平行
C. 对角线互相平分 D. 两组对角分别相等
4. 如图S1-2-2，矩形的两条对角线的一个交角为60°，
两条对角线的长度的和为20 cm，则这个矩形的一条较短
边的长度为 A. 10 cm
B. 8 cm
（ D）
C. 6 cm
课堂讲练
解:（1）∵四边形ABCD为矩形， ∴∠ADC=90°，OA=OD=OC=OB. ∵∠ACD=30°，∴∠DAC=90°-30°=60°. 而OA=OD， ∴△AOD为等边三角形. （2）∵△AOD为等边三角形， ∴AO=AD=2. ∴AC=2AO=4.
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
（ A）
A.
B. 4
C.
D. 8
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
课后作业
3. 如图S1-2-13，矩形ABCD的对角线交于点O，若
∠ACB=30°，AB=2，则OC的长为
2022年初中数学精品教案《矩形的性质 (2)》公开课专用
1.2 矩形的性质与判定第1课时 矩形的性质一、教学目标：1．掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系．2．会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题．3．渗透运动联系、从量变到质变的观点．二、重点、难点1．重点：矩形的性质．2．难点：矩形的性质的灵活应用．三、例题的意图分析例1是矩形性质的直接运用，它除了用以巩固所学的矩形性质外，对计算题的格式也起了一个示范作用．例2与例3都是补充的题目，其中通过例2的讲解是想让学生了解：（1）因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质，而利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法；（2）“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式．并能通过例2、例3的讲解使学生掌握解决有关矩形方面的一些计算题目与证明题的方法．四、课堂引入1．展示生活中一些平行四边形的实际应用图片（推拉门，活动衣架，篱笆、井架等），想一想：这里面应用了平行四边形的什么性质？2．思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，观察不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？为什么？（动画演示拉动过程如图）3．再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形？（小学学过的长方形）引出本课题及矩形定义．矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形)．矩形是我们最常见的图形之一，例如书桌面、教科书的封面等都有矩形形象．【探究】在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上（作出对角线），拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状．① 随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？② 当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时它的其他内角是什么样的角？它的两条对角线的长度有什么关系？操作，思考、交流、归纳后得到矩形的性质．矩形性质1 矩形的四个角都是直角．矩形性质2 矩形的对角线相等．如图，在矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，由性质2有AO=BO=CO=DO=21AC=21BD ．因此可以得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．五、例习题分析例1 已知：如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，∠AOB=60°，AB=4cm ，求矩形对角线的长． 分析：因为矩形是特殊的平行四边形，所以它具有对角线相等且互相平分的特殊性质，根据矩形的这个特性和已知，可得△OAB 是等边三角形，因此对角线的长度可求．解：∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ AC 与BD 相等且互相平分．∴ OA=OB ．又 ∠AOB=60°，∴ △OAB 是等边三角形．∴ 矩形的对角线长AC=BD = 2OA=2×4=8（cm ）．例2（补充）已知：如图 ，矩形 ABCD ，AB 长8 cm ，对角线比AD 边长4 cm ．求AD 的长及点A到BD 的距离AE 的长．分析：（1）因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质，而此题利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法．略解：设AD=xcm ，则对角线长（x+4）cm ，在Rt △ABD 中，由勾股定理：222)4(8+=+x x ，解得x=6． 则 AD=6cm ．