高等数学上：D2_1导数的概念1
高等数学2.1 函数的导数
五、可导性与连续性之间的关系
定理1 如果函数 f ( x)在点 x0处可导,则函数在 该点必连续.
证 设函数 f ( x)在点 x0处可导,
即
y
lim x0 x
f ( x0 )
由函数极限存在与无穷小的关系，
y f ( x) 0 (x 0)
x
y f ( x)x x
所以,lim y 0, 函数 f ( x)在点x0连续. x0 上页 下页 返回
得函数相应改变量y f ( x0 x) f ( x0 ),
先求平均变化率y , 再求极限得瞬时变化率 x
lim y lim f ( x0 x) f ( x0 )
x0 x x0
x
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§2.1 函数的导数
二、导数定义
1.导数定义
定义1 设函数 y f ( x) 在x0的某个邻域内有定义，
h0
h
lim[nx n1 n(n 1) xn2h hn1 ] nx n1
h0
2!
即 ( xn ) nxn1
更一般地 ( x ) x1. ( R)
例如
(
x )
1
x
1 2
1
1
( x 0); ( x) x11 1
2
2x
( x 1 )
(1)x 11
1 x2
(x
0).
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例9
设
f
(
x)
2sin x, a bx,
确定a与b的值.
x 0 在 x 0 处可导， x0
解 函数在 x 0 处可导，则在 x 0 一定连续，
即满足 lim f ( x) lim f ( x) f (0)
2-1 导数的概念与几何意义
成都工贸职业技术学院教案了一个新的函数)(/x f , 称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，也可记作/y ，即)(/x f ＝/y ＝x x f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim00 函数)(x f y =在0x 处的导数0/x x y =就是函数)(x f y =在开区间),(b a )),((b a x ∈上导数)(/x f 在0x 处的函数值，即0/x x y =＝)(0/x f 所以函数)(x f y =在0x 处的导数也记作)(0/x f注意：导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值；它们之间的关系是函数)(x f y =在点0x 处的导数就是导函数)(/x f 在点0x 的函数值例1 求函数2x y =在任意点x 处的导数，并求1|=x dxdy 解：在x 处给自变量一个增量x ∆，相应函数增量为()()()2222x x x x xx x f x x f y ∆+∆=-∆+=-∆+=∆,于是x x xy∆+=∆∆2， ()x x x x yx x 22lim lim 00=∆+=∆∆∴→∆→∆；即()x x 22='； 则 ()21*21-=-==x dxdy一般地()1-='u u ux x ，（u 为任意实数）注：求()0x f '得先求()x f '，再将x 用0x 代替。
求函数导数的一般方法：（1）求函数值的增量：()()y f x x f x ∆=+∆-（2）算比值：()()y f x x f x x x∆+∆-=∆∆ （3） 取极限，得导数：/y ＝()f x '=xyx ∆∆→∆0lim三、讲授新课（2）（25分钟） 3、导数的几何意义由导数的定义可知:函数在点处的导数在几何上讲清楚左右导数的概念学生认真听讲和思考学生理解近似和极限的概念学生理解导数公式的产生学生认真听讲表示曲线在点处的切线斜率，即,其中是切线的倾角.如下图：如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为))(()(00/0x x x f x f y -=-4、可导与连续关系：可导⇒连续 定理2：设函数)(x f y =在点x 处可导，有 ()x f xyx '=∆∆→∆0lim又()()()()时的无穷小为0→∆∆∂⋅∆∂+'=∆∆x x x x f xy即 ()()x x x x f y ∆⋅∆∂+∆'=∆ 故 0lim 0=∆→∆y x所以()处连续在点x x f y =。
高等数学2-1
∆x
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即 类似有
(sin x )′ = cos x (cos x )′ = − sin x
正弦余弦 求导公式
例 7 求 f(x) = loga x （a > 0，a ≠1）的导数。 ， ）的导数。 解
log a ( x + ∆ x ) − log a x ∆y f ′( x ) = lim = lim ∆ x→0 ∆ x ∆ x→0 ∆x
单 侧 导 数
f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = lim 0 ∆x→ + ∆x
判断函数在某一点可导的充分必要条件： 判断函数在某一点可导的充分必要条件：
′ ′ 数 函 f (x)在x0 点 导 ⇔ f−(x0) = f+(x0)。 可
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处的可导性。 例 3 讨论函数 f (x) = | x | 在 x = 0 处的可导性。
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则比值
