导数限时规范训练
集合、常用逻辑用语,函数与导数,等式专题限时规范训练及详细答案
第1讲集合、常用逻辑用语[限时45分钟，满分60分]一、选择题(每小题5分，共40分)1．(2013·烟台一模)已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|－1＜x＜2}，则(∁R A)∩B等于A．{x|x＞－1}B．{x|－1＜x≤1}C．{x|－1＜x＜2} D．{x|1＜x＜2}解析∁R A＝{x|x≤1}，所以(∁R A)∩B＝{x|－1＜x≤1}，选B.答案 B2．(2013·东城模拟)若集合A＝{x|x≥0}，且A∩B＝B，则集合B可能是A．{1,2} B．{x|x≤1}C．{－1,0,1} D．R解析因为A∩B＝B，所以B⊆A，因为{1,2}⊆A，所以答案选A.答案 A3．若函数f(x)＝x2＋ax(a∈R)，则下列结论正确的是A．∀a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是增函数B．∀a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是减函数C．∃a∈R，f(x)是偶函数D．∃a∈R，f(x)是奇函数解析∵f′(x)＝2x－ax2＝2x3－ax2，∴A，B不正确．在C中，当a＝0时，f(x)＝x2是偶函数，C正确，显然f(x)不是奇函数，D不正确．答案 C4．(2013·丰台模拟)设全集U＝{1,3,5,7}，集合M＝{1，|a－5|}，∁U M＝{5,7}，则实数a的值为A ．2或－8B ．－2或－8C ．－2或8D ．2或8解析 因为∁U M ＝{5,7}，所以|a －5|＝3，即a －5＝3或a －5＝－3，即a ＝8或2，选D. 答案 D5．(2013·滨州一模)已知全集U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{1,2}，B ＝{2,4}，则(∁U B )∪A 等于 A ．{1,2} B ．{2,3,4} C ．{3,4}D ．{1,2,3}解析 因为A ＝{1,2}，B ＝{2,4}，所以∁U B ＝{1,3}， 即(∁U B )∪A ＝{1,2,3}，选D. 答案 D6．(2013·山东)给定两个命题p ，q .若綈p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈q 的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 ∵綈p 是q 的必要而不充分条件，∴q ⇒綈p ，但綈p ⇏q ，其逆否命题为p ⇒綈q ，但綈q ⇏p ，因为原命题与其逆否命题是等价命题，故选A.答案 A7．(2013·云南师大附中模拟)已知条件p ：x 2－3x －4≤0；条件q ：x 2－6x ＋9－m 2≤0，若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是A ．[－1,1]B ．[－4,4]C ．(－∞，－4]∪[4，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析 p ：－1≤x ≤4，记q ：3－m ≤x ≤3＋m (m ＞0)或3＋m ≤x ≤3－m (m ＜0)，依题意，⎩⎨⎧m ＞0，3－m ≤－1，3＋m ≥4或⎩⎨⎧m ＜0，3＋m ≤－1，3－m ≥4，解得m ≤－4或m ≥4.选C.答案 C8．(2013·烟台一模)已知命题p ：若(x －1)(x －2)≠0，则x ≠1且x ≠2；命题q ：存在实数x 0，使02x ＜0.下列选项中为真命题的是A ．綈pB ．(綈p )∨qC ．(綈q )∧pD ．q解析 命题p 为真，q 为假命题，所以(綈q )∧p 为真，选C. 答案 C二、填空题(每小题5分，共20分)9．(2013·德州一模)命题“∀x ∈R ，x 2－2x ＝0”的否定是________．解析 全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x ∈R ，x 2－2x ＝0”的否定是∃x ∈R ，x 2－2x ≠0.答案 ∃x ∈R ，x 2－2x ≠010．(2013·合肥模拟)若集合A ＝{y |y ＝x 13，－1≤x ≤1}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ＝2－1x ，0＜x ≤1，则A ∩B等于________．解析 A ＝{y |y ＝x 13，－1≤x ≤1}＝{y |－1≤y ≤1}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ＝2－1x ，0＜x ≤1＝{y |y ≤1}， 所以A ∩B ＝{y |－1≤y ≤1}＝[－1,1]． 答案 [－1,1]11．设p ：xx －2＜0，q ：0＜x ＜m ，若p 是q 成立的充分不必要条件，则m 的取值范围是________．解析 不等式xx －2＜0等价于x (x －2)＜0，解之得0＜x ＜2，即p ：0＜x ＜2.又p 是q 成立的充分不必要条件，∴{x |0＜x ＜2}{x |0＜x ＜m }，故m ＞2. 答案 (2，＋∞)12．给定下列四个命题：①“x ＝π6”是“sin x ＝12”的充分不必要条件； ②若“p ∨q ”为真，则“p ∧q ”为真； ③若a ＜b ，则am 2＜bm 2； ④若集合A ∩B ＝A ，则A ⊆B .其中为真命题的是________(填上所有正确命题的序号)．解析 ①中由x ＝π6⇒sin x ＝12，但sin x ＝12⇏x ＝π6，故①为真命题． ②中p ∨q 为真，但p 、q 不一定全为真命题， 则推不出p ∧q 为真，故②为假命题． ③中当m 2＝0时不成立，故③为假命题． ④中A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，故④为真命题． 故答案为①④. 答案 ①④第2讲 函数、基本初等函数的图象性质[限时45分钟，满分60分]一、选择题(每小题5分，共45分) 1．函数f (x )＝3x1－x＋lg(2x －1)的定义域为 A ．(－∞，1)B ．(0,1]C ．(0,1)D ．(0，＋∞)解析 要使函数有意义，则有⎩⎨⎧ 2x－1＞01－x ＞0，即⎩⎨⎧x ＞0x ＜1，所以0＜x ＜1，即函数定义域为(0,1)，选C. 答案 C2．(2013·山东)已知函数f (x )为奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)等于 A ．－2B ．0C ．1D ．2解析 因为f (x )是奇函数， 所以f (－1)＝－f (1)＝－2. 答案 A3．(2013·衡水模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－log 2x ，x ＞0，1－x 2，x ≤0，则不等式f (x )＞0的解集为 A ．{x |0＜x ＜1} B ．{x |－1＜x ≤0} C ．{x |－1＜x ＜1}D ．{x |x ＞－1}解析 若x ＞0，由f (x )＞0得，－log 2x ＞0， 解得0＜x ＜1；若x ≤0，由f (x )＞0，得1－x 2＞0， 解得x 2＜1，即－1＜x ≤0. 综上－1＜x ＜1，选C. 答案 C4．(2013·济南一模)函数y ＝x －13x 的图象大致为解析 函数为奇函数，图象关于原点对称，所以排除C ，D. 当x ＝1时，y ＝0，当x ＝8时， y ＝8－38＝8－2＝6＞0，排除B ，选A. 答案 A5．(2013·浦东模拟)已知函数f (x )＝14x ＋2，若函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋n 为奇函数，则实数n 为A ．－12B ．－14C.14D ．0解析 据题意，y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋n ＝12142x ++＋n ，所以当x ＝0时，102142++＋n ＝0，解得n ＝－14. 答案 B6．(2013·玉溪模拟)若f (x )是偶函数，且当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x －1，则f (x －1)＜0的解集是A ．(－1,0)B ．(－∞，0)∪(1,2)C ．(1,2)D ．(0,2)解析 根据函数的性质作出函数f (x )的图象如图．把函数f (x )向右平移1个单位，得到函数f (x －1)，如图，则不等式f (x －1)＜0的解集为(0,2)，选D.答案 D7．(2013·玉溪一中月考)函数f (x )＝xx 2＋a的图象不可能是解析 当a ＝0时，f (x )＝x x 2＋a＝1x ，C 选项有可能． 当a ≠0时，f (0)＝xx 2＋a＝0，所以D 图象不可能，选D.答案 D8．(2013·海淀模拟)若x ∈R ，n ∈N ＋，定义E n x ＝x (x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n －1)，例如E 4－4＝(－4)·(－3)·(－2)·(－1)＝24，则f (x )＝x ·E 5x －2的奇偶性为A ．偶函数不是奇函数B ．奇函数不是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数解析 由题意知f (x )＝x E 5x －2＝x (x －2)(x －1)x (x ＋1)(x ＋2)＝x 2(x 2－4)(x 2－1)，所以函数为偶函数，不是奇函数，选A.答案 A9．(2013·潮州一模)定义域为R 的奇函数f (x )，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )＜0恒成立，若a ＝3f (3)，b ＝(log π3)·f (log π3)，c ＝－2f (－2)，则A ．a ＞c ＞bB ．c ＞b ＞aC ．c ＞a ＞bD ．a ＞b ＞c解析 设g (x )＝xf (x )，依题意得g (x )是偶函数， 当x ∈(－∞，0)时f (x )＋xf ′(x )＜0，即g ′(x )＜0恒成立，故g (x )在x ∈(－∞，0)单调递减， 则g (x )在(0，＋∞)上递增，a ＝3f (3)＝g (3)，b ＝(log π3)·f (log π3)＝g (log π3)，c ＝－2f (－2)＝g (－2)＝g (2)． 又log π3＜1＜2＜3，故a ＞c ＞b . 答案 A二、填空题(每小题5分，共15分)10．(2013·山东实验中学模拟)若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a ＞0且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________．解析 因为y ＝|a x －1|的图象是由y ＝|a x |向下平移一个单位得到，当a ＞1时，作出函数y ＝|a x －1|的图象如图，此时y ＝2a ＞2，如图只有一个交点，不成立．当0＜a ＜1时，0＜2a ＜2，要使两个函数的图象有两个公共点，则有0＜2a ＜1，即0＜a ＜12，所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1211．(2013·海淀模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧a x， x ＞0，ax ＋3a －8， x ≤0，若函数f (x )的图象经过点(3,8)，则a ＝________；若函数f (x )是 (－∞，＋∞)上的增函数，那么实数a 的取值范围是________．解析 若函数f (x )的图象经过点(3,8)， 则a 3＝8，解得a ＝2.若函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数， 则有⎩⎨⎧ a ＞1f (0)≤1，即⎩⎨⎧a ＞13a －8≤1，所以⎩⎨⎧a ＞1a ≤3，即1＜a ≤3，所以实数a 的取值范围是(1,3]． 答案 2 (1,3]12．(2013·西城模拟)已知函数f (x )的定义域为R .若∃常数c ＞0，对∀x ∈R ，有f (x ＋c )＞f (x －c )，则称函数f (x )具有性质P .给定下列三个函数：①f (x )＝2x ；②f (x )＝sin x ；③f (x )＝x 3－x . 其中，具有性质P 的函数的序号是________．解析 由题意可知当c ＞0时，x ＋c ＞x －c 恒成立，若对∀x ∈R ，有f (x ＋c )＞f (x －c )． ①若f (x )＝2x ，则由f (x ＋c )＞f (x －c )得2x ＋c ＞2x －c ，即x ＋c ＞x －c ，所以c ＞0，恒成立． 所以①具有性质P .②若f (x )＝sin x ，由f (x ＋c )＞f (x －c )得sin(x ＋c )＞sin(x －c )，整理cos x sin c ＞0，所以不存在常数c ＞0，对∀x ∈R ，有f (x ＋c )＞f (x －c )成立，所以②不具有性质P .③若f (x )＝x 3－x ，则由f (x ＋c )＞f (x －c )得由(x ＋c )3－(x ＋c )＞(x －c )3－(x －c )，整理得6x 2＋c 2＞2，所以当只要c ＞2，则f (x ＋c )＞f (x －c )成立，所以③具有性质P ，所以具有性质P 的函数的序号是①③.答案 ①③第3讲 函数与方程及函数的应用[限时45分钟，满分75分]一、选择题(每小题4分，共24分) 1．函数f (x )＝|x |－k 有两个零点，则 A ．k ＜0B ．k ＝0C ．k ＞0D ．0≤k ＜1解析 函数f (x )有两个零点，即方程|x |＝k 有两个不等的实数根，在同一坐标系内作出函数y ＝|x |和y ＝k 的图象，如图所示，可知当k ＞0时，二者有两个交点，即f (x )有两个零点．答案 C2．若函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表那么方程x 3＋x 2－2x A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．1.5解析 根据所给表格与函数零点的存在性定理可知f (1.375)f (1.438)＜0，即函数f (x )的零点在区间(1.375，1.438)内，故方程x 3＋x 2－2x －2＝0的一个近似根(精确到0.1)为1.4.答案 C3．(2013·惠州模拟)已知函数f (x )＝3x ＋x －9的零点为x 0，则x 0所在区间为 A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，52 解析 因为f (x )为增函数．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝27＋32－9＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝243＋52－9＞0.故选D. 答案 D4．已知f (x ＋1)＝f (x －1)，f (x )＝f (－x ＋2)，方程f (x )＝0在[0,1]内有且只有一个根x ＝12，则f (x )＝0在区间[0,2 013]内根的个数为A ．2 011B ．1 006C ．2 013D ．1 007解析 由f (x ＋1)＝f (x －1)，可知f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )的周期是2， 由f (x )＝f (－x ＋2)可知函数f (x )关于直线x ＝1对称， 因为函数f (x )＝0在[0,1]内有且只有一个根x ＝12，所以函数f (x )＝0在区间[0,2 013]内根的个数为2 013个，选C. 答案 C5．设函数f (x )＝x 3－4x ＋a (0＜a ＜2)有三个零点x 1、x 2、x 3，且x 1＜x 2＜x 3，则下列结论正确的是A ．x 1＞－1B ．x 2＜0C ．0＜x 2＜1D ．x 3＞2解析 因为f (－3)＝a －15＜0，f (－1)＝3＋a ＞0，f (0)＝a ＞0，f (1)＝a －3＜0，f (2)＝a ＞0，所以函数的三个零点分别在(－3，－1)，(0,1)，(1,2)之间，又因为x 1＜x 2＜x 3，所以－3＜x 1＜－1,0＜x 2＜1＜x 3＜2，选C.答案 C6．(2013·滨州一模)定义在R 上的奇函数f (x )，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12(x ＋1)，x ∈[0，1)，1－|x －3|，x ∈[1，＋∞)，则关于x 的函数F (x )＝f (x )－a,0＜a ＜1的所有零点之和为A ．1－2aB ．2a －1C ．1－2－aD ．2－a －1解析 当0≤x ＜1时，f (x )≤0.当x ≥1时，函数f (x )＝1－|x －3|，关于x ＝3对称，当x ≤－1时，函数关于x ＝－3对称，由F (x )＝f (x )－a ＝0，得y ＝f (x )，y ＝a .所以函数F (x )＝f (x )－a 有5个零点．当－1≤x ＜0时，0＜－x ≤1，所以f (－x )＝12log (－x ＋1)＝－log 2(1－x )，即f (x )＝log 2(1－x )，－1≤x ＜0.由f (x )＝log 2(1－x )＝a ，解得x ＝1－2a ，因为函数f (x )为奇函数，所以函数F (x )＝f (x )－a,0＜a ＜1的所有零点之和为x ＝1－2a ，选A.答案 A二、填空题(每小题5分，共15分)7．方程12log (a －2x )＝2＋x 有解，则a 的最小值为________．解析 方程12log (a －2x)＝2＋x 等价为⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋x＝a －2x ，即a ＝2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋x ＝2x ＋14×12x ≥22x ×14×12x ＝1，当且仅当2x ＝14×12x ，即2x ＝12，x ＝－1时取等号，所以a 的最小值为1. 答案 18．(2013·滨州一模)定义在R 上的偶函数f (x )，且对任意实数x 都有f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[0,1)时，f (x )＝x 2，若在区间[－1,3]内，函数g (x )＝f (x )－kx －k 有4个零点，则实数k 的取值范围是________．解析 由f (x ＋2)＝f (x )得函数的周期为2.由g (x )＝f (x )－kx －k ＝0，得f (x )＝kx ＋k ＝k (x ＋1)，分别作出函数y ＝f (x )，y ＝k (x ＋1)的图象，要使函数有4个零点，则直线y ＝k (x ＋1)的斜率0＜k ≤k AB ，因为k AB ＝1－03－(－1)＝14，所以0＜k ≤14，即实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，149．(2013·房山区一模)某商品在最近100天内的单价f (t )与时间t 的函数关系是f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 4＋22， 0≤t ＜40，t ∈N ，－t 2＋52， 40≤t ≤100，t ∈N ，日销售量g (t )与时间t 的函数关系是g (t )＝－t 3＋1093，0≤t ≤100，t ∈N .则这种商品的日销售额的最大值为________．解析 由条件可知，当0≤t ＜40，t ∈N 时，这种商品的日销售额为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t 4＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫－t 3＋1093，则当t ＝10或t ＝11时，y max ＝808.5；当40≤t ≤100，t ∈N 时，这种商品的日销售额为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－t 2＋52⎝ ⎛⎭⎪⎫－t 3＋1093，则当t ＝100时，y max ＝736. 答案 808.5三、解答题(每小题12分，共36分)10．某商品在近30天内每件的销售价格p (元)与时间t (天)的函数关系是p ＝⎩⎨⎧t ＋20， 0＜t ＜25，t ∈N ，－t ＋100， 25≤t ≤30，t ∈N .该商品的日销售量Q (件)与时间t (天)的函数关系是Q ＝－t ＋40,0＜t ≤30，t ∈N ，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？解析 由题意得y ＝pQ ＝⎩⎨⎧(－t ＋40)(t ＋20)， 0＜t ＜25，(－t ＋40)(－t ＋100)， 25≤t ≤30，所以当0＜t ＜25时，y max ＝f (10)＝900， 当25≤t ≤30时，y max ＝f (25)＝1 125， 综上所述，y max ＝f (25)＝1 125.所以这种商品的日销售金额的最大值为1 125元，是30天中的第25天．11．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R ，a ≠0)，f (－2)＝f (0)＝0，f (x )的最小值为－1. (1)求函数f (x )的解析式；(2)设函数h (x )＝12[()]n f x --－1，若函数h (x )在其定义域上不存在零点，求实数n 的取值范围． 解析 (1)由题意设f (x )＝ax (x ＋2)， ∵f (x )的最小值为－1，∴a ＞0，且f (－1)＝－1，∴a ＝1，∴f (x )＝x 2＋2x .(2)∵函数h (x )＝12[()]n f x --－1在定义域内不存在零点，必须且只须有n －f (x )＞0有解，且n －f (x )＝1无解．∴n ＞f min (x )，且n 不属于f (x )＋1的值域． 又∵f (x )＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，∴f (x )的最小值为－1，f (x )＋1的值域为[0，＋∞)， ∴n ＞－1，且n ＜0， ∴n 的取值范围为(－1,0)．12．祖国大陆开放台湾农民到大陆创业以来，在11个省区设立了海峡两岸农业合作实验区和台湾农业创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务．某台商到大陆创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万元．设f (n )表示前n 年的纯收入(f (n )＝前n 年的总收入－前n 年的总支出－投资额)．(1)从第几年开始获取纯利润？(2)若干年后，该台商为开发新项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以48万美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂，问哪种方案最合算？解析 (1)设从第n 年开始获取纯利润，则f (n )＝50n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n ＋n (n －1)2·4＋72＝－2n 2＋40n －72＞0， 整理得n 2－20n ＋36＜0，解得：2＜n ＜18， ∴从第三年开始获取纯利润．(2)方案1 年平均利润为f (n )n ＝－2n 2＋40n －72n ＝40－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋36n ≤40－4 n ·36n ＝16，当且仅当n ＝36n ，即n ＝6时取等号， ∴总利润为y 1＝16×6＋48＝144(万元)．方案2 纯利润总和为f (n )＝－2n 2＋40n －72＝－2(n －10)2＋128， ∴n ＝10时，f (n )max ＝128，∴总利润为y 2＝128＋16＝144(万元)． 由于方案1用时较短，故方案1最合算．第4讲 不等式[限时45分钟，满分75分]一、选择题(每小题4分，共24分) 1．下列不等式可以推出a ＜b 的是 A ．ac 2＜bc 2B.1a ＞1b C ．a 2＜b 2D.a c ＜b c解析 因为ac 2＜bc 2，所以c ≠0，即c 2＞0，故ac 2＜bc 2⇒a ＜b ，选A ；对于B ，当a ＝1，b ＝－1时，满足1a ＞1b ，但a ＞b ；对于C ，当a ＝1，b ＝－2时，满足a 2＜b 2，但a ＞b ；对于D ，当c ＜0时，有a ＞b .答案 A2．若点(a ，a )和点(a ＋2，a )分别在直线x ＋y －3＝0的两侧，则实数a 的取值范围是 A ．(－∞，1)∪(3，＋∞) B ．(1,3) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 解析 据题意知(a ＋a －3)(a ＋2＋a －3)＜0，即(2a －3)(2a －1)＜0，解得12＜a ＜32，故选D. 答案 D3．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－1， x ≥0，x 2－1， x ＜0，则满足不等式f (3－x 2)＜f (2x )的x 的取值范围为A ．[－3,0)B ．(－3,0)C ．(－3,1)D ．(－3，－3)解析 由函数图象可知，函数f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上是一条平行于x 轴的射线，则原不等式的解为⎩⎨⎧3－x 2＞2x ，2x ＜0，即x ∈(－3,0)，故选B.