“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式： AE×DB ＝ AD×AB ，解得 AE ＝ ．例3（补充） 已知：如图，矩形ABCD 中，E 是BC 上一点，DF ⊥AE 于F ，若AE=BC ． 求证：CE ＝EF ．分析：CE 、EF 分别是BC ，AE 等线段上的一部分，若AF ＝BE ，则问题解决，而证明AF ＝BE ，只要证明△ABE ≌△DFA 即可，在矩形中容易构造全等的直角三角形．证明：∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ ∠B=90°，且AD ∥BC ． ∴ ∠1=∠2．∵ DF ⊥AE ， ∴ ∠AFD=90°．∴ ∠B=∠AFD ．又 AD=AE ，∴ △ABE ≌△DFA （AAS ）．∴ AF=BE ．∴ EF=EC ．此题还可以连接DE ，证明△DEF ≌△DEC ，得到EF ＝EC ．六、随堂练习1．（填空）（1）矩形的定义中有两个条件：一是 ，二是 ．（2）已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30°，则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别为 、 、 、 ．（3）已知矩形的一条对角线长为10cm ，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的边长分别为 cm ， cm ， cm ， cm ．2．（选择）（1）下列说法错误的是（ ）．（A ）矩形的对角线互相平分 （B ）矩形的对角线相等（C ）有一个角是直角的四边形是矩形 （D ）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（2）矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有（ ）．（A ）2对 （B ）4对 （C ）6对 （D ）8对3．已知：如图，O 是矩形ABCD 对角线的交点，AE 平分∠BAD ，∠AOD=120°，求∠AEO 的度数．七、课后练习1．（选择）矩形的两条对角线的夹角为60°，对角线长为15cm ，较短边的长为（ ）．(A)12cm (B)10cm (C) (D)5cm2．在直角三角形ABC 中，∠C=90°，AB=2AC ，求∠A 、∠B 的度数．3．已知：矩形ABCD 中，BC=2AB ，E 是BC 的中点，求证：EA ⊥ED ．4．如图，矩形ABCD 中，AB=2BC ，且AB=AE ，求证：∠CBE 的度数．教学目标1．使学生了解多边形的内角、外角等概念．2．能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式，并会应用它们进行有关计算．重点难点1．重点：（1）多边形的内角和公式．（2）多边形的外角和公式．2．难点：多边形的内角和定理的推导．教学过程一、探究1．我们知道三角形的内角和为180°．2．我们还知道，正方形的四个角都等于90°，那么它的内角和为360°，同样长方形的内角和也是360°．3．正方形和长方形都是特殊的四边形，其内角和为360°，那么一般的四边形的内角和为多少呢？画一个任意的四边形，用量角器量出它的四个内角，计算它们的和，与同伴交流你的结果．从中你得到什么结论？同学们进行量一量，算一算及交流后老师加以归纳得到四边形的内角和为360°的感性认识，是否成为定理要进行推导．二、思考几个问题1．从四边形的一个顶点出发可以引几条对角线？它们将四边形分成几个三角形？那么四边形的内角和等于多少度？2．从五边形一个顶点出发可以引几条对角线？它们将五边形分成几个三角形？那么这五边形的内角和为多少度？3．从n边形的一个顶点出发，可以引几条对角线？它们将n边形分成几个三角形？n边形的内角和等于多少度？综上所述，你能得到多边形内角和公式吗？设多边形的边数为n，则n边形的内角和等于（n一2）·180°．想一想：要得到多边形的内角和必需通过“三角形的内角和定理”来完成，就是把一个多边形分成几个三角形．除利用对角线把多边形分成几个三角形外，还有其他的分法吗？你会用新的分法得到n边形的内角和公式吗？由同学动手并推导在与同伴交流后，老师归纳：（以五边形为例）分法一：在五边形ABCDE内任取一点O，连结OA、OB、OC、OD、OE，则得五个三角形．其五个三角形内角和为5×180°，而∠1，∠2，∠3，∠4，∠5不是五边形的内角应减去，∴五边形的内角和为5×180°一2×180°＝（5—2）×180°=540°．如果五边形变成n边形，用同样方法也可以得到n个三角形的内角和减去一个周角，即可得：n边形内角和＝n×l80°一2×180°=（n一2）×180°．分法二：在边AB上取一点O，连OE、OD、OC，则可以（5－1）个三角形，而∠1、∠2、∠3、∠4不是五边形的内角，应舍去．∴五边形的内角和为（5—1）×180°一180°＝（5—2）×180°用同样的办法，也可以把n边形分成（n一1）个三角形，把不是n边形内角的∠AOB舍去，即可得n边形的内角和为（n一2）×180°．例1如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？已知：四边形ABCD的∠A＋∠C＝180°．求：∠B与∠D的关系．分析：本题要求∠B与∠D的关系，由于已知∠A＋∠C＝180°，所以可以从四边形的内角和入手，就可得到完满的答案．解：如图，四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°。
