八年级数学分式的复习
八年级数学期末复习资料《分式》复习题
《分式》期末复习题一、填空。
1、在ma y x xy x x 1,3,3,21,21,12+++π中，分式的个数是 个。
2、使分式2xx +有意义的x 的取值范围是 。
3、如果分式2xx-的值为0，那么x 为 。
4、要使分式231x x +-有意义，则x 需满足的条件为．5、．若关于x 的分式方程222-=--x m x x 有增根，则m 的值为__________.6、若分式242--x x 的值为0，则x 的值为 ．7、 分式28,9,12zyx xy z x x z y -+-的最简公分母是 。
8、用科学记数法表示-0.0000064记为 。
9、计算：=-321)(b a ；=+-23π ；－3－2= ；10、 计算：3)32(x y -= ()()23323a b ab ----⨯＝11、化简分式2b ab b+的结果为 。
12、分式,21xxyy51,212-的最简公分母为 ；13、约分：=-2264xyy x ；932--x x = ；14、如果2a b=，则2222a ab b a b-++= 。
15、计算a b a b b a a +⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭的结果为 。
计算：222a a b b b a ⎛⎫-÷= ⎪⎝⎭．16、计算：2933aa a -=-- ．ab b ba a -+-＝ ；17、如果把分式yx x232-中的x,y 都扩大3倍，那么分式的值（ ）A 扩大3倍B 不变C 缩小3倍D 扩大2倍 18、已知113x y-=,则代数式21422x xy y x xy y----的值为 。
二、计算。
（1）222x y xy x yx y+--- （2）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x x y 11（3）()dcdb a cab 234322222-∙-÷（4）111122----÷-a a a a a a⑷2222x yxy y x xx ⎛⎫--÷- ⎪⎝⎭102006)21()23()1(-+---（5）、化简求值：23331111x x x x x -÷-+--，其中x=2。
八年级(下)数学期中专题复习(分式)
（一）分式的加减1．计算：x x y ++yy x+=________． 2.计算：32b a -32a a =________．3．计算：32ab +214a=________． 4．计算：2129m -+23m -+23m +．5．计算：21a -+21(1)a -=________． 6．当分式211x --21x +-11x -的值等于零时，则x=_________． 7．已知a+b=3，ab=1，则a b +ba的值等于________ 8．化简1x +12x +13x 等于（ ） A ．12x B ．32x C ．116x D ．56x9．计算34x x y -+4x y y x +--74yx y-得（ ）A ．-264x y x y +- B ．264x yx y+- C ．-2 D ．210．计算a-b+22b a b+得（ ）A ．22a b b a b -++B ．a+bC ．22a b a b ++ D ．a-b11.计算：222x x x +--2144x x x --+． 12.计算：21x x --x-1．13.先化简，再求值:3a a --263a a a +-+3a，其中a=32（二）分式乘除一、选择题1、计算（2x y）2·（2y x ）3÷（-y x ）4得（ ）A ．x 5B ．x 5yC ．y 5D ．x 152、计算（2x y）·（y x ）÷（-y x ）的结果是（ ）A ．2x yB ．-2x y C ．x y D ．-x y3、化简：（3x y z ）2·（xzy）·（2yz x ）3等于（ ）A ．232y z xB ．xy 4z 2C ．xy 4z 4D ．y 5z4、（-3ab）÷6ab 的结果是（ ） A ．-8a 2B ．-2a bC ．-218a bD ．-212b5、-3xy ÷223y x的值等于（ ）A ．-292x yB ．-2y 2C ．-229y xD ．-2x 2y2二、计算：1、（-223a b c）3． 2、（2b a ）2÷（b a -）·（-34b a ）3．3、2223x y mn ·2254m n xy÷53xym n ． 4、22121a a a -++÷21a a a -+．5、2216168m m m -++÷428m m -+·22m m -+．（三） 分式方程1．在有理式2x ，13（x+y ），53π-，21x a -，36x y +中，分式有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如果分式43311x x +-无意义，则x 的值是（ ）A ．x ≠0B ．x ≠113C ．x=113D ．x ≠-343．分式214x -，42xx-的最简公分母为（ ）A ．（x+2）（x-2）B ．-2（x+2）（x-2）C ．2（x+2）（x-2）D ．-（x+2）（x-2） 4．•在解方程43x -+254x +=•1•时，•需要去分母时，•可以把方程两边都乘以_______，•根据是______． 5.下列方程中①35x -=1，②3x =2，③15x x ++=12，④2x +2x =5中是分式方程的有（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．②③④ 6.把分式方程224x -=32x化为整式方程，方程两边需同时乘以（ ） A ．2x B ．2x-4 C ．2x （x-2） D ．2x （2x-4）7.解方程：10．（拓展题）如果解分式方程242x x --2xx -=-2出现增根，则增根为（ ）A ．0或2B ．0C ．2D ．1 8.（拓展题）若关于x 的方程211k x ---21x x -=25k x x-+有增根x=-1，那么k 的值为（ ）A ．1B ．3C ．6D ．9 二、解方程： （1）27x x ++23x x -=261x -； （2）25x x --1=552x-．三、若关于x 的方程21x x x +--13x =33x kx +-有增根，求增根和k 的值．（四）分式专项训练（1）1．若分式x yx y+-中的x 、y 的值都变为原来的3倍，则此分式的值 （ ） A 、不变 B 、是原来的3倍 C 、是原来的13 D 、是原来的162．某校学生暑假乘汽车到外地参加夏令营活动，目的地距学校120km 。
2022年人教版八年级下册数学培优训练——《分式》全章复习与巩固(基础)知识讲解
《分式》全章复习与巩固（基础）【学习目标】1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.2．了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则．3．掌握分式的四则运算．4．结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想．【知识网络】【要点梳理】要点一、分式的有关概念及性质1．分式一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.要点诠释：分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式AB才有意义.2.分式的基本性质（M为不等于0的整式）.3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简. 要点二、分式的运算1．约分利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.2．通分利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．3．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:（1）加减运算 a b a b c c c ±±= ；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. ；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.（2）乘法运算 a c ac b d bd⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bd ≠. 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算 a c a d ad b d b c bc÷=⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bcd ≠. 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘.