定轴转动刚体的动能计算
力矩的功刚体动能定理
3.一根长l质量为m 的匀质细杆，其一端固定在光滑的 水平轴O，可以在竖直平面内转动。最初杆静止在水 平位置。求:杆由初始位置下摆 时的角速度?
θβ
解: 方法一用转动定律求解(略)
方法二用转动动能定理求解
杆处在β时,力矩 M mg l cos
杆转过d时, dA Md mg l cosd
2
2
A EK
k = 2.74×10-4 N·m·rad-2·s2. 求（2）吊扇由静止匀加
速的达到第二档转速经历的时间为 5s . 在此时间内阻力
矩做了多少功 ?
解: 吊扇由静止作匀角加速度运动
2
t5
t
阻力矩做功 W Mf 2d k3dt
W t k 3t3dt 1 k 3t 4
0
4
在 t ＝ 5s 时间内 W 84.8 J
EkA EpA EkB EpB
EkA EpA EkB EpB
o
m, l A
EkA EPA 0
m
EkB
1 2
J 2
J J1 J2
J 1 ml2 ml2 4 ml2
mg
B
mg
3
3
EpB
(mg
l 2
sin
mgl sin )
3 mgl sin
2
0 3 ml22 3 mgl sin 3 ( g sin )1 2
合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚 体转动动能的增量。
与质点运动类似，若刚体转动过程中，只有 保守力做功，同样刚体的机械能守恒。
3. 刚体的重力势能
y
N
N
mi yi
E p
mi gyi
i 1
Mg
i 1
刚体绕定轴转动的动能定理
刚体绕定轴转动的动能定理1. 引言刚体是指其内部各点之间的相对位置关系在运动过程中不会发生改变的物体。
刚体绕定轴转动是指刚体在固定轴线上做圆周运动的情况。
动能定理是物理学中的一条重要定理，描述了物体运动过程中动能的变化与外力做功之间的关系。
本文将对刚体绕定轴转动的动能定理进行全面详细、完整且深入的阐述。
2. 刚体绕定轴转动在刚体绕定轴转动的情况下，我们需要考虑刚体的转动惯量和角速度等因素。
转动惯量是描述刚体对转动运动抵抗程度的物理量，通常用符号I表示。
角速度是描述刚体旋转快慢程度的物理量，通常用符号ω表示。
根据牛顿第二定律和角动量守恒定律，我们可以得到刚体绕定轴转动时的基本方程：τ=Iα其中，τ表示作用于刚体上产生转矩（力矩）大小，α表示角加速度。
刚体绕定轴转动的运动规律与作用在刚体上的转矩和转动惯量有关。
3. 动能定理的推导根据刚体绕定轴转动的基本方程，我们可以推导出刚体绕定轴转动的动能定理。
我们来考虑刚体上某一质点的动能T。
由于刚体上各质点都在绕着同一个轴旋转，因此它们具有相同的角速度ω。
设某一质点到轴心的距离为r，则该质点具有的线速度v为v=rω。
该质点的动能T′可以表示为：T′=12mv2=12m(rω)2=12mr2ω2其中，m表示质点的质量。
由于刚体是由众多质点组成的，因此整个刚体的动能T 可以表示为所有质点动能之和：T=∑Tni=1′i其中，n表示刚体上质点的总数。
根据牛顿第二定律和角动量守恒定律，我们知道刚体绕定轴转动时转动惯量I和角加速度α之间存在关系τ=Iα。
将该关系代入动能的表达式中，得到：T=12Iω2其中，ω表示整个刚体的角速度。
刚体绕定轴转动的动能可以表示为12Iω2。
这就是刚体绕定轴转动的动能定理。
4. 动能定理的物理意义刚体绕定轴转动的动能定理描述了刚体在转动过程中动能的变化与外力做功之间的关系。
根据动能定理，我们可以得出以下物理结论：1.外力对刚体做功会改变刚体的动能。
3.3刚体定轴转动中的功与能
解：以 ω 和 ω 分别表示冲孔前后的飞轮的角速度
1 2
ω = (1 − 0 .2 )ω = 0.8ω
2 1
2
2
2πn ω = = 8πrad ⋅ s 60
1 1
−1
1
1 1 1 由转动动能定理 A = Jω − Jω = Jω (0 .8 − 1) 2 2 2 1 又 J = mr A = −5 .45 × 10 J 2
课后习题 3-8
θ1
θ2
二、刚体的转动动能和重力势能