矩形的性质与判定2
1．什么叫做平行四边形？什么叫做矩形？2．矩形有哪些性质？3．矩形与平行四边形有什么共同之处？有什么不同之处？4．事例引入：小华想要做一个矩形像框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩形像框吗？看看谁的方法可行？1、自主学习：矩形是特殊的平行四边形，怎样判定一个平行四边形是矩形呢?请同学们说出最基本的方法：（用定义）2、合作探究：知识点一：探究“对角线相等的平行四边形是矩形。
”如图在□ABCD中，对角线AC、BD相交于O，如果AC=BD求证：□ABCD是矩形。
知识点二：探究“三个角都是直角的四边形是矩形。
”已知：在四边形ABCD中∠A=∠B=∠C=90︒求证：四边形ABCD矩形【典例分析】已知平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4 cm，求这个平行四边形的面积．1、下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？（1）有一个角是直角的四边形是矩形；（2）有四个角是直角的四边形是矩形；（3）四个角都相等的四边形是矩形；（4）对角线相等的四边形是矩形；（5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；（6）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；（8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（9）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形．指出：（l）所给四边形添加的条件不满足三个的肯定不是矩形；（2）所给四边形添加的条件是三个独立条件，但若与判定方法不同，则需要利用定义和判定方法证明或举反例，才能下结论．2、如图，□ABCD中，AB= 6，BC= 8，AC= 10 ，求证: □ABCD是矩形。
3、如上图已知：□ABCD的AC、BD对角线相交于O，△AOB是等边三角形，AB=4cm,求这个平行四边形的面积。
【课后作业】必做题：习题1.5选做题：△ABC中，点O是AC边上一动点，过O点作直线MN//BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，（1）试说明EO=OF的理由。
2_矩形的性质与判定_第2课时_教案2
第一章特别平行四边形2.矩形的性质与判断 ( 二 )一、学生知识情况剖析学生在初二平行四边形一章中，已经认识了三种特别平行四边形矩形、菱形和正方形，同时，经过平行四边形和菱形的学习，进行了对平行四边形和菱形性质和判断的证明，学生已经有了必定的推理论证能力，掌握了独立证明特别平行四边形性质及判断定理的基本技术；在有关知识的学习中，学生已经经历了大批的证明活动，特别是平行四边形的有关证明推理，学生已经渐渐领会到了证明的必需性和证明在解决实质问题时的作用，进而初步具备了证明特别平行四边形性质和判断定理的能力；同时，在前面的有关活动中，学生已经初步认识了归纳、归纳及转变等数学思想方法，大批的活动经验丰富了学生的数学思想，锻炼了学生的能力，使学生具备了在解题中合理运用方法的能力。
二、教课任务剖析课本鉴于当前学生的知识和能力水平，对本课内容提出了详细的学习任务：进一步发展推理论证能力，运用综合法证明矩形的性质和判断定理，进一步领会证明的必需性和作用，领会归纳等数学思想方法。
关于本节课的知识，教科书提出的学习任务，要点集中在了学生的能力培育上，在教课时，我们应当把目标上涨一个层次，从关注学生能否能证明这些定理提升到关注学生如何找到解题思路，从关注学生能否能顺利证明提升到关注学生能否合理严实的使用数学语言严格证明，从关注学生合作解题提升到让每一个学生都能独立达成证明的过程。
能力培育不单是本节课教课过程中的近期目标，更是为此后学生学习数学知识打下基础的远景目标，能力的培育也必定带动学生感情态度目标的达成。
同时，在教课中，还一定注意对不一样层次的学生拟订不一样的教课任务，做到让每一个学生都能在讲堂上有所收获。
为此，本节课我们要达到的详细教课目的为：1．能够运用综合法和严实的数学语言证明矩形的性质和判断定理以及其余有关结论；2．经历探究、猜想、证明的过程，发展学生的推理论证能力，培育学生找到解题思路的能力，使学生进一步领会证明的必需性以及计算与证明在解决问题中的作用；3．学生经过对照前面所学知识，领会证明过程中所运用的归纳、归纳以及转变等数学思想方法；4．经过学生独立达成证明的过程，让学生领会数学是谨慎的科学，加强学生对待科学的谨慎治学态度，进而养成优秀的习惯。
矩形的性质2
A
B
C
D
E
F
G
H
1
2
3
4
学海 无涯
2、在 RtABC 中，斜边AC上旳中线
和高分别是6cm和5cm，则 RtABC 旳
A
面积S=（ 30cm2 ）。
A
D E
B
C
3、已知如图，O是矩形ABCD对角 线旳交点，AE平分∠BAD， ∠AOD=1200，求∠EAO旳度数和 ∠OEA旳度数 。
4、折叠矩形ABCD纸片，先折出折
A
D
B
C
2. 矩形ABCD中，AB=1， ∠ACB=30°，BD=__2____；
与AB相等旳线段（不涉及本身）有_5__条.
