工程水文学第四章 水文统计基本方法 63页PPT文档

模比系数（Ki)
（5） 2.207 1.918 1.493 1.396 1.236 1.220 1.019 1.011 0.971 0.963 0.915 0.875 0.843 0.843 0.786 0.709 0.637 0.634 0.611 0.388 0.327 21.00
Ki-1 （6） 1.207 0.918 0.493 0.396 0.236 0.220 0.019 0.011 -0.029 -0.037 -0.085 -0.125 -0.157 -0.157 -0.214 -0.291 -0.363 -0.366 -0.389 -0.612 -0.673 0.000
⒍水文样本系列： 统计参数是样本统计参数。
⒈均值( x
)：
反应系列 总水平
定义模比系数： 则：Βιβλιοθήκη Kixi x
11 ni n1K i K 1K 2n K n
⒉ 均方差σ、变差系数Cv：
反映系列中各变量值集中或离散的程度
n
(xi x)2
i1
n
Cv
n
(Ki 1)2
一、目估适线法
（1）将实测资料由大到小排列，计算各项的经验频 率，在频率格纸上点绘经验点据。
（2）选定水文频率分布线型（一般选用P-Ⅲ型）。 （3）初估一组参数 x 、CV、CS。
为了使初估值大致接近实际，可用矩法或其它方 法求出3个参数，作为3个参数第一次的假定值。
当用矩法估计时，因CS的抽样误差太大，一般不 计算CS，而是根据经验假定CS为CV的某一倍数（如 CS =2 CV ）。
绘出理论频率曲线。
xpx(1Cvp)Kpx
理论频率曲线的绘制： 已知统计参数 Cs、CV、x ，求不同频率 P 对应的值：
xpx(1Cvp)Kpx
然后在频率格纸上绘曲线，横坐标为频率，纵坐 标为水文特征值。
例4-5：某站年径流系列符合P-Ⅲ型分布，已知该系列的，
x650mm, CV=0.25 ，CS=2Cv，试绘理论频率曲线。
样本系列统计参数计算（P.40）
(xi-x)2 (xi-x)3
Ki
Ki-1
10000 1000000 1.5
0.5
0
0
1
0
225
-3375 0.925 -0.075
1225
-42875 0.825 -0.175
2500 -125000 0.75 -0.25
2790
165750
52.8
0.264102 1.12
例4-3：计算系列的统计参数均值、变差系数、偏态 系数。
样本 1 2 3 4 5
系列 300 200 185 165 150
x

1 n

xi
Cv
n
(Ki 1)2
i 1
n
n
( K i 1)3
Cs
i 1
n
C
3 v
样本 1 2 3 4 5
均值 均方差 变差系数 偏态系数
系列 300 200 185 165 150 200
i 1
n
例4-2： 5， 10， 15 x=10 σ=4.08 995，1000，1005 x=1000 σ=4.08
Cv=0.48 Cv=0.0048
⒊偏态系数（Cs）: 反映系列在均值两边对称程度
n
( K i 1)3
Cs
i 1
n
C
3 v
正态曲线或正态分布： 密度函数：
密度曲线：
当m=n时，p=100%，即样本的末项 xn是总体 中的最小值，显然不符合实际，因为随着观测年 数的增多，总会出现更小的数值。对上式进行修 正，有：
数学期望公式：
在频率格纸上以系列各项的频率为横坐标、各 项的值为纵坐标点图，再通过点群中心目估绘光滑 曲线即经验频率曲线。
例4-4：已知某水利枢纽，年最大洪峰流量系列， 绘制经验频率曲线。
F (x) 水文上通常称随机变量的累积频率曲线， 简称频率曲线。
三、概率分布函数与概率密度函数的关系 概率分布函数导数负值，称为概率密度函数。
F (x)