1.绕定轴转动刚体的动能 绕定轴转动刚体的动能 绕定轴转动刚体的
∆ ,∆ ,⋅⋅⋅,∆ ,⋅⋅⋅,∆ m m m m r r r r r, r ,⋅⋅⋅, r ⋅⋅⋅, r r r r r v ,v ,⋅⋅⋅,v ,⋅⋅⋅,v
1 2 i
1 2 i, N
N
Q = rω v 1 E= ∆ v m 2
2 2 2
1 1
2
3
质量M的圆盘滑轮可绕通过盘心的水平轴转 例3-7半径R质量 的圆盘滑轮可绕通过盘心的水平轴转 半径 质量 滑轮上绕有轻绳，绳的一端悬挂质量为m的物体 的物体。 动，滑轮上绕有轻绳，绳的一端悬挂质量为 的物体。 当物体从静止下降距离h时 物体速度是多少？ 当物体从静止下降距离 时，物体速度是多少？ 以滑轮、 解：以滑轮、物体和地球组成系统为研究对 由于只有保守力做功，故机械能守恒。 象。由于只有保守力做功，故机械能守恒。 设终态时重力势能为零 初态：动能为零，重力势能为mgh 初态：动能为零，重力势能为 末态： 末态：动能包括滑轮转动动能和物体平动动能 由机械能守恒
i i
i i i
2
1
2
i
N
定轴转动动能定理
只有保守力做功时，含刚体的物体机械能守恒。
例 一质量为m ，长为 l 的均质细杆，转轴在O点， 距A端 l/3 。今使棒从静止开始由水平位置绕O点转 动，求：垂直位置时的角速度。
解：设水平位置为重力势能零点
初末机械能相同：
A
C
B
0 0 1 I2 1 mgl
O
2
6
1 1 ml22 1 mgl
29
6
返回 退出
作业：2.16、2.19、2.20
返回 退出
O
(1)水平位置
方向：
返回 退出
(2)解1：转动定律
A
C
B
O
返回 退出
(2)解2：转动动能定理
A
C
B
O
返回 退出
三、定轴转动刚体的机械能守恒
1、刚体的重力势能
以地面为势能零点，刚体和
z
地球系统的重力势能：
i O
刚体的重力势能： 与质量集中于质心处的质点重力势能相同
2、定轴转动刚体的机械能守恒
dt
二、定轴转动的动能定理
刚体定轴转动的动能定理：总外力矩对刚体所做的功 等于刚体转动动能的增量。
讨论
子细 弹绳 击质 入量 沙不 袋计
o
v
角动量相对于转轴
以子弹和沙袋为系统 动量守恒； 角动量守恒； 机械能不守恒 .
子o
弹 击 入 杆
v
角动量相对于转轴
以子弹和杆为系统 动量不守恒； 角动量守恒； 机械能不守恒．
角动量相对于转轴
o'
圆 锥 摆
T
m oR
p v
圆锥摆系统 动量不守恒； 角动量守恒； 机械能守恒．
刚体的定轴转动定律
刚体的定轴转动定律一、前言刚体的定轴转动定律是物理学中的重要概念之一，它描述了刚体在绕固定轴进行运动时的物理规律。
本文将从定义、公式、特点和应用四个方面来全面介绍刚体的定轴转动定律。
二、定义刚体的定轴转动指的是一个刚体在绕一个固定轴进行旋转运动时，其各个部分都沿着圆周运动，且旋转轴不发生移动。
而刚体的定轴转动定律则是描述这种运动状态下物理量之间关系的规律。
三、公式1. 角加速度公式角加速度指的是角速度随时间变化率，通常用符号α表示。
根据牛顿第二定律和角动量守恒原理，可以得到以下公式：Iα = τ其中，I表示刚体绕固定轴旋转时所具有的惯性矩，τ表示作用在刚体上的扭矩。
2. 角位移公式角位移指的是一个物体在绕某一点旋转时所经过的角度变化量，通常用θ表示。
根据定义可以得到以下公式：θ = s / r其中，s表示弧长，r表示绕定轴旋转的半径。
3. 角速度公式角速度指的是一个物体在绕某一点旋转时所具有的单位时间内经过的角度变化量，通常用符号ω表示。
根据定义可以得到以下公式：ω = Δθ / Δt其中，Δθ表示角位移变化量，Δt表示时间变化量。
4. 动能公式刚体绕定轴旋转时所具有的动能可以通过以下公式计算：E = 1/2 Iω²其中，I表示刚体绕固定轴旋转时所具有的惯性矩，ω表示角速度。
四、特点1. 惯性矩与扭矩之间存在直接关系。
根据牛顿第二定律和角动量守恒原理可以得到Iα = τ这一公式，表明惯性矩与扭矩之间存在直接关系。
当扭矩增大时，刚体的角加速度也会增大；当惯性矩增大时，则需要更大的扭矩来产生相同大小的角加速度。
