2009年四川省初中数学联赛(初二组)初赛试卷全解全析
四川省全国初中数学联赛初赛
四川省全国初中数学联赛初赛试卷及解析一、选择题（本题满分42分，每小题7分）本题共有6个小题，每题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中有且只有一个是正确的，将你选择的答案的代号填在题后的括号内，每小题选对得7分；不选、错选或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。
1、某件商品的标价为13200元，若以8折降价出售，仍可获利10%（相对于进货价），则该商品的进货价是 （ ）A 、9504元B 、9600元C 、9900元D 、10000元2、如图，在凸四边形ABCD 中，80,AB BC BD ABC ==∠=︒，则ADC ∠等于（ ） A 、80° B 、100° C 、140° D 、160°3、如果方程2240()()x x x m --+=的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么，实数m 的取值范围是 （ ） A 、04m <≤ B 、3m ≥ C 、4m ≥ D 、34m <≤4、如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，60306,,,BAD ABC AB AD CD ∠=︒∠=︒==且,那么BD 的长度是 ( )AB 、4 C、 D、5、如果20140a -<<，那么20142014x a x x a -+++-+的最小值是 （ ）A 、2014B 、2014a +C 、4028D 、4028a +AABA B6、方程223()x xy y x y ++=+的整数解有 （ ） A 、3组 B 、4组 C 、5组 D 、6组二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）1、如图，扇形AOB 的圆心角90AOB ∠=︒，半径为5，正方形CDEF 内接于该扇形，则正方形CDEF 的边长为 。
2、已知四个自然数两两的和依次从小到大的次序是：23、28、33、39、x 、y ，则x y += 。
3、已知6x y -=9=的值是 。
2008年四川初中数学联赛(初二组)初赛试题 参考解答及评分细则
2008年四川初中数学联赛（初二组）初赛试题参考解答及评分细则一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1、若b a ,为实数，满足b a b a +=-111，则ba ab -的值是（ D ）． （A ）1- （B ）0 （C ）21（D ）１解：由题设条件知ab a b =-22，两边同时除以ab ，得1=-ba ab ．故答案选Ｄ．2、下面4种说法：（1）一个有理数与一个无理数的和一定是无理数； （2）一个有理数与一个无理数的积一定是无理数； （3）两个无理数的和一定是无理数； （4）两个无理数的积一定是无理数. 其中，正确的说法种数为( A )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解：在上述四种说法中（1）正确；（2）、（3）、（4）错误．故答案选Ａ．3、已知一次函数b kx y +=，其中0>kb ．则所有符合条件的一次函数的图象一定通过（ Ｂ ）．Ａ．第一、二象限 Ｂ．第二、三象限 Ｃ．第三、四象限 Ｄ．第一、四象限解：因为0>kb ，故b k 、同号．当b k 、同为正数时，则一次函数的图象通过第一、二、三象限；当b k 、同为负数时，则一次函数的图象通过第二、三、四象限．所以，符合条件的一次函数的图形一定通过第二、三象限．故答案选Ｂ．４、在凸四边形ABCD 中，H G F E 、、、分别为DA CD BC AB 、、、的中点，EG 与FH 相交于O ，设四边形CGOF BFOE AEOH 、、的面积分别为3、4、5，则四边形DHOG 的面积为（ C ）A ．215B ．415C ．4D ．6解：如图，连结OD OC OB OA ,,,，则BEO AEO S S ∆∆=，CFO BFO S S ∆∆=，DGO CGO S S ∆∆=，AHO DHO S S ∆∆=．于是D H O G BFO E CFO G AEO H S S S S +=+， 所以4453=-+=DH OG S ．故答案选Ｃ．５、20082007=x ，则x 除以10的余数是（ A ）．Ａ．1 Ｂ． 3 Ｃ．7 Ｄ．9 解：x 除以10的余数等于20087除以10的余数．又 、、、、、543277777除以10的余数分别为 、、、、、71397．它们以4为周期．又45022008⨯=，于是20087除以10的余数为1，即x 除以10的余数是1．故答案选A ．6、已知c b a ,,为互不相同的有理数，满足)2)(2()2(2++=+c a b .则符合条件的c b a ,,的组数共有( Ａ )Ａ．０组 Ｂ．１组 Ｃ．２组 Ｄ．４组解：因为)2)(2()2(2++=+c a b ，即2)(22222c a ac b b +++=++，则2b ac =，b c a 2=+．于是ac b c a ac c a 44)(22222==+=++．所以0)(2=-c a ，故c a =，这与条件矛盾．故答案选Ａ．二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1、关于x 的不等式：6|12|<-x 的所有非负整数解的和为 ．解：原不等式等价于⎩⎨⎧->-<-612612x x ，解得2725<<-x ．于是，符合条件的所有非负整数解为3210，，，=x ．所以，所有非负整数解的和为6． 故答案填６． 2、已知321+=x ，321-=y ，则=++3312y xy x .解：32-=x ，32+=y ，则4=+y x ．于是64)()(31233333=+=+++=++y x y x xy y x y xy x .故答案填64.３、用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面．已知正多边形的边数为z y x 、、，则zy x 111++的值为 ． 解：依题意，有360180218021802=⨯-+⨯-+⨯-zz y y x x ，化简得21111=++z y x ．故答案填21．４、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AC AB =，DB DA =，90=∠ADB ， 则ACD ∠的度数等于 ．解：如图，过A 作CD AE ⊥交CD 延长线于E ，过D 作AB DF ⊥于F ．由DB DA =，90=∠ADB 知ADB ∆为等腰直角三角形． 故45=∠=∠DAF DBA ．因为AB ∥DC ，故45=∠ADE ． 因为AB DF ⊥，则AB DF 21=， 45=∠ADF ． 于是90=∠FDE ，即CD FD ⊥．又CD AE ⊥，故AE ∥FD ．又AF ∥ED ，故AFDE 为平行四边形． 从而AC AB DF AE 2121===．所以， 30=∠ACD ．故答案填 30．三、（本大题20分）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DB AC ⊥，5=AC ， 30=∠DBC .（1）求对角线BD 的长度； （2）求梯形ABCD 的面积. 解：（１）如图，过A 作AE ∥DB 交CB 延长线于E∵ DB AC ⊥，AE ∥DB ．∴ AE AC ⊥，30=∠=∠DBC AEC ．∴90=∠EAC ，即EAC ∆为直角三角形． ∴ 102==ACEC ． ∴ 355102222=-=-=AC EC AE ．∵ AD ∥BC 且AE ∥DB ． ∴ 四边形AEBD 为平行四边形． ∴ 35==AE DB ．（２）记梯形ABCD 的面积为S ，过A 作BC AF ⊥于F ，则AFE ∆为直角三角形． ∵30=∠AEF ． ∴ 23521==AE AF ，即梯形ABCD 的高235=AF ．∵ 四边形AEBD 为平行四边形． ∴ EB AD =． ∴475235352121)(21=⨯⨯=⨯=⨯+=AF EC AF BC AD S ．四、(本大题25分) 设实数x 满足：1013536324213--≥---x x x . 求|4||1|2++-x x 的最小值.解：原不等式两边同乘以30，得：39)36(6)24(10)13(15--≥---x x x 化简得：6231-≥-x .解得：2≤x ．记|4||1|2++-=x x y（１）当4-≤x 时，23)4()1(2--=+---=x x x y ． 所以，y 的最小值都为102)4()3(=--⨯-，此时4-=x ． （２）当14≤≤-x 时，6)4()1(2+-=++--=x x x y ． 所以，y 的最小值为５，此时1=x ．（３）当21≤≤x 时，23)4()1(2+=++-=x x x y ． 所以，y 的最小值为５，此时1=x ．综上所述，|4||1|2++-x x 的最小值为５，在1=x 时取到． 五、（本大题25分）已知正整数c b a ,,满足：c b a <<，且a b c ca bc ab =++．求所有符合条件的c b a ,,．解：由c b a <<≤1知bc ca bc ab abc 3<++=，所以3<a ．故1=a 或者2=a ．（１）当1=a 时，有bc c bc b =++，即0=+c b ，这与c b ,为正整数矛盾． （２）当2=a 时，有bc c bc b 222=++，即022=--c b bc ． 所以4)2)(2(=--c b ．又因为c b <<2，故220-<-<c b ． 于是42,12=-=-c b ．即6,3==c b ．所以，符合条件的正整数仅有一组：6,3,2===c b a ．。
四川初中数学联赛(初二组)决赛试卷及其答案
2011年四川初中数学联赛（初二组）决赛试卷（4月10日 上午8：45—11：15）一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1．我国邮政国内外埠邮寄印刷品邮资标准如下：100克以内0.7元，每增加100克（不足100克按100克计）0.4元．某人从成都邮寄一本书到上海，书的质量是470克，那么他应付邮资（ ） A ．2.3元 B ．2.6元 C ．3元 D ．3.5元2．设关于x 的分式方程2222a a x x --=--有无穷多个解，则a 的值有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无穷多个3．实数a 、b 、c 满足0a b c ++=，且0abc >，则111a b c++的值（ ）A ．是正数B ．是负数C ．是零D ．正负不能确定4．若a ，b ，c 分别是三角形三边长，且满足1111a b c a b c+-=+-，则一定有（ ）A ．a =b =cB ．a =bC ．a =c 或b =cD ．a 2+b 2=c 25．已知如图，长方形ABCD ，AB ＝8，BC ＝6，若将长方形顶点A 、C 重合折叠起来，则折痕PQ 长为（ ）A ．152B ．7C ．8D ．1726．用三个2，能写出最大的数一定是（ ）A ．等于222 B ．等于222 C ．等于242 D ．大于1000 二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．x 是实数，那么115x x x -++++的最小值是_________． 2．已知1a =，则20122011201022a a a +-的值为_____________．3．右图是一个由6个正方形构成的长方形，如果最小的正方形的面积是1，则这 个长方形的面积是_______．4．若△ABC 的三条中线长为3、4、5，则S △ABC 为____________． 三、（本大题满分20分）设有m 个正n 边形，这m 个正n 边形的内角总和度数能够被8整除，求m +n 的最小值．QP DCBA四、（本大题满分25分）现有红、黄、蓝、白4种颜色的袜子若干（足够多），若只要两只同色的袜子就可以配成1双，请问至少需要多少只袜子就一定能够配成10双袜子． 五、（本大题满分25分）已知如图：正方形ABCD ，BE ＝BD ，CE 平行于BD ，BE 交CD 于F ，求证：DE ＝DF ．FE D C B A2011年四川初中数学联赛(初二组)决赛参考解答与评分标准一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1、我国邮政国内外埠邮寄印刷品邮资标准如下：100克以内0.7元，每增加100克（不足100克按100克计）0.4元。
2009年全国初中数学竞赛试题及答案.doc
