2019年届步步高大一轮复习讲义二29.doc

§2.9函数的应用

2014 高考会这样考 1.综合考查函数的性质； 2.考查一次函数、二次函数、分段函数及基本初等函数的建模问题； 3.考查函数的最值．

复习备考要这样做 1.讨论函数的性质一定要先考虑定义域； 2.充分搜集、应用题目信息，正确建立函数模型； 3.注重函数与不等式、数列、导数等知识的综合．

1．几类函数模型及其增长差异

(1)几类函数模型

函数模型

一次函数模型

反比例函数模型

二次函数模型

指数函数模型

对数函数模型

幂函数模型

(2)三种函数模型的性质

函数

y＝ a x(a>1)

性质

在 (0，＋∞ )上的

单调递增

增减性

增长速度越来越快

随 x 的增大逐渐表现为图像的变化

与 y 轴平行值的比较存在一个

函数解析式

f(x)＝ ax＋ b (a、 b 为常数， a≠ 0)

f(x)＝

k

x＋ b (k， b 为常数且 k≠ 0)

f(x)＝ ax2＋ bx＋c

(a， b， c 为常数， a≠0)

f(x)＝ ba x＋ c

(a，b， c 为常数， b≠ 0， a>0 且 a≠ 1)

f(x)＝ blog a x＋ c

(a，b， c 为常数， b≠ 0， a>0 且 a≠ 1)

n

y＝ log a x(a>1)y＝ x n( n>0)

单调递增单调递增

越来越慢相对平稳随 x 的增大逐渐表现为随 n 值变化而

与 x 轴平行各有不同

n x

x0，当 x>x0时，有 log a x

2.解函数应用问题的步骤(四步八字 )

(1) 审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；

(2) 建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；

(3) 解模：求解数学模型，得出数学结论；

(4) 还原：将数学问题还原为实际问题的意义．

以上过程用框图表示如下：

[难点正本

疑点清源 ]

1． 要注意实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域． 2． 解决函数应用问题重点解决以下问题

(1) 阅读理解、整理数据：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关

系，数据的单位等等；

(2) 建立函数模型：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记考察函数的定义域；

(3) 求解函数模型：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大 (小 )值，计算函数的

特殊值等，注意发挥函数图像的作用；

(4) 回答实际问题结果：将函数问题的结论还原成实际问题，结果明确表述出来．

1． 某物体一天中的温度 T(单位：℃ )是时间 t(单位： h)的函数： T(t)＝ t 3 －3t ＋60， t ＝ 0 表示中午

12∶ 00，其后 t 取正值，则下午 3 时的温度为 ________．

答案

78℃

解析

T(3)＝ 33－ 3× 3＋ 60＝ 78(℃ )．

2． 某工厂生产某种产品固定成本为 2 000 万元，并且每生产一单位产品， 成本增加 10 万元．又

知总收入 K 是单位产品数

Q 的函数， K (Q) ＝ 40Q － 201Q 2

，则总利润

L(Q)的最大值是

________ 万元．

答案

2 500

解析

L(Q)＝ 40Q － 201Q 2

－ 10Q － 2 000

＝－ 201Q 2

＋30Q － 2 000

＝－ 201

(Q －300)2＋ 2 500

当 Q ＝300 时， L(Q)的最大值为 2 500 万元．

3． (2011 湖·北 )放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，

其含量不断减少，

这种现象称为衰变． 假设在放射性同位素铯

137 的衰变过程中， 其含量 M(单位：太贝克 )

与时间 t(单位： 年 )满足函数关系： M(t)＝ M 02－ t

，其中 M 0 为 t ＝ 0 时铯 137 的含量． 已

30

知 t ＝30 时，铯 137 含量的变化率 是－ 10ln 2( 太贝克 /年 )，则 M(60)等于 ( )

．．．

A ．5 太贝克

B ． 75ln 2 太贝克

C ． 150ln 2 太贝克

D ． 150 太贝克

答案

D

解析

∵ M ′(t)＝－ 1

t

30M 02－ 30·ln 2 ，

∴ M ′ (30)＝－ 1 ×1

M 0ln 2 ＝－ 10ln 2 ， ∴ M 0＝

600. 30 2

∴ M( t)＝ 600× 2－ 30t

， ∴M (60)＝600× 2

－2

＝ 150( 太贝克 )．

4． 某企业第三年的产量比第一年的产量增长

下结论正确的是

A ． x>22%

B ． x<22%

C ． x ＝ 22%

D ． x 的大小由第一年的产量确定

答案

B

44%，若每年的平均增长率相同

(设为

(

x)，则以

)

解析

设第一年的产量为

a ，则 a(1＋ x)2＝ a(1＋ 44%) ，

∴ x ＝ 20%.

5． 某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费

y 1 与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货

物的运费 y 2 与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站 10 千米处建仓库，

这两项费用 y 1，y 2 分别是 2 万元和 8 万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在