2. 角加速度与扭矩之间存在反比关系。
根据Iα = τ这一公式可以看出，当惯性矩不变时，角加速度与扭矩之间存在反比关系。
也就是说，当扭矩增大时，角加速度会减小；当扭矩减小时，角加速度会增大。
3. 角速度与角位移之间存在直接关系。
根据定义可以得到ω = Δθ / Δt这一公式，表明角速度与角位移之间存在直接关系。
刚体定轴转动动能定理公式
刚体定轴转动动能定理公式刚体定轴转动动能定理是描述刚体绕某一固定轴转动时动能变化的物理定理。
在物理学中，刚体定轴转动动能定理是非常重要的定理之一，它能够帮助我们更好地理解物体在转动时的能量变化规律。
我们需要了解一下刚体的概念。
刚体是指在运动或者受力作用下不会发生形变的物体，也就是说，在运动或者受力作用下，刚体的形状和大小都不会发生任何改变。
我们可以将刚体分为两种类型，一种是平面刚体，另一种是空间刚体。
平面刚体指的是只有面积，没有厚度的物体，空间刚体指的是有一定大小和形状的物体。
接下来，我们来了解一下刚体定轴转动动能定理。
刚体定轴转动动能定理的表达式是：E = 1/2 * I * ω²，其中E表示刚体定轴转动的动能，I表示刚体对于轴的转动惯量，ω表示刚体绕轴的角速度。
从这个公式中，我们可以看出，刚体定轴转动动能与刚体的转动惯量和角速度的平方成正比。
那么，什么是转动惯量呢？转动惯量是描述物体转动惯性的物理量，它表示物体绕着某一轴旋转时所具有的旋转惯性。
不同形状的刚体，其转动惯量也是不同的。
例如，对于一个质量均匀分布的球体，其转动惯量为2/5 * m * r²，其中m表示球体的质量，r表示球体的半径。
刚体定轴转动动能定理的应用非常广泛。
例如，在机械制造和工程设计中，我们可以通过刚体定轴转动动能定理来计算物体旋转时所需要的能量和功率。
同时，在运动学和动力学研究中，刚体定轴转动动能定理也是非常重要的工具。
刚体定轴转动动能定理是描述刚体绕某一固定轴转动时动能变化的重要定理。
通过刚体定轴转动动能定理，我们可以更好地理解物体在转动时的能量变化规律，这对于物理学的研究和应用都具有非常重要的意义。
刚体的能量定轴转动的动能定理
三、转动动能
刚体绕定轴以角速度旋转 刚体的动能应为各质元动能之 和为此将刚体分割成很多很小的
r i vi mi
M
质元 m1, m2 mi mn
r 任取一质元 mi 距转轴 i ，则该质元动能：
mivi2 / 2 mi (ri)2 / 2 miri22 / 2
故刚体的转动动能：
n
Ek Ek
在一微小过程中 力矩作的功
dA Md (1)
在一微小过程中
XX 力1矩O1作的2功2 M M
dA Md (1)
在考虑一个有限过程，设
在力矩作用下，刚体的角
位置由 功
1
2
则力矩的
A dA 2 Md (2) 1
力矩的功反映力矩对空间的积累作用，力矩越 大，在空间转过的角度越大，作的功就越大。 这种力矩对空间的积累作用的规律是什么呢？
/2 mg L cosd
0
2
mgL / 2
N
YZ
XO
r
mg
依动能定理
A力矩
1 2
J2
1 2
J02
A力矩
mg
L 2
mg
L 2
1 2
J
2
0
mgL J
mgL 1 mL2
3g L
3
XX
1
1 O
2
2
2 1
Md
1 2
J
2 2
1 2
J12
M
M
例）设一细杆的质量为m，长为L，一端支以
枢轴而能自由旋转，设此杆自水平静止释放。
求： 当杆过铅直位置时的角速度：
N
YZ
XO
r
mg
定轴转动的动能定理
例题2 一根质量为m、长为 l 的均匀细棒OA （如图），可绕通过其一
端的光滑轴O在竖直平面内转动，今使棒从水平位置开始自由下摆，求细棒
摆到竖直位置时其中点C和端点A的速度。
C
解 先对细棒OA 所受的力作一分析；重力G O
作用在棒的中心点C，方向竖直下；轴和棒之间没
A
有摩擦力，轴对棒作用的支承力 N 垂直于棒和 轴
的接触 面且通过O点，在棒的下摆过程中，此力
的方向和大小是随时改变的。
A
在棒的下摆过程中，对转轴O而言，支撑力N通
G
过O点，所以支撑力N的力矩等于零，重力G的力矩则