2009年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．已知非零实数a ，b 满足24242a b a -+++=，则a b +等于（ ）．（A ）－1 （B ）0 （C ）1 （D ）2【答】C ． 解：由题设知a ≥3，所以，题设的等式为20b +=，于是32a b ==-，，从而a b +＝1．2．如图，菱形ABCD 的边长为a ，点O 是对角线AC 上的一点，且OA ＝a ，OB ＝OC ＝OD ＝1，则a 等于（ ）．（A（B（C ）1 （D ）2 【答】A ． 解：因为△BOC ∽ △ABC ，所以BO BC AB AC =，即11a a a =+，所以，2a 由0a >，解得a =． 3．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6后投掷两次，记第一次掷出的点数为a ，第二次掷出的点数为b ，则使关于x ，y 的方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩， 只有正数解的概率为（ ）． （A ）121 （B ）92 （C ）185 （D ）3613 【答】D ．解：当20a b -=时，方程组无解．当02≠-b a 时，方程组的解为62,223.2b x a b a y a b -⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩由已知，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-->--,0232,0226b a a b a b 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<>>-,3,23,02b a b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<-.3,23,02b a b a 由a ，b 的实际意义为1，2，3，4，5，6，可得2345612a b =⎧⎨=⎩，，，，，，，共有 5×2＝10种情况；或1456a b =⎧⎨=⎩，，，，共3种情况． 又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝36种情况，故所求的概率为3613． 4．如图1所示，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，90B ∠=︒. 动点P 从点B 出发，沿梯形的边由B →C →D →A 运动. 设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y . 把y看作x 的函数，函数的图像如图2所示，则△ABC 的面积为（ ）．（A ）10 （B ）16 （C ）18 （D ）32【答】B ．解：根据图像可得BC 5，AB △ABC ＝12×8×4＝16. 5．关于x ，y 的方程2x y =x ，y ）．（A ）2组 （B ）3组 （ （D ）无穷多组【答】C ．解：可将原方程视为关于x 的二次方程，将其变形为22(229)0x yx y ++-=．由于该方程有整数根，则判别式∆≥0，且是完全平方数．由 2224(229)7116y y y ∆=--=-+≥0，解得 2y ≤11616.57≈．于是 显然，只有216y =时，4∆=是完全平方数，符合要求．当4y =时，原方程为2430x x ++=，此时121,3x x =-=-；当y ＝－4时，原方程为2430x x -+=，此时341,3x x == ．所 以，原方程的整数解为111,4;x y =-⎧⎨=⎩ 223,4;x y =-⎧⎨=⎩ 331,4;x y =⎧⎨=-⎩ 443,4.x y =⎧⎨=-⎩二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km 后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶 3000 km 后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶 km ．【答】3750．解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k ,则安装在前轮的轮胎每行驶1 km 磨损量为5000k ,安装在后轮的轮胎每行驶1km 的磨损量为3000k .又设一对新轮胎交换位置前走了x km ，交换位置后走了y km .分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有,50003000,50003000kx ky k ky kx k ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相加，得 ()()250003000k x y k x y k +++=， 则 237501150003000x y +==+．7．已知线段AB 的中点为C ，以点A 为圆心，AB 的长为半径作圆，在线段AB 的延长线上取点D ，使得BD ＝AC ；再以点D 为圆心，DA 的长为半径作圆，与⊙A 分别相交于F ，G 两点，连接FG 交AB 于点H ，则AH AB的值为 ． 解：如图，延长AD 与⊙D 交于点E ，连接AF ，EF ． 由题设知13AC AD =，13AB AE =，在△FHA 和△EF A 中，EFA ∠=∠FAH EAF ∠=∠ 所以Rt △FHA ∽Rt △EF A ， AH AF AF AE=. 而AF AB =以AH AB 13=. 8．已知12345a a a a a ，，，，是满足条件123459a a a a a ++++=的五个不同的整数，若b 是关于x 的方程()()()()()123452009x a x a x a x a x a -----=的整数根，则b 的值为 ．【答】 10． 解：因为()()()()()123452009b a b a b a b a b a -----=，且12345a a a a a ，，，，是五个不同的整数，所有12345b a b a b a b a b a -----，，，，也是五个不同的整数．又因为()()2009117741=⨯-⨯⨯-⨯，所以1234541b a b a b a b a b a -+-+-+-+-=． 由123459a a a a a ++++=，可得10b =．9．如图，在△ABC 中，CD 是高，CE 为ACB ∠的平分线．若AC ＝15，BC ＝20，CD ＝12，则CE 的长等于 ．【答】7．解：如图，由勾股定理知AD ＝9，BD ＝16，所以AB ＝AD ＋BD ＝25 ． 故由勾股定理逆定理知△ACB且90ACB ∠=︒．作EF ⊥BC，垂足为F ．设EF ＝x ，由12ECF ∠=CF ＝x ，于是BF ＝20－x ．由于EF ∥AC ，所以 EF BF AC BC =，即 15x =解得607x =．所以7CE ==． 10．10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是 ． 【答】2-． 解：设报3的人心里想的数是x ，则报5于是报7的人心里想的数是 12(8)4x x --=+，报9数是16(4)12x x -+=-，报1的人心里想的数是 20(12)8x x --=+是4(8)4x x -+=--．所以4x x =--，解得2x =-．三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．已知抛物线2y x =与动直线c x t y --=)12(有公共点),(11y x ，),(22y x ，且3222221-+=+t t x x . （1）求实数t 的取值范围；（2）当t 为何值时，c 取到最小值，并求出c 的最小值.解：1.联立2y x =与c x t y --=)12(，消去y 得二次方程2(21)0x t x c --+= ①有实数根1x ，2x ，则121221,x x t x x c +=-=．所以2221212121[()()]2c x x x x x x ==+-+ =221[(21)(23)]2t t t --+-＝21(364)2t t -+． ②………………5分 把②式代入方程①得221(21)(364)02x t x t t --+-+=． ③………………10分 t 的取值应满足2221223t t x x +-=+≥0， ④ 且使方程③有实数根，即22(21)2(364)t t t ∆=---+＝2287t t -+-≥0，⑤解不等式④得 t ≤-3或t ≥1，解不等式⑤得 2t ≤2+所以，t 的取值范围为22-≤t ≤22+⑥ ………………15分(2) 由②式知22131(364)(1)222c t t t =-+=-+.由于231(1)22c t =-+在22-≤t ≤22+22t =-时,2min 3111(21)2224c -=--+=. ………………20分 12．已知正整数a 满足3192191a +，且2009a <，求满足条件的所有可能的正整数a 的和．解：由3192191a +可得31921a -．619232=⨯，且()[]311(1)1(1)(1)(1)a a a a a a a a -=-++=-++-． ………………5分 因为()11a a ++是奇数，所以6321a -等价于621a -，又因为3(1)(1)a a a -+，所以331a -等价于31a -．因此有1921a -，于是可得1921a k =+．………………15分又02009a <<，所以0110k =，，，．因此，满足条件的所有可能的正整数a 的和为11＋192（1＋2＋…＋10）＝10571． ………………20分13．已知AB 为⊙O 的直径，弦//DC AB ，连接DO ．过点D 作DO 的垂线，与BA 的延长线交于点E ，过点E 作AC 的平行线交CD 于点F ，过点D 作AC 的平行线交BF 于点G ．求证：AG BG ⊥． （第13题）证明：连接AD ，BC ，因为四边形AEFC 是平行四边形，所以AE FC =．由于AD CB DAE BCF =∠=∠，，因此有DAE ∆≌BCF ∆，于是可得ADE CBF ∠=∠． ………………10分又因为DE 与⊙O 相切于点D ，所以DCA ADE ∠=∠．结合//DG AC ，可得 GDC DCA ADE GBC ∠=∠=∠=∠，于是D B C G ，，，四点共圆．因此点G 在⊙O 上，从而有AG BG ⊥．……………20分14．n 个正整数12n a a a ，，，满足如下条件：1212009n a a a =<<<=；且12n a a a ，，，中任意n －1个不同的数的算术平均数都是正整数．求n 的最大值．解：设12n a a a ，，，中去掉i a 后剩下的n －1个数的算术平均数为正整数i b ，12i n =，，，．即 12()1n i i a a a a b n +++-=-． 于是，对于任意的1≤i j <≤n ，都有1j ii j a a b b n --=-， 从而 1()j i n a a --． ………………5分由于 11200811n n a a b b n n --==--是正整数，故312251n -⨯． ………………10分 由()()()112211n n n n n a a a a a a a ----=-+-++- ≥()()()2111(1)n n n n -+-++-=-， 所以，2(1)n -≤2008，于是n ≤45. 结合312251n -⨯，所以，n ≤9． ……15分另一方面，令123801,811,821a a a =⨯+=⨯+=⨯+，…，8871a =⨯+，982511a =⨯+，则这9个数满足题设要求．综上所述，n 的最大值为9. ………20分情感语录1.爱情合适就好，不要委屈将就，只要随意，彼此之间不要太大压力2.时间会把最正确的人带到你身边，在此之前，你要做的，是好好的照顾自己3.女人的眼泪是最无用的液体，但你让女人流泪说明你很无用4.总有一天，你会遇上那个人，陪你看日出，直到你的人生落幕5.最美的感动是我以为人去楼空的时候你依然在6.我莫名其妙的地笑了，原来只因为想到了你7.会离开的都是废品，能抢走的都是垃圾8.其实你不知道，如果可以，我愿意把整颗心都刻满你的名字9.女人谁不愿意青春永驻，但我愿意用来换一个疼我的你10.我们和好吧，我想和你拌嘴吵架，想闹小脾气，想为了你哭鼻子，我想你了11.如此情深，却难以启齿。
年全国初中数学联赛(四川初二初赛)试卷及其解答
2016年全国初中数学联赛（四川初二初赛）试卷一、选择题（本大题满分42分，每小题7分）1、数轴上各点表示的数如图所示，那么a -的可能取值是 （ ）A 、2-B 、2-C 、2D 、2 2、关于x 的方程21324x x -++=，其所有解的和是 （ ）A 、1-B 、25- C 、35 D 、1 3、若34()a b a b b b a =≠-，则2222232a ab b a ab b +--+的值是 （ ）A 、3-B 、13- C 、15 D 、5 4、如图所示，将一个长为a ，宽为b 的长方形（a b >），沿着虚线剪开，拼成缺一个小正方形角的大正方形（右图），则小正方形的边长为 （ ） A 、2b B 、2a C 、2a b - D 、a b -5、一个等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分成15和9两个部分，则该三角形的底长所有可能值为 （ ）A 、4B 、6C 、12D 、412或6、已知正数m ，满足42710m m -+=，则1m m +的值为 （ ） A 、2 B 、5 C 、7 D 、3二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）7、古希腊数学家毕达哥拉斯把“数”当作“形”来研究，他称下面一些数为“三角形数”（如下图），第1个“三角形数”是1，第2个是3，第3个是6，第4个是10，按照这个规律，第50个“三角形数”是 .106318、若2310x x x +++=，则23201520161x x x x x ++++++的值为 .9、设12345m x x x x x =+++++++++，则m 的最小值为 。