答案 B4．(2013·深圳模拟)已知a ＞0，c ＞0，设二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c (x ∈R )的值域为[0，＋∞)，则1c ＋9a 的最小值为A ．3B.92C ．5D ．7解析 因为二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c (x ∈R )的值域为[0，＋∞)，所以Δ＝16－4ac ＝0，即ac ＝4，1ac ＝14，又1c ＋9a ＝2 1c ×9a ＝29ac ＝294＝3，当且仅当1c ＝9a ，ac ＝4，即c ＝23，a ＝6时等号成立．答案 A5．(2013·潍坊一模)在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x y ≥12xx ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋12y 的最大值为A.14B.34C.56D.53解析 由z ＝x ＋12y 得y ＝－2x ＋2z .作出可行域如图阴影部分，平移直线y ＝－2x ＋2z ，由平移可知，当直线经过点C 时，直线y ＝－2x ＋2z 的截距最大，此时z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12xx ＋y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23y ＝13，代入z ＝x ＋12y 得z ＝23＋12×13＝56，选C.答案 C6．(2013·枣庄一模)设z ＝x ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋2y ≥0x －y ≤00≤y ≤k，若z 的最大值为6，则z 的最小值为A ．－3B ．－2C ．－1D ．0解析 由z ＝x ＋y 得y ＝－x ＋z ，作出⎩⎨⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0的区域BCO ，平移直线y ＝－x ＋z ，由图象可知当直线经过C 时，直线的截距最大，此时z ＝6，由⎩⎨⎧ y ＝x y ＝－x ＋6解得⎩⎨⎧x ＝3y ＝3，所以k ＝3，解得B (－6,3)代入z ＝x ＋y 的最小值为z ＝－6＋3＝－3，选A.答案 A二、填空题(每小题5分，共15分)7．已知不等式x 2＋mx ＋n ＜0的解集是{x |－1＜x ＜6}，则mx ＋n ＞0的解集是________．解析 据题意知x 2＋mx ＋n ＝0的两根为－1和6，由根与系数关系得m ＝－5，n ＝－6，则不等式mx ＋n ＞0为－5x －6＞0，其解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－65. 答案⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－65 8．(2013·杭州一模)若正数x ，y 满足2x ＋y －3＝0，则x ＋2yxy 的最小值为________． 解析 由题意：2x ＋y －3＝0⇒2x 3＋y3＝1，x ＋2y xy ＝2x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3＋y 3＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋x y ＋53≥23·2＋53＝3. 答案 39．(2013·滨州一模)设实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －2y ≤0，2x －y ≥0，x 2＋y 2－2x －2y ≤0，则目标函数z ＝x ＋y 的最大值为________．解析 由z ＝x ＋y 得y ＝－x ＋z .作出不等式组对应的区域，平移直线y ＝－x ＋z ，由图象可知，当直线y ＝－x ＋z 与圆在第一象限相切时，直线y ＝－x ＋z 的截距最大，此时z 最大．直线与圆的距离d ＝|z |2＝2，即z ＝±4，所以目标函数z ＝x ＋y 的最大值是4.答案 4三、解答题(每小题12分，共36分)10．已知不等式ax 2－3x ＋2＞0的解集为{x |x ＜1，或x ＞b }． (1)求a 、b 的值；(2)解关于x 的不等式x 2－b (a ＋c )x ＋4c ＞0.解析 (1)由题意知a ＞0且1，b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的根， ∴a ＝1；又1×b ＝2a ，∴b ＝2.(2)不等式可化为x 2－2(c ＋1)x ＋4c ＞0， 即(x －2c )(x －2)＞0，当2c ＞2，即c ＞1时不等式的解集为{x |x ＜2，或x ＞2c }， 当2c ＝2，即c ＝1时不等式的解集为{x |x ≠2}，当2c ＜2，即c ＜1时不等式的解集为{x |x ＞2，或x ＜2c }， 综上：当c ＞1时不等式的解集为{x |x ＜2，或x ＞2c }， 当c ＝1时不等式的解集为{x |x ≠2}．当c ＜1时不等式的解集为{x |x ＞2，或x ＜2c }． 11．已知函数f (x )＝x 2＋12x ＋a ，a ∈R . (1)当a ＝－1516时，解不等式f (x )＜0；(2)当a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n时，若对任意n ∈N ＋，当x ∈(－∞，λ]时不等式f (x )≥0恒成立，求实数λ的取值范围．解析 (1)把a ＝－1516代入f (x )＝x 2＋12x ＋a ＜0得x 2＋12x －1516＜0，即16x 2＋8x －15＜0，分解因式得(4x －3)(4x ＋5)＜0，解之得－54＜x ＜34，所以不等式f (x )＜0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－54＜x ＜34. (2)当a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 时，由f (x )＝x 2＋12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ≥0，得x 2＋12x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，即x 2＋12x ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12n max 恒成立，因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12n max ＝12，即x 2＋12x ≥12在x ∈(－∞，λ]时恒成立．令y ＝x 2＋12x ，则y ＝x 2＋12x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋142－116，二次函数图象的开口向上，且对称轴为x ＝－14， 令y ＝x 2＋12x ＝12， 解得x ＝－1，或x ＝12，结合二次函数y ＝x 2＋12x 的图象可知，要使当x ∈(－∞，λ]时不等式x 2＋12x ≥12恒成立，则λ≤－1.12．城建部门计划在浑南新区建造一个长方形公园ABCD ，公园由长方形的休闲区A 1B 1C 1D 1(阴影部分)和环公园人行道组成．已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米．(1)若设休闲区的长A 1B 1＝x 米，求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数S (x )的解析式； (2)要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽该如何设计？解析 (1)由A 1B 1＝x ，知B 1C 1＝4 000x ，S ＝(x ＋20)⎝ ⎛⎭⎪⎫4 000x ＋8＝4 160＋8x ＋80 000x (x ＞0)．(2)S ＝4 160＋8x ＋80 000x ≥4 160＋28x ·80 000x＝5 760， 当且仅当8x ＝80 000x ，即x ＝100时取等号．∴要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1的长为100米、宽为40米．第5讲 导数的简单应用[限时45分钟，满分75分]一、选择题(每小题4分，共24分)1．(2013·邯郸模拟)设a 为实数，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －3)x 的导函数为f ′(x )，且f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为A ．y ＝3x ＋1B ．y ＝－3xC ．y ＝－3x ＋1D ．y ＝3x －3解析 函数的导数为f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a －3)，若f ′(x )为偶函数，则a ＝0，所以f (x )＝x 3－3x ，f ′(x )＝3x 2－3.所以f ′(0)＝－3.所以在原点处的切线方程为y ＝－3x ，选B.答案 B2．已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋c ，其导函数f ′(x )的图象如图，则函数f (x )的极小值是A ．a ＋b ＋cB ．8a ＋4b ＋cC ．3a ＋2bD ．c解析 由导函数f ′(x )的图象知当x ＜0时，f ′(x )＜0，当0＜x ＜2时，f ′(x )＞0，所以函数f (x )的极小值为f (0)＝c ，选D.答案 D3．曲线y ＝13x 3＋x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 A.29B.19C.13D.23解析 y ′＝f ′(x )＝x 2＋1，在点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43的切线斜率为k ＝f ′(1)＝2.所以切线方程为y －43＝2(x－1)，即y ＝2x －23，与坐标轴的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－23，⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0，所以三角形的面积为12×13×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－23＝19，选B.答案 B4．函数f (x )＝x 3＋3x 2＋3x －a 的极值点的个数是A ．2B ．1C ．0D ．由a 确定 解析 函数的导数为f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x 2＋2x ＋1)＝3(x ＋1)2≥0，所以函数f (x )在定义域上单调递增，所以没有极值点，选C.答案 C5．若函数y ＝e (a －1)x ＋4x (x ∈R )有大于零的极值点，则实数a 的范围是A ．a ＞－3B ．a ＜－3C ．a ＞－13D ．a ＜－13解析 因为函数y ＝e (a －1)x ＋4x ，所以y ′＝(a －1)e (a －1)x ＋4(a ＜1)，所以函数的零点为x 0＝1a －1ln 4－a ＋1. 因为函数y ＝e (a －1)x ＋4x (x ∈R )有大于零的极值点，故1a －1ln 4－a ＋1＞0，得到a ＜－3，选B. 答案 B6．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，则f (x )＞2x ＋4的解集为A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．R 解析 令g (x )＝f (x )－(2x ＋4)，则g ′(x )＝f ′(x )－2＞0，∴g (x )在R 上单调递增．又∵g (－1)＝f (－1)－(－2＋4)＝0，∴g (x )＞0，即f (x )＞2x ＋4的解集为(－1，＋∞)．答案 B二、填空题(每小题5分，共15分)7．(2013·临沂模拟)若曲线f (x )＝x ，g (x )＝x a 在点P (1,1)处的切线分别为l 1，l 2，且l 1⊥l 2，则a 的值为________．解析f′(x)＝12x，g′(x)＝ax a－1，所以在点P处的斜率分别为k1＝12，k2＝a.因为l1⊥l2，所以k1k2＝a2＝－1，所以a＝－2.答案－28．函数f(x)＝x(e x－1)－12x2的单调增区间为________．解析f′(x)＝e x－1＋x·e x－x＝(e x－1)(x＋1)，令f′(x)＞0，解得x＜－1或x＞0，所以f(x)的单调增区间为(－∞，－1)和(0，＋∞)．答案(－∞，－1)和(0，＋∞)9．若函数f(x)＝x－a x＋ln x(a为常数)在定义域上是增函数，则实数a的取值范围是________．解析∵f(x)＝x－a x＋ln x在(0，＋∞)上是增函数，∴f′(x)＝1－a2x＋1x≥0在(0，＋∞)上恒成立，即a≤2x＋2x.而2x＋2x≥22x×2x＝4，当且仅当x＝1x，即x＝1时等号成立，∴a≤4.答案(－∞，4]三、解答题(每小题12分，共36分)10．(2013·杭州一模)设函数f(x)＝x2－(a＋2)x＋a ln x，(其中a＞0)．(1)当a＝1时，求函数f(x)的极小值；(2)当a＝4时，给出直线l1：5x＋2y＋m＝0和l2：3x－y＋n＝0，其中m，n为常数，判断直线l1或l2中，是否存在函数f(x)的图象的切线？若存在，求出相应的m或n的值，若不存在，说明理由．解析(1)当a＝1时，f′(x)＝2x－3＋1x＝(x－1)(2x－1)x，当0＜x＜12时，f′(x)＞0；当12＜x＜1时，f′(x)＜0；当x＞1时，f′(x)＞0.所以当x＝1时，f(x)取极小值－2.(2)当a ＝4时，f ′(x )＝2x ＋4x －6.∵x ＞0，∴f ′(x )＝2x ＋4x －6≥42－6，故l 1中，不存在函数图象的切线．由2x ＋4x －6＝3得x ＝12与x ＝4，当x ＝12时，求得n ＝－174－4ln 2，当x ＝4时，求得n ＝4ln 4－20.11．(2013·惠州模拟)已知f (x )＝ln x ，g (x )＝13x 3＋12x 2＋mx ＋n ，直线与函数f (x )，g (x )的图象都相切于点(1,0)．(1)求直线的方程及g (x )的解析式；(2)若h (x )＝f (x )－g ′(x )(其中g ′(x )是g (x )的导函数)，求函数h (x )的极大值．解析 (1)直线是函数f (x )＝ln x 在点(1,0)处的切线，故其斜率k ＝f ′(1)＝1，∴直线的方程为y ＝x －1.又因为直线与g (x )的图象相切，且切于点(1,0)，∴g (x )＝13x 3＋12x 2＋mx ＋n 在点(1,0)的导函数值为1，∴⎩⎨⎧ g (1)＝0g ′(1)＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－1n ＝16，∴g (x )＝13x 3＋12x 2－x ＋16.(2)∵h (x )＝f (x )－g ′(x )＝ln x －x 2－x ＋1(x ＞0)，∴h ′(x )＝1x －2x －1＝1－2x 2－x x ＝－(2x －1)(x ＋1)x， 令h ′(x )＝0，得x ＝12或x ＝－1(舍)，当0＜x ＜12时，h ′(x )＞0，h (x )递增；当x ＞12时，h ′(x )＜0，h (x )递减，因此，当x ＝12时，h (x )取得极大值，∴[h (x )]极大＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln 12＋14.12．(2013·大兴区一模)已知函数f (x )＝x －a (x －1)2，x ∈(1，＋∞)． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)函数f (x )在区间[2，＋∞)上是否存在最小值？若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．解析 (1)f ′(x )＝(x －1)(－x ＋2a －1)(x －1)4，x ∈(1，＋∞)． 由f ′(x )＝0，得x 1＝1，或x 2＝2a －1.①当2a －1≤1，即a ≤1时，在(1，＋∞)上，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；②当2a －1＞1，即a ＞1时，在(1,2a －1)上，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，在(2a －1，＋∞)上，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．综上所述：a ≤1时，f (x )的减区间为(1，＋∞)；a ＞1时，f (x )的增区间为(1,2a －1)，f (x )的减区间为(2a －1，＋∞)．(2)①当a ≤1时，由(1)f (x )在[2，＋∞)上单调递减，不存在最小值；②当a ＞1时，若2a －1≤2，即a ≤32时，f (x )在[2，＋∞)上单调递减，不存在最小值；若2a －1＞2，即a ＞32时，f (x )在[2,2a －1)上单调递增，在(2a －1，＋∞)上单调递减，因为f (2a －1)＝a －1(2a －2)2＞0， 且当x ＞2a －1时，x －a ＞a －1＞0，所以x ≥2a －1时，f (x )＞0.又因为f (2)＝2－a ，所以当2－a ≤0，即a ≥2时，f (x )有最小值2－a ；2－a ＞0，即32＜a ＜2时，f (x )没有最小值．综上所述：当a ≥2时，f (x )有最小值2－a ；当a ＜2时，f (x )没有最小值．第6讲 导数的综合应用和定积分[限时45分钟，满分75分]一、选择题(每小题4分，共24分)1．(2013·山师大附中模拟)设a ＝⎠⎛01cos x d x ，b ＝⎠⎛01sin x d x ，下列关系式成立的是 A ．a ＞b B ．a ＋b ＜1 C ．a ＜b D ．a ＋b ＝1解析 a ＝⎠⎛01cos x d x ＝sin x |10＝sin 1， b ＝⎠⎛01sin x d x ＝(－cos x ) |10＝1－cos 1， 所以a ＝sin 1＞sin π6＝12.又cos 1＞cos π3＝12，所以－cos 1＜－12，b ＝1－cos 1＜1－12＝12，所以a ＞b ，选A.答案 A2．(2013·惠州模拟)如图，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数y ＝1x (x ＞0)图象下方的阴影部分区域，则阴影部分E 的面积为A ．ln 2B ．1－ln 2C ．2－ln 2D ．1＋ln 2解析 S ＝1×1＋⎠⎛121y d y ＝1＋ln y |21＝1＋ln 2.故选D. 答案 D3．(2013·宿州模拟)方程x 3－6x 2＋9x －10＝0的实根个数是A ．3B ．2C ．1D ．0解析 设f (x )＝x 3－6x 2＋9x －10，f ′(x )＝3x 2－12x ＋9＝3(x －1)(x －3)，由此可知函数的极大值为f (1)＝－6＜0，极小值为f (3)＝－10＜0，所以方程x 3－6x 2＋9x －10＝0的实根个数为1个，选C.答案 C4．(2013·郑州模拟)设函数f (x )＝x n＋x －1(n ∈N ＋，n ≥2)，则f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1内 A ．存在唯一的零点x n ，且数列x 2，x 3，…，x n …单调递增B ．存在唯一的零点x n ，且数列x 2，x 3，…，x n …单调递减C ．存在唯一的零点x n ，且数列x 2，x 3，…，x n …非单调数列D ．不存在零点解析 f ′(x )＝nx n －1＋1，因为n ≥2，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所以f ′(x )＞0， 所以函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递增． f (1)＝1＋1－1＝1＞0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋12－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －12.因为n ≥2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －12＜0， 所以函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上只有一个零点，选A. 答案 A5．(2013·诸城市高三月考)对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足1－x f ′(x )≤0，则必有 A ．f (0)＋f (2)＞2f (1)B ．f (0)＋f (2)≤2f (1)C ．f (0)＋f (2)＜2f (1)D ．f (0)＋f (2)≥2f (1) 解析 当x ＜1时，f ′(x )＜0，此时函数递减．当x ＞1时，f ′(x )＞0，此时函数递增，即当x ＝1，函数取得极小值同时也是最小值f (1)，所以f (0)＞f (1)，f (2)＞f (1)，即f (0)＋f (2)＞2f (1)，选A.答案 A6．若直线y ＝m 与y ＝3x －x 3的图象有三个不同的交点，则m 的取值范围为A ．－2＜m ＜2B ．－2≤m ≤2C ．m ＜－2或m ＞2D ．m ≤－2或m ≥2 解析 y ′＝3(1－x )(1＋x )，由y ′＝0得x ＝±1，∴y 极大＝2，y 极小＝－2，∴－2＜m ＜2.答案 A二、填空题(每小题5分，共15分)7．由曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝t 2，t ∈(0,1)所围成的图形(如图阴影部分)的面积的最小值为________．解析 S ＝⎠⎛0t (t 2－x 2)d x ＋⎠⎛t1(x 2－t 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2x －13x 3 |t 0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－t 2x |1t ＝43t 3－t 2＋13，t ∈(0,1)． S ′＝4t 2－2t ＝4t ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12，S (t )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是增函数， 则S 最小＝S ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝43×18－14＋13＝14. 答案 148．函数y ＝x ＋2cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上取得最大值时，x 的值为________． 解析 y ′＝(x ＋2cos x )′＝1－2sin x ，令1－2sin x ＝0，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，x ＝π6. 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，f ′(x )≥0，f (x )是单调增函数， 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减．∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6. 答案 π69．(2013·盘锦模拟)若函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．解析 由f (x )＝x 3－3x ＋a ＝0，得f ′(x )＝3x 2－3，当f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，由图象可知f 极大值(－1)＝2＋a ，f 极小值(1)＝a －2，要使函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有三个不同的零点，则有f 极大值(－1)＝2＋a ＞0，f 极小值(1)＝a －2＜0，即－2＜a ＜2，所以实数a 的取值范围是(－2,2)．答案 (－2,2)三、解答题(每小题12分，共36分)10．(2013·开封模拟)设函数f (x )＝2ln(x －1)－(x －1)2.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若关于x 的方程f (x )＋x 2－3x －a ＝0在区间[2,4]内恰有两个相异的实根，求实数a 的取值范围．解析 (1)f (x )的定义域为(1，＋∞)．f′(x)＝2x－1－2(x－1)＝2x(2－x)x－1.由f′(x)＞0得1＜x＜2，∴f(x)的单调递增区间为(1,2)．(2)∵f(x)＝2ln(x－1)－(x－1)2，∴f(x)＋x2－3x－a＝0⇔x＋a＋1－2ln(x－1)＝0. 即a＝2ln(x－1)－x－1，令h(x)＝2ln(x－1)－x－1.