11厄米算符的本征问题 坐标算符和动量算符
厄米算符的本征值和本征函数
厄米算符的本征值和本征函数厄米算符的本征值和本征函数是一种量子力学中非常重要的概念，它们可用于解释原子、分子和其他微观物体上的各种物理性质。
它们也是量子力学方程中最重要的部分，因为它们可以用来描述物体在不同情况下的行为。
厄米算符本征值(eigenvalue)是一个复数值，它代表了对应算符作用在相应状态上得到的实际结果。
这个数值由施加到物体上的力或能量决定，而不同的力和能量会产生不同的本征值。
厄米算符本征函数(eigenfunction)是一个复数函数，它代表了对应的状态的形式，它包含了物体的物理性质，比如其位置、运动和能量等信息。
它们可以用来描述物体在不同情况下的行为，并且可以用来解释物理系统的演化和发展。
比如，厄米算符本征函数可以用来描述原子核的结构，以及电子在量子力学中的行为等。
厄米算符本征值和本征函数之间具有密切的关系，它们是相互依赖的。
它们可以用来解释一个物理系统的行为，以及相关物理性质的变化。
比如，厄米算符本征值可以用来表示量子力学系统中电子所处的能量状态，而本征函数则可以用来描述这些状态的形式，从而可以解释该系统的物理性质和行为。
厄米算符本征值和本征函数的计算通常需要解决复杂的方程，这些方程的形式取决于描述原子、分子等物体的力学模型。
比如，如果要求解原子核的本征值和本征函数，就需要解决相应的核力学方程。
厄米算符本征值和本征函数在量子力学中有着重要的作用，它们可以用来解释原子、分子和其他微观物体的物理性质和行为。
它们可以用来识别物体的能量状态，从而可以解释物理系统的演化和发展。
此外，厄米算符本征值和本征函数的计算也是量子力学的重要组成部分，它们可以用来描述物理系统的行为。
动量算符是厄米算符的条件
动量算符是厄米算符的条件以动量算符是厄米算符的条件为题，我们首先需要了解什么是动量算符和厄米算符。
动量算符是量子力学中描述粒子运动的算符，通常用符号p表示。
在一维情况下，动量算符的表达式为p = -iħ(d/dx)，其中ħ为约化普朗克常数。
而厄米算符是指满足厄米共轭条件的算符。
在量子力学中，算符的厄米共轭定义为将算符中的所有系数取复共轭，并将算符中的所有项反向排列。
如果一个算符与其厄米共轭相等，即A† = A，那么这个算符就是厄米算符。
那么如何判断动量算符是否是厄米算符呢？我们可以根据厄米算符的定义，对动量算符进行分析。
我们需要将动量算符的表达式进行厄米共轭运算。
对于一维情况下的动量算符p = -iħ(d/dx)，我们可以得到其厄米共轭算符p† = iħ(d/dx)。
接下来，我们需要比较动量算符和其厄米共轭算符是否相等。
根据前面得到的动量算符和其厄米共轭算符的表达式，我们可以发现它们只相差一个负号。
即p† = -p。
因此，我们可以得出结论，动量算符p是厄米算符的条件是p† = -p。
动量算符是厄米算符的条件的意义在于，它保证了动量算符在量子力学中的应用的准确性和可靠性。
如果动量算符不是厄米算符，那么在描述粒子运动时可能会出现一些不符合实际的结果。
在实际应用中，我们经常会使用动量算符来描述粒子的运动状态，如动量算符的本征态表示粒子的动量量子化。
而动量算符是厄米算符，说明它的本征值是实数，这与实际测量结果是一致的。
总结起来，动量算符是厄米算符的条件是p† = -p。
这一条件保证了动量算符在量子力学中的应用的准确性和可靠性，使得我们可以更好地理解和描述粒子的运动状态。
量子力学中的位置与动量算符
量子力学中的位置与动量算符量子力学是描述微观世界的一种物理学理论，它的基础是量子力学方程和算符。
在量子力学中，位置和动量是两个基本物理量，它们的算符分别是位置算符和动量算符。
本文将详细介绍量子力学中的位置与动量算符，包括它们的定义、性质以及它们之间的关系。
一、位置算符在经典力学中，位置是一个确定的物理量，可以用一个具体的数值来描述。
然而，在量子力学中，位置并不是一个确定的量，而是一个算符，即位置算符。
位置算符用符号x表示，它的定义是：x = iħ∂/∂p其中，i是虚数单位，ħ是约化普朗克常数，∂/∂p表示对动量p求偏导数。
位置算符的本质是描述粒子在空间中的位置分布。
位置算符的性质有以下几点：1. 位置算符是厄米算符。
厄米算符是指满足厄米共轭关系的算符。
对于位置算符x来说，它的厄米共轭算符是x†=x。
2. 位置算符的本征态是位置本征态。
位置本征态是指满足位置本征值方程的态。
对于位置算符x来说，位置本征值方程是x|x⟩=x'|x⟩，其中x'是位置本征值，|x⟩是位置本征态。
3. 位置算符的本征值是连续的。
在经典力学中，位置是连续变量，而在量子力学中，位置算符的本征值也是连续的。
二、动量算符动量是一个描述物体运动状态的物理量，它的算符是动量算符。
动量算符用符号p表示，它的定义是：p = -iħ∂/∂x其中，i是虚数单位，ħ是约化普朗克常数，∂/∂x表示对位置x求偏导数。
动量算符的本质是描述粒子的运动状态。
动量算符的性质有以下几点：1. 动量算符是厄米算符。
对于动量算符p来说，它的厄米共轭算符是p†=p。
2. 动量算符的本征态是动量本征态。
动量本征态是指满足动量本征值方程的态。
对于动量算符p来说，动量本征值方程是p|p⟩=p'|p⟩，其中p'是动量本征值，|p⟩是动量本征态。
