15_6.1向量和矩阵序列的极限
求解线性方程组的迭代解法
(4 - 1)
简记为：
an1 x1 an2 x2 ann xn bn
n
aij x j bi
j 1
(i 1,2,, n)
其系数矩阵A非奇异，不妨设aii≠ 0 (1,2,…,n)可将上式 改写为等价方程组：
x1 (
a12 x2 a13x3 a1n xn b1) / a11
但在Jacobi迭代过程中, 对已经算出来的信息未 加充分利用,
即在计算x2(k 1)时, x1(k 1)已经算出, 计算xi(k 1)时, x1(k 1) , x2(k 1) ,, xi(k11) 已经算出,这些前面的最新分量未 被利用,从直观上看,在收敛的
情况下, 这些新值x1(k 1) , x2(k 1) ,, xi(k11)应比旧值x1(k) , x2(k) ,, xi(k1)更 好,更准确一些.因此,如果每计算出一个新的 分量便立即用它取代 对应的旧分量进行迭代 ,可能收敛更快并且只需 要存贮一个近 似解向量即可, 据此想法构造的迭代法 称为高斯 塞德尔 (Gauss Seidel)迭代法,其迭代格式为 :
(3 8)
M ( D L) U x(k1) n
1 ann
(an1x1(k 1)
an2 x2(k 1)
1
a x(k 1) nn1 n1
bn )
其分量形式为
x(k 1) i
1 aii
i 1
(
a x(k 1) ij j
j 1
n
n维点列收敛的一种等价描述是其对应坐标序列均
收敛，向量序列也有类似的结论。
定理1
Rn中的向量序列 x(k) 收敛于Rn中的
向量序列的极限
向量序列是数学中的一个重要概念，它是一组有序的量，每个量都由一个数值表示。
向量序列的极限指的是当向量的每一个分量无限趋近于某个值时，这个值就被称为向量序列的极限。
向量序列的极限在许多数学和物理问题中都有应用，例如在微积分中研究函数的极限，在几何中研究图形的形状和大小，以及在物理学中研究力的作用和运动等。
向量序列的极限是这些领域中的一个重要概念，因为它可以帮助我们理解一些现象的本质和规律。
向量序列的极限可以通过定义来理解。
假设我们有一组向量序列，每个向量由三个分量表示，即x、y和z坐标。
向量序列的极限就是当这个向量的每个分量无限趋近于某个值时，这个值。
例如，我们有一个向量序列，每个分量都在不断变化，但最终所有分量都趋近于某个特定的值，那么这个值就是向量序列的极限。
向量序列的极限也有一些性质。
首先，极限必须是存在的，即向量序列必须收敛。
其次，极限必须是唯一的，即一个向量序列只有一个极限。
此外，如果一个向量序列有两个极限，那么这两个极限必须是相同的。
这些性质可以帮助我们更好地理解向量序列的极限。
在实际应用中，向量序列的极限也有一些应用。
例如，在物理学中，如果我们有一个物体受到多个力的作用，并且这些力的作用效果最终都趋近于某个特定的值，那么这个值就可以被视为物体运动的轨迹或形状。
此外，在计算机图形学中，向量序列的极限也可以用于描述图形的形状和大小。
总之，向量序列的极限是一个非常重要的概念，它可以帮助我们更好地理解一些现象的本质和规律。
通过了解向量序列的极限的性质和应用，我们可以更好地解决一些数学和物理问题。
矩阵分析与计算--08-矩阵极限与级数
4.矩阵序列Cauchy收敛准则
设 A1 , A1 , Ak , 0 是矩阵空间V中的元素序列，如果存在x V , 使得
k
lim Ak A0
则称序列{Ak }按 -范数收敛于A0
(k ) (0) 记Ak （aij ） , A （ a l p 0 ij ） l p
由数列Cauchy收敛准则，有
det(uE ( E A)) 0
det((u 1) E A) (1)n det((1 u) E A)
det((1 u) E A) 0
令1 u ,这说明为A的一特征值
0< μ <2 → μ ≠ 0
1 ( E A ) ( E A) 的行列式不为零,
A 称为其部分和, 称矩阵序列
k k=1
S1 , S2 ,
为矩阵级数的部分和序列
, Sk ,
若矩阵部分和序列 Sk 收敛,且有极限 S, 则称该级 数收敛,且有极限 S. 记为
A =S
k k=1
若矩阵级数
A 的所有元素 a
k k=1 k=1
(k ) ij
均
绝对收敛,则称该级数为绝对收敛
0 0 i U =
1 r r C 0 0
r-i-1