是变力矩，大小等于mg(l /2) cos ，棒转过一极小的角位移d 时，重力
矩所作的元功是
dW mg l cosd
2
在使棒从水平位置下摆到竖直位置过程中，重力矩所作的功是
度ω0=0,转动动能为0，重力势能为 mg（2l 选下摆到竖直位置hc=0），下摆到竖
直位置时角速度ω=ω,转动动能为
1 2
J重2 力势能为0。
mg l 1 J 2
22
由此得
3g l
mgl
J
所以细棒在竖直位置时，端点A和中心点C的速度分别为
vA l 3gl
vC
l
2
1 2
3gl
J2
2
1 2
J12
刚体定轴转动的动能定理：总外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能
的增量。
注：
1. 刚体的转动动能
刚体的转动动能应该是组成刚体的各个质点的动能之和。
设刚体中第i个质点的质量为 mi ，速度为 vi
刚体做定轴转动时，各质点的角速度相同。
,则该质点的动能为
刚体的能量,定轴转动的动能定理
yi
MgyC
M
g
mi
三、转动动能
刚体绕定轴以角速度旋转 刚体的动能应为各质元动能之 和为此将刚体分割成很多很小的 质元 m , m m m
1 2 i
2 i i 2
ri M
vi m
i
1 2 2 2 E mi ri J /2 k E k i 1 2 n 1 2 2 1 Ek lim mi ri ( r 2 dm) 2 m 0 2 2 mghC mvC J 2 2
四、力矩的功、定轴转动的动能定理 设有一外力 F 作用在 + d ds 刚体上，绕 O轴作定轴 转动（ F 在垂直于轴 O 的平面内）。 M M 在时间 内刚体角位移为 dt d 力 F 作的功：
F
r
ds rd dA F ds F sin rd Md
故刚体的转动动能：
n
i
m v / 2 mi (ri ) / 2 mi ri / 2
2 2
任取一质元 mi 距转轴 ri ，则该质元动能：
n
对既有平动又有转动的刚体的动能、机械能又 如何呢？
势能零点
1 2 2 Ek 1 mvC J m、J C 2 2 C vC
其平动动能应为各质元动能和。
二、刚体的重力势能 任取一质元其势能为 m gy i i (以O为参考点）
Y
M
vC
C mi
E p mi gyi
m y M
i
i
yC
结论：刚体的重力势能决定于刚体质心距势能 X 零点的高度，与刚体的方位无关。即计算刚体 O 的重力势能只要把刚体的质量全部集中于质心 处，当一个质点处理即可（无论平动或转动）
08 刚体定轴转动的动能定理和转动定律
3-1 刚体定轴转动的动能定理和转动定律
n
定义转动惯量 J miri2 i1
对质量连续分布的刚体，任取质量元dm，其到轴的距离为 r，则转动惯量
J r2dm 单位：kg ·m2（千克·米2）
dm：质量元
dmdl ：线密度 dmdS ：面密度
dmdV ：体密度
3-1 刚体定轴转动的动能定理和转动定律
刚体定轴转动的动能定理
W12M d1 2J2 21 2J12
合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能 的增量.
注意
1. 如果刚体在运动过程中还有势能的变化，可用质点组的功能
原理和机械能转换与守恒定律讨论. 总之，刚体作为特殊的质
点组，它服从质点组的功能转换关系.
2. 刚体的定轴转动的动能应用 Ek
m1(2m2
1 2
m)g
m1
m2
1 2
m
,
FT 2
m2
(2m1
1 2
m)
g
m1
m2
1 2
m
决定刚体转动惯量的因素 ⑴与刚体的密度有关（即与m有关）； ⑵与刚体的几何形状有关（即与m的分布有关）； ⑶与刚体的转轴位置有关。
3-1 刚体定轴转动的动能定理和转动定律
求质量为m、长为l的均匀细长棒，对通过棒中心和过端点 并与棒垂直的两轴的转动惯量.
O
Or
l 2 O´ dr l 2
O´ dr l
M
1.力矩
动 点平P面刚, 且的体在交绕转点O动z，轴平力旋面F 转内作,,用Or 为在轴刚为与体由上转点
O 到力的作用点 P 的位矢.