（4）乘方运算分式的乘方，把分子、分母分别乘方.4.分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.要点三、分式方程1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根－－－增根.要点诠释：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解.要点四、分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解.【典型例题】类型一、分式及其基本性质1、在ma y x xy x x x x 1,3,3,)1(,21,12+++π中，分式的个数是（ ） A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C ；【解析】()21131x x a x x x y m+++，，，是分式. 【总结升华】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．2、当x 为何值时，分式293x x -+的值为0？ 【思路点拨】先求出使分子为0的字母的值，再检验这个值是否使分母的值等于0，当它使分母的值不等于0时，这个值就是要求的字母的值．【答案与解析】解： 要使分式的值为0，必须满足分子等于0且分母不等于0．由题意，得290,30.x x ⎧-=⎨+≠⎩解得3x =． ∴ 当3x =时，分式293x x -+的值为0． 【总结升华】分式的值为0的条件是：分子为0，且分母不为0，即只有在分式有意义的前提下，才能考虑分式值的情况. 举一反三：【变式】（1）若分式的值等于零，则x ＝_______；（2）当x ________时，分式没有意义．【答案】（1）由24x -＝0，得2x =±. 当x ＝2时x －2＝0，所以x ＝－2；（2）当10x -=，即x ＝1时，分式没有意义． 类型二、分式运算3、计算：2222132(1)441x x x x x x x -++÷-⋅++-． 【答案与解析】解：222222132(1)(1)1(2)(1)(1)441(2)(1)1x x x x x x x x x x x x x x -+++-++÷-⋅=⋅⋅++-+-- 22(1)(2)(1)x x x +=-+-． 【总结升华】本题有两处易错：一是不按运算顺序运算，把2(1)x -和2321x x x ++-先约分；二是将(1)x -和(1)x -约分后的结果错认为是1．因此正确掌握运算顺序与符号法则是解题的关键．举一反三：【变式】（2020•滨州）化简：÷（﹣）【答案】解：原式=÷=• =﹣． 类型三、分式方程的解法4、（2020•呼伦贝尔）解方程：．【思路点拨】观察可得最简公分母是（x ﹣1）（x +1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【答案与解析】解：方程的两边同乘（x ﹣1）（x +1），得3x +3﹣x ﹣3=0，解得x=0．检验：把x=0代入（x ﹣1）（x +1）=﹣1≠0．∴原方程的解为：x=0．【总结升华】本题考查了分式方程的解法，注：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．举一反三：【变式】()1231244x x x -=---， 【答案】解： 方程两边同乘以()24x -，得()()12422332x x x =---=-∴ 检验：当32x =-时，最简公分母()240x -≠， ∴32x =-是原方程的解．类型四、分式方程的应用5、（2020•东莞二模）某市为治理污水，需要铺设一条全长为600米的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的工效比原计划增加20%，结果提前5天完成这一任务，原计划每天铺设多少米管道？【思路点拨】先设原计划每天铺设x 米管道，则实际施工时，每天的铺设管道（1+20%）x 米，由题意可得等量关系：原计划的工作时间﹣实际的工作时间=5，然后列出方程可求出结果，最后检验并作答．【答案与解析】解：设原计划每天铺设x 米管道，由题意得： ﹣=5，解得：x=20，经检验：x=20是原方程的解．答：原计划每天铺设20米管道．【总结升华】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．举一反三：【变式】小明家、王老师家、学校在同一条路上，并且小明上学要路过王老师家，小明到王老师家的路程为3 km ，王老师家到学校的路程为0.5 km ，由于小明的父母战斗在抗震救灾第一线，为了使他能按时到校、王老师每天骑自行车接小明上学．已知王老师骑自行车的速度是他步行速度的3倍，每天比平时步行上班多用了20 min ，王老师步行的速度和骑自行车的速度各是多少?【答案】解：设王老师步行的速度为x km/h ，则他骑自行车的速度为3x km/h ． 根据题意得：230.50.520360x x ⨯+=+． 解得：5x =．经检验5x =是原方程的根且符合题意．当5x =时，315x =．答：王老师步行的速度为5km/h ，他骑自行车的速度为15km/h ．。
八年级初二数学_分式的复习知识点、练习和答案_全面详细易懂
第十六章 分式16．1分式16.1.1从分数到分式1．重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件.2．难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件.随堂练习1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 9x+4, x 7 , 209y +, 54-m , 238y y -，91-x 2. 当x 取何值时，下列分式有意义？5-x y 8+ ）（7-x x 71 6)m m m +（ 3. 当x 为何值时，分式的值为0？2-x x y564)-x 2)-x x （（ ()7m 245y y 2++16.1.2分式的基本性质1．重点: 理解分式的基本性质. 2．难点: 灵活应用分式的基本性质将分式变形.随堂练习1．填空： (1) x x x 3222+= ()3+x (2) 32386b b a =()33a （3) c a b ++1=()cn an + (4) ()222y x y x +-=()y x -2．约分：（1）c ab b a 2263 （2）2228m n n m （3）532164xyzyz x - （4）x y y x --3)(23．通分：（1）321ab 和c b a 2252 （2）xya 2和23xb 2316．2分式的运算16．2．1分式的乘除(一)1．重点：会用分式乘除的法则进行运算.2．难点：灵活运用分式乘除的法则进行运算 .随堂练习计算（1）ab c 2c b a 22⋅ （2）322542n mm n ⋅- （3）⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷x x y 27 （4）-8xy xy 52÷16．2．1分式的乘除(二)1．重点：熟练地进行分式乘除法的混合运算.2．难点：熟练地进行分式乘除法的混合运算.随堂练习计算 (1))2(216322ba a bc ab -⋅÷ (2)（2）103326423020)6(25ba c c ab b ac ÷-÷ （3）x y y x x y y x -÷-⋅--9)()()(3432 （4）（4）22222)(x y x xy y xy x x xy -⋅+-÷-16．2．1分式的乘除(三)1．重点：熟练地进行分式乘方的运算.2．难点：熟练地进行分式乘、除、乘方的混合运算.随堂练习1．判断下列各式是否成立，并改正.（1）23)2(a b =252a b （2）2)23(a b -=2249ab - （3）3)32(x y -=3398xy （4）2)3(b x x -=2229b x x - 2．计算 (1) 22)35(y x （2）332)23(c b a - （3）32223)2()3(x ay xy a -÷ （4）23322)()(z x z y x -÷- 5))()()(422xy xy y x -÷-⋅- (6)232)23()23()2(ayx y x x y -÷-⋅- 16．2．2分式的加减（一）1．重点：熟练地进行异分母的分式加减法的运算.2．难点：熟练地进行异分母的分式加减法的运算.随堂练习计算 (1)ba ab b a b a b a b a 22255523--+++（2）m n m n m n m n n m -+---+22（3）96312-++a a16．2．2分式的加减（二）1．重点：熟练地进行分式的混合运算.2．难点：熟练地进行分式的混合运算.随堂练习计算 (1) xx x x x 22)242(2+÷-+- （2）)11()(b a a b b b a a -÷--- （3）)2122()41223(2+--÷-+-a a a a 答案六、（1）2x （2）ba ab - （3）3 16．