高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充学业分层测评 苏教版
2019学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充学案苏教版选修1_2word版本
3.1 数系的扩充学习目标 1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．知识点一复数的概念及代数表示思考为解决方程x2＝2在有理数范围内无解的问题，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？答案设想引入新数i，使i是方程x2＋1＝0的根，即i·i＝－1，则方程x2＋1＝0有解，同时得到一些新数．梳理(1)虚数单位i引入一个新数i，叫做虚数单位，并规定：①i2＝－1.②实数可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立．(2)复数的概念形如a＋b i(a，b∈R)的数叫做复数．全体复数所组成的集合叫做复数集，记作C.(3)复数的代数形式复数通常用字母z表示，即z＝a＋b i(a，b∈R)，其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部．知识点二复数的分类1．复数(a＋b i，a，b∈R)错误!2．集合表示：知识点三两个复数相等的充要条件思考1 由4>2能否推出4＋i>2＋i?答案不能．当两个复数都是实数时，可以比较大小，当两个复数不全是实数时，不能比较大小．思考2 两个复数能不能判断相等或不等呢？答案能．梳理在复数集C＝{a＋b i|a，b∈R}中任取两个数a＋b i，c＋d i (a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋b i与c＋d i相等的充要条件是a＝c且b＝d.1．复数z＝3i－2，则它的实部是3，虚部是－ 2.( ×)2．实部为零的复数一定是纯虚数．( ×)3．若复数z＝m＋n i，则m，n一定是复数z的实部和虚部．( ×)4．若两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．( √)类型一复数的概念例1 (1)给出下列命题：①若z∈C，则z2≥0；②2i－1虚部是2i；③2i的实部是0；④若实数a与a i对应，则实数集与纯虚数集一一对应；⑤实数集的补集是虚数集．其中真命题的序号为________．(2)已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是________．答案(1)③⑤(2)±2，5解析 (1)令z ＝i ∈C ，则i 2＝－1<0，故①不正确；②中2i －1的虚部应是2，故②不正确；④当a ＝0时，a i ＝0为实数，故④不正确；∴只有③⑤正确．(2)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a2＝2，b －2＝3，∴a ＝±2，b ＝5.反思与感悟 (1)复数的代数形式：若z ＝a ＋b i ，只有当a ，b ∈R 时，a 才是z 的实部，b 才是z 的虚部，且注意虚部不是b i ，而是b .(2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分．(3)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．跟踪训练1 下列命题：①1＋i 2＝0；②若a ∈R ，则(a ＋1)i 为纯虚数；③若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0；④两个虚数不能比较大小．是真命题的为________．(填序号)答案 ①④解析 ②当a ＝－1时，(a ＋1)i ＝0，所以②错；③当x ＝i ，y ＝1时，x 2＋y 2＝0，所以③错．①④正确．类型二 复数的分类例2 求当实数m 为何值时，z ＝m2－m －6m ＋3＋(m 2＋5m ＋6)i 分别是：(1)虚数；(2)纯虚数． 解 (1)复数z 是虚数的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧ m2＋5m ＋6≠0，m ＋3≠0⇔m ≠－3且m ≠－2.∴当m ≠－3且m ≠－2时，复数z 是虚数．(2)复数z 是纯虚数的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧ m2－m －6m ＋3＝0，m2＋5m ＋6≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－2或m ＝3，m≠－3且m≠－2⇔m ＝3.∴当m＝3时，复数z是纯虚数．引申探究1．若本例条件不变，m 为何值时，z 为实数．解 由已知得，复数z 的实部为m2－m －6m ＋3， 虚部为m 2＋5m ＋6.复数z 是实数的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧ m2＋5m ＋6＝0，m ＋3≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－2或m ＝－3，m≠－3⇔m ＝－2.∴当m ＝－2时，复数z 是实数．2．已知i 是虚数单位，m ∈R ，复数z ＝m2－m －6m ＋3＋(m 2－2m －15)i ，则当m ＝________时，z 为纯虚数．答案 3或－2解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ m2－m －6m ＋3＝0，m2－2m －15≠0，解得m ＝3或－2.反思与感悟 利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数．跟踪训练2 实数m 为何值时，复数z ＝错误!＋(m 2＋2m －3)i 分别是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解 (1)要使z 是实数，m 需满足m 2＋2m －3＝0，且错误!有意义，即m －1≠0，解得m ＝－3.(2)要使z 是虚数，m 需满足m 2＋2m －3≠0，且错误!有意义，即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.(3)要使z 是纯虚数，m 需满足错误!＝0，m －1≠0，且m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或m ＝－2.类型三 复数相等例3 已知M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}，P ＝{－1,1,4i}，若M ∪P ＝P ，求实数m 的值．解 ∵M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}， P ＝{－1,1,4i}，且M ∪P ＝P ，∴M P ，即(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1，或(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i.∴⎩⎪⎨⎪⎧ m2－2m ＝－1，m2＋m －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ m2－2m ＝0，m2＋m －2＝4，∴m ＝1或m ＝2.反思与感悟 (1)一般地，两个复数只能相等或不相等，不能比较大小．(2)复数相等的充要条件是求复数及解方程的主要依据，是复数问题实数化的桥梁纽带．(3)必须在代数形式下确定实部、虚部后才可应用．跟踪训练3 (1)已知x 0是关于x 的方程x 2－(2i －1)x ＋3m －i ＝0(m ∈R )的实根，则m 的值是________．考点 复数相等题点 由复数相等求参数答案 112 解析 由题意，得x 20－(2i －1)x 0＋3m －i ＝0，即(x 20＋x 0＋3m )＋(－2x 0－1)i ＝0，由此得⎩⎪⎨⎪⎧ x20＋x0＋3m ＝0，－2x0－1＝0⇒m ＝112. (2)已知A ＝{1,2，a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i}，B ＝{－1,3}，A ∩B ＝{3}，求实数a 的值．考点 复数相等题点 由复数相等求参数解 由题意知，a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i ＝3(a ∈R )，所以⎩⎪⎨⎪⎧a2－3a －1＝3，a2－5a －6＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4或a ＝－1，a ＝6或a ＝－1，所以a ＝－1.1．已知复数z ＝a ＋(a 2－1)i 是实数，则实数a 的值为________．答案 1或－1解析 a 2－1＝0，∴a ＝±1.2．若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝___________.答案 1解析因为(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，所以x2－1＝0且x2＋3x＋2≠0，解得x＝1.3．下列几个命题：①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；③1－a i(a∈R)是一个复数；④虚数的平方不小于0；⑤－1的平方根只有一个，即为－i；⑥i是方程x4－1＝0的一个根；⑦2i是一个无理数．其中真命题的序号为________．答案①②③⑥解析命题①②③⑥正确，④⑤⑦错误．4．已知(2m－5n)＋3i＝3n－(m＋5)i，m，n∈R，则m＋n＝________.答案－10解析由错误!解得错误!∴m＋n＝－10.5．若log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)>1，则实数x的值是________．答案－2解析由题意知错误!即错误!得x＝－2.1．对于复数z＝a＋b i(a，b∈R)，可以限制a，b的值得到复数z的不同情况．2．两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的充要条件进行判断.一、填空题1．设a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋b i是纯虚数”的________________条件．答案必要不充分解析因为a，b∈R，当“a＝0”时“复数a＋b i不一定是纯虚数，也可能b＝0，即a＋b i＝0∈R”．而当“复数a＋b i是纯虚数”，则“a＝0”一定成立．所以a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋b i是纯虚数”的必要不充分条件．2．若实数x ，y 满足(1＋i)x ＋(1－i)y ＝2，则xy ＝____________.答案 1解析 因为实数x ，y 满足(1＋i)x ＋(1－i)y ＝2，所以x ＋y ＋(x －y )i ＝2，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝0， 所以x ＝y ＝1，所以xy ＝1. 3．以－5＋2i 的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是________．答案 2－2i解析 设所求新复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 由题意知复数－5＋2i 的虚部为2，复数5i ＋2i 2＝5i ＋2×(－1)＝－2＋5i 的实部为－2，则所求的z ＝2－2i.4．若(x ＋y )i ＝x －1(x ，y ∈R )，则2x ＋y ＝________. 答案 1解析 由复数相等的充要条件知，x ＋y ＝0，∴2x ＋y ＝20＝1. 5．若复数z 1＝sin2θ＋icos θ，z 2＝cos θ＋i 3sin θ，z 1＝z 2，则θ＝________. 答案 π6＋2k π，k ∈Z 解析 由复数相等的定义，可知⎩⎨⎧ sin2θ＝cos θ，cos θ＝3sin θ，所以cos θ＝32，sin θ＝12. 所以θ＝π6＋2k π，k ∈Z . 6．已知集合M ＝{1，(m 2－3m －1)＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{1,3}，M ∩N ＝{1,3}，则实数m ＝________.答案 －1解析 根据题意知，M ∩N ＝{1,3}，故3∈M ，而M ＝{1，(m 2－3m －1)＋(m 2－5m －6)i}，则有(m 2－3m －1)＋(m 2－5m －6)i ＝3，即m 2－3m －1＝3且m 2－5m －6＝0，解得m ＝－1.7．设m ∈R ，m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m ＝________. 答案 －2解析 ⎩⎪⎨⎪⎧ m2＋m －2＝0，m2－1≠0⇒m ＝－2.8．z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i，m∈R，z2＝3－2i，则m＝1是z1＝z2的______________条件．答案充分不必要解析当z1＝z2时，必有m2＋m＋1＝3，m2＋m－4＝－2，解得m＝－2或m＝1，显然m＝1是z1＝z2的充分不必要条件．9．若复数z＝m2＋m－2＋(m2－m－2)i为实数，则实数m＝________.答案2或－1解析∵复数z＝m2＋m－2＋(m2－m－2)i为实数，∴m2－m－2＝0，解得m＝2或－1.10．复数z＝(a2－2a－3)＋(|a－2|－1)i不是纯虚数，则实数a的取值范围是________________．答案(－∞，－1)∪(－1，＋∞)解析若复数z＝(a2－2a－3)＋(|a－2|－1)i是纯虚数，则a2－2a－3＝0，|a－2|－1≠0，解得a＝－1，∴当a≠－1时，复数z＝(a2－2a－3)＋(|a－2|－1)i不是纯虚数．故答案为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．11．下列命题中，假命题的序号为________．①若x，y∈C，则x＋y i＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；②若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i；③引进虚数单位i后任何负数都可以开平方了．答案①②解析①由于x，y∈C，所以x＋y i不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，所以①是假命题；②由于两个虚数不能比较大小，所以②是假命题；③引进虚数单位i的主要目的就是能使负数也能开平方，故③是真命题．二、解答题12．已知复数z＝a2－1－(a2－3a＋2)i，a∈R.(1)当z是纯虚数时，求实数a的值；(2)当z是虚数，且z的实部比虚部大时，求实数a的取值范围．解复数z＝a2－1－(a2－3a＋2)i，a∈R.(1)当z是纯虚数时，可得a2－1＝0，a2－3a＋2≠0，解得a＝－1.(2)当z是虚数，且z的实部比虚部大时，可得a2－1>－a2＋3a－2≠0，解得a >1或a <12且a ≠2. 所以实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12∪(1,2)∪(2，＋∞)．三、探究与拓展13．若复数z ＝(sin θ＋cos θ＋1)＋(sin θ－cos θ)i 是纯虚数，则sin 2017θ＋cos 2017θ＝________.答案 －1解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＋cos θ＋1＝0， ①sin θ－cos θ≠0，由①得sin θ＋cos θ＝－1，又sin 2θ＋cos 2θ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝0，cos θ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝－1，cos θ＝0. 所以sin 2017θ＋cos 2017θ＝(－1)2017＋02017＝－1. 14．若m 为实数，z 1＝(m 2＋1)＋(m 3＋3m 2＋2m )i ，z 2＝(4m ＋2)＋(m 3－5m 2＋4m )i ，那么使z 1>z 2的m 值的集合是什么？使z 1<z 2的m 值的集合又是什么？ 解 当z 1∈R 时，m 3＋3m 2＋2m ＝0，解得m ＝0或m ＝－1或m ＝－2，∴z 1＝1或z 1＝2或z 1＝5.当z 2∈R 时，m 3－5m 2＋4m ＝0，解得m ＝0或m ＝1或m ＝4，∴z 2＝2或z 2＝6或z 2＝18.上面m 的公共值为m ＝0，此时，z 1与z 2同时为实数，且z 1＝1，z 2＝2. ∴当z 1>z 2时，m 值的集合为空集；当z 1<z 2时，m 值的集合为{0}．。