a10、如图，在△ABC 中，∠C =90°，D 点在BC 边上，满足：BD =4，DC =5，若AB +AD =28， 则AD 等于 .三、解答题（本题共3小题，第11题20分，第12、13题各25分，满分70分）11、若关于x 的方程322310()()x m x n x ++++-=有无数多个解， 求实数m n 、的值.12、已知实数a b c 、、，满足0abc ≠且240()()()a c b c a b ----=， 求a c b+的值.13、如图，在△ABC 中，∠B =2∠C , 且AC =AB +BD . 求证：AD 是∠BAC 的平分线.BC B2016年全国初中数学联赛（四川初二初赛）参考答案一、选择题：1、D 2、B 3、D 4、C 5、A 6、D二、填空题：7、1275 8、 1 9、 6 10、 13三、解答题：11题：解：由322310()()x m x n x ++++-=，整理为3212310()m n x m n ++++-=， ∵ 方程有无数多个解∴ 32102310m n m n ++=⎧⎨+-=⎩ 解之，11m n =-⎧⎨=⎩12题：解：240()()()ac b c a b ----= 222244440a c ac ab b ac bc +--++-=22242440a c b ac ab bc +++--= 220()a c b +-= ∴ 2a c b +=∵0abc ≠ ∴ 2a c b += 13题：（法一）延长AB 至E ，使AE=AC ，连结DE 、CE.∵ AE=AB+BE AC=AB+BD∴ BD=BE ∴ ∠BED=∠BDE又 ∠ABD=∠BED+∠BDE 即 ∠ABD=2∠BED∵ ∠ABD=2∠ACD ∴ ∠BED=∠ACD ①∵ AE=AC ∴ ∠AEC=∠ACE ②由 ①、②可得∠DEC=∠DCE∴ DE=DC ∵AE AC AD AD DE DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴ △AED ≌△ACD (SSS)∴ ∠DAE=∠DAC ∴ AD 是∠BAC 的平分线.（法二）延长DB 至E ，使BE=BA ，连结AE∴ ∠E=∠EAB∵ ∠ABD=2∠E 又∵∠ABD=2∠C∴ ∠E=∠C=∠EAB ∴ AE=AC∵ AC=AB+BD BE=BA∴ AC=BE+BD=DE∴ AE=DE ∴ ∠EAD=∠EDA∵ ∠EAD=∠EAB+∠BAD ∠EDA=∠DAC+∠C∴ ∠EAB+∠BAD=∠DAC+∠C∵ ∠C=∠EAB ∴ ∠BAD=∠DAC ∴ AD 是∠BAC 的平分线. E CE C。
四川初二数学试题及答案
四川初二数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是无理数？A. 3.14B. πC. 0.33333（无限循环）D. 0.1（无限循环）2. 一个数的平方根是它本身，这个数是：A. 1B. -1C. 0D. 以上都不是3. 如果一个直角三角形的两条直角边长分别是3和4，那么斜边的长度是：A. 5B. 6C. 7D. 84. 以下哪个是二次根式？A. √2xB. √x²C. √x/2D. x√25. 一个数的立方根是它本身，这个数可以是：A. 1B. -1C. 0D. 所有自然数6. 根据题目所给的公式，如果x=2，y=3，那么2x+y的值是：A. 7B. 8C. 9D. 107. 下列哪个是等腰三角形？A. 三边长分别为3，3，4的三角形B. 三边长分别为2，2，5的三角形C. 三边长分别为1，1，2的三角形D. 三边长分别为4，4，4的三角形8. 如果一个数的绝对值是5，那么这个数可以是：A. 5B. -5C. 5或-5D. 都不是9. 一个数的相反数是它本身，这个数是：A. 1B. -1C. 0D. 没有这样的数10. 下列哪个是不等式？A. x + 2 > 3B. x² = 4C. x + 2 = 3D. x² > 4二、填空题（每题2分，共20分）11. 一个数的平方是16，这个数是______。
12. 如果一个数的绝对值是3，那么这个数可以是______。
13. 一个直角三角形的斜边长是13，一条直角边长是5，另一条直角边长是______。
14. 一个数的立方根是2，那么这个数是______。
15. 如果一个数的相反数是-3，那么这个数是______。
16. 一个数的平方根是4或-4，那么这个数是______。
17. 根据题目所给的公式，如果x=-1，y=2，那么3x-y的值是______。
18. 如果一个三角形的内角和是180°，那么这个三角形是______三角形。
2009年四川省成都中考数学真题-完全解析
2009年四川成都中考数学试卷分析A 卷一、选择题1. A 【解析】本题考查有理数的运算.因为“异号两数相乘，结果为负”，故选A.2. B 【解析】本题考查函数自变量的取值范围.当分式的分母310x -≠时，即13x ≠时函数有意义，故选B.不要误认为31>0x -，错解为1>3x . 3. B 【解析】本题考查由三视图确定几何体的形状.只有三棱柱的三视图与题目中的图形相符，故选B.4. D 【解析】本题综合考查概率的意义以及平行四边形的性质.“明天降雨的概率是75%”表示明天降雨的可能性是75%，选项A 错误；随机抛掷一枚均匀的硬币，落地后可能有“正面向上”或“反面向上”两种情况出现，选项B 错误；“中奖的概率是1100”表示中奖的可能性是1100，并非抽100次一定中奖，选项C 错误；在同一平面内，平行四边形的对角线互相平分，即一定有交点，选项D 正确.5. B 【解析】本题考查相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方.因为ABC DEF △∽△且相似比为12∶，所以其面积比为14∶，故选B.6. C 【解析】本题考查旋转的作图，旋转后得到的点'A 与点A 成中心对称，在第三象限，故选C.7. B 【解析】本题考查一元二次方程的根的情况，方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则24>0b ac -，即2(2)4(1)>0k ---×，解得>1k -，又结合一元二次方程可知0k ≠，故选B.本题容易漏掉考虑“一元二次方程二次项系数不为0”这一条件，而错选答案A .8. C 【解析】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算，解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长.由以上对应关系可知，题中圆锥侧面展开图的扇形半径为6cm ，弧长为4πcm ，代入扇形弧长公式180n r π=，即64180n ππ=×，解得120n =，即扇形圆心角为120°，故选C.9. A 【解析】本题考查一次函数的简单应用.设一次函数表达式为(0)y kx b k =+≠，将图像上的已知点坐标（30，300），（50，900）代入，解得，，即30600y x =-，当0y =时，解得20x =，即旅客可携带的免费行李的最大质量为20kg ，故选A.10. D 【解析】本题综合考查平均数、众数、中位数、极差的意义.由表中数据可知，日用电量为6度的家庭最多，即众数为6度，A 正确；平均数()152657483101 6.815x =++++=×××××（度），B 正确；用电量的极差为10-5=5（度），C 正确；中位数应是数据由高到低排列后的第8个数据，即8度，故选项D 错误.二、填空题11. 2x =【解析】本题考查分式方程的解法，要按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤来解，最后进行检验，本题方程的最简公分母为3(1)x x +.12. 60°【解析】折叠问题的本质是“轴对称”，解题关键是找出由轴对称所得的相等的边或相等的角.如本题中，'ABE A BE ∠=∠，又，所以'30A B E A B E ∠=∠=°，则'180903060BEA ∠=--=°°°°.13. ②【解析】本题考查科学记数法的知识.一个数可以记成a n ×10（n 是整数，）的科学记数法形式，当原数的绝对值大于或等于1时，n =原数的整数位数-1；4410000＝4.41×610，故填②.14. 推论及三角函数等知识，涉及到的知识点较多，可以有效的考查学生的综合运用的能力.∵AB AC =，120ABC ∠=°，∴30ACB ∠=°，∵A B A B =，∴30ADB ACB ∠=∠=°，∵AD为O ⊙的直径，∴90ABD ∠=°，∴cos306AD ==°=B 卷一、填空题21.2yx y-【解析】本题考查分式的基本运算能力，要按照先乘除、后加减的顺序计算，进行整数（或整式）加减时，可将其看作分母为1的分式，先通分、后计算.由题意易知1302ABC AOC ∠=∠=°，∴30CBD ABC ∠=∠=°，∵P E A B∥，∴30CBD EPB ∠=∠=°，∴3PE BE ==,过点P 作PF BD ⊥于F ，在Rt PEF △中，易求得332PF ，又∵点P 在ABD ∠的平分线上，∴点P 到弦AB 的距离等于PF 的长度332. 23.21n n ++【解析】本题考查学生探索代数式规律的能力，由题意易知111332(1)24222b =-==××，211132442(1)(1)24922333b =--==××××，…，∴21111324222(1)(1)(1)249(1)2233111n n n n b n n n n ++=---==++++…××××…××.24. （22m -，844m m --）或（844m m --，2m-）【解析】本题考查反比例函数的系数k 的几何意义，有一定的难度，当点R 在点B 的下方时，根据题意作出如下图形，∵正方形面积为4，∴正方形边长为2，∵点B 和点R 都在反比例函数图像上，∴OABC ORMN S S =正方形矩形，∴CDRN S S m ==矩形ABDM 矩形，∴2mAM =，则22m OM =-，∵0<<4m ，∴点R 的横坐标为22m -；∵22m CD OM ==-，∴(2)2m CN m =-÷=24m m -，∴248244m m ON m m -=+=--，∵0<<4m ，∴点R 的纵坐标为844m m --，即点R 的坐标为（22m -，844mm --）；当点R 在点B 上方时（图略），同理可求得点R 的坐标为（844m m --，22m-）.25. 4或5【解析】本题结合一次函数考查概率的计算，列表或树形图法表示点M 的坐标的所有可能情况共有12种，其中横、纵坐标的和为4或5的概率最大，均为13，故n 的可能值为4或5.。
2009年全国初中数学竞赛获奖情况
丁庆军
张金中学
蔡佳晖
杨次茂
园林四中
郭正标
李兰珍
龙湾中学
李子文
王堂毕
园林四中
曾凡亭
王梅芳
苏港中学
施雅莉
秦海棠
园林四中
吴莹颖
黄兵
苏港中学
王维燕
许远军
园林二中
关淅文
李桂珍
苏港中学
黄雨晴
汪德江
龙湾中学
易大勇
司马德美
高石碑二中
张旭锋
杨运忠
老新中学
夏华
樊松林
王场中学
李岩
王慧琴
刘岭中学
刘秀秀
胡于荣
王场中学
邵云忠
总口中学
王博
姚梅
熊农中学
万佳
黄晓军
园林一中
李静秋
王传军
张金中学
张永芳
徐飞
园林一中
兰少康
陶礼荣
龙湾中学
张杰
王堂毕
丁岭中学
张颖
陈风景
龙湾中学
章敏
柳宗林
运粮湖中学
谢芸
曾辉
苏港中学
杨宇
孔令武
苏港中学
陈洋洋
许远军
高石碑一中
袁媛
孙延明
王场中学
赵小龙
王慧琴
王场中学
聂诚
曹成新
王场中学
王杉杉
孙绪友
园林二中
万佳康
付菊元
金琳
丁岭中学
刘路路
刘波
高石碑一中
徐丽华
董迎新
刘岭中学
张焉子
蔡大华
渔洋中学
郑文杰
向晖
张金中学
刘雨豪
奥数-2009-2010年度八年级(上)学科竞赛数学试题(含答案)-卷
2009~2010年度八年级上学期学科竞赛数 学 试 卷题号 一 二 三 四 五总分 21 22 23 24 25 26 27 28 29 得分（说明：全卷共8页，满分120分）一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给的四个答案中，有且只有一个是正确的，将你认为正确的选项填在题后的括号内）1．在227，8，–3.1416 ，π，25，0.61161116……，39中无理数有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 2．下列说法不正确的是 （ ）A 、51251±的平方根是；B 、0.2的算术平方根是0.02；C 、的一个平方根是819- ；D 、3273-=-3．如图在所示的象棋盘上，建立适当的平面直角坐标系，使帅位于点（-1，0）上、相位于点（1，0）上，则炮位于点（ ） A 、（-3，3） B 、（0，3） C 、（-4，3）D 、（4，3）4．将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是（ ） A 、矩形 B 、三角形 C 、梯形 D 、菱形5. 函数y =-2x-5的图象不经过（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限 6．下列图形中，是中心．．对称图形的是（ ） 学校：班级：座号：姓名：密封线内不要答题○帅 ○相 ○炮12-3-210-13A7．若532+y x b a 与x y b a 2425-是同类项，则（ ） A 、⎩⎨⎧==2,1y x B 、⎩⎨⎧-==1,2y x C 、⎩⎨⎧==2,0y x D 、⎩⎨⎧==1,3y x8．下列各组条件中，能判定四边形ABCD 为矩形的是（ ）A 、∠A+∠B=900B 、AB ∥CD ，AB=CD ，AC=BDC 、AB ∥CD ，AD=BC ，AC=BD D 、AC=BD ，∠A=9009．已知正比例函数kx y =（0≠k ）的函数值y 随x 的增大而减小，则一次函数k x y +=的图象大致是（ ）．xyxyxyxyOOOOA B C D 10．如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=700，AB 的垂直平分线交对角线AC于点F ，E 为垂足，连结DF ，则∠CDF 等于（ ） A. 600B. 700C. 750D. 85二、填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分，请把你认为正确的答案写在横线上）11．比较实数的大小：————.12．计算：3123-＝ ．13．已知⎩⎨⎧==1,2y x 方程2x －ay=5的一个解，则a ＝ ,14．如图所示：数轴上点A 所表示的数为a ，则a 的值是______. （14题图） 15. 一个正数的两个平方根分别是2m-1和 4-3m,则这个正数是_____________.F ED CBA16. 若点A （-2，3）先向右平移3个单位，在向下平移1个单位，得到的点的坐标为_______. 17．正方形切去一角后，所得多边形的内角和为 ． 18．将平面直角坐标系内某个图形各个点的横坐标不变，纵坐标都乘以-1，所得图形与原图形关于_______对称。
