双曲线1-2-2-18
18 高中解析几何-双曲线的问题
专题18高中解析几何-双曲线的问题【知识总结】 1．双曲线的定义(1)定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹． (2)符号表示：||MF 1|－|MF 2||＝2a (常数)(0<2a <|F 1F 2|)． (3)焦点：两个定点F 1，F 2．(4)焦距：两焦点间的距离，表示为|F 1F 2|． 2．双曲线的标准方程和简单几何性质F (－c ，0)，F (c ，0)F (0，－c )，F (0，c )【高考真题】1．(2022·北京) 已知双曲线221x y m +=的渐近线方程为y =，则m =__________．2．(2022·全国甲理) 若双曲线2221(0)x y m m-=>的渐近线与圆22430x y y +-+=相切，则m =_________．3．(2022·全国甲文) 记双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为e ，写出满足条件“直线2y x =与C 无公共点”的e 的一个值______________．4．(2022·全国乙理) 双曲线C 的两个焦点为12,F F ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过1F 作D 的切线与C 的两支交于M ，N 两点，且123cos 5F NF ∠=，则C 的离心率为( )A B ．32 C D5．(2022·浙江) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，过F 且斜率为4b a 的直线交双曲线于点()11,A x y ，交双曲线的渐近线于点()22,B x y 且120x x <<．若||3||FB FA =，则双曲线的离心率是_________． 【题型突破】题型一 双曲线的标准方程1．(2017·全国Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A ．x 28－y 210＝1B ．x 24－y 25＝1C ．x 25－y 24＝1D ．x 24－y 23＝12．(2016·天津)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( )A ．x 24－y 2＝1B ．x 2－y 24＝1C ．3x 220－3y 25＝1D ．3x 25－3y 220＝13．(2018·天津)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )A ．x 24－y 212＝1B ．x 212－y 24＝1C ．x 23－y 29＝1D ．x 29－y 23＝14．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( )A ．x 24－y 212＝1B ．x 212－y 24＝1C ．x 23－y 2＝1D ．x 2－y 23＝15．已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( ) A ．x 24－3y 24＝1 B ．x 24－4y 23＝1 C ．x 24－y 24＝1 D ．x 24－y 212＝16．已知双曲线E 的中心为原点，(3, 0)F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中 点为(12, 15)N --，则E 的方程式为( )A ．22136x y -=B ．22145x y -=C ．22163x y -=D ．22154x y -=7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，点B 是虚轴的一个端点，线段BF 与双曲线C的右支交于点A ，若BA →＝2AF →，且|BF →|＝4，则双曲线C 的方程为( )A ．x 26－y 25＝1B ．x 28－y 212＝1C ．x 28－y 24＝1D ．x 24－y 26＝18．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为32，过右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为M ．若△FOM的面积为5，其中O 为坐标原点，则双曲线的方程为( )A ．x 2－4y 25＝1 B ．x 22－2y 25＝1 C ．x 24－y 25＝1 D ．x 216－y 220＝19．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F (7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐 标为－23，则此双曲线的方程是( )．A ．x 23－y 24＝1B ．x 24－y 23＝1C ．x 25－y 22＝1D ．x 22－y 25＝110．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b >0)的离心率为3，左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点，∠F 1PF 2的角平分线为l ，点F 1关于l 的对称点为Q ，|F 2Q |＝2，则双曲线的方程为( ) A ．x 22－y 2＝1 B ．x 2－y 22＝1 C ．x 2－y 23＝1 D ．x 23－y 2＝1题型二 双曲线中的求值11．(2018·全国Ⅰ)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若△OMN 为直角三角形，则|MN |等于( )A ．32B ．3C ．23D ．412．(2019·全国Ⅰ)双曲线C ：x 24－y 22＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( )A ．324B ．322C ．22D ．3213．已知双曲线Γ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，与x 轴平行的直线交Γ于B ，C 两点，记∠BAC＝θ，若Γ的离心率为2，则( )A ．θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2B ．θ＝π2C ．θ∈⎝⎛⎭⎫3π4，πD ．θ＝3π414．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝________． 15．如图，双曲线的中心在坐标原点O ，A ，C 分别是双曲线虚轴的上、下端点，B 是双曲线的左顶点，F为双曲线的左焦点，直线AB 与FC 相交于点D ．若双曲线的离心率为2，则∠BDF 的余弦值是________．16．过点P (4，2)作一直线AB 与双曲线C ：x 22－y 2＝1相交于A ，B 两点，若P 为AB 的中点，则|AB |＝( )A ．22B ．23C ．33D ．4317．过点P (4，2)作一直线AB 与双曲线C ：x 22－y 2＝1相交于A 、B 两点，若P 为AB 中点，则|AB |＝( )A ．22B ．23C ．33D ．4318．已知双曲线x 23－y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，且满足|PF 1|＋|PF 2|＝25，则△PF 1F 2的面积为()A ．1B ．3C ．5D ．1219．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在双曲线C 上，若△AF 1F 2的周长为10a ，则△AF 1F 2的面积为( )A ．215a 2B ．15a 2C ．30a 2D ．15a 220．已知双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线的离心率为e ，若双曲线上存在一点P 使 sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝e ，则F 2P →·F 2F 1→的值为( )A ．3B ．2C ．－3D ．－2 题型三 双曲线的离心率21．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线C 的离心率为( )A ．2B ．3C ．3或233D ．233或222．(2019·全国Ⅰ)双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为( )A ．2sin 40°B ．2cos 40° C.1sin 50° D.1cos 50°23．(2019·全国Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为________．24．已知F 1，F 2分别是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A ．2B ．32C ．3D ．225．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线C 上第二象限内一点，若直线y ＝ba x 恰为线段PF 2的垂直平分线，则双曲线C 的离心率为( )A ．2B ．3C ．5D ．626．已知O 为坐标原点，点A ，B 在双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上，且关于坐标原点O 对称．若双曲线C 上与点A ，B 横坐标不相同的任意一点P 满足k P A ·k PB ＝3，则双曲线C 的离心率为( ) A ．2 B ．4 C ．10 D ．1027．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，过点P (3，6)的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (12，15)，则双曲线C 的离心率为( )A ．2B ．32C ．