(1 i r ),U k 0 (k r )
示例
0 0 0 0
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
1i n j 1 n
行范数
3）从属于向量的2-范数的算子范数为 A 2 1
—范数
谱范数
1是方阵AH A的最大特征值
矩阵论矩阵范数续向量和矩阵的极限
第八讲主要内容: 矩阵范数续，向量和矩阵的极限上有多个矩阵范数，有的矩阵范数有一些特殊性质。
定理4.2.1设，均为酉矩阵，即，则(1)即Furobenius范数在酉矩阵的作用下不变。
证明。
定理4.2.6 设，则均为阶酉矩阵，则证明 由定理2.4.2知道，所以只要证明(2)即可。
首先，若，则存在使得，从而。
两边同时乘得，即，所以。
同理可得，，则。
由，故从而(3) 又由得(4) 由得(5)将(3)，(4)，(5)结合起来就得(2)。
所以。
从而。
///第五章 矩阵分析5.1 向量和矩阵的极限定义1设，若，则称向量列按范数收敛到，记为，或者。
设，若，则称矩阵列按范数收敛到，记为，或者。
注：上述收敛性与范数的选取无关，且等价于按分量（元素）收敛。
性质：1若，则对任何向量范数，有界。
若，则对任何矩阵范数，有界。
2若，，，，则。
若，，，，则。
3若，，则。
4若且存在，则。
5 若，且所用矩阵范数与向量范数相容，则证明 1、2是线性运算关于范数连续的体现。
3是矩阵乘法运算对范数连续的结果（矩阵范数相容性）。
4。
5矩阵范数与向量范数相容的结果。
命题1 设矩阵范数是与向量范数相容,则。
证明。
定理1 ，对任意,存在算子范数,使得.证明 取可逆阵将化成若当标准型令,则对,定义,则可直接验证是一个方阵范数，且定理2 设，则以下三条等价(1) ； (2) ； (3) 存在范数，使得。
证明 (1) (2) ，所以。
(2) (3) 由定理1立得。
(3) (1)。
Fu1821契比(189陀思夫斯( 188福楼(188un Not 1‐291830比雪夫94), 思妥耶基81) 拜80)皮科《代论》以演式建数学代数抽象想铺道路英国运动e0‐39184042学业,4研学,4学法科克著代数通，首创演绎方建立代学，为数中更象的思铺平了路； 国宪章动 雅可立了式的理论哈密现数；雅克出求称矩征值可法；0‐49 年大毕42‐45究数46‐49法律185049-6律师研究学,矩阵基本念与算可比建了行列的系统论； 密顿发四元 克比提求实对矩阵特值的雅比方黎曼了“积分定义傅科验，地球转;爱晖俄占领土多万公里凯莱粹数学凯莱最创立了变量理几何学劝说剑他曾任会的会凯莱是天文学几乎涉卷的《数专论0‐5963师和究数引进阵的本概与运1860863任为大学数授，逝世曼给出“黎曼分”的义; 科摆实证明自晖条约占我国60万平方里;外尔拉斯林讲给出但处可微的美国（1821～189学的近代学派最主要的贡献了代数型的理理论的基础。
《矩阵论》 ppt课件
1
2
p
ppt课件
4
引理6.1.1 如果实数p 1, q 1且 1 1 1,则对 pq
任意非负实数a, b, 有
a p bq ab
pq
定理6.1.1（Hölder不等式）
设x ( x1 ,, xn )T , y ( y1 ,, yn )T C n , 则
1
1
(2) 齐次性：对任意k P, V ,有 k k ；
(3) 三角不等式：对任意 , V ,有 ,
则称||α||为向量α的范数，并称定义了范数的线性空 间为赋范线性空间。
ppt课件
2
对赋范线性空间V中任意向量 与， 有
| |
6.2.1 基本概念 6.2.2 相容矩阵范数 6.2.3 算子范数
ppt课件
11
6.2.1 基本概念
定义6.2.1 设||A||是以Cm×n中的矩阵A为自变量的 非负实值函数，如果它满足以下三个条件：
(1) 非负性 :当A 0时, A 0;当A 0时, A 0; (2) 齐次性 : 对任意k C , A C mn ,有 kA k A ; (3) 三角不等式: 对任意A, B C mn ,有 A B A B , 则称 A 为m n矩阵A的范数.
k
(1) lim(ax(k) by(k) ) ax by ; k
(2) lim Ax(k) Ax . k
定理6.1.8 C n中向量序列{ x(k) }收敛于向量x的充分
必要条件是对任一向量范数 , 数列 x(k) x
收 敛 于0.