近11年中考真题之2009年四川省成都市中考数学试卷及答案+附中考数学几何知识点大全
成都市二0 0九年高中阶段教育学校统一招生考试试卷(含成都市初三毕业会考)数 学全卷分A 卷和B 卷，A 卷满分100分，8卷满分50分；考试时间l20分钟。
A 卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为其他类型的题。
A 卷(共100分) 第Ⅰ卷(选择题，共30分)注意事项：1．第Ⅰ卷共2页。
答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在试卷和答题卡上。
考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回。
2．第Ⅰ卷全是选择题，各题均有四个选项，只有一项符合题目要求。
每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，选择题的答案不能答在试卷上。
请注意机读答题卡的横竖格式。
一、选择题：(每小题3分，共30分) 1． 计算2×(12－)的结果是 (A)－1 (B) l (C)一2 (D) 2 2． 在函数131y x =-中，自变量x 的取值范围是 (A)13x < (B) 13x ≠- (C) 13x ≠ (D) 13x >3． 如图所示的是某几何体的三视图，则该几何体的形状是左视图俯视图主视图(A)长方体 (B)三棱柱 (C)圆锥 (D)正方体4． 下列说法正确的是(A)某市“明天降雨的概率是75％”表示明天有75％的时间会降雨 (B)随机抛掷一枚均匀的硬币，落地后正面一定朝上 (C)在一次抽奖活动中，“中奖的概率是1100”表示抽奖l00次就一定会中奖 (D)在平面内，平行四边形的两条对角线一定相交5． 已知△ABC∽△DEF，且AB ：DE=1：2，则△ABC 的面积与△DEF 的面积之比为 (A)1：2 (B)1：4 (C)2：1 (D)4：16． 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(2，3)，若将OA 绕原点O 逆时针旋转180°得到0A′， 则点A ′在平面直角坐标系中的位置是在(A)第一象限 (B)第二象限 (c)第三象限 (D)第四象限7． 若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是(A)1k >- (B) 1k >-且0k ≠ (c)1k < (D) 1k <且0k ≠8． 若一个圆锥的底面圆的周长是4πcm ，母线长是6cm ，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是 (A)40° (B)80° (C)120° (D)150°9． 某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量x (kg)与其运费y (元)由如图所示的一次函数图象确定，那么旅客可携带的免费行李的最大质量为(A)20kg (B)25kg(C)28kg (D)30kg10．为了解某小区居民的日用电情况，居住在该小区的一名同学随机抽查了l5户家庭的日用电量，结果AB C DEA′如下表：则关于这l5户家庭的日用电量，下列说法错误的是 (A)众数是6度 (B)平均数是6.8度 (C)极差是5度 (D)中位数是6度成都市二0 0九年高中阶段教育学校统一招生考试试卷(含成都市初三毕业会考)数 学注意事项： 1．A 卷的第Ⅱ卷和B 卷共l0页，用蓝、黑钢笔或圆珠笔直接答在试卷上。
2009 数学试题参考答案及评分标准
2009数学试题参考答案及评分标准一．选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分）二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．72° 12．(1)(1)a b a b ++-- 13． 14．2y x x =+，21133y x =-+三．（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．解：原式＝2131+-+………………………………………………………6分＝1…………………………………………………………………8分16．证：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°∵MP 为⊙O 的切线，∴∠PMO ＝90° ∵MP ∥AC ，∴∠P ＝∠CAB∴∠MOP ＝∠B …………………………………………………………6分 故MO ∥BC ．……………………………………………………………8分四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．（1）猜想：11⨯=-++n nn n n n ……………………………………………3分 （2）证：右边＝12+-+n n n n ＝12+n n ＝左边，即11⨯=-++n nn n n n ……8分 18．解：（1） ……………………4分（2）设坐标纸中方格边长为单位1，则P （x ，y ）2O 以为位似中心放大为原来的倍（2x ，2y ）y 经轴翻折（-2x ，2y ）4向右平移个单位（24x -+，2y ）5向上平移个单位（24x -+，25y +）…………8分说明：如果以其它点为位似中心进行变换，或两次平移合并，或未设单位长，或（2）中直接写出各项变换对应点的坐标，只要正确就相应赋分．五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)19．解：（1）菱形图案水平方向对角线长为230cos 310o ⨯⨯＝30cm按题意，6010)1231(2630=-⨯+=L cm ……………………………5分 （2）当=d 20cm 时，设需x 个菱形图案，则有：6010)1(2030=-⨯+x …………………………………………………8分解得300=x即需300个这样的菱形图案．…………………………………………10分20．解：（1） …………………………5分说明：其它正确拼法可相应赋分．（2）解法一：由拼图前后的面积相等得：2)(])[(y x y y y x +=++………………8分因为y ≠0，整理得：01)(2=-+yxy x解得：215-=y x （负值不合题意，舍去）……………………………………10分 解法二：由拼成的矩形可知：yxy y x y x =+++)(…………………………………8分以下同解法一．……………………………………………………………………10分③④① ②六、（本题满分12分） 21．解：（1）第①组频率为：196%0.04-=∴第②组频率为：0.120.040.08-=这次跳绳测试共抽取学生人数为：120.08150÷=人∵②、③、④组的频数之比为4:17:15可算得第①～⑥组的人数分别为6、12、51、45、24、12．………6分 （2）第⑤、⑥两组的频率之和为0.160.080.24=+=由于样本是随机抽取的，估计全年级有9000.24216⨯=人达到跳绳优秀………9分 （3）10061101212051130451402415012150x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈127次………12分七、（本题满分12分） 22．（1）证：△AMF ∽△BGM ，△DMG ∽△DBM ，△EMF ∽△EAM （写出两对即可）……2分以下证明△AMF ∽△BGM ．∵∠AFM ＝∠DME ＋∠E ＝∠A ＋∠E ＝∠BMG ，∠A ＝∠B∴△AMF ∽△BGM ．………………………………………………………………6分（2）解：当α＝45°时，可得AC ⊥BC 且AC ＝BC∵M 为AB 的中点，∴AM ＝BM＝7分又∵AMF ∽△BGM ，∴AF BMAM BG=∴2833AM BM BG AF===………………………………………………9分 又4AC BC ===，∴84433CG =-=，431CF =-=∴53FG =…………………………………………12分八、（本题满分14分） 23．（1）解：图①表示批发量不少于20kg 且不多于60kg 的该种水果，可按5元/kg 批发；……3分图②表示批发量高于60kg 的该种水果，可按4元/kg 批发． ………………………………………………………………3分（2）解：由题意得： 2060 6054m m w m m ⎧=⎨⎩≤≤（））＞（，函数图象如图所示．………………………………………………………………7分由图可知资金金额满足240＜w ≤300时，以同样的资金可 批发到较多数量的该种水果．……………………………8分（3）解法一：设当日零售价为x 元，由图可得日最高销量32040w m =- 当m ＞60时，x ＜6.5 由题意，销售利润为2(4)(32040)40[(6)4]y x m x =--=--+………………………………12分当x ＝6时，160y =最大值，此时m ＝80即经销商应批发80kg 该种水果，日零售价定为6元/kg ，当日可获得最大利润160元．……………………………………………14分 解法二：设日最高销售量为x kg （x ＞60）则由图②日零售价p 满足：32040x p =-，于是32040xp -= 销售利润23201(4)(80)1604040x y x x -=-=--+………………………12分 当x ＝80时，160y =最大值，此时p ＝6即经销商应批发80kg 该种水果，日零售价定为6元/kg ，当日可获得最大利润160元．……………………………………………14分）。
2009年全国 初中数学联赛(含答案)
12009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1．设71a =，则32312612a a a +--=（ ）A ．24B ．25C ．4710D ．4712【解析】 A ．由()217a +=，有2226,62a a a a +==-．于是32312612a a a +--()()3621262612a a a a =-+---()2261212621224a a a a =+-=+-=2．在ABC △中，最大角A ∠是最小角C ∠的两倍，且7AB =，8AC =，则BC =（ ）A ．2B ．10C 105D ．73【解析】 C ．做A ∠的角平分线交BC 边于D ．于是78AB BD AC DC ==．不妨设7,8BD x DC x ==，由BAD BAC △∽△，有BD AB AB BC =，即77715x x =，于是715x ，15105BC x =3．用[]x 表示不大于x 的最大整数，则方程[]2230x x --=的解的个数为（ ）2A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 C ．原问题等价于函数23y x =-与函数[]2y x =的图像的交点个数问题．观察出交点个数为3个．方程的解分别为2,3x x =-=，另一个位于2，3之间．4．设正方形ABCD 的中点为点O ，在以五个数A 、B 、C 、D 、O 为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为（ ）A ．314B ．37C ．12D ．47【解析】 B ．不妨设三角形边长为1，则三角形的面积有两种，一种是14，形如ABO △，有4个；一种是12，形如ABD △，有4个．于是对于这8个三角形，先选出任意一个，再选出其余7个三角形中面积和它相等的三角形（共3个）中的一个，概率为37．5．如图，在矩形ABCD 中，3AB =，2BC =，以BC 为直径在矩形内作半圆， 自点A 作半圆的切线AE ，则sin CBE ∠=（ ）A 6B ．23C ．13D 103ECBDA【解析】 D ．取BC 中点F ，连接AF ，则CBE BAF ∠=∠，于是2210sin sin 13CBE BAF ∠=∠==+6．设n 是大于1909的正整数，使得19092009n n--为完全平方数的n 的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】 B ．由1909100120092009n n n -=-+--，而1002009n-可能取整数2,5,4,10,25,50,100．若10012009n --为完全平方数，则有1002,5,10,502009n=-．于是这样的n 有4个．二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．已知t 是实数，若a ，b 是关于x 的一元二次方程2210x x t -+-=的两个非负实根，则()()2211a b --的最小值是 ．【解析】3-．2,1a b ab t +==-，又由0∆≥知2t 1≤≤．于是()()()222222111a b a b a b --=+-+424t =-．于是当1t =时代数式有最小值3-．2．设D 是ABC △ 的边AB 上的一点，作DE BC ∥交AC 于点E ，作DF AC ∥交BC 于点F ，已知ADE △、DBF △的面积分别为m 和n ，则四边形DECF 的面积为 ．【解析】 2mn ADE BDF △∽△，相似比为ADDB．