2018高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充(1)学案苏教版[1]
![2018高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充(1)学案苏教版[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/e93859be312b3169a551a4ca.png)
2018高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充(1)学案苏教版(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充(1)学案苏教版(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充(1)学案苏教版(word版可编辑修改)的全部内容。
3．1 数系的扩充[学习目标］1。
了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念。
3。
掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．［知识链接]为解决方程x2＝2，数系从有理数扩充到实数；数的概念扩充到实数集后，人们发现在实数范围内也有很多问题不能解决，如从解方程的角度看，x2＝－1这个方程在实数范围内就无解，那么怎样解决方程x2＝－1在实数系中无根的问题呢？答设想引入新数i，使i是方程x2＝－1的根，即i·i＝－1，方程x2＝－1有解，同时得到一些新数．[预习导引］1．复数的有关概念（1）复数的概念：形如a＋b i的数叫做复数，其中a，b∈R,i叫做虚数单位．a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．(2)复数的表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋b i。
(3）复数集定义:全体复数所构成的集合叫做复数集．通常用大写字母C表示．2．复数的分类及包含关系（1)复数(a＋b i，a，b∈R)错误!(2）集合表示：3．复数相等的充要条件设a,b，c，d都是实数，那么a＋b i＝c＋d i⇔a＝c且b＝d。
高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充(1)学案 苏教版选修1-2
3．1 数系的扩充[学习目标] 1.了解引进虚数单位i 的必要性，了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．[知识链接]为解决方程x 2＝2，数系从有理数扩充到实数；数的概念扩充到实数集后，人们发现在实数范围内也有很多问题不能解决，如从解方程的角度看，x 2＝－1这个方程在实数范围内就无解，那么怎样解决方程x 2＝－1在实数系中无根的问题呢？答 设想引入新数i ，使i 是方程x 2＝－1的根，即i ·i ＝－1，方程x 2＝－1有解，同时得到一些新数． [预习导引] 1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如a ＋b i 的数叫做复数，其中a ，b ∈R ，i 叫做虚数单位．a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部．(2)复数的表示方法：复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i.(3)复数集定义：全体复数所构成的集合叫做复数集．通常用大写字母C 表示． 2．复数的分类及包含关系(1)复数(a ＋b i ，a ，b ∈R )⎩⎨⎧实数(b ＝0)虚数(b ≠0)⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数(a ＝0)非纯虚数(a ≠0)(2)集合表示：3．复数相等的充要条件设a ，b ，c ，d 都是实数，那么a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d .要点一 复数的概念例1 请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数． ①2＋3i ；②－3＋12i ；③2＋i ；④π；⑤－3i ；⑥0.解 ①的实部为2，虚部为3，是虚数；②的实部为－3，虚部为12，是虚数；③的实部为2，虚部为1，是虚数；④的实部为π，虚部为0，是实数；⑤的实部为0，虚部为－3，是纯虚数；⑥的实部为0，虚部为0，是实数．规律方法 复数a ＋b i 中，实数a 和b 分别叫做复数的实部和虚部．特别注意，b 为复数的虚部而不是虚部的系数，b 连同它的符号叫做复数的虚部． 跟踪演练1 已知下列命题： ①复数a ＋b i 不是实数； ②当z ∈C 时，z 2≥0；③若(x 2－4)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±2； ④若复数z ＝a ＋b i ，则当且仅当b ≠0时，z 为虚数； ⑤若a 、b 、c 、d ∈C 时，有a ＋b i ＝c ＋d i ，则a ＝c 且b ＝d . 其中真命题的个数是________． 答案 0解析 根据复数的有关概念判断命题的真假．①是假命题，因为当a ∈R 且b ＝0时，a ＋b i 是实数．②是假命题，如当z ＝i 时，则z 2＝－1<0，③是假命题，因为由纯虚数的条件得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4＝0，x 2＋3x ＋2≠0，解得x ＝2，当x ＝－2时，对应复数为实数．④是假命题，因为没有强调a ，b ∈R .⑤是假命题，只有当a 、b 、c 、d ∈R 时，结论才成立．要点二 复数的分类例2 求当实数m 为何值时，z ＝m 2－m －6m ＋3＋(m 2＋5m ＋6)i 分别是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解 由已知得复数z 的实部为m 2－m －6m ＋3，虚部为m 2＋5m ＋6.(1)复数z 是实数的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝0，m ＋3≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2或m ＝－3，m ≠－3⇔m ＝－2.∴当m ＝－2时复数z 是实数． (2)复数z 是虚数的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6≠0，m ＋3≠0⇔m ≠－3且m ≠－2.∴当m ≠－3且m ≠－2时复数z 是虚数．(3)复数z 是纯虚数的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －6m ＋3＝0，m 2＋5m ＋6≠0⇔m ＝3.∴当m ＝3时复数z 是纯虚数．规律方法 利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数．跟踪演练2 实数k 为何值时，复数(1＋i)k 2－(3＋5i)k －2(2＋3i)分别是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零．解 由z ＝(1＋i)k 2－(3＋5i)k －2(2＋3i)＝(k 2－3k －4)＋(k 2－5k －6)i. (1)当k 2－5k －6＝0时，z ∈R ，即k ＝6或k ＝－1. (2)当k 2－5k －6≠0时，z 是虚数，即k ≠6且k ≠－1.(3)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k －4＝0k 2－5k －6≠0时，z 是纯虚数，解得k ＝4.(4)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k －4＝0k 2－5k －6＝0时，z ＝0，解得k ＝－1.要点三 两个复数相等例3 (1)已知x 2－y 2＋2xy i ＝2i ，求实数x 、y 的值．(2)关于x 的方程3x 2－a2x －1＝(10－x －2x 2)i 有实根，求实数a 的值．解 (1)∵x 2－y 2＋2xy i ＝2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝0，2xy ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.(2)设方程的实数根为x ＝m ，则原方程可变为 3m 2－a2m －1＝(10－m －2m 2)i ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3m 2－a 2m －1＝0，10－m －2m 2＝0，解得a ＝11或a ＝－715.规律方法 两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数．跟踪演练3 已知M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}，P ＝{－1,1,4i}，若M ∪P ＝P ，求实数m 的值．解 ∵M ∪P ＝P ，∴M ⊆P ，∴(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1或(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i. 由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0，解得m ＝1；由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i 得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4，解得m ＝2.综上可知m ＝1或m ＝2.1．已知复数z ＝a 2－(2－b )i 的实部和虚部分别是2和3，则实数a ，b 的值分别是________． 答案 ±2，5解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，－2＋b ＝3，得a ＝±2，b ＝5.2．在复数集中，方程x 2＋2＝0的解是x ＝________. 答案 ±2i3．如果z ＝m (m ＋1)＋(m 2－1)i 为纯虚数，则实数m 的值为________． 答案 0解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m (m ＋1)＝0，m 2－1≠0，∴m ＝0.4．下列几个命题：①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等； ②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等； ③1－a i(a ∈R )是一个复数； ④虚数的平方不小于0；⑤－1的平方根只有一个，即为－i ； ⑥i 是方程x 4－1＝0的一个根； ⑦2i 是一个无理数．其中正确命题的个数为________．答案 4解析 命题①②③⑥正确，④⑤⑦错误．1.对于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，可以限制a ，b 的值得到复数z 的不同情况．2．两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的条件进行判断.一、基础达标1．如果z ＝(m 2－4)＋(m －2)i 为纯虚数，则实数m 的值为________． 答案 －2解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4＝0m －2≠0，∴m ＝－2.2．设a ，b ∈R .“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的________条件． 答案 必要不充分解析 因为a ，b ∈R .“a ＝0”时“复数a ＋b i 不一定是纯虚数”．“复数a ＋b i 是纯虚数”则“a ＝0”一定成立．所以a ，b ∈R .“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的必要不充分条件． 3．以－5＋2i 的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是________． 答案 2－2i解析 设所求新复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由题意知：复数－5＋2i 的虚部为2；复数5i ＋2i 2＝5i ＋2×(－1)＝－2＋5i 的实部为－2，则所求的z ＝2－2i. 4．若(x ＋y )i ＝x －1(x ，y ∈R )，则2x ＋y的值为________．答案 1解析 由复数相等的充要条件知，x ＋y ＝0，∴2x ＋y ＝20＝1.5．z 1＝－3－4i ，z 2＝(n 2－3m －1)＋(n 2－m －6)i ，且z 1＝z 2，则实数m ＝________，n ＝________. 答案 2 ±2解析 由z 1＝z 2得⎩⎪⎨⎪⎧－3＝n 2－3m －1，－4＝n 2－m －6，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝±2.6．设m ∈R ，m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m ＝________. 答案 －2解析 ⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2＝0m 2－1≠0⇒m ＝－2.7．已知(2x －y ＋1)＋(y －2)i ＝0，求实数x ，y 的值． 解 ∵(2x －y ＋1)＋(y －2)i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝0，y －2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝2.∴实数x ，y 的值分别为12，2.二、能力提升8．若(x 3－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x 的值是________． 