专项综合全练(二)三角形相似的基本类型

BE BF
∵EB= 1 AB=1,∴AB=3,
3
∴AE=2,∴ 2 = 3 ,∴BF= 3 ,
1 BF
2
∴EF= BF 2 EB2 = 13 ,即EF的长为 13 .
2
2
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七、“两高”型
专项综合全练（二）
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13.如图4-10-14,已知BD、CE为△ABC的高,求证:△ADE∽△ABC.
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五、一线三等角型
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9.如图4-10-10所示,已知AB⊥BD,ED⊥BD,C是线段BD的中点,且AC⊥ CE,ED=1,BD=4,求AB的长.
图4-10-10
专项综合全练（二）
解析 ∵AB⊥BD,ED⊥BD,∴∠ABC=∠EDC=90°, ∴∠A+∠ACB=90°. 又∵AC⊥CE,∴∠ECD+∠ACB=90°,∴∠ECD=∠A,
图4-10-11
专项综合全练（二）
解析 ∵∠ADE=60°,∴∠ADB+∠EDC=120°, ∵∠B+∠BAD=∠ADC=∠ADE+∠EDC, ∴60°+∠BAD=60°+∠EDC, ∴∠BAD=∠EDC,
又∵∠B=∠C=60°,∴△ABD∽△DCE,∴ BD = AB ,
CE CD
∵BD=3,BC=AB=AC=9,
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三、旋转型 6.如图4-10-7,已知∠DAB=∠EAC,∠ADE=∠ABC,求证: (1)△ADE∽△ABC; (2)△ADB∽△AEC.
图4-10-7 证明 (1)∵∠DAB=∠EAC, ∴∠DAB+∠BAE=∠EAC+∠BAE,
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专项综合全练（二）
即∠DAE=∠BAC. 又∵∠ADE=∠ABC, ∴△ADE∽△ABC. (2)∵△ADE∽△ABC,
∴ AB = AO ,即 AB = 4 ,
CD CO 3 2
∴AB=6.
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4.如图4-10-5,在平行四边形ABCD中,点E在AD上,连接CE并延长,与BA 的延长线交于点F.若AE=2ED,CD=6 cm,求AF的长.
图4-10-5 解析 ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD,∴△AFE∽△DCE, ∴AE∶DE=AF∶CD. 又∵AE=2ED,CD=6 cm, ∴AF=2CD=12 cm.
图4-10-8
专项综合全练（二）
解析 ∵ED⊥AB,∴∠ADE=90°=∠C,
又∵∠A=∠A,∴△ADE∽△ACB,∴ AD = AE ,
AC AB
即 AD = 5 ,解得AD=4,
8 10
∴BD=AB-AD=6.
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8.已知:如图4-10-9,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB. (1)求证:△ACD∽△ABC; (2)若AD=1,DB=4,求AC的长.
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2.(2019浙江宁波鄞州期中)如图4-10-3,在△ABC中,AB=4 cm,BC=8 cm, 点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC 边向点C以2 cm/s的速度移动,如果P、Q分别从A、B同时出发,经过几 秒后,点P、B、Q构成的三角形与△ABC相似?
图4-10-14
证明 ∵BD、CE为△ABC的高,∴∠AEC=∠ADB=90°.
AD AE
又∵∠A=∠A,∴△AEC∽△ADB,∴ AB = AC .
∵∠A=∠A,∴△ADE∽△ABC.
图4-10-3
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解析 ①设经过t s后,△PBQ∽△ABC, 根据已知条件可得AP=t cm,BQ=2t cm, 则PB=(4-t)cm,
∵△PBQ∽△ABC,∴ PB = BQ ,
AB BC
∴ 4 t = 2t ,∴t=2.
48
②设经过k s后,△PBQ∽△CBA, 根据已知条件可得AP=k cm,BQ=2k cm, 则PB=(4-k)cm. ∵△PBQ∽△CBA,
且 EO = DO ,试问△ADE与△ABC相似吗?如果相似,请说明理由.
BO CO
图4-10-2
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解析 相似.理由:∵ EO = DO ,∠BOE=∠COD,∠DOE=∠COB,
BO CO
∴△BOE∽△COD,△DOE∽△COB. ∴∠EBO=∠DCO,∠DEO=∠CBO, ∴∠ADE=∠DCO+∠DEO=∠EBO+∠CBO=∠ABC. 又∵∠A为公共角,∴△ADE∽△ABC.
