高中数学人教b版必修5学案：3.2均值不等式课堂探究学案(含答案)
人教B版高中数学必修5-3.2导学案2-均值不等式
3．2 均值不等式（一）一、学习目标：1．掌握均值定理的推导2．培养学生应用均值定理分析问题、解决问题的能力.二、重点难点：重点：均值定理的推导极其应用难点：均值定理在实际问题中的应用三、学习过程：（一）自学教材，填空1.正数a 、b 的算术平均数为 ；几何平均数为 ．2.均值不等式是 。
其中前者是 ，后者是 ．如何给出几何解释？3.在均值不等式中a 、b 既可以表示数，又可以表示代数式，但都必须保证 ；另外等号成立的条件是 ．4.试根据均值不等式写出下列变形形式，并注明所需条件（1）a 2+b 2 （ ）（2）2b a （ ） （3）a b ＋ba （ ）（4）ab≤ （ ） （5）x ＋x 1 (x>0)（6）x ＋x1 (x<0) 5.在用均值不等式求最大值和最小值时，必须注意a+b 或ab 是否为 值，并且还需要注意等号是否成立．（二）典型例题例1.已知a 、b 、c ∈（0，＋∞），且a+b+c=1，求证a 1 +b 1+c1≥9．例2.（1）一个矩形的面积为100m 2。
问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？（2）已知矩形的周长为36m 。
问这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？（三）课堂训练1.已知a 、b ∈（0，1）且a≠b ，下列各式中最大的是（ ）A ．a 2+b 2B ．2abC ．2a bD ．a +b2.判断下列不等式的证明过程中的正误，并指出错因。
（1）若a 、b ∈R ，则a b ＋ba ≥2b a a b ∙＝2（ ） （2）若x 、y ∈R ＋，则lgx ＋lgy≥2y x lg lg ∙（ ）（3）x ∈R －，则x ＋x4≥－2x x 4∙＝－4（ ） （4）若x ∈R ，则x 2＋x -2≥2x x -∙22＝2（ ）3.x ∈R ，下列不等式恒成立的是（ ）A ．x 2+1≥xB ．112+x <1 C ．lg(x 2+1)≥lg(2x) D ．x 2+4>4x 4.设x>0，则函数y=2－x 4－x 的最大值为 ；此时x 的值是 。
2019-2020学年高中数学人教B版必修5学案：3.2均值不等式学案
3.2 均值不等式1．探索并了解均值不等式的证明过程，理解均值不等式成立的条件，等号成立的条件及几何意义． 2．会用均值不等式解决简单的问题．3．掌握运用均值不等式a ＋b2≥ab 求最值的常用方法及需注意的问题．1．重要不等式：对于任意实数a ，b ，有a 2＋b 2____2ab ，当且仅当______时，等号成立．(1)重要不等式成立的条件是a ，b ∈R .它既可以是具体的数字，也可以是比较复杂的代数式，因此应用范围较广；(2)等号成立的条件是当且仅当a ＝b ，即当a ＝b 时，等号成立；反之，等号成立时有a ＝b .【做一做1】不等式a ＋1≥2a(a ＞0)中等号成立的条件是( )． A ．a ＝2 B ．a ＝1 C ．a ＝12D ．a ＝02．(1)均值不等式：如果a ，b ∈R ＋，那么__________，当且仅当______时，等号成立．也叫基本不等式． (2)对任意两个正实数a ，b ，数a ＋b 2叫做a ，b 的______，数ab 叫做a ，b 的________，故基本不等式用语言叙述是____________________________________．公式变形：(1)a ＋b ≥2ab ，ab ≤(a ＋b 2)2(a ，b ∈R ＋)，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(2)a ＋1a ≥2(a ∈R ＋)，当且仅当a ＝1时，等号成立．(3)a b ＋ba ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 【做一做2－1】若x ＞0，则x ＋2x的最小值为________．【做一做2－2】已知0＜x ＜13，则函数y ＝x (1－3x )的最大值是__________．3．已知x ，y 都为正数，则(1)若x ＋y ＝S (和为定值)，则当______时，积xy 取得最大值________． (2)若xy ＝P (积为定值)，则当______时，和x ＋y 取得最小值________．(1)应用上述性质时注意三点：①各项或各因式均为正；②和或积为定值；③各项或各因式能取得相等的值．即“一正二定三相等”．(2)应用上述时，有时需先配凑成和或积为定值的情况，再应用． 【做一做3】已知x ，y 都是正数，(1)如果xy ＝15，则x ＋y 的最小值是________； (2)如果x ＋y ＝15，则xy 的最大值是________．一、使用均值不等式求最值的注意事项剖析：(1)a ，b 都是正实数，即所求最值的代数式中的各项必须都是正数，否则就会得出错误答案．例如，当x ＜0时，函数f (x )＝x ＋1x≥2x×1x ＝2，所以函数f (x )的最小值是2.由于f (－2)＝－2＋1－2＝－52＜2，很明显这是一个错误的答案．其原因是当x ＜0时，不能直接用均值不等式求f (x )＝x ＋1x 的最值．因此，利用均值不等式求最值时，首先确定所求最值的代数式中的各项是否都是正数．其实，当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝－x ＋1－x≥2－1－x＝2，此时有f (x )≤－2.因此，当所求最值的代数式中的各项不都是正数时，应利用变形，转化为各项都是正数的代数式．(2)ab 与a ＋b 有一个是定值，即当ab 是定值时，可以求a ＋b 的最值；当a ＋b 是定值时，可以求ab 的最值．如果ab 和a ＋b 都不是定值，那么就会得出错误答案．例如，当x ＞1时，函数f (x )＝x ＋1x －1≥2x x －1，所以函数f (x )的最小值是2xx －1.由于2xx －1是一个与x 有关的代数式，很明显这是一个错误的答案．其原因是没有掌握均值不等式求最值的条件：ab 与a ＋b 有一个是定值．其实，当x ＞1时，有x －1＞0，则函数f (x )＝x ＋1x －1＝[(x －1)＋1x －1]＋1≥2－1x －1＋1＝3.因此，当ab 与a ＋b 没有一个是定值时，通常把所求最值的代数式采用配凑的方法化为和或积为定值的形式．(3)等号能够成立，即存在正数a ，b 使均值不等式两边相等，也就是存在正数a ，b 使得ab ＝a ＋b2.如果忽视这一点，就会得出错误答案．例如，当x ≥2时，函数f (x )＝x ＋1x≥2x×1x＝2，所以函数f (x )的最小值是2.很明显x ＋1x 中的各项都是正数，积也是定值，但是等号成立的条件是当且仅当x ＝1x ，即x ＝1，而函数的定义域是x ≥2，所以这是一个错误的答案．其原因是均值不等式中的等号不成立．其实，根据解题经验，遇到这种情况时，一般就不再用均值不等式求最值了，此时该函数的单调性是确定的，可以利用函数的单调性求得最值．利用函数单调性的定义可以证明，当x ≥2时，函数f (x )＝x ＋1x 是增函数，函数f (x )的最小值是f (2)＝2＋12＝52.因此在使用均值不等式求最值时，上面三个条件缺一不可，通常将这三个条件总结成口诀：一正、二定、三相等．二、教材中的“思考与讨论”均值不等式与不等式a 2＋b 2≥2ab 的关系如何？请对此进行讨论．剖析：(1)在a 2＋b 2≥2ab 中，a ，b ∈R ；在a ＋b ≥2ab 中，a ，b ∈R ＋.(2)两者都带有等号，等号成立的条件从形式上看是一样的，但实质不同(范围不同)． (3)证明的方法都是作差比较法． (4)都可以用来求最值．题型一 利用均值不等式比较大小【例1】已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，试比较a 2＋b 2＋c 2，ab ＋bc ＋ca ，13的大小．分析：变形利用不等式找出a 2＋b 2＋c 2与ab ＋bc ＋ca 的大小，结合条件a ＋b ＋c ＝1再找两代数式与13的关系，从而确定它们的大小．反思：要想运用均值不等式，必须把题目中的条件或要解决的问题“化归”到不等式的形式并让其符合运用不等式的条件．化归的方法是把题目中给的条件配凑变形，或利用一些基本公式和一些常见的代换进行变形．题型二 利用均值不等式求最值【例2】已知x ，y ∈(0，＋∞)，且2x ＋y ＝1，求1x ＋1y 的最小值．分析：1x ＋1y→1x ＋1y→1x ＋1y＋→利用均值不等式求解反思：求最值问题第一步就是“找”定值，观察、分析、构造定值是问题突破口．定值找到还要看“＝”是否成立，不管题目是否要求指出等号成立的条件，都要验证“＝”是否成立．题型三 利用均值不等式证明不等式【例3】已知a ，b ，c 都是正实数，且a ＋b ＋c ＝1， 求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc .分析：注意到a ＋b ＋c ＝1，故可运用“常数代换”的策略将所证不等式的左边的“1”代换成字母形式． 反思：这是一道条件不等式的证明题，充分利用条件是证题的关键，此题要注意“1”的整体代换及三个“＝”必须同时取到．题型四 利用均值不等式解恒成立问题【例4】已知不等式(x ＋y )(1x ＋ay)≥9对任意正实数x ，y 恒成立，求正实数a 的最小值．分析：反思：恒成立问题是数学问题中非常重要的问题，在此类问题的解法中，利用均值不等式和不等式的传递性求解是最重要的一种方法，在高考中经常考查．题型五 易错辨析【例5】已知0＜x ＜1，求f (x )＝2＋log 5x ＋5log5x 的最值．错解：f (x )＝2＋log 5x ＋5log5x≥2＋2log5x·5log5x＝2＋25，∴f (x )的最小值为2＋2 5.错因分析：a ＋b ≥2ab 的前提条件是a ，b ∈R ＋，∵0＜x ＜1，∴log 5x ＜0.∴5log5x ＜0.∴不能直接使用均值不等式．【例6】求f (x )＝x2＋4x2＋3＋1的最小值． 错解：因为f (x )＝x2＋4x2＋3＋1＝x2＋3＋1x2＋3＋1＝x2＋3＋1x2＋3＋1≥2＋1＝3，所以f (x )＝x2＋4x2＋3＋1的最小值为3.错因分析：忽视了等号成立的条件，事实上方程x2＋3＝1x2＋3无解，所以等号不成立，正确的处理方法是：利用函数的单调性求最值．1对于任意实数a ，b ，下列不等式一定成立的是( )． A ．a ＋b ≥2ab B ．a ＋b2≥abC ．a 2＋b 2≥2ab D ．b a ＋a b≥22已知a ，b ∈R ，且a 2＋b 2＝4，那么ab ( )． A ．有最大值2，有最小值－2 B ．有最大值2，但无最小值 C ．有最小值2，但无最大值 D ．有最大值2，有最小值03设x ，y 为正数，则(x ＋y )(1x ＋4y )的最小值为( )．A ．6B ．9C ．12D ．15 4若x ＞3，那么当x ＝________时，y ＝x ＋1x －3取最小值________． 5已知x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为________． 答案：基础知识·梳理 1．≥ a ＝b 【做一做1】B2．(1)a ＋b 2≥ab a ＝b (2)算术平均值 几何平均值 两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值【做一做2－1】2 2 x ＞0⇒x ＋2x ≥22，当且仅当x ＝2x，即x ＝2时，等号成立．【做一做2－2】112 ∵0＜x ＜13，∴1－3x ＞0.∴y ＝x (1－3x )＝13·3x (1－3x )≤13[3x ＋(1－3x)2]2＝112，当且仅当3x ＝1－3x ，即x ＝16时，等号成立．∴x ＝16时，函数取得最大值112.3．(1)x ＝y 14S 2(2)x ＝y 2P【做一做3】(1)215 (2)2254 (1)当xy ＝15时，x ＋y ≥2xy ＝215，当且仅当x ＝y ＝15时，等号成立．所以x ＋y 的最小值为215；(2)当x ＋y ＝15时，xy ≤x ＋y 2＝152，所以xy ≤2254，当且仅当x ＝y ＝152时，等号成立．所以xy 的最大值为2254.典型例题·领悟【例1】解：∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，b 2＋c 2≥2bc ，∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2ab ＋2ac ＋2bc .① ∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋ac ＋bc .②①式两边分别加上a 2＋b 2＋c 2，得 3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a ＋b ＋c )2＝1，∴a 2＋b 2＋c 2≥13.由②式，得3(ab ＋bc ＋ca )≤a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ＝(a ＋b ＋c )2＝1，∴ab ＋bc ＋ca ≤13.综上，知a 2＋b 2＋c 2≥13≥ab ＋bc ＋ca .【例2】解：1x ＋1y ＝(1x ＋1y )(2x ＋y )＝2＋2x y ＋y x ＋1＝3＋2x y ＋yx ≥3＋22x y ·yx＝3＋22， 当且仅当2x y ＝yx，即⎩⎪⎨⎪⎧y x＝22x ＋y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋2，y ＝22＋2时等号成立．∴1x ＋1y的最小值为3＋2 2. 【例3】证明：∵a ＋b ＋c ＝1，∴(1－a )(1－b )(1－c )＝(b ＋c )(a ＋c )(a ＋b )． 又∵a ，b ，c 都是正实数， ∴a ＋b 2≥ab ＞0，b ＋c 2≥bc ＞0，a ＋c 2≥ac ＞0.∴(a ＋b)(b ＋c)(a ＋c)8≥abc .∴(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc .当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．【例4】解：∵(x ＋y )(1x ＋a y )＝1＋a ＋y x ＋axy，又x ＞0，y ＞0，a ＞0， ∴y x ＋ax y ≥2y x ·ax y＝2a ， ∴1＋a ＋y x ＋axy≥1＋a ＋2a ，∴要使(x ＋y )(1x ＋ay )≥9对任意正实数x ，y 恒成立，只需1＋a ＋2a ≥9恒成立即可．∴(a ＋1)2≥9，即a ＋1≥3，∴a ≥4， ∴正实数a 的最小值为4.【例5】正解：∵0＜x ＜1，∴log 5x ＜0.∴(－log 5x )＋(－5log5x )≥2(－log5x)·(－5log5x )＝2 5.∴log 5x ＋5log5x ≤－2 5.∴f (x )≤2－2 5. 当且仅当log 5x ＝5log5x ，即x ＝5－5时，等号成立，此时f (x )有最大值2－2 5.【例6】正解：f (x )＝x2＋4x2＋3＋1＝x2＋3＋1x2＋3＋1＝x2＋3＋1x2＋3＋1.令t ＝x2＋3(t ≥3)， 则原函数变为f (x )＝t ＋1t ＋1，在区间[3，＋∞)上是增函数．所以当t ＝3时，f (x )＝t ＋1t ＋1取得最小值433＋1.所以当t ＝3，即x ＝0时，f (x )＝x2＋4x2＋3＋1取得最小值433＋1.随堂练习·巩固1．C 均值不等式要考虑正负情况，如果a ，b 不能保证是正值，则选项A ，B ，D 都不一定成立，只有选项C 对任意实数恒成立．2．A 这里没有限制a ，b 的正负，则由a 2＋b 2＝4，a 2＋b 2≥2|ab |，得|ab |≤2，所以－2≤ab ≤2，可知ab 的最大值为2，最小值为－2.3．B 因为x ，y 为正数，所以(x ＋y )(1x ＋4y )＝1＋4＋y x ＋4xy≥9，当且仅当y ＝2x 时，等号成立，故选B.4．4 5 y ＝x ＋1x －3＝x －3＋1x －3＋3≥2(x －3)×1x －3＋3＝5，当且仅当x －3＝1x －3，即x ＝4时，y 取最小值5.5．116因为x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1， 所以xy ＝14x ·4y ≤14(x ＋4y 2)2＝116，当且仅当x ＝4y ＝12，即x ＝12，y ＝18时，等号成立．所以xy 的最大值为116.。
高中数学人教B版学案：第3章 3.2 均值不等式 Word版含答案
