【数学】河北省邢台市2019-2020学年高一上学期第三次月考考试试题(解析版)

河北省邢台市2019-2020学年高一上学期第三次月考考试数学试题注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.2.请将各题的答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：人教A 版必修一和必修四第一章.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}213A x N x =∈-≤，1,1,22B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则AB =( )A. {}1,2B. 1,1,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭C. {}12x x -<≤D. 10,,1,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭【答案】D【解析】{}{}{}213|20,1,2A x N x x N x =∈-≤=∈≤=,1122B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，，，10122A B ⎧⎫∴⋃=⎨⎬⎩⎭，，，故选D2.已知sin cos 0αα>，且cos 0α<，则角α的终边位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】因为sin cos 0αα>，且cos 0α<， 所以cos 0α<，sin 0α<， 即角α的终边位于第三象限， 故选：C.3.函数πtan 36y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为（ ） A.π2B.π3C.4π D.6π 【答案】B【解析】由函数πtan 36y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则函数的最小正周期为π3， 故选：B.4.已知扇形的面积为，扇形圆心角的弧度数是，则扇形的周长为（ ） A.B.C.D.【答案】C【解析】设扇形的半径为，弧长为，则由扇形面积公式可得：，解得，所以扇形的周长为，故选C.5.已知角α终边经过点12P ⎫⎪⎪⎝⎭，则cos α=（ ）A.12B.C.D. 12±【答案】B【解析】由于1,r OP x ===，所以由三角函数的定义可得cos x r α==， 应选答案B ．6.把11π4-表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ值是( ) A. 3π4- B. 4π-C.4π D.34π 【答案】A【解析】令－11π4＝θ＋2kπ(k ∈Z )，则θ＝－11π4－2kπ(k ∈Z )． 取k ≤0的值，k ＝－1时，θ＝－34π，|θ|＝34π； k ＝－2时，θ＝5π4，|θ|＝5π3π44>；k ＝0时，θ＝－11π4，|θ|＝11π3π44>. 本题选择A 选项. 7.已知α∈π,2π⎛⎫⎪⎝⎭，且sin α＝35，则tan α＝( )A.34B. 34-C. 43D. 43-【答案】B【解析】由sin α＝35，α∈π,2π⎛⎫⎪⎝⎭得cos α4,5 所以tan α＝sin 3.cos 4σσ=- 故答案为B ． 8.7πsin 6的值是（ ）A. 12-B. C.12D.【答案】A 【解析】7πππ1sin sin(π)sin 6662=+=-=-， 故选：A.9.把函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标保持不变，再将所得图象向左平移6π个单位，所得图象对应的函数解析式为（ ） A. sin(2)6y x π=+ B. sin(2)3πy x =+C. 1sin()26πy x =+D. 1πsin()212y x =+【答案】D【解析】sin y x=图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标保持不变得1sin 2y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭,再向左平移6π个单位得1πsin 26y x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即π1sin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,选D点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 10.若()21f x ax x a =+++在()2,-+∞上是单调递增函数，则a 的取值范围是( )A. 1(,]4-∞ B. 1(0,]4C. 1[0,]4D. 1[,)4+∞【答案】C【解析】当0a =时，则()1f x x =+，显然在()2,-+∞上递增；当0a ≠时，则()21f x ax x a =+++是二次函数，因为()f x 在()2,-+∞上递增，则对称轴122x a =-≤-且0a >，解得：10,4a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；综上：a 的取值范围是1[0,]4，故选C.11.设函数()2sin f x x ω=-(0)>ω在ππ,34⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减，则ω的取值范围是（ ） A. (0,3] B. (0,2]C. 50,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】因为函数()2sin f x x ω=-(0)>ω， 由π2π222ππk x k ω-≤≤+， 又0>ω， 则22π,2π2ππk k x k ωωωωω-≤≤+∈Z ， 的又函数()f x 在4π,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，则02324ωππωππω⎧⎪>⎪⎪-≤-⎨⎪⎪≥⎪⎩ ，解得：302ω<≤， 即ω的取值范围是30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦，故选：D.12.