第三章 几何元素的相对位置(第六七讲)

能否不用重 能! 影点判别？
m
b 如何判别？
f
可通过正面投影 直观地进行判别。
例18 求两平面的交线 MN并判别可见性。
⑴ a
d a
●
空间及投影分析
b m(n) e ●
f c
平面ABC与DEF都为 正垂面，它们的交线为一 条正垂线，两平面正面投 影的交点即为交线的正面 投影，交线的水平投影垂 直于OX轴。
K
•过已知直线L作辅助面（多为投射面） •求出辅助面Q与已知面P的交线MN •直线MN与L线的交点K即为所求
例10 求直线L与∆ ABC的穿点，见下图。
b m k
l
c
a
n
a k
l
n b c
m
QH
⒉ 两平面相交
要讨论的问题：
两平面相交其交线为直线，交线是两平 面的共有线，同时交线上的点都是两平面的 共有点。
d'
k'
b'
2'
a' 1' b 1 k a c c'
d
2
小 结 ⒈ 直线与平面平行
直线平行于平面内的一条直线。
⒉ 直线与平面相交
⑴ 一般位置直线与特殊位置 平面求交点，利用交点的 共有性和平面的积聚性， 采用直线上取点的方法求 解。 ⑵ 投影面垂直线与一般位置 平面求交点，利用交点的 共有性和直线的积聚性， 采取平面上取点的方法求 解。
● ●
b′ e′
n′
●
a
n● d(e)
b
⑶
b
投影分析
k ●
●
f
a
m d ●
n c
e
f
b m●
e
●
a d
k
●
n
c
N点的水平投影 n位于Δdef 的外面， 说明点N位于ΔDEF所 确定的平面内，但不 位于ΔDEF这个图形 内。 所以ΔABC和 ΔDEF的交线应为MK。 互 交
⑶
f a m d ●
第三章 几何元素的相对位置 相对位置包括平行、相交和垂直。 一、平行问题
包括
直线与平面平行 平面与平面平行
B
A
⒈ 直线与平面平行
若平面外的一直线平行于 平面内的某一直线，则该直线与 该平面平行。
D
P
C
例1：过M点作直线MN平行于平面ABC。
b
d
c a b d a c
●
n m
●
n m
有多少解？
●
l
n
b
a
●
m
k
●
c
n
d b
e
例14 已知∆ ABC与∆ DEF相交，利用穿点法求交线， 并判断可见性，见下图。
b e a d m
n
f
c
d
m b
●
n
●
c
f
a
e
例15 两平面咬交时，利用穿点法求交线，并判断可见 性，见下图。
g G k
L k
g
例16 求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。 ⑴ 平面为特殊位置 空间及投影分析
N P X O
Y
法线的几何性质 平面上一切直线都与法线垂 直（相交或交叉垂直） 过法线的平面，或平行于法 线的平面，都与P面垂直
平面对投影面的坡角和法线 与该投影面的倾角互为余角
θH ΦH
P
N
法线的投影表示法及基本作图
例19 过已知点作一平面的法线。 n'
l1'
l2' p'
n'
●
a'
l1
l2 p
求直线与平面的交点(穿点)。(积聚性法，辅助面法）
例8 求一般直线L与正垂面∆ ABC的穿点
c l k a k b l l b
a
l
c
例9 求铅垂线L与∆ ABC的穿点，见下图。
b k l a c
b
k
●
l
c
a
辅助面法求穿点
Q L M
●
一般过L线所作 的辅助面多为投 射面
N P
a
b
c
c
l
b
a
例5：判断直线AB是否平行于∆DEF，如图所示。
b
f k
d
a
e
f a b
k
e
d
⒉ 两平面平行
b
e
f
c d a
① 若一平面上的两相 交直线分别平行于另 一平面上的两相交直 线，则这两平面相互 平行。 ② 若两投影面垂直面 相互平行，则它们具 有积聚性的那组投影 必相互平行。
c a d
f e
b
b a d
f e
h h
c
b d
a
c
f e