AB=AO=BO=OC=OD=CD
A
D
O
B
C
30°
3.如图， △ABC中，∠ACB= 90°， D为AB中点，AB=6cm，则 CD= 3 ______ cm。 A
D
C
B
A
D
E
B
C
探究1.已知如图:在矩形ABCD中,AC 、BD是对角
线，过顶点C作BD旳平行线与AB旳延长线相交于
E.
（1）判断△ACE旳形状：
_______
（2）证明你旳结论。
A
D
B
C
E
探究2.如图，矩形ABCO中， ∠BOC= 30°，OB=4,求点A、B、 C旳坐标 。
y
B
A
C
O
x
1、矩形旳边长为10cm和15cm,其中一种 内角旳平分线分长边为两部分，这两部 分分别为 cm, cm.
痕BD，再折叠使A落在对角线BD上A′位
矩形的性质与判定2教案
教学课题：§1.2矩形的性质与判定（2）课型：新授课
教学目标：（1）进一步理解矩形的概念，掌握矩形的性质定理；
（2）经历矩形判定定理的探究过程，进一步发展合情推理能力。
（3）能够用综合法证明矩形的判定定理，进一步发展演绎推理能力。
教学重点：矩形判定定理的探究与证明；
（三）课后作业
A: B: C:
板书设计：
教后记：
四、测:练习巩固、当堂检测
（一）练习检测
1、有一个角是的平行四边形是矩形；
2、有是直角的四边形是矩形；
3、对角线的平行四边形是矩形；
4、对角线的四边形是矩形；
5、见课本第16的随堂练习
（二）归纳总结：
（1）在平行四边形的基础上再添加一个什么条件可使这个平行四边形是矩形？
（2在四边形的基础上再添加什么条件可使这个四边形是矩形？
教学难点：探究矩形的判定定理，并利用矩形的判定定理解决简单问题
教学方法:
学情分析：
教学准备；
教学过程：
教学流程
二次备课
一、检:启发导入
问题1：矩形的定义：
问题2：矩形的性质定理：
问题3：平行四边形与矩形有怎样的关系？
二、学:自主学习
问题4：有一个角是的平行四边形叫做矩形。
问题5：有个角是直角的四边形叫做矩形。
问题6：对角线的平行四边形叫做矩形。
问判定定理2：
三、讲:精讲点拨
例1、你有什么方法检查你家（或教室）刚安装的门框是不是矩形？如果仅有一根较长的绳子，你怎样检查？请说明检查方法的合理性，并与同伴交流。
例2、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,⊿ABO是等边三角形，AB=4，求这个平行四边形ABCD面积。
1.2矩形的性质与判定(2)
又∵ ∠A=90° ∴四边形ABCD是矩形
∟
有三个角是直角的四边形是矩形
A D
几何语言：
∵ ∠A=∠B=∠C=90° ∴四边形ABCD是矩形 B
C
方法1：
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
方法2：
有三个角是直角的四边形是矩形 。
方法3：
对角线相等的平行四边形是矩形 。
（对角线互相平分且相等的四边形是矩形。）
3、已知如图四边形ABCD中，AB⊥BC， A D AD∥BC，AD=BC， 试说明四边形ABCD是矩形。
B
证明：∵ AD=CB AD∥CB ∴四边形ABCD是平行四边形 ∵AB⊥BC ∴∠B=90° ∴ □ ABCD是矩形
∟
C
4、如图，平行四边形ABCD中，AB= 6， BC= 8，AC= 10 ， A 求证 : 四边形ABCD是矩形。 证明：
矩形的判定口诀：
任意一个四边形， 三角直角定矩形。 对于平行四边形， 一个直角即可定； 对线相等也矩形。
【P15议一议】
你有什么方法检查你家（或教 室）刚安装的门框是不是矩形？
如果仅有一根较长的绳子， 你怎样检查？
下列各句判定矩形的说法是否正确？
（1）有一个角是直角的四边形是矩形；（ （2）四个角都相等的四边形是矩形； （4）对角线相等的四边形是矩形； （ ） ） ） ）
∴AC = 2OA，BD = 2OB， ∵△AOB是等边三角形 ∴OA = OB， ∴AC =BD， ∴□ABCD是矩形. 在Rt△ABC中， ∵AB = 4cm，AC=2AO=8cm,
A
O
D
B
C
∴BC=
82 42 4 3(cm),
∴S□ABCD=AB·BC = 4×4
1.2矩形的性质与判定(2)
