2017-2018学年高二下学期第二次阶段考试数学(理)试题

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足()211z i i -=+，其中i 为虚数单位，则z 在复平面内所对应的点位于（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.下面几种推理中是演绎推理的是（ ） A.由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电 B.猜想数列{}111:,,,122334n a ⨯⨯⨯的通项公式为()()11n a n N n n +=∈+C.半径为r 的圆面积为2S r π=，则单位圆的面积为S π=D.由平面直角坐标系中圆的方程为()()222x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为()()()2222x a y b z c r -+-+-=3.下列求导运算正确的是（ ）A ．2111x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ B ．()21log ln 2x x '= C ．()()()223223x x '+=+D ．()22x x e e '=4.设()f x 存在导函数且满足()()11lim 1x f f x x∆→--∆=-∆，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线斜率为（ ）A ．1-B ．2-C ．1D ．2 5.设()1,1XN 其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（ ） （注：若()2,XN μσ，则()68.26%P X μσμσ-<<+=，()2295.44%P X μσμσ-<<+=）A ．7539B ．6038C ．7028D ．65876.在2nx ⎛+ ⎝的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是（ ）A ．7-B ．7C ．28-D ．287.小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A =“4个人去的景点互不相同”，事件B = “小赵独自去一个景点”，则()P A B =（ ） A ．29 B ．13 C ．49 D ．598.《爸爸去哪儿》的热播引发了亲子节目的热潮，某节目制作组选取了 6 户家庭到4个村庄体验农村生活，要求将6户家庭分成4组，其中2组各有2户家庭，另外2组各有1户家庭，则不同的分配方案的总数是（ ）A ．216B ．420C ．720D ．1080 9.已知102a <<，随机变量ξ的分布列如下，则当a 增大时（ ）A.()E ξ 增大，()D ξ增大B.()E ξ减小，()D ξ增大C.()E ξ增大，()D ξ减小D.()E ξ减小，()D ξ减小10.《红海行动》是一部现代化海军题材影片，该片讲述了中国海军“蚊龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事.撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务六必须排在前三位，且任务E F 、必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有（ ） A. 240 种B. 188 种C. 156 种D. 120 种11.函数()f x 的定义域为R ，()22018f -=，对任意的x R ∈，都有()2f x x '<成立，则不等式()22014f x x <+的解集为（ ）A ．()2,-+∞B ．()2,2C ．(),2-∞D ．R12.已知函数()()31203mg x x x m m x=+-+>是[)1,+∞上的增函数.当实数m 取最大值时，若存在点Q ，使得过点Q 的直线与曲线()y g x =围成两个封闭图形，且这两个封闭图形的面积总相等，则点Q 的坐标为（ ）A ．()0,0B ．()2,3-C ．()0,3-D ．()0,3第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.函数()()sin cos x f x e x x =+的导数为 ．14.(221dx -=⎰ ．15.已知函数()f x 的定义域为[]1,5-，部分对应值如下表，()f x 的导函数()y f x '=的图象如图所示，给出关于()f x 的下列命题： ①函数()y f x =在2x =处取得极小值;②函数()f x 在[]0,1是减函数，在[]1,2是增函数； ③当12a <<时，函数()y f x a =-有4个零点；④如果当[]1,x t ∈-时，()f x 的最大值是2，那么t 的最小值为0. 其中所有的正确命题是 (写出正确命题的序号).16.有10道数学单项选择题，每题选对得4分，不选或选错得0分.已知某考生能正确答对其中的7道题，余下的3道题每题能正确答对的概率为13.假设每题答对与否相互独立，记ξ为该考生答对的题数，η为该考生的得分，则()9P ξ== ，E η= （用数字作答）.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知()()()5260126131f x x x a a x a x a x =+-=++++（1）求012626111222a a a a ++++；（2） 求2a .18.甲、乙、丙三名大学生参加学校组织的“国学达人”挑战赛， 每人均有两轮答题机会，当且仅当第一轮不过关时进行第二轮答题.根据平时经验，甲、乙、丙三名大学生每轮过关的概率分别为111223，，，且三名大学生每轮过关与否互不影响.（1）求甲、乙、丙三名大学生都不过关的概率；（2）记X 为甲、乙、丙三名大学生中过关的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望. 19.已知函数()22ln f x x x =-.（1）求函数()f x 在1x =处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间和极值.20. 2018年2月9-25日，第23届冬奥会在韩国平昌举行.4年后，第24 届冬奥会将在中国北京和张家口举行.为了宣传冬奥会，某大学在平昌冬奥会开幕后的第二天，从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否收看平昌冬奥会开幕式情况进行了问卷调查，统计数据如下：（1）根据上表说明，能否有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关？（2）现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选取12人参加2022年北京冬奥会志愿者宣传活动.若从这12人中随机选取3人到校广播站开展冬奥会及冰雪项目的宣传介绍，设选取的3 人中女生人数为X ，写出X 的分布列，并求()E X .附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.21.