3.2 均值不等式学习目标：1.了解均值不等式的证明过程.2.能利用均值不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小．(重点、难点)3.熟练掌握利用均值不等式求函数的最值问题．(重点)[自 主 预 习·探 新 知]1．重要不等式如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab (当且仅当a ＝b 时取“＝”)． 2．均值不等式ab ≤a ＋b2(1)均值不等式成立的条件：a >0，b >0； (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 3．算术平均数与几何平均数(1)设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ； (2)均值不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．用均值不等式求最值的规律(1)两个正数的积为常数时，它们的和有最小值． (2)两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．[基础自测]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，a ＋b ≥2ab 均成立．( ) (2)若a ≠0，则a ＋4a ≥2a ·4a ＝4.( )(3)若a >0，b >0，则ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22.( ) (4)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是相同的．( ) (5)若ab ＝1，a >0，b >0，则a ＋b 的最小值为2.( )(6)两个正数的积为定值，一定存在两数相等时，它们的和有最小值．( ) (7)若a >0，b >0且a ＋b ＝4，则ab ≤4.( )(8)当x>1时，函数f(x)＝x＋1x－1≥2xx－1，所以函数f(x)的最小值是2xx－1.()(9)如果log3m＋log3n＝4，则m＋n的最小值为9.()(10)若x，y∈R＋，且x＋4y＝1，则xy的最大值为116.()[解析](1)×.任意a，b∈R，有a2＋b2≥2ab成立，当a，b都为正数时，不等式a＋b≥2ab成立．(2)×.只有当a>0时，根据均值不等式，才有不等式a＋4a≥2a·4a＝4成立．(3)√.因为ab≤a＋b2，所以ab≤⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22.(4)×.因为不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；而a＋b2≥ab成立的条件是a，b均为非负实数．(5)√.因为a>0，b>0，所以a＋b≥2ab＝2，当且仅当a＝b＝1时取等号，故a＋b的最小值为2.(6)√.由均值不等式求最值条件可知．(7)√.因为ab≤a＋b2＝42＝2，所以ab≤4.(8)×.因为当x>1时，x－1>0，则f(x)＝x＋1x－1＝(x－1)＋1x－1＋1≥2(x－1)·1x－1＋1＝3.当且仅当x－1＝1x－1，即x＝2时，函数f(x)取到最小值3.(9)×.因为由log3m＋log3n＝4，得mn＝81且m>0，n>0，而m＋n2≥mn＝9，所以m ＋n ≥18，当且仅当m ＝n ＝9时， m ＋n 取到最小值18.(10)√.因为x ，y ∈R ＋，而4xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，所以xy ≤116. 当且仅当x ＝4y ，即x ＝12，y ＝18时取等号．[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√ (6)√ (7)√ (8)× (9)× (10)√[合 作 探 究·攻 重 难](1)2＋c 2与q ＝ab ＋bc＋ca 的大小关系是______．(2)给出下列命题： ①若x ∈R ，则x ＋1x≥2；②若a ＞0，b ＞0，则lg a ＋lg b ≥2lg a ·lg b ； ③若a ＜0，b ＜0，则ab ＋1ab ≥2；④不等式y x ＋xy ≥2成立的条件是x ＞0且y ＞0.其中正确命题的序号是________.[解析] (1)∵a ，b ，c 互不相等， ∴a 2＋b 2＞2ab ，b 2＋c 2>2bc ，a 2＋c 2>2ac . ∴2(a 2＋b 2＋c 2)>2(ab ＋bc ＋ac )． 即a 2＋b 2＋c 2>ab ＋bc ＋ac ，亦即p >q .(2)只有当x >0时，才能由均值不等式得到x ＋1x ≥2x ·1x ＝2，故①错误；当a >0，b >0时，lg a ∈R ，lg b ∈R ，不一定有lg a >0，lg b >0，故lg a ＋lg b ≥2lg a ·lg b 不一定成立，故②错误；当a <0，b <0时，ab >0，由均值不等式可得ab ＋1ab ≥2ab ·1ab ＝2，故③正确；由均值不等式可知，当y x >0，x y >0时，有y x ＋x y ≥2y x ·xy＝2成立，这时只需x 与y 同号即可，故④错误．[答案] (1)p >q (2)③[规律方法] 1.在理解均值不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件.2.运用均值不等式比较大小时应注意成立的条件，即a ＋b ≥2ab 成立的条件是a >0，b >0，等号成立的条件是a ＝b ；a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ，等号成立的条件是a ＝b .[跟踪训练]1．设a >0，b >0，试比较a ＋b2，ab ，a 2＋b 22，21a ＋1b的大小，并说明理由． [解] ∵a >0，b >0，∴1a ＋1b ≥2ab ，即ab ≥21a ＋1b (当且仅当a ＝b 时取等号)， 又⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝a 2＋2ab ＋b24≤a 2＋b 2＋a 2＋b 24＝a 2＋b 22，∴a ＋b 2≤a 2＋b 22(当且仅当a ＝b 时等号成立)，而ab ≤a ＋b2，故a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b(当且仅当a ＝b 时等号成立)．已知a，b，c求证：a＋b＋c>ab＋bc＋ca.[思路探究]构造均值不等式的条件→运用均值不等式证明→判断等号成立的条件→得出结论[证明]∵a>0，b>0，c>0，∴a＋b≥2ab>0，b＋c≥2bc>0，c＋a≥2ca>0.∴2(a＋b＋c)≥2(ab＋bc＋ca)，即a＋b＋c≥ab＋bc＋ca.由于a，b，c为不全相等的正实数，故等号不成立．∴a＋b＋c>ab＋bc＋ca.[规律方法] 1.所证不等式一端出现“和式”，而另一端出现“积式”，这便是应用均值不等式的“题眼”.可尝试用均值不等式证明.2.利用均值不等式证明不等式的策略从已证不等式及问题的已知条件出发，借助不等式的性质及有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.3.利用均值不等式证明不等式的注意点(1)多次使用均值不等式时，要注意等号能否成立；(2)累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用； (3)对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合，形成均值不等式模型，再使用.[跟踪训练]2．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9.[证明] 法一：因为a >0，b >0，a ＋b ＝1， 所以1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a .同理1＋1b ＝2＋ab .故⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a b ＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9. 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9(当且仅当a ＝b ＝12时取等号)．法二：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ＝1＋a ＋b ab ＋1ab ＝1＋2ab ，因为a ，b 为正数，a ＋b ＝1，所以ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，于是1ab ≥4，2ab ≥8. 因此⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥1＋8＝9(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)．如图3-2-1原有的墙，其他各面用钢筋网围成．图3-2-1现有36 m 长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？[解] 设每间虎笼长x m ，宽y m ， 则由条件知，4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18. 设每间虎笼面积为S ，则S ＝xy . 法一：由于2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ， 所以26xy ≤18，得xy ≤272，即S max ＝272，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＝18，2x ＝3y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4.5，y ＝3.故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使每间虎笼面积最大． 法二：由2x ＋3y ＝18，得x ＝9－32y . ∵x >0，∴0<y <6，S ＝xy ＝y ⎝ ⎛⎭⎪⎫9－32y ＝32y (6－y )． ∵0<y <6，∴6－y >0.∴S ≤32⎣⎢⎡⎦⎥⎤(6－y )＋y 22＝272. 当且仅当6－y ＝y ，即y ＝3时，等号成立，此时x ＝4.5. 故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使每间虎笼面积最大．[规律方法] 1.在应用均值不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案.2.对于函数y ＝x ＋kx (k >0)，可以证明x ∈(0，k ]及[－k ，0)上均为减函数，在[k ，＋∞)及(－∞，－k ]上都是增函数．求此函数的最值时，若所给的范围含±k ，可用均值不等式，不包含±k 就用函数的单调性．[跟踪训练]3．某渔业公司今年年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元．从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上年增加4万元．该船每年捕捞总收入50万元．(1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？ (2)问捕捞几年后的平均利润最大，最大是多少？ [解] (1)设该船捕捞n 年后的总盈利y 万元，则 y ＝50n －98－⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×n ＋n (n －1)2×4＝－2n 2＋40n －98＝－2(n －10)2＋102，∴当捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元． (2)年平均利润为y n ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋49n －20≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ·49n －20＝12，当且仅当n ＝49n ，即n ＝7时上式取等号．∴当捕捞7年后年平均利润最大，最大是12万元．[探究问题]1．由x 2＋y 2≥2xy 知xy ≤x 2＋y22，当且仅当x ＝y 时“＝”成立，能说xy 的最大值是x 2＋y 22吗？能说x 2＋y 2的最小值为2xy 吗？[提示] 最值是一个定值(常数)，而x 2＋y 2或2xy 都随x ，y 的变化而变化，不是定值，故上述说法均错误．要利用均值不等式a ＋b2≥ab (a ，b ∈R ＋)求最值，必须保证一端是定值，方可使用．2．小明同学初学利用均值不等式求最值时，是这样进行的： “因为y ＝x ＋1x ≥2x ·1x ＝2，当且仅当x ＝1x，即x 2＝1时“＝”号成立，所以y ＝x ＋1x 的最小值为2.”你认为他的求解正确吗？为什么？[提示] 不正确．因为利用均值不等式求最值，必须满足x 与1x 都是正数，而本题x 可能为正，也可能为负．所以不能盲目“套用”均值不等式求解．正确解法应为：当x >0时，y ＝x ＋1x ≥2x ×1x ＝2，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取“＝”，y ＝x ＋1x 的最小值是2；当x <0时，y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －1x ≤－2(－x )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ＝－2，当且仅当x ＝1x ，即x ＝－1时，取“＝”，y ＝x ＋1x 的最大值是－2.3．已知x ≥3，求y ＝x 2＋4x 的最小值，下列求解可以吗？为什么？ “解：∵y ＝x 2＋4x ＝x ＋4x ≥2x ·4x ＝4，∴当x ≥3时，y ＝x 2＋4x 的最值为4.”[提示] 不可以，因为在利用基本不等式求解最值时，虽然将所求代数式进行变形，使其符合均值不等式的结构特征，但是必须符合“正”、“定”、“等”的条件，缺一不可．本解法忽略了等号成立的条件，即“＝”号不成立．本问题可采用y ＝x ＋4x 的单调性求解．(1)已知x <54，求y ＝4x －2＋14x －5的最大值；(2)已知0<x <12，求y ＝12x (1－2x )的最大值； (3)已知x >0，求f (x )＝2xx 2＋1的最大值； (4)已知x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值．[思路探究] 变形所求代数式的结构形式，使用符合均值不等式的结构特征．(1)4x －2＋14x －5＝4x －5＋14x －5＋3.(2)12x (1－2x )＝14·2x ·(1－2x )． (3)2x x 2＋1＝2x ＋1x .(4)x ＋y ＝(x ＋y )·1＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y .[解] (1)∵x <54，∴5－4x >0，∴y ＝4x －2＋14x －5＝－⎝⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1， 当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，上式等号成立，故当x ＝1时，y max ＝1. (2)∵0<x <12，∴1－2x >0，∴y ＝14×2x (1－2x )≤14×⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1－2x 22＝14×14＝116. ∴当且仅当2x ＝1－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <12，即x ＝14时，y max ＝116.(3)f (x )＝2xx 2＋1＝2x ＋1x.∵x >0，∴x ＋1x ≥2x ·1x ＝2， ∴f (x )≤22＝1，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时等号成立．(4)∵x >0，y >0，1x ＋9y ＝1，∴x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y (x ＋y )＝y x ＋9x y ＋10≥6＋10＝16， 当且仅当y x ＝9x y ，又1x ＋9y ＝1，即x ＝4，y ＝12时，上式取等号．故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.[规律方法] 1.本例题目都不能直接使用均值不等式求最值，需要先对其变形.2.应用均值不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的条件进行，若具备这些条件，可直接运用均值不等式，若不具备这些条件，则应进行适当的变形.3.利用均值不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用均值不等式的条件.具体可归纳为三句话：一不正，用其相反数，改变不等号方向；二不定，应凑出定和或定积；三不等，一般用单调性.[跟踪训练]4．已知a >0，b >0，若不等式2a ＋1b ≥m 2a ＋b恒成立，则m 的最大值等于( ) A ．10B ．9C ．8D ．7B [∵a >0，b >0，∴2a ＋b >0，∴要使2a ＋1b ≥m 2a ＋b恒成立，只需m ≤(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b 恒成立，而(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝4＋2a b ＋2b a ＋1≥5＋4＝9，当且仅当a ＝b 时，等号成立．∴m ≤9.故应选B.[当 堂 达 标·固 双 基]1．已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( )A ．ab ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≥2D ．a 2＋b 2≤3C [由a ＋b ＝2，得ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1，排除选项A ，B.由a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，得a 2＋b 2≥2.]2．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则xy z 的最大值为( )A ．1B ．3 C. 3 D ．4A [xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4y x －3≤14－3＝1，当且仅当x ＝2y 时等式成立．] 3．函数y ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5(x ＞1)的最小值为( ) A ．－3B ．3C ．4D ．－4B [∵x ＋1x －1＋5＝(x －1)＋1x －1＋6≥2(x －1)·1x －1＋6＝8，当且仅当x ＝2时，取“＝”，∴log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5≥3，∴y min ＝3.] 4．若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________.[9，＋∞) [∵a ＞0，b ＞0，∴ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，即ab －2ab －3≥0，解得ab ≥3，即ab ≥9.]5．(1)当x ＜32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值； (2)设0＜x ＜2，求函数y ＝x (4－2x )的最大值．[解] (1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3－2x 2＋83－2x ＋32. 当x ＜32时，有3－2x ＞0，∴3－2x 2＋83－2x ≥23－2x 2·83－2x＝4， 当且仅当3－2x 2＝83－2x，即x ＝－12时取等号． 于是y ≤－4＋32＝－52，故函数的最大值为－52.(2)∵0＜x ＜2，∴2－x ＞0，∴y ＝x (4－2x )＝2·x (2－x )≤2·x ＋2－x 2＝2，当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号，∴当x ＝1时，函数y ＝x (4－2x )的最大值为 2.。
