工程力学(黄河水利职业技术学院)11压杆稳定

n=
P
≥ [nw ] — 安全系数法
φ—折减系数或纵向弯曲系数；一般[σ]>[σw]，故φ<1。 [σ W ] = σ lj = σ lj (λ ) = (λ ) = [σ ] nw [σ ] nw (λ )[σ ] 二、压杆的稳定计算 1. 稳定计算：由P、A、I、l、，求λ，查φ，校核σ。 2. 确定许可荷载：由A、I、l、、E，求[P]=φ[σ].A。 3. 设计截面：由P、l、，求A、I。因A、φ均未知，故用 试 算法计算；
由上可知：木柱的临界压力为Plj=123kN。
200
中性轴为z轴：
y
第三节
一、临界应力与柔度
压杆的临界应力
π 2 EI π 2 E I π 2 E 2 π 2 E = = i = 2 σ lj = = 2 2 2 A (l ) A (l ) A (l ) λ
Plj
其中：i =
I — 截面的惯性半径；为截 面的几何性质； A
例11-3 校核木柱稳定性。已知l＝6m,圆截面d＝20cm,两端 铰接，轴向压力P＝50kN，木材许用应力[σ]=10MPa。 解：
i= I d 20 = = = 5cm; A 4 4
= 1;
λ=
l
i
=
1 × 600 = 120; 5
查表：，＝0.208, [σ ] = 0.208 ×10 = 2.08;
由结点B的平衡： ΣY = 0, N BA sin α Pmax = 0;
∴ Pmax 4 = N BA sin α ≤ 59.6 × = 47.7kN ; 5
N BA
第四节
一、 稳定条件
压杆的稳定计算
P≤ Plj nw Plj = [ Pw ] — 许可荷载法
σ lj P σ = ≤ [σ lj ] = — 极限应力法 A nw P σ = ≤ [σ w ] = [σ ] — 折减系数法 A
I y = 2[25.6 +12.74× (1.52+ 2.5)2 ] = 463 4 > I z = Imin cm
由 = 0 .5, 求柔度 λ =
l
i
=
0 . 5 × 10000 = 126 . 6; 39 .5
0.401 0.466 (126.6 120) = 0.423; 130 120
第十一章
压杆稳定的概念
压杆稳定
压杆的稳定计算
细长压杆的临界力
小结
压杆的临界应力
第一节
压杆稳定的概念
压杆稳定—压杆保持其原有直线平衡状态的能力，称其 稳定性。（指受压杆件其平衡状态的稳定性） 细长压杆在压力逐渐增大至某一数值时，突然变弯直至 弯断的现象称为丧失稳定或失稳。
临界力—压杆在临界平衡状态时所受的轴向压力。 临界力
2
σij
抛物线公式
σs σp σc
E B C A
欧拉公式
临界应力总图—临界应力σlj 与柔度λ的函数关系曲线。 。
π E λ ≥ λc : 大柔度杆；σ lj = 2 ; λ λ λ < λc : 中小柔度杆；σ lj = a bλ2 ;
2
o
λp λc
λ
例11-2 图示支架中圆形截面压杆AB的直径为28mm,材料为A3钢， P E=200GPa。试求荷载P的最大值。 0.6m πd 2 a B C = 615.75mm 2 ; 解：AB压杆l=1000mm, A =
查值，用插值公式求得： = 0.466 +
[ P ] = [σ ] A = 0.423 × 140 × 2 × 1274 = 150.9kN
小
一、压杆稳定的概念 二、压杆的柔度
结
I ; A
λ=
l
i
; i=
三、大柔度杆临界应力和临界压力计算的欧拉公式
σ ≤ σ p , λ ≥ λp :
σ > σ p , λ < λp :
z
200×1203 Iz = = 28.8 ×106 mm4 = 28.8 ×106 m4 12
120
木柱两端固定，=0.5，则得：
π 2 EI z 3 . 14 2 × 10 × 10 3 × 28 . 8 × 10 6 Plj = = = 178 KN 2 2 ( l ) (0 . 5 × 8000 )
例11-1：截面为200×120mm2的轴向 受压木柱，l=8m，柱的支承情况是: 在最大刚度平面内压弯时为两端铰支 （图a）；在最小刚度平面内压弯时为 两端固定（图b）。木材的弹性模量 E=10GPa，试求木柱的临界压力。 （即绕y轴失稳）
120 × 200 =80 × 106 mm 4 中性轴为y轴：I y = 12
P 50000 × 4 = 1.59 MPa < [σ ]; σ= = 2 A π × 200
∴ 木杆稳定。
例11-4 求钢柱的许可荷载[P]。已知钢柱由两根10号槽钢组成， l＝10m,两端固定，[σ]＝140MPa。 解：查型钢表，A=12.74cm2， Iy=25.6cm4, Iz＝198.3cm4, iz=3.95cm， zo=1.52cm;
π 2E σ lj = 2 λ
π 2 EI Plj = ( l )2
四、中小柔度杆临界应力和临界压力计算的经验公式
σlj = a bλ2
Plj = σ lj A
五、压杆的稳定计算 P 折减系数法稳定条件： σ = ≤ [σ ] A
λ＝
l
i
称为压杆的柔度（长细 比）；反映压杆的柔软 程度。
二、欧拉公式的适用范围
π 2E π 2E σ lj = 2 ≤ σ p 或 λ ≥ = λp λ σp
三、超出比例极限时压杆的临界力及临界应力总图
当临界应力超出比例极限时，临界应力由经验公式计算。
σ lj = a bλ2 ;
Plj = σ lj A = ( a bλ ) A;
3
y 120 z 200
y 120 z 200
120
z
y
（图a）
（图b）
解：（1）计算最大刚度平面内的临界压力
木柱两端铰支，=1，则得：
π 2 EI y 3.14 2 × 10 × 10 3 × 80 × 10 6 Plj = = = 123kN 2 2 ( l ) (1× 8000 )
200
（2）计算最小刚度平面内的临界压力 （即绕 z 轴失稳）
4
i= I d = = 7 mm; = 1; A 4
0.8m
λ=
l
i
=
1 × 1000 = 142 .9 > λ p = 123 ; 大柔度杆； 7
A
π 2 E π 2 × 200000 σ lj = 2 = = 96.7 MPa 2 142.9 λ
N CB a
P B
Plj = σ lj A = 96.7 × 615.75 = 59.6kN ≥ N BA ;
第二节
Plj =
细长压杆的临界力
一、两端铰支细长压杆的临界力
π 2 EI
l
2
—两端铰支细长压杆的临界力计算公式（欧拉公式）
二、其他支承情况下细长压杆的临界力
π 2 EI min Plj = ( l)2
式中： Imin压杆横截面对中性轴的最小惯性矩； l计算长度；
长度系数，与杆端支承有关。
一端固定，一端自由压杆：＝2； 两端铰支细长压杆： ＝1； 一端固定，一端铰支压杆：＝0.7； 两端固定细长压杆： ＝0.5