已知函数()()ln 11f x x x ax ax =⋅++-+（1）若()f x 在[)1,+∞上是减函数，求实数a 的取值范围；（2）若()f x 的最大值为2，求实数a 的值.22.已知函数()212x f x e x ax =--有两个极值点12,x x (e 为自然对数的底数).（1）求实数a 的取值范围； （2）求证()()122f x f x +>.试卷答案一、选择题1-5: BCBAD 6-10: BADBD 11、12：AC 二、填空题13. ()2cos x f x e x '= 14. 42π+ 15.①③④16.()29,329P E ξη===三、解答题17. 解：（1）∵知()()()5260126131f x x x a a x a x a x =+-=++++，令12x =，可得50126261111113122222a a a a ⎛⎫⎛⎫+⨯-=++++⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ∴012626111522264a a a a ++++=. （2）根据()f x 的解析式，可得展开式中含2x 的项为：()()()21212255310155C x C x x x -+⨯-=-=-，∴25a =-.18.解：（1）∵甲、乙、丙三名大学生参加学校组织的“国学达人”挑战赛， 每人均有两轮答题机会，当且仅当第一轮不过关时进行第二轮答题.甲、乙、丙三名大学生每轮过关的概率分别为111,,223，且三名大学生每轮过关与否互不影响.∴甲过关的概率()11132224P A =+⨯=， 乙关的概率()11132224P B =+⨯=， 丙过关的概率()12153339P C =+⨯=，∴甲、乙、丙三名大学生都不过关的概率：()114144936P ABC =⨯⨯=. （2）记X 为甲、乙、丙二名大学生中过关的人数，则X 的可能取值为0,1,2,3()()11440449144P X P ABC ===⨯⨯=()()314134115291449449449144P X P ABC ABC ABC ==++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=()()334315135662449449449144P X P ABC ABC ABC ==++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=()()335453449144P X P ABC ===⨯⨯=∴随机变量X 的分布列为：数学期望()429664537012314414414414418E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 19. 解：（1）∵()()()21122x x f x x x x +-'=-+=-∴()10f '=，所求的切线斜率为0，又切点为()1,1- 故所求切线方程为1y =-. （2）∵()()()211x x f x x+-'=-且0x >令()0f x '>得01x <<，令()0f x '<得 1x >. 从而函数()f x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞ 显然函数只有极大值，且极大值为()11f =-.20.解：（1）因为()22120602020207.5 6.63580408040K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关.（2）根据分层抽样方法得，男生31294⨯=人，女生11234⨯=人所以选取的12人中，男生有9人，女生有3人. 由题意可知，X 的可能取值有0, 1, 2, 3.()3093312840220C C P X C ===，()21933121081220C C P X C ===，()1293312272220C C P X C ===，()039331213220C C P X C ===，∴X 的分布列是：∴()84108271301232202202202204E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 21.解：（1）若()f x 在[)1,+∞上是减函数， 则()0f x '≤在[)1,+∞恒成立， ()ln 220f x x ax a '=++-≤，∴ln 221x a x +≤--，设()ln 221x g x x +=--， 则()()2122ln 21xx g x x ++'=-， ∵1x ≥，∴()()0,g x g x '≥递增， 又()12g =-，故2a ≤-.（2）由()12f =，要使()max 2f x =，故()f x 的递减区间是[)1,+∞，递增区间是()0,1， ∴()10f '=，即ln1220a a ++-=， ∴2a =-.22.解：（1）∵()212x f x e x ax =--，∴()x f x e x a '=--.设()x g x e x a =--，则()1x g x e '=-. 令()10x g x e '=-=，解得0x =.∴当(),0x ∈-∞时，()0g x '<；当()0,x ∈+∞时，()0g x '>. ∴()()min 01g x g a ==-.当1a ≤时，()()0g x f x '=≥，∴函数()f x 单调递增，没有极值点；当1a >时，()010g a =-<，且当x →-∞时，()g x →+∞；当x →+∞时，()g x →+∞. ∴当1a > 时，()()x g x f x e x a '==-- 有两个零点12,x x . 不妨设12x x <，则120x x <<.∴当函数()f x 有两个极值点时，a 的取直范围为()1,+∞.（2）由（1）知，12,x x 为()0g x =的两个实数根，120x x <<，()g x 在(),0-∞上单调递减. 下面先证120x x <-<，只需证()()210g x g x -<=.∵()2220x g x e x a =--=，得22x a e x =-，∴()2222222x x x g x e x a e e x ---=+-=-+. 设()2,0x x h x e e x x -=-+>， 则()120x x h x e e'=--+<，∴()h x 在()0,+∞上单调递减， ∴()()00h x h <=，∴()()220h x g x =-<，∴120x x <-< ∵函数()f x 在()1,0x 上也单调递减，∴()()12f x f x >-.∴要证()()122f x f x +>，只需证()()222f x f x -+>，即证222220x x e e x -+-->. 设函数()()22,0,x x k x e e x x -=+--∈+∞，则()2x x k x e e x -'=--. 设()()2x x x k x e e x ϕ-'==--，则()20x x x e e ϕ-'=+->， ∴()x ϕ在()0,+∞上单调递增，∴()()00x ϕϕ>=，即()0k x '> ∴()k x 在()0,+∞上单调递增，∴()()00k x k >=.∴当()0,x ∈+∞时，220x x e e x -+-->，则222220x x e e x -+-->.。