O
M zr*
dP
F
F对转轴z的力矩 M Fsrin Fd
5.3 绕定轴转动刚体的动能 动能定理
第5章 刚体力学基础 动量矩
5.3 绕定轴转动刚体的动能 动能定理
一、 定轴转动刚体的动能
N T R
M
m
mg
Mg
（a）
T （b）
18
大学物理 第三次修订本
第5章 刚体力学基础 动量矩
物体下降距离s时，物体的速度为
v R
对两者分别应用动能定理，有
1 2 J 0 AT 2
1 2 mv 0 mgs AT 2
2 mgs 联立求 ，得 R 2m M d 2mg dt R(2m M )
大学物理 第三次修订本
1
第5章 刚体力学基础 动量矩
刚体的总动能
1 2 2 E Ek Δmk rk 2 1 2 Δmk rk 2 2
1 2 J 2
绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转 动惯量与其角速度平方乘积的一半。
大学物理 第三次修订本
2
第5章 刚体力学基础 动量矩
C
mi
质心的势能
m 定轴转动刚体的机械能
m h mgh mg
hc
hi
Ep 0
c
1 2 E J mghc 2 对于包括刚体的系统，功能原理和机械 能守恒定律仍成立。
大学物理 第三次修订本
8
第5章 刚体力学基础 动量矩
例1 长为 l ,质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平面内转动, 初始时它在水平位置。 求 它由此下摆 角时的 。 O 1 解 M mglcos 2 由动能定理
刚体动能定理
§３ — ３ 力矩作功 刚体绕定轴转动的动能定理 一、力矩作功 1. 刚体中的内力不作功
W =0 内
因为刚体中各质元间无相对位移。 因为刚体中各质元间无相对位移。
r r dW = F ⋅ dr = F cos(90 −α)dS
人和杆：J = Jm+ JM， ω = 2.3 人和杆：
(1− cosθ )
人： J = JM
ω′ = 4.85 (1− cosθ )
∴ω′ ≈ 2ω
∆t ≈ 2∆t′
P17习题集： （一）5，7； （二）4，6
W =∫
ω2 ω1
1 1 2 2 Jωdω = Jω2 − Jω1 2 2
定理：刚体绕定轴转动时， 定理：刚体绕定轴转动时，合外力矩对刚体所 作的功，等于刚体转动动能的增量。 作的功，等于刚体转动动能的增量。
三、重力势能 取Z=0处 Ep=0 处
z
y
∆ i
Ep = ∑Epi = ∑ ∆mi gzi） （ = ∑ ∆mi zi） = mzC g （ g
0
2.力矩作功 力矩作功
α
dθ θ F ds
P
r θ
= Fsin αdS = Fsin αrdθ = Mdθ
∴W = ∫ dW ∫ Mdθ
θ0 θ
3. 功率
dW dθ N= =M = Mω dt dt
ω
二、刚体的转动动能 1.定义：刚体绕定轴转动时， 定义：刚体绕定轴转动时， 定义 构成刚体的所有质 元的动 能之和。 能之和。
vi
∆ mi
1 1 2 2 2 Eki = ∆mivi = ∆mi ri ω 2 2
3-3刚体转动的动能定理
T2
( m1
1 2
M )m 2 g
1 2
m1 m 2
M
以上两种方法，都是求解这类问题的基本方法, 都 应该理解和掌握。
例4：一个转动惯量为2.5 kgm2 、直径为60cm 的飞轮，正以130 rads1 的角速度旋转。现用闸瓦 将其制动, 如果闸瓦对飞轮的正压力为 500 N,闸瓦 与飞轮之间的摩擦系数为0.50。求：
设刚体有n个质点组成，其中第i个质点的质 量 为 mi ，它到转轴的距离为 ri，速度大小为vi ，则该质 1 1 E m vБайду номын сангаас，因 vi ri w ,所以 E m r w 。因 点的动能 2 2 此，整个刚体的动能为
2 ki i i
2
2
ki
i i
1 1 n 2 2 Ek mi vi mi ri w2 2 i 1 i 1 2
m2
m1
解：物体m1、m2和滑轮的受力情况如图所示。 列方程
T1 =m1 a
（ 1）
FN
m2 g T2 = m2 a （2）
对于滑轮
T1 T1 T2 T2
α
1 2 T2 r T1r I M r 2
辅助方程
（ 3）
m1 g
a
（ 4）
m2 g
r = a
n
式中 i 1 是刚体的转动惯量I，所以绕定轴转 动的动能可以写为
mi vi
n
2
1 2 E k Iw 2
三、定轴转动的动能定理
设刚体在 合 外力矩M的作用下,绕定轴转过角位 移 d ,合外力矩对刚体作的元功为