3. 动量算符的本征值是连续的。
与位置算符类似，动量算符的本征值也是连续的。
三、位置与动量算符的关系在量子力学中，位置算符和动量算符之间存在一种重要的关系，即不确定关系。
量子力学中的厄米算符描述量子力学中的可观测量
量子力学中的厄米算符描述量子力学中的可观测量量子力学是研究微观粒子行为的理论框架，而可观测量是用来描述这些粒子状态的物理量。
在量子力学中，可观测量通过厄米算符来描述。
一、厄米算符的定义和性质在量子力学中，厄米算符是一种具有特定性质的算符。
一个算符A 是厄米的，当且仅当它满足以下条件：1. A的本征值是实数：对于任意的本征态|a⟩，存在一个实数a，使得A|a⟩=a|a⟩。
2. A的本征态之间是正交的：对于不同的本征值a和b，如果a≠b，则本征态|a⟩和|b⟩是正交的，即⟨a|b⟩=0。
3. A的本征值是彼此不同的：对于不同的本征态|a⟩和|b⟩，如果它们对应的本征值相同，就意味着|a⟩和|b⟩是相同的本征态。
由于厄米算符的这些性质，它们在量子力学中被广泛地用于描述可观测量。
二、厄米算符的作用厄米算符作用于量子态时，会得到该量子态所对应的本征值和本征态。
假设A是一个厄米算符，|a⟩是其对应的本征态，对应的本征值为a。
那么有：A|a⟩ = a|a⟩其中，|a⟩表示本征态，a表示本征值。
这个方程说明，对于量子态|a⟩，经过厄米算符A的作用后，得到的结果是该量子态本身或者一个比例因子。
这样，我们可以通过测量A来得到量子态的本征值。
三、厄米算符的例子1. 动量算符：在量子力学中，动量算符P是一个重要的厄米算符。
它描述了粒子的动量，其本征态是平面波，本征值则是粒子的动量大小。
2.位置算符：位置算符X也是一个厄米算符。
它描述了粒子的位置，其本征态是位置本征态，对应的本征值是粒子在空间中的位置。
3.能量算符：能量算符H也是一个厄米算符。
它描述了系统的能量，其本征态是能量本征态，对应的本征值是系统的能量。
这些厄米算符的性质和作用在量子力学的实际应用中发挥着重要的作用。
四、厄米算符的重要性厄米算符在量子力学中的重要性不可忽视。
首先，由于其本征值是实数，通过测量厄米算符可以得到实验测量结果的物理解释，为实验提供了理论基础。
厄米算符的本征值与本征函数
即属于动量算符不同本征值的两个本征函数ψ pv′ 与ψ pv 相互正交。这是所有厄密算符的本征函数所共
有的。
2). 线性谐振子能量本征函数组成正交归一系
线性谐振子的能量本征函数
−1α 2x2
ψ n = N ne 2 H n (αx)
∫ 组成正交归一系：
∞ψ
−∞
n*ψ
n′ dx
=
δ
nn′
3). 角动量本征函数组成正交归一系
m≠n m=n
把(3)与(4)式合写为
∫ψ m*ψ ndτ = δmn
②. 连续谱正交归一条件表示为：
∫ψ λ*ψ λ′dτ = δ (λ − λ′)
③. 正交归一系 满足上式的函数系ψn或ψλ称为正交归一（函数）系
5. 简并情况 如果Â的本征值An是fn度简并的，则属于本征值An的本征态有fn个：ψnα，α=1,2,…, fn
综合上述讨论可得如下结论：既然厄米算符本征函数总可以取为正交归一化的，所以以后凡是
提到厄米算符的本征函数时，都是正交归一化的，即组成正交归一系。
6. 实例
1). 动量本征函数组成正交归一系
∫ψ *pv′ (rv)ψ pv (rv)drv = δ ( pv − pv ′)
当 pv ≠ pv ′ 时，
∫ψ *pv′ (rv)ψ pv (rv)drv = 0
4. 厄米算符的本征函数的正交性
1). 正交性的定义
∫ 如果两函数ψ1和ψ2满足关系式 ψ 1*ψ 2dτ = 0 ，则称ψ1和ψ2相互正交。
2). 定理 III：厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此正交。（证明）
∫ ∫ ( Aˆψ m )*ψ ndτ = Am ψ m*ψ ndτ
厄米算符的本征值与本征函数详解演示文稿
三、厄米算符的本征值与本征函数(5)
2、几个定理（1）
定理1：厄米算符的本征值必为实数。
设 Aˆ 为厄米算符， n 和 An 为该算符的本征态与本
征值，即：Aˆ n An n
【证明】：设 A 为 Aˆ 在本征态 m 下的平均值，即：
A
* m
Aˆ
md
3r
四、角动量的本征值与本征函数（1）
n
( Aˆ *
* m
)d
3r
n A~ˆ
* m
d
3r
* m
Aˆ
n
d
3r
* m
An
n
d
3r
An
m* nd 3r
即：
n
(
Aˆ *
* m
)d
3r
An
m* nd 3r
已证明：
n
(
Aˆ *
* m
)d
3r
Am
m* nd 3r
Am m* nd 3r An m* nd 3r
即( Am An ) m* nd 3r 0, Am An ,
*[( Aˆ A) ][( Aˆ A) ]* d 3r ( Aˆ A) 2 d 3r 0
( Aˆ A) 0, 或者Aˆ 常数
改记为： Aˆ n An n
三、厄米算符的本征值与本征函数(3)
1、本征函数（本征态）和本征值（2）
Aˆ n An n
n 0,1,2,3,
定Aˆ理和：厄(r)米，算若符Aˆ＋的平Aˆ均，值即为Aˆ 实 A~数ˆ * 。
则
A
*
(r )