ppt课件
10
6.2 矩阵范数
向量序列的极限 -回复
向量序列的极限-回复什么是向量序列？在线性代数中，向量是一个拥有大小和方向的量。
向量序列就是一系列向量的排列组合，并按照一定的规律进行排列。
在向量序列中，每个向量都由一组实数表示，这些实数称为向量的分量。
一般来说，向量序列可以表示为{v1, v2, v3, ..., vn}，其中vi表示向量序列的第i个向量。
向量序列的极限是指随着序列中的项数无限增加，序列逐渐趋近于一定的值。
极限可以简单地理解为序列的收敛点，它可以是一个向量或者多个向量。
那么，如何判断向量序列的极限是否存在呢？在线性代数中，我们可以使用序列的求和、内积、范数等运算，同时也可以使用一些极限的性质进行判断。
首先，我们来讨论向量序列的收敛性。
当序列{vn}满足以下条件时，我们可以称其为收敛序列：1. 序列的极限存在，即存在一个向量v使得vn逐渐趋近于v；2. 序列中的每个分量收敛，即每个分量逐渐趋近于某个实数。
当序列{vn}收敛时，我们可以通过极限的定义来计算序列的极限。
记向量序列的极限为lim(vn)，则有：lim(vn) = lim(v1, v2, v3, ..., vn) = (lim(v1), lim(v2), lim(v3), ..., lim(vn))接下来，我们来看一些特殊情况下的向量序列极限。
情况一：向量序列的极限为零向量。
当向量序列中的每个分量逐渐趋近于零时，我们可以得到向量序列的极限为零向量。
即：lim(vn) = 0，其中vn = (v1, v2, v3, ..., vn)，且lim(vi) = 0，i = 1, 2, 3, ..., n情况二：向量序列的极限为非零向量。
当向量序列的每个分量都逐渐趋近于某个非零实数时，我们可以得到向量序列的极限为一个非零向量。
即：lim(vn) = (lim(v1), lim(v2), lim(v3), ..., lim(vn))，其中lim(vi) ≠0，i = 1, 2, 3, ..., n情况三：向量序列的极限不存在。
2.1矩阵序列的极限ljg
14
例
1 1 1 (0,0,0, ,0); lim(0, n , n ,, n ) n 2 3 10 1 lim( n ,sin n) n 2
n n1 lim 1 3
n n n
不存在极限;
n n n
1 n 1 lim n 1 lim 2 2 n1 1 n1 lim lim n 3 n
n n n
1 0 E. 0 1
15
求 lim A( t ) .
t
sin4t cos4t sin4t A( t ) e cos4t sin4t 2sin4t
2 t
2
例 设函数矩阵
解
sin 4t cos 4t sin 4t lim A( t ) lim e lim t 2sin 4t cos 4t sin 4t 2
11 12 21 22 m1 m2
a z a z a z
1n 2n mn
为函数矩阵.
11
定义 设m n 的复变量z 的一元函数矩
阵 A( z ) (a ( z )) 在 z 的一个邻域内有定义,
ij mn
即 A( z )中 a ( z ) (i 1,2,, m; j 1,2,, n) 都有定义,
|| A || || B B || || B || || A A ||
k k k
联系性质①可证! ④ 若
lim A A ,且 Ak1 , A1都存在
k k
lim A =A
1 k k
-1
10
二、函数矩阵的极限
设 a z 是一元复变函数,
矩阵理论 向量与矩阵的极限
(i, j = 1,2,
n)
lim A ( m ) = A 。 则称方阵序列 { A ( m ) } 收敛于方阵 A = (aij ) n×n ，记为 m →∞
Ax = λx ⇒ A m x = λ m x ，即 λm 是 A m 的特征值，
∴ ρ m ( A) 是 A m 的谱半径，即 ρ m ( A) = ρ ( A m ) , 故 ρ ( A) < 1 .
四、函数矩阵的极限及连续性 Df5.设 x ∈ [a, b] ，称 A( x) = (aij ( x)) m×n 为函数矩阵（与矩阵函数的区别）
ε
2
∃N 2 > 0 ,当 m > N 2 时， B ( m ) − B <
ε
2
取 N = max { N1 , N 2 } > 0 ，当 m > N 时，
A(m) + B (m) − ( A + B) ≤ A(m) − A + B (m) − B < ε
∴ A ( m) + B ( m) − ( A + B) → 0
2 m m
lim x ( m ) = (0, 1, e, e) 解： m →∞
Th1.： C n 中向量序列 {x ( m) } → 向量 x0 = ( x1 , x 2 , x n ) ⇔ 对任意一种向量 范数 ⋅ ，有 x ( m ) − x0 → 0 。 说明，本定理的关键在于应用，它对任何范数都成立，至于证明主要 是取 ⋅ ∞ ，结合极限的 "ε − N " 定义来证明的。