dA Md
刚体的能量定轴转动的动能定理
/2 mg L cosd
0
2
mgL / 2
N
YZ
XO
r
mg
依动能定理
A力矩
1 2
J2
1 2
J02
A力矩
mg
L 2
mg
L 2
1 2
J
2
0
mgL J
mgL
1 mL2
3g L
3
三、转动动能
刚体绕定轴以角速度旋转 刚体的动能应为各质元动能之 和为此将刚体分割成很多很小的
r i vi mi
M
质元 m1, m2 mi mn
r 任取一质元 mi 距转轴 i ，则该质元动能：
mivi2 / 2 mi (ri)2 / 2 miri22 / 2
故刚体的转动动能：
n
Ek Ek
力 F 作的功：
ds rd
dA F ds F sin rd Md
在一微小过程中 力矩作的功
dA Md (1)
在一微小过程中
XX 力1矩O1作的2功2 M M
dA Md (1)
在考虑一个有限过程，设
在力矩作用下，刚体的角
位置由 功
1
2
则力矩的
A dA 2 Md (2) 1
力矩的功反映力矩对空间的积累作用，力矩越 大，在空间转过的角度越大，作的功就越大。 这种力矩对空间的积累作用的规律是什么呢？
XX
1
1 O
2
2
2 1
Md
1 2
J
2 2
1 2
J12
M
M
例）设一细杆的质量为m，长为L，一端支以
枢轴而能自由旋转，设此杆自水平静止释放。
刚体定轴转动的动能定理
dm 积分遍及刚体体积V，
分几种情况：
dV , ( x, y, z )
1、刚体具有对称中心，对称中心就是质心；
2、若刚体无对称中心，但可以划分为几部分，而每一部 分都有对称中心，各部分的中心就是各部分的质心，这些质心 形成为分立的质点组，则刚体的质心就归结为这一质点组的质 心； 3、前二个条件都不具备，这时就必须求积分，计算刚体 的质心。
dri j r j ri rij (为什么?) dt dt r r ij j 2 2 d r j d ri i 2 2 即 v j v i , a j ai O ri dt dt
dr j
由于 i ，j 是任意两个质元，所以刚体上所有质元均有相同的速 度和加速度，各质元的运动轨迹的形状也相同。这里很自然想 到一个代表性的质元——质心。
二、刚体的转动
如果刚体上各质元都绕同一直线作圆周运动就称为刚体转 动，这条直线称为转轴，转轴固定于参考系的情况称为定轴转 动。例如机器上齿轮的运动，门窗等都是定轴转动。若转轴上 有一点静止于参考系，而转轴的方向在变动，这种转动称为定 点转动。例如玩具陀螺的转动就属于定点转动。
分析表明：刚体的任何复杂运动总可以分解为平动和转动（定 轴转动或定点转动）的叠加，例如车轮的滚动、螺帽的运动。 研究刚体绕定轴转动时，通常取任一垂直于定轴的平面作 为转动平面，如图所示，通过分析，转动平面内各个质点的运 动情况搞清楚了，整个刚体的运动情况就知道了。取任一质点 P，P在这一转动平面内绕O点作圆周运动，用矢径 r 与Ox 轴间
唯一确定。总之，为描述平面运动，必须给出
rB rB (t ) xB (t )i yB (t ) j, 或 xB xB (t ), yB yB (t )
转动动能守恒定律
转动动能守恒定律
一、转动动能的概念
1. 对于一个绕固定轴转动的刚体，转动动能的表达式为E_{k}=(1)/(2)Iω^2，其中I是刚体对给定轴的转动惯量，ω是刚体转动的角速度。
- 转动惯量I取决于刚体的质量分布和转轴的位置。
对于一些简单形状的刚体，有特定的转动惯量计算公式。
例如，对于质量为m、半径为r的均匀圆盘，绕通过圆心垂直于盘面的轴转动时，转动惯量I = (1)/(2)mr^2；对于质量为m、长度为L的细棒，绕通过棒中心垂直于棒的轴转动时，转动惯量I=(1)/(12)mL^2。
2. 与平动动能类似，转动动能是描述刚体转动状态下具有的能量。
平动动能是(1)/(2)mv^2，这里的v是平动速度，而转动动能中的ω是角速度，反映了刚体转动的快慢。
1. 定律内容
- 如果一个刚体所受的合外力矩为零，即M = 0时，刚体的转动动能守恒，也就是(1)/(2)I_{1}ω_{1}^2=(1)/(2)I_{2}ω_{2}^2。
这意味着在转动过程中，虽然刚体的转动惯量I和角速度ω可能会发生变化，但它们的乘积Iω^2保持不变。
2. 适用条件
- 系统（刚体）所受的合外力矩为零。
这一条件类似于平动中的动量守恒定律（合外力为零）。
例如，在光滑的水平面上，一个圆盘绕中心轴转动，如果没有摩擦力矩等外力矩的作用，圆盘的转动动能守恒。