∆y y − y0 f (x) − f (x0) = = x − x0 ∆x x− x0 就是割线 MN 的斜率 tanϕ 。当∆x → 0(即 x → x0) 即
沿曲线C 趋于点M 时，N 沿曲线 趋于点 ，从而可以得到切线的 斜率为
f (x) − f (x0) ∆y k = tanα = lim = lim x→x 0 ∆x→ ∆x x − x0
由此可见，前面两个引例说明， 由此可见，前面两个引例说明，曲线 y = f(x) 在点 (x0 , f(x0)) 处切线的斜率就是函数 f(x) 在点 x0 处的导数，即 处的导数，
k = f ′( x 0 )
而直线运动 s = s(t) 在时刻 t0 的瞬时速度就是 的导数， 函数 s(t) 在点 t0 的导数，即
高等数学讲义
第3讲导数与微分高等数学基础课程的主要研究对象是函数，函数是变量之间的对应关系，怎样研究函数的变化是这一讲的主要问题。
3.1导数的概念一、函数的变化率对于函数)(x f y =，我们要研究y 怎样随x 变化，进一步我们还要研究变化的速率，可以先看看下面这个图我们可以看出，对于相同的自变量的改变量x ∆，所对应的函数改变量y ∆是不同的。
xy∆∆可以表示变化的速率，但这是一个平均速率，怎样考虑函数)(x f y =在一点0x 的变化率呢？二、导数的概念根据前面的介绍，我们给出下面的定义。
定义3.1设函数)(x f y =在点0x 及其某个邻域U 内有定义，对应于自变量x 在0x 处的改变量x ∆，函数相应的改变量为)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果当0→∆x 时极限 存在，则此极限值称为函数)(x f y =在点0x 处的导数，或在点0x 处函数)(x f 关于自变量x 的变化率，记作)(0x y '，或)(0x f '这时，称函数)(x f y =在点0x 处是可导的。
根据导数定义，我们来求一些基本初等函数的导数。
例1根据导数定义求c y =在点x 处的导数。
解根据定义求导数通常分三步： （Ⅰ）求)()(00x f x x f y -∆+=∆：（Ⅱ）求xy∆∆： （Ⅲ）求xyx ∆∆→∆0lim ：因此得出0)(='x y 。
如果函数)(x f 在其定义域内每一点都可导，那么我们就得到了一个新的函数)(x f '，称)(x f '为)(x f 的导函数。
)(x f '在点0x x =的函数值)(0x f '就是)(x f 在点0x x =的导数。
例2根据导数定义求2)(x x f =在点x 处的导数。
解按照由定义求导数的步骤： 因此得出x x f 2)(='。
例3根据导数定义求n x x f =)(（n 为自然数）在点x 处的导数。
《高数数学(上)》-导数与微分
解 （1）根据导数定义并运用极限的运算法则
u(x)v(x) lim u(x x)v(x x) u(x)v(x)
x0
x
u(x x)v(x x) u(x)v(x x) u(x)v(x x) u(x)v(x)
定理2.1
函数f (x)在x0 处可导的充要条件是左、右导数都存在
且相等.
7
一、 导数的定义
例 1 若函数f (x)在x=0 处连续，且 lim f (x) 存在， x0 x
证明f (x)在x=0 处可导.
证法一
设 lim f (x) A(A为常数)，则 x0 x
lim f (x) lim x f (x) 0 A 0，
证 若函数y f (x)在x0 处可导，由导数的定义可得
lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
f (x0 )，所以利用函数极限与无穷小之间的
关系可得
f (x) f (x0 ) x x0
f
( x0
)
，lim x x0
0，即
f (x) f (x0 ) f (x0 )(x x0 ) (x x0 )
x
所以k 1 时，f (x) 在 x 0 处可导. 2
12
本讲内容
01 导数的定义 02 导数的几何意义 03 可导与连续的关系
二、 导数的几何意义
几何意义
若函数 f (x)在x x0 处可导，f (x0 ) 是曲线 y f (x) 在点 (x0 , f (x0 )) 处切线的斜率.
x0
高等数学-第2章 导数与微分§2.1 导数的概念
第2章 导数与微分本章简介：（2′）微积分可以分为两部分：微分学和积分学。
微分学研究导数、微分及其应用，积分学研究不定积分、定积分及其应用，微分学是积分学的基础。
本章及第3章介绍微分学部分的内容，第4章及第5章介绍积分学部分的内容。
§2.1 导数的概念新课引入：（3′）中学里学过的速度、加速度表述的是在单位时间物体运动所走过的路程及速度变化的快慢程度，其实都是研究函数（运动函数、速度函数）相对于自变量（时间）变化的快慢程度，即研究函数的变化率问题，本节将用上一章学过的极限为工具来研究变化率问题，从实际例子出发介绍导数的概念及其计算方法。
一、变化率问题举例（15′） 1．平面曲线的切线斜率设曲线C 的方程为()y f x =，求曲线C 在点M 处切线的斜率. 为此，需先明确曲线的切线的含义。
如图 2.1，设N 是曲线C 上与点M 邻近的一点，连结点M 和N 的直线M N 称为曲线C 的割线，如果当点N 沿着曲线C 趋近于点M 时，割线M N 绕着点M 转动而趋近于极限位置M T ，则称直线M T 为曲线C 在点M 处的切线。
这里极限位置的含义是：只要弦长||M N 趋近于零，N M T ∠也趋近于零。
斜率表示直线上点的纵坐标相对于横坐标变化的快慢程度，切线M T 的斜率不易直接图2.2图2.1求得，先求割线M N 的斜率。