观察到DEF △的面积等于m 和n 的等比中项，所以所求答案为2mn3．如果实数a ，b 满足条件221a b +=，221221a b a b a -+++=-，则a b += ．【解析】 1-．分情况讨论，可得221221a b a b a -+++=-或22(12)21a b a b a --+++=-．如果是第一种，则222b b a +=-，消去a 可得2230b b --=，可得1b =-或32．经检验，1,0b a =-=符合，所求结果为1-；如果是第二种，则224a b b a -=-．因为去绝对值符号的时候有120a b -+≤，即21a b +≥，而10b +≥，则设法凑出含有1b +的形式．因为2240a a b b +--=，所以2222114()22a ab b a b +--++=，即22238(1)4a a b a +=+≤，所以8a ≥或0a ≤，因此只能有0a =，和第一种情况是同一个解．4．已知a ，b 是正整数，且满足15152a b 是整数，则这样的有序数对()a b ，共有 对．5【解析】 7．显然两个根式的值都是有理数（否则把它平方即可发现）．穷举，可能是1+1，112+， 1122+，1144+，1136+，考虑顺序，共7种．第二试（A ）一、（本题满分20分）已知二次函数()20y x bx c c =++<的图象与x 轴的交点分别为A 、B ，与y 轴的交点为C ．设ABC △的外接圆的圆心为点P ．⑴ 证明：P ⊙与y 轴的另一个交点为定点．⑵ 如果AB 恰好为P ⊙的直径且2ABC S =△，求b 和c 的值． 【解析】 ⑴ 易求得点C 的坐标为()0c ，， 设()10A x ，，()20B x ，，则12x x b +=-，12x x c =． 设P ⊙与y 轴的另一个交点为D ，由于AB 、CD 是P ⊙的两条相交弦，它们的交点为点O ，所以OA OB OC OD ⨯=⨯则121x x c OA OB OD OC c c⨯====． 因为0c <，所以点C 在y 轴的负半轴上，从而点D 在y 轴的正半轴上，旗开得胜6所以点D 为定点，它的坐标为()01，． ⑵ 因为AB CD ⊥，如果AB 恰好为P ⊙的直径，则C 、D 关于点O 对称，所以点C 的坐标为()01-，， 即1c =-．又()()222121212444AB x x x x x x b c b =-+---+所以21141222ABC S AB OC b =⋅+⋅△， 解得23b =±．二、（本题满分25分）设CD 是直角三角形ABC 的斜边AD 上的高，1I 、2I 分别是ADC △、BDC △的内心，3AC =，4BC =，求12I I ．I 2I 1CABBACE DFI 1I 2【解析】 作1I E AB ⊥于E ，2I F AB ⊥于F ．旗开得胜7在直角三角形ABC 中，3AC =，4BC =，225AB AC BC +=．又CD AB ⊥，由射影定理可得295AC AD AB ==， 故165BD AB AD =-=，22125CD AC AD -． 因为1I E 为直角三角形ACD 的内切圆的半径，所以()11325I E AD CD AC =+-=． 连接1DI 、2DI ，则1DI 、2DI 分别是ADC ∠和BDC ∠的平分线，所以112245I DC I DA I DC I DB ∠=∠=∠=∠=o，故1290I DI ∠=o，所以12I D I D ⊥，1113325sin sin 45I E DI ADI ===∠o ． 同量，可求得245I F =，242DI ． 所以2212122I I DI DI +三、（本题满分25分）已知a ，b ，c 为正数，满足如下两个条件：32a b c ++= ①14b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++= ②旗开得胜8a b c【解析】证法1：将①②两式相乘，得()8b c a c a b a b c a b c bcca ab +-+-+-⎛⎫++++= ⎪⎝⎭，即()()()2222228b c a c a b a b c bccaab+-+-+-++=，即()()()222222440b c a c a b a b c bccaab+-+-+--+-+=，即()()()2222220b c a c a b a b c bccaab----+-++=，即()()()()()()0b c a b c a c a b c a b a b c a b c bccaab-+---+--+++-++=，即()()()()0b c a ab c a b c a b c a b c abc-+----++++=⎡⎤⎣⎦，即()22220b c a ab a b c abc-+⎡⎤--+=⎣⎦，即()()220b c a c a b abc-+⎡⎤--=⎣⎦，即()()()0b c a c a b c a b abc-++--+=，所以0b c a -+=或0c a b +-=或0c a b -+=，即b a c +=或c a b +=或c b a +=．a b c9证法2：结合①式，由②式可得32232232214a b c bc ca ab ---++=， 变形，得()2221102424a b c abc -++=③又由①式得()21024a b c ++=，即()22210242a b c ab bc ca ++=-++，代入③式，得()110242102424ab bc ca abc --++=⎡⎤⎣⎦， 即()164096abc ab bc ca =++-．()()()()()331616161625616409625632160a b c abc ab bc ca a b c ---=-+++++-=-+⨯-=，所以16a =或16b =或16c =．结合①式可得b a c +=或c a b +=或c b a +=．a b c第二试（B ）一、（本题满分20分）已知二次函数()20y x bx c c =++<的图象与x 轴的交点分别为A 、B ，与y 轴的交点为C ．设ABC △的外接圆的圆心为点P ．10⑴ 证明：P ⊙与y 轴的另一个交点为定点．⑵ 如果AB 恰好为P ⊙的直径且2ABC S =△，求b 和c 的值． 【解析】 ⑴ 易求得点C 的坐标为()0c ，， 设()10A x ，，()20B x ，，则12x x b +=-，12x x c =． 设P ⊙与y 轴的另一个交点为D ，由于AB 、CD 是P ⊙的两条相交弦，它们的交点为点O ，所以OA OB OC OD ⨯=⨯则121x x c OA OB OD OC c c⨯====． 因为0c <，所以点C 在y 轴的负半轴上，从而点D 在y 轴的正半轴上， 所以点D 为定点，它的坐标为()01，． ⑵ 因为AB CD ⊥，如果AB 恰好为P ⊙的直径，则C 、D 关于点O 对称，所以点C 的坐标为()01-，， 即1c =-．又()()222121212444AB x x x x x x b c b =-+---+所以21141222ABC S AB OC b =⋅+⋅△， 解得23b =±．旗开得胜11二、（本题满分25分）已知ABC △中，90ACB ∠=o ，AB 边上的高线CH 与ABC △的两条内角平分线AM 、BN 分别交于P 、Q 两点PM 、QN 的中点分别为E 、F ．求证：DE AB ∥．ACBHNMF P EQQEP F MNHBCA【解析】 因为BN 是ABC ∠的平分线，所以ABN CBN ∠=∠．又因为CH AB ⊥，所以9090CQN BQH ABN CBN CNB ∠=∠=-∠=-∠=∠o o ，因此CQ NC =．又F 是QN 的中点，所以CF QN ⊥，所以90CFB CHB ∠==∠o ，因此C 、F 、H 、B 四点共圆．又FBH FBC ∠=∠，所以FC FH =，故点F 在CH 的中垂线上．、同理可证，点E 在CH 的中垂线上．旗开得胜12因此EF CH ⊥，又AB CH ⊥，所以EF AB ∥．三、（本题满分25分）已知a ，b ，c 为正数，满足如下两个条件：32a b c ++= ①14b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++= ②a b c【解析】证法1：将①②两式相乘，得()8b c a c a b a b c a b c bc ca ab +-+-+-⎛⎫++++= ⎪⎝⎭， 即()()()2222228b c a c a b a b c bccaab+-+-+-++=，即()()()222222440b c a c a b a b c bccaab+-+-+--+-+=，即()()()2222220b c a c a b a b c bccaab----+-++=，即()()()()()()0b c a b c a c a b c a b a b c a b c bccaab-+---+--+++-++=，13即()()()()0b c a ab c a b c a b c a b c abc-+----++++=⎡⎤⎣⎦，即()22220b c a ab a b c abc-+⎡⎤--+=⎣⎦，即()()220b c a c a b abc-+⎡⎤--=⎣⎦，即()()()0b c a c a b c a b abc-++--+=，所以0b c a -+=或0c a b +-=或0c a b -+=，即b a c +=或c a b +=或c b a +=．a b c证法2：结合①式，由②式可得32232232214a b c bc ca ab ---++=， 变形，得()2221102424a b c abc -++=③又由①式得()21024a b c ++=，即()22210242a b c ab bc ca ++=-++，代入③式，得()110242102424ab bc ca abc --++=⎡⎤⎣⎦， 即()164096abc ab bc ca =++-．()()()()()331616161625616409625632160a b c abc ab bc ca a b c ---=-+++++-=-+⨯-=，所以16a =或16b =或16c =．结合①式可得b a c +=或c a b +=或c b a +=．a b c第二试（C）一、（本题满分20分）△的已知二次函数()20y x bx c c=++<的图象与x轴的交点分别为A、B，与y轴的交点为C．设ABC 外接圆的圆心为点P．⊙与y轴的另一个交点为定点．⑴ 证明：P1415⑵ 如果AB 恰好为P ⊙的直径且2ABC S =△，求b 和c 的值． 【解析】 ⑴ 易求得点C 的坐标为()0c ，， 设()10A x ，，()20B x ，，则12x x b +=-，12x x c =． 设P ⊙与y 轴的另一个交点为D ，由于AB 、CD 是P ⊙的两条相交弦，它们的交点为点O ，所以OA OB OC OD ⨯=⨯则121x x c OA OB OD OC c c⨯====． 因为0c <，所以点C 在y 轴的负半轴上，从而点D 在y 轴的正半轴上， 所以点D 为定点，它的坐标为()01，． ⑵ 因为AB CD ⊥，如果AB 恰好为P ⊙的直径，则C 、D 关于点O 对称，所以点C 的坐标为()01-，， 即1c =-．又()()222121212444AB x x x x x x b c b =-+---+所以21141222ABC S AB OC b =⋅+⋅△， 解得23b =±．16二、（本题满分25分）已知ABC △中，90ACB ∠=o ，AB 边上的高线CH 与ABC △的两条内角平分线AM 、BN 分别交于P 、Q 两点PM 、QN 的中点分别为E 、F ．求证：DE AB ∥．ACBHNMF P EQQEP F MNHBCA【解析】 因为BN 是ABC ∠的平分线，所以ABN CBN ∠=∠．又因为CH AB ⊥，所以9090CQN BQH ABN CBN CNB ∠=∠=-∠=-∠=∠o o ，因此CQ NC =．又F 是QN 的中点，所以CF QN ⊥，所以90CFB CHB ∠==∠o ，因此C 、F 、H 、B 四点共圆．又FBH FBC ∠=∠，所以FC FH =，故点F 在CH 的中垂线上．、同理可证，点E 在CH 的中垂线上．因此EF CH ⊥，又AB CH ⊥，所以EF AB ∥．17三、（本题满分25分）已知a ，b ，c 为正数，满足如下两个条件：32a b c ++= ①14b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++= ②a b c【解析】解法1：将①②两式相乘，得()8b c a c a b a b c a b c bc ca ab +-+-+-⎛⎫++++= ⎪⎝⎭， 即()()()2222228b c a c a b a b c bccaab+-+-+-++=，即()()()222222440b c a c a b a b c bccaab+-+-+--+-+=，即()()()2222220b c a c a b a b c bccaab----+-++=，即()()()()()()0b c a b c a c a b c a b a b c a b c bccaab-+---+--+++-++=，即()()()()0b c a ab c a b c a b c a b c abc-+----++++=⎡⎤⎣⎦，18即()22220b c a ab a b c abc-+⎡⎤--+=⎣⎦，即()()220b c a c a b abc-+⎡⎤--=⎣⎦， 即()()()0b c a c a b c a b abc-++--+=，所以0b c a -+=或0c a b +-=或0c a b -+=，即b a c +=或c a b +=或c b a +=．a b c 90o ．解法2：结合①式，由②式可得32232232214a b c bc ca ab ---++=， 变形，得()2221102424a b c abc -++=③又由①式得()21024a b c ++=，即()22210242a b c ab bc ca ++=-++，代入③式，得()110242102424ab bc ca abc --++=⎡⎤⎣⎦， 即()164096abc ab bc ca =++-．()()()()()331616161625616409625632160a b c abc ab bc ca a b c ---=-+++++-=-+⨯-=，所以16a =或16b =或16c =．结合①式可得b a c +=或c a b +=或c b a +=．a b c 90o ．19。