- 在一些实际问题中，需要准确分析系统的受力情况，判断是否满足合外力矩为零的条件。
例如，对于一个由多个刚体组成的系统，如果它们之间的内力矩不影响系统的总角动量（满足角动量守恒的条件下），并且系统没有受到外力矩作用，那么系统的转动动能也守恒。
3. 应用实例。
刚体定轴转动的动能定理
它的动能为 ΔEki
1 2
Δmi vi2
1 2
Δmi
ri 2 2
整个刚体的动能为全部质元的动能之和，即 Ek
1
2
n i 1
Δmi
ri2
2
1 2
J2
式即为刚体转动动能的表达式。
刚体定轴转动的动能定理
1.3 刚体定轴转动的动能定理
将式的转动定律代入可得 dW Md J d J d d Jd
式中 ds ——位移元 dr 对应的弧长，其与对应角位移 dθ 的关系为 ds rd
刚体定轴转动的动能定理
1.1 力矩的功
于是，式可写为 dW Fτrd Md
当刚体的角位置由1 变为2 时，外力矩所做功为W
2 Md
1
式中，M 若是合外力矩，则 W 就是合外力矩的功。
刚体定轴转动的动能定理 1.2 转动动能
大学物理
刚体定轴转动的动能定理 1.1 力矩的功
如图所示，一个绕固定轴 OO 转动的圆盘状刚体，在圆盘平面上有外力 F 作用于 A 点。外力 F 可分解 为切向分力 Fτ 和法向分力 Fn 。
刚体定轴转动的动能定理 1.1 力矩的功
由于法向分力 Fn 垂直于 A 点的角位移，不做功，因此，外力 F 所做的功等于切向分力 Fτ 所做的功，则 外力 F 所做的元功为 dW F dr Fτds
静止下降 h 距离时物体的速率 v。
【解】 由题意可知，以滑轮、物体和地球组成的系统机械能守恒。
取物体在 h 处时系统的重力势能为零，设物体下降到 h 处时滑轮的角速度为 ω，
则根据机械能守恒定律可得
m2 gh
1 2
J2
1 2
m2v2
根据表可知，滑轮的转动惯量为
定轴转动刚体的动能计算
其中
包含刚体质心系中刚体的动能，这里不再推了。
成立。
这便证明了刚体定轴转动的动能 ω：8π(4Hz)
r1：0.
2．由
可知，既然能量是线性的，定轴转动的刚体的转动惯量也是线性的。
故将底盘质量向轴集中也能节省动能。
将动能（可由电能
公式。 转化而来，而电能容易控制）作输入，
转速作输出，同时对转子的质量分布加以调整； 《力学》，杨维纮，中国科学技术大学０４级理学院教材。
❖ 本幻灯片参考材料：
《力学》，杨维纮，中国科学技术大学０４级理 学院教材。
其他便没有了。限于客观原因，作者并没有准备 充分资源。日后若条件允许，也许能做出更有价 值的成果。
版权所有，商用付酬。
❖ 本文拟得出定轴转动下刚体 的动能表达式，并讨论教材例6.4 中电熨斗模型的改良及其他一些 简单应用。
参考系下“所有”的动能。若转轴亦运动， 这便证明了刚体定轴转动的动能公式。
若转轴亦运动，求刚体的总动能只需再加上刚体关于轴速度的动能，即
求刚体的总动能只需再加上刚体关于轴速 4中我们知半径r、自转角速度ω、平动速度v<< ω 、滑动摩擦系数μ、对地面压力N的圆盘受阻力
由于滑动摩擦力μN与接触面积无关，若切去盘中心O半径为 的小圆盘，如图易知摩擦力增加
体的动能为
E kB E kA 1 2M A 2B r2(rA是 BA距 B)离 .
4．由分析2及正交轴定理可求出刚体 作定点转动的动能公式：
E k O E k x E k y E k z 1 2 I xx 2 I yy 2 I zz 2 .
5．由分析1～4可得刚体作任意运动 的一般的动能公式：
度的动能，即 2．由
可知，既然能量是线性的，定轴转动的刚体的转动惯量也是线性的。
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我们已知，定轴转动刚体的转动惯量I、角 速度ω分别与直线运动中刚体的质量M、速度v 对应，但教材上并未给出计算刚体旋转动能的 公式。我们猜想刚体的动能是否为
1 2 E k = Iω 2 下面来证明此公式：
设所有刚体均匀，密度为1，则质量和体积 在数值上相等。 考虑半径为Ｒ的圆环绕轴线转动：
I = mR 2 = 2πR 3 . 1 1 2 3 2 2 E k = ∫ •Rd θ • (Rω ) = πR ω = Iω . 2 2 0
若圆盘剖面如图，质量向轴集中，则使其转速达 到ω所需的能量就较少。将这种情况应用于吸尘器， 平动摩擦阻力f仍不变。故将底盘质量向轴集中也能节 省动能。 另外，我们可见，调整绕轴线转 动圆盘的质量分布，可以影响能量与 转速的对应关系。将动能（可由电能 转轴 转化而来，而电能容易控制）作输入， 转速作输出，同时对转子的质量分布加以调整；或者 反过来，以转速作输入，能量作输出；这种方法应是 有广阔的应用前景。