Aˆ
(r )d
3r
第12讲厄米算符的本征值和本征函数、算符与力学量的关系分析
二式相 减 得：
(Fm Fn ) m *nd 0
(Fˆm )*nd m * Fˆnd Fn m *nd
（2）分立谱、连续谱正交归一表示式
若m≠Fn， 则必有：
m *nd 0
[证毕]
1. 分立谱正 交归一条 件分别为：
n *nd 1
m *nd 0
m *nd mn
2. 连续谱正 交归一条 件表示为：
c * d 2 * Fˆ 1 c d1 * Fˆ 2
式右 d (Fˆ )* d (Fˆ [ 1 c 2 ]) *[ 1 c 2 ] d (Fˆ 1 )* 1 | c |2 d (Fˆ 2 )* 2
c * d (Fˆ 2 )* 1 c d (Fˆ 1 )* 2
[ d1 * Fˆ 1 ]* | c |2 [ d 2 * Fˆ 2 ]* c * d (Fˆ 2 )* 1 c d (Fˆ 1 )* 2
Fˆni Fnni
i 1,2,, f
一般说来，这些函数 并不一定正交。
但是
可以证明由这 f 个函数可以线性组合成 f 个独立的新函数， 它们仍属于本征值 Fn 且满足正交归一化条件。
证明
由这 f 个φn i 线性组合成 f 个新函数 ψn j
二式相减得： d2 * Fˆ1 d (Fˆ 2 )*1
所得二式正是厄密算符的定义式， 故逆定理成立。实验上的可观测 量当然要求在任何状态下平均值 都是实数，因此相应的算符必须 是厄密算符。
（二）厄密算符的本征方程
（1）涨落
(F )2 (Fˆ F )2 *(Fˆ F )2d
证明：
Fˆ 因为是厄密算符 F 必为实数 因而 Fˆ F 也是厄密算符
根据定理 I
F d n * Fˆ n Fn d n * n Fn
量子力学中的厄米算符
量子力学中的厄米算符量子力学作为一门独特的物理学理论，涉及到许多独特且深奥的概念和数学工具。
其中，厄米算符是量子力学中的重要概念之一，与量子力学体系的可观测量以及物理系统的性质密切相关。
本文将介绍厄米算符的定义、性质以及它们在量子力学中的重要应用。
一、厄米算符的定义在量子力学中，厄米算符是指满足厄米共轭条件的算符。
对于一个算符A，如果满足以下条件：A† = A其中†表示厄米共轭操作，即将算符的转置与复共轭进行运算，那么A就是一个厄米算符。
二、厄米算符的性质1. 厄米算符的本征值是实数：对于一个厄米算符A，它的本征方程可以表示为：A|a⟩ = a|a⟩其中|a⟩表示A的本征态，a表示对应的本征值。
由于厄米算符的厄米共轭条件，可以证明厄米算符的本征值一定是实数。
2. 厄米算符的本征态之间正交：对于一个厄米算符A，如果它的两个不同本征值对应的本征态分别为|a⟩和|b⟩，那么它们之间满足正交条件：⟨a|b⟩ = 0这也是由厄米算符的厄米共轭条件所决定的。
3. 厄米算符的本征态构成完备集：对于一个厄米算符A，如果它的本征值谱集合是离散的，并且存在一组对应的正交归一本征态集合，则这个本征态集合构成了一组完备基。
也就是说，对于任意一个态矢量|ψ⟩，都可以表示为本征态的线性组合：|ψ⟩= ∑ cₙ |n⟩其中|n⟩表示厄米算符A的本征态，cₙ表示展开系数。
三、厄米算符的应用厄米算符在量子力学中有着广泛的应用，下面将介绍其中的两个重要应用。
1. 可观测量和厄米算符：在量子力学中，物理量可以由厄米算符来描述。
例如，动量算符和能量算符都是厄米算符。
对于一个可观测量，其可能的取值即为对应厄米算符的本征值。
通过测量，可以得到该物理系统在特定状态下的本征值，从而获得物理量的具体数值。
2. 厄米算符的时间演化：在量子力学中，物理系统的时间演化可以由厄米算符来描述。
根据薛定谔方程，体系的态随时间的演化可以由厄米算符的本征态和本征值决定。
. 厄米算符不同本征值对应的本征态正交
厄米算符不同本征值对应的本征态正交在量子力学中，厄米算符是一类非常重要的算符，它们具有许多重要的性质，其中之一就是不同本征值对应的本征态是正交的。
本文将围绕这一重要的性质展开讨论，并从浅入深地探究其背后的原理和意义。
1. 什么是厄米算符？在量子力学中，厄米算符是指其对应的物理量是可观测的，即可以通过实验进行测量的算符。
厄米算符在量子力学中扮演着非常重要的角色，它们的本征值和本征态有着许多重要的性质，其中就包括本征态正交的性质。
2. 厄米算符不同本征值对应的本征态为何正交？要解释厄米算符不同本征值对应的本征态正交的性质，我们可以从厄米算符的性质和本征态的定义入手进行说明。
由于厄米算符是可观测的物理量对应的算符，不同本征值对应的本征态在物理意义上代表了对应物理量的不同测量结果。
而正交性意味着不同测量结果所对应的本征态在彼此之间是相互垂直的，这也与物理上的实验结果相符。
3. 正交性的物理意义和实际应用厄米算符不同本征值对应的本征态正交性的物理意义在于，在进行量子力学的测量时，不同的测量结果是相互独立的，彼此之间不会相互干扰，这也为量子力学的实验结果提供了坚实的基础。
另外，正交性的性质也在量子力学的计算和求解中扮演着非常重要的角色，它为我们提供了在物理问题求解中的便利性和简化性。
4. 个人观点和理解作为一名研究量子力学多年的学者，我对厄米算符不同本征值对应的本征态正交性的深刻理解和应用经验使我深信这一性质的重要性。