∵h′(x)＝2x－1－1＝3－xx－1，且x＞1，由h′(x)＞0得1＜x＜3，h′(x)＜0得x＞3.∴h(x)在区间[2,3]内单调递增，在区间[3,4]内单调递减．∵h(2)＝－3，h(3)＝2ln 2－4，h(4)＝2ln 3－5.又h(2)＜h(4)，故f(x)＋x2－3x－a＝0在区间[2,4]内恰有两个相异实根⇔h(4)≤a＜h(3)．即2ln 3－5≤a＜2ln 2－4.综上所述，a的取值范围是[2ln 3－5,2ln 2－4)．11．(2013·雅安模拟)已知函数f(x)＝(x＋1)ln x－x＋1.(1)若xf′(x)≤x2＋ax＋1，求a的取值范围；(2)证明：(x－1)f(x)≥0.解析(1)f′(x)＝x＋1x＋ln x－1＝ln x＋1x，xf′(x)＝x ln x＋1，题设xf′(x)≤x2＋ax＋1等价于ln x－x≤a.令g(x)＝ln x－x，则g′(x)＝1x－1.当0＜x＜1时，g′(x)＞0；当x≥1时，g′(x)≤0，所以x＝1是g(x)的最大值点，g(x)≤g(1)＝－1.综上，a的取值范围是[－1，＋∞)．(2)证明由(1)知，g(x)≤g(1)＝－1.即ln x－x＋1≤0.当0＜x＜1时，f(x)＝(x＋1)ln x－x＋1＝x ln x＋(ln x－x＋1)≤0.当x ≥1时，f (x )＝ln x ＋(x ln x －x ＋1)＝ln x ＋x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x －1＝ln x －x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x －1x ＋1≥0. 所以(x －1)f (x )≥0.12．(2013·合肥模拟)已知函数f 1(x )＝12x 2，f 2(x )＝a ln x (其中a ＞0)．(1)求函数f (x )＝f 1(x )·f 2(x )的极值；(2)若函数g (x )＝f 1(x )－f 2(x )＋(a －1)x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e 内有两个零点，求正实数a 的取值范围； (3)求证：当x ＞0时，ln x ＋34x 2－1e x ＞0.(说明：e 是自然对数的底数，e ＝2.718 28...)解析 (1)f (x )＝f 1(x )·f 2(x )＝12ax 2·ln x ，∴f ′(x )＝ax ln x ＋12ax ＝12ax (2ln x ＋1)(x ＞0，a ＞0)，由f ′(x )＞0，得x ＞e －12，由f ′(x )＜0，得0＜x ＜e －12，故函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，e －12上单调递减，在(e －12，＋∞)上单调递增， 所以函数f (x )的极小值为f (e －12)＝－a 4e ，无极大值．(2)函数g (x )＝12x 2－a ln x ＋(a －1)x ，则g ′(x )＝x －a x ＋(a －1)＝x 2＋(a －1)x －a x ＝(x ＋a )(x －1)x， 令g ′(x )＝0.∵a ＞0，解得x ＝1，或x ＝－a (舍去)， 当0＜x ＜1时，g ′(x )＜0，g (x )在(0,1)上单调递减； 当x ＞1时，g ′(x )＞0，g (x )在(1，＋∞)上单调递增．函数g (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e 内有两个零点， 只需⎩⎪⎨⎪⎧ g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＞0，g (1)＜0，g (e )＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 12e 2＋a －1e ＋a ＞0，12＋a －1＜0，e 22＋(a －1)e －a ＞0，- 31 - ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞2e －12e 2＋2e ，a ＜12，a ＞2e －e 22e －2，故实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫2e －12e 2＋2e ，12.(3)证明 问题等价于x 2ln x ＞x 2e x －34.由(1)知f (x )＝x 2ln x 的最小值为－12e .设h (x )＝x 2e x －34，由h ′(x )＝－x (x －2)e x 得h (x )在(0,2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减． ∴h (x )max ＝h (2)＝4e 2－34. ∵－12e －⎝ ⎛⎭⎪⎫4e 2－34＝34－12e －4e 2＝3e 2－2e －164e 2 ＝(3e －8)(e ＋2)4e 2＞0，∴f (x )min ＞h (x )max ，∴x 2ln x ＞x 2e x －34， 故当x ＞0时，ln x ＋34x 2－1e x ＞0.。
人教A版高中数学选修2-2配套限时规范训练：第1章 导数及其应用 1.1.2
第一章 1.1 1.1.2基础练习1．(2017年河北唐山月考)一物体的运动方程是s ＝12at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度是( )A ．at 0B ．－at 0C ．12at 0D ．2at 0【答案】A2．已知f (x )＝－x 2＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时变化率是( )A ．3B ．－3C ．2D ．－2 【答案】B 3．若lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝k ，则lim Δx →0 f (x 0＋2Δx )－f (x 0)Δx＝( ) A ．2k B ．k C ．12kD ．以上都不对 【答案】A4．若函数f (x )在x ＝a 处有导数，则lim h →af (h )－f (a )h －a为( ) A ．f (a ) B ．f ′(a ) C ．f ′(h ) D ．f (h )【答案】B5．(2017年北京昌平区月考)已知函数f (x )＝x 2，则lim Δx →0 f (0＋Δx )－f (0)Δx＝________.【答案】06．(2017年广东珠海期中)一物体的运动方程为s ＝7t 2＋8，则其在t ＝________时的瞬时速度为1.【答案】114【解析】根据瞬时速度的定义，知v ＝lim Δt →0 ΔsΔt ＝lim Δt →0 7(t ＋Δt )2＋8－7t 2－8Δt ＝14t ，所以当v ＝1时，t ＝114.7．已知函数f (x )在x ＝a 处的导数为b ，求lim Δx →0f (a ＋4Δx )－f (a ＋5Δx )Δx的值．【解析】∵lim Δx →0 f (a ＋Δx )－f (a )Δx＝b ，∴lim Δx →0 f (a ＋4Δx )－f (a ＋5Δx )Δx＝lim Δx →0f (a ＋4Δx )－f (a )＋f (a )－f (a ＋5Δx )Δx＝4lim Δx →0 f (a ＋4Δx )－f (a )4Δx ＋5lim Δx →0 f (a )－f (a ＋5Δx )5Δx ＝4lim Δx →0f (a ＋4Δx )－f (a )4Δx －5lim Δx →0 f (a ＋5Δx )－f (a )5Δx＝4b －5b ＝－b .8．求函数y ＝1x在点⎝⎛⎭⎫2，12处的导数． 【解析】因为lim Δx →0 f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝lim Δx →0 12＋Δx －12Δx ＝ lim Δx →0－12(2＋Δx )＝－14，所以y ′|x ＝2＝－14.能力提升9．已知函数f (x )＝ax ＋4，若lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx＝2，则实数a 的值为( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3【答案】A【解析】根据题意，知lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0a (1＋Δx )＋4－(a ＋4)Δx＝a ＝2.故选A ．10．(2017年江西南昌月考)一点沿直线运动，如果由起点起经过t 秒后的距离s ＝13t 3－12t 2－2t ＋1，那么速度为零的时刻是( )A ．1秒末B ．2秒末C ．3秒末D ．4秒末【答案】B【解析】根据瞬时速度的定义，知v ＝lim Δt →0ΔsΔt ＝lim Δt →0 13(t ＋Δt )3－12(t ＋Δt )2－2(t ＋Δt )＋1－⎝⎛⎭⎫13t 3－12t 2－2t ＋1Δt ＝t 2－t －2. 令v ＝t 2－t －2＝0，得t ＝2或t ＝－1(舍去)．故选B ．11．枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105 m/s 2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－3 s ，则枪弹射出枪口时的瞬时速度为________m/s ．【答案】800【解析】位移公式为s ＝12at 2，∵Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0Δt ＋12a (Δt )2，∴Δs Δt ＝at 0＋12a Δt ，∴lim Δt →0Δs Δt ＝lim Δt →0⎝⎛⎭⎫at 0＋12a Δt ＝at 0.已知a ＝5.0×105m/s 2，t 0＝1.6×10－3s ，∴at 0＝800 m/s.∴枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.12．某质点A 从时刻t ＝0开始沿某方向运动的位移为s (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 3－6t 2＋9t (0≤t ＜4)，t 2－10t ＋28(t ≥4)，比较质点A 在时刻t ＝3与t ＝5的瞬时速度大小． 【解析】当0≤t ＜4时，质点A 的瞬时速度 v (t )＝lim Δt →0ΔsΔt ＝lim Δt →0 s (t ＋Δt )－s (t )Δt＝3t 2－12t ＋9. ∴质点A 在时刻t ＝3的瞬时速度 v (3)＝3×32－12×3＋9＝0. 当t ≥4时，质点A 的瞬时速度 v (t )＝lim Δt →0Δs Δt ＝lim Δt →0 s (t ＋Δt )－s (t )Δt＝2t －10. ∴质点A 在时刻t ＝5的瞬时速度v (5)＝2×5－10＝0. ∴质点A 在时刻t ＝3与t ＝5的瞬时速度大小相等．由Ruize收集整理。
(完整版)导数求导练习题
1．若f （x ）=sin α－cos x ，则f ′（α）等于A ．sin αB ．cos αC ．sin α+cos αD ．2sin α 2．f （x ）=ax 3+3x 2+2，若f ′（－1）=4，则a 的值等于A ．319B ．316C ．313D ．3103．函数y =x sin x 的导数为A ．y ′=2x sin x +x cos xB ．y ′=xx 2sin +x cos xC ．y ′=xx sin +x cos x D ．y ′=xx sin －x cos x4．函数y =x 2cos x 的导数为 A ．y ′=2x cos x －x 2sin x B ．y ′=2x cos x +x 2sin x C ．y ′=x 2cos x －2x sin x D ．y ′=x cos x －x 2sin x5.若y =(2x 2-3)(x 2-4),则y ’= .6. 若y =3cosx -4sinx ,则y ’= .7．与直线2x －6y +1=0垂直，且与曲线y =x 3+3x 2－1相切的直线方程是______．8．质点运动方程是s =t 2（1+sin t ），则当t =2时，瞬时速度为___________．9.求曲线y=x3+x2-1在点P （-1，-1）处的切线方程.1．函数y =22x ax +（a >0）的导数为0，那么x 等于A ．aB ．±aC ．－aD ．a 22．函数y =xxsin 的导数为A ．y ′=2sin cos x xx x +B ．y ′=2sin cos x xx x -C ．y ′=2cos sin x xx x -D ．y ′=2cos sin x xx x +3.若21,2xy x+=-则y ’= . 4.若423335,x x y x-+-=则y ’= . 5.若1cos ,1cos xy x+=-则y ’= .6．已知f （x ）=354337xx x x ++，则f ′（x ）=___________．7．已知f （x ）=xx++-1111，则f ′（x ）=___________．8．已知f （x ）=xx2cos 12sin +，则f ′（x ）=___________．9．求过点（2，0）且与曲线y =x1相切的直线的方程．10.质点的运动方程是23,s t t=+求质点在时刻t=4时的速度.1．函数y =2)13(1-x 的导数是 A ．3)13(6-x B ．2)13(6-x C ．－3)13(6-x D ．－2)13(6-x2．已知y =21sin2x +sin x ，那么y ′是 A ．仅有最小值的奇函数 B ．既有最大值，又有最小值的偶函数 C ．仅有最大值的偶函数 D ．非奇非偶函数3．函数y =sin 3（3x +4π）的导数为A ．3sin 2（3x +4π）cos （3x +4π）B ．9sin 2（3x +4π）cos （3x +4π）C ．9sin 2（3x +4π）D ．－9sin 2（3x +4π）cos （3x +4π）4.若y=（sinx-cosx 3)，则y ’= .5. 若y=2cos 1x +，则y ’= .6. 若y=sin 3(4x+3)，则y ’= .7．函数y =（1+sin3x ）3是由___________两个函数复合而成．8．曲线y =sin3x 在点P （3π，0）处切线的斜率为___________．9.求曲线2211(2,)(3)4y M x x =-在处的切线方程.10. 求曲线sin 2(,0)y x M π=在处的切线方程.同步练习1．函数y =cos （sin x ）的导数为A ．－［sin （sin x ）］cos xB ．－sin （sin x ）C ．［sin （sin x ）］cos xD ．sin （cos x ）2．函数y =cos2x +sin x 的导数为A ．－2sin2x +xx2cos B ．2sin2x +xx 2cosC ．－2sin2x +xx 2sin D ．2sin2x －xx 2cos3．过曲线y =11+x 上点P （1，21）且与过P 点的切线夹角最大的直线的方程为 A ．2y －8x +7=0 B ．2y +8x +7=0 C ．2y +8x －9=0 D ．2y －8x +9=04．函数y =x sin （2x －2π）cos （2x +2π）的导数是______________．5．函数y =)32cos(π-x 的导数为______________．6．函数y =cos 3x 1的导数是___________．同步练习1．函数y =ln （3－2x －x 2）的导数为A ．32+xB ．2231x x --C ．32222-++x x xD ．32222-+-x x x2．函数y =lncos2x 的导数为A ．－tan2xB ．－2tan2xC ．2tan xD ．2tan2x3．函数y =x ln 的导数为A ．2x x lnB ．xx ln 2C ．xx ln 1 D ．xx ln 214．在曲线y =59++x x 的切线中，经过原点的切线为________________． 5．函数y =log 3cos x 的导数为___________． 6.函数y =x 2lnx 的导数为 .7. 函数y =ln （lnx ）的导数为 . 8. 函数y =lg (1+cosx )的导数为 . 9. 求函数y =ln 22132x x +-的导数．10. 求函数y =12．求函数y =ln （21x +－x ）的导数．同步练习1．下列求导数运算正确的是A ．（x +x 1）′=1+21xB ．（log 2x ）′=2ln 1xC ．（3x ）′=3x log 3eD ．（x 2cos x ）′=－2x sin x 2．函数y =xxa 22-（a >0且a ≠1），那么y ′为A ．xxa 22-ln aB ．2（ln a ）xx a 22-C ．2（x －1）xxa 22-·ln aD ．（x －1）xxa 22-ln a3．函数y =sin32x 的导数为 A ．2（cos32x ）·32x ·ln3B ．（ln3）·32x ·cos32xC ．cos32xD ．32x ·cos32x4．设y =xx e e 2)12(+，则y ′=___________．5．函数y =x22的导数为y ′=___________．6．曲线y =e x －e ln x 在点（e ，1）处的切线方程为___________．7.求函数y=e 2x lnx 的导数.8．求函数y =x x （x >0）的导数．。
高三大一轮复习数学(文)课时规范训练：第三章 导数及其应用 3.2-课时2 Word版含答案
课时规范训练(时间：40分钟)1．函数f (x )＝x 3－3x ，x ∈(－1,1)( ) A ．有最大值，但无最小值 B ．有最大值，也有最小值 C ．无最大值，也无最小值D ．无最大值，但有最小值解析：选C.f ′(x )＝3x 2－3，∵x ∈(－1,1)， ∴f ′(x )<0，∴f (x )在(－1,1)上是减函数，f (x )无最大值，也无最小值． 2．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx 的图像如图所示，则x 21＋x 22等于( )A.23 B ．43 C.83D ．163解析：选C.由图像可知f (x )的图像过点(1,0)与(2,0)，x 1，x 2是函数f (x )的极值点，因此1＋b ＋c ＝0,8＋4b ＋2c ＝0，解得b ＝－3，c ＝2，所以f (x )＝x 3－3x 2＋2x ，所以f ′(x )＝3x 2－6x ＋2.x 1，x 2是方程f ′(x )＝3x 2－6x ＋2＝0的两根，因此x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝23，所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝4－43＝83.3．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图像可能是( )解析：选C.由函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，可得f ′(－2)＝0，且当x ∈(a ，－2)(a <－2)时，f (x )单调递减，即f ′(x )<0；当x ∈(－2，b )(b >－2)时，f (x )单调递增，即f ′(x )>0.所以函数y ＝xf ′(x )在区间(a ，－2)(a <－2)内的函数值为正，在区间(－2，b )(－2<b <0)内的函数值为负，由此可排除选项A 、B 、D.4．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,2)B ．(－∞，－3)∪(6，＋∞)C ．(－3,6)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)解析：选B.∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)， 由已知可得f ′(x )＝0有两个不相等的实根． ∴Δ＝4a 2－4×3(a ＋6)>0，即a 2－3a －18>0. ∴a >6或a <－3.5．已知函数f (x )＝e xx2－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋ln x ，若x ＝2是函数f (x )的唯一一个极值点，则实数k 的取值范围为( )A ．(－∞，e]B ．C ．(－∞，e)D ．上的最小值．解：(1)由题意知f ′(x )＝(x －k ＋1)e x .令f ′(x )＝0，得x ＝k －1.f (x )与f ′(x )随x 的变化情况如下表：所以， (2)当k －1≤0，即k ≤1时，f (x )在上单调递增， 所以f (x )在区间上的最小值为f (0)＝－k ； 当0<k －1<1，即1<k <2时，f (x )在上单调递减，在上单调递增，所以f (x )在区间上的最小值为f (k －1)＝－ek －1；当k －1≥1，即k ≥2时，f (x )在上单调递减， 所以f (x )在区间上的最小值为f (1)＝(1－k )e. 综上，当k ≤1时，f (x )在上的最小值为f (0)＝－k ； 当1<k <2时，f (x )在上的最小值为f (k －1)＝－ek －1；当k ≥2时，f (x )在上的最小值为f (1)＝(1－k )e.(时间：25分钟)11．已知函数f (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x －2ln x (m ∈R )，g (x )＝－m x，若至少存在一个x 0∈，使得f (x 0)<g (x 0)成立，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，2eB ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2eC ．(－∞，0]D ．(－∞，0)解析：选B.由题意，不等式f (x )<g (x )在上有解，∴mx <2ln x ，即m 2<ln xx在上有解，令h (x )＝ln x x ，则h ′(x )＝1－ln xx2，当1≤x ≤e 时，h ′(x )≥0，∴在上，h (x )max ＝h (e)＝1e ，∴m 2<1e ，∴m <2e .∴m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，2e .故选B.12．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )，若x ＝－1为函数f (x )e x的一个极值点，则下列图像不可能为y ＝f (x )图像的是( )解析：选D.设h (x )＝f (x )e x， 则h ′(x )＝(2ax ＋b )e x ＋(ax 2＋bx ＋c )e x＝(ax 2＋2ax ＋bx ＋b ＋c )e x.∵x ＝－1为函数f (x )e x的一个极值点， ∴c －a ＝0，∴c ＝a .∴f (x )＝ax 2＋bx ＋a . 若方程ax 2＋bx ＋a ＝0有两根x 1，x 2， 则x 1x 2＝aa＝1，D 中图像一定不满足条件．13．已知f (x )＝x 3－6x 2＋9x －abc ，a <b <c ，且f (a )＝f (b )＝f (c )＝0.现给出如下结论：①f (0)f (1)>0; ②f (0)f (1)<0；③f (0)f (3)>0; ④f (0)f (3)<0. 其中正确结论的序号是________．解析：∵f ′(x )＝3x 2－12x ＋9＝3(x －1)(x －3)， 由f ′(x )<0，得1<x <3，由f ′(x )>0， 得x <1或x >3，∴f (x )在区间(1,3)上是减函数，在区间(－∞，1)，(3，＋∞)上是增函数． 又a <b <c ，f (a )＝f (b )＝f (c ) ∴y 极大值＝f (1)＝4－abc >0，y 极小值＝f (3)＝－abc <0.∴0<abc <4.∴a ，b ，c 均大于零，或者a <0，b <0，c >0.又x ＝1，x ＝3为函数f (x )的极值点，后一种情况不可能成立，如图．∴f (0)<0.∴f (0)f (1)<0，f (0)f (3)>0.∴正确结论的序号是②③. 答案：②③14．若函数f (x )＝x 3－3x 在(a,6－a 2)上有最小值，则实数a 的取值范围是________． 解析：f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，且x ＝1为函数的极小值点，x ＝－1为函数的极大值点．函数f (x )在区间(a,6－a 2)上有最小值，则函数f (x )极小值点必在区间(a,6－a 2)内， 即实数a 满足a <1<6－a 2且f (a )＝a 3－3a ≥f (1)＝－2. 解a <1<6－a 2，得－5<a <1. 不等式a 3－3a ≥f (1)＝－2，即a 3－3a ＋2≥0，即a 3－1－3(a －1)≥0， 即(a －1)(a 2＋a －2)≥0， 即(a －1)2(a ＋2)≥0，即a ≥－2.故实数a 的取值范围是上的最小值为8，求a 的值． 解：(1)当a ＝－4时，由f ′(x )＝x －x －x＝0得x ＝25或x ＝2，由f ′(x )>0得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，25或x ∈(2，＋∞)，故函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，25和(2，＋∞)． (2)f ′(x )＝x ＋ax ＋a2x，a <0，由f ′(x )＝0得x ＝－a 10或x ＝－a2.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 10时，f (x )单调递增；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－a10，－a 2时，f (x )单调递减； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－a2，＋∞时，f (x )单调递增．易知f (x )＝(2x ＋a )2x ≥0，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝0.①当－a2≤1，即－2≤a ＜0时，f (x )在上的最小值为f (1)，由f (1)＝4＋4a ＋a 2＝8，得a ＝±22－2，均不符合题意．②当1<－a2≤4，即－8≤a ＜－2时，f (x )在上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝0，不符合题意．③当－a2>4，即a <－8时，f (x )在上的最小值可能在x ＝1或x ＝4处取得，而f (1)≠8，由f (4)＝2(64＋16a ＋a 2)＝8得a ＝－10或a ＝－6(舍去)，当a ＝－10时，f (x )在(1,4)上单调递减，f (x )在上的最小值为f (4)＝8，符合题意．综上，a ＝－10.。
