定轴转动刚体的动能计算
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1 2 2 2 ΣEk = Ekx + Eky + Ekz + M v轴x + v轴y + v轴z . 2 其中 Ekx + Eky + Ekz 包含刚体质心系中刚体的动能，这里 不再推了。
(
)
在教材例6.4中我们知半径r、自 转角速度ω、平动速度v<< ω 、滑动 摩擦系数µ、对地面压力N的圆盘受阻 力
Ｐ
2 v
m小盘 2 2 1 2 µN • • s ≤ ω r1 ω r1 2 v
Ｃ Ｏ
Ｃ’
Ｑ
ω
时，即 了能量的。
m 小盘 ω 3 r13 s≤ 4v µ N
时整体来讲是节省
r1为小盘半径。
m小盘ω r s≤ 4vµN
m小盘：2kg ω：8̟(4Hz) r：0.3m µ：0.3
3 3 1
Ｐ
2
v
在实际生活中，各项数值如下：
v f= µN. ωr
2
Ｃ Ｏ Ｃ’
v
ω
摩擦力集中在上半个月牙形内。
由于滑动摩擦力µN与接触面积无 2v 关，若切去盘中心O半径为 r − ω 的小圆盘，如图易知摩擦力增加
2v 2 ∆f = µN. ωr1
Ｐ
2
v
Ｃ Ｏ Ｃ’
Ｑ
ω
其中Δf是区域P、Q的摩擦力， P、Q的圆心分别是C和C’。
在吸尘器模型中，设吸尘器使用距离 为s，采用开孔的底盘，增加了摩擦力， 却减少了驱动底盘转动的能量。当
下面是一些分析： 1．这个动能是刚体在视轴为静止的 参考系下“所有”的动能。若转轴亦运动， 求刚体的总动能只需再加上刚体关于轴速 度的动能，即
1 2 Ek = E定轴 + M刚体 • v 轴 . 2
2．由 dE k =
的，定轴转动的刚体的转动惯量也是线性 的。 3．若刚体在轴A的转动惯量IA已知， 由分析2及平行轴定理，将轴移到B点时刚 体的动能为
若圆盘剖面如图，质量向轴集中，则使其转速达 到ω所需的能量就较少。将这种情况应用于吸尘器， 平动摩擦阻力f仍不变。故将底盘质量向轴集中也能节 省动能。 另外，我们可见，调整绕轴线转 动圆盘的质量分布，可以影响能量与 转速的对应关系。将动能（可由电能 转轴 转化而来，而电能容易控制）作输入， 转速作输出，同时对转子的质量分布加以调整；或者 反过来，以转速作输入，能量作输出；这种方法应是 有广阔的应用前景。
2π
成立。
半径为R的圆盘绕轴线转动：
1 πR 4 2 I = mR = . 2 2 2π R 4 2 πR ω 1 1 2 2 Ek = ∫ ∫ •rdRdθ • (ωr ) = = Iω . 2 2 2 0 0
成立。
长为l的直细棒绕中垂线转动：
1 1 3 2 I = ml = l . 12 12 1 1 3 2 1 2 2 Ek = ∫ • dl • (ωl ) = l ω = Iω . 24 2 l2
EkB 1 2 2 = EkA + MrAB ω (rAB是AB距离). 2
1 I ω 2 可知，既然能量是线性 2
4．由分析2及正交轴定理可求出刚体 作定点转动的动能公式：
EkO 1 = Ekx + Eky + Ekz = I xω x2 + I yω y2 + I zω z2 . 2
(
)
5．由分析1～4可得刚体作任意运动 的一般的动能公式：
3
当转动周期、密度相同时，若 R = 2r ，则I１＝I２，E１＝E２．亦即，半径ｒ的圆环与 半径Ｒ的圆柱如此旋转时有相同动能，但
m2 = r >> 1. m1
3 4
可见角速度一定时，欲使较小质量刚体获 得较多转动动能，须使其质量远离转轴；反之， 使刚体得到较少能量就达到某转速，质量需向 轴集中。
r1：0.25m v：0.2m/s