对于实数,a b ，定义运算22,,*67,,a b a b a b a b a b ⎧-≥=⎨--+<⎩设()*(2)f x x x =-.若()f x m =有三个不同的实数根123,,x x x ，则123x x x ++的取值范围是（ ） A. (2,1)-- B. (1,0)-C. (0,1)D. (1,2)【答案】B【解析】由定义运算22,,*67,,a b a b a b a b a b ⎧-≥=⎨--+<⎩ 则222,1()*(2)23,1x x x f x x x x x x ⎧+-≥=-=⎨--+<⎩，函数()y f x =的图像与直线y m =的位置关系如图所示， 由图可知122x x +=-，312x <<， 则12310x x x -<++<，即123x x x ++的取值范围是(1,0)-，故选：B.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.22222sin 1sin 2sin 45sin 88sin 89︒︒︒︒︒++++=___________. 【答案】52【解析】原式22222sin 1sin 2sin 45si (902)n sin (901)︒︒︒︒︒=++++--=222225sin 1sin 2sin 45co s 1s co 22︒︒︒︒︒=++++=， 故答案为：52. 14.若函数()()()2log 41xf x kx x =++∈R 是偶函数，则k 的值为________.【答案】1- 【解析】函数()()()2log 41xf x kx x =++∈R 是偶函数，()()f x f x ∴-=即()()()224141xx log k x log kx -++-=++()()2241412x x log log kx -∴+-+=化简得：22x kx -=即()220k x +=，220k +=，解得1k =- 15.已知π||4x ≤，则当x =_____时，函数2()cos sin f x x x =+的值最小，最小值为_____.【答案】 (1). π4-(2). 12【解析】因为22215()cos sin sin sin 1(sin )24f x x x x x x =+=-++=--+，又π||4x ≤，所以sin ,22x ⎡∈-⎢⎣⎦，当sin 2x =-，即4πx =-时，函数取最小值12，故答案为：4π-. 16.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（,,A ωϕ为常数，0>ω，0A >的部分图象如图所示，有下列结论：①函数()f x 的最小正周期为π2②函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[1,2]-③函数()f x 的一条对称轴是5π12x =- ④函数()f x 的图象关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称 ⑤函数()f x 在π5π,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数 其中正确的是______.（填写所有正确结论的编号） 【答案】②⑤【解析】由图可知7ππ2()1212T π=-=， 则π22πω==， 又π()012f = ，由五点作图法可得2012πϕ⨯+=，即π6ϕ=-， 又(0)1f =-，即πsin()16A -=-，即2A =， 即π()2sin(2)6f x x =-， 对于①，显然错误；对于②，2π0,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则52,πππ666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，即[]()1,2f x ∈-，即②正确；对于③，令262πππx k -=+，解得ππ,23k x k =+∈Z ，即函数()f x 的一条对称轴是ππ,23k x k =+∈Z ，令ππ23k +5π12=-，k 无整数解，即③错误； 对于④，令π2π6x k -=，解得ππ,212k x k =+∈Z ，即函数()f x 的对称中心为ππ,0,212k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ，令πππ2123k +=，k 无整数解，即④错误； 对于⑤，令ππ322226π2ππk x k +≤-≤+， 解得：π56π3πk x k π+≤≤+，即函数()f x 的减区间为5,,36ππππk k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ， 又π5π,36⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦5,,36ππππk k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ，即⑤正确， 综上可得②⑤正确， 故答案为：②⑤.三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.已知π02α<<，4cos 5α=. （1）求tan α的值；（2）求πsin(π)2cos 2sin()cos()αααπα⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭--++的值.解：（1）因为02πα<<，4cos 5α=， 所以3sin 5α=，故sin 3tan cos 4ααα==. （2）πsin()2cos sin 2sin 2sin()cos()sin cos a πααααπααα⎛⎫+-+ ⎪-+⎝⎭=--++-sin sin cos ααα=-tan 3tan 1αα==--.18.