摩尔库伦理论在岩土工程中的应用

刘 英 于立宏 ：Mohr-Coulomb 屈服准则在岩土工程中的探讨

Discussion of the Mohr-Coulomb Yield Criterion in the Geo-technical Engineering

基金项目：国家自然科学基金项目（40872170）

Mohr-Coulomb 屈服准则在岩土工程中的应用

刘 英1,2，于立宏3

1. 吉林大学 建设工程学院, 长春 130026;

2. 长春万科房地产开发有限公司，长春 130031;

3. 中国水电顾问集团 北京勘测设计研究院，北京 100024

摘要： 对Tresca 屈服准则、Mises 屈服准则、双剪屈服准则及Mohr-Coulomb 屈服准则的屈服线、屈服应力进行分析、比较，找出

各种屈服准则之间的差异。探讨Mohr-Coulomb 屈服准则与其他屈服准则的关系，并确定Mohr-Coulomb 屈服准则在岩土工程中的安全性及岩土体破坏时的破裂面位置与滑移线之间的关系。以亚碧罗水电站实测地应力为例，对实测地应力用不同的屈服准则进行分析，论证了Mohr-Coulomb 屈服准则的安全性及剪切破裂面与滑移线的差异。

关键词：Mohr-Coulomb 屈服准则；安全性；亚碧罗水电站；地应力；滑移线

Application of Mohr-Coulomb yield criterion in geo-technical engineering

LIU Ying 1,2 , YU Li-hong 3

1.College of Construction Engineering , Jilin University, Changchun 130026,China;

2.Changchun Vanke Co. Ltd, Changchun 130031,China;

3. Hydrochina Beijing Engineering Corporation, Beijing 100024, China

Abstract ：The yield curves and yield stress of Tresca, Mises, Double shear and Mohr-Coulomb yield criterions were

discussed and compared to find the differences among them. The relations between Mohr-Coulomb yield criterion and the others were discussed, and comfirmed the safety of Mohr-Coulomb yield criterion in geo-technical engineering and the relationships between fracture plane location and slip curves when the rock and soil fractured. The different yield criterions were analyzed and compared taking Yabilo hydropwer station geo-stresses for example, and demonstrated Mohr-Coulomb yield criterion was most safety and the differences between failure surface and slip curves.

Key words ：Mohr-Coulomb yield criterion ；safety; Yabilo hydropwer station; geo-stresses; slip curves

0引言

随着岩土工程的发展，岩土材料的屈服准则得到了各界的关注。国内外学者对材料的屈服条件进行了大量的研究， 目前岩土工程界常用的屈服准则[1]

有：Tresca 屈服准则、Mises 屈服准则、

Drukle-Plager 屈服准则以及Mohr-Coulomb 屈服准则和双剪应力屈服准则等。在各种屈服准则中

Mohr-Coulomb 屈服准则模型能反映土体的抗压强度不同的S- D 效应(Strength Difference Effect)与对静水压力的敏感性,而且简单实用,土体参数c 、φ值可以

通过各种不同的常规试验测定。因此, 较其他准则具有较好的可比性，在工程实践中有着重要的作用和地位，得到了广泛的应用。为此，分析、比较Mohr-Coulomb 准则与其他准则的屈服线、屈服应力及其安全性和实用性是必要的，并找到岩土体可能产生的滑动破裂面与理论滑移线的差异，使得Mohr-Coulomb 准则更好的为工程所用。