人教新课标版数学高二-人教B版必修5学案 3.2 均值不等式 (二)
3．2 均值不等式 (二)1.熟练掌握均值不等式及变形的应用.2.会用均值不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用均值不等式解决生活中的应用问题．1．已知x ，y 都是正数，若x ＋y ＝s (和为定值)，那么xy 有最大值还是最小值？如何求？答 xy 有最大值．由均值不等式，得s ＝x ＋y ≥2xy ，所以xy ≤s 24，当x ＝y 时，积xy 取得最大值s 24. 2．已知x ，y 都是正数，若xy ＝p (积为定值)，那么x ＋y 有最大值还是最小值？如何求？ 答 x ＋y 有最小值. 由均值不等式，得x ＋y ≥2xy ＝2p .当x ＝y 时，x ＋y 取得最小值2p .1．用均值不等式求最值的结论(1)设x ，y 为正实数，若x ＋y ＝s (和s 为定值)，则当x ＝y 时，积xy 有最大值，且这个值为s 24. (2)设x ，y 为正实数，若xy ＝p (积p 为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值，且这个值为2p .2．均值不等式求最值的条件(1)x ，y 必须是正数；(2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为定值；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为定值．(3)等号成立的条件是否满足.要点一 均值不等式与最值例1 (1)若x >0，求函数y ＝x ＋4x的最小值，并求此时x 的值； (2)设0<x <32，求函数y ＝4x (3－2x )的最大值； (3)已知x >2，求x ＋4x －2的最小值；(4)已知x >0，y >0，且 1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值． 解 (1)当x >0时，x ＋4x ≥2 x ·4x ＝4，当且仅当x ＝4x，即x 2＝4，x ＝2时取等号． ∴函数y ＝x ＋4x(x >0)在x ＝2时取得最小值4. (2)∵0<x <32，∴3－2x >0，∴y ＝4x (3－2x )＝2≤2hslx3y3h 2x ＋(3－2x )243－x＋(3－x )6x ＋6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6×19x (x ＋1)＋90032(3－2t ＋1)＋3(x －2)＋1x －2． (2)∵a v ＋b v ≥2ab ，当且仅当av ＝b v ，即v ＝ab 时，取“＝”． 若a b ≤c ，当v ＝ab 时，y min ＝2s ab ； 若ab >c ，下面用单调性来求y 的最小值．设0<v 1<v 2≤c ，y 1－y 2＝s (a v 1＋b v 1－a v 2－b v 2)＝s (v 1－v 2)(b －a v 1v 2)＝s (v 1－v 2)b v 1v 2－a v 1v 2.∵v 1－v 2<0,0<v 1<v 2≤c ，∴b v 1v 2<bc 2<a ，∴y 1－y 2>0.∴y ＝s (b v ＋a v )在(0，c (6－y )＋y 2hslx3y3h 2＝272. 当且仅当6－y ＝y ，即y ＝3时，等号成立，此时x ＝4.5.(2)由条件知S ＝xy ＝24.设钢筋网总长为l ，则l ＝4x ＋6y . 方法一 ∵2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ＝24，∴l ＝4x ＋6y ＝2(2x ＋3y )≥48，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝3y ，xy ＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝6，y ＝4. 故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小． 方法二 由xy ＝24，得x ＝24y .∴l ＝4x ＋6y ＝96y ＋6y ＝6(16y ＋y )≥6×216y·y ＝48. 当且仅当16y＝y ，即y ＝4时，等号成立，此时x ＝6. 故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小．。
人教B版数学必修五：3.2均值不等式学案含答案解析
§3.2均值不等式13材拓展1. 一个常用的均值不等式链 设a>0, b>0,则有：2a + bmin{ a , b} < 1<abw —< max{a ,b},(1) a , b € R ，都有ab w ©严w 色严成立.(2) a 2 + b 2> 2ab 可以加强为a 2 + b 2> 2|a| |b|,当且仅当|a|=|b|时取等号. (3) a , b , c € R ，都有 a 2 + b 2 + c 2> ab + bc + ca 成立.a b⑷若ab>0，则^ + a 》2.3. 利用均值不等式求最值的法则d _ a + b 均值不等式，ab w数)常用于证明不等式或求代数式的最值.(1)当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即 ab w 号 2,当且仅当a = b 时, 等号成立.(2)当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即a +b >2 ab ，当且仅当a = b 时,等号成立.注意：利用均值不等式求代数式最值，要注意满足三个条件： ①两个正数；②两个正数的积或和为定值；③取最值时，等号能成立.概括为“一正、二定(值)、三相等”.k4. 函数f(x)= x + x (k>0)的单调性在求最值中的应用 有些最值问题由于条件的限制使等号取不到， 其最值又确实存在，我们可以利用函数f(x)k=x + x (k>0)的单调性加以解决.利用函数单调性的定义可以证明函数f(x) = x + - (k>0)在(0, ■. k ］上单调递减，在［.k , +x8)上单调递增.因为函数f(x)= x + x (k>0)是奇函数，所以f(x)= x + x (k>0)在(一8, — . k ］上为增函数， 在［—k , 0)上为减函数.k函数f(x) = x + - (k>0)在定义域上的单调性如右图所示.x5当且仅当a = b 时，所有等号成立. 若a>b>0，则有：2.均值不等式的拓展x€ (0, n的最小值. 例如：求函数f(x)= sin2x + -,sin x.25解 令 t = sin x , x € (0, n, g(t) = t + -.t € (0,1]，易知g(t)在(0,1]上为单调递减函数, 所以当 t = 1 时，g (t) min = 6.即 sin x = 1 , X =n 时，f(x)min = 6.一、利用均值不等式求最值方法链接：均值不等式是求函数最值的有利工具，在使用均值不等式求函数最值时，要注意应用条件“一正、二定、三相等”.不要仅仅关注结构上的定值， 而忽略对相等条件的考察.解 设 t = "J x + 2,从而 x = t 2- 2(t >0)，则 y =当 t = 0 时，y = 0;当 t>0当且仅当2t = 1，即t =¥时等号成立. 即当x = — 3时,y max =于. 二、 利用均值不等式解恒成立问题方法链接：含参数的不等式恒成立问题， 通过分离参数，把参数的范围化归为函数的最 值问题.a>f(x)恒成立? a>[f(X )]max , a<f(x)恒成立? a<[f(x)]min .【例2】已知f(x)= 32x — (k + 1)3x + 2,当x € R 时，f(x)恒为正值，则k 的取值范围是( )A .(―汽一1)B . (— a, 2 ,2— 1)C . ( — 1,2 .2 — 1)D . (— 2 2 — 1,2 2 — 1)解析 由 f(x)>0 得 32x — (k + 1) 3x + 2>0 , 解得 k + 1<3x + 令，而 3x + 3x > 2 .2, ••• k + 1<2 2, k<2 2 — 1. 答案 B三、 利用均值不等式证明不等式方法链接：证明不等式时应根据求证式两端的结构， 合理选择重要不等式及其变形不等式；本题的证明方法在论证对称不等式时具有一定的普遍性.【例 3】已知 a>2，求证:log a (a — 1) log a (a +1)<1. 证明 因为 a>2，所以 log a (a — 1)>0, log a (a + 1)>0. 又 log a (a — 1)丰 log a (a +1), log a a — 1 + log a a + 1/ /1 ”丿、¥ ・2匕乙\5] J^^ya's I ] JF 212 12=2〔og a (a — “Vqlog a a = 1.所以 log a (a — 1)log a (a + 1)<1.即 sin x = 1, x = 【例1】求函数y = 乂+ 2的最大值.2x + 52 /2t + 1四、均值不等式的实际应用方法链接：应用均值不等式解决实际问题时，要注意把要求最值的变量设为函数，列函数解析式时，要注意所设变量的范围.例4 某公司计划用一块土地建造一幢总面积为 A m2的办公大楼，已知征地的费用是2 388元/m2，每层的建筑面积相同，土地的征用面积是每层面积的 2.5倍，经工程技术人员核算，第一、二层的建设费用相同，费用为445元/m2,以后每增高一层，建筑费用就增加30元/m2,试设计这幢办公楼的楼层数，使总费用最少，并求其最少总费用. (总费用=建筑费用+征地费用)解设建造这幢办公楼的楼层数为n,总费用为y元，当n = 1 时，y= 2.5 A 2 388 + 445A = 6 415A(元),A当n = 2 时，y= 2.5 刁 2 388 + 445A = 3 430A(元),A 2A A A当n>3 时，y= 2.5 下 2 388 + 445 〒 + (445 + 30) + (445 + 60) +…+ ［445 + 30(n-A A ------------2)］ n = 6 000 n + 15nA + 400A > 2A 6 000 X 15 + 400A=1 000A(元)(当且仅当n = 20时取等号).即n = 20时，有最小值1 000A元，所以，当建造这幢办公楼的楼层数为20时，总费用最少，为1 000A元.区突破1.忽略应用均值不等式的前提条件而致错5【例1】求f(x)= 2 + log2x+iogn0<x<1)的最值.5［错解］f(x)= 2+ Iog2x+ —> 2+2 :log2x lot 2+2 5…f(x)min = 2+ 2 , 5.这实际是一个错解，错在哪里？请你找出来.5［点拨］•/ 0VXV1 , •••Iog2xv0, ］og z x<0，不能直接运用公式.［正解］••• 0VXV1 ,•••( - log2X)>0, >0.X- log2x) + -点》2 log2x -急=2 5.•••log z x+T"^w-2 5.log2x• f(x) = 2 + log2x+l og5"x< 2 - 2 .5.当且仅当log2X=jo5x时，即x = 2 .5时取等号.• f(x)［正解］利用三角代换可避免上述问题.m = v a COS a-m+ n = a, •••设(a€ ［0,2 力),n=/a sin ax=/b cos 3 ••• x2+ y2= b, •••设$ (3€ ［0,2 n)y = {5 sin 3• mx+ ny= abcos a cos 3+ . absin osin 3=^/ab(cos acos 3+ sin a sin 3 = ^/abcos( a— 3 w ^ab--(mx+ ny)max= \：ab,1 1【例3】已知x>0 , y>0，且x+ 2y= 1,求-+丄的最小值.x y［错解］因为x>0, y>0,且x+ 2y= 1,x+〉G+ 1：(x+ 2y)》2昭X 2何=4返1 1所以- + -的最小值为4 2.x y［点拨］上述解答是错误的，错因是连续两次使用均值不等式解题忽视了等号成立的一致性.［正解］因为x>0, y>0，且x+ 2y= 1,所以1+1=注 + _= 1+ 2 + x y x y=3+ 2 2.当且仅当牛鸽x + 2y=1,即x = 2—1, y= 1 —宁时，取得等号所以：+1的最小值为3+2逅2.忽略等号成立的条件而致错【例2】已知m2+ n2= a, x2+ y2= b (a、b为大于0的常数且2 2 2 2m + x n + y［错解］T mx w —2，ny w -,b),求mx+ ny的最大值.m2+ x2 n2+ y2 m2+ n2+ x2+ y2 a+ b /• mx+ny w —2— +当且仅当m = x, n = y时取“=”［点拨］如果m = x, n=y,则会有m2+ n2= x2+ y2= a= b，这与条件b”矛盾，如果m = x, n = y中有一个不成立，则=”取不到，则不满足使用均值不等式的条件.□题多解例若正数a, b满足ab= a + b+ 3,求ab的取值范围解方法一把代数式ab转化为a(或b)的函数.a+ 3ab = a + b+ 3, b = b>0, a>1.a- 12 2 2a + 3a (a—1 )+ 5a-1 (a—1 )+ 5(a—1 + 4--ab = = =a-1 a -1 a-14=(a —1) + + 5a- 1a>1 ,二a —1>0,二(a —1) + 》2叫/(a—1 •= 4.a- 1 弋a —1••• ab>9，当且仅当a- 1 ==，即a = 3, b= 3 时，取“=”.a - 1方法二利用均值不等式a + b > 2可，把a + b转化为ab,再求ab的范围.a+ b》2、.;ab, •- ab = a + b + 3》2 ab + 3.• ab-2 ab - 3》0, •• C ab-3)( ab+ 1)》0.•ab》3, • ab》9,从以上过程可以看出：当且仅当 a = b= 3时，取“=”.方法三把a, b视为一元二次方程x2+ (3- ab)x + ab= 0的两个根，那么该方程应有两个正根.X1 X2= ab>0所以有：X1+ X2= ab- 3>02I △= (3 —ab J —4ab》0其中由△= (3 —ab)2—4ab= a2b2—10ab + 9=(ab—9)(ab—1)》0，解得ab》9 或ab< 1.-X1 + X2 = ab —3>0, ab》9.又ab= a + b + 3, a+ b= 6,•当且仅当a= b = 3时取“=”.题赏析1 41.已知a>, b>o,a+ b=2，则y=1+4的最小值是(B. 4C.|D. 51 4 a + b 5 2a b 5 2a b 9(2 +b)(〒)=2 +(7 +刃》2+ 2行•aP解析•/ a + b = 2, a+ b 2（当且仅当2a=》，即b = 2a时，“=”成立），故y = ~+ f的最小值为9b 2a a b 2答案Ca b 112.（2009天津）设a>0, b>0,若.3是3与3b的等比中项，贝V匚+匚的最小值为（）a b1A . 8 B. 4 C. 1 D.T4解析由题意知3a 3b= 3,即卩3a+ b= 3,所以a+ b= 1.因为a>0, b>0，所以1+ b = £ @+ b）= 2+ £+ >2+ 2 b a= 4，当且仅当 a = b时，等号成立. '答案B赏析本题考查了等比中项的概念、均值不等式，解答本题时要注意等号成立的条件是否具备，防止最小值取不到.。
高中数学人教B版五学案：第三单元 §3.2 均值不等式(一) 含答案
学必求其心得，业必贵于专精学习目标1。
理解均值不等式的内容及证明。
2.能熟练运用均值不等式来比较两个实数的大小。
3.能初步运用均值不等式证明简单的不等式．知识点一算术平均值与几何平均值思考如图，AB是圆O的直径，点Q是AB上任一点，AQ＝a，BQ＝b,过点Q作PQ垂直AB于Q，连接AP,PB。