桥山中学2014-2015学年度第一学期九年级数学教案一、出示学习目标二、自学指导（一）猜想实践1、根据上面的实践活动提出以下两个问题：（1）随着α∠的变化，两条对角线将发生怎样的变化?（2）当两条对角线相等时，平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想?2、李芳同学用四步画出一个四边形，“边、直角、边----直角、边----直角、边”，她说这就是一个矩形，她说的对吗？为什么？学生现猜想然后小组讨论，将讨论的结果进行证明。
（二）矩形的判定方法1、定义2、判定定理：定理两条对角线相等的平行四边形是矩形。
定理三个角是直角的四边形是矩形。
（1）学生独立画出图形，在教师引导下写出已知、求证；（2）对比平行四边形和菱形的判定定理的证明，对已知、求证进行分析；（3）请学生交流大体思路；（4）用规范的数学语言写出证明过程；（5）同学之间进行交流，找出自己还存在的问题。
（三）实际应用1．教师实际问题：①如果仅有一根足够长的绳子，如何判断一个四边形是平行四边形？②如果仅有一根足够长的绳子，如何判断一个四边形是菱形？③如果仅有一根足够长的绳子，如何判断一个四边形是矩形？请说明如何操作，并说明这样做的原因。
例2，学生进行分析，并解决这个问题，然后互相交流解法。
2. 给出课本P15例：如图在□ABCD中，对角线AC和BD相较于点O，△ABO是等边三角形，AB=4，求□ABCD的面积.三、课堂练习课本16页随堂练习四、课堂小结1、本节课你学到的数学知识有：学到的数学思想方法有：2、你还不明白（有困惑）的地方：五、布置作业1、必做题课本16页习题1.5.成长资源2、选做题练习册3、思考题1、下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？（1）对角线相等的四边形是矩形；（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（3）有一个角是直角的四边形是矩形；（4）有三个角都相等的四边形是矩形;（5）有三个角是直角的四边形是矩形；（6）四个角都相等的四边形是矩形；（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；（8）一组对角互补的平行四边形是矩形；（9）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；（10）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形； 说明：（l ）所给四边形添加的条件不满足三个的肯定不是矩形；（2）所给四边形添加的条件是三个独立条件，但若与定理不同，则需要利用定义和判定定理证明或举反例，才能下结论．2、你能否仅用刻度尺检验课桌的桌面是不是矩形？说出你的办法来.（分小组交流结果）3、在矩形ABCD 中,两条对角线AC 、BD 相交于点O, ∠AOB= 600，AB=3cm 。
6.2矩形的性质与判定2
猜想：
有三个角是直角的四边形是矩形 .
你能证明上述结论吗？
矩形的判定定理2： 有三个角是直角的四边形是矩形.
A
D
几何语言：
∵ ∠A=∠B=∠C=90° ∴四边形ABCD是矩形.
B
C
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
矩 形 的 判 定 方 法
有三个角是直角的四边形是矩形 .
对角线相等的平行四边形是矩形 . (对角线平分且相等的四边形是矩形)
例2
已知： ABCD中，对角线AC与BD交 于点O，△AOB是等边三角形 ，AB=1， D 求 ABCD的面积. A
O
B
C
m E n
A F B
练习
1.已知：如图， ABCD的四个内角 的平分线分别相交于E、F、G、H， 求证：四边形 EFGH为矩形．
布置作业
课本Ｐ17: 习题6.5 1 、2 题
对角线相等的平行四边形是矩形 . 猜想：
已知：平行四边形ABCD，AC=BD, 求证：四边形ABCD是矩形.
A D
B
C
矩形的判定定理1： 对角线相等的平行四边形是矩形. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形.
情境二：李同学用四步画
出了一个四边形，她的画法 是“边——直角、边——直 角、边——直角、边”这样， 她说这就是一个矩形，她的 判断对吗？为什么？
合作探究
定义判定： 有一个角是直角的平行四边形是矩形.