正交性不仅为量子力学实验结果提供了坚实的基础，也在理论计算和物理问题求解中起到了非常重要的作用，这一性质对于深入理解量子力学的重要意义不言而喻。
总结回顾本文围绕厄米算符不同本征值对应的本征态正交这一重要性质展开了讨论，从厄米算符的定义和不同本征值本征态的物理意义入手，逐步深入探究了正交性的原理和意义。
正交性为量子力学实验结果提供了坚实的基础，也在量子力学的计算和求解中起到了非常重要的作用。
个人作为一名资深学者对于这一性质深刻的理解和应用经验更是加深了我对其重要性的认识。
厄米算符的本征值与本征函数
19
四、角动量的本征值与本征函数（3）
2、角动量 z 分量的本征值与本征函数(1)
设本征值与本征函数为 和 lz ，本征方程为：
i
lz
ln
ilz /
解为： () C exp( ilz / ) 其中 C 为归一化常数
当 2 ，系统将回到原来的位置，由波函数的
单值性要求，有： ( 2 ) () ，即：
A ，可能
出现各种不同的结果，根据概率论，所得结果的平均将趋
于一个确定值，即平均值（期望）：A ， A *Aˆd 3r 每次测量结果则围绕平均值有一个涨落（方差）。定
义为： Aˆ 2 ( Aˆ A)2 *( Aˆ A)2d 3r
因为 Aˆ 是厄米算符，A 必为实数，因此 Aˆ 也是厄米算符 Aˆ ( Aˆ A) Aˆ A Aˆ A Aˆ
exp( ilz ( 2 ) / ) exp( ilz / ) e(2ilz /) 1 lz m, m 0,1,2 是量子化的
相应的本征函数： m () Ceim , m 0,1,2 20
四、角动量的本征值与本征函数（4）
2、角动量 z 分量的本征值与本征函数(2)
由归一化条件，有：
根据前述的推论2：Aˆ 2 *( Aˆ A)2d 3r 0
7
三、厄米算符的本征值与本征函数(2)
1、本征函数（本征态）和本征值（2）
Aˆ 2 *( Aˆ A)2d 3r 0 若 Aˆ 2 *( Aˆ A)2d 3r 0 ，涨落为零，其物理含
义为：测量 A 所得的结果是唯一确定的，换句话说，测量
Aˆ 和
(r)，若Aˆ＋
Aˆ ，即Aˆ
~ Aˆ *
~
则 A 2 *( Aˆ)2d 3r * Aˆ *( Aˆ )d 3r
第12讲厄米算符的本征值和本征函数、算符与力学量的关系
d
d
1
ˆ d ( F ˆ ) * d * F *F 2 2 1 ˆ 1 ) * 2 d ( F 2 ˆ 1
ˆ d ( F ˆ ) * ] [ d ( F ˆ ) * d * F ˆ ] [ d 1 * F 2 1 2 2 1 2 1
（四）实例
（1）动量本征函数组成正交归一系 （2）线性谐振子能量本征函数组成正交归一系
（3）角动量本征函数组成正交归一系
1. Lz 本征函数
2. L2本征函数
（4）氢原子波函数组成正交归一系
§6 算符与力学量的关系
（一）力学量的可能值
（1） 力学量算符本征函数组成完备系
（2） 力学量的可能值和相应几率
i 1 i 1
Fn nj
因为
j , j 1,2, , f
f2 - f(f+1)/2 = f(f-1)/2 ≥ 0，
算符 F 本征值 Fn简并的本质是： 当 Fn 确定后还不能唯一的确定状 态，要想唯一的确定状态还得寻找 另外一个或几个力学量算符，F 算 符与这些算符两两对易，其本征值 与 Fn 一起共同确定状态。
（2）分立谱、连续谱正交归一表示式
1. 分立谱正 交归一条 件分别为： 3. 正交归一系
n * n d 1 m * n d 0
m
* nd 0
[证毕]
m
* n d mn
2. 连续谱正 交归一条 件表示为：
* d ( )
1. ψ nj是本征值Fn的本征函数。
2. 满足正交归一条件的f个新函数ψnj可以组成。 为此只需证明线性 叠加系数 Aji 的个 数 f 2 大于或等于 正交归一条件方程 个数即可。
动量算符是厄米算符的证明
动量算符是厄米算符的证明动量算符是厄米算符的证明，这个话题听起来有点学术，但其实只要我们轻松聊聊，就能把它搞得有趣起来。
动量算符就像是一个神秘的工具，它在量子力学中扮演着超级重要的角色，简直就像是超人，负责帮我们解决粒子的行为。
而厄米算符嘛，它就像是个好老师，永远都能让我们得到真实的物理量。
这样一来，动量算符要是能成为厄米算符，那简直是天上掉下来的馅饼，谁不想捡呢？想象一下，你在看一场魔术表演，那个魔术师就是动量算符，他的每一个动作都那么流畅，每一个变化都让人目不暇接。
而观众呢？我们就像是那些小小的粒子，等待着被揭示的秘密。
动量算符的作用，就是在我们心中引发那种“哇，原来如此”的惊叹。
可这位魔术师如果不是真正的厄米，表演起来就可能会跑偏，难免让人失望。
所以我们得先验证他是不是个真厄米。
怎么验证呢？我们得搞清楚厄米算符的定义。
简单说，厄米算符的特点就是它的共轭转置等于它本身。
哇，这听起来像是一个数学上的密语，其实只要一想就能明白。
想象一下，你有一个好朋友，彼此之间总是坦诚相待，绝不藏着掖着，这就是厄米算符的精神。
动量算符也得具备这样的品质，才能让我们安心，才能在量子世界中自由翱翔。
我们看看动量算符。
它的表达式通常是这样的：(ihbar frac{d{dx)。
别被这串符号吓到了，意思就是它和位置有关，涉及到导数的概念。
这里的“i”可不是爱因斯坦，而是虚数单位，听起来有点复杂，其实就是在量子力学中常常出现的“幽灵”。