如何用a,b表示PO,PQ的长度?梳理一般地,对于正数a,b，错误!为a，b的________平均值,错误!为a，b的________平均值．两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值，即错误!≤错误!。
其几何意义如上图中的|PO|≥｜PQ|。
知识点二均值不等式及其常见推论思考如何证明不等式错误!≤错误!（a〉0，b〉0)?梳理错误!≤错误!(a〉0，b〉0)．当对正数a，b赋予不同的值时，可得以下推论:(1）ab≤(错误!）2≤错误!(a，b∈R);（2)错误!＋错误!≥2（a，b同号);（3）当ab>0时，错误!＋错误!≥2；(4）a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca（a，b，c∈R）．类型一常见推论的证明例1证明不等式a2＋b2≥2ab（a，b∈R)．引申探究证明不等式(错误!）2≤错误!（a，b∈R)．反思与感悟(1）本例证明的不等式成立的条件是a，b∈R,与均值不等式不同．（2)本例使用的作差法与不等式性质是证明中常用的方法．跟踪训练1已知a,b，c为任意的实数，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc ＋ca.类型二用均值不等式证明不等式例2已知x、y都是正数．求证：（1）错误!＋错误!≥2;（2)(x＋y）(x2＋y2）(x3＋y3)≥8x3y3。
反思与感悟在(1)的证明中把错误!,错误!分别看作均值不等式中的a，b从而能够应用均值不等式；在（2)中三次利用了均值不等式，由于每次应用不等式时等号成立的条件相同，所以最终能取到等号．跟踪训练2已知a、b、c都是正实数，求证:(a＋b）（b＋c）·(c＋a）≥8abc.类型三用均值不等式比大小例3某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，a，b，x均大于零，则(）A．x＝错误!B．x≤错误!C．x＞错误!D．x≥错误!反思与感悟均值不等式错误!≥错误!一端为和，一端为积,使用均值不等式比大小要擅于利用这个桥梁化和为积或者化积为和．跟踪训练3设a＞b＞1，P＝错误!，Q＝错误!，R＝lg 错误!，则P,Q，R的大小关系是()A．R＜P＜Q B．P＜Q＜RC．Q＜P＜R D．P＜R＜Q1．已知a〉0，b>0，则错误!＋错误!＋2错误!的最小值是（）A．2 B．2错误!C．4 D．52．若0〈a〈b,则下列不等式一定成立的是()A．a>错误!〉错误!>b B．b〉错误!〉错误!〉aC．b>错误!〉错误!〉a D．b〉a>错误!〉错误!3．设a、b是实数，且a＋b＝3,则2a＋2b的最小值是（)A．6 B．42C．2错误!D．84．设a〉0，b>0，给出下列不等式：①a2＋1〉a；②错误!错误!≥4；③（a＋b)错误!≥4；④a2＋9>6a。
高中数学新人教版B版精品教案《3.2 均值不等式》
教学设计内容要求
实
2 引出第一种均制定理的证明方法。
讲授新课一、均值定理的内容
记笔记第一遍记忆
PPT
逐步显示
3
二、均值定理的变形
推出并逐步
了解
增强理解 2 三、几何法证明
动手实践另一种证明折纸11
爱国主义教
育四、介绍数学家赵爽（三国时期东吴的数学
家）和北京第24届国际数学家大会会标
朗读
进行爱国主
义教育
PPT PPT
展示
2 五、应用举例
学生思考解
答
初步应用PPT展示15
六、小结
再对定理记
学生归纳
PPT展示 2
忆和认知
学习效果评价
评价方式：教学目标制定符合学生实际，教学重点、难点处理得当，内容布局合理，衔接自然，教学方法灵活多样；注重启发引导，电化教学手段运用恰当，PPT手段提高了教学效率，激发了学生学习兴趣，调动学生学习积极性，教学环节安排紧凑合理，与学生思维比较合拍；教态自然，讲练结合，教学效果良好。
本教学设计与以往未使用信息技术教学设计相比的特点300-500字数本教学设计与以往对比，未使用现代信息技术，讲课时比较枯燥无味，抄题浪费时间，学生积极性不太高，吸引不了学生注意力，课容量不太大；本教学设计使用了PPT，对于新课引入，调动学生积极性，培养学生自主学习能力，激发学生学习兴趣起到了很大的促进作用。
通过例题板演，学生互相交流，提高严谨与求实的学习作风，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度，自主探究知识发生发展的过程并发现结论，让学生真正体会到学习的快乐、成就感，达到预期的教学效果。
教学反思。
高中数学第三章不等式3.2均值不等式课堂探究学案新人教B版必修5(new)
3。
2 均值不等式课堂探究一、使用均值不等式求最值的注意事项剖析：（1)a，b都是正实数，即所求最值的代数式中的各项必须都是正数，否则就会得出错误答案．例如，当x〈0时，函数f(x）＝x＋错误!≥2错误!＝2，所以函数f(x）的最小值是2．由于f(－2)＝－2＋错误!＝－错误!＜2，很明显这是一个错误的答案．其原因是当x〈0时,不能直接用均值不等式求f(x)＝x＋错误!的最值．因此，利用均值不等式求最值时，首先确定所求最值的代数式中的各项是否都是正数．其实,当x〈0时，－x>0，则f(－x）＝－x＋错误!≥2错误!＝2,此时有f（x)≤－2．因此,当所求最值的代数式中的各项不都是正数时，应利用变形，转化为各项都是正数的代数式．（2)ab与a＋b有一个是定值，即当ab是定值时，可以求a＋b的最值;当a＋b是定值时，可以求ab的最值．如果ab和a＋b都不是定值，那么就会得出错误答案．例如，当x〉1时，函数f（x)＝x＋1x－1≥2错误!，所以函数f（x)的最小值是2错误!．由于2错误!是一个与x有关的代数式,很明显这是一个错误的答案．其原因是没有掌握均值不等式求最值的条件：ab与a＋b有一个是定值．其实，当x〉1时，有x－1>0,则函数f（x）＝x＋错误!＝错误!＋1≥2错误!＋1＝3．因此，当ab与a＋b没有一个是定值时,通常把所求最值的代数式采用配凑的方法化为和或积为定值的形式．(3)等号能够成立,即存在正数a，b使均值不等式两边相等，也就是存在正数a，b使得ab＝错误!．如果忽视这一点，就会得出错误答案．例如,当x≥2时,函数f（x)＝x＋错误!≥2错误!＝2，所以函数f（x)的最小值是2．很明显x＋错误!中的各项都是正数,积也是定值，但是等号成立的条件是当且仅当x＝错误!,即x＝1,而函数的定义域是x≥2,所以这是一个错误的答案．其原因是均值不等式中的等号不成立．其实,根据解题经验，遇到这种情况时，一般就不再用均值不等式求最值了，此时该函数的单调性是确定的，可以利用函数的单调性求得最值．利用函数单调性的定义可以证明，当x≥2时，函数f(x)＝x＋错误!是增函数,函数f（x）的最小值是f(2）＝2＋错误!＝错误!．因此在使用均值不等式求最值时,上面三个条件缺一不可，通常将这三个条件总结成口诀：一正、二定、三相等．二、教材中的“思考与讨论"均值不等式与不等式a 2＋b 2≥2ab 的关系如何?请对此进行讨论．剖析:（1）在a 2＋b 2≥2ab 中，a ，b ∈R ;在a ＋b ≥2错误!中,a ，b ＞0．(2)两者都带有等号，等号成立的条件从形式上看是一样的，但实质不同(范围不同）．(3)证明的方法都是作差比较法．（4)都可以用来求最值．题型一 利用均值不等式求最值【例1】 （1)已知x ，y ∈（0,＋∞)，且2x ＋y ＝1，求错误!＋错误!的最小值;（2）已知x 〈2,求函数f （x ）＝x ＋错误!的最大值．分析：（1)利用“1”的代换，即将1x＋错误!等价转化为错误!×1或错误!＋错误!即可；（2）将x ＋错误!等价转化为－错误!＋2即可．解：(1)错误!＋错误!＝错误!(2x ＋y )＝2＋错误!＋错误!＋1＝3＋错误!＋错误!≥3＋2错误!＝3＋2错误!，当且仅当错误!＝错误!，即错误!⇒错误!时等号成立．∴1x＋错误!的最小值为3＋2错误!． (2)∵x <2,∴2－x >0,∴f (x )＝x ＋错误!＝－错误!＋2≤－2错误!＋2＝－2，当且仅当2－x ＝错误!,得x ＝0或x ＝4（舍去），即x ＝0时，等号成立．∴x ＋错误!取得最大值－2．反思:求最值问题第一步就是“找”定值，观察、分析、构造定值是问题突破口．定值找到还要看“＝"是否成立，不管题目是否要求指出等号成立的条件,都要验证“＝"是否成立．题型二 利用均值不等式比较大小【例2】 若a ≥b ≥0,试比较a ,错误!，错误!，错误!，错误!，b 的大小．分析：这是一个有趣的不等式链，取特殊值可判断其大小关系．借助不等式和重要不等式变形可寻求判断和证明的方法．解:∵a ≥b ≥0，∴错误!≤错误!＝a ．∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2，∴a2＋b22≥错误!2．又a>0，b>0，则错误!≥错误!＝错误!．∵错误!≥错误!，∴错误!≥错误!．∵错误!－b＝错误!≥0，∴错误!≥b．∴a≥错误!≥错误!≥错误!≥错误!≥b．反思:均值不等式a＋b≥2错误!(a，b∈R＋）是综合证明不等式和利用重要不等式求最值的工具，要注意不等式成立的条件,它与两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数是等价命题．有趣的不等式链错误!≥错误!≥错误!≥错误!（a,b∈R＋），揭示了两正数倒数和、积、和平方、平方和之间的不等关系，当某一部分为定值时，其余三部分都能取到最值，且都在两数相等时取等号,利用这个不等式链往往使复杂问题简单化，要在理解的基础上记忆和应用．题型三利用均值不等式证明不等式【例3】已知a，b，c都是正实数,且a＋b＋c＝1，求证:(1－a)(1－b)（1－c）≥8abc．分析:注意到a＋b＋c＝1，故可运用“常数代换”的策略将所证不等式的左边的“1”代换成字母形式．证明：∵a＋b＋c＝1,∴（1－a）(1－b)(1－c)＝(b＋c)(a＋c)(a＋b)．又∵a，b，c都是正实数，∴错误!≥错误!>0,错误!≥错误!>0，错误!≥错误!〉0．∴错误!≥abc．∴（1－a)(1－b)(1－c)≥8abc．当且仅当a＝b＝c＝错误!时，等号成立．反思：这是一道条件不等式的证明题，充分利用条件是证题的关键，此题要注意“1”的整体代换及三个“＝"必须同时取到．题型四利用均值不等式解恒成立问题【例4】已知不等式（x＋y）错误!≥9对任意正实数x，y恒成立，求正实数a的最小值．分析:→→解：∵(x＋y）错误!＝1＋a＋错误!＋错误!，又x＞0，y＞0，a＞0，∴错误!＋错误!≥2错误!＝2错误!,∴1＋a＋错误!＋错误!≥1＋a＋2错误!，∴要使(x＋y）错误!≥9对任意正实数x,y恒成立,只需1＋a＋2错误!≥9恒成立即可．∴（错误!＋1)2≥9,即错误!＋1≥3，∴a≥4,∴正实数a的最小值为4．反思：恒成立问题是数学问题中非常重要的问题,在此类问题的解法中，利用均值不等式和不等式的传递性求解是最重要的一种方法，在高考中经常考查．题型五易错辨析【例5】已知0＜x＜1，求f(x）＝2＋log5x＋错误!的最值．错解:f(x)＝2＋log5x＋错误!≥2＋2错误!＝2＋2错误!，∴f（x)的最小值为2＋2错误!．错因分析：a＋b≥2错误!的前提条件是a,b＞0，∵0＜x＜1，∴log5x＜0．∴错误!＜0．∴不能直接使用均值不等式．正解：∵0＜x＜1，∴log5x＜0．∴（－log5x）＋错误!≥2错误!＝2错误!．∴log5x＋5log5x≤－25．∴f(x)≤2－25．当且仅当log5x＝错误!，即x＝5－错误!时，等号成立，此时f（x）有最大值2－2错误!．【例6】求f(x）＝错误!＋1的最小值．错解:因为f（x)＝错误!＋1＝错误!＋1＝错误!＋错误!＋1≥2＋1＝3，所以f(x)＝错误!＋1的最小值为3．错因分析:忽视了等号成立的条件,事实上方程错误!＝错误!无解,所以等号不成立，正确的处理方法是:利用函数的单调性求最值．正解：f（x）＝错误!＋1＝错误!＋1＝错误!＋错误!＋1．令t＝x2＋3（t≥3），则原函数变为f(x)＝t＋错误!＋1，在区间[错误!，＋∞）上是增函数．所以当t＝错误!时，f(x）＝t＋错误!＋1取得最小值错误!＋1．所以当t＝错误!，即x＝0时，f(x)＝错误!＋1取得最小值错误!＋1．尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
数学人教B版必修5教学设计：3.2均值不等式 Word版含答案
教学设计3．2 均值不等式整体设计教学分析均值不等式也称基本不等式．本节主要目标是使学生了解均值不等式的代数意义，几何的直观解释以及均值不等式的证明和应用．本节教材上一开始就开门见山地给出均值不等式及证明，在思考与讨论过渡下，给出均值不等式的一个几何直观解释，以加深学生对均值不等式的理解．教材用作差配方法证明均值不等式．作差配方法是证明不等式的基本方法，在整个不等式的教学中都要贯彻这一重要方法．在解题中要让学生注意使用均值不等式的条件，并掌握基本技能．一般说来，“见和想积，拆低次，凑积为定值，则和有最小值；见积想和，拆高次，凑和为定值，则积有最大值”．本节的《新课标》要求是：探索并了解均值不等式的证明过程；会用均值不等式解决简单的最大(小)问题．从历年的高考来看，均值不等式是重点考查的内容之一，它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新，大多是大小判断、求最值、求取值范围等．不等式的证明是将来进入大学不可缺少的技能，同时也是高中数学的一个难点，题型广泛，涉及面广，证法灵活，备受命题者的青睐，因而成为历届高考中的热点．几乎所有地区的高考题都能觅到它的踪影．书中练习A、B和习题都是基本题，要求全做．鉴于均值不等式的特殊作用，因此本节设计为2课时完成，但仅限于基本方法和基本技能的掌握，不涉及高难度的技巧．第一课时重在均值不等式的探究，第二课时重在均值不等式的灵活运用．且在教学中，将本节教材中的思考与讨论一起拿到课堂上来，让学生通过思考与讨论建立均值不等式与不等式a2＋b2≥2ab的联系．三维目标1．通过本节探究，使学生学会推导并掌握均值不等式，理解这个均值不等式的几何意义，掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等．2．通过对均值不等式的不同形式应用的研究，渗透“转化”的数学思想，提高学生运算能力和逻辑推理能力．引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德．3．通过本节学习，使学生体会数学来源于生活，帮助学生养成良好的学习习惯，形成积极探索的态度，逐步养成严谨的科学态度及良好的思维习惯．重点难点教学重点：用数形结合的思想理解均值不等式，并从不同角度探索不等式a ＋b 2≥ab 的证明过程；用不等式求某些函数的最值及解决一些简单的实际问题．教学难点：用均值不等式求最大值和最小值，均值不等式a ＋b 2≥ab 等号成立条件的运用，应用均值不等式解决实际问题．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.(直接引入)像教材那样，直接给出均值定理，然后引导学生利用上节课的基本性质来探究它的证明方法．因为有了上两节的不等式的探究学习，因此这样引入虽然直白却也是顺其自然．思路2.(情境导入)教师自制风车，让学生把教师自制的风车转起来，这是学生小时候玩过的得意玩具；手持风车把手，来了一个360°的旋转，不但风车转得漂亮，课堂气氛也活跃，学生在紧张的课堂氛围中马上变得自然和谐，情境引入达到高潮，此时教师再提出问题．推进新课新知探究提出问题(1)均值定理的内容是什么？怎样进行证明？(2)你能证明a 2＋b 2≥2ab 吗？(3)你能尝试给出均值不等式的一个几何直观解释吗？(4)均值不等式有哪些变形式？活动：教师引导学生阅读均值定理的内容，或直接用多媒体给出．点拨学生利用上两节课所学知识进行证明，这点学生会很容易做到，只需作差配方即可．接着让学生明确，这个结论就是均值不等式，也叫基本不等式．其中，任意两个正实数a 、b 的a ＋b 2叫做数a 、b 的算术平均值，数ab 叫做a 、b 的几何平均值．均值定理可以表述为：两个正数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．强调这个结论的重要性，在证明不等式、求函数的最大值最小值时有着广泛的应用，是高考的一个热点．可以通过反例或特例让学生进一步认识这个结论成立的条件，a、b必须是正数，等号成立当且仅当a＝b，以加深学生对此结论的理解，为后面求最值时的“一正二定三相等”打下基础．利用不等式的性质对均值不等式两边平方，则很容易得到a2＋b2≥2ab.这是一个很重要的结论．一般地，如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”)也可让学生重新证明这个结论：∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2，当a≠b时，有(a－b)2＞0.当a＝b时，有(a－b)2＝0，所以(a－b)2≥0，即a2＋b2≥2ab.这个不等式对任意实数a，b恒成立，是一个很重要的不等式，应用非常广泛．请同学们注意公式的结构形式，成立的条件是a、b为实数，等号成立的条件是当且仅当a＝b时成立．“当且仅当”即指充要条件．下面我们对均值不等式的几何意义作进一步探究．如图1，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b.过点C作垂直于AB的弦DD′，连结AD、BD.你能利用这个图形得出均值不等式的几何解释吗？图1(本节课开展到这里，学生从均值不等式的证明过程中已体会到证明不等式的常用方法，对均值不等式也已经很熟悉，这就具备了探究这个问题的知识与情感基础) 这个图形是我们在初中非常熟悉的一个重要图形．容易证明△ACD∽△DCB.所以可得CD＝ab.或由射影定理也可得到CD＝ab.从图中我们可直观地看到ab表示的是半弦长，a＋b2表示的是半径长．由于半弦长不大于半径，即CD小于或等于圆的半径，用不等式表示为：a＋b2≥ab.显然，上述不等式当且仅当点C与圆心重合，即当a＝b时，等号成立．还应让学生熟悉均值不等式的其他变形式．