2．3整数指数幂1．重点：掌握整数指数幂的运算性质.2．难点：会用科学计数法表示小于1的数.随堂练习1.填空（1）-22= （2）(-2)2= （3）(-2) 0=（4）20= ( 5）2 -3= ( 6）(-2) -3=2.计算(1) (x 3y -2)2 （2）x 2y -2 ·(x -2y)3 (3)(3x 2y -2) 2 ÷(x -2y)3六、1.（1）-4 （2）4 （3）1 （4）1（5） 81 （6）81- 2.（1）46y x （2）4x y （3） 7109yx 16．3分式方程(一)1．重点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是 原方程的增根.2．难点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是 原方程的增根.随堂练习解方程 (1)623-=x x (2)（2）1613122-=-++x x x （3）114112=---+x x x1．重点：利用分式方程组解决实际问题.2．难点：列分式方程表示实际问题中的等量关系.1、甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材，甲单独整理需要40分完工；若甲、乙共同整理20分钟后，乙需要再单独整理20分才能完工。
初二数学分式重点知识点归纳
初⼆数学分式重点知识点归纳 初⼆开始学习数学的分数知识了，初⼆的分式，⼜是数学的⼀⼤难题，所以学好数学分式，经常整理好分式知识点是很有必要的。
下⾯是店铺分享给⼤家的初⼆数学分式重点知识点，希望⼤家喜欢! 初⼆数学分式重点知识点⼀ (⼀)运⽤公式法： 我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。
如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。
于是有： a2-b2=(a+b)(a-b) a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2 如果把乘法公式反过来，就可以⽤来把某些多项式分解因式。
这种分解因式的⽅法叫做运⽤公式法。
(⼆)平⽅差公式 1.平⽅差公式 (1)式⼦：a2-b2=(a+b)(a-b) (2)语⾔：两个数的平⽅差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
这个公式就是平⽅差公式。
(三)因式分解 1.因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进⼀步分解。
2.因式分解，必须进⾏到每⼀个多项式因式不能再分解为⽌。
(四)完全平⽅公式 (1)把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2和(a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到： a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2 这就是说，两个数的平⽅和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平⽅。
把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式⼦叫完全平⽅式。
上⾯两个公式叫完全平⽅公式。
(2)完全平⽅式的形式和特点 ①项数：三项 ②有两项是两个数的的平⽅和，这两项的符号相同。
③有⼀项是这两个数的积的两倍。
(3)当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再⽤公式分解。
(4)完全平⽅公式中的a、b可表⽰单项式，也可以表⽰多项式。
这⾥只要将多项式看成⼀个整体就可以了。
(5)分解因式，必须分解到每⼀个多项式因式都不能再分解为⽌。
(五)分组分解法 我们看多项式am+an+bm+bn，这四项中没有公因式，所以不能⽤提取公因式法，再看它⼜不能⽤公式法分解因式. 如果我们把它分成两组(am+an)和(bm+bn)，这两组能分别⽤提取公因式的⽅法分别分解因式. 原式=(am+an)+(bm+bn) =a(m+n)+b(m+n) 做到这⼀步不叫把多项式分解因式，因为它不符合因式分解的意义.但不难看出这两项还有公因式(m+n)，因此还能继续分解，所以 原式=(am+an)+(bm+bn) =a(m+n)+b(m+n) =(m+n)?(a+b). 这种利⽤分组来分解因式的⽅法叫做分组分解法.从上⾯的例⼦可以看出，如果把⼀个多项式的项分组并提取公因式后它们的另⼀个因式正好相同，那么这个多项式就可以⽤分组分解法来分解因式. (六)提公因式法 1.在运⽤提取公因式法把⼀个多项式因式分解时，⾸先观察多项式的结构特点，确定多项式的公因式.当多项式各项的公因式是⼀个多项式时，可以⽤设辅助元的⽅法把它转化为单项式，也可以把这个多项式因式看作⼀个整体，直接提取公因式;当多项式各项的公因式是隐含的时候，要把多项式进⾏适当的变形，或改变符号，直到可确定多项式的公因式. 2.运⽤公式x2+(p+q)x+pq=(x+q)(x+p)进⾏因式分解要注意： ⑴.必须先将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和等于⼀次项的系数. ⑵.将常数项分解成满⾜要求的两个因数积的多次尝试，⼀般步骤：a.列出常数项分解成两个因数的积各种可能情况;b.尝试其中的哪两个因数的和恰好等于⼀次项系数. 3.将原多项式分解成(x+q)(x+p)的形式. (七)分式的乘除法 1.把⼀个分式的分⼦与分母的公因式约去，叫做分式的约分. 2.分式进⾏约分的⽬的是要把这个分式化为最简分式. 3.如果分式的分⼦或分母是多项式，可先考虑把它分别分解因式，得到因式乘积形式，再约去分⼦与分母的公因式.如果分⼦或分母中的多项式不能分解因式，此时就不能把分⼦、分母中的某些项单独约分. 4.分式约分中注意正确运⽤乘⽅的符号法则，如x-y=-(y-x)，(x-y)2=(y-x)2，(x-y)3=-(y-x)3. 5.分式的分⼦或分母带符号的n次⽅，可按分式符号法则，变成整个分式的符号，然后再按-1的偶次⽅为正、奇次⽅为负来处理.当然，简单的分式之分⼦分母可直接乘⽅. 6.注意混合运算中应先算括号，再算乘⽅，然后乘除，最后算加减. 初⼆数学分式重点知识点⼆ 分数的加减法 1.通分与约分虽都是针对分式⽽⾔，但却是两种相反的变形.约分是针对⼀个分式⽽⾔，⽽通分是针对多个分式⽽⾔;约分是把分式化简，⽽通分是把分式化繁，从⽽把各分式的分母统⼀起来. 2.通分和约分都是依据分式的基本性质进⾏变形，其共同点是保持分式的值不变. 3.⼀般地，通分结果中，分母不展开⽽写成连乘积的形式，分⼦则乘出来写成多项式，为进⼀步运算作准备. 4.通分的依据：分式的基本性质. 5.通分的关键：确定⼏个分式的公分母. 通常取各分母的所有因式的最⾼次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母. 6.类⽐分数的通分得到分式的通分： 把⼏个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分. 7.同分母分式的加减法的法则是：同分母分式相加减，分母不变，把分⼦相加减。
八年级数学上册第二章分式与分式方程复习课件(30张PPT)
经检验:x＝30 是原方程的解, 所以 1.5x＝45 答：实际有 45 人参加了植树活动。
评注：1、分式方程解应用题应相应地增加检验的过程。 2、要注意灵活设未知数。
列方程解应用题：
例4、甲、乙两人分别从相距36千米的 A、B两地同时相向而行，甲从A地出 发到1千米时发现有一物品遗忘在A地 ，立即返回，取过物品后又立即从A地 向B地行进，这样两人恰好在A、B两 地中点处相遇，又知甲比乙每小时多 走0.5千米，求甲、乙两人的速度。
一、分式的概念：
x2 4 1. 若分式 (x 1)(x 2)
若有意义，则x应满足（ B ）
A、x≠-1 C、x≠2
B、x ≠-1且x ≠2 D、x ≠-1或x ≠2
若值为0，则x应满足（ B ）
A、x=2
B、x =-2
C、 x 2 D、x =-1或x =2
二、分式的基本性质
1.若把分式 2x 的yx 和y 都扩大两倍,则分式的值( ) B 3x y
(3)
m2+4m+4
m2 - 4
7.通分
(1) x 与 y
6a2b
9ab2c
a-1
(2) a2+2a+1 与
6 a2-1
计算： 8 9
10
算一算
11、解方程
(1) 2 1 x2 x
(2) x 1 1 3 x2 2x
12、列方程，解应用题： 甲、乙两城间的铁路路程为1600千米，经过技
术改造，列车实施了提速，提速后比提速前速度增 加20千米/时，列车从甲城到乙城行驶时间减少了4 小时，这条铁路在现有条件下安全行驶速度不得超 过140千米/时.请你用学过的数学知识说明在这条 铁路的现有的条件下列车还可以提速.