如图 2.2，设点M 、N 的坐标分别为00(,)x y 、00(,)x x y y +∆+∆，割线M N 的倾角为ϕ，切线M T 的倾角为α，则割线M N 的斜率为00()()tan f x x f x y xxϕ+∆-∆==∆∆。
显然，x ∆越小，即点N 沿曲线C 越趋近于点M ，割线M N 的斜率越趋近于切线M T 的斜率。
当点N 沿曲线C 无限趋近于点M ，即0x ∆→时，若割线M N 的斜率的极限存在，则此极限值就是曲线C 在点M 处切线的斜率，即()()000tan lim tan limlimx x x f x x f x y xxαϕ∆→∆→∆→+∆-∆===∆∆。
大一上学期《高等数学》知识整理-第二章 导数与微分
大一上学期《高等数学》知识整理-第二章导数与微分第二章导数与微分1.导数的定义。
对于一个在x0的某个邻域内有定义的函数，当自变量x在x0处取得增量Δx时，相应地函数y取得增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)，如果当Δx→x0时Δy/Δx的极限存在，则称函数y=f(x)在x0点可导，并称这个极限为函数y=f(x)在x0处的导数。
通俗地讲，就是描述某个函数在某点增长或下降的瞬时速度，这个“速度”的单位为y每x，即每变化一个单位的x，y变化多少。
与物理学中定义米/秒是一个性质的。
把函数f(x)的导数看做是关于x的函数，即得到函数f(x)的导函数f'(x)，简称导数。
（以上的“x0”中的“0”都是x 的下标，下同。
）导数也可以用微分的形式记作dy/dx，这个后面会提及。
2.在导数的定义中，如果Δx从左边趋向x0或从右边趋向x0，那么对应的导数被称为左导数和右导数。
只有f(x)在x0处的左导数和右导数相等，才能称f(x)在x0处可导。
举个例子，绝对值函数y=|x|，其在x=0处的左导数是-1（即x每增大1，y减小1），右导数是1，两者不相等，所以该函数在x=0处不可导。
如图所示。
绝对值函数y=|x|的导数是符号函数y=sgn(x)，但是不包含x=0（单独的符号函数y=sgn(x)，当x=0时，y=0）。
3.用定义法可以求初等函数的导数，本质上就是求极限。
比如说求y=x²在x=a处的导数，即就是求Δx→0时((a+Δx)²-a²)/Δx的极限。
求得结果为2a了解即可，还不如求导公式来得快。
下图为求该极限的过程，也就是用定义求y=x²的导数的过程。
4.函数的可导性与连续性的关系。
我们有定理：如果函数y=f(x)在点x0处可导，则f(x)在x0处必连续。
但反过来就不一定了。
归纳为一句话：连续不一定可导，可导一定连续。
y=|x|就是一个例子。
该函数在定义域内处处连续但是在x=0时不可导（因为左右极限不一样）。
导数的基本概念及性质应用
导数的基本概念及性质应用考点：1、掌握导数的基本概念及运算公式，并能灵活应用公式求解 2、能运用导数求解单调区间及极值、最值3、理解并掌握极值及单调性的实质，并能灵活应用其性质解题。
能力：数形结合 方法：讲练结合新授课：一、 知识点总结：导数的基本概念与运算公式１、导数的概念函数y =)(x f 的导数)(x f '，就是当Δx →0时，函数的增量Δy 与自变量的增量Δx 的比x Δ yΔ的极限，即)(x f '＝0x Δlim→xΔ y Δ＝x Δlim→xΔf(x)-x) Δ(+x f说明：分子和分母中间的变量必须保持一致 ２、导函数函数y =)(x f 在区间( a, b )内每一点的导数都存在，就说在区)(x f 间( a, b )内可导，其导数也是(a ,b )内的函数，叫做)(x f 的导函数，记作)(x f '或x y '，函数)(x f 的导函数)(x f '在0x x =时的函数值)(0x f '，就是)(x f 在0x 处的导数。
３、导数的几何意义设函数y =)(x f 在点0x 处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点),(00y x M 处的切线斜率。
４、求导数的方法 （１）基本求导公式0='c )()(1Q m mx x m m ∈='-x x cos )(sin =' x x sin )(cos -=' x x e e =')( a a a x x ln )(=' xx 1)(ln ='ax x a ln 1)(log ='（２）导数的四则运算v u v u '±'='±)( v u v u uv '+'=')()0()(2≠=''-'v v v u v u v u（３）复合函数的导数设)(x g u=在点x 处可导，y =在点)(x f 处可导，则复合函数)]([x g f 在点x 处可导，)()())(('''x u f x f x ϕϕ=导数性质：1、函数的单调性⑴设函数y ＝)(x f 在某个区间内可导，若)(x f '＞0，则)(x f 为增函数；若)(x f '＜0则为减函数。
一、1 导数的概念
xx0
x
考察函数 y x2 1（x≠1），当x无限趋近于1
x 1
（但不等于1）时，函数的变化趋势
Y
因为 y x2 1 x 1
x 1
观察y=x+1 (x∈R,x≠1)图象
2 1
-1 0 1
X
结论：自变量x从x轴上点x=1的左右两边无限趋近
于1，函数
y的 值x2无限1 趋近于2。 x 1
注意：虽然在x＝1处没有定义，但仍有极限。
二、导数的定义
设函数y=f(x)的自变量x变化到x+△x，相 应的函数值y=f(x)变化到y=f(x+△x)
若
lim
x0
f (x x) f (x) lim y
x
x0 x
y f (x x) f (x)
存在,则称函数 在点 处可导, 并称此极限为
例1 求函数f(x)=C(C为常数)的导数。
解 f ( x) lim f ( x h) f ( x) lim C C 0.
h0
h
h0 h
即 (C) 0.
