2020届贵州省贵阳市第一中学高三上学期第三次月考数学(理)试题(解析版)

2020届贵州省贵阳市第一中学高三上学期第三次月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合211M x x ⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，(){}ln 2N x y x ==-，则MN =（ ）A ．[)1,2B ．()1,2C ．[]1,3D ．(),2-∞【答案】B【解析】求出,M N 后可得它们的交集. 【详解】2310{|13}11x M x x x x x x ⎧⎫⎧⎫-=≥=≤=<≤⎨⎬⎨⎬--⎩⎭⎩⎭，{|ln(2)}{|2}N x y x x x ==-=<，所以{|12}MN x x =<<，故选：B ． 【点睛】本题考查分式不等式的解集、与对数函数有关的复合函数的定义域，前者转化为一元二次不等式时注意分母不为零，后者注意真数大于零.2．已知复数232019i i i i 1iz ++++=+，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅=（ ）A ．0B ．12C ．1D ．2【答案】B【解析】利用i n 的周期性可求232019i i i i ++++，再利用复数的除法可求z ，求出z的模后可求z z ⋅. 【详解】因为i,411,42i i,431,4nn k n k n k n k=+⎧⎪-=+⎪=⎨-=+⎪⎪=⎩（k ∈N ），201945043=⨯+，所以23201923i i i i 5040i i i 1++++=⨯+++=-，所以11i 1i 2z --+==+，而2111=442z z z ⋅=+=， 故选：B ． 【点睛】本题考查复数的除法、乘方和复数的模，注意计算复数和的时候需利用i n 的周期性，该问题属于中档题.3．已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin 2α=（ ）A B C ．D ． 【答案】D【解析】先利用诱导公式求出sin α的值，再利用同角三角函数的基本关系式求cos α的值，最后利用倍角公式可求sin 2α的值. 【详解】因为,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，cos sin 3ααπ⎛⎫+=-=- ⎪2⎝⎭，所以sin α=且cos 3α=-，故sin 22sin cos 3ααα==- 故选：D ． 【点睛】三角函数中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角.4．某中学有三栋教学楼，如图1所示，若某学生要从A 处到达他所在的班级B 处（所有楼道间是连通的），则最短路程不同的走法为（ ）图1A ．5B ．10C ．15D ．20【答案】C【解析】可把最短路程归结为6步中有2个横步的不同走法的总数即可. 【详解】从A 到B 共需走6步，其中横步（向右）有两步，竖直向上的有4步，故最短路程的不同走法数为2615C =，故选：C ． 【点睛】本题考查组合数的应用，注意利用对应关系把实际问题转化为组合问题（如本题中的走法与横步和竖步的组合的对应），此类问题属于基础题. 5．已知倾斜角为6π的直线过抛物线()220y px p =>焦点，且与抛物线相交于,A B 两点，若AB 4=，则p =（ ）A ．12B ．1C ．2D ．4【答案】A【解析】联立直线方程和抛物线方程，利用焦点弦的弦长公式和韦达定理可求p 的值. 【详解】设直线方程为32p y x ⎫=-⎪⎝⎭，代入22y px =，得22704p x px -+=，而1284AB x x p p =++==，故12p =. 故选：A ． 【点睛】一般地，过焦点的直线与抛物线()220y px p =>的交点为()()1122,,,A x y B x y ，则12AB x x p =++，解题中注意利用该公式简化计算.6．已知数列{}n a 满足：2n a n n =+，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为( )A ．1nB ．21n n +C ．1n n +D ．21n n +【答案】C【解析】利用裂项相消法可求前n 项和. 【详解】1111(1)1n a n n n n ==-++， 则1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为11111122311nn n n -+-++-=++， 故选：C ． 【点睛】数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.7．已知函数()()cos 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω的最大值为（ ） A ．13B ．23C ．43D ．