四川省八年级数学联赛初赛试题
一 ．选择题(每小题7分，共42分)1 ．若x ＜1，则化简|x －1|得( )．A ．x －1B ．x ＋1C ．－x －1D ．－x ＋12 ．已知(x ＋a)(x －b)＝x 2＋2x －1，则ab 等于( )．A ．－2B ．－1C ．1D ．23 ．若a ＜0，p ＞q ＞0，则( )．A ．|pa|＞|qa|B ．|pa|＜|qa|C ．a a p q >D ．p q a a<4 ．已知凸四边形ABCD 对角线交于O ，满足AO ＝OC ，BO ＝3OD ，若△ADO 的面积为1，则凸四边形ABCD 的面积为( )．A ．4B ．6C ．8D ．105 ．若|a －1|＋|a －2|＜3，则a 的取值范围是( )．A ．a ＜0B ．0＜a ＜3C ．3＜aD ．1＜a ＜26 ．在凸四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ＝90°，∠B ＝60°，AD ＝2CD ＝，则AB ＝( )．A ．4B ．C ．6D ．二 ．填空题(每小题7分，共28分)7 ．如果每人工作效率相同，a 个人b 天共做c 个零件，那么要做a 个零件，b 个人需要的天数是＿＿＿．(用含a 、b 、c 的代数式表示)8 ．若a =，则221a a+的值为＿＿＿＿＿．9 ．两个单位正方形，其中一个正方形的顶点在另一个正方形的中心，则两个正方形重叠部分的面积为＿＿＿＿＿＿．10 ．P 为矩形ABCD 内的一点，且PA ＝2，PB ＝3，PC ＝4，则PD 的长等于＿＿＿＿．三 ．计算与应用(本题满分20分)11 ．已知直线y ＝kx ＋b 经过点A(1，1)和点B(－1，3)，且与x 轴、y 轴的交点分别为C 、D ．设O 为坐标原点，求△COD 的面积．四．(本大题满分25分)12．在△ABC中，∠A＝2∠B，CD是∠ACB的平分线．求证：BC＝AC＋AD．五．(本大题满分25分)把1到15的15个自然数分成A和B两组．若把10从A组转移到B组．则A、B两组数的平均数都分别比原来的减少了12．求两组数原来的平均数．2012年四川初中数学联赛(初二组)初赛试卷(参考答案与评分标准) (3月16日下午4:00－6:00)一．选择题(每小题7分，共42分)1．若x＜1，则化简|x－1|得( D )．A．x－1 B．x＋1 C．－x－1 D．－x＋12．已知(x＋a)(x－b)＝x2＋2x－1，则ab等于( C )．A．－2 B．－1 C．1 D．23．若a＜0，p＞q＞0，则( A )．A ．|pq|＞|qa|B ．|pq|＜|qa|C ．a a p q >D ．p q a a<4 ．已知凸四边形ABCD 对角线交于O ，满足AO ＝OC ，BO ＝3OD ，若△ADO 的面积为1，则凸四边形ABCD 的面积为( C )．A ．4B ．6C ．8D ．105 ．若|a －1|＋|a －2|＜3，则a 的取值范围是( B )．A ．a ＜0B ．0＜a ＜3C ．3＜aD ．1＜a ＜26 ．在凸四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ＝90°，∠B ＝60°，AD ＝2CD ＝则AB ＝( A )．A ．4B ．C ．6D ．二 ．填空题(每小题7分，共28分)7 ．如果每人工作效率相同，a 个人b 天共做c 个零件，那么要做a 个零件，b 个人需要的天数是＿＿2a c＿．(用含a 、b 、c 的代数式表示)8 ．若a =，则221a a+的值为＿＿10＿＿＿．9 ．两个单位正方形，其中一个正方形的顶点在另一个正方形的中心，则两个正方形重叠部分的面积为＿＿＿14＿＿＿．10 ．P 为矩形ABCD 内的一点，且PA ＝2，PB ＝3，PC ＝4，则PD ＿＿．三 ．计算与应用(本题满分20分)11 ．已知直线y ＝kx ＋b 经过点A(1，1)和点B(－1，3)，且与x 轴、y 轴的交点分别为C 、D ．设O 为坐标原点，求△COD 的面积．解：由条件知13k b k b=+⎧⎨=-+⎩， ……5分解得1,2k b =-=， ……10分于是直线为2y x =-+．令0,y =得2x =，即(2,0)C ,令0,x =得2y =，即(0,2)D . ……15分所以，COD ∆的面积12222=⨯⨯=． ……20分四 ．(本大题满分25分)12 ．在△ABC 中，∠A ＝2∠B ，CD 是∠ACB 的平分线．求证：BC ＝AC ＋AD ．证明：如图，将A 沿CD 反射到BC 上得'A ， ……5分则DB A B B A D CA '2'∠+∠=∠=∠=∠，故DB A B '∠=∠， ……15分所以B A D A AD ''==， ……20分 故AD AC B A C A BC +=+=''． ……25分五 ．(本大题满分25分)把1到15的15个自然数分成A 和B 两组．若把10从A 组转移到B 组．则A 、B 两组数的平均数都分别比原来的减少了12．求两组数原来的平均数． 解：设A 、B 两组数原来平均数分别为a 、b ，A 组数原来有m 个数．则B 组数原来有15m -个数．根据题意有：A'D C A B⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=+-+--=--=++=-+)3(2111510)15()2(21110)1(1201521)15( b m m b a m am m b am ……5分 由（2）得：)4(212 m a -=由（3）得：)5(362 m b -= ……10分（4）、（5）分别代入（1）解得：10=m ……15分将10=m 分别代入（4）、（5）得：5.5=a ……20分13=b ……25分2012年四川初中数学竞赛(初二组)初赛参考解答与评分标准一、选择题（每小题7分，共42分）1． D 2．C 3．A 4． C 5．B 6．A二、填空题（每小题7分，共28分）1． 2a c 2．10 3．144三、（本大题满分20分）已知直线y kx b =+经过点(1,1)A 和点(1,3)B -，且与x 轴、y 轴的交点分别为,C D ,设O 为坐标原点．求COD ∆的面积．解：由条件知13k b k b=+⎧⎨=-+⎩， ……5分解得1,2k b =-=， ……10分 于是直线为2y x =-+．令0,y =得2x =，即(2,0)C ,令0,x =得2y =，即(0,2)D . ……15分 所以，COD ∆的面积12222=⨯⨯=． ……20分四、（本大题满分25分）在ABC ∆中，B A ∠=∠2，CD 是ACB ∠的平分线，求证：AD AC BC +=．证明：如图，将A 沿CD 反射到BC 上得'A ， (5)则DB A B B A D CA '2'∠+∠=∠=∠=∠， 故DB A B '∠=∠， 所以B A D A AD ''==， 故AD AC B A C A BC +=+=''．五、（本大题满分25分）把1到15的15个自然数分成A 和B 两组，若把10从A 组转移到B 组，则A 、B 两组数的平均数都分别比原来减少了21．求两组数原来的平均数． 解：设A 、B 两组数原来平均数分别为a 、b ，A 组数原来有m 个数．则B 组数原来有15m -个数．根据题意有：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=+-+--=--=++=-+)3(2111510)15()2(21110)1(1201521)15( b m m b a m am m b am ……5分 由（2）得：)4(212 m a -=由（3）得：)5(362 m b -= ……10分（4）、（5）分别代入（1）解得：10=m ……15分将10=m 分别代入（4）、（5）得：5.5=a ……20分13=b ……25分。
四川省自贡市2009年初中毕业生学业考试 数学试卷(Word版.含答案)
四川省自贡市2009年初中毕业生学业考试数学试卷重新制版：赵化中学郑宗平本本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3页．满分120分．考试时间120分钟．考试结束后，将试卷Ⅰ、试卷Ⅱ和答题卡一并．装订时将试卷Ⅱ单独装订．第Ⅰ卷(选择题共30分)1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号，考试科目涂写在答题卡上2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用Ⅰ上．10个小题，每小题3分，共计30分.16°记作+16℃,则2℃可记作 ( )。
+2 B、-2 C、2℃D、-2℃1.89( )。
81.8910⨯ B、121.8910⨯ C、131.8910⨯D、111.8910⨯-( )。
0 B、-1 C、-2D、-35月4日青年节，学生会组织的游园晚会中有一个闯关活动：将5张分别画有等腰梯( )。
15B、25C、35D、45π22-,s i n607，中无理数的个数是 ( )。
1个 B、2个 C、3个D、4个4位( )。
B、测量两组对边是否分别相等D、测量三个角是否为直角( )。
A、4个B、5个C、6个D、7个8、已知△MNP如图所示，则下列四个三角形中与△MNP相似的是 ( )。
9、如图，若等边△ABC的边长为6cm，内切圆⊙O的面积是 ( )。
A、2C Mπ B2C、214C Mπ210、如图是陈老师晚饭后出门散步时，离家的距离（y若用黑点表示陈老师家的位置，则老师家行走的路径可能是 ( )。
注意事项：1、第Ⅱ卷共卷上．2、答题前请将密封线内的项目填写清楚．3、监考人员将第Ⅱ卷密封装订．二、填空题:本大题共5个小题，每小题4分，共计20分.11、若第三象限内的点P(x,y)满足23,5x y==，则点P的坐标是。
12、如图，小华用手电测量学校食堂的高度，在P处放一水平的平面镜，光线从A出发，经平面镜反射后刚刚射到食堂的C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且AB=1.2m，BP=1.8m， PD=1.2m，那么食堂的高度是13O与△ABCACB=90°，∠，则⊙O的半径。
四川初中联赛(初二组)决赛数学试卷及解析
四川初中数学联赛（初二组）决赛试卷及其解析（考试时间：3月24日上午8:45—11:15）题号 一 二 三 四 五 合计 得分 评卷人 复核人一、选择题（本大题满分42分，每小题7分）1、设13x ≤≤，则13x x ---的最大值与最小值的和 （ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3解析：由条件13x ≤≤，可得1324x x x ---=-，当1x =，得最小值-2，当3x =，得最大值2，故选A2、设5x =y 是不超过x 的最大整数，求1x y-= （ ） （A 52 （B 52 （C 51 （D 51解析：易得2y =52，故选B.3、如图，已知在四边形ABCD 中，∠ACB =∠BAD=105°，∠ABC=∠ADC=45°，则∠CAD=（ ）（A ）65° （B ）70° （C ）75° （D ）80°解析：此题由三角形内角和及角的构成容易得，答案为C.4、由1、2、4分别各用一次，组成一个三位数，这样的三位数中是4的倍数的三位数共有 （ ）（A ） 1个 （B ） 2个 （C ） 3个 （D ） 4个解析：是4的倍数必然个位数不能是1，再将124、142、214、412试除以4，便可得答案为B.5、已知：,,x y z 为三个非负实数，且满足325231x y z x y z ++=⎧⎨+-=⎩，设37s x y z =+-，则s 的最大值是（ ）（A ）111- （B ）111 （C ） 57- （D ）75-解析：由方程组解出73711x z y z =-⎧⎨=-⎩，由,x y 非负实数，可解得37711z ≤≤，∵373(73)711732sx y z z z z z =+-=-+--=-，取711z =代入即可求得，答案为A 6、如图，∠DAP =∠PBC=∠CDP=90°，AP=PB=4，AD=3，则BC 的长是（ ）（A ）323 （B ）16 （C ）413 （D ）412DCBA解析：延长DP 交CB 延长线于点E ，如图，由三角形全等可证PE=DP,AD=BE ，由勾股定理可求DP=5，故DE=10，再由△EB P ∽△EDC ，可得EB EPED EC=,求得EC=503，BC=EC-EB=503-3=413，答案C 二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）1、关于x 的不等式组3361x x ax -≥+⎧⎨≥⎩的解是13x ≤≤，则a 的值是解析：解不等式组得313a x --≤≤，故33,123aa --=∴=- 2、如果281p p +与都是质数，则p =解析：考虑到是初二竞赛，试值可求得P=33、设,x y 为两个不同的非负整数，且213xy x y ++=，则x y +的最小值是解析：∵,x y 为两个不同的非负整数，∴0213x ≤<，故x 取0~6的整数，代入再求符合条件的y ，符合条件的整数解只有024,,1331x x x y y y ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩三组，故x y +的最小值为5. 4、如图，已知ABCD 为正方形，△AEP 为等腰直角三角形，∠EAP=90°，且D 、P 、E 三点共线，若EA=AP=1，5DP=解析：连结BE ，易证△AE B ≌△APD ，故PD=EB ，∠APD =∠AEB 。