例2 求y=x2在点x=1处的导数。
解 y (1 x)2 12 2x (x)2
y 2x (x)2 2 x
3 x0
x
1 lim 3x2 3xx (x)2 x2 3 x0
点P处的切线的斜率等于4。
在点P处的切线方程是
y 8 4(x 2
已知 y
1 x
的导数为
y
1 x2
,求函数在点
(
1 2
,2)
处的切线的斜率,并写出在该点处的切线方程和法
大一高数知识点归纳
大一高数知识点归纳一、极限与连续1. 极限的概念- 数列极限的定义与性质- 函数极限的定义与性质- 无穷小与无穷大的概念- 极限的四则运算法则2. 极限的计算- 极限的代入法- 极限的因式分解法- 洛必达法则- 夹逼定理3. 连续函数- 连续性的定义- 连续函数的性质- 闭区间上连续函数的性质（最大值最小值定理）二、导数与微分1. 导数的概念- 导数的定义- 导数的几何意义与物理意义- 可导与连续的关系2. 常见函数的导数- 基本初等函数的导数- 导数的运算法则- 高阶导数3. 微分- 微分的定义- 微分的运算法则- 隐函数的微分法三、中值定理与导数的应用1. 中值定理- 罗尔定理- 拉格朗日中值定理- 柯西中值定理2. 导数的应用- 函数的单调性- 函数的极值问题- 曲线的凹凸性与拐点- 函数的渐近线四、不定积分1. 不定积分的概念- 原函数与不定积分的定义 - 不定积分的基本性质2. 常见函数的积分方法- 换元积分法- 分部积分法- 有理函数的积分五、定积分1. 定积分的概念- 定积分的定义- 定积分的性质2. 定积分的计算- 微积分基本定理- 定积分的换元法与分部积分法3. 定积分的应用- 平面图形的面积- 曲线的长度- 旋转体的体积六、级数1. 级数的基本概念- 级数的定义与分类- 收敛级数与发散级数2. 级数的收敛性判别- 正项级数的比较判别法- 比值判别法与根值判别法- 交错级数的收敛性判别3. 幂级数- 幂级数的收敛半径与收敛区间 - 泰勒级数与麦克劳林级数七、空间解析几何1. 向量与直线- 向量的运算与性质- 直线的方程与性质2. 平面与曲线- 平面的方程- 空间曲线的方程3. 多元函数的微分学- 偏导数与全微分- 多元函数的链式法则八、重积分1. 二重积分- 二重积分的定义与性质 - 二重积分的计算方法2. 三重积分- 三重积分的定义与性质 - 三重积分的计算方法九、曲线积分与格林公式1. 曲线积分- 曲线积分的定义与性质 - 曲线积分的计算2. 格林公式- 格林公式的表述- 应用格林公式计算曲线积分以上是大一高数的主要知识点归纳，每个部分都包含了关键的概念、定义、性质和计算方法。
大一高等数学一教材目录
大一高等数学一教材目录引言本教材是为大一学生编写的高等数学一教材，旨在帮助学生建立对高等数学的基本概念和方法的理解。
本目录将详细列出本教材的各个章节和内容，以帮助学生更好地学习和使用本教材。
第一章：函数与极限1.1 函数的概念1.1.1 实数集和有理数集1.1.2 函数的定义与性质1.1.3 函数的图像1.2 极限的概念1.2.1 极限的定义与性质1.2.2 极限存在准则1.2.3 极限运算法则1.3 连续与间断1.3.1 连续函数的概念1.3.2 连续函数的性质1.3.3 间断点与间断函数第二章：导数与微分2.1 导数的定义与性质2.1.1 导数的定义2.1.2 导数的运算法则2.1.3 高阶导数2.2 微分的概念2.2.1 微分与导数2.2.2 微分的运算法则2.2.3 微分中值定理2.3 函数的凹凸性与拐点2.3.1 函数的凹凸性2.3.2 函数的拐点2.3.3 凹凸函数的判定第三章：微分中值定理与导数应用 3.1 罗尔中值定理3.1.1 罗尔中值定理的几种形式 3.1.2 罗尔中值定理的应用3.2 拉格朗日中值定理3.2.1 拉格朗日中值定理的定义 3.2.2 拉格朗日中值定理的应用 3.3 柯西中值定理3.3.1 柯西中值定理的定义3.3.2 柯西中值定理的应用第四章：不定积分4.1 不定积分的定义与基本性质4.1.1 不定积分的概念4.1.2 不定积分的基本性质4.1.3 换元积分法4.2 牛顿-莱布尼兹公式与定积分 4.2.1 牛顿-莱布尼兹公式的定义 4.2.2 定积分的概念与性质4.2.3 积分区间的分割和近似4.3 定积分的计算4.3.1 定积分的几种基本计算方法4.3.2 反常积分的计算4.3.3 定积分的应用结语通过本教材的学习，相信大一学生将对高等数学的基本概念和方法有更深入的理解。
希望学生们能够通过勤奋学习和实践，掌握高等数学的基本知识和技能，并将其运用于实际问题的解决中。
导数的概念-教案
2.1导数的概念教学内容：微分学是高等数学的重要组成部分之一，导数与微分是微分学的两个最基本的概念。
本章将在函数极限的基础上，从实际例子出发引入导数与微分的概念，进而建立起一整套微分运算的法则。