355D ．5228．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的右支交于不同两点A ，B ，若AF →＝3FB →，则该双曲线的离心率为( ) A ．52 B ．62 C ．233D ．3 29．已知双曲线Γ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，过双曲线Γ的右焦点F ，且倾斜角为π2的直线l 与双曲线Γ交于A ，B 两点，O 是坐标原点，若∠AOB ＝∠OAB ，则双曲线Γ的离心率为( ) A ．3＋72 B ．11＋332 C ．3＋396 D ．1＋17430．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)左焦点F 的直线l 与C 交于M ，N 两点，且FN →＝3FM →，若OM ⊥FN ，则C 的离心率为( )A ．2B ．7C ．3D ．10 题型四 双曲线的渐近线31．(2018·全国Ⅰ)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22x D ．y ＝±32x 32．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，P 是双曲线在第一象限上的点，直线PO 交双曲线C 左支于点M ，直线PF 2交双曲线C 右支于点N ，若|PF 1|＝2|PF 2|，且∠MF 2N ＝60°，则双曲线C 的渐近线方程为( ) A ．y ＝±2x B ．y ＝±22x C ．y ＝±2x D ．y ＝±22x 33．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F (1，0)作x 轴的垂线，与双曲线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△AOB 的面积为83，则双曲线的渐近线方程为________．34．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b >0)的右顶点A 和右焦点F 到一条渐近线的距离之比为1∶2，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±xB ．y ＝±2xC ．y ＝±2xD ．y ＝±3x35．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别为l 1，l 2，F 为其一个焦点，若F 关于l 1的对称点在l 2上，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±3xD ．y ＝±2x36．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 是双曲线上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为π6，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±12xC ．y ＝±22x D ．y ＝±2x37．已知F 2，F 1是双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的上、下两个焦点，过F 1的直线与双曲线的上下两支分别交于点B ，A ，若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为( ) A ．y ＝±2x B ．y ＝±22x C ．y ＝±6x D ．y ＝±66x 38．已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( )A ．2x ±y ＝0B ．x ±2y ＝0C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0 题型五 双曲线中的最值与范围39．P 是双曲线C ：x 22－y 2＝1右支上一点，直线l 是双曲线C 的一条渐近线，P 在l 上的射影为Q ，F 1是双曲线C 的左焦点，则|PF 1|＋|PQ |的最小值为( ) A ．1 B ．2＋155 C ．4＋155D ．22＋1 40．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±233x ，一个焦点为F (0，－7)，点A (2，0)，点P 为双曲线上在第一象限内的点，则当点P 的位置变化时，△P AF 周长的最小值为( )A ．8B ．10C ．4＋37D ．3＋317 41．过双曲线x 2－y 215＝1的右支上一点P ，分别向圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝4和圆C 2：(x －4)2＋y 2＝1作切线， 切点分别为M ，N ，则|PM |2－|PN |2的最小值为( )A ．10B ．13C ．16D ．19 42．设P 为双曲线x 2－y 215＝1右支上一点，M ，N 分别是圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝4和圆C 2：(x －4)2＋y 2＝1上 的点，设|PM |－|PN |的最大值和最小值分别为m ，n ，则|m －n |＝( )A ．4B ．5C ．6D ．743．若点O 和点F (－2，0)分别为双曲线x 2a2－y 2＝1(a ＞0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为________．44．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，点P 在双曲线的右支上，如果|PF 1|＝t |PF 2|(t ∈(1，3])，则双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是______________．45．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，P 是双曲线上任一点，若双曲线的离心率的取值范围为[2，4]，则PF 1→·PF 2→的最小值的取值范围是________．。
双曲线及其标准方程(2)
双曲线及其标准方程（2）一、选择题1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，其焦点为F 1、F 2，过F 1作直线交双曲线同一支于A 、B 两点，且|AB |＝m ，则△ABF 2的周长是( )A ．4aB ．4a －mC ．4a ＋2mD ．4a －2m2．设θ∈(3π4，π)，则关于x 、y 的方程x 2sin θ－y 2cos θ＝1 所表示的曲线是( )A ．焦点在y 轴上的双曲线B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在x 轴上的椭圆3．(2010²安徽理，5)双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫62，0 D ．(3，0)4．k >9是方程x 29－k＋y 2k －4＝1表示双曲线的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 5．已知双曲线x 225－y 29＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，若双曲线的左支上有一点M 到右焦点F 2的距离为18，N 是MF 2的中点，O 为坐标原点，则|NO |等于( )A.23B ．1C ．2D ．4 6．已知方程ax 2－ay 2＝b ，且a 、b 异号，则方程表示( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在x 轴上的双曲线 D ．焦点在y 轴上的双曲线7．已知双曲线中心在原点，一个焦点为F 1(－5，0)，点P 在该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程是( )A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1 C.x 22－y 23＝1 D.x 23－y 22＝18．已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，若双曲线上一点P 使∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积是( )A ．12B ．16C ．24D ．32 二、填空题9．若双曲线x 2－y 2＝1右支上一点P (a ，b )到直线y ＝x 的距离是2，则a ＋b ＝________. 10．已知圆(x ＋4)2＋y 2＝25的圆心为M 1，圆(x －4)2＋y 2＝1的圆心为M 2，动圆与这两圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为____________．11．若双曲线x 2m －y 2n ＝1(m >0，n >0)和椭圆x 2a ＋y 2b ＝1(a >b >0)有相同的焦点F 1，F 2，M 为两曲线的交点，则|MF 1|²|MF 2|等于________．12．已知双曲线x 2－y 2＝m 与椭圆2x 2＋3y 2＝72有相同的焦点，则m 的值为________． 三、解答题13．设声速为a 米/秒，在相距10a 米的A 、B 两哨所，听到炮弹爆炸声的时间差6秒，求炮弹爆炸点所在曲线的方程．14．已知定点A (0,7)、B (0，－7)、C (12,2)，以C 为一个焦点作过A 、B 的椭圆，求椭圆的另一焦点F 的轨迹方程．15．如图，已知双曲线的离心率为2，F 1，F 2为左、右焦点，P 为双曲线上的点，∠F 1PF 2＝60°，S △PF 1F 2＝123，求双曲线的标准方程．