2009年初中数学联赛（四川）初赛试题5的探究
2009年初中数学联赛（四川）初赛试题5的探究王伯龙【期刊名称】《中学数学月刊》【年(卷),期】2011(000)009【总页数】2页(P41-42)【作者】王伯龙【作者单位】宁夏彭阳县第三中学,756500【正文语种】中文【中图分类】G4题目在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，AC=3,BC=4,分别用r,r1,r2表示△ABC,△ACD,△BCD内切圆的半径，则r+r1+r2=( ).(A) (B)3 (C)4 (D)5(2009年全国初中数学联赛四川省初赛题)经过仔细的斟酌，笔者发现此题有进一步探究的价值.解法1(参考答案) 由勾股定理得AB=5,由面积关系得CD=，则Rt△ABC的内切圆半径为r=(CA+CB-AB).同理，r1=(DC+DA-CA),r2=(DC+DB-CB).于是，r+r1+r2=DC=.故选A.由选项我们可以得到一个更一般的结论：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,CD为斜边AB上的高，分别用r,r1,r2表示△ABC,△ACD,△BCD 内切圆的半径,则r+r1+r2=.解法2(问题的别解) 我们可以考虑用三角形的面积公式S=r(a+b+c)来证上面更一般的结论.由面积关系易得CD=，由直角三角形的射影定理得AD=,DB=.在Rt△ABC中,由三角形面积关系得ab=r(a+b+c)，故r=.同理，在Rt△ACD中有r1=，在Rt△BCD中有r2=，所以，r+r1+r2=++=.解法2比解法1更具一般性，正是这种解法启发了笔者对上述问题进一步的探究，得到如下的结论：结论1 在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c，CD为斜边AB上的高，分别用r,r1,r2表示△ABC,△ACD,△BCD内切圆的半径,则有r∶r1∶r2=c∶b∶a；；+-=2c.由于三角形的中线、角平分线、高线是三角形中的重要线段，当我们研究了高线的相关性质后，一个自然的想法是能否将问题类比到中线、角平分线上去.通过研究，笔者得到了如下几个结论：结论2 在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A，∠B，∠C所对的边分别为a,b,c，CD为斜边AB上的中线，分别用r,r1,r2表示△ABC,△ACD,△BCD内切圆的半径.则有r2=2r1r2；+=+.结论3 在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c，CD为∠ACB的平分线，分别用r,r1,r2表示△ABC,△ACD,△BCD内切圆的半径,则+=+2.如果我们再利用三角形的面积公式S=，其中a,b,c是三角形的三边，R是外接圆的半径.将上面有关内切圆半径的性质类比到外接圆上，便可得到如下的几个结论：结论4 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a,b,c，CD为斜边AB上的高，分别用R,R1,R2表示△ABC,△ACD,△BCD外接圆的半径，则结论5 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a,b,c，CD为斜边AB上的中线，分别用R,R1,R2表示△ABC,△ACD,△BCD外接圆的半径，则+=.限于篇幅，以上结论的证明从略.教学中，如果我们对一个有价值的问题进行多角度的深层次挖掘，将会得到一系列简洁、优美的新结论，利用这些新结论可编拟新的数学问题，就能大幅度提高教学效率.。
2009年四川省初中数学联赛(初二组)初赛试卷全解全析[1]
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初中数学（初二组）试卷一、选择题（本大题满分42分，每小题7分）1、下列名人中：①比尔·盖茨②高斯③袁隆平④诺贝尔⑤陈景润⑥华罗庚⑦高尔基⑧爱因斯坦，其中是数学家的是（）A．①④⑦ B.③④⑧ C.②⑥⑧ D.②⑤⑥2、已知111,,b c aa b c a b c+=+=+≠≠则a2b2c2=( )A.5B.3.5C.1D.0.53、在直角坐标系中，若一点的纵横坐标都是整数，则称该点为整点。
设k为整数，当直线2y x=-与y kx k=+的交点为整点时，k的值可以取（）A．4个 B.5个 C.6个 D.7个4、如图，边长为1的正方形ABCD绕A逆时针旋转300到正方形AB‘C’D‘，图中阴影部分的面积为（）A.1- C.1 D.125、已知()421M p p q=+，其中,p q为质数，且满足29q p-=，则M=（）A.2009B.2005C.2003D.2000（第4题图）（第6题图）6、四边形ABCD中0060,90,DAB B D∠=∠=∠=1,2BC CD==,则对角线AC的长为（）二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）1、如果有2009名学生排成一列，按1、2、3、4、5、4、3、2、1、2、3、4、5、4、3、2、1∙∙∙的规律报数，那么第2009名学生所报的数是。
2、已知,,a b c满足2224222a b a c ac-+++=+，则a b c-+的值为______3、已知如图，在矩形ABCD中，AE BD⊥，垂足为E，030ADB∠=且BC=ECD的面积为___（第3题图） （第4题图）4、有一等腰钝角三角形纸片，若能从一个顶点出发，将其剪成两个等腰三角形纸片，则等腰三角形纸片的顶角为_______度。
三、简答题（本大题满分20分）1.如图，直线OB 是一次函数2y x =-的图象，点A 的坐标为，在直线OB 上找点C ， 使得ACO 为等腰三角形，点C 坐标。
2009年全国高中数学联合竞赛(四川初赛)
二00九年高中数学联赛四川赛区初赛试题详细参考答案及评分标准说明：1、评阅试卷时，请依据评分标准.选择题和填空题只设5分和0分两档；其它各题的评阅，请严格按照评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次.2、如果考生的解答题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评阅时可参考本评分标准适当划分档次评分，5分一个档次，不要再增加其它中间档次. 一、选择题（每小题5分，共30分） 1、下列函数中，以2π为最小正周期的偶函数是（ ） A 、x x y 2cos 2sin += B 、x x y 2cos 2sin = C 、x x y 2cos sin 2+= D 、x x y 2cos 2sin 22-= 解：在A 中，取4π=x ，则1=y ；取4π-=x ，则1-=y ，从而y 不是偶函数；在B 中，x y 4sin 21=，它不是偶函数； 在C 中，22cos 1xy +=，它的最小正周期为π；在D 中，x y 4cos -=，符合条件．故答案选D ．2、甲、乙两人之间进行一场打完7局的比赛（每局无平局），则比赛结果出现甲比乙 为4:3的概率是A 、12835 B 、165 C 、74 D 、85 解：符合条件的概率为128352747=C ．故答案选A ．3、函数2x y =的图象1F 与它按向量)1,(m =平移后的函数图象2F 在1=x 处的切线互相垂直，则实数m 的值为（ ）A 、45-43-、B C 、43 D 、45解：因为2)1(='y ，故2F 的函数为12--=）（m x y ，其在1=x 处的切线的斜率为）（m k -=122，由1122-=-⨯）（m 知45=m ．故答案选D ．4、设数列}{n a 满足：21=a ，nn a a 111-=+，记数列}{n a 的前n 项之积为n P ， 则2009P 的值为（ ） A 、21-B 、1-C 、21D 、1解：因为1111111112--=--=-=++n nn n a a a a ， 于是n n n n a a a a =---=-=++11111123，故}{n a 是以3为周期的周期数列 又21=a ，212=a ，13-=a ，从而13-=P 所以，1126692009-=-=P P ）（．故答案选B ．5、已知关于y x ,的方程组⎩⎨⎧=-=+ky kx k y x 22222仅有一组实数解，则符合条件的实数k 的个数是（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4解：若0=k ，显然方程组仅有一组解（0，0），故0=k 符合条件； 若0≠k ，则2222k y x =+的图象是一个以)0,0(为圆心，以||2k r =为半径的圆，而k y kx 2=-表示直线．由题设条件知||21|2|2k k k =+，即222214k k k =+，解得1±=k ． 综上所述，符合条件的实数k 共有3个．故答案选C ．6、已知c b a ,,均为大于0的实数，设命题P ：以c b a ,,为长度的线段可以构成三角形的三边 命题Q ：)(2222ca bc ab c b a ++<++则P 是Q 的（ ）A 、充分但不必要条件B 、必要但不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件解：一方面，若P 成立，则a c b >+，故2)(a c b a >+，即2a ac ab >+同理：2b bc ba >+，2c cb ca >+所以，)(2222ca bc ab c b a ++<++，即Q 成立．另一方面，若Q 成立，取2,1===a c b ，这时以c b a ,,为长度的线段不能构成 三角形的三边，即P 不成立．综上所述，P 是Q 的充分但不必要条件．故选A ．二、填空题（每小题5分，共30分）7、若实数x 满足θcos 1log 2+=x ，其中]02[，πθ-∈，则函数|3|2|1|)(-+-=x x x f 的最大值等于 ． 解：由条件知]2,1[cos 1∈+θ，则42≤≤x ， 从而|3|21)(-+-=x x x f当32≤≤x 时，x x x x f -=-+-=5|3|21)(，此时最大值为3； 当43≤≤x 时，73|3|21)(-=-+-=x x x x f ，此时最大值为5． 综上所述，)(x f 在4=x 时取到最大值5．8、设二项式01221212222)13a x a x a x a x a x n n n n n +++++=--- （记n n a a a T 220+++= ，1231-+++=n n a a a R ，则=+∞→nnn R T lim．解：取1=x ，得∑==ni i na 2022；取1-=x ，得∑=-=ni i i na 202)1(4从而24222n n n T +=，24222nn n R -=于是14242lim lim 2222-=-+=+∞→+∞→n n nn n nn n R T ．故答案填1-．9、已知ABC ∆的三边长分别为3、4、5，点P 为ABC ∆内部（不含边界）一动点， 则点P 到三边距离之积的最大值等于 ．解：设543===c b a ，，，则ABC ∆为直角三角形，其面积为6=∆ABC S ． 记点P 到三边c b a ，，的距离分别为c b a h h h ，，， 则122==++∆ABC c b a S ch bh ah故1516604)3(133==++≤⋅⋅=c b a c b a c b a ch bh ah abc abc ch bh ah h h h 等号当且仅当⎩⎨⎧=++==12c b acb a ch bh ah ch bh ah ，即PCA PBC PAB S S S ∆∆∆==，亦即P 为ABC ∆的重心时取得．故答案填1516． 10、在长方体1111D C B A ABCD -中，棱6=AB ，21==BB BC ，点P 是线段1BC 上的一动点，则1PB AP +的最小值是 ．解：如图， 将11C BB ∆沿1BC 为轴旋转至与平面1ABC 共面，得12C BB ∆， 则 1352=∠ABB ，故 21PB AP PB AP +=+25135cos 26226222=⨯⨯-+=≥ ）（AB ．等号当且仅当P 为2AB 与1BC 的交点时取得． 故答案填25．11、集合},21241|{R x x A x ∈≤≤=，}012|{2≤+-=tx x x B ， 若A B A =⋂，则实数t 的取值范围是 .． 解：因为}12|{-≤≤-=x x A ，B A ⊆故0122≤+-tx x 在]1,2[--∈x 上恒成立．又t x x 21≥+，而]1,2[--∈x 时]2,25[1--∈+x x 所以 t 225≥-，即45-≤t ．所以，实数t 的取值范围是]45,(--∞．故答案填]45,(--∞．12、直线1l 与直线2l 平行，1l 上有5个不同的点，2l 上有10个不同的点，将1l 上的点与2l 上的点连线段，若没有三条线段交于同一点，则这些线段之间的交点共有 个．（用具体的数字作答）解：经过任何一个交点的两条线段的4个端点，两个在1l 上，两个在2l 上，以它们为顶点，构成一个四边形，这个交点就是四边形对角线的交点．所以，任何一个交点与两个顶点在1l 上，两个顶点在2l 上的四边形一一对应．所以，所求的交点个数共有45021025=C C ．故答案填450．三、解答题13、已知奇函数)(x f 在定义域]3,3[-内是减函数，且0)2()2(2<-+-x f x x f ， 求实数x 的取值范围．