导数的概念最初是从寻找曲线的切线以及确定变速直线运动的瞬时速度而产生的，它在自然科学的许多领域中有广泛的应用.如物体运动的速度、电流、线密度、化学反应速度以及生物繁殖率等等.所有这些在数量关系上都归结为函数的变化率，即导数.一、引例1、变速直线运动的瞬时速度设物体沿直线作变速运动，其规律为s=f (t ),其中s 表示位移，t 表示时间.求物体在运动过程中某时刻t=t 0的瞬时速度v (t 0).00000,,()().t t t t t t s f t t f t ∆+∆∆=+-当在取得增量时则在到的时间段内位移的增量00()()f t t f t s t t +∆-∆=∆∆即为0t 到0t t +∆这段时间内的平均速度.容易看出，当||t ∆越小时，平均速度将越接近瞬时速度，当t ∆无限趋近于零时，平均速度也将无限趋近瞬时速度.为此，瞬时速度定义为平均速度当0t ∆→时的极限，即 00000()()()lim lim t t f t t f t sv t t t ∆→∆→+∆-∆==∆∆平均速度s t∆∆称为位移s 在0t 到0t t +∆时间段内的平均变化率，而瞬时速度0lim t st ∆→∆∆则称为位移s 在时间0t t =的(瞬时)变化率. 局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值.2、平面曲线的切线斜率定义设点0M 是曲线 L 上的一个定点，点M 是曲线 L 上的动点，当点M 沿曲线 L 趋向于点0M 时，如果割线0MM 的极限位置0M T 存在，则称直线0M T 为曲线 L 在点0M 处的切线.设割线0M M 的倾斜角为ϕ，于是割线的斜率是00()()tan f x x f x y x xϕ+∆-∆==∆∆ 设切线0M T 的倾角为α，点M 沿着曲线无限趋近于点0M ，即0x ∆→，ϕα→，得到切线0M T 的斜率为：tan k α==0000()()lim tan limlim x x f x x f x yx xϕαϕ→∆→∆→+∆-∆==∆∆这就是说，曲线()y f x =在点0M 处的纵坐标y 的增量y ∆与横坐标x 的增量x ∆的比值，当0x ∆→时的极限为曲线在0M 点处的切线的斜率。
3.1 导数的概念 课件 (共21张PPT)《高等数学》(高教版).ppt
(2)若极限 点 处的右导数，记作
,即：
存在，则称其为函数 在
定理1 函数
在点 处可导的充分必要条件是
在点 处的左导数和右导数都存在且相等，即
．
例1 讨论函数
在 处的连续性和可导性．
解:因为
又
，所以函数
在 处的连续.
由于
，所以函数
在 处不可导．
例2 讨论函数
解:因为 连续.
又因为 处不可导．
在 处的连续性和可导性．
在点
分析:设函数
在点 处可导，则
故函数
在点 处一定连续．
随堂练习
1、设 解:
，判断 在点 函数
处的连续性与可导性. 在 处连续.
函数 在 处不可导.
2、若函数
处处可导，求 的值.
解: 函数 在 处可导，则在
处处可导.由于函数
可导必连续.得
再根据函数在 处可导，
则左右导数存在且相等.
故
时，
函数 在点
或 ，即
函数
在点 处的导数就是导函数 在点 处的函数值
，即
注：若函数
在区间
在区间 上不可导.
内有一点处不可导，则称函数
由导数的定义可知，求函数
个步骤：
(1)求增量
；
(2)算比值
；
(3)取极限
例1 求函数
的导数．
解：
常量函数的导数为
的导数可分为以下三 ．
例6 求函数 解：
的导数．
例7 求函数 解：
,所以函数
在 处的
，所以函数
在
从图形上看，曲线 线．这也说明函数 原点外，处处可导.因 连续.
在原点O处具有垂直于 轴的切
3.1 导数的概念及几何意义、导数的运算
∴x2=-2x1,∴f
'(x2)=3 x22=12 x12.∴
f f
'(x1) = 1 .
'(x2 ) 4
(2)由题意,得f '(x)=2x.
设直线与曲线相切于点(x0,y0), 则所求切线的斜率k=2x0,
由题意知2x0= y0 0 = y0 ①.
x0 1 x0 1
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12
又y0= x02 ②,所以由①②解得x0=0或x0=-2, 所以k=0或k=-4, 所以所求切线方程为y=0或y=-4(x+1), 即y=0或4x+y+4=0. 答案 (1) 1 (2)y=0或4x+y+4=0
2
2
(4)y'
=
cos ex
x
'=(cos
x)
'ex cos (ex )2
x(ex
)'
=-
sin
x cos ex
x.
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方法二 求曲线y=f(x)的切线方程
1.求“在”曲线y=f(x)上一点P(x0,y0)处的切线方程,则点P(x0,y0)为切点,
'(x1)(x0 x1),
点A(x1,y1),代入方程y-y1=f '(x1)(x-x1),化简即得所求的切线方程.