答案 1解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 3－1＝0，x 2＋3x ＋2≠0，解得x ＝1.9．若sin2θ－1＋i(2cos θ＋1)是纯虚数，则θ的值为________． 答案 2k π＋π4(k ∈Z )解析 由题意，得⎩⎨⎧sin2θ－1＝0，2cos θ＋1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧θ＝k π＋π4θ≠2k π±3π4(k ∈Z )，∴θ＝2k π＋π4，k ∈Z . 10．在给出下列几个命题中，正确命题的个数为________． ①若x 是实数，则x 可能不是复数； ②若z 是虚数，则z 不是实数；③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零； ④－1没有平方根． 答案 1解析 因实数是复数，故①错；②正确；因复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故③错；因－1的平方根为±i ，故④错．11．实数m 分别为何值时，复数z ＝2m 2＋m －3m ＋3＋(m 2－3m －18)i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解 (1)要使所给复数为实数，必使复数的虚部为0.故若使z 为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －18＝0m ＋3≠0，解得m ＝6.所以当m ＝6时，z 为实数．(2)要使所给复数为虚数，必使复数的虚部不为0.故若使z 为虚数，则m 2－3m －18≠0，且m ＋3≠0，解得m ≠6且m ≠－3， 所以当m ≠6且m ≠－3时，z 为虚数．(3)要使所给复数为纯虚数，必使复数的实部为0，虚部不为0. 故若使z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3＝0m ＋3≠0m 2－3m －18≠0，解得m ＝－32或m ＝1.所以当m ＝－32或m ＝1时，z 为纯虚数．12．若m 为实数，z 1＝(m 2＋1)＋(m 3＋3m 2＋2m )i ，z 2＝(4m ＋2)＋(m 3－5m 2＋4m )i ，那么使z 1>z 2的m 值的集合是什么？使z 1<z 2的m 的值的集合又是什么？ 解 当z 1∈R 时，m 3＋3m 2＋2m ＝0， 解得m ＝0或m ＝－1或m ＝－2， ∴z 1＝1或z 1＝2或z 1＝5. 当z 2∈R 时，m 3－5m 2＋4m ＝0， 解得m ＝0或m ＝1或m ＝4， ∴z 2＝2或z 2＝6或z 2＝18.上面m 的公共值为m ＝0，此时，z 1与z 2同时为实数，且z 1＝1，z 2＝2. ∴当z 1>z 2时，m 值的集合为空集；当z 1<z 2时，m 值的集合为{0}． 三、探究与创新13．如果log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i>－1，如何求自然数m ，n 的值？解 因为log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i>－1，所以log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i 是实数，从而有错误!由①得m ＝0或m ＝3，当m ＝0时，代入②得n <2，又m ＋n >0，所以n ＝1； 当m ＝3时，代入②得n <－1，与n 是自然数矛盾， 综上可得m ＝0，n ＝1.。
秋高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.1.2复数的几何意义学案新人
2018年秋高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.1.2 复数的几何意义学案新人教A版选修1-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年秋高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.1.2 复数的几何意义学案新人教A版选修1-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018年秋高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.1.2 复数的几何意义学案新人教A版选修1-2的全部内容。
3.1。
2 复数的几何意义学习目标：1。
理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系．（重点、难点）2.掌握实轴、虚轴、模等概念．（易混点)3。
掌握用向量的模来表示复数的模的方法．（重点)[自主预习·探新知]1．复平面思考：有些同学说：实轴上的点表示实数,虚轴上的点表示虚数，这句话对吗？［提示］不正确．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．2．复数的几何意义3．复数的模（1）定义：向量错误!的模叫做复数z＝a＋b i的模．（2）记法：复数z＝a＋b i的模记为｜z|或｜a＋b i｜且|z|＝错误!.[基础自测]1．思考辨析（1）复平面内的点与复数是一一对应的．( ）（2)复数即为向量，反之，向量即为复数．（）（3）复数的模一定是正实数．（）（4)复数与向量一一对应．（）[答案]（1)√(2)×（3）×（4)×2．已知复数z＝－i，复平面内对应点Z的坐标为( ）A．(0,－1）B．(－1，0）C．（0,0) D．（－1,－1)A［复数z＝－i的实部为0，虚部为－1,故复平面内对应点Z的坐标为（0，－1)．] 3．向量a＝(－2,1）所对应的复数是( ）A．z＝1＋2i B．z＝1－2iC．z＝－1＋2i D．z＝－2＋iD［向量a＝（－2，1）所对应的复数是z＝－2＋i.]4．已知复数z＝1＋2i(i是虚数单位），则｜z｜＝________.5［∵z＝1＋2i，∴|z|＝错误!＝错误!。
2017_2018版高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3_1数系的扩充学案苏教版选修1_2
3.1 数系的扩充学习目标 1.了解引进虚数单位i 的必要性，了解数集的扩充过程. 2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．知识点一 复数的概念及代数表示思考1 方程x 2＋1＝0在实数范围内有解吗？思考2 若有一个新数i 满足i 2＝－1，试想方程x 2＋1＝0有解吗？1．复数的定义形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中i 叫做______________，满足i 2＝________.全体复数所组成的集合叫做__________，记作C . 2．复数的表示复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，这一表示形式叫做复数的____________，a 与b 分别叫做复数z 的________与________．知识点二 复数的分类思考1 复数z ＝a ＋b i 在什么情况下表示实数？思考2 实数集R 和复数集C 有怎样的关系？1．复数a ＋b i(a ，b ∈R )⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0， b ≠0当a ＝0时为纯虚数2．集合表示：知识点三 复数相等的充要条件在复数集C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }中任取两个复数a ＋b i ，c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，规定a ＋b i 与c ＋d i 相等的充要条件是________________．类型一 复数的基本概念例1 下列命题中，正确命题的个数是________． ①若x ，y ∈C ，则x ＋y i ＝1＋i 的充要条件是x ＝y ＝1； ②若a ，b ∈R 且a >b ，则a ＋i>b ＋i ； ③若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0；④一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零； ⑤－1没有平方根．反思与感悟 (1)正确理解复数的有关概念是解答复数概念题的关键，另外在判断命题的真假性时，需通过逻辑推理加以证明，但否定一个命题的真假性时，只需举一个反例即可，所以在解答这类题型时，可按照“先特殊，后一般”、“先否定，后肯定”的方法进行解答． (2)复数的实部与虚部的确定方法首先将所给的复数化简为复数的代数形式，然后根据实部与虚部的概念确定实部、虚部． 跟踪训练1 若复数z ＝3＋b i>0(b ∈R )，则b 的值是________． 类型二 复数的分类例2 实数m 为何值时，复数z ＝m m ＋2m －1＋(m 2＋2m －3)i 是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．反思与感悟 利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数．跟踪训练2 把例2中的“z ”换成“z ＝lg m ＋(m －1)i”，分别求相应问题．类型三复数相等例3 已知集合M＝{1,2，(m2－3m－1)＋(m2－5m－6)i}，集合P＝{－1,3}，若M∩P＝{3}，求实数m的值．反思与感悟两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数．跟踪训练3 已知x 2－x －6x ＋1＝(x 2－2x －3)i(x ∈R )，求x 的值．1．在2＋7，27i,0,8＋5i ，(1－3)i,0.618这几个数中，纯虚数的个数为________．2．以2i －5的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是____________． 3．若x i －i 2＝y ＋2i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i ＝__________. 4．下列命题：①若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数；②若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i(x ∈R )是纯虚数，则x ＝±1；③两个虚数不能比较大小．其中正确命题的序号是________．5．已知复数z ＝a 2－7a ＋6a 2－1＋(a 2－5a －6)i(a ∈R )，试求实数a 分别取什么值时，z 分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．1．对于复数z＝a＋b i(a，b∈R)，可以限制a，b的值得到复数z的不同情况．2．两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的充要条件进行判断．答案精析问题导学 知识点一 思考1 没有．思考2 有解，但不在实数范围内． 1．虚数单位 －1 复数集 2．代数形式 实部 虚部 知识点二 思考1 b ＝0. 思考2 R C . 1．实数 虚数 知识点三a ＝c 且b ＝d题型探究 例1 0解析 ①由于x ，y ∈C ，所以x ＋y i 不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，所以①是假命题．②由于两个虚数不能比较大小，所以②是假命题． ③当x ＝1，y ＝i 时，x 2＋y 2＝0也成立，所以③是假命题．④当一个复数实部等于零，虚部也等于零时，复数为0，所以④是假命题． ⑤－1的平方根为±i，所以⑤是假命题． 跟踪训练1 0解析 只有实数才可比较大小，既然有z ＝3＋b i>0，则说明z ＝3＋b i 是实数，故b ＝0. 例2 解 (1)要使z 是实数，m 需满足m 2＋2m －3＝0，且m m ＋2m －1有意义即m －1≠0，解得m ＝－3.(2)要使z 是虚数，m 需满足m 2＋2m －3≠0，且m m ＋2m －1有意义即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.(3)要使z 是纯虚数，m 需满足m m ＋2m －1＝0，m －1≠0，且m 2＋2m －3≠0， 解得m ＝0或m ＝－2.跟踪训练2 解 (1)当⎩⎪⎨⎪⎧m >0，m －1＝0，即m ＝1时，复数z 是实数．(2)当m －1≠0且m >0时，即m >0且m ≠1时，复数z 是虚数．(3)当lg m ＝0且m －1≠0时，此时无解，即无论实数m 取何值均不能表示纯虚数． 例3 解 由题设知3∈M ， ∴(m 2－3m －1)＋(m 2－5m －6)i ＝3. 根据复数相等的定义，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －1＝3，m 2－5m －6＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4或m ＝－1，m ＝6或m ＝－1，∴m ＝－1.跟踪训练3 解 ∵x ∈R ，∴x 2－x －6x ＋1∈R ，由复数相等的条件得：⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6x ＋1＝0，x 2－2x －3＝0，解得x ＝3. 达标检测 1．2解析 27i ，(1－3)i 是纯虚数，2＋7，0,0.618是实数，8＋5i 是虚数．2．2－2i解析 2i －5的虚部为2，5i ＋2i 2的实部为－2， ∴所求的复数z ＝2－2i. 3．2＋i解析 由i 2＝－1得x i －i 2＝1＋x i ，即1＋x i ＝y ＋2i ，根据两个复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，∴x ＋y i ＝2＋i.4．③解析 当a ＝－1时，(a ＋1)i ＝0，故①错误；两个虚数不能比较大小，故③对；若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x 2＋3x ＋2≠0，即x ＝1，故②错．5．解 (1)当z 为实数时，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6＝0，a 2－1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1或a ＝6，a ≠±1.∴当a ＝6时，z 为实数．(2)当z 为虚数时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6≠0，a 2－1≠0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≠－1且a ≠6，a ≠±1，即a ≠±1且a ≠6.∴当a ≠±1且a ≠6时，z 为虚数．(3)当z 为纯虚数时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6≠0，a 2－7a ＋6a 2－1＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≠－1且a ≠6，a ＝6且a ≠±1.∴不存在实数a 使z 为纯虚数．。
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念学业分层测评含解析新人教A版选修2_2
【答案】A
5．复数i－2的虚部是()
A．iB．－2
C．1D．2
【解析】i－2＝－2＋i，因此虚部是1.