解：由)(x f 的定义域知⎩⎨⎧≤-≤-≤-≤-3233232x x x解3232≤-≤-x x 得 31≤≤-x解323≤-≤-x 得51≤≤-x所以有31≤≤-x ① ……5分因为)(x f 是奇函数，得)2()2()2(2x f x f x x f -=--<- ……10分又因为)(x f 在定义域内单减，故x x x ->-222解得1-<x 或2>x ② ……15分由①、②得32≤<x ，即实数x 的取值范围为]3,2(． ……20分14、如图，已知PB PA ，是⊙O 的两条切线，PCD 是⊙O 的一条割线，E 是AB与PD 的交点． 证明：DECEPD PC =． 证法一：连结BC AD AC ，，和BD ，则PBDPBCPAD PAC S S S S PD PC ∆∆∆∆== ……5分 ∵ PAC ∆∽PDA ∆ ，PBC ∆∽PDB ∆∴22AD AC S S PAD PAC =∆∆，22BDBC S S PBD PBC =∆∆_P_ B∴BDBCAD AC = ……10分 ∴BDBCAD AC AD AC PD PC ⋅==22 ① 又∵ACE ∆∽DBE ∆ ， BCE ∆∽DAE ∆∴DE AE DB AC = ②, AECEDA BC = ③ ……15分 故由①、②、③得 DECEPD PC = ……20分证法二：（同证法一前）∴BDBCAD AC AD AC PD PC ⋅==22 ① 又∵ADBACBBDE DAE BCE ACE BDE BCE DAE ACE S S S S S S S S S S DE CE ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆=++=== ……15分 而180=∠+∠ADB ACB ，∴ADB ACB ∠=∠sin sin∴DBDA CBAC ADB DB DA ACB CB AC DE CE ⋅⋅=∠⋅⋅∠⋅⋅=sin sin ② 由①、②知DECEPD PC =． ……20分15过右焦点F 垂直于1l （I ）求证：|||（II ）若，（5F 截得的弦CD 的长度．解：（I 故2254c a =①从而222251c a c b =-= ②，故21525==c ca b设θ=∠=∠BOF AOF ，则21tan =θ ……5分 故 34tan 1tan 22tan tan 2=-==∠θθθAOB 34||=OA 令)0(3||>=m m ，则m 4||=，m 5||=，满足||2||||=+， 所以， ||||||OB AB OA 、、依次成等差数列 ……10分（II ）由已知52=c ，代入①，②得1,422==b a ，于是双曲线的方程为1422=-y x 设直线AB 的斜率为k ，则2cot tan tan ==∠=∠=θAFO BFX k于是直线AB 的方程为：)5(2-=x y ……15分联立⎪⎩⎪⎨⎧=--=14)5(222y x x y ，消y 得 084532152=+-x x 故弦CD 的长度341584154)532(5151||22=⨯⨯--⨯=∆⋅+=k CD ……20分16、设正实数c b a ,,，满足c b a ≤≤，且9222=++c b a ．证明：a abc 31>+．证法一：由条件知222239a c b a ≥++=，故3≤a ． ……5分又由0))(2222≥--a b a c （知222229a a a c b a bc -=-+≥ ……10分 只须证 132922->-a a a （1）当013<-a ，即310<<a 时，结论显然成立； （2）当013≥-a ，即3331≤≤a 时，只须证 224)13()29(-≥-a a a即证 016992246<+-+-a a a a因为599216992246246-+-<+-+-a a a a a a a)2()3)(1)(12(2222+----=a a a a ……15分又3331≤≤a 时，有02,03,01,0122222>+<-<-<-a a a a 所以，016992246<+-+-a a a a ……20分证法二：由条件知222239a c b a ≥++=，故3≤a ． ……5分又由0))(2222≥--a b a c （知222229a a a c b a bc -=-+≥ ……10分 只须证 132922->-a a a （1）当013<-a ，即310<<a 时，结论显然成立； （2）当013≥-a ，即3331≤≤a 时，只须证 224)13()29(->-a a a 即须证 016992246<+-+-a a a a 记 16992)(246+-+-=a a a a a f因为 6183612)(35-+-='a a a a f )3(6)3(1223-+-=a a a当3331≤≤a 时，有03,032<-<-a a故当3331≤≤a 时0)(<'a f ， 因此)(a f 在3331≤≤a 时单调递减 ， ……15分 所以，0136393932)31()(246<+-+-=≤f a f ，即（*）成立 ……20分 16、设正实数c b a ,,，满足c b a ≤≤，且9222=++c b a ．证明：a abc 31>+．证明：由条件知222239a c b a ≥++=，故3≤a ． ……5分又由0))(2222≥--a b a c （知222229a a a c b a bc -=-+≥ ……10分 只须证 a a a 312922>+-（1）若10≤<a ，则497292>≥-a ，从而2229294a a a >- 于是2222229294)129(a a a a a >-≥+-所以，a a a 312922>+-． ……15分 （2）若31≤<a ，则只须证 132922->-a a a即证 016992246<+-+-a a a a又因为599216992246246-+-<+-+-a a a a a a a0)2()3)(1)(12(2222<+----=a a a a ，结论成立． ……20分。
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2009年四川省初中数学联赛（初二组）初赛试卷
1、下列名人中：①比尔·盖茨 ②高斯 ③袁隆平 ④诺贝尔 ⑤陈景润 ⑥华罗庚 ⑦高尔基⑧爱因斯坦，其中是数学家的是（ D ）
A ．①④⑦ B.③④⑧ C.②⑥⑧ D.②⑤⑥
详解：高斯，1777年4月30日生于不伦瑞克的一个工匠家庭,1855年2月23日卒于格丁根。
幼时家境贫困,但聪敏异常,受一贵族资助才进学校受教育。
是德国数学家、天文学家和物理学家,被誉为历史上伟大的数学家之一,和阿基米德、牛顿并列,同享盛名。
华罗庚,1910年11月12日生于江苏省金坛市金城镇,1985年6月12日卒于日本东京。
为著名的中国数学家,是近代中国解析数论典型群，是中国解析数论、曲型群、矩阵几何学、自守函数论与多个复变函数等很多方面研究的创始人与奠基者。
培养了
王元、陈景润等数学人才。
陈景润(1933.5~1996.3)是中国现代数学家。
1933年5月22日生于福建省福州市，
1953年毕业于厦门大学数学系，他在50年代即对高斯圆内格点问题、球内格点问题、塔里问题与华林问题的以往结果，作出了重要改进，受到华罗庚的重视，被调到中国科学院数学研究所工作。
1966年攻克了世界著名数学难题“哥德巴赫猜想”中的(1+2)，创造了距摘取这颗数论皇冠上的明珠(1+ 1)只是一步之遥的辉煌。
世界级的数学大师、美国学者阿 ·威尔曾这样称赞他：“陈景润的每一项工作，都好像是在喜马拉雅山山巅上行走。
”
2、已知111,,b
c a a b c a b c +=+=+≠≠则a 2b 2c 2=( C )
A.5
B.3.5
C.1
D.0.5
详解：2221b c b c
bc bc c a c a
ac
ac b a a b
ab ab a b a b b c b c a b c a c c a -------=-=⎧⎧⎪⎪-=⇒-=⇒=⎨⎨⎪⎪-=-=⎩⎩
3、在直角坐标系中，若一点的纵横坐标都是整数，则称该点为整点。
设k 为整数，当直线2y x =-与y kx k =+的交点为整点时，k 的值可以取（ A ） A ．4个 B.5个 C.6个 D.7个 (2)
31
12
2(1)(2)
,,1,0111,3k k k y x x kx k k x k y kx k k Z x Z K k x Z
k -+--=-⎧⇒-=+⇒-=-+⎨
=+⎩
∈∈≠≠⇒=
=--∈±±⇒-=⇒详解四种情况。
：
4、如图，边长为1的正方形ABCD 绕A 逆时针旋转300到正方形AB ‘C ’D ‘
，图中阴影部分的面积为（ A ）
A.1-
C.1
D.12
03021EDAB EAB
AE Rt AB E Rt ADE EAB EAD EB S
S S '
'
'
''≅⇒∠=∠=⇒=
==
⇒=⇒阴影详解：接连易证；
5、已知()421M p p q =+，其中,p q 为质数，且满足
29q p -=，则M =（ D ）
A.2009
B.2005
C.2003
D.2000
详解：M 的值从小到大应该是无数个，由于选项有限，p 不可能很大，,p q 质数之差为29，则p 质
数由最小质数2计算，即当231p q ==，时，()
42
12000M p p q =+=为所求。
6、四边形ABCD 中0060,90,DAB B D ∠=∠=∠=
1,2BC CD ==,则对角线AC 的长为（ C ）
详解：延长DC 交AB 的延长线于点K ；在Rt ADK 中，
060DAK ∠=0
30AKD ∠=
，1,2,BC CK BK =∴==
4DK CD CK ∴=+=，
2AD AK
AD ∴=
==
:Rt ABC AC AB AK BK =
=-==
二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）
1、 如果有2009名学生排成一列，按1、
2、
3、
4、
5、4、3、2、1、2、3、4、5、4、3、2、 1∙∙∙
的规律报数，那么第2009名学生所报的数是 1 。
详解：观察以上为1、2、3、4、5、4、3、2等8个数为一个周期进行循环，则2009除以8等于251 余1，说明有251个循环，仅余下1个数，即为第252个周期中的第一个数为1。
2、已知,,a b c 满足
2224222a b a c ac -+++=+，则a b c -+的值为 4或8
22()03030
a c a a
b +-=⇒-=⇒==2
（）b 或，21020
0a b a c --=+=-=⎧⎪⎨
⎪⎩
3123a b a c ==-==⎧⎪
⇒⎨⎪⎩
或或0或1
3、已知如图，在矩形ABCD 中，AE BD ⊥，垂足为E ，0
30ADB ∠=且BC =
ECD 的面积为
详解：由题可得：过CD 点作CF BD ⊥于F ； 易证ADE
CDE
Rt
ABE Rt CDF AE CF S
S
≅⇒=⇒=
01230,ADB BC AE BC ∠==∴==
12663
ADE
DE S
AE DE ∴==∴==4、有一等腰钝角三角形纸片，若能从一个顶点
出发，将其剪成两个等腰三角形纸片，则等腰 三角形纸片的顶角为108度。
详解：如图，0
05180
36x x =⇒=
顶角03108BAC x ∠==
三、简答题（本大题满分20分）
如图，直线OB 是一次函数2y x =-的图象，点A 的坐标为()0,2，在直线OB 上找点C ， 使得ACO 为等腰三角形，点C 坐标。
详解：ACO 为等腰三角形，则分为三种情况讨论：
()()2,,2,0,2y x C x x A =-∴-设
① 当以A 为顶点：则AC AO =，()2
2
224x x ++=
(
)1
81655
85,,x
C ∴=-∴-
② 当以C 为顶点：则()2
222
,224CA CO x x x x =++=+则
()21122,1
,x C =--∴
③当以O
为顶点：则(2
2
34
,44,,OA OC x x x C C =+=∴=∴
四、简答题（本大题满分25分）
某食品公司欲用这三种食物混合配制100千克食品，要求配制成的食品中至少含36000单位的
维生素A 和40000单位的维生素B 。
⑴配制这100千克食品，至少要用甲种食物多少千克？丙种食物至多能用多少千克？ ⑵若限定甲种食物用50千克，则配制这100千克食品的总成本S 的取值范围是多少？
详解：①设配制这100千克食品中，至少要用甲种食物x 千克, 乙种食物y 千克, 丙种食物至多能用z 千克;据题意可得：
1001003530060030036000212020700100300400007340045x y z x y z x x y z x y z y x y z x y z z ++=++=≥⎧⎧⎧⎪⎪⎪++≥⇒++≥⇒=⎨⎨⎨⎪⎪⎪++≥++≥≤⎩⎩⎩
②12
5010050
50300506003003600027020507005010030040000350506204303470
470500
50650403500y z y z y z y z y z y y z y z s s s ++=+=⎧⎧+=⎧⎪⎪
⨯++≥⇒+≥⇒⎨⎨⎨
≤≤⎩⎪⎪⨯++≥+≥⎩⎩=⨯+⨯+⨯=⎧⇒⇒≤≤⎨=⨯+⨯+⨯=⎩ 五、简答题（本大题满分25分）
如图，在凸四边形ABCD 中，M 为边AB 的中点，且MC MD =，分别过,C D 两点，作边
,BC AD 的垂线，设两条垂线的交点为P 。
过点P 作PQ AB ⊥于Q 。
求证：PAD PBC ∠=
详解：如图：取,AP BP 的中点分别为,F E ；并连 结,,,DF MF EC ME ；
1
12
2,,
MF BP BE ME AP DF MC MD MDF CME
=
====∴≅易证：
,2,
2DFM MEC MFPE MFP MEP
DFP CEP DFP PAD CEP PBC PAD PBC
∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∠=∠∠=∠∴∠=∠为。