双曲线及其标准方程（2）答案一、选择题1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，其焦点为F 1、F 2，过F 1作直线交双曲线同一支于A 、B 两点，且|AB |＝m ，则△ABF 2的周长是( )A ．4aB ．4a －mC ．4a ＋2mD ．4a －2m[答案] C2．设θ∈(3π4，π)，则关于x 、y 的方程x 2sin θ－y 2cos θ＝1 所表示的曲线是( )A ．焦点在y 轴上的双曲线B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在x 轴上的椭圆 [答案] C [解析] 方程即是x 2sin θ＋y 2－cos θ＝1，因θ∈(3π4，π)，∴sin θ>0，cos θ<0，且－cos θ>sin θ，故方程表示焦点在y 轴上的椭圆，故答案为C.3．(2010²安徽理，5)双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫62，0 D ．(3，0) [答案] C [解析] 将方程化为标准方程x 2－y 212＝1∴c 2＝1＋12＝32，∴c ＝62，故选C.4．k >9是方程x 29－k＋y 2k －4＝1表示双曲线的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] B [解析] k >9时，方程为y 2k －4－x 2k －9＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，方程表示双曲线时，(k －9)(k －4)<0，∴k <4或k >9，故选B.5．已知双曲线x 225－y 29＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，若双曲线的左支上有一点M 到右焦点F 2的距离为18，N 是MF 2的中点，O 为坐标原点，则|NO |等于( )A.23B ．1C ．2D ．4[答案] D[解析] NO 为△MF 1F 2的中位线，所以|NO |＝12|MF 1|，又由双曲线定义知，|MF 2|－|MF 1|＝10，因为|MF 2|＝18，所以|MF 1|＝8，所以|NO |＝4，故选D.6．已知方程ax 2－ay 2＝b ，且a 、b 异号，则方程表示( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在x 轴上的双曲线 D ．焦点在y 轴上的双曲线[答案] D [解析] 方程变形为x 2b a －y 2b a ＝1，由a 、b 异号知ba <0，故方程表示焦点在y 轴上的双曲线，故答案为D.7．已知双曲线中心在原点，一个焦点为F 1(－5，0)，点P 在该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程是( )A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1 C.x 22－y 23＝1 D.x 23－y 22＝1[答案] B [解析] 由条件知P (5，4)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，∴5a 2－16b 2＝1，又a 2＋b 2＝5，∴⎩⎨⎧a 2＝1b 2＝4，故选B.8．已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，若双曲线上一点P 使∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积是( )A ．12B ．16C ．24D ．32[答案] B [解析] 由定义||PF 1|－|PF 2||＝6， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|²|PF 2|＝36，∵|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝100， ∴|PF 1||PF 2|＝32，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|²|PF 2|＝16.二、填空题9．若双曲线x 2－y 2＝1右支上一点P (a ，b )到直线y ＝x 的距离是2，则a ＋b ＝________.[答案] 12 [解析] 由条件知，⎩⎨⎧a 2－b 2＝1|a －b |2＝2，∴⎩⎨⎧a ＋b ＝12a －b ＝2或⎩⎨⎧a ＋b ＝－12a －b ＝－2，∵a >0，∴a ＋b ＝12.10．已知圆(x ＋4)2＋y 2＝25的圆心为M 1，圆(x －4)2＋y 2＝1的圆心为M 2，动圆与这两圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为____________．[答案]x 24－y 212＝1(x ≥2) [解析] 设动圆圆心为M ，动圆半径为r ，根据题意得，|MM 1|＝5＋r ，|MM 2|＝1＋r ，两式相减得|MM 1|－|MM 2|＝4<8＝|M 1M 2|，故M 点在以M 1(－4,0)，M 2(4,0)为焦点的双曲线的右支上，故圆心M 的轨迹方程为x 24－y 212＝1(x ≥2)．11．若双曲线x 2m －y 2n ＝1(m >0，n >0)和椭圆x 2a ＋y 2b ＝1(a >b >0)有相同的焦点F 1，F 2，M 为两曲线的交点，则|MF 1|²|MF 2|等于________．[答案] a －m [解析] 由双曲线及椭圆定义分别可得|MF 1|－|MF 2|＝±2m ① |MF 1|＋|MF 2|＝2a ② ②2－①2得，4|MF 1|²|MF 2|＝4a －4m ， ∴|MF 1|²|MF 2|＝a －m .12．已知双曲线x 2－y 2＝m 与椭圆2x 2＋3y 2＝72有相同的焦点，则m 的值为________． [答案] 6 [解析] 椭圆方程为x 236＋y 224＝1，c 2＝a 2－b 2＝36－24＝12，∴焦点F 1(－23，0)，F 2(23，0)， 双曲线x 2m －y 2m＝1与椭圆有相同焦点，∴2m ＝12，∴m ＝6.三、解答题13．设声速为a 米/秒，在相距10a 米的A 、B 两哨所，听到炮弹爆炸声的时间差6秒，求炮弹爆炸点所在曲线的方程．[解析] 以A 、B 两哨所所在直线为x 轴，它的中垂线为y 轴，建立直角坐标系，得炮弹爆炸点的轨迹方程为x 29a 2－y 216a 2＝1.14．已知定点A (0,7)、B (0，－7)、C (12,2)，以C 为一个焦点作过A 、B 的椭圆，求椭圆的另一焦点F 的轨迹方程．[解析] 设F (x ，y )为轨迹上的任意一点， 因为A 、B 两点在以C 、F 为焦点的椭圆上，所以|FA |＋|CA |＝2a ，|FB |＋|CB |＝2a ，(其中a 表示椭圆的长半轴长)， 所以|FA |＋|CA |＝|FB |＋|CB |，所以|FA |－|FB |＝|CB |－|CA |＝122＋92－122＋52＝2. 由双曲线的定义知，F 点在以A 、B 为焦点的双曲线的下半支上，所以点F 的轨迹方程是y 2－x 248＝1(y ≤－1)．15．如图，已知双曲线的离心率为2，F 1，F 2为左、右焦点，P 为双曲线上的点，∠F 1PF 2＝60°，S △PF 1F 2＝123，求双曲线的标准方程．[解析] 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1∵e ＝c a ＝2，∴a ＝c2由双曲线定义：|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝c . 由余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos∠F 1PF 2＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|²|PF 2|(1－cos60°)，∴4c 2＝c 2＋|PF 1|²|PF 2|又S △PF 1F 2＝12|PF 1|²|PF 2|²sin60°＝12 3得|PF 1|²|PF 2|＝48， 即c 2＝16，∴a 2＝4，b 2＝12， 所求方程为x 24－y 212＝1.。
双曲线知识点及例题
双曲线知识点一：双曲线的定义: 在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线的轨迹叫作双曲线..这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距两焦点的距离叫作双曲线的焦距. . 注意：注意：1. 1. 双曲线的定义中，常数双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2. 2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；的一支；3. 3. 若常数若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线（包括端点）；端点的两条射线（包括端点）； 4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；，则动点轨迹不存在；5．若常数，则动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线。
的垂直平分线。
知识点二：双曲线与的简单几何性质标准方程图形性质焦点， ，焦距范围，，对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称顶点 轴长 实轴长=，虚轴长=离心率 渐近线方程1.通径:过焦点且垂直于实轴的弦,其长ab 222.2.等轴双曲线等轴双曲线等轴双曲线 : : :当双曲线的实轴长与虚轴长相等即当双曲线的实轴长与虚轴长相等即2a=2b 时，我们称这样的双曲线为等轴双曲线。