动量算符在对待波函数时，真是个“狠角色”，它把波函数轻轻一推，波动就出来了，带着动量的味道。
好啦，现在我们就来看看它的共轭转置。
根据数学规则，我们对动量算符进行共轭转置，就会发现它变成了(ihbar frac{d{dx)的转置，经过一番变换后，又回到了原来的样子，简直就像魔术师的换装，神奇又迅速。
这样一来，动量算符和它的共轭转置完全一致，嘿，难道不就是在宣告：“我就是厄米算符！”？动量算符的本质就是量子力学中描述粒子行为的关键，像是一个开门的钥匙。
厄米算符本征函数完备性的一般证明
厄米算符本征函数完备性的一般证明在坐标表象下，可观测量Q的期望值可以写成<Q>=∫ψ∗Q^ψdx=<ψ|Q^ψ>由于可观测量必须实数，因此有<Q∗>=<Q>,所以有<Q^ψ|ψ>=<ψ|Q^ψ>满足上式的算符Q^，称为厄米算符，可观测量均由厄米算符表示。
厄米算符作用于内积的左侧项与右侧项等价，这是厄米算符的一个重要性质。
下面我们来推导厄米算符的本征方程（有些教材直接给出本征方程的形式，而《量子力学概论》（大卫|格里菲斯）是从确定值态出发，推导出本征方程的形式）。
我们假设在某个态下测量可观测量Q的值，无论什么时候测，都恰好为同一个确定的值q，这样的态我们称为确定值态（或者本征态），记为ϕ.显然在本征态下，有<Q>=q以及方差<σ2>=0则有<σ2>=<ϕ|(Q^−q)2ϕ>=0由于Q^为厄米算符，可以提出一个(Q^−q)到内积的左侧项，即有<(Q^−qϕ|Q^−qϕ)>=0所以有(Q^−q)ϕ=0即Q^ϕ=qϕ,此即本征态ϕ所满足的本征方程。
由此，我们推导出了厄米算符Q^的本征方程。
我们称满足此本征方程的态为算符Q^的本征态ϕ，在此态下测量Q得到的值必为一个确定值，称为在该本征态下对应的本征值。
一个算符的所有本征值的集合称为这个算符的谱，根据本征值的分布是离散的还是连续的，谱可以分为分立谱和连续谱。
多个线性独立的本征态具有同一个本征值的情况称为谱的简并，简并的概念在量子力学中具有比较重要的地位。
因此，定态薛定谔方程即为能量算符的本征方程。
下面举几个简单例子说明谱的分立性与连续性。
1）谐振子的哈密顿谱为分立谱。
2）自由粒子的哈密顿谱为连续谱。
3）有限深方势阱的谱为分立谱+连续谱。
11厄米算符的本征问题 坐标算符和动量算符
将 cn (t ) 代入 (r , t )中，得
* * (r , t ) n (r) (r, t ) n (r )d n (r) n (r )
因为
n (r , t ) (r r ) (r , t )d
线性厄米算符的本征函数构成一个正交归一的函数系简记因为所以33坐标算符和动量算符一坐标算符二动量算符33坐标算符和动量算符在量子力学中坐标算符和动量算符是两个较为特殊的算符它们的本征值皆可连续取值且本征波函数不能归一化只能规格化为函数
§3-2 厄米算符的本征问题
一、厄米算符的本征值必为实数 二、厄米算符本征函数的正交性 三、厄米算符本征函数的完备性
如此做下去，直到将全部本征函数变换完毕，就得到一组正交 归一化的简并波函数。 例1．已知两个既不正交也不归一的波函数
1 1 1 u1 u 2 2 2 2 2u 2u 1 2 2
利用施密特方法将其正交归一化，其中， u1 ,u 2 为任意正交归一化 基底。
* n (r ) n (r ) (r r ) n
所以
此即本征函数的封闭关系。
§3-3 坐标算符和动量算符
一、坐标算符 二、动量算符
§3-3 坐标算符和动量算符
在量子力学中，坐标算符和动量算符是两个较为特殊的算符， 它们的本征值皆可连续取值，且本征波函数不能归一化，只能规格 化为 函数。
n 2 c21n1 c22 n2 其次，构造 利用 n 2 与 n1 正交的要求
* * * n1n 2 d c21 n1 n1d c22 n1 n 2 d 0
* c21 c22 n1 n 2 d 0
量子力学— —算符
，都是厄米算符。
对于任意量子态
，
。所以，动量算符确实是一个厄米算符。 动量算符确实是一个厄米算符
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1.2 （位置算符）本征值与本征函数
假设，位置算符 的本征值为 的本征函数是 。用方程表达， 这方程的一般解为，
其中， 虽然
是常数， 无法归一化：
是狄拉克δ函数。
设定
= 1，我们可以使
满足下述方程：
们立刻再测量可观察量
，得到的答案必定是
可是，假若，我们改为测量可观察量 为
，则量子态不会停留于本征态
的本征态。假若，得到的测量值为其本征值
，则量子态几率地坍缩为本征态
根据不确定性原理， 的不确定性与 与 之间， 与 的不确定性的乘积 之间，也有类似的特性。 ，必定大于或等于 。
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3.1 角动量算符 简介
角动量促使在旋转方面的运动得以数量化。在孤立系 统里，如同能量和动量，角动量是守恒的。在量子力 学里，角动量算符的概念是必要的，因为角动量的计 算实现于描述量子系统的波函数，而不是经典地实现 于一点或一刚体。在量子尺寸世界，分析的对象都是 以波函数或量子幅来描述其几率性行为，而不是命定 性(deterministic)行为。