∴△ABC∽△CDE,∴ AB = BC ,
CD DE
∵C是线段BD的中点,∴CD=BC=2.
又∵ED=1,∴ AB = 2 ,∴AB=4,即AB的长为4.
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10.(2017山东临沂费县期末)如图4-10-11,在边长为9的正三角形ABC中, BD=3,∠ADE=60°,求AE的长.
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初中数学（北师大版）
九年级 上册
专项综合全练（二）
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三角形相似的基本类型
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熟悉如图4-10-1所示的常见三角形相似的基本图形,在具体问题中 要善于分解出这些基本图形,从而快速找到判定相似的方法.
图4-10-1
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特别提示:掌握基本图形的相似关系和边角的对应关系有助于快速 找出相似三角形,以及判定相似的条件,ห้องสมุดไป่ตู้复杂的图形中要善于发现这 些基本图形. 一、A字型 1.如图4-10-2所示,D,E分别为△ABC的边AC,AB上一点,BD,CE交于点O,
∴CD=6,∴ 3 = 9 ,∴CE=2,
CE 6
∴AE=AC-CE=7.
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11.(1)尝试: 如图4-10-12①,已知A,E,B三点在同一条直线上,且∠A=∠B=∠DEC=90°, 求证:△ADE∽△BEC; (2)一位同学在尝试了上题后还发现:如图4-10-12②、③,只要A,E,B三点 在同一条直线上,且∠A=∠B=∠DEC,则(1)中的结论总成立.你同意吗? 请在图4-10-12②、③中选择一个说明理由.
图4-10-12
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解析 (1)证明:∵∠A=∠DEC=90°, ∴∠DEA+∠CEB=90°,∠DEA+∠D=90°, ∴∠D=∠CEB,又∠A=∠B, ∴△ADE∽△BEC. (2)同意,选择图②说明理由: ∵∠A=∠DEC,∠A+∠D=∠DEC+∠CEB, ∴∠D=∠CEB,又∠A=∠B, ∴△ADE∽△BEC. (也可选图③).
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六、反射型
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12.如图4-10-13所示,E是正方形ABCD的边AB上的点,EB= 1 AB=1,
3
∠DEA=∠FEB,求EF的长.
图4-10-13
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解析 ∵四边形ABCD是正方形,
∴∠DAE=∠FBE=90°,又∵∠DEA=∠FEB,
∴△ADE∽△BFE,∴ AE = AD ,
∴ PB = BQ ,∴ 4 k = 2k ,∴k=0.8.
BC AB 8 4
故经过0.8秒或2秒后,△PBQ与△ABC相似.
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二、X字型
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3.如图4-10-4,AD与BC交于O点,∠A=∠C,AO=4,CO=2,CD=3,求AB的长.
图4-10-4
解析 ∵∠A=∠C,∠AOB=∠COD, ∴△AOB∽△COD,
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5.如图4-10-6,点D,E分别在线段AB和AC上,BE与CD相交于点O,AD·AB= AE·AC,DF∥AC,求证:△DOF∽△BOD.
图4-10-6
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证明 ∵AD·AB=AE·AC,
∴ AADE = AACB ,
又∵∠A=∠A, ∴△ABE∽△ACD,∴∠B=∠C, ∵DF∥AC,∴∠C=∠ODF,∴∠B=∠ODF, ∵∠DOF=∠BOD, ∴△DOF∽△BOD.
图4-10-9
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专项综合全练（二）
解析 (1)证明:∵∠ACB=90°,CD⊥AB, ∴∠ADC=∠ACB=90°. 又∵∠CAD=∠BAC, ∴△ACD∽△ABC. (2)∵△ACD∽△ABC,
∴ AC = AD ,即 AC = 1 ,
AB AC 1 4 AC
∴AC= 5 或AC=- 5(舍去).
∴ AD = AE ,即 AD = AB .
AB AC AE AC
又∵∠DAB=∠EAC, ∴△ADB∽△AEC.
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四、双垂直型
7.(2019河北唐山路南期中)如图4-10-8,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10, AC=8,E是AC上一点,AE=5,ED⊥AB,垂足为D,求BD的长.