八年级上册数学-第一章分式复习(1)
第一章 分式复习（1）一、知识结构⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩分式的概念约分分式的性质通分分式的符号变号法则分式乘除法分式的运算乘方加减法分式方程的解法分式方程分式方程的应用二、知识要点： 1.什么叫分式？设f 、g 都是整式，且g 中含有字母，我们把f 除以g 所得的商记作f g ，把fg 叫做分式。
2.分式基本性质设h ≠0,则f f h g g h ⋅=⋅即：分式的分子与分母同时乘以一个非零的多项式，所得分式与原分式相等；分式的分子分母同时约去公因式，所得分式与原分式相等。
3.分式的符号变换法则是什么？,f f f f fg g g g g --===---即：分子、分母、分式本身的符号，任意改变其中两个，分式的值不变。
4.分式的运算法则①分式的乘法：f u f ug v g v⋅⋅=⋅可以先把分子、分母分别相乘再约分，也可以先约分再分子、分母分别相乘。
②分式的除法：f u f v f vg v g u g u⋅÷=⋅=⋅，分式除以分式，把被除式的分子分母颠倒位置后，与被除式相乘。
③分式加减法：同分母：f h f hg g g±±=，分母不变，分子相加减。
异分母:先通分，化为同分母分式加减。
怎样找最简公分母？（三看）系数：取各分母的系数最小公倍数；字母与因式：取所有的；指数：取最高的。
5.整数指数幂的运算法则①同底数的幂的除法：(n m n m na a am -÷=≠、都是正整数，m>n,a 0)②零次幂和负整数指数幂：1(0)a =≠a1(0,nn aa n a-=≠是正整数）11(0a a a -=≠） 负整数指数幂运算通用方法：先取倒数后取正整数次方；或先取正整数次方再取倒数。
③整数指数幂有哪些运算法则：设a ≠0,m,n 都是整数,则：()(),nnm n m nm mnn na a aaa ab a b+⋅===，6.分式有意义（值存在）、无意义（值不存在）、值为0有意义（值存在）：分母不为0无意义（值存在）：分母为0值为0：分子为0且分母不为0三、例题精讲例1、填空：当x=_____,分式()3(5)(1)2x x x --+无意义。
八年级数学__分式复习题
八年级数学 分式复习题1. 分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA叫做分式。
分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件分子为零且分母不为零2.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。
（0≠C ）3.分式的通分和约分：关键先是分解因式4.分式的运算：分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。
分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
分式乘方法则： 分式乘方要把分子、分母分别乘方。
,a b a b a c ad bc ad bc c c c b d bd bd bd±±±=±=±= 分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减混合运算:运算顺序和以前一样。
能用运算率简算的可用运算率简算。
5. 任何一个不等于零的数的零次幂等于1， 即)0(10≠=a a ；当n 为正整数时，n naa 1=- （)0≠a 6.正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂．(m,n 是整数)（1）同底数的幂的乘法：nm n m a a a +=⋅；（2）幂的乘方：mn n m a a =)(; （3）积的乘方：nn n b a ab =)(； （4）同底数的幂的除法：nm nmaa a -=÷( a ≠0)；（5）商的乘方：n nn ba b a =)(()；(b ≠0)7. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。
解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。
解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。
解分式方程的步骤 ：(1)能化简的先化简(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；(3)解整式方程；(4)验根．增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。
数学八下分式
数学八下分式
八年级下册数学课程中有关分式的主题主要包括分式的运算、分式的化简、分式方程等内容。
以下是八年级下册数学中关于分式的一些常见知识点：
1. 分式的乘法和除法：学习如何进行分式的乘法和除法运算，包括分子乘法、分母乘法、分子除法和分母除法等。
2. 分式的加法和减法：掌握分式的加法和减法运算规则，包括通分、合并同类项等操作。
3. 分式的化简：学习如何化简分式，包括约分、提取公因式、分子分母同乘同除等方法，使分式的表达更简洁。
4. 分式方程：解决涉及分式的方程，包括一元一次分式方程和一元二次分式方程等，掌握解题的方法和技巧。
5. 分式的应用：了解分式在实际问题中的应用，如物品分配、比例关系、时间速度等问题，通过分式运算解决实际生活中的计算问题。
八年级下册数学中的分式知识是数学学习中的重要内容，需要通过练习和实践来加深理解和掌握。
建议学生多做练习题，加强对分式运算规则的理解和掌握，提高解决问题的能力和技巧。
人教版数学八年级上册第十五章分式全章复习(第二课时)教学设计
（3）采用分组合作学习，培养学生的团队协作能力和交流表达能力。
2.教学过程：
（1）导入：通过回顾分式的概念，引导学生思考分式在生活中的应用，为新课的学习做好铺垫。
（2）新知传授：以问题为导向，引导学生探究分式的性质和运算法则，总结解题方法。
4.能够利用分式解决一些生活中的优化问题，如折扣、百分比等，提高学生的应用能力。
（二）过程与方法
1.通过对分式的复习，培养学生自主探究、合作交流的学习习惯，提高学生分析问题和解决问题的能力。
2.引导学生运用数形结合的思想，通过绘制图像、列式分析等方法，加深对分式性质和运算的理解。
3.通过设计不同难度的练习题，让学生在解答过程中逐步掌握分式运算的技巧和方法，提高解题效率。
4.引导学生总结分式学习中的常见错误，分析原因，培养学生自我纠正和反思的能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学习的兴趣和热情，激发学生主动参与课堂活动的积极性。
2.通过分式的学习，让学生认识到数学与实际生活的紧密联系，增强学生的应用意识。
3.培养学生严谨、细致的学习态度，提高学生的逻辑思维能力和判断力。
4.鼓励学生面对困难时，保持积极的心态，培养良好的学习习惯和自主学习能力。
在教学过程中，教师要关注学生的个体差异，因材施教，充分调动学生的积极性，使学生在复习分式的过程中，既能巩固基础知识，又能提高解决问题的能力，从而达到教学目标。
二、学情分析
八年级学生在学习分式这一章节时，已经具备了一定的代数基础，掌握了整式的运算和方程求解，这为学习分式打下了基础。然而，分式的概念和运算对学生来说仍存在一定的难度，尤其是在分式的有理化、分式方程的求解等方面，学生容易产生混淆和错误。此外，学生在解决实际问题时，往往难以将分式知识灵活运用，需要教师引导和指导。
人教版八年级上册数学 第十五章分式同步复习题(含详细答案)