量子力学
算 符
目录
一、位置算符
1.1 厄米算符 1.2 （位置算符）本征值与本征函数 1.3 正则对易关系
七、自旋算符
7.1 概论 7.2 发展史 7.3 自旋量子数
7.3.1 基本粒子的自旋 7.3.2 亚原子粒子的自旋 7.3.3 原子和分子的自旋 7.3.4 自旋与统计
二、动量算符
厄米算符的本征值和本征函数
d r
*
（3.3.1）
*
它具有下述性质：
iii
i
2
dr 0
（3.3.2）
ii
若 C 1 、 2 为常数 C
C 1 1 C 2 2 C 1 1 C 2 2
1 O
2
O 1
2
2
2
O 1 O
1
因此， 必为厄米算符。得证。 O
3.3 厄米算符的本征值和本征函数
性质④ 的证明：
O O
n
O n O m
n
m
m
且 O n O m ( m n ) ，因为 O 是厄米算符，它的本征函数 * O 是实数， m O m 。本征方程的共轭方程为
O
* *
m
O m
Om
*
m
由
O
m
n
m
n
的厄米性质，O m n 及O
m
O
n
，及
m O n On m n
3.3 厄米算符的本征值和本征函数
得
(O m O n )
m
n 0
又因 O n O m
得
m n 0
对 1 和 2 作变换，令
1 1e
ia
,
2
2e
ib
（ a , b 为任意实数）
代入（3）式后得
e
i (b a )
动量算符是厄米算符的条件
动量算符是厄米算符的条件动量算符是量子力学中非常重要的一个概念，它描述了一个物体的运动状态。
在量子力学中，物体的动量并不是一个确定的值，而是一个算符。
然而，我们知道，算符有一个重要的性质，即它可以是厄米算符。
那么，动量算符是否满足厄米算符的条件呢？本文将从理论和实践两个方面来探讨这个问题。
我们来看动量算符是否是厄米算符的理论依据。
根据量子力学的基本原理，一个物理量的算符是厄米算符，当且仅当它的本征值是实数，并且它的本征函数构成一个完备的正交归一基。
对于动量算符来说，我们知道它的本征值是实数，因为动量是一个物体运动的基本性质，它具有确定的大小和方向。
此外，动量算符的本征函数也构成一个完备的正交归一基，这一点可以通过求解动量算符的本征值方程得到证明。
我们来看动量算符是否满足厄米算符的实验验证。
实验上，我们可以通过测量动量的本征值来验证动量算符是否是厄米算符。
对于一个系统来说，我们可以通过测量物体在不同方向上的动量来得到它的动量谱。
实验结果表明，这些动量谱是离散的，而且每个本征值都是实数。
这与厄米算符的性质是一致的。
因此，实验结果进一步验证了动量算符是厄米算符的结论。
总结起来，动量算符是厄米算符的条件是它的本征值是实数，并且它的本征函数构成一个完备的正交归一基。
从理论和实验两个方面来看，动量算符都满足这些条件，因此可以得出结论：动量算符是厄米算符。
动量算符作为厄米算符具有很多重要的性质。
首先，厄米算符的本征值是实数，这意味着物体的动量是可以被准确地测量和描述的。
其次，厄米算符的本征函数构成一个完备的正交归一基，这意味着我们可以用动量的本征函数来展开和描述任意一个物体的运动状态。
这为我们研究物体的运动提供了便利。
由于动量算符是厄米算符，它还具有一些其他重要的性质。
例如，厄米算符的本征函数是正交归一的，这意味着不同本征值对应的本征函数是正交的，它们之间不存在交叠。
这一性质在量子力学中具有重要的意义，它保证了不同动量的状态之间是不相干的。
动量算符是厄米算符的条件
动量算符是厄米算符的条件动量算符在量子力学中扮演着非常重要的角色。
它描述了一个物体的运动状态，包括其速度和方向。
动量算符是一个矢量算符，通常用符号p表示。
在量子力学中，算符的厄米性是一个重要的性质。
一个算符是厄米算符，意味着它的厄米共轭等于自身。
在数学上，对于一个算符A，如果满足A† = A，则称其为厄米算符。
†表示厄米共轭。
那么动量算符是否满足厄米性呢？我们来看一下。
动量算符的定义是p = -iħ∇，其中ħ是普朗克常量的约化值，∇是梯度算符。
这个定义来源于量子力学的基本原理，即动量算符是位置算符的导数。
我们来求动量算符的厄米共轭，即p†。
根据厄米共轭的定义，我们需要求出动量算符的厄米共轭之后，再看是否等于自身。
我们需要求出位置算符的厄米共轭。
位置算符是一个乘法算符，用符号x表示。
它的定义是x = ix。
那么位置算符的厄米共轭x†是什么呢？根据厄米共轭的定义，我们将i替换为- i，就可以得到位置算符的厄米共轭。
接下来，我们来求动量算符p的厄米共轭。
根据厄米共轭的定义，我们需要将位置算符的厄米共轭插入到梯度算符∇的前面。
根据定义，我们有p† = (-iħ∇)† = -iħ∇†。
现在我们来求解梯度算符的厄米共轭∇†。
梯度算符是一个矢量算符，它的厄米共轭是一个梯度算符的负号。
因此，我们有梯度算符的厄米共轭∇† = -∇。
将梯度算符的厄米共轭代入动量算符的厄米共轭的表达式中，我们得到p† = -iħ(-∇) = iħ∇。
现在我们来比较动量算符p和它的厄米共轭p†。
根据上面的计算，我们可以看到p† = iħ∇，不等于p = -iħ∇。
因此，动量算符p不是一个厄米算符。
那么，动量算符为什么不是厄米算符呢？这是因为动量算符是一个矢量算符，它包含了位置算符的导数。