Ｃ Ｏ
Ｃ’
Ｑ
ω
N：5kg＊g＝50N．
解得：s最大值是41.28m．这样的距离不用说 是家用吸尘器，除草都行了。因此，吸尘器底部 做成圆环更节能。
由本文前面特殊情况刚体动能公式，半径 为r，环壁厚为1(r＜＜1)的圆环与半径为R的圆 柱绕轴线转动的情况如下：
1 2 圆环：I 1 = 2πr .E1 = Iω .m1 = 2πr × 1. 2 πR 4 1 圆柱(盘)：I 2 = .E 2 = Iω 2 .m 2 = πR 2 . 2 2
− 2 l 2
成立。
不规则的物体绕任意定轴转动：
dI = dmd ρ 2 . 1 2 dE k = dm • v dm， v dm = ω d ρ . 2 1 2 ⇒ dE k = ω • dmd ρ 2 . 2 即 1 dE k = dI • ω 2 . 2
成立。
这便证明了刚体定轴转动的动能 公式。
定轴转动刚体的动能计算及一些 简单应用®
二零零四级理学院二班 孙阳 PB04203034
本幻灯片参考材料：
《力学》，杨维纮，中国科学技术大学０４ ０４级理 ０４ 学院教材。 其他便没有了。限于客观原因，作者并没有准备 充分资源。日后若条件允许，也许能做出更有价 值的成果。 版权所有，商用付酬。
本文拟得出定轴转动下刚体 的动能表达式，并讨论教材例6.4 中电熨斗模型的改良及其他一些 简单应用。
我们已知，定轴转动刚体的转动惯量I、角 速度ω分别与直线运动中刚体的质量M、速度v 对应，但教材上并未给出计算刚体旋转动能的 公式。我们猜想刚体的动能是否为
1 2 E k = Iω 2 下面来证明此公式：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
设所有刚体均匀，密度为1，则质量和体积 在数值上相等。 考虑半径为Ｒ的圆环绕轴线转动：
I = mR 2 = 2πR 3 . 1 1 2 3 2 2 E k = ∫ •Rd θ • (Rω ) = πR ω = Iω . 2 2 0
(
)
在教材例6.4中我们知半径r、自 转角速度ω、平动速度v<< ω 、滑动 摩擦系数µ、对地面压力N的圆盘受阻 力
Ｐ
2 v
m小盘 2 2 1 2 µN • • s ≤ ω r1 ω r1 2 v
Ｃ Ｏ
Ｃ’
Ｑ
ω
时，即 了能量的。
m 小盘 ω 3 r13 s≤ 4v µ N
时整体来讲是节省
r1为小盘半径。
m小盘ω r s≤ 4vµN
m小盘：2kg ω：8̟(4Hz) r：0.3m µ：0.3
3 3 1
Ｐ
2
v
在实际生活中，各项数值如下：
v f= µN. ωr
2
Ｃ Ｏ Ｃ’
v
ω
摩擦力集中在上半个月牙形内。
由于滑动摩擦力µN与接触面积无 2v 关，若切去盘中心O半径为 r − ω 的小圆盘，如图易知摩擦力增加
2v 2 ∆f = µN. ωr1
Ｐ
2
v
Ｃ Ｏ Ｃ’
Ｑ
ω
其中Δf是区域P、Q的摩擦力， P、Q的圆心分别是C和C’。
在吸尘器模型中，设吸尘器使用距离 为s，采用开孔的底盘，增加了摩擦力， 却减少了驱动底盘转动的能量。当
下面是一些分析： 1．这个动能是刚体在视轴为静止的 参考系下“所有”的动能。若转轴亦运动， 求刚体的总动能只需再加上刚体关于轴速 度的动能，即
1 2 Ek = E定轴 + M刚体 • v 轴 . 2
2．由 dE k =
的，定轴转动的刚体的转动惯量也是线性 的。 3．若刚体在轴A的转动惯量IA已知， 由分析2及平行轴定理，将轴移到B点时刚 体的动能为