其离心率,两条渐近线互相垂直为,等轴双曲线可设为3.3.与双曲线与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在y 轴上）轴上）4.4.焦点三角形的面积焦点三角形的面积2cot221qb SF PF =D ，其中21PF F Ð=q 5.5.双曲线的焦点到渐近线的距离为双曲线的焦点到渐近线的距离为b.6．在不能确定焦点位置的情况下可设双曲线方程为:)0(122<=+mn ny mx 7.7.椭圆、双曲线的区别和联系：椭圆、双曲线的区别和联系：椭圆、双曲线的区别和联系：椭圆双曲线根据|MF 1|+|MF 2|=2a根据|MF 1|－|MF 2|=|=±±2aa ＞c ＞0， a 22－c 22=b 22（b ＞0）0＜a ＜c ， c 22－a 22=b 22（b ＞0）， ，（a＞b＞0）（a＞0，b＞0，a不一定大于b）典型例题1、已知双曲线：（）的离心率为，则的渐近线方程为（）D．A．B．C．试题分析：由题意可知，因为渐近线方程为 所以渐近线的方程为 2、已知分别是双曲线的左右焦点，过做垂直于轴的直线交双曲线于两点，若为钝角三角形，则双曲线的离心率的范围是A．B．C．D．试题分析：由题意为钝角三角形，则,所以,又，，所以，所以，所以．考点：双曲线离心率．3、已知双曲线（a>0，b>0）的一条渐近线为，则它的离心率为（）A．B．C．D．试题分析：由已知得，又在双曲线中有，所以得到；故选A．4、若双曲线的两准线间的距离是焦距的，则双曲线的离心率为_________. 试题分析：双曲线的两准线的距离为：，两焦点间的距离为：，根据题意可由：化简为：解得：，所以答案为：. 5、双曲线的离心率 ．试题分析：双曲线即为，其中6、如图，、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于点、.若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A．4B．C．D．试题分析：因为为等边三角形，不妨设，为双曲线上一点，，为双曲线上一点，则，，由，则，在中应用余弦定理得：，得，则7、设双曲线的一条渐近线与抛物线只有一个公共点，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．试题分析：的一条渐近线方程与抛物线只有一个公共点，把代入中，得，由，，则8、过双曲线的右焦点F2的一条弦PQ，|PQ|=7，F1是左焦点，那么△F1PQ的周长为（）A．18B．C．D．试题分析：可化为；由双曲线的定义，得的周长为.9、双曲线的顶点到其渐近线的距离等于_________．试题分析：双曲线的顶点为，渐近线方程为，即；则顶点到其渐近线的距离为. 10、双曲线的离心率，则的取值范围是（）A．B．C．D．试题分析：由题意知，又，∴，∴. 11、双曲线的实轴长是（）A．2B．2C．4D．4试题分析：双曲线方程可变形为，所以. 12、双曲线：的渐近线方程是（）A．B．C．D．试题分析：由双曲线的渐近线方程的公式可知的渐近线方程是．13、斜率为的直线过双曲线的右焦点，且与双曲线的左右两支都相交，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．试题分析：如图,要使斜率为的直线过双曲线的右焦点，且与双曲线的左右两支都相交，必须且只需即可,从而有所以有离心率,故选D. 14、过原点的直线与双曲线有两个交点，则直线的斜率的取值范围为（）A．B．C．D．试题分析：双曲线的焦点在y轴上，通过双曲线的图象与性质可知当直线与双曲线有两交点时直线的斜率k>1或k<-1，因此答案选B。
河南天一大联考2025届高三第三次测评数学试卷含解析
河南天一大联考2025届高三第三次测评数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合U ＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{2，4}，B ＝{3，4}，则()()UU A B ＝（ ）A ．{3，5，6}B ．{1，5，6}C ．{2，3，4}D ．{1，2，3，5，6}2．已知双曲线221:110x y C m m +=-与双曲线222:14y C x -=有相同的渐近线，则双曲线1C 的离心率为（ ）A ．54B ．5C ．5D ．523．水平放置的ABC ，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的A B C '''，其中2,O A O B ''''== 3O C ''=，则ABC 绕AB 所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为（ ）A ．83πB ．163πC ．(833)π+D ．(16312)π+4．设f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(0,+∞)单调递减，则（ ）A ．0.30.43(log 0.3)(2)(2)f f f -->> B ．0.40.33(log 0.3)(2)(2)f f f -->> C ．0.30.43(2)(2)(log 0.3)f f f -->>D ．0.40.33(2)(2)(log 0.3)f f f -->>5．已知函数有三个不同的零点 （其中），则 的值为( )A ．B ．C ．D ．6．刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在《九章算术》中对勾股定理的证明如图所示.“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也.合成弦方之幂，开方除之，即弦也”.已知图中网格纸上小正方形的边长为1，其中“正方形ABCD 为朱方，正方形BEFG 为青方”，则在五边形AGFID 内随机取一个点，此点取自朱方的概率为（ ）A ．1637B ．949C ．937D ．3117．已知命题P ：x R ∀∈，sin 1x ≤，则p ⌝为( ) A ．0x R ∃∈，0sin 1x ≥ B ．x R ∀∈，sin 1x ≥ C ．0x R ∃∈，0sin 1x >D ．x R ∀∈，sin 1x >8．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”．如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦至少有2个阳爻的概率是（ ）A ．764B ．1132C ．5764D ．11169．己知全集为实数集R ，集合A ={x |x 2 +2x -8>0}，B ={x |log 2x <1}，则()RA B ⋂等于（ ）A ．[-4,2]B ．[-4,2)C ．(-4,2)D ．(0,2)10．若4log 15.9a =， 1.012b =，0.10.4c =，则（ ） A ．c a b >> B ．a b c >> C ．b a c >>D ．a c b >>11．设i 是虚数单位，若复数5i2i()a a +∈+R 是纯虚数，则a 的值为（ ） A ．3-B ．3C ．1D ．1-12．如图，在三棱锥D ABC -中，DC ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，2AC BC CD ===，E ，F ，G 分别是棱AB ，AC ，AD 的中点，则异面直线BG 与EF 所成角的余弦值为A ．0B 6C 3D ．1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
第18讲 双曲线的简单几何性质 2024年新高二暑假数学专题化复习与重点化预习(解析版)
知识点详释
双曲线的简单几何性质
典题精讲
双曲线的简单几何性质 利用双曲线的几何性质求双曲线方程 求双曲线的离心率
双曲线的几何性质综合问题
考点巩固练习 课后分层练习
ｚｈｇ 学习目标
１．掌握双曲线的简单几何性质； ２．会利用双曲线的几何性质求解相关的问题
了解要点，作到心中有数
ｙ＝±ｘ， 对于Ｂ：ａ＝１，ｂ＝√３，ｃ＝２，ｅ＝２，渐近线
故Ｂ错误；
对于Ｃ：ａ＝３，ｂ＝√３．ｃ＝２√３，ｅ＝２ 渐近线ｙ＝±５ｘ． 故Ｃ正确；
对于Ｄ： ａ＝３，ｂ＝√３，ｃ＝２√３，ｅ＝２３５ 渐近线ｙ＝±√３ｘ，故Ｄ错误．
故选：Ｃ．
－２４＝１ ３．下列选项中的曲线与
共焦点的双曲线是（ ）
Ａ．４－Ｙ＝２
离心率为５，
６－＝１， 对于双曲线
顶点坐标为（０，±４），渐近线方程为ｙ＝±ｇｘ，焦点坐标为（０，±５），
离心率为
因此，这两个双曲线有相同的渐近线， 故选：Ｂ．
４．如图，Ｆ？Ｆ？是双曲线Ｃ：ｘ２－弩＝１与椭圆Ｃ？的公共焦点，点Ａ是Ｃ？，Ｃ？在第一象限的公共点，若ＩＦ？Ｆ？Ｉ＝
ＩＦ？Ａ｜，则Ｃ？的短轴长为（ ） ｙＡ
ｌ：√３ｘ－ｙ＋１＝０平行，则双曲线Ｃ的标准方程为（ ）
Ａ． ｘ２－等＝１ Ｂ．琴－ｙ２＝１ ｃ．－路＝１
Ｄ．－２＝１
【答案】Ａ
【分析】利用已知条件求出ａ、ｂ、ｃ的值代入方程即可
【详解】由题意知
＝解得 ，故双曲线Ｃ的标准方程为ｘ２－＝１．
故选：Ａ．
２．与双曲线－ｙ２＝１有相同离心率和相同渐近线的双曲线方程是（ ）
Ａ
Ｆ？ Ｏ Ｆ？ ｘ
Ａ． １
Ｂ． ２
高中数学双曲线公式总结大全
高中数学双曲线公式总结大全圆锥曲线公式：椭圆1、中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：其中x²/a²+y²/b²=1,其中ab0,c ²=a²-b²2、中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：y²/a²+x²/b²=1,其中ab0,c²=a²-b²参数方程：x=acosθ;y=bsinθ(θ为参数，0≤θ≤2π)圆锥曲线公式：双曲线1、中心在原点，焦点在x轴上的双曲线标准方程：x²/a-y²/b²=1,其中a0，b0，c²=a²+b².2、中心在原点，焦点在y轴上的双曲线标准方程：y²/a²-x²/b²=1,其中a0，b0，c²=a²+b².参数方程：x=asecθ;y=btanθ(θ为参数)圆锥曲线公式：抛物线参数方程:x=2pt²;y=2pt(t为参数)t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率)特别地，t可等于0直角坐标:y=ax²+bx+c(开口方向为y轴，a≠0)x=ay²+by+c(开口方向为x轴，a ≠0)离心率椭圆，双曲线，抛物线这些圆锥曲线有统一的定义：平面上，到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