而导数运算是一个矢量运算，它不满足厄米性的定义。
然而，虽然动量算符不是一个厄米算符，但它仍然是一个重要的算符。
它在量子力学中有着非常重要的应用，例如描述粒子的运动状态，计算能级等。
厄米算符不同本征值对应的本征态正交
厄米算符不同本征值对应的本征态正交厄米算符是量子力学中非常重要的一个概念，它是一个自伴算符，可以表示物理量的测量以及量子态的演化。
在量子力学中，厄米算符的本征态具有一些特殊的性质，其中最重要的就是它们是正交的。
本文将探讨以厄米算符不同本征值对应的本征态正交的原因和意义。
我们先来了解一下什么是厄米算符。
在量子力学中，一个厄米算符是一个满足以下条件的线性算符：它的厄米共轭等于它自己，即A†=A。
厄米算符在量子力学中起到了非常重要的作用，因为它们代表着可观测量，比如能量、动量、角动量等。
在求解量子力学问题时，我们通常需要找到一个厄米算符的本征态，这些本征态对应着不同的本征值。
接下来，我们来探讨为什么以厄米算符不同本征值对应的本征态是正交的。
要理解这个问题，我们首先需要了解本征态的定义。
在量子力学中，本征态是指一个态矢量，它满足厄米算符作用后等于一个常数乘以自身，即A|ψ⟩=a|ψ⟩，其中A是一个厄米算符，|ψ⟩是一个本征态，a是该本征态对应的本征值。
换句话说，本征态是厄米算符的特征向量，相应的本征值则是特征值。
现在我们来证明以厄米算符不同本征值对应的本征态是正交的。
假设|ψ₁⟩和|ψ₂⟩是厄米算符A的两个本征态，对应的本征值分别为a₁和a₂，即A|ψ₁⟩=a₁|ψ₁⟩和A|ψ₂⟩=a₂|ψ₂⟩。
我们可以进行内积运算，即⟩ψ₁|ψ₂⟩，其中⟩ψ₁|是|ψ₁⟩的厄米共轭。
根据厄米算符的定义，我们有⟩ψ₁|A†=⟩ψ₁|A。
将A作用在第一个本征态上，我们得到⟩ψ₁|A=A†|ψ₁⟩=a₁⟩ψ₁|ψ₁⟩。
同样地，将A作用在第二个本征态上，我们得到⟩ψ₁|A=A†|ψ₂⟩=a₂⟩ψ₁|ψ₂⟩。
由于A†=A，我们可以得到a₁⟩ψ₁|ψ₁⟩=a₂⟩ψ₁|ψ₂⟩。
由于a₁和a₂是不同的本征值，所以上式只有在⟩ψ₁|ψ₂⟩=0时才成立。
这就意味着以厄米算符不同本征值对应的本征态是正交的。
这个结论的物理意义非常重要。
正交性意味着不同本征态之间是相互正交的，它们在空间中是相互垂直的。
量子力学坐标算符
量子力学坐标算符
量子力学是一种描述微观世界中粒子行为的理论，其中坐标算符是描述这些粒子位置
的工具。
在量子力学中，坐标算符是量子态中位置概率分布的测量算符。
坐标算符在量子力学中的定义与经典物理学中的相似，它是一个物理量算符，用来描
述粒子在三维空间中的位置。
在笛卡尔坐标系中，坐标算符可以表示为三个不同的算符^x、^y、^z。
这些坐标算符有许多重要的性质，其中一些如下：
1. 坐标算符是厄米算符：坐标算符的本征态构成一个正交完备基，这意味着我们可
以通过一组归一化的本征函数来描述坐标算符的所有态。
2. 坐标算符在不同的态之间是非对易的：这意味着我们不能同时测量粒子在两个不
同的位置，因为这个测量会影响量子系统的态。
3. 坐标算符的物理意义：坐标算符并不是一个可以观察到的物理量，但是它是描述
量子物理系统的一种强大工具。
通过测量坐标算符，我们可以推测出粒子在三维空间中的
位置。
4. 坐标算符的本征值：坐标算符的本征值是测量得到的粒子在三维空间中的具体位置。
总之，坐标算符是量子力学中重要的概念之一。
它用来描述粒子在三维空间中的位置，确定了粒子的位置概率分布。
通过测量坐标算符，我们可以推测出粒子可能存在的位置。
坐标算符的研究对量子力学以及相关的量子技术发展有着重要的作用。
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1 1 1 u1 u2 2 2
然后，构造 2
1 1 2 c211 c22 2 c21 u1 u2 c22 2 2u1 2u2 2 2
利用 1 与 2正交的条件，得
c21 c22
px , py , pz (, )
方程的解
或
(r )
p
1 ipr / e 3/ 2 (2)
规格化
* (r ) p (r )d ( p p) p
p
p x p ( x) p x p ( x) ˆ x x ˆ p y p y ( y ) p y p y ( y ) p z p z ( z ) p z p z ( z ) ˆ
1 x ( x) e ipx x / 2 1 ip y / y ( y) e y 2 1 z ( z) e ipz z / 2
* ˆ * ˆ m A n d n ( A m )* d am m n d
所以
* * an m n d am m n d
* (an am ) m n d 0
* m n d 0
如果波函数已归一化，则 * m n d mn （正交归一方程）
(r , t ) ，则称 若在每个 r 处，此无穷级数都收敛到
n
(r )是完备的。 n
虽然，从数学的角度还不能统一地证明基底的这种完备性，但 是，在量子力学中，总是认为线性厄米算符的本征函数系是正交归 一和完备的。
(r , t ) cn (t ) n (r )
再利用 2 的归一化条件，得 取 c22 1/ 3
c22 1/ 3
于是
1 1/ 2u1 1/ 2u2 2 1/ 2u1 1/ 2u2