导数专项训练及答案
导数专项训练 例题讲解【1】导数的几何意义及切线方程1．已知函数()a f x x =在1x =处的导数为2-,则实数a 的值是________.2. 曲线y =3x -x 3上过点A （2,-2）的切线方程为___________________.3. 曲线xy 1=和2x y =在它们的交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积是 ． 4．若直线y =kx -3与曲线y =2ln x 相切,则实数k =_______.5．已知直线2+=x y 与曲线()a x y +=ln 相切,则a 的值为 _______. 6. 等比数列{}n a 中,120121,9a a ==,函数122012()()()()2f x x x a x a x a =---+,则曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为_____________.7．若点P 是曲线y=x 2-ln x 上的任意一点,则点P 到直线y=x-2的最小距离为________. 8. 若点P 、Q 分别在函数y =e x 和函数 y =ln x 的图象上,则P 、Q 两点间的距离的最小值是_____. 9. 已知存在实数a ,满足对任意的实数b ,直线y x b =-+都不是曲线33y x ax =-的切线,则实数a 的取值范围是_________.10. 若关于x 的方程3x e x kx -=有四个实数根,则实数k 的取值范围是_____________. 11. 函数f (x)=ax 2+1(a >0),g (x )=x 3+bx .若曲线y =f (x )与曲线y =g(x )在它们的交点(1, c )处具有公 共切线,则c 的值是___________.【2】常见函数的导数及复合函数的导数1．f(x)=2 , 则f ’(2) =______. 2. 设曲线y =ln 1xx +在点(1, 0)处的切线与直线x －ay ＋1＝0垂直，则a ＝_______.3．函数333()(1)(2)(100)f x x x x =+++在1x =-处的导数值为___________.4. 已知函数f (x )在R 上满足f (x )=2f (2-x )-x 2+8x -8,则曲线y =f (x )在点(1, f (1))处的切线方程是____________.5. 若函数()1*()n f x x n N +=∈的图像与直线1x =交于点P ，且在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为n x ，则20131201322013320132012log log log log x x x x ++++的值为 ．6. 设f 1(x )=cos x ,定义)(1x f n +为)(x f n 的导数,即)(' )(1x f x f n n =+,n ∈N *,若ABC ∆的内角A 满足1220130f A f A f A ()()()+++=,则sin A 的值是______.【3】导数与函数的单调性22x xe e -⎛⎫+ ⎪⎝⎭1. 函数21ln 2y x x =-的单调递减区间为______. 2. 已知函数()ln ()f x x a R =∈，若任意12[2,3]x x ∈、且12x x >，t =()2121()f x f x x x --,则实数t的取值范围____________.3. 已知函数f (x )=x 3-6x 2+9x +a 在x R ∈上有三个零点，则实数a 的取值范是 ．4.设'()f x 和'()g x 分别是f (x )和()g x 的导函数，若'()'()0f x g x ≤在区间I 上恒成立，则称f (x )和g (x )在区间I 上单调性相反.若函数f(x)=3123x ax -与g (x )=x 2+2bx 在开区间(a , b )上单调性相反(a >0)，则b -a 的最大值为 ． 【4】导数与函数的极值、最值1. 已知函数322()3f x x mx nx m =+++在1x =-时有极值0，则m n += ． 2. 已知函数()2(1)ln f x f x x '=-，则()f x 的极大值为 .3. 已知函数f (x )=x 4+ax 3+2x 2+b ,其中a , b R ∈.若函数f (x )仅在x =0处有极值,则a 的取值范围是______________.4. 设曲线(1)x y ax e =-在点()10,y x A 处的切线为1l ,曲线()x e x y --=1在点02(,)B x y 处的切 线为2l .若存在030,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,使得12l l ⊥,则实数a 的取值范围为____________.5.已知函数f (x )=e x -1, g(x )= -x 2+4x -3若有f (a )=g (b ),则b 的取值范围为______.6. '()f x 是函数3221()(1)3f x x mx m x n =-+-+的导函数，若函数['()]y f f x =在区间[m ，m+1]上单调递减，则实数m 的取值范围是__________. 【解答题】1. 某企业拟建造如上图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左 右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为803π立方米,且2l r ≥.假设该容器的建造 费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米 建造费用为()3c c >.设该容器的建造费用为y 千元. (1)写出y 关于r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (2)求该容器的建造费用最小时的r2. 已知函数f （x ）＝2ax －（a ＋2）x ＋ln x .（1）当a ＝1时，求曲线y = f(x )在点(1, f(1))处的切线方程；（2）当a ＞0时，若f (x )在区间[1，e ）上的最小值为－2，求a 的取值范围．3. 已知函数x a x x f ln )()(-=,(0≥a ).(1)当0=a 时,若直线m x y +=2与函数)(x f y =的图象相切,求m 的值; (2)若)(x f 在[]2,1上是单调减函数,求a 的最小值;(3)当[]e x 2,1∈时,e x f ≤)(恒成立,求实数a 的取值范围.(e 为自然对数的底).4.已知函数2()ln ,af x x a x=+∈R ． （1）若函数()f x 在[2,)+∞上是增函数，求实数a 的取值范围； （2）若函数()f x 在[1,]e 上的最小值为3，求实数a 的值．5.设函数2()1x f x e x ax =---（1）若0a =，求()f x 的单调区间； （2）若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围导数专项练习答案 【1】导数的几何意义及切线方程1. 2；2. y =-2或9x +y -16=03.34； 4. 2e ； 5. 3； 6.201232y x =+; 7. 2； 8. 2； 9. 13a < 10. ()0,3e -11. 4【2】常见函数的导数及复合函数的导数 1. e -1e; 2. 12- 3. 3⨯99! 4. 2x -y -1=0； 5. -1 ; 6. 1;【3】导数与函数的单调性1. (0, 1);2. 11,32⎛⎫⎪⎝⎭; 3. (-4, 0); 4. 12【4】导数与函数的极值、最值1. 11；2. 2ln2-2；3. 88,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦; 4. 312a ≤≤; 5. []1,3 ; 6.0m ≥[5] 解答题 1. 答案解:(1)由题意可知()23480233r l r l r πππ+=≥,即2804233l r r r =-≥,则02r <≤. 容器的建造费用为2228042346433y rl r c r r r c rππππ⎛⎫=⨯+⨯=-+ ⎪⎝⎭, 即2216084y r r c rπππ=-+,定义域为{}02x r <≤. (2)2160168y r rc r πππ'=--+,令0y '=,得3202r c =-.令32022r c ==-,得92c =,①当932c <≤时,32022c ≥-,当02r <≤时,0y '<,函数单调递减,∴当2r =时y有最小值;②当92c >时,32022c <-,当32002r c <<-时,0y '<;当3202r c >-时,0y '>, ∴当3202r c =-时y 有最小值. 综上所述,当932c <≤时,建造费用最小时2r =;当92c >时,建造费用最小时3202r c =-2. 答案()()()()()()()22(2)2ln 0+22110220......5f x ax a x x ax a a f x ax a x x x =-++∞-+-'>=-++=>函数的定义域是，，当时，分()()()()()22212110=0,11..............................................................62ax a x ax f x f x x xx x a -+---''=====⋯⋯⋯令，即所以或分3. 解答4.若21a <，则20x a ->，即()0f x '>在[1,]e 上恒成立，此时()f x 在[1,]e 上是增函数．5. 解答导数专题复习（配详细答案）体型一:关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法 5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。
《导数的四则运算法则练习题一
《导数的四则运算法则练习题一篇一：《导数的四则运算法则练习题一导数练习题一一、基础过关1．下列结论不正确的是( )A．若y＝3，则y′＝0 B．若f(x)＝3x＋1，则f′(1)＝31C．若yx＋x，则y′＝－＋12D．若y＝sin x＋cos x，则y′＝cos x＋sin xx2．函数y＝的导数是1－cos x1－cos x－xsin x1－cos x－xsin x1－cos x＋sin xA. B.C.1－cos x?1－cos x??1－cos x?3．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于b12．设函数f(x)＝ax－y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.x( )(1)求f(x)的解析式；1－cos x＋xsin xD.?1－cos x?( )A．－1 B．－2 C．2D．0x＋14．设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于( )x－111A．2B.C．－D．－2225．已知a为实数，f(x)＝(x2－4)(x－a)，且f′(－1)＝0，则a ＝________.6．若某物体做s＝(1－t)2的直线运动，则其在t＝1.2 s时的瞬时速度为________．7．求下列函数的导数：(1)y＝(2x2＋3)(3x－1)；(2)y＝(x－2)2；xx(3)y＝x－sin .228．设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为A．4 110．若函数f(x)x3－f′(－1)·x2＋x＋5，则f′(1)＝________.311．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，求f(x)的表达式．第1 页共2 页( )1D．－21B．－4C．2练习题一答案1．D 2．B 3．B 4．D5.126．0.4 m/s7．解(1)方法一y′＝(2x2＋3)′(3x－1)＋(2x2＋3)(3x－1)′＝4x(3x－1)＋3(2x2＋3) ＝18x2－4x＋9.方法二∵y＝(2x2＋3)(3x－1) ＝6x3－2x2＋9x－3，∴y′＝(6x3－2x2＋9x－3)′＝18x2－4x＋9.(2)∵y＝(x－2)2＝x－4x＋4，∴y′＝x′－x)′＋4′＝1－1112x－2＝1－2x2(3)∵y＝x－sin x2cos x2 ＝x－12sin x，∴y′＝x′－(112sin x)′＝12x.8．A 10．611．解设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b.又已知f′(x)＝2x＋2，∴a＝1，b＝2. ∴f(x)＝x2＋2x＋c.又方程f(x)＝0有两个相等实根，∴判别式Δ＝4－4c＝0，即c＝1.故f(x)＝x2＋2x＋1.12．(1)解由7x－4y－12＝0得y74－3.当x＝2时，y＝112∴f(2)2①又f′(x)＝a＋bx，∴f′(2)74②?2a－b1由①②得?22??a＝1?ab7解之得???b＝3.44故f(x)＝x－3x练习题二答案1．A 2．D 3．A 4．B 5.??－13，1??∪[2,3) 6.?π?3，5π3 7．解由y＝f′(x)的图象可以得到以下信息：x2时，f′(x)0，f′(－2)＝0，f′(2)＝0.故原函数y＝f(x)的图象大致如下：8．A 9．C10．a≤011．解(1)函数的定义域为(0，＋∞)，y′＝1－1xy′>0，得x>1；由y′∴函数y＝x－ln x的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(0,1)．(2)函数的定义域为{x|x≠0}，y′112x，∵当x≠0时，y′＝－2x恒成立．∴函数y＝12x的单调减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，没有单调增区间．12．解(1)由y＝f(x)的图象经过点P(0,2)，知d＝2，∴f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2，f′(x)＝3x2＋2bx＋c.由在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0，知－6－f(－1)＋7＝0，即f(－1)＝1，f′(－1)＝6.∴???3－2b＋c＝6???－1＋b－c＋2＝1 ，即??2b－c＝－3??b－c＝0解得b＝c＝－3.故所求的解析式是f(x)＝x3－3x2－3x＋2.(2)f′(x)＝3x2－6x－3.令f′(x)>0，得x1＋2；令f′(x)13．解(1)由已知条件得f′(x)＝3mx2＋2nx，又f′(2)＝0，∴3m＋n＝0，故n ＝－3m.(2)∵n＝－3m，∴f(x)＝mx3－3mx2，∴f′(x)＝3mx2－6mx. 令f′(x)>0，即3mx2－6mx>0，当m>0时，解得x2，则函数f(x)的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；当m0时，函数f(x)的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；当m第2 页共2 页篇二：《导数的四则运算法则练习题一导数练习题一一、基础过关1．下列结论不正确的是( )A．若y＝3，则y′＝0 B．若f(x)＝3x＋1，则f′(1)＝31C．若yx＋x，则y′＝－＋12D．若y＝sin x＋cos x，则y′＝cos x＋sin xx2．函数y＝的导数是1－cos x1－cos x－xsin x1－cos x－xsin x1－cos x＋sin xA. B.C.1－cos x?1－cos x??1－cos x?3．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于b12．设函数f(x)＝ax－y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.x( )(1)求f(x)的解析式；1－cos x＋xsin xD.?1－cos x?( )A．－1 B．－2 C．2D．0x＋14．设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于( )x－111A．2B.C．－D．－2225．已知a为实数，f(x)＝(x2－4)(x－a)，且f′(－1)＝0，则a ＝________.6．若某物体做s＝(1－t)2的直线运动，则其在t＝1.2 s时的瞬时速度为________．7．求下列函数的导数：(1)y＝(2x2＋3)(3x－1)；(2)y＝(x－2)2；xx(3)y＝x－sin .228．设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为A．4 110．若函数f(x)x3－f′(－1)·x2＋x＋5，则f′(1)＝________.311．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，求f(x)的表达式．第1 页共2 页( )1D．－21B．－4C．2练习题一答案1．D 2．B 3．B 4．D5.126．0.4 m/s7．解(1)方法一y′＝(2x2＋3)′(3x－1)＋(2x2＋3)(3x－1)′＝4x(3x－1)＋3(2x2＋3) ＝18x2－4x＋9.方法二∵y＝(2x2＋3)(3x－1) ＝6x3－2x2＋9x－3，∴y′＝(6x3－2x2＋9x－3)′＝18x2－4x＋9.(2)∵y＝(x－2)2＝x－4x＋4，∴y′＝x′－x)′＋4′＝1－1112x－21－2x－2(3)∵y＝x－sin x2cos x2 ＝x－12sin x，∴y′＝x′－(112sin x)′＝12x.8．A 10．611．解设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b.又已知f′(x)＝2x＋2，∴a＝1，b＝2. ∴f(x)＝x2＋2x＋c.又方程f(x)＝0有两个相等实根，∴判别式Δ＝4－4c＝0，即c＝1.故f(x)＝x2＋2x＋1.12．(1)解由7x－4y－12＝0得y74－3.当x＝2时，y＝112∴f(2)2①又f′(x)＝a＋bx，∴f′(2)74②?2a－b1由①②得?22??a＝1?ab7解之得???b＝3.44故f(x)＝x－3x练习题二答案1．A 2．D 3．A 4．B 5.??－13，1??∪[2,3) 6.?π?3，5π3 7．解由y＝f′(x)的图象可以得到以下信息：x2时，f′(x)0，f′(－2)＝0，f′(2)＝0.故原函数y＝f(x)的图象大致如下：8．A 9．C10．a≤011．解(1)函数的定义域为(0，＋∞)，y′＝1－1xy′>0，得x>1；由y′∴函数y＝x－ln x的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(0,1)．(2)函数的定义域为{x|x≠0}，y′112x，∵当x≠0时，y′＝－2x恒成立．∴函数y＝12x的单调减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，没有单调增区间．12．解(1)由y＝f(x)的图象经过点P(0,2)，知d＝2，∴f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2，f′(x)＝3x2＋2bx＋c.由在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0，知－6－f(－1)＋7＝0，即f(－1)＝1，f′(－1)＝6.∴???3－2b＋c＝6???－1＋b－c＋2＝1 ，即??2b－c＝－3??b－c＝0解得b＝c＝－3.故所求的解析式是f(x)＝x3－3x2－3x＋2.(2)f′(x)＝3x2－6x－3.令f′(x)>0，得x1＋2；令f′(x)13．解(1)由已知条件得f′(x)＝3mx2＋2nx，又f′(2)＝0，∴3m＋n＝0，故n ＝－3m.(2)∵n＝－3m，∴f(x)＝mx3－3mx2，∴f′(x)＝3mx2－6mx. 令f′(x)>0，即3mx2－6mx>0，当m>0时，解得x2，则函数f(x)的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；当m0时，函数f(x)的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；当m第2 页共2 页篇三：导数公式以及四则运算法则练习导数的计算一、选择题cosx的导数是（）C xsinxxsinx?cosxxcosx?cosx? A?2B?sinx C?D xx2x21、函数y?2、曲线y?x?ex在以下哪个点处的切线斜率等于0 （）AA （0，-1）B（1，0）C （0，1）D（-1，0）3、函数y?sinx(cosx?1)的导数是（）C2 A cos2x?cosx B cos2x?sinx C cos2x?cosx D cosx?cosx4、曲线y?x?3x上切线平行于x轴的点的坐标是（）DA（-1，2）B （1，-2）C（1，2）D （-1，2）或(1,-2)5、设y??a??x，则y/等于（）DA312?a?12?x B 12?xC 12?a?12?xD?12?x6、若f(x)?2sin(3x??)，则f/()等于（）B 44?A 6B -6C 2D -237、曲线y?x?x?2在P点处的切线平行于直线y?4x?1，则此切线方程是（）DA y?4x By?4x?4C y?4x?8D y=4x或y=4x-42f(x)-8x的值是（）B x?1x-1A 5B2 C 4D 不存在8、已知f(1)=4,f'(1)=5 则lim二、填空题9、函数y?xtanx的导数是_______________________.sinxcosx?x 2cosx5210、设f(x)?x?4x?5,则f[f/(=___________________.2 2211、函数y?(x?1)(x?1)在x?1处的导数是__________.412、函数y=log2的导数是_________________________________.三、解答题13、求函数y?sin(x?14、求函数y?3ex+13(ex+x)ln2 1)的导数。
2022数学课时规范练14导数的概念及运算文含解析
课时规范练14 导数的概念及运算基础巩固组1。
已知函数f (x ）在x=x 0处的导数为f'（x 0），则lim Δx →0f (x 0-mΔx )-f (x 0)Δx等于（ ） A 。
mf’(x 0） B.—mf'（x 0） C 。
-1mf’（x 0)D.1mf’(x 0）2。
函数f （x )=（2e x ）2+sin x 的导数是（ ） A.f'（x )=4e x+cos xB 。
f'（x )=4e x-cos xC 。
f'（x )=8e 2x+cos x D.f'(x )=8e 2x-cos x 3。
若f’（x 0)=—3,则lim h →0f (x 0+ℎ)-f (x 0-ℎ)ℎ=（ )A.—3 B 。
-6C.-9D.-124。
设函数f (x ）=ax 3+1。
若f'（1)=3,则a 的值为( ） A 。
0 B.1 C 。
2D.45。
（2020陕西西安中学八模，理5)已知函数f (x ）=x 2ln x+1-f'(1）x ，则函数f （x )的图像在点（1，f (1）)处的切线斜率为（ ) A 。
12B.—12C 。
12—3e D.3e —126.设函数f （x )在R 上可导,f (x )=x 2f’(1）-2x+1,则f （a 2—a+2）与f (1)的大小关系是（ ) A 。
f (a 2—a+2)〉f （1) B.f (a 2—a+2）=f （1） C 。
f （a 2—a+2)〈f (1）D.不确定7。
（2019全国3,文7,理6）已知曲线y=a e x +x ln x 在点（1,a e ）处的切线方程为y=2x+b ，则（ ） A.a=e ，b=—1 B.a=e,b=1 C 。
a=e -1，b=1D.a=e —1,b=—18.（2020北京二中月考，5)直线y=kx —1与曲线y=ln x 相切,则实数k=( ) A.—1 B.1 C 。
2025优化设计一轮课时规范练22 导数的运算
-2
x+ =ln
2
x+1- =0,则
ln
2
x= -1,
在同一坐标系内分别画出函数 y=ln x 和
2
x= -1
2
y= -1
的图象(图略),
∴方程 ln
只有一个解,∴f'(c)=0 只有一个解,
∴函数 f(x)=(x-2)ln x 在[1,2]上的“拉格朗日中值点”的个数为 1,故选 B.