若圆盘剖面如图，质量向轴集中，则使其转速达 到ω所需的能量就较少。将这种情况应用于吸尘器， 平动摩擦阻力f仍不变。故将底盘质量向轴集中也能节 省动能。 另外，我们可见，调整绕轴线转 动圆盘的质量分布，可以影响能量与 转速的对应关系。将动能（可由电能 转轴 转化而来，而电能容易控制）作输入， 转速作输出，同时对转子的质量分布加以调整；或者 反过来，以转速作输入，能量作输出；这种方法应是 有广阔的应用前景。
2π
成立。
半径为R的圆盘绕轴线转动：
1 πR 4 2 I = mR = . 2 2 2π R 4 2 πR ω 1 1 2 2 Ek = ∫ ∫ •rdRdθ • (ωr ) = = Iω . 2 2 2 0 0
成立。
长为l的直细棒绕中垂线转动：
1 1 3 2 I = ml = l . 12 12 1 1 3 2 1 2 2 Ek = ∫ • dl • (ωl ) = l ω = Iω . 24 2 l2
EkB 1 2 2 = EkA + MrAB ω (rAB是AB距离). 2
1 I ω 2 可知，既然能量是线性 2
4．由分析2及正交轴定理可求出刚体 作定点转动的动能公式：
EkO 1 = Ekx + Eky + Ekz = I xω x2 + I yω y2 + I zω z2 . 2
(
)
5．由分析1～4可得刚体作任意运动 的一般的动能公式：
3
当转动周期、密度相同时，若 R = 2r ，则I１＝I２，E１＝E２．亦即，半径ｒ的圆环与 半径Ｒ的圆柱如此旋转时有相同动能，但
m2 = r >> 1. m1
3 4
可见角速度一定时，欲使较小质量刚体获 得较多转动动能，须使其质量远离转轴；反之， 使刚体得到较少能量就达到某转速，质量需向 轴集中。
r1：0.25m v：0.2m/s
Ｃ Ｏ
Ｃ’
Ｑ
ω
N：5kg＊g＝50N．
解得：s最大值是41.28m．这样的距离不用说 是家用吸尘器，除草都行了。因此，吸尘器底部 做成圆环更节能。
由本文前面特殊情况刚体动能公式，半径 为r，环壁厚为1(r＜＜1)的圆环与半径为R的圆 柱绕轴线转动的情况如下：
1 2 圆环：I 1 = 2πr .E1 = Iω .m1 = 2πr × 1. 2 πR 4 1 圆柱(盘)：I 2 = .E 2 = Iω 2 .m 2 = πR 2 . 2 2
− 2 l 2
成立。
不规则的物体绕任意定轴转动：
dI = dmd ρ 2 . 1 2 dE k = dm • v dm， v dm = ω d ρ . 2 1 2 ⇒ dE k = ω • dmd ρ 2 . 2 即 1 dE k = dI • ω 2 . 2
成立。
这便证明了刚体定轴转动的动能 公式。
定轴转动刚体的动能计算及一些 简单应用®
二零零四级理学院二班 孙阳 PB04203034
本幻灯片参考材料：
《力学》，杨维纮，中国科学技术大学０４ ０４级理 ０４ 学院教材。 其他便没有了。限于客观原因，作者并没有准备 充分资源。日后若条件允许，也许能做出更有价 值的成果。 版权所有，商用付酬。
本文拟得出定轴转动下刚体 的动能表达式，并讨论教材例6.4 中电熨斗模型的改良及其他一些 简单应用。
我们已知，定轴转动刚体的转动惯量I、角 速度ω分别与直线运动中刚体的质量M、速度v 对应，但教材上并未给出计算刚体旋转动能的 公式。我们猜想刚体的动能是否为
1 2 E k = Iω 2 下面来证明此公式：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
设所有刚体均匀，密度为1，则质量和体积 在数值上相等。 考虑半径为Ｒ的圆环绕轴线转动：
I = mR 2 = 2πR 3 . 1 1 2 3 2 2 E k = ∫ •Rd θ • (Rω ) = πR ω = Iω . 2 2 0