【答案】C
二、填空题
6．设i为虚数单位，若复数z＝(m2＋2m－3)＋(m－1)i是纯虚数，则实数m＝__________.
【解析】依题意有 解得m＝－3.
得 解得m＝1；
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i，
得 解得m＝2.
综上可知，m＝1或m＝2.
[能力提升]
1．若复数z＝ ＋ i是纯虚数，则tan 的值为()
A．－7B．－
C．7D．－7或－
【解析】∵复数z是纯虚数，
∴ ∴sinθ＝ 且cosθ≠ ，∴cosθ＝－ .
∴tanθ＝ ＝－ .
∴tan ＝ ＝ ＝－7，故选A.
A．C＝R∪IB．R∪I＝{0}
C．R＝C∩ID．R∩I＝∅
【解析】复数包括实数与虚数，所以实数集与纯虚数集无交集．∴R∩I＝∅，故选D.
【答案】D
3．(2016·肇庆高二检测)若xi－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi＝()
A．－2＋iB．2＋i
C．1－2iD．1＋2i
【解析】由i2＝－1，得xi－i2＝1＋xi，则由题意得1＋xi＝y＋2i，根据复数相等的充要条件得x＝2，y＝1，故x＋yi＝2＋i.
【答案】B
4．下列命题中，正确命题的个数是()
①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；
②若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i；
③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0.
A．0B．1
C．2D．3
【解析】对于①，由于x，y∈C，所以x，y不一定是x＋yi的实部和虚部，故①是假命题；
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充与复数的概念 3.1.1 数系的扩充和复
【微思考】 1.两个复数一定能比较大小吗? 提示:不能. 2.复数a+bi的实部是a,虚部是b吗? 提示:只有a,b都是实数时才是.
主题2 复数的相等和分类 1.复数z=a+bi(a,b∈R)中实部与虚部分别为零时表示 什么数? 提示:虚部b=0时,z=a是一个实数; 虚部b≠0时,z=a+bi是一个虚数; 虚部b≠0,实部a=0时,z=bi是纯虚数.
【解析】选B.若复数a-bi为纯虚数,则a=0且b≠0,故 ab=0.而由ab=0不一定能得到复数a-bi是纯虚数,故 “ab=0”是“复数a-bi为纯虚数”的必要不充分条件.
类型二 复数的分类
【典例2】设
z log1 m 1 ilog2 5 m(mR).
(1)若z是虚数,求m的2 取值范围.
【解析】要使z为实数,故其虚部log2(5-m)=0,m应满足
的条件是 5 m 1, m 1 0,
解得m=4.
【方法总结】 1.解决复数分类问题的方法与步骤 (1)化标准式:解题时一定要先看复数是否为 a+bi(a,b∈R)的形式,以确定实部和虚部.
(2)定条件:复数的分类问题可以转化为复数的实部与 虚部应该满足的条件问题,列出实部和虚部满足的方程 (不等式)组即可. (3)下结论:设所给复数为z=a+bi(a,b∈R),①z为实数 ⇔b=0;②z为虚数⇔b≠0;③z为纯虚数⇔a=0且b≠0.
m应满足的条件是
m 1 5 m
0解, 得1<m<5,且m≠4. 0,
5 m 1,
(2)因为z是纯虚数,故其实部 lo(gm1 -1)=0,虚部
log2(5-m)≠0,
2
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充和复数的概念（第2课时）课堂探究 新人教A 版选修1-2探究一 复数的几何意义复数集与复平面内所有的点所成的集合之间存在着一一对应关系，每一个复数都对应着复平面内的一个点，复数的实部对应着该点的横坐标，而虚部则对应该点的纵坐标，这样在复平面内就可根据点的位置确定复数实部、虚部应满足的条件．【典型例题1】当实数m 分别为何值时，复数(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i 在复平面内对应的点：(1)位于第四象限？(2)位于x 轴的负半轴上？(3)位于y 轴的正半轴上？思路分析：复数a ＋b i(a ，b ∈R )在复平面内对应的点位于第四象限应满足a ＞0且b ＜0；位于x 轴的负半轴上应满足a ＜0且b ＝0；位于y 轴的正半轴上，应满足a ＝0且b ＞0.解：(1)当复数(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i 在复平面内对应的点位于第四象限时， 有⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－8m ＋15＞0，m 2＋3m －28＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＜3或m ＞5，－7＜m ＜4，∴－7＜m ＜3.故当－7＜m ＜3时，该复数在复平面内对应的点位于第四象限．(2)当复数(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i 在复平面内对应的点位于x 轴的负半轴上时，有⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－8m ＋15＜0，m 2＋3m －28＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ 3＜m ＜5，m ＝－7或m ＝4，∴m ＝4.故当m ＝4时，该复数在复平面内对应的点位于x 轴的负半轴上．(3)当复数(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i 在复平面内对应的点位于y 轴的正半轴上时，有⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－8m ＋15＝0，m 2＋3m －28＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝3或m ＝5，m ＞4或m ＜－7，∴m ＝5.故当m ＝5时，该复数在复平面内对应的点位于y 轴的正半轴上．温馨提示 判断复数z 在复平面内对应的点的位置时，首先要明确复数z 的实部和虚部． 探究二 复数的模计算复数的模，要先找出复数的实部和虚部，然后利用复数模的计算公式求解．复数z＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模就是向量OZ →＝(a ，b )的模，所以|z |＝|OZ →|＝a 2＋b 2.【典型例题2】求复数z 1＝3＋4i 及z 2＝－12－2i 的模，并比较它们的模的大小． 思路分析：先确定复数的实、虚部，再代入公式即可．解：|z 1|＝32＋42＝5，|z 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋－22＝32. ∵5＞32，即|z 1|＞|z 2|. 温馨提示 复数一般不能比较大小，但复数的模可以比较大小．探究三 复数几何意义的应用(1)复数的两种几何意义：一是复数与复平面内的点一一对应；二是复数与平面向量一一对应．(2)复数与复平面内向量的对应：复数的实部、虚部是对应向量的坐标，利用这一点，可把复数问题转化为向量问题．【典型例题3】在复平面上，复数i,1,4＋2i 对应的点分别是A ，B ，C .求平行四边形ABCD 的顶点D 所对应的复数．思路分析：方法一：复数→点的坐标→中点坐标公式→点D 的坐标→点D 对应的复数．方法二：复数→向量→向量运算→OD →→点D 对应的复数解法一：由已知，得点A ，B ，C 的坐标分别为A (0,1)，B (1,0)，C (4,2)，则AC 的中点为E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32. 由平行四边形的性质，知E 也是BD 的中点．设点D 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋12＝2，y ＋02＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝3.即点D 的坐标为(3,3)．故D 点对应的复数为3＋3i.解法二：由已知，得OA →＝(0,1)，OB →＝(1,0)，OC →＝(4,2)，∴BA →＝(－1,1)，BC →＝(3,2)．∴BD →＝BA →＋BC →＝(2,3)．∴OD →＝OB →＋BD →＝(3,3)．∴点D 对应的复数为3＋3i.探究四 易错辨析易错点 混淆绝对值与模的概念致错【典型例题4】已知复数z 满足|z |2－2|z |－3＝0，则复数z 对应的点Z 的轨迹是( )A ．2个点B ．1个圆C．2个圆 D．1条线段错解：A错因分析：由|z|2－2|z|－3＝0，得(|z|＋1)(|z|－3)＝0，因为|z|＋1＞0，所以|z|＝3，即z＝±3，表示两个点．错误原因在于将绝对值与模的概念混为一谈．正解：由|z|＝3，知表示复数z的点到原点的距离为3，即其轨迹是以原点为圆心，以3为半径的圆．选B.。
高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充222数学
12/9/2021
第十七页，共三十七页。
复数的分类 当实数 m 为何值时，复数 z＝m2＋mm－6＋(m2－2m)i 为(1) 实数；(2)虚数？
【解】 (1)当mm2≠－02，m＝0，即 m＝2 时，复数 z 是实数； (2)当 m2－2m≠0，即 m≠0 且 m≠2 时，复数 z 是虚数．
12/9/2021
12/9/2021
第二十五页，共三十七页。
3.已知 x 是实数，y 是纯虚数，且满足(2x－1)＋(3 －y)i＝y－i，则 x＝________，y＝________．
解析：由 y 是纯虚数，可设 y＝bi(b∈R 且 b≠0)，
则(2x－1)＋(3－bi)i＝bi－i，整理得(2x－1＋b)＋3i＝(b－1)i.