人教版八年级上册数学第十五章分式复习题一．选择题1．关于x的分式方程﹣＝0的解为（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．32．某学校食堂需采购部分餐桌，现有A、B两个商家，A商家每张餐桌的售价比B商家的优惠13元．若该校花费2万元采购款在B商家购买餐桌的张数等于花费1.8万元采购款在A商家购买餐桌的张数，则A商家每张餐桌的售价为（）A．117元B．118元C．119元D．120元3．使分式的值为0，这时x应为（）A．x＝±1 B．x＝1C．x＝1 且x≠﹣1 D．x的值不确定4．一个圆柱形容器的容积为Vm3，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水，向容器中注满水的全过程共用时间t 分钟．设小水管的注水速度为x立方米/分钟，则下列方程正确的是（）A．+＝t B．+＝tC．•+•＝t D．+＝t5．春节期间，文具店的一种笔记本8折优惠出售．某同学发现，同样花12元钱购买这种笔记本，春节期间正好可比春节前多买一本．这种笔记本春节期间每本的售价是（）A．2元B．3元C．2.4元D．1.6元6．已知关于x的方程的解是正整数，且k为整数，则k的值是（）A．0 B．﹣2 C．0或6 D．﹣2或67．已知，则的值为（）A．5 B．6 C．7 D．88．已知关于x的方程＝3的解是负数，那么m的取值范围是（）A．m＞﹣6且m≠﹣2 B．m＜﹣6 C．m＞﹣6且m≠﹣4 D．m＜﹣6且m≠﹣29．要使分式有意义，x的取值是（）A．x≠1 B．x≠﹣1 C．x≠±1 D．x≠±1且x≠﹣2 10．随着电子技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占有面积0.00000065mm2，0.00000065用科学记数法表示为（）A．6.5×107B．6.5×10﹣6C．6.5×10﹣8D．6.5×10﹣711．下列各式中，正确的是（）A．B．C．＝b+1 D．＝a+b12．如果分式方程无解，则a的值为（）A．﹣4 B．C．2 D．﹣213．已知关于x的分式方程的解为正数，则k的取值范围为（）A．﹣2＜k＜0 B．k＞﹣2且k≠﹣1 C．k＞﹣2 D．k＜2且k≠1 14．某车间接了生产12000只口罩的订单，加工4800个口罩后，采用了的新的工艺，效率是原来的1.5倍，任务完成后发现比原计划少用了2个小时．设采用新工艺之前每小时可生产口罩x个，依据题意可得方程（）A．＝2B．＝2C．＝2D．＝2二．填空题15．分式的值比分式的值大3，则x的值为．16．若关于x的分式方程，有负数解，则实数a的取值范围是．17．已知分式，当x＝1时，分式无意义，则a＝．18．清代诗人袁枚的一首诗《苔》中写到：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开”，若苔花的花粉直径约为0.0000084米，用科学记数法表示为米．19．对和进行通分，需确定的最简公分母是．20．已知关于x的分式方程+＝．若方程有增根，则m的值为．三．解答题21．计算（1）﹣（2）+﹣（3）（+）÷22．化简求值：，其中x＝．23．中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化．2020年5月21日以“茶和世界共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开．某茶店用4000元购进了A 种茶叶若干盒，用8400元购进B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒，且B 种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.4倍．（1）A，B两种茶叶每盒进价分别为多少元？（2）第一次所购茶叶全部售完后，第二次购进A，B两种茶叶共100盒（进价不变），A 种茶叶的售价是每盒300元，B种茶叶的售价是每盒400元．两种茶叶各售出一半后，为庆祝国际茶日，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5800元（不考虑其他因素），求本次购进A，B两种茶叶各多少盒？24．甲、乙两个服装厂加工同种型号的防护服，甲厂每天加工的数量是乙厂每天加工数量的1.5倍，两厂各加工600套防护服，甲厂比乙厂要少用4天．（1）求甲、乙两厂每天各加工多少套防护服？（2）已知甲、乙两厂加工这种防护服每天的费用分别是150元和120元，疫情期间，某医院紧急需要3000套这种防护服，甲厂单独加工一段时间后另有安排，剩下任务只能由乙单独完成．如果总加工费不超过6360元，那么甲厂至少要加工多少天？25．新型冠状病毒肺炎疫情发生后，全社会积极参与疫情防控工作，某市为了尽快完成100万只口罩的生产任务，安排甲、乙两个大型工厂完成．已知甲厂每天能生产口罩的数量是乙厂每天能生产口罩的数量的1.5倍，并且在独立完成60万只口罩的生产任务时，甲厂比乙厂少用5天．问至少应安排两个工厂工作多少天才能完成任务？参考答案一．选择题1．解：去分母得：2x﹣6﹣5x＝0，解得：x＝﹣2，经检验x＝﹣2是分式方程的解，故选：B．2．解：设A商家每张餐桌的售价为x元，则B商家每张餐桌的售价为（x+13），根据题意列方程得：＝，解得：x＝117，经检验：x＝117是原方程的解．故选：A．3．解：∵分式的值为0，∴x2﹣1＝0，且x+1≠0，解得：x＝1．故选：B．4．解：设小水管的注水速度为x立方米/分钟，可得：，故选：C．5．解：设这种笔记本节日前每本的售价是x元，根据题意得：，解得：x＝3，经检验，x＝3是原方程的解，∴0.8x＝0.8×3＝2.4（元），答：这种笔记本节日期间每本的售价是2.4元，故选：C．6．解：方程去分母，得9﹣3x＝kx，即kx+3x＝9，∴x＝因为原分式方程的解为正整数，且x≠3．所以x＝＝1、2、4、5、6、7、8、9，又因为k为整数，所以k＝﹣2或6．故选：D．7．解：∵，∴（a+）2＝9，即a2+2+＝9，则＝7，故选：C．8．解：去分母，得2x﹣m＝3x+6，∴x＝﹣m﹣6．由于方程的解为负数，∴﹣m﹣6＜0且﹣m﹣6≠﹣2，解得m＞﹣6且m≠﹣4．故选：C．9．解：要使分式有意义，则x+1≠0，解得：x≠﹣1，故选：B．10．解：0.00000065＝6.5×10﹣7．故选：D．11．解：与在a＝0或a＝b时才成立，故选项A不正确；＝＝，故选项B正确；＝b+，故选项C不正确；不能化简，故选项D不正确；故选：B．12．解：去分母得：x＝2（x﹣4）﹣a解得：x＝a+8根据题意得：a+8＝4解得：a＝﹣4．故选：A．13．解：去分母得：x﹣2（x﹣1）＝k，去括号得：x﹣2x+2＝k，解得：x＝2﹣k，由分式方程的解为正数，得到2﹣k＞0，且2﹣k≠1，解得：k＜2且k≠1，故选：D．14．解：设采用新工艺之前每小时可生产口罩x个，则采用新工艺之后每小时可生产口罩1.5x个，依题意，得：﹣＝2．故选：D．二．填空题（共6小题）15．解：根据题意得：﹣＝3，去分母得：x﹣3﹣1＝3x﹣6，移项合并得：﹣2x＝﹣2，解得：x＝1，经检验x＝1是分式方程的解，故答案为：1．16．解：，分式方程去分母得：1﹣x﹣3＝a，移项合并得：﹣x＝a+2，解得：x＝﹣a﹣2，∵分式方程的解为负数，∴﹣a﹣2＜0且﹣a﹣2+3≠0，解得：a＞﹣2且a≠1．故答案为：a＞﹣2且a≠1．17．解：把x＝1代入得：，此时分式无意义，∴a﹣3＝0，解得a＝3．故答案为：3．18．解：0.0000084＝8.4×10﹣6，故答案为：8.4×10﹣6．19．解：分式和的分母分别是2（x+y）、（x+y）（x﹣y）．则最简公分母是2（x+y）（x﹣y）．故答案是：2（x+y）（x﹣y）．20．解：若原分式方程有增根，则（x+2）（x﹣2）＝0，所以x＝﹣2 或x＝2，当x＝﹣2 时，﹣2m＝﹣8．得m＝4，当x＝2 时，2m＝﹣8．得m＝﹣4，所以若原分式方程有增根，则m＝±4；故答案为：±4．三．解答题（共5小题）21．解：（1）﹣＝+＝；（2）+﹣＝+﹣＝＝＝﹣；（3）（+）÷＝•＝x﹣1．22．解：原式＝•＝＝﹣x（x+1）＝﹣x2﹣x当x＝时，原式＝﹣2﹣．23．解：（1）设A种茶叶每盒进价为x元，则B种茶叶每盒进价为1.4x元，依题意，得：﹣＝10，解得：x＝200，经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意，∴1.4x＝280．答：A种茶叶每盒进价为200元，B种茶叶每盒进价为280元．（2）设第二次购进A种茶叶m盒，则购进B种茶叶（100﹣m）盒，依题意，得：（300﹣200）×+（300×0.7﹣200）×+（400﹣280）×+（400×0.7﹣280）×＝5800，解得：m＝40，∴100﹣m＝60．答：第二次购进A种茶叶40盒，B种茶叶60盒．24．解：（1）设乙厂每天加工x套防护服，则甲厂每天加工1.5x套防护服，根据题意，得﹣＝4．解得x＝50．经检验：x＝50是所列方程的解．则1.5x＝75．答：甲厂每天加工75套防护服，乙厂每天加工50套防护服；（2）设甲厂要加工m天，根据题意，得150m+120×≤6360．解得m≥28．答：甲厂至少要加工28天．25．解：设乙厂每天能生产口罩x万只，则甲厂每天能生产口罩1.5x万只，依题意，得：﹣＝5，解得：x＝4，经检验，x＝4是原方程的解，且符合题意，∴1.5x＝6．再设应安排两个工厂工作y天才能完成任务，依题意，得：（6+4）y≥100，解得：y≥10．答：至少应安排两个工厂工作10天才能完成任务．。
人教版八年级上册数学教案：第十五章分式复习与小结
3．分式的运算法则：
（1）乘法法则
（2）除法法则
（3）分式的乘方
（4）加减法则
4．解分式方程的步骤
各小组代表汇报小组合作学习成果，并讨论各小组提出的疑难问题。
班级集体讨论给出各种解决方案．师生共同解决疑难，记录要点。
巩
固
拓
展
练习：
P158 练习 1 ， 2 ， 3
小结：
本节课你有何收获？
课时教案
课题
复习与小结
第 1课时
总第73课时
教学目标
知识与技能：1.理解分式定义，掌握分式有意义的条件。
2.掌握分式的加减乘除运算及混合运算。
过程与方法：掌握分式方程的解法，会列分式方程解决实际问题。
情感态度与价值观：经历建立分式方程模型解决实际问题的过程，体会数学模型的应用价值，从而提高学习数学的兴趣.