v f= µN. ωr
2
Ｃ Ｏ Ｃ’
v
ω
摩擦力集中在上半个月牙形内。
由于滑动摩擦力µN与接触面积无 2v 关，若切去盘中心O半径为 r − ω 的小圆盘，如图易知摩擦力增加
2v 2 ∆f = µN. ωr1
Ｐ
2
v
Ｃ Ｏ Ｃ’
Ｑ
ω
其中Δf是区域P、Q的摩擦力， P、Q的圆心分别是C和C’。
在吸尘器模型中，设吸尘器使用距离 为s，采用开孔的底盘，增加了摩擦力， 却减少了驱动底盘转动的能量。当
Ｐ
2 v
m小盘 2 2 1 2 µN • • s ≤ ω r1 ω r1 2 v
Ｃ Ｏ
Ｃ’
Ｑ
ω
时，即 了能量的。
m 小盘 ω 3 r13 s≤ 4v µ N
时整体来讲是节省
r1为小盘半径。
m小盘ω r s≤ 4vµN
m小盘：2kg ω：8̟(4Hz) r：0.3m µ：0.3
3 3 1
Ｐ
2
v
在实际生活中，各项数值如下：
EkB 1 2 2 = EkA + MrAB ω (rAB是AB距离). 2
1 I ω 2 可知，既然能量是线性 2
4．由分析2及正交轴定理可求出刚体 作定点转动的动能公式：
EkO 1 = Ekx + Eky + Ekz = I xω x2 + I yω y2 + I zω z2 . 2
(
)
5．由分析1～4可得刚体作任意运动 的一般的动能公式：
下面是一些分析： 1．这个动能是刚体在视轴为静止的 参考系下“所有”的动能。若转轴亦运动， 求刚体的总动能只需再加上刚体关于轴速 度的动能，即
1 2 Ek = E定轴 + M刚体 • v 轴 . 2
2．由 dE k =
的，定轴转动的刚体的转动惯量也是线性 的。 3．若刚体在轴A的转动惯量IA已知， 由分析2及平行轴定理，将轴移到B点时刚 体的动能为
1 2 2 2 ΣEk = Ekx + Eky + Ekz + M v轴x + v轴y + v轴z . 2 其中 Ekx + Eky + Ekz 包含刚体质心系中刚体的动能，这里 不再推了。
(
)
在教材例6.4中我们知半径r、自 转角速度ω、平动速度v<< ω 、滑动 摩擦系数µ、对地面压力N的圆盘受阻 力
定轴转动刚体的动能计算及一些 简单应用®
二零零四级理学院二班 孙阳 PB04203034
本幻灯片参考材料：
《力学》，杨维纮，中国科学技术大学０４ ０４级理 ０４ 学院教材。 其他便没有了。限于客观原因，作者并没有准备 充分资源。日后若条件允许，也许能做出更有价 值的成果。 版权所有，商用付酬。
本文拟得出定轴转动下刚体 的动能表达式，并讨论教材例6.4 中电熨斗模型不规则的物体绕任意定轴转动：
dI = dmd ρ 2 . 1 2 dE k = dm • v dm， v dm = ω d ρ . 2 1 2 ⇒ dE k = ω • dmd ρ 2 . 2 即 1 dE k = dI • ω 2 . 2
成立。
这便证明了刚体定轴转动的动能 公式。
3
当转动周期、密度相同时，若 R = 2r ，则I１＝I２，E１＝E２．亦即，半径ｒ的圆环与 半径Ｒ的圆柱如此旋转时有相同动能，但
m2 = r >> 1. m1
3 4
可见角速度一定时，欲使较小质量刚体获 得较多转动动能，须使其质量远离转轴；反之， 使刚体得到较少能量就达到某转速，质量需向 轴集中。
r1：0.25m v：0.2m/s
Ｃ Ｏ
Ｃ’
Ｑ
ω
N：5kg＊g＝50N．
解得：s最大值是41.28m．这样的距离不用说 是家用吸尘器，除草都行了。因此，吸尘器底部 做成圆环更节能。
由本文前面特殊情况刚体动能公式，半径 为r，环壁厚为1(r＜＜1)的圆环与半径为R的圆 柱绕轴线转动的情况如下：
1 2 圆环：I 1 = 2πr .E1 = Iω .m1 = 2πr × 1. 2 πR 4 1 圆柱(盘)：I 2 = .E 2 = Iω 2 .m 2 = πR 2 . 2 2
2π
成立。
半径为R的圆盘绕轴线转动：
1 πR 4 2 I = mR = . 2 2 2π R 4 2 πR ω 1 1 2 2 Ek = ∫ ∫ •rdRdθ • (ωr ) = = Iω . 2 2 2 0 0
成立。
长为l的直细棒绕中垂线转动：
1 1 3 2 I = ml = l . 12 12 1 1 3 2 1 2 2 Ek = ∫ • dl • (ωl ) = l ω = Iω . 24 2 l2