A.tan
C.sin
1
x0=4
4
2x0=17
B.点 M 在直线 y=3x 上
D.点 M 在直线 y=4x 上
解析 ∵f(x)=3x+4sin x-cos x,∴f'(x)=3+4cos x+sin x,∴f″(x)=-4sin x+cos x,
令f″(x)=0,则4sin x0-cos x0=0,于是tan
3.(2024·江西赣州模拟)已知g(x)=x2f(x),若f(x),g(x)的导函数分别为f'(x),g'(x),
且f(1)=f'(1)=2,则g'(1)=( C )
A.2
B.4
C.6
D.8
解析 由g(x)=x2f(x)得g'(x)=2xf(x)+x2f'(x),所以g'(1)=2f(1)+f'(1)=6,故选C.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
C 选项错误.故选 AB.
7.(2023·山东菏泽模拟)若f'(x)是函数f(x)的导函数,且(f'(x))2+(f(x))2=1,那么
导数的应用最有效训练题
导数的应用最有效训练题(限时45分钟)1.设函数()32cos 4132f x x x x θθ=++-，其中50,6πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则导数()1f '-的取值范围是（ ）A.[]3,6B. 3,4⎡⎣C. 4⎡⎤⎣⎦D. 4⎡+⎣ 2.函数()f x 的定义域为开区间(),a b ，导函数()f x '在开区间(),a b 内的图像如图3-12所示，则函数()f x 在开区间(),a b 内的极大值点的个数为（ ）A.1B.2C.3D.43.函数()()3x f x x e =-的单调递增区间是（ ）A.(),2-∞B.()0,3C.()1,4D.()2,+∞ 4.若函数()363f x x bx b =-+在()0,1内有极小值，则实数b 的取值范围是（ ） A.()0,1 B.(),1-∞ C.()0,+∞ D.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭5.若函数()312f x x x =-在区间()1,1k k -+上不是单调函数，则实数k 的取值范围是（ ） A.[](,3]1,1[3,)-∞--+∞ B.()()3,11,3-- C.()2,2- D. (,22,)-∞-+∞）（6．已知函数()32f x x ax bx c =+++，若()f x 在区间()1,0-上单调递减，则22a b +的取值范围为（ ） A.9[,)4+∞ B.9(0,]4 C. 9[,)5+∞ D. 9(0,]57.（1）函数cos sin ,02y x x θθπ=-<<的单调递减区间为 ．（2）函数232ln y x x =-的单调递增区间为，单调递减区间为 ． 8.已知()3f x x ax =-在区间[1,)+∞上是单调增函数，则a 的最大值是 ． 9.已知函数()3f x x kx =-在区间()3,1--上不单调，则实数k 的取值范围是 ． 10.设()f x 是定义在R 上的奇函数，且()20f =，当0x >时，有()()20xf x f x x'-<恒成立，则不等式()20x f x >的解集为 ．11.已知函数()()()211ln 12f x x x =+-+． （1）求()f x 的单调区间； （2）若11,e 1x e⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，()f x m <恒成立，求m 的取值范围； （3）证明不等式()21ln 1x x x ->+，其中1x >． 12.已知()2ln f x x x bx =+-． （1）若函数()f x 在其定义域内是增函数，求b 的取值范围；（2）当1b =-时，设()()22g x f x x =-，求证()g x 只有一个零点．。
理科二轮专限时集训14 导数
专题限时集训十四导数1．2021·全国卷Ⅰ函数f＝in －n1＋，f′为f的导数．证明：1f′在区间错误!存在唯一极大值点；2f有且仅有2个零点．[证明]1设g＝f′，那么g＝co －错误!，g′＝－in ＋错误!当∈错误!时，g′单调递减，而g′0＞0，g′错误!＜0，可得g′在错误!有唯一零点，∈－1，α时，g′＞0；当∈错误!时，g′＜0所以g在－1，α单调递增，在错误!单调递减，故g在错误!存在唯一极大值点，即f′在错误!存在唯一极大值点．2f的定义域为－1，＋∞．①当∈－1,0]时，由1知，f′在－1,0单调递增，而f′0＝0，所以当∈－1,0时，f′＜0，故f在－1,0单调递减．又f0＝0，从而＝0是f在－1,0]的唯一零点．②当∈错误!时，由1知，f′在0，α单调递增，在错误!单调递减，而f′0＝0，f′错误!＜0，所以存在β∈错误!，使得f′β＝0，且当∈0，β时，f′＞0；当∈错误!时，f′＜在0，β单调递增，在错误!单调递减．又f0＝0，f错误!＝1－n错误!＞0，所以当∈错误!时，f＞0从而，f在错误!没有零点．③当∈错误!时，f′＜0，所以f在错误!单调递减．又f错误!＞0，fπ＜0，所以f 在错误!有唯一零点．④当∈π，＋∞时，n＋1＞1，所以f＜0，从而f在π，＋∞没有零点．综上，f有且仅有2个零点．2．2021·全国卷Ⅲ函数f＝－1－a n1假设f≥0，求a的值；2设m为整数，且对于任意正整数n，错误!错误!·…·错误!＜m，求m的最小值．[解]1f的定义域为0，＋∞，①假设a≤0，因为f错误!＝－错误!＋a n 2＜0，所以不满足题意．②假设a>0，由f′＝1－错误!＝错误!知，当∈0，a时，f′0所以f在0，a单调递减，在a，＋∞单调递增．故＝a是f在0，＋∞的唯一最小值点．因为f1＝0，所以当且仅当a＝1时，f≥0，故a＝12由1知当∈1，＋∞时，－1－n >0令＝1＋错误!，得n错误!＜错误!，从而n错误!＋n错误!＋…＋n错误!＜错误!＋错误!＋…＋错误!＝1－错误!＜1故错误!错误!·…·错误!＜e而错误!错误!错误!＞2，所以m的最小值为33．2021·全国卷Ⅰ函数f＝错误!－＋a n1讨论f的单调性；2假设f存在两个极值点1，2，证明：错误!＜a－2[解]1f的定义域为0，＋∞，f′＝－错误!－1＋错误!＝－错误!①假设a≤2，那么f′≤0，当且仅当a＝2，＝1时，f′＝0，所以f在0，＋∞单调递减．②假设a＞2，令f′＝0，得＝错误!或＝错误!当∈错误!∪错误!时，f′＜0；当∈错误!时，f′＞在错误!，错误!单调递减，在错误!单调递增．2证明：由1知，f存在两个极值点时，当且仅当a＞2由于f的两个极值点1，2满足2－a＋1＝0，所以12＝1，不妨设1＜2，那么2＞1由于错误!＝－错误!－1＋a错误!＝－2＋a错误!＝－2＋a错误!，所以错误!＜a－2等价于错误!－2＋2n 2＜0设函数g＝错误!－＋2n ，由1知，g在0，＋∞单调递减，又g1＝0，从而当∈1，＋∞时，g＜0所以错误!－2＋2n 2＜0，即错误!＜a－24．2021·全国卷Ⅲ函数f＝23－a2＋b1讨论f的单调性；2是否存在a，b，使得f在区间[0,1]的最小值为－1且最大值为1？假设存在，求出a，b的所有值；假设不存在，说明理由．[解]1f′＝62－2a＝23－a．令f′＝0，得＝0或＝错误!假设a＞0，那么当∈－∞，0∪错误!时，f′＞0；当∈错误!时，f′＜在－∞，0，错误!单调递增，在错误!单调递减；假设a＝0，f在－∞，＋∞单调递增；假设a＜0，那么当∈错误!∪0，＋∞时，f′＞0；当∈错误!时，f′＜在错误!，0，＋∞单调递增，在错误!单调递减．2满足题设条件的a，b存在．①当a≤0时，由1知，f在[0,1]单调递增，所以f在区间[0,1]的最小值为f0＝b，最大值为f1＝2－a＋，b满足题设条件当且仅当b＝－1，2－a＋b＝1，即a＝0，b＝－1②当a≥3时，由1知，f在[0,1]单调递减，所以f在区间[0,1]的最大值为f0＝b，最小值为f1＝2－a＋，b满足题设条件当且仅当2－a＋b＝－1，b＝1，即a＝4，b＝1③当0＜a＜3时，由1知，f在[0,1]的最小值为f错误!＝－错误!＋b，最大值为b或2－a＋b假设－错误!＋b＝－1，b＝1，那么a＝3错误!，与0＜a＜3矛盾．假设－错误!＋b＝－1,2－a＋b＝1，那么a＝3错误!或a＝－3错误!或a＝0，与0＜a＜3矛盾．综上，当且仅当a＝0，b＝－1或a＝4，b＝1时，f在[0,1]的最小值为－1，最大值为11．2021·新乡二模函数f＝a－e a∈R．1讨论f的单调性；2讨论f在0，＋∞上的零点个数．[解]1f′＝a－e，当a≤0时，f′0时，当0，函数f在－∞，n a上单调递增，当>n a时，f′0，那么g′＝错误!，当>1时，g′>0，函数单调递增，当0e时，a＝错误!在0，＋∞上有2个零点，即f有2个零点．2．2021·芜湖模拟函数f＝a e－2，a∈R1求函数f的极值；2当a≥1时，证明：f－n ＋2>2[解]1f′＝a e－2，当a≤0时f′0时，令f′＝0得＝n错误!，f′>0得>n错误!，f′错误!错误!错误!错误!错误! 0时，f的极小值为f错误!＝2－2n 错误!，无极大值．2当a≥1时，f－n ＋2≥e－n ，令g＝e－n －2，g′＝e－错误!>0，令g′＝0得＝0，因为g′在0，＋∞为增函数，所以函数g在0，0上单调递减函数，在0，＋∞上单调递增函数，所以g≥g0＝e0－n 0－2＝错误!＋0－2021>0即得证．3．2021·郑州一中适应性检测函数f＝错误!2－a＋1＋a n1讨论函数f的单调性；2对任意的a∈[3,5]，1，2∈[1,3]1≠2，恒有|f1－f2|＜λ错误!，求实数λ的取值范围．[解]1由题意知，函数f的定义域为{|＞0}，对f求导，得f′＝－a＋1＋错误!＝错误!＞0．当a≤0时，函数f的单调递增区间为1，＋∞，单调递减区间为0,1；当0＜a＜1时，函数f的单调递增区间为0，a，1，＋∞，单调递减区间为a,1；当a＞1时，函数f的单调递增区间为0,1，a，＋∞，单调递减区间为1，a；当a＝1时，函数f的单调递增区间为0，＋∞，没有单调递减区间．2不妨设1≤1＜2≤3，那么错误!－错误!＞0又3≤a≤5，由1知，函数f在[1,3]上单调递减，那么f1－f2＞0所以f1－f2＜错误!－错误!，即f1－错误!＜f2－错误!令g＝f－错误!1≤≤3，可知函数g在[1,3]上单调递增，那么g′＝f′＋错误!≥0，即λ≥－3＋a＋12－a＝2－a－3＋2对任意的a∈[3,5]，∈[1,3]成立．记ha＝2－a－3＋2，那么∈[1,3]时，h′a＝2－≥0，函数ha在[3,5]上单调递增，所以ha≤h5＝－3＋62－5记φ＝－3＋62－5，那么φ′＝－32＋12－5，注意到φ′1＝4＞0，φ′3＝4＞0，由二次函数性质知在∈[1,3]时，φ′＞0，即函数φ在[1,3]上单调递增，所以φ≤φ3＝12，故λ的取值范围为[12，＋∞．4．2021·潍坊模拟函数f＝n ＋，∈R1求＝f在点1，f1处的切线方程；2假设不等式f≤2＋恒成立，求的取值范围；3求证：当n∈N*时，不等式错误!n4i2－1>错误!成立．[解]1函数＝f的定义域为0，＋∞，f′＝1＋n ＋，f′1＝1＋，∵f1＝，∴函数＝f在点1，f1处的切线方程为－＝＋1－1，即＝＋1－12设g＝n －＋－1，g′＝错误!－1，∈0,1，g′>0，g单调递增，∈1，＋∞，g′0，∴n －＋－1≤0，∴g ma＝g1＝－2≤0即可，故≤23由2可知：当＝2时，n ≤－1恒成立，令＝错误!，由于i∈N*，错误!>0故n错误!错误!1－错误!，变形得：n4i2－1>1－错误!，即n4i2－1>1－错误!错误!i＝1,2,3，…，n时，有n 3>1－错误!错误!，n 15>1－错误!错误!，……n4n2－1>1－错误!错误!，两边同时相加得：错误!n4i2－1>n－错误!错误!＝错误!>错误!，所以不等式在n∈N*上恒成立。
高考数学大一轮总复习 212导数的应用(二)限时规范训练 理
05限时规范特训A 级 基础达标1．函数y ＝x 4－4x ＋3在区间[－2,3]上的最小值为( ) A ．72 B ．36 C ．12D ．0解析：因为y ′＝4x 3－4，令y ′＝0即4x 3－4＝0，解得x ＝1.当x <1时，y ′<0，当x >1时，y ′>0，所以函数的极小值为y |x ＝1＝0，而在端点处的函数值y |x ＝－2＝27，y |x ＝3＝72，所以y min ＝0.答案：D2．[2014·辽宁省实验中学]函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f xx在区间(1，＋∞)上一定( ) A ．有最小值 B ．有最大值 C ．是减函数D ．是增函数解析：开口向上的二次函数在对称轴处取得最小值，所以对称轴要小于1，即a <1，g (x )＝x ＋a x －2a ，g ′(x )＝1－a x2>0(x >1，a <1)，故函数g (x )在(1，＋∞)上单调递增，选D.答案：D3．[2014·厦门质检]若函数f (x )＝x 3－3x 在(a,6－a 2)上有最小值，则实数a 的取值范围是( )A ．(－5，1)B ．[－5，1)C ．[－2,1)D ．(－2,1)解析：f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，令f ′(x )＝0，得x ＝±1，所以f (x )的大致图象如图所示，f (1)＝－2，f (－2)＝－2，若函数f (x )在(a ，6－a 2)上有最小值，则⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a <16－a 2>1，解得－2≤a <1.答案：C4．函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )在区间[0，π2]上的值域为( )解析：f ′(x )＝12e x (sin x ＋cos x )＋12e x ·(cos x －sin x )＝e xcos x ，当0≤x ≤π2时，f ′(x )≥0，且只有在x ＝π2时，f ′(x )＝0，∴f (x )是[0，π2]上的增函数，答案：A5．设f ′(x )是函数f (x )的导函数，将y ＝f (x )和y ＝f ′(x )的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是( )解析：利用当f ′(x )>0时，f (x )单调递增，当f ′(x )<0时，f (x )单调递减的关系进行判断．对于D ，因为不管哪条曲线表示f ′(x )都会导致f (x )恒为增函数或恒为减函数，故D不正确．答案：D6．已知函数f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，当x >0时，f (x )＝ln x －ax ，若函数在定义域上有且仅有4个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(e ，＋∞)B ．(0，1e )C ．(1，1e)D ．(－∞，1e)解析：由于函数f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，所以其图象关于y 轴对称，所以只要考虑当x >0时，f (x )＝ln x －ax 有且仅有2个不同的零点即可，由于f ′(x )＝1x －a ，当f ′(x )＝1x －a ＝0时，x ＝1a (x >0)，所以a >0，当x ∈(0，1a)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，当x ∈(1a ，＋∞)时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，所以当x ＝1a时，f (x )max＝f (1a )＝ln 1a －1，要使x >0时，f (x )＝ln x －ax 有且仅有2个不同的零点，只需f (1a )＝ln 1a－1>0，解得0<a <1e.故选B.答案：B7．函数f (x )＝－x 3＋mx 2＋1(m ≠0)在(0,2)内的极大值为最大值，则m 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝－3x 2＋2mx ＝x (－3x ＋2m )．令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2m3.∵x ∈(0,2)，∴0<2m3<2，∴0<m <3. 答案：(0,3)8．[2014·浙江四校调研]已知函数f (x )＝(x 2－3x ＋3)e x，设t >－2，函数f (x )在[－2，t ]上为单调函数时，t 的取值范围是________．解析：因为f ′(x )＝(x 2－3x ＋3)·e x ＋(2x －3)·e x ＝x (x －1)·e x. 由f ′(x )>0得x >1或x <0； 由f ′(x )<0得0<x <1，所以f (x )在(－∞，0)，(1，＋∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减． 要使f (x )在[－2，t ]上为单调函数，则－2<t ≤0. 答案：(－2,0]9．[2014·荆州模拟]设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为________．解析：如图：|MN |＝f (t )－g (t )＝t 2－ln t (t >0)， 令h (t )＝t 2－ln t (t >0)， 则h ′(t )＝2t －1t ＝2t 2－1t，令h ′(t )>0，得t >22， 令h ′(t )<0，得0<t <22， ∴h (t )在(0，22)上单调递减，在(22，＋∞)上单调递增． ∴当t ＝22时，h (t )取最小值，即t ＝22时，|MN |取最小值． 答案：2210．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2(a ，b ∈R )． (1)若函数f (x )在x ＝1处有极值10，求b 的值；(2)若对于任意的a ∈[－4，＋∞)，f (x )在x ∈[0,2]上单调递增，求b 的最小值． 解：(1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，于是，根据题设有⎩⎪⎨⎪⎧f ′1＝3＋2a ＋b ＝0f 1＝1＋a ＋b ＋a 2＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4b ＝－11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝3.当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4b ＝－11时，f ′(x )＝3x 2＋8x －11，Δ＝64＋132>0，所以函数有极值点；当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝3时，f ′(x )＝3(x －1)2≥0，所以函数无极值点．所以b ＝－11.(2)由题意知f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ≥0对任意的a ∈[－4，＋∞)，x ∈[0,2]都成立， 所以F (a )＝2xa ＋3x 2＋b ≥0对任意的a ∈[－4，＋∞)，x ∈[0,2]都成立． 因为x ≥0，所以F (a )在a ∈[－4，＋∞)上为单调递增函数或为常数函数， ①当F (a )为常数函数时，F (a )＝b ≥0；②当F (a )为增函数时，F (a )min ＝F (－4)＝－8x ＋3x 2＋b ≥0， 即b ≥(－3x 2＋8x )max 对任意x ∈[0,2]都成立， 又－3x 2＋8x ＝－3(x －43)2＋163≤163，所以当x ＝43时，(－3x 2＋8x )max ＝163，所以b ≥163.所以b 的最小值为163.11．已知函数f (x )＝(ax ＋1)e x. (1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a >0时，求函数f (x )在区间[－2,0]上的最小值． 解：依题意，函数的定义域为R ，f ′(x )＝(ax ＋1)′e x ＋(ax ＋1)(e x )′＝e x (ax ＋a ＋1)．(1)①当a ＝0时，f ′(x )＝e x>0， 则f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)； ②当a >0时，由f ′(x )>0，解得x >－a ＋1a， 由f ′(x )<0，解得x <－a ＋1a， 则f (x )的单调递增区间为(－a ＋1a，＋∞)，f (x )的单调递减区间为(－∞，－a ＋1a)；③当a <0时，由f ′(x )>0，解得x <－a ＋1a， 由f ′(x )<0解得，x >－a ＋1a， 则f (x )的单调递增区间为(－∞，－a ＋1a)， f (x )的单调递减区间为(－a ＋1a ，＋∞)．