如若a、b∈R＋，则ab≤a＋b2，当且仅当a＝b时，式中等号成立．好多书上就把它称为基本不等式．在同样条件下还可写成：a＋b≥2ab或2ab≤a＋b等．讨论结果：(1)(2)略．(3)均值不等式的几何解释是：半径不小于半弦长．(4)若a、b∈R＋，则ab≤a＋b2，当且仅当a＝b时，式中等号成立；若a 、b ∈R ＋，则a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，式中等号成立；若a 、b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，式中等号成立． 应用示例例1(教材本节例1)活动：本例是均值不等式的简单应用，教师点拨学生证明时注意式中成立的条件，本例中的b a 和a b 相当于均值不等式中的a 、b.因此必须有b a ，a b∈R ＋. 点评：初用均值不等式，学生往往容易忽视不等式成立的条件，点拨学生注意，只要使用均值定理，马上先想到条件，养成良好的解题习惯.例2已知(a ＋b)(x ＋y)＞2(ay ＋bx)，求证：x －y a －b ＋a －b x －y≥2. 活动：教师引导学生探究题目中的条件与结论．本题结论中，注意x －y a －b 与a －b x －y互为倒数，它们的积为1，故此题应从已知条件出发，经过变形，说明x －y a －b 与a －b x －y为正数开始证题． 证明：∵(a ＋b)(x ＋y)＞2(ay ＋bx)，∴ax ＋ay ＋bx ＋by ＞2ay ＋2bx.∴ax －ay ＋by －bx ＞0.∴(ax －bx)－(ay －by)＞0.∴(a －b)(x －y)＞0，即a －b 与x －y 同号．∴x －y a －b 与a －b x －y 均为正数． ∴x －y a －b ＋a －b x －y ≥2x －y a －b ·a －b x －y ＝2(当且仅当x －y a －b ＝a －b x －y时取“＝”)． ∴x －y a －b ＋a －b x －y ≥2. 点评：本题通过对已知条件变形，恰当地因式分解，从讨论因式乘积的符号来判断x －y a －b与a －bx －y是正还是负，是我们今后解题中常用的方法． 例3若a ＞b ＞1，P ＝lga·lgb ，Q ＝12(lga ＋lgb)，R ＝lg a ＋b 2，则( ) A ．R ＜P ＜Q B ．P ＜Q ＜RC ．Q ＜P ＜RD ．P ＜R ＜Q活动：这是均值不等式及其变形式的典型应用．根据P 、Q 、R 三个式子的结构特点，应考虑利用均值不等式，再运用函数y ＝lgx 的单调性．答案：B解析：∵a ＞b ＞1，∴lga ＞lgb ＞0.∴12(lga ＋lgb)＞12·2lga·lgb ，即Q ＞P. 又∵a ＋b 2＞ab ， ∴lg a ＋b 2＞lg ab ＝12(lga ＋lgb)． ∴R ＞Q.故P ＜Q ＜R.点评：应准确理解均值不等式成立的条件，创造性地应用均值不等式．例4(教材本节例2)活动：这是一个实际问题．教师引导学生分析，根据题意在(1)中，矩形的长与宽的积是一个常数，求长与宽的和的两倍的最小值；在(2)中，矩形的长与宽的和的两倍是一个常数，求长与宽的积的最大值．联想到均值不等式的两边恰是两个正数的和与积，因此建立均值不等式的数学模型．点评：本例也可用函数模型解决，课后可让学生试一试．这里用均值不等式来解，一是说明利用均值不等式求最值的方法，二是说明这种方法的快捷．解完本例后，让学生领悟到：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．简单地说就是：在应用这个结论求最值时应把握“一正、二定、三相等”．正是正数，定是定值，相等是能取到等号．知能训练1．“a ＝18”是“对任意的正数x,2x ＋a x≥1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件2．若正数a 、b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________．答案：1．A 解析：一方面，当a ＝18时，对任意的正数x ，有2x ＋a x ＝2x ＋18x≥1；另一方面，对任意正数x ，都有2x ＋a x ≥1，只要2x ＋a x ≥22a ≥1，即得a ≥18. 2．[9，＋∞) 解法一：令ab ＝t(t ＞0)，由ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，得t 2≥2t ＋3，解得t ≥3，即ab ≥3，故ab ≥9.解法二：由已知得ab －b ＝a ＋3，b(a －1)＝a ＋3，∴b ＝a ＋3a －1(a ＞1)． ∴ab ＝a·a ＋3a －1＝[(a －1)＋1]a ＋3a －1＝a ＋3＋a ＋3a －1＝a －1＋4＋a －1＋4a －1＝a －1＋4a －1＋5≥2(a －1)·4a －1＋5＝9. 当且仅当a －1＝4a －1时取等号，即a ＝b ＝3时，ab 的最小值为9. ∴ab 的取值范围是[9，＋∞)．点评：此题较全面地考查了均值不等式的应用及不等式的解法与运算能力．通过思考a ＋b 与ab 的关系联想到均值不等式，或建立在函数思想上，求函数的值域．由于视角的不同，有多种方法，以上仅是其中的两种解法．课堂小结1．由学生自己理顺整合本节都学到了哪些知识方法？有哪些收获？2．教师强调，本节课，我们学习了重要不等式a 2＋b 2≥2ab ；两正数a 、b 的算术平均数(a ＋b 2)，几何平均数(ab)及它们的关系(a ＋b 2≥ab)．两关系式成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数．它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具．作业习题3—2A 组，4,5,6.习题3—2B 组，1,2.设计感想1．本节设计突出重点．均值不等式的功能在于求最值，这是本节的重点，要牢牢地抓住．但使用均值不等式求函数最值时要注意：①x ，y 都是正数；②积xy(或和x ＋y)为定值；③x 与y 必须能够相等．2．本节课我们探究了均值不等式，拓展了我们的视野；证明不等式是高中数学的重点，也是难点，在设计中加强了证明不等式的题量，但难度并不大，重在让学生体会方法．将解题思路转化为解题过程，往往不是一帆风顺的，谈思路可能头头是道，具体求解却可能会处处碰壁，消除思路与求解的差异，要靠探究，在探究中不断更新，在探究中逐步完善．(设计者：郑吉星)第2课时导入新课思路1.(复习导入)让学生回忆上节课我们探究的重要结果：一是如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab(当且仅当a ＝b 时取“＝”)；二是均值不等式：如果a ，b 是正数，那么a ＋b 2≥ab (当且仅当a ＝b 时取“＝”)．在这个不等式中，a ＋b 2为a ，b 的算术平均数，ab 为a ，b 的几何平均数，这样均值不等式就有了几何意义：半弦长不大于半径．a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b 2≥ab 成立的条件是不同的，前者只要求a ，b 都是实数，而后者要求a ，b 都是正数．本节课我们进一步探究均值不等式的应用．由此展开新课．思路2.(直接导入)通过上节课a 2＋b 2≥2ab(a 、b ∈R )与a ＋b 2≥ab(a ＞0，b ＞0)的探究证明，我们熟悉了不等式的一些证明方法．本节课我们进一步领悟不等式的证明思路、方法，进一步熟悉利用均值不等式解决函数的最值问题的思路．教师打开多媒体课件，从而展开新课．推进新课新知探究提出问题(1)回忆上节课探究的均值不等式，怎样理解均值不等式的意义？都有哪些变形？(2)均值不等式都有哪些方面的应用？(3)在应用均值不等式求最值时，应注意什么问题？活动：教师引导学生回忆上节课我们共同探究的均值不等式，以及均值不等式与a 2＋b 2≥2ab 的联系．给出了均值不等式的一个几何直观解释．均值不等式与a 2＋b 2≥2ab 都有着广泛的应用．对这两个重要不等式，要明确它们成立的条件是不同的．后者成立的条件是a 与b 都为实数，并且a 与b 都为实数是不等式成立的充分必要条件；而前者成立的条件是a 与b 都为正实数，并且a 与b 都为正数是不等式成立的充分不必要条件，如a ＝0，b ＝0，仍然能使a ＋b 2≥ab 成立． 两个不等式中等号成立的条件都是a ＝b ，故a ＝b 是不等式中等号成立的充要条件． 在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应把握“一正、二定、三相等”．当条件不完全具备时，应创造条件．本节课我们将进一步探究均值不等式的应用．讨论结果：(1)(2)略．(3)应注意不等式成立的条件，即把握好“一正，二定，三相等”． 应用示例例1(教材本节例3)活动：本例是求函数的最值．教师引导学生将f(x)变形，注意观察代数式中可否出现和或积的定值．本例可放手让学生自己探究，教师给予适当点拨．点评：解完本例后，让学生反思并领悟在求函数最值时，如何使用均值不等式的条件，并掌握基本技能.例2(1)已知x ＜54，求函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值； (2)已知a 、b 为实数，求函数y ＝(x －a)2＋(x －b)2的最小值．活动：(1)因为4x －5＜0，所以首先要“调整”符号．又(4x －2)·14x －5不是常数，所以应对4x －2进行拆(添)项“配凑”．(2)从函数解析式的特点看，本题可化为关于x 的二次函数，再通过配方法求其最小值．但若注意到(x －a)＋(b －x)为定值，则用变形不等式m 2＋n 22≥(m ＋n 2)2更简捷． 解：(1)∵x ＜54，∴5－4x ＞0. ∴y ＝4x －2＋14x －5＝－(5－4x ＋15－4x)＋3≤－2＋3＝1. 当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，上式等号成立．∴当x ＝1时，y max ＝1.(2)∵y ＝(x －a)2＋(x －b)2＝(x －a)2＋(b －x)2 ≥2[(x －a )＋(b －x )2]2＝(a －b )22，当且仅当x －a ＝b －x ，即x ＝a ＋b2时，上式等号成立．∴当x ＝a ＋b 2时，y min ＝(a －b )22.点评：若x 、y ∈R ＋，x ＋y ＝s ，xy ＝p.若p 为定值，则当且仅当x ＝y 时，s 的值最小；如果s 为定值，则当且仅当x ＝y 时，p 的值最大．简称“和定积最大，积定和最小”．从本例的解答可以看出，求最值时往往需要拆(添)项，其目的是创设应用均值不等式的情境和使等号成立的条件，即满足“一正，二定，三相等”的要求.例3当x ＞－1时，求函数f(x)＝x 2－3x ＋1x ＋1的值域．活动：教师引导学生观察函数f(x)的分子、分母特点，可作如下变形：f(x)＝x 2－3x ＋1x ＋1＝(x ＋1)2－5(x ＋1)＋5x ＋1＝x ＋1＋5x ＋1－5.这样就可以应用均值不等式了． 解：∵x ＞－1， ∴x ＋1＞0.∴f(x)＝x 2－3x ＋1x ＋1＝(x ＋1)2－5(x ＋1)＋5x ＋1＝x ＋1＋5x ＋1－5≥2(x ＋1)(5x ＋1)－5＝25－5，当且仅当(x ＋1)2＝5时，即x ＝5－1时取“＝”．另一解x ＝－5－1＜－1(舍去)，故函数值域为[25－5，＋∞)．点评：本题解法具有典型性，解后教师引导学生领悟反思．这种求值域的题目，在“函数”一章中我们接触较多，其常用方法有单调性、图象法，还有判别式法．利用判别式法不仅计算量大，而且极易因忽视某些条件而出错．本例给出了用均值不等式法求值域的方法，既简单又不易出错．但提醒学生一定要注意必须满足的三个条件：①各项均为正数；②和或积有一个为定值；③等号一定取到，这三个条件缺一不可.例4设0＜x ＜2，求函数f(x)＝3x (8－3x )的最大值，并求相应的x 值．试问0＜x ＜43时，原函数f(x)有没有最大值？0＜x ≤1时，f(x)有没有最大值？若有，请你求出来；若没有，请你说明理由．活动：对本例中的函数可变形为f(x)＝24x －9x 2，根号内是我们熟悉的二次函数，完全可以用二次函数的知识方法解决，这种方法学生很熟悉．教师可引导学生利用均值不等式求解，让学生自己探究，教师可适时地点拨．解：∵0＜x ＜2，∴8－3x ＞0. ∴f(x)＝3x (8－3x )≤(3x ＋8－3x 2)2＝4， 当且仅当3x ＝8－3x ，即x ＝43时取“＝”．∴函数f(x)的最大值为4，此时x ＝43.又f(x)＝－9x 2＋24x ＝－(3x －4)2＋16， ∴当0＜x ＜43时，f(x)递增；当x ＞43时，f(x)递减．∴当0＜x ＜43时，原函数f(x)没有最大值．当0＜x ≤1时，有最大值f(1)，即f(1)＝15.点评：通过本例再次加深对均值不等式条件的理解．体会不等式的功能在于“和与积”的互化，构造均值不等式，解题的技巧是拆(添)项或配凑因式．知能训练1．函数f(x)＝x x ＋1的最大值为( )A.25B.12C.22 D ．1 2．求函数y ＝x ＋1x (x ＞0)的最小值，以及此时x 的值．3．已知x 、y ∈R ＋，且2x ＋8y －xy ＝0，求x ＋y 的最小值． 答案：1．B 解析：当x ＝0时，f(x)＝0；当x ＞0时，f(x)＝x x ＋1＝1x ＋1x ≤12，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号． 2．解：∵x ＞0，∴x ＋1x ≥2·x·1x ＝2，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号．∴当x ＝1时，x ＋1x 的值最小，最小值是2.3．解：由2x ＋8y －xy ＝0得y(x －8)＝2x. ∵x ＞0，y ＞0，∴x －8＞0.∴x ＋y ＝2x x －8＋x ＝x －8＋16x －8＋10≥2(x －8)·16x －8＋10＝18，当且仅当x －8＝16x －8，即x ＝12时，x ＋y 取最小值18.课堂小结1．由学生归纳整合本节课所用到的知识、思想方法，回顾本节课解决了哪些问题？应注意些什么？2．教师点拨，本节课我们用均值不等式解决了函数的一些最值问题，在用均值不等式求函数的最值时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值．即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正、二定、三相等．在利用均值不等式证明一些不等式时，也应注意均值不等式成立的条件及构建均值不等式结构．作业习题3—2A 组2、3、7、8、9；习题3—2B 组3、4.设计感想1．本节设计意在体现均值不等式的应用，因此用不等式求解函数的最值与证明不等式是穿插进行的，且强调一题多解的训练．2．本节设计关注了教学进程的和谐发展．整个设计给人自然流畅的感觉，没有教师过分自我展示的味道，能使学生的思维得到充分的锻炼，能力得到很大的提高．3．本节设计重视了学生的主体地位，从例题到变式训练，从新课导入到课堂小结，都注意了学生的主动思维活动，充分让学生占据思维的时空，这是提高学生思维能力的有效良方．备课资料一、算术平均数不小于几何平均数的一种证明方法(局部调整法)(1)设a 1，a 2，a 3，…，a n 为正实数，这n 个数的算术平均值记为A ，几何平均值记为G ，即A ＝a 1＋a 2＋…＋ a n n ，G ＝n a 1a 2…a n ，即A ≥G ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，A ＝G.特别地，当n ＝2时，a ＋b 2≥ab ；当n ＝3时，a ＋b ＋c 3≥3abc.(2)用局部调整法证明均值不等式A ≥G .设这n 个正数不全相等．不失一般性，设0＜a 1≤a 2≤…≤a n ，易证a 1＜A ＜a n ，且a 1＜G ＜a n .在这n 个数中去掉一个最小数a 1，将a 1换成A ，再去掉一个最大数a n ，将a n 换成a 1＋a n －A ，其余各数不变，于是得到第二组正数：A ，a 2，a 3，…，a n －1，a 1＋a n －A.这一代换具有下列性质：①两组数的算术平均值不变，设第二组数的算术平均值为A 1，那么A 1＝A ＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＋a 1＋a n －An ＝A ，②第二组数的几何平均值最大．设第二组数的几何平均值为G 1，则G 1＝nAa 2a 3…a n －1(a 1＋a n －A )，∵A(a 1＋a n －A)－a 1a n ＝(A －a 1)(a n －A)，由a 1＜A ＜a n ，得(A －a 1)(a n －A)＞0，则A(a 1＋a n －A)＞a 1a n .∴Aa 2a 3…a n －1(a 1＋a n －A)＞a 1a 2…a n －1·a n ，即G 1＞G.二、备用习题1．已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( )A ．ab ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≥2D ．a 2＋b 2≤32．若a 、b 、c 、d 、x 、y 是正实数，且P ＝ab ＋cd ，Q ＝ax ＋cy·b x ＋dy，则( )A ．P ＝QB ．P ＜QC ．P ≤QD ．P ≥Q 3．若函数y ＝f(x)的值域是[12，3]，则函数F(x)＝f(x)＋1f (x )的值域是( )A ．[12，3]B ．[2，103]C ．[52，103]D ．[3，103]4．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝__________吨．5．直线l 过点M(2,1)且分别交x 轴，y 轴正半轴于点A ，B ，O 为坐标原点，求△AOB 面积最小时l 的方程．6．经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路汽车的车流量y(千辆/时)与汽车的平均速度v(千米/时)之间的函数关系为y ＝920vv 2＋3v ＋1 600(v ＞0)．(1)在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(精确到0.1千辆/时)(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？ 参考答案：1．C 解析：对于选项C ：a 2＋b 2＝a 2＋b 2＋a 2＋b 22≥a 2＋b 2＋2ab 2＝(a ＋b )22＝2.故C 正确．2．C 解析：∵a 、b 、c 、d 、x 、y 是正实数， ∴Q ＝ax ＋cy·b x ＋dy＝ab ＋cd ＋adx y ＋bcyx≥ab ＋cd ＋2abcd ＝ab ＋cd ＝P.3．B 解析：令t ＝f(x)，则t ∈[12，3]．∴F(x)＝G(t)＝t ＋1t .该函数在t ＝1处取得最小值2，在t ＝3处取得最大值103.故选B.4．20 解析：设一年总费用为y 万元，则y ＝4·400x ＋4x ＝1 600x ＋4x ≥21 600x·4x ＝160，当且仅当1 600x＝4x ，即x ＝20时，等号成立．5．解：设直线l 的方程为y －1＝k(x －2)，即y ＝kx ＋1－2k(k ＜0)． 令x ＝0，得y ＝1－2k ； 令y ＝0，得x ＝2k －1k ＝2－1k.∴S △AOB ＝12(1－2k)(2－1k )＝2＋1－2k ＋(－2k)．∵k ＜0，∴－2k ＞0.∴S △AOB ≥2＋2＝4，当且仅当－12k ＝－2k ，即k ＝－12时取等号．此时l 的方程为y ＝－12x ＋2.6．解：(1)依题意，得y ＝9203＋(v ＋1 600v)≤9203＋2 1 600＝92083， 当且仅当v ＝1 600v ，即v ＝40时，上式等号成立，所以y max ＝92083≈11.1(千辆/时)． (2)由条件得920vv 2＋3v ＋1 600＞10，整理，得v 2－89v ＋1 600＜0， 即(v －25)(v －64)＜0， 解得25＜v ＜64.答：当v ＝40千米/时时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/时．如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于25千米/时且小于64千米/时．(设计者：郑吉星)。