且当01时为双曲线。
圆锥曲线公式知识点总结圆锥曲线椭圆双曲线抛物线标准方程x²/a²+y²/b²=1(ab0) x²/a²-y²/b²=1(a0,b0) y²=2px(p0)范围x∈[-a,a] x∈(-∞，-a]∪[a,+∞) x∈[0,+∞)y∈[-b,b] y∈R y∈R对称性关于x轴，y轴，原点对称关于x轴，y轴，原点对称关于x轴对称顶点(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b) (a,0),(-a,0) (0,0)焦点(c,0),(-c,0) (c,0),(-c,0) (p/2,0)【其中c²=a²-b²】【其中c²=a²+b²】准线x=±a²/c x=±a²/c x=-p/2渐近线——————y=±(b/a)x —————离心率e=c/a,e∈(0,1) e=c/a,e∈(1,+∞) e=1焦半径∣PF₁∣=a+ex ∣PF₁∣=∣ex+a∣∣PF∣=x+p/2∣PF₂∣=a-ex ∣PF₂∣=∣ex-a∣焦准距p=b²/c p=b²/c p通径2b²/a 2b²/a 2p参数方程x=a·cosθx=a·secθx=2pt²y=b·sinθ，θ为参数y=b·tanθ，θ为参数y=2pt,t为参数过圆锥曲线上一点x0·x/a²+y0·y/b²=1 x0x/a²-y0·y/b²=1 y0·y=p(x+x0) (x0,y0)的切线方程斜率为k的切线方程y=kx±√(a²·k²+b²) y=kx±√(a²·k²-b²) y=kx+p/2k 寒窗苦读十余载，今朝考试展锋芒;思维冷静不慌乱，下笔如神才华展;心平气和信心足，过关斩将如流水;细心用心加耐心，努力备考，定会考入理想院校。
广东省湛江市“上进联考”2025届普通高中毕业班调研测试数学试题(含答案)
广东省湛江市“上进联考”2025届普通高中毕业班调研测试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量a =(2,1)，b =(−1,x)，若a ⊥b ，则x =( )A. 2B. −2C. 12D. −122.已知集合A ={x|1<32x−1<243}，B ={0,1,2,3,4}，则A ∩B 中元素的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 43.(4−3i)(2−3i)=( )A. 17−18iB. −1−18iC. −1+6iD. 17+12i4.将某学校一次物理测试学生的成绩统计如下图所示，则估计本次物理测试学生成绩的平均分为(同一组数据用该组区间的中点值作代表)( )A. 68B. 70C. 72D. 745.已知α，β均为锐角，若tan α=13，cos β=45，则cos (α+β)=( )A.105B.1010C. 91050D. 310106.中国冶炼块铁的起始年代虽然迟至公元前6世纪，约比西方晚900年，但是冶炼铸铁的技术却比欧洲早2000年.现将一个轴截面为正方形且侧面积为36π的实心圆柱铁锭冶炼熔化后，浇铸成一个底面积为81π的圆锥，则该圆锥的母线与底面所成角的正切值为( )A. 13B. 23C. 19D. 297.已知某条线路上有A ，B 两辆相邻班次的BRT(快速公交车)，若A 准点到站的概率为13，在B 准点到站的前提下A 准点到站的概率为34，在A 准点到站的前提下B 不准点到站的概率为716，则B 准点到站的概率为( )A. 516B. 14C. 316D. 388.已知a >1，若关于x 的方程(xa −1)ln a +x ln x =0有两个不同的正根，则a 的取值范围为( )A. (1,e e )B. (e e ,+∞)C. (1,e 1e )D. (e 1e ,+∞)二、多选题：本题共3小题，共18分。
双曲线的简单几何性质课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
b
A1 -a
B2
O
-b
B1
a
A2
x
探究新知
x2 y2
双曲线a 2 b 2 1(a 0，b 0)的简单几何性质
y
4、渐近线
x2 y2
b
(1)双曲线 2 2 1(a 0，b 0)的渐近线为y x
a
a
b
( 2)等轴双曲线x y m( m 0)的渐近线为y x
顶点坐标为( 3, 0),焦点坐标为( 3 10 ，
0).
c 3 10
离心率为 e
10 .
a
3
渐近线方程为 y 3 x .
练习
1. 求下列双曲线的实轴与虚轴的长, 顶点和焦点的坐标, 离心率, 渐近线方程.
2
2
x
y
2
2
2
2
2
2
(1) x 8 y 32; (2) 9 x y 81; (3) x y 4; (4)
-a O
a
说明：双曲线位于直线x=-a及其左侧和直线x=a及其右侧的区域.
x
探究新知
x2 y2
双曲线 a 2 b 2 1(a 0，b 0)的简单几何性质
y
(x，y))
(-x，y)
2、对称性：
关于x轴、y轴和原点都是对称。
x轴、y轴是双曲线的对称轴，
原点是对称中心，又叫做双曲线的中心。
离心率, 渐近线方程.
解析
2
2
y
x
把双曲线的方程9y 2 16x 2 144化为标准方程 2 2 1.
4
3
由此可知, 实半轴长a 4, 虚半轴长b 3;
双曲线专题讲练
双曲线专题主讲练1. 双曲线的定义 （1）第一定义：当1212||||||2||PF PF a F F -=<时, P 的轨迹为双曲线; 当1212||||||2||PF PF a F F -=>时, P 的轨迹不存在; 当21212||F F a PFPF ==-时, P 的轨迹为以21F F 、为端点的两条射线（2）双曲线的第二定义平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (1>e )的点的轨迹为双曲线2．双曲线方程的求法(1)若不能明确焦点在哪条坐标轴上，设双曲线方程为mx 2＋ny 2 ＝1(mn <0)(2)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b2 ＝λ(λ≠0)．(3)若已知渐近线方程为mx ＋ny ＝0，则双曲线方程可设为m 2x 2－n 2y 2＝λ(λ≠0). (4)与双曲线12222=-by ax 共轭的双曲线为22221y x ba-=(5)等轴双曲线222a y x ±=-的渐近线方程为xy±= ，离心率为2=e .；类型一：双曲线的定义和方程(一)注意定义中“陷阱”：一要注意是否满足122||a F F <，二要注意是一支还是两支，若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支． (二)注意焦点的位置1． 已知A(0，－5),B(0,5),|PA|－|PB|=2a ，当a ＝3和5时，P 点的轨迹为( ) A ．双曲线和一条直线B ．双曲线和二条射线C ．双曲线一支和一条直线D ．双曲线一支和一条射线 D2、已知12(5,0),(5,0)F F -，一曲线上的动点P 到21,F F 距离之差为6，则双曲线的方程为解析：12||||610PF PF -=< ，P 的轨迹是双曲线的右支.其方程为)0(116922>=-x yx3．已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________________．解析：根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)，其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x <0)．4、双曲线4x 2－y 2＋64＝0上一点P 到它的一个焦点的距离等于17，则点P 到另一焦点的 距离等于_____________。
双曲线与抛物线知识点
注：（1）双曲线中的焦点三角问题椭圆上的点00(,)P x y 与两焦点构成的12PF F ∆称作焦点三角形，12F PF θ∠=，110220,r PF a ex r PF a ex ==+==-，1222121201sin sin cot 21cos 2PF F S PF PF F PF b b c y θθθ∆=⋅⋅∠===- （2）两种特殊的双曲线①等轴双曲线：22(0)()x y a b λλ-=≠=，渐近线方程：y x =±，两条渐近线夹角2π，e =②共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.具有共同渐近线，相等的焦距.离心率倒数的平方和为1，222222221,1x y x y a b b a-=-=(,0)a b >为共轭双曲线 7、双曲线的参数方程sec tan x a y b θθ=⎧⎨=⎩1、抛物线的定义及标准方程（1）定义：平面内与一个定点F （焦点）和一条定直线l （准线）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.（2）标准方程：22222,2,2,2(0)y px y px x py x py p ==-==-> 2、焦半径公式及焦点弦问题（标准方程22(0)y px p =>）（1）焦半径：00(,)P x y 是抛物线上一点，F 是焦点，则PF 为焦半径，长为02p x +（2）焦点弦：过焦点F 的直线l 与抛物线相交于1122(,),(,)A x y B x y 两点，AB 即为抛物线22(0)y px p =>的焦点弦，则有：2124p x x =；212y y p =-；12AB x x p =++，12x x p +≥=，当12x x =时，焦点弦最短，是通径，长为2p ；3、抛物线的简单性质：标准方程22(0)y px p =>（1）范围：0x ≥ （2）对称性：关于x 轴对称，对称轴为x 轴 （3）顶点：原点(0,0) （4）离心率：1e =。
人教B版高中数学选择性必修第一册精品课件 第二章 平面解析几何 2.6.2 双曲线的几何性质
±
=0
或
−
2
2
y=± x,则双曲线方程可设为
λ>0 时,焦点在 x 轴上;当 λ<0 时,焦点在 y 轴上.