(2)当两个复数不全是实数时，不能比较大小，只可判定相等或不
相等，但两个复数都是实数时，可以比较大小．
(3)利用复数相等，可以把复数问题转化成实数问题进行解决，并
且由一个复数等式可得到两个实数等式，为应用方程思想提供了
条件．
12/9/2021
第二十七页，共三十七页。
2．复数相等的再认识 (1)一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小． (2)应用两复数相等的充要条件时，首先要把“＝”号左右两边的 复数写成代数形式，即分离实部与虚部，然后列出方程(组)求解．
12/9/2021
第七页，共三十七页。
3．复数相等的充要条件 (1)如果两个复数的_实__部___与_虚__部___分别相等，那么我们就说这两
个复数相等．即 a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)⇔ab＝ ＝cd，. (2)两个复数相等的充要条件是它们的_实__部__和__虚__部__分__(b_ù_fe_n)_别__相_．等
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充学案 苏教版选修2-2
—————————— 教育资源共享 步入知识海洋 ————————3.1 数系的扩充3．能知道复数的表示法及有关概念1．虚数单位我们引入一个新数i ，叫做__________，并规定：(1)i 2＝______；(2)______可以与i 进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立．2．复数(1)形如______(a ，b ∈R )的数叫做复数．(2)全体复数所组成的集合叫做_______，记作_______． (3)复数通常用字母z 表示，即________________，其中a 与b 分别叫做复数z 的________与________．当且仅当________时，z 是实数a ；当b ≠0时，z 叫做________．特别地，当________时，z ＝b i 叫做________．即复数z ＝a ＋b i ⎩⎪⎨⎪⎧实数( )，虚数( )(当 时为纯虚数). 预习交流1复数a ＋b i 的实部、虚部一定分别是a ，b 吗？ 预习交流2形如b i(b ∈R )的复数一定是纯虚数吗？ 3．复数相等(1)如果两个复数的________与________分别相等，那么我们就说这两个复数相等，即a ＋b i ＝c ＋d i ⇔________,,.(2)两个复数相等的充要条件是它们的__________分别相等． 预习交流3做一做：已知a ，b ∈R ，a ＋i ＝－1－b i ，则a ＝__________，b ＝__________. 预习交流4两个复数能比较大小吗？答案： 预习导引1．虚数单位 (1)－1 (2)实数2．(1)a ＋b i (2)复数集 C (3)z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) 实部 虚部 b ＝0 虚数 a ＝0且b ≠0 纯虚数b ＝0 b ≠0 a ＝0预习交流1：提示：不一定．只有当a ，b 都是实数时，a 是复数的实部，b 是复数的虚部．预习交流2：提示：不一定．只有当b 是不为0的实数时，b i 是纯虚数，若b ＝0，则b i ＝0是实数．3．(1)实部 虚部 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝c ，b ＝d (2)实部和虚部预习交流3：提示：－1 －1预习交流4：提示：两个复数不一定能比较大小，只有当两个复数全部为实数时，才能比较大小，否则不能比较大小，只能判断两个复数相等或不相等．一、复数的有关概念已知m ∈R ，复数z ＝m (m ＋2)m －1＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时， (1)z 为实数；(2)z 为虚数；(3)z 为纯虚数．思路分析：弄清复数的分类，根据实部与虚部的取值情况进行判断．设复数z ＝lg(m 2－2m －14)＋(m 2＋4m ＋3)i ，试求实数m 的值，使(1)z 是实数；(2)z 是纯虚数．解决复数的分类问题时，主要依据复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )是实数、虚数、纯虚数的充要条件进行求解，列出相应的等式或不等式组求出参数的范围，但若已知的复数z 不是a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，应先化为这种形式，得到复数的实部、虚部再进行求解．二、复数相等已知集合M ＝{(a ＋3)＋(b 2－1)i,8}，集合N ＝{3i ，(a 2－1)＋(b ＋2)i}同时满足M ∩N M ，M ∩N ≠∅，求整数a ，b .思路分析：依据集合关系，先确定集合元素满足的关系式，进而用复数相等的充要条件，求出a ，b .1．若a ，b ∈R ，复数(a 2－3a ＋2)＋(b －1)i ＝0，则实数对(a ，b )表示的点的坐标为__________．2．已知2x －1＋(y ＋1)i ＝x －y ＋(－x －y )i ，求实数x ，y 的值．复数相等的充要条件是化复数为实数的主要依据，多用来求解参数．步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等，虚部与虚部相等，列方程组求解．三、复数的代数形式已知复数z ＝k 2－3k ＋(k 2－5k ＋6)i(k ∈R )，且z ＜0，求实数k 的值． 思路分析：认真审题，“z ＜0”说明z 为实数且小于0.1．复数z ＝m ＋(m 2－1)i 是负实数，则实数m 的值为__________．2．已知复数(2k 2－3k －2)＋(k 2－k )i 的实部小于零，虚部大于零，求实数k 的取值范围．虚数不能说大于0或小于0，只有实数才能说大于0或小于0.1．下列命题：①若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数；②若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±1； ③两个虚数不能比较大小．其中正确的命题是______．(填正确结论的序号)2．以2i －5的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是__________．3．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为__________．4．复数4－3a －a 2i 与复数a 2＋4a i 相等，则实数a 的值为__________．5．已知复数z ＝m 2－2m －8＋(m 2－3m －4)i ，当m 取怎样的实数时，z 是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？(4)零？答案：活动与探究1：解：(1)要使z 是实数，m 需满足m 2＋2m －3＝0，且m (m ＋2)m －1有意义即m －1≠0，解得m ＝－3.(2)要使z 是虚数，m 需满足m 2＋2m －3≠0，且m (m ＋2)m －1有意义即m －1≠0， 解得m ≠1且m ≠－3.(3)要使z 是纯虚数，m 需满足m (m ＋2)m －1＝0， 且m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或m ＝－2.迁移与应用：解：(1)∵z 为实数，∴虚部m 2＋4m ＋3＝0， 则m ＝－1或m ＝－3.而当m ＝－1时，m 2－2m －14＝1＋2－14＜0(不合题意，舍去)；当m ＝－3时，m 2－2m －14＝1＞0. ∴当m ＝－3时z 为实数． (2)∵z 为纯虚数，∴实部lg(m 2－2m －14)＝0，且m 2＋4m ＋3≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －14＝1，m 2＋4m ＋3≠0，解得m ＝5. ∴当m ＝5时z 为纯虚数．活动与探究2：解：依题意，得(a ＋3)＋(b 2－1)i ＝3i 或8＝(a 2－1)＋(b ＋2)i.(1)当(a ＋3)＋(b 2－1)i ＝3i 时，得23013a b ⎧⎨⎩＋＝，－＝，∴32a b -⎧⎨-⎩＝，＝，或32a b -⎧⎨⎩＝，＝，经检验32a b -⎧⎨-⎩＝，＝，不合题意，舍去．∴32.a b -⎧⎨⎩＝，＝(2)当8＝(a 2－1)＋(b ＋2)i 时，得21820a b ⎧⎨⎩－＝，＋＝，∴32a b ⎧⎨-⎩＝，＝，或32a b -⎧⎨-⎩＝，＝. 由(1)知32a b -⎧⎨-⎩＝，＝不合题意，舍去，∴32.a b ⎧⎨-⎩＝，＝ 综上，32a b -⎧⎨⎩＝，＝或32.a b ⎧⎨-⎩＝，＝迁移与应用：1．(1,1)或(2,1) 解析：由已知232010a a b ⎧⎨⎩－＋＝，－＝，解得11b a ⎧⎨⎩＝，＝或12b a ⎧⎨⎩＝，＝，∴点(a ，b )为(1,1)或(2,1)．2．解：∵x ，y 为实数，∴2x －1，y ＋1，x －y ，－x －y 均为实数，由复数相等的定义，知⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝x －y ，y ＋1＝－x －y .∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2.活动与探究3：解：∵z ＜0，∴z ∈R . ∴k 2－5k ＋6＝0.∴k ＝2或k ＝3.但当k ＝3时，z ＝0不符合题意． k ＝2时，z ＝－2＜0符合题意． ∴k ＝2.迁移与应用：1．－1 解析：由已知得2010m m <⎧⎨⎩，－＝，解得m ＝－1.2．解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2k 2－3k －2＜0，k 2－k ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧(2k ＋1)(k －2)＜0，k (k －1)＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－12＜k ＜2，k ＞1或k ＜0.解得－12＜k ＜0或1＜k ＜2.当堂检测1．③ 解析：①若a ＝－1，则(a ＋1)i ＝0，①错；②中若x ＝－1，则x 2＋3x ＋2＝0，∴x ＝－1不适合，②错；③是正确的．2．2－2i 解析：2i －5的虚部是2，5i ＋2i 2化为5i －2，对应实部为－2. ∴所求的新复数为2－2i.3．－1 解析：由已知得21010x x ⎧⎨≠⎩－＝，－，解得x ＝－1.4．－4 解析：由两复数相等的充要条件得22434a a a a ⎧⎪⎨⎪⎩－＝，－＝，解得a ＝－4. 5．解：(1)当m 2－3m －4＝0，即m ＝－1或m ＝4时，z 为实数．(2)当m 2－3m －4≠0，即m ≠－1且m ≠4时，z 为虚数．(3)当m 2－2m －8＝0且m 2－3m －4≠0， 即m ＝－2时，z 为纯虚数．(4)当m 2－2m －8＝0且m 2－3m －4＝0， 即m ＝4时，z 为零．。