向量与矩阵的运算与性质
向量与矩阵的运算与性质向量和矩阵是线性代数中两个重要的概念，它们在各个领域的数学和科学问题中起着至关重要的作用。
本文将探讨向量与矩阵的运算与性质，包括向量的加法、乘法和性质，矩阵的加法、乘法和性质等方面。
向量的运算与性质向量是有方向和大小的量，通常用箭头表示。
在二维空间中，向量可以用坐标形式表示为 (x, y)，其中 x 和 y 分别代表向量在 x 轴和 y 轴上的分量。
向量的加法是将两个向量相加得到一个新的向量。
如果向量 A 的坐标表示为 (x1, y1)，向量 B 的坐标表示为 (x2, y2)，则它们的和向量 C的坐标可以表示为 (x1 + x2, y1 + y2)。
这体现了向量加法的几何意义，即将一个向量平移后与另一个向量的末端相连接得到一个新向量。
向量的乘法有两种情况，分别是数量乘法和点乘法。
数量乘法是将向量的每个分量都与一个标量相乘，得到的结果仍然是一个向量。
例如，如果向量 A 的坐标表示为 (x, y)，标量为 k，则数量乘法运算的结果为 kA = (kx, ky)。
点乘法是将两个向量进行点乘，得到一个标量。
点乘法的结果可以表示为A·B = |A||B|cosθ，其中 |A| 和 |B| 分别代表向量的模长，θ 表示两个向量之间的夹角。
向量具有许多重要的性质。
例如，向量的加法满足交换律和结合律，即 A + B = B + A，(A + B) + C = A + (B + C)。
向量的数量乘法满足结合律，即 k(lA) = (kl)A。
此外，向量的数量乘法还满足分配律，即 k(A + B) = kA + kB。
矩阵的运算与性质矩阵是一个按照行和列排列的矩形数组，它由 m 行 n 列的元素组成，记作 A = [a_ij]，其中 a_ij 表示矩阵 A 中第 i 行第 j 列的元素。
矩阵的加法是将两个矩阵对应位置的元素相加得到一个新的矩阵。
例如，如果矩阵 A 的第 i 行第 j 列的元素表示为 a_ij，矩阵 B 的第 i 行第 j 列的元素表示为 b_ij，则它们的和矩阵 C 的第 i 行第 j 列的元素可以表示为 c_ij = a_ij + b_ij。
6-1 矩阵序列
Department of Mathematics
x
对于有限维向量空间,由于各种范数之间是等价 对于有限维向量空间 由于各种范数之间是等价 所以,向量序列 若按某一范数收敛与某一 的,所以 向量序列{ xn } 所以 向量 x ,则按其它范数也收敛于 x . 则按其它范数也收敛于
Department of Mathematics
定理1: 定理 ( ( n维线性空间 F n 中的向量序列{xm }, ( xm = ( x1(m) , x2m) ,L, xnm) )) 按某范数收敛于某向量 x = ( x1 , x 2 ,L , x n ) ∈ F n 的充分 必要条件是各个分量序列{xi(m) }(i = 1,2,Ln) 收敛于 x 的 相应分量 xi .即: 即
而: x
(m ) i
− x i ≤ max x
1≤ i ≤ n
(m ) i
− x i → 0 , i = 1,2, L n
lim x i( m ) = x i 所以
i →∞
i = 1,2,3, L n
lim x i( m ) = x i , i = 1,2,3, L n 充分性:设 充分性 设 i →∞
m →∞
lim PAm Q = PAQ
5）设 lim Am = A ，且 Am , A都是可逆的 则: { Am1 } ） 都是可逆的,则 − m →∞ −1 −1 也收敛,且: lim Am = A 也收敛 且
m →∞
Dep= ( a ijm ) ) ∈ C 2 × 2 其中 ： ，
lim max x i( m ) − x i = 0
i → ∞ 1≤ i ≤ n
即:
xm − x
∞
→ 0 (m → ∞ )
2024高考数学向量与矩阵运算
2024高考数学向量与矩阵运算在2024年的高考中，数学科目依然是考生们备战的重中之重。
而在数学中，向量与矩阵运算是一个重要的知识点。
本文将围绕向量与矩阵运算展开，帮助考生们理解和掌握相关的知识。
一、向量的基本概念与表示方法向量是数学中的一个重要概念，它常常用来表示方向和大小。
在三维空间中，向量通常由三个有序实数组成。
例如，向量A可以表示为A = (a₁,a₂,a₃)。
其中，a₁、a₂和a₃分别表示A在x轴、y轴和z轴上的分量。
二、向量的运算法则1. 向量的加法向量的加法是指将两个向量A和B相加得到一个新的向量C，表示为C = A + B。
向量的加法满足交换律和结合律，即A + B = B + A，(A + B) + C = A + (B + C)。