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例2 (1)(2018江苏淮安高三期中)已知函数f(x)=x3.设曲线y=f(x)在点P(x1,
f(x1))处的切线与该曲线交于另一点Q(x2, f(x2)),记f '(x)为函数f(x)的导
完整版)导数讲义(学生新版)
完整版)导数讲义(学生新版)导数一、导数的概念函数y=f(x)，如果自变量x在x处有增量Δx，那么函数y 相应地有增量Δy=f(x+Δx)−f(x)，比值化率，即Δy/Δx叫做函数y=f(x)在x到x+Δx之间的平均变化率。
如果当Δx→0时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x处可导，并把这个极限叫做f(x)在点x处的导数，记作f’(x)或y’|x=x。
例如，若lim(Δy/Δx)=k，则lim(Δy/f(x+2Δx)−f(x)/Δx)=lim(2k)等于（）=k，因此f’(x)=lim(Δy/Δx)。
变式训练：设函数f(x)在点x处可导，试求下列各极限的值：1.lim(f(x−Δx)−f(x))/Δx；2.lim(f(x+h)−f(x−h))/2h；3.若f’(x)=2，则lim(f(x−k)−f(x))/k=？二、导数的几何意义函数y=f(x)在点x处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点p(x,f(x))处的切线的斜率。
也就是说，曲线y=f(x)在点p(x,f(x))处的切线的斜率是f’(x)。
切线方程为y−f(x)=(f’(x))(x−x)。
三、导数的运算1.基本函数的导数公式：①C’=0；（C为常数）②x^n’=nx^(n−1)；③(sin x)’=cos x；④(cos x)’=−sin x；⑤(e^x)’=e^x；⑥(ax)’=axln a；⑦(ln x)’=1/x；⑧(log_a x)’=log_a e/x。
题：求下列函数的导数：（8分钟独立完成）1）f(x)=π；（2）f(x)=x^4；（3）f(x)=x；（4）f(x)=sin x；（5）f(x)=−cos x；（6）f(x)=3x；（7）f(x)=e^x；（8）f(x)=log_2 x；（9）f(x)=ln x；（10）f(x)=1/(1+x)；（11）y=x^4+cos x；（12）y=x/(4+x^2)；（13）y=log x−e^x；（14）y=x^3 cos x。
高数 D2_1导数概念
1
1 ( ) ( x x x
3 x 4
7 4
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例3. 求函数 解: 则
的导数.
f ( x h) f ( x ) sin( x h) sin x lim lim h 0 h 0 h h
lim
h 2 cos( x ) 2
h 0
h lim cos( x ) h 0 2
四、函数的可导性与连续性的关系
五、单侧导数
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一、 引例
1. 变速直线运动的速度
设描述质点运动位置的函数为
则 到 的平均速度为
f (t ) f (t0 ) v t t0
而在 时刻的瞬时速度为
自由落体运动
s
f (t0 ) O t0
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1 gt 2 2
f (t ) f (t0 ) v lim t t0 t t0
x 1
lim
h
h 0
1 x
h 0
lim
ln e
即
1 (ln x) x
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例5. 证明函数
在 x = 0 不可导.
f (0 h) f (0) h 1 , h 0 证: h 1 , h 0 h f (0 h) f (0) lim 不存在 , h 0 h
O
y
切线方程:
法线方程:
O
x0
x
( f ( x0 ) 0 )
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例7. 问曲线 的切线与直线 解:
哪一点有铅直切线 ? 哪一点处 平行 ? 写出其切线方程.
D2-1导数概念
一、导数的定义定义设函数 在点的某个领域内有定)(x f y =0x 义,当自变量 在 处取得增量 (点仍在0x x x ∆+0x ∆x 该领域内)时,相应地函数取得增量y );()(00x f x x f y −∆+=∆若 与 之比当x ∆y ∆0→∆x 时的极限存在,处可导,并称这个极限为函数在点 处)(x f y =0x 则称函数在点)(x f y =0x的导数,记为00),(,0x x x x dx dy x f y ==′′或,)(0x x dx x df =即.)()(lim lim )(000000x x f x x f x y x f y x x x x ∆−∆+=∆∆=′=′→∆→∆=导数定义的其它形式:令,x h ∆=.)()(lim )(0000hx f h x f x f h −+=′→令,0x x x ∆+=.)()(lim )(0000x x x f x f x f x x −−=′→几点说明它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度;(1)(2)就称函数 在开区间 内可导;I )(x f (3)且 及)(a f +′)(b f −′都存在,就称 在闭区间 上可导;)(x f ],[b a 导,0x 点导数是因变量在点处的变化率,)(x f y =I 如果函数 在开区间 内的每点处都可)(x f ),(b a 如果在开区间 内可导,(4),I x ∈∀都对应着的一个确定的导数值,)(x f 个函数叫做原来函数的导函数,)(x f 记作这dx dy x f y ),(,′′或.)(dxx df 注意:(i)(ii)的逼近函数.;)()(00x x x f x f =′=′导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率二、利用定义求导数1. (1));()(x f x x f y −∆+=∆(2);)()(xx f x x f x y ∆−∆+=∆∆(3).lim 0xy y x ∆∆=′→∆按定义求导的基本步骤:求函数的增量求两增量的比值求极限例 1求函数 在 处的导数2x y =1=x ).1(f ′解当x 由1变到x ∆+1时,函数相应的增量为221)1(−∆+=∆x y ,)(22x x ∆+∆=,2x xy ∆+=∆∆所以xy f x ∆∆=′→∆0lim )1(2)2(lim 0=∆+=→∆x x例2求函数)()(为常数C C x f =的导数.