(2)①当⎩⎪⎨⎪⎧a >0－a ＋1a >－2时，即当a >1时，f (x )在(－2，－a ＋1a)上是减函数， 在(－a ＋1a，0)上是增函数， 则函数f (x )在区间[－2,0]上的最小值为f (－a ＋1a)＝－a ；②当⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－a ＋1a ≤－2时，即当0<a ≤1时，f (x )在[－2,0]上是增函数，则函数f (x )在区间[－2,0]上的最小值为f (－2)＝1－2ae2.综上，当a >1时，f (x )在区间[－2,0]上的最小值为－a ；当0<a ≤1时，f (x )在区间[－2,0]上的最小值为1－2ae 2.12．[2014·唐山质检]已知函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋ln x . (1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)当a >0时，若f (x )在区间[1，e]上的最小值为－2，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝x 2－3x ＋ln x ，f ′(x )＝2x －3＋1x.因为f ′(1)＝0，f (1)＝－2， 所以切线方程是y ＝－2.(2)函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋ln x 的定义域是(0，＋∞)．当a >0时，f ′(x )＝2ax －(a ＋2)＋1x ＝2ax 2－a ＋2x ＋1x(x >0)．令f ′(x )＝0，即f ′(x )＝2ax 2－a ＋2x ＋1x＝2x －1ax －1x＝0，得x ＝12或x ＝1a.当0<1a≤1，即a ≥1时，f (x )在[1，e]上单调递增，所以f (x )在[1，e]上的最小值是f (1)＝－2；当1<1a <e 时，f (x )在[1，e]上的最小值f (1a)<f (1)＝－2，不合题意；当1a≥e 时，f (x )在[1，e]上单调递减．所以f (x )在[1，e]上的最小值f (e)<f (1)＝－2，不合题意． 综上a 的取值范围为[1，＋∞)．B 级 知能提升1．已知函数f (x )＝1＋x －x 22＋x 33－x 44＋…＋x 20132013，则下列结论正确的是( )A ．f (x )在(0,1)上恰有一个零点B ．f (x )在(0,1)上恰有两个零点C ．f (x )在(－1,0)上恰有一个零点D ．f (x )在(－1,0)上恰有两个零点解析：函数的导数为f ′(x )＝1－x ＋x 2－…＋x2012＝1－－x20131－－x＝1＋x 20131＋x.当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，此时函数单调递增．当x ∈(－1,0)时，f ′(x )>0，此时函数单调递增．因为f (0)＝1>0，所以函数在(0,1)上没有零点．又f (－1)＝1－1－12－13－…－12013<0，所以函数在(－1，0)上有且只有一个零点，所以选C.答案：C2．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＋xf ′(x )>0(其中f ′(x )是f (x )的导函数)，设a ＝(log 124)f (log 124)，b ＝2f (2)，c ＝(lg 15)f (lg 15)，则a ，b ，c由大到小的关系是________．解析：令函数F (x )＝xf (x )，则函数F (x )＝xf (x )为偶函数．当x >0时，F ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )>0，此时函数F (x )单调递增．则a ＝F (log 124)＝F (－log 24)＝F (－2)＝F (2)，b ＝F (2)，c ＝F (lg 15)＝F (－lg5)＝F (lg5)，因为0<lg5<1<2<2，所以a >b >c .答案：a >b >c3.[2014·衡阳模拟]某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，ABCD (AB >AD )为长方形薄板，沿AC 折叠后，AB ′交DC 于点P .当△ADP 的面积最大时最节能，凹多边形ACB ′PD 的面积最大时制冷效果最好．(1)设AB ＝x (米)，用x 表示图中DP 的长度，并写出x 的取值范围； (2)若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？ (3)若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？ 解：(1)由题意，AB ＝x ，BC ＝2－x .x >2－x ，故1<x <2.设DP ＝y ，则PC ＝x －y .又△ADP ≌△CB ′P ，故PA ＝PC ＝x －y . 由PA 2＝AD 2＋DP 2， 得(x －y )2＝(2－x )2＋y 2，y ＝2(1－1x)，1<x <2.(2)记△ADP 的面积为S 1，则S 1＝(1－1x )(2－x )＝3－(x ＋2x)≤3－22，当且仅当x ＝2∈(1,2)时，S 1取得最大值．故当薄板长为2米，宽为(2－2)米时，节能效果最好． (3)记凹多边形ACB ′PD 的面积为S 2，则S 2＝12x (2－x )＋(1－1x )(2－x )＝3－12(x 2＋4x)(1<x <2)，于是S ′2＝－12(2x －4x 2)＝－x 3＋2x2＝0，得x ＝32. 关于x 的函数S 2在(1，32)上单调递增，在(32，2)上单调递减，所以当x ＝32时，S 2取得最大值．故当薄板长为32米，宽为(2－32)米时，制冷效果最好．。
高考数学 大题限时规范训练五 导数及应用部分
2016年高考数学大题限时规范训练五：导数及应用部分解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (时间60分钟分数70分)1．(2015·湛江质检)已知函数f (x )＝sin x (x ≥0)，g (x )＝ax (x ≥0)． (1)若f (x )≤g (x )恒成立，求实数a 的取值范围； (2)当a 取(1)中的最小值时，求证：g (x )－f (x )≤16x 3.(1)解 令h (x )＝sin x －ax (x ≥0)，则h ′(x )＝cos x －a .①若a ≥1，h ′(x )＝cos x －a ≤0，h (x )＝sin x －ax (x ≥0)单调递减，h (x )≤h (0)＝0，则sin x ≤ax (x ≥0)成立．②若0<a <1，存在x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，使得cos x 0＝a ，当x ∈(0，x 0)，h ′(x )＝cos x －a >0，h (x )＝sin x －ax (x ∈(0，x 0))单调递增，h (x )>h (0)＝0，不合题意．③若a ≤0，结合f (x )与g (x )的图象可知显然不合题意． 综上可知，a 的取值范围是[1，＋∞)． (2)证明 当a 取(1)中的最小值为1时，g (x )－f (x )＝x －sin x .设H (x )＝x －sin x －16x 3(x ≥0)，则H ′(x )＝1－cos x －12x 2.令G (x )＝1－cos x －12x 2，则G ′(x )＝sin x －x ≤0(x ≥0)，所以G (x )＝1－cos x －12x 2在[0，＋∞)上单调递减，此时G (x )＝1－cos x －12x 2≤G (0)＝0，即H ′(x )＝1－cos x －12x 2≤0，所以H (x )＝x －sin x －16x 3在x ∈[0，＋∞)上单调递减．所以H (x )＝x －sin x －16x 3≤H (0)＝0，则x －sin x ≤16x 3(x ≥0)．所以，当a 取(1)中的最小值时，g (x )－f (x )≤16x 3.2．(2013·山西临汾一模)定义在R 上的函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋3同时满足以下条件： ①f (x )在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数； ②f ′(x )是偶函数；③f (x )的图象在x ＝0处的切线与直线y ＝x ＋2垂直． (1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)设g (x )＝4ln x －m ，若存在x ∈[1，e]，使g (x )<f ′(x )，求实数m 的取值范围． 解 (1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .∵f (x )在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数， ∴f ′(1)＝3a ＋2b ＋c ＝0，(*) 由f ′(x )是偶函数得b ＝0，(ⅰ)又f (x )的图象在x ＝0处的切线与直线y ＝x ＋2垂直， ∴f ′(0)＝c ＝－1，(ⅱ) 将(ⅰ)(ⅱ)代入(*)得a ＝13，∴f (x )＝13x 3－x ＋3.(2)由已知得，若存在x ∈[1，e]，使4ln x －m <x 2－1，即存在x ∈[1，e]，使m >(4ln x －x 2＋1)min .设M (x )＝4ln x －x 2＋1，x ∈[1，e]， 则M ′(x )＝4x －2x ＝4－2x2x，令M ′(x )＝0，又因为x ∈[1，e]，所以x ＝ 2. 当2<x ≤e 时，M ′(x )<0， 则M (x )在(2，e]上为减函数； 当1≤x ≤2时，M ′(x )>0，则M (x )在[1，2]上为增函数， 所以M (x )在[1，e]上有最大值． 又M (1)＝0，M (e)＝5－e 2<0， 所以M (x )的最小值为5－e 2. 所以m >5－e 2.故实数m 的取值范围是(5－e 2，＋∞)． 3.(2015·北京朝阳区模拟)已知函数f (x )＝x 2x －a，a ∈R .(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若f (x )在(1,2)上是单调函数，求a 的取值范围． 解：(1)f (x )的定义域为{x |x ≠a }，f ′(x )＝x x －2ax －a 2.①当a ＝0时，f (x )＝x (x ≠0)，f ′(x )＝1， 则x ∈(－∞，0)，(0，＋∞)时，f (x )为增函数； ②当a >0时，由f ′(x )>0得，x >2a 或x <0，由于此时0<a <2a ，所以x >2a 时，f (x )为增函数，x <0时，f (x )为增函数；由f ′(x )<0得，0<x <2a ，考虑定义域，当0<x <a 时，f (x )为减函数，a <x <2a 时，f (x )为减函数；③当a <0时，由f ′(x )>0得，x >0或x <2a ，由于此时2a <a <0，所以当x <2a 时，f (x )为增函数，x >0时，f (x )为增函数．由f ′(x )<0得，2a <x <0，考虑定义域，当2a <x <a ，f (x )为减函数，a <x <0时，f (x )为减函数．综上，当a ＝0时，函数f (x )的单调增区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．当a >0时，函数f (x )的单调增区间为(－∞，0)，(2a ，＋∞)，单调减区间为(0，a )，(a,2a )．当a <0时，函数f (x )的单调增区间为(－∞，2a )，(0，＋∞)，单调减区间为(2a ，a )，(a,0)．(2)①当a ≤0时，由(1)可得，f (x )在(1,2)上单调递增，且x ∈(1,2)时，x ≠a . ②当0<2a ≤1时，即0<a ≤12时，由(1)可得，f (x )在(2a ，＋∞)上单调递增，即在(1,2)上单调递增，且x ∈(1,2)时，x ≠a .③当1<2a <2时，即12<a <1时，由(1)可得，f (x )在(1,2)上不具有单调性，不合题意．④当2a ≥2，即a ≥1时，由(1)可得，f (x )在(0，a )，(a,2a )为减函数，同时需注意a ∉(1,2)，满足这样的条件时f (x )在(1,2)单调递减，所以此时a ＝1或a ≥2.综上所述，a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12∪{1}∪[2，＋∞)． 4．(2015·新乡调研)已知函数f (x )＝x －(a ＋1)ln x －a x (a ∈R )，g (x )＝12x 2＋e x －x e x.(1)当x ∈[1，e]时，求f (x )的最小值；(2)当a <1时，若存在x 1∈[e ，e 2]，使得对任意的x 2∈[－2，0]，f (x 1)<g (x 2)恒成立，求a 的取值范围．解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x －1x －ax2.①当a ≤1时，x ∈[1，e]，f ′(x )≥0，f (x )为增函数，f (x )min ＝f (1)＝1－a .②当1<a <e 时，x ∈[1，a ]时，f ′(x )≤0，f (x )为减函数； x ∈[a ，e]时，f ′(x )≥0，f (x )为增函数．所以f (x )min ＝f (a )＝a －(a ＋1)ln a －1. ③当a ≥e 时，x ∈[1，e]时，f ′(x )≤0，f (x )在[1，e]上为减函数． f (x )min ＝f (e)＝e －(a ＋1)－ae.综上，当a ≤1时，f (x )min ＝1－a ； 当1<a <e 时，f (x )min ＝a －(a ＋1)ln a －1； 当a ≥e 时，f (x )min ＝e －(a ＋1)－ae.(2)由题意知：f (x )(x ∈[e ，e 2])的最小值小于g (x )(x ∈[－2,0])的最小值． 由(1)知f (x )在[e ，e 2]上单调递增，f (x )min ＝f (e)＝e －(a ＋1)－ae.g ′(x )＝(1－e x )x .当x ∈[－2,0]时g ′(x )≤0，g (x )为减函数，g (x )min ＝g (0)＝1，所以e －(a ＋1)－ae <1，即a >e 2－2e e ＋1，所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫e 2－2e e ＋1，1. 5.(2015·山西四校联考)已知f (x )＝ln x －x ＋a ＋1.(1)若存在x ∈(0，＋∞)使得f (x )≥0成立，求a 的取值范围； (2)求证：当x ＞1时，在(1)的条件下，12x 2＋ax －a ＞x ln x ＋12成立．解：(1)原题即为存在x >0使得ln x －x ＋a ＋1≥0， ∴a ≥－ln x ＋x －1，令g (x )＝－ln x ＋x －1， 则g ′(x )＝－1x ＋1＝x －1x.令g ′(x )＝0，解得x ＝1.∵当0＜x ＜1时，g ′(x )＜0，g (x )为减函数， 当x ＞1时，g ′(x )＞0，g (x )为增函数， ∴g (x )min ＝g (1)＝0，a ≥g (1)＝0. 故a 的取值范围是[0，＋∞)． (2)证明：原不等式可化为12x 2＋ax －x ln x －a －12＞0(x ＞1，a ≥0)． 令G (x )＝12x 2＋ax －x ln x －a －12，则G (1)＝0.由(1)可知x －ln x －1＞0，则G ′(x )＝x ＋a －ln x －1≥x －ln x －1＞0， ∴G (x )在(1，＋∞)上单调递增， ∴G (x )>G (1)＝0成立，∴12x 2＋ax －x ln x －a －12＞0成立，即12x 2＋ax －a >x 1n x ＋12成立． 6.(2015·东北三校联考)已知函数f (x )＝x ＋1ex(e 为自然对数的底数)．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)设函数φ(x )＝xf (x )＋tf ′(x )＋1e x ，存在实数x 1，x 2∈[0,1]，使得2φ(x 1)＜φ(x 2)成立，求实数t 的取值范围．解：(1)∵函数的定义域为R ，f ′(x )＝－xe x ，∴当x ＜0时，f ′(x )＞0，当x ＞0时，f ′(x )＜0， ∴f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减． (2)假设存在x 1，x 2∈[0,1]，使得2φ(x 1)＜φ(x 2)成立， 则2[φ(x )]min ＜[φ(x )]max . ∵φ(x )＝xf (x )＋tf ′(x )＋e －x＝x 2＋1－t x ＋1ex，∴φ′(x )＝－x 2＋1＋t x －t e x ＝－x －t x －1e x. ①当t ≥1时，φ′(x )≤0，φ(x )在[0,1]上单调递减， ∴2φ(1)＜φ(0)，即t ＞3－e2＞1.②当t ≤0时，φ′(x )＞0，φ(x )在[0,1]上单调递增， ∴2φ(0)＜φ(1)，即t ＜3－2e ＜0.③当0＜t ＜1时，若x ∈[0，t )，φ′(x )＜0，φ(x )在[0，t )上单调递减； 若x ∈(t,1]，φ′(x )＞0，φ(x )在(t,1]上单调递增， 所以2φ(t )＜max{φ(0)，φ(1)}， 即2·t ＋1et＜max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，3－t e ，(*) 由(1)知，g (t )＝2·t ＋1et在[0,1]上单调递减，故4e ≤2·t ＋1e t ≤2，而2e ≤3－t e ≤3e，所以不等式(*)无解． 综上所述，存在t ∈(－∞，3－2e)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3－e 2，＋∞，使得命题成立．。
高考数学 第三章 导数及其应用 课时规范练15 导数与函数的小综合 文 新人教A版
