2015-2016学年江苏省扬州市邗江中学高一(下)期中数学试卷

2015-2016学年江苏省扬州市邗江中学高一（下）期中数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题(本大题共14小题，共70.0分)1.sin585°的值为______ ．【答案】-【解析】解：sin585°=sin（720°-135°）=-sin135°=-．故答案为：-将所求式子中的角585°变形为720°-135°，利用诱导公式化简后，再利用特殊角的三角函数值即可求出值．此题考查了运用诱导公式化简求值，灵活变换角度，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．2.函数f（x）=2sin（3x+）的最小正周期T= ______ ．【答案】【解析】解：函数f（x）=2sin（3x+），∵ω=3，∴T=．故答案为：由函数解析式找出ω的值，代入周期公式T=，即可求出函数的最小正周期．此题考查了三角函数的周期性及其求法，熟练掌握周期公式是解本题的关键．3.已知等差数列{a n}中，若a3+a11=22，则a7= ______ ．【答案】11【解析】解：因为a3+a11=2（a1+6d）=2a7=22，所以a7=11．故答案为：11观察第3项和第11项的项数之和为14，得到第3项与第11项的和等于第7项的2倍，由a3+a11=22列出关于a7的方程，求出方程的解即可得到a7的值．此题考查学生灵活运用等差数列的性质化简求值，是一道基础题．4.函数在x∈R上的最小值等于______ ．【答案】-2【解析】解：∵f（x）=sinx+sin（+x）=sinx+cosx=2sin（x+），∴f（x）在x∈R上的最小值等于-2．故答案为：-2．利用三角函数的诱导公式与辅助角公式将f（x）=sinx+sin（+x）化为f（x）=2sin（x+），即可求得答案．本题考查两角和的正弦，考查诱导公式与辅助角公式，考查正弦函数的最值，属于基础题．5.已知tanθ=2，则sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ= ______ ．【答案】【解析】解：sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ==∵tanθ=2∴=∴sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ=故答案为：利用“1=sin2θ+cos2θ”，再将弦化切，利用条件，即可求得结论．本题重点考查同角三角函数间基本关系，解题的关键是利用“1=sin2θ+cos2θ”，再将弦化切，属于基础题．6.若关于x的不等式2x2-3x+a＜0的解集为（m，1），则实数m= ______ ．【答案】【解析】解：由不等式2x2-3x+a＜0的解集为（m，1）可知：x=m，x=1是方程2x2-3x+a=0的两根由韦达定理得：，解得：m=，a=1．由不等式2x2-3x+a＜0的解集为（m，1）可知：x=m，x=1是方程2x2-3x+a=0的两根．根据韦达定理便可分别求出m和a的值．本题考查一元二次不等式的解法．7.不等式|2x-1|-|x-2|＜0的解集为______ ．【答案】{x|-1＜x＜1}【解析】解：|2x-1|-|x-2|＜0移向得：丨2x-1丨＜丨x-2丨两边同时平方得（2x-1）2＜（x-2）2即：4x2-4x+1＜x2-4x+4，整理得：x2＜1，即-1＜x＜1故答案为：{x|-1＜x＜1}．首先分析题目求不等式|2x-1|-|x-2|＜0的解集，可以考虑平方去绝对的方法，先移向，平方，然后转化为求解一元二次不等式即可得到答案．此题主要考查绝对值不等式的解法的问题，其中涉及到平方去绝对值的方法，对于绝对值不等式属于比较基础的知识点，需要同学们掌握．8.公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4是a3与a7的等比中项，S8=32，则S10= ______ ．【答案】60【解析】解：设公差为d（d≠0），则有，化简得：，因为d≠0，由 得到2a1+3d=0③， -③得：4d=8，解得d=2，把d=2代入③求得a1=-3，所以方程组的解集为，则S10=10×（-3）+×2=60．故答案为：60设出等差数列的等差d，且d不为0，根据a4是a3与a7的等比中项，S8=32，利用等比数列的性质和等差数列的前n项和的公式化简得到关于等差数列首项和公差方程组，求出方程组的解集即可得到首项和公差，然后再利用等差数列的前n项和的公式求出S10即可．此题考查学生灵活运用等差数列的前n项和的公式及等比数列的通项公式化简求值，是一道综合题．本题解法属基本量法．在解由等差（比）数列中的部分项生成等比（差）数列中部分项问题时，要特别注意新数列中项在新、老数列中的各自属性及其表示．9.等比数列{a n}的前n项和为S n，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1=1，则S4= ______ ．【答案】15【解析】解：∵2a2-4a1=a3-2a2，∴2q-4=q2-2q，q2-4q+4=0，q=2，∴a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，∴S4=1+2+4+8=15．