解hx f h x f x f h )()(lim )(0−+=′→,0lim 0=−=→hC C h 即.0)(=′C例3设函数,x x f sin )(=求)(sin ′x 及.4)(sin π=′x x 解h x h x x h sin )sin(lim )(sin 0−+=′→22sin )2cos(lim 0h h h x h ⋅+=→,x cos =即.x x cos )(sin =′4)(sin π=′∴x x 4cos π==x x .22=例4解求函数)(为正整数n x y n =的导数.h x h x x n n h n −+=′→)(lim )(0]!2)1([lim 1210−−−→++−+=n n n h h h x n n nx ⋯,1−=n nx 即.1)(−=′n n nx x 更一般地.)()(1R x x ∈=′−µµµµ例如,.x x x 2121)(121==′−111)1()(1−−−−=′=′⎟⎠⎞⎜⎝⎛x x x .21x −=例5解求函数)10()(≠>=a a a x f x ,的导数.h a a a xh n h x −=′+→0lim )(h a a h h x 1lim 0−=→,a a x ln =即,a a a x x ln )(=′.x x e e =′)(三、导数的几何意义oxy)(x f y =αTx M)(,tan )(,))(,()()(0000为倾角即切线的斜率处的在点表示曲线αα=′=′x f x f x M x f y x f 切线方程为法线方程为).)((000x x x f y y −′=−).()(1000x x x f y y −′−=−例6解求等边双曲线x y 1=在点⎟⎠⎞⎜⎝⎛221,处的切线的斜率,并写出在该点处的由导数的几何意义,得切线斜率为21211==′⎟⎠⎞⎜⎝⎛=′=x x x y k .41212−=−==x x 所求切线方程为,⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=−2142x y 即.044=−+y x 法线方程为,⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−21412x y 即.01582=+−y x 切线方程和法线方程.四、可导与连续的关系定理如果函数在点 可导,)(x f 0x 则它在点 处0x 连续.证因为函数在点 可导,)(x f 0x 所以).(lim 00x f xy x ′=∆∆→∆于是0,)(0→+′=∆∆ααx f xy(当 ),0→∆x ,)(0x x x f y ∆+∆′=∆α,0])([lim lim 00=∆+∆′=∆→∆→∆x x x f y x x α证毕.故函数 在点连续.)(x f 0x该定理的逆命题不成立. 即函数在某点连续,注:但在该点不一定可导(参见后面例子).。
高等数学 第2章 第一节 导数的概念
曲线y f ( x)在点x0 , f ( x0 )处的切线方程为：
y f ( x0 ) f '( x0 )( x x0 )
当f ' ( x0 ) 0时，在该点处的法线方 程为：
y
f (x0 )
f
'(
1 x0
)
(
x
x0
)
8
四.可导与连续的关系
f ( x)在x0点可导 f ( x)在x0点连续。 f ( x)在x0点可导 f ( x)在x0点连续。
解 当 x 1 时， 1 n 1 x 3n n 2 , f ( x) lim n 1 x 3n 1, n
当 x 1 时， f ( x) limn 1 x 3n limn 2 1,
n
n
当 x 1 时， x 3 n x 3n n 1 x 3n n 2 x 3n n 2 x 3 ,
ex ex.
12
例5 求函数 y ln x 的导数
解： x (0,)
当x 0时, Ln(1+x)~x
(ln x)' lim ln(x x) ln x
x 0
x
ln(1 lim
x ) x
lim
x x
1
x0
x
x0 x x
即 : 对x 0, (ln x)' 1 x
例6 设 f x x sin x, 求 f 0.
f (x0 x)
y f ( x0 x) f ( x0 );
（2）比值
y f ( x0 x) f ( x0 )
x
x
f (x0)
P0
•
O
x0
•P
P1
•
P2•
第一节 导数的概念及运算、定积分
命题点一 导数的运算(自主练通)
[题组练透]
1．已知 f(x)＝cos 2x＋e2x，则 f′(x)＝
A．－2sin 2x＋2e2x
B．sin 2x＋e2x
C．2sin 2x＋2e2x
D．－sin 2x＋e2x
()
解析：由题意 f′(x)＝－sin 2x·2＋e2x·2＝－2sin 2x＋2e2x，故选 A.
4．∫212－xx＋x2dx＝ A．2ln 2＋12 C．ln 2＋1
B．2ln 2－12 D．ln 2－1
()
解析：∫212－xx＋x2dx＝∫212x－1＋xdx＝2ln x－x＋x22 |21＝2ln 2＋12. 答案：A
5．已知 f(x)＝13－8x＋2x2，f′(x0)＝4，则 x0＝________. 解析：∵f′(x)＝－8＋4x，∴f′(x0)＝－8＋4x0＝4， 解得 x0＝3. 答案：3
第一节 导数的概念及运算、定积分
课标要求 1.理解导数的概念及意义. 2.掌握导数的运算. 3.了解定积分的概念及微积分基本定理的含义.
一、“基础知识”掌握牢
1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
定义
称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率li m Δx→0
Δy＝
li m
Δx→0
Δx
fx0＋Δx－fx0 Δx
函数
f′(x)＝li m
Δx→0
fx＋Δx－fx
Δx
为 f(x)的导函数．
3．基本初等函数的导数公式
基本初等函数
导函数
f(x)＝c(c 为常数)
f′(x)＝ 0
f(x)＝xα(α∈Q *)
f′(x)＝ αxα－1
f(x)＝sin x f(x)＝cos x
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曲线 C : y f (x) 在 M 点处的切线斜率
y y f (x) N
f (x0 )
CM
T
说明: 在经济学中, 边际成本率, o x0 x x
边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数.