F(x)P(Xx)xf(x)d x
四、随机变量的统计参数
⒈总体统计参数、样本统计参数 ⒉均值、均方差、变差系数、偏态系数
⒊总体：随机变量所有取值的全体。 ⒋样本：从总体中抽取的一部分。 ⒌样本容量：样本包括的项数，样本大小。
可作为度量抽样误差的指标，称为均方误。
各参数的均方误（抽样误差）：

x
n


2n
1
3 4
C s2
Cv
Cv 2n
1
2C v2

3 4
C s2

2C vC s
Cs
6 n
(1
3 2
C s2
5 16
C s4 )
CV=2CS时样本参数的均方误(相当误差，%）
cv 参数 100
用有限的样本观测资料估计总体分布线型中的参 数，如P—Ⅲ型的 x 、CV、CS 。
一、矩法 用样本矩估计总体矩，并通过矩与参数之间的关 系，来估计频率曲线的参数。
⒈ 均值x 无偏估计：
⒉ CV的无偏估计量：
n
(Ki 1)2
Cv
i 1
n 1
⒊ CS 的无偏估计量：
n
( K i 1)3
二、统计参数对频率曲线的影响：
（1）均值 x 对 频率曲线的影响
1.均值大的 位于小的之上。 2.均值大的较 小的陡。
（2）CV对频率曲线的影响
1.随着CV的 增大,频率曲线 越来越陡。
（3）CS对频率曲线的影响
1. CS越大, 均值(K=1)对应 的频率越小， 频率曲线中部 越向左偏，且 上段 越陡，下 段越平缓。

f (x)dx xP
即求出的 x p 应满足 ：
x p 取决于P、、、a0 四个参数。
令： x x ，Φ是均值为零，标准差为1的 xC v 标准化变量（离均系数）
则有: xx(1Cv)
该式包含CS、P与 Φp的关系，根据拟定CS值，可
得值不，同通过P 下的式Φ即p 值可，求附出表与。各然种后P利相用应已的知的值x p，从和x而CV可
序号
（3） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
某枢纽处年最大洪峰流量计算表
排序
（4） 2750 2390 1860 1740 1540 1520 1270 1260 1210 1200 1140 1090 1050 1050 980 883 794 790 762 483 408 26170
95
99
Kp
1.33
1.2
0.98
0.82
0.7
0.63
0.52
Xp
864.5 780
637
533
455
409.5
338
理论频率曲线
三、频率与重现期的关系 水文上常用“重现期”来代替“频率” 1. 当研究暴雨或洪水时（一般P≤50%）
T1 P
2. 当研究枯水或年径流时（一般 P≥50%）
例如:
年份
（1） 1945 1946 1947 1948 1949 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 1960 1961 1962 1963 1964 1965 总计 均值 变差系数
例4-6：某枢纽处最大洪峰流量频率计算
洪峰流量
（2） 1540 980 1090 1050 1860 1140 790 2750 762 2390 1210 1270 1200 1740 883 1260 408 1050 1520 483 794 26170 1246 0.46
T 1 1 P
当某一洪水的频率为P=1%时，则T=100年，称此洪
水为百年一遇洪水，表示大于等于这样的洪水平均100
年会遇到一次。
对于p=80%的枯水流量，则 T=5 年，称作以五年一
遇枯水流量作为设计来水的标准。表示小于等于这样
的流量平均5年会遇到一次。说明具有80%的可靠程度。
第五节 P—Ⅲ型分布参数估计
22 9 12 17 27 40 56 80 126
1
10 14 20
32 10 14 20 32 42 60 85 134
第六节 水文频率计算—适线法（配线法）
适线法： 是以经验频率点据为基础，在一定的适线准则下， 求解与经验点据拟合最优的频率曲线参数，得到一条 理论频率曲线。
目估适线法、优化适线法。
（4）根据假定的 x 、 CV 、 CS ，查附表 ，计算xP 值，以x P为纵坐标，p为横坐标，即可得到频率曲线。
将此线画在绘有经验点据的图上，看与经验点据 配合的情况，若不理想，则修改参数再次进行计算。
（5）最后根据频率曲线与经验点据的配合情况， 从中选择一条与经验点据配合较好的曲线作为采用曲 线。相应于该曲线的参数便看作是总体参数的估值。
Cs
i 1
(
n

3)C
3 v
二、权函数法
马秀峰（1984）提出。
三、抽样误差 由随机抽样引起的误差，称为抽样误差。 以均值为例；抽样误差定义为：
xixix总(i1 ,2, ,k)
样本均值是随机变量,抽样误差也为随机变量。抽 样误差近似服从正态分布。
可以证明，xi(i1,2,,k) 系列的均方差 x
年份 （1） 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970