重点
分式加减乘除混合运算及分式方程
教具
三角尺
难点
列分式方程解决实际问题
学具
三角尺
教师活动
学生活动
前
置
性
学
习
教师抽查学生的前置性作业的完成情况批改，并向老师汇报作业中存在的问题。
小
组
合
作
学
习
1.下列代数式中： , ， 是分式的有______________
2．当x满足__________时，分式 有意义。当x=__________时，分式 的值为零，当x满足____________时，分式 值为正
小组内个人展示先学成果，相互交流，明确答案。
对疑难问题，小组内共同讨论完成。
提出质疑，组长解答。
汇
报
交
初中八年级的分式学习知识点总结计划及总结复习
分式知识点总结及章末复习知识点一：分式的定义一般地，如果 A ， B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子A叫做分式， A 为分子， B 为分母。
B知识点二：与分式有关的条件①分式有意义：分母不为 0〔 B0〕②分式无意义：分母为 0〔 B0 〕③分式值为 0：分子为0 且分母不为 0〔A 0B 〕0 ④分式值为正或大于0：分子分母同号〔A 0 A 0 〕B 0 或B⑤分式值为负或小于0：分子分母异号〔A 0 A 0 〕B或B⑥分式值为 1：分子分母值相等〔 A=B 〕⑦分式值为 -1 ：分子分母值互为相反数〔 A+B=0〕经典例题1、代数式 41 〕 A. 单项式B.多项式C.分式D.整式是〔x2、在 2， 1( x y) ，3，a 5 ， 2xy中，分式的个数为〔〕x 3x43、总价 9 元的甲种糖果和总价是 9 元的乙种糖果混合，混合后所得的糖果每千克比甲种糖果廉价 1 元，比乙种糖果贵 0.5 元，设乙种糖果每千克x 元，因此，甲种糖果每千克元，总价9 元的甲种糖果的质量为千克 .4、当 a 是任何有理数时，以下式子中一定有意义的是〔〕a 1B.a 1C.a 1 D.a1 A.aa 2a21a 215、当 x1 时，分式① x 1 ，②x1，③ x 1，④1 中，有意义的是〔〕 A. ①③④ B.x 12x 2C. x 2 1x 3 1 D.③④②④ ④6、当 a1 时，分式a1 〔〕 A. 等于 0B.等于 1a 2 17、使分式8x4的值为 0，那么 x 等于〔〕 A. 3B.8x 388、假设分式x 2 1 的值为 0，那么 x 的值是〔〕或－ 1x2x 2C.等于－ 1D. 无意义18 D.1 2C.23C.－1 D.－ 29、当 x时，分式x1的值为正数 .10、当 x时，分式x1的值为负数 .x 1x 111、当 x时，分式x 1的值为 1.3x212、分式1有意义的条件是〔 〕 A. x0 B.x1 且 x0 C. x2 且 x 0D.x1 且 x 21 11 x13、如果分式x 3〕 A. xB.x3 C.x 0 且 x 3D.x3x的值为 1，那么 x 的值为〔314、以下命题中，正确的有〔 〕① A 、 B 为两个整式，那么式子A叫分式；② m 为任何实数时，分式m 1有意义；Bm 3③分式 1 有意义的条件是x 4 ；④整式和分式统称为有理数. w ww.x kb1.2 16xA.1 个B .2 个个个15、在分式 x 2ax 中 a 为常数，当 x 为何值时，该分式有意义？当 x 为何值时，该分式的值为 0？x 2x 2知识点三：分式的根本性质分式的分子和分母同乘〔或除以〕一个不等于0 的整式，分式的值不变。
八年级分式知识点归纳总结
八年级分式知识点归纳总结分式作为数学中重要的概念之一，在八年级的数学学习中占据着重要的地位。
了解和掌握分式的相关知识点对于学生的数学学习至关重要。
本文将就八年级分式的各个知识点进行总结和归纳，并提供一些解题技巧和注意事项。
一、分式的基本概念分式由分子和分母构成，可以用来表示两个数之间的比值关系。
其中，分子表示被分割的部分，分母表示分割的总数。
例如，$\frac{3}{4}$表示将一个整体分成4份后的3份。
二、分式的化简与简化当分式的分子和分母存在公因数时，可以对分子和分母进行因式分解后约分，从而简化分式。
例如，$\frac{6}{8}$可以化简为$\frac{3}{4}$。
三、分式的四则运算1. 分式的加法和减法：当分式的分母相同时，只需对分子进行相加或相减即可；当分式的分母不同时，需要找到它们的最小公倍数，然后进行通分，最后再进行加法或减法。
2. 分式的乘法：将两个分式的分子相乘，分母相乘。
3. 分式的除法：将两个分式的第二个数取倒数，然后进行乘法运算。
四、分式的混合运算分式与整数或代数式进行混合运算时，可以先化简分式，再进行相应的运算。
例如，$2\frac{1}{3} + \frac{4}{5}$可以先化简为$\frac{7}{3} + \frac{4}{5}$，然后进行通分得到$\frac{35}{15} + \frac{12}{15}$，最后得到$\frac{47}{15}$。
五、分式方程的解法对于分式方程的解法，我们需要通过化简和变形将其转化为整式方程。
例如，$\frac{x}{3} + \frac{1}{5} = 1$可以将其通过通分得到$\frac{5x + 3}{15} = 1$，然后通过等式两边的乘法和加法运算，解得$x = 4$。
六、分式的应用分式在实际问题中有广泛的应用。
例如，在比例问题中，可以将比例关系用分式表示；在容器问题中，可以将容积与总量的比例用分数表示；在时间问题中，可以将时间与速度的关系用分式表示等等。
人教版八年级数学《分式》期末复习一
分式复习一1、分式的概念：形如BA ,其中A ,B 都是整式, 且B 中含有字母。
.例1：下列式子：（1）b a b a +- （2）π32-x （3）14-x （4）2x属于分式的有（1）（3} 。
例2：有理式x2，)(31y x +，3-πx ，x a -5，42yx -中，分式有（ B ）。
（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个小练习： 1．下列各式：x 2、22+x 、x xyx -、33yx +、23+πx 、()()1123-++x x x 中，分式有（C ）A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 2．下列各式：()xx x x y x x x 2225 ,1,2 ,34 ,151+---π中，分式有 。
2、分式是否有意义：对于分式A B来说，当分母B ≠0时，分式A B有意义；当分母B=0时，分式A B无意义。
例3、分式322--x x 有意义，则x 取值为（ C ）。
（A ）2≠x （B ）3≠x （C ）23≠x （D ）23-≠x例4、当x 时，分式42-x x无意义。
小练习：1、当x ≠ 3时，代数式32-x 有意义．当38-时，分式8x 32x +-无意义；2、当x 时分式xx2121-+有意义。
3、使分式24xx -有意义的x 的取值范围是（Ｂ） A. 2x = B.2x ≠ C.2x =- D.2x ≠-4、列分式中，一定有意义的是（D ）（A ）152--x x （B ）yy 312+ （C ）12+x x （D ）112+-y y3、分式A B等于0，则分子A=0，且B ≠0。
例5、若分式xx-+44的值为0，则x 值为（ a ）。
（A ）4-=x （B ）4=x （C ）0=x （D ）0≠x例6、若分式293x x-+的值为0，则x 的值为（ B ）。
（A ）3=x （B ）3-=x （C ）3x =± （D ）不存在小练习：1、若分式112+-x x 的值为0，则x 的取值为（ A ）A 、1=xB 、1-=xC 、1±=xD 、无法确定2、分式392--x x 当x = -3 时分式的值为零。
人教版八年级数学上册第15章 分式 小结与复习
因为 ( 3)2 ( 3)2 3，所以小玲的计算结果也正确.