三、厄米算符本征函数的完备性
波函数是描述体系所处状态的，由全部波函数和零函数构成的 空间称为态空间。每一个波函数都是态空间中的一个元素，也称为 态矢量。
一、坐标算符
ˆ 以一维问题为例，坐标算符 x x 满足的本征方程为
x x0 ( x) x0 x0 ( x)
x0 (, )
( x x0 ) x0 0
因为 所以 规格化
( x x0 ) ( x x0 ) 0
x ( x x0 )
0
* x x dx ( x x m ) ( x x n )dx ( x m x n )
2．讨论有简并的情况 ˆ 如果力学量算符 A 的本征值 an是 f n度简并的，有 f n个不同的本 征函数 n 对应于同一个本征值 an 。即 ˆ A n an n 1,2,3,, f n 如果没有其它的附加条件，这 f n个简并的波函数的选择并不是 唯一的，一般来说，它们也并不是一定正交。但是，总可以把它们 重新线性组合，使之满足正交归一化条件。
n 2 c21n1 c22 n2 其次，构造 利用 n 2 与 n1 正交的要求
* * * n1n 2 d c21 n1 n1d c22 n1 n 2 d 0
* c21 c22 n1 n 2 d 0
此外，还要求 n 2归一化，即
将 cn (t ) 代入 (r , t )中，得
* * (r , t ) n (r) (r, t ) n (r )d n (r) n (r ) (r , t )d n
因为
n (r , t ) (r r ) (r , t )d
* ˆ * n A n d an n n d
n 1, 2,3,
* ˆ * * ˆ n A n d n ( A n )* d an n n d
* an an
二、厄米算符本征函数的正交性
仍以断续谱为例，即
ˆ A n an n
n
* 用 m (r ) 作用上式两端并对坐标变量积分，得 * * m (r ) (r , t )d cn (t ) m (r ) n (r )d cn (t ) mn cm (t )
n
n
所以展开系数
* cn (t ) n (r ) (r , t )d
* n (r ) n (r ) (r r ) nຫໍສະໝຸດ 所以
此即本征函数的封闭关系。
§3-3 坐标算符和动量算符
一、坐标算符 二、动量算符
§3-3 坐标算符和动量算符
在量子力学中，坐标算符和动量算符是两个较为特殊的算符， 它们的本征值皆可连续取值，且本征波函数不能归一化，只能规格 化为 函数。
m n
三维
r0 (r r0 )
* r (r ) r (r )d (rm rn )
m n
二、动量算符
ˆ (r ) p (r ) p p p
分离变量 有
(r ) px ( x) py ( y) pz ( z)
线性厄米算符的作用就是把态空间的一个元素变成另一个元素。 线性厄米算符的本征函数构成一个正交归一的函数系，简记 为 n (r ) ，它可以作为态空间中的一组基底。 (r , t ) 总可以向正交归一的基底 态空间中的任意一个态矢量 n (r ) 作展开，即 (r , t ) cn (t ) n (r )
构造一组新的波函数
简写为
n c n
1
fn
1,2,3, f n
ˆ 容易证明，它们都是 A 的属于本征值an 的本征函数。
总可以选择系数 c 使 n 具有正交、归一性，即 * n n d 下面介绍一种简单的使波函数正交归一的方法：施密特正交归 一化法。 首先，选取一个态矢，例如 n1 ，求出其归一化的表示 n1 n1 * n1 n1d
n 1, 2,3,
1．讨论无简并的情况
定理：厄米算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交。 ˆ ˆ 证明： A ( x) a ( x) A ( x) a ( x) a a
m m m
n
n
n
m
n
一方面
另一方面
* ˆ * m A n d an m n d
* n 2n 2 d (c21n1 c22 n 2 )* (c21n1 c22 n 2 )d 1
于是可以求出 c21和 c22 ，进而得到 n 2 。 然后，再构造
n3 c31n1 c32n2 c33 n3
利用 n 3 与 n1 、 n 2正交归一的要求确定系数。
如此做下去，直到将全部本征函数变换完毕，就得到一组正交 归一化的简并波函数。 例1．已知两个既不正交也不归一的波函数
1 1 1 u1 u 2 2 2 2 2u 2u 1 2 2
利用施密特方法将其正交归一化，其中， u1 ,u 2 为任意正交归一化 基底。
n1 c11 n1 c12 n 2 c1 f nf n 2 c 21 n1 c 22 n 2 c 2 f nf nf c f 1 n1 c f 2 n 2 c ff nf
§3-2 厄米算符的本征问题
一、厄米算符的本征值必为实数 二、厄米算符本征函数的正交性 三、厄米算符本征函数的完备性
§3-2 厄米算符的本征问题
一、厄米算符的本征值必为实数
量子力学假设：一个可观测的力学量总是用一个相应的线性厄 米算符来表征。算符的线性是态叠加原理所要求的；算符的厄米性 质是力学量的观测值为实数所要求的。 以一维断续谱为例，其本征方程为 ˆ A n ( x) an n ( x) 定理：厄米算符的本征值是实数。 证明：一方面 另一方面 所以