答案：15由题意知2a2-4a1=a3-2a2，即2q-4=q2-2q，由此可知q=2，a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，于是得到S41+2+4+8=15．本题考查数列的应用，解题时要注意公式的灵活运用．10.已知函数f（x）=x2，（x∈[-2，2]），g（x）=a2sin（2x+）+3a，x∈[0，]），∀x1∈[-2，2]，总∃x0∈[0，]，使得g（x）=f（x1）成立，则实数a的取值范围是______ ．【答案】（-∞，-4]∪[6，+∞）【解析】解：∵x∈，∴sin（2x+），则，，的值域为[3a-a2，a2+3a]而f（x）=x2，（x∈[-2，2]）的值域为[0，4]∵∀x1∈[-2，2]，总∃ ，，使得成立∴[0，4]⊆[3a-a2，a2+3a]则，解得a∈（-∞，-4]∪[6，+∞），故答案为（-∞，-4]∪[6，+∞）先分别求出函数f（x）与函数g（x）的值域，再根据∀x1∈[-2，2]，总∃，，使得成立得到函数f（x）的值域是函数g（x）的值域的子集，建立不等关系即可．本题主要考查了函数的值域，以及存在性问题的应用，属于中档题，是高考中偶尔出现的好题．11.设a1=2，，b n=，n∈N+，则数列{b n}的通项公式b n= ______ ．【答案】2n+1【解析】解：由条件得：b n+1====2b n且b1=4所以数列{b n}是首项为4，公比为2的等比数列，则b n=4•2n-1=2n+1．故答案为：2n+1．由题设条件得b n+1====2b n，由此能够导出数列{b n}的通项公式b n．本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意递推公式的合理运用．12.有四个关于三角函数的命题：（1）∃x∈R，sin2+cos2=；（2）∃x、y∈R，sin（x-y）=sinx-siny；（3）∀x∈[0，π]，=sinx；（4）sinx=cosy⇒x+y=．其中假命题的序号是______ ．【答案】（1）（4）【解析】解：sin2+cos2=1，故（1）是假命题；当x=y=0时，sin（x-y）=sinx-siny，故（2）成立；∀x∈[0，π]，=sinx，（3）成立；sinx=cosy⇒x+y=不成立，故（4）不成立．故答案：（1）、（4）．由同角三角函数的关系知（1）是假命题；由三解函数的关系知（4）不成立．本题考查复合命题的真假，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的正确选用．13.在锐角△ABC中，BC=1，∠B=2∠A，则AC的取值范围为______ ．【答案】（，）【解析】解：在锐角△ABC中，BC=1，∠B=2∠A，∴＜3A＜π，且0＜2A＜，故＜A＜，故＜cos A＜．由正弦定理可得，∴b=2cos A，∴＜b＜，故答案为：（，）．由条件可得＜3A＜π，且0＜2A＜，故＜A＜，＜cos A＜，由正弦定理可得b=2cos A，从而得到b的取值范围．本题考查锐角三角形的定义，正弦定理的应用，求得＜A＜，是解题的关键．14.已知函数f（x）=sinx+tanx．项数为31的等差数列{a n}满足，，且公差d≠0．若f（a1）+f（a2）+…+f（a31）=0，则当k= ______ 时，f（a k）=0．【答案】16【解析】解：函数f（x）=sinx+tanx，∴f（-x）=sin（-x）+tan（-x）=-f（x），即函数是奇函数．∴函数f（x）的图象关于原点对称，∵项数为31的等差数列{a n}满足，，且公差d≠0．，∴中间数f（a k）=0，k=16，函数f（x）=sinx+tanx，可得f（-x）=-f（x），即函数是奇函数．因此函数f（x）的图象关于原点对称，即可得出．本题考查了函数的奇偶性、等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、解答题(本大题共6小题，共90.0分)15.已知sinα=，且α为第二象限角，计算：（1）；（2）sin2．【答案】解：（1）∵sinα=，且α为第二象限角，∴cos=-，∴=cosαcos+sinαsin=×（-）=；（2）sin2=+=+2sinαcosα=+2×（-）=．【解析】（1）由角的范围，利用同角三角函数基本关系式可求cosα的值，利用两角差的余弦函数公式，特殊角的三角函数值即可化简计算求值．（2）利用倍角公式，降幂公式化简所求即可计算求值得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，倍角公式，降幂公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．16.已知等差数列{a n}中，首项a1=1，公差d为整数，且满足a1+3＜a3，a2+5＞a4，数列{b n}满足，其前n项和为S n．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）若S2为S1，S m（m∈N*）的等比中项，求m的值．【答案】解：（1）由题意，得解得＜d＜．又d∈Z，∴d=2．∴a n=1+（n-1）•2=2n-1．（2）∵=，∴=．∵，，，S2为S1，S m（m∈N*）的等比中项，∴S22=S m S1，即，解得m=12．【解析】（1）由题意，得，由此可解得a n=1+（n-1）•2=2n-1．（2）由=，知=．由此可求出m的值．