人教B版必修五 3.2均值不等式一学案
1、均值不等式成立的前提条件是什么？等号成立的条件是什么？
2、两个正数的算术平均值和几何平均值含义
3、求两个正数的和的最小值，积必须满足条件是什么？求两个正数的积的最大值，和必须满足条件是什么？
【自我检测】
一.判断下列解法是否正确？为什么？
1.求函数 的值域
解： ，当且仅当 时等号成立
所以当 时，函数 有最小值2
2.求函数 的值域
解： ， ，
所以函数 有最小值2.
3.求函数 的值域
解： ，
，当且仅当 时等号成立，
=6，所以函数 有最小值6.
二求下列函数的最值：
1.函数 2.函数
3.设 ，则函数
4、设 ，求函数 的最小值
合作探究：利用均值不等式求最值
【探究1】例1、若 ，求 的最小值
3．设 ，求 的最小值
规律总结
课堂小结
本节课学了哪些重要内容？
本节反思
反思一下本节课，你收获到了什么
若 ，求 的最大值
变式1求函数 的最小值
2、求函数 ）的最小值
3求函数 的最小值
【探究2】例2：求函数 的最大值
变式练习：求函数 的最值为
【探究3】例3.已知 , 求 的最小值
变式练习(1)：已知： , ，求 的最小值
(2)已知： , ，求 的最小值
【当堂检测】
1.若 ，则 的最小值是
2.求函数 的最小值,以及相应的 的值
均值不等式（ ）月（ ）日
编者:审稿人：全组人员星期授课类型：新授课
学习目标
1.通过知识梳理准确记忆均值不等式及其几个重要的不等式.
2.通过自我检测的训练，能应用均值不等式求最值，会灵活对函数变形进而应用均值不等式．
人教新课标版数学高二B必修5学案 3.2 均值不等式(一)
明目标、知重点 1.理解均值定理的内容及证明.2.能熟练运用均值不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用均值定理证明简单的不等式．1．重要不等式对于任意实数a ，b ，a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 2．均值定理如果a ，b ∈R ＋，那么a ＋b 2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．3．算术平均值与几何平均值 对任意两个正实数a ，b ，数a ＋b2叫做a ，b 的算术平均值，数ab 叫做a ，b 的几何平均值．故均值定理可以表述为：两个正数的算术平均值大于或等于它的几何平均值． 4．均值定理的常用推论(1)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(a ，b ∈R )； (2)b a ＋ab≥2(a ，b 同号)； (3)当ab >0时，b a ＋a b ≥2；当ab <0时，b a ＋ab ≤－2；(4)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (a ，b ，c ∈R )．在学习等差数列和等比数列时，我们知道两个正数a ，b 的等差中项和等比中项分别为a ＋b2、ab ，那么这两个中项有什么大小关系呢？能不能相等？什么条件下相等？本节我们就来研究这个问题．探究点一 重要不等式a 2＋b 2≥2ab 思考 如何证明不等式a 2＋b 2≥2ab? 答 证明：∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0， ∴a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，取“＝”．小结 一般地，对于任意实数a 、b ，我们有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．通常我们称a 2＋b 2≥2ab 为重要不等式． 探究点二 基本不等式 ab ≤a ＋b2思考1 如果a >0，b >0，用a ，b 分别代替a 2＋b 2≥2ab 中的a ，b 会得到怎样的不等式？ 答 得到a ＋b ≥2ab . 思考2 如何证明不等式ab ≤a ＋b2(a >0，b >0)? 答 证明：∵a ＋b －2ab ＝(a )2＋(b )2－2a ·b ＝(a －b )2≥0. ∴a ＋b ≥2ab .∴ab ≤a ＋b2. 思考3 对任意两个正实数a ，b ，数a ＋b2叫做a ，b 的算术平均值，数ab 叫做a ，b 的几何平均值．那么均值定理如何用它们表述？答 两个正数的算术平均值大于或等于它的几何平均值． 小结 (1)如果a ，b ∈R ＋，那么a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，称为均值不等式，也称它为基本不等式．(2)均值不等式用语言表述为：两个正数的算术平均值大于或等于它的几何平均值． 思考4 如果把ab 看作是正数a ，b 的等比中项，a ＋b2看作是正数a ，b 的等差中项，该定理如何叙述？答 两个正数的等比中项不大于它们的等差中项．思考5 不等式a 2＋b 2≥2ab 与ab ≤a ＋b2成立的条件相同吗？如果不同各是什么？答 不同，a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ；ab ≤a ＋b2成立的条件是a ，b 均为正实数．例1 已知ab >0，求证：b a ＋ab ≥2，并推导出式中等号成立的条件．证明 因为ab >0，所以b a >0，ab>0，根据均值不等式，得b a ＋a b ≥2b a ·a b ＝2，即b a ＋a b≥2. 当且仅当b a ＝ab时，即a 2＝b 2时式中等号成立，因为ab >0，即a ，b 同号，所以式中等号成立的条件是a ＝b .反思与感悟 证明中把b a ，ab ，分别看作均值不等式中的a ，b 从而能够应用均值不等式；在利用均值不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用均值不等式．跟踪训练1 已知a ，b ，c 为不全相等的正数，求证：a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca . 证明 ∵a >0，b >0，c >0，∴a ＋b ≥2ab >0，b ＋c ≥2bc >0，c ＋a ≥2ca >0. ∴2(a ＋b ＋c )≥2(ab ＋bc ＋ca )， 即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca .由于a ，b ，c 为不全相等的正实数，故等号不成立． ∴a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca .跟踪训练2 已知a ，b ，c 都是正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证： 1a ＋1b ＋1c≥9. 证明 ∵a ＋b ＋c ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c＝3＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号．探究点三 均值不等式的应用例2 已知函数y ＝x ＋16x ＋2，x ∈(－2，＋∞)，求此函数的最小值．解 因为x >－2，所以x ＋2>0，由均值不等式，得x ＋16x ＋2＝(x ＋2)＋16x ＋2－2 ≥2(x ＋2)16x ＋2－2＝6，当且仅当x ＋2＝16x ＋2即x ＝2时，取“＝”．因此，当x ＝2时，函数有最小值6.反思与感悟 应用均值不等式求函数的最值应满足的条件：(1)两数均为正数；(2)必须出现定值(和为定值或积为定值)；(3)等号要取到(等号成立取得的值要在定义域范围内)；(4)若多次应用时，则每一个等号要同时取到．跟踪训练3 已知函数y ＝x ＋1x ，x ∈(－∞，0)，求函数的最大值．解 因为x <0，所以1x <0，则－x >0，1(－x )>0，x ＋1x ＝－(由均值不等式得) ≤－2(－x )1(－x )＝－2，当且仅当－x ＝1(－x )即x ＝－1时，取“＝”．因此当x ＝－1时，函数有最大值－2.1．已知a >0，b >0，则1a ＋1b ＋2ab 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．5 答案 C2．若0<a <b ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a >a ＋b 2>ab >bB ．b >ab >a ＋b2>aC ．b >a ＋b 2>ab >aD ．b >a >a ＋b2>ab答案 C解析 ∵0<a <b ，∴2b >a ＋b ，∴b >a ＋b2.∵b >a >0，∴ab >a 2，∴ab >a .故b >a ＋b2>ab >a .3．设a 、b 是实数，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b 的最小值是( ) A ．6 B ．4 2 C ．2 6 D ．8 答案 B解析 ∵a ＋b ＝3， ∴2a ＋2b ≥22a ·2b ＝22a ＋b ＝28＝4 2.4．设b >a >0，且a ＋b ＝1，则此四个数12，2ab ，a 2＋b 2，b 中最大的是( )A ．bB ．a 2＋b 2C ．2ab D.12答案 A解析 由a ＋b ＝1，b >a >0，得1>b >12，0<a <12，∵b －(a 2＋b 2)＝b (1－b )－a 2＝ab －a 2＝a (b －a )>0， ∴b >a 2＋b 2≥2ab ，即b 最大． 5．设a >0，b >0，给出下列不等式： ①a 2＋1>a ；②⎝⎛⎭⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎫b ＋1b ≥4； ③(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4；④a 2＋9>6a . 其中恒成立的是________．(填序号) 答案 ①②③解析 由于a 2＋1－a ＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34>0，故①恒成立； 由于a ＋1a ≥2，b ＋1b≥2.∴⎝⎛⎭⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎫b ＋1b ≥4，故②恒成立；由于a ＋b ≥2ab ，1a ＋1b ≥21ab， 故(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4，故③恒成立； 当a ＝3时，a 2＋9＝6a ，故④不恒成立．1．均值不等式a ＋b 2≥ab 与不等式a 2＋b 2≥2ab 成立的条件不同；前者是a >0，b >0，而后者是a 、b ∈R ，两个不等式中都有等号，当且仅当a ＝b 时，等号成立．2．由a 2＋b 2≥2ab (a 、b ∈R )与均值不等式a ＋b2≥ab (a >0，b >0)可得到以下几种常见变形及结论：(1)a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)； (2)ab ≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )(3)ab ≤(a ＋b2)2(a ，b ∈R )；(4)b a ＋ab≥2(ab >0) (5)a ＋ka ≥2k (a >0，k >0)；(6)21a ＋1b≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)或ab ≤(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22(a 、b ∈R )．一、基础过关1．若a ，b ，c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－23，则2a ＋b ＋c 的最小值是( ) A.3－1 B.3＋1 C ．23＋2 D ．23－2答案 D解析 由a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－23⇒a (a ＋b )＋(a ＋b )c ＝(a ＋b )(a ＋c )＝4－23，而2a ＋b ＋c ＝(a ＋b )＋(a ＋c )≥2(a ＋b )(a ＋c )＝24－23＝2(3－1)．∴当且仅当a ＋b ＝a ＋c ，即b ＝c 时等号成立．2．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2ab D.b a ＋a b≥2 答案 D解析 ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴A 错误． 对于B 、C ，当a <0，b <0时，明显错误． 对于D ，∵ab >0，∴b a ＋ab≥2b a ·a b＝2. 3．若x >0，y >0，且x ＋y ＝4，则下列不等式中恒成立的是( ) A.1x ＋y ≤14 B.1x ＋1y ≥1 C.xy ≥2 D.1xy≥1 答案 B解析 若x >0，y >0，由x ＋y ＝4，得x ＋y4＝1，∴1x ＋1y ＝14(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ＝14⎝⎛⎭⎫2＋y x ＋x y ≥14(2＋2)＝1. 4．设a >0，b >0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为( )A ．8B ．4C ．1 D.14答案 B解析 由题意知3a ·3b ＝3，即3a ＋b ＝3，所以a ＋b ＝1. 因为a >0，b >0，所以1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b ) ＝2＋b a ＋ab≥2＋2b a ·ab＝4， 当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立．5．若a <1，则a ＋1a －1有最____(填“大”或“小”)值，为__________． 答案 大 －1解析 ∵a <1，∴a －1<0，∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1＋1a －1＝(1－a )＋11－a ≥2(a ＝0时取等号)， ∴a －1＋1a －1≤－2，∴a ＋1a －1≤－1.6．若不等式x 2－ax ＋1≥0对一切x ∈(0,1恒成立 ⇔ax ≤x 2＋1，x ∈(0,1恒成立． ∵x ∈(0,1hslx3y3h ，x ＋1x≥2，∴a ≤2.7．设a 、b 、c 都是正数，求证：bc a ＋ca b ＋abc ≥a ＋b ＋c .证明 ∵a 、b 、c 都是正数，∴bc a 、ca b 、abc 也都是正数．∴bc a ＋ca b ≥2c ，ca b ＋ab c ≥2a ，bc a ＋abc ≥2b ， 三式相加得2⎝⎛⎭⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )， 即bc a ＋ca b ＋abc ≥a ＋b ＋c . 二、能力提升8．已知a ，b ∈(0，＋∞)，则下列不等式中不成立的是( ) A ．a ＋b ＋1ab≥22 B ．