2. 向量的数乘向量的数乘是指将一个向量A与一个实数k相乘得到一个新的向量C，表示为C = kA。
数乘可以改变向量的大小和方向，当k > 0时，C 与A的方向相同；当k < 0时，C与A的方向相反。
3. 向量的数量积向量的数量积又称为内积或点乘，表示为A · B。
其中，A · B = |A| |B| cosθ，其中|A|和|B|分别表示向量A和B的模，θ表示A和B之间的夹角。
三、矩阵的基本概念与表示方法矩阵是数学中的另一个重要概念，它由一组数按照矩形排列而成。
矩阵可以表示为一个m行n列的矩形数组。
例如，一个矩阵A可以表示为：```A = [a₁₁ a₁₂ a₁₃a₂₁ a₂₂ a₂₃a₃₁ a₃₂ a₃₃]```在矩阵中，aᵢⱼ表示位于第i行第j列的元素。
四、矩阵的运算法则1. 矩阵的加法矩阵的加法是指将两个相同的m行n列的矩阵A和B相加得到一个新的矩阵C，表示为C = A + B。
矩阵的加法满足交换律和结合律，即A + B = B + A，(A + B) + C = A + (B + C)。
2. 矩阵的数乘矩阵的数乘是指将一个矩阵A中的每个元素都乘以一个实数k得到一个新的矩阵C，表示为C = kA。
向量矩阵的概念与运算
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 02
向量矩阵的基本运算
向量的加法、数乘运算
向量加法
向量加法是指将两个同维度的向量对 应分量相加，得到一个新的向量。
数乘运算
数乘运算是将一个标量与一个向量相 乘，得到一个新的向量，其每个分量 都是原向量对应分量与标量的乘积。
向量的点乘、叉乘运算
点乘
点乘是指两个向量的对应分量相乘后 求和，得到一个标量。
总结词
向量的几何意义是表示有向线段，而矩阵的几何意义则与其维度和具体应用场景相关。
详细描述
向量的几何意义是有向线段，其起点和终点分别对应向量的起始点和终止点。在二维坐 标系中，向量的大小（或长度）可以通过勾股定理计算得到。矩阵的几何意义则与其维 度和应用场景相关。例如，一个2x2的矩阵可以表示一个平面上的线性变换，通过矩阵
向量矩阵在控制系统中的应用
01
02
03
线性时不变系统
向量矩阵可以用来描述线 性时不变系统的状态空间 模型。
控制律设计
向量矩阵可以用来设计和 分析控制律，如PID控制 器等。
系统稳定性分析
向量矩阵可以用来分析系 统的稳定性，如 Lyapunov稳定性等。
感谢您的观看
THANKS
弹性力学
向量矩阵可以用来描述弹性力学中的应变和应力等物 理量。
电磁学
向量矩阵可以用来描述电磁场中的矢量，如电场和磁 场。
向量矩阵在计算机图形学中的应用
3D模型变换
向量矩阵可以用来表示和实现3D模型的旋转 、缩放和平移等变换。
光照模型
向量矩阵可以用来表示光照模型中的光照方 向和强度等信息。
动画制作
向量矩阵可以用来实现动画中的关键帧插值 和运动合成等效果。
极限与序列的概念及计算方法
极限与序列的概念及计算方法引言：在数学领域中，极限和序列是非常重要的概念。
它们不仅在微积分、数学分析等学科中有着广泛的应用，而且在实际生活中也有着重要的意义。
本文将深入探讨极限和序列的概念，并介绍一些常用的计算方法。
一、极限的概念1.1 极限的基本定义极限是数学中一个非常重要的概念，它描述了一种趋于无穷大或无穷小的过程。
在数学中，我们通常用符号lim来表示极限。
如果一个数列a1, a2, a3, ...在n趋于无穷大时，其值趋于一个常数L，那么我们就称L为该数列的极限，记作lim(n→∞)an = L。
1.2 极限的性质极限具有一些重要的性质，包括唯一性、保序性和四则运算性质等。
唯一性指的是一个数列的极限是唯一的，即不存在两个不同的极限。
保序性指的是如果一个数列的每一项都大于等于另一个数列的对应项，那么它们的极限也满足这个关系。
四则运算性质指的是如果两个数列分别收敛于L1和L2，那么它们的和、差、积和商的极限分别为L1 + L2、L1 - L2、L1L2和L1/L2。
二、序列的概念2.1 序列的定义序列是数学中一个重要的概念，它是由一系列有序的数所组成的集合。
通常用{an}或(an)来表示序列，其中an表示序列的第n个数。
序列可以是有限的，也可以是无限的。
2.2 序列的分类根据序列的性质，我们可以将序列分为有界序列和无界序列。
有界序列指的是序列的值都在某个范围内，而无界序列指的是序列的值没有上界或下界。
三、极限的计算方法3.1 数列极限的计算方法计算数列的极限是数学中的一个重要问题。
常见的计算方法包括直接计算法、夹逼准则和单调有界原理等。
直接计算法是一种简单直接的计算方法，适用于一些简单的数列。
例如，对于数列an = 1/n，我们可以通过直接计算得到lim(n→∞)1/n = 0。
夹逼准则是一种常用的计算数列极限的方法。
它的基本思想是通过夹逼定理来确定数列的极限。