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.2 复数的几何意义学业分层测评(含解析)新人教A版
2016-2017学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.2 复数的几何意义学业分层测评（含解析）新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.2 复数的几何意义学业分层测评（含解析）新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2016-2017学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.2 复数的几何意义学业分层测评（含解析）新人教A版选修2-2的全部内容。
3。
1。
2 复数的几何意义学业分层测评(建议用时：45分钟）[学业达标]一、选择题1．(2016·青岛高二检测）在复平面内，复数z＝sin 2＋icos 2对应的点位于( ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】∵sin 2>0，cos 2〈0，∴复数z对应的点（sin 2，cos 2)在第四象限．故选D.【答案】D2．已知复数z＝（a2－2a）＋(a2－a－2）i对应的点在虚轴上，则( ）A．a≠2或a≠1 B．a≠2，且a≠1C．a＝0 D．a＝2或a＝0【解析】由题意，得a2－2a＝0，得a＝0或a＝2.故选D.【答案】D3．在复平面内，O为原点，向量O错误!对应的复数为－1＋2i,若点A关于直线y＝－x的对称点为点B,则向量O错误!对应的复数为（）A．－2－i B．－2＋iC．1＋2i D．－1＋2i【解析】因为复数－1＋2i对应的点为A（－1，2)，点A关于直线y＝－x的对称点为B （－2，1),所以O错误!对应的复数为－2＋i.【答案】B4．已知复数z满足｜z｜2－2|z｜－3＝0,则复数z对应点的轨迹是( )A．1个圆B．线段C．2个点D．2个圆【解析】由题意知（|z|－3)(|z｜＋1)＝0，即｜z｜＝3或｜z｜＝－1，∵｜z｜≥0，∴｜z|＝3,∴复数z对应点的轨迹是1个圆．【答案】A5．实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】由题意可得复数z＝－2＋i，故在复平面内对应的点为（－2,1），在第二象限,故选B.【答案】B二、填空题6．i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i,则z2＝______。
高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念a22a高二22数学
12/12/2021
第九页，共三十四页。
12/12/2021
课堂互动(hù 探究 dònɡ)
归纳(guīnà)透析 触类旁通
第十页，共三十四页。
题型一 复数的概念
给出下列命题： (1)当 z∈C 时，z2≥0； (2)复数由实数、虚数、纯虚数组成； (3)两个复数不能比较大小； (4)若 a∈R，则(3a＋2)i 是纯虚数； (5)若 z＝x＋yi，则实部和虚部分别是 x，y. 其中正确的个数是________． 【思路探索】 利用复数的概念解题．
12/12/2021
第二十七页，共三十四页。
2．下列命题正确的是( ) A．两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等 B．1－ai(a∈R)是一个虚数 C．－1 的平方根只有 i D. 2i 是一个无理数 答案：A
12/12/2021
第二十八页，共三十四页。
3．设 i 是虚数单位，若复数 a－1＋(a－2)i(a∈R)是纯虚数，
12/12/2021
第十七页，共三十四页。
(3)由题意得mmm－＋12＝0，
得 m＝0 或 m＝－2.
m2＋2m－3≠0，
∴当 m＝0 或 m＝－2 时，z 是纯虚数．
12/12/2021
第十八页，共三十四页。
[名 师 点 拨] 解决有关复数的分类问题，主要依据复数 z＝a＋bi(a，b∈ R)是实数、虚数、纯虚数的充要条件求解，列出相应的等式或 不等式组求出参数的值或取值范围．注意：z＝a＋bi(a，b∈R) 为纯虚数的条件是 a＝0 且 b≠0，千万不要忘记 b≠0 这一条件.
目标导学
1．理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件． 2．掌握复数的表示方法及有关概念． 3．掌握复数的分类及复数相等的充要条件的应用．
高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充自我小测 苏教版选修2-2(2021年
选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充自我小测苏教版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充自我小测苏教版选修2-2的全部内容。
教版选修2-21．下列说法:①实数是复数；②虚数是复数；③实数集和虚数集的交集不是空集;④实数集与虚数集的并集等于复数集．其中正确的是______．（填正确结论的序号)2．如果（x＋y)i＝x－1，则实数x，y的值分别为__________．3．已知复数z1＝1＋3i的实部与复数z2＝－1－a i的虚部相等，则a＝__________。
4．若log2(x2－3x－2)＋ilog2（x2＋2x＋1）＞1，则实数x的值为________．5．若 ＋1)＋(sin 2θ－1)i是实数，且θ∈［0,2π］，则θ的值是__________．6．复数（x－y）－(2x＋y）i＝3i,则实数x，y的和为__________．7．若y为纯虚数，x为实数，且满足1＋y＝2x－1＋2i，则x＝__________，y＝__________.8．已知集合M＝｛1,2,m2－3m－1＋（m2－5m－6）i}，N＝{－1,3},且M∩N＝｛3｝，求实数m的值．9．若z1＝m2－（m2－3m)i,z2＝(m2－4m＋3)i＋10(m∈R），z1＜z2，求实数m的取值．参考答案1答案:①②④2答案：1，－1 解析：由已知得010x y x +=⎧⎨-=⎩，，所以11.x y =⎧⎨=-⎩，3答案：－1 解析:已知1＋3i 的实部为1，－1－a i 的虚部为－a ，则a ＝－1。
高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充课件苏教版选修12
由①得 a＝-3，b＝±2，
由②得 a＝±3，b＝-2.
③中，a，b 无整数解不符合题意.
综上所述得 a＝-3，b＝2 或 a＝3，
b＝-2 或 a＝-3，b＝-2.
第三十四页，共35页。
我还有这些不足： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________ 我的课下提升方案： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________
第六页，共35页。
1.①若 a∈R，则(a＋1)i 是纯虚数； ②若(x2-1)＋(x2＋3x＋2)i(x∈R)是纯虚数，则 x＝±1； ③两个虚数不能比较大小. 其中正确命题的序号是__________.(填序号) 【解析】 当 a＝-1 时，(a＋1)i＝0，故①错误；两个虚数不能比较大小， 故③对；若(x2-1)＋(x2＋3x＋2)i 是纯虚数，则xx22-＋1＝3x0＋，2≠0， 即 x＝1，故②错. 【答案】 ③
判断与复数有关的命题是否正确的方法 1.举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类题 型时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答. 2.化代数式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为 a＋bi 的形式， 更要注意这里 a，b 均为实数时，才能确定复数的实、虚部.
第二十八页，共35页。
2.若关于 x 的方程 x2＋(1＋2i)x＋3m＋i＝0 有实数根，则实数 m＝________.