1 Mohr-Coulomb 屈服准则与其他准则的关系

1. 1 Mohr-Coulomb 屈服准则的安全性（σ1≥σ2≥σ3）

Tresca 屈服条件表达式[1，

2] ：

τmax = (σ1 – σ3 )/2=σs /2 （1）

Mises 屈服条件表达式[1，

2]：

(σ1 - σ2) 2+( σ2 - σ3) 2+( σ3 - σ1) 2= 6C = 2σs 2

J 2 = C （2）

双剪屈服准则表达式[3，

4]： τ13 + max{τ12 , τ23 } = c

常数c 由单轴拉伸试验确定c = σs

则有：τ13 + max{τ12 , τ23 } = σs （3） Mohr-Coulomb 屈服准则表达式[4 -7]：

τn = σn tgφ + c （4） 或以主应力表示屈服条件为：

σ1 - σ3 =（σ1 +σ3）sinφ + 2ccosφ （5）

以不变量可表示为： f =

3

1

I 1sinφ+（cos θσ -

3

1sin θσsinφ）2J -ccosφ = 0 （6）

式中：-π/6≤θσ≤π/6 由莫尔应力圆可知：

τ = max τ sinφ≤m ax τ

（τmax = c 时取等号 ） σs = (σ1 +σ2 )/2 - (σ1 +σ2 )/2 sinφ （7）

由上可知，按Mohr-Coulomb 屈服准则求得的临界抗剪强度（τ）要小于最大剪应力破坏时的抗剪强度（τmax ），Mohr-Coulomb 准则较Tresca 屈服准则先进入屈服阶段。文献[8]给出材料屈服应力比较结果即：

σTresca ≥σMises ≥σDJ

文献[9]指出π平面上Mohr-Coulomb 屈服面在双剪屈服面内侧。因此，岩土体按Mohr-Coulomb 准则最先进入屈服破坏。

综上所述，Mohr-Coulomb 屈服准则较Tresca 屈服准则、Mises 屈服准则及双剪屈服准则的屈服应力是最小的。岩土材料属于粒状体材料，主要依靠颗粒间的摩擦承受荷载，其变形和破坏受摩擦的影响，由剪应力与垂直应力的共同作用使粒子间克服摩擦产生相对滑移破坏，因此Mohr-Coulomb 屈服准则对岩土体较为实用。

1. 2 Mohr-Coulomb 准则破裂面与滑移线的差异

岩土材料中考虑静水压力状态时即：σm

=(σ1+σ2+σ3)/3；σ2 =σm 时，由 图1可知应力圆圆心与σm 值重合于M 点，则在M 点处的最大剪应力τmax

= ±(σ1 – σ3)/2，此时岩土材料按Tresca 准则进入塑性流动状态，此处的材料应沿两组与最大主应力面分别呈π/4正交的α、β滑移线剪破。但由Mohr-Coulomb 屈服准则可知，岩土体内的剪应力未达到τmax =± (σ1 –σ3 )/2时抗剪强度线已与应力圆相切，岩土体已进入屈服、剪破状态，剪破面与最大主应力面夹角为π/4+φ/2，当且仅当φ=0时剪破面与滑移线重合。因此，岩土体可能产生的滑动破裂面与滑移线是有差异的，破裂面相差 φ/2(图1)。

B

B'

A

σ

τmax τA

τσ1M m

σσα

2α2βmax

-τπ/4φ/2

φ

3

σo

图1 Mohr-Coulomb 屈服准则破裂面与滑移线的关系 Fig.1 Relations between failure surface and slip curves of Mohr-Coulomb yield criterion

2 Mohr-Coulomb 屈服面存在的不足

在主应力空间中，考虑静水压力的影响，

Mohr-Coulomb 屈服面是一个不规则的六角形截面的角锥体表面，且在π平面内投影为不等角六边形。Mohr-Coulomb 屈服准则虽然偏于安全但不能反映中间主应力对屈服和破坏的影响，其屈服曲线棱角点处的数值计算存在着欠缺——奇异点，即数值计算繁琐和收敛缓慢，屈服函数沿曲面外法线方向的导数不易确定，在角点处也存在不连续问题。直接采用Mohr-Coulomb 屈服准则常引起不便。为解决以上缺点国内外学者进行了大量的研究。

Drukle-Plager 屈服准则[10，

11]在三维主应力空间中的屈服面为光滑的圆锥体，在π平面上的投影为圆形，且求导处光滑连续。因此被许多大型计算程序所采用，但实际计算结果表明，按该准则计算与Mohr-Coulomb 理论计算结果出入较大，难以保证计算中的精确度。为此，Zienkiewicz and Pande 曾提

出了二次型屈服准则[12，

13]，在π平面上用修圆公式去逼近Mohr-Coulomb 屈服准则，实际结果与