本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．17.如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC=0.1km．试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km，≈1.414，≈2.449）．【答案】解：在△ACD中，∠DAC=30°，∠ADC=60°-∠DAC=30°，所以CD=AC=0.1．又∠BCD=180-60°-60°=60°，故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA、在△ABC中，∠=∠，sin215°=°，可得sin15°=，即AB=°=，因此，BD=≈0.33km．故B、D的距离约为0.33km．【解析】在△ACD中，∠DAC=30°推断出CD=AC，同时根据CB是△CAD底边AD的中垂线，判断出BD=BA，进而在△ABC中利用余弦定理求得AB答案可得．本题主要考查了解三角形的实际应用．考查学生分析问题解决问题的能力．综合运用基础知识的能力．18.在数列{a n}中，a1=1，a n+1=（1+）a n+．（1）设b n=，求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．【答案】解：（1）由已知得b1=a1=1，且=+，即b n+1=b n+，从而b2=b1+，b3=b2+，b n=b n-1+（n≥2）．于是b n=b1+++…+=2-（n≥2）．又b1=1，故所求的通项公式为b n=2-．（2）由（1）知a n=2n-，故S n=（2+4+…+2n）-（1++++…+），设T n=1++++…+，T n=+++…++，- 得，T n=1++++…+-=-=2--，∴T n=4-．∴S n=n（n+1）+-4．【解析】（1）由已知得=+，即b n+1=b n+，由此能够推导出所求的通项公式．（2）由题设知a n=2n-，故S n=（2+4+…+2n）-（1++++…+），设T n=1++++…+，由错位相减法能求出T n=4-．从而导出数列{a n}的前n项和S n．本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，解题时要注意错位相减法的合理运用．19.△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，，sin（B-A）=cos C．（1）求A，C；（2）若S△ABC=，求a，c．【答案】解：（1）因为所以左边切化弦对角相乘得到sin C cos A-cos C sin A=cos C sin B-sin C cos B，所以sin（C-A）=sin（B-C）．所以C-A=B-C或C-A=π-（B-C）（不成立）即2C=A+B，C=60°，所以A+B=120°，又因为sin（B-A）=cos C=，所以B-A=30°或B-A=150°（舍），所以A=45°，C=60°．（2）由（1）知A=45°，C=60°∴B=75°∴sin B=根据正弦定理可得即：∴a=S=acsin B==3+∴c2=12∴c=2∴a==2【解析】（1）先根据同角三角函数的基本关系将正切化为正余弦之比再相乘可得到3内角的正弦关系式，再由sin（B-A）=cos C可求出答案．（2）先根据正弦定理得到a与c的关系，再利用三角形的面积公式可得答案．本题主要考查同角三角函数的基本关系和正弦定理与三角形面积公式的应用．对于三角函数这一部分公式比较多，要强化记忆．20.设数列{a n}的通项公式为a n=pn+q（n∈N*，P＞0）．数列{b n}定义如下：对于正整数m，b m是使得不等式a n≥m成立的所有n中的最小值．（Ⅰ）若，，求b3；（Ⅱ）若p=2，q=-1，求数列{b m}的前2m项和公式；（Ⅲ）是否存在p和q，使得b m=3m+2（m∈N*）？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由．【答案】解：（Ⅰ）由题意，得，解，得．∴成立的所有n中的最小正整数为7，即b3=7．（Ⅱ）由题意，得a n=2n-1，对于正整数m，由a n≥m，得．根据b m的定义可知当m=2k-1时，b m=k（k∈N*）；当m=2k时，b m=k+1（k∈N*）．∴b1+b2+…+b2m=（b1+b3+…+b2m-1）+（b2+b4+…+b2m）=（1+2+3+…+m）+[2+3+4+…+（m+1）]=．（Ⅲ）假设存在p和q满足条件，由不等式pn+q≥m及p＞0得．∵b m=3m+2（m∈N*），根据b m的定义可知，对于任意的正整数m都有＜，即-2p-q≤（3p-1）m＜-p-q对任意的正整数m都成立．当3p-1＞0（或3p-1＜0）时，得＜（或），这与上述结论矛盾！当3p-1=0，即时，得＜，解得＜．（经检验符合题意）∴存在p和q，使得b m=3m+2（m∈N*）；p和q的取值范围分别是，＜．【解析】（Ⅰ）先得出a n，再解关于n的不等式，利用正整数的条件得出具体结果；（Ⅱ）先得出a n，再解关于n的不等式，根据{b n}的定义求得b n再求得S2m；（Ⅲ）根据b m的定义转化关于m的不等式恒成立问题．本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式综合的较难层次题．。