变式训练3(1)[北师大版教材习题改编]双曲线4x2-9y2=k的渐近线方程
为 2x±3y=0 .
(2)[人教A版教材习题改编]对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的一个焦点
是F1(-6,0),求双曲线的标准方程.
(3)∵e=
= 2,c2=a2+b2,∴a=b.
当焦点在 x 轴上时,设双曲线方程为 x2-y2=a2(a>0).
∵双曲线过点 M(-5,3),∴a2=16.
2
∴双曲线的标准方程为16
−
2
=1.
16
当焦点在 y 轴上时,设双曲线方程为 y2-x2=a2(a>0).
∵双曲线过点 M(-5,3),∴a2=9-25=-16,无解.
3
y=± x;
4
2
y=± x,且经过点(3
3
2,2).
2
(1)由题意设双曲线的标准方程为 2
a=1,b=2,故所求双曲线的标准方程为
2
− 2 =1(a>0,b>0),则
2
x2- =1.
4
2a=2
且 =2,即
2
(2)由题意设双曲线的标准方程为 2
2
故所求双曲线的标准方程为
36
(3)由题意设双曲线的方程为 y
若双曲线的焦点在 y
5
2
2
轴上,则设其方程为 2
9
− 2 =1,④
由③④得 a2=b2=-4(舍去).
高二数学双曲线试题答案及解析
高二数学双曲线试题答案及解析1.由曲线y和直线，以及所围成的图形面积是__________________.【答案】【解析】根据题意画出草图如下如图中的阴影部分面积为.【考点】定积分在几何中的应用.2.设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意，由于双曲线的虚轴长为2，焦距为，则可知b=1,c= ,而焦点在x轴上，故其渐近线方程为即为,故选C.【考点】双曲线的几何性质点评：本题主要考查了双曲线的几何性质和运用．考查了同学们的运算能力和推理能力3.双曲线的渐近线为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】由双曲线方程知：双曲线的焦点在x轴上，且a=1,b=1，所以渐近线方程为。
【考点】双曲线的简单性质：渐近线方程。
点评：双曲线的渐近线方程为；双曲线的渐近线方程为。
4.已知点、，直线与相交于点，且它们的斜率之积为，则点的轨迹方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设M(x,y),则,所以.5.已知双曲线，其右焦点为，为其上一点，点满足=1，，则的最小值为（）A．3B．C．2D．【答案】B【解析】解：双曲线的右焦点F（5，0），∵M满足| MF |=1，∴点M在以F为圆心1为半径的圆上∵ MF • MP =0，即圆的半径FM⊥PM，即| MP |为圆F的切线长由圆的几何性质，要使| MP |最小，只需圆心F到P的距离|FP|最小∵P是双曲线上一点，∴|FP|最小为c-a=5-3=2∴此时| MP |= 故选B6.若方程表示双曲线，则实数k的取值范围是（）A．2<k<5 ；B．k>5 ；C．k<2或k>5；D．以上答案均不对【答案】C【解析】若方程表示双曲线，7.与双曲线有相同焦点，且离心率为0.6的椭圆方程为。
【答案】;【解析】双曲线有相同焦点是（3,0）（-3,0），c="3," 离心率为0.68.(14分)直线l：y＝kx＋1与双曲线C：2x2－y2＝1的右支交于不同的两点A、B．(1)求实数k的取值范围；(2)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)－2<k<－．(2) k＝－．【解析】(1)直线与双曲线方程联立消y得关于x的一元二次方程，根据判别式大于零，可求出k的取值范围.(2)解本题的突破口是假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0)，则由FA⊥FB得(x1－c)(x2－c)＋y1y2＝0，即(x1－c)(x2－c)＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝0，整理得：(k2＋1)x1x2＋(k－c)(x1＋x2)＋c2＋1＝0再根据韦达定理解决即可.(1)将直线l的方程y＝kx＋1代入双曲线方程2x2－y2＝1后，整理得：(k2－2)x2＋2kx＋2＝0①解：依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故，解得－2<k<－．(2)设A、B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则由①式得②，假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0)，则由FA⊥FB得(x1－c)(x2－c)＋y1y2＝0，即(x1－c)(x2－c)＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝0，整理得：(k2＋1)x1x2＋(k－c)(x1＋x2)＋c2＋1＝0③把②式及c＝代入③式化简得5k2＋2k－6＝0，解得k＝－或k＝∉(－2，－)(舍去)．可得k＝－使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点．9.设F1，F2是双曲线的两个焦点，P在双曲线上，当的面积为2时的值为（）A．2B．3C．4D．6【答案】B【解析】解：由题意可得 a=，b=1，c=2，故 F1（-2，0）、F2（2，0）则根据面积公式可知，| PF1 - PF2|="|" F2F1|=2c=4，利用向量的数量积公式可知的值为3，选B10.若方程表示双曲线，则实数k的取值范围是A．B．C．或D．以上答案均不对【答案】C【解析】解：因为方程表示双曲线，所以（k-2）(5-k)>0，解得未选项C11.已知双曲线C：的离心率为，且过点P（，1）（1）求双曲线C的方程；（2）若直线与双曲线恒有两个不同的交点A和B，且（O为坐标原点），求k的取值范围.【答案】（1）；（2）（－1，－）（，1）.【解析】（1）由题意得，又，解得，故双曲线方程为；（2）直线方程与双曲线方程联立消去得，根据题意需满足得.由，即＞2，由韦达定理和直线方程把用表示，得关于的不等式，求出，取交集得的取值范围是（－1，－）（，1）.解：（1）由已知：双曲线过点P（，1），解得，，故所求的双曲线方程为---------------------------------4分（2）将代入得由直线与双曲线C交于不同的两点得，即①---------------------------------6分设A（），B（），由得＞2而＝＝＝，于是②---------------------------------8分由①②得故所求的的取值范围是（－1，－）（，1）---------------------------------10分12.双曲线的渐近线方程是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】解：因为.双曲线的方程为，则13.过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的弦，是另一焦点，若∠，则双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】根据题意可知,,故应选B.14.双曲线的一个焦点坐标是，那么 _______【答案】.【解析】,.15.过双曲线的mx2－y2＝m（m>1）的左焦点作直线l交双曲线于P、 Q两点，若|PQ|＝2m，则这样的直线共有 _______条.【答案】3.【解析】由于双曲线方程为,当焦点弦的两端点在同支上时，最短的弦为2m，满足条件的有一条;当焦点弦的两端点在两支上时，最短的弦为2<2m，满足条件的两条;所以共有3条.16.已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点（1）求双曲线的方程.（2）若点（3）在（2）的条件下【答案】（1）；（2）见解析；（3）6.【解析】（1）由于双曲线是等轴双曲线所以可设其方程为,然后把已知点代入方程即可.（2）用向量的坐标表示出来，利用点M在双曲线上这个条件即可得证.（3）在（2）的条件下可确定高|m|的值，面积即可求出.17.已知双曲线(1)求直线L的斜率的取值范围，使L与C分别有一个交点，两个交点，没有交点.(2)若Q(1,1)，试判断以Q为中点的弦是否存在，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）不存在.