例6：判断平面ABDC与平面EFHM是否平行， 已知AB∥CD∥EF∥MH
a c m e k f
h
O
X
b b
d
d
f k m
h
a
c
e
由于ek不 平行于ac, 故两平面 不平行。
例7：判断P、Q平面是否平行，见图。
① 求两平面的交线 方法： 确定两平面的两个共有点。 ⑴ ⑵ 确定一个共有点及交线的方向。 ② 判别两平面之间的相互遮挡关系，即： 判别可见性。 首先讨论两平面中至少有一个处于特殊 位置的情况。
求交线。(积聚性法，辅助面法）
例11 求作水平面P与∆ ABC的交线，见下图。
b l≡PV c a
a
b
m m a c c
n
b b m
n
a
c n b ● m(n) c
a
两平面的相对位置
⒈ 两平面平行
a
b c d e f
⑴ 若一平面上的两相交 直线分别平行于另一 a 平面上的两相交直线， 则这两平面相互平行。
a
c d
f e f d e
b
b c b d
h
a'
b'
p'
q'
q p b
a
直线与直线垂直 两条直线垂直，其中一条直线必在另一直线的 垂面上，则平行于另一直线的垂直面。
A
C B
D
例26 过已知点A求作一直线与已知直线BC相交垂直
c'
k' b'
●
a'
b k c
●
a
例27 求两平行线之间的距离
b' l1'
l2'
a'
l1 b
a l2
例28 判断两相交直线是否垂直
a d
f a′ h′
c′ f′
预习：P157～P160
作业： P21、P22、 P23、 p24、 p25 （7）（8）（9）
c
a l b
例12 求作铅垂面P与∆ ABC的交线，见下图。
c
p
a
b
1
2
a
p b
c
1
2
例13 求作∆ ABC与∆ DEF的交线，见下图。(辅助面法 求交线，根据三平面共点）
b m p a b p m n f d e f e S1V S2V
c
a
c
n
d
可见性问题
利用重影点判别可见性 a d≡e m k c
●
●
●
●
●
⑵
d′ h′
空间及投影分析 平面DEFH是一铅 垂面，它的水平投影有 m′ 积聚性，其与ac、bc的 交点m 、n 即为两个共 有点的水平投影，故mn c′ 即为交线MN的水平投 f′ 影。 作图 ① 求交线 ② 判别可见性 h(f) m 点Ⅰ在MC上，点 Ⅱ在FH上，点Ⅰ在前， c 点Ⅱ在后，故mc 可 见。
A
D
反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的 任意一点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。
两平面垂直
两平面不垂直
例23 平面由BDF给定，试过定点K作已知平面的垂面。
h
g
c
a
a
c
g
h
例24 过已知直线L作平面垂直于已知平面P
a'
l'
b' p'
p
b l
a
例25 如图,判断P、Q两平面是否垂直
●
c
1(2)
c
a
1
例17 求两平面的交线 MN并判别可见性。
⑴ a
d a d
●
空间及投影分析
b m(n)
●
e
f
e
●
平面ABC与DEF都为正垂面， 它们的交线为一条正垂线， c 两平面正面投影的交点即为 交线的正面投影，交线的水 平投影垂直于OX轴。
n c
作图
① 求交线 ② 判别可见性 从正面投影上可看 出，在交线左侧，平面 ABC在上，其水平投影 可见。
b k ●
n
a
1(2)
●
m
m a
2
●
c
c n
● ●
平面ABC是一铅垂面， 其水平投影积聚成一条直 线，该直线与mn的交点即 为K点的水平投影。 作图 用线上 ① 求交点 取点法 ② 判别可见性
由水平投影可知， KN段在平面前，故正 面投影上kn为可见。 还可通过重影点判别可见性。
●
a
n
n
例20 过已知点作已知直线的垂直平面。
l' a'
●
l' a'
●
●
●
a' l l
a'