几何语言：
0 ABCD （已知） ∠ A=90 ∵ ABCD是矩形 （矩形的定义） ∴
你还有其它的判定方法吗？
情境一：工人师傅为了检
验两组对边相等的四边形窗 框是否成矩形，一种方法是 量一量这个四边形的两条对 角线长度，如果对角线长相 等，则窗框一定是矩形，你 知道为什么吗？
矩形的性质(2)
课题：矩形的性质（2）学习目标：（1）掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性质．（2）灵活应用矩形的性质解决相关问题．【预习案】矩形的性质：(1) 具有平行四边形的一切性质；(2) 矩形的四个角都是直角；(3)矩形的对角线相等；(4)矩形是轴对称图形．中，谁是斜边？我们把BO叫做什么线？直角三角形的一个性质：在Rt ABC哪条边上的中线？由矩形性质，有∠ABC=900，OA=OB=OC这说明：Rt△ABC中，若OB是斜边AC的，则OB= AC∴直角三角形斜边上的中线等于斜边长的写出几何语言：【探究案】例1如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,∠AOB=600,AB=4.求矩形对角线的长。
例2 如图，AB，CD交于点E，AD＝AE，CE＝BC，F，G，H分别是DE，BE，AC的中点，连接AF．求证：（1）AF⊥DE （2）∠HFG＝∠FGH例3 如图，E 是矩形ABCD 的边CB 延长线上一点， CE ＝CA ， F 为AE 中点．求证：BF ⊥FD ．例4如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD 平分∠ABC ，DE ⊥BD ，垂足为D ，DE 交BC 于点E ．求证：CD ＝12BE ．【训练案】1．下列性质矩形不一定具有的是（ ）A ．对角线相等B ．四个内角都相等C ．对角线互相平分D ．对角线互相垂直 2．已知矩形ABCD 的AB ＝2BC ，在CD 上取点E ，使AE ＝EB ，那么∠EBC 等于（ ） A ．60° B ．45° C ．30° D ．15°3．O 为矩形ABCD 的对角线交点，∠AOB ＝2∠BOC ，对角线AC ＝12，则CB ＝_________．4．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，M 、N 分别是AB 、AC 的中点，延长BC 至点D ，使CD ＝13BD ，连接 DM 、 DN 、MN ．若AB ＝6，则DN ＝_________．5．如图，在矩形ABCD 中，用尺规作对角线BD 的垂直平分线，交AB 于点G ，交DC 于点H ，若AB ＝4， BC ＝3，则AG 的长为_________．6．如图，四边形ABCD 为矩形，过点D 作对角线BD 的垂线，交BC 的延长线于点E ，取BE 的中点F ，连接 DF ，DF ＝4．设AB ＝x ，AD ＝y ，则x 2+（y －4）2的值为_________．7．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝6，点F 是AB 的中点，E 为BC 边上一点，且EF ⊥ED ，连接DF ，M 为DF 的中点，连接MA ，ME ，若AM ⊥ME ，求AE 的长． FEDCBA EDCA B （第4题） （第5题） （第6题）。
矩形的性质及判定方法
矩形的性质及判定方法
一分耕耘一份收获，付出了就能收获回报，想要了解矩形的性质的小伙伴快来瞧瞧吧！下面由小编为你精心准备了“矩形的性质及判定方法”，持续关注本站将可以持续获取更多的考试资讯！
矩形的性质
1、从边看，标准矩形对边平行且相等。
2、从角看，标准矩形四个角都是直角。
3、从对角线看，标准矩形对角线互相平分且相等。
标准矩形是轴对称图形，它有两条对称轴，它也是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。
4、具有不稳定性（易变形）。
矩形的常见判定方法如下：
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；
（2）对角线相等的平行四边形是矩形。
（3）有三个角是直角的四边形是矩形。
（4）定理：经过证明，在同一平面内，任意两角是直角，任意一组对边相等的四边形是矩形。
（5）对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
矩形的面积公式
四个内角都是直角的四边形是矩形，矩形也叫长方形，面积公式为S=a×b，其中S为长方形面积，a为长方形的长，b为长方形的宽。
矩形与平行四边形的区别
矩形：
一、定义
在几何中，长方形（又称矩形）定义为四个内角相等的四边形，即是说所有内角均为直角。
二、性质
是特殊的平行四边形；两组对边平行且相等；四个角都为90度；对角线互相平分。
平行四边形：
一、定义
在同一个二维平面内，由两组平行线段组成的闭合图形，称为平行四边形。
二、性质
两组对边平行且相等；两组对角分别相等；对角线互相平分；内角和为360度；相邻两边的夹角大于0度小于180度。
