最新数学华师版初中九年级下册27.1.2 第2课时 垂径定理

∴ AD= AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.
O
∵ OA2 AD2 OD2
R2=18.52+(R解7.2得3)R2≈27.3（m）. 即主桥拱半径约为27.3m.
练一练
如图a、b,一弓形弦长为4 6 cm，弓形所在的圆的半径 为7cm，则弓形的高为＿2＿cm＿或_1_2_c_m＿.
2
2
根据勾股定理，得 OC2 CF 2 OF 2,
R2 3002 R 902 .
解得R=545.
讲授新课
一 垂径定理
互动探究
做一做： 剪一个圆形纸片，在圆形纸片上任意画一条垂直 于直径CD的弦AB,垂足为P，再将纸片沿着直径CD对着，
比较AP与PB，A⌒C与C⌒B，你能发现什么结论？
·O
AP
B
D
线段: AP=BP
弧: A⌒C=BC⌒, A⌒D=B⌒D
C
理由如下：
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个
C
C
A
D
B
O
O
A DB
图a
图b
方法归纳
涉及垂径定理时辅助线的添加方法
在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到
·O
弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通
过连半径或作弦心距构造直角三角形，利 A C
B
用垂径定理和勾股定理求解.
C
弓形中重要数量关系
ah
弦a，弦心距d，弓形高h，半径r
A
2D
B
rd
之间有以下关系：
d+h=r
r2

d
2
ห้องสมุดไป่ตู้


a 2
2
O
当堂练习
1.已知☉O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm， 则此圆的半径为5cm . 2.☉O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°则弦AC=10 3 cm.
3.（分类讨论题）已知☉O的半径为10cm，弦MN∥EF,且 MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为 14cm或. 2cm
解得 x=5，
AD
B
C
即半径OC的长为5cm.
试一试
你能利用垂径定理解决求赵州桥主桥拱半径的问题吗?
解：如图，用AB表示主桥拱， 设AB所在圆的圆心为O，半径为 R.
经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足
为D，与弧AB交于点C，则D是AB A
的中点，C是弧AB的中点，CD就
是拱高.
C
D
B
∴ AB=37m，CD=7.23m.
的两条弧.
推导格式：
∵ CD是直径，CD⊥AB，
∴ AP=BP,
A⌒C
=B⌒C,
⌒ AD
⌒ =BD.
·O
AP B D
议一议
下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为 什么？
C
A O
A
EB
D
C B
O A
是
不是，因为
没有垂直
O
E
BA
C O
EB D
是
不是，因为CD
没有过圆心
垂径定理的几个基本图形：
即△AOB是等腰三角形.
·O
∵AB⊥CD， ∴AP=BP.
AP B
又∵CP=CP， ∴Rt△APC≌Rt△BPC， ∴AC=BC， C
∴
⌒ AC
⌒ =BC（. 同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧相等）
由此易得 A⌒D =⌒BD.
归纳总结
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对 C
27.2 圆的对称性
2.圆的对称性
第2课时 垂径定理
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.进一步认识圆，了解圆的对称性. 2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一 些简单的计算、证明和作图问题.（重点） 3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）
导入新课
问题引入
问题：你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对 的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求 出赵州桥主桥拱的半径吗？
出反弧例所. 对的弦.
C
特别说明：
A
圆的两条直径是互相平分的.
·O B
D
一二 垂径定理及其推论的计算
典例精析
例1 如图，OE⊥AB于E，若☉O的半径为10cm,OE=6cm,则 AB= 16cm.
解析：连接OA，∵ OE⊥AB，
∴ AE OA2 OE2 102 62 8 cm.
C A
O
O
A
EB A
DB
D
E
B D O
A C
O CB
初中
数学优秀课件
试一试
1.已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦（不是直径），
与CD交于点P，且P是AB的中点.
D
求证：AB⊥CD，
A⌒C
=B⌒C,
⌒ AD
⌒ =BD.
证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB.
·O
即△AOB是等腰三角形.
∵P是AB的中点， 即AP=BP， ∴AB⊥CD.
那么它们所对的弦相等.） ∵OC=OC， ∴△AOC≌△BOC，
AP B C
∴∠AOC=∠BOC， 即OC是∠AOB的角平分线.
∴CD垂直平分AB.
归纳总结
垂径定理的推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于
这条弦,并且平分这条弦所对的两
思考条：弧“不；是平直径分”弧这个的条直件能径去垂掉吗直？平如果分不这能，条请举
A
P C
B
∵ CD是直径，CD⊥AB，
∴
A⌒C
=B⌒C,
⌒ AD
=B⌒D（. 垂径定理）
2.已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦， A⌒C =B⌒C,
求证：CD垂直平分AB.
证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB.
D
即△AOB是等腰三角形.
∵ A⌒C =B⌒C,
·O
∴AC=AB.（在同一个圆中，如果弧相等，
·O
半圆重合，点A与点B重合，AP与BP重合，
AC和BC,⌒AD与B⌒D重⌒合． ⌒
AP
B
D
想一想： 能不能用所学过的知识证明你的结论？
试一试
已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD，垂足
为P.
求证：AP=BP， A⌒C
=B⌒C,
⌒ AD
⌒ =BD.
D
证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB.
4.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O
是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，
垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
C
解:连接OC.
E 设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.
F ● O
OE CD,
D CF 1 CD 1 600 300(m).
∴ AB=2AE=16cm.
AEB O·
例2 如图，☉O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，
求半径OC的长.
解：连接OA，∵ CE⊥AB于D，
E
∴ AD 1 AB 1 8 4 (cm)
22
设OC=xcm，则OD=x-2,根据勾股定
·O
理，得
x2=42+(x-2)2，