例如，对于数列an = sin(nπ/4)，我们可以通过夹逼准则得到lim(n→∞)sin(nπ/4) = 0。
序列极限和数列极限的基本概念及其应用
序列极限和数列极限的基本概念及其应用作为数学学科的重要分支，更新迭代的发展让人们在了解自然世界和现实生活中问题的本质时有了更为清晰的认识。
数列是数学中一个非常重要的概念，而其中的两个重要概念——序列极限和数列极限——则在很多领域都有着广泛的应用，接下来让我们一起来探讨一下它们的基本概念以及应用。
一、序列极限与数列极限的定义1. 序列极限序列，是指按照一定规律排列成的一些数的集合。
比如说，一个序列可以由某个公式给出：$a_n=\dfrac{n+2}{2n+3}$，其中$n$为一个大于等于$1$的整数。
这个序列为：$a_1=\dfrac{3}{5}$，$a_2=\dfrac{4}{7}$，$a_3=\dfrac{5}{9}$……等等。
那么，序列极限就是指当$n$趋近于正无穷时，$a_n$的极限值，记作$\lim\limits_{n \to \infty} a_n$。
在上述序列中，$\lim\limits_{n \to \infty} a_n$等于$\dfrac{1}{2}$，也就是说，当$n$趋近于正无穷时，序列$a_n$越来越靠近$\dfrac{1}{2}$。
2. 数列极限数列，指的是按照一定规律排列成的数字的集合。
比如，$1,\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{4},\dots$就是一个数列。
数列极限就是指当$n$趋近于正无穷时，数列的某一项的极限值。
与序列不同，数列极限只考虑数列中某一项的极限值，而不是整个数列在极限情况下的值。
比如，数列$\{a_1=\dfrac{1}{2},a_2=\dfrac{1}{4},a_3=\dfrac{1}{8},\dots,a_n=\d frac{1}{2^n},\dots\}$的第$n$项就是$a_n=\dfrac{1}{2^n}$。
那么，该序列的数列极限为$0$。
二、序列极限与数列极限的性质序列极限和数列极限都有以下几个基本性质：1. 极限唯一序列极限和数列极限都是唯一的。
序列极限的定义
序列极限的定义序列极限的定义序列是数学中一种重要的概念，它是由一系列数字按照一定规律排列而成的数列。
而序列极限则是序列理论中最为基础和重要的概念之一。
在本文中，我们将详细地介绍序列极限的定义、性质和相关定理。
一、序列极限的定义1.1 序列的定义在介绍序列极限之前，我们需要先了解什么是序列。
序列可以看作是一个数字集合，其中每个数字都有一个确定的位置。
通常用符号${a_n}$表示，其中$n$为自然数，$a_n$表示第$n$项。
例如：$\{1,2,3,4,5,...\}$就是一个自然数序列。
1.2 极限的定义在数学中，“极限”是一个非常重要的概念。
它描述了函数或者数值集合随着变量趋近于某个值时所达到的最终状态。
设${a_n}$为一个实数序列，$A$为实数，则当$n \rightarrow+\infty$时，如果对于任意给定的正实数$\varepsilon$（无论多小），总存在正整数$N(\varepsilon)$使得当$n>N(\varepsilon)$时，有：$$|a_n-A|<\varepsilon$$则称数列${a_n}$收敛于$A$，并称$A$为${a_n}$的极限，记作：$$\lim_{n \rightarrow +\infty} a_n = A$$如果数列${a_n}$不满足上述条件，则称其为发散序列。
二、序列极限的性质2.1 极限唯一性一个序列只有一个极限。
也就是说，如果一个序列收敛于某个实数$A$，那么这个实数是唯一的。
2.2 有界性如果一个序列收敛于某个实数$A$，那么这个序列一定是有界的。
也就是说，存在正实数$M>0$和$n_0 \in N^*$，使得当$n>n_0$时，有：$$|a_n| \leq M$$2.3 保号性如果一个序列收敛于某个实数$A>0$（或者小于零），那么从某一项开始这个序列的所有项都大于（或者小于）零。
三、常见极限定理3.1 夹逼定理夹逼定理是求解极限问题时常用的方法之一。
向量范数和矩阵范数知识点总结
向量范数和矩阵范数知识点总结《向量范数和矩阵范数知识点总结：一场有趣的数学冒险》嘿，大家好呀！今天咱来唠唠向量范数和矩阵范数这俩家伙，那可真是数学世界里一对有趣的“难兄难弟”啊！咱先说向量范数，它就像是给向量套上了一个“紧箍咒”，用来衡量这个向量的大小或长度。
想象一下，向量就像个调皮的小猴子，在数学丛林里上蹿下跳，而向量范数就是那个抓住它、给它定个大小的“如来佛祖的手掌”。
它能让我们清楚地知道这个向量到底有多“厉害”或者多“弱小”。
这玩意儿有好多类型呢，比如咱常见的1-范数、2-范数啥的。
它们各有各的特点，就像不同的魔法技能。