课时规范练15 导数与函数的小综合基础巩固组1.函数f(x)=(x-3)e x的单调递增区间是()A.(-∞,2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2,+∞)2.(2017山东烟台一模,文9)已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示,则下列结论成立的是()A.a>0,b>0,c>0,d<0B.a>0,b>0,c<0,d<0C.a<0,b<0,c>0,d>0D.a>0,b>0,c>0,d>03.已知函数f(x)=x3-3x2+x的极大值点为m,极小值点为n,则m+n=()A.0B.2C.-4D.-24.定义域为R的可导函数y=f(x)的导函数f'(x),满足f(x)<f'(x),且f(0)=2,则不等式f(x)>2e x的解集为()A.(-∞,0)B.(-∞,2)C.(0,+∞)D.(2,+∞)5.(2017辽宁大连一模,文8)函数f(x)=的图象大致为()6.(2017河南濮阳一模,文12)设f'(x)是函数f(x)定义在(0,+∞)上的导函数,满足xf'(x)+2f(x)=,则下列不等式一定成立的是()A.B.C.D.〚导学号24190732〛7.已知函数f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点,则实数a的取值范围是()A.(-∞,0)B.C.(0,1)D.(0,+∞)8.已知函数f(x)=-x2+4x-3ln x在[t,t+1]上不单调,则t的取值范围是.9.(2017河北保定二模)已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导函数f'(x)的图象是连续不断的,若方程f'(x)=0无解,且∀x∈(0,+∞),f(f(x)-log2 015x)=2 017,设a=f(20.5),b=f(log43),c=f(logπ3),则a,b,c的大小关系是.10.设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf'(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是.11.(2017山东泰安一模,文14)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,若g(x)=f(x+1)+5,g'(x)为g(x)的导函数,对∀x∈R,总有g'(x)>2x,则g(x)<x2+4的解集为.综合提升组12.(2017广西南宁一模)已知函数f(x)=-x2-6x-3,g(x)=2x3+3x2-12x+9,m<-2,若∀x1∈[m,-2),∃x2∈(0,+∞),使得f(x1)=g(x2)成立,则m的最小值为()A.-5B.-4C.-2D.-313.定义在 (0,+∞)内的函数f(x)满足f(x)>0,且对∀x∈(0,+∞),2f(x)<xf'(x)<3f(x)恒成立,其中f'(x)为f(x)的导函数,则()A.B.C.D.〚导学号24190733〛14.(2017河北邯郸二模,文16)若函数f(x)=(x2-ax+a+1)e x(a∈N)在区间(1,3)内只有1个极值点,则曲线f(x)在点(0,f(0))处切线的方程为.创新应用组15.(2017安徽淮南一模,文12)如果定义在R上的函数f(x)满足:对于任意x1≠x2,都有x1f(x1)+x2f(x2)≥x1f(x2)+x2f(x1),则称f(x)为“H函数”.给出下列函数:①y=-x3+x+1;②y=3x-2(sin x-cos x);③y=1-e x;④f(x)=其中“H函数”为()A.3B.2C.1D.0〚导学号24190734〛16.(2017安徽合肥一模,文16)已知函数f(x)=-x3+3x2-ax-2a,若存在唯一的正整数x0,使得f(x0)>0,则a的取值范围是.课时规范练15导数与函数的小综合1.D函数f(x)=(x-3)e x的导数为f'(x)=[(x-3)e x]'=e x+(x-3)e x=(x-2)e x.由导数与函数单调性的关系,得当f'(x)>0时,函数f(x)单调递增,此时由不等式f'(x)=(x-2)e x>0,解得x>2. 2.C由题图可知f(0)=d>0,排除选项A,B;∵f'(x)=3ax2+2bx+c,且由题图知(-∞,x1),(x2,+∞)是函数的递减区间,可知a<0,排除D.故选C.3.B因为函数f(x)=x3-3x2+x的极大值点为m,极小值点为n,所以m,n为f'(x)=3x2-6x+1=0的两根.由根与系数的关系可知m+n=-=2.4.C设g(x)=,则g'(x)=.∵f(x)<f'(x),∴g'(x)>0,即函数g(x)在定义域内单调递增.∵f(0)=2,∴g(0)=f(0)=2,∴不等式f(x)>2e x等价于g(x)>g(0).∵函数g(x)在定义域内单调递增,∴x>0,∴不等式的解集为(0,+∞),故选C.5.B函数f(x)=的定义域为x≠0,x∈R,当x>0时,函数f'(x)=,可得函数的极值点为x=1,当x ∈(0,1)时,函数是减函数,当x>1时,函数是增函数,并且f(x)>0,选项B,D满足题意.当x<0时,函数f(x)=<0,选项D不正确,选项B正确.6.B∵xf'(x)+2f(x)=,∴x2f'(x)+2xf(x)=,令g(x)=x2f(x),则g'(x)=2xf(x)+x2f'(x)=>0,∴函数g(x)在(0,+∞)内单调递增.∴g(2)=4f(2)<g(e)=e2f(e)<g(3)=9f(3),∴.故选B.7.B∵f(x)=x(ln x-ax),∴f'(x)=ln x-2ax+1,由题意可知f'(x)在(0,+∞)内有两个不同的零点,令f'(x)=0,得2a=,设g(x)=,则g'(x)=,∴g(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减.∵当x→0时,g(x)→-∞,当x→+∞时,g(x)→0,而g(x)max=g(1)=1,∴只需0<2a<1,即0<a<.8.(0,1)∪(2,3)由题意知f'(x)=-x+4-=-.由f'(x)=0得x1=1,x2=3,可知1,3是函数f(x)的两个极值点.则只要这两个极值点有一个在区间(t,t+1)内,函数f(x)在区间[t,t+1]上就不单调,由t<1<t+1或t<3<t+1,得0<t<1或2<t<3.9.a>c>b ∵方程f'(x)=0无解,∴f'(x)>0或f'(x)<0恒成立,∴f(x)是单调函数;由题意得∀x∈(0,+∞),f(f(x)-log2 015x)=2 017,且f(x)是定义在(0,+∞)的单调函数,则f(x)-log2 015x是定值.设t=f(x)-log2 015x,则f(x)=t+log2 015x,∴f(x)是增函数.又0<log43<logπ3<1<20.5,∴a>c>b.故答案为a>c>b.10.(-∞,-1)∪(0,1)当x>0时,令F(x)=,则F'(x)=<0,∴当x>0时,F(x)=为减函数.∵f(x)为奇函数,且由f(-1)=0,得f(1)=0,故F(1)=0.在区间(0,1)内,F(x)>0;在(1,+∞)内,F(x)<0,即当0<x<1时,f(x)>0;当x>1时,f(x)<0.又f(x)为奇函数,∴当x∈(-∞,-1)时,f(x)>0;当x∈(-1,0)时,f(x)<0.综上可知,f(x)>0的解集为(-∞,-1)∪(0,1).11.(-∞,-1)∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(x)的图象过原点,∵g(x)=f(x+1)+5,∴g(x)的图象过点(-1,5).令h(x)=g(x)-x2-4,∴h'(x)=g'(x)-2x.∵对∀x∈R,总有g'(x)>2x,∴h(x)在R上是增函数,又h(-1)=g(-1)-1-4=0,∴g(x)<x2+4的解集为(-∞,-1).12.A∵g(x)=2x3+3x2-12x+9,∴g'(x)=6x2+6x-12=6(x+2)(x-1),则当0<x<1时,g'(x)<0,函数g(x)递减,当x>1时,g'(x)>0,函数g(x)递增, ∴当x>0时,g(x)min=g(1)=2.∵f(x)=-x2-6x-3=-(x+3)2+6≤6,作函数y=(x)的图象,如图所示,当f(x)=2时,方程两根分别为-5和-1,则m的最小值为-5,故选A.13.B令g(x)=,x∈(0,+∞),则g'(x)=.∵∀x∈(0,+∞),2f (x)<xf'(x)<3f(x)恒成立,∴0<,∴g'(x)>0,∴函数g(x)在(0,+∞)内单调递增,∴,又f(x)>0,∴.令h(x)=,x∈(0,+∞),则h'(x)=.∵∀x∈(0,+∞),2f(x)<xf'(x)<3f(x)恒成立,∴h'(x)=<0,∴函数h(x)在(0,+∞)内单调递减,∴,又f(x)>0,∴.综上可得,故选B.14.x-y+6=0∵f'(x)=e x[x2+(2-a)x+1],若f(x)在(1,3)内只有1个极值点,∴f'(1)·f'(3)<0,即(a-4)(3a-16)<0,解得4<a<.∵a∈N,∴a=5.故f(x)=e x(x2-5x+6),f'(x)=e x(x2-3x+1),故f(0)=6,f'(0)=1,故切线方程是y-6=x,故答案为x-y+6=0.15.B根据题意,对于x1f(x1)+x2f(x2)≥x1f(x2)+x2f(x1),则有f(x1)(x1-x2)-f(x2)(x1-x2)≥0,即[f(x1)-f(x2)](x1-x2)≥0,分析可得,若函数f(x)为“H函数”,则函数f(x)为增函数或常数函数.对于①,y=-x3+x+1,有y'=-3x2+1,不是增函数也不是常数函数,则其不是“H函数”;对于②,y=3x-2(sin x-cos x),有y'=3-2(sin x+cos x)=3-2sin,易知y'>0,y=3x-2(sin x-cos x)为增函数,则其是“H函数”;对于③,y=1-e x=-e x+1,是减函数,则其不是“H函数”;对于④,f(x)=当x<1时,f(x)是常数函数,当x≥1时,f(x)是增函数,则其是“H函数”.故“H函数”有2个,故选B.16. 由题意设g(x)=-x3+3x2,h(x)=a(x+2),则g' (x)=-3x2+6x=-3x(x-2),所以g(x)在(-∞,0),(2,+∞)内递减,在(0,2)内递增,且g(0)=g(3)=0,g(2)=-23+3×22=4.在同一个坐标系中画出两个函数图象如图所示.因为存在唯一的正整数x0,使得f(x0)>0,即g(x0)>h(x0),所以由图得x0=2,则即解得≤a<1,所以a的取值范围是,故答案为.。
(整理)导数专题训练
导数专题训练知能目标:1. 了解导数的概念, 掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义.2. 熟记基本导数公式, 掌握两个函数的四则运算的求导法则和复合函数的求导法则, 会求某些简单函数的导数.3. 会用导数求多项式函数的单调区间, 极值及闭区间上的最值. 会利用导数求最值的方法解决一些实际问题.综合脉络1. 知识网络（1）定义:当△x →0时,函数的增量△y 与自变量的增量△x 的比xy∆∆的极限,,即 ()()()xx f x x f Lim x y Limx f x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆00' （2）函数()x f y =在点0x 处的导数的几何意义,就是曲线()x f y =在点P （0x ,f （0x ））处的切线的斜率.（3）质点作直线运动的位移S 是时间t 的函数,则()0't S 即为质点在t=t 0的瞬时速度.（4）几个重要函数的导数①0'=C ,（C 为常数） ②()()Q n nx x n n∈=-1'③()x x cos sin '= ④()x x sin cos '-=⑤()x Inx 1'= ⑥()e Iog xx Iog aa 1'= ⑦()xx e e ='⑧()Ina a a xx ='（1） 导数的四运算法则①()'''υμυμ±=± ②()'''μυυμμυ+= ③()0)(2'''±-=υυμυυμυμ （5）复合函数求导法则'''xx y y μμ=, 其中'x y 是y 对x 求导,'μy 是y 对μ求导,'x μ是μ对x 求导. （2） 导数的应用① 可导函数．．．．求单调区间或判断单调性的方法:使()x f '>0的区间为增区间,使()x f '<0的区间为减区间.② 可导函数．．．．()x f 求极值的步骤:ⅰ.求导数()x f 'ⅱ.求方程()x f '=0的根n x x x ,,,21Λⅲ.检验()x f'在方程的根的附近左右值的符号,若左正右负,则在这个根处取极大值,若左负右正,则在这个根处取极小值.③ 连续函数在闭区间上一定有最大值和最小值,④ ()x f 在闭区间[a,b]上连续,在（a,b ）内可导,则求()x f 最大值、最小值的步骤与格式为 ⅰ. 求导数()x f 'ⅱ.求方程()x f'=0的根n x x x ,,,21Λⅲ.结合在[a,b]上的根及闭区间[a,b]的端点数值,列出表格若(b x x x a n <<<<<Λ21)xa ()1,x a1x()21,x x2x… n x()b x n ,b 'y正负号 0 正负号 0 0 正负号 y值单调性值单调性值值单调性值ⅳ.根据上述表格的单调性及的大小,确定最大值与最小值.2. 考点综述(1) 导数为新教材必修的内容, 该内容的重点是掌握根据导数定义求简单函数的导数的方法. 一方面, 根据导数定义求导可进一步理解导数的概念; 另一方面, 许多法则都是由导数定义导出的. 掌握利用导数判别可导函数极值的方法, 是该章的又一重点. 主要涉及的是可导函数的单调性, 极值和最大 (小) 值的判定.(2) 导数概念比较抽象, 定义方法学生不太熟悉, 因此对导数概念的理解是学习中的一个难点; 求一些实际问题的最大值与最小值是另一个难点. 这里的关键是能根据实际问题, 建立适当的函数关系.(3) 用导数方法研究一些函数的性质及解决实际问题是导数的热点问题. 近几年来的新高考试题可以看出导数内容有以下变化趋势:① 导数是必考内容并且试题分数比重在逐年增加, 选择题, 填空题, 解答题都有可能出现, 分值介于12分—18分之间;②选择题, 填空题主要考查第导数的基本公式和基本方法的应用, 如求函数的导数, 切线的斜率, 函数的单调区间, 极值, 最值;③ 解答题一般为导数的应用, 主要考查利用导数判断函数的单调性, 在应用题中用导数求函数的最大值和最小值.导数(一)(一) 典型例题讲解:例1. (1) 函数)x (f y =的图象过原点且它的导函数)x (f y '=的图象是如图所示的一条直线, 则)x (f y =的图象的顶点在 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限(2) 如果函数bx x )x (f 3+-=(b 为常数) 在区间)1,0( 内单调递增, 并且0)x (f =的根都在区间]2,2[ -内, 那么b 的范围是 .例2. 已知函数ax x 2)x (f 3+=与c bx )x (g 2+=的图象都过点P )0,2( 且在点P 处有相同的切线.(1) 求实数c ,b ,a 的值;(2) 设函数)x (g )x (f )x (F +=, 求)x (F 的单调区间, 并指出)x (F 在该区间上的单调性.例3．设a 为实数,函数.a x x x )x (f 23+--=(1) 求)x (f 的极值.(2) 当a 在什么范围内取值时, 曲线x )x (f y 与=轴仅有一个交点.(二) 专题测试与练习:1. 函数1x 3x )x (f 23+-=是减函数的区间为( )A. (2,)+∞B. (,2)-∞C. (,0)-∞D. (0,2)2. 函数9x 3ax x )x (f 23-++=, 已知)x (f 在3x -=时取得极值, 则=a ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 53. 在函数x 8x y 3-=的图象上, 其切线的倾斜角小于4π的点中, 坐标为整数的点的个数是 ( ) A. 3 B. 2 C.1 D. 04. 函数1ax y 2+=的图象与直线x y =相切, 则a 的值为( )A.18 B. 41 C. 21D. 1 5. 已知: a (a x 6x 2)x (f 23+-=为常数)在]2,2[-上有最大值是3, 那么]2,2[-在上的最小值是( )A. 5- B. 11- C. 29- D. 37-6. 曲线3x y =在点)1,1(处的切线与x 轴、直线2x =所围成的三角形的面积为 .7. 曲线1x x y 3++=在点)3,1(处的切线方程是 .8. 曲线4x 6x 3x y 23+++=的所有切线中, 斜率最小的切线的方程是 .9.函数x 6x 3x 4y 23++-=的单调递减区间为 , 极大值为 ,极小值为 .10. 已知函数,a x 9x 3x )x (f 23+++-= (1) 求)x (f 的单调递减区间;(2) 若)x (f 在区间]2,2[ -上的最大值为20, 求它在该区间上的最小值.11. 已知c 2bx 3x )x (f 3++=, 若函数)x (f 的一个极值点落在x 轴上, 求23c b +的值.12. 已知函数32()f x x bx cx d =+++的图象过点P )2,0(, 且在点M ))1(f ,1(--处的切线方程为07y x 6=+-.(1) 求函数)x (f y =的解析式; (2) 求函数)x (f y =的单调区间.导数(二)(一) 典型例题讲解:例1. 函数y ＝223a bx ax x x f +++=)(在1=x 时, 有极值10, 那么b a ,的值为 .例2. 已知向量b a b a ⋅=-=+=)x (f ),t ,x 1(),1x ,x (2若函数在区间)1,1(-上是增函数,求t 的取值范围.例3.:（2006年广东卷）设函数23)(3++-=x x x f 分别在1x 、2x 处取得极小值、极大值.xoy 平面上点A 、B 的坐标分别为))(,(11x f x 、))(,(22x f x ,该平面上动点P 满足4=•,点Q 是点P 关于直线)4(2-=x y 的对称点.求(Ⅰ)点A 、B 的坐标 ； (Ⅱ)动点Q 的轨迹方程(二) 专题测试与练习:1. 曲线=y x x 32+在2x =处的切线的斜率为 ( ) A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 2. 已知某物体的运动方程是+=t S 913t , 则当s 3t =时的瞬时速度是 ( ) A. 10m /s B. 9m /s C. 4m /s D. 3m /s3. 函数)(x f ＝5224+-x x 在区间] ,[32-上的最大值与最小值分别是 ( ) A. 5, 4 B. 13, 4 C. 68, 4 D. 68, 54. 若函数y ＝x 3－2x 2＋mx, 当x ＝31时, 函数取得极大值, 则m 的值为 ( ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 325. 函数y ＝ax 3＋bx 2取得极大值或极小值时的x 值分别为0和31, 则 ( )A. b a 2-＝0B. b a -2＝0C. b a +2＝0D. b a 2+＝06. 与直线1+-y x ＝0平行, 且与曲线y ＝132-x 相切的直线方程为 . 7. 曲线y ＝122-+x ax 在点M ) ,(4321-处的切线的斜率为－1, 则a ＝ .8. 函数y ＝x x x 63423++-的单调递减区间为 .9. 已知函数y ＝12323-+x x 在区间),(0m 上为减函数, 则m 的取值范围是 .10. 已知函数,bx ax y 23+=当1x =时, y 的极值为3. 求: (1) a, b 的值; (2) 该函数单调区间.11. 设函数,5x 2x 21x )x(f 23+--=若对于任意]2,1[x -∈都有m )x (f <成立, 求实数m 的取值范围.12. 已知1x =是函数1nx x )1m (3m x )x (f 23+++-=的一个极值点, 其中,0m ,R n ,m <∈ (1) 求m 与n 的关系式; (2) 求)x (f 的单调区间;(3) 当]1,1[x -∈时, 函数)x (f y =的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m, 求m 的取值范围.导数(一)解答(一) 典型例题例1. 解：(1) A ; (2) ]4,3[ .例2. 解：(1) .bx 2)x (g ,a x 6)x (f 2='+=' Θ由题意得: ⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧-==-=⇒=+=+=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=='='.16c ,4b ,8a ,0c b 4,0a 216,b 4a 24,0)2(g ,0)2(f ),2(g )2(f(2) 由(1)得16x 4)x (g ,x 8x 2)x (f 23-=-= 16x 8x 4x 2)x (F 23--+=⇒．8x 8x 6)x (F 2-+='⇒由,08x 8x 62>-+得:2x -<或．32x >)x (F ∴的递增区间是),32(),2,(∞+--∞ ; )x (F ∴的递减区间是)32,2( -.例3. 解：(1) )x (f '1x 2x 32--=, 若)x (f '0=, 则31x -=, 1x =当x 变化时, )x (f ', )x (f 变化情况如下表:∴)x (f 的极大值是a 275)31(f +=-, 极小值是1a )1(f -=.(2) 函数1a )1x ()1x (a x x x )x (f 223-++-=+--=. 由此可知, 取足够大的正数时, 有0)x (f >, 取足够小的负数时有0)x (f <,所以曲线y =)x (f 与x 轴至少有一个交点, 结合)x (f 的单调性可知: 当)x (f 的极大值0a 275<+, 即)275,(a --∞∈ 时, 它的极小值也小于0, 因此曲线y =)x (f 与x 轴仅有一个交点, 它在),1(∞+ 上. 当)x (f 的极小值01a >-即),1(a ∞+∈ 时, 它的极大值也大于0, 因此曲线)x (f y =与x 轴仅有一个交点, 它在)31,(--∞ 上.∴当)275,(a --∞∈ ),1(∞+⋃ 时, 曲线y =)x (f 与x 轴仅有一个交点.(二) 专题测试与练习 一.5.（提示: )a 8)2(f ,a )0(f ,a 40)2(f +-==+-=-二. 填空题6.38; 7. 1x 4y -=; 8. ;3x 3y += 9. ,),1(),21,(+∞--∞ 5 , .47- 8. (提示: 3)1x (36x 6x 3)x (f 22++=++=', 当1x -=时,)x (f '的最小值为3,所以当1x -=时, 0y =所求切线过点)0,1(-且斜率为3, 所以切线方程为.)3x 3y +=三. 解答题10. 解: (1) .9x 6x 3)x (f 2++-='令1x 0)x (f -<⇒<'或,3x > 所以函数)x (f 的单调递减区间为)1,(--∞ , ),3(∞+ .(2) 因为,a 2a 18128)2(f +=+-+=- ,a 22a 18128)2(f +=+++-=所以)2(f )2(f ->. 因为在)3,1( -上0)x (f >', 所以)x (f 在]2,1[ -上单调递增, 又由于)x (f 在]1,2[-- 上单调递减, 因此)2(f 和)1(f -分别是)x (f 在区间]2,2[ -上的最大值和最小值, 于是有2a 20a 22-=⇒=+. 故,2x 9x 3x )x (f 23-++-=因此72931)1(f -=--+=-, 即函数)x (f 在区间]2,2[ -上的最小值为7-.11. 