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y f (x) f (x0) x x x0
若上述极限不存在 , 就说函数 在点 x0不可导.
xa
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说明：
对一般幂函数 y x ( 为常数)
(x ) x1
（以后将证明）
例如，(
1
x ) (x 2 )
1
x
1 2
2
1 2x
1 x
(x1)
x11
1 x2
(
1
3
) (x 4 )
3
x
7 4
xx
4
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例3. 求函数
的导数.
解:
则
lim f (x h) f (x) lim sin(x h) sin x
h0
h
h0
h
lim 2 cos(x h)
h0
2
lim cos(x h)
h0
2
cos x
即
(sin x) cos x
类似可证得 (cos x) sin x
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例4. 求函数
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例1. 求函数
(C 为常数) 的导数.
解: y lim f (x x) f (x)
x0
x
即
例2. 求函数
解:
lim f (x) f (a) lim xn an
xa x a
xa x a
lim ( xn1 a xn2 a2 xn3 an1)
2(2hh)
原式
1 2
f
(x0 )
1 2
f
(x0 )
f
(x0 )
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曲线的切三线、方导程数. 的几何意义
割线的极限位置——切线位置
曲线
若 若 若 若
y y f (x)
在点
tan f (x0 )
曲线过
的切线斜率为
CM
上升;
o x0
T x
y
曲线过
下降;
切线与 x 轴平行, 称为驻点;
若 lim y , 也称 x0 x
在 的导数为无穷大 .
若函数在开区间 I 内每点都可导, 就称函数在 I 内可导.
此时导数值构成的新函数称为导函数. （简称导数）
记作: y ; f (x) ; dy ; d f (x) .
dx dx
注意:
f (x0)
f (x) xx0
d f (x0 ) dx
第二章
导数思想最早由法国
导数与微分 数学家 Ferma 在研究 极值问题中提出.
微积分学的创始人: 英国数学家 Newton 德国数学家 Leibniz
导数 微分学 微分
描述函数变化快慢 描述函数变化程度
都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数)
第一节
第二章
导数的概念
一、引例 二、导数的定义 三、导数的几何意义 四、函数的可导性与连续性的关系 五、单侧导数
t
s
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2. 曲线的切线斜率
y
曲线
在 M 点处的切线
割线 M N 的极限位置 M T
(当
时)
切线 MT 的斜率
o
y f (x)
N
CM
T
x0 x x
lim tan
割线 M N 的斜率 tan
f (x) f (x0 ) x x0
k lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
在点 的导数. 记作:
y xx0 ;
f (x0 ) ;
dy dx
x
x0
;
d f (x) dx x x0
即
y
x x0
f
(x0 )
lim y x0 x
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运动质点的位置函数 s f (t)
在 t0 时刻的瞬时速度
f (t0 )
o t0
f (t) s t
f (t0 )
证:
f (0 h) f (0) h
h h
1, 1,
lim f (0 h) f (0) 不存在 ,
h0
h
h0 h0
例6. 设
存在, 求极限 lim f (x0 h) f (x0 h).
h0
2h
是否可按下述方法作:
解: 令原式t x0hlim0h,则
f (x0 )
f (x00)hf)(x0f (xh0))
的导数.
解:
lim f (x h) f (x) lim ln(x h) ln x
h0
h
h0
h
lim 1
或
h0 h lim
x1 1
hx
lim 1 h h0 h x
h0
lim
ln e
h0
即 (ln x) 1
x
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例5. 证明函数
在 x = 0 不可导.
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一、 引例
1. 变速直线运动的速度 设描述质点运动位置的函数为
则 到 的平均速度为
v f (t) f (t0 ) t t0
而在 时刻的瞬时速度为
v lim
t t0
f (t) f (t0 ) t t0
自由落体运动
s
1 2
gt
2
f (t0 )
o t0
f (t)
令
1 33
1 x2
1, 3
得
x 1 ,
对应 y
1 ,
则在点(1,1) , (–1,–1) 处与直线
1
平行的切线方程分别为
1 1
即
1
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四、 函数的可导性与连续性的关系
定理1.
证: 设
在点 x 处可导, 即
率 问
电流强度 是电量增量与时间增量之比的极限 题
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二、导数的定义
定义1 . 设函数
在点 的某邻域内有定义 ,
若
lim f (x) f (x0 ) lim y
xx0 x x0
x0 x
y f (x) f (x0) x x x0
存在, 则称函数
在点 处可导, 并称此极限为
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瞬时速度 切线斜率
f (t0 )
o y
t0
f (t)
t
s
y f (x)
N
CM
T
两个问题的共性:
o x0 x x
所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .
类似问题还有:
加速度 是速度增量与时间增量之比的极限 变
角速度 是转角增量与时间增量之比的极限 化
线密度 是质量增量与长度增量之比的极限
(x0 , y0 )
切线与 x 轴垂直 .
o
x0 x
y
曲线在点
处的
切线方程:
o
x0
x
法线方程:
( f (x0 ) 0)
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例7. 问曲线
哪一点有垂直切线 ? 哪一点处
的切线与直线
平行 ? 写出其切线方程.
解:
1
x
2 3
3
y x0 ,
故在原点 (0 , 0) 有垂直切线