【课堂实录】矩形的性质与判定(二)-教案
【课堂实录】矩形的性质与判定(二)-教案
形；
（）
（4）对角线相等的四边形是矩
形；
（）
（5）对角线相等且互相垂直的四边形是
形；（）（6）对角线互相平分且相等的四边形是矩
形；（）（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；（）（8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（）（9）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形． ( ) （10）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形。
（）
2、能够判断一个四边形是矩形的条件是（）
A 对角线相等
B 对角线垂直C对角线互相平分且相等D对角线垂直且相等
拓展探究
1、如图3，已知□ABCD，下列条件：①AC=BD，
②AB=AD，③∠ABO=∠BAO，④AB⊥BC中，
能说明□ABCD是矩形的有（填写序号）．会学习和形成正确价值观。
使学生明白，完成练习主要是为了巩固所学知识，培养书写、表达、运算等学习技能。
（六）、板书设计
矩形的判定矩形的判定方法
11。
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八年级数学组
学习目标
1、由矩形的性质定理，可得出直角三角 形斜边中线定理，并能利用这一定定理 进行运算。 2、利用矩形的性质定理，进行实际运算。
复
习
两组对边分别平行 有一个角是直角
矩形
1.矩形是如何从平行四边形演变而来的？
四边形 平行四边形
2、矩形有哪些性质？ （1）既是轴对称图形又是中心对称图形。
2.已知△ABC是Rt△，∠ABC=900，
BD是斜边AC上的中线
6 ㎝ (1)若BD=3㎝则AC＝_____
A
D
┓
B C
10 (2) 若∠C=30°，AB＝5㎝，则AC=____cm,BD ＝____ 5 ㎝.
作
业
P101页，练习第2、3题
AB=3，BC=4 ∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：
B
E
图19.1.6
C
AC AB BC 3 4 25 1 AB BC AC BE 2 2
AB BC 3 4 BE 2.4 AC 5
已知：矩形ABCD的两条对角线相交于点 O，∠AOD=120°，AB = 4cm.求矩形对 角线的长
解：∵四边形ABCD是矩形
∴OA = OD ∵ ∠AOD=120° ∴ ∠1=30°
A
D
1
O
B
C
直角三角形30度角所对的直角边 ?
又∵ ∠BＡＤ=90°（ 等于斜边的一半
∴BD = 2AB=2×4=8cm
）
D
C
O 1.四边形ABCD是矩形 （1）.若已知AB=8，AD=6， A 10 ，OB=_____. 5 则AC＝_____ B 28 （2）.若已知AC＝10，BC=6，则矩形的周长＝____, 48 矩形的面积＝____ （3）.若已知 ∠DOC=120°，AC＝8㎝，则AD= 4 3 _____cm， AB= _____cm
㎝
B
┓
C
2 若∠C=30°，AB＝5㎝，
则AC＝ 10 ∠BDC＝
㎝，BD＝
120°
5
㎝，
3 判断△ABD形状： 等边三角形
判断△CBD形状： 等腰三角形
性质应用
例2：如图，在矩形ABCD中，AB=3．BC=4， BE⊥AC,垂足为点E，试求BE的长。 D
A
解：∵在矩形ABCD中，∠ABC=90°
（2）两组对边平行且相等。
（3）四个角是直角。
（4）对角线相等并且互相平分。
你能从中得出直角三角形 的性质吗?
A
┛
O
D
1 1 B OA=OC=OB=OD= 2 AC= 2 BD
在矩形ABCD中
C
直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中 线等于斜边的一半。 符号语言：
在Rt△ABD中，AO是斜边BD的中线
∴ △AOB 是等边三角形 ∴OA=OB=AB
D
30°
C
∴AC = 2OA(矩形的对角线互相平分) ∴AC =2AB.
你有什么发 现?能不能 概括出来?
结论:在直角三角形中，30°角所对的直
角边等于斜边的一半.
已知 : 如图 △ABC是Rt△， ∠ABC=90°，BD是斜边AC上的中线
A D
1
若BD=3㎝，则AC＝ 6
1 ∴OA= 2 BD
性质应用
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=16， BO是斜边上的中线，则BO的长为 8 。
A
O
B
C
例1.如图，矩形ABCD的两条对角线交于点O，且 ∠AOD＝120°，你能说明AC＝2AB吗？
解:∵四边形ABCD是矩形
A
60° 60°
30°
∴ OA= OB=OC=OD （ 矩形的对角线互相平分且相等 ） ∵∠AOD=120° ∴∠AOB=180°－∠AOD = 60°B