1-范数呢，就像是给向量的每个分量都贴上了个小标签，然后把这些标签加起来，简单粗暴。
而2-范数就有点高深了，它是通过一个神奇的公式算出来的，就像给向量做了一次美容，让它以最帅气的样子展现出来。
再来说说矩阵范数，这可是个大家伙。
它就像个“大管家”，管理着矩阵这个“大家庭”。
矩阵范数可以衡量矩阵的“能量”或者说“影响力”。
想象一下，矩阵就像个有很多房间的大房子，矩阵范数就是给这个房子估个价。
矩阵范数也有好多分类，像什么Frobenius 范数啊，那可是矩阵范数界的明星。
它把矩阵的每个元素都照顾到了，算出一个综合的值。
这就好像给矩阵进行了一次全面的体检，看看它到底有多健康。
学这些范数的时候啊，那可真是一场刺激的冒险。
有时候感觉就像在走迷宫，到处都是弯弯绕绕，一不小心就迷路了。
但当你突然找到了那条正确的路，哇，那种感觉简直爽翻了！就像你在黑暗中突然找到了一盏明灯。
不过别怕，虽然它们有点复杂，但只要咱多琢磨琢磨，多做几道题，慢慢地就会和它们成为好朋友啦。
当你真正掌握了它们，就会发现它们其实也没那么可怕，反而还挺有趣的呢！总之，向量范数和矩阵范数就像是数学世界里的宝藏，只要我们勇敢地去挖掘，就一定能找到属于我们自己的惊喜。
加油吧，小伙伴们！让我们一起在这场有趣的数学冒险中勇往直前！。
矩阵序列与矩阵级数
⎡1⎤
⎢ 例：二维向量 x(k) = ⎢
2k
⎥ ⎥
⎢sin k ⎥
⎢⎣ k ⎥⎦
⎡1⎤
二维向量
x(k)
=
⎢ ⎢
2k
⎥ ⎥
⎣sin k ⎦
2，按向量范数收敛
量范数为 || x || .如果存在向量
α ∈Cn ，当 k → ∞ 时，|| x(k) − α ||→ 0 ，则称向量序列按向量范数收敛于α 。
第十五讲 矩阵序列与矩阵级数
[回顾]
1，数列 {ak
} k= 1,2,......
ai
∈C
数列收敛：
lim
k
ak
=
a
一、向量序列的两种收敛
1，按分量收敛；
{ } C n 中向量序列 x(k ) k=1,2,...... , x(k ) = (x(k )1,..., x(k )n ) ∈ C n
如果向量序列的每一个分量序列（为数列）都收敛，即
k→∝
(2) A(k)B(k) → AB k→∝
(3) (A(k))-1 → A-1，若(A(k))-1， A-1同时存在 k→∝
注意：如果不是同时，比如仅有(A(k))-1存在时，可能收敛矩阵并不可逆，（3）
的结论不成立，如
A(k )
=
⎡⎢1 + ⎢
1 k
⎢ ⎢⎣
1
1
⎤ ⎥
⎥
1+
1 k
⎥ ⎥⎦
(4) PA(k)Q → PAQ k→∝
3. 按矩阵范数收敛
两种矩阵收敛的等价性(P118,定理 5.5.)
特殊的矩阵序列，由方阵的幂构成的矩阵序列：
4. 收敛矩阵: 设 A 为方阵,且当k →∝ 时 Ak → 0 , 则称 A 为收敛矩阵.
《向量与矩阵》课件
REPORTING
向量在物理中的应用
线性运动描述
向量被广泛应用于描述物体的线性运动，如速度 、加速度和位移等。
力的合成与分解
向量在力的合成与分解中有重要应用，通过向量 运算可以解决许多物理问题。
电磁学
向量在电磁学中用于描述电场、磁场和电流等物 理量。
矩阵在数学中的应用
01
线性方程组
矩阵是解决线性方程组的重要工 具，通过矩阵运算可以求解复杂 的线性方程组。
向量和矩阵的加法规则
向量和矩阵的加法仅在相同维度的向量和矩阵之 间进行，结果仍为相同维度的向量或矩阵。
矩阵的乘法规则
矩阵乘法仅在满足特定条件的情况下进行，即第 一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。乘法结 果为一个新的矩阵，其行数等于第一个矩阵的行 数，列数等于第二个矩阵的列数。
向量和矩阵的数乘规则
数乘适用于向量和矩阵，表示将向量或矩阵中的 每个元素都乘以一个常数。
矩阵的乘法
总结词
矩阵的乘法是一种二元运算，要求第一 个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。
VS
详细描述
矩阵的乘法要求第一个矩阵的列数等于第 二个矩阵的行数，然后对应元素相乘并求 和，得到的结果是一个新的矩阵，其行数 等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个 矩阵的列数。
2023
PART 03
向量与矩阵的关系
2023
《向量与矩阵》PPT 课件
REPORTING
2023
目录
• 向量基础 • 矩阵基础 • 向量与矩阵的关系 • 向量与矩阵的运算性质 • 向量与矩阵的应用
2023
PART 01
向量基础
REPORTING
向量的定义与表示
总结词
序列极限的定义
序列极限的定义引言序列是数学中非常重要的概念，它在许多数学分支中起着关键性的作用。