53【答案】B【解析】求出函数的单调减区间，利用0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦为前者的子集可求ω的取值范围. 【详解】 令,62k x k k Z πππωπ≤+≤+∈，故63,k k x k Z ππππωω-+≤≤∈，所以函数的减区间为63,,k k k Z ππππωω⎡⎤-+⎢⎥∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦，因为()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数， 故存在k Z ∈，使得6302k k πππππωω-+≤<≤，因为0>ω，所以0k =，所以6302πππωω-≤<≤，故203ω<≤.故选：B ． 【点睛】本题考查给定范围上的含参数的三角函数的单调性，我们常利用复合函数的单调性来讨论此类问题，此类问题属于中档题. 8．已知定义在R 上的函数()1f x +为偶函数，当1x ≥时，()2ln f x x x =+，则不等式()()1f x f x -≥的解集为（ ） A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],2-∞C ．[)2,+∞D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】()2ln f x x x =+在[)1,+∞上为增函数，再利用()y f x =的图像关于直线1x =对称可得111x x --≥-，解这个不等式可得x 的取值范围.【详解】当1x ≥时，2y x =为增函数，ln y x =也是增函数，故()2ln f x x x =+为增函数.又因为函数(1)f x +为偶函数，所以()y f x =的图像关于直线1x =对称. 因为()()1f x f x -≥，故111x x --≥-即1x x ≥-， 两边平方后得到21x ≥即12x ≥， 故选：D ． 【点睛】本题考查函数的单调性和函数图像的对称性，函数单调性的判断一方面要熟悉基本初等函数的单调性，另一方面也要知道复合函数及函数的四则运算后函数单调性的判断方法（一般地，增函数与增函数的和为增函数，增函数与减函数的差为增函数，复合函数的单调性的判断方法是同增异减）.另外，如果函数的解析式满足()()f a x f b x -=+，那么函数的图像关于直线2a bx +=对称. 9．如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A ．36πB ．27πC ．272π D ．252π【答案】C【解析】根据三视图可得原几何体为正四面体，且棱长为3，求出外接球的半径后可得外接球的体积. 【详解】由三视图可得该几何体是棱长为3的正四面体， 如图，O 为顶点在底面上的投影，O '为外接球的球心，故AO =DO =O D R '=，所以222)R R +=，故R =，所以22742S R ππ==， 故选：C ．【点睛】几何体的外接球、内切球问题，关键是球心位置的确定，必要时需把球的半径放置在可解的几何图形中．如果球心的位置不易确定，则可以把该几何体补成规则的几何体，便于球心位置和球的半径的确定． 10．下列命题是假命题的为（ ） （1）常数数列既是等差数列也是等比数列；（2）已知5log 2a =，0.5log 0.2b =，0.20.5c =，则b a c >>； （3）在ABC ∆中，“sin sin A C >”是“a c >”的充分不必要条件； （4）若函数3211232y x x ax =-++在[]0,1上存在单调增区间，则18a >-． A ．（2）（3） B ．（1）（2）（3） C ．（1）（2）（4） D ．（1）（2）（3）（4）【答案】B【解析】逐个判断各命题的真假后可得正确的选项. 【详解】（1）错，反例数列：0，0，0，0，0，0，是等差数列但不是等比数列；（2）错，因为555log 1log 2log <<，所以00.5a <<，因为0.50.5log 0.5log 0.2<，所以1b >， 因为10.200.50.50.5<<，故0.51c <<， 故b c a >>；（3）错， 因为sin sin ,22a c A C a c R R>∴>∴>，， 反之，因为,2sin 2sin ,a c R A R C >∴>∴sin sin A C >， 所以“sin sin A C >”是“a c >”的充要条件；（4）对，由题知220y x x a '=-++>在区间[0,1]上有解， 又对称轴为12x =，故180a ∆=+>，所以18a >-. 故选：B ． 【点睛】本题考查命题的真假判断、指数数的大小比较、正弦定理、导数的应用和等比数列的性质，此类问题为中档题.11．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，且右顶点到渐近线的距离与到直线2a x c =距离的比值大于2，则双曲线的离心率范围为（ ）A ．