(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4 C.a 2＋b 2ab ≥2abD.2ab a ＋b >ab 答案 D 解析 ∵a ＋b ＋1ab ≥2ab ＋1ab≥22，A 成立； (a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥2ab ·21ab＝4，B 成立；a 2＋b 2≥2ab >0，∴a 2＋b 2ab ≥2ab ，C 成立；a ＋b ≥2ab ，∴2ab a ＋b ≤1，2aba ＋b ≤ab .9．设0<a <1<b ，则一定有( ) A ．log a b ＋log b a ≥2 B ．log a b ＋log b a ≥－2 C ．log a b ＋log b a ≤－2 D ．log a b ＋log b a >2答案 C解析 ∵0<a <1<b ，∴log a b <0，log b a <0，－log a b >0，∴(－log a b )＋(－log b a )＝(－log a b )＋⎝⎛⎭⎫－1log a b ≥2， ∴log a b ＋log b a ≤－2.10．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围为________．答案 ⎣⎡⎭⎫15，＋∞ 解析 ∵x >0，∴xx 2＋3x ＋1>0，易知a >0.∴x 2＋3x ＋1x ≥1a ，∴1a ≤x ＋1x ＋3.∵x >0，x ＋1x ＋3≥2x ·1x＋3＝5(x ＝1时取等号)， ∴1a ≤5.∴a ≥15. 11．已知x >y >0，xy ＝1，求证：x 2＋y 2x －y ≥2 2.证明 ∵xy ＝1，∴x 2＋y 2x －y ＝(x －y )2＋2xy x －y ＝(x －y )2＋2x －y ＝(x －y )＋2x －y≥2(x －y )·2x －y＝2 2.当且仅当⎩⎨⎧x －y ＝2x －yxy ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋22y ＝6－22时取等号．12．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证： (1)1a ＋1b ＋1ab ≥8；(2)⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9. 证明 (1)1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab ＝2⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ，∵a ＋b ＝1，a >0，b >0，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2＝4， ∴1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)． (2)方法一 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a ，同理，1＋1b ＝2＋a b ，∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b a ⎝⎛⎭⎫2＋a b ＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9.∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)． 方法二 ⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab . 由(1)知，1a ＋1b ＋1ab≥8，故⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ≥9. 三、探究与拓展13．已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥8.证明 ∵a ，b ，c 均为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a，同理1b －1≥2ac b ，1c －1≥2ab c. 由于上述三个不等式两边均为正，分别相乘得 ⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥2bc a ·2ac b ·2ab c＝8. 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．。
数学：3.2《均值不等式》教案 (新人教B版必修5)
3.2 均值不等式 教案教学目标：推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理.利用均值定理求极值.了解均值不等式在证明不等式中的简单应用教学重点：推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理利用均值定理求极值教学过程一、复习：1、复习不等式的性质定理及其推论1：a>b ⇔b<a2：a>b,b>c ⇒a>c(或c<b,b<a ⇒c<a)(传递性)3：a>b ⇒a+c>b+c(或a<b ⇒a+c<b+c)(1)：a+b>c ⇒a>c-b(移项法则)(2)：a>b,c>d ⇒a+c>b+d4、若a>b,且c>0，那么ac>bc ；若a>b,且c<0，那么ac<bc.(1)、若a>b>0,且c>d>0，则ac>bd(2)、若a>b>0,则a n >b n (n ∈+N ,且n>1)(3)、若a>b>0,则n n b a > (n ∈+N ,且n>1)2、定理变式： 如果a,b ∈R ，那么a 2+b 2≥2ab （当且仅当a=b 时，等号成立）3、均值定理：如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab b a 证明：∵,2)()(22ab b a ≥+b a ≥+∴ab b a ≥+2显然，当且仅当ab b a b a =+=2,时 说明：ⅰ）我们称b a b a ,2为+的算术平均数，称b a ab ,为的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数ⅱ）ab ba ab b a ≥+≥+2222和成立的条件是不同的：前者只要求a,b 都是实数，而后者要求a,b 都是正数ⅲ）“当且仅当”的含义是等价3．均值定理的几何意义是“半径不小于半弦”以长为a +b 的线段为直径作圆，在直径AB 上取点C ，使AC=a,CB=b 过点C 作垂直于直径AB 的弦DD ′,那么CB CA CD ⋅=2，即ab CD =这个圆的半径为2b a +，显然，它不小于CD ，即ab b a ≥+2，其中当且仅当点C 与圆心重合；即a=b 时，等号成立应用例题：例1、已知a 、b 、c ∈R ，求证：不等式的左边是根式，而右边是整式，应设法通过适当的放缩变换将左边各根式的被开方式转化为完全平方式，再利用不等式的性质证得原命题。
2021新人教B版必修五3.2《均值不等式》word学案
2021新人教B版必修五3.2《均值不等式》word学案3．2均值不等式学案[预览符合标准]⒈正数a、b的算术平均数为；几何平均数为．2.平均不平等是。
前者是，后者是。
如何给出几何解释？⒊在均值不等式中a、b既可以表示数，又可以表示代数式，但都必须保证；另外等号成立的条件是．4.试着根据平均不等式写出以下变形形式，并指出所需条件）a?b（）2ba1（3）＋（）（4）x＋(x>0)abx1（5）x＋（x<0）（6）ab≤（）x（1）a+b()（2）二25.当使用平均不等式计算最大值和最小值时，我们必须注意a+B或AB是否为值，以及等号是否为真6．⑴函数f(x)=x(2－x)的最大值是；此时x的值为___________________；．⑵函数f(x)=2x(2－x)的最大值是；此时x的值为___________________；⑶函数f(x)=x(2－2x)的最大值是；此时x的值为___________________；⑷函数f(x)=x(2＋x)的最小值是；此时x的值为___________________。
【典例解析】例1：如果a、B、C∈ (0, + ∞), a+B+C=1，验证例⒉（1）已知x<111 + + ≥ 9.abc51，求函数y=4x-2+的最大值。
44x？519?＝ 1.求X+y的最小值。
xy22（2） X>0，Y>0，和（3）已知a、b为常数，求函数y=(x-a)+(x-b)的最小值。
[标准实践]一、多项选择题：⒈下列命题正确的是（）ａ．a+1>2aｂ．│x+2A.B14│≥ 2C。
≤ 2D。
SiNx+最小值为4。
xsinxab1x2?2⒉以下各命题(1)x+2的最小值是1；（2）最小值是2；(3)若a>0,b>0,a+b=12倍？1x？十二则（a+11）（B+）的最小值是4，正确的数字是（ABA.0b.1C.2D.3）⒊设a>0,b>0则不成立的不等式为（ａ．ba22＋≥2.ｂ．a+b≥2abab2a2112ｃ．＋≥a＋bｄ．?? 2+baaba?b⒋设a、b?r，若a+b=2，则＋11? 的最小值等于（）abａ．1ｂ．2ｃ．3ｄ．4⒌已知a?b>0，下列不等式错误的是（）a2？b22ab2ａ．a+b≥2abｂ．A.ｃ．ab？ｄ．ab？？一a?b2a?b?12二二．填空题：⒍ 如果a和B是正数，且a+B=4，则AB的最大值为____;⒎ 如果已知x>1.5，则函数y=2x+4的最小值是_________．2倍？3a2b2？8.已知a和B是常数，0xx2x？3x4？9⒐ （1）设a=，B=62，C=和X≠ 0，尝试判断a、B和C的大小。
2022年高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修5 3.2 均值不等式》
均值不等式沈阳市第三十六中学连奎奎教材说明人教B版普通高中课程标准实验教科书〔必修五〕课题均值不等式一课型新授课课时2课时学情分析（一）从学生知识层面看：学生对不等式的概念和性质有了感性的认识，在探究学习和应用实习的过程中，会解决最简单的关于不等式的问题（二）从学生素质层面看：所任班级的学生已经具有较好的逻辑思维能力，因此他们希望能够自己探索、发现问题和解决问题，增强数学应用意识，提高分析问题、解决问题的能力他们更需要充满活力与创造发现的课堂教学内容分析本节课?均值不等式?是?数学必修五〔人教B版〕?第三章第二节的内容，主要内容是通过现实问题进行数学实验猜测，构造数学模型，得到均值不等式；并通过在学习算术平均数与几何平均数的定义根底上，理解均值不等式的几何解释；与此同时在推导论证的根底上进行公式的推广并学会应用均值不等式是这一章的核心，对于不等式的证明及利用均值不等式求最值等应用问题都起到了工具性作用。
有利于学生对后面不等式的证明及前面函数的一些最值、值域进一步拓展与研究，起到承前启后的作用教学目标依据新课程标准和学生的知识结构与认知水平，确定本节课的教学目标位：（一）知识与技能：通过“从生活中发现问题，实验中分析问题，设计中解决问题、总结问题，论证后延拓问题〞五个环节使学生深刻理解均值不等式，明确均值不等式的使用条件，能用均值不等式解决简单的最值问题（二）过程与方法：通过情境设置提出问题、揭示课题，培养学生主动探究新知的习惯；引导学生通过问题设计，模型转化，类比猜测实现定理的发现，体验知识与规律的形成过程；通过模型比照，多个角度、多种方法求解，拓宽学生的思路，优化学生的思维方式，提高学生综合创新与创造能力（三）情感态度与价值观：通过问题的设置与解决使学生理解生活问题数学化，并注重运用数学解决生活中的实际问题，有利于数学生活化、群众化；同时通过学生自身的探索研究领略获取新知的喜悦教学重点依据新课程标准和教材知识内容的特点，确定均值不等式的推导与证明，均值不等式的使用条件为教学重点教学难点由于学生对知识的迁移应用能力一般，因此均值定理的三个条件作为本节的教学难点教学策略选择与设计本节课主要采用启发引导式的教学策略通过设计问题引出课题，通过启发引导解决问题、总结问题、论证问题、延拓问题等环节让学生领悟科学的探究方法，增强学生的探究能力在教学中指导学生展开联想，大胆探索，以训练和培养学生的思维能力教学资源与手段学案、教科书以学案提纲辅助多媒体课件，创设问题情境，激发学习兴趣，提高课堂效率小组讨论，培养团队合作精神教学过程设计教学反思对一题多解的反思同一道数学题，从不同的角度思考可得到多种解题思路，广泛寻求多种解法，有助于拓宽解题思路，开展观察、想象、探索、思维等能力解需有法，解无定法，大法必依，小法必活本节课在一题多解上学生讨论的非常积极，给出了很多可行的，还有不太完善的方法这足以说明他们真的动脑思考了，培养了解决问题的能力解需有法，解无定法，大法必依，小法必活。
人教B版高中数学必修5-3.2参考教案2-均值不等式
3.2均值不等式【教学目标】1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；通过两个例题的研究，进一步掌握基本不等式2a b +≤，并会用此定理求某些函数的最大、最小值；能够解决一些简单实际问题。
3．情态与价值：通过本节的学习，引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣【教学重点】应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式2a b +≤的证明过程；【教学难点】基本不等式2a b +≤等号成立条件及其应用，利用基本不等式2a b +≤求最大值、最小值。
【教学过程】一、课题导入2a b +≤的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。
你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。
二、讲授新课1．探究图形中的不等关系将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。
设直角三角形的两条直角边长为a,b 4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +。
由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥。
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。
2．得到结论：一般的，如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a3．思考证明：你能给出它的证明吗？证明：因为 222)(2b a ab b a -=-+当22,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时所以，0)(2≥-b a ，即.2)(22ab b a ≥+4．1）2a b +≤特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ，可得a b +≥，(a>0,b>0)2a b +≤2）2a b +≤ 用分析法证明：要证 2a b +≥ （1）只要证 a+b ≥（2）要证（2），只要证 a+b- ≥0 （3）要证（3），只要证 （ - ）2 （4） 显然，（4）是成立的。
(人教B版必修5)3.2均值不等式(2)学案(含答案)