【解析】（1）本题涉及到用方程来判断直线与双曲线的位置关系，一定要注意再利用判别式进行判断时，二次项系数不为零.(2)本题求出直线方程后，要注意验证二次方程的判别式是否大于零，如果不大于零，就不存在，否则存在.解：（1）解方程组消去得当，时当时由得由得由得或综上知：时，直线与曲线有两个交点，时，直线与曲线切于一点，时，直线与曲线交于一点.或直线与曲线C没有公共点.（2）不存在假设以Q点为中点的弦存在（1）当过Q点的直线的斜率不存在时，显然不满足题意.（2）当过Q点的直线的斜率存在时，设斜率为K联立方程两式相减得：所以过点Q的直线的斜率为K=1所以直线的方程为y=x即为双曲线的渐近线与双曲线没有公共点即所求的直线不存在.18.双曲线的两焦点为，在双曲线上且满足，则的面积为（）．A．B．C．D．【答案】B【解析】解：不妨设F1、F2是双曲线的左右焦点，P为右支上一点，|PF1|-|PF2|="2" ①|PF1|+|PF2|="2" ②，由①②解得：|PF1|=+，|PF2|=-，得：|PF1|2+|PF2|2=4n+4=|F1F2|2，∴PF1⊥PF2，又由①②分别平方后作差得：|PF1||PF2|=2，故选B19.设F1、F2是双曲线的左右焦点，若双曲线上存在一点A使∠F1AF2=90°，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，根据双曲线的几何定义可得，，所以。
【圆锥曲线】06双曲线的弦长和中点弦问题(含经典题型+答案)
双曲线的弦长公式与中点弦问题1.两条渐近线为02=+y x 和02=-y x 且被直线03=--y x 截得弦长为338的双曲线方程是 . 2.斜率为2的直线被双曲线22132x y -=截得的弦长为4，求直线的方程． 3.已知倾斜角为4π的直线l 被双曲线60422=-y x 截得的弦长28=AB ，求直线l 的方程．秒杀秘籍：双曲线的弦长公式与面积（不过焦点的弦）双曲线()222210,0x y a b a b-=>>与直线l ：y kx m =+相交于AB 两点，求AB 的弦长。
设：()()1122,,,A x y B x y 则()22121214AB kx x x x =++- 将y kx m =+代入22221x ya b-=得：()22222222220b k a x a kmx a m a b ----=()221222222212222a km x xb k a a m b x x b k a ⎧⎪+=⎪⎪-⎨⎪--⎪⋅=⎪-⎩∴()222222212122222141ab b k a m AB k x x x x k b k a -+∴=++-=+-例1：已知直线1+=x y 与双曲线14:22=-y x C 交于A 、B 两点，求AB 的弦长 解：设：()()1122,,,A x y B x y 则()()()22222121121214AB x x y y k x x x x =-+-=++-将1y x =+代入2214yx -=得：23250x x --=21235123x x x x +=⋅=-⎧∴⎨⎩22218213AB kx x ∴=+-=双曲线与直线交点的判别式：()2222224a b b k a m ∆=-+用来判断是否有两个交点问题。
面积问题：双曲线与直线m kx y l +=:相交与两点，()00,y x C 为AB 外任意一点，求ABC S ∆。
双曲线基本公式
双曲线基本公式双曲线是一种常见的数学曲线，它可以用一些基本公式来描述。
这些公式包括双曲线的定义、公式、图像等。
本文将介绍双曲线的基本公式及其相关内容。
双曲线的定义在平面直角坐标系中，当两个相交的曲线的交点的位置满足一定条件时，便形成了一个双曲线。
双曲线存在两个对称轴，横轴和纵轴，相交于双曲线的中心点。
双曲线的形态有两种，一种为左开口的，一种为右开口的。
双曲线的公式左开口的双曲线公式可以表示为：$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$右开口的双曲线公式可以表示为：$\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{x^2}{a^2}=1$其中，a和b都是正实数，代表双曲线在横轴和纵轴上的截距，可以控制双曲线的形状。
双曲线的图像左开口的双曲线在x轴负半轴和x轴正半轴之间打开，y轴是双曲线的对称轴，中心点在原点。
右开口的双曲线在y轴负半轴和y轴正半轴之间打开，x轴是双曲线的对称轴，中心点在原点。
双曲线的性质双曲线的相关属性有不少，这里主要介绍一下双曲线的渐近线和离心率等属性。
渐近线双曲线的渐近线是一种特殊的直线，它的斜率与双曲线的常数b/a（b>a）成正比。
当x趋于正无穷或负无穷时，双曲线将无限接近于这条直线。
离心率离心率是反映双曲线偏离对称轴的程度，计算公式为：$e=\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}$当离心率e等于1时，双曲线成为圆形，当e大于1时，双曲线向对称轴偏移更大，形态越扁平。
总结双曲线是一种重要的数学曲线，拥有许多独特的性质。
通过上述双曲线的基本公式、图像、属性等介绍，我们可以更深入地了解和掌握这个数学概念。
同时，双曲线在物理学、数学分析、工程学等领域中的应用十分广泛，加深学习双曲线的知识可以为我们今后进行学术研究和工程实践提供有力的支持。
第四章 位置线与船位理论
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◆当三标分布范围＞180o时， 校正后的船位应 在船位误差三角 形的内心上 （内切圆圆 心）上。
（如图2-2-22所示）
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◆ 当三标分布范围＜180o时， 校正后的船位应 在船位误差三角 形的中标位置线 外側的旁心上 （旁切圆圆心）上。
（如图2-2-23所示）
202174302系统误差产生误差三角形的船位校正系统误差产生误差三角形的船位校正对于由于系统误差产生的船位误差三角形来说对于由于系统误差产生的船位误差三角形来说消除了系统误差的船位消除了系统误差的船位p到误差三角形的三边的到误差三角形的三边的距离应分别等于其位置线误差距离应分别等于其位置线误差e1e2e3
但是，测量一定存在误差，导致测得的位置 线也一定存在误差。那么，这两条同一时刻含 有误差的位置线的交点，只能是我们观测时刻 含有误差的船位。
下面，将分别按位置线仅存在系统误差或随 机误差两种情况来进行讨论。
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§4—3 系统误差影响下的船位误差 及其校正方法
一、系统误差影响下的船位误差
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▲真实船位落在标准误差椭圆内的概率为： 1a、1b：39.4%； 2a、2b：86.5%； 3a、3b： 98.9% 称以3a、3b所作的船位误差椭圆为极限误差椭 圆。
▲在误差椭圆内： 短轴方向上，船位分布范围最小，精度最高； 长轴方向上，船位分布范围最广，精度最低；
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第四章 位置线与船位理论
§4—1 位置线与船位线
一、基本概念
1、等值线： 观测值函数为常数的几何轨迹，在数学上称为等值线。 例如：等深线、等高线、等磁差曲线等。
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解析：双曲线9y2－m2x2＝1(m>0)化为标准方程是 y2 x2 1 － 1 ＝1(m>0)， 9 m2
1 1 1 2 ∴a ＝9，b ＝m2.取一个顶点为0，3，
2
一条渐近线的方程为mx－3y＝0， 1 ∴ ＝5.∴m＝4. 2 m ＋9
答案：D
第二章 2.2 第18课时
作 业 目 标
作 业 设 计
挑 战 能 力
第二章
2.2 第18课时
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基础训练 作业目标
第二章
2.2 第18课时
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1.进一步掌握双曲线的标准方程和几何性质，能解决与双 曲线有关的综合问题. 2.掌握直线和双曲线的位置关系的判断方法，能利用直线 和双曲线的位置关系解决相关的弦长、中点弦等问题，提高知 识的综合应用能力.