51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B．(C ．()1,2D ．71,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】根据题设条件得到关于,,a b c 的不等式，化简后可求离心率的范围. 【详解】右顶点到渐近线的距离为ab d c=， 右顶点到直线2a x c=的距离为22a ac a a c c --=， 由题设条件有22abc ac a c>-，整理得到4a c c a +>-， 所以53a c >即513c a <<，故选：A ．【点睛】圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于,,a b c 的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于,,a b c 的不等式或不等式组．12．已知*m ∈N ，若关于x 的不等式30(2,71828)x x e mmx e e x x-->=⋯-解集中有且仅有一个正整数，则m =（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】令()()31,0x xe f x g x m x e x x ⎛⎫==+> ⎪-⎝⎭，利用导数可得()f x 的单调性，利用双勾函数的单调性可得()g x 的单调性，最后根据两个函数的单调性及不等式有且只有一个正整数解可得m 满足的不等式，从而得到所求的范围. 【详解】23(1)()()x xe xf x e x -'=-，当01x <<时，()0f x '> ，当1x >时，()0f x '<， 所以()f x 在(0,1)上递增，(1,)+∞上递减， 所以max 3()(1)1ef x f e ==-. 由对勾函数性质知，()mg x mx x=+在(0,1)上递减，(1,)+∞上递增， 所以min()(1)2g x g m ==.因为不等式有且只有一个正整数解，故223213522e m e e m e ⎧<⎪⎪-⎨⎪≤⨯⎪-⎩， 所以1.7 2.38m <<即2m =， 故选：B ． 【点睛】本题考查不等式的整数解，注意利用导数刻画对应函数的单调性，从而把不等式的整数解问题归结为若干整数点对应的函数值的大小问题.二、填空题13．已知()1,3a =，()0,1b =-，则a b b a b ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭________．【答案】12-【解析】求出,a ba b的坐标后利用数量积的坐标形式计算即可.【详解】2a =，1b =，所以()13,,0,122ab a b⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭， 所以13,122a bab⎛⎫+=- ⎪⎪⎝⎭，所以()10111||222||a b b a b ⎛⎫⎛⎫+⋅=⨯+-⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：12-. 【点睛】在向量中，我们需要熟知一些特殊的向量：（1）()12OA OB +表示AB 边上的中线OD 所在的向量OD uuu r ； （2）a a 表示与a 共线同向的单位向量，aa-rr 表示与a 共线反向的单位向量．14．已知54325432051(21)x a x a x a x a x a x a -=+++++，则543210a a a a a a +++++= ________．【答案】243【解析】取1x =-后可得系数的绝对值的和. 【详解】根据二项式定理可知：5314200,0,0,0,0,0a a a a a a >>><<<， 所以012345543210a a a a a a a a a a a a +++++=-+-+-，令1x =-，则55432103243a a a a a a -+-+-+=-=-，故012345243a a a a a a +++++=． 故答案为：243.【点睛】本题考查二项式定理的应用，一般地，与展开式系数和有关的问题，可以赋值法，所赋的值应该根据和式的特点进行选取，此类问题属于基础题. 15．若不等式1(1)(1)1n n n λ+-->-+*n ∈N 恒成立，则实数λ的取值范围为________． 【答案】523λ-≤<【解析】就n 为奇数和n 为偶数分类讨论即可. 【详解】当n 为正奇数时，121n λ->-+，又当n 为任意正奇数时，总有1221n --<-+， 所以2λ≥-；当n 为正偶数时，121n λ<-+，又当n 为任意正偶数时，总有15213n -≥+， 所以53λ<，故523λ-≤<．故答案为：523λ-≤<.【点睛】本题考查数列不等式的恒成立，此类问题一般转化为数列的最值进行讨论，解题中注意分类讨论.16．设计一个随机试验，使一个事件的概率与某个未知数有关，然后通过重复试验，以频率估计概率，即可求得未知数的近似解，这种随机试验在数学上称为随机模拟法，也称为蒙特卡洛法。