§3.2 均值不等式(二)自主学习知识梳理1．设x ，y 为正实数(1)若x ＋y ＝s (和s 为定值)，则当________时，积xy 有最________值为________． (2)若xy ＝p (积p 为定值)，则当________时，和x ＋y 有最________值为________． 2．利用均值不等式求积的最大值或和的最小值时，需满足： (1)x ，y 必须是________；(2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为______________；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为________．(3)等号成立的条件是否满足．利用均值不等式求最值时，一定要注意三个前提条件，这三个前提条件概括为“一正、二定、三相等”．自主探究请探究函数y ＝x ＋ax(a >0)在x ∈(0，＋∞)上的单调性．并利用该类函数的单调性求函数y ＝sin x ＋4sin x ，x ∈(0，π)的最小值．对点讲练知识点一 利用均值不等式求函数的最值例1 已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )A ．最大值52B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值1总结 本题看似无法使用均值不等式，但对函数式进行分离，便可创造出使用均值不等式的条件．变式训练1 已知x <54，求函数f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值．知识点二 利用均值不等式求代数式的最值例2 已知x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．总结 利用均值不等式求代数式的最值时，经常要对代数式进行变形，配凑出均值不等式满足的条件，同时要注意考察等号成立的条件．变式训练2 已知正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3.求a ＋b 的最小值．知识点三 均值不等式的实际应用例3 如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？总结 涉及不等式的应用时，要首先建立函数关系式，适时巧用均值不等式求其最值． 变式训练3 甲乙两人同时从宿舍到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步；如果两人步行、跑步速度均相同，则谁先到教室？1．利用均值不等式求最值必须满足“一正、二定、三相等”三个条件，并且和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值．2．使用均值不等式求最值时，若等号取不到，则考虑用函数单调性求解．3．解决实际应用问题，关键在于弄清问题的各种数量关系，抽象出数学模型，利用均值不等式解应用题，既要注意条件是否具备，还要注意有关量的实际含义.课时作业一、选择题1．函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎫x ＋1x －1＋5 (x >1)的最小值为( )A ．－3B ．3C ．4D ．－42．已知点P (x ，y )在经过A (3,0)，B (1,1)两点的直线上，则2x ＋4y 的最小值为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．16 D ．不存在3．若xy 是正数，则⎝⎛⎭⎫x ＋12y 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋12x 2的最小值是( ) A ．3 B.72 C ．4 D.924．若关于x 的不等式(1＋k 2)x ≤k 4＋4的解集是M ，则对任意实常数k ，总有( ) A ．2∈M,0∈M B ．2∉M,0∉M C ．2∈M,0∉M D ．2∉M,0∈M 二、填空题5．建造一个容积为8 m 3，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________元．6．函数y ＝log a (x ＋3)－1 (a >0，a ≠1)的图象恒过点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋2n的最小值为________．7．周长为2＋1的直角三角形面积的最大值为______．8．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________吨．三、解答题9．求下列函数的最小值．(1)设x ，y 都是正数，且1x ＋2y ＝3，求2x ＋y 的最小值；(2)设x >－1，求y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1的最小值．10．某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年递增，问这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)?§3.2 均值不等式(二)知识梳理1．(1)x ＝y 大 s 24(2)x ＝y 小 2p2．(1)正数 (2)定值 定值 自主探究证明 当x ∈(0，＋∞)时，设x 1<x 2，则y 1－y 2＝x 1＋a x 1－x 2－ax 2＝(x 1－x 2)＋a (x 2－x 1)x 1x 2＝(x 1－x 2)(x 1x 2－a )x 1x 2.∴当x 1、x 2∈(0，a )时，y 1－y 2>0，即y 1>y 2； 当x 1、x 2∈(a ，＋∞)时，y 1－y 2<0，即y 1<y 2.∴y 在(0，a )上是减函数，在(a ，＋∞)上是增函数．若求y ＝sin x ＋4sin x，x ∈(0，π)的最小值． 可令t ＝sin x ∈(0，1]，则y ＝t ＋4t在t ∈(0,1]上是减函数．∴y ≥5，当t ＝1，即sin x ＝1，x ＝π2时取“＝”．对点讲练例1 D [f (x )＝x 2－4x ＋52x －4＝(x －2)2＋12(x －2)＝12⎣⎡⎦⎤(x －2)＋1x －2≥1. 当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时等号成立．]变式训练1 解 因为x <54，所以5－4x >0，所以f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝⎛⎭⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2(5－4x )·15－4x ＋3＝－2＋3＝1当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，f (x )max ＝1.例2 解 方法一 ∵1x ＋9y＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝⎛⎭⎫1x ＋9y ＝10＋y x ＋9x y . ∵x >0，y >0，∴y x ＋9x y ≥2y x ·9xy ＝6.当且仅当y x ＝9xy ，即y ＝3x 时，取等号．又1x ＋9y＝1，∴x ＝4，y ＝12. ∴当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取最小值16.方法二 由1x ＋9y ＝1，得x ＝yy －9，∵x >0，y >0，∴y >9.x ＋y ＝y y －9＋y ＝y ＋y －9＋9y －9＝y ＋9y －9＋1＝(y －9)＋9y －9＋10.∵y >9，∴y －9>0，∴y －9＋9y －9＋10≥2(y －9)·9y －9＋10＝16，当且仅当y －9＝9y －9，即y ＝12时取等号．又1x ＋9y＝1，则x ＝4， ∴当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取最小值16.变式训练2 解 方法一 ∵a ＋b ＋3＝ab ≤(a ＋b )24，设a ＋b ＝t ，t >0，则t 2≥4t ＋12.解得：t ≥6 (t ≤－2舍去)，∴(a ＋b )min ＝6.方法二 ∵ab ＝a ＋b ＋3，∴b ＝a ＋3a －1>0，∴a >1.∴a ＋b ＝a ＋a ＋3a －1＝a ＋4a －1＋1＝(a －1)＋4a －1＋2≥2(a －1)·4a －1＋2＝6.当且仅当a －1＝4a －1，即a ＝3时，取等号．例3 解 (1)设每间虎笼长x m ，宽为y m ，则由条件知：4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18. 设每间虎笼面积为S ，则S ＝xy . 方法一 由于2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ，∴26xy ≤18，得xy ≤272，即S ≤272，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＝18，2x ＝3y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4.5，y ＝3. 故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使面积最大．方法二 由2x ＋3y ＝18，得x ＝9－32y .∵x >0，∴0<y <6，S ＝xy ＝⎝⎛⎭⎫9－32y y ＝32(6－y )·y . ∵0<y <6，∴6－y >0，∴S ≤32·⎣⎡⎦⎤(6－y )＋y 22＝272.当且仅当6－y ＝y ，即y ＝3时，等号成立，此时x ＝4.5. (2)由条件知S ＝xy ＝24.设钢筋网总长为l ，则l ＝4x ＋6y . 方法一 ∵2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ＝24， ∴l ＝4x ＋6y ＝2(2x ＋3y )≥48， 当且仅当2x ＝3y 时，等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝3y ，xy ＝24 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4. 故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小．方法二 由xy ＝24，得x ＝24y .∴l ＝4x ＋6y ＝96y＋6y＝6⎝⎛⎭⎫16y ＋y ≥6×216y ·y ＝48. 当且仅当16y＝y ，即y ＝4时，等号成立，此时x ＝6.故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小．变式训练3 解 设路程为s ，跑步速度为v 1，步行速度为v 2，t 甲＝s 2v 1＋s 2v 2＝s (v 1＋v 2)2v 1v 2s ＝t 乙2·v 1＋t 乙2·v 2⇒t 乙＝2s v 1＋v 2，∴t 甲t 乙＝(v 1＋v 2)24v 1v 2≥(2v 1v 2)24v 1v 2＝1.∴t 甲≥t 乙，当且仅当v 1＝v 2时“＝”成立． 由实际情况知v 1>v 2，∴t 甲>t 乙．∴乙先到教室．课时作业1．B2．B [∵点P (x ，y )在直线AB 上，∴x ＋2y ＝3.∴2x ＋4y ≥22x ·4y ＝22x ＋2y ＝4 2.]3．C [⎝⎛⎭⎫x ＋12y 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋12x 2 ＝x 2＋y 2＋14⎝⎛⎭⎫1x 2＋1y 2＋x y ＋y x ＝⎝⎛⎭⎫x 2＋14x 2＋⎝⎛⎭⎫y 2＋14y 2＋⎝⎛⎭⎫x y ＋y x ≥1＋1＋2＝4.当且仅当x ＝y ＝22或x ＝y ＝－22时取等号．]4．A [∵(1＋k 2)x ≤k 4＋4，∴x ≤k 4＋41＋k 2.∵k 4＋41＋k 2＝(1＋k 2)2－2(1＋k 2)＋51＋k 2＝(1＋k 2)＋51＋k 2－2≥25－2.∴x ≤25－2，M ＝{x |x ≤25－2}， ∴2∈M,0∈M .] 5．1 760解析 设水池的造价为y 元，长方形底的一边长为x m ，由于底面积为4 m 2，所以另一边长为4xm ．那么y ＝120·4＋2·80·⎝⎛⎭⎫2x ＋2·4x ＝480＋320⎝⎛⎭⎫x ＋4x ≥480＋320·2x ·4x＝1 760(元)．当x ＝2，即底为边长为2 m 的正方形时，水池的造价最低，为1 760元． 6．8解析 ∵A (－2，－1)在直线mx ＋ny ＋1＝0上， ∴－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1，mn >0，∴m >0，n >0. 1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋4m ＋2n n ＝2＋n m ＋4m n＋2 ≥4＋2·n m ·4mn ＝8.当且仅当n m ＝4m n ，即m ＝14，n ＝12时等号成立．故1m ＋2n 的最小值为8. 7.14解析 设直角三角形的两条直角边边长分别为a 、b ，则2＋1＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab＋2ab ，解得ab ≤12，当且仅当a ＝b ＝22时取“＝”，所以直角三角形面积S ≤14，即S 的最大值为14.8．20解析 设一年的总运费与总存储费用之和为y 万元，则y ＝400x×4＋4x ＝4⎝⎛⎭⎫x ＋400x ≥160万元，当且仅当x ＝400x，即x ＝20时取到最小．9．解 (1)2x ＋y ＝3(2x ＋y )3＝13⎝⎛⎭⎫1x ＋2y (2x ＋y )＝13⎝⎛⎭⎫y x ＋4x y ＋4≥13(24＋4)＝83. 当且仅当y x ＝4xy 时取“＝”，即y 2＝4x 2，∴y ＝2x .又∵1x ＋2y ＝3，求出x ＝23，y ＝43.∴2x ＋y 的最小值为83.(2)∵x >－1，∴x ＋1>0，设x ＋1＝t >0， 则x ＝t －1，于是有y ＝(t ＋4)(t ＋1)t ＝t 2＋5t ＋4t＝t ＋4t ＋5≥2t ·4t＋5＝9，当且仅当t ＝4t，即t ＝2时取等号，此时x ＝1.∴当x ＝1时，函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1取得最小值为9.10．解 设使用x 年的年平均费用为y 万元．由已知，得y ＝10＋0.9x ＋0.2x 2＋0.2x2x，即y ＝1＋10x ＋x10(x ∈N *)．由均值不等式知y ≥1＋2 10x ·x 10＝3，当且仅当10x ＝x10，即x ＝10时取等号．因此使用10年报废最合算，年平均费用为3万元．。
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3.2 均值不等式
课堂探究
一、使用均值不等式求最值的注意事项
剖析：(1)a，b都是正实数，即所求最值的代数式中的各项必须都是正数，
否则就会得出错误答案．例如，当x<0时，函数f(x)＝x＋1
x
≥2x×
1
x
＝2，
所以函数f(x)的最小值是2．由于f(－2)＝－2＋
1
－2
＝－
5
2
＜2，很明显这是一个
错误的答案．其原因是当x<0时，不能直接用均值不等式求f(x)＝x＋1
x
的最值．因
此，利用均值不等式求最值时，首先确定所求最值的代数式中的各项是否都是正
数．其实，当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－x＋1
－x ≥2(－x)×
1
－x
＝2，此
时有f(x)≤－2．因此，当所求最值的代数式中的各项不都是正数时，应利用变形，转化为各项都是正数的代数式．
(2)ab与a＋b有一个是定值，即当ab是定值时，可以求a＋b的最值；当a＋b是定值时，可以求ab的最值．如果ab和a＋b都不是定值，那么就会得
出错误答案．例如，当x>1时，函数f(x)＝x＋
1
x－1
≥2
x
x－1
，所以函数f(x)
的最小值是2
x
x－1
．由于2
x
x－1
是一个与x有关的代数式，很明显这是
一个错误的答案．其原因是没有掌握均值不等式求最值的条件：ab与a＋b有一
个是定值．其实，当x>1时，有x－1>0，则函数f(x)＝x＋
1
x－1
＝
⎣
⎢
⎢
⎡
⎦
⎥
⎥
⎤
(x－1)＋
1
x－1
＋1≥2(x －1)×
1x －1
＋1＝3．因此，当ab 与a ＋b 没有一个是定值时，通
常把所求最值的代数式采用配凑的方法化为和或积为定值的形式．
(3)等号能够成立，即存在正数a ，b 使均值不等式两边相等，也就是存在正
数a ，b 使得
ab ＝a ＋b 2
．如果忽视这一点，就会得出错误答案．例如，当x ≥2
时，函数f(x)＝x ＋1
x
≥2
x ×1
x ＝2，所以函数f(x)的最小值是2．很明显x ＋
1
x
中的各项都是正数，积也是定值，但是等号成立的条件是当且仅当x ＝1
x ，即x
＝1，而函数的定义域是x ≥2，所以这是一个错误的答案．其原因是均值不等式中的等号不成立．其实，根据解题经验，遇到这种情况时，一般就不再用均值不等式求最值了，此时该函数的单调性是确定的，可以利用函数的单调性求得最
值．利用函数单调性的定义可以证明，当x ≥2时，函数f(x)＝x ＋1
x
是增函数，
函数f(x)的最小值是f(2)＝2＋1
2＝5
2
．
因此在使用均值不等式求最值时，上面三个条件缺一不可，通常将这三个条件总结成口诀：一正、二定、三相等．
二、教材中的“思考与讨论”
均值不等式与不等式a 2＋b 2≥2ab 的关系如何？请对此进行讨论． 剖析：(1)在a 2＋b 2≥2ab 中，a ，b ∈R ；在a ＋b ≥2
ab 中，a ，b ＞0．
(2)两者都带有等号，等号成立的条件从形式上看是一样的，但实质不同(范围不同)．
(3)证明的方法都是作差比较法．
(4)都可以用来求最值．
题型一利用均值不等式求最值
【例1】(1)已知x，y∈(0，＋∞)，且2x＋y＝1，求1
x
＋
1
y
的最小值；
(2)已知x<2，求函数f(x)＝x＋
4
x－2
的最大值．
分析：(1)利用“1”的代换，即将1
x
＋
1
y
等价转化为
⎝
⎛
⎭
⎪
⎪
⎫
1
x
＋
1
y
×1或
2x＋y
x
＋
2x＋y
y
即可；(2)将x＋
4
x－2
等价转化为－
⎝
⎛
⎭
⎪
⎪
⎫
2－x＋
4
2－x
＋2即可．
解：(1)1
x
＋
1
y
＝
⎝
⎛
⎭
⎪
⎪
⎫
1
x
＋
1
y
(2x＋y)＝2＋
2x
y
＋
y
x
＋1＝3＋
2x
y
＋
y
x
≥3＋2
2x
y
·
y
x
＝
3＋22，
当且仅当2x
y
＝
y
x
，即
⎩⎪
⎨
⎪⎧y
x
＝2
2x＋y＝1
⇒
⎩⎪
⎨
⎪⎧x＝12＋2，
y＝
2
2＋2
时等号成立．
∴1
x
＋
1
y
的最小值为3＋22．
(2)∵x<2，∴2－x>0，
∴f(x)＝x＋
4
x－2
＝－
⎣
⎢
⎢
⎡
⎦
⎥
⎥
⎤
(2－x)＋
4
2－x
＋2
≤－2
(2－x)⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫42－x ＋2＝－2， 当且仅当2－x ＝
4
2－x ，得x ＝0或x ＝4(舍去)，即x ＝0时，等号成立．
∴x ＋4x －2
取得最大值－2．
反思：求最值问题第一步就是“找”定值，观察、分析、构造定值是问题突破口．定值找到还要看“＝”是否成立，不管题目是否要求指出等号成立的条件，都要验证“＝”是否成立．
题型二 利用均值不等式比较大小
【例2】 若a ≥b ≥0，试比较a ，a 2＋b 22，a ＋b
2
，ab ，
2
1a ＋1
b
，b 的大小．
分析：这是一个有趣的不等式链，取特殊值可判断其大小关系．借助不等式和重要不等式变形可寻求判断和证明的方法．
解：∵a ≥b ≥0，∴
a 2＋
b 2
2
≤a 2＋a 2
2
＝a ． ∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2(a 2＋b 2)≥(a ＋b)2， ∴a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫a ＋b 22
． 又a>0，b>0，则
a 2＋
b 2
2
≥⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫a ＋b 22
＝a ＋b 2．。