例4
解析：本题若先求出 a 的值，再代入求值，显
然比较复杂；但是如果将分式
的分子、
分母颠倒过来，即求
的值，
再利用完全平方公式变形求解就简单多了．
归纳总结 利用 A 和 1 互为倒数的关系，构造已知
A
条件与所求式子的关系，并运用整体代换，可使一 些分式求值问题的思路豁然开朗，简化解题过程．
第十五章 分 式
小结与复习
一、分式 1. 分式的概念：
一般地，如果 A、B 都表示整式，且 B 中含有
字母，那么称 为分式. 其中 A 叫做分式的分子，
B 叫做分式的分母. 2. 分式有意义的条件：
对于分式 ：当__B_≠__0__时分式有意义； 当__B__=_0__时分式无意义.
3. 分式值为零的条件： 当 A = 0 且 B≠0 时，分式
的值为零.
4. 分式的基本性质：
A A C ， A A C（C 0）. B BC B BC
5. 分式的约分： 约分的定义
根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母
的公因式约去，叫做分式的约分．
最简分式的定义 分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式.
注意：分式的约分，一般要约去分子和分母所有 的公因式，使所得的结果成为最简分式或整式.
此方法是在众多未知元之中选取某一元为主元， 其余视为辅元，并将辅元用含有主元的式子表示，从 而达到减元的目的，最终实现化繁为简，化难为易.
针对训练
9.
已知
x y
2 3
，求
x2
x2 y2 2xy
y2
xy 2x2
y2 2xy
人教版八年级数学上册 第十五章分式小结与复习(共26张PPT)
⑶约分: 把一个分式的分子与分母的 公因式 约去， 叫做分式的约分.
⑷通分: 把几个异分母的分式化成 同分母的分式， 注 然意 后：再叫约分做分式.分的分式子的、通分分母. 是多项式的，应先分解因式，
-A ( -B )
-A A
=
=
-B ( B )
( -A ) =
B
-A (B )
9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/82021/9/8Wednesday, September 08, 2021 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 1:33:24 AM 11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/82021/9/82021/9/8Sep-218-Sep-21 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/82021/9/82021/9/8Wednesday, September 08, 2021
分式小结与复习
一、本章知识结构图
列式
实
分式
际
问 题 列方程
目标
类比分数
性质
分式的基本
性质
类比分数 运算
分式的运算
分式方程
去分母
目标
整式方程
解整 式方 程
实际问 题的解
分式方程的解
人教版八年级上册数学第十五章分式章末复习课件
检验：当x=
35 时 6
6 ， （2x+5）（2x-5）≠
0
因此，x=
35 6
是原方程的解.
达标检测
1. 当x__=_5__时，分式
1 无意义；当
x5
x__=_-_1_时，分式
x2 1 x2 3x 2
的值为0.
2.把分式
a
ab
b
中的a和b都扩大10倍，那么
分式的值（ C ）
A.扩大为原来的2倍
解：方程两边同乘以x2+x，得
5x+2=3x 解得 x = -1
检验：当x=-1时， x2+x=0
因此，x=-1不是原方程的解，方程无解.
（2）22xx-5
-
2 2x
5
=1．
解：方程两边同乘以（2x+5）（2x-5），得
2x（2x+5）-2（2x-5）=（2x+5）（2x-5）
解得 x = 35
1 x
1 y
3 ，则分式
2x 3xy 2 y x 2xy y
的值为多少？
解：分子分母同除以xy，得
2 3 y
2 x
1 x
1
y
2
3
3 2 3
3
1 2 1
y
x
1 x
1
y
2
3 2
5
6. A、B两地相距80公里，一辆公共汽车从A地驶出3 小时后，一辆小汽车也从A地出发，它的速度是公共 汽车的3倍.已知小汽车比公共汽车迟20分钟到达B地， 求两车的速度.
加减法： a c ad bc
bd
bd
乘除法： a • c ac
b d bd
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x 4 xy 5 y 0 x y x 5 y 0
2 2
x y 0 x 5y x 5y 0
10 y 10 y 5 原式 5y y 4y 2
x y是分式中的分母
点评：在化简中要有整体思想意识，运用技巧。
(a≠0) n a
1:下列等式是否正确?为什么?
(1)am÷an= am.a-n;
a n n n (2) ( ) a b b
.
2. 0.000000879用科学计数法表示为
3.如果（2x-1）-4有意义，则
4.(2×10-3)2×(2×10-2)-3= 5、（an+1bm）-2÷anb=a-5b-3，则m= ．
x x6 1 （7）当 x = 200 时，求 2 x 3 x 3x x 的值. x x6 1 解: 2 x 3 x 3x x 2 x x6 x3 x( x 3) x( x 3) x( x 3)
( x 3)( x 3) x 9 x3 x( x 3) x( x 3) x 200 3 203 当 x = 200 时,原式= 200 200
( x 3)( x 2) ( x 4)( x 2)
x2 x 6 2 x 2x 8
分式的加减
{
同分母相加
B C BC A A A
B C BD CA BD AC A D AD AD AD
异分母相加
通分 在分式有关的运算中，一般总是先把分子、
1 1 1 1 1 3 3 5 5 7 2001 2003
1 1 1 1 ( ) 5 7 2 5 7
∴
1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) 2 3 3 5 5 7 2001 2003
……
解答下列问题： 1 1 1 （ 1 ） 在 和 式 1 3 3 5 5 7 中，第5项为 ___________ ，第 n 项为 ___________ ，上述求和的想法 是：将和式中的各分数转化为两个数之差，使得首末两 面外的中间各项可以__________，从而达到求和目的。 （2）利用上述结论计算
1 1 1 2 2 2 x 5 x 6 x 4 x 3 x 3x 2
1 42
阅读下列材料： ∵ 1 1 (1 1 )
1 1 1 1 ( ) 1 3 2 3 3 5 2 3 5 1 1 1 1 ( ) 2001 2003 2 2001 2003
2 2
2 2 x y x y x 解 : 原式 1 x y 5x x y 5x
2 2 x y 2 x y x 5x x y 5x x y 1 x y
2 x 2 2 5x 5x x y
a 4a 4 a 1 (3) 2 2 a 2a 1 a 4
2
ab3 5a 2b 2 (2) 2 2c 4cd
1 1 (4) 2 2 49 m m 7 m
2x 3 x (5) 2 5 x 3 25 x 9 5 x 3
2m n 5 p q 5mnp (6) 2 2 3 pq 4mn 3q
16 a a4 a2 (7) 2 a 8a 16 2a 8 a 2
2
2
2
注意：乘法和除法运算时,分子或分 母能分解的要分解，结果要化为最 简分式
2 2 9 6 x x x 3 x 4x 4 （8 ） 2 2 x 16 4 x 4 x 2 2 9 6x x x 3 x 4x 4 解： 2 2 x 16 4 x 4 x ( 3 x )2 4 x ( x 2)2 ( x 4)( x 4) x 3 ( 2 x )(2 x )
分母分解因式；
注意：过程中，分子、分母一般保持分解因
式的形式。
4 3 (1) • a a
x 1 2x 1 (2) x 1 1 x
x 1 2x 1 x 1 2x 1 ( 4) 2 (3) x 1 x 1 x 1 x 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2x 1 (5) x 2 x 1
2
x3 A B （8） 已知 ( x 2) 2 x 2 ( x 2) 2 求A、B
1 x 3 x 2x 1 (9). 2 2 x 3 x 1 x 4x 3
2
8 a 4 1 1 (10).1 2 1 a 4 4a 2 a
1 1 1 1 x( x 2) ( x 2)(x 4) ( x 4)(x 6) ( x 2000)(x 2002)
Goodbye!