高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充课堂导学案 苏教版选修12
3.1 数系的扩充课堂导学三点剖析各个击破一、复数的有关概念【例1】设复数z =lg(m 2-2m -2)+(m 2+3m +2)i ，m ∈R ,当m 为何值时：（1）z 是实数；(2)z 是纯虚数；(3)z 对应的点在第二象限？解：（1）要使z ∈R ，则⎪⎩⎪⎨⎧>--=++02m 2m 02m 3m 22⇔m =-1或m =-2, 所以当m =-1或m =-2时，z 为实数.（2）要使z 为纯虚数，则需⎪⎩⎪⎨⎧≠++=,02m 3m 0,2)-2m -lg(m 22即⎩⎨⎧-≠-≠=--.2m 1m ,12m 2m 2且 ∴⎩⎨⎧-≠-≠-==.2m 1m ,1m 3m 且或∴m =3.∴m =3时，z 为纯虚数.（3）要使z 对应的点位于复平面内的第二象限，则需⎪⎩⎪⎨⎧>++<,02m 3m 0,2)-2m -lg(m 22即⎪⎩⎪⎨⎧>++<--<,02m 3m ,12m 2m 022 ⎩⎨⎧->-<<<+-<<-⇔,1m 2m ,3m 3131m 1或或⇔-1<m <1-3或1+3<m <3.∴当m ∈(-1,1-3)∪(1+3,3)时，z 对应的点在第二象限.温馨提示注意此类题目的答题方式，如（1）是寻求z 为实数的充分条件，不能叙述为“因为z 是实数，所以……”.根据复数有关概念的定义，把此复数的实部与虚部分开，转化为实部与虚部分别满足定义的条件这一实数问题去求解.类题演练 1实数m 取何值时，复数z =(m 2-5m +6)+(m 2-3m )i 是（1）零?（2）虚数？（3）纯虚数?解：（1）复数z 为零的充要条件为⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-,03,06522m m m m 解得m=3. (2)依题意得m 2-3m≠0，解得m≠0且m≠3.(3)⎪⎩⎪⎨⎧≠-=+-,03,06522m m m m 解得m=2. 变式提升 1实数k 为何值时，复数(1+i)k 2-(3+5i)k-2(2+3i).分别是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）零 ？解：由z =(1+i)k 2-(3+5i)k-2(2+3i)=（k 2-3k-4）+(k 2-5k-6)i.(1)当k 2-5k-6=0时，z ∈R ,即k=6或k=-1.(2)当k 2-5k-6≠0时，z 是虚数，即k≠6且k≠-1.(3)当⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--065,04322k k k k 时，z 是纯虚数，解得k=4. （4）当⎪⎩⎪⎨⎧=--=--065,04322k k k k 时，z =0,解得k=-1. 故当k=6或k=-1时，z ∈R ；当k≠6且k≠-1时，z 是虚数；当k=4时，z 是纯虚数；当k=-1时，z =0.二、复数相等的充要条件的应用【例2】已知x 是实数，y 是纯虚数，且满足(2x-1)+i=y-(3-y)i ，求x 与y.解：设y=bi(b ∈R 且b ≠0)，代入已知条件并整理得（2x-1）+i=-b+(b-3)i.由复数相等的条件得:⎩⎨⎧-=-=-.3b 1b,1x 2 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==,23x ,4b ∴x=-23,y=4i. 温馨提示一般根据复数相等的充要条件，可由一个复数等式得到两个实数等式组成的方程组，从而可确定两个独立参数，本题就是利用这一重要思想，化复数问题为实数问题得以解决，在解此题时，学生易忽视y 是纯虚数这一条件，而直接得出等式⎩⎨⎧-==-y)-(31y,1x 2进行求解，这是审题不细致所致.类题演练2已知关于x 、y 的方程组 ⎩⎨⎧=++=+②① 8i -9b)i y -(4x -ay)(2x y)i -(3-y i 1)-(2x 有实数解，求实数a 、b 的值.解：根据复数相等的条件由①得⎩⎨⎧--==-)3(1,12y y x 解得⎪⎩⎪⎨⎧==.4,25y x代入方程②得⎩⎨⎧=+=+.86,945b a ∴⎩⎨⎧==,2,1b a∴a=1,b=2.变式提升 2已知2x-1+(y+1)i=x-y+(-x-y)i ，求实数x 、y 的值.解：∵x 、y 为实数,∴2x -1、y +1、x -y 、-x -y 为实数.由复数相等的定义知⎩⎨⎧--=+-=-,1,12y x y y x x∴⎩⎨⎧-==,2,3y x 三、复数概念的应用【例3】实数m 取什么值时，复平面内表示复数z =(m 2-8m +15)+(m 2-5m -14)i 的点（1）位于第四象限？（2）位于第一、三象限?（3）位于直线y=x 上?思路分析：根据复数的几何意义及象限内点的坐标的特征很容易得到m 的关系式，进而求得m 值或范围.解:（1）复数z 对应的点位于第四象限的充要条件为⎪⎩⎪⎨⎧<-->+-.014m 5m ,015m 8m 22 解得-2<m <3或5<m <7.(2)复数z 对应的点位于第一、三象限的充要条件为(m 2-8m +15)(m 2-5m -14)>0，解之：m <-2或3<m <5或m >7.(3)复数z 对应的点位于直线y=x 上的充要条件为m 2-8m +15=m 2-5m -14，解之：m =329. 类题演练3已知复数z ＝1x 3--x+(x 2-4x+3)i>0求实数x 的值.解:由题意得：⎪⎩⎪⎨⎧>--=+-.013,0342x x x x解得：⎪⎩⎪⎨⎧=+<≤=.1,25331,31x x x 故或 变式提升 3复数z =-lg(x 2+2)-(2x +2-x -1)i(x ∈R )在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：-lg(x 2+2)<0,-(2x +2-x -1)<0,在第三象限.答案：C。
江苏省苏州市高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.1 数系的扩充教学设计2 新人教A版选修22
数系的扩充1 教材内容分析1.1 本质、地位及作用复数的引入实现了中学阶段数系的最后一次扩充．但是，复数的进化是数学史中比较奇特的一章，那就是它完全没有按照教科书所描述的逻辑连续性．数学与测量或实用计算之间的关系使实数具有某种实在感．可是，复数的情形却不一样．谁也不知道复数会带来怎样的实际用途，这是在崭新的方向上走出的一步，提出了纯理论的创造．新课程中复数内容突出复数的代数表示与代数运算，同时也强调了复数的几何表示与几何意义．它的内容是分层设计的：先将复数看成是有序实数对，然后学习复数代数形式的四则运算，再把复数看成是直角坐标系下平面上的点，或把复数看成是从直角坐标系原点出发到平面上一点的向量，最后介绍复数代数形式的加、减运算的几何意义．同时，复数作为一种新的数学语言，也为我们今后用代数的方法解决几何问题提供了新的工具和方法，体现了数形结合思想．本节课的学习，一方面让学生回忆、归纳数的概念的发展和数系扩充的过程，感悟数的概念产生于实际需求与数学内部的矛盾，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系，体会学习新知的必要性和合理性．另一方面，让学生理解复数的有关概念，掌握复数相等的充要条件，为今后的学习奠定基础．因此，本节课具有承前启后的作用，是本章的重点内容．1.2 教学重点难点根据教学内容分析及学生已有的认知基础，本节课的教学重点、难点确定为：重点：感受数系扩充的过程，理解复数的有关概念，掌握复数相等的充要条件．难点：数系扩充的过程与原则．2 教学目标分析遵循新课标，本节课的教学目标确定如下：2.1 知识与技能理解复数的概念及复数的代数表示，掌握复数相等的充要条件．2.2 过程与方法让学生回忆、归纳数系扩充的过程，感悟数系扩充的基本方法，领悟复数的有关理论．2.3 情感、态度与价值观通过问题情境感受虚数引入的必要性，体会人类理性思维的作用，形成学习数学知识的积极态度．3 教学问题诊断分析 结合本节教学内容，教师通过了解数系的扩充历史以及人类对数的认知过程，虚数单位i 的引入是纯理论的创造，就连数学家对i 的接受也是一个漫长的过程．如笛卡尔就不想与这些数发生任何关系，并造出了“虚数”这个名称．莱布尼兹的说法最有代表性：“…，介于存在与不存在之间的两栖物，……”欧拉说：“…，想象的数，……，它们纯属虚幻．” 根据历史相似性原理，结合学生已有的认知基础，预测学生在学习本节内容可能产生的认知障碍与学习困难：为什么要引入i ？如何引入？i 是什么？ 根据教与学的关系，教师的教要符合学生的认知规律和心理特征；反之，学生的学可以促进教师的教与学．教师通过研究学习数系的扩充历史，了解数系扩充的原则与方法，从而为虚数单位i 的引入奠定理论基础；虚数的引入虽然最先由于数学本身的需要，但也只有当高斯画出x 轴，y 轴，用i a b 表示一个向量的时候，复数在解决实际问题中才得到广泛的应用，渐渐地才被大家接受．因此，i 是人类理性思维的产物，是一种创造，一种创新．4 教法特点结合以上教学问题诊断分析，本节课的教法主要采用问题驱动教学模式．通过设置问题串， 让学生形成认知冲突；通过设置问题串，引领学生追溯历史，提炼数系扩充的原则；通过设置问题串，帮助学生合乎情理的建立新的认知结构，让数学理论自然诞生在学生的思想中，教师仅起到“助产士”的作用．5 课堂预期效果分析5.1 体现数学的文化内涵 本节课教者从学生已有的知识基础出发，再现历史上数学家卡当的问题，让学生经历与数学大师一起发现问题、思考问题、解决问题的过程，感受到数学家就在自己的身边，数学大师并不神秘，他们也曾有解不开的难题，小小的“i ”硬是经过了两个世纪的努力才被人接受；数学发现并不神秘，大师们通常是在别人习以为常的现象中发现新问题并穷追不舍；数学并不神秘，只要我们“更新观念”，跳出原有的旧框框，一片更为广阔的数学天地便尽收眼底……数学的文化内涵在历史的脉络中体现的淋漓至尽，学生感受的是浓浓的数学文化气息．5.2 加深对数学思想方法的理解学生在理解、把握数学知识中，不仅仅是记忆形式上的数学知识，更重要的是领会以数学知识为载体的数学思想方法等．通过对数的发展历史的研究，可以把握数学知识、思想、方法的来龙去脉．从实数系到复数系，如何扩充的？扩充的原则是什么？教者通过设计问题串，引领学生追溯数的发展历史，类比前几次数系的扩充，让学生在知识发生过程中进行“火热的思考”，实现“再创造”，抽象概括出数系扩充的原则．5.3 架起感性认识到理性认识的桥梁从虚数的“生长”过程来看，即使是数学家的认识也是逐步深入的．这是数学家几代人共同努力的产物：是一个从无到有、从疑惑到接受、从模糊到清晰、从片面到完善的过程．只有学生亲身“经历”这一历史过程，才能体验到数学家的创造过程；才能感知到数学家的认知过程；才能感悟到数学家的思维过程．只有学生亲身“经历”这一历史过程，才能消除学生对虚数的疑惑：“虚数是什么？为什么要引入？怎么引入？引入后有什么用？”．只有学生亲身“经历”这一历史过程，才能感受到虚数不是神秘莫测、绝对权威的，是一种创造．5.4 培养学生科学品质和创新精神复数的产生和发展是数学家们辛勤耕耘的结果，是思想观念的突破．它体现了数学家的科学品质和创新精神．象这样的方程没有实数解在学生心目中已成定论，既然没有实数解，为什么还要讨论它？既然负数不能开平方，又为什么要承认是有意义的？这是一种心理上的矛盾、认知上的冲突，更是观念上的碰撞．历史的再现对学生的影响作用是巨大的，他们体会到了虚数的引入是一种创造，一种发明，一种思维上突破，一种观念上的更新．他们从数学家不懈努力的历程看到了一种精神、一种力量、一种思维方法。
高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充应用案巩固提升 苏教版选修2-2-苏教版