第二章
2.2 第18课时
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基础训练 作业设计
限时：45分钟 总分：90分
第二章
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一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．双曲线x2－y2＝λ2(λ>0)的离心率e＝( A．2 C. 2 B. 3 D．1 )
第二章
2.2 第18课时
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解：∵a＝1，b＝ 3 ，c＝2，又直线l过点F2(2,0)，且斜率 k＝tan45° ＝1，∴l的方程为y＝x－2，
y＝x－2 由 2 2 3x －y ＝3
消去y并整理得2x2＋4x－7＝0.
B．2条 D．4条
第二章
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x2 y2 解析：已知双曲线方程为 － ＝1，故P(3,0)为双曲线的 9 4 右顶点，所以过P点且与双曲线只有一个公共点的直线共有三 条(一条切线和两条与渐近线平行的直线)．
答案：C
第二章
c 解析：由双曲线方程知a＝λ，c＝ 2λ，故e＝a＝ 2. 答案：C
第二章
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2．过双曲线x2－y2＝4的焦点且垂直于实轴的直线与双曲 线交于A，B两点，则AB的长为( A．2 C．8 B．4 D．4 2 )
第二章
2.2 第18课时
第二章
2.2 第18课时
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b 故双曲线的渐近线方程是y＝± x， a 4 即y＝± x，即4x± 3y＝0. 3
答案：4x± 3y＝0
第二章
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三、解答题(本大题共4小题，共45分，解答应写出文字说 明，证明过程或演算步骤) 10．(15分)已知双曲线3x2－y2＝3，直线l过右焦点F2，且 倾斜角为45° ，与双曲线交于A，B两点，试问A，B两点是否位 于双曲线的同一支上？并求弦AB的长．
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x2 y2 9．设F1、F2分别为双曲线 2 － 2 ＝1(a>0，b>0)的左、右 a b 焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到 直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方 程为________．
第二章
2.2 第18课时
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2.2 第18课时
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解析：由已知得双曲线的上顶点为A(0,3)，上焦点为 3＋5 F(0,5)，设圆心为P(x0，y0)，则y0＝ 2 ＝4.代入双曲线方程得 7×16 16 x2 0 2 2 － ＝1，所以x0 ＝ ，故|PO|＝ x0＋y2 ＝ 0 9 16 9 16 ＝3.
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12．(5分)若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不 同的两点，那么k的取值范围是________．
第二章
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第34页
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x2－y2＝6， 解析：由 y＝kx＋2，
2 2 x1 y1 a2－b2＝1 2 2 x2 －y2＝1 2 2 a b
y1－y2 b2x1＋x2 －12b2 4b2 ，两式作差得 ＝ 2 ＝ .又 2＝ 5a2 x1－x2 a y1＋y2 －15a
－15－0 直线AB的斜率是 ＝1，所以4b2＝5a2.代入a2＋b2＝9得a2 －12－3 x2 y2 ＝4，b2＝5，所以双曲线的标准方程是 － ＝1. 4 5 答案：B
第二章
2.2 第18课时
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x2 解：(1)将y＝－x＋1代入双曲线方程 2 －y2＝1(a>0)，得(1 a －a2)x2＋2a2x－2a2＝0.
1－a2≠0， 所以 4 4a ＋8a21－a2>0，
解得0<a< 2且a≠1. 1＋a2 又双曲线的离心率e＝ a ＝ 6 所以e> 2 且e≠ 2.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 7 ∵x1·2＝－ <0， x 2 ∴A，B两点分别位于双曲线的左、右两支上． 7 ∵x1＋x2＝－2，x1·2＝－2， x
第二章 2.2 第18课时
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∴|AB|＝ 1＋12|x1－x2|
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＝ 2· x1＋x22－4x1x2＝6.
第二章
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2a2 289 消去x2，得－ ＝ . 1－a2 60 17 由a>0，解得a＝13.
第二章
2.2 第18课时
第32页
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挑基础训练 战能力
第二章
2.2 第18课时
第二章 2.2 第18课时
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1 a2＋1，
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(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0,1)， 5 → 5→ 因为PA＝12PB，所以(x1，y1－1)＝12(x2，y2－1)， 5 所以x1＝ x2. 12 由于x1，x2是方程(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0的两根，且1－ a2≠0， 17 2a2 5 2 2a2 所以x1＋x2＝12x2＝－ ，x x ＝ x ＝－ . 1－a2 1 2 12 2 1－a2
第二章 2.2 第18课时
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二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) y2 x2 7．设一个圆的圆心在双曲线 9 － 16 ＝1的上支上，且恰好 经过双曲线的上顶点和上焦点，则原点O到该圆圆心的距离是 ________．
第二章
16 答案： 3
7×16 ＋16 9
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第19页
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8．已知双曲线中心在原点，且一个焦点为F(
7 ，0)，直
2 线y＝x－1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为－ 3 ，则 此双曲线的方程是________．
第二章
2.2 第18课时
第二章
2.2 第18课时
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x2 11．(15分)设双曲线C： 2 －y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1 a 相交于两个不同点A，B. (1)求双曲线C的离心率e的取值范围； → 5→ (2)设直线l与y轴的交点为P，若PA＝ PB，求a的值． 12
x2 y2 A. 3 － 6 ＝1 x2 y2 C. 6 － 3 ＝1
第二章
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x2 y2 解析：设双曲线的标准方程为 a2 － b2 ＝1(a>0，b>0)，由题 意知c＝3，a2＋b2＝9.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
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x2 y2 解析：设双曲线方程为 2－ 2＝1(a>0，b>0)， a b x2 y2 依题意c＝ 7.∴方程可化为 2－ ＝1. a 7－a2
2 y2 x 2－ a 7－a2＝1， 由 y＝x－1，
得(7－2a2)x2＋2a2x－8a2＋a4＝0. －2a2 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝ . 7－2a2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ第13页
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