序列极限是序列理论中的一个重要概念，它描述了序列中的数值随着序号的增加趋近于某个特定的值。
本文将详细探讨序列极限的定义及其性质。
什么是序列极限在数学中，序列是一个按照一定规则排列的数的集合。
序列可以用符号表示为{a₁, a₂, a₃, …}，其中a₁, a₂, a₃, …为序列中的元素。
序列极限是指当序列中的元素随着序号的增加无限逼近于某个特定的数时所表达的概念。
序列极限的定义设{a₁, a₂, a₃, …}为一个序列，如果对于任意给定的正数ε（ε > 0），总存在一个正整数N，使得当n > N时，使得|an - a| < ε成立，那么我们就说序列{a₁, a₂, a₃, …}的极限为a，记作lim(n→∞)an = a。
上述定义可以解释为：对于任意给定的误差ε，当序列中的元素超过某个位置N 后，它们与极限值a之间的距离都将小于ε。
这意味着序列中的元素足够接近极限值a。
序列极限的性质序列极限具有一些重要的性质，这些性质对于深入理解序列极限非常重要。
极限的唯一性如果序列{a₁, a₂, a₃, …}的极限存在，那么它是唯一的。
换句话说，一个序列不可能同时有多个极限。
子序列的极限如果一个序列的极限存在，则任意一个该序列的子序列也有相同的极限。
这是因为子序列的极限可以通过从原序列中选择相应的元素得到。
根据极限的定义证明极限存在要证明一个序列存在极限，通常需要使用极限的定义。
思路是通过构造一个合适的数列，使得它与给定的序列之间的误差满足极限的定义条件。
序列收敛与发散如果一个序列存在极限，我们就说它是收敛的。
反之，如果一个序列不存在极限，我们就说它是发散的。
序列极限的例子下面通过一些具体的例子来进一步说明序列极限的概念。
例子1：自然数序列考虑自然数序列{1, 2, 3, …}，显然这是一个无限序列。
我们可以发现，随着序号的增加，序列中的元素越来越大，但没有一个特定的数可以称为它的极限。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
华长生制作
4
证 根据矩阵 Jordan 标准型的结论，对矩阵 B ，存在非奇异矩阵 P ，使 得 1
P BP J diag ( J 1 , J 2 , , J r ),
其中
i Ji 1
i
. 1 i n n i i
充要条件是 lim A
k
x 0, x R
n
k
i
lim A
k
k
0.
( nn )
定理 4 设矩阵 B R ，则 必要条件是 B 的谱半径 ( B ) 1 ，其中
k
lim B
k
0
的充分
1 i n
B m ax i B .
k
k
j0
C ki
i
k j
Ei
j
j0
C k i
j
k j
Ei
j
华长生制作
6
i
k
ki
k 1
Ck
ni 1
i
k ni 1
i
k
ki
k 1
i
k
, ni ni
其中， i0 I , C kj k ! / j ! ( k j )! 。 E 由于 lim k s k 0 ( 1 , s 0 ), 所以 lim J ik 0 的充分必要条件
k k k k
T T 1 2 n 1 2 n
k
k
k
k
i
i
定理2 设 k lim A 则 k
A
k
a ij
k
n n
, A a ij
k
nn
A
等价于
lim a ij
k
a ij i , j 1 .2 . , n
0 0 1 0 0 1 0 0 , 1 0 0 n n i i
Ei
k
其中第1行的第 k+1 个元素为1。于是有
k ni 1
J i (i I E i )
i 2 ,3 , , n
Ax b
6.1向量和矩阵序列的极限
定义1 设 是 中的向量序列，若有向 x R ，使 lim x x 0 ，则称 x 量 lim x x 收敛于 x ，记为
x
k
R
n
n
(k )
k
k
k
k
定义2 阵 A R ，使 lim A lim A 收敛于A，记为
显然， PJP B
1
,B
K
PJ
K
K
P
1
,
k k k
J
diag ( J 1 , J 2 , , J r ).
因此， B k 0 的充分必要条件是 lim J ik 0 , i 1, 2 , , r . lim
k k
华长生制作
5
记 J i I E i ，则有
k k
是 i 1 ( i 1, 2 , , r ) 。定理得证。
华长生制 证明 必要性显然成立。充分性：取x为第i个单 位向量 e 0 , , 0 ,1, 0 , , 0 ，则 li m A e 0 ，从 而 A k 的第i列元素极限为零，取i=1,2,…,n即有
k
k
k
i
k
A
n n
k
设
k
是 R n n 中的矩阵序列，若有矩
(k )
A 0
，则称
A
k
k
k
A
华长生制作
2
序列收敛的等价条件 定理1 设 x x , x , , x , x x , x , , x , lim x x i 1, 2 , , n lim x x 则 等价于