（1）求证：111sin (1tan )cos 1tan sin cos αααααα⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭； （2）已知2tan 3α=，求22sin 2sin cos 4cos αααα-+的值. 解：（1）证明：左边sin cos sin 1cos 1cos sin αααααα⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22sin cos sin cos cos sin αααααα=+++2222sin cos sin cos sin cos αααααα++=+11sin cos αα=+=右边， 即原等式成立. （2）因为2tan 3α=， 所以22sin 2sin cos 4cos a ααα-+2222sin 2sin cos 4cos sin cos αααααα-+=+ 22tan 2tan 4tan 1ααα-+=+ 444289341319-+==+.19.已知2()log f x x =（0a >且1a ≠）的图象过点(4,2)，()(1)(1)g x f x f x =-++. （1）求()g x 的解析式，并判断其奇偶性； （2）写出()g x 单调区间，并求出其值域.解：（1）由已知()log a f x x =（0a >且1a ≠）的图象过点42（，）， 得22log 4=，即24a =. 又0a >且1a ≠，∴2a =， ∴()(1)(1)g x f x f x =-++()2222log (1)log (1)log 1x x x =-++=-.由10,10,x x ->⎧⎨+>⎩得11x -<<，即定义域为(1,1)-，即函数()g x 的定义域关于原点对称.又()2222()log 1()log 1()g x x x g x ⎡⎤-=--=-=⎣⎦， ∴()g x 为偶函数. （2）由()()22()log 1,1,1g x xx =-∈-，函数()g x 的减区间为[0,1)，增区间为(1,0]-. ∵21(0,1]x -∈， ∴()g x 的值域为(,0]-∞.20.已知函数()sin()f x A x ωφ=+(0,0,π)A ωφ>><的一段图像如图所示.（1）求此函数的解析式；（2）求此函数在(2π,2π)-上的单调递增区间.解：（1）由函数的图象可知A =，()6282T=--=，∴周期T ＝16，∵T 2πω==16，∴ω2ππ168==，∴y ＝sin （π8x +φ）， ∵函数的图象经过（2，﹣）， ∴π28⨯+φ＝2k ππ2-，即φ324k ππ=-，又|φ|＜π， ∴φ34π=-； ∴函数的解析式为：y ＝（π8x 3π4-）． （2）由已知得ππ3ππ2π2π2842k x k -≤-≤+， 得16k +2≤x ≤16k +10，即函数的单调递增区间为[16k +2，16k +10]，k ∈Z ．当k ＝﹣1时，为[﹣14，﹣6]，当k ＝0时，为[2，10]，∵x ∈（﹣2π，2π），∴函数在（﹣2π，2π）上的递增区间为（﹣2π，﹣6）和[2，2π）．21.已知函数-()e -e x x f x =.（1）判断()f x 的单调性并用定义证明；（2）若对任意的12,[0,]x x a ∈，总有()()121f x f x -≤，求实数a 的取值范围. 解：（1）()x xf x e e -=-在(,)x ∈-∞+∞上是增函数.证明：设12,(,)x x ∈-∞+∞，且12x x <， ()()()1122122112e e e e e e e e x x x x x x x x f x f x -----=---=-+- 122111=e e e e x x x x -+- 121221x x x x x x e e e e e e-=-+()12211e e 1e e x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. ∵12x x <，∴12e e x x <，∴12e e 0x x -<. 又∵12110e e x x +>，∴()12211e e 10e e x x x x ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭，∴()()120f x f x -<即()()12f x f x <，∴()x x f x e e -=-在(,)x ∈-∞+∞上是增函数.（2）解：由（1）知()y f x =R 上单调递增，∴当[0,]x a ∈时，min ()(0)0f x f ==，max ()()e e a a f x f a -==-.∵()()121f x f x -≤，∴max min ()()1a a f x f x e e --=≤-，即2e e 10a a --≤，解得10e 2a ≤+<. 又∵0a >，∴10ln 2a +<≤ 22.如图，摩天轮的半径为40m ，O 点距地面的高度为50m ，摩天轮按逆时针方向作匀速转动，且每2min 转一圈，摩天轮上点P 的起始位置在最高点.（Ⅰ）试确定点P 距离地面的高度h （单位：m ）关于转动时间（单位：min ）的函数关系式；（Ⅱ）摩天轮转动一圈内，有多长时间点P 距离地面超过70m ？解：（1）建立如图所示的平面直角坐标系，设()02πϕϕ≤≤是以x 轴正半轴为始边，0OP （0P 表示点P 的起始位置）为终边的角，由题点P 的起始位置在最高点知，π2ϕ=， 又由题知OP 在min t 内转过的角为2π2t ，即t π， 所以以x 轴正半轴为始边，OP 为终边的角为ππ2t +，即P 点纵坐标为π40sin π2t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 所以点P 距离地面的高度h 关于旋转时间t 的函数关系式是π5040sin π2h t ⎛⎫=++⎪⎝⎭， 化简得5040cos h t π=+. （2）当5040cos π70t +>时，解得112233k t k -<<+， 又02t ≤≤，所以符合题意的时间段为103t ≤<或523t <≤，即在摩天轮转动一圈内，有2min 3 P 点距离地面超过70m .。