解: b 3x 3)x (f 2+=', 设)x (f 的极值点为（)0,m , 则0)m (f ,0)m (f ='=所以32320,330m b m c m b ⎧+⨯+=⎪⎨+=⎪⎩ 所以,0c 2bm 2,0c 2bm 3bm =+=++-所以22c )bm (=, ,c )b (b 22=-所以.0c b 23=+12. 解: (1) 由)x (f 的图象经过P )2,0(,知2d =, 所以,2cx bx x )x (f 23+++= c bx 2x 3)x (f 2++='.即.6)1(f ,1)1(f =-'=-由在))1(f ,1(M --处的切线方程是07y x 6=+-, 知07)1(f 6=+---,⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧=+-+-=+-∴3c 3b 12c b 16c b 23故所求的解析式是 .2x 3x 3x )x (f 23+--=(2) .3x 6x 3)x (f 2--='令,03x 6x 32=--即.01x 2x 2=-- 解得 .21x ,21x 21+=-= 当;0)x (f ,21x ,21x >'+>-<时或当.0)x (f ,21x 21<'+<<-时故2x 3x 3x )x (f 23+--=在)2,(--∞内是增函数, 在)21,21(+-内是减函数,在),21(+∞+内是增函数.导数(二)解答(一) 典型例题 例1. 解：()43.113a a b b ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩或舍例2. 解：解法1：依定义,t tx x x )1x (t )x 1(x )x (f 232+++-=++-= 则,t x 2x 3)x (f 2++-='若)x (f 在)1,1(-上是增函数, 则在)1,1(-上0)x (f ≥'.,x 2x 3t 0)x (f 2-≥⇔≥'∴在区间)1,1(-上恒成立, 考虑函数,x 2x 3)x (g 2-= 由于)x (g 的图象是对称轴为,31x =开口向上的抛物线, 故要使x 2x 3t 2-≥在区间)1,1(-上恒成立⇔),1(g t -≥即.5t ≥而当5t ≥时, )x (f '在)1,1(-上满足0)x (f >', 即)x (f 在)1,1(-上增函数. 故t 的取值范围是5t ≥.解法2：依定义,t tx x x )1x (t )x 1(x )x (f 232+++-=++-=t x 2x 3)x (f 2++-='在区间)1,1(-上恒成立, 考虑函数,x 2x 3)x (g 2-=)x (f 'Θ的图象是开口向下的抛物线,∴当且仅当,01t )1(f ≥-='且05t )1(f ≥-=-'时)x (f '在)1,1(-上满足0)x (f >', 即)x (f 在)1,1(-上是增函数.故t 的取值范围是5t ≥. ,x 2x 3t 0)x (f 2-≥⇔≥'∴例3.:解: (Ⅰ)令033)23()(23=+-='++-='x x x x f 解得11-==x x 或当1-<x 时,0)(<'x f , 当11<<-x 时,0)(>'x f ,当1>x 时,0)(<'x f 所以,函数在1-=x 处取得极小值,在1=x 取得极大值,故 1,121=-=x x ,4)1(,0)1(==-f f 所以, 点A 、B 的坐标为)4,1(),0,1(B A -.(Ⅱ) 设),(n m p ，),(y x Q ，()()4414,1,122=-+-=--•---=•n n m n m n m21-=PQ k ，所以21-=--m x n y ，又PQ 的中点在)4(2-=x y 上，所以⎪⎭⎫⎝⎛-+=+4222n x m y消去n m ,得()()92822=++-y x(二) 专题测试与练习 一. 题号 1 2 3 4 5 答案 ACCCD二. 填空题6. ;07y 4x 4=--7. －3 ;8. ;),1(),21,(∞+--∞9. .)0,94[ -三. 解答题10. 解: (1) bx 2ax 3y 2+='Θ当1x =时, y 的极值为3.23x 9x 6y 9b 6a 3b a 0b 2a 3+-=⇒⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧=+=+∴.(2) 令1x 00x 18x 18y 2<<⇒>+-='令1x 0x 18x 18y 2>⇒<+-='或0x < ∴y 在)1,0( 上为单调增函数;y 在),1(),0,(∞+-∞ 上为单调减函数.11. 解: ,2x x 3)x (f 2--='令,0)x (f ='得32x -=或1x =.∵当32x -<或1x >时, ,0)x (f >'∴)x (f y =在)32,(--∞ 和),1(∞+ 上为增函数,在)1,32( -上为减函数, ∴)x (f 在32x -=处有极大值, 在1x =处有极小值.极大值为27225)32(f =-, 而7)2(f =, ∴)x (f 在]2,1[ -上的最大值为7.若对于任意x ]2,1[ -∈都有m )x (f <成立, 得m 的范围 7m >.12. 解:(1) n x )1m (6m x 3)x (f 2++-='因为1x =是函数)x (f 的一个极值点, 所以 0)1(f =', 即,0n )1m (6m 3=++-所以6m 3n +=(2) 由(1)知, 6m 3x )1m (6m x 3)x (f 2+++-=')]m21(x )[1x (m 3+--=当0m <时, 有,m211+>当x 变化时，)x (f 与)x (f '的变化如下表:故有上表知, 当0m <时, )x (f 在)m 21,(+-∞单调递减, 在)1,m21(+单调递增, 在),1(+∞ 上单调递减.(3) 由已知得m 3)x (f >', 即02x )1m (2m x 2>++-又0m <所以0m 2x )1m (m 2x 2<++-, 即]1,1[x ,0m 2x )1m (m 2x 2-∈<++-……① 设,m2x )m 11(2x )x (g 2++-= 其函数开口向上, 由题意知①式恒成立,所以0m 34010m2m 2210)1(g 0)1(g <<-⇒⎪⎩⎪⎨⎧<-<+++⇒⎩⎨⎧<<-, 即m 的取值范围为)0,34(-.。
高中数学-导数的运算法则练习
高中数学-导数的运算法则练习一、基础达标1．设y ＝－2e xsin x ，则y ′等于( )A ．－2e xcos x B ．－2e xsin xC ．2e xsin x D ．－2e x(sin x ＋cos x )答案 D解析 y ′＝－2(e xsin x ＋e xcos x )＝－2e x(sin x ＋cos x )．2．当函数y ＝x 2＋a 2x(a >0)在x ＝x 0处的导数为0时，那么x 0＝( )A ．aB ．±aC ．－aD ．a 2答案 B解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a 2x ′＝2x ·x －x 2＋a2x 2＝x 2－a 2x2，由x 20－a 2＝0得x 0＝±a . 3．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于 ( )A ．2 B.12 C ．－12 D ．－2答案 D 解析 ∵y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1， ∴y ′＝－2x －12.∴y ′|x ＝3＝－12.∴－a ＝2，即a ＝－2.4．已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为k ，则当k ＝3时的P 点坐标为( )A ．(－2，－8)B ．(－1，－1)或(1,1)C ．(2,8) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－18答案 B解析 y ′＝3x 2，∵k ＝3，∴3x 2＝3，∴x ＝±1，则P 点坐标为(－1，－1)或(1,1)．5．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为________．答案 4解析 依题意得f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4.6．已知f (x )＝13x 3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝________.答案 1解析 由于f ′(0)是一常数，所以f ′(x )＝x 2＋3f ′(0)， 令x ＝0，则f ′(0)＝0， ∴f ′(1)＝12＋3f ′(0)＝1. 7．求下列函数的导数：(1)y ＝(2x 2＋3)(3x －1)； (2)y ＝x －sin x 2cos x2.解 (1)法一 y ′＝(2x 2＋3)′(3x －1)＋(2x 2＋3)(3x －1)′＝4x (3x －1)＋ 3(2x 2＋3)＝18x 2－4x ＋9.法二 ∵y ＝(2x 2＋3)(3x －1)＝6x 3－2x 2＋9x －3， ∴y ′＝(6x 3－2x 2＋9x －3)′＝18x 2－4x ＋9.(2)∵y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x ，∴y ′＝x ′－⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ′＝1－12cos x .二、能力提升8．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( )A ．－12 B.12 C ．－22 D.22答案 B解析 y ′＝cos x sin x ＋cos x －sin x cos x －sin x sin x ＋cos x 2＝1sin x ＋cos x2，故y ′|x ＝π4＝12，∴曲线在点M ⎝⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为12.9．已知点P 在曲线y ＝4e x＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 ( )A ．[0，π4)B ．[π4，π2)C ．(π2，3π4]D ．[3π4，π)答案 D解析 y ′＝－4e xe x＋12＝－4e xe 2x ＋2e x＋1，设t ＝e x∈(0，＋∞)，则y ′ ＝－4tt 2＋2t ＋1＝－4t ＋1t＋2，∵t ＋1t ≥2，∴y ′∈[－1,0)，α∈[3π4，π)． 10．(2013·江西)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x，则f ′(1)＝________.答案 2解析 令t ＝e x，则x ＝ln t ，所以函数为f (t )＝ln t ＋t ，即f (x )＝ln x ＋x ，所以f ′(x )＝1x ＋1，即f ′(1)＝11＋1＝2. 11．求过点(2,0)且与曲线y ＝x 3相切的直线方程．解 点(2,0)不在曲线y ＝x 3上，可令切点坐标为(x 0，x 30)．由题意，所求直线方程的斜率k ＝x 30－0x 0－2＝y ′|x ＝x 0＝3x 20，即x 30x 0－2＝3x 20，解得x 0＝0或x 0＝3.当x 0＝0时，得切点坐标是(0,0)，斜率k ＝0，则所求直线方程是y ＝0； 当x 0＝3时，得切点坐标是(3,27)，斜率k ＝27， 则所求直线方程是y －27＝27(x －3)， 即27x －y －54＝0.综上，所求的直线方程为y ＝0或27x －y －54＝0.12．已知曲线f (x )＝x 3－3x ，过点A (0,16)作曲线f (x )的切线，求曲线的切线方程．解 设切点为(x 0，y 0)，则由导数定义得切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－3， ∴切线方程为y ＝(3x 20－3)x ＋16， 又切点(x 0，y 0)在切线上， ∴y 0＝3(x 20－1)x 0＋16， 即x 30－3x 0＝3(x 20－1)x 0＋16， 解得x 0＝－2，∴切线方程为9x －y ＋16＝0. 三、探究与创新13．设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．(1)解 由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝12，①又f ′(x )＝a ＋b x2， ∴f ′(2)＝74，②由①，②得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74.解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)证明 设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0||2x 0＝6.故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.。
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导数限时规范训练1
(建议用时45分钟)
1．已知函数f (x )＝ax ＋1x
＋(1－a )ln x . (1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程；
(2)若a ≤0，讨论函数f (x )的单调性．
2．已知函数f (x )＝x 28
－ln x ，x ∈[1,3]． (1)求f (x )的最大值与最小值；
(2)若f (x )<4－at 对任意的x ∈[1,3]，t ∈[0,2]恒成立，求实数a 的取值范围；
3．已知函数f (x )＝a (x 2＋1)＋ln x .
(1)讨论函数f (x )的单调性；
(2)若对任意a ∈(－4，－2)及x ∈[1,3]，恒有ma －f (x )>a 2成立，求实数m 的取值范围．
4．(2015·高考江苏卷)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R )．
(1)试讨论f (x )的单调性；
(2)若b ＝c －a (实数c 是与a 无关的常数)，当函数f (x )有三个不同的零点时，a 的取值范围恰
好是(－∞，－3)∪⎝⎛⎭⎫1，32∪⎝⎛⎭
⎫32，＋∞，求c 的值．
1、解：(1)当a ＝2时，f (x )＝2x ＋1x －ln x ，f ′(x )＝2－1x 2－1x
，又f ′(1)＝0，f (1)＝3，所以曲线f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝3.
(2)f ′(x )＝a －1x 2＋1－a x ＝ax 2＋(1－a )x －1x 2
(x >0)， ①当a ＝0时，f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；若a ≠0，f ′(x )＝ax 2＋(1－a )x －1x 2
＝0， 解得x 1＝1，x 2＝－1a
， ②当－1<a <0时，f (x )在(0,1)和⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞上单调递减，在⎝
⎛⎭⎫1，－1a 上单调递增； ③当a ＝－1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减；
④当a <－1时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－1a 和(1，＋∞)上单调递减，在⎝⎛⎭
⎫－1a ，1上单调递增． 2、解：(1)∵函数f (x )＝x 28－ln x ，∴f ′(x )＝x 4－1x
，令f ′(x )＝0得x ＝±2， ∵x ∈[1,3]，当1<x <2时，f ′(x )<0；当2<x <3时，f ′(x )>0；
∴f (x )在(1,2)上是单调减函数，在(2,3)上是单调增函数，
∴f (x )在x ＝2处取得极小值f (2)＝12
－ln 2； 又f (1)＝18，f (3)＝98
－ln 3， ∵ln 3>1，∴18－⎝⎛⎭⎫98
－ln 3＝ln 3－1>0， ∴f (1)>f (3)，
∴x ＝1时f (x )的最大值为18，x ＝2时函数取得最小值为12
－ln 2. (2)由(1)知当x ∈[1,3]时，f (x )≤18
，故对任意x ∈[1,3]， f (x )<4－at 恒成立，
只要4－at >18对任意t ∈[0,2]恒成立，即at <318
恒成立，记g (t )＝at ，t ∈[0,2]． ⎩⎨⎧ g (0)<318g (2)<318，解得a <3116
， 即实数a 的取值范围是⎝
⎛⎭⎫－∞，3116. 3、解：(1)由已知，得f ′(x )＝2ax ＋1x ＝2ax 2＋1x
(x >0)．
①当a ≥0时，恒有f ′(x )>0，则f (x )在(0，＋∞)上是增函数．
②当a <0时，若0<x < －12a ， 则f ′(x )>0，故f (x )在⎝
⎛⎦⎤0， －12a 上是增函数； 若x >
－12a ，则f ′(x )<0， 故f (x )在⎣
⎡⎭⎫ －12a ，＋∞上是减函数． 综上，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上是增函数；
当a <0时，f (x )在⎝⎛⎦⎤0， －12a 上是增函数，在⎣⎡⎭
⎫ －12a ，＋∞上是减函数． (2)由题意，知对任意a ∈(－4，－2)及x ∈[1,3]，
恒有ma －f (x )>a 2成立，等价于ma －a 2>f (x )max .
因为a ∈(－4，－2)，所以24< －12a <12
<1. 由(1)，知当a ∈(－4，－2)时，f (x )在[1,3]上是减函数，
所以f (x )max ＝f (1)＝2a ，
所以ma －a 2>2a ，即m <a ＋2.
因为a ∈(－4，－2)，所以－2<a ＋2<0.
所以实数m 的取值范围为m ≤－2.
4、解：(1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ，令f ′(x )＝0，
解得x 1＝0，x 2＝－2a 3
. 当a ＝0时，因为f ′(x )＝3x 2≥0，所以函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；
当a >0时，x ∈⎝
⎛⎭⎫－∞，－2a 3∪(0，＋∞)时，f ′(x )>0， x ∈⎝⎛⎭
⎫－2a 3，0时，f ′(x )<0， 所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－2a 3，(0，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭
⎫－2a 3，0上单调递减； 当a <0时，x ∈(－∞，0)∪⎝⎛⎭
⎫－2a 3，＋∞时，f ′(x )>0， x ∈⎝
⎛⎭⎫0，－2a 3时，f ′(x )<0， 所以函数f (x )在(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫－2a 3，＋∞上单调递增，在⎝
⎛⎭⎫0，－2a 3上单调递减．
(2)由(1)知，函数f (x )的两个极值为f (0)＝b ，
f ⎝⎛⎭⎫－2a 3＝427a 3＋b ，则函数f (x )有三个零点等价于f (0)·f ⎝⎛⎭⎫－2a 3＝b ·⎝⎛⎭
⎫427a 3＋b <0，从而 ⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，－427a 3<b <0或⎩
⎪⎨⎪⎧ a <0，0<b <－427a 3. 又b ＝c －a ，所以当a >0时，427a 3－a ＋c >0或当a <0时，427
a 3－a ＋c <0. 设g (a )＝427
a 3－a ＋c ，因为函数f (x )有三个零点时，a 的取值范围恰好是(－∞，－3)∪⎝⎛⎭⎫1，32∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞，
则在(－∞，－3)上g (a )<0，
且在⎝⎛⎭⎫1，32∪⎝⎛⎭
⎫32，＋∞上g (a )>0均恒成立， 从而g (－3)＝c －1≤0，且g ⎝⎛⎭⎫32＝c －1≥0，因此c ＝1.
此时，f (x )＝x 3＋ax 2＋1－a ＝(x ＋1)[x 2＋(a －1)x ＋1－a ]．
因为函数有三个零点，则x 2＋(a －1)x ＋1－a ＝0有两个异于－1的不等实根，
所以Δ＝(a －1)2－4(1－a )＝a 2＋2a －3>0，且(－1)2－(a －1)＋1－a ≠0，
解得a ∈(－∞，－3)∪⎝⎛⎭⎫1，32∪⎝⎛⎭
⎫32，＋∞. 综上c ＝1.。