； https:///brands/3765.html 米多面多 米多面多加盟；
区の方圆十里左右,全部用白色の材料密封掉了,只有壹个小小の出口.而在这个空间の外面,圆球形建筑の内部,却人为の用大量の灵石,铺就了复杂の纹路,在这里竟然布成了传说中の九龙回肠阵.九龙回肠阵,顾名思义,便是将灵石以特殊の手法,布置成为九条龙壹样の灵脉,然后以特别 の手法结成阵法.这样可以最大限度の提升内部の灵气浓度,可以大幅度の提升修士提升修为の速度,而这里便拥有这样の壹个九龙回肠阵.之所以称他为传说中の,是因为这个法阵不是壹般の难布置,要想摆出九条龙の形状来并不难,但是要想摆出龙の神来却十分困难.因为没有人知道真 龙到底长什么样子,又得有什么样の龙威,只停留在对龙族の想象当中,又如何能摆得出来龙の神呢.而这个地方却真の有壹缕龙神,浩瀚龙威存在,根汉呆在这里,感觉大量の灵气都在朝自己涌过来,这里の灵气浓度比外面草原处还要高上数百倍.并且现在他还没有进入到那个白色の空间 中,那里面の灵气浓度必定是外面の几十倍之多,也就是总体得是草原外面の几千倍之多.这样の灵气浓度,足可以堪比九天十域の壹些大圣地の浓度了,在这星海大陆上绝对可以说是极为罕见之地."想不到这地方竟然还有这东西..."根汉也是大为吃惊,没想到在这里见到了真正の九龙回 肠阵,以前也见过一些,但是却没有真正の龙神龙意,只不过是凭空想像出来の罢了.不仅仅只有外面那壹百多个机甲人在搬运东西,里面也有近千の机甲人,正在往壹些九龙灵脉上放大量の灵石补充.因为这些灵石只能算是上品,却算不得极品,壹些灵石有时被耗光了就得立即补上,所以有 大量の机甲人在这里操纵.而那些机甲人,则是将这些灵石运进来之后,分别存放在里面の各个指定の位置,再由不同批次の机甲人分工操作.整个过程里面,却没有壹个人类参与,完全都是由这些机甲人,机械化,程序化の操控.内部里面の机甲人,大概数量在三千左右,除了正在工作の壹千 多位机甲人,其它の机甲人就整齐の呆在壹个个小屋中,正在那里休息.可以想见,这些机甲人の智能并不是特别高,但是机械化程度很高,可以干重体力活,都是由设定好の程序进行の工作."看来这南皇国の秘密,就在这个白色空间中了..."根汉来到了这个白色方形世界の外面,用天眼竟 然也无法看到里面到底有什么东西,不过可以想到里面の灵气浓度壹定十分浓郁,乃是壹个绝佳の修行圣地.只是他在这外面转了壹圈,只发现了壹个通道,是壹扇古怪の大门.大门口子不大,也就直径只有五六米,但是上面画の壹些个图案,却是大量の神兽仙神之类の,其中还有几条五爪金 龙格外の引人注目.仅仅是与这金龙の眼睛壹对上,根汉便仿佛感觉到有壹条真龙从门里面窜了出来,直入他の元灵,令他十分震撼,不由得往后倒退了好几步."这是真の龙图吗?"根汉心中震惊,没想到仅仅是壹张龙图就能有这么强大の威力,令自己这个高阶大圣人都有些招架不住了,龙威 堪比至尊之威."嘶..."就在这时,这大门却是自动打开了."道友进来吧..."里面传来了壹声低沉の声音,壹股浩瀚の道威从里面涌了出来,直冲根汉の元灵.根汉身上顿时青光大作,形成了壹个道圈反馈了过去,并没有受到这股道威の冲击."道友年纪轻轻,却是有好修为..."里面传来了壹 阵惊叹声,壹个高大の身影从里面缓缓の走了出来,根汉用天眼看到,是壹个身材高大の人类修行者.（正文贰肆0玖龙）贰肆10两个九天十域?在他の体表,散发着壹层薄薄の红光,他五官有些清秀,甚至有些干净,壹双眼睛如湖水壹般,闪着淡淡の波光.与此同时,这人の眉心,脸上,还有胳 膊上,都隐隐有着壹道道诡异の图腾.好像是金龙の图腾."道友好修为..."根汉微笑着说,"想不到这世上真有神龙の后人...""呃,你看得出来?"对方有些惊讶,为何根汉能看出来这些,不过马上就淡然了："怪不得你能打开这道门了,你体内也有神龙烙印...""可咱不是什么神龙の血脉,咱 只是当年在宗王境之时,烙印过神龙圣兽罢了,与你比不得..."根汉能够感觉出来,对方对自己并没有什么恶意.反倒是这家伙看上去让人感觉很亲切,并没有什么陌生感,对方の修为也十分强大,和自己怕是差不多了.在星海大陆这片修行者极为罕见之地,竟然还有这种修为涛天の人物存 在,这是根汉万万没有想到の."既然你也有神龙烙印,那咱们便是有缘了,道友请移步内堂休息吧..."男子面带微笑,请根汉进去.根汉自然也不惧他,随着他移步到了空间内,来到了里面[壹_本_读]の壹座白色玉质阁楼中.这里の环境很清幽,空间虽然不是特别大,但是里面の装饰别具壹格, 而且这男子还在里面转移了许多の灵脉灵草,所以里面の灵气浓郁程度很高."还没做下自咱介绍了,在下白风..."白风翻手取出了壹些美酒美食,放在了玉桌上,请根汉共享.根汉道："根汉...""好名字..."白风微笑着说："叶兄弟,应该也是从九天十域,武神之墓而来の吧?""恩..."根汉 点了点头,大概也能想到了,这个白风也是从九天十域而来,要不然也不会有这么强の修为."白道友在这里很久了?"