3.1 数系的扩充[A 基础达标]1．以－3＋i的虚部为实部，以3i＋i2的实部为虚部的复数是( )A．1－i B．1＋iC．－3＋3i D．3＋3i解析：选A．－3＋i的虚部为1，3i＋i2＝－1＋3i，其实部为－1，故所求复数为1－i.2．在复平面内，复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i是纯虚数，则( )A．a＝0或a＝2B．a＝0C．a≠1且a≠2D．a≠1或a≠2解析：选B．因为复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i是纯虚数，所以a2－2a＝0且a2－a －2≠0，所以a＝0.3．若x i－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋y i＝( )A．－2＋i B．2＋iC．1－2i D．1＋2i解析：选B．由i2＝－1，得x i－i2＝1＋x i，则由题意得1＋x i＝y＋2i，根据复数相等的充要条件得x＝2，y＝1，故x＋y i＝2＋i.4．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是( )A．|a|＝|b|B．a<0且a＝－bC．a>0且a≠bD．a≤0解析：选D．复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，即|a|＝－a，得a≤0，故应选D．5．下列命题：①若z＝a＋b i，则仅当a＝0，b≠0时z为纯虚数；②若z21＋z22＝0，则z1＝z2＝0；③若实数a与a i对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系．其中正确命题的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3解析：选A ．在①中未对z ＝a ＋b i 中a ，b 的取值加以限制，故①错误；在②中将虚数的平方与实数的平方等同，如若z 1＝1，z 2＝i ，则z 21＋z 22＝1－1＝0，但z 1≠z 2≠0，故②错误；在③中忽视0·i ＝0，故③也是错误的．故选A ．6．若复数z 1＝sin 2θ＋icos θ，z 2＝cos θ＋i 3sin θ，z 1＝z 2，则θ等于________．解析：由复数相等的定义，可知⎩⎨⎧sin 2θ＝cos θ，cos θ＝3sin θ，所以cos θ＝32，sin θ＝12.所以θ＝π6＋2k π，k ∈Z . 答案：π6＋2k π，k ∈Z7．已知z 1＝－4a ＋1＋(2a 2＋3a )i ，z 2＝2a ＋(a 2＋a )i ，其中a ∈R ，z 1>z 2，则a 的值为________．解析：由z 1>z 2，得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋3a ＝0，a 2＋a ＝0，－4a ＋1>2a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0或a ＝－32，a ＝0或a ＝－1，a <16，解得a ＝0.答案：08．已知集合M ＝{1，2，(m 2－3m －1)＋(m 2－5m －6)i}，集合P ＝{－1，3}，M ∩P ＝{3}，则实数m 的值为________．解析：因为M ∩P ＝{3}，所以(m 2－3m －1)＋(m 2－5m －6)i ＝3.所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －1＝3，m 2－5m －6＝0.所以m ＝－1.答案：－19．是否存在实数m 使复数z ＝(m 2－m －6)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2m －15m 2－4i 为纯虚数？若存在，求出m的值，否则，请说明理由．解：假设存在实数m 使z 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －6＝0，①m 2＋2m －15m 2－4≠0.②由①，得m ＝－2或m ＝3. 当m ＝－2时，②式左端无意义；当m ＝3时，②式不成立，故不存在实数m 使z 是纯虚数．10．已知关于x 的方程x 2＋(k ＋2i)x ＋2＋k i ＝0有实根，求这个实根以及实数k 的值． 解：设x ＝x 0是方程的实根，代入方程并整理得(x 20＋kx 0＋2)＋(2x 0＋k )i ＝0，由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋kx 0＋2＝0，2x 0＋k ＝0，解得⎩⎨⎧x 0＝2，k ＝－22，或⎩⎨⎧x 0＝－2，k ＝2 2.所以方程的实根为x ＝2或x ＝－2， 相应的k 值为k ＝－22或k ＝2 2.[B 能力提升]1．若复数z ＝(sin θ＋cos θ＋1)＋(sin θ－cos θ)i 是纯虚数．则sin2 017θ＋cos 2017θ＝________.解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＋1＝0，①sin θ－cos θ≠0，由①得sin θ＋cos θ＝－1，又sin 2θ＋cos 2θ＝1.所以⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝0，cos θ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝－1，cos θ＝0. 所以sin2 017θ＋cos 2 017θ＝(－1)2 017＋02 017＝－1.答案：－12．设复数z ＝log 2(m 2－3m －3)＋ilog 2(3－m )(m ∈R )，若z 是纯虚数，则m ＝________． 解析：因为z 为纯虚数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧log 2(m 2－3m －3)＝0，log 2(3－m )≠0，3－m ＞0.所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4或－1，m ＜3且m ≠2.所以m ＝－1.答案：－13．若不等式m 2－(m 2－3m )i<(m 2－4m ＋3)i ＋10成立，求实数m 的值．解：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝0，m 2－4m ＋3＝0，m 2<10，即⎩⎨⎧m ＝0或m ＝3，m ＝3或m ＝1，|m |<10. 故m ＝3，即实数m 的值为3.4．(选做题)已知M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}，P ＝{－1，1，4i}，若M ∪P ＝P ，求实数m 的值．解：因为M ∪P ＝P ，所以M ⊆P ，所以(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1 或(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i. 由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0.解得m ＝1. 由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i ，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4.解得m ＝2. 综上可知，实数m 的值为1或2.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第三章 数系的扩充与复数
的引入 3.1 数系的扩充学业分层测评 苏教版选修2-2
(建议用时：45分钟)
学业达标]
一、填空题
1.复数(1－2)i 的实部为________.
【解析】 ∵复数(1－2)i ＝0＋(1－2)i ，∴实部为0.
【答案】 0
2.若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为________.
【导学号：01580060】
【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－1＝0，x －1≠0，∴x ＝－1.
【答案】 －1
3.若复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝b i ，a ，b 均为实数，且z 1＝z 2，则a －b ＝________.
【解析】 由z 1＝z 2，得a ＝0，b ＝2，∴a －b ＝－2.
【答案】 －2
4.以复数z ＝3i ＋2和复数z 2＝2i 2
－1的实部之和为虚部，虚部之和为实部的新复数是________.
【解析】 z 2＝2i 2－1＝－3，则新复数的实部为3，虚部为－1，所以新复数为3－i.
【答案】 3－i
5.(2014·湖南高考)复数3＋i i 2(i 为虚数单位)的实部等于________. 【解析】 3＋i i 2＝3＋i －1＝－3－i ，其实部为－3. 【答案】 －3
6.设m ∈R ，m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m ＝________.
【解析】 复数m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数的充要条件是
⎩⎪⎨⎪⎧
m 2＋m －2＝0，m 2－1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1或m ＝－2，m ≠±1，即m ＝－2. 故m ＝－2时，m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数.
【答案】 －2
7.若log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2
＋2x ＋1)>1，则实数x 的值为________.
【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x 2＋2x ＋＝0，log 2x 2－3x －，∴x ＝－2.
【答案】 －2
8.有下列说法：
①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；
②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；
③1－a i(a ∈R )是一个复数；
④纯虚数的平方不小于0；
⑤－1的平方根只有一个，即为－i ；
⑥i 是方程x 4－1＝0的一个根； ⑦2i 是一个无理数.
其中正确的有________(填序号).
【解析】 若两个复数相等，则有它们的实部、虚部均相等，故①正确；若虚部不相等，则两个复数一定不相等，故②正确；因满足形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数均为复数，故③正确；纯虚数的平方，如i 2＝－1，故④错误；－1的平方根不止一个，因为(±i)2＝－1，故⑤错误；∵i 4－1＝0成立，故⑥正确；2i 是虚数，而且是纯虚数，故⑦错误.综上，①②③⑥正确.
【答案】 ①②③⑥
二、解答题
9.已知m ∈R ，复数z ＝(2＋i)m 2－3(1＋i)m －2(1－i)，
(1)写出复数z 的代数形式.
(2)当m 为何值时，z ＝0？当m 为何值时，z 是纯虚数？
【解】 (1)复数z ＝(2＋i)m 2－3(1＋i)m －2(1－i)
＝(2m 2－3m －2)＋(m 2－3m ＋2)i ，
即复数z 的代数形式为z ＝(2m 2－3m －2)＋(m 2－3m ＋2)i.
(2)若z ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－3m ＋2＝0，2m 2－3m －2＝0，
解得m ＝2.
若z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－3m ＋2≠0，2m 2－3m －2＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ≠2且m ≠1，m ＝2或m ＝－12，
即m ＝－12
. 10.已知关于x 的方程x 2＋(k ＋2i)x ＋2＋k i ＝0有实数根，求实数k 的值.
【解】 设x 0是方程的实数根，代入方程并整理得(x 20＋kx 0＋2)＋(2x 0＋k )i ＝0.
由两个复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧ x 20＋kx 0＋2＝0，2x 0＋k ＝0.
解得⎩⎨⎧ x 0＝2，k ＝－22，或⎩⎨⎧ x 0＝－2，k ＝2 2.
∴实数k 的值为±2 2.
能力提升]
1.设x ，y ∈R ，且满足(x ＋y )＋(x －2y )i ＝(－x －3)＋(y －19)i ，则x ＋y ＝________.
【解析】 由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝－x －3，x －2y ＝y －19.
解之得⎩⎪⎨⎪
⎧ x ＝－4，y ＝5，所以x ＋y ＝1.
【答案】 1
2.若log 2(m 2－3m －3)＋ilog 2(m －2)为纯虚数，则实数m ＝________.
【解析】 由纯虚数的定义知，
log 2(m 2－3m －3)＝0且log 2(m －2)≠0.
∴⎩⎪⎨⎪⎧
m 2－3m －3＝1，m －2>0且m －2≠1，解得m ＝4. 【答案】 4 3.已知z 1＝－4a ＋1＋(2a 2＋3a )i ，z 2＝2a ＋(a 2＋a )i ，其中a ∈R ，z 1>z 2，则a 的值为
________.
【导学号：01580061】
【解析】 由z 1>z 2知，z 1、z 2都为实数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 2＋3a ＝0，a 2＋a ＝0，
解之得a ＝0.此时，z 1＝1>z 2＝0.
【答案】 0
4.(2016·全国Ⅱ)已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是________.
【解析】 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋3＞0，m －1＜0，即－3＜m ＜1.故实数m 的取值范围为(－3,1).
【答案】 (－3,1)
5.若复数z ＝m －3
m ＋2＋m 2－m i(m ∈R )是虚数，则实数m 的取值范围是________.
【解析】 ∵复数z ＝m －3
m ＋2＋m 2－m i(m ∈R )是虚数.
∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋2≠0，m 2－m >0，解得m
>1或m <0且m ≠－2. 故实数的取值范围是(－∞，－2)∪(－2,0)∪(1，＋∞).
【答案】 (－∞，－2)∪(－2,0)∪(1，＋∞)。